% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % % % % The Project Gutenberg EBook of Über Integralinvarianten und % % Differentialgleichungen, by Sophus Lie % % % % This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with % % almost no restrictions whatsoever. 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You may copy it, give it away or re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included with this eBook or online at www.gutenberg.org Title: Über Integralinvarianten und Differentialgleichungen Author: Sophus Lie Release Date: April 24, 2008 [EBook #25157] Language: German Character set encoding: ISO-8859-1 *** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK INTEGRALINVARIANTEN UND DIFFERENTIALGLEICHUNGEN *** \end{verbatim}} \cleardoublepage \begin{center} \vspace{1cm} {\Huge Über Integralinvarianten} \bigskip {\LARGE und} \bigskip {\huge Differentialgleichungen} \bigskip von \bigskip {\Large\bf Sophus Lie} \bigskip\bigskip {\small Videnskabsselskabets Skrifter. 1. Mathematisk-naturv. Klasse 1902. No.~1} \bigskip\bigskip\bigskip\bigskip \makebox[16em]{\hrulefill}\\ Udgivet for Fridtjof Nansens Fond\\ \vskip-6pt\makebox[16em]{\hrulefill}\\ \bigskip\bigskip\bigskip\bigskip {\large\bf Christiania}\\ \smallskip {\large In Kommission bei Jacob Dybwad} \smallskip A.~W. Brøggers Buchdruckerei\\ \smallskip 1902\\ \end{center} %-----File: 008.png---------------------------- \pagebreak \begin{center} Produced by K.F. Greiner, Ralf Stephan, Joshua Hutchinson and the Online Distributed Proofreading Team at http://www.pgdp.net (This file was produced from images generously made available by Cornell University Digital Collections) \end{center} \vfill \noindent\textbf{Anmerkungen zur Transkription} \medskip \noindent{\small Die inkonsistente Schreibweise mehrerer Wörter im Original wurde unverändert übernommen. Vom Verlag nachträglich angegebene »Berichtigungen« wurden in den Text eingearbeitet und mit einem Pluszeichen als Anmerkung markiert. }\vfill \begin{center} \ \\ \vskip3in Fremlagt i Vid.\ Selsk.\ math.\ naturv.\ Kl.\ den 27de Septbr. 1901.\\ \end{center} %-----File: 009.png---------------------------- \cleardoublepage \section*{Vorwort.} Die Gesellschaft der Wissenschaften hat uns mit dem Auftrag beehrt, Professor \so{Sophus Lies} hinterlassene Manuscripte durchzusehen, da sich darunter möglicherweise Abhandlungen befinden konnten, die sich zur Bearbeitung oder Veröffentlichung eigneten. Von den sehr zahlreichen hinterlassenen Manuscripten, deren Verzeichniss später veröffentlicht werden soll, sind nur wenige soweit ausgearbeitet, dass sie ohne weiteres gedruckt werden könnten. Dagegen finden sich zahlreiche Entwürfe mit skizzirten Arbeiten und hingeworfenen Ideen, die bei eingehenderer Bearbeitung wohl interessante Resultate liefern können. Wir publicieren hiermit die erste der nachgelassenen Abhandlungen: \emph{Über Integralinvarianten und Differentialgleichungen}. Diese bildet eine Fortsetzung zweier früherer Abhandlungen über Integralinvarianten, die in den Be\-rich\-ten der kgl.\ Säch.\ Gesellschaft der Wiss.\ zu Leipzig 1897 publicirt sind, und war von Lie ursprünglich, wie aus einer Aufschrift auf dem Manuscript hervorgeht, bestimmt, ebenda zu erscheinen. Die Abhandlung ist im Grossen und Ganzen ziemlich ins Reine geschrie\-ben und hier und da sind Correcturen übergeklebt. Daher dürfte sie von Lie bereits für den Druck bestimmt gewesen sein. Zwar fehlt der angekündigte zweite Theil (siehe S.~6, Note~7) und die Einleitung scheint noch nicht endgültig redigiert gewesen zu sein; aber die Abhandlung bildet trotzdem ein so abgeschlossenes Ganzes, dass wir kein Bedenken tragen sie zu veröffent\-lichen. Wir haben das Studium dieser Abhandlung durch Anmerkungen an solchen Stellen zu erleichtern gesucht, wo ein Citat oder eine Erläuterung wün\-schens\-werth scheinen konnte. Hier und da haben wir auch kleinere Schreib- oder Rechenfehler richtig gestellt, worauf wir stets in Anmerkungen aufmerksam machen. Wir sprechen hiermit Hr.~Professor H.~Goldschmidt in Christiania und Hr.~Professor Friedrich Engel in Leipzig unseren besten Dank für ihre Mithülfe beim Correcturenlesen aus. Dem Letztgenannten verdanken wir auch mehrere werthvolle Aufklärungen über gewisse Punkte in der Einleitung. \begin{center} \textbf{Alf Guldberg.} \qquad\qquad\qquad \textbf{Carl Størmer.} \end{center} %-----File: 010.png---------------------------- %[Blank Page] %-----File: 011.png---------------------------- \mainmatter \pagestyle{myheadings} \thispagestyle{empty} \markboth{\textsc{Sophus Lie.}\hfil\small\upshape M.N. Kl.}{\textsc{1902 No.1\hfil über integralinvarianten und differentialgl.\hfil}} \begin{center} \textbf{Über Integralinvarianten und Differentialgleichungen\footnote{Die Theorien dieser Abhandlung entwickelte ich im Sommersemester 1897 in meinen Seminar-Vorlesungen an der Universität Leipzig.$\quad$ S.~Lie.}.}\\ von\\ \textbf{Sophus Lie.} \end{center} In zwei Abhandlungen, die in den Leipziger Berichten\footnote{Leipziger Berichte Mai und Juli~1897.} erschienen sind, habe ich wichtige Beiträge zu der schon früher von mir gestreiften allgemeinen Theorie der Integralinvarianten geliefert. In der ersten Arbeit, die zunächst dem allgemeinen Begriffe der Integralinvarianten und dem Zusammenhang dieses Begriffes mit meiner Theorie der continuierlichen Gruppen und der Differentialinvarianten gewidmet war, sah ich mich dazu veranlasst, das Abhängigkeitsverhältniss zu betonen, in dem die Arbeiten anderer Mathematiker über diesen Gegenstand zu meinen älteren Arbeiten stehen. In der zweiten Abhandlung beschäftigte ich mich mit der \emph{Verwerthung bekannter Integralinvarianten für die Integration vorgelegter Differentialgleichungen} und insbesondere für die Reduction einer gegebenen continuirlichen Gruppe auf ihre Normalform. In dieser dritten Abhandlung beschäftige ich mich wiederum mit der Bedeutung der Integralinvarianten für die allgemeine Theorie der Differentialgleichungen, und zwar zerfällt diese Arbeit in mehrere Abschnitte\anm{1}, in denen ein lehrreiches \emph{Beispiel} von sehr allgemeinem Charakter im Einzelnen durchgeführt wird; gelegentlich gebe ich auch theoretische Entwicklungen, welche die \emph{allgemeine Theorie} der Integralinvarianten fördern sollen. %-----File: 012.png---------------------------- Der Zweck dieser Untersuchungen ist eigentlich ein doppelter. Einerseits bietet die Theorie der Integralinvarianten an sich ein so grosses Interesse, dass eine ausführliche Darstellung dieser Lehre als zweckmässig, ja notwendig betrachtet werden muss. Anderseits ist wohl zu beachten, dass die Theorie der Integralinvarianten im höchsten Masse dazu geeignet ist, besonders lehrreiche Illustrationen zu meinen allgemeinen Integrationstheorien zu liefern. Seit dem Anfange der siebziger Jahren habe ich eine Reihe fundamentaler Integrationstheorien entwickelt, in denen ausgedehnte Categorien von Differentialgleichungen durch rationelle gruppentheoretische Methoden erledigt werden, die mit \emph{Lagrange's}, \emph{Abel's} und \emph{Galois'} Behandlung der algebraischen Gleichungen durchgreifende Analogien darbieten. \emph{Diese meine allgemeinen Untersuchungen, in denen viele specielle Resultate meiner Nachfolger anticipirt worden sind, haben noch nicht die allgemeine Beachtung gefunden, die sie entschieden verdienen.} Es beruht dies wahrscheinlicherweise in erster Linie darauf, dass meine Theorien fast immer in \emph{abstracter} Form entwickelt worden sind\footnote{Einige unter meinen Schülern finden es zweckmässig, diejenigen unter meinen Integrationstheorien, die von den Jahren~1870--1882 herrühren, einfach zu ignorieren. Es ist aber und bleibt ein geschichtliches Faktum, dass nicht allein die Begründung der Theorie der continuierlichen Gruppen, sondern auch die allgemeine Verwerthung dieser Theorie für Differentialgleichungen von mir herrührt.}. Darum versuche ich jetzt wie auch in früheren Publicationen, \emph{lehrreiche} und \emph{interessante Beispiele} zu meinen allgemeinen Theorien im Einzelnen durchzuführen.%Original: duchzuführen Schliesslich wird es mir wohl einmal gelingen, \emph{der mathematischen Welt klar zu machen, dass gerade die Differentialgleichungen dasjenige Gebiet liefern, innerhalb dessen die capitale Bedeutung meiner Gruppentheorie sich am stärksten geltend macht}. Es ist eben ein charakteristisches Merkmal der Gruppentheorie, dass sie einerseits schwierige Probleme erledigt, und dass sie anderseits \emph{genau feststellt, was unter gegebenen Voraussetzungen geleistet werden kann}. Vielleicht kann es nützlich sein, ehe ich den speciellen Gegenstand dieser Abhandlung in Angriff nehme, auf einige unter meinen allgemeinen Integrationstheorien hinzuweisen. Die Integration einer gewöhnlichen Differentialgleichung~$(n-q)^{\mathrm{ter}}$ Ordnung in den Veränderlichen~$x$ und~$y$ kann bekanntlich immer auf die Erledigung eines $q$-gliedrigen vollständigen Systems: \[ \tag{1} X_1f=0,\quad X_2f=0, \ldots X_qf=0 \] in $n$ unabhängigen Veränderlichen $x_1,\ x_2, \ldots x_n$ zurückgeführt werden, %-----File: 013.png---------------------------- und dabei lässt sich immer erreichen, dass die Klammerausdrücke~$X_iX_kf - X_kX_if$ sämtlich identisch verschwinden. Man weiss andererseits, dass die Integration eines $q$-gliedrigen vollstän\-di\-gen Systems~(1) mit~$n$ unabhängigen Veränderlichen~$x_1, \ldots x_n$, sich auf die Erledigung einer gewöhnlichen Differentialgleichung~$(n-q)^{\mathrm{ter}}$ Ordnung zurückführen lässt; und dabei liegt es in der Natur der Sache, dass diese Hülfsgleichung $(n-q)^{\mathrm{ter}}$ Ordnung im Allgemeinen keine specielle Eigenschaften besitzt, aus denen sich eine Vereinfachung ihrer Integration herleiten liesse. Ganz anders kann die Sache stehen, wenn ein vollständiges System: \begin{flalign*} &\phantom{(x_1,\ x_2,\ldots x_n)}& & X_1f=0,\ X_2f=0,\ldots X_qf=0 & & (x_1,\ x_2,\ldots x_n) \end{flalign*} zu Integration vorgelegt ist, und \emph{man von vorneherein gewisse specielle Eigenschaften dieses vollständigen Systems schon kennt}. Ganz besonders eingehend habe ich mich\footnote{Verh.\ d.\ Ges.\ d.\ Wiss.\ zu Christiania 1872 und 1874. Math.\ Ann.\ Bd.~IX. Verh.\ d.\ Ges.\ d.\ Wiss.\ zu Christiania 1882. Ein Resumé dieser Theorien findet sich in Math.\ Ann.\ Bd.~XXV.} in den Jahren~1872 und~1874 mit der Annahme beschäftigt, dass \emph{gewisse infinitesimale Transformationen}: $Y_1f,\ Y_2f, \ldots Y_pf$, die das vollständige System invariant lassen, und anderseits \emph{gewisse Lösungen} des vollständigen Systems von vorneherein bekannt sind. In den oben citierten Arbeiten aus den Jahren~1874 und~1882 gab ich die definitive Erledigung des eben formulierten Problems, und \emph{zu dieser weittragenden Theorie konnten spätere Arbeiten anderer Mathematiker nach der Natur der Sache keine neuen und wesentlichen Beiträge hinzuführen}\footnote{Meine Nachfolger und Schüler haben einige neue \emph{Anwendungen} meiner Integrationstheorien geliefert. Es scheint aber ihrer Aufmerksamkeit entgangen zu sein, wie minimal die verbindende Brücke ist.}. Wir können ferner annehmen, dass~$r$ unabhängige infinitesimale Transformationen~$X_1f,\ X_2f,\ldots X_rf$ vorgelegt sind, die Relationen von der Form \begin{flalign*} &\phantom{(c_{iks} = \text{Const.})} & & X_i X_kf - X_kX_if = \sum_s c_{iks}X_sf & & (c_{iks} = \text{Const.}) \end{flalign*} erfüllen, und dass man alle Lösungen des Gleichungs-Systems \[ \tag{2} X_1f=0,\ldots X_rf=0 \] anders ausgesprochen, alle Invarianten~$U(x_1,\, x_2,\ldots x_n)$ der $r$-gliedrigen Grup\-pe $X_1f\ldots X_rf$ bestimmen will. Finden sich unter den Gleichungen (2) etwa~$q$ unabhängige, so bilden diese~$q$ Gleichungen %-----File: 014.png---------------------------- \[ X_1f=0,\ldots X_qf=0 \] ein vollständiges System, dessen $n-q$ Lösungen gerade die gesuchten Invarianten liefern. Will man nun die Integration dieses vollständigen Systems in rationeller, das heisst, in einfachst möglicher Weise durchführen, so muss man in erster Linie untersuchen, ob infinitesimale Transformationen~$\Yf$ vorhanden sind, die mit allen~$r$ Transformationen~$X_1f,\ldots X_rf$ vertauschbar sind. Giebt es keine derartige Transformationen~$\Yf$, so kann die Integration des vollständigen Systems~$X_1f= 0, \ldots X_qf= 0$ durch ausführbare Operationen geleistet werden. Sind dagegen infinitesimale Transformationen~$\Yf$ vorhanden, die mit allen~$X_kf$ vertauschbar sind, so bilden alle~$\Yf$ ihrerseits eine continuirliche endliche oder unendliche Gruppe, und es ist die \emph{Zusammensetzung dieser Gruppe~$\Yf$, die das vorliegende Integrationsproblem beherrscht}\anm{2}. Es kann vielleicht nützlich sein, dass wir in aller Kürze daran erinnern, wie wir dieses Problem auf das zuerst besprochene Problem zurückgeführt haben. Sind~$X_1f,\ldots X_rf$, $r$ unabhängige infinitesimale Transformationen der vorgelegten Gruppe, so können wir immer annehmen\label{anm3a}, dass wir eine kanonische Form dieser Gruppe \[ X'_kf=\sum \xi_{ki} (x'_1, \ldots x'_n)\frac{\partial f}{\partial x'_i} \] und gleichzeitig die reciproke\label{anm3b} Gruppe \[ Y'_kf = \sum_i \eta'_{ki} (x'_1, \ldots x'_n)\frac{\partial f}{\partial x'_i} \] der letzten Gruppe kennen. Unser Problem deckt sich sodann mit der Reduktion der vorgelegten Gruppe~$X_1f, \ldots X_rf$ auf ihre kanonische Form und findet daher seinen analytischen Ausdruck in den~$r$ Gleichungen \[ X_kf = X'_kf \] oder eigentlich in den $r\cdot n$ Gleichungen, die hervorgehen, wenn für~$f$ nach und nach~$x'_1, x'_2, \ldots x'_n$ gesetzt wird. Hiermit erhalten wir ein System partieller Differentialgleichungen \begin{gather*} \varOmega_k (x_1, x_2, \ldots x_n, x'_1 \ldots x'_n, \frac{\partial x'_1}{\partial x_1},\ldots)=0 \\ k = 1, 2, 3,\ldots \end{gather*} %-----File: 015.png---------------------------- deren allgemeinste Lösungen $y_1', y_2', \ldots y_n'$ aus einem speciellen Lösungs\-sys\-tem~$x_1',\ldots x_n'$ durch \emph{bekannte} Gleichungen \[ y_i' = \varphi_i (x_1,\ldots x_n',b_1,\ldots) \] hervorgehen, die eine Gruppe und zwar gerade die kanonische reciproke Gruppe bilden. Nachdem wir aber unser Problem auf diese Gestalt gebracht haben, können wir es in bekannter Weise auf die Form einer linearen partiellen Differentialgleichung:~$Af = 0$ bringen, deren Charakteristiken von einer einfach transitiven Gruppe transformirt werden, die mit der Gruppe~$Y_k' f$ gleichzusammengesetzt ist.\label{anm3c}--- Bestehen Gleichungen von der Form: \[ X_{q+k}f = \varphi_{k1}(x) X_1 f + \dots + \varphi_{kq}X_q f \] \[ (q+k=q+1,\ldots r) \] sowie die analogen Gleichungen \[ X'_{q+k} f = \varphi'_{k1}(x') X'_1 f + \dots + \varphi'_{kq} X'_q f \] so kann man \[ \varphi_{ki}(x)=\varphi'_{ki}(x') \] setzen und findet hiermit unter allen Umständen ohne Integration gewisse endliche Relationen zwischen den~$x$ und~$x'$. Reducirt sich insbesondere die reciproke Gruppe $Y_k'f$ auf die identische Transformation, so leistet das Gleichungssystem~$\varphi_{ki}(x)=\varphi'_{ki}(x')$ unmittelbar die Überführung der Gruppe~$X_1 f,\ldots X_r f$ auf ihre kanonische Form, gleichzeitig also die Erledigung des vorliegenden Problems\anm{3}. Wir denken uns wiederum, dass ein vollständiges System \[ X_1 f=0,\ldots X_q f=0 \] zur Integration vorgelegt ist und wollen dabei annehmen, dass alle Klammerausdrücke~$X_i X_k f-X_k X_i f$ identisch gleich Null sind. Wir setzen überdies voraus, dass ein System oder mehrere Systeme partieller Differentialgleichungen in den~$x$ vorgelegt sind, unter denen jedes einzelne System bei allen~$X_k f$ invariant bleibt. Man kann sich dann die Frage vorlegen, welcher Vorteil aus diesem Umstande für die Integration des vollständigen Systems~$X_1 f=0, \ldots X_q f=0$ gezogen werden kann. In unseren älteren Arbeiten ist dieses Problem jedenfalls implicite erledigt worden, bei dieser Gelegenheit werden wir uns darauf beschränken, einige allgemeine Bemerkungen über diese Fragestellung zu machen. %-----File: 016.png---------------------------- Es ist unter allen Umständen möglich zu entscheiden, ob die vorgelegten~$X_xf$ die einzigen infinitesimalen Transformationen sind, welche sämtliche bekannte Systeme von Differentialgleichungen invariant lassen oder nicht\anm{4}. Giebt es keine weitere infinitesimale Transformationen, die unsere Forderungen erfüllen, so findet man \emph{alle Lösungen} des vollständigen Systems $X_1f=0,\ldots X_qf=0$ ohne Integration\anm{5}. Giebt es dagegen noch weitere infinitesimale Transformationen~$\Yf$, die alle vorgelegten Systeme partieller Differentialgleichungen invariant lassen, so kann man, selbst wenn die~$\Yf$ unbekannt sind, \emph{alle gemeinsamen Lösungen} der Gleichungen \[ X_k f=0,\quad \Yf = 0 \] ohne Integration finden\anm{6}. Wir behalten uns vor, gelegentlich eine vollständige Erledigung des hier gestreiften Problems zu liefern. In dieser Abhandlung denken wir uns, dass man die Invarianten $u(x_1,\ldots x_n)$ einer vorgelegten $r$-gliedrigen Gruppe~$X_1f,\ldots X_rf$ finden will, und dass man zufälligerweise eine oder mehrere Integralinvarianten dieser~$r$-gliedrigen Gruppe von vorneherein kennt. Wir fragen, welchen Vortheil man aus diesem Umstande für die Integration des Gleichungssystems \[ X_1f=0, \ldots X_rf=0 \] ziehen kann. Im ersten Abschnitte dieser Arbeit geben wir die detaillirte Behandlung eines allerdings speciellen, immerhin aber recht umfangreichen und jedenfalls sehr instructiven speciellen Falles des soeben formulirten Problems, dessen allgemeine Erledigung im zweiten Abschnitte geliefert wird\anm{7}. Offenbar wäre es möglich, noch viel allgemeinere Probleme zu stellen, die in ganz ähnlicher Weise von meinen allgemeinen Principien beherrscht werden. Sucht man z.~B.\ die Invarianten~$u(x_1,\ldots x_n)$ einer vorgelegten endlichen continuirlichen Gruppe, so kann man annehmen, dass gewisse derartige Invarianten schon vorliegen, dass andererseits gewisse infinitesimale Transformationen~$\Yf$ bekannt sind, die unsere Gruppe in sich transformieren, und dass endlich gewisse Systeme von Differentialgleichungen und gewisse Integrale vorliegen, die bei der Gruppe~$X_1f,\ldots X_rf$ invariant sind. Meine allgemeinen Theorien gestatten in jedem einzelnen Falle genau festzustellen, welchen Vortheil man aus den vorliegenden Umständen für die Bestimmung aller Invarianten~$u(x_1, \ldots x_n)$ der vorgelegten Gruppe ziehen kann. %-----File: 017.png---------------------------- In vielen früheren Abhandlungen beschäftigten wir uns mit dem folgenden Probleme: Eine continuierliche Gruppe liegt vor; man will die Bahncurven einer infinitesimalen Transformation dieser Gruppe (oder überhaupt die Invarianten einer Untergruppe) bestimmen. Wir haben eine allgemeine Erledigung dieses Problems geliefert. Es ist leicht, den Zusammenhang der oben besprochenen allgemeinen Fragestellungen mit diesen Problem zu erkennen. Sucht man nämlich z.~B.\ die Bahnkurven einer Transformation~$\Xf$ und kennt man eine zugehörige Integralinvariante, so weiss man, dass alle Transformationen~$\Yf$, die dieses Integral invariant lassen und mit~$\Xf$ vertauschbar sind, eine Gruppe erzeugen, und in dieser allerdings unbekannten Gruppe ist~$\Xf$ jedenfalls enthalten. \begin{center} \makebox[10em]{\hrulefill}\bigskip \end{center} %-----File: 018.png---------------------------- \pagebreak \bigskip \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large\bf Kapitel 1}\linebreak \makebox[5em]{\hrulefill}\bigskip \end{center} {\bf\vskip-10pt\hskip0.5in Vertauschbare infinitesimale Transformationen mit einer\linebreak zweidimensionalen Integralinvariante.} \markboth{\textsc{Sophus Lie.}\hfil\small\upshape M.N. Kl.}{\textsc{1902 No.1\hfil über integralinvarianten und differentialgl.\hfil}} \bigskip In diesem Kapitel stellen wir ein allgemeines Integrationsproblem, bei dessen Behandlung eine Reihe wesentlich verschiedener Fälle eintreten können. Das betreffende Problem bezieht sich auf ein Integral \[ \int \psi\ dx_1\, dx_2 \] das über eine zweidimensionale Punkt-Mannigfaltigkeit erstreckt wird und daher von uns kurz weg als ein \emph{zweidimensionales Integral} bezeichnet wird. \emph{\textbf{Problem}: Im vierfachen Raume $x_1\ x_2\ x_3\ x_4$ liegen zwei vertauschbare infinitesimale Transformationen} \[ X_kf = \xi_{k1} \frac{\partial f}{\partial x_1} + \xi_{k2} \frac{\partial f}{\partial x_2} + \xi_{k3} \frac{\partial f}{\partial x_3} + \xi_{k4} \frac{\partial f}{\partial x_4} \quad (k=1,\, 2) \] \emph{mit verschiedenen Bahncurven vor. Man kennt von vorneherein eine zweidimensionale Integralinvariante erster Ordnung der beiden Transformationen~$X_1f$ und~$X_2f$ nämlich das Integral} \[ \int \psi \bigl(x_1,\, x_2,\, x_3,\, x_4,\, \left.\frac{\partial x_3}{\partial x_1},\ \frac{\partial x_3}{\partial x_2},\ \frac{\partial x_4}{\partial x_1},\ \frac{\partial x_4}{\partial x_2} \right) dx_1\, dx_2, \] \emph{dessen Argument $\psi$ in den fünf Grössen} \[ \frac{\partial x_3}{\partial x_1},\ \frac{\partial x_4}{\partial x_1},\ \frac{\partial x_3}{\partial x_2},\ \frac{\partial x_4}{\partial x_2}, \ \frac{\partial x_3}{\partial x_1} \frac{\partial x_4}{\partial x_2} - \frac{\partial x_3}{\partial x_2} \frac{\partial x_4}{\partial x_1} \] \emph{linear ist. Es soll das Vorhandsein dieser Integralinvariante bei der Integration des vollständigen Systems} %-----File: 019.png---------------------------- \[ X_1f = 0, \quad X_2f = 0 \] \emph{so viel wie möglich verwerthet werden}. Da die Grösse \[ \psi = A \frac{\partial x_3}{\partial x_1} + B \frac{\partial x_3}{\partial x_2} + C\frac{\partial x_4}{\partial x_1} + D\frac{\partial x_4}{\partial x_2} + E \left( \frac{\partial x_3}{\partial x_1} \frac{\partial x_4}{\partial x_2} - \frac{\partial x_3}{\partial x_2} \frac{\partial x_4}{\partial x_1}\right) + F \] sechs Coefficienten $A,\ B,\ldots F$ enthält, die ganz beliebige\anm{8} Funktionen von $x_1,\ x_2,\ x_3,\ x_4$ sein können, so umfasst die gestellte Aufgabe eine ausgedehnte Categorie von Problemen. Wir behaupten und werden zunächst beweisen, dass alle diese Probleme in dem Sinne eine natürliche Familie bilden, dass der \emph{Inbegriff} dieser Probleme bei jeder Coordinatentransformation des Raumes~$x_1 \ldots x_4$ invariant bleibt. Führen wir in das Integral $\int \psi \ dx_1\, dx_2$ neue Veränderliche~$x'_1,\ldots x'_4$ vermöge der Substitution \begin{flalign*} & \phantom{(k=1,\ldots 4)} & & x'_k = F_k (x_1 \ldots x_4) & (k=1,\ldots 4) & \end{flalign*} ein, so wird die Beziehung zwischen dem transformierten Integral: \[ {\textstyle{\int}}\, \psi'\ dx'_1\, dx'_2 \] und dem ursprünglichen Integral durch die Gleichung \[ \tag{1} \psi' = \psi : \sum \pm \left( \frac{\partial F_1}{\partial x_1} \right) \left(\frac{\partial F_2}{\partial x_2} \right)= \psi : \Delta \] festgestellt, und dabei ist\anm{9}\label{anm9a} \begin{gather*} \left( \frac{\partial F_i}{\partial x_1} \right) = \frac{\partial F_i}{\partial x_1} + \frac{\partial F_i}{\partial x_3} \cdot \frac{\partial x_3}{\partial x_1} + \frac{\partial F_i}{\partial x_4} \cdot \frac{\partial x_4}{\partial x_1}\\ \left( \frac{\partial F_i}{\partial x_2} \right) = \frac{\partial F_i}{\partial x_2} + \frac{\partial F_i}{\partial x_3} \cdot \frac{\partial x_3}{\partial x_2} + \frac{\partial F_i}{\partial x_4} \cdot \frac{\partial x_4}{\partial x_2}\\ (i= 1,\ 2) \end{gather*} Es bestehen die Gleichungen \[ dx'_3 = \frac{\partial x'_3}{\partial x'_1}\, dx'_1 + \frac{\partial x'_3}{\partial x'_2}\, dx'_2 \quad ,\quad dx'_4 = \frac{\partial x'_4}{\partial x'_1}\, dx'_1 + \frac{\partial x'_4}{\partial x'_2}\, dx'_2 \] sowie die æquivalenten: \[ dF_3 = \frac{\partial x'_3}{\partial x'_1}\, dF_1 + \frac{\partial x'_3}{\partial x'_2}\, dF_2 \quad ,\quad dF_4 = \frac{\partial x'_4}{\partial x'_1}\, dF_1 + \frac{\partial x'_4}{\partial x'_2}\, dF_2, \] und aus ihnen erhalten wir in bekannter Weise die Relationen\anm{10}. %-----File: 020.png---------------------------- \begin{align*} \left( \frac{\partial F_3}{\partial x_1} \right) &= \frac{\partial x'_3}{\partial x'_1} \left( \frac{\partial F_1}{\partial x_1} \right) + \frac{\partial x'_3}{\partial x'_2} \left( \frac{\partial F_2}{\partial x_1} \right), \\ \left( \frac{\partial F_4}{\partial x_1} \right) &= \frac{\partial x'_4}{\partial x'_1} \left( \frac{\partial F_1}{\partial x_1} \right) + \frac{\partial x'_4}{\partial x'_2} \left( \frac{\partial F_2}{\partial x_1} \right) \\ \left( \frac{\partial F_3}{\partial x_2} \right) &= \frac{\partial x'_3}{\partial x'_1} \left( \frac{\partial F_1}{\partial x_2} \right) + \frac{\partial x'_3}{\partial x'_2} \left( \frac{\partial F_2}{\partial x_2} \right), \\ \left( \frac{\partial F_4}{\partial x_2} \right) &= \frac{\partial x'_4}{\partial x'_1} \left( \frac{\partial F_1}{\partial x_2} \right) + \frac{\partial x'_4}{\partial x'_2} \left( \frac{\partial F_2}{\partial x_2} \right), \end{align*} und durch Auflösung die bekannten Formeln\label{anm9b} \begin{align*} \Delta \frac{\partial x'_3}{\partial x'_1} &= \left( \frac{\partial F_3}{\partial x_1} \right) \left( \frac{\partial F_2}{\partial x_2} \right) - \left( \frac{\partial F_3}{\partial x_2} \right) \left( \frac{\partial F_2}{\partial x_1} \right), \\ \Delta \frac{\partial x'_3}{\partial x'_2} &= - \left( \frac{\partial F_3}{\partial x_1} \right) \left( \frac{\partial F_1}{\partial x_2} \right) + \left( \frac{\partial F_3}{\partial x_2} \right) \left( \frac{\partial F_1}{\partial x_1} \right), \\ \Delta \frac{\partial x'_4}{\partial x'_1} &= \left( \frac{\partial F_4}{\partial x_1} \right) \left( \frac{\partial F_2}{\partial x_2} \right) - \left( \frac{\partial F_4}{\partial x_2} \right) \left( \frac{\partial F_2}{\partial x_1} \right), \\ \Delta \frac{\partial x'_4}{\partial x'_2} &= - \left( \frac{\partial F_4}{\partial x_1} \right) \left( \frac{\partial F_1}{\partial x_2} \right) + \left( \frac{\partial F_4}{\partial x_2} \right) \left( \frac{\partial F_1}{\partial x_1} \right). \end{align*} Hierzu fügen wir die Formel \[ \Delta\left( \frac{\partial x'_3}{\partial x'_1} \frac{\partial x'_4}{\partial x'_2} - \frac{\partial x'_4}{\partial x'_1} \frac{\partial x'_3}{\partial x'_2} \right) = \left( \frac{\partial F_3}{\partial x_1} \right) \left( \frac{\partial F_4}{\partial x_2} \right) - \left( \frac{\partial F_3}{\partial x_2} \right) \left( \frac{\partial F_4}{\partial x_1} \right) \] die aus dem Multiplicationssatze der Determinanten hervorgeht. In diesen fünf Formeln haben die rechten Seiten sowie~$\Delta$ die gemeinsame Form\anm{11}: \begin{gather*} \left( \frac{\partial U}{\partial x_1} \right) \left( \frac{\partial V}{\partial x_2} \right) - \left( \frac{\partial U}{\partial x_2} \right) \left( \frac{\partial V}{\partial x_1} \right) = \begin{vmatrix} U & V \\ x_1 & x_2 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} U & V \\ x_3 & x_2 \end{vmatrix} \frac{\partial x_3}{\partial x_1} + \begin{vmatrix} U & V \\ x_4 & x_2 \end{vmatrix} \frac{\partial x_4}{\partial x_1} \\ + \begin{vmatrix} U & V \\ x_1 & x_3 \end{vmatrix} \frac{\partial x_3}{\partial x_2} + \begin{vmatrix} U & V \\ x_1 & x_4 \end{vmatrix} \frac{\partial x_4}{\partial x_2} + \begin{vmatrix} U & V \\ x_3 & x_4 \end{vmatrix} \left( \frac{\partial x_3}{\partial x_1} \frac{\partial x_4}{\partial x_2} - \frac{\partial x_3}{\partial x_2} \frac{\partial x_4}{\partial x_1} \right) \end{gather*} Es ergiebt sich also, dass zwischen den \emph{fünf} Grössen %-----File: 021.png---------------------------- \[ \tag{2} \frac{\partial x_3}{\partial x_1}, \frac{\partial x_3}{\partial x_2}, \frac{\partial x_4}{\partial x_1}, \frac{\partial x_4}{\partial x_2}, \ \frac{\partial x_3}{\partial x_1} \frac{\partial x_4}{\partial x_2} - \frac{\partial x_3}{\partial x_2} \frac{\partial x_4}{\partial x_1} \] und den fünf transformierten Grössen \[ \tag{3} \frac{\partial x'_3}{\partial x'_1}, \frac{\partial x'_3}{\partial x'_2}, \frac{\partial x'_4}{\partial x'_1}, \frac{\partial x'_4}{\partial x'_2}, \ \frac{\partial x'_3}{\partial x'_1} \frac{\partial x'_4}{\partial x'_2} - \frac{\partial x'_3}{\partial x'_2} \frac{\partial x'_4}{\partial x'_1} \] eine projective Beziehung besteht, so zwar dass jede einzelne unter den fünf Grössen~(3) multiplicirt mit~$\Delta$ sich \emph{linear} durch die fünf Grössen~(2) multiplicirt mit Funktionen der~$x$ ausdrückt. Wir sahen aber schon, dass \[ \psi' = \psi: \Delta \] ist, und also können wir schliessen, dass, wenn $\psi$ die Form \[ \psi = A \frac{\partial x_3}{\partial x_1} + B \frac{\partial x_3}{\partial x_2} + C \frac{\partial x_4}{\partial x_1} + D \frac{\partial x_4}{\partial x_2} + E \left( \frac{\partial x_3}{\partial x_1} \frac{\partial x_4}{\partial x_2} - \frac{\partial x_3}{\partial x_2} \frac{\partial x_4}{\partial x_1} \right) + F \] besitzt, dann $\psi'$ die ähnliche Form \[ \psi' = A' \frac{\partial x'_3}{\partial x'_1} + B' \frac{\partial x'_3}{\partial x'_2} + C' \frac{\partial x'_4}{\partial x'_1} + D' \frac{\partial x'_4}{\partial x'_2} + E' \left( \frac{\partial x'_3}{\partial x'_1} \frac{\partial x'_4}{\partial x'_2} - \frac{\partial x'_3}{\partial x'_2} \frac{\partial x'_4}{\partial x'_1} \right) + F' \] annehmen muss. Es gilt also der \bigskip \begin{satz} %% Original had 'Sats' \label{satz1} Liegt in den Veränderlichen $x_1 \ldots x_4$ ein Integral vor, das über zweidimensionale Mannigfaltigkeiten $x_3 = L(x_1, x_2)$, $x_4 = M(x_1, x_2)$ erstreckt ist und die Form \[\wideeqn \int \left\{ A \frac{\partial x_3}{\partial x_1} + B \frac{\partial x_3}{\partial x_2} + C \frac{\partial x_4}{\partial x_1} + D \frac{\partial x_4}{\partial x_2} + E \left( \frac{\partial x_3}{\partial x_1} \frac{\partial x_4}{\partial x_2} - \frac{\partial x_3}{\partial x_2} \frac{\partial x_4}{\partial x_1} \right) + F \right\}dx_1\, dx_2 \] besitzt, so erhält dieses Integral durch Einführung neuer Veränderlichen: \[ x'_k = F_k(x_1, x_2, x_3, x_4) \qquad (k = 1, 2, 3, 4) \] immer die analoge Form: \[\wideeqn \int \left\{ A' \frac{\partial x'_3}{\partial x'_1} + B' \frac{\partial x'_3}{\partial x'_2} + C' \frac{\partial x'_4}{\partial x'_1} + D' \frac{\partial x'_4}{\partial x'_2} + E' \left( \frac{\partial x'_3}{\partial x'_1} \frac{\partial x'_4}{\partial x'_2} - \frac{\partial x'_3}{\partial x'_2} \frac{\partial x'_4}{\partial x'_1} \right) + F' \right\} dx'_1\, dx'_2 \] Die Coefficienten $A'$, $B'$, \ldots $F'$ sind Funktionen der~$x'$, deren Form einerseits von der Form der Funktionen $A(x_1\ldots x_4)$, $B$,\ldots $F$ anderseits von der Transformation $x'_k = F_s(x_1\ldots x_4)$ abhängt. \end{satz} \bigskip %-----File: 022.png---------------------------- Wir halten es für richtig, auf den begrifflichen Inhalt des eben aufgestellten Satzes näher einzugehen. Im vierfachen Raume $x_1 \ldots x_4$ giebt es $\infty^7$ \emph{Linienelemente}, $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$,\, $dx_1$ : $dx_2$ : $dx_3$ : $dx_4$, ferner $\infty^7$ Elemente $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$,\, $\frac{\partial x_4}{\partial x_1}$, $\frac{\partial x_4}{\partial x_2}$, $\frac{\partial x_4}{\partial x_3}$, \emph{dreidimensionaler} Mannigfaltigkeiten: $x_4 = \varphi(x_1, x_2, x_3)$ und endlich $\infty^8$ Elemente $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$,\, $\frac{\partial x_3}{\partial x_1}$, $\frac{\partial x_3}{\partial x_2}$, $\frac{\partial x_4}{\partial x_1}$, $\frac{\partial x_4}{\partial x_2}$, \emph{zweidimensionaler} Mannigfaltigkeiten $x_3 = M(x_1, x_2)$, $x_4 = N(x_1, x_2)$. Betrachten wir nun alle Elemente eindimensionaler, zweidimensionaler und dreidimensionaler Mannigfaltigkeiten, die durch einen bestimmten Punkt $x_1, x_2, x_3, x_4$ hindurchgehen, so müssen wir sagen, \begin{itemize}[label=\ ] \item dass durch einen Punkt $x_1 \ldots x_4$ des vierfachen Raumes $\infty^3$ Linienelemente $dx_1$ : $dx_2$ : $dx_3$ : $dx_4$ gehen, die ihrerseits eine \emph{dreidimensionale ebene Mannigfaltigkeit}~$M_3$ bilden, \item dass die $\infty^4$ durch den gewählten Punkt gehenden Elemente $\frac{\partial x_3}{\partial x_1}$, $\frac{\partial x_3}{\partial x_2}$, $\frac{\partial x_4}{\partial x_1}$, $\frac{\partial x_4}{\partial x_2}$, zweidimensionaler Mannigfaltigkeiten $x_3 = M(x_1, x_2),$ $x_4 = N(x_1, x_2)$ im dreidimensionalen ebenen Raume~$M_3$ die Rolle der \emph{Geraden} spielen, \item dass endlich die $\infty^3$ durch den gewählten Punkt $x_k$ gehenden Elemente $\frac{\partial x_4}{\partial x_1}$, $\frac{\partial x_4}{\partial x_2}$, $\frac{\partial x_4}{\partial x_3}$, dreidimensionaler Mannigfaltigkeiten $x_4 - \varphi(x_1, x_2, x_3) = 0$ im dreifachem Raume~$M_3$ die Rolle der \emph{Ebenen} spielen. \end{itemize} Im dreifachen Raume $M_3$ müssen wir daher die Grössen $dx_1$, $dx_2$, $dx_3$, $dx_4$ als \emph{homogene} Punktcoordinaten, ihre Verhältnisse dementsprechend als \emph{absolute} Punktcoordinaten auffassen. Wir müssen ferner die drei Ableitungen~$\frac{\partial x_4}{\partial x_1}$, $\frac{\partial x_4}{\partial x_2}$, $\frac{\partial x_4}{\partial x_3}$, als \emph{Ebenencoordinaten} und endlich \emph{die vier Ableitungen}~$\frac{\partial x_3}{\partial x_1}$, $\frac{\partial x_3}{\partial x_2}$, $\frac{\partial x_4}{\partial x_1}$, $\frac{\partial x_4}{\partial x_2}$ als \emph{Liniencoordinaten }des dreifachen Raumes~$M_3$ betrachten\anm{12}. Dabei können wir nach dem Vorgange von \emph{Plücker} die Determinante \[ \frac{\partial x_3}{\partial x_1}\frac{\partial x_4}{\partial x_2}- \frac{\partial x_3}{\partial x_2}\frac{\partial x_4}{\partial x_1} \] als \emph{fünfte} Liniencoordinate des Raumes~$M_3$ einführen. %-----File: 023.png---------------------------- Bei dieser Auffassung sagt unser Satz~1, dass die fünf Liniencoordinaten des Raumes~$M_3$ \[ \frac{\partial x_3}{\partial x_1}, \frac{\partial x_3}{\partial x_2}, \frac{\partial x_4}{\partial x_1}, \frac{\partial x_4}{\partial x_2}, \ \frac{\partial x_3}{\partial x_1} \frac{\partial x_4}{\partial x_2} - \frac{\partial x_3}{\partial x_2} \frac{\partial x_4}{\partial x_1} \] bei jeder Punkttransformation des vierfachen Raumes $x_1 \ldots x_4$ \emph{projektiv} transformirt werden. Und das liesse sich a priori ohne Rechnung aus der bekannten Thatsache herleiten, dass jede Punkttransformation des $n$-fachen Raumes im Infinitesimalen projectiv ist\anm{13}. Wenn wir auch befürchten müssen, dass die eben vorgetragenen Betrachtungen nur für Geometer, die mit den Elementen der Plückerschen Liniengeometrie vertraut sind, leicht verständlich sind, so haben wir sie doch nicht zurückhalten wollen. Es ist eben unsere Überzeugung, dass es richtig ist, die principiellen Fortschritte der Geometrie für die Analysis zu verwerthen. In der That gewinnt die ganze Theorie, die wir in dieser Abhandlung darstellen, an Durchsichtigkeit und Einfachkeit, wenn wir die Grundlagen der Plückerschen Liniengeometrie als bekannt voraussetzen. Indem wir nun das oben gestellte Problem in Angriff nehmen, finden wir es zweckmässig, zunächst \emph{die allgemeinste Transformation \begin{flalign*} &\phantom{(k=1, \ldots 4)}& x_k' = F_k(x_1 \ldots x_4) &&& (k=1, \ldots 4) \end{flalign*} zu suchen, die sowohl die Form der beiden infinitesimalen Transformationen~$X_1f$ und~$X_2f$, wie die Form der bekannten Integralinvariante $\int \psi\, dx_1\, dx_2$ bewahrt.} Die endlichen Transformationen der zweigliedrigen Gruppe~$X_1 f$, $X_2 f$ besitzen offenbar diese Eigenschaft; unter Umständen giebt es aber noch weitere Transformationen, die unsere Forderungen erfüllen. Es liegt in der Natur der Sache, dass der Inbegriff aller Transformationen $x'_k = F_k(x_1\ldots x_4)$, bei denen die Form von~$X_1f$, $X_2f$ und~$\int \psi\, dx_1\, dx_2$ bewahrt wird\anm{14}, eine Gruppe~$G$ bildet. Wir werden sehen, dass \emph{diese Gruppe~$G$ das ursprünglich gestellte Problem beherrscht} und dass z.~B.\ die Integration des vollständigen Systems~$X_1f=0$, $X_2f=0$ nur Differentiationsprocesse verlangt, wenn die Gruppe~$G$ keine anderen infinitesimalen Transformationen als~$X_1f$ und~$X_2f$ enthält. Es wird sich zeigen, dass die Gruppe $G$ viele wesentlich verschiedene Formen haben kann. Während sie unter Umständen, ja im Allgemeinen nur die beiden infinitesimalen Transformationen~$X_1f$ und~$X_2f$ umfasst, kann sie in speciellen Fällen sogar eine \emph{unendliche} Gruppe darstellen. Die Gruppe~$G$ vertauscht eo ipso die~$\infty^2$ charakteristischen Mannigfaltigkeiten~$u = a$, $v = b$ des vollständigen Systems~$X_1f=0$, $X_2f=0$ unter %-----File:024.png---------------------------- einander. Dabei ist es, werden wir sehen, denkbar, dass~$G$ das zweidimensionale Gebiet~$u$, $v$ in \emph{allgemeinster} Weise transformiert und dass diese Gruppe dementsprechend mit der Gruppe \emph{aller} Punkttransformationen einer Ebene \emph{gleichzusammengesetzt} ist. In diesem speciellen Falle, der als ein Ausnahmefall aufgefasst werden muss, lässt sich aus dem Vorhandsein der bekannten Integralinvariante~$\int\psi\, dx_1\, dx_2$ gar kein Vortheil für die Integration des vollständigen Systems:~$X_1f=0$, $X_2f=0$ ziehen. Um in einfacher Weise die kanonischen Formen zu finden, auf welche~$G$ in den verschiedenen Fällen gebracht werden kann, denken wir uns zunächst statt~$x_1\ldots x_4$ solche neue unabhängige Veränderliche \[ x, y, z, \mathfrak{z} \] eingeführt, dass $X_1f$ und $X_2f$ die kanonische Formen \[ X_1 f = z\frac{\partial f}{\partial z}, \quad X_2 f = \mathfrak{z} \frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}}, \] annehmen\anm{15}. Ist dann \[ \int \psi\, dx\, dy \] die entsprechende Form der bekannten Integralinvariante, so können wir setzen \[ \psi = \alpha p + \beta q + \gamma\mathfrak{p} + \delta\mathfrak{q} + \varepsilon(p\mathfrak{q} - \mathfrak{p}q) + \varphi, \] dabei vorausgesetzt, dass wir die abgekürzten Bezeichnungen \[ \frac{\partial z}{\partial x} = p, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = q, \quad \frac{\partial \mathfrak{z}}{\partial x} = \mathfrak{p}, \quad \frac{\partial \mathfrak{z}}{\partial y} = \mathfrak{q} \] einführen. Und da $X_1f$ und $X_2f$ bei einmaliger Erweiterung die Gestalten \begin{align*} X'_1 f &= z\frac{\partial f}{\partial z} + p\frac{\partial f}{\partial p} + q\frac{\partial f}{\partial q} \\ X'_2 f &= \mathfrak{z} \frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}} + \mathfrak{p} \frac{\partial f}{\partial \mathfrak{p}} + \mathfrak{q} \frac{\partial f}{\partial \mathfrak{q}} \end{align*} erhalten, so zerlegen sich die Bedingungsgleichungen für die Invarianz unseres Integrals\anm{16}\label{anm16a} \[ 0 = (\alpha_z z + \alpha)p + (\beta_z z + \beta)q + z\gamma_z\mathfrak{p} + z\delta_z\mathfrak{q} + (z\varepsilon_z + \varepsilon)(p\mathfrak{q} - \mathfrak{p}q) + z\varphi_z \equiv X'_1 \psi \] %-----File: 025.png---------------------------- \[ 0 = \mathfrak{z}\alpha_{\mathfrak{z}}p + \mathfrak{z}\beta_{\mathfrak{z}}q + (\mathfrak{z}\gamma_{\mathfrak{z}} + \gamma) \mathfrak{p} + (\mathfrak{z}\delta_{\mathfrak{z}} + \delta) \mathfrak{q} + (\mathfrak{z}\varepsilon_{\mathfrak{z}} + \varepsilon) (p\mathfrak{q} -\mathfrak{p}q) + \mathfrak{z}\varphi_{\mathfrak{z}} \equiv X'_2 \psi \] in die zwölf Relationen \begin{gather*} 0 = z\alpha_z + \alpha = z\beta_z + \beta = z\gamma_z = z\delta_z = z\varepsilon_z + \varepsilon = z\varphi_z, \\ 0 = \mathfrak{z}\alpha_{\mathfrak{z}} = \mathfrak{z}\beta_{\mathfrak{z}} = \mathfrak{z}\gamma_{\mathfrak{z}} + \gamma = \mathfrak{z}\delta_{\mathfrak{z}} + \delta = \mathfrak{z}\varepsilon_{\mathfrak{z}} + \varepsilon = \mathfrak{z}\varphi_{\mathfrak{z}}, \end{gather*} die uns zeigen, dass die Coefficienten $\alpha, \beta, \ldots \varphi $ die Form \begin{gather*} \alpha = \frac{A(x,y)}{z}, \quad \beta = \frac{B(x,y)}{z}, \quad \gamma = \frac{\mathfrak{A}(x,y)}{\mathfrak{z}}, \quad \delta = \frac{\mathfrak{B}(x,y)}{\mathfrak{z}} \\ \varepsilon = \frac{C(x,y)}{z\mathfrak{z}}, \quad \varphi = D(x,y) \end{gather*} besitzen. Das vorliegende Integral er\-hält daher in den kanonischen Ver\-än\-der\-lichen $x$, $y$, $z$, $\mathfrak{z}$, die Form: \[ \tag{4} \int \left\{ \frac{Ap+Bq}{z} + \frac{\mathfrak{Ap}+\mathfrak{Bq}}{\mathfrak{z}} + \frac{C(p\mathfrak{q}-\mathfrak{p}q)}{z\mathfrak{z}} + D \right\}dx\, dy \] und es sind die Coefficienten $A$, $B$, $\mathfrak{A}$, $\mathfrak{B}$, $C$ und $D$ Funktionen und zwar willkürliche Funktionen von~$x$ und~$y$. Wir suchen jetzt die Gruppe $G$, deren Transformationen die Form der beiden infinitesimalen Transformationen~$X_1 f$, $X_2 f$ sowie die Form des vorliegenden Integrals~(4) bewahren, und zwar werden wir zunächst alle infinitesimale Transformationen \[ \Uf = \xi \frac{\partial f}{\partial x} + \eta \frac{\partial f}{\partial y} + \zeta \frac{\partial f}{\partial z} + \overline{\omega} \frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}} \] bestimmen, die unsere Forderungen erfüllen. Das Verlangen, dass $X_1f$ und $X_2f$ bei der Transformation~$\Uf$ ihre Form bewahren sollen, findet nach meinen allgemeinen Theorien seinen analytischen Ausdruck darin, dass~$\Uf$ sowohl mit~$X_1f$ wie mit~$X_2f$ \emph{vertauschbar}\anm{17} sein soll, was wieder heisst, dass die Relationen \[ X_1 \Uf - U X_1 f=0, \qquad X_2 \Uf - U X_2 f=0 \] bestehen, und dass $\Uf$ dementsprechend die Form\anm{18} \[ \Uf = \xi(x,y)\frac{\partial f}{\partial x} + \eta(x,y)\frac{\partial f}{\partial y} + z\cdot\alpha(x,y)\frac{\partial f}{\partial z} + \mathfrak{z}\cdot\beta(x,y)\frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}} \] %-----File: 026.png---------------------------- besitzt, wobei $\xi$, $\eta$, $\alpha$ und $\beta$ Funktionen von~$x$, $y$ bezeichnen, die durch die Bedingungsgleichung \[ \tag{5} U' \psi + (\xi_x + \eta_y)\psi = 0 \] näher bestimmt werden\anm{16}\label{anm16b}. Durch einmalige Erweiterung von $\Uf$ erhalten wir die Formel: \begin{gather*} U'f = \xi \frac{\partial f}{\partial x} + \eta \frac{\partial f}{\partial y} + z \alpha \frac{\partial f}{\partial z} + \mathfrak{z}\beta \frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}} + \\ + (p \alpha + z\alpha_x - p \xi_x - q \eta_x)\frac{\partial f}{\partial p} + (q\alpha + z\alpha_y - p \xi_y - q\eta_y)\frac{\partial f}{\partial q} + \\ + (\mathfrak{p}\beta + \mathfrak{z} \beta_x - \mathfrak{p} \xi_x - \mathfrak{q} \eta_x) \frac{\partial f}{\partial \mathfrak{p}} + (\mathfrak{q} \beta + \mathfrak{z} \beta_y - \mathfrak{p} \xi_y - \mathfrak{q} \eta_y) \frac{\partial f}{\partial \mathfrak{q}} \end{gather*} Die Bedingungsgleichung (5) erhält daher, wenn wir zur Abkürzung setzen: \[ \xi (x, y) \frac{\partial f}{\partial x} + \eta (x, y) \frac{\partial f}{\partial y} = \Ubarf, \] die Gestalt:\anm{+61} \begin{gather*} \frac{[\overline{U}(A) - \alpha A]p + [ \overline{U}(B) - \alpha B]q}{z} + \frac{[\overline{U}(\mathfrak{A} - \beta \mathfrak{A}]\mathfrak{p} + [\overline{U} (\mathfrak{B}) - \beta \mathfrak{B}]\mathfrak{q}}{\mathfrak{z}} \\ + \frac{[\overline{U} (C) - C ( \alpha + \beta)] (p\mathfrak{q} - \mathfrak{p}q)}{z \mathfrak{z}} + \overline{U}D + \\ + \frac{A ( p\alpha + z \alpha_x - p \xi_x - q \eta_x) + B (q \alpha + z \alpha_y - p \xi_y - q \eta_y)}{z} \\ + \frac{\mathfrak{A}(\mathfrak{p} \beta + \mathfrak{z} \beta_x - \mathfrak{p} \xi_x - \mathfrak{q} \eta_x) + \mathfrak{B} (\mathfrak{q} \beta + \mathfrak{z} \beta_y - \mathfrak{p} \xi_y - \mathfrak{q} \eta_y)}{\mathfrak{z}} \\ + \frac{C [ ( p\mathfrak{q} - \mathfrak{p}q)( \alpha + \beta - \xi_x - \eta_y) + p\mathfrak{z}\beta_y - q\mathfrak{z}\beta_x - \mathfrak{p}z\alpha_y + \mathfrak{qz}\alpha_x]}{z \mathfrak{z}} \\ + (\xi_x + \eta_y) \left[ \frac{Ap + Bq}{z} + \frac{\mathfrak{A}\mathfrak{p} + \mathfrak{B}\mathfrak{q}}{\mathfrak{z}} + \frac{C(p\mathfrak{q}-\mathfrak{p}q)}{z\mathfrak{z}} + D \right] = 0 \end{gather*} und zerlegt sich daher in die sechs Gleichungen: %-----File: 027.png---------------------------- \[\label{form1} \left. \begin{aligned} -C\beta_y &= A\eta_y - B\xi_y + \xi A_x + \eta A_y, \\ C\beta_x &= -A\eta_x + B\xi_x + \xi B_x + \eta B_y, \\ C\alpha_y &=-\mathfrak{B} \xi_y + \mathfrak{A} \eta_y + \xi \mathfrak{A}_x + \eta \mathfrak{A}_y, \\ -C\alpha_x &= \mathfrak{B} \xi_x - \mathfrak{A} \eta_x + \xi \mathfrak{B}_x + \eta \mathfrak{B}_y, \\ 0 &= \xi C_x + \eta C_y \\ 0 &= D(\xi_x+\eta_y) + \xi D_x + \eta D_y + A\alpha_x + B\alpha_y + \mathfrak{A}\beta_x + \mathfrak{B}\beta_y, \end{aligned} \right\} \tag{6} \] die in jedem einzelnen Falle die gesuchten infinitesimalen Transformationen~$\Uf$ vollständig bestimmen. Die Form dieser sechs Gleichungen zeigt, dass es einen wesentlichen Unterschied macht, ob~$C$ eine Constante ist oder nicht. Die fünfte Gleichung \[ \xi C_x + \eta C_y = 0 \tag{7} \] sagt, dass $C$ unter allen Umständen bei den infinitesimalen Transformationen~$\Uf$ invariant bleibt. Ist daher~$C$ keine absolute Constante, sondern eine wirkliche Funktion von~$x$ und~$y$, so ist~$C$ eine \emph{Invariante} nullter Ordnung gegenüber allen~$\Uf$, die somit in diesem Falle sicher eine \emph{intransitive} Gruppe erzeugen. Ist~$C$ dagegen eine absolute Constante, so ist die Bedingung~(7) identisch erfüllt, und dann kann die Gruppe, wie wir später sehen werden, unter Umständen transitiv sein. \bigskip Ehe wir zur Discussion aller möglichen Fälle übergehen, untersuchen wir das Verhalten unseres Integrals bei Ausführung von Transformationen, welche die kanonische Form der beiden infinitesimalen Transformationen bewahren. Wenn wir in die beiden infinitesimalen Transformationen: \[ X_1 f = z\frac{\partial f}{\partial z}, \quad X_2 f = \mathfrak{z}\frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}} \] und die zugehörige Integralinvariante \[ \int \left( \frac{Ap + Bq}{z} + \frac{ \mathfrak{Ap} + \mathfrak{Bq} }{ \mathfrak{z}} + \frac{ C(p\mathfrak{q} - \mathfrak{p}q) }{z\mathfrak{z}} + D \right) dx\, dy \] %-----File: 028.png---------------------------- die neuen Veränderlichen \[ \tag{8} x_1=X(x, y),\ y_1=Y(x,y),\ z_1=z\theOmega(x,y),\ \mathfrak{z}_1=\mathfrak{z}V(x,y) \] einführen, so ist es unmittelbar klar, dass die beiden infinitesimalen Transformationen ihre Form bewahren\anm{19}. Hieraus lässt sich ohne Rechnung der Schluss ziehen, dass auch das obenstehende Integral seine allgemeine Form bewahrt, wenn auch seine Coefficienten~$A$, $B$, $C$, $\mathfrak{A}$, $\mathfrak{B}$ eine neue Gestalt erhalten. Schon früher (S.~\pageref{satz1}) haben wir ja gesehen, dass jedes über die Mannigfaltigkeit $z = Z(x,y)$, $\mathfrak{z} = \mathfrak{Z}(x,y)$ erstreckte Integral $\int \psi \, dx\, dy$, dessen Argument~$\psi$ in den Grössen $p$, $q$, $\mathfrak{p}$, $\mathfrak{q}$, $(p\mathfrak{q}-\mathfrak{p}q)$ linear ist, bei \emph{jeder} Punkttransformation \[ x_1 = L(x,y,z,\mathfrak{z}),\ y_1 = M(\ldots),\ z_1 = N(\ldots),\ \mathfrak{z}_1 = P(\ldots) \] des vierfachen Raumes $x$, $y$, $z$, $\mathfrak{z}$ seine allgemeine Form bewahrt. Dies bleibt eo ipso insbesondere auch dann wahr, wenn die Coefficienten $A$, $B$, $\mathfrak{A}$, $\mathfrak{B}$, $C$, $D$ der Grösse \[ \psi = \frac{Ap + Bq}{z} + \frac{\mathfrak{Ap} + \mathfrak{Bq}}{\mathfrak{z}} + \frac{C(p\mathfrak{q} - \mathfrak{p}q)}{\mathfrak{z}z} + D \] nur von $x$ und $y$ abhängen, und andererseits die Variabeländerung die specielle Form~(8) besitzt. In diesem besonderen Falle lässt sich überdies mit Leichtigkeit erkennen, dass auch im transformierten Integral $\int \psi'\, dx_1\, dy_1$ die Coefficienten $A_1$, $B_1$, $\mathfrak{A}_1$, $\mathfrak{B}_1$, $C_1$ und $D_1$ der Grösse \[ \psi' = \frac{A_1 p_1 + B_1 q_1}{z_1} + \frac{\mathfrak{Ap}_1 + \mathfrak{Bq}_1}{\mathfrak{z}_1} + \frac{C_1(p_1 \mathfrak{q}_1 - \mathfrak{p}_1 q_1)}{z_1\mathfrak{z}_1} + D_1 \] nur von $x_1$ und $y_1$ abhängen. Dies folgt unmittelbar daraus, dass die Transformation \[ x_1 = X(x,y),\ y_1 = Y(x,y),\ z_1 = z\cdot \theOmega(x,y),\ \mathfrak{z}_1 = \mathfrak{z}V(x,y) \] eben weil sie sowohl \[ X_1f = z\frac{\partial f}{\partial z},\ \mathrm{wie }\ X_2f = \mathfrak{z}\frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}} \] %-----File: 029.png---------------------------- invariant lässt, auch jedes bei $X_1 f$ und $X_2 f$ invariante Integral in ein Integral überführen muss, das ebenfalls bei diesen beiden Transformationen invariant bleibt. Das transformirte Integral:~$\int \psi'\, dx_1\, dy_1$, dessen Argument $\psi'$ jedenfalls in $p_1$, $q_1$, $\mathfrak{p}_1$, $\mathfrak{q}_1$ und $p_1 \mathfrak{q}_1 - \mathfrak{p}_1 q_1$ linear ist, bleibt aber nur dann bei \[ z_1 \frac{\partial f}{\partial z_1}\quad \mathrm{und}\quad \mathfrak{z}_1 \frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}_1} \] invariant, wenn die transformirten Coefficienten $A_1$, $B_1$, $\mathfrak{A}_1$, $\mathfrak{B}_1$ und~$C_1$ nur von~$x_1$ und~$y_1$ abhängen. Indem wir diese Thatsache analytisch bestätigen, werden wir mehrere weitergehende Resultate erhalten, die sich übrigens ebenfalls ohne Rechnung durch synthetische Betrachtungen herleiten liessen. \bigskip Wir tragen die Werthe $x_1=X(x,y),\ \ldots\ \mathfrak{z}_1 = \mathfrak{z}\cdot V(x,y)$ in die Gleichung \[ dz_1 - p_1 dx_1 - q_1 dy_1 = 0 \] ein und erhalten hierdurch eine in den Differentialen $dx$, $dy$ lineäre Relation \begin{gather*} \theOmega (pdx + qdy) + z(\theOmega_x\, dx + \theOmega_y\, dy) =\\ = p_1 (X_x\, dx + X_y\, dy) + q_1 (Y_x\, dx + Y_y\, dy), \end{gather*} die sich in die beiden Gleichungen \begin{align*} \theOmega p &= X_x p_1 + Y_x q_1 - z\theOmega_x,\\ \theOmega q &= X_y p_1 + Y_y q_1 - z\theOmega_y \end{align*} zerlegt. Dividieren wir sodann links und rechts mit der Grösse \[ z_1 = z\theOmega, \] so erhalten wir zunächst die Formeln: \begin{align*} \frac {p}{z} &= X_x\frac{p_1}{z_1} + Y_x\frac{q_1}{z_1} - \frac{\theOmega_x}{\theOmega}, \\ \frac {q}{z} &= X_y\frac{p_1}{z_1} + Y_y\frac{q_1}{z_1} - \frac{\theOmega_y}{\theOmega}, \end{align*} %-----File: 030.png---------------------------- sodann in entsprechender Weise die analogen Formeln: \begin{align*} \mathfrak{\frac{p}{z}} &= X_x \mathfrak{\frac{p_1}{z_1}} + Y_x \mathfrak{\frac{q_1}{z_1}} - \frac{V_x}{V}, \\ \mathfrak{\frac{q}{z}} &= X_y \mathfrak{\frac{p_1}{z_1}} + Y_y \mathfrak{\frac{q_1}{z_1}} - \frac{V_y}{V}, \end{align*} und endlich die Gleichung\anm{20}: \begin{multline*} \frac{p \mathfrak{q } - \mathfrak{p }q }{z \mathfrak{z }} = \frac{p_1\mathfrak{q_1} - \mathfrak{p_1}q_1}{z_1\mathfrak{z_1}} (X_x Y_y - X_y Y_x) \\ - \frac{p_1}{z_1}\left( X_x \frac{V_y}{V} - X_y \frac{V_x}{V} \right) - \frac{q_1}{z_1}\left( Y_x \frac{V_y}{V} - Y_y \frac{V_x}{V} \right) \\ + \mathfrak{\frac{p_1}{z_1}} \left( X_x \frac{\theOmega_y}{\theOmega} - X_y \frac{\theOmega_x}{\theOmega} \right) + \mathfrak{\frac{q_1}{z_1}} \left( Y_x \frac{\theOmega_y}{\theOmega} - Y_y \frac{\theOmega_x}{\theOmega} \right) + \frac{\theOmega_x V_y - \theOmega_y V_x}{\theOmega V}. \end{multline*} Diese Werthe tragen wir in den Ausdruck \[ \psi = \frac{Ap + Bq}{z} + \mathfrak{\frac{Ap + Bq}{z}} + \frac{C(p\mathfrak{q} - \mathfrak{p}q)}{z\mathfrak{z}} + D \] ein und erinnern uns dabei, dass \[ \psi = \psi' \Delta \] ist, wenn wir die Funktionaldeterminante von~$X$ und~$Y$ nach~$x$ und~$y$ mit~$\Delta$ bezeichnen. Alsdann erhalten wir die Formeln\anm{+62} \[\label{form5} \tag{9} \left. \begin{aligned} C_1 &= C \\ \Delta\cdot A_1 &= AX_x + BX_y - C\left( X_x \frac{V_y}{V} - X_y \frac{V_x}{V} \right), \\ \Delta\cdot B_1 &= AY_x + BY_y - C\left( Y_x \frac{V_y}{V} - Y_y \frac{V_x}{V} \right), \\ \Delta\cdot \mathfrak{A}_1 &= \mathfrak{A} X_x + \mathfrak{B} X_y + C\left( X_x \frac{\theOmega_y}{\theOmega} - X_y \frac{\theOmega_x}{\theOmega} \right), \\ %-----File: 031.png---------------------------- \Delta\cdot \mathfrak{B}_1 &= \mathfrak{A} Y_x + \mathfrak{B} Y_y + C\left( Y_x \frac{\theOmega_y}{\theOmega} - Y_y \frac{\theOmega_x}{\theOmega} \right), \\ \Delta\cdot D_1 &= C\cdot \frac{\theOmega_x V_y - \theOmega_y V_x}{\theOmega V} - A \frac{\theOmega_x}{\theOmega} - B \frac{\theOmega_y}{\theOmega} - \mathfrak{A} \frac{V_x}{V} - \mathfrak{B} \dfrac{V_y}{V} + D. \end{aligned} \right\} \] In diesen Untersuchungen spielt die Grösse: \[ \omega = CD + \mathfrak{A} B - A \mathfrak{B} \] eine hervortretende Rolle. Es lässt sich von vornherein erkennen, dass diese Grösse bei \emph{jeder} Punkttransformation des Raumes $x$, $y$, $z$, $\mathfrak{z}$ in dem Sinne als Invariante auftritt, dass das Verschwinden oder Nichtverschwinden dieser Grösse von Variabel-Aenderungen unberührt bleibt. Um dies in einfacher Weise einzusehen, deuten wir wie früher die Grössen \[ p, q, \mathfrak{p}, \mathfrak{q}, p\mathfrak{q} - \mathfrak{p}q \] als Liniencoordinaten des dreifachen ebenen Raumes $M_3$, der von allen Linienelementen~$dx: dy: dz: d\mathfrak{z}$; durch einen bestimmten Punkt gebildet wird. Die Gleichung: \[ 0 = \psi \equiv \frac{Ap + Bq}{z} + \mathfrak{\frac{Ap + Bq}{z}} + \frac{C(p\mathfrak{q} - \mathfrak{p}q)}{z\mathfrak{z}} + D \] definiert bei dieser Auffassung einen \emph{linearen Liniencomplex} des Raumes~$M_3$, dessen Coordinaten $dx: dy: dz: d\mathfrak{z}$ bei der Punkttransformation: $x_1 = X(x,y) \ldots \mathfrak{z}_1 = \mathfrak{z} V(x,y)$ linear und homogen, nämlich durch die Gleichungen: \begin{align*} dx_1 &= X_x dx + X_y dy, \qquad dy_1 = Y_x dx + Y_y dy, \\ dz_1 &= \theOmega dz + z(\theOmega_x dx + \theOmega_y dy), \\ d\mathfrak{z}_1 &= V d\mathfrak{z} + \mathfrak{z}(V_x dx + V_y dy), \end{align*} transformirt werden. Aus der Liniengeometrie ist es aber bekannt, dass bei dieser Transformation die Grösse \[ CD + \mathfrak{A} B - A \mathfrak{B} = \omega \] %-----File: 032.png---------------------------- im Sinne der projectiven Geometrie oder sagen wir lieber im Sinne der \emph{Cayley}'schen Invariantentheorie sich als Invariante verhält\anm{21}. Analytisch ergiebt sich das hiermit gefundene Resultat unmittelbar, wenn wir die obenstehenden Werthe der Grössen $A_1$, $B_1$, $\mathfrak{A}_1$, $\mathfrak{B}_1$, $C_1$ und~$D_1$ \label{form4} in den Ausdruck: %% Das Original weist folgenden Druckfehler auf: $C_1D_1 + %% \mathfrak{A}_1\mathfrak{B}_1 - A_1\mathfrak{B}_1$ \[ C_1D_1 + \mathfrak{A}_1B_1 - A_1\mathfrak{B}_1 \] einführen. Hierbei erhalten wir nämlich die Formel: \[\label{anm27} \Delta(C_1D_1 + \mathfrak{A}_1B_1 - A_1\mathfrak{B}_1) = CD + \mathfrak{A}B - A\mathfrak{B}. \] Jetzt können wir noch weitere Schlüsse ziehen, die sich auf den speciellen Fall: \[ C = 0 \] beziehen. In diesem Falle erhalten die obenstehenden Ausdrücke der Grössen $A_1$, $B_1$, $\mathfrak{A}_1$, $\mathfrak{B}_1$, $D_1$ die einfache Form \begin{gather*}\label{form3} \Delta\cdot A_1 = AX_x + BX_y,\qquad \Delta\cdot B_1 = AY_x + BY_y\\ \Delta\cdot \mathfrak{A}_1 = \mathfrak{A}X_x + \mathfrak{B}X_y,\qquad \Delta\cdot \mathfrak{B}_1 = \mathfrak{A}Y_x + \mathfrak{B}Y_y\\ \Delta\cdot D_1 = - A\frac{\theOmega_x}{\theOmega} - B\frac{\theOmega_y}{\theOmega} - \mathfrak{A}\frac{V_x}{V} - \mathfrak{B}\frac{V_y}{V} + D. \end{gather*} Die letzte Formel zeigt, dass es, sobald $A$, $B$, $\mathfrak{A}$ und~$\mathfrak{B}$ nicht sämmtlich gleich Null sind, immer möglich ist, die Grössen~$\theOmega$ und~$V$ derart zu wählen, dass~$D_1$ verschwindet. Ist überdies \[ A\mathfrak{B}-\mathfrak{A}B \neq 0, \] so kann $X$ und $Y$ so gewählt werden, dass~$A_1$ und~$\mathfrak{B}_1$ gleich Null werden\anm{22}. \bigskip Wir wollen jetzt annehmen, dass der Coefficient $C$ constant ist. Multiplicieren wir die auf Seite~\pageref{form1} gefundene Formel \[ 0 = D(\xi_x + \eta_y) + D_x\xi + D_y\eta + A\alpha_x + B\alpha_y +\mathfrak{A}\beta_x + \mathfrak{B}\beta_y \] %-----File: 033.png---------------------------- mit $C$ und tragen sodann in ihr die auf derselben Seite gegebenen Werthe der Grössen~$C\alpha_x$, $C\alpha_y$, $C\beta_x$, $C\beta_y$ ein, so erhalten wir, indem wir zur Abkürzung: \[ CD + \mathfrak{A}B - A\mathfrak{B} = \omega \] setzen, die Gleichung \[ \omega(\xi_x + \eta_y) + \omega_x\xi + \omega_y\eta = 0 \] die uns zeigt, dass $\omega$ \emph{einen gemeinsamen Multiplicator aller~$\Ubarf$ darstellt}\anm{23}. Differentiiren wir andererseits die erste Gleichung (6) nach $x$ und die zweite nach~$y$ und addieren die Resultate, so erhalten wir die Integrabilitätsbedingung \[ 0 = \xi(A_{xx} + B_{xy}) + \eta(A_{xy} + B_{yy}) + (\xi_x + \eta_y)(A_x + B_y) \] oder wenn wir \[ A_x + B_y = \varrho \] setzen, die Gleichung \[ \varrho(\xi_x + \eta_y) + \varrho_x\xi + \varrho_y\eta = 0 \] die uns zeigt, dass \emph{auch die Grösse $\varrho = A_x + B_y$ einen gemeinsamen Multiplicator aller~$\Ubarf$ liefert}. Durch ganz analoge Behandlung der dritten und vierten Gleichung~(6) erkennen wir, dass die Grösse \[ \sigma = \mathfrak{A}_x + \mathfrak{B}_y \] die Gleichung \[ \sigma(\xi_x + \eta_y) + \sigma_x\xi + \sigma_y\eta = 0 \] erfüllt und also \emph{wiederum einen gemeinsamen Multiplicator aller~$\Ubarf$ darstellt}. Wir fassen die bisherigen Resultate in der folgenden Weise zusammen: \bigskip \begin{satz}\label{anm32a} Ist die Grösse $C$ eine Constante, so stellt eine jede unter den drei Grössen \begin{gather*} \omega = CD + \mathfrak{A}B - A\mathfrak{B},\\ \varrho = A_x + B_y,\qquad \sigma = \mathfrak{A}_x + \mathfrak{B}_y\\ \end{gather*} einen gemeinsamen Multiplicator aller $\Ubarf$ dar. \end{satz} %-----File: 034.png---------------------------- \bigskip Indem wir jetzt weiter gehen, wollen wir zuerst ausdrücklich voraussetzen, dass die Constante~$C$ von Null verschieden ist; sodann erledigen wir den Fall~$C = 0$, und schliesslich machen wir die Annahme, dass~$C$ keine Constante, sondern eine wirkliche Funktion von~$x$ und~$y$ darstellt. \begin{center} \makebox[10em]{\hrulefill}\bigskip \end{center} \subsection*{$\mathbf{C = Const. \neq 0.}$} \label{case1} Ist $C$ constant und von Null verschieden, so sind die Grössen~$\xi$ und~$\eta$ bestimmt durch die drei Gleichungen: \begin{equation} \tag{10} \left. \begin{aligned} \omega(\xi_x + \eta_y) + \omega_x\xi + \omega_y\eta&=&0\\ \varrho(\xi_x + \eta_y) + \varrho_x\xi + \varrho_y\eta&=&0\\ \sigma(\xi_x + \eta_y) + \sigma_x\xi + \sigma_y\eta&=&0 \end{aligned} \right\} \end{equation} die in den Grössen \[ \xi_x + \eta_y, \quad\xi, \quad\eta \] linear und homogen sind. Ist daher die Determinante \[ \begin{vmatrix} \omega & \omega_x &\omega_y\\ \varrho & \varrho_x &\varrho_y\\ \sigma & \sigma_x &\sigma_y \end{vmatrix} \equiv\theTheta \] nicht identisch Null, so sind $\xi$ und $\eta$ alle beide gleich Null, und dann zeigen die vier ersten Gleichungen (6), die jetzt die Form \[ \beta_y = 0,\ \beta_x = 0,\ \alpha_x = 0,\ \alpha_y = 0 \] annehmen, dass $\alpha$ und $\beta$ Constante sind und dass $\Uf$ daher die Form \[ \mathrm{Const}\cdot z\frac{\partial f}{\partial z} + \mathrm{Const}\cdot\mathfrak{z}\frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}} \] besitzt. In diesem Falle enthält die gesuchte Gruppe $G$ keine anderen unabhängigen infinitesimalen Transformationen als %-----File: 035.png---------------------------- \[ X_1f = z\frac{\partial f}{\partial z},\ X_2f = \mathfrak{z}\frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}}. \] \bigskip \label{case2} Verschwindet dagegen die Determinante $\theTheta$ identisch, während ihre zweireihigen Unterdeterminanten nicht sämtlich gleich Null sind, so reducieren sich die \emph{drei} Gleichungen~(10) auf zwei unabhängige, die alle beide die Form \begin{eqnarray*} M(\xi_x + \eta_y) + M_x\xi + M_y \eta &=& 0,\\ N(\xi_x + \eta_y) + N_x\xi + N_y \eta &=& 0 \end{eqnarray*} besitzen. Dann haben alle infinitesimalen Transformationen: \[ \Ubarf = \xi \frac{\partial f}{\partial x} + \eta \frac{\partial f}{\partial y} \] zwei gemeinsame Multiplicatoren $M$ und $N$. Dementsprechend ist das Verhältniss~$M : N$ eine gemeinsame Lösung aller Gleichungen \[ 0 = \xi \frac{\partial f}{\partial x} + \eta \frac{\partial f}{\partial y} \equiv \Ubarf. \] Es ist nun immer möglich statt $x$ und $y$ zwei solche neue Veränderliche \[\label{form2} x_1 = \frac{M}{N},\ y_1 = Y(x,y) \] einzuführen, dass \[ M=x,\ N=1 \] wird\anm{24}. Die Definitionsgl.\anm{+63} der infinitesimalen Transformation \[ \Ubarf = \xi \frac{\partial f}{\partial x} + \eta \frac{\partial f}{\partial y} \] erhalten hierbei die Form: \[ \Ubarf = \mu (x)\frac{\partial f}{\partial y} \] und die Transformation %-----File: 036.png---------------------------- \[ \Uf = \mu(x) \frac{\partial f}{\partial y} + z\alpha(x,y) \frac{\partial f}{\partial z} + \mathfrak{z}\beta(x,y) \frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}} \] wird bestimmt durch die Gleichungen: \begin{align*} -C \beta_y &= \mu(x) A_y \\ C \beta_x &= -A \mu'(x) + \mu(x) B_y \\ C \alpha_y &= \mu(x) \mathfrak{A}_y \\ -C \alpha_x &= -\mathfrak{A} \mu'(x) + \mu(x) \mathfrak{B}_y. \end{align*} Die zugehörigen Integrabilitätsbedingungen \[ A_{xy} + B_{yy} = 0,\qquad \mathfrak{A}_{xy} + \mathfrak{B}_{yy} = 0 \] werden in allgemeinster Weise befriedigt, wenn wir \[ A_x + B_y = X'(x),\qquad \mathfrak{A}_{x} + \mathfrak{B}_y = X'_1(x) \] und \[ A = X(x) + \theOmega_y, \quad B = -\theOmega_x, \quad \mathfrak{A} = X_1(x) + V_y, \quad \mathfrak{B} = -V_x \] setzen. Die entsprechenden Werthe der Grössen $\alpha$ und~$\beta$ sind daher \[ \alpha = \frac{\mu(x)}{C} V_y + \frac{1}{C} \int X_1(x) d\mu, \qquad \beta = -\frac{\mu\theOmega_y}{C} - \frac{1}{C} \int X d\mu. \] Führen wir hier neue Veränderliche ein, nämlich \[ x_1 = x, \qquad y_1 = y, \qquad z_1 = ze^{-\frac{V}{C}}, \qquad \mathfrak{z}_1 = \mathfrak{z} e^{\frac{\theOmega}{C'}}, \] so sehen wir, dass wir in den früheren Formeln ohne Beschränkung \[ V=0, \qquad \theOmega=0 \] setzen können. Hierbei enthält unsere Integralinvariante die Form \[ \tag{11} \int \left( \frac{X(x)p}{z} + \frac{X_1(x)\mathfrak{p}}{\mathfrak{z}} + \frac{C(p\mathfrak{q} - \mathfrak{p}q)}{z\mathfrak{z}} + D \right) dx\, dy \] %-----File: 037.png---------------------------- während \[ \tag{12} \Uf = \mu(x) \frac{\partial f}{\partial y} + \frac{1}{C}\left( \int X_1 \,d\mu \right) z \frac{\partial f}{\partial z} - \frac{1}{C}\left( \int X \,d\mu \right) \mathfrak{z} \frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}} \] wird. Setzen wir $\mu=1$, so erkennen wir noch, dass $D$ eine Funktion von~$x$ allein sein muss\anm{25}. Sind andererseits im Integrale~(11) die Grössen~$X$, $X_1$ und~$D$ beliebige Funktionen von~$x$, die jedenfalls nicht mehr als eine homogene lineare Gleichung \[ kX' + k_1 X'_1 + k_0 D = 0 \] mit konstanten Coefficienten erfüllen, so besitzt die Gruppe des Integrals~(11) die Form~(12)\anm{26}. \bigskip \label{case3} Jetzt nehmen wir an, dass nicht allein die Determinante \[ \begin{vmatrix} \omega & \omega_x & \omega_y \\ \varrho & \varrho_x & \varrho_y \\ \sigma & \sigma_x & \sigma_y \end{vmatrix} \] der Grössen $\omega = CD + \mathfrak{A}B - A\mathfrak{B}$, $\varrho = A_x + B_y$, $\sigma = \mathfrak{A}_x + \mathfrak{B}_y$ sondern auch alle ihre zweireihigen Unterdeterminanten verschwinden, während die drei Grössen~$\omega$, $\varrho$ und $\sigma$ nicht sämmtlich gleich Null sind. In diesem Falle reduciren sich die drei Gleichungen \[ \tag{10} \left. \begin{aligned} \omega (\xi_x + \eta_y) + \omega_x \xi + \omega_y \eta &= 0 \\ \varrho(\xi_x + \eta_y) + \varrho_x\xi + \varrho_y\eta &= 0 \\ \sigma (\xi_x + \eta_y) + \sigma_x \xi + \sigma_y \eta &= 0 \end{aligned} \right\} \] auf eine einzige Gleichung \[ N(\xi_x + \eta_y) + N_x\xi + N_y\eta = 0 \] und dabei können wir ohne Beschränkung annehmen (das heisst, wir können durch eine passende Variabeländerung erreichen) dass~$N$ gleich Eins wird\anm{27}. Die Definitionsgleichung \[ \xi_x + \eta_y = 0 \] %-----File: 038.png---------------------------- zeigt, dass wir \[ \xi = W_y,\quad \eta =-W_x \] setzen können und dass die Funktion $W(x,y)$ ganz beliebig gewählt werden kann. Die Gleichungen (10) erhalten jetzt die Form \[ \omega_x W_y - \omega_y W_x=0,\quad \varrho_x W_y-\varrho_y W_x=0,\quad \sigma_x W_y - \sigma_y W_x=0 \] und sie sollen bestehen, \emph{welche Funktion von~$x$, $y$ die Grösse~$W$ sein möge}. Also sind~$\omega$, $\varrho$ und~$\sigma$ drei Constanten, die aber nicht sämmtlich gleich Null sein können\anm{28}. Es ist also \begin{flalign*} &\phantom{(k_i=\text{Const.})}& & \omega=k_1,\quad \varrho=k_2,\quad \sigma=k_3 & (k_i=\text{Const.}) & \end{flalign*} oder \begin{gather*} CD+\mathfrak{A}B-A\mathfrak{B}=k_1 \\ A_x + B_y = k_2 \\ \mathfrak{A}_x + \mathfrak{B}_y=k_3 \end{gather*} woraus \[ A = k_2 x + \varOmega_y, \quad B = -\varOmega_x, \quad \mathfrak{A} = k_3 x + V_y, \quad \mathfrak{B} = -V_x ; \] und es ergiebt sich genau wie im vorigen Falle, dass wir ohne Beschrän\-kung $\varOmega=V=0$ setzen können, so dass unser Integral die Form: \[ \tag{13} \int \left( \frac{k_2\: xp}{z} + \frac{k_3\: x\mathfrak{p}}{\mathfrak{z}} + \frac{C(p\mathfrak{q}-\mathfrak{p}q)}{z\mathfrak{z}} + k_4 \right) dx\:dy \] annimmt, wobei $k_4$ eine Constante bezeichnet. Ist andererseits~$C$ von Null verschieden, und sind die drei Constanten~$k_2$, $k_3$, $k_4$ nicht sämmtlich gleich Null, so entspricht das obenstehende Integral immer den hier gemachten Voraussetzungen. Die zugehörigen infinitesimalen Transformationen~$\Uf$ sind bestimmt durch die Gleichungen~(6), die durch Substitution der Werthe \[ A=k_2\, x,\quad B=0,\quad \mathfrak{A}=k_3\, x, \quad \mathfrak{B}=0,\quad \xi=W_y,\quad \eta=-W_x \] die Form %-----File: 039.png---------------------------- \begin{align*} -C\beta_y &= -k_2 x W_{xy} + k_2 W_y \\ C\beta_x &= k_2 x W_{xx} \\ C\alpha_y &= -k_3 x W_{xy} + k_3 W_y \\ -C\alpha_x &= k_3 x W_{xx} \end{align*} annehmen. Es ist daher \begin{align*} C\beta &= k_2 x W_x-k_2 W+ \text{Const.} \\ -C\alpha &= k_3 x W_x-k_3 W+ \text{Const.} \end{align*} und \[ \begin{split} \Uf = W_y \frac{\partial f}{\partial x} - W_x \frac{\partial f}{\partial y} &- (k_3 x W_x - k_3W + \textrm{Const.}) z \frac{\partial f}{\partial z} \\ &+ (k_2 x W_x - k_2W + \textrm{Const.}) \mathfrak{z} \frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}}. \end{split} \tag{14} \] \bigskip Es erübrigt noch, den Fall \[\label{case4} \omega=0, \qquad \varrho \equiv A_x + B_y= 0, \qquad \sigma \equiv \mathfrak{A}_x + \mathfrak{B} = 0 \] zu erledigen. In diesem Fall ist \[ A=\varOmega_x, \qquad B=-\varOmega_y, \qquad \mathfrak{A}=V_x, \qquad \mathfrak{B}=-V_y \] und wir erkennen wie früher, dass wir~$\varOmega$ und~$V$ ohne Beschränkung gleich Null und dementsprechend \[ A=0, \qquad B=0, \qquad \mathfrak{A}=0, \qquad \mathfrak{B}=0 \] setzen können, und da $\omega=0$ ist, so folgt, dass auch \[ D=0 \] sein muss. Die kanonische Form unserer Integralinvariante wird also im vorliegenden Falle \[ \int \frac{p\mathfrak{q} - \mathfrak{p}q}{z\mathfrak{z}} dx \, dy. \] [Wenn wir alle diese Resultate zusammenfassen, können wir folglich das Theorem aussprechen\anm{+64}:] % original had a 29) marker here %-----File: 040.png---------------------------- \begin{theorem} Bleibt das über zweidimensionale Mannigfaltigkeiten:\\ $z=Z(x,y)$, $\mathfrak{z}=\mathfrak{Z}(x,y)$ erstreckte Integral \[ \int \Big( \alpha p + \beta q + \gamma\mathfrak{p} + \delta\mathfrak{q} + \varepsilon(p\mathfrak{q}-\mathfrak{p}q) + \varphi \Big) dx\,dy \] invariant bei den beiden infinitesimalen Transformationen \[ X_1 f = z \frac{\partial f}{\partial z},\quad X_2 f = \mathfrak{z} \frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}}, \] und haben die Coefficienten $\alpha, \beta, \ldots \varphi$ in Folge dessen die Form \[\wideeqn \alpha = \frac{A(x,y)}{z},\ \beta = \frac{B(x,y)}{z},\ \gamma = \frac{\mathfrak{A}(x,y)}{\mathfrak{z}},\ \delta = \frac{\mathfrak{B}(x,y)}{\mathfrak{z}},\ \varepsilon = \frac{C(x,y)}{\mathfrak{z}z},\ \varphi= D(x,y); \] ist ferner \[ \Uf = \xi\frac{\partial f}{\partial x} + \eta\frac{\partial f}{\partial y} + \zeta\frac{\partial f}{\partial z} + \vartheta\frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}} \] die allgemeinste infinitesimale Transformation, die~$X_1 f$, $X_2 f$ und das obenstehende Integral invariant lässt, und ist endlich die Grösse~$C$ eine von Null verschiedene Constante, so sind~$\xi(x,y)$ und~$\eta(x,y)$ Funktionen von~$x$ und~$y$, die durch die Gleichungen \begin{widegather*} (CD+\mathfrak{A}B-A\mathfrak{B})(\xi_x + \eta_y) + (CD+\mathfrak{A}B-A\mathfrak{B})_x \cdot \xi + (CD+\mathfrak{A}B-A\mathfrak{B})_y \cdot \eta = 0 \\ (A_x + B_y)(\xi_x + \eta_y) + (A_x + B_y)_x \cdot \xi + (A_x + B_y)_y \cdot \eta = 0 \\ (\mathfrak{A}_x + \mathfrak{B}_y)(\xi_x + \eta_y) + (\mathfrak{A}_x + \mathfrak{B}_y)_x \cdot \xi + (\mathfrak{A}_x + \mathfrak{B}_y)_y \cdot \eta = 0 \end{widegather*} bestimmt werden. Die Incremente $\zeta$ und $\vartheta$ besitzen die Form \[ \xi = z \cdot \alpha(x,y),\quad \vartheta = \mathfrak{z} \cdot \beta(x,y) \] und dabei werden $\alpha$ und $\beta$ durch Quadratur der immer integrablen Gleichungen \begin{align*} -C\beta_y &= A\eta_y - B\xi_y + \xi A_x + \eta A_y, \\ C \beta_x &= -A\eta_x + B\xi_x + \xi B_x + \eta B_y, \\ C \alpha_y &= -\mathfrak{B}\xi_y + \mathfrak{A}\eta_y + \xi \mathfrak{A}_x + \eta \mathfrak{A}_y, \\ -C\alpha_x &= \mathfrak{B}\xi_x - \mathfrak{A}\eta_x + \xi \mathfrak{B}_x + \eta \mathfrak{B}_y \end{align*} %-----File: 041.png---------------------------- gefunden. Hier können vier wesentlich verschiedene Fälle eintreten. Ist die Determinante \[ \begin{vmatrix} \omega & \omega_x & \omega_y \\ \varrho & \varrho_x & \varrho_y \\ \sigma & \sigma_x & \sigma_y \end{vmatrix} = \theTheta \] von Null verschieden\anm{29}\label{anm29}, so ist $\xi=\eta=0$, $\alpha=\text{Const.}$, $\beta=\text{Const.}$ \[ \Uf = \text{ Const. } z \frac{\partial f}{\partial z} + \text{ Const. } \mathfrak{z} \frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}}. \] Durch ein passende Variabel-Änderung kann man immer erreichen, dass $A=0$, $\mathfrak{A}=0$ wird. Verschwindet die dreireihige Determinante $\theTheta$, während ihre zweireihigen Unterdeterminanten nicht sämmtlich gleich Null sind, so kann die Integralinvariante auf die kanonische Form\anm{+65} \[ \int\left( \frac{X(x)p}{z} + \frac{X_1(x)\mathfrak{p}}{\mathfrak{z}} + C\cdot\dfrac{p\mathfrak{q} - \mathfrak{p}q}{z\mathfrak{z}} + D(x) \right) dx\, dy \] gebracht werden, während\anm{+66} \[ \Uf = \mu(x) \frac{\partial f}{\partial x} + \dfrac1C\left( \int X_1\, d\mu \right) z \frac{\partial f}{\partial z} -\dfrac1C\left( \int X \, d\mu \right) \mathfrak{z} \frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}} \] ist. Verschwinden auch die zweireihigen Unterdeterminanten, während~$\omega$, $\varrho$ und~$\sigma$ nicht sämmtlich gleich Null sind, [so kann die Integralinvariante auf die kanonische Form \[ \int\left( \frac{k_2\: xp}{z} + \frac{k_3\: x\mathfrak{p}}{\mathfrak{z}} + \frac{C(p\mathfrak{q} - \mathfrak{p}q)}{z\mathfrak{z}} + k_4 \right) dx\, dy \] gebracht werden, wo $k_2$, $k_3$ und $k_4$ Constanten bezeichnen, die nicht sämmtlich gleich Null sind, und die zugehörige infinitesimale Transformation~$\Uf$ ist: \begin{gather*} \Uf = W_y \frac{\partial f}{\partial x} - W_x \frac{\partial f}{\partial y} - ( k_3 xW_x - k_3 W + \text{const.}) z \frac{\partial f}{\partial z} \\ + ( k_2 xW_x - k_2 W + \text{const.}) \mathfrak{z} \frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}}. \end{gather*} %-----File: 042.png---------------------------- Wenn endlich alle drei Grössen $\omega$, $\varrho$ und $\sigma$ gleich Null sind, so kann die Integralinvariante auf die kanonische Form \[ \int\frac{p\mathfrak{q}-\mathfrak{p}q}{z\mathfrak{z}}\,dx\,dy \] gebracht werden und die zugehörige infinitesimale Transformation hat die Form \[ \Uf = \xi\frac{\partial f}{\partial x} + \eta\frac{\partial f}{\partial y} + z\alpha\frac{\partial f}{\partial z} + \mathfrak{z}\beta\frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}} \] wo $\xi$, $\eta$, $\alpha$ und $\beta$ ganz beliebige Funktionen von x und y sind]\anm{30}. \end{theorem} \begin{center} \makebox[10em]{\hrulefill}\bigskip \end{center} \subsection*{$\mathbf{C = 0.}$} Hiermit kennen wir alle Fälle, die eintreten können, wenn $C$ eine von Null verschiedene Constante darstellt. Jetzt setzen wir voraus, dass~$C = 0$ ist und finden dabei zweckmässig zwischen zwei Unterfällen zu unterscheiden je nachdem die Grösse\label{case5} \[ \omega = A\mathfrak{B} - \mathfrak{A}B \] von Null verschieden oder gleich Null ist. Seien zunächst: \[ \mathbf{C = 0,\qquad A\mathfrak{B} - \mathfrak{A}B \neq 0 } \] Ist $C = 0$, so erhalten die Gleichungen (6) die einfache Form \[ \left. \begin{aligned} &0 = A\eta_y - B\xi_y + \xi A_x + \eta A_y, \\ &0 = - A\eta_x + B\xi_x + \xi B_x + \eta B_y, \\ &0 = - \mathfrak{B}\xi_y + \mathfrak{A}\eta_y + \xi\mathfrak{A}_x + \eta\mathfrak{A}_y, \\ &0 = \mathfrak{B}\xi_x + \mathfrak{A}\eta_x + \xi\mathfrak{B}_x + \eta\mathfrak{B}_y, \\ &0 = D(\xi_x + \eta_y ) + \xi D_x + \eta D_y + A\alpha_x + B\alpha_y + \mathfrak{A}\beta_x + \mathfrak{B}\beta_y \end{aligned} \right\} \tag{15} \] Da wir nun überdies angenommen haben, dass die Grösse $A\mathfrak{B} - \mathfrak{A}B$ von Null verschieden ist, so können wir die erste und dritte Gleichung %-----File: 043.png---------------------------- nach~$\xi_y$ und~$\eta_y$ auflösen, und ebenfalls aus der zweiten und vierten Gleichung die Grössen $\eta_x$ und $\xi_x$ bestimmen. Die Form dieser Auflösungen:\label{anm32b} \begin{align*} &0 = (A\mathfrak{B} - \mathfrak{A}B) \eta_y + (\mathfrak{B}A_x - B\mathfrak{A}_x) \xi + (\mathfrak{B}A_y - B\mathfrak{A}_y) \eta, \\ &0 = (A\mathfrak{B} - \mathfrak{A}B) \xi_y + (\mathfrak{A}A_x - A\mathfrak{A}_x) \xi + (\mathfrak{A}A_y - A\mathfrak{A}_y) \eta, \\ &0 = (A\mathfrak{B} - \mathfrak{A}B) \eta_x + (B\mathfrak{B}_x - \mathfrak{B}B_x) \xi + (B\mathfrak{B}_y - \mathfrak{B}B_y) \eta, \\ &0 = (A\mathfrak{B} - \mathfrak{A}B) \xi_x + (A\mathfrak{B}_x - \mathfrak{A}B_x) \xi + (A\mathfrak{B}_y - \mathfrak{A}B_y) \eta \end{align*} zeigt, dass die durch Integration dieser Gleichungen hervorgehenden Ausdrücke für $\xi$ und $\eta$ höchstens zwei willkürliche Constante enthalten\anm{31}. Die verkürzten infinitesimalen Transformationen \[ \Ubarf = \xi\frac{\partial{f}}{\partial{x}} + \eta\frac{\partial{f}}{\partial{y}} \] bilden daher immer eine \emph{endliche} Gruppe, die höchstens zwei Parameter enthält. Indem wir genau wie im vorigen Falle\anm{32} verfahren, erhalten wir die drei Gleichungen: \[ \left. \begin{aligned} \omega(\xi_x + \eta_y) + \omega_x\xi + \omega_y\eta = 0& \\ \varrho(\xi_x + \eta_y) + \varrho_x\xi + \varrho_y\eta = 0& \\ \sigma(\xi_x + \eta_y) + \sigma_x\xi + \sigma_y\eta = 0& \\ \end{aligned} \tag{16} \right\} \] in denen $\omega$, $\varrho$ und $\sigma$ die Werthe \[ \begin{aligned} &\omega = A\mathfrak{B} - \mathfrak{A}B \\ \varrho = A_x &+ B_y,\qquad \sigma = \mathfrak{A}_x + \mathfrak{B}_y \end{aligned} \] haben. Dabei erinnern % Original: erinneren wir uns, dass wir ausdrücklich vorausgesetzt haben, dass die Grösse~$\omega$ von Null verschieden ist. Es ist immer möglich, (vgl.~S.~\pageref{form2}) statt $x$ und $y$ solche Grössen \[ x_1 = X(x,y), \qquad y_1 = Y(x,y) \] als unabhängige Veränderliche einzuführen, dass die erste Gleichung~(16) die Form \[ \xi_x + \eta_y = 0 \] %-----File: 044.png---------------------------- annimmt, und dass $\omega$ den Werth \[ \omega \equiv A\mathfrak{B} - \mathfrak{A}B = 1 \] erhält\anm{33}. Alsdann haben alle verkürzten infinitesimalen Transformationen $\xi\frac{\partial{f}}{\partial{x}} + \eta\frac{\partial{f}}{\partial{y}}$ die Form: \[ V_y\dfrac{\partial{f}}{\partial{x}} - V_x\dfrac{\partial{f}}{\partial{y}}. \] \bigskip Wir wollen zunächst annehmen, dass die Gruppe dieser verkürzten infinitesimalen Transformationen zwei Parameter enthält. Alsdann können wir immer die beiden betreffenden infinitesimalen Transformationen auf die Form \[ \dfrac{\partial{f}}{\partial{y}}, \qquad V_y\dfrac{\partial{f}}{\partial{x}} - V_x\dfrac{\partial{f}}{\partial{y}} \] bringen\anm{34}. Dabei können, wie wir wissen, zwei wesentlich verschiedene Fälle eintreten\anm{35}. Ist \[ \left( \dfrac{\partial{f}}{\partial{y}}, \quad V_y\dfrac{\partial{f}}{\partial{x}} - V_x\dfrac{\partial{f}}{\partial{y}} \right) = \dfrac{\partial{f}}{\partial{y}} \] oder \[ V_{yy}\dfrac{\partial{f}}{\partial{x}} - V_{xy}\dfrac{\partial{f}}{\partial{y}} = \dfrac{\partial{f}}{\partial{y}} \] und \[ V_{yy} = 0, \qquad V_{xy} = - 1, \] so kommt \[ V_y = - x, \qquad V = -xy + X_1(x) \] oder \[ V_y\dfrac{\partial{f}}{\partial{x}} - V_x\dfrac{\partial{f}}{\partial{y}} = - x\dfrac{\partial{f}}{\partial{x}} + (y - X'_1)\dfrac{\partial{f}}{\partial{y}}. \] Wir können überdies ohne Beschränkung $X'_1 = 0$ setzen\anm{36}, so dass unsere beiden verkürzten infinitesimalen Transformationen die Form \[ \dfrac{\partial{f}}{\partial{y}}, \qquad x\dfrac{\partial{f}}{\partial{x}} - y\dfrac{\partial{f}}{\partial{y}} \] annehmen. Um nun die Form der Coefficienten $A$, $B$, $\mathfrak{A}$, $\mathfrak{B}$ zu finden, setzen wir in den Gleichungen~(15) zunächst~$\xi = 0$, $\eta = 1$ und erkennen so, dass jene vier Coefficienten sämmtlich von~$y$ frei sind. Sodann ertheilen wir in den Gleichungen~(15) den Grössen~$\xi$ und~$\eta$ die Werthe %-----File: 045.png---------------------------- \[ \xi=x, \qquad \eta = - y \] und erhalten so die Differentialgleichungen \begin{align*} 0 = - A + x\dfrac{\partial{A}}{\partial{x}}, &&& 0 = - \mathfrak{A} + x\dfrac{\partial{\mathfrak{A}}}{\partial{x}}, \\ 0 = B + x\dfrac{\partial{B}}{\partial{x}}, &&& 0 = \mathfrak{B} + x\dfrac{\partial{\mathfrak{B}}}{\partial{x}}, \end{align*} die uns zeigen, dass unsere Coefficienten die Form \[ A = mx,\qquad \mathfrak{A} = \mu x, \qquad B = \frac{n}{x}, \qquad \mathfrak{B} = \frac{\nu}{x}. \] besitzen. Und dabei ist die Constante \[ A\mathfrak{B} - \mathfrak{A}B \equiv m\nu - \mu n = 1. \] Unsere Integralinvariante hat bei dieser Wahl der un\-ab\-hän\-gi\-gen Ver\-än\-der\-lichen die Form \[ \int \left( \frac{mxp + \dfrac{n}{x}q}{z} + \frac{\mu x\mathfrak{p} + \dfrac{\nu}{x}\mathfrak{q}}{\mathfrak{z}} + D \right)\;dx\;dy \] wo wir (vgl.~S.~\pageref{form3}) \[ m\nu - \mu n = 1\quad \text{ und } D = 0 \] setzen können. Die zugehörigen infinitesimalen Transformationen $\Uf$ haben die Form: \[ \Uf = \text{Const.}\left( x\frac{\partial{f}}{\partial{x}} - y\frac{\partial{f}}{\partial{y}} \right) + \text{Const.}\frac{\partial{f}}{\partial{y}} + \alpha z\frac{\partial{f}}{\partial{z}} + \beta\mathfrak{z}\frac{\partial{f}}{\partial{\mathfrak{z}}} \tag{17} \] wo $\alpha$ und $\beta$ durch die Bedingungsgleichung: \[ \xi D_x + \eta D_y + mx\alpha_x + \frac{n}{x}\alpha_y + \mu x\beta_x + \frac{\nu}{x}\beta_y = 0 \] gebunden sind\anm{37}. Hiermit ist die Annahme, dass die beiden verkürzten infinitesimalen Transformationen %-----File: 046.png---------------------------- \[ \frac{\partial{f}}{\partial{y}} \text{ und } V_y\frac{\partial{f}}{\partial{x}} - V_x\frac{\partial{f}}{\partial{y}} \] nicht vertauschbar sind, erledigt. \bigskip \label{case6} Wir wollen daher jetzt voraussetzen, dass die beiden Transformationen vertauschbar sind, und dass dementsprechend \[ V_{yy}\frac{\partial{f}}{\partial{x}} - V_{xy}\frac{\partial{f}}{\partial{y}} = 0 \] oder \[ V_{yy} = 0,\qquad V_{xy} = 0 \] und \[ V = ky + X_1(x) \] ist. Als dann wird \[ V_y\frac{\partial{f}}{\partial{x}} - V_x\frac{\partial{f}}{\partial{y}} = k\frac{\partial{f}}{\partial{x}} - X_1'\frac{\partial{f}}{\partial{y}}. \] Hier können wiederum zwei wesentlich verschiedene Unterfälle eintreten, jenachdem~$k$ gleich Null oder von Null verschieden ist. Ist die Constante $k$ von Null verschieden, so können wir \[ k = 1,\qquad X_1' = 0 \] setzen, sodass unsere verkürzten infinitesimalen Transformationen die Form \[ \frac{\partial{f}}{\partial{y}}, \qquad \frac{\partial{f}}{\partial{x}} \] erhalten\anm{38}. Um jetzt die entsprechende Form der Integralinvariante zu finden, benutzen wir wiederum die Gleichungen~(15) in denen wir zunächst \[ \xi = 0,\qquad \eta = 1 \] und sodann \[ \xi = 1,\qquad \eta = 0 \] setzen können. Dabei ergiebt sich, dass die vier Coefficienten, $A$, $B$, $\mathfrak{A}$, $\mathfrak{B}$ sämmtlich von~$x$ und~$y$ frei sind. Unsere Integralinvariante erhält somit die Form \[ \int \left( \frac{mp + nq}{z} + \frac{\mu\mathfrak{p}+ \nu\mathfrak{q}}{\mathfrak{z}} + D \right)\;dx\;dy \] %-----File: 047.png---------------------------- und dabei sind $m$, $n$, $\mu$ und $\nu$ Constanten, während~$D$ eine Funktion von~$x$ und~$y$ darstellt, die gleich Null gesetzt werden kann, indem die Constanten~$m$, $n$, $\mu$, $\nu$, die ja die Bedingung \[ m\nu - \mu n = 1 \] erfüllen, nicht sämmtlich verschwinden dürfen\anm{39}. \bigskip \label{case7} Ist die früher besprochene Constante $k$ gleich Null, so können die beiden verkürzten infinitesimalen Transformationen die Form \[ \frac{\partial{f}}{\partial{y}},\qquad x\frac{\partial{f}}{\partial{y}} \] erhalten\anm{40}. In den Gleichungen (15) müssen wir also zuerst: \[ \xi = 0,\qquad \eta = 1 \] und sodann \[ \xi = 0,\qquad \eta = x \] setzen. Dabei ergiebt sich, dass \[ A = 0,\qquad \mathfrak{A} = 0 \] sind. Da wir aber ausdrücklich vorausgesetzt haben, dass die Grösse $A\mathfrak{B} - \mathfrak{A}B$ von Null verschieden sein soll, so sehen wir, das unsere letzte Hypothese zu Widerspruch führt. \bigskip \label{case8} Nachdem hiermit alle Fälle erledigt sind, bei denen die infinitesimalen Transformationen \[ \Ubarf = \xi\frac{\partial{f}}{\partial{x}} + \eta\frac{\partial{f}}{\partial{y}} \] eine zweigliedrige Gruppe erzeugen, wollen wir annehmen dass nur eine~$\Ubarf$ vorhanden ist, die dann ohne Beschränkung auf die Form \[ \Ubarf = \frac{\partial{f}}{\partial{y}} \] %-----File: 048.png---------------------------- gebracht werden kann. Setzen wir aber in den Gleichungen~(15): \[ \xi = 0,\qquad \eta = 1 \] so erkennen wir, dass die vier Coefficienten, $A$, $B$, $\mathfrak{A}$, $\mathfrak{B}$ von~$y$ frei sind. Die zugehörige Integralinvariante hat somit die Form: \[ \int\left( \frac{A(x)p + B(x)q}{z} + \frac{\mathfrak{A}(x)\mathfrak{p} + \mathfrak{B}(x)\mathfrak{q}}{\mathfrak{z}} + D\right) dx\, dy \] und dabei können wir durch Einführung zweckmässiger neuer Veränderlichen \[ x_1 = \varphi(x),\qquad y_1 = \frac{1}{\varphi(x)}y + \psi(x) \] erreichen, dass $B$ und $\mathfrak{A}$ gleich Null werden\anm{41}; wir können überdies auch~$D = 0$ setzen. Unser Integral erhält also die einfache Form \[ \int\left( \frac{A(x)p}{z} + \frac{\mathfrak{B}(x)\mathfrak{q}}{\mathfrak{z}} \right) dx\, dy \] \bigskip \label{case9} Hiermit\anm{42} ist unsere Discussion der Hypothese $C = 0$, $A\mathfrak{B} - \mathfrak{A}B \neq 0$ zum Abschluss gebracht. Wir können daher jetzt die nächste Hypothese \[ \pmb{C} \pmb{=} \pmb{0},\qquad \pmb{A}\pmb{\mathfrak{B}} \pmb{-} \pmb{\mathfrak{A}}\pmb{B} \pmb{=} \pmb{0} \] im Angriff nehmen. Bei passender Wahl der unabhängigen Veränderlichen können wir erreichen, dass~$A = 0$ wird und dass in Folge dessen auch~$\mathfrak{A}B$ verschwindet\anm{43}. Es ist daher auch die eine unter den beiden Grössen~$\mathfrak{A}$ und~$B$ gleich Null. Setzen wir zunächst: \[ C = 0,\qquad A = 0,\qquad \mathfrak{A} = 0 \] so wird \[ \begin{aligned} B\xi_y = 0,\qquad \mathfrak{B}\xi_y = 0\qquad& \\ B\xi_x + \xi B_x + \eta B_y &= 0 \\ \mathfrak{B}\xi_x + \xi \mathfrak{B}_x + \eta \mathfrak{B}_y &= 0 \\ D(\xi_x + \eta_y) + \xi D_x + \eta D_y + B\alpha_y + \mathfrak{B}\beta_y &= 0. \end{aligned} \] %-----File: 049.png---------------------------- Hier ist es nun zunächst denkbar, dass \[ B = 0,\qquad \mathfrak{B} = 0 \] sind. In diesem Falle sind $\xi$, $\eta$ und $D$ nur durch eine einzige Bedingungsgleichung, nämlich % Original: nähmlich \[ D(\xi_x + \eta_y) + \xi D_x + \eta D_y = 0 \] gebunden. Dabei können wir durch passende Wahl der Veränderlichen erreichen, dass~$D = 1$ wird\anm{44}. Hierbei erhält unsere Integralinvariante die kanonische Form \[ \int\;dx\;dy, \] während die Gruppe der $\Ubarf$ die bekannte Form \[ \frac{\partial{V(x,y)}}{\partial{y}}\frac{\partial{f}}{\partial{x}} - \frac{\partial{V(x,y)}}{\partial{x}}\frac{\partial{f}}{\partial{y}} \] annimmt. Die Grössen $\alpha$ und $\beta$ sind dabei ganz beliebige Funktionen von~$x$ und~$y$. \bigskip \label{case10} Es ist ferner denkbar, dass die beiden Grössen $B$ und~$\mathfrak{B}$ sich nur um einen constanten Faktor unterscheiden, dass also \[ \mathfrak{B} = kB, \qquad B \neq 0. \] Alsdann erfüllen $\xi$ und $\eta$ zwei und nur zwei Bedingungsgleichungen, nämlich: \[ \xi_y = 0,\qquad B\xi_x + B_x\xi + B_y\eta = 0. \] Ist dabei $B_y$ verschieden von Null, so sehen wir, dass $\xi$ eine willkürliche % Original: wilkürliche Funktion von~$x$ sein kann und dass~$\eta$ vollständig bestimmt ist, wenn für~$\xi$ eine bestimmte Funktion von~$x$ genommen wird\anm{45}. \bigskip \label{case11} Ist andererseits $B_y = 0$, so wird \begin{gather*} \xi_y = 0, \qquad B\xi_x + B_x\xi = 0 \\ D(\xi_x + \eta_y) + \xi D_x + \eta D_y + B\alpha_y + kB\beta_y = 0 \end{gather*} %-----File: 050.png---------------------------- und \[ B = B(x),\qquad \xi = \frac{m}{B(x)}. \] In diesem Fall ist also die Form des Incrementes $\xi$ vollständig bestimmt. Es ist ferner möglich solche neue Veränderliche \[ x_1 = \varphi (x),\quad y_1 = \psi (x,y),\quad z_1 = z\varOmega(x,y),\quad \mathfrak{z}_1 = \mathfrak{z}V(x,y) \] einzuführen, dass \[ B(x) = 1,\qquad D(x,y) = 0 \] wird\anm{46}. Unsere Integralinvariante erhält hierbei die Form \[ \int \left(\frac{q}{z} + \frac{k\mathfrak{q}}{\mathfrak{z}}\right) dx\, dy \] und die zugehörigen infinitesimalen Transformationen $\Uf$ sind bestimmt\anm{47} durch die Gleichungen \[ \xi_y = 0,\quad \xi_x = 0,\quad \alpha_y+k\beta_y = 0 \] die uns zeigen, dass $\xi$ gleich $1$ gesetzt werden kann, während~$\eta$ eine willkürliche Funktion von~$x$ und~$y$ darstellt und die Incremente~$\alpha$, $\beta$ durch die Gleichung \[ \alpha + k\beta + \psi(x) = 0 \] mit der willkürlichen Funktion $\psi(x)$ gebunden sind. \bigskip \label{case12} Es ist endlich denkbar, dass sowohl $B$ wie $\mathfrak{B}$ von Null verschieden sind, und dass dabei ihr Verhältniss eine Funktion von~$x$, $y$ darstellt. Alsdann erfüllen die Incremente der gesuchten infinitesimalen Transformationen~$\Uf$\anm{47} \emph{vier} Bedingungsgleichungen \begin{gather*} \xi_y = 0,\qquad D(\xi_x + \eta_y) + \xi D_x + \eta D_y + B\alpha_y + \mathfrak{B}\beta_y = 0\\ B\xi_x + \xi B_x + \eta B_y = 0,\qquad \mathfrak{B}\xi_x + \xi\mathfrak{B}_x + \eta\mathfrak{B}_y = 0 \end{gather*} aus denen durch Elimination die Gleichung \[ \left(\frac{B}{\mathfrak{B}}\right)_{\!\!x}\xi + \left(\frac{B}{\mathfrak{B}}\right)_{\!\!y}\eta = 0 \] %-----File: 051.png---------------------------- hervorgeht. Im vorliegenden Fall ist somit das Verhältniss $B : \mathfrak{B}$ eine Invariante der verkürzten infinitesimalen Transformationen~$\Ubarf$. Wir finden \[ (B\,\mathfrak{B}_y - \mathfrak{B}B_y)\,\xi_x + \xi\, (B_x\mathfrak{B}_y - \mathfrak{B}_xB_y) = 0. \] Ist daher \[ B\,\mathfrak{B}_y - \mathfrak{B}B_y \neq 0 \] so hat $\xi$ eine ganz bestimmte Form, und da $B_y$ und~$\mathfrak{B}_y$ nicht alle beide verschwinden, so ist auch die Form von~$\eta$ vollständig bestimmt\anm{48}. Unter den gemachten Voraussetzungen giebt es also nur eine infinitesimale Transformation~$\xi\frac{\partial f}{\partial x} + \eta\frac{\partial f}{\partial y}$. \bigskip \label{case13} Ist dagegen \[ B\,\mathfrak{B}_y - \mathfrak{B}B_y = 0,\qquad B \neq 0,\qquad \mathfrak{B} \neq 0 \] und dementsprechend \[ \mathfrak{B} = B\cdot\varphi(x) \] und \[ \xi(B_x\mathfrak{B}_y - \mathfrak{B}_xB_y) = 0, \] so kann \[ B_y \neq 0 \text{ und also auch } \mathfrak{B}_y \neq 0 \] sein, in Folge dessen \[ B_x\mathfrak{B}_y - \mathfrak{B}_xB_y \neq 0 \] und \[ \xi = 0, \qquad \eta B_y = 0, \qquad \eta = 0. \] In diesem Falle\anm{49} giebt es also gar keine infinitesimale Transformation $\xi\frac{\partial f}{\partial x} + \eta\frac{\partial f}{\partial y}$. \bigskip \label{case14} Unter den gemachten Voraussetzungen \[ B\,\mathfrak{B}_y - \mathfrak{B}B_y = 0, \qquad \mathfrak{B} = B\cdot \varphi (x) \neq 0 \] können wir aber auch \[ B_y = 0, \qquad \mathfrak{B}_y = 0 \] und dementsprechend %-----File: 052.png---------------------------- \[ B_x\mathfrak{B}_y - B_y \mathfrak{B}_x = 0 \] setzen. Alsdann wird \[ B\xi_x + \xi B_x = 0,\qquad \mathfrak{B}\xi_x + \xi \mathfrak{B}_x = 0 \] und da das Verhältniss $\mathfrak{B} : B$ keine Constante sein darf, folgt \[ \xi = 0, \] während $\eta$ vollständig unbestimmt bleibt\anm{50}. \bigskip \label{case15} Wir wenden uns sodann zu der Hypothese \[ C = 0,\qquad A = 0,\qquad B = 0,\qquad \mathfrak{A} \neq 0. \] Alsdann kriegen wir zur Bestimmung der infinitesimalen Transformation~$\Uf$ die Gleichungen \[ \begin{aligned} &0 = - \mathfrak{B}\xi_y + \mathfrak{A}\eta_y + \xi\mathfrak{A}_x + \eta\mathfrak{A}_y \\ &0 = \mathfrak{B}\xi_x - \mathfrak{A}\eta_x + \xi\mathfrak{B}_x + \eta\mathfrak{B}_y \\ &0 = D(\xi_x + \eta_y) + \xi D_x + \eta D_y + \mathfrak{A}\beta_x + \mathfrak{B}\beta_y \end{aligned} \] aus denen wie bekannt die Integrabilitätsbedingung \[ (\mathfrak{A}_x + \mathfrak{B}_y)(\xi_x + \eta_y) + (\mathfrak{A}_x + \mathfrak{B}_y)_x\xi + (\mathfrak{A}_x + \mathfrak{B}_y)_y\cdot\eta = 0 \] hervorgeht. Ist hier \[ \mathfrak{A}_x + \mathfrak{B}_y = 0 \] und dementsprechend \[ \mathfrak{A} = \frac{\partial{W}}{\partial{y}}, \qquad \mathfrak{B} = - \frac{\partial{W}}{\partial{x}} \] so sind $\xi$ und $\eta$ durch die beiden Gleichungen \[ \begin{aligned} &0 = W_{\!x}\,\xi_y + W_y\,\eta_y + \xi W_{xy} + \eta W_{yy}\\ &0 = W_{\!x}\,\xi_x + W_y\,\eta_x + \xi W_{xx} + \eta W_{xy} \end{aligned} \] bestimmt und aus ihnen folgt durch Integration: %-----File: 053.png---------------------------- \[ W_{\!x}\,\xi + W_y\,\eta = \mathrm{Const.} = k. \] In dem vorliegenden Falle kann daher eines unter den beiden Incrementen~$\xi$ und~$\eta$ eine ganz beliebige Funktion von~$x$, $y$ sein\anm{51}. \bigskip \label{case16} Ist dagegen die Grösse \[ \varrho=\mathfrak{A}_x + \mathfrak{B}_y \] von Null verschieden, so zeigt die Gleichung \[ \varrho (\xi_x + \eta_y) + \varrho_x\xi + \varrho_y\eta = 0 \] dass die infinitesimalen Transformationen $\xi\frac{\partial f}{\partial x} + \eta\frac{\partial f}{\partial y}$ den gemeinsamen Multiplicator $\varrho$ haben. Führen wir jetzt neue Veränderliche \[ x_1=X(x,y),\qquad y_1=Y(x,y),\qquad z_1=z\varOmega(x,y),\qquad \mathfrak{z}_1=\mathfrak{z}V(x,y) \] ein, so sind die neuen Coefficienten $A_1$, $B_1$, $\mathfrak{A}_1$, $\mathfrak{B}_1$, $C_1$ und $D_1$ (vgl.\ Seite~\pageref{form4}) durch die Formeln: \begin{align*} \Delta A_1 &= AX_x + BX_y\\ \Delta B_1 &= AY_x + BY_y\\ \Delta \mathfrak{A}_1 &= \mathfrak{A}X_x + \mathfrak{B}X_y\\ \Delta \mathfrak{B}_1 &= \mathfrak{A}Y_x + \mathfrak{B}Y_y\\ C_1 &= C = 0\\ \Delta D_1 &= - A\frac{\varOmega_x}{\varOmega} - B\frac{\varOmega_y}{\varOmega} - \mathfrak{A}\frac{V_x}{V} - \mathfrak{B}\frac{V_y}{V} + D \end{align*} bestimmt. Bei dieser Variabel-Aenderung bleibt daher die Form \[ \int\left(\frac{\mathfrak{Ap + Bq}}{z\mathfrak{z}} + D\right)dx\, dy \] unserer Integralinvariante ungeändert, während allerdings die Coefficienten~$\mathfrak{A}$, $\mathfrak{B}$ und~$D$ im Allgemeinen ihre Form ändern. Bei passender Wahl von~$\varOmega$ und~$V$ erreichen wir, dass~$D_1$ gleich Null wird; und da die Funktionen~$X(x,y)$, $Y(x,y)$ gar keiner Beschränkung unterworfen sind, können %-----File: 054.png---------------------------- wir immer erreichen, dass\anm{52} \[ \varrho = \mathfrak{A}_x + \mathfrak{B}_y = 1 \] wird. Die infinitesimale Transformation $\Ubarf$ erhält in folge dessen die Form: \[ \Ubarf = \frac{\partial{\Phi}}{\partial{y}} \cdot \frac{\partial{f}}{\partial{x}} - \frac{\partial{\Phi}}{\partial{x}} \cdot \frac{\partial{f}}{\partial{y}}. \] Wir können ferner \[ \mathfrak{A} = \frac{\partial{\psi}}{\partial{y}},\qquad \mathfrak{B} = y - \frac{\partial{\psi}}{\partial{x}} \] setzen. Durch eine neue Aenderung der Veränderlichen \[ x_2 = X_1(x,y),\qquad y_2 = Y_1(x,y),\qquad z_2 = z\varOmega,\qquad \mathfrak{z}_2=\mathfrak{z}V \] die so gewählt ist, dass \begin{gather*} 0 = \mathfrak{A}\frac{\partial{X_1}}{\partial{x}} + \mathfrak{B}\frac{\partial{X_1}}{\partial{y}},\qquad 0 = \mathfrak{A}\frac{V_x}{V} + \mathfrak{B}\frac{V_y}{V} \\ 1 = \frac{\partial{X_1}}{\partial{x}} \cdot \frac{\partial{Y_1}}{\partial{y}} - \frac{\partial{X_1}}{\partial{y}} \cdot \frac{\partial{Y_1}}{\partial{x}} \end{gather*} wird, erkennen wir ohne Schwierigkeit\anm{53}, dass wir $\psi = 0$ und \[ \mathfrak{A} = 0,\qquad \mathfrak{B} = y,\qquad D=0 \] ferner \[ \Ubarf = \frac{\partial{\Phi}}{\partial{y}} \cdot \frac{\partial{f}}{\partial{x}} - \frac{\partial{\Phi}}{\partial{x}} \cdot \frac{\partial{f}}{\partial{y}} \] setzen können und dass \[ \int \frac{y\mathfrak{q}}{\mathfrak{z}}\, dx\,dy \] die entsprechende kanonische Form unserer Integralinvariante ist. \nopagebreak \begin{center} \makebox[10em]{\hrulefill}\bigskip \end{center} %-----File: 055.png---------------------------- \label{case17} Nachdem hiermit alle Fälle bestimmt sind, die eintreten können, wenn die Grösse~$C$ von~$x$ und~$y$ unabhängig ist, müssen wir jetzt die Annahme machen, dass~$C$ keine Constante ist: \begin{center} \emph{C ist keine Constante.} \end{center} In diesem Falle ist, wie wir wissen, $C$ eine Invariante aller \[ \Ubarf = \xi\frac{\partial{f}}{\partial{x}} + \eta\frac{\partial{f}}{\partial{y}}. \] Die Transformationsformeln auf Seite~\pageref{form5} zeigen, dass wir in diesem Falle \[ C = x,\qquad \xi = 0 \] setzen können\anm{54}. Die Definitionsgleichungen der gesuchten infinitesimalen Transformationen~$\Ubarf$ erhalten in Folge dessen die Gestalt: \[ \left. \begin{aligned} - x\beta_y &= A\eta_y + \eta A_y \\ x\beta_x &= - A\eta_x + \eta B_y \\ x\alpha_y &= \mathfrak{A}\eta_y + \eta \mathfrak{A}_y \\ - x\alpha_x &= - \mathfrak{A}\eta_x + \eta \mathfrak{B}_y \\ 0 &= D\eta_y + \eta D_y + A\alpha_x + B\alpha_y + \mathfrak{A}\beta_x + \mathfrak{B}\beta_y. \end{aligned} \right\} \tag{18} \] Die Integrabilitätsbedingungen der vier ersten Gleichungen liefern die Relationen \[ \begin{aligned} \frac{\partial{}}{\partial{y}}\eta\,\biggl\{ xA_x + xB_y - A \biggr\} = 0& \\ \frac{\partial{}}{\partial{y}}\eta\,\biggl\{ x\mathfrak{A}_x + x\mathfrak{B}_y - \mathfrak{A} \biggr\} = 0&. \end{aligned} \] Eliminiren wir ferner die Ableitungen $\alpha_x$, $\alpha_y$, $\beta_x$, $\beta_y$ aus den fünf Definitionsgleichungen, so finden wir die Bedingung \[ \frac{\partial{}}{\partial{y}}\eta\,(xD + B\mathfrak{A} - \mathfrak{B}A) = 0. \] %-----File: 056.png---------------------------- Die drei neuen Gleichungen sind unmittelbar integrabel; sie zeigen dass %% Im Original $\mathfrak{B}\mathfrak{A}$ statt $\mathfrak{B}A$ \[ \leqno{(19)}\qquad \left\{ \begin{aligned} &\eta(xA_x + xB_y - A) = X(x)\\ &\eta(x\mathfrak{A}_x + x\mathfrak{B}_y - \mathfrak{A}) = X_1(x)\\ &\eta(xD + B\mathfrak{A} - \mathfrak{B}A) = X_2(x). \end{aligned} \right. \] Hier sind nun verschiedene Fälle denkbar, die durch das Verhalten der drei links stehenden Parenthesen charakterisirt werden. Verschwinden die drei links stehenden Parenthesen; ist also \[ \leqno{(20)}\qquad \left\{ \begin{aligned} &x(A_x + B_y) - A = 0 \\ &x(\mathfrak{A}_x + \mathfrak{B}_y) - \mathfrak{A} = 0 \\ &xD + B\mathfrak{A} - \mathfrak{B}A = 0 \end{aligned} \right. \] so ist $\eta$ gar keiner Beschränkung unterworfen und die gesuchte infinitesimale Transformation~$\Ubarf$ hat daher die allgemeine Form \[ \Ubarf = \eta(x,y)\frac{\partial{f}}{\partial{y}}. \] Die beiden ersten Gleichungen, die auf die Form \[ \begin{aligned} &\frac{\partial{}}{\partial{x}}\left(\frac{A}{x}\right) + \frac{\partial{}}{\partial{y}}\left(\frac{B}{x}\right) = 0 \\ &\frac{\partial{}}{\partial{x}}\left(\frac{\mathfrak{A}}{x}\right) + \frac{\partial{}}{\partial{y}}\left(\frac{\mathfrak{B}}{x}\right) = 0 \end{aligned} \] gebracht werden können, zeigen dass die vier Grössen $A$, $B$, $\mathfrak{A}$ und~$\mathfrak{B}$ die allgemeine Form \[ \begin{aligned} &A = x\frac{\partial{U}}{\partial{y}}, \qquad &B = - x\frac{\partial{U}}{\partial{x}} \\ &\mathfrak{A} = x\frac{\partial{V}}{\partial{y}}, \qquad &\mathfrak{B} = - x\frac{\partial{V}}{\partial{x}} \end{aligned} \] besitzen. Und wenn diese Werthe in die letzte Gleichung~(20) eingetragen werden, so ergiebt sich, da~$U$ und~$V$ durch die Relation %-----File: 057.png---------------------------- \[ xD - x^2\frac{\partial{U}}{\partial{x}}\frac{\partial{V}}{\partial{y}} + x^2\frac{\partial{U}}{\partial{y}}\frac{\partial{V}}{\partial{x}} = 0 \] verknüpft sind\anm{55}, dass der Coefficient $D$ die Form \[ D = x( U_x V_y - U_y V_x ) \] besitzt. Die zugehörige Integralinvariante hat somit die Gestalt \[ \int\left( \frac{x(U_yp - U_xq)}{z} + \frac{x(V_y\mathfrak{p} - V_x\mathfrak{q})}{\mathfrak{z}} + \frac{x(p\mathfrak{q} - \mathfrak{p}q)}{z\mathfrak{z}} + x(U_xV_y - U_yV_x) \right) dx\, dy \] und erhält daher in den neuen Veränderlichen \[ x_1 = x,\qquad y_1 = y,\qquad z_1 = ze^{-V},\qquad \mathfrak{z}_1 = \mathfrak{z}e^{U} \] die einfache Form \[ \int\frac{x(p\mathfrak{q} - \mathfrak{p}q)}{z\mathfrak{z}}\, dx\, dy. \] Bei dieser Variabeländerung behält $\Ubarf$ ihre Form. Die Formeln~(18) zeigen überdies, dass~$\alpha$ und~$\beta$ constant sind, und also ist: \[ \Uf = \eta(x,y)\frac{\partial{f}}{\partial{y}} + \text{Const. }z\frac{\partial{f}}{\partial{z}} + \text{Const. }\mathfrak{z}\frac{\partial{f}}{\partial{\mathfrak{z}}} \] die zugehörige Form der infinitesimalen Transformation $\Uf$. Hiermit ist die Annahme, dass die drei Ausdrücke: \begin{gather*} \left(\frac{A}{x}\right)_{\!\!x} + \left(\frac{B}{x}\right)_{\!\!y},\qquad %\left(\frac{B}{x}\right)_{y\ ,}\qquad ] \left(\frac{\mathfrak{A}}{x}\right)_{\!\!x} + \left(\frac{\mathfrak{B}}{x}\right)_{\!\!y}\\ xD + B\mathfrak{A} - \mathfrak{B}A \end{gather*} sämmtlich verschwinden, erledigt. \bigskip \label{case18} Sind diese drei Ausdrücke nicht sämmtlich gleich Null, so besteht zwischen je zwei unter diesen Grössen eine lineare homogene Relation, deren Coefficienten Funktionen von~$x$ allein sind. Es ist nun (Vergleiche die Transformationsformeln auf Seite~\pageref{form5}) immer möglich, eben weil~$C$ von Null verschieden ist, solche neue Veränderliche %-----File: 058.png---------------------------- \[ x_1 = x,\qquad y_1 = y,\qquad z_1 = z\varOmega,\qquad \mathfrak{z}_1 = \mathfrak{z}V \] einzuführen, dass \[ A_1 = 0 \text{ und } \mathfrak{A}_1 = 0 \] wird. Wir können daher von vorneherein \[ C = x,\qquad A = 0,\qquad \mathfrak{A} = 0 \] setzen; und dabei bestehen zwischen je zwei unter den Grössen \[ B_y,\qquad \mathfrak{B}_y,\qquad D \] lineare und homogene Relationen, deren Coefficienten Funktionen von~$x$ sind. Wir wollen zunächst annehmen, dass $B_y$ und $\mathfrak{B}_y$ nicht beide gleich Null sind, dass z.~B.\ die Grösse~$B_y$ von Null verschieden ist. Alsdann führen wir die neuen Veränderlichen \[ x_2 = x,\qquad y_2 = B(x,y),\qquad z_2 = z,\qquad \mathfrak{z}_2 = \mathfrak{z} \] ein und finden sodann durch Benutzung der Transformationsformeln auf Seite~\pageref{form5} dass: \[ \begin{aligned} B_yA_2 &= 0, &\qquad B_yB_2 &= B\, B_y \\ B_y\mathfrak{A}_2 &= 0, & B_y\mathfrak{B}_2 &= \mathfrak{B}\, B_y \end{aligned} \] und also \[ A_2 = 0,\qquad B_2 = y_2,\qquad \mathfrak{A}_2 = 0,\qquad \mathfrak{B}_2 = \mathfrak{B} =\varphi(x)y_2 + \psi(x). \] Wir können daher von vorneherein \[ A = 0,\qquad B = y,\qquad \mathfrak{A} = 0,\qquad \mathfrak{B} = \varphi(x)y + \psi(x) \] und \[ \xi=0,\qquad \eta = \mu(x) \] setzen. Dabei zeigt die Formel \[ \eta D = \varphi_2(x) \] dass auch $D$ eine Funktion von $x$ sein muss. %-----File: 059.png---------------------------- Hiermit erhält unsere Integralinvariante die kanonische Form \[ \int\left( \frac{yq}{z} + \frac{\varphi (x)y + \psi(x)}{\mathfrak{z}}\mathfrak{q} + \frac{x(p\mathfrak{q} - \mathfrak{p}q)}{z\mathfrak{z}} + D(x)\right) dx\,dy \] und die zugehörigen infinitesimalen Transformationen~$\Uf$ besitzen die allgemeine Form: \[ \Uf = \mu(x)\frac{\partial{f}}{\partial{y}} - \left(\int\frac{\mu(x)\varphi(x)dx}{x}\right) z\frac{\partial{f}}{\partial{z}} + \left(\int\frac{\mu(x)dx}{x}\right) \mathfrak{z}\frac{\partial{f}}{\partial{\mathfrak{z}}}. \] \bigskip \label{case19} Endlich müssen wir annehmen, dass \[ B_y = 0,\qquad \mathfrak{B}_y = 0,\qquad xD \neq 0 \] und (19): \[ \eta D = \varphi(x). \] Hier führen wir neue Veränderlichen ein, nämlich \[ x_1 = x,\qquad y_1 = \int D(x,y)\,dy,\qquad z_1 = z,\qquad \mathfrak{z}_1 = \mathfrak{z} \] und erkennen durch Benutzung der Transformationsformeln auf Seite~\pageref{form5} dass die Coefficienten~$A_1$, $B_1$, $\mathfrak{A}_1$, $\mathfrak{B}_1$, $C_1$, $D_1$ durch die folgenden Gleichungen bestimmt sind \begin{gather*} C_1 = C = x,\qquad A_1 = 0,\qquad \mathfrak{A_1} = 0 \\ D\cdot B_1 = B\cdot D, \qquad D\cdot \mathfrak{B}_1 = D\cdot \mathfrak{B}\\ D\cdot D_1 = D. \end{gather*} Wir können daher von vorneherein \begin{gather*} C=x,\qquad A = 0,\qquad \mathfrak{A} = 0 \\ B=X(x),\qquad \mathfrak{B} = X_1(x),\qquad D = 1 \end{gather*} setzen; alsdann wird \[ \xi =0,\qquad \eta = \mu(x),\qquad \alpha = \text{Const.},\qquad \beta = \text{Const}. \] %-----File: 060.png---------------------------- Die kanonische Form unserer Integralinvariante wird also \[ \int \left( \frac{X(x) q}{z} + \frac{X_1(x) \mathfrak{q}}{\mathfrak{z}} + \frac{x(p\mathfrak{q} - \mathfrak{p}q)}{z\mathfrak{z}} + 1 \right) dy\, dx \] und die zugehörigen infinitesimalen Transformationen haben die Gestalt \[ \Uf = \mu(x) \frac{\partial f}{\partial y} + \text{Const. } z \frac{\partial f}{\partial z} + \text{Const. } \mathfrak{z}\frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}}. \] \fivestar Wir gehen jetzt der Reihe nach alle neunzehn Fälle durch und zeigen, wie in jedem einzelnen Fall das betreffende Integrationsproblem erledigt werden kann. Im nächsten Kapitel\anm{1} zeigen wir sodann, dass die von uns gegebenen Integrations-Methoden das Grösstmögliche leisten. In einem und nur in einem unter den neunzehn vorhandenen Fällen kann kein Vortheil aus der bekannten Integralinvariante gezogen werden. In den achtzehn übrigen Fällen gestattet das Vorhandensein der bekannten Integralinvariante immer das Integrationsgeschäft wesentlich zu vereinfachen. \bigskip \subsection*{\textbf{Fall I.} [Seite \pageref{case1}].} Im ersten Falle, dass heisst, wenn $C$ eine von Null verschiedene Constante ist und die Determinante \[ \begin{vmatrix} \,\omega & \omega_x & \omega_y\, \\ \varrho & \varrho_x & \varrho_y \\ \sigma & \sigma_x & \sigma_y \\ \end{vmatrix} \] nicht verschwindet, besteht die Gruppe $\Uf$ nur aus den beiden infinitesimalen Transformationen \[ X_1 f = z \frac{\partial f}{\partial z} \quad \text{und} \quad X_2 f = \mathfrak{z} \frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}}. \] Wir finden daher beide Lösungen des vollständigen Systems \[ X_1f = 0, \qquad X_2 f = 0 \] ohne Integration, ja sogar ohne Quadratur\anm{2}. %-----File: 061.png---------------------------- \bigskip \subsection*{\textbf{Fall II.} [Seite \pageref{case2}].} Der zweite Fall ist dadurch charakterisirt, dass $C$ gleich einer nicht verschwindenden Constante ist, und dass die dreireihige Determinante~$\theTheta$, nicht aber ihre sämmtlichen zweireihigen Unterdeterminanten gleich Null sind. In diesem Falle hat die verkürzte Gruppe~$\Ubarf$ die Form\anm{56} \[ \Ubarf = \mu(x) \frac{\partial f}{\partial y} \] und ist somit \emph{intransitiv}. Wir finden daher die Invariante~$x$ ohne Integration, ja ohne Quadratur. Setzt man sodann diese Invariante gleich einer willkürlichen Constante~$c$, so zerlegt die hervorgehende Gleichung \[ x = c = \text{ const.} \] den vierdimensionalen Raum $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$ in~$\infty^1$ dreidimensionale Räume, deren jeder~$\infty^1$ charakteristische Mannigfaltigkeiten des vollständigen Systems: $X_1f=0$, $X_2f=0$ enthält. Es bleibt jetzt nur noch übrig in jedem Raume $x=c$ die~$\infty^1$ charakteristischen Mannigfaltigkeiten dieses Raumes zu finden. Zu diesem Zwecke beobachten wir, dass jede infinitesimale Transformation \[ \Uf = \mu(x) \frac{\partial f}{\partial y} + \frac{1}{C} \left( \int X_1 d\mu \right) z \frac{\partial f}{\partial z} - \frac{1}{C} \left( \int X d\mu \right) \mathfrak{z} \frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}} \] die $\infty^1$ charakteristischen Mannigfaltigkeiten eines solches Raumes~$x=c$ unter einander vertauscht. Und zwar sehen wir, dass alle~$\Uf$ die~$\infty^1$ charakteristischen Mannigfaltigkeiten eines Raumes~$x=c$ in genau derselben Weise transformiren, dabei vorausgesetzt, dass wir diese~$\infty^1$ Mannigfaltigkeiten als ein eindimensionales Gebiet auffassen. Hieraus folgt dass wir durch eine Quadratur einen Integrabilitätsfaktor desjenigen vollständigen Systems aufstellen können, das die~$\infty^1$ gesuchten charakteristischen Mannigfaltigkeiten definirt. Eine zweite Quadratur liefert diese Mannigfaltigkeiten selbst\anm{57}. Im vorliegenden Falle verlangt daher die Integration des vollständigen Systems $X_1f=0$, $X_2f=0$ nur Differentiations- und Eliminationsoperationen und sodann zwei successive Quadraturen. Wir bezeichnen diese Operationen mit \[ (0),\ 0,\ 0. \] %-----File: 062.png---------------------------- \subsection*{\textbf{Fall III.} [Seite \pageref{case3}].} Der dritte Fall ist dadurch charakterisirt, dass der Coefficient $C$ constant und von Null verschieden ist während die Determinante \[ \begin{vmatrix} \omega & \omega_x & \omega_y \\ \varrho & \varrho_x & \varrho_y \\ \sigma & \sigma_x & \sigma_y \\ \end{vmatrix} \] sowie alle ihre zweireihigen Unterdeterminanten nicht aber die Grössen $\omega$, $\varrho$, $\sigma$ sämmtlich gleich Null sind. Jetzt hat $\Uf$ die Form \[\wideeqn \Uf = W_y \frac{\partial f}{\partial x} - W_x \frac{\partial f}{\partial y} - (k_3 x W_x - k_3 W + \text{Const.}) z \frac{\partial f}{\partial z} + (k_2 x W_x - k_2 W + \text{Const.}) \mathfrak{z} \frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}}. \] Das zweidimensionale Gebiet $x$, $y$ der $\infty^2$ gesuchten charakteristischen Mannigfaltigkeiten des vollständigen Systems wird daher durch eine Gruppe transformirt die mit der Gruppe der Hydrodynamik\anm{58} ähnlich ist. Jetzt gestattet daher die Auffindung einer ersten Lösung des vollständigen Systems~$X_1f=0$, $X_2f=0$ gar keine Vereinfachung, verlangt also eine Operation~2. Nachdem aber eine solche Lösung gefunden ist, die wir somit mit~$x$ bezeichnen können, leuchtet ein, dass die allgemeinste Transformation~$\Uf$, die~$x$ invariant lässt, die Form \[ \mu(x) \frac{\partial f}{\partial y} + (~) \frac{\partial f}{\partial z} + (~) \frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}} \] besitzt. Wie im vorigen Falle genügen jetzt zwei successive Quadraturen zur Bestimmung der gesuchten charakteristischen Mannigfaltigkeiten des vollständigen Systems~$X_1f=0$, $X_2f=0$. Im dritten Falle verlangt also die Integration des vorgelegten vollständigen Systems die Operationen \[ 2,\ 0,\ 0. \] \subsection*{\textbf{Fall IV.} [Seite \pageref{case4}].} Der vierte Fall ist dadurch charakterisirt, dass der Coefficient~$C$ constant und von Null verschieden ist, während die drei Grössen~$\omega$, $\varrho$ und $\sigma$ sämmtlich gleich Null sind. Die infinitesimalen Transformationen~$\Uf$ haben die allgemeine Form: %-----File: 063.png---------------------------- \[ \Uf = \xi(x, y) \frac{\partial f}{\partial x} + \eta(x, y) \frac{\partial f}{\partial y} + z \alpha \frac{\partial f}{\partial z} + \mathfrak{z} \beta \frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}} \] und dabei sind $\xi$ und $\eta$ ganz willkürliche Funktionen von~$x$ und~$y$. Jetzt sind alle Lösungen des vollständigen Systems~$X_1f=0$, $X_2f=0$ unter einander gleichberechtigt und daher verlangt die Integration dieses vollständigen Systems die Operationen \[ 2,\quad 1. \] \emph{Im vorliegenden Falle ziehen wir also gar keinen Vortheil aus der bekannten Integralinvariante.} Dies liegt aber nicht in einer Unvollkommenheit unserer Theorie, sondern es beruht auf dem Wesen der Sache. Es sind ja einerseits alle Lösungen unter einander gleichberechtigt, und es sind auch andererseits nachdem eine Lösung gefunden ist, alle übrigen Lösungen unter einander gleichberechtigt. \subsection*{\textbf{Fall V.} [Seite \pageref{case5}].} Der fünfte Fall ist dadurch charakterisirt, dass \[ C = 0 \] ist und dass $\Uf$ die Form \[ \Uf = a \left( x \frac{\partial f}{\partial x} - y \frac{\partial f}{\partial y} \right) + b \frac{\partial f}{\partial y} + \alpha z \frac{\partial f}{\partial z} + \beta\mathfrak{z} \frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}} \] mit den beiden willkürlichen Constanten $a$ und $b$ besitzt. Jetzt werden die $\infty^2$ charakteristischen Mannigfaltigkeiten durch eine zweigliedrige, also \emph{integrable}\anm{59} Gruppe transformirt, deren Transformationen nicht vertauschbar sind. Man findet die beiden infinitesimalen Transformationen dieser letzten Gruppe durch zwei Quadraturen. Man bildet zu diesem Zwecke zunächst die Definitionsgleichungen der infinitesimalen Transformationen der ersten dirivirten Gruppe. In dieser Weise findet man zunächst durch eine Quadratur die invariante infinitesimale Transformation der oben besprochenen zweigliedrigen Gruppe, sodann durch eine neue Quadratur die fehlende infinitesimale Transformation dieser Gruppe. Hinterher bestimmt man eine erste Lösung des vollständigen Systems~$X_1f=0, X_2f=0$ durch eine dritte Quadratur und endlich die fehlende Lösung durch eine vierte Quadratur. In diesem Falle verlangt somit die Integration unseres vollständigen Systems \emph{vier successive} Quadraturen also die Operationen \[ 0,\ 0,\ 0,\ 0. \] %-----File: 064.png---------------------------- \subsection*{\textbf{Fall VI.} [Seite \pageref{case6}].} Der sechste Fall ist dadurch charakterisirt dass \[ C = 0, \qquad A\mathfrak{B} - \mathfrak{A}B \neq 0 \] ist und dass die infinitesimalen Transformationen $\Uf$ die kanonische Form \[ \Uf = a\frac{\partial{f}}{\partial{x}} + b\frac{\partial{f}}{\partial{y}} + z\alpha\frac{\partial{f}}{\partial{z}} + \mathfrak{z}\beta\frac{\partial{f}}{\partial{\mathfrak{z}}} \] mit den willkürlichen Constanten $a$, $b$, besitzen. In diesem Falle wird das zweidimensionale Gebiet der $\infty^2$ charakteristischen Mannigfaltigkeiten durch eine \emph{zweigliedrige} Gruppe mit \emph{vertauschbaren} Transformationen transformirt. Es verlangt daher nach meinen allgemeinen Theorien die Bestimmung dieser zweigliedrigen Gruppe die Erledigung einer \emph{Riccatischen} Differentialgleichung \emph{erster} Ordnung\anm{60}. Sodann finden wir die beiden Lösungen unseres vollständigen Systems durch zwei Quadraturen, die in dem Sinne von einander unabhängig sind, dass es gleichgültig ist in welcher Reihenfolge sie ausgeführt werden. Die im vorliegenden Falle erforderlichen Operationen bezeichnen wir durch die Symbole \[ R,\quad 0,\quad 0. \] \subsection*{\textbf{Fall VII.} [Seite \pageref{case7}].} Dieser Fall ist dadurch charakterisirt, dass \[ C = 0,\qquad A\mathfrak{B} - \mathfrak{A}B \neq 0 \] und dass $\Uf$ die Form \[ \frac{\partial{f}}{\partial{y}} + z\alpha\frac{\partial{f}}{\partial{z}} + \mathfrak{z}\beta\frac{\partial{f}}{\partial{\mathfrak{z}}} \] besitzt. Jetzt ist die Gruppe $\Uf$ intransitiv und wir finden daher eine Lösung des vollständigen Systems~$X_1 f = 0$, $X_2 f = 0$ ohne Integration, ja ohne Quadratur, dass heisst durch eine Operation~$(0)$. In jedem unter den hiermit gefundenen dreidimensionalen Räumen liegen~$\infty^1$ charakteristische Mannigfaltigkeiten, und das eindimensionale Gebiet dieser~$\infty^1$ Mannigfaltigkeiten wird von einer einzigen infinitesimalen Transformation transformirt. Diese infinitesimale Transformation wird daher durch eine Quadratur gefunden und eine neue Quadratur giebt sodann die fehlende %-----File: 065.png---------------------------- Lösung unseres vollständigen Systems. Jetzt verlangt daher die Integration des vorgelegten vollständigen Systems die Operationen \[ (0),\quad 0,\quad 0. \] Die beiden Quadraturen sind nicht von einander unabhängig. \bigskip \subsection*{\textbf{Fall VIII.}\label{anm42} [Seite \pageref{case8}, N. 42].} In diesem Falle ist \[ C = 0, \qquad A\mathfrak{B} - \mathfrak{A}B \neq 0 \] und \[ \Uf = z\alpha\frac{\partial{f}}{\partial{z}} + \mathfrak{z}\beta\frac{\partial{f}}{\partial{\mathfrak{z}}}. \] Es werden daher die Lösungen unseres vollständigen Systems ohne Integration und Quadratur, dass heisst durch die Operation~$(0)$ gefunden. Dieser Fall tritt ein, wenn~$C = 0$, $A\mathfrak{B} - \mathfrak{A}B \neq 0$ sind während die Determinante \[ \begin{vmatrix} \varrho_x & \varrho_y\\ \sigma_x & \sigma_y \end{vmatrix} \] der beiden Grössen \[ \varrho = A_x + B_y,\qquad \sigma = \mathfrak{A}_x + \mathfrak{B}_y \] nicht identisch verschwindet. \bigskip \subsection*{\textbf{Fall IX.} [Seite \pageref{case9}].} In diesem Falle ist \[ C = 0,\qquad A = 0,\qquad \mathfrak{A} = 0,\qquad B = 0,\qquad \mathfrak{B} = 0 \] und \[ D = 1. \] Die Gruppe $\Uf$ hat die Form \[ \frac{\partial{V(x,y)}}{\partial{y}} \frac{\partial{f}}{\partial{x}} - \frac{\partial{V(x,y)}}{\partial{x}} \frac{\partial{f}}{\partial{y}} + z\alpha\frac{\partial{f}}{\partial{z}} + \mathfrak{z}\beta\frac{\partial{f}}{\partial{\mathfrak{z}}}. \] Die Lösungen unseres vollständigen Systems sind daher unter einander gleichberechtigt und es verlangt daher die Bestimmung einer ersten Lösung~$x$ eine Operation~2. Nachdem eine solche Lösung gefunden ist, %-----File: 066.png---------------------------- wird das eindimensionale Gebiet der~$\infty^1$ charakteristischen Mannigfaltigkeiten, die in einem Raum~$x = a$ enthalten sind, nur durch eine infinitesimale Transformation transformirt. Man findet daher wie im Falle~VII die fehlende Lösung des vollständigen Systems durch zwei successive Quadraturen. Das ganze Integrationsgeschäft verlangt also die Operationen \[ 2,\quad 0,\quad 0. \] \bigskip \subsection*{\textbf{Fall X.} [Seite \pageref{case10}].} In diesem Falle ist \[ C = 0,\qquad A = \mathfrak{A} = 0,\qquad \mathfrak{B} = kB,\qquad B_y \neq 0,\qquad k = \text{Const}. \] Die infinitesimalen Transformationen $\Uf$ besitzen die Form \[ \Uf = \xi(x)\frac{\partial{f}}{\partial{x}} - \frac{1}{B_y}(B\xi_x + B_x\xi)\frac{\partial{f}}{\partial{y}} + z\alpha\frac{\partial{f}}{\partial{z}} + \mathfrak{z}\beta\frac{\partial{f}}{\partial{\mathfrak{z}}} \] und dabei ist $\xi(x)$ eine willkürliche Funktion von $x$. Die verkürzte Gruppe~$\Uf$ in den Veränderlichen~$x$ und~$y$ ist \emph{imprimitiv}, indem die Curvenschar~$x=\text{const.}$ der~$xy$-Ebene invariant bleibt. Daher verlangt die Bestimmung der Lösung~$x$ nur die Integration einer gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung, also eine Operation~1. Ist~$x$ bestimmt, so wird die fehlende Lösung ohne Integration oder Quadratur gefunden, indem alle~$\Uf$, die~$x$ invariant lassen, die Form \[ (~)\frac{\partial{f}}{\partial{z}} + (~)\frac{\partial{f}}{\partial{\mathfrak{z}}} \] besitzen. Im vorliegenden Falle verlangt also das Integrationsgeschäft die Operationen \[ 1,\quad (0). \] \bigskip \subsection*{\textbf{Fall XI.} [Seite \pageref{case11}].} In diesem Falle ist \begin{gather*} C = 0,\qquad A = 0,\qquad \mathfrak{A} = 0 \\ B = 1,\qquad \mathfrak{B} = k = \text{Const.} \end{gather*} und die infinitesimalen Transformationen $\Uf$ besitzen die Form %-----File: 067.png---------------------------- \[ \Uf = \frac{\partial{f}}{\partial{x}} + \eta(x,y)\frac{\partial{f}}{\partial{y}} + z\alpha\frac{\partial{f}}{\partial{x}} + \mathfrak{z}\beta\frac{\partial{f}}{\partial{\mathfrak{z}}} \] wobei $\eta$ eine ganz beliebige Funktion von $x$ und $y$ darstellt. Die verkürzten Transformationen~$\Ubarf$ transformiren das eindimensionale Gebiet~$x=\text{ Const.}$ durch eine Gruppe mit \emph{einem einzigen} Parameter. Daher findet man durch eine Quadratur den Multiplicator desjenigen vollständigen Systems, dessen einzige Lösung~$x$ ist und eine zweite Quadratur giebt~$x$ selbst. Um sodann die fehlende Lösung~$y$ zu finden integrirt man eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung, die nicht vermieden werden kann. Die infinitesimalen Transformationen~$\Uf$, die~$x$ invariant lassen, transformieren ja~$y$ in allgemeinster Weise. Im vorliegenden Falle verlangt also die Integration des vollständigen Systems~$X_1f = 0$, $X_2f = 0$ die Operationen \[ 0,\quad 0,\quad 1. \] \bigskip \subsection*{\textbf{Fall XII.}\label{anm48} [Seite \pageref{case12}].} In diesem Falle ist \begin{gather*} C = 0,\qquad A = 0,\qquad \mathfrak{A} = 0 \\ B = Y(y),\qquad \mathfrak{B} = yY(y),\qquad D = 0 \end{gather*} und die infinitesimalen Transformationen $\Uf$ besitzen die Form \[ \Uf = \frac{\partial{f}}{\partial{x}} + z\alpha\frac{\partial{f}}{\partial{z}} + \mathfrak{z}\beta\frac{\partial{f}}{\partial{\mathfrak{z}}}. \] Man findet daher die Lösung $y$ ohne Integration bez. Quadratur durch eine Operation~(0). Sodann verlangt die Bestimmung von~$x$ zwei successive Quadraturen. In diesem Falle brauchen wir also die Operationen \[ (0),\quad 0,\quad 0. \] \bigskip \subsection*{\textbf{Fall XIII.}\label{anm49} [Seite \pageref{case13}].} In diesem Falle ist \begin{gather*} C = A = \mathfrak{A} = 0 \\ B = y, \qquad \mathfrak{B} = xy, \qquad D = 0 \end{gather*} %-----File: 068.png---------------------------- und die infinitesimalen Transformationen $\Uf$ besitzen die Form \[ z\alpha\frac{\partial{f}}{\partial{z}} + \mathfrak{z}\beta\frac{\partial{f}}{\partial{\mathfrak{z}}} \] und also werden beide Lösungen ohne Integration oder Quadratur gefunden. Die Integration des vollständigen Systems: $X_1f = 0$, $X_2f = 0$ verlangt also in diesem Falle nur die Operation \[ (0). \] \bigskip \subsection*{\textbf{Fall XIV.}\label{anm50} [Seite \pageref{case14}].} Jetzt ist \begin{gather*} C = 0,\qquad A = \mathfrak{A} = 0\\ B = B(x),\qquad \mathfrak{B} = xB(x) \end{gather*} und \[ \Uf = \eta(x,y)\frac{\partial{f}}{\partial{y}} + (~)\frac{\partial{f}}{\partial{z}} + (~)\frac{\partial{f}}{\partial{\mathfrak{z}}} \] wobei $\eta$ eine ganz willkürliche Funktion von $x$, $y$ bezeichnet. Die Gruppe~$\Uf$ ist somit intransitiv und dementsprechend findet man die Lösung~$x$ ohne Integration und Quadratur, also durch eine Operation~$(0)$. Sodann verlangt die Bestimmung der Lösung~$y$ eine Operation~1. Im vorliegenden Falle brauchen wir also zur Integration des vollständigen Systems:~$X_1f = 0$, $X_2f = 0$ die Operationen \[ (0),\quad 1. \] \bigskip \subsection*{\textbf{Fall XV.}\label{anm51} [Seite \pageref{case15}].} In diesem Falle ist \[ C = 0,\qquad A = 0,\qquad B = 0,\qquad \mathfrak{A} = 1,\qquad \mathfrak{B} = 0,\qquad D = 0 \] und \[ \Uf = \xi(x,y)\frac{\partial{f}}{\partial{x}} + \text{Const.}\frac{\partial{f}}{\partial{y}} + z\alpha\frac{\partial{f}}{\partial{z}} + \mathfrak{z}\beta\frac{\partial{f}}{\partial{\mathfrak{z}}} \] wobei $\xi(x,y)$ eine willkürliche Funktion von $x$ und $y$ bezeichnet. Man findet daher die Lösung~$x$ durch zwei successive Quadraturen; sodann verlangt die Bestimmung von~$y$ eine Operation~1. %-----File: 069.png---------------------------- Im vorliegenden Falle verlangt also die Integration des vollständigen Systems~$X_1f = 0$, $X_2f = 0$ die Operationen \[ 0,\quad 0,\quad 1. \] \bigskip \subsection*{\textbf{Fall XVI.} [Seite \pageref{case16}].} Jetzt ist \[ C = 0,\qquad A = 0,\qquad B = 0,\qquad \mathfrak{A} = 0,\qquad \mathfrak{B} = y,\qquad D = 0 \] und \[ \Uf = \frac{\partial{\Phi}}{\partial{y}} \frac{\partial{f}}{\partial{x}} - \frac{\partial{\Phi}}{\partial{x}} \frac{\partial{f}}{\partial{y}} + z\alpha\frac{\partial{f}}{\partial{z}} + \mathfrak{z}\beta\frac{\partial{f}}{\partial{\mathfrak{z}}}. \] Die Lösungen unseres vollständigen Systems sind jetzt gleichberechtigt und es verlangt daher die Bestimmung von~$x$ eine Operation~2; sodann geben zwei successive Quadraturen die fehlende Lösung~$y$. In diesem Falle brauchen wir daher zur Integration des vollständigen Systems~$X_1f = 0$, $X_2f = 0$ die Operationen \[ 2,\quad 0,\quad 0. \] \bigskip \subsection*{\textbf{Fall XVII.} [Seite \pageref{case17}].} Jetzt ist \[ C = x,\qquad A = B = \mathfrak{A} =\mathfrak{B} = D = 0 \] und $\Uf$ besitzt die Form \[ \Uf = \eta(x,y)\frac{\partial{f}}{\partial{y}} + \text{Const. }z\frac{\partial{f}}{\partial{z}} + \text{Const. } \mathfrak{z}\beta\frac{\partial{f}}{\partial{\mathfrak{z}}} \] mit der willkürlichen Funktion $\eta$ der beiden Argumente~$x$ und~$y$. Wir finden daher die Lösung~$x$ ohne Integration oder Quadratur durch eine Operation~$(0)$; sodann liefert eine Operation~1 die fehlende Lösung~$y$. Die Integration des vollständigen Systems $X_1f = 0$, $X_2f = 0$ verlangt daher in diesem Falle die Operationen \[ (0),\quad 1. \] \bigskip \subsection*{\textbf{Fall XVIII.} [Seite \pageref{case18}].} In diesem Falle ist \[ C = x,\qquad A =0,\qquad \mathfrak{A} = 0,\qquad D = D(x) \] %-----File: 070.png---------------------------- \[ B = y,\qquad \mathfrak{B} = y\varphi(x) + \psi(x) \] und \[ \Uf = \mu(x)\frac{\partial{f}}{\partial{y}} - \left(\int \frac{\mu(x)C(x)dx}{x}\right) z\frac{\partial{f}}{\partial{z}} + \left(\int \frac{\mu(x)dx}{x}\right) \mathfrak{z}\frac{\partial{f}}{\partial{\mathfrak{z}}}. \] Man findet daher zunächst die Lösung $x$ durch eine Operation~$(0)$ und sodann die Lösung~$y$ durch zwei successive Quadraturen. Im vorliegende Falle verlangt daher die Integration des vollständigen Systems die Operationen \[ (0),\quad 0,\quad 0. \] \bigskip \subsection*{\textbf{Fall XIX.} [Seite \pageref{case19}].} Jetzt ist \begin{gather*} C = x,\qquad A = 0,\qquad \mathfrak{A} = 0,\qquad D=1 \\ B = X(x),\qquad \mathfrak{B} = X_1(x) \end{gather*} und \[ \Uf = \mu(x)\frac{\partial{f}}{\partial{y}} + \text{Const. }z\frac{\partial{f}}{\partial{z}} + \text{Const. }\mathfrak{z}\frac{\partial{f}}{\partial{\mathfrak{z}}}. \] Man findet daher die Lösung $x$ durch die Operation $(0)$ und sodann die Lösung~$y$ durch zwei successive Quadraturen. Die Integration unseres vollständigen Systems verlangt daher auch in diesem Falle die Operationen \[ (0),\quad 0,\quad 0. \] \bigskip \begin{center} \makebox[10em]{\hrulefill}\bigskip \end{center} %-----File: 071.png---------------------------- \section*{Anmerkungen.} \markboth{\textsc{Sophus Lie.}\hfil\small\upshape M.N. Kl.}{\textsc{1902 No.1\hfil anmerkungen.\hfil}} \begin{itemize} \parindent1.5em \parskip0pt \item[1.]\label{app1} Nur der erste Abschnitt liegt im Manuscript vor. \hfill G.S.\qquad\ \item[2.] Ueber infinitesimale Transformationen $\Yf$ die mit gegebenen infinitesimalen Transformationen \emph{vertauschbar} sind, sieh \so{Sophus Lie:} \emph{Theorie der Transformationsgruppen}, unter Mitwirkung von F.~Engel, Bd.~I p.~367. Die dadurch bestimmte Gruppe~G sieh l.~c.~p.~368 fg. Wenn es keine solche Transformationen $\Yf$ giebt, so ist die vorgelegte Gruppe $X_1f \ldots X_\nu f$ asystatisch \emph{Th.~d.~Tr.}\ Bd.~I p.~510 Satz 2, und ihre Invarianten d.~h.\ die Lösungen des vollständigen Systems: \[ X_1f = 0, \dots X_\nu f = 0 \] können durch ausführbare Operationen gefunden werden (\emph{Th.~d.~Tr.}\ Bd.~I p.~518 Satz~7). \hfill S.\qquad\ \item[3.] Zu S.~\pageref{anm3a}. Diese Annahme schien uns nicht unmittelbar evident, und wir haben daher mit Herrn Professor F.~Engel über diesen Punkt correspondiert. In einem Brief von 14--5--02 hat Prof.~Engel uns Folgendes mitgetheilt: \begin{quote} \frqq Mir ist nun keine Stelle bekannt, wo Lie bewiesen oder auch nur behauptet hat, dass man auch zu jeder intransitiven Gruppe eine kanonische Form mit bekannten endlichen Transformationen finden könnte. Doch wird er es sich vielleicht so gedacht haben. Vgl.\ \emph{Th.~d.~Tr.} Bd.~I p.~458 das klein Gedruckte: Ist die dort definirte Zahl $m = r$, so ist die kanonische Form ohne weiteres angebbar. Ist $m > r$, so kommt man zum Ziele, indem man gewisse transitive Gruppen bestimmt, die mit der gegebenen Gruppe meroëdrisch isomorph sind\flqq. \end{quote} Zu S.~\pageref{anm3b}. Der Begriff \frqq reciprok\flqq\ ist früher von Lie nur bei einfach transitiven Gruppen gebraucht; hier bedeutet offenbar die \frqq reciproke\flqq\ Gruppe die Gruppe~G von allen Transformationen die mit den~$X_1f$ vertauschbar sind, gleichgültig ob die Gruppe~$X_if$ einfach transitiv ist oder nicht. \hfill G.S.\qquad\ \medskip Zu S.~\pageref{anm3c}. Dieser Punkt schien uns unklar, da hier vorausgesetzt wird, dass~G endlich ist, denn nur in diesem Falle kann Lie von einer gleichzusammengesetzten einfach transitiven Gruppe reden, %-----File: 072.png---------------------------- und in dem Fall, dass~G endlich ist, (und sich nicht nur auf die identische Transformation reducirt, ein Fall, der ja schon erörtert ist), ist die Gruppe~$X_if$ transitiv, ein Fall, der ja hier kein Interesse hat. Professor Engel, den wir darüber gefragt haben ist mit uns darin einig, \frqq dass diese Stelle entschieden nicht ganz in Ordnung ist\flqq. \bigskip \item[4.] Man vergleiche hier \emph{Mathematische Annalen} Bd.~25 p.~123, 22.\\ \null\hfill G.\qquad\ \item[5.] und 6.~Siehe \emph{Leipziger Berichte}, 1897 p.~402--407. \hfill G.S.\qquad\ \item[7.] Nur der erste Abschnitt liegt vor. Ueber die in der Einleitung besprochenen Theorien und Probleme siehe auch: \emph{Encyclopædie der Mathematischen Wissenschaften} Band II. A 4 b \S\ 13--14 und \S\ 29--32. \hfill S.\qquad\ \item[8.]\frqq \emph{Ganz beliebige Funktionen}\flqq, müssen in der Bedeutung verstanden werden, dass sie den allgemeinen Bedingungen genügen, unter welchen das Integral eine Existenz hat. Auf solche Fragen gehen wir aber hier nicht ein. Ueberall in dem Folgenden muss man ähnliche funktionentheoretische Voraussetzungen machen. \hfill S.\qquad\ \item[9.] Im Manuscript war durch einen Schreibfehler überall $X_1$, $X_2$, $X_3$, $X_4$ statt $F_1$, $F_2$, $F_3$, $F_4$ gesetzt. Etwas später waren diese ersten Buchstaben $X$ zu $F$ corrigiert, und da es scheint, als ob Lie diese Correcturen nicht durchgeführt habe, haben wir es gethan. In dem Folgenden haben wir auch ($i = 3,4$) im Manuscript zu ($i = 1,2$) corrigiert, da dieses offenbar das Richtige ist. In den Entwickelungen auf S.~\pageref{anm9a} und~\pageref{anm9b} bedeutet natürlich $\frac{\partial{F_i}}{\partial{x_1}}$ die partielle Ableitung von $F_i$ ($x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$) wenn $x_2$, $x_3$ $x_4$ als Constanten aufgefasst werden, dagegen $\left(\frac{\partial{F_i}}{\partial{x_1}}\right)$ die partielle Ableitung von $F_i$, wenn man in $F_i$ zuerst die Ausdrücke der $x_3$ und $x_4$ als Funktionen von $x_1$ und $x_2$ substituirt und dann die partielle Ableitung nach $x_1$, nimmt etc. \hfill G.S.\qquad\ \item[10.] Man sieht es unmittelbar ein, wenn man die Ausdrücke der totalen Differentiale: \[ \begin{aligned} &dx'_3 = dF_3 = \left(\dfrac{\partial{F_3}}{\partial{x_1}}\right)dx_1 + \left(\dfrac{\partial{F_3}}{\partial{x_2}}\right)dx_2\qquad& \\ &dx'_i = dF_i = \left(\dfrac{\partial{F_i}}{\partial{x_1}}\right)dx_1 + \left(\dfrac{\partial{F_i}}{\partial{x_1}}\right)dx_2 &(i = 1,2) \end{aligned} \] in die Gleichung %-----File: 073.png---------------------------- \[ dx'_3 = \frac{\partial{x'_3}}{\partial{x'_3}}\cdot dx'_1 + \frac{\partial{x'_3}}{\partial{x'_2}}\cdot dx'_2 \] substituirt und beziehungsweise die Koefficienten von~$dx_1$ und~$dx_2$ auf beiden Seiten identificirt, u.~s.~w. \hfill S.\qquad\ \item[11.] Hier bedeutet $\left|\begin{smallmatrix} U & V \\ x_i & x_k \end{smallmatrix}\right| $ die Funktionaldeterminante, $ \frac{\partial{U}}{\partial{x_i}} \frac{\partial{V}}{\partial{x_k}} - \frac{\partial{U}}{\partial{x_i}} \frac{\partial{V}}{\partial{x_i}}$, von $U$ und $V$ nach $x_i$ und $x_k$. \hfill S.\qquad\ \item[12.] Folgende Andeutungen können vielleicht von Nutzen sein: Wenn man $x_4$ als eine willkürliche Funktion $f$ von $x_1$, $x_2$ und $x_3$ wählt, so ist das totale Differential: \[ dx_4 = \frac{\partial{f}}{\partial{x_1}}\cdot dx_1 + \frac{\partial{f}}{\partial{x_2}}\cdot dx_2 + \frac{\partial{f}}{\partial{x_3}}\cdot dx_3 \] für einen willkürlichen aber bestimmten Punkt $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$. Diese Gleichung ist linear und homogen in $dx_1$, $dx_2$, $dx_3$, $dx_4$ und stellt folglich im Raume~$M_3$ eine Ebene dar. Wenn man die Funktion~$f$ anders wählt, erhält man im Allg.\ eine andere Ebene. Die drei partiellen Ableitungen \[ \frac{\partial{f}}{\partial{x_1}},\quad \frac{\partial{f}}{\partial{x_2}},\quad \frac{\partial{f}}{\partial{x_3}} \] können daher als Ebenenkoordinaten aufgefasst werden. Wenn man in analoger Weise $x_3$ und $x_4$ als willkürliche Funktionen~$f$ und~$\varphi$ von $x_1$ und $x_2$ auffasst, so ist \[ \begin{aligned} dx_3 = \frac{\partial{f}}{\partial{x_1}}\cdot dx_1 + \frac{\partial{f}}{\partial{x_2}}\cdot dx_2,\\ dx_4 = \frac{\partial{\varphi}}{\partial{x_1}}\cdot dx_1 + \frac{\partial{\varphi}}{\partial{x_2}}\cdot dx_2. \end{aligned} \] Wenn man hier Alles im Raume $M_3$ auffasst, so stellt jede dieser Gleichungen eine Ebene und folglich beide zusammen eine Gerade dar. Wenn man~$f$ und~$\varphi$ anders wählt, bekommt man im Allg.\ eine andere Gerade. Da $dx_1$, $dx_2$, $dx_3$, $dx_4$ homogene Ebenenkoordinaten im~$M_3$ sind, kann man folglich die partiellen Ableitungen \[ \frac{\partial{f}}{\partial{x_1}},\quad \frac{\partial{f}}{\partial{x_2}},\quad \frac{\partial{\varphi}}{\partial{x_1}},\quad \frac{\partial{\varphi}}{\partial{x_2}} \] als Liniencoordinaten im $M_3$ auffassen. Wie man mit Plücker die fünfte Liniencoordinate \[ \frac{\partial{f}}{\partial{x_1}} \frac{\partial{\varphi}}{\partial{x_2}} - \frac{\partial{f}}{\partial{x_2}} \frac{\partial{\varphi}}{\partial{x_1}} \] %-----File: 074.png---------------------------- einführen kann, siehe z.~B.\ \so{Lie-Scheffers}: \emph{Geometrie der Be\-rüh\-rungs\-transformationen} I. Kap. 7, \S~3. \hfill S.\qquad\ \item[13.] Dass jede Punkttransformation im Infinitesimalen projektiv ist, folgt daraus, dass die Differentiale linear und homogen transformirt werden. Sieh z.~B.\ \so{Lie-Engel} \emph{Th.\ der Tr.~I}, Kap.~28. Aber dann werden in~$M_3$ die absoluten Punktkoordinaten und folglich die fünf Liniencoordinaten projektiv transformirt. (Siehe z.~B.\ \so{Lie-Scheffers} \emph{Ge.\ der Berühr.tr.} % No space in original I, p.~285, Satz~5). \hfill S.\qquad\ \item[14.] Im Manuscript war durch einen Schreibfehler $dx\, dy$ statt $dx_1\, dx_2$ geschrieben. Wir haben dieses korrigiert. \hfill G.~S.\qquad\ \item[15.] Da $X_1 f$ und $X_2 f$ vertauschbare Transformationen mit verschiedenen Bahncurven sind, kann man solche neue Veränderliche $z_2$, $\mathfrak{z}_3$ einführen, dass $X_1 f$ und $X_2 f$ in die beiden Translationen \[ \frac{\partial f}{\partial z_2},\ \frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}_2} \] übergehen (Sehe z.~B.\ \so{Lie-Scheffers} \emph{Diff.\ gl.\ mit bekannt.\ inf.\ Tr.} p.~416). Wenn man dann die neuen Veränderlichen \begin{align*} z &= e^{z_2 } \\ \mathfrak{z} &= e^{\mathfrak{z}_2} \end{align*} einführt, so werden die inf. Transformationen $X_1 f$ und $X_2 f$ auf die Formen \[ z \frac{\partial f}{\partial z },\ \mathfrak{z} \frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}} \] gebracht. \hfill G.~S.\qquad\ \item[16.] (Seite~\pageref{anm16a} und~\pageref{anm16b}). Wenn $X' f$ die erweiterte Transformation von \[ \Xf = \xi \frac{\partial f}{\partial x} + \eta \frac{\partial f}{\partial y} + \zeta \frac{\partial f}{\partial z} + \tilde{\omega} \frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}} \] ist, so ist die Bedingung dafür, dass das Integral \[ \int \psi\, dx\, dy \] durch die Transformation $\Xf$ invariant bleibt, wie bekannt: \[ X'\psi + (\xi_x + \eta_y)\psi = 0. \] (Siehe \emph{Leipz.\ Berichte} 1897, p.~347--350) Wenn folglich $\Xf = z\frac{\partial f}{\partial z}$, so ist $\xi = \eta = 0$ und unsere Bedingungsgleichung nimmt die Form: %-----File: 075.png---------------------------- \[ X'\psi = 0 \] an, u.~s.~w. In der Gleichung (Seite~14 unten) war im Manuscript $ \gamma_z \mathfrak{p} + \delta_z \mathfrak{q}$ statt $z\gamma_z \mathfrak{p} + z\delta_z \mathfrak{q}$ geschrieben. Wir haben es corrigiert. \hfill G.~S.\qquad\ \item[17.] Ueber vertauschbare Transformation etc.\ siehe \so{Lie-Engel} \emph{Th.\ d.\ Tr.}\ I, p.~259. \hfill G.~S.\qquad\ \item[18.] Wenn die Relationen $(X_1U) = 0$ und $(X_2U) = 0$ identisch bestehen sollen, so erhält man durch Ausrechnung \[ \xi_z = \xi_{\mathfrak{z}} = \eta_z = \eta_{\mathfrak{z}} = \bar\omega_z = \zeta_{\mathfrak{z}} = z\zeta_z - \zeta = \mathfrak{z} \bar\omega_{\mathfrak{z}} -\omega = 0 \] woraus \begin{align*} & \xi = \xi(x, y), && \eta = \eta(x, y) \\ & \zeta = z\cdot\alpha(x, y), & & \bar\omega = \mathfrak{z}\cdot\beta(x, y) \end{align*} u.~s.~w. \hfill G.~S.\qquad\ \item[19.] Man sieht leicht dass die allgemeinste Transformation bei welcher $z\frac{\partial f}{\partial z}$ und $\mathfrak{z} \frac{\partial f}{\partial\mathfrak{z}}$ ihre Form bewahren, durch die Gleichungen~(8) gegeben ist. Sind nämlich $x_1$, $y_1$, $z_1$, $\mathfrak{z}_1$ neue Veränderliche so geht $z\frac{\partial f}{\partial z}$ und $\mathfrak{z} \frac{\partial f}{\partial\mathfrak{z}}$ über in \[ z\frac{\partial x_1}{\partial z} \cdot \frac{\partial f}{\partial x_1} + z\frac{\partial y_1}{\partial z} \cdot \frac{\partial f}{\partial y_1} + z\frac{\partial z_1}{\partial z} \cdot \frac{\partial f}{\partial z_1} + z\frac{\partial \mathfrak{z}_1}{\partial z} \cdot \frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}_1} \] und \[ \mathfrak{z} \frac{\partial x_1}{\partial \mathfrak{z}} \cdot \frac{\partial f}{\partial x_1} + \mathfrak{z} \frac{\partial y_1}{\partial \mathfrak{z}} \cdot \frac{\partial f}{\partial y_1} + \mathfrak{z} \frac{\partial z_1}{\partial \mathfrak{z}} \cdot \frac{\partial f}{\partial z_1} + \mathfrak{z} \frac{\partial \mathfrak{z}_1}{\partial \mathfrak{z}} \cdot \frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}_1} \] und wenn diese Transformationen die Formen $z_1\frac{\partial f}{\partial z_1}$ und $\mathfrak{z} \frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}_1}$ erhalten sollen, müssen \[ \frac{\partial x_1}{\partial z} = \frac{\partial y_1}{\partial z} = \frac{\partial \mathfrak{z}_1}{\partial z} = \frac{\partial x_1}{\partial \mathfrak{z}} = \frac{\partial y_1}{\partial \mathfrak{z}} = \frac{\partial \mathfrak{z}_1}{\partial \mathfrak{z}} = 0 \] und \[ z \frac{\partial z_1}{\partial z} = z_1, \qquad \mathfrak{z} \frac{\partial \mathfrak{z}_1}{\partial \mathfrak{z}} = \mathfrak{z}_1 \] das heisst, $x_1$, $y_1$, $z_1$, $\mathfrak{z}_1$ sind durch Gleichungen von der Form~(8) bestimmt. \hfill S.\qquad\ \item[20.] Im Manuscript war das Glied \[ +\frac{\theOmega_x V_y - \theOmega_y V_x}{\theOmega V} \] durch einen Schreibfehler vergessen. Wir haben es ergänzt. \hfill G.~S.\qquad\ %-----File: 076.png---------------------------- \item[21.] Sieh z.~B.~\so{Lie-Scheffers}: \emph{Geometrie der Berührungs\-trans\-for\-ma\-ti\-onen} I, p.~289. \hfill G.~S.\qquad\ \item[22.] Im Manuscript war $A$ und $B$ statt $A_1$ und $B_1$ geschrieben. Wir haben es corrigiert. \hfill G.~S.\qquad\ \item[23.] $\Ubarf$ bedeutet hier die verkürzte inf. Transformation $\xi\frac{\partial{f}}{\partial{x}} + \eta\frac{\partial{f}}{\partial{y}} $. Ein \emph{Multiplicator} $M$ von $\Ubarf$ ist definirt durch \[ \frac{\partial{(M\xi)}}{\partial{x}} + \frac{\partial{(M\eta)}}{\partial{y}} = 0 \] Siehe z.~B.~\emph{Encyclopædie der math.} Wiss.~IIA 5, 12. \hfill S.\qquad\ \item[24.] Im Manuscript hat Lie dieses zuerst etwas anders redigiert, aber später seine ursprüngliche Redaction durch die vorliegende ersetzt. Aber da diese ursprüngliche Redaction die Sache ausführlicher darstellt, denken wir, dass es von Nutzen sein kann, diese im Auszug zu reproducieren, um so mehr, als ähnliche Überlegungen in dem Folgenden sehr oft vorkommen. Wenn wir die neuen Veränderlichen \[ x_1 = \frac{M(x,y)}{N(x,y)},\qquad y_1 = Y(x,y),\qquad z_1 = z,\qquad \mathfrak{z}_1 = \mathfrak{z}\tag{a} \] einführen, so geht $\Ubarf$ über in \[ \overline{U}\left(\frac{M}{N}\right)\cdot \frac{\partial{f}}{\partial{x_1}} + \overline{U}(Y) \frac{\partial{f}}{\partial{y_1}}\cdot \] Aber infolge Satz 2 ist $\overline{U}\left(\frac{M}{N}\right) = 0$, und wenn wir $Y$ durch die Gleichung \[ \xi\frac{\partial{Y}}{\partial{x}} + \eta\frac{\partial{Y}}{\partial{y}} = \mu\left(\frac{M}{N}\right) = \mu(x_1) \] bestimmen, so wird unsere Transformation $\Ubarf$ die Form \[ \mu(x_1)\cdot \frac{\partial{f}}{\partial{y_1}} \] erhalten. Durch die Variablenänderung (\emph{a}) gehen andererseits die inf. Transformationen $ z\frac{\partial{f}}{\partial{z}}$ und $ \mathfrak{z}\frac{\partial{f}}{\partial{z}}$ in $z_1 \frac{\partial{f}}{\partial{z_1}}$ und $ \mathfrak{z_1}\frac{\partial{f}}{\partial{z_1}}$ über, (d.~h.\ sie bleiben invariant) während das Integral die Form \[ \int\left( \frac{A_1p_1 + B_1q_1}{z_1} + \frac{\mathfrak{A_1}\mathfrak{p_1} + \mathfrak{B_1}\mathfrak{q_1}}{\mathfrak{z_1}} + \frac{C(p\mathfrak{q_1} - q\mathfrak{p_1})}{z_1\mathfrak{z_1}} + D_1 \right)\;dx_1\;dy_1 \] erhält, und dabei sind die Coefficienten $A_1$, $B_1,\dots D_1$ Funktionen von $x_1$ und $y_1$, die allerdings im Allgem.\ eine andere Form als die alten Coefficienten $A$, $B,\dots D$ haben. %-----File: 077.png---------------------------- Durch diese Betrachtungen erkennen wir, dass es im vorliegenden Falle möglich ist, die kanonischen Veränderlichen $x$, $y$, $z$, $\mathfrak{z}$ \emph{von vornherein} derart zu wählen, dass die Gruppe $\Uf$ die Form \[ \mu(x) \frac{\partial f}{\partial y} + z\alpha \frac{\partial f}{\partial z} + \mathfrak{z}\beta \frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}} \] erhält. \hfill S.\qquad\ \item[25.] Es ist nicht nöthig, die Annahme $\mu=1$ zu machen; man sieht es unmittelbar aus der letzte Gleichung~(6), die in unserem Fall die Form \[ \mu(x) D_y=0 \] annimmt, dass $D$ eine Function von $x$ allein ist. \hfill S.\qquad\ \item[26.] Man sieht es leicht, wenn man bemerkt, dass \[ A = X(x), \quad B = 0, \quad \mathfrak{A} = X_1(x), \quad \mathfrak{B} = 0, \quad D = D(x) \] und folglich \[ \omega = C\cdot D(x), \qquad \varrho = X'(x), \qquad \sigma = X'_1(x), \] was eingesetzt in die Gleichungen (10) und (6), die angegebenen Werthe von $\xi$, $\eta$, $\alpha$ und $\beta$ liefert. \hfill S.\qquad\ \item[27.] Wenn wir z.~B.\ die erste Gleichung~(10) betrachten, wo \[ N = \omega = CD + \mathfrak{A}B - A\mathfrak{B} \] ist, und wenn wir neue Veränderliche \[ x_1 = X(x,y), \quad y_1 = Y(x,y), \quad z_1 = z, \quad \mathfrak{z}_1 = \mathfrak{z} \] einführen und die Gleichung $\Delta N_1=N$ (Seite~\pageref{anm27}) ins Auge fassen, so sehen wir, dass \[ N_1 = 1 \] wird, sobald $x_1$ und $y_1$ durch die Bedingung \[ \frac{\partial x_1}{\partial x} \cdot \frac{\partial y_1}{\partial y} - \frac{\partial x_1}{\partial y} \cdot \frac{\partial y_1}{\partial x} = CD + \mathfrak{A}B - A\mathfrak{B} \] bestimmt sind, was offenbar auf unendlich viele Weisen möglich ist. Folglich können wir von vornherein $N =1$ annehmen. Vergleiche auch Note~24. \hfill S.\qquad\ \item[28.] Vielleicht ist folgende directe Überlegung vorzuziehen: Unsere Bedingung, dass alle Unterdeterminanten von \[ \begin{vmatrix} \omega & \omega_x & \omega_y \\ \varrho & \varrho_x & \varrho_y \\ \sigma & \sigma_x & \sigma_y \end{vmatrix} \] identisch verschwinden sollen, giebt %-----File: 078.png---------------------------- \begin{align*} \omega\varrho_x &= \varrho\omega_x, &\quad \omega\varrho_y &= \varrho\omega_y, \\ \omega\sigma_x &= \sigma\omega_x, &\quad \omega\sigma_y &= \sigma\omega_y, \quad \text{etc.} \end{align*} Aber da $N=\omega=1$ ist, so wird \[ \varrho_x = \varrho_y = \sigma_x = \sigma_y = 0 \] d.~h.\ $\varrho$ und $\sigma$ sind Constanten. \hfill S.\qquad\ \item[29.] (Zu Seite~\pageref{anm29}). Wir haben einige Worte eingeschaltet um den Übergang zum Folgenden zu vermitteln. Bei dieser Gelegenheit müssen wir auch die Bemerkung machen, dass im letzten Falle, wo \[ \omega = \varrho = \sigma = A = B = \mathfrak{A} = \mathfrak{B} = D = 0 \] ist, die Gleichungen (6) identisch befriedigt werden, und dass folglich \[ \Uf = \xi \frac{\partial f}{\partial x} + \eta \frac{\partial f}{\partial y} + z\alpha \frac{\partial f}{\partial z} + \mathfrak{z}\beta \frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}} \] wird, wo $\xi$, $\eta$, $\alpha$ und $\beta$ willkürliche Funktionen von $x$ und $y$ sind. \hfill S.\qquad\ \item[30.] Im Manuscript war das Theorem nicht fertig geschrieben, und \so{Lie} hat einen Zwischenraum gelassen um es später zu vervollständigen. Wir haben es gethan, und das Zugefügte durch eckige Klammern angedeutet. \hfill G.~S.\qquad\ \item[31.] Über Systeme partieller Differentialgleichungen, deren allgemeinste Lösungen nur von einer endlichen Anzahl willkürlicher Constanten abhängen, siehe \so{Lie-Engel} \emph{Th.\ d.\ Tr.}~I, Kap.~10. In der letzten Gleichung war im Manuscript $\mathfrak{A}B_x - A\mathfrak{B}_x$ und $\mathfrak{A}B_y - A\mathfrak{B}_y$ statt $A\mathfrak{B}_x - \mathfrak{A}B_x$ und $A\mathfrak{B}_y - \mathfrak{A}B_y$ geschrieben. Wir haben es richtig gestellt. \hfill G.~S.\qquad\ \item[32.] Genau wie im vorigen Falle (Seite~\pageref{anm32a}) kann man wohl nicht verfahren, weil $C=0$ ist und man folglich nicht mit $C$ multipliciren kann; aber wenn man die erste und letzte der 4~Gleichungen (Seite~\pageref{anm32b}) addirt, erhält man unmittelbar die erste Gleichung~(16) u.~s.~w. \hfill G.~S.\qquad\ \item[33.] Vergl.\ Note~27. Bei der entsprechenden Variablenänderung bleiben die Bedingungen $C=0$ und $A\mathfrak{B} - \mathfrak{A}B\neq0$ invariant und wir können von vornherein die Annahme $\omega=1$, $\xi_x+\eta_y=0$ machen. \hfill S.\qquad\ \item[34.] Die beiden inf.\ Transformationen der Gruppe seien \[ U_1 f = P_y \frac{\partial f}{\partial x} - P_x \frac{\partial f}{\partial y} \quad \text{und} \quad U_2 f = V_y \frac{\partial f}{\partial x} - V_x \frac{\partial f}{\partial y}. \] Nach S.~\so{Lie}: \emph{Leipz.\ Berichte} 1895, p.~294 u.~f.\ ist es nun möglich, neue Veränderliche %-----File: 079.png---------------------------- \begin{align*} x_1 &= X(x,y)\\ y_1 &= Y(x,y) \end{align*} einzuführen, die der Bedingung \[ X_xY_y - X_yY_x = 1 \] genügen und die infinitesimale Transformation $U_1f$ auf die Form einer %[_1 hard to read] Translation $\frac{\partial f}{\partial y_1}$ bringen. \hfill S.\qquad\ \item[35.] Siehe z.~B. \emph{Th.~d.~Tr.} III, s. 713. \hfill S.\qquad\ \item[36.] Es genügt z.~B., die neuen Veränderlichen \[ x_1 = x,\quad y_1 = y - \frac{X_1}{x} \] einzuführen. \hfill S.\qquad\ \item[37.] Wie oben bemerkt, können wir hier $D = 0$ annehmen. \hfill S.\qquad\ \item[38.] Es genügt, die neuen Veränderlichen \[ x_1 = \frac{x}{k},\quad y_1 = y + \frac{X_1}{k} \] einzuführen. \hfill G.~S.\qquad\ \item[39.] Vergleiche Seite \pageref{anm27}. \hfill S.\qquad\ \item[40.] Es genügt, die neuen Veränderlichen $x_1 = -X',\ y_1 = y$ einzuführen. \hfill G.~S.\qquad\ \item[41.] Hier ist, wie man leicht sieht, ein Fehler. Wenn man nämlich die neuen Veränderlichen \[ x_1 = \varphi (x),\quad y_1 = \frac{1}{\varphi (x)}\cdot y + \psi (x) \] einführt, so bleibt: \[ \Delta = \frac{\partial x_1}{\partial x}\cdot\frac{\partial y_1}{\partial y} - \frac{\partial x_1}{\partial y}\cdot\frac{\partial y_1}{\partial x} = \frac{\varphi'(x)}{\varphi (x)} \] und (Seite \pageref{form5}) \[ \Delta\mathfrak{A}_1 = \mathfrak{A}\cdot\varphi'(x) \] d.~h. \[ \mathfrak{A}_1 = \mathfrak{A}\varphi (x) \] und $\mathfrak{A}_1$ kann folglich nicht Null werden. Man sieht aber leicht, dass die Transformation \begin{align*} x_1 = y - \int\frac{\mathfrak{B}}{\mathfrak{A}}dx\\ y_1 = y - \int\frac{B}{A}dx \end{align*} unsere Forderung erfüllt. \hfill S.\qquad\ %-----File: 080.png---------------------------- \item[42.] Am Rande seines Manuscripts hat S.~Lie geschrieben: \[ \text{!! (\emph{gar keine inf.~Trfn.}, $\xi = 0$, $\eta = 0$)} \] und wie es auch aus dem Falle VIII (Seite \pageref{anm42}) hervorgeht, ist hier der Fall angedeutet, wo die Gruppe nur die identische Transformation enthält, dass heisst, wo \[ \xi = 0,\qquad \eta = 0 \] sind. Die Gleichungen (15) geben alsdann: \[ 0 = A\alpha_x + B\alpha_y + \mathfrak{A}\beta_x + \mathfrak{B}\beta_y \] und wegen der Voraussetzung sind \[ C = 0,\qquad A\mathfrak{B} - \mathfrak{A}B \neq 0. \] \hfill G.~S.\qquad\ \item[43.] Es genügt, neue Veränderliche $x_1$ und $y_1$ einzuführen, wo $x_1$ eine Lösung der Gleichung \[ A\frac{\partial{x_1}}{\partial{x}} + B\frac{\partial{x_1}}{\partial{y}} = 0 \] ist. Die Formeln auf der Seite~\pageref{form3} zeigen dann, dass $A_1 = 0$ und dass folglich $\mathfrak{A_1}B_1 = 0$ wird. \hfill G.~S.\qquad\ \item[44.] Es genügt die neuen Veränderlichen $x_1$, $y_1$, als Lösungen der Gleichung \[ \frac{\partial{x_1}}{\partial{x}} \frac{\partial{y_1}}{\partial{y}} - \frac{\partial{x_1}}{\partial{y}} \frac{\partial{y_1}}{\partial{x}} = D \] zu nehmen (Vergl. Seite~\pageref{form3}). \hfill S.\qquad\ \item[45.] Wie man leicht sieht, kann die Integralinvariante in diesem Falle auf die Form \[ \int\left( \frac{Bq}{z} + \frac{kB\mathfrak{q}}{\mathfrak{z}} \right) \;dx\;dy \] gebracht werden. \hfill S.\qquad\ \item[46.] Siehe die Transformationsformeln auf Seite~\pageref{form3}. \hfill S.\qquad\ \item[47.] Im Manuscript war durch einen Schreibfehler $\Xf$ statt $\Uf$ geschrieben. Wir haben es corrigirt. \hfill S.\qquad\ \item[48.] In den expliciten Ausdrücken von $\xi$ und $\eta$; tritt die Integrationsconstante nur als Faktor auf, und es giebt folglich nur \emph{eine} wesentliche infinitesimale Transformation $ \xi\frac{\partial{f}}{\partial{x}} + \eta\frac{\partial{f}}{\partial{y}} $.\bigskip Um die Voraussetzungen des Falles XII, Seite~\pageref{anm48} herzuleiten, genügt es, die neuen Veränderlichen %-----File: 081.png---------------------------- \[ x_1 = \int\frac{\partial{x}}{\xi},\qquad y_1 = \frac{\mathfrak{B}}{B} \] einzuführen. Setzen wir nämlich \[ \xi\frac{\partial{f}}{\partial{x}} + \eta\frac{\partial{f}}{\partial{y}} = \Ubarf \] so ist \[ \begin{aligned} &\overline{U}(x_1) = \xi\cdot\frac{1}{\xi} + 0 = 1 \\ &\overline{U}(y_1) = - \frac{\mathfrak{B}^2}{B^2}\cdot \left(\left(\frac{B}{\mathfrak{B}}\right)_{\!\!x}\cdot \xi + \left(\frac{B}{\mathfrak{B}}\right)_{\!\!y}\cdot\eta\right) = 0 \end{aligned} \] und $\Ubarf$ erhält in den neuen Veränderlichen $x_1$, $y_1$ die Form $\frac{\partial{f}}{\partial{x_1}}$. Die Transformationsformeln auf der Seite~\pageref{form3} geben andererseits: \[ A_1 = 0,\qquad \mathfrak{A}_1 = 0,\qquad B_1 = \xi B,\qquad \mathfrak{B}_1 = \xi\mathfrak{B} = y_1B_1. \] Man sieht leicht, unter Anwendung der Formel $\xi B_x + B\xi_x + \eta B_y = 0$, dass \[ \frac{\partial{B_1}}{\partial{x_1}} = 0 \] so dass $B_1$ eine Funktion von $y_1$ allein ist. Endlich können wir neue Veränderliche $z_1$, und $\mathfrak{z}_1$, einführen derart, dass $D_1 = 0$ wird. Wir können also von vornherein die Voraussetzungen machen: \[ \begin{aligned} C = 0,\qquad &A = 0,\qquad \mathfrak{A} = 0 \\ B = Y(y),\qquad \mathfrak{B}& = y\cdot Y(y),\qquad D = 0 \end{aligned} \] und $\Uf$ hat die Form \[ \Uf = \frac{\partial{f}}{\partial{x}} + z\alpha\frac{\partial{f}}{\partial{z}} + \mathfrak{z}\beta\frac{\partial{f}}{\partial{\mathfrak{z}}} \] w.~z.~b.~w. \hfill S.\qquad\ \item[49.] Um die Voraussetzungen des Falles XIII, Seite~\pageref{anm49}, herzuleiten, genügt es, die neuen Veränderlichen \[ x_1 = \varphi(x),\qquad y_1 = \frac{B}{\varphi'(x)} \] einzuführen. Man erhält dann: \[ \begin{aligned} \Delta = B_y,\qquad C_1 =&\ 0,\qquad A_1 = 0,\qquad B_1 = \frac{B}{\varphi'(x)} = y_1 \\ \mathfrak{A}_1 = 0,\qquad \mathfrak{B}_1 &= \frac{\mathfrak{B}}{\varphi'(x)} = \frac{B\varphi(x)}{\varphi'(x)} = x_1y_1,\quad\text{etc.} \end{aligned} \] w.~z.~b.~w. \hfill S.\qquad\ \item[50.] Um die Voraussetzungen des Falles XIV, Seite~\pageref{anm50}, herzuleiten, genügt es, die neuen Veränderlichen %-----File: 082.png---------------------------- \[ x_1 = \varphi(x),\qquad y_1 = y \] zu setzen. Wir bekommen dann: \[ C_1 = 0,\qquad A_1 = \mathfrak{A_1} = 0,\qquad B_1 = B_1(x_1),\qquad \mathfrak{B_1} = x_1B_1,\quad\text{etc.} \] \item[51.] Um die Voraussetzungen des Falles XV, Seite~\pageref{anm51} herzustellen, genügt es die neuen Veränderlichen \[ x_1 = x,\qquad y_1 = W \] einzuführen. Man erhält alsdann: \[ C_1 = A_1 = B_1 = \mathfrak{B_1} = 0 \] und $\mathfrak{A_1} = 1$. Unsere infin. Transformation erhält dabei die Form: \[ \xi(x,y) \frac{\partial{f}}{\partial{x_1}} + \text{Const. } \frac{\partial{f}}{\partial{y_1}} + \cdots \] Durch eine Variabelnänderung in den $z$ und $\mathfrak{z}$ erreicht man ausserdem, dass $D = 0$ wird. \hfill S.\qquad\ \item[52.] Anstatt $\mathfrak{A}_x$ und $\mathfrak{B}_y$ dürften eigentlich $(\mathfrak{A_1})_x$ und $(\mathfrak{B_1})_y$ geschrieben werden etc. \hfill G.~S.\qquad\ \item[53.] Ausser diesen drei Gleichungen muss, um die angedeutete Reduction zu erhalten noch eine vierte zugefügt werden, nämlich: \[ \mathfrak{A} \frac{\partial{Y_1}}{\partial{x}} + \mathfrak{B} \frac{\partial{Y_1}}{\partial{y}} = Y_1. \] Wenn man $Y_1$ durch diese Gleichung bestimmt, findet man durch die erste und letzte Gleichung im Texte, dass \[ \frac{\partial{X_1}}{\partial{x}} = \frac{\mathfrak{B}}{Y_1},\qquad \frac{\partial{X_1}}{\partial{y}} = - \frac{\mathfrak{A}}{Y_1} \] und man sieht durch Anwendung der Relation $\mathfrak{A}_x + \mathfrak{B}_y = 1$ dass dieses System vollständig integrabel ist. Dass $\Ubarf$ bei dieser Variabelnänderung seine Form behält, folgt aus den \emph{Leipz.\ Berichte} 1895, Seite 294, 306. \hfill S.\qquad\ \item[54.] Es genügt, die neuen Veränderlichen \[ x_1 = C(x,y),\qquad y_1 = y,\qquad z_1 = z,\qquad \mathfrak{z_1} = \mathfrak{z} \] einzuführen. Dann wird nämlich \smallskip \hfill $C_1 = C = x_1\quad \text{etc.}$\hfill G.~S.\qquad\ \item[55.] Im Manuscripte war die Gleichung nicht vollständig geschrieben. Wir haben es korrigirt. \hfill G.~S.\qquad\ %-----File: 083.png---------------------------- \item[56.] Im Manuscripte war $X(x)$ statt $\mu(x)$ geschrieben. \hfill S.\qquad\ \item[57.] Siehe \emph{Mathematische Annalen} B.~XI. \hfill G.\qquad\ \item[58.] Siehe \emph{Leipz.\ Berichte} 1895. Seite~294. \hfill G.~S.\qquad\ \item[59.] Siehe \so{Lie-Engel}: \emph{Theorie d.\ Trf.\ Gr.}~III, Seite~681. \hfill G.~S.\qquad\ \item[60.] Siehe: \emph{Archiv for Mathematik og Naturvidenskab} Bd.~VIII, S. 384--451. (Infolge einer Mitteilung von Hr.\ Prof.\ F.~Engel). \hfill G.~S.\qquad\ \end{itemize} \fivestar \section*{Berichtigungen.} % or \begin{center} \textbf{Berichtigungen.} \end{center} \begin{itemize} \item[61.] Statt $\mathfrak{q} za_x$ war im Manuscript $\mathfrak{qz} a_x$ geschrieben. Wir haben es corrigirt. % Original: Zu Seite 16, Zeile 3 von unten \item[62.] Statt $ B \dfrac{V_y}{V}$ soll $\mathfrak{B} \dfrac{V_y}{V}$ stehen. % Original: Zu Seite 21, Zeile 2 von oben \item[63.] Im Manuscript war statt Symbole Definitionsgl.\ geschrieben. % Original: Zu Seite 25, Zeile 5 von unten \item[64.] Von Seite~\pageref{anm29} soll die Note~29 ausgehen. % Original: Zu Seite 31, Zeile 4 von oben: An dieser Stelle soll die Note~29 ausgehen % reworded slightly because, unlike the other Berichtigungen, this one needs a text reference to make any sense \item[65.] Statt $ \dfrac{p\mathfrak{q} - \mathfrak{p}q}{z\mathfrak{z}}$ soll $C \cdot \dfrac{p\mathfrak{q} - \mathfrak{p}q}{z\mathfrak{z}}$ stehen. % Original: Zu Seite 31, Zeile 11 von oben \item[66.] Zu den zwei Klammern müssen die Factoren $ \dfrac{1}{C}$ beziehungsweise $- \dfrac{1}{C}$ zugefügt werden. % Original: Zu Seite 31, Zeile 13 von oben \end{itemize} \fivestar \begin{center}{\scriptsize Trykt den 24de oktober 1902.}\end{center} \backmatter \markboth{\textsc{Project Gutenberg Licensing.\hfil}}{\hfil\textsc{Project Gutenberg Licensing.}} {\small \begin{verbatim} End of the Project Gutenberg EBook of Über Integralinvarianten und Differentialgleichungen, by Sophus Lie *** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK INTEGRALINVARIANTEN UND DIFFERENTIALGLEICHUNGEN *** ***** This file should be named 25157-pdf.pdf or 25157-pdf.zip ***** This and all associated files of various formats will be found in: http://www.gutenberg.org/2/5/1/5/25157/ Produced by K.F. 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There are a few things that you can do with most Project Gutenberg-tm electronic works even without complying with the full terms of this agreement. See paragraph 1.C below. There are a lot of things you can do with Project Gutenberg-tm electronic works if you follow the terms of this agreement and help preserve free future access to Project Gutenberg-tm electronic works. See paragraph 1.E below. 1.C. The Project Gutenberg Literary Archive Foundation ("the Foundation" or PGLAF), owns a compilation copyright in the collection of Project Gutenberg-tm electronic works. Nearly all the individual works in the collection are in the public domain in the United States. If an individual work is in the public domain in the United States and you are located in the United States, we do not claim a right to prevent you from copying, distributing, performing, displaying or creating derivative works based on the work as long as all references to Project Gutenberg are removed. 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The Foundation makes no representations concerning the copyright status of any work in any country outside the United States. 1.E. Unless you have removed all references to Project Gutenberg: 1.E.1. The following sentence, with active links to, or other immediate access to, the full Project Gutenberg-tm License must appear prominently whenever any copy of a Project Gutenberg-tm work (any work on which the phrase "Project Gutenberg" appears, or with which the phrase "Project Gutenberg" is associated) is accessed, displayed, performed, viewed, copied or distributed: This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with almost no restrictions whatsoever. You may copy it, give it away or re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included with this eBook or online at www.gutenberg.org 1.E.2. If an individual Project Gutenberg-tm electronic work is derived from the public domain (does not contain a notice indicating that it is posted with permission of the copyright holder), the work can be copied and distributed to anyone in the United States without paying any fees or charges. If you are redistributing or providing access to a work with the phrase "Project Gutenberg" associated with or appearing on the work, you must comply either with the requirements of paragraphs 1.E.1 through 1.E.7 or obtain permission for the use of the work and the Project Gutenberg-tm trademark as set forth in paragraphs 1.E.8 or 1.E.9. 1.E.3. If an individual Project Gutenberg-tm electronic work is posted with the permission of the copyright holder, your use and distribution must comply with both paragraphs 1.E.1 through 1.E.7 and any additional terms imposed by the copyright holder. Additional terms will be linked to the Project Gutenberg-tm License for all works posted with the permission of the copyright holder found at the beginning of this work. 1.E.4. Do not unlink or detach or remove the full Project Gutenberg-tm License terms from this work, or any files containing a part of this work or any other work associated with Project Gutenberg-tm. 1.E.5. Do not copy, display, perform, distribute or redistribute this electronic work, or any part of this electronic work, without prominently displaying the sentence set forth in paragraph 1.E.1 with active links or immediate access to the full terms of the Project Gutenberg-tm License. 1.E.6. You may convert to and distribute this work in any binary, compressed, marked up, nonproprietary or proprietary form, including any word processing or hypertext form. However, if you provide access to or distribute copies of a Project Gutenberg-tm work in a format other than "Plain Vanilla ASCII" or other format used in the official version posted on the official Project Gutenberg-tm web site (www.gutenberg.org), you must, at no additional cost, fee or expense to the user, provide a copy, a means of exporting a copy, or a means of obtaining a copy upon request, of the work in its original "Plain Vanilla ASCII" or other form. Any alternate format must include the full Project Gutenberg-tm License as specified in paragraph 1.E.1. 1.E.7. Do not charge a fee for access to, viewing, displaying, performing, copying or distributing any Project Gutenberg-tm works unless you comply with paragraph 1.E.8 or 1.E.9. 1.E.8. You may charge a reasonable fee for copies of or providing access to or distributing Project Gutenberg-tm electronic works provided that - You pay a royalty fee of 20% of the gross profits you derive from the use of Project Gutenberg-tm works calculated using the method you already use to calculate your applicable taxes. The fee is owed to the owner of the Project Gutenberg-tm trademark, but he has agreed to donate royalties under this paragraph to the Project Gutenberg Literary Archive Foundation. Royalty payments must be paid within 60 days following each date on which you prepare (or are legally required to prepare) your periodic tax returns. Royalty payments should be clearly marked as such and sent to the Project Gutenberg Literary Archive Foundation at the address specified in Section 4, "Information about donations to the Project Gutenberg Literary Archive Foundation." - You provide a full refund of any money paid by a user who notifies you in writing (or by e-mail) within 30 days of receipt that s/he does not agree to the terms of the full Project Gutenberg-tm License. You must require such a user to return or destroy all copies of the works possessed in a physical medium and discontinue all use of and all access to other copies of Project Gutenberg-tm works. - You provide, in accordance with paragraph 1.F.3, a full refund of any money paid for a work or a replacement copy, if a defect in the electronic work is discovered and reported to you within 90 days of receipt of the work. - You comply with all other terms of this agreement for free distribution of Project Gutenberg-tm works. 1.E.9. If you wish to charge a fee or distribute a Project Gutenberg-tm electronic work or group of works on different terms than are set forth in this agreement, you must obtain permission in writing from both the Project Gutenberg Literary Archive Foundation and Michael Hart, the owner of the Project Gutenberg-tm trademark. Contact the Foundation as set forth in Section 3 below. 1.F. 1.F.1. Project Gutenberg volunteers and employees expend considerable effort to identify, do copyright research on, transcribe and proofread public domain works in creating the Project Gutenberg-tm collection. Despite these efforts, Project Gutenberg-tm electronic works, and the medium on which they may be stored, may contain "Defects," such as, but not limited to, incomplete, inaccurate or corrupt data, transcription errors, a copyright or other intellectual property infringement, a defective or damaged disk or other medium, a computer virus, or computer codes that damage or cannot be read by your equipment. 1.F.2. LIMITED WARRANTY, DISCLAIMER OF DAMAGES - Except for the "Right of Replacement or Refund" described in paragraph 1.F.3, the Project Gutenberg Literary Archive Foundation, the owner of the Project Gutenberg-tm trademark, and any other party distributing a Project Gutenberg-tm electronic work under this agreement, disclaim all liability to you for damages, costs and expenses, including legal fees. YOU AGREE THAT YOU HAVE NO REMEDIES FOR NEGLIGENCE, STRICT LIABILITY, BREACH OF WARRANTY OR BREACH OF CONTRACT EXCEPT THOSE PROVIDED IN PARAGRAPH F3. YOU AGREE THAT THE FOUNDATION, THE TRADEMARK OWNER, AND ANY DISTRIBUTOR UNDER THIS AGREEMENT WILL NOT BE LIABLE TO YOU FOR ACTUAL, DIRECT, INDIRECT, CONSEQUENTIAL, PUNITIVE OR INCIDENTAL DAMAGES EVEN IF YOU GIVE NOTICE OF THE POSSIBILITY OF SUCH DAMAGE. 1.F.3. LIMITED RIGHT OF REPLACEMENT OR REFUND - If you discover a defect in this electronic work within 90 days of receiving it, you can receive a refund of the money (if any) you paid for it by sending a written explanation to the person you received the work from. If you received the work on a physical medium, you must return the medium with your written explanation. The person or entity that provided you with the defective work may elect to provide a replacement copy in lieu of a refund. If you received the work electronically, the person or entity providing it to you may choose to give you a second opportunity to receive the work electronically in lieu of a refund. If the second copy is also defective, you may demand a refund in writing without further opportunities to fix the problem. 1.F.4. Except for the limited right of replacement or refund set forth in paragraph 1.F.3, this work is provided to you 'AS-IS' WITH NO OTHER WARRANTIES OF ANY KIND, EXPRESS OR IMPLIED, INCLUDING BUT NOT LIMITED TO WARRANTIES OF MERCHANTIBILITY OR FITNESS FOR ANY PURPOSE. 1.F.5. Some states do not allow disclaimers of certain implied warranties or the exclusion or limitation of certain types of damages. If any disclaimer or limitation set forth in this agreement violates the law of the state applicable to this agreement, the agreement shall be interpreted to make the maximum disclaimer or limitation permitted by the applicable state law. The invalidity or unenforceability of any provision of this agreement shall not void the remaining provisions. 1.F.6. INDEMNITY - You agree to indemnify and hold the Foundation, the trademark owner, any agent or employee of the Foundation, anyone providing copies of Project Gutenberg-tm electronic works in accordance with this agreement, and any volunteers associated with the production, promotion and distribution of Project Gutenberg-tm electronic works, harmless from all liability, costs and expenses, including legal fees, that arise directly or indirectly from any of the following which you do or cause to occur: (a) distribution of this or any Project Gutenberg-tm work, (b) alteration, modification, or additions or deletions to any Project Gutenberg-tm work, and (c) any Defect you cause. Section 2. Information about the Mission of Project Gutenberg-tm Project Gutenberg-tm is synonymous with the free distribution of electronic works in formats readable by the widest variety of computers including obsolete, old, middle-aged and new computers. It exists because of the efforts of hundreds of volunteers and donations from people in all walks of life. Volunteers and financial support to provide volunteers with the assistance they need, is critical to reaching Project Gutenberg-tm's goals and ensuring that the Project Gutenberg-tm collection will remain freely available for generations to come. In 2001, the Project Gutenberg Literary Archive Foundation was created to provide a secure and permanent future for Project Gutenberg-tm and future generations. To learn more about the Project Gutenberg Literary Archive Foundation and how your efforts and donations can help, see Sections 3 and 4 and the Foundation web page at http://www.pglaf.org. Section 3. Information about the Project Gutenberg Literary Archive Foundation The Project Gutenberg Literary Archive Foundation is a non profit 501(c)(3) educational corporation organized under the laws of the state of Mississippi and granted tax exempt status by the Internal Revenue Service. The Foundation's EIN or federal tax identification number is 64-6221541. Its 501(c)(3) letter is posted at http://pglaf.org/fundraising. Contributions to the Project Gutenberg Literary Archive Foundation are tax deductible to the full extent permitted by U.S. federal laws and your state's laws. The Foundation's principal office is located at 4557 Melan Dr. S. Fairbanks, AK, 99712., but its volunteers and employees are scattered throughout numerous locations. Its business office is located at 809 North 1500 West, Salt Lake City, UT 84116, (801) 596-1887, email business@pglaf.org. Email contact links and up to date contact information can be found at the Foundation's web site and official page at http://pglaf.org For additional contact information: Dr. Gregory B. Newby Chief Executive and Director gbnewby@pglaf.org Section 4. Information about Donations to the Project Gutenberg Literary Archive Foundation Project Gutenberg-tm depends upon and cannot survive without wide spread public support and donations to carry out its mission of increasing the number of public domain and licensed works that can be freely distributed in machine readable form accessible by the widest array of equipment including outdated equipment. Many small donations ($1 to $5,000) are particularly important to maintaining tax exempt status with the IRS. The Foundation is committed to complying with the laws regulating charities and charitable donations in all 50 states of the United States. Compliance requirements are not uniform and it takes a considerable effort, much paperwork and many fees to meet and keep up with these requirements. We do not solicit donations in locations where we have not received written confirmation of compliance. To SEND DONATIONS or determine the status of compliance for any particular state visit http://pglaf.org While we cannot and do not solicit contributions from states where we have not met the solicitation requirements, we know of no prohibition against accepting unsolicited donations from donors in such states who approach us with offers to donate. International donations are gratefully accepted, but we cannot make any statements concerning tax treatment of donations received from outside the United States. U.S. laws alone swamp our small staff. Please check the Project Gutenberg Web pages for current donation methods and addresses. Donations are accepted in a number of other ways including checks, online payments and credit card donations. To donate, please visit: http://pglaf.org/donate Section 5. General Information About Project Gutenberg-tm electronic works. Professor Michael S. Hart is the originator of the Project Gutenberg-tm concept of a library of electronic works that could be freely shared with anyone. For thirty years, he produced and distributed Project Gutenberg-tm eBooks with only a loose network of volunteer support. Project Gutenberg-tm eBooks are often created from several printed editions, all of which are confirmed as Public Domain in the U.S. unless a copyright notice is included. Thus, we do not necessarily keep eBooks in compliance with any particular paper edition. Most people start at our Web site which has the main PG search facility: http://www.gutenberg.org This Web site includes information about Project Gutenberg-tm, including how to make donations to the Project Gutenberg Literary Archive Foundation, how to help produce our new eBooks, and how to subscribe to our email newsletter to hear about new eBooks. \end{verbatim} } % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % % % % End of the Project Gutenberg EBook of Über Integralinvarianten und % % Differentialgleichungen, by Sophus Lie % % % % *** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK INTEGRALINVARIANTEN UND DIFFERENTIALGLEICHUNGEN *** % % % ***** This file should be named 25157-t.tex or 25157-t.zip ***** % % This and all associated files of various formats will be found in: % % http://www.gutenberg.org/2/5/1/5/25157/ % % % % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % \end{document} ### lprep configuration ### @ControlwordReplace = ( ['\\fivestar', " \* \* \* \* \*\n"], ); @ControlwordArguments = ( ['\\anm', 1, 1, '[',')]'], ['\\begin\\{satz\\}', 0, [], 'Satz~', '00: '], ['\\begin\\{theorem\\}', 0, [], 'Theorem: ', ''] ); ### This is pdfeTeX, Version 3.141592-1.21a-2.2 (Web2C 7.5.4) (format=pdflatex 2007.10.4) 24 APR 2008 10:13 entering extended mode **25157-t.tex (./25157-t.tex LaTeX2e <2003/12/01> Babel and hyphenation patterns for american, french, german, ngerman, b ahasa, basque, bulgarian, catalan, croatian, czech, danish, dutch, esperanto, e stonian, finnish, greek, icelandic, irish, italian, latin, magyar, norsk, polis h, portuges, romanian, russian, serbian, slovak, slovene, spanish, swedish, tur kish, ukrainian, nohyphenation, loaded. (/usr/share/texmf-tetex/tex/latex/base/book.cls Document Class: book 2004/02/16 v1.4f Standard LaTeX document class (/usr/share/texmf-tetex/tex/latex/base/bk12.clo File: bk12.clo 2004/02/16 v1.4f Standard LaTeX file (size option) ) \c@part=\count79 \c@chapter=\count80 \c@section=\count81 \c@subsection=\count82 \c@subsubsection=\count83 \c@paragraph=\count84 \c@subparagraph=\count85 \c@figure=\count86 \c@table=\count87 \abovecaptionskip=\skip41 \belowcaptionskip=\skip42 \bibindent=\dimen102 ) LaTeX Warning: You have requested, on input line 74, version `2005/09/16' of document class book, but only version `2004/02/16 v1.4f Standard LaTeX document class' is available. (/usr/share/texmf-tetex/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty Package: amsfonts 2001/10/25 v2.2f \@emptytoks=\toks14 \symAMSa=\mathgroup4 \symAMSb=\mathgroup5 LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathfrak' in version `bold' (Font) U/euf/m/n --> U/euf/b/n on input line 132. ) (/usr/share/texmf-tetex/tex/latex/amsmath/amsmath.sty Package: amsmath 2000/07/18 v2.13 AMS math features \@mathmargin=\skip43 For additional information on amsmath, use the `?' option. (/usr/share/texmf-tetex/tex/latex/amsmath/amstext.sty Package: amstext 2000/06/29 v2.01 (/usr/share/texmf-tetex/tex/latex/amsmath/amsgen.sty File: amsgen.sty 1999/11/30 v2.0 \@emptytoks=\toks15 \ex@=\dimen103 )) (/usr/share/texmf-tetex/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty Package: amsbsy 1999/11/29 v1.2d \pmbraise@=\dimen104 ) (/usr/share/texmf-tetex/tex/latex/amsmath/amsopn.sty Package: amsopn 1999/12/14 v2.01 operator names ) \inf@bad=\count88 LaTeX Info: Redefining \frac on input line 211. \uproot@=\count89 \leftroot@=\count90 LaTeX Info: Redefining \overline on input line 307. \classnum@=\count91 \DOTSCASE@=\count92 LaTeX Info: Redefining \ldots on input line 379. LaTeX Info: Redefining \dots on input line 382. LaTeX Info: Redefining \cdots on input line 467. \Mathstrutbox@=\box26 \strutbox@=\box27 \big@size=\dimen105 LaTeX Font Info: Redeclaring font encoding OML on input line 567. LaTeX Font Info: Redeclaring font encoding OMS on input line 568. \macc@depth=\count93 \c@MaxMatrixCols=\count94 \dotsspace@=\muskip10 \c@parentequation=\count95 \dspbrk@lvl=\count96 \tag@help=\toks16 \row@=\count97 \column@=\count98 \maxfields@=\count99 \andhelp@=\toks17 \eqnshift@=\dimen106 \alignsep@=\dimen107 \tagshift@=\dimen108 \tagwidth@=\dimen109 \totwidth@=\dimen110 \lineht@=\dimen111 \@envbody=\toks18 \multlinegap=\skip44 \multlinetaggap=\skip45 \mathdisplay@stack=\toks19 LaTeX Info: Redefining \[ on input line 2666. LaTeX Info: Redefining \] on input line 2667. ) (/usr/share/texmf-tetex/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty Package: amssymb 2002/01/22 v2.2d ) (/usr/share/texmf-tetex/tex/latex/soul/soul.sty Package: soul 2003/11/17 v2.4 letterspacing/underlining (mf) \SOUL@word=\toks20 \SOUL@lasttoken=\toks21 \SOUL@cmds=\toks22 \SOUL@buffer=\toks23 \SOUL@token=\toks24 \SOUL@spaceskip=\skip46 \SOUL@ttwidth=\dimen112 \SOUL@uldp=\dimen113 \SOUL@ulht=\dimen114 ) (/usr/share/texmf-tetex/tex/latex/base/inputenc.sty Package: inputenc 2004/02/05 v1.0d Input encoding file (/usr/share/texmf-tetex/tex/latex/base/latin1.def File: latin1.def 2004/02/05 v1.0d Input encoding file )) LaTeX Warning: You have requested, on input line 79, version `2006/05/05' of package inputenc, but only version `2004/02/05 v1.0d Input encoding file' is available. (/usr/share/texmf-tetex/tex/generic/babel/babel.sty Package: babel 2004/11/20 v3.8d The Babel package (/usr/share/texmf-tetex/tex/generic/babel/germanb.ldf Language: germanb 2004/02/19 v2.6k German support from the babel system (/usr/share/texmf-tetex/tex/generic/babel/babel.def File: babel.def 2004/11/20 v3.8d Babel common definitions \babel@savecnt=\count100 \U@D=\dimen115 ) \l@austrian = a dialect from \language\l@german Package babel Info: Making " an active character on input line 91. )) LaTeX Warning: You have requested, on input line 80, version `2005/11/23' of package babel, but only version `2004/11/20 v3.8d The Babel package' is available. (/usr/share/texmf-tetex/tex/latex/wasysym/wasysym.sty Package: wasysym 2003/10/30 v2.0 Wasy-2 symbol support package \symwasy=\mathgroup6 LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `wasy' in version `bold' (Font) U/wasy/m/n --> U/wasy/b/n on input line 90. ) (/usr/share/texmf-tetex/tex/latex/footmisc/footmisc.sty Package: footmisc 2004/05/02 v5.3c a miscellany of footnote facilities \FN@temptoken=\toks25 \footnotemargin=\dimen116 \c@pp@next@reset=\count101 \c@@fnserial=\count102 Package footmisc Info: Declaring symbol style bringhurst on input line 802. Package footmisc Info: Declaring symbol style chicago on input line 803. Package footmisc Info: Declaring symbol style wiley on input line 804. Package footmisc Info: Declaring symbol style lamport-robust on input line 808. Package footmisc Info: Declaring symbol style lamport* on input line 816. Package footmisc Info: Declaring symbol style lamport*-robust on input line 825 . ) LaTeX Warning: You have requested, on input line 82, version `2005/03/17' of package footmisc, but only version `2004/05/02 v5.3c a miscellany of footnote facilities' is available. (/usr/share/texmf-tetex/tex/latex/enumitem/enumitem.sty Package: enumitem 2004/07/19 v1.0 Customized lists (/usr/share/texmf-tetex/tex/latex/graphics/keyval.sty Package: keyval 1999/03/16 v1.13 key=value parser (DPC) \KV@toks@=\toks26 ) \labelindent=\skip47 \enit@outerparindent=\dimen117 ) LaTeX Warning: You have requested, on input line 84, version `2005/05/12' of package enumitem, but only version `2004/07/19 v1.0 Customized lists' is available. (/usr/share/texmf-tetex/tex/latex/ntheorem/ntheorem.sty Style `ntheorem', Version 1.24 <2004/09/20> Package: ntheorem 2004/09/20 1.24 \theorem@style=\toks27 \theorem@@style=\toks28 \theorembodyfont=\toks29 \theoremnumbering=\toks30 \theorempreskipamount=\skip48 \theorempostskipamount=\skip49 \theoremindent=\dimen118 \theorem@indent=\dimen119 \theoremheaderfont=\toks31 \theoremseparator=\toks32 \theoremprework=\toks33 \theorempostwork=\toks34 \theoremsymbol=\toks35 \qedsymbol=\toks36 \theoremkeyword=\toks37 \qedsymbol=\toks38 \thm@topsepadd=\skip50 ) LaTeX Warning: You have requested, on input line 85, version `2005/07/07' of package ntheorem, but only version `2004/09/20 1.24' is available. (/usr/share/texmf-tetex/tex/latex/titlesec/titlesec.sty Package: titlesec 2005/01/22 v2.6 Sectioning titles \ttl@box=\box28 \beforetitleunit=\skip51 \aftertitleunit=\skip52 \ttl@plus=\dimen120 \ttl@minus=\dimen121 \titlewidth=\dimen122 \titlewidthlast=\dimen123 \titlewidthfirst=\dimen124 ) \c@satz=\count103 \c@theorem=\count104 (/usr/share/texmf-tetex/tex/latex/titlesec/block.tss File: block.tss 2005/01/22 ) (./25157-t.aux) \openout1 = `25157-t.aux'. LaTeX Font Info: Checking defaults for OML/cmm/m/it on input line 135. LaTeX Font Info: ... okay on input line 135. LaTeX Font Info: Checking defaults for T1/cmr/m/n on input line 135. LaTeX Font Info: ... okay on input line 135. LaTeX Font Info: Checking defaults for OT1/cmr/m/n on input line 135. LaTeX Font Info: ... okay on input line 135. LaTeX Font Info: Checking defaults for OMS/cmsy/m/n on input line 135. LaTeX Font Info: ... okay on input line 135. LaTeX Font Info: Checking defaults for OMX/cmex/m/n on input line 135. LaTeX Font Info: ... okay on input line 135. LaTeX Font Info: Checking defaults for U/cmr/m/n on input line 135. LaTeX Font Info: ... okay on input line 135. Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 161--161 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 almost no restrictions whatsoever. You may copy it, give it away or[] [] Overfull \hbox (144.62796pt too wide) in paragraph at lines 161--161 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 *** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK INTEGRALINVARIA NTEN UND DIFFERENTIALGLEICHUNGEN ***[] [] [1 {/var/lib/texmf/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map}] [2 ] [3] LaTeX Font Info: Try loading font information for U+msa on input line 221. (/usr/share/texmf-tetex/tex/latex/amsfonts/umsa.fd File: umsa.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions ) LaTeX Font Info: Try loading font information for U+msb on input line 221. (/usr/share/texmf-tetex/tex/latex/amsfonts/umsb.fd File: umsb.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions ) LaTeX Font Info: Try loading font information for U+wasy on input line 221. (/usr/share/texmf-tetex/tex/latex/wasysym/uwasy.fd File: uwasy.fd 2003/10/30 v2.0 Wasy-2 symbol font definitions ) [4] [5 ] [6 ] [1] [2] [3] [4] [5] Underfull \hbox (badness 1527) in paragraph at lines 557--563 []\OT1/cmr/m/n/12 In die-ser Ab-hand-lung den-ken wir uns, dass man die In-va-r i-an-ten [] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] LaTeX Font Info: Try loading font information for U+euf on input line 1082. (/usr/share/texmf-tetex/tex/latex/amsfonts/ueuf.fd File: ueuf.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions ) [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [2 9] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [ 45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] LaTeX Font Info: Try loading font information for OMS+cmr on input line 3955 . (/usr/share/texmf-tetex/tex/latex/base/omscmr.fd File: omscmr.fd 1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions ) LaTeX Font Info: Font shape `OMS/cmr/m/n' in size <12> not available (Font) Font shape `OMS/cmsy/m/n' tried instead on input line 3955. [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] Overfull \hbox (133.13058pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 *** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK INTEGRALINVARIANT EN UND DIFFERENTIALGLEICHUNGEN ***[] [] Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 ***** This file should be named 25157-pdf.pdf or 25157-pd f.zip *****[] [] Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 one owns a United States copyright in these works, so the Foundation[] [] Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 set forth in the General Terms of Use part of this licens e, apply to[] [] Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 charge for the eBooks, unless you receive specific permis sion. If you[] [] Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 research. They may be modified and printed and given awa y--you may do[] [] [75 ] Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 distribution of electronic works, by using or distributin g this work[] [] Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 Gutenberg"), you agree to comply with all the terms of th e Full Project[] [] Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 Section 1. General Terms of Use and Redistributing Proje ct Gutenberg-tm[] [] Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 electronic work, you indicate that you have read, underst and, agree to[] [] Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 (trademark/copyright) agreement. If you do not agree to abide by all[] [] Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 the terms of this agreement, you must cease using and ret urn or destroy[] [] Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 all copies of Project Gutenberg-tm electronic works in yo ur possession.[] [] Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 Gutenberg-tm electronic work and you do not agree to be b ound by the[] [] Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 1.B. "Project Gutenberg" is a registered trademark. It may only be[] [] Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 used on or associated in any way with an electronic work by people who[] [] Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 things that you can do with most Project Gutenberg-tm ele ctronic works[] [] Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 paragraph 1.C below. There are a lot of things you can d o with Project[] [] Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 Gutenberg-tm electronic works if you follow the terms of this agreement[] [] Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 and help preserve free future access to Project Gutenberg -tm electronic[] [] Overfull \hbox (29.6542pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 1.C. The Project Gutenberg Literary Archive Foundation ( "the Foundation"[] [] Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 or PGLAF), owns a compilation copyright in the collection of Project[] [] Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 Gutenberg-tm electronic works. Nearly all the individual works in the[] [] Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 individual work is in the public domain in the United Sta tes and you are[] [] Overfull \hbox (29.6542pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 located in the United States, we do not claim a right to prevent you from[] [] [76] Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 copying, distributing, performing, displaying or creating derivative[] [] Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 works based on the work as long as all references to Proj ect Gutenberg[] [] Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 Gutenberg-tm mission of promoting free access to electron ic works by[] [] Overfull \hbox (29.6542pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 freely sharing Project Gutenberg-tm works in compliance w ith the terms of[] [] Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 this agreement for keeping the Project Gutenberg-tm name associated with[] [] Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 the work. You can easily comply with the terms of this a greement by[] [] Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 1.D. The copyright laws of the place where you are locat ed also govern[] [] Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 what you can do with this work. Copyright laws in most c ountries are in[] [] Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 a constant state of change. If you are outside the Unite d States, check[] [] Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 before downloading, copying, displaying, performing, dist ributing or[] [] Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 Gutenberg-tm work. The Foundation makes no representatio ns concerning[] [] Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 1.E.1. The following sentence, with active links to, or other immediate[] [] Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 access to, the full Project Gutenberg-tm License must app ear prominently[] [] Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 whenever any copy of a Project Gutenberg-tm work (any wor k on which the[] [] Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 phrase "Project Gutenberg" appears, or with which the phr ase "Project[] [] Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 Gutenberg" is associated) is accessed, displayed, perform ed, viewed,[] [] Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 almost no restrictions whatsoever. You may copy it, give it away or[] [] Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 1.E.2. If an individual Project Gutenberg-tm electronic work is derived[] [] Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 from the public domain (does not contain a notice indicat ing that it is[] [] Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 posted with permission of the copyright holder), the work can be copied[] [] Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 and distributed to anyone in the United States without pa ying any fees[] [] Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 or charges. If you are redistributing or providing acces s to a work[] [] Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 with the phrase "Project Gutenberg" associated with or ap pearing on the[] [] [77] Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 work, you must comply either with the requirements of par agraphs 1.E.1[] [] Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 1.E.3. If an individual Project Gutenberg-tm electronic work is posted[] [] Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 with the permission of the copyright holder, your use and distribution[] [] Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 must comply with both paragraphs 1.E.1 through 1.E.7 and any additional[] [] Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 terms imposed by the copyright holder. Additional terms will be linked[] [] Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 permission of the copyright holder found at the beginning of this work.[] [] Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 1.E.4. Do not unlink or detach or remove the full Projec t Gutenberg-tm[] [] Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 License terms from this work, or any files containing a p art of this[] [] Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 1.E.5. Do not copy, display, perform, distribute or redi stribute this[] [] Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 prominently displaying the sentence set forth in paragrap h 1.E.1 with[] [] Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 compressed, marked up, nonproprietary or proprietary form , including any[] [] Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 word processing or hypertext form. However, if you provi de access to or[] [] Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 distribute copies of a Project Gutenberg-tm work in a for mat other than[] [] Overfull \hbox (29.6542pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 posted on the official Project Gutenberg-tm web site (www .gutenberg.org),[] [] Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 you must, at no additional cost, fee or expense to the us er, provide a[] [] Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 copy, a means of exporting a copy, or a means of obtainin g a copy upon[] [] Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 form. Any alternate format must include the full Project Gutenberg-tm[] [] Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 access to or distributing Project Gutenberg-tm electronic works provided[] [] [78] Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 [] \OT1/cmtt/m/n/10.95 the use of Project Gutenberg-tm works calculated usi ng the method[] [] Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 [] \OT1/cmtt/m/n/10.95 you already use to calculate your applicable taxes. The fee is[] [] Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 [] \OT1/cmtt/m/n/10.95 owed to the owner of the Project Gutenberg-tm tradem ark, but he[] [] Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 [] \OT1/cmtt/m/n/10.95 Project Gutenberg Literary Archive Foundation. Roya lty payments[] [] Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 [] \OT1/cmtt/m/n/10.95 returns. Royalty payments should be clearly marked as such and[] [] Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 [] \OT1/cmtt/m/n/10.95 sent to the Project Gutenberg Literary Archive Found ation at the[] [] Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 [] \OT1/cmtt/m/n/10.95 address specified in Section 4, "Information about d onations to[] [] Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 - You provide a full refund of any money paid by a user w ho notifies[] [] Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 [] \OT1/cmtt/m/n/10.95 you in writing (or by e-mail) within 30 days of rece ipt that s/he[] [] Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 - You provide, in accordance with paragraph 1.F.3, a full refund of any[] [] Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 [] \OT1/cmtt/m/n/10.95 money paid for a work or a replacement copy, if a de fect in the[] [] Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 [] \OT1/cmtt/m/n/10.95 electronic work is discovered and reported to you wi thin 90 days[] [] Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 1.E.9. If you wish to charge a fee or distribute a Proje ct Gutenberg-tm[] [] [79] Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 1.F.1. Project Gutenberg volunteers and employees expend considerable[] [] Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 effort to identify, do copyright research on, transcribe and proofread[] [] Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 corrupt data, transcription errors, a copyright or other intellectual[] [] Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 property infringement, a defective or damaged disk or oth er medium, a[] [] Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 1.F.2. LIMITED WARRANTY, DISCLAIMER OF DAMAGES - Except for the "Right[] [] Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 TRADEMARK OWNER, AND ANY DISTRIBUTOR UNDER THIS AGREEMENT WILL NOT BE[] [] Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 LIABLE TO YOU FOR ACTUAL, DIRECT, INDIRECT, CONSEQUENTIAL , PUNITIVE OR[] [] Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 INCIDENTAL DAMAGES EVEN IF YOU GIVE NOTICE OF THE POSSIBI LITY OF SUCH[] [] Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 defect in this electronic work within 90 days of receivin g it, you can[] [] Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 written explanation to the person you received the work f rom. If you[] [] Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 received the work on a physical medium, you must return t he medium with[] [] Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 your written explanation. The person or entity that prov ided you with[] [] Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 the defective work may elect to provide a replacement cop y in lieu of a[] [] Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 refund. If you received the work electronically, the per son or entity[] [] Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 receive the work electronically in lieu of a refund. If the second copy[] [] Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 is also defective, you may demand a refund in writing wit hout further[] [] Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 1.F.4. Except for the limited right of replacement or re fund set forth[] [] Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 in paragraph 1.F.3, this work is provided to you 'AS-IS' WITH NO OTHER[] [] [80] Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 WARRANTIES OF ANY KIND, EXPRESS OR IMPLIED, INCLUDING BUT NOT LIMITED TO[] [] Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 warranties or the exclusion or limitation of certain type s of damages.[] [] Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 If any disclaimer or limitation set forth in this agreeme nt violates the[] [] Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 law of the state applicable to this agreement, the agreem ent shall be[] [] Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 interpreted to make the maximum disclaimer or limitation permitted by[] [] Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 the applicable state law. The invalidity or unenforceabi lity of any[] [] Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 provision of this agreement shall not void the remaining provisions.[] [] Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 1.F.6. INDEMNITY - You agree to indemnify and hold the F oundation, the[] [] Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 providing copies of Project Gutenberg-tm electronic works in accordance[] [] Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 with this agreement, and any volunteers associated with t he production,[] [] Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 promotion and distribution of Project Gutenberg-tm electr onic works,[] [] Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 harmless from all liability, costs and expenses, includin g legal fees,[] [] Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 that arise directly or indirectly from any of the followi ng which you do[] [] Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 or cause to occur: (a) distribution of this or any Projec t Gutenberg-tm[] [] Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 work, (b) alteration, modification, or additions or delet ions to any[] [] Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 electronic works in formats readable by the widest variet y of computers[] [] Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 assistance they need, is critical to reaching Project Gut enberg-tm's[] [] Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 remain freely available for generations to come. In 2001 , the Project[] [] Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 Gutenberg Literary Archive Foundation was created to prov ide a secure[] [] Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 and permanent future for Project Gutenberg-tm and future generations.[] [] Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 To learn more about the Project Gutenberg Literary Archiv e Foundation[] [] [81] Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 Section 3. Information about the Project Gutenberg Liter ary Archive[] [] Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 Revenue Service. The Foundation's EIN or federal tax ide ntification[] [] Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 http://pglaf.org/fundraising. Contributions to the Proje ct Gutenberg[] [] Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 Fairbanks, AK, 99712., but its volunteers and employees a re scattered[] [] Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 809 North 1500 West, Salt Lake City, UT 84116, (801) 596- 1887, email[] [] Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 increasing the number of public domain and licensed works that can be[] [] Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 freely distributed in machine readable form accessible by the widest[] [] Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 array of equipment including outdated equipment. Many sm all donations[] [] [82] Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 considerable effort, much paperwork and many fees to meet and keep up[] [] Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 While we cannot and do not solicit contributions from sta tes where we[] [] Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 have not met the solicitation requirements, we know of no prohibition[] [] Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 against accepting unsolicited donations from donors in su ch states who[] [] Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 Section 5. General Information About Project Gutenberg-t m electronic[] [] Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 Professor Michael S. Hart is the originator of the Projec t Gutenberg-tm[] [] Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 concept of a library of electronic works that could be fr eely shared[] [] Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156 []\OT1/cmtt/m/n/10.95 Most people start at our Web site which has the main PG s earch facility:[] [] [83] \tf@thm=\write3 \openout3 = `25157-t.thm'. [84] (./25157-t.aux) ) Here is how much of TeX's memory you used: 2714 strings out of 94500 32507 string characters out of 1175771 104965 words of memory out of 1000000 5834 multiletter control sequences out of 10000+50000 20266 words of font info for 77 fonts, out of 500000 for 2000 580 hyphenation exceptions out of 8191 29i,17n,35p,241b,337s stack positions out of 1500i,500n,5000p,200000b,5000s PDF statistics: 351 PDF objects out of 300000 0 named destinations out of 131072 1 words of extra memory for PDF output out of 65536 Output written on 25157-t.pdf (90 pages, 408357 bytes).