\groupexos{Un peu d'algèbre} {\it Pour les exercices \ref{cpl1}, \ref{cpl2}, \ref{dv1}, \ref{dv2}, \ref{fact1} et \ref{fact2}, il faut savoir répondre sans la calculatrice. Celle-ci pourra servir à vérifier les réponses. } \begin{exo}[type=solution] Développer en utilisant la simple ou la double distributivité. \begin{enumerate}[label=\bf{\alph*)\,}] \item $(2x+3)(x-5)$ \item $3(x-8)-(2x-2)(x+5)$ \item $(x-1)(x^2-2x+3)$ \end{enumerate} \begin{sol} On peut facilement vérifier les réponses à l'aide de la calculatrice (menu>algèbre>développer). \begin{enumerate}[label=\bf{\alph*)\,}] \item $(2x+3)(x-5)=2x^2-10x+3x-15=2x^2-7x-15$ \item $3(x-8)-(2x-2)(x+5)=3x-24-2x^2-10x+2x+10=-2x^2-5x-14$ \item $(x-1)(x^2-2x+3)=x^3-2x^2-x^2+3x+2x-3=x^3-3x^2+5x-3$ \end{enumerate} \end{sol} \end{exo} \begin{exo} Développer en utilisant la simple ou la double distributivité. \begin{enumerate}[label=\bf{\alph*)\,}] \item $(5-2x)(7x+4)$ \item $8(x^2-3)+(2-x)(2x+7)$ \item $(x-5)(2x^2+3x-8)$ \end{enumerate} \begin{sol*} On rappelle la règle de la double distributivité : $(a+b)\cdot(c+d)=a\cdot c+a \cdot d+ b \cdot c+ b \cdot d$. On peut vérifier les solutions à la calculatrice \texttt{Menu > algèbre > développer} \end{sol*} \end{exo} \begin{exo}[type=solution] \label{dv2} Développer en utilisant les identités remarquables \begin{multicols}{2} \begin{enumerate}[label=\bf{\alph*)\,}] \item $(x-4)^2$ \item $(x+5)(x-5)$ \item $(2x+3)^2$ \item $(6x+1)^2$ \item $(3x-2)(3x+2)$ \item $(4x-7)^2$ \end{enumerate} \end{multicols} \begin{sol} \begin{enumerate}[label=\bf{\alph*)\,}] \item $(x-4)^2 = x^2-8x+16$ \item $(x+5)(x-5)=x^2-25$ \item $(2x+3)^2=4x^2+12x+9$ \item $(6x+1)^2=36x^2+12x+1$ \item $(3x-2)(3x+2)=9x^2-4$ \item $(4x-7)^2=16x^2-56x+49$ \end{enumerate} \end{sol} \end{exo} \begin{exo} \label{dv1} Développer en utilisant les identités remarquables \begin{multicols}{2} \begin{enumerate}[label=\bf{\alph*)\,}] \item $(x+3)^2$ \item $(2x+1)^2$ \item $(x-2)(x+2)$ \item $(3x-5)^2$ \item $(7x-2)^2$ \item $(2x-1)(2x+1)$ \end{enumerate} \end{multicols} \begin{sol*} On rappelle les trois identités remarquables : $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$, $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$ et $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$. On peut aussi vérifier les résultats des développements à la calculatrice. \end{sol*} \end{exo} \begin{exo}[type=solution] Recopier et compléter les expressions. \label{cpl2} \begin{enumerate}[label=\bf{\alph*)\,}] \item $x^2-\dashuline{\hspace{0.8cm}}+\dashuline{\hspace{0.8cm}}=(\dashuline{\hspace{0.8cm}}-4)^2$ \item $\dashuline{\hspace{0.8cm}}+4x+\dashuline{\hspace{0.8cm}}=(2x+\dashuline{\hspace{0.8cm}})^2$ \item $\dashuline{\hspace{0.8cm}}-8x+\dashuline{\hspace{0.8cm}}=(\dashuline{\hspace{0.8cm}}-2)^2$ \item $\dashuline{\hspace{0.8cm}}+18x+\dashuline{\hspace{0.8cm}}=(x+\dashuline{\hspace{0.8cm}})^2$ \item $ (\dashuline{\hspace{.8cm}}+\dashuline{\hspace{.8cm}})(\dashuline{\hspace{.8cm}}-8)= 100x^2-\dashuline{\hspace{1cm}}$ \end{enumerate} \begin{sol} \begin{enumerate}[label=\bf{\alph*)\,}] \item $x^2-\textcolor{red}{8x}+\textcolor{red}{16}=(\textcolor{red}{x}-4)^2$ \item $\textcolor{red}{4x^2}+4x+\textcolor{red}{1}=(2x+\textcolor{red}{1})^2$ \item $\textcolor{red}{4x^2}-8x+\textcolor{red}{4}=(\textcolor{red}{2x^2}-2)^2$ \item $\textcolor{red}{x^2}+18x+\textcolor{red}{81}=(x+\textcolor{red}{9})^2$ \item $ (\textcolor{red}{10x}+\textcolor{red}{8})(\textcolor{red}{10x}-8)= 100x^2-\textcolor{red}{64}$ \end{enumerate} \end{sol} \end{exo} \begin{exo} Recopier et compléter les égalités. \label{cpl1} \begin{enumerate}[label=\bf{\alph*)\,}] \item $(x+\dashuline{\hspace{0.8cm}})^2 = \dashuline{\hspace{0.8cm}}+\dashuline{\hspace{0.8cm}}+4$ \item $(x-\dashuline{\hspace{0.8cm}})^2=\dashuline{\hspace{0.8cm}}-\dashuline{\hspace{0.8cm}}+25$ \item $(\dashuline{\hspace{0.8cm}}+\dashuline{\hspace{0.8cm}})^2 = 9x^2+\dashuline{\hspace{0.8cm}}+25$ \item $(x+\dashuline{\hspace{0.8cm}})^2= \dashuline{\hspace{0.8cm}}+14x+\dashuline{\hspace{0.8cm}}$ \item $ (\dashuline{\hspace{.8cm}}+5)(\dashuline{\hspace{.8cm}}-\dashuline{\hspace{.8cm}})= 16x^2-\dashuline{\hspace{1cm}}$ \end{enumerate} \begin{sol*} \begin{enumerate}[label=\bf{\alph*)\,}] \item $(x+\dashuline{\textcolor{red}{2}})^2 = \dashuline{\textcolor{red}{x^2}}+\dashuline{\textcolor{red}{4x}}+4$ \item $(x-\dashuline{\textcolor{red}{5}})^2=\dashuline{\textcolor{red}{x^2}}-\dashuline{\textcolor{red}{10x}}+25$ \item $(\dashuline{\textcolor{red}{3x}}+\dashuline{\textcolor{red}{5}})^2 = 9x^2+\dashuline{\textcolor{red}{30x}}+25$ \item $(x+\dashuline{\textcolor{red}{7}})^2= \dashuline{\textcolor{red}{x^2}}+14x+\dashuline{\textcolor{red}{49}}$ \item $ (\dashuline{\textcolor{red}{4x}}+5)(\dashuline{\textcolor{red}{4x}}-\dashuline{\textcolor{red}{5}})= 16x^2-\dashuline{\textcolor{red}{25}}$ \end{enumerate} \end{sol*} \end{exo} \begin{exo}[type=solution] Factoriser les expressions suivantes: \label{fact1} \begin{multicols}{2} \begin{enumerate}[label=\bf{\alph*)\,}] \item $x^2+10x+25$ \item $4x^2-20x+25$ \item $x^2+6x+9$ \item $(x+1)^2-4$ \item $x^2+24x+144$ \item $x^2-100$ \end{enumerate} \end{multicols} \begin{sol} On peut vérifier facilement les réponses à l'aide de la calculatrice : \texttt{Menu>algèbre>factoriser} \begin{enumerate}[label=\bf{\alph*)\,}] \item $x^2+10x+25=(x+5)^2$ \item $4x^2-20x+25 = (2x-5)^2$ \item $x^2+6x+9 = (x+3)^2$ \item $(x+1)^2-4 =(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1)$ \item $x^2+24x+144 = (x+12)^2$ \item $x^2-100=(x+10)(x-10)$ \end{enumerate} \end{sol} \end{exo} \begin{exo} Factoriser les expressions suivantes \label{fact2} \begin{multicols}{2} \begin{enumerate}[label=\bf{\alph*)\,}] \item $x^2-2x+1$ \item $4x^2+12x+9$ \item $x^2-64$ \item $36x^2-12x+1$ \item $9x^2-18x+9$ \item $(x-5)^2-36$ \end{enumerate} \end{multicols} \begin{sol*} Ici encore, on peut vérifier les résultats à la calculatrice : \texttt{menu > algèbre > factoriser}. \end{sol*} \end{exo}