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Die physikalische Deutung der Functionen von Sei insbesondere auf die Darstellung verwiesen, welche Maxwell
in seinem Treatise on Electricity and Magnetisme (Cambridge 1873) gegeben
hat. Dieselbe entspricht, was anschauungsmässige Behandlung
angeht, genau den Gesichtspuncten, die auch ich im Texte verfolge.
Sei
und hieraus:
sowie für v:
Hier wird man nun u als Geschwindigkeitspotential deuten,
so dass stationäre ist. Die Curven Niveaucurven, während die Curven Strömungscurven abgeben.
Bei dieser Vorstellungsweise ist es zunächst natürlich
völlig gleichgültig, wie beschaffen wir uns die strömende
Flüssigkeit denken wollen. Inzwischen wird es in der Folge
vielfach zweckmässig sein, dieselbe mit dem elektrischen Fluidum
zu identificiren. Es wird dann nämlich u mit dem elektrostatischen
Potential, welches die Strömung hervorruft, proportional,
und die experimentelle Physik gibt uns mannigfache
Mittel an die Hand, um zahlreiche Strömungszustände, die
uns interessiren, thatsächlich zu realisiren.
Die Strömung selbst wird übrigens ungeändert bleiben,
wenn wir u durchweg um eine Constante vermehren: es sind
nur die Differentialquotienten v; so dass die Function
Sodann bemerke man noch, dass die Gleichungen (1)-(3)
ungeändert bestehen bleiben, wenn man u durch v, v durch
v das Geschwindigkeitspotential
abgibt und die Curven u das Geschwindigkeitspotential war; wir wollen dann der
Kürze halber von conjugirten Strömungen sprechen. Die
Benennung ist zwar etwas ungenau, weil sich u zu v verhält,
wie v zu
Diese ganze Erläuterung bezieht sich, gleich den Differentialgleichungen
(1)-(3), zuvörderst nur auf einen solchen
(übrigens beliebigen) Theil der Ebene, in welchem
In einem so umgränzten Gebiete werden diejenigen Puncte
w in eine nach Potenzen von dass sich
im Puncte Curven Const. unter resp. gleichen
Winkeln kreuzen, während ebensoviel Curven Const. als
Halbirungslinien der genannten Winkel auftreten. Ich werde
einen solchen Punct dementsprechend einen
Die folgende (selbstverständlich nur schematische) Figur
mag dieses Vorkommniss für
Die Strömungscurven
Es ist weiterhin vortheilhaft, den Kreuzungspunkt von
der Multiplicität als Gränzfall von einfachen Kreuzungspuncten
aufzufassen. Dass diess zulässig ist, zeigt die analytische
Behandlung. Denn im
Ich habe in denselben der Einfachheit halber nur die Strömungscurven angegeben. Linker Hand erblickt man denselben Kreuzungspunct von der Multiplicität Zwei, auf den sich Figur 1 bezieht. Rechter Hand liegt eine Strömung vor, welche dicht bei einander zwei einfache Kreuzungspuncte aufweist. Man erkennt, wie der eine Strömungszustand aus dem anderen durch continuirliche Aenderung hervorgeht.
Bei dieser Erläuterung wurde stillschweigend vorausgesetzt,
dass das Gebiet, in welchem wir den Strömungszustand
Wir wollen nunmehr auch solche Puncte dass der Differentialquotient
keine wesentlich singuläre Stelle besitzen soll, oder,
was dasselbe ist, wir wollen festsetzen,
unter eine bestimmte endliche Zahl verstanden.
Entsprechend den verschiedenen Formen, die dieser Ausdruck
darbietet, sagen wir, dass sich bei logarithmischer Unendlichkeitspunct,
ein algebraischer Unendlichkeitspunct von der Multiplicität
Eins, u. s. f. Wir werden der Einfachheit halber hier
Sei logarithmischer Unendlichkeitspunct.
Wir haben dann:
Hier ist A diejenige Grösse, welche man, mit Cauchy als Residuum des logarithmischen Unendlichkeitspunctes
bezeichnet, eine Benennung, die im Folgenden
gelegentlich angewandt werden soll. Für die Strömung
in der Nähe des Unstetigkeitspunctes ist es von primärer
Wichtigkeit, ob A reell ist oder rein imaginär, oder endlich
complex. Offenbar kann man den dritten Fall als eine Ueberlagerung
der beiden ersten auffassen. Wir wollen daher auch
ihn bei Seite lassen und haben uns somit nur mit zwei getrennten
Möglichkeiten zu beschäftigen.
1) Wenn A reell ist, so werde
Die Curven eine Quelle von einer gewissen
positiven oder negativen Ergiebigkeit vorstellt. Um diese
Ergiebigkeit zu berechnen, multipliciren wir das Bogenelement
eines kleinen mit dem Radius
als Werth der Ergiebigkeit. Die Ergiebigkeit ist also gleich
dem Residuum, getheilt durch i; sie ist positiv oder negativ je
nach dem Werthe von A.
2) Sei zweitens A rein imaginär, gleich
Die Rollen der Curven wirbelt auf letzteren Curven um den Punct
Wirbelpunct bezeichnen. Sinn und Intensität des Wirbels
werden durch
in erster Annäherung gleich so findet die Wirbelbewegung
bei positivem im Sinne des Uhrzeigers, bei negativem
in entgegengesetztem Sinne statt. Wir mögen die
Intensität des Wirbels gleich
Uebrigens können wir sagen, indem wir uns der Definition
conjugirter Strömungen, wie sie im vorigen Paragraphen
gegeben wurde, mit der ihr anhaftenden Unbestimmtheit erinnern:
Hat eine von zwei conjugirten Strömungen bei
eine Quelle von einer gewissen Ergiebigkeit, so hat die andere
dort einen Wirbelpunct von gleicher oder entgegengesetzt gleicher
Intensität.
Wir betrachten ferner die algebraischen Unstetigkeitspuncte.
Bei ihnen ist der Verlauf der Strömung seinem allgemeinen
Charakter nach davon unabhängig, ob das erste Glied
der Reihenentwickelung einen reellen, imaginären oder complexen
Coefficienten hat. Sei zuvörderst:
so wird in erster Annäherung für
Betrachten wir zuvörderst den reellen Theil rechter Hand.
Wenn r sehr klein ist, so kann Die Function u nimmt also in unmittelbarer
Nähe der Unstetigkeitsstelle noch jeden Werth an. Zur näheren
Orientirung denken wir uns einen Augenblick
Wir erhalten dann ein Büschel von Kreisen, welche alle
die feste Richtung In ähnlicher Weise verlaufen daher die Curven
Const. in der Nähe der Unstetigkeitsstelle. Insbesondere
haben sie für sehr grosse positive oder negative Werthe von
Const. die Gestalt kleiner, geschlossener, kreisähnlicher Ovale.--Für
den imaginären Theil des Ausdrucks rechter Hand und
also die Curven
Die analoge Discussion liefert vom Jede Curve Const. läuft
-mal durch den Unstetigkeitspunct hindurch, indem sie der
Reihe nach feste, gleich stark gegen einander geneigte Tangenten
berührt. Analog die Curven Const. Für sehr grosse (positive
oder negative) Werthe der Constante sind beiderlei Curven in. Ich gebe
zur Veranschaulichung eine Figur für
Man wird vermuthen, dass diese höheren Vorkommnisse aus den niederen durch Gränzübergang entstehen mögen. Ich verschiebe die betreffende Erläuterung bis zum folgenden Paragraphen, wo uns eine bestimmte Functionsclasse die erforderlichen Anschauungen mit Leichtigkeit vermitteln wird.
Die entwickelten Sätze genügen, um den Gesammtverlauf
solcher Functionen zu veranschaulichen, die, übrigens
in der ganzen Ebene eindeutig, keine anderen Unendlichkeitspuncte
aufweisen, als die eben betrachteten. Es sind
diess, wie man weiss, die rationalen Functionen und ihre
Integrale. Ohne ausgeführte Zeichnungen zu geben, stelle ich
hier die Sätze, welche man bei ihnen betreffs der Kreuzungspuncte
und Unendlichkeitspuncte findet, in knapper Form
zusammen. Ich beschränke mich dabei, aus dem oben angegebenen
Grunde, auf solche Fälle, in denen
1) Die rationale Function, welche wir zu betrachten haben, stellt sich in der Form dar:
wo n algebraische
Unstetigkeitspuncte. Die Kreuzungspuncte sind
durch Die Gesammtmultiplicität der Kreuzungspuncte ist
also
2) Soll das Integral einer rationalen Function
für die freien Kreuzungspuncte, d. h. diejenigen
Kreuzungspuncte, welche nicht mit Unendlichkeitspuncten zusammenfallen.
Die Wurzeln von Wenn man
dementsprechend jeden Unendlichkeitspunct so oft zählt, als die
Multiplicität des entsprechenden Factors in beträgt, so ist
die Gesammtmultiplicität der Kreuzungspuncte um zwei Einheiten
geringer als die der Unendlichkeitspuncte. Uebrigens
sei noch an den bekannten Satz erinnert, dass die Summe
der logarithmischen Residua sämmtlicher Unstetigkeitspuncte
gleich Null ist.--
Das Vorstehende gibt uns eine zweifache Möglichkeit, um
höhere Unstetigkeitspuncte aus niederen entstehen zu lassen.
Wir können einmal--und diess ist für uns das Wichtigste--vom
Integral der rationalen Function ausgehen. Bei ihm
entsteht ein wenn also
logarithmische Unstetigkeitspuncte in geeigneter Weise
zusammenrücken. Dabei ist deutlich, dass die Residuensumme
der letzteren gleich Null sein muss, wenn der entstehende
Ich habe dabei die Anordnung in doppelter Weise getroffen, so dass linker Hand zwei Quellenpuncte, rechter Hand zwei Wirbelpuncte einander nahe gerückt scheinen und Figur 4 als übereinstimmendes Resultat des Gränzüberganges in beiden Fällen erscheint. In derselben Beziehung stehen die folgenden beiden Zeichnungen zu Figur 5:
Die zweite Möglichkeit für das Entstehen höherer Unendlichkeitsstellen
aus niederen bietet die Betrachtung der
rationalen Function Der -fache algebraische
Unstetigkeitspunct entsteht jetzt aus einfachen algebraischen
Unstetigkeitspuncten, indem nämlich
Es ist natürlich leicht, diese beiden Arten des Gränzüberganges
unter eine allgemeinere gemeinsam zu subsumiren.
Wenn man
Wir wollen unserer Betrachtung nunmehr eine andere Wendung
geben, indem wir uns fragen, wie diejenigen Bewegungsformen,
die wir jetzt von den rationalen Functionen und ihren
Integralen kennen, physikalisch realisirt werden mögen. Dabei
sei es gestattet, von dem Princip der Ueberlagerung ausgiebigen
Gebrauch zu machen, so dass es sich nur um Herstellung
der allereinfachsten Bewegungsformen handelt. Aus
der Theorie der Partialbrüche folgt, dass man jede der in
Betracht kommenden Functionen aus einzelnen Bestandtheilen
additiv zusammensetzen kann, welche sich unter einen der
folgenden beiden Typen subsumiren:
Da
und diesen selbst wieder, entsprechend den Erläuterungen des
§. 2, in zwei Bestandtheile zerspalten, indem wir nämlich
A gleich A + iB setzen und nun
A iB
1) Wenn es sich um den Typus A 2 A indem wir bei den einen, bei den
anderen Pol einer galvanischen Batterie von zweckmässig gewählter
Stärke aufsetzen
Man vergl. den grundlegenden Aufsatz von Kirchhoff im 64. Bande von Poggendorff's Annalen: Ueber den Durchgang eines elektrischen Stromes durch eine Ebene (1845).
2) Im zweiten Falle (wo Die Behauptungen des Textes hängen, wie man weiss, auf das
Engste mit der Theorie der sogenannten Doppelbelegungen zusammen,
wegen deren man Helmholtz in Poggendorffs Annalen Bd. 89, p. 224 ff. (Ueber
einige Gesetze der Vertheilung elektrischer Ströme in körperlichen
Leitern, 1853) sowie C. Neumann in dessen Buche: Untersuchungen
über das Logarithmische und Newton'sche Potential (Leipzig,
Teubner, 1877) vergleichen mag.iB und nun dafür
sorgt, dass diese Curve der Sitz einer constanten elektromotorischen
Kraft sei. Es entwickelt sich dann in der
Ich weiss nicht, ob es eine experimentelle Anordnung
giebt, um dieses einfachste Schema zu realisiren. Es scheint,
dass man umständlicher zu Werke gehen muss. Denken wir
zuvörderst etwa an thermoelektrische Ströme. Wir wollen die
beiden Theilen der genannten
Contour Unstetigkeiten auf.--Noch complicirter scheint es,
elektrische Ströme zu benutzen, wie sie die gewöhnlichen
galvanischen Elemente liefern. Man muss die Ebene dann
durch mindestens drei Curven, welche von
Durch alle diese Anordnungen hindurch ist von Vorne
herein ersichtlich, dass die beiden bei
3) Die Bewegungsformen, welche den algebraischen Typen
dicht bei einander auf die sehr stark nehmen müssen, wenn bei der erwähnten
Anordnung noch eine mittlere elektrische Strömung zu Stande
kommen soll. Es entspricht diess dem von analytischer Seite
wohlbekannten Satze, dass die Residua logarithmischer Unendlichkeitspuncte
selbst in's Unendliche wachsen müssen,
wenn beim Zusammenfallen der logarithmischen ein algebraischer
Unstetigkeitspunkt entstehen soll.--Ich gehe hier
in kein weiteres Detail, da es im Folgenden allein darauf ankommt,
Um die unendlich grossen Werthe von z derselben geometrischen
Behandlungsweise zugänglich zu machen, wie die
endlichen, bedient man sich in den Lehrbüchern jetzt allgemein
der Kugelfläche, welche stereographisch auf die
Nach dem Vorgänge von C. Neumann, Vorlesungen über
Riemann's Theorie der Abel'schen Integrale, Leipzig, 1865.--Die Einführung
der Kugelfläche läuft sozusagen der Ersetzung von z durch
das Verhältniss zweier Variabler parallel, wodurch, wie man weiss,
die Behandlung unendlich grosser Werthe von z auch formal unter
die der endlichen Werthe subsumirt wird.
Unter
Bezeichnet man mit
eine Formel, welche für das Folgende insofern besonders wichtig ist,
als sie die Abbildung als eine conforme charakterisirt.
Man vergleiche hierzu und zu den folgenden Entwickelungen: Beltrami, Delle variabili complesse sopra una superficie qualunque; Annali di Matematica, ser. 2, t. I, p. 329 ff.--Die besondere Bemerkung, dass Oberflächenpotentiale bei conformer Abbildung ebensolche bleiben, findet sich in den in der Vorrede citirten Schriften von C. Neumann, Kirchhoff und Töpler, dann auch z. B. bei Haton de la Goupillière: Méthodes de transformation en Géométrie et en Physique Mathématique, Journal de l'Ecole Polytechnique, t. XXV, 1867 (p. 169 ff.).
Indem wir Flüssigkeitsbewegungen parallel der
Die zweckmässige Verallgemeinerung des Potentialbegriffs
bietet sich unmittelbar. Es sei u eine Function des Ortes
auf der Fläche, so denke man sich auf letzterer die Curven
senkrecht
gegen die hindurchgehende Curve u, wie in der Ebene, das zur Bewegung gehörige Geschwindigkeitspotential.
Die in solcher Weise definirte Strömung soll nun eine
stationäre sein. Um eine bestimmte Formel zu haben, wollen
wir ein krummliniges Coordinatensystem p, q auf unserer
Fläche annehmen und uns die Form bestimmt denken:
welche vermöge dieses Coordinatensystems das Bogenelement
auf der Fläche annimmt. Dann gibt eine einfache Zwischenbetrachtung,
welche der in der Ebene üblichen durchaus analog
verläuft, dass u, um eine stationäre Bewegung zu veranlassen,
der folgenden Differentialgleichung zweiter Ordnung genügen
muss:
An diese Differentialgleichung knüpft nun eine kurze Ueberlegung, welche die volle Analogie mit den auf die Ebene bezüglichen Resultaten herstellt.
Es ergiebt sich nämlich aus der Form von (2); dass
man neben jedem u, welches (2) genügt, eine andere Function
v einführen kann, die zu u genau in dem bekannten Reciprocitätsverhältnisse
steht. In der That, vermöge (2) sind
die folgenden beiden Gleichungen verträglich:
sie definiren ein v bis auf eine nothwendig unbestimmt
bleibende Constante. Aus ihnen aber folgt durch Auflösung:
und hieraus:
so dass einmal u sich zu v verhält, wie v zu v, so gut wie u, der partiellen Differentialgleichungu = Const. und v = Const. einander im Allgemeinen rechtwinkelig
schneiden.
Was nun die Behauptung betrifft, die ich hinsichtlich
der stereographischen Beziehung der Kugel auf die Ebene
zu Eingang dieses Paragraphen voranstellte, so ist sie ein
unmittelbarer Ausfluss aus dem Umstande, dass die Gleichungen
in E, F, G homogen von der nullten Dimension
sind
Es ist übrigens nicht schwer, sich auch ohne alle Formel von der Richtigkeit jener Behauptung Rechenschaft zu geben; man sehe die wiederholt citirten Arbeiten von C. Neumann und Töpler.
Wird eine Fläche conform auf eine zweite abgebildet, so
verwandelt sich jede auf ihr existirende complexe Function des
Ortes in eine Function derselben Art auf der zweiten Fläche.
Vielleicht ist es nützlich, ausdrücklich einem Missverständnisse
entgegenzutreten, welches hierbei entstehen könnte.
Derselben Function kleiner. Hierin
eben liegt es, dass der Werth
welche das Bogenelement der Kugel zum Bogenelement der
Ebene in Beziehung setzt. Hier ist
Nun wir die Kugel als Substrat unserer Betrachtungen
gewonnen haben, übertragen wir auf sie, was wir in den
§§. 3 und 4 betreffs rationaler Functionen und ihrer Integrale
haben kennen lernen. Wir gewinnen dadurch, dass
alle früher aufgestellten Sätze auch für unendlich grosses Ein besonders übersichtliches Beispiel von doch nicht zu elementarem
Charakter gibt die ist also (für Die beistehende Figur repräsentirt in schematischer Weise eines jener
20 Dreiecke und auf ihm den Verlauf der Strömungscurven; auf den
19 übrigen Dreiecken ist die Sache genau ebenso.z
und somit ausnahmslos gelten. Um so interessanter wird es,
sich auf der Kugel den Verlauf bestimmter rationaler Functionen
zu überlegen und über die Mittel zu ihrer physikalischen
Realisirbarkeit nachzudenkenIkosaedergleichwng (siehe Mathematische
Annalen, Bd. XII, p. 502 ff.). Dieselbe lautet, wie man weiss:z) eine Gleichung vom sechszigsten Grade. Die Unendlichkeitspunkte
von w fallen zu je 5 in 12 Punkte zusammen, welche
die Ecken eines Ikosaeders sind, das der Kugel, auf welcher wir z
deuten, einbeschrieben ist. Den 20 Seitenflächen dieses Ikosaeders
entsprechend zerlegt sich die Kugel in 20 gleichseitige sphärische Dreiecke.
Die Mittelpunkte dieser Dreiecke sind durch w dar. Hiernach kennt man (unter Einrechnung der
Unendlichkeitspuncte) von den Argumentes
Man wolle vor allen Dingen bemerken, dass Ortes auf unserer Kugel
ist; genügen doch x und y, für u und v eingesetzt, den früher
(§. 1) für letztere aufgestellten Differentialgleichungen. So
lange man in der Ebene operirt, könnte man denken, dass
diese Function vor den übrigen etwas Wesentliches voraus
habe; nach dem Uebergange zur Kugel ist hierzu keine Veranlassung
mehr. Und in der That verallgemeinert sich die
Bemerkung, auf die sich unsere Frage bezieht, sofort. Wenn
dass von
zwei complexen Functionen des Ortes im Sinne der gewöhnlichen
functionentheoretischen Ausdrucksweise jede eine Function
der anderen ist.
Wird dieses nun eine besondere Eigenthümlichkeit der genannten
Flächen sein? Sicher wird sich dieselbe auf alle
solche Flächen übertragen, die man auf einen Theil der Ebene
(oder der Kugel) conform beziehen kann. Diess folgt aus dem
letzten Satze des vorigen Paragraphen. Ich sage aber, dass
dieselbe Eigenthümlichkeit überhaupt allen Flächen zukommt,
womit implicite behauptet wird, dass man einen Theil einerbeliebigen Fläche auf die Ebene oder die Kugelfläche conform
übertragen kann.
Der Beweis gestaltet sich unmittelbar, wenn man die
Bestandteile E, F, G in dem Ausdrucke des Bogenelementes
so beschaffen werden, dass Identitäten entstehen,
wenn man in die Gleichungen (2)-(5) des vorigen Paragraphen
für p und q und gleichzeitig für u und v bez. x und y einführt.
Diess bedingt, wie man sofort ersieht, dass ,
wird. Hierdurch aber verwandeln sich jene Gleichungen
in die wohlbekannten:
Sie gehen also direct in jene Gleichungen über, durch welche
man Functionen des Argumentes
Zugleich erledigt sich, was hinsichtlich conformer Abbildung behauptet wurde. Denn ans der Form des Bogenelementes
folgt unmittelbar, dass unsere Fläche durch
Wenn man auf zwei Flächen zwei complexe Functionen
des Ortes kennt, und man bezieht die Flächen so aufeinander,
dass entsprechende Puncte respective gleiche Functionswerthe
aufweisen, so sind die Flächen conform auf einander
bezogen.
Es ist dies die Umkehr des ähnlich lautenden am Schlusse des vorigen Paragraphen aufgestellten Satzes.
Alle diese Theoreme haben, soweit sie sich auf beliebige
Flächen beziehen, für's Erste nur dann einen klaren Sinn,
wenn man seine Aufmerksamkeit auf kleine Stücke der
Flächen beschränkt, innerhalb deren die complexen Functionen
des Ortes weder Unendlichkeitspuncte noch Kreuzungspunctetheile gesprochen. Aber es liegt nahe, zu fragen, wie
sich die Verhältnisse gestalten, wenn man geschlossene
Flächen in ihrer ganzen Ausdehnung benutzt. Diese Frage
ist mit der weiteren Ideenentwickelung, die ich im folgenden
zu geben habe, auf das Innigste verknüpft; ihr speciell sind
die §§. 19--21 des Folgenden gewidmet.
Wir haben nunmehr alle Vorbedingungen, um die Entwickelungen
der ersten Paragraphen dieser Einleitung in
wesentlich neuer Weise aufzufassen und uns vermöge dieser
Auffassung zu einer grossen und allgemeinen Fragestellung
zu erheben, welche die Riemann'sche ist, und deren Präcisirung
und Beantwortung den eigentlichen Gegenstand der
gegenwärtigen Schrift zu bilden hat.
Das Primäre bei der bisherigen Darstellung bildete die
Function von einförmigen Strömungen,
diejenigen, bei denen in jedem Puncte der Kugel nur
eine Strömung statt hat. Und zwar sind es unter der Voraussetzung,
dass keine anderen Unstetigkeitspuncte statt haben,
als die in §. 2 definirten, die allgemeinsten einförmigen Strömungen,
welche es auf der Kugel gibt.
Es scheint von Vorneherein möglich, diese ganze Entwickelung
umzukehren: das Studium der Strömungen voranzustellen
und aus ihm erst die Theorie gewisser analytischer
Functionen zu entwickeln. Die Frage nach der allgemeinsten
in Betracht kommenden Strömung mag dann vorab durch
physikalische Betrachtungen beantwortet werden; geben uns
doch die experimentellen Anordnungen des §. 4 zusammen
mit dem Princip der Ueberlagerung das Mittel, um jede derartige
Strömung zu definiren! Die einzelne Strömung bestimmt
uns sodann, von einer Integrationsconstante abgesehen,
eine complexe Function des Ortes, deren allgemeinen Verlauf
Alles dieses ist so deutlich, dass eine genauere Ausführung
hier überflüssig erscheint, dass wir vielmehr sofort zu
der in Aussicht gestellten Verallgemeinerung schreiten können.
Auch diese bietet sich auf Grund der bisherigen Entwickelungen
fast mit Nothwendigkeit. Wir werden alle die Fragen,
welche wir gerade hinsichtlich der Kugelfläche formulirten,
in gleicher Weise aufwerfen können, wenn statt der Kugelfläche
eine beliebige geschlossene Fläche gegeben ist. Auch auf
ihr werden wir einförmige Strömungen und also complexe
Functionen des Ortes bestimmen können, deren Eigenschaften
wir anschauungsmässig erfassen. Die gleichzeitige Betrachtung
verschiedener Functionen des Ortes verwandelt hernach
die zu gewinnenden Ergebnisse in ebenso viele Lehrsätze der
gewöhnlichen Analysis.--Die Ausführung dieses Gedankenganges
ist die Riemann'sche Theorie; zugleich haben wir die
Haupteintheilung, welche bei der folgenden Exposition derselben
zu Grunde zu legen ist.
Die in diesem Paragraphen gegebene Darstellung weicht von
der durch Riemann selbst gegebenen zumal dadurch ab, dass Flächen
mit Randcurven vorab überhaupt nicht in Betracht gezogen werden
und also statt der Querschnitte, die von einem Randpuncte zu einem
zweiten laufen, sogenannte Rückkehrschnitte zur Verwendung gelangen
(vgl. C. Neumann, Vorlesungen über Riemann's Theorie der Abel'schen
Integrale, p. 291 ff.).
Für unsere Betrachtungen sind selbstverständlich alle diejenigen geschlossenen Fächen als aequivalent aufzufassen, die sich durch eindeutige Zuordnung conform auf einander abbilden lassen. Denn jede complexe Function des Ortes auf der einen Fläche wird sich bei einer solchen Abbildung in eine ebensolche Function auf der anderen Fläche verwandeln: die analytische Beziehung also, welche durch das Zusammenbestehen zweier complexer Functionen auf der einen Fläche versinnlicht wird, bleibt beim Uebergange zur zweiten Fläche durchaus ungeändert. Wenn man also z. B. (zufolge bekannter Entwickelungen) das Ellipsoid derart conform auf die Kugel beziehen kann, dass jedem Puncte desselben ein und nur ein Kugelpunct entspricht, so heisst diess für uns, dass das Ellipsoid ebenso geeignet ist, die rationalen Functionen und ihre Integrale zu repräsentiren, wie die Kugel.
Um so wichtiger ist es, ein Element kennen zu lernen,
welches nicht nur bei conformer, sondern überhaupt bei
Es ist immer nur an Umformung durch eindeutiger Umgestaltung einer Fläche ungeändert erhalten
bleibtstetige Functionen gedacht.
Ueberdies sollen bei den willkürlichen Flächen des Textes bis
auf Weiteres gewisse besondere Vorkommnisse ausgeschlossen sein.
Es ist am Besten, sich dieselben ohne alle singuläre Puncte zu denken;
erst später kommen Verzweigungspuncte und damit Selbstdurchsetzungen
der Fläche in Betracht (§. 13). Die Flächen dürfen jedenfalls keine
Doppelflächen sein, bei denen man von einer Flächenseite durch continuirliches
Fortschreiten auf der Fläche zur anderen Flächenseite gelangen
kann; man vergleiche indess §. 23. Ueberdiess wird vorausgesetzt--wie
man es immer thut, wenn man sich eine geschlossene
Fläche als fertig gegeben denkt--dass die Fläche durch eine endliche
Zahl von Schnitten in einfach zusammenhängende Theile zerlegt
werden kann.Es ist diess das Riemann'sche p: die Zahl der
Dass es unmöglich ist, zwei Flächen von verschiedenem
Damit soll keineswegs gesagt sein, dass diese Art geometrischer
Evidenz nicht noch der näheren Untersuchung bedürftig sei. Man
vergleiche die Erläuterungen von G. Cantor in Borchardt's Journal,
Bd. 84, p. 242 ff. Es bleiben inzwischen diese Untersuchungen von den
Darlegungen des Textes ausgeschlossen, da es für letztere Princip ist,
auf anschauungsmässige Verhältnisse als letzte Begründung zu recurriren.p eindeutig auf einander zu beziehen, scheint evidentdass
nämlich die Gleichheit des p die hinreichende Bedingung für
die Möglichkeit der eindeutigen Beziehung zweier Flächen abgibt.
Ich muss mich, was den Beweis dieses wichtigen Satzes
angeht, an dieser Stelle auf blosse Citate unter dem Texte
beschränken
Man sehe C. Jordan: Sur la déformation des surfaces in Liouville's Journal, ser. 2, Bd. 11 (1866). Einige Puncte, die mir besonderer Aufklärung zu bedürfen schienen, sind in den mathematischen Annalen, Bd. VII, p. 529, und Bd. IX, p. 476, besprochen.
Die Normalfläche für p mag man sich eine Kugel mit p
Anhängseln (Handhaben) versehen denken, wie folgende Figur
für
Eine ähnliche Normalfläche ist natürlich auch bei
Auf diesen Normalflächen mögen nun gewisse Querschnitte,
von denen wir im Folgenden Gebrauch zu machen haben,
festgelegt werden. Bei A, verbunden mit einer "Breitencurve" B das Querschnittsystem
bilden:
Allgemein gebrauchen wir
Wir wählen die Querschnitte derart, dass wir um jede
der p Handhaben eine Meridiancurve und eine Breitencurve
herumlegen. Wir wollen diese Querschnitte der Reihe nach mit
Wir haben uns nun mit der Aufgabe zu beschäftigen,
auf beliebigen (geschlossenen) Flächen die allgemeinsten einförmigen,
stationären Strömungen mit Geschwindigkeitspotential
zu definiren, immer unter der Voraussetzung, dass
keine anderen Unendlichkeitspuncte zugelassen werden sollen,
als die in §. 2 genannten Die Definition dieser Unendlichkeitspuncte bezog sich zunächst
nur auf die Ebene, bez. die Kugel. Aber es ist wohl klar, wie dieselbe
auf beliebige krumme Flächen zu übertragen ist: die Verallgemeinerung
ist so zu treffen, dass wir auf die alten Unendlichkeitspuncte
zurückkommen, wenn wir die Fläche und die stationären
Strömungen auf ihr durch conforme Abbildung auf die Ebene übertragen.--In
dieser Beschränkung hinsichtlich der Art der Unendlichkeitspuncte
liegt auch, wie ich hier nicht ausführen kann, dass nur
eine endliche Zahl von Unendlichkeitspuncten bei unseren Strömungen
möglich ist. Desgleichen folgt aus unseren Prämissen, wie beiläufig
hervorgehoben sei, dass von Kreuzungspuncten bei unseren Strömungen
jedenfalls auch nur eine endliche Zahl auftritt.
Wenn man die Art der Unendlichkeitsstellen nach Anleitung
des §. 2 beschränkt, wenn man ferner daran festhält,
dass die Summe sämmtlicher logarithmischer Residua allemal
gleich Null sein muss, so existiren auf unserer Fläche complexe
Functionen des Ortes, welche an beliebig gegebenen Stellen
in übrigens beliebig gegebener Weise unendlich werden und
überall sonst stetig verlaufen.
Mit den so bestimmten Functionen ist nun aber, für
Wir werden
eine solche Curve, oder auch mehrere neben einander herlaufende
Curven dieser Art ebensogut als Sitz constanter elektromotorischer
Kräfte betrachten können, wie diess in §. 4 mit Curvenzügen
geschah, die von einem Endpuncte zu einem zweiten hinlaufen.
Die Strömungen, welche wir dann erhalten, haben überhaupt Ueber die Periodicität des imaginären Theil's der Function soll
hiermit keinerlei Verfügung getroffen sein. In der That ist überall endliche
Strömungen und die zugehörigen complexen Functionen
des Ortes als überall endliche Functionen bezeichnen können.
Diese Functionen sind nothwendig unendlich vieldeutig. Denn
sie erhalten jeweils einen reellen, der angenommenen elektromotorischen
Kraft proportionalen Periodicitätsmodul, so oft
man die gegebene Curve in demselben Sinne überschreitetv bei gegebenem
u durch die Differentialgleichungen (1) der pag. 1 bis auf eine additive
Constante vollständig bestimmt und es unterliegen also die Periodicitätsmoduln,
welche v an den Querschnitten
Wir fragen, wie mannigfach die so definirten überall
endlichen Strömungen sein mögen. Offenbar sind zwei auf
derselben Fläche verlaufende Curven, als Sitz gleich starker
elektromotorischer Kräfte betrachtet, für unseren Zweck aequivalent,
wenn sie sich durch stetige Verschiebung über die
Fläche hin zur Deckung bringen lassen. Verzerrt man eine
Curve so, dass Curvenstücke auftreten, welche zweimal in
entgegengesetzter Richtung durchlaufen werden, so dürfen
dieselben einfach weggelassen werden. In Folge dessen beweist
man, dass eine jede geschlossene Curve einer ganzzahligen
Combination der Querschnitte , , wie diese im vorigen
Paragraphen definirt wurden, aequivalent ist.
In der That, man verfolge den Weg einer geschlossenen
Curve auf unserer Normalfläche Einen anderen Beweis siehe bei C. Jordan: Des contours tracés
sur les surfaces, in Liouville's Journal, ser. 2, Bd. 11 (1866).
Die in Figur 17 auf der Ringfläche verlaufende Curve
ist mit der anderen, welche rechter Hand gezeichnet ist,
durch blosse Verzerrung zur Deckung zu bringen, sie ist
also mit einer dreifachen Durchlaufung der Meridiancurve A
(vergl. Fig. 15) und einer einfachen Durchlaufung der Breitencurve
B aequivalent.--Sei ferner p Handhaben verläuft, kann man ein
Stück von ihr abtrennen, das sich durch blosse Verzerrung
in eine ganzzahlige Verbindung der betreffenden Meridiancurve
und der zugehörigen Breitencurve verwandeln lässt.
Nach Absonderung aller solcher Bestandtheile bleibt eine
geschlossene Curve übrig, die sich entweder unmittelbar in
einen einzelnen Punct der Fläche zusammenziehen lässt und
also jedenfalls keinen Beitrag zur elektrischen Strömung
liefert, oder die eine oder mehrere Handhaben völlig umschliesst,
wovon Figur 19 ein Beispiel aufweist:
Die Figur 20 erläutert, wie man eine solche Curve durch
Deformation verändern kann. Durch Fortsetzung des hierdurch
angedeuteten Processes verwandelt sie sich in einen
Curvenzug, der aus der inneren Randcurve der betreffenden
Handhabe und einer zugehörigen Meridiancurve besteht, dessen
Stücke aber beide zweimal in entgegengesetzter Richtung
durchlaufen werden. Also auch eine solche Curve gibt keinen
Beitrag zur Strömung. Man hätte dieses übrigens auch von
Vorneherein aus der Bemerkung ersehen können, dass die
jetzt betrachtete Curve, gleich einer solchen, die sich in einen
Wir erzielen daher durch Heranziehen beliebiger geschlossener
Curven nicht mehr, als durch geeignete Benutzung
der
Die allgemeinste von uns zu construirende überall endliche
Function ist diejenige, deren reeller Theil an den Querschnitten
beliebig vorgegebene Periodicitätsmoduln aufweist.
Wenn wir die verschiedenen im vorigen Paragraphen construirten
complexen Functionen des Ortes additiv zusammenfügen,
so erhalten wir eine Function, deren Willkürlichkeit wir
sofort übersehen. Indem wir die Bedingungen, die hinsichtlich
der Unendlichkeitsstellen ein für allemal vorgeschrieben
sind, nicht noch besonders erwähnen, können wir sagen:
dass unsere Function an beliebig gegebenen Stellen in beliebig
gegebener Weise unendlich wird und überdiess ihr reeller Theil
an den Querschnitten beliebig gegebene Periodicitätsmoduln
aufweist.
Ich sage nun, dass diess in der That die allgemeinste
Function ist, der auf unserer Fläche eine einförmige Strömung
entspricht. Zum Beweise mögen wir diese Behauptung auf
eine einfachere reduciren. Ist irgend eine complexe Function
der in Betracht kommenden Art auf unserer Fläche gegeben,
so haben wir im Vorhergehenden das Mittel, eine zugehörige
Function zu construiren, welche an denselben Stellen in derselben
Weise unendlich wird, und deren reeller Theil an den
Querschnitten Offenbar haben wir zu beweisen, dass einesolche Function nicht existirt, oder vielmehr, dass sie sich auf
eine Constante reducirt.
Und in der That ist dieser Beweis nicht schwierig. Was
eine Durchführung desselben in strenger Form betrifft, so
will ich mich darauf beschränken, zu bemerken, dass dieselbe
mit Hülfe des verallgemeinerten Wegen dieses Satzes siehe Beltrami, 1. c. p. 354. Ich will übrigens daran erinnern, dass man auch den Green'schen
Satz anschauungsmässig begründen kann. Vgl. Tait, On Green's
and allied other theorems, Edinburgh Transactions, 1869--70, p. 69 ff.Green'schen Satzes
gelingtanschauungsmässigem
Wege dieselbe Unmöglichkeit darthun.
Mag man dieselben wegen der unbestimmten Form, die sie
besitzen, vielleicht auch nicht als zwingend erachten
Wir mögen den besonderen Fall eine Strömungscurve geschlossen, so
sind es die nächstfolgenden auch. Dabei schliessen sie einen
kleineren und kleineren Theil der Kugelfläche ein. Es kann
also nicht fehlen, dass man zu einem Wirbelpuncte, d. h.
abermals zu einem Unendlichkeitspuncte geführt wird. Eine
überall endliche Strömung ist also in der That unmöglich.
Allerdings haben wir der Möglichkeit nicht gedacht, die in
dem Auftreten von Kreuzungspuncten liegt. Diese Puncte sind
jedenfalls nur, wie oben hervorgehoben, in endlicher Zahl vorhanden.
Es wird also nur eine endliche Zahl von Strömungscurven
Nehmen wir nun herumwinden, mag diess ein einfaches Umfassen
jener Handhabe sein, oder ein wiederholtes Umkreisen derselben
im Sinne der Meridian- oder der Breitencurven. In allen
Fällen lässt sich von der Strömungscurve ein Theil abtrennen,
der im Sinne des vorigen Paragraphen mit einer ganzzahligen
Combination der betreffenden Meridiancurve und der zugehörigen
Breitencurve aequivalent ist. Nun wächst u, der
reelle Theil der durch die Strömung definirten complexen
Function, fortwährend, wenn man längs einer Strömungscurve
fortschreitet. Andererseits liefern zwei Curven, welche
im Sinne des vorigen Paragraphen aequivalent sind, bei Durchlaufung
nothwendig dieselben Incremente von u. Es gibt
also eine Combination wenigstens einer Meridiancurve und
einer Breitencurve, deren Durchlaufung einen nicht verschwindenden
Zuwachs von u herbeiführt. Das Gleiche gilt nothwendig
von der betreffenden Meridiancurve oder der Breitencurve
selbst. Der Zuwachs aber, den u beim Durchlaufen
der Meridiancurve gewinnt, entspricht dem Ueberschreiten
der Breitencurve, und umgekehrt. Daher hat u nothwendig
wenigstens an einer Breitencurve oder Meridiancurve einen
nicht verschwindenden Periodicitätsmodul, und eine überall
Es scheint sehr nützlich, sich üher den allgemeinen Verlauf
der nunmehr definirten Strömungen an Beispielen zu
orientiren, damit nämlich unsere Sätze nicht blosse abstracte
Formulirungen bleiben, sondern mit concreten Vorstellungen
verbunden werden Eine solche Orientirung ist vermuthlich auch für den praktischen
Physiker von hohem Werthe. Derartige Zeichnungen gab ich bereits in dem Aufsatze: Vorderseite der Fläche zu
zeichnen braucht; denn auf der Rückseite verlaufen sie genau
gerade soUeber
den Verlauf der Abel'schen Integrale bei den Curven vierten Grades,
Mathematische Annalen, Bd. X. Allerdings haben die Riemann'schen
Flächen daselbst eine etwas andere Bedeutung, so dass bei ihnen nur
in übertragenem Sinne von einer Flüssigkeitsbewegung die Rede sein
kann; vergl. die Erläuterungen, welche darüber in §. 17 des Nachfolgenden
gegeben werden.
Beginnen wir mit überall endlichen Strömungen auf dem
Bei der conjugirten Strömung spielen die Breitencurven die analoge Rolle, wie soeben die Meridiancurven; dieselbe mag durch folgende Zeichnung erläutert sein:
Der Bewegungssinn ist in diesem Falle auf Vorder- und Rückseite derselbe.
Wir wollen nun den Ring So haben wir eine Fläche
und auf ihr ein Paar conjugirter Strömungen, wie es
die Figuren 23 und 24 erläutern.
Es haben sich, wie man erkennt, rechter Hand zwei
Kreuzungspuncte eingestellt (von denen natürlich nur einer auf
der Vorderseite gelegen und also sichtbar ist). Etwas Analoges
tritt jedesmal ein, wenn man überall endliche Strömungen
auf einer Fläche
Dieselben entstehen, wenn man auf sämmtlichen "Handhaben"
der Fläche einmal in den Breitencurven, das andere
Mal in den Meridiancurven elektromotorische Kräfte wirken
lässt. Auf den beiden unteren Handhaben sind dieselben in
gleichem Sinne orientirt, bei der oberen im entgegengesetzten.
Von den Kreuzungspuncten liegen zwei bei a und b, der
dritte bei c, der vierte an der entsprechenden Stelle der
Rückseite. Es sind die Kreuzungspuncte bei a und b in
Figur (25) nur desshalb schwer zu erkennen, weil am Rande
der Figur bei der von uns gewählten Darstellungsweise eine
perspectivische Verkürzung eintritt und daher beide im
Kreuzungspuncte zusammentreffende Strömungscurven den
Rand zu berühren scheinen. Denkt man sich die (in entgegengesetzter
Richtung) stattfindenden Strömungen auf der
Rückseite der Fläche hinzu, so kann über die Natur dieser
Puncte wohl keine Unklarheit bestehen.
Gehen wir nun zum Ringe
und nun die linker Hand bereits sehr schmal gewordene
"Handhabe" vollends zur Curve zusammenziehen, um sie dann
wegzuwerfen. So ist aus der überall endlichen Strömung auf
der Fläche eine Strömung mit zwei logarithmischen Unstetigkeitspunkten
auf der Fläche geworden. Die Figuren
haben nämlich folgende Gestalt angenommen:
Die beiden Kreuzungspuncte von (23), (24) sind geblieben;
m und n sind die beiden logarithmischen Unstetigkeitspuncte. Und
zwar sind dieselben im Falle der Figur 29 Wirbelpuncte von entgegengesetzt
gleicher Intensität, im Falle der Figur 30 Quellenpuncte
von entgegengesetzt gleicher Ergiebigkeit. Dabei ist es
wieder eine Folge der von uns gewählten Projectionsart, wenn
im zweiten Falle sämmtliche Strömungscurven, von einer einzigen
abgesehen, in m und n den Rand zu berühren scheinen.
Wollen wir endlich m und n zusammenrücken lassen, so
dass ein algebraischer Unstetigkeitspunct von einfacher Multiplicität
entsteht, so kommen folgende Zeichnungen, bei
denen, wie man beachten mag, die Kreuzungspuncte nach
wie vor an ihrer Stelle geblieben sind:
Ich will diese Figuren nicht noch mehr vervielfältigen,
da weitere Beispiele nach Art der nunmehr betrachteten
leicht zu bilden sind. Nur der eine Umstand werde noch
hervorgehoben. Die Zahl der Kreuzungspunkte einer Strömung
wächst offenbar mit dem p der Fläche und mit der
Zahl der Unendlichkeitspunkte. Algebraische Unendlichkeitspuncte
von der Multiplicität r mögen als p um eine Einheit
nach unseren Beispielen eine Zunahme der Zahl der Kreuzungspunkte
um zwei Einheiten verbunden. Hiernach wird
man vermuthen, dass die Zahl der Kreuzungspuncte überhaupt
sein wird. Ein strenger Beweis dieses Satzes auf
Grund der bisher entwickelten Anschauungen hat jedenfalls
keine besondere Schwierigkeit
Zu einem solchen Beweise scheint vor allen Dingen nothwendig, sich über die verschiedenen Möglichkeiten klar zu werden, die betreffs der Ueberführung einer gegebenen Fläche in die Normalfläche des §. 8 vorliegen.
Der Beweisgang des §. 10 setzt uns in den Stand, von der allgemeinsten auf einer Fläche existirenden complexen Function des Ortes uns dadurch eine concretere Vorstellung zu machen, dass wir dieselbe aus einzelnen Summanden von möglichst einfacher Eigenschaft additiv zusammensetzen.
Betrachten wir zuvörderst überall endliche Functionen.
Es seien linear abhängig heissen, wenn zwischen ihnen
eine Relation
mit constanten Coëfficienten besteht. Eine solche Beziehung
liefert entsprechende Gleichungen für die u
selbst hervorgehen. Es ergiebt sich so, dass man auf mannigfachste
Weise linear unabhängige überall endliche Potentiale
finden kann, dass sich aber aus ihnen jedes andere überall
endliche Potential linear zusammensetzt:
In der That kann man u. Dann
ist
Um nun von den Potentialen u zu den überall endlichen
Functionen
Sei jetzt
Denn wenn zwischen
mit constanten Coëfficienten bestünde, so würde dieselbe die folgenden Relationen begründen:
aus denen vermöge der angegebenen Beziehungen das widersinnige Resultat
folgen würde.
Es sei nun ferner
Die vier Functionen sind ebenfalls linear unabhängig.
In der That könnte man aus jeder linearen Relation:
durch Benutzung der zwischen den
aus denen durch Integration eine lineare Abhängigkeit zwischen
So vorwärts schliessend bekommt man endlich
wo jedes v mit dem gleichbezeichneten u zusammengehört.
Wir setzen
besteht, unter
Die p überall endlichen Functionen
sind linear unabhängig.
Wenn nämlich eine lineare Abhängigkeit bestünde, so
könnte man in ihr das Reelle und Imaginäre sondern und
erhielte dadurch lineare Beziehungen zwischen den u und v.
Des Weiteren aber folgt: Jede beliebige überall endliche
Function setzt sich aus unseren in der Form
zusammen:
In der That können wir durch geeignete Wahl der complexen
Constanten w an den
Diess ist das Theorem, welches wir hinsichtlich der Darstellung
überall endlicher Functionen im gegenwärtigen Paragraphen
aufzustellen hatten. Der Uebergang zu Functionen
mit Unendlichkeitsstellen ist nun sehr leicht zu bewerkstelligen.
Es seien
construiren, von denen jede einzelne nur in einem der Puncte
wird dann in Die gesuchte Function ist also in
der Gestalt darstellbar:
womit wir auch das allgemeine hier in Betracht kommende Theorem gefunden haben.
Dasselbe entspricht offenbar der Zerlegung, welche wir
in §. 4 für die auf der Kugel existirenden complexen Functionen
betrachteten, und die wir damals, wie man es gewöhnlich
thut, der Lehre von der Partialbruchzerlegung rationaler
Functionen entnahmen.
Die Functionen dass mit diesen Angaben die Vieldeutigkeit von in der
That erschöpft ist. Zum Beweise müssen wir auf den Begriff
der Aequivalenz zweier Curven auf gegebener Fläche zurückgreifen,
den wir in §. 9 zunächst zu anderem Zwecke einführten.
Da die Differentialquotienten von
Es wird uns nun insbesondere interessiren, eindeutigealgebraische Unendlichkeitspuncte zulassen
und dann dafür sorgen, dass die einfache algebraische Unstetigkeitspuncte in Betracht zu
ziehen. Denn wir wissen ja aus §. 3, dass der m Puncte als einfache
algebraische Unendlichkeitspuncte der gesuchten Function
gegeben. So wollen wir zuerst irgend m Functionen des Ortes
bilden: Z
setzt sich die allgemeinste complexe Function des Ortes,
welche an den gegebenen Stellen einfache algebraische Unstetigkeiten
besitzt, dem vorigen Paragraphen zufolge in der
Gestalt zusammen:
unter Wir finden also lineare
homogene Gleichungen für die Constanten
Wir wollen annehmen, dass diese Gleichungen linear unabhängig sind
Sind sie es nicht, so ist die nächste Folge, dass die Zahl der in
m Puncten unendlich werdenden eindeutigen Functionen grösser wird
als die im Texte angegebene. Man kennt die Untersuchungen, welche
zumal Roch über diese Möglichkeit angestellt hat (Borchardt's Journal
Bd. 64; vergl. auch, was die algebraische Formulirung betrifft:
Brill und Nöther, über die algebraischen Functionen und ihre Verwendung
in der Geometrie, Mathematische Annalen, Bd. 7). Ich kann
diesen Untersuchungen im Texte nicht folgen, obgleich sie sich mit
Leichtigkeit an die Darstellung des Abel'schen Theorems anschliessen
lassen, wie sie Riemann in Nr. 14 der Abel'schen Functionen giebt,--und
will nur, mit Rücksicht auf spätere Entwickelungen des Textes
(cf. §. 19), darauf hinweisen, dass eine lineare Abhängigkeit zwischen
den Gleichungen jedenfalls nicht eintritt, wenn m die Gränse
überschreitet.
Unter der genannten Voraussetzung giebt es bei m beliebig
vorgeschriebenen einfachen algebraischen Unstetigkeitspuncten
nur dann eindeutige Functionen des Ortes, wenn
ist, und zwar enthalten diese Functionen linear
vorkommende willkürliche Constante.
Man denke sich jetzt die m Unendlichkeitspuncte als beweglich.
So treten m neue Willkürlichkeiten in die Betrachtung
ein. Ueberdies ist klar, dass man beliebige m Puncte
auf der Fläche durch continuirliche Verschiebung in beliebige
m andere verwandeln kann. Wir können also sagen, indem
wir uns übrigens immer der Voraussetzung erinnern, die
wir gemacht haben:
Die Gesammtheit der eindeutigen Functionen mit m einfachen
algebraischen Unstetigkeitspuncten, die auf gegebener
Fläche existiren, bildet ein Continuum von Abmessungen.
Nun wir die Existenz und die Mannigfaltigkeit der eindeutigen
Functionen haben kennen lernen, wollen wir auf
möglichst anschauungsmässigem Wege noch eine andere wichtige
Eigenschaft derselben entwickeln. Die Zahl m der Unendlichkeitspuncte
unserer Function hat nämlich für letztere
eine noch viel weiter gehende Bedeutung. Ich sage, dass
unsere Function jeden beliebig vorgegebenen Werth
genau an
Zum Beweise betrachte man den Verlauf der Curven
m Unendlichkeitspuncte
hindurchschickt. Andererseits folgt aus Betrachtungen,
wie wir sie in §. 10 entwickelten, dass jeder Curvenast
mindestens einen Unendlichkeitspunct enthalten muss.
Hiernach ist für sehr grosse einen Schnittpunct gemein haben:
Hieraus aber folgt die Sache allgemein. Denn die Curven
, können bei continuirlicher Aenderung von
, niemals einen Schnittpunct verlieren. Es könnte diess
nämlich nach dem Gesagten nur so geschehen, dass mehrere
Schnittpuncte zusammenrückten, um dann in geringerer Zahl
wieder aus einander zu treten. Nun bilden die Curven
Es ist übrigens für das Folgende nützlich, sich die Vertheilung
der Werthe von m beweglichen Schnittpuncten der
Curven
Analoge Betrachtungen, wie wir sie hiermit für eindeutige
Functionen erledigt haben, finden natürlich auch bei
vieldeutigen Functionen ihre Stelle. Ich gehe auf sie nur
desshalb nicht ein, weil es die im Folgenden festgehaltene
Umgränzung des Stoffes nicht nöthig macht. Auch kommt
nur in den allereinfachsten Fällen ein übersichtliches Resultat.
Sei in dieser Beziehung daran flüchtig erinnert, dass eine
Statt die Vertheilung der Functionswerthe Ich spreche im Folgenden durchweg von der Ebene, statt von
der Kugel, um mich möglichst an die gewöhnliche Auffassungsweise
anzuschliessen. Man vergleiche hierzu, was Riemann in Nr. 12 seiner Abel'schen
Functionen über die Abbildung durch überall endliche Functionen
sagt.conforme
Abbildung, welche demzufolge (nach §. 5) von unserer
ursprünglichen Fläche entworfen wird. Wir beschränken
uns dabei wieder, der Einfachheit halber, auf den Fall der
eindeutigen Functionen, trotzdem es besonderes Interesse hat,
gerade auch die Abbildung durch mehrdeutige Fuuctionen in
Betracht zu ziehen
Eine kurze Ueberlegung zeigt, dass wir so gerade zu der
mehrblättrigen, mit Verzweigungsverzweigungspuncten versehenen,
über der -Ebene ausgebreiteten Fläche geführt werden,
welche man gewöhnlich als Riemann'sche Fläche schlechthin
bezeichnet.
In der That, sei m die Zahl der (einfachen) Unendlichkeitspuncte,
welche jeden Werth
auf der gegebenen Fläche m-mal an. Daher überdeckt die
conforme Abbildung unserer Fläche auf die -Ebene die
letztere im Allgemeinen mit m Blättern. Eine Ausnahmestellung
nehmen nur diejenigen Werthe von
Wir haben oben (§. 11) ohne ausgeführten Beweis angegeben,
dass die Zahl der Kreuzungspuncte von m und dem p einer mehrblättrigen Fläche verknüpft [unter p die
Maximahlzahl der Rückkehrschnitte verstanden, die man auf dieser
mehrblättrigen Fläche ziehen kann, ohne sie zu zerstücken].
Wegen der expliciten Formulirung dieser Relationen vergleiche
man die gewöhnlichen Lehrbücher, sodann insbesondere die Schrift
von C. Neumann: Das Dirichlet'sche Princip in seiner Anwendung
auf die Riemann'schen Flächen, Leipzig 1865.Aber zugleich erkennen wir die Bedeutung, welche diese
mehrblättrige Fläche für unsere Zwecke beanspruchen kann.
Alle Flächen, welche durch conforme Abbildung eindeutig
aus einander hervorgehen, sind für uns gleichbedeutend (§. 8).
Wir können also die m-blättrige Fläche über der Ebene
ebensogut zu Grunde legen, wie die bisher benutzte Fläche,
die wir uns ohne jedes singuläre Vorkommniss frei im Raume
gelegen vorstellten. Dabei kommt die Schwierigkeit, die man
in dem Auftreten der Verzweigungspuncte erblicken könnte,
von vorneherein in Wegfall: denn wir werden nur solche
Strömungen auf der mehrblättrigen Fläche in Betracht ziehen,
welche sich in der Umgebung der Verzweigungspuncte derart
verhalten, dass sie rückwärts auf die im Raume gelegene ursprüngliche
Fläche übertragen dort keine anderen singulären
Vorkommnisse darbieten, als die ohnehin gestatteten. Hierzu
ist nicht einmal nöthig, dass man eine entsprechende imsie
mögen selbst mit mehreren Blättern überdeckt sein, die unter
sich durch Verzweigungspuncte, beziehungsweise Verzweigungsschnitte
zusammenhängen. Aber welche unter den unbegränzt
vielen, sonach gleichberechtigten Flächen wir auch der Betrachtung
zu Grunde legen wollen: wir müssen zwischen
wesentlichen Eigenschaften unterscheiden, welche allen gleichberechtigten
Flächen gemeinsam sind, und unwesentlichen
Eigenschaften, die der particulären Fläche anhaften. Zu
ersteren gehört die Zahl p, es gehören dahin die "Moduln",
von denen in §. 18 ausführlicher die Rede sein soll; zu
letzteren bei mehrblättrigen Flächen die Art und Lage der
Verzweigungspuncte. Wenn wir uns eine ideale Fläche
denken, die nur jene wesentlichen Eigenschaften besitzen
soll, so entsprechen auf ihr den Verzweigungspuncten der
mehrblättrigen Fläche gewöhnliche Puncte, die, allgemein zu
reden, vor den übrigen Puncten Nichts voraus haben, und
die erst dadurch beachtenswerth werden, dass bei der conformen
Abbildung, die von der idealen Fläche zur particulären
hinüberführt, in ihnen Kreuzungspuncte entstehen.
Das Resultat ist also dieses, Es entsteht hier die interessante Frage, ob es immer möglich
ist, mehrblättrige Flächen mit beliebigen Verzweigungspuncten conform
in solche zu verwandeln, die durchaus keine singuläre Stelle besitzen
Diese Frage greift über die im Texte zu behandelnden Gegenstände
hinaus, aber ich habe sie immerhin anführen wollen. Gelingt es
im einzelnen Falle nicht, so haben die vorgängigen Betrachtungen
des Textes doch noch die Bedeutung, dass sie am einfachsten Beispiele
die allgemeinen Ideen haben entstehen lassen und dadurch die
Behandlung auch der complicirteren Vorkommnisse ermöglicht haben.dass wir betreffs der Flächen,
auf denen wir operiren dürfen, eine grössere Beweglichkeit gewonnen
haben, und dass wir zugleich die Zufälligkeiten erkennen,
welche die Betrachtung jeder einzelnen besonderen
Fläche mit sich bringt. Insbesondere werden wir im Folgenden,
so oft es nützlich scheint, mehrblättrige Flächen über
der
Vergl. Kirchhoff; Monatsberichte der Berliner Akademie von 1875, l. c. (wo übrigens explicite nur die Beziehung zwischen Ringfläche und ebenem Rechtecke besprochen wird).
Ich habe mich im vorigen Paragraphen ziemlich kurz
fassen können, da ich die gewöhnliche Riemann'sche Fläche
über der Ebene mit ihren Verzweigungspuncten als bekannt
ansah. Immerhin wird es nützlich sein, wenn ich das Gesagte
an einem Beispiele erläutere. Wir wollen einen Ring
Wir wollen die Ringfläche als gewöhnlichen
Torus voraussetzen, der durch Rotation
eines Kreises um eine denselben nicht schneidende
Axe seiner Ebene entsteht. Sei R der Abstand seines
Mittelpunctes von der Axe,
Wir führen die Rotationsaxe als Z-Axe,
den Punct O der Figur als Anfangspunct eines
rechtwinkligen Coordinatensystems ein und
unterscheiden die durch X-Axe bilden. Dann hat
man für einen beliebigen Punct der Ringfläche:
Daher wird das Bogenelement:
oder:
wo
gesetzt sein soll.
Nach Formel (3) haben wir eine conforme Abbildung
der Ringfläche auf die Die conforme Abbildung der
Ringfläche überdeckt daher ein Rechteck der Ebene, wie es
durch folgende Figur vorgestellt wird:
Ich habe dabei in der Figur der Kürze halber statt
p geschrieben.--Wollen wir uns die
Beziehung zwischen Rechteck und Ringfläche recht anschaulich
vorstellen, so denke man sich ersteres aus dehnsamem
Materiale verfertigt und nun die gegenüberstehenden Kanten
des Rechtecks ohne Torsion zusammengebogen. Oder auch,
man denke sich den Ring von analoger Beschaffenheit, zerschneideZ-Axe aus
auf die
Natürlich erblickt man nur die Oberseite der Ringfläche, die auf der Rückseite abgebildeten Quadranten 3 und 4 werden beziehungsweise von 2 und 1 verdeckt.
Sei nun andererseits bei reellem
wobei ich mir (wie es in der Figur angedeutet ist) die beiden
Halbblätter, welche die positive Halbebene überlagern, schraffirt
denken will. Dabei sollen die Verzweigungsschnitte mit
den geradlinigen Strecken zwischen
Diese zweiblättrige Fläche repräsentirt, wie man weiss,
die Verzweigung von w durchweg einen positiven reellen Theil besitzt. Wir
betrachten nun das Integral
Dasselbe liefert uns in bekannter Weise die Abbildung unserer zweiblättrigen Fläche ebenfalls auf ein Rechteck, dessen nähere Beziehung zur zweiblättrigen Fläche durch folgende Figur gegeben ist, auf welcher man die Schraffirungen und sonstigen Unterscheidungen der Figur (37) wiederfindet:
Dem oberen Blatte von Figur (37) entspricht die linke
Seite dieser Figur. Man beachte vor Allem, wie sich die
Abbildung für die Umgebung der Verzweigungspuncte der
zweiblättrigen Fläche gestaltet. Vielleicht ist es am einfachsten,
die Sache sich so vorzustellen, dass man von (37) zunächst
durch stereographische Projection zu einer zweimal überdeckten
Kugelfläche übergeht, welche auf einem Meridian
vier Verzweigungspuncte trägt,--dass man die so erhaltene
Fläche durch einen längs des Meridians verlaufenden Schnitt
in vier Halbkugeln zerlegt, deren einzelne man durch geeignete
Dehnung und Deformirung in der Nähe der vier
Verzweigungspuncte in ein ebenes Rechteck verwandelt,--dass
man endlich die so entstehenden vier Rechtecke entsprechend
den Beziehungen zwischen den vier Halbkugeln
nach Art von Figur (38) neben einander legt. Man sieht
auf diese Art auch deutlich, dass in Figur (38) immer zwei
(zusammengehörige) Randpuncte denselben Punct der ursprünglichen
Fläche bezeichnen.
Um nun zwischen dem Ringe und der zweiblättrigen
Fläche die gewünschte Beziehung zu erzielen, haben wir nur
dafür zu sorgen, dass das Rechteck der Figur (38) durch
passende Wahl des Moduls ähnlich wird. Eine proportionale Vergrösserung des einen
Rechtecks (welches auch eine conforme Umgestaltung ist)
bringt dasselbe sodann mit dem anderen Rechteck zur Deckung
und vermittelt so eine eindeutig-conforme Abbildung der zweiblättrigen
Fläche auf die Ringfläche (oder der letzteren auf
die erstere). Es wird wiederum genügen, das Sachverhältniss
durch eine Figur zu kennzeichnen, dieselbe entspricht genau
der eben gegebenen Figur (36):
Die Schraffirung soll sich dabei nur auf die Vorderseite der Ringfläche beziehen; auf der Rückseite ist die untere Hälfte der Figur schraffirt zu denken, die obere frei zu lassen.--
Die conforme Abbildung, welche wir wünschten, ist hiermit
thatsächlich geleistet. Wir wollen jetzt rückwärts die
Strömung auf der Ringfläche bestimmen, durch deren Vermittelung
im Sinne des §. 14 die Abbildung zu Stande kommt.
Dieselbe wird an den mit z-Ebene (Figur 37) auf
das Rechteck der Figur (38), wie die Figuren (40), (41) angeben.
Man hat nun einfach diese Zeichnungen in derselben Weise zusammenzubiegen, wie es bei Figur (35) geschildert wurde, um die Ringfläche und auf ihr die gewünschten Curvensysteme zu erhalten. Das Resultat ist das folgende:
Dabei erscheinen in Figur (42) die vier Kreuzungspuncte der Strömung vermöge der gewählten Projectionsart als Berührungspuncte der Niveaucurven mit der scheinbaren Contour der Ringfläche.
Sei Diese geometrische Umsetzung ist natürlich keineswegs nothwendig;
wir erreichen durch dieselbe nur den Anschluss an die gewöhnlich
eingehaltene Darstellungsweise.m algebraischen, einfachen
Unendlichkeitspuncten. Wir verwandeln unsere Fläche
nach Anleitung jenes Paragraphen in eine m-blättrige Flächein welche Functionen des Argumentes die bisher
untersuchten complexen Functionen des Ortes übergehen mögen.
Man erinnere sich dabei der Entwickelungen des §. 6.
Seizunächst w eine complexe Function des Ortes, welche auf
unserer Fläche, ebenso wie eindeutig ist. Vermöge der
Festsetzungen, die hinsichtlich der Unendlichkeitspuncte unserer
Functionen und insbesondere der eindeutigen Functionen getroffen
worden sind, ergibt sich sofort, dass w als Function
von wesentlich singulären Punct
hat. Ueberdiess ist w auf der m-blättrigen über der z-Ebene
ausgebreiteten Fläche, so gut wie auf der ursprünglichen
Fläche, eindeutig. Daher folgt auf Grund bekannter Sätze:
dass w eine algebraische Function von z ist.
Dabei ist die Möglichkeit an sich nicht auszuschliessen,
dass die m Werthe von w, welche demselben z entsprechen,
zu je m sein muss). Aber jedenfalls können wir solche eindeutige
Functionen w auswählen, bei denen dieses nicht der
Fall ist. Wir bestimmten oben (§. 13) die eindeutigen Functionen,
indem wir ihre Unendlichkeitspuncte willkürlich annahmen.
Wir haben es daher in der Hand, das erwähnte
Vorkommniss jedenfalls zu vermeiden: wir brauchen nur die
Unendlichkeitspuncte von w so anzunehmen, dass nicht jedesmal
z aufweisen. Dann kommt:
Die irreducibele Gleichung, welche zwischen w und z besteht:
hat in w die Ordnung.
Ebensogut wird sie in z natürlich die n die Gesammtmultiplicität der Unendlichkeitspuncte
ist, die w aufweist.
Aber die Beziehung dieser Gleichung ein Werthepaar w, z, das der Gleichung
genügt, und umgekehrt gehört zu jedem solchen Werthepaarew und z als
Parallel-Coordinaten, die zwischen ihnen bestehende Gleichung durch
eine Curve deutet, so sind es, wie man weiss, die Doppelpuncte dieser
Curve, welche jenen besonderen Vorkommnissen entsprechen.Gleichung
und Fläche sind sozusagen eindeutig auf einander bezogen.
Es sei jetzt z. Dann
kann man die Art dieser algebraischen Function, nachdem einmal
die Gleichung dass eine rationale Function von w und z ist,
und dass auch umgekehrt jede rationale Function von w und z eine
Function vom Charakter des abgibt. Das Letztere ist selbstverständlich.
Denn eine rationale Function von
Vergl. die eingehende Beweisführung bei Prym, Borchardt's Journal, Bd. 83, p. 251 ff.: Beweis eines Riemann'schen Satzes.
(wo z, und also,
als algebraische Function, eine rationale Function von z. Aus
m beliebigen der so entstehenden Gleichungen kann man
z geworden ist.--
Von diesem Satze ausgehend bestimmt man nun auch
sofort den Charakter derjenigen Functionen von z, welche
durch die von uns in Betracht gezogenen mehrdeutigen Functionen
des Ortes geliefert werden. Sei W eine solche Function.
Dann ist W jedenfalls eine analytische Function von z; manDifferentialquotienten W bezieht
sich ja nur auf constante Periodicitätsmoduln, welche, in beliebiger
Vielfachheit genommen, dem Anfangswerthe additiv
hinzutreten können. Daher ist w und z, und es stellt sich also
W als Integral einer solchen Function dar:
Der umgekehrte Satz, dass jedes solche Integral eine complexe Function des Ortes in unserer Fläche abgibt, welche zu der von uns betrachteten Functionsclasse gehört, ist auf Grund bekannter Entwickelungen selbstverständlich. Diese Entwickelungen beziehen sich einmal auf das Unendlichwerden der Integrale, andererseits auf die Werthänderungen, welche die Integrale durch Wechsel des Integrationsweges erleiden. Ein näheres Eingehen hierauf scheint an dieser Stelle unnöthig.--
Wir sind, wie wir sehen, zu einem wohlumgränzten Resultate
geführt worden. Ist erst einmal die algebraische Gleichung
bestimmt, welche die Abhängigkeit zwischen z und dem
in hohem Maasse willkürlichen w definirt, so sind die übrigen
Functionen des Ortes der Art nach wohlbekannt; sie decken
sich in ihrer Gesammtheit mit den rationalen Functionen von
w und z, und mit den Integralen solcher Functionen.
Es wird gut sein, dieses Resultat am Falle der wiederholt
betrachteten Ringfläche z und w werden wir dieselben zu Grunde legen, die
im vorigen Paragraphen besprochen wurden, und von denen
die erstere durch die Figuren (42), (43) erläutert wird. Die
zwischen ihnen bestehende Gleichung lautet einfach, wie wir
wissen:
und es verwandeln sich also die Integrale elliptische Integrale zu bezeichnen
pflegt. Unter ihnen gibt es, nach §. 12, ein einziges "überall
endliches" Integral. Aus der in Figur (38) gegebenen AbbildungIntegral erster
Gattung. Die zugehörigen Niveaucurven und Strömungscurven
sind dieselben, welche in Figur (21) und (22) dargestellt sind.
Aber auch diejenigen Functionen, denen die Figuren (29) und
(30), bez. (31) und (32) entsprechen, sind in der gewöhnlichen
Analysis wohlbekannt. Wir haben das einemal eine
Function mit zwei logarithmischen Unstetigkeitspuncten, das
andere Mal eine solche mit nur einem algebraischen Unstetigkeitspuncte.
Als Functionen von z betrachtet geben dieselben
solche elliptische Integrale ab, welche man als Integrale dritter
Gattung bez. zweiter Gattung zu bezeichnen pflegt.
Mit den Entwickelungen des vorigen Paragraphen ist der Zielpunct, den wir uns mit der allgemeinen Fragestellung des §. 7 gesteckt haben, thatsächlich erreicht. Wir haben auf beliebiger Fläche die allgemeinsten für uns in Betracht kommenden complexen Functionen des Ortes bestimmt und nun die analytischen Abhängigkeiten derselben von einander definirt, indem wir zusahen, wie alle von einer, übrigens beliebig gewählten, eindeutigen Function des Ortes im Sinne der gewöhnlichen Analysis abhängig sind. Es bleibt uns also, um unseren Gedankengang abzuschliessen, nur noch ein Umblick zu halten, was Alles durch unsere Betrachtungen gewonnen sein mag. Wir haben dann allerdings keineswegs den vollen Inhalt aber doch die Grundlage der Riemann'schen Theorie gewonnen, und es kann wegen weiterer Ausführungen auf Riemann's Originalarbeit sowie die sonstigen Darstellungen der Theorie verwiesen werden.
Constatiren wir zunächst, dass es in der That die Gesammtheit
der algebraischen Functionen und ihrer Integrale
ist, welche durch unsere Untersuchung umspannt wird. Denn
wenn eine beliebige algebraische Gleichung z-Ebene eine zugehörige mehrblättrige Riemann'sche
Fläche construiren und nun auf dieser einförmige Strömungen
und complexe Functionen des Ortes studieren (vergl. §. 15).
Wir fragen, ob das Studium dieser Functionen durchVieldeutigkeit
der Integrale war, welche so lange einen Fortschritt
in ihrer Theorie verhindert hat. Dass Integrale durch
das Auftreten logarithmischer Unstetigkeitspuncte vieldeutig
werden, hatte schon Cauchy erkannt. Aber erst durch die
Riemann'sche Fläche ist die andere Art von Periodicität,
welche in dem Zusammenhange der Fläche ihren Grund hat
und an den Querschnitten der Fläche gemessen wird, uns
völlig deutlich geworden.--Ein anderer Punct ist dieser.
Man hat sich von je bei der Untersuchung der Integrale der
Umformung durch Substitution bedient, ohne sich indess über
eine bloss empirische Verwerthung derselben beträchtlich zu
erheben. Bei Riemann's Theorie ist eine umfangreiche Classe
von Substitutionen von selbst gegeben und in ihrer Wirkung
zu beurtheilen. Die Variabelen w und z sind für uns nur
irgend zwei, von einander unabhängige, eindeutige Functionen
des Ortes; wir können statt ihrer ebensogut zwei andere,
w und z und ebensowohl
letztere als rationale Functionen von zufälligen Eigenschaften unserer Functionen erkennen
wir also wesentliche, welche bei eindeutiger Umformung
ungeändert bleiben. Und vor Allem tritt uns in der Zahl p
von vorneherein ein solches invariantes Element entgegen.--Indem
die Riemann'sche Theorie die beiden hiermit bezeichneten
Schwierigkeiten, welche frühere Bearbeiter gehemmt
hatten, bei Seite räumt, gelangt sie unmittelbar zu
dem Satze, den wir in §. 10 aufstellten, und der die Willkürlichkeit
der in Betracht zu ziehenden Functionen bestimmt.
Ich meine den Satz, dass man (unter den wiederholt angegebenen
Beschränkungen) die Unendlichkeitspuncte der Function
und die Periodicitätsmoduln ihres reellen Theiles an den Querschnitten
als willkürliche und hinreichende Bestimmungsstücke
derselben erachten darf.--
So etwa stellt sich die Bilanz, wenn man die functionentheoretischen
Interessen, wie es unter Mathematikern
zu geschehen pflegt, voranstellt. Aber vergessen wir nicht,physikalischen Problemen unmittelbar
zu Verwerthung gelangt. In der unendlichen Mannigfaltigkeit
dieser Strömungen orientirt uns die Riemann'sche
Theorie, indem sie auf den Zusammenhang hinweist, der
zwischen diesen Strömungen und den algebraischen Functionen
der Analysis statt hat.
Wir können endlich den geometrischen Gesichtspunct hervorkehren,
und die Riemann'sche Theorie als ein Mittel betrachten,
um die Lehre von der conformen Abbildung geschlossener
Flächen auf einander der analytischen Behandlung
zugänglich zu machen. Eben diese Auffassung ist es, der ich
im folgenden, dritten Abschnitte meiner Darstellung Ausdruck
zu geben bemüht bin. Es wird nicht nöthig sein, schon an
dieser Stelle ausführlicher hierauf einzugehen.
In Riemann's eigenem Gedankengange, wie ich ihn vorstehend
zu schildern versuchte, veranschaulicht die Riemann'sche
Fläche nicht nur die in Betracht kommenden
Functionen, sondern sie Vergl. die betreffenden Bemerkungen der Vorrede.definirt dieselben. Es scheint möglich,
diese beiden Dinge zu trennen: die Definition der Functionen
von anderer Seite zu nehmen und die Fläche nur als
Mittel der Veranschaulichung beizubehalten. Das ist es in der
That, was von der Mehrzahl der Mathematiker um so lieber
geschehen ist, als Riemann's Definition der Function bei genauerer
Untersuchung beträchtliche Schwierigkeiten mit sich
bringt
Dann aber ist von selbst eine grosse Verallgemeinerung
der ursprünglichen Auffassung gegeben. Bislang galten uns
zwei Flächen nur dann als gleichwerthig, wenn die eine aus
der anderen durch eindeutige conforme Abbildung entstand.
Jetzt ist kein Grund mehr, an der Conformität der Abbildung
festzuhalten. Jede Fläche, welche durch stetige Abbildung eindeutig
in die gegebene verwandelt werden kann, überhaupt jedes
geometrische Gebilde, dessen Elemente sich stetig eindeutig auf
die ursprüngliche Fläche beziehen lassen, kann ebensowohl zur
Versinnlichung der in Betracht zu ziehenden Functionen gebraucht
werden. Ich habe diesem Gedanken, wie ich bei
gegenwärtiger Gelegenheit ausführen möchte, in früheren Arbeiten
nach zwei Richtungen hin Ausdruck gegeben.
Einmal operirte ich mit dem Begriffe einer möglichst
übersichtlichen, übrigens verschiedentlich modificirbaren Vergl. meine Arbeiten über elliptische Modulfunctionen in den
Bänden 14, 15, 17 der mathematischen Annalen. Man sehe insbesondere die dem 14. Annalenbande beigegebene
Tafel ("Zur Transformation siebenter Ordnung der elliptischen Functionen'')
sowie die später noch zu nennende Arbeit von Dyck im
17. Bande daselbst.Normalfläche
(vergl. §. 8), auf welcher ich den Verlauf der in
Betracht kommenden Functionen durch verschiedene graphische
Hülfsmittel zu illustriren bemüht warPolygonnetze, deren ich mich wiederholt
bedienteDefinition der durch die Figur zu veranschaulichenden
Functionen ermöglicht.
Das andere Mal "Ueber eine neue Art von Riemann'schen Flächen'', mathematische
Annalen Bd. 7 und 10. Siehe: Harnack (Ueber die Verwerthung der elliptischen Functionen
für die Geometrie der Curven dritten Grades) im 9. Bande der
mathematischen Annalen, siehe ferner meinen schon oben genannten
Aufsatz: "Ueber den Verlauf der Abel'schen Integrale bei den Curven
vierten Grades'' im 10. Bande daselbst.Curve
deutet. Indem ich von dem Satze ausging, dass jede imaginäre
Gerade der Ebene und also auch jede imaginäre Tangente einer
Curve einen und nur einen reellen Punct besitzt, erhielt ich
eine Riemann'sche Fläche, die sich an den Verlauf der gegebenen
Curve auf das Innigste anschmiegt. Ich habe diese
Fläche, wie es mein ursprünglicher Zweck war, bisher nurDefinition der auf ihr existirenden
Functionen dienen können. In der That kann man für diese
Functionen eine partielle Differentialgleichung bilden, welche
den Differentialgleichungen zweiter Ordnung, die wir in §§. 1
und 5 betrachten, in etwa analog ist: nur dass der Differentialausdruck,
an den diese Gleichung anknüpft, nicht unmittelbar
als Bogenelement einer Fläche zu deuten ist.--
Diese wenigen Bemerkungen müssen genügen, um auf Betrachtungen hinzuweisen, deren Verfolg mir interessant scheint.
Es gibt einen wichtigen Punct, in welchem die Riemann'sche
Theorie der algebraischen Functionen nicht nur der Methode
sondern auch dem Resultate nach über die sonst üblichen
Darstellungen dieser Theorie hinausgreift. Sie besagt nämlich
dass zu jeder über der z-Ebene ausgebreiteten, graphisch gegebenen
mehrblättrigen Fläche zugehörige algebraische Functionen
construirt werden können,--wobei man beachten mag,
dass diese Functionen, sofern sie überhaupt existiren, in
hohem Maasse willkürlich sind, da
Solche Bestimmungen machte z. B. Hr. Kasten in seiner Inauguraldissertation: Zur Theorie der dreiblättrigen Riemann'schen Fläche. Bremen 1876.
Wenn es hier wieder gestattet ist auf eigene Arbeiten zu verweisen, so geschehe diess zunächst mit Bezug auf eine Stelle im 12. Bande der mathematischen Annalen (p. 173), wo der Schluss begründet wird, dass gewisse rationale Functionen durch die Zahl ihrer Verzweigungen völlig bestimmt sind, sodann in Bezug auf Bd. 15, p. 533 ebenda, wo eine ausführliche Betrachtung lehrt, dass es zehn rationale Functionen elften Grades gibt, die gewisse Verzweigungsstellen besitzen.
Ich wünsche im gegenwärtigen und im folgenden Paragraphen
verschiedene Folgerungen zu ziehen, die sich aus
dem vorausgeschickten Satze gewinnen lassen, und zwar mag zunächst
die Frage nach den Moduln der algebraischen Functionen
behandelt werden, d. h. die Frage nach denjenigen Constanten,
welche bei eindeutiger Transformation der Gleichungen
Sei zu diesem Zwecke m Unendlichkeitspuncten, und diese Zahl
war jedenfalls genau richtig (wie ohne Beweis angegeben
wurde), wenn m-blättrige Fläche
über der Ebene eindeutig ab. Daher ist die Gesammtheit der
m-blättrigen Flächen, auf welche man eine gegebene Fläche
conform eindeutig beziehen kann, und also auch der m-blättrigen
Flächen, die man einer Gleichung
Denn jedesmal
Nun gibt es aber überhaupt m-blättrige Flächen, unter
w die Zahl der Verzweigungspuncte, d. h. Die Anzahl
der Moduln ist daher .
Bemerken wir hierzu, dass die Gesammtheit der Es folgt diese z. B. aus den Sätzen von Lüroth und Clebsch,
die man in den Bänden 4 und 6 der mathematischen Annalen abgeleitet
findet.m-blättrigenw Verzweigungspuncten ein Continuum
bildetm Unendlichkeitspuncten
bereits in §. 13 hervorgehoben wurde. Wir
schliessen dann, dass die algebraischen Gleichungen eines gegebenen
p ebenfalls eine einzige zusammenhängende Mannigfaltigkeit
constituiren (wobei wir alle Gleichungen, die aus
einander durch eindeutige Transformation hervorgehen, als
ein Individuum erachten). Hierdurch erst gewinnt die angegebene
Zahl der Moduln ihre präcise Bedeutung:
Es kommt jetzt noch darauf an, die Zahl
1. Jede Gleichung kann mal eindeutig in sich,
selbst transformirt werden. Denn auf der zugehörigen Riemann'schen
Fläche existiren eindeutige Functionen mit nur je einem
Unendlichkeitspunct in dreifach unendlicher Zahl (§. 13), von
denen man, um eine eindeutige Transformation der Fläche
in sich zu haben, nur irgend zwei entsprechend zu setzen
hat.--Des Näheren stellt sich die Sache so. Heisst eine
der genannten Functionen
unter
2) Jede Gleichung kann einfach unendlich oft eindeutig
in sich transformirt werden. Zum Beweise betrachte
man das zugehörige überall endliche Integral
setzt. Nur im besonderen Falle (wenn das Periodenverhältniss
Ich führe dieses Resultat, welches aus der Theorie der elliptischen
Functionen wohlbekannt ist, im Texte ohne Beweis an.
3) Gleichungen 1$]]> können niemals unendlich oft eindeutig
in sich transformirt werden.
Es ist bei diesem Satze an eine continuirliche Schaar von Transformationen,
also an Transformationen mit willkürlich veränderlichen
Parametern gedacht. Ob eine Fläche 1$]]> unter Umständen nicht
durch unendlich viele discrete Transformationen in sich übergehen
kann, bleibt im Texte unerörtert; doch scheint diess bei endlichem
p in der That auch unmöglich.
Ich verweise, was den analytischen Beweis dieser Behauptung
angeht, auf die Darstellungen von SchwarzHettner (Göttinger Nachrichten,
1880, p. 386). Auf anschauungsmässigem Wege kann
man sich die Richtigkeit der Behauptung folgendermassen
verständlich machen. Sollte es unendlich viele eindeutige
Transformationen der Gleichung in sich geben, so müsste es
möglich sein, die zugehörige Riemann'sche Fläche derart continuirlich
über sich hin zu verschieben, dass jede kleinste
Figur mit sich selbst ähnlich bleibt. Die Curven, längs deren
eine solche Verschiebung vor sich ginge, müssten die Fläche
jedenfalls vollständig und zugleich einfach überdecken. Ein
Kreuzungspunct dürfte in diesem Curvensysteme offenbar
nicht vorhanden sein. Man müsste einen solchen Punct nämlich,
damit keine Vieldeutigkeit der Transformation eintritt,
als festbleibenden Punct betrachten und also die Geschwindigkeit
der Verschiebung in ihm gleich Null setzen. Dann aber
würde eine kleine Figur, welche bei der Verschiebung auf
den Kreuzungspunct zu rückt, im Sinne der Bewegung nothwendig
zusammengedrückt, senkrecht dazu auseinandergezogen
werden; sie könnte also nicht mit sich selbst ähnlich bleiben,
wie es doch durch den Begriff der conformen Abbildung verlangt
wird.--Andererseits müssen aber in jedem Curvensysteme,
das eine Fläche
Nach diesen Sätzen ist p. Die Zahl der
Moduln ist also für gleich Null, für gleich Eins,
für grössere .
Es wird gut sein, noch folgende Bemerkungen hinzuzufügen.
Um den Punct eines Raumes von Vergl. die Darstellung im 14. Bande der mathematischen Annalen,
p. 112 ff.die absolute Invariante J gedacht. Statt ihrer verwendet
man, wie bekannt, gewöhnlich das Legendre'sche J sechswerthig ist, so dass bei der Formulirung
allgemeiner Sätze eine gewisse Schwerfälligkeit unvermeidbar
scheint. In noch höherem Maasse ist dies der Fall, wenn
man das Periodenverhältniss
In den nun noch folgenden Paragraphen mögen die entwickelten
Principien, wie in Aussicht gestellt, nach der geometrischen
Seite verfolgt werden, um wenigstens die Grundzüge
für eine Theorie Die im Texte aufzustellenden Sätze finden sich explicite grösstentheils
in der Literatur nicht vor. Wegen der Flächen der conformen Abbildung von Flächen
auf einander zu gewinnenUeber die conforme
Abbildung mehrfach zusammenhängender Flächen}, die als Berliner
Inaugural-Dissertation 1875 erschien und später (1877) in umgearbeiteter
Form in Borchardts Journal Bd. 83 abgedruckt wurde. Es handelt sich
in derselben um solche p-fach zusammenhängende ebene Bereiche,
welche von
Indem wir uns zuvörderst nach conformen Abbildungen
einer geschlossenen Fläche auf sich selbst fragen, haben wir
eine Unterscheidung einzuführen, von der bislang noch nicht
die Rede war: die Abbildung kann ohne Umlegung der Winkel
geschehen oder mit Umlegung derselben. Wir haben eine Abbildung
der einen Art, wenn wir eine Kugel durch Drehung
um den Mittelpunct mit sich selbst zur Deckung bringen;
wir bekommen die zweite Art, wenn wir zu demselben Zwecke
eine Spiegelung an einer Diametralebene verwenden. Die
analytische Behandlung, wie wir sie bisher benutzten, entspricht
nur den Abbildungen der ersten Art. Sind Man hat einfach ,
zu setzen, um eine Abbildung zweiter Art zu haben.
Entnehmen wir zunächst den Entwickelungen des vorigen Paragraphen, was sich auf Abbildung der ersten Art bezieht. Indem wir uns möglichst geometrischer Ausdrucksweise bedienen, formuliren wir die folgenden Theoreme:
Flächen oder können immer, Flächen 1$]]>
niemals unendlich oft durch Abbildung der ersten Art in sich
übergeführt werden.
Bei den Flächen ist die einzelne Abbildung der
ersten Art bestimmt, wenn man drei beliebige Puncte der Fläche
drei beliebigen Puncten derselben zugeordnet hat.
Ist , so darf man einen beliebigen Punct der Fläche
einem zweiten nach Willkür zuweisen, und hat dann noch zur
Bestimmung der Abbildung erster Art im Allgemeinen eine
zweifache, im besonderen Falle eine vierfache oder sechsfache
Möglichkeit.
Mit diesen Sätzen ist natürlich nicht ausgeschlossen, dass
besondere Flächen Solchen Flächen entsprechen algebraische Gleichungen mit einer
Gruppe eindeutiger Transformationen in sich. Die Bemerkungen des
Textes zielen also auf solche Untersuchungen ab, wie sie in neuerer
Zeit von Hrn. Dyck verfolgt worden sind (cf. die bereits citirte Arbeit
im 17. Bande der Mathematischen Annalen: Aufstellung und Untersuchung
von Gruppe und Irrationalität regulärer Riemann'scher Flächen).getrennte Transformationen
der ersten Art in sich übergehen mögen. Tritt diess ein,
Betreffs der Transformationen zweiter Art mögen wir
voranstellen, dass jede Transformation der zweiten Art in
Verbindung mit einer solchen der ersten Art eine neue Transformation
der zweiten Art ergibt. Nun kennen wir bei den
Flächen eine Transformation
der zweiten Art existirt. Bei den Flächen
ist diess sofort zu bejahen. Denn es genügt, eine beliebige
der eindeutigen Functionen des Ortes mit nur einem Unendlichkeitspuncte,
Sei nun Es gibt natürlich wieder Flächen, welche neben einer Anzahl
von Transformationen erster Art eine gleiche Anzahl von Transformationen
zweiter Art zulassen; dieselben entsprechen den regulär-symmetrischen
Flächen der Dyck'schen Arbeit.symmetrische sein, d. h.
eine solche, welche die Puncte der Fläche paarweise zusammenordnet.
Ich will dementsprechend die Fläche selbst eine
symmetrische nennen.
Uebrigens mögen hinterher unter diesem Namen überhaupt
alle Flächen mit einbegriffen sein, welche Transformationen
zweiter Art in sich zulassen, die zweimal angewandt zur
Identität zurückführen. Es gehören dahin, wie man sofort
sieht, die Flächen
Für die symmetrischen Flächen, auf die wir hier unser
besonderes Augenmerk richten wollen, ergibt sich sofort eine
Eintheilung nach der Zahl und Art der auf ihr befindlichen
Uebergangscurven, d. h. derjenigen Curven, deren Puncte bei
der in Betracht kommenden symmetrischen Umformung ungeändert
bleiben.
Die Zahl dieser Curven kann jedenfalls nicht grösser sein,
als . Denn wenn man eine Fläche längs aller ihrer
Uebergangscurven mit Ausnahme einer einzigen zerschneidet,
so bildet sie, indem ihre symmetrischen Hälften noch immer
in der einen Uebergangscurve zusammenhängen, nach wie
vor ein ungetrenntes Ganze. Es würden sich also, wenn
mehr als
Dagegen ist unterhalb dieser Gränze jede Zahl von Uebergangscurven
möglich. Es mag hier genügen, in diesem Sinne
die Fälle p
ergeben sich dann von selbst naheliegen de Beispiele.
1) Wenn wir eine Kugel durch Spiegelung an einer Diametralebene
mit sich zur Deckung bringen, so bildet der
grösste Kreis, in welchem sie von der Diametralebene geschnitten
wird, eine Uebergangscurve. Wir erhalten eine
Zuordnung der anderen Art indem wir je zwei solche Puncte
der Kugel entsprechend setzen, welche die Endpuncte eines
Durchmessers bilden. Beide Beispiele sind leicht zu generalisiren.
Die analytische Darstellung ist diese. Wenn eine
Uebergangscurve existirt, so gibt es eindeutige Functionen
des Ortes mit nur einem Unendlichkeitspuncte, die auf der
Uebergangscurve reelle Werthe annehmen. Heisst eine derselben
0, sowie
die analytische Formel der betreffenden Umänderung.
2) Im Falle J, wie wir
wissen, jedenfalls reell nehmen. Sei dieselbe zunächst W (durch Zufügung eines geigneten constanten Factors) so
normiren, dass die eine Periode reell, gleich a, die andere
rein imaginär, gleich
so haben wir eine symmetrische Umformung der Fläche zwei Uebergangscurven:
schreiben wir dagegen:
was wieder eine symmetrische Umformung unserer Fläche ist,
so haben wir den Fall, in welchem keine Uebergangscurve
entsteht.--Der Fall mit nur einer Uebergangscurve tritt
ein, wenn wir W so
wählen, dass seine beiden Perioden conjugirt complex werden.
und haben eine symmetrische Umformung mit der einen
Uebergangscurve
Neben die hiermit erläuterte erste Unterscheidung der
symmetrischen Flächen nach der Zahl der Uebergangscurven
stellt sich aber noch eine zweite. Ich will die Fälle von 0
oder Eine Zerschneidung der Fläche längs sämmtlicher
Uebergangscurven mag nämlich entweder ein Zerfallen
der Fläche herbeiführen, oder nicht. Es sei der einen und der andern Art unterscheiden und den ersteren
(den zerfallenden) Flächen die Fläche mit
Diese Sätze besitzen eine gewisse Analogie mit den Resultaten,
welche in der analytischen Geometrie die gestaltliche
Untersuchung der Curven von gegebenen Vergl. Harnack: Ueber die Vieltheiligkeit der ebenen algebraischen
Curven, in Bd. 10 der Mathematischen Annalen, p. 189 ff.; vergleiche
ferner p. 415, 416 daselbst, wo ich die Eintheilung jener Curven
in zweierlei Arten gegeben habe. Vielleicht ist es zweckmässig, bei
diesen Untersuchungen die Lehre von den symmetrischen Flächen und
die Riemann'sche Theorie, so wie beide hier im Texte dargestellt
werden, geradezu als Ausgangspunct zu wählen.p erzielt hat.
welche reelle Coefficienten besitzen. Beachten wir zunächst, dass
jede solche Gleichung über der z-Ebene in der That eine symmetrische
Riemann'sche Fläche bestimmt, insofern ja die Gleichung
und also auch die Fläche ungeändert bestehen bleibt,
wenn man w und z gleichzeitig durch ihre conjugirten Werthereellen Werthereihen von w und z entsprechen, welche
Aber auch der Rückschluss ist leicht zu machen. Sei eine
symmetrische Fläche und auf ihr eine beliebige complexe
Function des Ortes, eine Umlegung der Winkel.
Wenn man also jedem Puncte der Fläche solche Werthe
u, v, sein symmetrischer
Punct aufweist, so wird
so hat man einen Ausdruck, der im allgemeinen nicht identisch
verschwindet; es genügt zu dem Zwecke, die Unendlichkeitspuncte
von Man hat also eine complexe Function des Ortes,
welche in symmetrisch gelegenen Puncten gleiche reelle aber
entgegengesetzt gleiche imaginäre Werthe aufweist.--Solcher
W und Z, die überdiess
eindeutige Functionen des Ortes sein sollen, herausgegriffen
werden. Die zwischen diesen bestehende algebraische Gleichung
hat dann die Eigenschaft, ungeändert zu bleiben, wenn
man W und Z gleichzeitig durch ihre conjugirten Werthe
ersetzt. Sie ist also eine Gleichung mit reellen Coefficienten,
womit der geforderte Beweis in der That erbracht ist.
Ich knüpfe an diese Ueberlegungen noch Bemerkungen
üher die reellen eindeutigen Transformationen reeller Gleichungen
in Betracht kommen, bei denen C eine reelle Constante bedeutet.
Analog in dem ersten Falle
unterwirft, wo die Verhältnissgrössen reell sind.
In dem zweiten Falle
wo Siehe zumal: Cayley, on the correspondence between homographies
and rotations, Mathematische Annalen, Bd. 15, p. 238-240.
Wenn es sich jetzt darum handelt, verschiedene geschlossene
Flächen auf einander abzubilden, so liefern die
vorausgeschickten Untersuchungen über die conforme Abbildung
geschlossener Flächen auf sich selbst die nöthigen
Nebenbestimmungen, welche angeben, wie oft sich eine solche
Abbildung gestaltet, sofern eine solche überhaupt möglich ist.
Flächen, welche sich conform aufeinander abbilden lassen, besitzen
jedenfalls (wie schon hervorgehoben) übereinstimmende
Transformationen in sich selbst. Man erhält also alle Abbildungen
der einen Fläche auf die zweite, wenn man eine
beliebige Abbildung mit allen solchen verbindet, welche eine
der beiden Flächen in sich selbst überführen. Ich werde
hierauf nicht weiter zurückkommen.
Betrachten wir nun zuvörderst allgemeine, d. h. nicht
symmetrische Flächen. Dann treten die Abzählungen des
Flächen lassen sich immer conform auf einander
abbilden;
und finden übrigens, dass die Flächen
Sollen zwei Flächen 0$]]> auf einander abbildbar sein,
so sind im Falle zwei, im Falle 1$]]>
Gleichungen zwischen den reellen Constanten der Flächen zu
erfüllen.
Indem wir uns jetzt zu den symmetrischen Flächen
wenden, haben wir noch eine kleine Zwischenbetrachtung zu
machen. Zunächst ist ersichtlich, dass zwei solche Flächen
nur dann "symmetrisch'' auf einander bezogen werden können,
wenn sie neben dem gleichen p dieselbe Zahl Z-Ebene construirbarer mehrblättriger
Flächen, welche in Bezug auf die Axe der reellen
Zahlen symmetrisch sind. Ich will dabei, um das Auftreten
unendlich vieler Transformationen in sich zu vermeiden, zuvörderst
annehmen, dass einzeln reell oder paarweise conjugirt complex zu
sein. In Folge dessen reduciren sich alle Willkürlichkeiten
auf die Hälfte. Wir mögen folgendermassen sagen:
Zur Abbildbarkeit zweier symmetrischer Flächen 1$]]>
auf einander ist neben der Uebereinstimmung in den Attributen
das Bestehen von Gleichungen zwischen den reellen
Constanten der Fläche erforderlich.
Die Fälle J besitzen, was eine Bedingung für die
Constanten der Flächen abgibt, insofern J jedenfalls reell
ist. Im Uebrigen aber findet man sofort, dass die Abbildung
sich allemal ermöglicht, sobald die symmetrischen Flächen,
wie dies selbstverständlich verlangt werden muss, in der
Zahl der Uebergangscurven übereinstimmen.
Auf Grund der nunmehr gewonnenen Resultate können
wir den bisherigen Untersuchungen über die Abbildung Ich verdanke diese Auffassung einer gelegentlichen Unterredung
mit Hrn. Schwarz (Ostern 1881). Man vergl. p. 320 ff. der bereits
genannten Arbeit von Schottky im 83. Bande von Borchardt's Journal,
sowie die Originaluntersuchungen von Schwarz über die Abbildung
geschlossener Polyederflächen auf die Kugel (Berliner Monatsberichte
1865 p. 150 ff., Borchardt's Journal Bd. 70, p. 121--136, Bd. 75, p. 330.) Ich drücke mich im Texte der Kürze halber so aus, als wenn
die ursprüngliche Fläche eine zweiseitige Fläche gewesen wäre,
während doch nicht ausgeschlossen sein soll, dass sie eine Doppelfläche
ist.geschlossener
Flächen eine scheinbar bedeutende Verallgemeinerung
zu Theil werden lassen, und habe ich eben desshalb
die symmetrischen Flächen so ausführlich betrachtet. Wir
können jetzt nämlich berandete Flächen und Doppelflächen
in Betracht ziehen (mögen nun letztere berandet sein, oder
nicht) und mit einem Schlage die auf sie bezüglichen Fragen
erledigen. Hierzu gehört, was die Einführung der Randcurven
angeht, dass wir uns von einer gewissen Beschränkung
befreien, welche wir bisher, allerdings nur implicite, vorausgesetzt
haben. Wir dachten uns die Flächen, auf denen wir
operirten, bislang durchweg als stetig gekrümmt, oder doch
nur in einzelnen Puncten (den Verzweigungspuncten) mit
Unstetigkeiten behaftet. Aber nichts hindert uns, jetzt
hinterher auch andere Unstetigkeiten zuzulassen. Wir werden
uns z. B. vorstellen dürfen, dass unsere Fläche aus einer
endlichen Anzahl verschiedener (im Allgemeinen selbst gekrümmter)
Stücke, welche unter endlichen Winkeln zusammenstossen,
polyederartig zusammengesetzt sei. Können wir uns
doch auf einer solchen Fläche ebensogut elektrische Ströme
verlaufend denken, wie auf einer stetig gekrümmten! Unter
diese Flächen nun lassen sich die berandeten Flächen subsumiren.Man fasse nämlich die beiden Seiten der berandeten
Fläche als Polyederflächen auf, welche längs der
Randcurve (also durchweg unter einem Winkel von 360 Grad)
zusammenstossen und behandele nunmehr statt der ursprünglichen
berandeten Fläche die aus beiden Seiten zusammengesetzte
Gesammtfläche.symmetrische Fläche. Denn wenn man die übereinanderliegenden
Puncte der beiden Flächenseiten vertauscht, so erfährt
die Gesammtfläche eine conforme Abbildung auf sich
selbst mit Umlegung der Winkel. Die Randcurven sind
dabei die Uebergangscurven. Zugleich aber gewinnt unsere
Eintheilung der symmetrischen Flächen in zweierlei Arten eine
wichtige und durchschlagende Bedeutung. Die gewöhnlichen
berandeten Flächen, bei denen man zwei Flächenseiten unterscheiden
kann, entsprechen offenbar der ersten Art. Der
zweiten Art aber correspondiren die Doppelflächen, bei denen
man von einer Flächenseite durch continuirliches Fortschreiten
über die Fläche hin zur anderen gelangen kann. Auch der
Fall ist nicht auszuschliessen (wie bereits angedeutet), dass
die Doppelfläche überhaupt keine Randcurve besitzen mag.
Wir haben dann eine symmetrische Fläche ohne Uebergangscurve
vor uns.
Ich betrachte nunmehr der Reihe nach die verschiedenen auseinanderzuhaltenden Fälle.
1) Sei zuvörderst eine einfach berandete, einfach zusammenhängende
Fläche gegeben. Eine solche Fläche erscheint für
uns als eine geschlossene Fläche dass zwei solche Flächen sich
allemal durch Abbildung der einen oder der anderen Art conform
auf einander beziehen lassen, und dass man dabei in
jedem der beiden Fälle noch drei reelle Constanten zur willkürlichen
Verfügung hat. Wir können die letzteren insbesondere
dazu benutzen, um einen beliebigen inneren Punct
der einen Fläche einem entsprechend gelegenen Puncte
der anderen Fläche zuzuweisen und überdiess einen beliebigen
Randpunct der einen Fläche einem beliebigen Randpuncte
der anderen. Diese Bestimmungsweise entspricht dem
bekannten Satze, den Riemann betreffs der conformen Abbildung
einer einfach berandeten, einfach zusammenhängenden,
2) Wir betrachten ferner Doppelflächen (ohne Randcurven).
Aus §§. 21, 22 folgt sofort, dass zwei solche Flächen
allemal conform auf einander bezogen werden können, und
man dabei, den Schlussformeln des §. 21 entsprechend, noch
drei reelle Constanten zu beliebiger Verfügung hat.
3) Die verschiedenen hier in Betracht kommenden Fälle,
welche eine Gesammtfläche ergeben, betrachten wir gemeinsam.
Es gehören dahin zunächst die
4) Wir nehmen nunmehr den allgemeinen Fall einer zweiseitigen
Fläche. Die Fläche soll
Zwei Flächen der betrachteten Art lassen sich, wenn überhaupt,
nur auf eine endliche Anzahl von Weisen auf einander
abbilden. Die Abbildbarkeit hängt von Gleichungen
zwischen den reellen Constanten der Flächen ab.
5) Wir haben endlich den allgemeinen Fall der Doppelfläche
mit P auf der doppelt gedachten
Fläche neben den Randcurven möglichen Rückkehrschnitten.
Indem wir die drei unter 2) und 3) betrachteten Möglichkeiten
(1, und P nach Belieben eine gerade oder ungerade Zahl sein
kann. Insbesondere beträgt die Zahl der reellen Constanten
einer Doppelfläche, die bei beliebiger conformer Abbildung ungeändert
bleiben, .--
Unter die hiermit gewonnenen Resultate subsumiren
sich die allgemeinen Theoreme und Entwickelungen, welche
Herr Schottky in seiner wiederholt citirten Abhandlung
gegeben hat, als specielle Fälle.
Die Entwickelungen des nunmehr zu Ende geführten
letzten Abschnitt's dieser Schrift sollten, wie wiederholt gesagt,
den Andeutungen entsprechen, mit denen Riemann
seine Dissertation abschloss. Allerdings haben wir uns aufeindeutige Beziehung zweier Flächen durch conforme Abbildung
beschränkt. Riemann hat, wie er ausspricht, ebensowohl
an mehrdeutige Beziehung gedacht. Man würde sich
dementsprechend jede der beiden in Vergleich kommenden
Flächen mit mehreren Blättern überdeckt vorstellen müssen
und erst die so entstehenden mehrblättrigen Flächen conform
eindeutig zu beziehen haben. Die Verzweigungspuncte, welche
diese mehrblättrigen Flächen besitzen mögen, würden ebensoviele
neue, zur Disposition stehende complexe Constante
abgeben.--Hierzu ist zu bemerken, dass wir wenigstens
einen Fall einer solchen Beziehung bereits ausführlich in Betracht
gezogen haben. Indem wir eine beliebige Fläche mehrblättrig
über die Ebene ausbreiteten (§. 15), haben wir
zwischen Fläche und Ebene eine Beziehung hergestellt, die
von der einen Seite mehrdeutig ist. Es ist dann weiter hervorzuheben,
dass eben dieser specielle Fall auch zwei beliebige
Flächen mehrdeutig auf einander beziehen lässt. Denn
sind erst die beiden Flächen auf die Ebene abgebildet, so
sind sie, durch Vermittelung der Ebene, auch auf einander
bezogen.--Mit diesen Bemerkungen ist die Frage nach der
mehrdeutigen Abbildung natürlich keineswegs erschöpft. Aber
es ist doch eine Grundlage zu ihrer Behandlung gewonnen,
indem gezeigt ist, wie sie sich in die übrigen functionentheoretischen
Speculationen Riemann's, von denen wir hier
Rechenschaft zu geben hatten, einfügt.