% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % % % % The Project Gutenberg EBook of Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, by % Isaac Newton % % % % This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with % % almost no restrictions whatsoever. You may copy it, give it away or % % re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included % % with this eBook or online at www.gutenberg.org % % % % % % Title: Philosophiae Naturalis Principia Mathematica % % % % Author: Isaac Newton % % % % Release Date: March 1, 2009 [EBook #28233] % % % % Language: Latin % % % % Character set encoding: ISO-8859-1 % % % % *** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK PHILOSOPHIAE NATURALIS *** % % % % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % \def\ebook{28233} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% Philosophić Naturalis Principia Mathematica, by Isaac Newton %% %% %% %% Packages and substitutions: %% %% %% %% book : Document class. %% %% amsmath: Basic AMS math package. %% %% amssymb: Basic AMS symbols %% %% babel: Hyphenation %% %% graphicx Basic graphics for images. %% %% inputenc: Encoding %% %% needspace Conditional new page %% %% teubner polyphonic Greek support %% %% wasysym Additional symbols %% %% wrapfig textflow round images %% %% verbatim Preformated text %% %% %% %% PDF Pages: 316 %% %% %% %% 40 underfull hboxes %% %% %% %% 185 includegraphics calls - some appear twice, there are 166 files %% %% included as nnn.png or nnnx.png in the images directory. %% %% %% %% Compile sequence: %% %% pdflatex x 2 %% %% %% %% Compile History: %% %% %% %% Feb 09: Laverock. Compiled with pdflatex: %% %% [pdfeTeX, Version 3.1415926-1.40.9 (MiKTeX 2.7)] %% %% %% %% %% %% March 2009: pglatex. %% %% Compile this project with: %% %% pdflatex 28233-t.tex ..... TWO times %% %% %% %% pdfeTeX, Version 3.141592-1.30.5-2.2 (Web2C 7.5.5) %% %% %% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \documentclass[oneside]{book} \usepackage[reqno]{amsmath}[2000/07/18] % basic math support \usepackage{amssymb}[2002/01/22] % math symbols \usepackage[greek,latin]{babel}[2008/07/06] % hyphenation \usepackage{graphicx}[1999/02/16] % basic graphics for images. \usepackage[latin1]{inputenc}[2006/05/05] % encoding system \usepackage{needspace}[2003/02/18] % support testing for enough room at end of page for new section \usepackage[or]{teubner}[2008/02/10] % polyphonic Greek support \usepackage{wasysym}[2003/10/30] % astronomical Symbols \usepackage{wrapfig}[2003/01/31] % textflow round images \usepackage{verbatim}[2003/08/22] % preformated text \newcounter{wrapwidth} \newcount \Zw \newcount \Zh % text flowed image - file name, width, height pixels, vertical offset (normally -24, -12 for top of page) \newcommand\pngright[4]{ \Zw=#2 \divide \Zw by 10 \Zh=#3 \divide \Zh by 120 \advance\Zh by 1 \setcounter{wrapwidth}{\Zw} \begin{wrapfigure}[\Zh]{r}{\value{wrapwidth}pt} \begin{center} \vspace{#4pt} \includegraphics*[width=\Zw pt]{images/#1} \end{center} \end{wrapfigure}} % text flowed image scaling * #4 / #5 (never occurs at top of page) \newcommand\pngrightsc[5]{ \Zw=#2 \multiply \Zw by #4 \divide \Zw by #5 \Zh=#3 \multiply \Zh by #4 \divide \Zh by #5 \pngright{#1}{\Zw}{\Zh}{-24}} % centred image - file name, width, height pixels (height is comment only, easier for developer to change to & from flowed) \newcommand\pngcent[3]{ \Zw=#2 \divide \Zw by 10 \begin{center} \includegraphics*[width=\Zw pt]{images/#1} \end{center}} % simple replacements % degrees of minutenesss \newcommand\minute{^{\prime}} \newcommand\second{^{\prime\prime}} \newcommand\third{^{\prime\prime\prime}} \newcommand\fourth{^{\mathrm{iv}}} \newcommand\fifth{^{\mathrm{v}}} % fixed spacing in Corol. n. etc. \newcommand\fsp{\hspace{0.3em}} \newcommand\wsp{\hspace{0.5em}} % italic long s emulated by small integral sign \newcommand\longs{\textrm{\raisebox{1pt}{$\scriptstyle \int$}\hspace{-1.5pt}}} % Q. E. D. etc. \newcommand\QEDit{\hspace{6pt}\textit{Q.~E.~D.}\quad} \newcommand\QEFit{\hspace{6pt}\textit{Q.~E.~F.}\quad} \newcommand\QEIit{\hspace{6pt}\textit{Q.~E.~I.}\quad} \newcommand\QEDup{\hspace{6pt}Q.~E.~D.\quad} \newcommand\QEFup{\hspace{6pt}Q.~E.~F.\quad} \newcommand\QEIup{\hspace{6pt}Q.~E.~I.\quad} \newcommand\QEOup{\hspace{6pt}Q.~E.~O.\quad} % que abbreviation \newcommand\que{q;} % horizontal rules \newcommand\tblong{\vspace{\baselineskip} \hrule \vspace{\baselineskip}} \newcommand\tbshort{\hspace{1.5in} \hrulefill \hspace*{1.7in}} \newcommand\pagelines{\newpage\hrule\vspace{0.2em}\hrule\vspace{\baselineskip}} % italic text in maths with spacing \newcommand\opit[1]{\operatorname{\textit{#1}}} % small text in maths \newcommand\smallinmath[1]{{\scriptstyle #1}} \newcommand\decimals[1]{,{\!}{\scriptstyle #1}} % Header with conditional page skip \newcommand\condpagelarge[1]{ \vspace{\baselineskip} \Needspace*{4\baselineskip}\begin{center}{\large #1}\end{center}} % Proposition with page \newcommand\forcepageprop[1]{ \newpage \begin{center}{\large #1}\end{center}} % Proposition without page \newcommand\propnopage[1]{ \begin{center}{\large #1}\end{center}} % Section with page \newcommand\sectpage[1]{ \vspace{\baselineskip}\hrule\newpage\hrule\vspace{\baselineskip} \begin{center}{\LARGE \gesperrt{SECT}{6}.\hspace{12pt}#1}\end{center}} % Section without page \newcommand\sectnopage[1]{ \begin{center}{\LARGE \gesperrt{SECT}{6}.\hspace{12pt}#1}\end{center}} % Macro & command to spread a slightly short line right across page. % Useful with \noindent to hide the location of a paragraph break and sneak in a figure. \def\sspreadout#1 {\def\tmp{#1}% \ifx\tmp\empty \def\next{} \else \def\next{ {{\hfill}#1}\sspreadout}% \fi \next} \newcommand\spreadout[1]{\sspreadout#1 } % Macro & command for gesperrt. Use W/w for AE ae - no w in Latin. \def\bigW{W} \def\littlew{w} \def\ggesperrt#1#2 {\def\arg{#1}\def\brg{#2}% \def\next{#1\hspace{\Zw pt}\ggesperrt#2 }% \ifx\arg\bigW \def\next{\AE\hspace{\Zw pt}\ggesperrt#2 }% \fi \ifx\arg\littlew \def\next{\ae\hspace{\Zw pt}\ggesperrt#2 }% \fi \ifx\brg\empty \def\next{#1}% \ifx\arg\bigW \def\next{\AE}% \fi \ifx\arg\littlew \def\next{\ae}% \fi \fi \next} \newcommand\gesperrt[2]{ \Zw=#2 \ggesperrt#1 } % For sensible insertion of boilerplate/licence % overlong lines will wrap and be indented 0.25in % and text is set in "small" size \makeatletter \def\@makeschapterhead#1{% \vspace*{10\p@}% {\parindent \z@ \centering \normalfont \interlinepenalty\@M \huge \bfseries #1\par\nobreak \vskip 20\p@ } } \renewcommand*\l@section{\@dottedtocline{1}{0pt}{2.3em}} \renewcommand\@pnumwidth{2.55em} \def\@xobeysp{~\hfil\discretionary{}{\kern\z@}{}\hfilneg} \renewcommand\verbatim@processline{\leavevmode \null\kern-0.25in\the\verbatim@line\par} \addto@hook\every@verbatim{\@totalleftmargin0.25in\small} \makeatother \begin{document} \begin{verbatim} The Project Gutenberg EBook of Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, by Isaac Newton This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with almost no restrictions whatsoever. You may copy it, give it away or re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included with this eBook or online at www.gutenberg.org Title: Philosophiae Naturalis Principia Mathematica Author: Isaac Newton Release Date: March 1, 2009 [EBook #28233] Language: Latin Character set encoding: ISO-8859-1 *** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK PHILOSOPHIAE NATURALIS *** Produced by Jonathan Ingram, Keith Edkins and the Online Distributed Proofreading Team at http://www.pgdp.net \end{verbatim} \pagestyle{empty} % -----File: 001.png--- \begin{center}{\Huge PHILOSOPHI{\AE}}\end{center} \vspace{\baselineskip} \begin{center}{\LARGE NATURALIS}\end{center} \vspace{\baselineskip} \begin{center}{\Huge \gesperrt{PRINCIPIA}{6}}\end{center} \vspace{\baselineskip} \begin{center}{\LARGE MATHEMATICA}\end{center} \tblong \begin{center}{Autore \textit{IS.\ NEWTON}, \textit{Trin.\ Coll.\ Cantab.\ Soc.}\ Matheseos \\ Professore \textit{Lucasiano}, \& Societatis Regalis Sodali.}\end{center} \tblong %\vspace{\baselineskip} \begin{center}{\LARGE IMPRIMATUR.}\end{center} \begin{center}{\large S.\ PEPYS, \textit{Reg.\ Soc.}\ PR{\AE}SES.}\end{center} \begin{center}{\textit{Julii 5.\ 1686.}}\end{center} %\vspace{\baselineskip} \tblong %\vspace{\baselineskip} \begin{center}{\large \textit{LONDINI,}}\end{center} %\vspace{\baselineskip} \begin{center}{Jussu \textit{Societatis Regi{\ae}} ac Typis \textit{Josephi Streater}. Prostat apud \\ plures Bibliopolas. \textit{Anno} MDCLXXXVII.}\end{center} % -----File: 002.png--- % -----File: 003.png--- \newpage \begin{center}{\large \gesperrt{ILLUSTRISSIMW}{6}}\end{center} \vspace{0.2\baselineskip} \begin{center}{\LARGE \gesperrt{SOCIETATI}{4}\hspace{12pt}\gesperrt{REGALI}{6}}\end{center} \begin{center}{a Serenissimo}\end{center} \vspace{0.2\baselineskip} \begin{center}{\Huge REGE CAROLO II.}\end{center} \begin{center}{\large AD}\end{center} \begin{center}{\large PHILOSOPHIAM PROMOVENDAM}\end{center} \vspace{0.2\baselineskip} \begin{center}{\huge \gesperrt{FUNDATW}{6},}\end{center} \vspace{0.2\baselineskip} \begin{center}{\large ET AUSPICIIS}\end{center} \vspace{0.2\baselineskip} \begin{center}{\LARGE POTENTISSIMI MONARCH{\AE}}\end{center} \vspace{0.2\baselineskip} \begin{center}{\Huge \gesperrt{JACOBI}{6}\hspace{18pt}II.}\end{center} \vspace{0.2\baselineskip} \begin{center}{\large FLORENTI.}\end{center} \vspace{0.5\baselineskip} \begin{center}{\large Tractatum hunc humillime \textit{D.D.D.}}\end{center} \begin{center}{\large \textit{IS.\ NEWTON.}}\end{center} % -----File: 004.png--- % -----File: 005.png--- \pagelines \begin{center}{\LARGE \gesperrt{PRWFATIO}{6}}\end{center} \begin{center}{\large AD}\end{center} \begin{center}{\Huge \gesperrt{LECTOREM}{6}.}\end{center} \textit{Cum Veteres} Mechanicam \textit{(uti Author est} Pappus\textit{) in verum Naturalium investigatione maximi fecerint, \& recentiores, missis formis substantialibus \& qualitatibus occultis, Ph{\ae}nomena Natur{\ae} ad leges Mathematicas revocare aggressi sint: Visum est in hoc Tractatu} Mathesin \textit{excolere quatenus ea ad} Philo\-so\-phiam \textit{spectat.} Mechanicam \textit{vero duplicem Veteres constituerunt:} Rationalem \textit{qu{\ae} per Demonstrationes accurate procedit, \&} Practicam\textit{. Ad practicam spectant Artes omnes Manuales, a quibus uti{\que}} Mechanica \textit{nomen mutuata est. Cum autem Artifices parum accurate operari soleant, fit ut} Mechanica\textit{ omnis a} Geometria \textit{ita distinguatur, ut quicquid accuratum sit ad} Geometriam\textit{ referatur, quicquid minus accuratum ad} Mechanicam\textit{. Attamen errores non sunt Artis sed Artificum. Qui minus accurate operatur, imperfectior est Mechanicus, \& si quis accuratissime operari posset, hic foret Mechanicus omnium perfectissimus. Nam \& Linearum rectarum \& Circulorum descriptiones in quibus} Geometria \textit{fundatur, ad} Mechanicam \textit{pertinent. Has lineas describere} Geometria\textit{ non docet sed postulat. Postulat enim ut Tyro easdem accurate describere prius didicerit quam limen attingat} Geometri{\ae}\textit{; dein, quomodo per has operationes Problemata solvantur, docet. Rectas \& circulos describere Problemata sunt sed non Geometrica. Ex} Mechanica \textit{postulatur horum solutio, in} Geometria \textit{docetur solutorum usus. Ac gloriatur} Geometria\textit{ quod tam paucis principiis aliunde petitis tam multa pr{\ae}stet. Fundatur igitur} Geometria \textit{in praxi Mechanica, \& nihil aliud est quam} Mechanic{\ae} universalis\textit{ pars illa qu{\ae} artem mensurandi accurate proponit ac demonstrat. Cum autem artes Manuales in corporibus movendis pr{\ae}cipue versentur, fit ut} Geometria \textit{ad magnitudinem,} Mechanica \textit{ad motum vulgo reseratur. Quo sensu} Mechanica rationalis \textit{erit Scientia Motuum qui ex viribus quibuscun{\que} resultant, \& virium qu{\ae} ad motus quoscun{\que} requiruntur, accurate proposita ac demonstrata. Pars h{\ae}c} Mechanic{\ae} \textit{a Veteribus in} Potentiis quinque \textit{ad artes manuales spectantibus exculta fuit, qui Gravitatem (cum potentia manualis non sit) vix aliter quam in ponderibus per potentias illas movendis considerarunt. Nos autem non Artibus sed Philosophi{\ae} consulentes, de{\que} potentiis non manualibus sed naturalibus scribentes, ea maxime tractamus qu{\ae} ad Gravitatem, levitatem, vim Elasticam, resistentiam % -----File: 006.png--- Fluidorum \& ejusmodi vires seu attractivas seu impulsivas spectant: Et ea propter h{\ae}c nostra tanquam Philosophi{\ae} principia Mathematica proponimus. Omnis enim Philosophi{\ae} difficultas in eo versari videtur, ut a Ph{\ae}nomenis motuum investigemus vires Natur{\ae}, deinde ab his viribus demonstremus ph{\ae}nomena reliqua. Et hac spectant Propositiones generales quas Libro primo \& secundo pertractavimus. In Libro autem tertio exemplum hujus rei proposuimus per explicationem Systematis mundani. Ibi enim, ex ph{\ae}nomenis c{\ae}lestibus, per Propositiones in Libris prioribus Mathematice demonstratas, derivantur vires gravitatis quibus corpora ad Solem \& Planetas singulos tendunt. Deinde ex his viribus per Propositiones etiam Mathematicas deducuntur motus Planetarum, Cometarum, Lun{\ae} \& Maris. Utinam c{\ae}tera Natur{\ae} ph{\ae}nomena ex principiis Mechanicis eodem argumentandi genere derivare liceret. Nam multa me movent ut nonnihil suspicer ea omnia ex viribus quibusdam pendere posse, quibus corporum particul{\ae} per causas nondum cognitas vel in se mutuo impelluntur \& secundum figuras regulares coh{\ae}rent, vel ab invicem fugantur \& recedunt: quibus viribus ignotis, Philosophi hactenus Naturam frustra tentarunt. Spero autem quod vel huic Philosophandi modo, vel veriori alicui, Principia hic posita lucem aliquam pr{\ae}bebunt.} \textit{In his edendis, Vir acutissimus \& in omni literarum genere eruditissimus} Edmundus Halleius \textit{operam navavit, nec solum Typothetarum Sphalmata correxit \& Schemata incidi curavit, sed etiam Author fuit ut horum editionem aggrederer. Quippe cum demonstratam a me figuram Orbium c{\ae}lestium impetraverat, rogare non destitit ut eadem cum} Societate Regali \textit{communicarem, Qu{\ae} deinde hortatibus \& benignis suis auspiciis effecit ut de eadem in lucem emittenda cogitare inciperem. At postquam Motuum Lunarium in{\ae}qualitates aggressus essem, deinde etiam alia tentare c{\ae}pissem qu{\ae} ad leges mensuras Gravitatis \& aliarum virium, ad figuras a corporibus secundum datas quascunque leges attractis describendas, ad motus corporum plurium inter se, ad motus corporum in Mediis resistentibus, ad vires, densitates \& motus Mediorum, ad Orbes Cometarum \& similia spectant, editionem in aliud tempus differendam esse putavi, ut c{\ae}tera rimarer \& una in publicum darem. Qu{\ae} ad motus Lunares spectant, (imperfecta cum sint,) in Corollariis Propositionis} LXVI. \textit{simul complexus sum, ne singula methodo prolixiore quam pro rei dignitate proponere, \& sigillatim demonstrare tenerer, \& seriem reliquarum Propositionum interrumpere. Nonnulla sero inventa locis minus idoneis inserere malui, quam numerum Propositionum \& citationes mutare. Ut omnia candide legantur, \& defectus, in materia tam difficili non tam reprehendantur, quam novis Lectorum conatibus investigentur, \& benigne suppleantur, enixe rogo.} % -----File: 007.png--- \pagelines \begin{center}{\large IN}\end{center} \begin{center}{\large VIRI PR{\AE}STANTISSIMI}\end{center} \begin{center}{\Huge D. ISAACI NEWTONI}\end{center} \begin{center}{\large OPUS HOCCE}\end{center} \begin{center}{\large \gesperrt{MATHEMATICO-PHYSICUM}{3}}\end{center} \begin{center}{\textit{S{\ae}culi Gentisque nostr{\ae} Decus egregium.}}\end{center} En tibi norma Poli, \& div{\ae} libramina Molis, \\ Computus atque Jovis; quas, dum primordia rerum \\ Pangeret, omniparens Leges violare Creator \\ Noluit, {\ae}ternique operis fundamina fixit. \\ Intima panduntur victi penetralia c{\ae}li, \\ Nec latet extremos qu{\ae} Vis circumrotat Orbes. \\ Sol solio residens ad se jubet omnia prono \\ Tendere descensu, nec recto tramite currus \\ Sidereos patitur vastum per inane moveri; \\ Sed rapit immotis, se centro, singula Gyris. \\ Jam patet horrificis qu{\ae} sit via flexa Cometis; \\ Jam non miramur barbati Ph{\ae}nomena Astri. \\ Discimus hinc tandem qua causa argentea Ph{\oe}be \\ Passibus haud {\ae}quis graditur; cur subdita nulli \\ Hactenus Astronomo numerorum fr{\ae}na recuset: \\ Cur remeant Nodi, curque Auges progrediuntur. \\ Discimus \& quantis refluum vaga Cynthia Pontum \\ Viribus impellit, dum fractis fluctibus Ulvam \\ % -----File: 008.png--- Deserit, ac Nautis suspectas nudat arenas; \\ Alternis vicibus suprema ad littora pulsans. \\ Qu{\ae} toties animos veterum torsere Sophorum, \\ Qu{\ae}que Scholas frustra rauco certamine vexant \\ Obvia conspicimus nubem pellente Mathesi. \\ Jam dubios nulla caligine pr{\ae}gravat error \\ Queis Superum penetrare domos atque ardua C{\oe}li \\ Scandere sublimis Genii concessit acumen. \vspace{2em} Surgite Mortales, terrenas mittite curas \\ Atque hinc c{\oe}ligen{\ae} vires dignoscite Mentis \\ A pecudum vita longe lateque remot{\ae}. \\ Qui scriptis jussit Tabulis compescere C{\ae}des \\ Furta \& Adulteria, \& perjur{\ae} crimina Fraudis; \\ Quive vagis populis circumdare m{\oe}nibus Urbes \\ Autor erat; Cererisve beavit munere gentes; \\ Vel qui curarum lenimen pressit ab Uva; \\ Vel qui Niliaca monstravit arundine pictos \\ Consociare sonos, oculisque exponere Voces; \\ Humanam sortem minus extulit; utpote pauca \\ Respiciens miser{\ae} solummodo commoda vit{\ae}. \\ Jam vero Superis conviv{\ae} admittimur, alti \\ Jura poli tractare licet, jamque abdita c{\oe}c{\ae} \\ Claustra patent Terr{\ae} rerumque immobilis ordo, \\ Et qu{\ae} pr{\ae}teriti latuerunt s{\ae}cula mundi. \vspace{2em} Talia monstrantem mecum celebrate Cam{\ae}nis, \\ Vos qui c{\oe}lesti gaudetis nectare vesci, \\ \textit{NEWTONVM} clausi reserantem scrinia Veri, \\ \textit{NEWTONVM} Musis charum, cui pectore puro \\ Ph{\oe}bus adest, totoque incessit Numine mentem: \\ Nec fas est propius Mortali attingere Divos. \hspace{2in}\textit{EDM. HALLEY.} % -----File: 009.png--- \pagelines \pagestyle{plain} \begin{center}{\Huge PHILOSOPHI{\AE}}\end{center} \begin{center}{\LARGE NATURALIS}\end{center} \begin{center}{\huge Principia}\end{center} \begin{center}{\Huge MATHEMATICA.}\end{center} \vspace{\baselineskip}\hrule \begin{center}{\LARGE Definitiones.}\end{center} \hrule\vspace{\baselineskip} \begin{center}{\large Def.\ I.}\end{center} \begin{center}{\textit{Quantitas Materi{\ae} est mensura ejusdem orta ex illius Densitate \& Magnitudine conjunctim.}}\end{center} Aer duplo densior in duplo spatio quadruplus est. Idem intellige de Nive et Pulveribus per compressionem vel liquefactionem condensatis. Et par est ratio corporum omnium, qu{\ae} per causas quascun{\que} diversimode condensantur. Medii interea, si quod fuerit, interstitia partium libere pervadentis, hic nullam rationem habeo. Hanc autem quantitatem sub nomine corporis vel Mass{\ae} in sequentibus passim intelligo. Innotescit ea per corporis cujus{\que} pondus. Nam ponderi proportionalem esse reperi per experimenta pendulorum accuratissime instituta, uti posthac docebitur. % -----File: 010.png--- \condpagelarge{Def.\ II.} \begin{center}{\textit{Quantitas motus est mensura ejusdem orta ex Velocitate et quantitate Materi{\ae} conjunctim.}}\end{center} Motus totius est summa motuum in partibus singulis, adeo{\que} in corpore duplo majore {\ae}quali cum Velocitate duplus est, et dupla cum Velocitate quadruplus. \condpagelarge{Def.\ III.} \begin{center}{\textit{Materi{\ae} vis insita est potentia resistendi, qua corpus unumquod{\que}, quantum in se est, perseverat in statu suo vel quiescendi vel movendi uniformiter in directum.}}\end{center} H{\ae}c semper proportionalis est suo corpori, ne{\que} differt quicquam ab inertia Mass{\ae}, nisi in modo concipiendi. Per inertiam materi{\ae} fit ut corpus omne de statu suo vel quiescendi vel movendi difficulter deturbetur. Unde etiam vis insita nomine significantissimo vis inerti{\ae} dici possit. Exercet vero corpus hanc vim solummodo in mutatione status sui per vim aliam in se impressam facta, est{\que} exercitium ejus sub diverso respectu et Resistentia et Impetus: Resistentia quatenus corpus ad conservandum statum suum reluctatur vi impress{\ae}; Impetus quatenus corpus idem, vi resistentis obstaculi difficulter cedendo, conatur statum ejus mutare. Vulgus Resistentiam quiescentibus et Impetum moventibus tribuit; sed motus et quies, uti vulgo concipiuntur, respectu solo distinguuntur ab invicem, ne{\que} semper vere quiescunt qu{\ae} vulgo tanquam quiescentia spectantur. \condpagelarge{Def.\ IV.} \begin{center}{\textit{Vis impressa est actio in corpus exercita, ad mutandum ejus statum vel quiescendi vel movendi uniformiter in directum.}}\end{center} Consistit h{\ae}c vis in actione sola, ne{\que} post actionem permanet in corpore. Perseverat enim corpus in statu omni novo per solam % -----File: 011.png--- vim inerti{\ae}. Est autem vis impressa diversarum originum, ut ex ictu, ex pressione, ex vi centripeta. \condpagelarge{Def.\ V.} \begin{center}{\textit{Vis centripeta est qua corpus versus punctum aliquod tanquam ad centrum trahitur, impellitur, vel utcun{\que} tendit.}}\end{center} Hujus generis est gravitas, qua corpus tendit ad centrum Terr{\ae}: Vis magnetica, qua ferrum petit centrum Magnetis, et vis illa, qu{\ae}cun{\que} sit, qua Planet{\ae} perpetuo retrahuntur a motibus rectilineis, et in lineis curvis revolvi coguntur. Est autem vis centripet{\ae} quantitas trium generum, absoluta, acceleratrix et motrix. \condpagelarge{Def.\ VI.} \begin{center}{\textit{Vis centripet{\ae} quantitas absoluta est mensura ejusdem major vel minor pro efficacia caus{\ae} eam propagantis a centro per regiones in circuitu.}}\end{center} Uti virtus Magnetica major in uno magnete, minor in alio. \condpagelarge{Def.\ VII.} \begin{center}{\textit{Vis centripet{\ae} quantitas acceleratrix est ipsius mensura Velocitati proportionalis, quam dato tempore generat.}}\end{center} Uti Virtus Magnetis ejusdem major in minori Distantia, minor in majori: vel vis gravitans major in Vallibus, minor in cacuminibus pr{\ae}altorum montium (ut experimento pendulorum constat) at{\que} adhuc minor (ut posthac patebit) in majoribus distantiis a Terra; in {\ae}qualibus autem distantiis eadem undi{\que} propterea quod corpora omnia cadentia (gravia an levia, magna an parva) sublata Aeris resistentia, {\ae}qualiter accelerat. \condpagelarge{Def.\ VIII.} \begin{center}{\textit{Vis centripet{\ae} quantitas motrix est ipsius mensura proportionalis motui, quem dato tempore generat.}}\end{center} Uti pondus majus in majori corpore, minus in minore; in{\que} corpore % -----File: 012.png--- eodem majus prope terram, minus in c{\ae}lis. H{\ae}c vis est corporis totius centripetentia seu propensio in centrum \& (ut ita dicam) pondus, \& innotescit semper per vim ipsi contrariam \& {\ae}qualem, qua descensus corporis impediri potest. Hasce virium quantitates brevitatis gratia nominare licet vires absolutas, acceleratrices \& motrices, \& distinctionis gratia referre ad corpora, ad corporum loca, \& ad centrum virium: Nimirum vim motricem ad corpus, tanquam conatum \& propensionem totius in centrum, ex propensionibus omnium partium compositum; \& vim acceleratricem ad locum corporis, tanquam efficaciam quandam, de centro per loca singula in circuitu diffusam, ad movenda corpora qu{\ae} in ipsis sunt; vim autem absolutam ad centrum, tanquam causa aliqua pr{\ae}ditum, sine qua vires motrices non propagantur per regiones in circuitu; sive causa illa sit corpus aliquod centrale (quale est Magnes in centro vis Magnetic{\ae} vel Terra in centro vis gravitantis) sive alia aliqua qu{\ae} non apparet. Mathematicus saltem est hic conceptus. Nam virium causas \& sedes physicas jam non expendo. Est igitur vis acceleratrix ad vim motricem ut celeritas ad motum. Oritur enim quantitas motus ex celeritate ducta in quantitatem Materi{\ae}, \& vis motrix ex vi acceleratrice ducta in quantitatem ejusdem materi{\ae}. Nam summa actionum vis acceleratricis in singulas corporis particulas est vis motrix totius. Unde juxta Superficiem Terr{\ae}, ubi gravitas acceleratrix seu vis gravitans in corporibus universis eadem est, gravitas motrix seu pondus est ut corpus: at si in regiones ascendatur ubi gravitas acceleratrix fit minor, pondus pariter minuetur, erit{\que} semper ut corpus in gravitatem acceleratricem ductum. Sic in regionibus ubi gravitas acceleratrix duplo minor est, pondus corporis duplo vel triplo minoris erit quadruplo vel sextuplo minus. Porro attractiones et impulsus eodem sensu acceleratrices \& motrices nomino. Voces autem attractionis, impulsus vel propensionis cujuscun{\que} in centrum, indifferenter et pro se mutuo promiscue usurpo, has vires non physice sed Mathematice tantum considerando. % -----File: 013.png--- Unde caveat lector ne per hujusmodi voces cogitet me speciem vel modum actionis causamve aut rationem physicam alicubi definire, vel centris (qu{\ae} sunt puncta Mathematica) vires vere et physice tribuere, si forte aut centra trahere, aut vires centrorum esse dixero. \condpagelarge{\textit{Scholium.}} Hactenus voces minus notas, quo in sensu in sequentibus accipiend{\ae} sunt, explicare visum est. Nam tempus, spatium, locum et motum ut omnibus notissima non definio. Dicam tamen quod vulgus quantitates hasce non aliter quam ex relatione ad sensibilia concipit. Et inde oriuntur pr{\ae}judicia qu{\ae}dam, quibus tollendis convenit easdem in absolutas \& relativas, veras \& apparentes, Mathematicas et vulgares distingui. I\@. Tempus absolutum verum \& Mathematicum, in se \& natura sua abs{\que} relatione ad externum quodvis, {\ae}quabiliter fluit, alio{\que} nomine dicitur Duratio; relativum apparens \& vulgare est sensibilis \& externa qu{\ae}vis Durationis per motum mensura, (seu accurata seu in{\ae}quabilis) qua vulgus vice veri temporis utitur; ut Hora, Dies, Mensis, Annus. II\@. Spatium absolutum natura sua abs{\que} relatione ad externum quodvis semper manet similare \& immobile; relativum est spatii hujus mensura seu dimensio qu{\ae}libet mobilis, qu{\ae} a sensibus nostris per situm suum ad corpora definitur, \& a vulgo pro spatio immobili usurpatur: uti dimensio spatii subterranei, aerei vel c{\ae}lestis definita per situm suum ad Terram. Idem sunt spatium absolutum \& relativum, specie \& magnitudine, sed non permanent idem semper numero. Nam si Terra, verbi gratia, movetur, spatium Aeris nostri quod relative \& respectu Terr{\ae} semper manet idem, nunc erit una pars spatii absoluti in quam Aer transit, nunc alia pars ejus, \& sic absolute mutabitur perpetuo. III\@. Locus est pars spatii quam corpus occupat, est{\que} pro ratione % -----File: 014.png--- spatii vel absolutus vel relativus. Partem dico spatii, non situm corporis vel superficiem ambientem. Nam solidorum {\ae}qualium {\ae}quales semper sunt loci; Superficies autem ob dissimilitudinem figurarum ut plurimum in{\ae}quales sunt; situs vero proprie loquendo quantitatem non habent, ne{\que} tam sunt loca quam affectiones locorum. Motus totius idem est cum summa motuum partium, hoc est, translatio totius de ipsius loco eadem cum summa translationum partium de locis suis, adeo{\que} locus totius idem cum summa locorum partium, \& propterea internus \& in corpore toto. IV\@. Motus absolutus est translatio corporis de loco absoluto in locum absolutum, relativus de relativo in relativum. Sic in Navi qu{\ae} velis passis fertur, relativus corporis locus est navis regio illa in qua corpus versatur, seu cavitatis totius pars illa quam corpus implet, qu{\ae}{\que} adeo movetur una cum Navi; \& Quies relativa est permansio corporis in eadem illa navis regione vel parte cavitatis. At Quies vera est permansio corporis in eadem parte spatii illius immoti in qua Navis ipsa una cum cavitate sua \& contentis universis movetur. Unde si Terra vere quiescit, corpus quod relative quiescit in Navi, movebitur vere et absolute ea cum Velocitate qua Navis movetur in Terra. Sin Terra etiam movetur, orietur verus et absolutus corporis motus partim ex Terr{\ae} motu vero in spatio immoto, partim ex Navis motu relativo in Terra; et si corpus etiam movetur relative in Navi, orietur verus ejus motus partim ex vero motu Terr{\ae} in spatio immoto, partim ex relativis motibus tum Navis in Terra, tum corporis in Navi, et ex his motibus relativis orietur corporis motus relativus in Terra. Ut si Terr{\ae} pars illa ubi Navis versatur moveatur vere in Orientem, cum \label{wasp6}Velocitate partium 10010, et velis vento{\que} feratur Navis in Occidentem cum Velocitate partium decem, Nauta autem ambulet in Navi Orientem versus cum Velocitatis parte una, movebitur Nauta vere et absolute in spatio immoto cum Velocitatis partibus 10001 in Orientem, et relative in Terra Occidentem versus cum Velocitatis partibus novem. % -----File: 015.png--- Tempus absolutum a relativo distinguitur in Astronomia per {\AE}quationem Temporis vulgi. In{\ae}quales enim sunt dies Naturales, qui vulgo tanquam {\ae}quales pro Mensura Temporis habentur. Hanc in{\ae}qualitatem corrigunt Astronomi ut ex veriore Tempore mensurent motus c{\ae}lestes. Possibile est ut nullus sit motus {\ae}quabilis quo Tempus accurate mensuretur. Accelerari \& retardari possunt motus omnes, sed fluxus Temporis absoluti mutari nequit. Eadem est duratio seu perseverantia existenti{\ae} rerum, sive motus sint celeres, sive tardi, sive nulli; proinde h{\ae}c a mensuris suis sensibilibus merito distinguitur, \& ex ijsdem colligitur per {\AE}quationem Astronomicam. Hujus autem {\ae}quationis in determinandis Ph{\ae}nomenis necessitas, tum per experimentum Horologii oscillatorii, tum etiam per Eclipses Satellitum Jovis evincitur. Ut partium Temporis ordo est immutabilis, sic etiam ordo partium Spatii. Moveantur h{\ae} de locis suis, \& movebuntur (ut ita dicam) de seipsis. Nam Tempora \& Spatia sunt sui ipsorum \& rerum omnium quasi loca. In Tempore quoad ordinem successionis; in Spatio quoad ordinem situs locantur universa. De illorum Essentia est ut sint loca, \& loca primaria moveri absurdum est. H{\ae}c sunt igitur absoluta loca, \& sol{\ae} translationes de his locis sunt absoluti motus. Verum quoniam h{\ae} spatii partes videri nequeunt, \& ab invicem per sensus nostros distingui, earum vice adhibemus mensuras sensibiles. Ex positionibus enim \& distantiis rerum a corpore aliquo, quod spectamus ut immobile, definimus loca universa; deinde etiam \& omnes motus {\ae}stimamus cum respectu ad pr{\ae}dicta loca, quatenus corpora ab iisdem transferri concipimus. Sic vice locorum \& motuum absolutorum relativis utimur, nec incommode in rebus humanis: in Philosophicis autem abstrahendum est a sensibus. Fieri etenim potest ut nullum revera quiescat corpus, ad quod loca motus{\que} referantur. Distinguuntur autem Quies \& Motus absoluti \& relativi ab invicem per eorum proprietates, causas \& effectus. Quietis proprietas % -----File: 016.png--- est, quod corpora vere quiescentia quiescunt inter se. Ideo{\que} cum possibile sit ut corpus aliquod in regionibus fixarum, aut longe ultra, quiescat absolute; sciri autem non possit ex situ corporum ad invicem in regionibus nostris, utrum horum aliquod ad longinquum illud datam positionem servet, quies vera ex horum situ inter se definiri nequit. Motus proprietas est, quod partes qu{\ae} datas servant positiones ad tota, participant motus eorundem totorum. Nam gyrantium partes omnes conantur recedere de axe motus, et progredientium impetus oritur ex conjuncto impetu partium singularum. Igitur motis corporibus ambientibus, moventur qu{\ae} in ambientibus relative quiescunt. Et propterea motus verus et absolutus definiri nequit per translationem e vicinia corporum, qu{\ae} tanquam quiescentia spectantur. Debent corpora externa non solum tanquam quiescentia spectari, sed etiam vere quiescere. Alioquin inclusa omnia, pr{\ae}ter translationem e vicinia ambientium, participabunt etiam ambientium motus veros, et sublata illa translatione non vere quiescent, sed tanquam quiescentia solummodo spectabuntur; sunt enim ambientia ad inclusa ut totius pars exterior ad partem interiorem, vel ut cortex ad nucleum. Moto autem cortice, nucleus etiam, abs{\que} translatione de vicinia corticis, ceu pars totius, movetur. Pr{\ae}cedenti proprietati affinis est, quod moto loco movetur una locatum, adeo{\que} corpus, quod de loco moto movetur, participat etiam loci sui motum. Igitur motus omnes, qui de locis motis fiunt, sunt partes solummodo motuum integrorum et absolutorum, et motus omnis integer componitur ex motu corporis de loco suo primo, et motu loci hujus de loco suo, et sic deinceps, us{\que} dum perveniatur ad locum immotum, ut in exemplo Naut{\ae} supra memorato. Unde motus integri et absoluti non nisi per loca immota definiri possunt, et propterea hos ad loca immota, relativos ad mobilia supra retuli: Loca autem immota non sunt, nisi qu{\ae} omnia ab infinito in infinitum datas servant % -----File: 017.png--- positiones ad invicem, at{\que} adeo semper manent immota, spatium{\que} constituunt quod immobile appello. Caus{\ae}, quibus motus veri et relativi distinguuntur ab invicem, sunt vires in corpora impress{\ae} ad motum generandum. Motus verus nec generatur nec mutatur nisi per vires in ipsum corpus motum impressas: at motus relativus generari et mutari potest abs{\que} viribus impressis in hoc corpus. Sufficit enim ut imprimantur in alia solum corpora ad qu{\ae} fit relatio, ut ijs cedentibus mutetur relatio illa in qua hujus quies vel motus relativus consistit. Rursus motus verus a viribus in corpus motum impressis semper mutatur, at motus relativus ab his viribus non mutatur necessario. Nam si e{\ae}dem vires in alia etiam corpora, ad qu{\ae} fit relatio, sic imprimantur ut situs relativus conservetur, conservabitur relatio in qua motus relativus consistit. Mutari igitur potest motus omnis relativus ubi verus conservatur, et conservari ubi verus mutatur; et propterea motus verus in ejusmodi relationibus minime consistit. Effectus quibus motus absoluti et relativi distinguuntur ab invicem, sunt vires recedendi ab axe motus circularis. Nam in motu circulari nude relativo h{\ae} vires null{\ae} sunt, in vero autem et absoluto majores vel minores pro quantitate motus. Si pendeat situla a filo pr{\ae}longo, agatur{\que} perpetuo in orbem donec filum a contorsione admodum rigescat, dein impleatur aqua, et una cum aqua quiescat; tum vi aliqua subitanea agatur motu contrario in orbem, et filo se relaxante, diutius perseveret in hoc motu: superficies aqu{\ae} sub initio plana erit, quemadmodum ante motum vasis, at postquam, vi in aquam paulatim impressa, effecit vas, ut h{\ae}c quo{\que} sensibiliter revolvi incipiat, recedet ipsa paulatim e medio, ascendet{\que} ad latera vasis, figuram concavam induens, (ut ipse expertus sum) et incitatiore semper motu ascendet magis \& magis, donec revolutiones in {\ae}qualibus cum vase temporibus peragendo, quiescat in eodem relative. Indicat hic ascensus conatum recedendi ab axe motus, \& per talem conatum \& innotescit \& mensuratur motus aqu{\ae} circularis verus \& absolutus, motui{\que} relativo hic % -----File: 018.png--- omnino contrarius. Initio ubi maximus erat aqu{\ae} motus relativus in vase, motus ille nullum excitabat conatum recedendi ab axe: Aqua non petebat circumferentiam ascendendo ad latera vasis, sed plana manebat, \& propterea motus illius circularis verus nondum inceperat. Postea vero ut aqu{\ae} motus relativus decrevit, ascensus ejus ad latera vasis indicabat conatum recedendi ab axe, at{\que} hic conatus monstrabat motum illius circularem verum perpetuo crescentem, ac tandem maximum factum ubi aqua quiescebat in vase relative. Igitur conatus iste non pendet a translatione aqu{\ae} respectu corporum ambientium, \& propterea motus circularis verus per tales translationes definiri nequit. Unicus est corporis cujus{\que} revolventis motus vere circularis, conatui unico tanquam proprio \& ad{\ae}quato effectui respondens; motus autem relativi pro varijs relationibus ad externa innumeri sunt, \& relationum instar, effectibus veris omnino destituuntur, nisi quatenus de vero illo \& unico motu participant. Unde \& in Systemate eorum qui C{\ae}los nostros infra C{\ae}los fixarum in orbem revolvi volunt, \& Planetas secum deferre; Planet{\ae} \& singul{\ae} C{\ae}lorum partes, qui relative quidem in C{\ae}lis suis proximis quiescunt, moventur vere. Mutant enim positiones suas ad invicem (secus quam fit in vere quiescentibus) una{\que} cum c{\ae}lis delati participant eorum motus, \& ut partes revolventium totorum, ab eorum axibus recedere conantur. Igitur quantitates relativ{\ae} non sunt e{\ae} ips{\ae} quantitates quarum nomina pr{\ae} se ferunt, sed earum mensur{\ae} ill{\ae} sensibiles (ver{\ae} an errantes) quibus vulgus loco mensuratarum utitur. At si ex usu definiend{\ae} sunt verborum significationes; per nomina illa Temporis, Spatij, Loci \& Motus proprie intelligend{\ae} erunt h{\ae} mensur{\ae}; \& sermo erit insolens \& pure Mathematicus si quantitates mensurat{\ae} hic subintelligantur. Proinde vim inferunt Sacris literis qui voces hasce de quantitatibus mensuratis ibi interpretantur. Ne{\que} minus contaminant Mathesin \& Philosophiam qui quantitates veras cum ipsarum relationibus \& vulgaribus mensuris confundunt. % -----File: 019.png--- Motus quidem veros corporum singulorum cognoscere, \& ab apparentibus actu discriminare, difficillimum est; propterea quod partes spatij illius immobilis in quo corpora vere moventur, non incurrunt in sensus. Causa tamen non est prorsus desperata. Nam suppetunt argumenta partim ex motibus apparentibus, qui sunt motuum verorum differenti{\ae}, partim ex viribus qu{\ae} sunt motuum verorum caus{\ae} \& effectus. Ut si globi duo ad datam ab invicem distantiam filo intercedente connexi, revolverentur circa commune gravitatis centrum; innotesceret ex tensione fili conatus globorum recedendi ab axe motus, \& inde quantitas motus circularis computari posset. Deinde si vires qu{\ae}libet {\ae}quales in alternas globorum facies ad motum circularem augendum vel minuendum simul imprimerentur, innotesceret ex aucta vel diminuta fili tensione augmentum vel decrementum motus; \& inde tandem inveniri possent facies globorum in quas vires imprimi deberent, ut motus maxime augeretur, id est facies postic{\ae}, sive qu{\ae} in motu circulari sequuntur. Cognitis autem faciebus qu{\ae} sequuntur \& faciebus oppositis qu{\ae} pr{\ae}cedunt, cognosceretur determinatio motus. In hunc modum inveniri posset \& quantitas \& determinatio motus hujus circularis in vacuo quovis immenso, ubi nihil extaret externum \& sensibile, quocum globi conferri possent. Si jam constituerentur in spatio illo corpora aliqua longinqua datam inter se positionem servantia, qualia sunt stell{\ae} fix{\ae} in regionibus nostris: sciri quidem non posset ex relativa globorum translatione inter corpora, utrum his an illis tribuendus esset motus. At si \label{wasp11}attenderetur ad filum \& inveniretur tensionem ejus illam ipsam esse quam motus globorum requireret; concludere liceret motum esse globorum, \& tum demum ex translatione globorum inter corpora, determinationem hujus motus colligere. Motus autem veros ex eorum causis, effectibus \& apparentibus differentijs colligere, \& contra, ex motibus seu veris seu apparentibus, eorum causas \& effectus, docebitur fusius in sequentibus. Hunc enim in finem Tractatum sequentem composui. % -----File: 020.png--- \pagelines \begin{center}{\Huge \gesperrt{AXIOMATA}{6}}\end{center} \begin{center}{\LARGE SIVE}\end{center} \begin{center}{\Huge \gesperrt{LEGES}{6} \gesperrt{MOTUS}{6}}\end{center} \vspace{\baselineskip}\hrule \condpagelarge{Lex.\ I.} \textit{Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directum, nisi quatenus a viribus impressis cogitur statum illum mutare.} Projectilia perseverant in motibus suis nisi quatenus a resistentia aeris retardantur \& vi gravitatis impelluntur deorsum. Trochus, cujus partes coh{\ae}rendo perpetuo retrahunt sese a motibus rectilineis, non cessat rotari nisi quatenus ab aere retardatur. Majora autem Planetarum \& Cometarum corpora motus suos \& progressivos \& circulares in spatiis minus resistentibus factos conservant diutius. \condpagelarge{Lex.\ II.} \textit{Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impress{\ae}, \& fieri secundum lineam rectam qua vis illa imprimitur.} Si vis aliqua motum quemvis generet, dupla duplum, tripla triplum generabit, sive simul \& semel, sive gradatim \& successive impressa suerit. Et hic motus quoniam in eandem semper plagam cum vi generatrice determinatur, si corpus antea movebatur, motui ejus vel conspiranti additur, vel contrario subducitur, vel obliquo oblique adjicitur, \& cum eo secundum utrius{\que} determinationem componitur. % -----File: 021.png--- \condpagelarge{Lex.\ III.} \textit{Actioni contrariam semper \& {\ae}qualem esse reactionem: sive corporum duorum actiones in se mutuo semper esse {\ae}quales \& in partes contrarias dirigi.} Quicquid premit vel trahit alterum, tantundem ab eo premitur vel trahitur. Siquis lapidem digito premit, premitur \& hujus digitus a lapide. Si equus lapidem funi allegatum trahit, retrahetur etiam \& equus {\ae}qualiter in lapidem: nam funis utrin{\que} distentus eodem relaxandi se conatu urgebit Equum versus lapidem, ac lapidem versus equum, tantum{\que} impediet progressum unius quantum promovet progressum alterius. Si corpus aliquod in corpus aliud impingens, motum ejus vi sua quomodocun{\que} mutaverit, idem quoque vicissim in motu proprio eandem mutationem in partem contrariam vi alterius (ob {\ae}qualitatem pressionis mutu{\ae}) subibit. His actionibus {\ae}quales fiunt mutationes non velocitatum sed motuum, (scilicet in corporibus non aliunde impeditis:) Mutationes enim velocitatum, in contrarias itidem partes fact{\ae}, quia motus {\ae}qualiter mutantur, sunt corporibus reciproce proportionales. \condpagelarge{Corol.\ I.} \textit{Corpus viribus conjunctis diagonalem parallelo\-grammi eodem tempore describere, quo latera sep\-ar\-atis.} \pngright{021.png}{845}{493}{-24} %Illustration Si corpus dato tempore, vi sola $M$, ferretur ab $A$ ad $B$, \& vi sola $N$, ab $A$ ad $C$, compleatur parallelogrammum $ABDC$, \& vi utra{\que} feretur id eodem tempore ab $A$ ad $D$. Nam quoniam vis $N$ agit secundum lineam $AC$ ipsi $BD$ parallelam, h{\ae}c vis nihil mutabit velocitatem accedendi ad lineam illam $BD$ a vi altera genitam. Accedet igitur corpus eodem tempore ad lineam $BD$ sive vis $N$ imprimatur, sive non, at{\que} adeo in fine illius temporis reperietur alicubi in linea % -----File: 022.png--- illa $BD$. Eodem argumento in fine temporis ejusdem reperietur alicubi in linea $CD$, \& idcirco in utrius{\que} line{\ae} concursu $D$ reperiri necesse est. \condpagelarge{Corol.\ II.} \textit{Et hinc patet compositio vis direct{\ae} $AD$ ex viribus quibusvis obliquis $AB$ \& $BD$, \& vicissim resolutio vis cujusvis direct{\ae} $AD$ in obliquas quascun{\que} $AB$ \& $BD$. Qu{\ae} quidem Compositio \& resolutio abunde confirmatur ex Mechanica.} \pngright{022.png}{1018}{1021}{-24} %Illustration Ut si de rot{\ae} alicujus centro $O$ exeuntes radij in{\ae}quales $OM$, $ON$ filis $MA$, $NP$ sus\-tin\-eant pondera $A$ \& $P$, \& qu{\ae}rantur vires ponderum ad movendam rotam: per centrum $O$ agatur recta $KOL$ filis perpendiculariter occurrens in $K$ \& $L$, centro{\que} $O$ \& intervallorum $OK$, $OL$ majore $OL$ describatur circulus occurrens filo $MA$ in $D$: \& act{\ae} rect{\ae} $OD$ parallela sit $AC$ \& perpendicularis $DC$. Quoniam nihil refert utrum filorum puncta $K$, $L$, $D$ affixa sint vel non affixa ad planum rot{\ae}, pondera idem valebunt ac si suspenderentur a punctis $K$ \& $L$ vel $D$ \& $L$. Ponderis autem $A$ exponatur vis tota per lineam $AD$, \& h{\ae}c resolvetur in vires $AC$, $CD$, quarum $AC$ trahendo radium $OD$ directe a centro nihil valet ad movendam rotam; vis autem altera $DC$, trahendo radium $DO$ perpendiculariter, idem valet ac si perpendiculariter traheret radium $OL$ ipsi $OD$ {\ae}qualem; hoc est idem at{\que} pondus $P$, quod sit ad pondus $A$ ut vis $DC$ ad vim $DA$, id est (ob similia triangula $ADC$, $DOK$,) ut $OK$ ad $OD$ seu $OL$. Pondera igitur $A$ \& $P$, qu{\ae} sunt reciproce ut radii in directum positi $OK$ \& $OL$, idem pollebunt \& sic consistent in {\ae}quilibrio: (qu{\ae} est proprietas notissima Libr{\ae}, % -----File: 023.png--- Vectis \& Axis in Peritrochio:) sin pondus alterutrum sit majus quam in hac ratione, erit vis ejus ad movendam rotam tanto major. Quod si pondus $p$ ponderi $P$ {\ae}quale partim suspendatur silo $Np$, partim incumbat plano obliquo $pG$: agantur $pH$, $NH$, prior horizonti, posterior plano $pG$ perpendicularis; \& si vis ponderis $p$ deorsum tendens, exponatur per lineam $pH$, resolvi potest h{\ae}c in vires $pN$, $HN$. Si filo $pN$ perpendiculare esset planum aliquod $pQ$ secans planum alterum $pG$ in linea ad horizontem parallela; \& pondus $p$ his planis $pQ$, $pG$ solummodo incumberet; urgeret illud h{\ae}c plana viribus $pN$, $HN$ perpendiculariter, nimirum planum $pQ$ vi $pN$ \& planum $pG$ vi $HN$. Ideoque si tollatur planum $pQ$ ut pondus tendat filum, quoniam filum sustinendo pondus, jam vicem pr{\ae}stat plani sublati, tendetur illud eadem vi $pN$, qua planum antea urgebatur. Unde tensio fili hujus obliqui erit ad tensionem fili alterius perpendicularis $PN$, ut $pN$ ad $pH$. Ideo{\que} si pondus $p$ sit ad pondus $A$ in ratione qu{\ae} componitur ex ratione reciproca minimarum distantiarum filorum suorum $AM$, $pN$ a centro rot{\ae}, \& ratione directa $pH$ ad $pN$; pondera idem valebunt ad rotam movendam, at{\que} adeo se mutuo sustinebunt, ut quilibet experiri potest. Pondus autem $p$ planis illis duobus obliquis incumbens, rationem habet cunei inter corporis fissi facies internas: \& inde vires cunei \& mallei innotescunt: utpote cum vis qua pondus $p$ urget planum $pQ$ sit ad vim, qua idem vel gravitate sua vel ictu mallei impellitur secundum lineam $pH$ in plano, ut $pN$ ad $pH$; at{\que} ad vim qua urget planum alterum $pG$ ut $pN$ ad $NH$. Sed \& vis Cochle{\ae} per similem virium divisionem colligitur; quippe qu{\ae} cuneus est a vecte impulsus. Usus igitur Corollarij hujus latissime patet, \& late patendo veritatem ejus evincit, cum pendeat ex jam dictis Mechanica tota ab Authoribus diversimode demonstrata. Ex hisce enim facile derivantur vires Machinarum, qu{\ae} ex Rotis, Tympanis, Trochleis, Vectibus, radijs volubilibus, nervis tensis \& ponderibus directe vel oblique ascendentibus, c{\ae}teris{\que} potentijs Mechanicis % -----File: 024.png--- componi solent, ut \& vires Nervorum ad animalium ossa movenda. \condpagelarge{Corol.\ III.} \textit{Quantitas motus qu{\ae} colligitur capiendo summam motuum factorum ad eandem partem, \& differentiam factorum ad contrarias, non mutatur ab actione corporum inter se.} Etenim actio ei{\que} contraria reactio {\ae}quales sunt per Legem 3, adeo{\que} per legem 2, {\ae}quales in motibus efficiunt mutationes versus contrarias partes. Ergo si motus fiunt ad eandem partem, quicquid additur motui corporis fugientis subducetur motui corporis insequentis sic, ut summa maneat eadem qu{\ae} prius. Sin corpora obviam eant, {\ae}qualis erit subductio de motu utrius{\que}, adeo{\que} differentia motuum factorum in contrarias partes manebit eadem. Ut si corpus sph{\ae}ricum $A$ sit triplo majus corpore sph{\ae}rico $B$, habeat{\que} duas velocitatis partes, et $B$ sequatur in eadem recta cum velocitatis partibus decem, adeo{\que} motus ipsius $A$ sit ad motum ipsius $B$ ut sex ad decem; ponantur motus illis esse partium sex \& decem, \& summa erit partium sexdecim. In corporum igitur concursu, si corpus $A$ lucretur motus partes tres vel quatuor vel quin{\que} corpus $B$ amittet partes totidem, adeo{\que} perget corpus $A$ post reflexionem cum partibus novem vel decem vel undecim; \& $B$ cum partibus septem vel sex vel quin{\que} existente semper summa partium sexdecim ut prius. Sin corpus $A$ lucretur partes novem vel decem vel undecim vel duodecim, adeo{\que} progrediatur post concursum cum partibus quindecim vel sexdecim vel septendecim vel octodecim; corpus $B$ amittendo, tot partes quot $A$ lucratur, vel progredietur cum una parte, amissis partibus novem, vel quiescet amisso motu suo progressivo partium decem, vel regredietur cum una parte amisso motu suo \& (ut ita dicam) una parte amplius, vel regredietur cum partibus duabus ob detractum motum progressivum partium duodecim. At{\que} ita summ{\ae} motuum conspirantium $15 + 1$ vel $16 + 0$, differenti{\ae} \label{wasp16}contrariorum % -----File: 025.png--- $17 - 1$ \& $18 - 2$ semper erunt partium sexdecim ut ante concursum \& reflexionem. Cognitis autem motibus quibuscum corpora post reflexionem pergent, invenietur cujus{\que} velocitas ponendo eam esse ad velocitatem ante reflexionem ut motus post ad motum ante. Ut in casu ultimo, ubi corporis $A$ motus erat partium sex ante reflexionem; partium octodecim postea, \& velocitas partium duarum ante reflexionem; invenietur ejus velocitas partium sex post reflexionem, dicendo, ut motus partes sex ante reflexionem ad motus partes octodecim postea, ita velocitatis partes du{\ae} ante reflexionem ad velocitatis partes sex postea. Quod si corpora vel non Sph{\ae}rica vel diversis in rectis moventia incidant in se mutuo oblique, \& requirantur eorum motus post reflexionem, cognoscendus est situs plani a quo corpora concurrentia tanguntur in puncto concursus; dein corporis utrius{\que} motus (per Corol.\ 2.)\ distinguendus est in duos, unum huic plano perpendicularem, alterum eidem parallelum: motus autem paralleli, propterea quod corpora agant in se invicem secundum lineam huic plano perpendicularem, retinendi sunt iidem post reflexionem at{\que} antea, \& motibus perpendicularibus mutationes {\ae}quales in partes contrarias tribuend{\ae} sunt sic, ut summa conspirantium \& differentia contrariorum maneat eadem qu{\ae} prius. Ex hujusmodi reflexionibus oriri etiam solent motus circulares corporum circa centra propria. Sed hos casus in sequentibus non considero, \& nimis longum esset omnia huc spectantia demonstrare. \condpagelarge{Corol.\ IIII.} \textit{Commune gravitatis centrum ab actionibus corporum inter se non mutat statum suum vel motus vel quietis, \& propterea corporum omnium in se mutuo agentium (exclusis actionibus \& impedimentis externis) commune centrum gravitatis vel quiescit vel movetur uniformiter in directum.} Nam si puncta duo progrediantur uniformi cum motu in lineis rectis \& distantia eorum dividatur in ratione data, punctum dividens % -----File: 026.png--- vel quiescet vel progredietur uniformiter in linea recta, Hoc postea in Lemmate xxiii demonstratur in plano, \& eadem ratione demonstrari potest in loco solido. Ergo si corpora quotcun{\que} moventur uniformiter in lineis rectis, commune centrum gravitatis duorum quorumvis, vel quiescit vel progreditur uniformiter in linea recta, propterea quod linea horum corporum centra in rectis uniformiter progredientia jungens, dividitur ab hoc centro communi in ratione data: similiter \& commune centrum horum duorum \& tertii cujusvis vel quiescit vel progreditur uniformiter in linea recta, propterea quod ab eo dividitur distantia centri communis corporum duorum \& centri corporis tertii in data ratione. Eodem modo \& commune centrum horum trium \& quarti cujusvis vel quiescit vel progreditur uniformiter in linea recta, propterea quod ab eo dividitur distantia inter centrum commune trium \& centrum quarti in data ratione, \& sic in infinitum. Igitur in systemate corporum qu{\ae} actionibus in se invicem, alijs{\que} omnibus in se extrinsecus impressis, omnino vacant, adeo{\que} moventur singula uniformiter in rectis singulis, commune omnium centrum gravitatis vel quiescit vel movetur uniformiter in directum. Porro in systemate duorum corporum in se invicem agentium, cum distanti{\ae} centrorum utrius{\que} a communi gravitatis centro sint reciproce ut corpora, erunt motus relativi corporum eorundem vel accedendi ad centrum illud vel ab eodem recedendi, {\ae}quales inter se. Proinde centrum illud a motuum {\ae}qualibus mutationibus in partes contrarias factis, at{\que} adeo ab actionibus horum corporum inter se, nec promovetur nec retardatur nec mutationem patitur in statu suo quoad motum vel quietem. In systemate autem corporum plurium, quoniam duorum quorumvis in se mutuo agentium commune gravitatis centrum ob actionem illam nullatenus mutat statum suum; \& reliquorum, quibuscum actio illa non intercedit, commune gravitatis centrum nihil inde patitur; distantia autem horum duorum centrorum dividitur, a communi corporum omnium centro, in partes summis totalibus corporum, quorum % -----File: 027.png--- sunt centra, reciproce proportionales, adeo{\que} centris illis duobus statum suum movendi vel quiescendi servantibus, commune omnium centrum servat etiam statum suum; manifestum est quod commune illud omnium centrum, ob actiones binorum corporum inter se, nunquam mutat statum suum quoad motum \& quietem. In tali autem systemate actiones omnes corporum inter se, vel inter bina sunt corpora, vel ab actionibus inter bina composit{\ae}, \& propterea communi omnium centro mutationem in statu motus ejus vel Quietis nunquam inducunt. Quare cum centrum illud ubi corpora non agunt in se invicem, vel quiescit, vel in recta aliqua progreditur uniformiter, perget idem, non obstantibus corporum actionibus inter se, vel semper quiescere, vel semper progredi uniformiter in directum, nisi a viribus in systema extrinsecus impressis deturbetur de hoc statu. Est igitur systematis corporum plurium Lex eadem qu{\ae} corporis solitarii, quoad perseverantiam in statu motus vel quietis. Motus enim progressivus seu corporis solitarii seu systematis corporum ex motu centri gravitatis {\ae}stimari semper debet. \condpagelarge{Corol.\ V.} \textit{Corporum dato spatio inclusorum ijdem sunt motus inter se, sive spatium illud quiescat, sive moveatur idem uniformiter in directum abs{\que} motu circulari.} Nam differenti{\ae} motuum tendentium ad eandem partem, \& summ{\ae} tendentium ad contrarias, eadem sunt sub initio in utro{\que} casu (ex hypothesi) \& ex his summis vel differentiis oriuntur congressus \& impetus quibus corpora se mutuo feriunt. Ergo per Legem 2 {\ae}quales erunt congressuum effectus in utro{\que} casu, \& propterea manebunt motus inter se in uno casu {\ae}quales motibus inter se in altero. Idem comprobatur experimento luculento. Motus omnes eodem modo se habent in Navi, sive ea quiescat, sive moveatur uniformiter in directum. % -----File: 028.png--- \condpagelarge{Corol.\ VI.} \textit{Si corpora moveantur quomodocun{\que} inter se \& a viribus acceleratricibus {\ae}qualibus secundum lineas parallelas urgeantur; pergent omnia eodem modo moveri inter se ac si viribus illis non essent incitata.} Nam vires ill{\ae} {\ae}qualiter (pro quantitatibus movendorum corporum) \& secundum lineas parallelas agendo, corpora omnia {\ae}qualiter (quoad velocitatem) movebunt (per Legem 2.)\ adeo{\que} nunquam mutabunt positiones \& motus eorum inter se. \condpagelarge{\textit{Scholium}} Hactenus principia tradidi a Mathematicis recepta \& experientia multiplici confirmata. Per leges duas primas \& Corollaria duo prima adinvenit \textit{Galil{\ae}us} descensum gravium esse in duplicata ratione temporis, \& motum projectilium fieri in Parabola, conspirante experientia, nisi quatenus motus illi per aeris resistentiam aliquantulum retardantur. Ab ijsdem Legibus \& Corollariis pendent demonstrata de temporibus oscillantium Pendulorum, suffragante Horologiorum experientia quotidiana. Ex his ijsdem \& Lege tertia \textit{D. Christopherus Wrennus} Eques auratus, \textit{Johannes Wallisius S.T.D.} \& \textit{D. Christianus Hugenius}, hujus {\ae}tatis Geometrarum facile Principes, regulas congressuum \& reflexionum duorum corporum seorsim adinvenerunt, \& eodem fere tempore cum \textit{Societate Regia} communicarunt, inter se (quoad has leges) omnino conspirantes; Et primus quidem \textit{D. Wallisius} dein \textit{D. Wrennus} \& \textit{D. Hugenius} inventum prodidit. Sed \& veritas comprobata est a \textit{D. Wrenno} coram \textit{Regia Societate} per experimentum Pendulorum, quod etiam \textit{Clarissimus Mariottus} Libro integro exponere mox dignatus est. Verum ut hoc experimentum cum Theorijs ad amussim congruat, habenda est ratio tum resistenti{\ae} aeris, tum etiam vis Elastic{\ae} concurrentium \pngright{029.png}{1162}{751}{-24} %Illustration \noindent corporum. Pendeant corpora $A$, $B$ filis parallelis $AC$, $BD$ a centris $C$, $D$. His centris \& intervallis % -----File: 029.png--- describantur semicirculi $EAF$, $GBH$ radijs $CA$, $DB$ bisecti. Trahatur corpus $A$ ad arcus $EAF$ punctum quodvis $R$, \& (subducto corpore $B$) demittatur inde, redeat{\que} post unam oscillationem ad punctum $V$. Est $RV$ retardatio ex resistentia aeris. Hujus $RV$ fiat $ST$ pars quarta sita in medio, \& h{\ae}c exhibebit retardationem in descensu ab $S$ ad $A$ quam proxime. Restituatur corpus $B$ in locum suum. Cadat corpus $A$ de puncto $S$, \& velocitas ejus in loco reflexionis $A$, abs{\que} errore sensibili, tanta erit ac si in vacuo cecidisset de loco $T$. Exponatur igitur h{\ae}c velocitas per chordam arcus $TA$. Nam velocitatem Penduli in puncto infimo esse ut chorda arcus quem cadendo descripsit, Propositio est Geometris notissima. Post reflexionem perveniat corpus $A$ ad locum $s$, \& corpus $B$ ad locum $k$. Tollatur corpus $B$ \& inveniatur locus $v$, a quo si corpus $A$ demittatur \& post unam oscillationem redeat ad locum $r$, sit $st$ pars quarta ipsius $rv$ sita in medio, \& per chordam arcus $tA$ exponatur velocitas quam corpus $A$ proxime post reflexionem habuit in loco $A$. Nam $t$ erit locus ille verus \& correctus ad quem corpus $A$, sublata aeris resistentia, ascendere debuisset. Simili methodo corrigendus erit locus $k$, ad quem corpus $B$ ascendit, \& inveniendus locus $l$, ad quem corpus illud ascendere debuisset in vacuo. Hoc pacto experiri licet omnia perinde ac si in vacuo constituti essemus. Tandem ducendum erit corpus $A$ in chordam arcus $TA$ (qu{\ae} velocitatem ejus exhibet) ut habeatur motus ejus in loco $A$ proxime ante reflexionem, deinde in chordam arcus $tA$ ut habeatur motus ejus in loco $A$ proxime post reflexionem. Et sic corpus B ducendum erit in chordam arcus $Bl$, ut habeatur motus ejus proxime post reflexionem. Et simili methodo ubi corpora duo simul demittuntur de locis diversis, inveniendi sunt motus utrius{\que} tam ante, quam post reflexionem; \& tum % -----File: 030.png--- demum conferendi sunt motus inter se \& colligendi effectus reflexionis. Hoc modo in Pendulis pedum decem rem tentando, id{\que} in corporibus tam in{\ae}qualibus quam {\ae}qualibus, \& faciendo ut corpora de intervallis amplissimis, puta pedum octo, duodecim vel sexdecim concurrerent, reperi semper sine errore trium digitorum in mensuris, ubi corpora sibi mutuo directe occurrebant quod in partes contrarias mutatio motus erat corpori utri{\que} illata, at{\que} adeo quod actio \& reactio semper erant {\ae}quales. Ut si corpus $A$ incidebat in corpus $B$ cum novem partibus motus, \& amissis septem partibus pergebat post reflexionem cum duabus, corpus $B$ resiliebat cum partibus istis septem. Si corpora obviam ibant, $A$ cum duodecim partibus \& $B$ cum sex \& redibat $A$ cum duabus, redibat $B$ cum octo, facta detractione partium quatuordecim utrinque. De motu ipsius $A$ subducantur partes duodecim \& restabit nihil; subducantur ali{\ae} partes du{\ae} \& fiet motus duarum partium in plagam contrariam. \& sic de motu corporis $B$ partium sex subducendo partes quatuordecim, fiunt partes octo in plagam contrariam. Quod si corpora ibant ad \label{wasp22}eandem plagam, $A$ velocius cum partibus quatuordecim \& $B$ tardius cum partibus quin{\que} \& post reflexionem pergebat $A$ cum quin{\que} partibus, pergebat $B$ cum quatuordecim, facta translatione partium novem de $A$ in $B$. Et sic in reliquis. A congressu \& collisione corporum nunquam mutabatur quantitas motus qu{\ae} ex summa motuum conspirantium \& differentia contrariorum colligebatur. Nam{\que} errorem digiti unius \& alterius in mensuris tribuerim difficultati peragendi singula satis accurate. Difficile erat tum pendula simul demittere sic, ut corpora in se mutuo impingerent in loco infimo $AB$, tum loca $s$, $k$, notare ad qu{\ae} corpora ascendebant post concursum. Sed \& in ipsis pilis in{\ae}qualis partium densitas, \& textura aliis de causis irregularis, errores inducebant. % -----File: 031.png--- Porro nequis objiciat Regulam ad quam probandam inventum est hoc experimentum pr{\ae}supponere corpora vel absolute dura esse, vel saltem perfecte elastica, cujusmodi nulla reperiuntur in compositionibus naturalibus; addo quod experimenta jam descripta succedunt in corporibus mollibus {\ae}que ac in duris, nimirum a conditione duritiei neutiquam pendentia. Nam si conditio illa in corporibus non perfecte duris tentanda est, debebit solummodo reflexio minui in certa proportione pro quantitate vis Elastic{\ae}. In Theoria \textit{Wrenni} \& \textit{Hugenij} corpora absolute dura redeunt ab invicem cum velocitate congressus. Certius id affirmabitur de perfecte Elasticis. In imperfecte Elasticis velocitas reditus minuenda est simul cum vi Elastica; propterea quod vis illa, (nisi ubi partes corporum ex congressu l{\ae}duntur, vel extensionem aliqualem quasi sub malleo patiuntur,) certa ac determinata sit (quantum sentio) faciat{\que} corpora redire ab invicem cum velocitate relativa qu{\ae} sit ad relativam velocitatem concursus in data ratione. Id in pilis ex lana arcte conglomerata \& fortiter constricta sic tentavi. Primum demittendo Pendula \& mensurando reflexionem, inveni quantitatem vis Elastic{\ae}; deinde per hanc vim determinavi reflexiones in aliis casibus concursuum, \& respondebant experimenta. Redibant semper pil{\ae} ab invicem cum velocitate relativa, qu{\ae} esset ad velocitatem relativam concursus ut 5 ad 9 circiter. Eadem fere cum velocitate redibant pil{\ae} ex chalybe: ali{\ae} ex subere cum paulo minore. In vitreis autem proportio erat 15 ad 16 circiter. At{\que} hoc pacto Lex tertia quoad ictus \& reflexiones per Theoriam comprobata est, qu{\ae} cum experientia plane congruit. In attractionibus rem sic breviter ostendo. Corporibus duobus quibusvis $A$, $B$ se mutuo trahentibus, concipe obstaculum quodvis interponi quo congressus eorum impediatur. Si corpus alterutrum $A$ magis trahitur versus corpus alterum $B$, quam illud alterum $B$ in prius $A$, obstaculum magis urgebitur pressione corporis $A$ quam pressione corporis $B$; proinde{\que} non manebit in {\ae}quilibrio. Pr{\ae}valebit pressio fortior, faciet{\que} systema corporum duorum % -----File: 032.png--- \& obstaculi moveri in directum in partes versus $B$, motu{\que} in spatiis liberis semper accelerato abire in infinitum. Quod est absurdum \& Legi prim{\ae} contrarium. Nam per Legem primam debebit systema perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directum, proinde{\que} corpora {\ae}qualiter urgebunt obstaculum, \& idcirco {\ae}qualiter trahentur in invicem. Tentavi hoc in Magnete \& ferro. Si h{\ae}c in vasculis propriis sese contingentibus seorsim posita, in aqua stagnante juxta fluitent, neutrum propellet alterum, sed {\ae}qualitate attractionis utrin{\que} sustinebunt conatus in se mutuos, ac tandem in {\ae}quilibrio constituta quiescent. Ut corpora in concursu \& reflexione idem pollent, quorum velocitates sunt reciproce ut vires insit{\ae}: sic in movendis Instrumentis Mechanicis agentia idem pollent \& conatibus contrariis se mutuo sustinent, quorum velocitates secundum determinationem virium {\ae}stimat{\ae}, sunt reciproce ut vires. Sic pondera {\ae}quipollent ad movenda brachia Libr{\ae}, qu{\ae} oscillante Libra, sunt reciproce ut eorum velocitates sursum \& deorsum: hoc est pondera, si recta ascendunt \& descendunt, {\ae}quipollent, qu{\ae} sunt reciproce ut punctorum a quibus suspenduntur distanti{\ae} ab axe Libr{\ae}; sin planis obliquis aliisve admotis obstaculis impedita ascendunt vel descendunt oblique, {\ae}quipollent qu{\ae} sunt ut ascensus \& descensus quatenus facti secundum perpendiculum: id adeo ob determinationem gravitatis deorsum. Similiter in Trochlea seu Polyspasto vis manus funem directe trahentis, qu{\ae} sit ad pondus vel directe vel oblique ascendens ut velocitas ascensus perpendicularis ad velocitatem manus funem trahentis, sustinebit pondus. In horologiis \& similibus instrumentis, qu{\ae} ex rotulis commissus constructa sunt, vires contrari{\ae} ad motum rotularum promovendum \& impediendum si sunt reciproce ut velocitates partium rotularum in quas imprimuntur, sustinebunt se mutuo. Vis Cochle{\ae} ad premendum corpus est ad vim manus manubrium circumagentis, ut circularis velocitas Manubrii ea in parte ubi a manu urgetur, ad velocitatem progressivam Cochle{\ae} versus corpus pressum. Vires quibus cuneus % -----File: 033.png--- urget partes duas ligni fissi est ad vim mallei in cuneum, ut progressus cunei secundum determinationem vis a malleo in ipsum impress{\ae}, ad velocitatem qua partes ligni cedunt cuneo, secundum lineas faciebus cunei perpendiculares. Et par est ratio Machinarum omnium. Harum efficacia \& usus in eo solo consistit ut diminuendo velocitatem augeamus vim, \& contra: Unde solvitur in omni aptorum instrumentorum genere Problema; \textit{Datum pondus data vi movendi}, aliamve datam resistentiam vi data superandi. Nam si Machin{\ae} ita formentur ut velocitates Agentis \& Resistentis sint reciproce ut vires, Agens resistentiam sustinebit, \& majori cum velocitatum disparitate eandem vincet. Certe si tanta sit velocitatum disparitas ut vincatur etiam resistentia omnis, qu{\ae} tam ex contiguorum \& inter se labentium corporum attritione, quam ex continuorum \& ab invicem separandorum coh{\ae}sione \& elevandorum ponderibus oriri solet; superata omni ea resistentia, vis redundans accelerationem motus sibi proportionalem, partim in partibus Machin{\ae}, partim in corpore resistente producet. C{\ae}terum Mechanicam tractare non est hujus instituti. Hisce volui tantum ostendere quam late pateat, quam{\que} certa sit Lex tertia motus. Nam si {\ae}stimetur Agentis actio ex ejus vi \& velocitate conjunctim; \& Resistentis reactio ex ejus partium singularum velocitatibus \& viribus resistendi ab earum attritione, coh{\ae}sione, pondere \& acceleratione oriundis; erunt actio \& reactio, in omni instrumentorum usu, sibi invicem semper {\ae}quales. Et quatenus actio propagatur per instrumentum \& ultimo imprimitur in corpus omne resistens, ejus ultima determinatio determinationi reactionis semper erit contraria. % -----File: 034.png--- \pagelines \begin{center}{\large DE}\end{center} \begin{center}{\Huge MOTU CORPORUM}\end{center} \vspace{\baselineskip}\hrule \begin{center}{\large Liber \gesperrt{PRIMUS}{3}}\end{center} \hrule\vspace{\baselineskip} \sectnopage{I.} \begin{center}{\textit{De Methodo Rationum primarum \& ultimarum, cujus ope sequentia demonstrantur.}}\end{center} \tblong \begin{center}{\large LEMMA I.}\end{center} \textit{Quantitates, ut \& quantitatum rationes, qu{\ae} ad {\ae}qualitatem dato tempore constanter tendunt \& eo pacto propius ad invicem accedere possunt quam pro data quavis differentia; fiunt ultimo {\ae}quales.} Si negas, sit earum ultima differentia $D$. Ergo nequeunt propius ad {\ae}qualitatem accedere quam pro data differentia $D$: contra hypothesin. % -----File: 035.png--- \condpagelarge{Lemma II.} \pngright{035.png}{806}{1080}{-24} %Illustration \textit{Si in figura quavis $AacE$ rectis $Aa$, $AE$, \& curva \label{wasp27}$acE$ comprehensa, inscribantur parallelogramma quotcun{\que} $Ab$, $Bc$, $Cd$, \&c.\ sub basibus $AB$, $BC$, $CD$, \&c.\ {\ae}qualibus, \& lateribus $Bb$, $Cc$, $Dd$, \&c.\ figur{\ae} lateri $Aa$ parallelis contenta; \& compleantur parallelogramma $aKbl$, $bLcm$, $cMdn$, \&c. Dein horum parallelogrammorum latitudo minuatur, \& numerus augeatur in infinitum: dico quod ultim{\ae} rationes, quas habent ad se invicem figura inscripta $AKbLcMdD$, circumscripta $AalbmcndoE$, \& curvilinea $AabcdE$, sunt rationes {\ae}qualitatis.} Nam figur{\ae} inscript{\ae} \& circumscript{\ae} differentia est summa parallelogrammorum $Kl + Lm + Mn + Do$, hoc est (ob {\ae}quales omnium bases) rectangulum sub unius basi $Kb$ \& altitudinum summa $Aa$, id est rectangulum $ABla$. Sed hoc rectangulum, eo quod latitudo ejus $AB$ in infinitum minuitur, sit minus quovis dato. Ergo, per Lemma I, figura inscripta \& circumscripta \& multo magis figura curvilinea intermedia fiunt ultimo {\ae}quales. \QEDit \condpagelarge{Lemma III.} \textit{E{\ae}dem rationes ultim{\ae} sunt etiam {\ae}qualitatis, ubi \label{wasp27bis}parallelogrammorum latitudines $AB$, $BC$, $CD$, \&c.\ sunt in{\ae}quales, \& omnes minuuntur in infinitum.} Sit enim $AF$ {\ae}qualis latitudini maxim{\ae} \& compleatur parallelogrammum $FAaf$. Hoc erit majus quam differentia figur{\ae} inscript{\ae} \& figur{\ae} circumscripta, at latitudine sua $AF$ % -----File: 036.png--- in infinitum diminuta, minus fiet quam datum quodvis rectangulum. \textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Hinc summa ultima parallelogrammorum evanescentium coincidit omni ex parte cum figura curvilinea. \textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Et multo magis figura rectilinea, qu{\ae} chordis evanescentium arcuum $ab$, $bc$, $cd$, \textit{\&c.}\ comprehenditur, coincidit ultimo cum figura curvilinea. \textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Ut \& figura rectilinea qu{\ae} tangentibus eorundem arcuum circumscribitur. \textit{Corol.\fsp{}4.}\wsp{}Et propterea h{\ae} figur{\ae} ultim{\ae} (quoad perimetros $acE$,) non sunt rectiline{\ae}, sed rectilinearum limites curvilinei. \condpagelarge{Lemma IV.} \pngright{036.png}{1578}{1094}{-24} %Illustration \textit{Si in duabus figuris $AacE$, $PprT$, inscribantur (ut supra) du{\ae} parallelogrammorum series, sit{\que} idem amborum numerus, \& ubi latitudines in infinit\-um diminuitur, rationes ultim{\ae} parallelogrammorum in una figura ad parallelogramma in altera, singulorum ad singula, sint e{\ae}dem; dico quod figur{\ae} du{\ae} $AacE$, $PprT$, sunt ad invicem in eadem illa ratione.} Etenim ut sunt parallelogramma singula ad singula, ita (componendo) fit summa omnium ad summam omnium, \& ita figura % -----File: 037.png--- ad figuram; existente ni\-mir\-um figura priore (per Lemma III.) ad summam priorem, \& posteriore figura ad summam posteriorem in ratione {\ae}qualitatis. \textit{Corol.}\wsp{}Hinc si du{\ae} cujuscun{\que} generis quantitates in eundem partium numerum utcun{\que} dividantur, \& partes ill{\ae}, ubi numerus earum augetur \& magnitudo diminuitur in infinitum, datam obtineant rationem ad invicem, prima ad primam, secunda ad secundam c{\ae}ter{\ae}{\que} suo ordine ad c{\ae}teras; erunt tota ad invicem in eadem illa data ratione. Nam si in Lemmatis hujus figuris sumantur parallelogramma inter se ut partes, summ{\ae} partium semper erunt ut summ{\ae} parallelogrammorum; at{\que} adeo, ubi partium \& parallelogrammorum numerus augetur \& magnitudo diminuitur in infinitum, in ultima ratione parallelogrammi ad parallelogrammum, id est (per hypothesin) in ultima ratione partis ad partem. \condpagelarge{Lemma V.} \textit{Similium figurarum latera omnia, qu{\ae} sibi mutuo respondent, sunt proportionalia, tam curvilinea quam rectilinea, \& are{\ae} sunt in duplicata ratione laterum.} \condpagelarge{Lemma VI.} \pngright{037.png}{768}{1047}{-24} %Illustration \textit{Si arcus quilibet positione datus $AB$ subtendatur chorda $AB$, \& in puncto aliquo $A$, in medio curvatur{\ae} continu{\ae}, tangatur a recta utrin{\que} producta $AD$; dein puncta $A$, $B$ ad invicem accendant \& coeant; dico quod angulus $BAD$ sub chorda \& tangente contentus minuetur in infinitum \& ultimo evanescet.} Nam producatur $AB$ ad $b$ \& $AD$ ad $d$, \& punctis $A$, $B$ coeuntibus, nulla{\que} adeo ipsius $Ab$ parte $AB$ jacente amplius intra curvam, manifestum esi quod h{\ae}c recta $Ab$, % -----File: 038.png--- vel coincidet cum tangente $Ad$, vel ducetur inter tangentem \& curvam. Sed casus posterior est contra naturam Curvatur{\ae}, ergo prior obtinet. \QEDit \condpagelarge{Lemma VII.} \textit{Iisdem positis, dico quod ultima ratio arcus, chord{\ae} \& tangentis ad invicem est ratio {\ae}qualitatis. Vide} Fig.\ \textit{Lem.\ 6 \& 8 vi.} Nam producantur $AB$ \& $AD$ ad $b$ \& $d$ secanti $BD$ parallela agatur $bd$. Sit{\que} arcus $Ab$ similis arcui $AB$. Et punctis $A$, $B$ coeuntibus, angulus $dAb$, per Lemma superius, evanescet; adeo{\que} rect{\ae} $Ab$, $Ad$ arcus intermedius $Ab$ coincident, \& propterea {\ae}quales erunt. Unde \& hisce semper proportionales rect{\ae} $AB$, $AD$, \& arcus intermedius $AB$ rationem ultimam habebunt {\ae}qualitatis. \QEDit \pngright{038.png}{1057}{424}{-24} %Illustration \textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Unde si per $B$ ducatur tan\-gen\-ti parallela $BF$ rectam quamvis $AF$ per $A$ transeuntem perpetuo secans in $F$, h{\ae}c ultimo ad arcum evanescentem $AB$ rationem habebit {\ae}qualitatis, eo quod completo parallelogrammo $AFBD$, rationem semper habet {\ae}qualitatis ad $AD$. \textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Et si per $B$ \& $A$ ducantur plures rect{\ae} $BE$, $BD$, $AF$, $AG$, secantes tangentem $AD$ \& ipsius parallelam $BF$, ratio ultima abscissarum omnium $AD$, $AE$, $BF$, $BG$, chord{\ae}{\que} \& arcus $AB$ ad invicem erit ratio {\ae}qualitatis. \textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Et propterea h{\ae} omnes line{\ae} in omni de rationibus ultimis argumentatione pro se invicem usurpari possunt. \condpagelarge{Lemma VIII.} \textit{Si rect{\ae} dat{\ae} $AR$, $BR$ cum arcu $AB$, chorda $AB$ \& tangente $AD$, triangula tria $ARB$, $ARB$, $ARD$ constituunt, dein puncta $A, B$ accedunt ad invicem: dico quod ultima forma triangulorum evanescentium est similitudinis, \& ultima ratio {\ae}qualitatis.} % -----File: 039.png--- \pngright{037.png}{768}{1047}{-12} %Illustration Nam producantur $AB$, $AD$, $AR$ ad $b$, $d$ \& $r$. Ipsi $RD$ agatur parallela $rbd$, \& arcui $AB$ similis ducatur arcus $Ab$. Coeuntibus punctis $A$, $B$, angulus $bAd$ evanescet, \& propterea triangula tria $rAb$, $rAb$, $rAd$ coincident, sunt{\que} eo nomine similia \& {\ae}qualia. Unde \& hisce semper similia \& proportionalia $RAB$, $RAB$, $RAD$ fient ultimo sibi invicem similia \& {\ae}qualia. \QEDit \textit{Corol.}\wsp{}Et hinc triangula illa in omni de rationibus ultimis argumentatione pro se invicem usurpari possunt. \condpagelarge{Lemma IX.} \pngright{039.png}{1050}{1171}{-24} %Illustration \textit{Si recta $AE$ \& Curva $AC$ positione dat{\ae} se mutuo secent in angulo dato $A$, \& ad rectam illam in alio dato angulo ordinatim applicentur $BD$, $EC$, curv{\ae} occurrentes in $B$, $C$; dein puncta $B$, $C$ accedant ad punctum $A$: dico quod are{\ae} triangulorum $ADB$, $AEC$ erunt ultimo ad invicem in duplicata ratione laterum.} Etenim in $AD$ producta capiantur $Ad$, $Ae$ ipsis $AD$, $AE$ proportionales, \& erigantur ordinat{\ae} $db$, $ec$ ordinatis $DB$, $EC$ parallel{\ae} \& proportionales. Producatur $AC$ ad $c$, ducatur curva $Abc$ ipsi $ABC$ similis, \& recta $Ag$ tangatur curva utra{\que} in $A$; \& secantur ordinatim applicat{\ae} in $F$, $G$, $f$, $g$. Tum coeant puncta $B$, $C$ cum puncto $A$, \& angulo $cAg$ evanescente, coincident are{\ae} curviline{\ae} $Abd$, $Ace$ cum rectilineis $Afd$, $Age$, adeo{\que} per Lemma V, erunt in duplicata % -----File: 040.png--- ratione laterum $Ad$, $Ae$: Sed his areis proportionales semper sunt are{\ae} $ABD$, $ACE$, \& his lateribus latera $AD$, $AE$. Ergo \& are{\ae} $ABD$, $ACE$ sunt ultimo in duplicata ratione laterum $AD$, $AE$. \QEDit \condpagelarge{Lemma X.} \textit{Spatia, qu{\ae} corpus urgente quacun{\que} vi regulari describit, sunt ipso motus initio in duplicata ratione temporum.} Exponantur tempora per lineas $AD$, $AE$, \& velocitates genit{\ae} per ordinatas $DB$, $EC$, \& spatia his velocitatibus descripta erunt ut are{\ae} $ABD$, $ACE$ his ordinatis descript{\ae}, hoc est ipso motus initio (per Lemma IX) in duplicata ratione temporum $AD$, $AE$. \QEDit \textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Et hinc facile colligitur, quod corporum similes similium figurarum partes temporibus proportionalibus describentium errores, qui viribus {\ae}qualibus in partibus istis ad corpora similiter applicatis generantur, \& mensurantur a locis figurarum, ad qu{\ae} corpora temporibus ijsdem proportionalibus abs{\que} viribus istis pervenirent, sunt ut quadrata temporum in quibus generantur quam proxime. \textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Errores autem qui viribus proportionalibus similiter applicatis generantur, sunt ut vires \& quadrata temporum conjunctim. \condpagelarge{Lemma XI.} \textit{Subtensa evanescens anguli contactus est ultimo in ratione duplicata subtens{\ae} arcus contermini.} \pngright{041.png}{636}{1298}{-24} %Illustration \textit{Cas.\fsp{}1.}\wsp{}Sit arcus ille $AB$, tangens ejus $AD$, subtensa anguli contactus ad tangentem perpendicularis $BD$, subtensa arcus $AB$. Huic subtens{\ae} $AB$ \& tangenti $AD$ perpendiculares erigantur $AG$, $BG$, concurrentes in $G$; dein accedant puncta $D$, $B$, $G$, ad puncta $d$, $b$, $g$, sit{\que} $J$ intersectio linearum $BG$, $AG$ ultimo facta ubi puncta $D$, $B$ accedunt us{\que} ad $A$. Manifestum est quod distantia % -----File: 041.png--- $GJ$ minor esse potest quam assignata qu{\ae}vis. Est autem (ex natura circulorum per puncta $ABG$, $Abg$ transeuntium) $AB \opit{quad.}$ {\ae}quale $AG \times BD$ \& $Ab \opit{quad.}$ {\ae}quale $Ag \times bd$, adeo{\que} ratio $AB \opit{quad.}$ ad $Ab \opit{quad.}$ componitur ex rationibus $AG$ ad $Ag$ \& $BD$ ad $bd$. Sed quoniam $JG$ assumi potest minor longitudine quavis assignata, fieri potest ut ratio $AG$ ad $Ag$ minus differat a ratione {\ae}qualitatis quam pro differentia quavis assignata, adeo{\que} ut ratio $AB \opit{quad.}$ ad $Ab \opit{quad.}$ minus differat a ratione $BD$ ad $bd$ quam pro differentia quavis assignata. Est ergo, per Lemma I, ratio ultima $AB \opit{quad.}$ ad $Ab \opit{quad.}$ {\ae}qualis rationi ultim{\ae} $BD$ ad $bd$. \QEDit \textit{Cas.\fsp{}2.}\wsp{}Inclinetur jam $BD$ ad $AD$ in angulo quovis dato, \& eadem semper erit ratio ultima $BD$ ad $bd$ qu{\ae} prius, adeo{\que} eadem ac $AB \opit{quad.}$ ad $Ab \opit{quad}$. \QEDit \textit{Cas.\fsp{}3.}\wsp{}Et quamvis angulus D non detur, tamen anguli $D$, $d$ ad {\ae}qualitatem semper vergent \& propius accedent ad invicem quam pro differentia quavis assignata, adeo{\que} ultimo {\ae}quales erunt, per Lem.\ I. \& propterea line{\ae} $BD$, $bd$ in eadem ratione ad invicem ac prius. \QEDit \textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Unde cum tangentes $AD$, $Ad$, arcus $AB$, $Ab$ \& eorum sinus $BC$, $bc$ fiant ultimo chordis $AB$, $Ab$ {\ae}quales; erunt etiam illorum quadrata ultimo ut subtens{\ae} $BD$, $bd$. \textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Triangula rectilinea $ADB$, $Adb$ sunt ultimo in triplicata ratione laterum $AD$, $Ad$, in{\que} sesquiplicata laterum $DB$, $db$: Utpote in composita ratione laterum $AD$ \& $DB$, $Ad$ \& $db$ existentia. Sic \& triangula $ABC$, $Abc$ sunt ultimo in triplicata ratione laterum $BC$, $bc$. \textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Et quoniam $DB$, $db$ sunt ultimo parallel{\ae} \& in duplicata ratione ipsarum $AD$, $Ad$; erunt are{\ae} ultim{\ae} curviline{\ae} % -----File: 042.png--- $ADB$, $Adb$ (ex natura Parabol{\ae}) du{\ae} terti{\ae} partes triangulorum rectilineorum $ADB$, $Adb$, \& segmenta $AB$, $Ab$ partes terti{\ae} eorundem triangulorum. Et inde h{\ae} are{\ae} \& h{\ae}c segmenta erunt in triplicata ratione tum tangentium $AD$, $Ad$; tum chordarum \& arcuum $AB$, $Ab$. \condpagelarge{\textit{Scholium.}} C{\ae}terum in his omnibus supponimus angulum contactus nec infinite majorem esse angulis contactuum, quos circuli continent cum tangentibus suis, nec iisdem infinite minorem; hoc est curvaturam ad punctum $A$, nec infinite parvam esse nec infinite magnam, seu intervallum $AJ$ finit{\ae} esse magnitudinis. Capi enim potest $DB$ ut $AD^3$: quo in casu circulus nullus per punctum $A$ inter tangentem $AD$ \& curvam $AB$ duci potest, proinde{\que} angulus contactus erit infinite minor circularibus. Et simili argumento si fiat $DB$ successive ut $AD^4$, $AD^{5}$, $AD^6$, $AD^{7}$, \&c.\ habebitur series angulorum contactus pergens in infinitum, quorum quilibet posterior est infinite minor priore. Et si fiat $DB$ successive ut $AD^{2}$, $AD^{\frac{3}{2}}$, $AD^{\frac{4}{3}}$, $AD^{\frac{5}{4}}$, $AD^{\frac{6}{5}}$, $AD^{\frac{7}{6}}$, \&c.\ habebitur alia series infinita angulorum contactus, quorum primus est ejusdem generis cum circularibus, secundus infinite major, \& quilibet posterior infinite major priore. Sed \& inter duos quosvis ex his angulis potest series utrin{\que} in infinitum pergens angulorum intermediorum inseri, quorum quilibet posterior erit infinite major priore. Ut si inter terminos $AD^{2}$ \& $AD^3$ inseratur series $AD^{\frac{13}{6}}$, $AD^{\frac{11}{5}}$, $AD^{\frac{9}{4}}$, $AD^{\frac{7}{3}}$, $AD^{\frac{5}{2}}$, $AD^{\frac{8}{3}}$, $AD^{\frac{11}{4}}$, $AD^{\frac{14}{5}}$, $AD^{\frac{17}{6}}$, \&c. Et rursus inter binos quosvis angulos hujus seriei inseri potest series nova angulorum intermediorum ab invicem infinitis intervallis differentium. Ne{\que} novit natura limitem. Qu{\ae} de curvis lineis de{\que} superficiebus comprehensis demonstrata sunt, facile applicantur ad solidorum superficies curvas \& % -----File: 043.png--- contenta. Pr{\ae}misi vero h{\ae}c Lemmata ut effugerem t{\ae}dium deducendi perplexas demonstrationes, more veterum Geometrarum, ad absurdum. Contractiores enim redduntur demonstrationes per methodum indivisibilium. Sed quoniam durior est indivisibilium Hypothesis; \& propterea Methodus illa minus Geometrica censetur, malui demonstrationes rerum sequentium ad ultimas quantitatum evanescentium summas \& rationes, primas{\que} nascentium, id est, ad limites summarum \& rationum deducere, \& propterea limitum illorum demonstrationes qua potui breuitate pr{\ae}mittere. His enim idem pr{\ae}statur quod per methodum indivisibilium, \& principiis demonstratis jam tutius utemur. Proinde in sequentibus, siquando quantitates tanquam ex particulis constantes consideravero, vel si pro rectis usurpavero lineolas curvas, nolim indivisibilia sed evanescentia divisibilia, non summas \& rationes partium determinatarum, sed summarum \& rationum limites semper intelligi, vim{\que} talium demonstrationum ad methodum pr{\ae}cedentium Lemmatum semper revocari. Objectio est, quod quantitatum evanescentium nulla sit ultima proportio; quippe qu{\ae}, antequam evanuerunt, non est ultima, ubi evanuerunt, nulla est. Sed \& eodem argumento {\ae}que contendi posset nullam esse corporis ad certum locum pergentis velocitatem ultimam. Hanc enim, antequam corpus attingit locum, non esse ultimam, ubi attigit, nullam esse. Et responsio facilis est. Per velocitatem ultimam intelligi eam, qua corpus movetur ne{\que} antequam attingit locum ultimum \& motus cessat, ne{\que} postea, sed tunc cum attingit, id est illam ipsam velocitatem quacum corpus attingit locum ultimum \& quacum motus cessat. Et similiter per ultimam rationem quantitatum evanescentium intelligendam esse rationem quantitatum non antequam evanescunt, non postea, sed quacum evanescunt. Pariter \& ratio prima nascentium est ratio quacum nascuntur. Et summa prima \& ultima est quacum esse (vel augeri \& minui) incipiunt \& cessant. Extat limes quem velocitas in fine motus attingere potest, non autem transgredi. % -----File: 044.png--- H{\ae}c est velocitas ultima. Et par est ratio limitis quantitatum \& proportionum omnium incipientium \& cessantium. Cum{\que} hic limes sit certus \& definitus, Problema est vere Geometricum eundem determinare. Geometrica vero omnia in aliis Geometricis determinandis ac demonstrandis legitime usurpantur. Contendi etiam potest, quod si dentur ultim{\ae} quantitatum evanescentium rationes, dabuntur \& ultim{\ae} magnitudines; \& sic quantitas omnis constabit ex indivisibilibus, contra quam \textit{Euclides} de incommensurabilibus, in libro decimo Elementorum, demonstravit. Verum h{\ae}c Objectio fals{\ae} innititur hypothesi. Ultim{\ae} rationes ill{\ae} quibuscum quantitates evanescunt, revera non sunt rationes quantitatum ultimarum, sed limites ad quos quantitatum sine limite decrescentium rationes semper appropinquant, \& quas propius assequi possunt quam pro data quavis differentia, nunquam vero transgredi, ne{\que} prius attingere quam quantitates diminuuntur in infinitum. Res clarius intelligetur in infinite magnis. Si quantitates du{\ae} quarum data est differentia augeantur in infinitum, dabitur harum ultima ratio, nimirum ratio {\ae}qualitatis, nec tamen ideo dabuntur quantitates ultim{\ae} seu maxim{\ae} quarum ista est ratio. Igitur in sequentibus, siquando facili rerum imaginationi consulens, dixero quantitates quam minimas, vel evanescentes vel ultimas, cave intelligas quantitates magnitudine determinatas, sed cogita semper diminuendas sine limite. % -----File: 045.png--- \sectpage{II.} \begin{center}{\textit{De Inventione Virium Centripetarum.}}\end{center} \propnopage{Prop.\ I\@. Theorema I.} \textit{Areas quas corpora in gyros acta radiis ad immobile centrum virium ductis describunt, \& in planis immobilibus consistere, \& esse temporibus proportionales.} %\pngcent{045.png}{1642}{1513} \pngright{045.png}{1642}{1513}{-24} %Illustration Dividatur tempus in partes {\ae}quales, \& prima temporis parte describat corpus vi insita rectam $AB$. Idem secunda temporis parte, si nil impediret, recta pergeret ad $c$, (per Leg.\ I) describens lineam $Bc$ {\ae}qualem ipsi $AB$, adeo ut radiis $AS$, $BS$, $cS$ ad centrum actis, consect{\ae} forent {\ae}quales are{\ae} $ASB$, $BSc$. Verum ubi corpus venit ad $B$, agat vis centripeta impulsu unico sed magno, faciat{\que} corpus a recta $Bc$ deflectere \& pergere in recta $BC$. Ipsi $BS$ parallela agatur $cC$ occurrens $BC$ in $C$, \& completa secunda temporis parte, corpus (per Legum Corol.\ I) reperietur in $C$, in eodem plano cum triangulo $ASB$. Junge $SC$, \& triangulum $SBC$, ob parallelas $SB$, $Cc$, {\ae}quale erit triangulo $SBc$, at{\que} adeo etiam triangulo $SAB$. Simili argumento si % -----File: 046.png--- vis centripeta successive agat in $C$, $D$, $E$, \&c.\ faciens ut corpus singulis temporis particulis singulas describat rectas $CD$, $DE$, $EF$, \&c.\ jacebunt h{\ae} in eodem plano, \& triangulum $SCD$ triangulo $SBC$ \& $SDE$ ipsi $SCD$ \& $SEF$ ipsi $SDE$ {\ae}quale erit. {\AE}qualibus igitur temporibus {\ae}quales are{\ae} in plano immoto describuntur: \& componendo, sunt arearum summ{\ae} qu{\ae}vis $SADS$, $SAFS$ inter se, ut sunt tempora descriptionum. Augeatur jam numerus \& minuatur latitudo triangulorum in infinitum, \& eorum ultima perimeter $ADF$, (per Corollarium quartum Lemmatis tertii) erit linea curva; adeo{\que} vis centripeta qua corpus de tangente hujus curv{\ae} perpetuo retrahitur, aget indesinenter; are{\ae} vero qu{\ae}vis descript{\ae} $SADS$, $SAFS$ temporibus descriptionum semper proportionales, erunt iisdem temporibus in hoc casu proportionales. \QEDit \textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}In mediis non resistentibus, si are{\ae} non sunt temporibus proportionales, vires non tendunt ad concursum radiorum. \textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}In mediis omnibus, si arearum descriptio acceleratur, vires non tendunt ad concursum radiorum, sed inde declinant in consequentia. \condpagelarge{Pro.\ II\@. Theor.\ II.} \textit{Corpus omne quod, cum movetur in linea aliqua curva, \& radio ducto ad punctum vel immobile, vel motu rectilineo uniformiter progrediens, describit areas circa punctum illud temporibus proportionales, urgetur a vi centripeta tendente ad idem punctum.} \textit{Cas.\fsp{}1.}\wsp{}Nam corpus omne quod movetur in linea curva, detorquetur de cursu rectilineo per vim aliquam in ipsum agentem. (per Leg.\ I\@.) Et vis illa qua corpus de cursu rectilineo detorquetur \& cogitur triangula quam minima $SAB$, $SBC$, $SCD$ \&c.\ circa punctum immobile $S$, temporibus {\ae}qualibus {\ae}qualia describere, agit in loco $B$ secundum lineam parallelam ipsi $cC$ (per Prop.\ 40 Lib.\ I Elem.\ \& Leg.\ II.) hoc est secundum lineam % -----File: 047.png--- $BS$ \& in loco $C$ secundum lineam ipsi $dD$ parallelam, hoc est secundum lineam $CS$, \&c. Agit ergo semper secundum lineas tendentes ad punctum illud immobile $S$. \QEDit \textit{Cas.\fsp{}2.}\wsp{}Et, per Legum Corollarium quintum, perinde est sive quiescat superficies in qua corpus describit figuram curvilineam, sive moveatur eadem una cum corpore, figura descripta \& puncto suo $S$ uniformiter in directum. \condpagelarge{\textit{Scholium.}} Urgeri potest corpus a vi centripeta composita ex pluribus viribus. In hoc casu sensus Propositionis est, quod vis illa qu{\ae} ex omnibus componitur, tendit ad punctum $S$. Porro si vis aliqua agat secundum lineam superficiei descript{\ae} perpendicularem, h{\ae}c faciet corpus deflectere a plano sui motus, sed quantitatem superficiei descript{\ae} nec augebit nec minuet, \& propterea in compositione virium negligenda est. \condpagelarge{Prop.\ III\@. Theor.\ III.} \textit{Corpus omne quod, radio ad centrum corporis alterius utcun{\que} moti ducto, describit areas circa centrum illud temporibus proportionales, urgetur vi composita ex vi centripeta tendente ad corpus alterum \& ex vi omni acceleratrice, qua corpus alterum urgetur.} Nam (per Legum Corol.\ 6.)\ si vi nova, qu{\ae} {\ae}qualis \& contraria sit illi qua corpus alterum urgetur, urgeatur corpus utrum{\que} secundum lineas parallelas, perget corpus primum describere circa corpus alterum areas easdem ac prius: vis autem qua corpus alterum urgebatur, jam destruetur per vim sibi {\ae}qualem \& contrariam, \& propterea (per Leg.\ 1.)\ corpus illud alterum vel quiescet vel movebitur uniformiter in directum, \& corpus primum, urgente differentia virium, perget areas temporibus proportionales circa corpus alterum describere. Tendit igitur (per Theor.\ 2.)\ differentia virium ad corpus illud alterum ut centrum. \QEDit % -----File: 048.png--- \textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Hinc si corpus unum radio ad alterum ducto describit areas temporibus proportionales, at{\que} de vi tota (sive simplici, sive ex viribus pluribus, juxta Legum Corollarium secundum, composita,) qua corpus prius urgetur, subducatur (per idem Legum Corollarium) vis tota acceleratrix qua corpus alterum urgetur; vis omnis reliqua qua corpus prius urgetur tendet ad corpus alterum ut centrum. \textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Et si are{\ae} ill{\ae} sunt temporibus quamproxime proportionales, vis reliqua tendet ad corpus alterum quamproxime. \textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Et vice versa, si vis reliqua tendit quamproxime ad corpus alterum, erunt are{\ae} ill{\ae} temporibus quamproxime proportionales. \textit{Corol.\fsp{}4.}\wsp{}Si corpus radio ad alterum corpus ducto describit areas qu{\ae}, cum temporibus collat{\ae}, sunt valde in{\ae}quales, \& corpus illud alterum vel quiescit vel movetur uniformiter in directum; actio vis centripet{\ae} ad corpus illud alterum tendentis, vel nulla est, vel miscetur \& componitur cum actionibus admodum potentibus aliarum virium: Vis{\que} tota ex omnibus, si plures sunt vires, composita, ad aliud (sive immobile sive mobile) centrum dirigitur, circum quod {\ae}quabilis est arearum descriptio. Idem obtinet ubi corpus alterum motu quocun{\que} movetur, si modo vis centripeta sumatur, qu{\ae} restat post subductionem vis totius agentis in corpus illud alterum. \condpagelarge{\textit{Scholium}} Quoniam {\ae}quabilis arearum descriptio Index est centri quod vis illa respicit qua corpus maxime afficitur, corpus autem vi ad hoc centrum tendente retinetur in orbita sua, \& motus omnis circularis recte dicitur circa centrum illud fieri, cujus vi corpus retrahitur de motu rectilineo \& retinetur in Orbita: quidni usurpemus in sequentibus {\ae}quabilem arearum descriptionem ut Indicem centri circum quod motus omnis circularis in spatiis liberis peragitur? % -----File: 049.png--- \condpagelarge{Prop.\ IV\@. Theor.\ IV.} \pngright{049.png}{1000}{1254}{-24} %Illustration \textit{Corporum qu{\ae} diversos circulos {\ae}quabili motu describunt, vires centripetas ad centra eorundem circulorum tendere, \& esse inter se ut arcuum simul descriptorum quadrata applicata ad circulorum radios.} Corpora $B$, $b$ in circumferentiis circulorum $BD$, $bd$ gyrantia, simul describant arcus $BD$, $bd$. Quoniam sola vi insita describerent tangentes $BC$, $bc$ his arcubus {\ae}quales, manifestum est quod vires centripet{\ae} sunt qu{\ae} perpetuo retrahunt corpora de tangentibus ad circumferentias circulorum, at{\que} adeo h{\ae} sunt ad invicem in ratione prima spatiorum nascentium $CD$, $cd$: tendunt vero ad centra circulorum per Theor.\ II, propterea quod are{\ae} radiis descript{\ae} ponuntur temporibus proportionales. Fiat figura $tkb$ figur{\ae} $DCB$ similis, \& per Lemma V, lineola $CD$ erit ad lineolam $kt$ ut arcus $BD$ ad arcum $bt$: nec non, per Lemma XI, lineola nascens $tk$ ad lineolam nascentem $dc$ ut $bt \opit{quad.}$ ad $bd \opit{quad.}$ \& ex {\ae}quo lineola nascens $DC$ ad lineolam nascentem $dc$ ut $BD \times bt$ ad $bd \opit{quad.}$ seu quod perinde est, ut $\frac{BD \times bt}{Sb}$ ad $\frac{bd \opit{quad.}}{Sb}$, adeo{\que} (ob {\ae}quales rationes $\frac{bt}{Sb}$ \& $\frac{BD}{SB}$) ut $\frac{BD \opit{quad.}}{SB}$ ad $\frac{bd \opit{quad.}}{Sb}$ \QEDit \textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Hinc vires centripet{\ae} sunt ut velocitatum quadrata applicata ad radios circulorum. \textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Et reciproce ut quadrata temporum periodicorum applicata % -----File: 050.png--- ad radios ita sunt h{\ae} vires inter se. Id est (ut cum Geometris loquar) h{\ae} vires sunt in ratione composita ex duplicata ratione velocitatum directe \& ratione simplici radiorum inverse: necnon in ratione composita ex ratione simplici radiorum directe \& ratione duplicata temporum periodicorum inverse. \textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Unde si tempora periodica {\ae}quantur, erunt tum vires centripet{\ae} tum velocitates ut radii, \& vice versa. \textit{Corol.\fsp{}4.}\wsp{}Si quadrata temporum periodicorum sunt ut radii, vires centripet{\ae} sunt {\ae}quales, \& velocitates in dimidiata ratione radiorum: Et vice versa. \textit{Corol.\fsp{}5.}\wsp{}Si quadrata temporum periodicorum sunt ut quadrata radiorum, vires centripet{\ae} sunt reciproce ut radii, \& velocitates {\ae}quales; Et vice versa. \textit{Corol.\fsp{}6.}\wsp{}Si quadrata temporum periodicorum sunt ut cubi radiorum, vires centripeta: sunt reciproce ut quadrata radiorum; velocitates autem in radiorum dimidiata ratione: Et vice versa. \textit{Corol.\fsp{}7.}\wsp{}Eadem omnia de temporibus, velocitatibus \& viribus, quibus corpora similes figurarum quarumcun{\que} similium, centra{\que} similiter posita habentium, partes describunt, consequuntur ex Demonstratione pr{\ae}cedentium ad hosce casus applicata. \condpagelarge{\textit{Scholium.}} Casus Corollarii sexti obtinet in corporibus c{\ae}lestibus (ut seorsum colligerunt etiam nostrates \textit{Wrennus, Hookius \& Halleus}) \& propterea qu{\ae} spectant ad vim centripetam decrescentem in duplicata ratione distantiarum a centris decrevi fusius in sequentibus exponere. Porro pr{\ae}cedentis demonstrationis beneficio colligitur etiam proportio vis centripet{\ae} ad vim quamlibet notam, qualis est ea gravitatis. Nam cum vis illa, quo tempore corpus percurrit arcum $BC$, impellat ipsum per spatium $CD$, quod ipso motus initio {\ae}quale est quadrato arcus illius $BD$ ad circuli diametrum applicato; \& corpus omne vi eadem in eandem semper plagam % -----File: 051.png--- continuata, describat spatia in duplicata ratione temporum: Vis illa, quo tempore corpus revolvens arcum quemvis datum describit, efficiet ut corpus idem recta progrediens describat spatium quadrato arcus illius ad circuli diametrum applicato {\ae}quale; adeo{\que} est ad vim gravitatis ut spatium illud ad spatium quod grave cadendo eodem tempore describit. Et hujusmodi Propositionibus \textit{Hugenius}, in eximio suo Tractatu de Horologio oscillatorio, vim gravitatis cum revolventium viribus centrifugis contulit. Demonstrari etiam possunt pr{\ae}cedentia in hunc modum. In circulo quovis describi intelligatur Polygonum laterum quotcun{\que} Et si corpus in Polygoni lateribus data cum velocitate movendo, ad ejus angulos singulos a circulo reflectatur; vis qua singulis reflexionibus impingit in circulum erit ut ejus velocitas, adeo{\que} summa virium in dato tempore erit ut velocitas illa \& numerus reflexionum conjunctim, hoc est (si Polygonum detur specie) ut longitudo dato illo tempore descripta \& longitudo eadem applicata ad Radium circuli, id est ut quadratum longitudinis illius applicatum ad Radium; adeo{\que} si Polygonum lateribus infinite diminutis coincidat cum circulo, ut quadratum arcus dato tempore descripti applicatum ad radium. H{\ae}c est vis qua corpus urget circulum, \& huic {\ae}qualis est vis contraria qua circulus continuo repellit corpus centrum versus. \condpagelarge{Prop.\ V\@. Prob.\ I.} \textit{Data quibuscun{\que} in locis velocitate, qua corpus figuram datam viribus ad com\-mune aliquod centrum tendentibus describit, centrum illud invenire.} \pngright{052a.png}{1150}{934}{-24} %Illustration Figuram descriptam tangant rect{\ae} tres $PT$, $TQV$, $VR$ in punctis totidem $P$, $Q$, $R$, concurrentes in $T$ \& $V$. Ad tangentes erigantur perpendicula $PA$, $QB$, $RC$, velocitatibus corporis in punctis illis $P$, $Q$, $R$ a quibus eriguntur reciproce proportionalia; id est ita ut sit $PA$ ad $QB$ ut velocitas in $Q$ ad velocitatem in $P$, \& $QB$ ad $RC$ ut velocitas in $R$ ad velocitatem % -----File: 052.png--- in $Q$. Per perpendiculorum terminos $A$, $B$, $C$ ad angulos rectos ducantur $AD$, $DBE$, $EC$ concurrentia in $D$ \& $E$: Et act{\ae} $TD$, $VE$ concurrent in centro qu{\ae}sito $S$. Nam cum corpus in $P$ \& $Q$ radiis ad centrum ductis areas describat temporibus proportionales, sint{\que} are{\ae} ill{\ae} simul descript{\ae} ut velocitates in $P$ \& $Q$ duct{\ae} respective in perpendicula a centro in tangentes $PT$, $QT$ demissa: Erunt perpendicula illa ut velocitates reciproce, adeo{\que} ut perpendicula $AP$, $BQ$ directe, id est ut perpendicula a puncto $D$ in tangentes demissa. Unde facile colligitur quod puncta $S$, $D$, $T$ sunt in una recta. Et simili argumento puncta $S$, $E$, $V$ sunt etiam in una recta; \& propterea centrum $S$ in concursu rectarum $TD$, $VE$ versatur. \QEDit \condpagelarge{Pro.\ VI\@. Theor.\ V.} \pngright{052b.png}{1045}{560}{-24} %Illustration \textit{Si corpus $P$ revolvendo circa centrum $S$, describat lineam quamvis curvam $APQ$, tangat vero recta $ZPR$ curvam illam in puncto quovis $P$, \& ad tangentem ab alio quovis curv{\ae} $Q$ agatur $QR$ distanti{\ae} $SP$ parallela, ac demittatur $QT$ perpendicularis ad distantiam $SP$: Dico quod vis centripeta sit reciproce ut solidum $\frac{SP \opit{quad.} \times QT \opit{quad.}}{QR}$, si modo solidi illius ea semper sumatur quantitas qu{\ae} ultimo fit ubi coeunt puncta $P$ \& $Q$.} Nam{\que} in figura indefinite parva $QRPT$ lineola nascens $QR$, dato tempore, est ut vis centripeta (per Leg.\ II.) \& % -----File: 053.png--- data vi, ut quadratum temporis (per Lem.\ X.) at{\que} adeo, neutro dato, ut vis centripeta \& quadratum temporis conjunctim, adeo{\que} vis centripeta ut lineola $QR$ directe \& quadratum temporis inverse. Est autem tempus ut area $SPQ$, ejus dupla $SP \times QT$, id est ut $SP$ \& $QT$ conjunctim, adeo{\que} vis centripeta ut $QR$ directe at{\que} $SP \opit{quad.}$ in $QT \opit{quad.}$ inverse, id est ut $\frac{SP \opit{quad.} \times QT \opit{quad.}}{QR}$ inverse. \QEDit \textit{Corol.}\wsp{}Hinc si detur figura qu{\ae}vis, \& in ea punctum ad quod vis centripeta dirigitur; inveniri potest lex vis centripet{\ae} qu{\ae} corpus in figur{\ae} illius perimetro gyrari faciet. Nimirum computandum est solidum $\frac{SP \opit{quad.} \times QT \opit{quad.}}{QR}$ huic vi reciproce proportionale. Ejus rei dabimus exempla in problematis sequentibus. \condpagelarge{Prop.\ VII\@. Prob.\ II.} \textit{Gyretur corpus in circumferentia circuli, requiritur lex vis centripet{\ae} tendentis ad punctum aliquod in circumferentia datum.} \pngright{053.png}{1043}{662}{-24} %Illustration Esto circuli circumferentia $SQPA$, centrum vis centripet{\ae} $S$, corpus in circumferentia latum $P$, locus proximus in quem movebitur $Q$. Ad diametrum $SA$ \& rectam $SP$ demitte perpendiculi $PK$, $QT$, \& per $Q$ ipsi $SP$ parallelam age $LR$ occurrentem circulo in $L$ \& tangenti $PR$ in $R$, \& coeant $TQ$, $PR$ in $Z$. Ob similitudinem triangulorum $ZQR$, $ZTP$, $SPA$ erit $RP \opit{quad.}$ (hoc est $QRL$) ad $QT \opit{quad.}$ ut $SA \opit{quad.}$ ad $SP \opit{quad.}$ Ergo $\frac{QRL \times SP \opit{quad.}}{SA \opit{quad.}}$ {\ae}quatur $QT \opit{quad.}$ Ducantur h{\ae}c {\ae}qualia % -----File: 054.png--- in $\frac{SP \opit{quad.}}{QR}$, \& punctis $P$ \& $Q$ coeuntibus, scribatur $SP$ pro $RL$. Sic fiet $\frac{SP \opit{qc.}}{SAq.}$ {\ae}quale $\frac{QTq. \times SPq.}{QR}$. Ergo (per Corol.\ Theor.\ V.) vis centripeta reciproce est ut $\frac{SP \opit{qc.}}{SAq.}$, id est (ob datum $SA \opit{quad.}$) ut quadrato-cubus distanti{\ae} $SP$. Quod erat inveniendum. \condpagelarge{Prop.\ VIII\@. Prob.\ III.} \pngright{054.png}{1053}{894}{-24} %Illustration \textit{Moveatur corpus in circulo $PQA$: ad hunc effectum requiritur lex vis centripet{\ae} tendentis ad punctum adeo longinquum, ut line{\ae} omnes $PS$, $RS$ ad id duct{\ae}, pro parallelis haberi possint.} A circuli centro $C$ agatur semidiameter $CA$ parallelas istas perpendiculariter secans in $M$ \& $N$, \& jungantur $CP$. Ob similia triangula $CPM$, \& $TPZ$, vel (per Lem.\ VIII.) $TPQ$, est $CPq.$ ad $PMq.$ ut $PQq.$ vel (per Lem.\ VII.) $PRq.$ ad $QTq.$ \& ex natura circuli rectangulum $QR \times RN + QN$ {\ae}quale est $PR$ quadrato. Coeuntibus autem punctis $P$, $Q$ fit $RN + QN$ {\ae}qualis $2PM$. Ergo est $CP \opit{quad.}$ ad $PM \opit{quad.}$ ut $QR \times 2PM$ ad $QT \opit{quad.}$ adeo{\que} $\frac{QT \opit{quad.}}{QR}$ {\ae}quale $\frac{2PM \opit{cub.}}{CP \opit{quad.}}$, \& $\frac{QT \opit{quad.} \times SP \opit{quad.}}{QR}$ {\ae}quale $\frac{2PM \opit{cub.} \times SP \opit{quad.}}{CP \opit{quad.}}$ Est ergo (per Corol.\ Theor.\ V.) vis centripeta reciproce ut $\frac{2PM \opit{cub.} \times SP \opit{quad.}}{CP \opit{quad.}}$ hoc est (neglecta ratione determinata $\frac{2SP \opit{quad.}}{CP \opit{quad.}}$) reciproce ut $PM \opit{cub.}$ \QEIit % -----File: 055.png--- \condpagelarge{\textit{Scholium.}} Et simili argumento corpus movebitur in Ellipsi vel etiam in Hyperbola vel Parabola, vi centripeta qu{\ae} sit reciproce ut cubus ordinatim applicat{\ae} ad centrum virium maxime longinquum tendentis. \condpagelarge{Prop.\ IX\@. Prob.\ IV.} \pngright{055.png}{1074}{528}{-24} %Illustration \textit{Gyretur corpus in spiral $PQS$ secante radios omnes $SP$, $SQ$, \&c.\ in angulo dato: Requiritur lex vis centripet{\ae} tendentis ad centrum spiralis.} Detur angulus indefinite parvus $PSQ$, \& ob datos omnes angulos dabitur specie figura $SPQRT$. Ergo datur ratio $\frac{QT}{RQ}$ est{\que} $\frac{QT \opit{quad.}}{QR}$ ut $QT$, hoc est ut $SP$. Mutetur jam utcun{\que} angulus $PSQ$, \& recta $QR$ angulum contactus $QPR$ subtendens mutabitur (per Lemma XI.) in duplicata ratione ipsius $PR$ vel $QT$. Ergo manebit $\frac{QT \opit{quad.}}{QR}$ eadem qu{\ae} prius, hoc est ut $SP$. Quare $\frac{QTq. \times SPq.}{QR}$ est ut $SP \opit{cub.}$ id est (per Corol.\ Theor.\ V.) vis centripeta ut cubus distanti{\ae} $SP$. \QEIit \condpagelarge{Lemma XII.} \textit{Parallelogramma omnia circa datam Ellipsin descripta esse inter se {\ae}qualia. Idem intellige de Parallelogrammis in Hyperbola circum diametros ejus descriptis.} Constat utrum{\que} ex Conicis. % -----File: 056.png--- % page to work round next figure \condpagelarge{Prop.\ X\@. Prob.\ V.} \textit{Gyretur corpus in Ellipsi: requiritur lex vis centripet{\ae} tendentis ad centrum Ellipseos.} Sunto $CA$, $CB$ semiaxes Ellipseos; $GP$, $DK$ diametri conjugat{\ae}; $PF$, $Qt$, perpendicula ad diametros; $Qv$ ordinatim applicata ad diametrum $GP$; \& si compleatur parallelogrammum $QvRP$, erit (ex Conicis) $PvG$ ad $Qv \opit{quad.}$ ut $PC \opit{quad.}$ ad $CD \opit{quad.}$ \& (ob similia triangula $Qvt$, $PCF$) $Qv \opit{quad.}$ est ad $Qt \opit{quad.}$ ut $PC \opit{quad.}$ ad $PF \opit{quad.}$ \& conjunctis rationibus, $PvG$ ad $Qt \opit{quad.}$ ut $PC \opit{quad.}$ ad $CD \opit{quad.}$ \& $PC \opit{quad.}$ ad $PF \opit{quad.}$ id est $vG$ ad $\frac{Qt \opit{quad.}}{Pv}$ ut $PC \opit{quad.}$ ad $\frac{CDq. \times PFq.}{PCq.}$. Scribe $QR$ pro $Pv$, \& (per Lemma xii.)\ $BC \times CA$ pro $CD \times PF$, nec non (punctis $P$ \& $Q$ coeuntibus) $2PC$ pro $vG$, \& ductis extremis \& medijs in se mutuo, fiet $\frac{QTq. \times PCq.}{QR}$ {\ae}quale $\frac{2BCq. \times CAq.}{PC}$. Est ergo (per Corol.\ Theor.\ V.) vis centripeta reciproce ut $\frac{2BCq. \times CAq.}{PC}$, id est % -----File: 057.png--- (ob datum $2BCq. \times CAq.$) ut $\frac{1}{PC}$, hoc est, directe ut distantia $PC$. \QEIit \pngright{056.png}{1544}{1619}{-12} %Illustration \textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Unde vicissim si vis sit ut distantia, movebitur corpus in Ellipsi centrum habente in centro virium, aut forte in circulo, in quem Ellipsis migrare potest. \textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Et {\ae}qualia erunt revolutionum in Figuris universis circa centrum idem factarum periodica tempora. Nam tempora illa in Ellipsibus similibus {\ae}qualia sunt per Corol.\ 3 \& 7 Prop.\ IV: In Ellipsibus autem communem habentibus axem majorem, sunt ad invicem ut Ellipseon are{\ae} tot{\ae} directe \& arearum particul{\ae} simul descript{\ae} inverse; id est ut axes minores directe \& corporum velocitates in verticibus principalibus inverse, hoc est ut axes illi directe \& ordinatim applicat{\ae} ad axes alteros inverse, \& propterea (ob {\ae}qualitatem rationum directarum \& inversarum) in ratione {\ae}qualitatis. \condpagelarge{\textit{Scholium.}} Si Ellipsis, centro in infinitum abeunte, vertatur in Parabolam, corpus move\-bitur in hac Parabola, \& vis ad centrum infinite distans jam tendens, evadet {\ae}quabilis. Hoc est Theorema \textit{Galilei}. Et si Conisectio Parabolica, inclinatione plani ad conum sectum mutata, vertatur in Hyperbolam, movebitur corpus in hujus perimetro, vi centripeta in centrifugam versa. % -----File: 058.png--- \sectpage{III.} \begin{center}{\textit{De motu Corporum in Conicis Sectionibus excentricis.}}\end{center} \propnopage{Prop.\ XI\@. Prob.\ VI.} \textit{Revolvatur corpus in Ellipsi: Requiritur lex vis centripet{\ae} tendentis ad umbilicum Ellipseos.} \pngright{056.png}{1544}{1619}{-24} %Illustration Esto Ellipseos superioris umbilicus $S$. Agatur $SP$ secans Ellipseos tum dia\-met\-rum $DK$ in $E$, tum ordinatim applicatam $Qv$ in $x$, \& compleatur parallelogrammum $QxPR$. Patet $EP$ {\ae}qualem esse semiaxi majori $AC$, eo quod acta ab altero Ellipseos umbilico $H$ linea $HI$ ipsi $EC$ parallela, (ob {\ae}quales $CS$, $CH$) {\ae}quentur $ES$, $EI$, adeo ut $EP$ semisumma sit ipsarum $PS$, $PI$, id est (ob parallelas $HI$, $PR$ \& angulos {\ae}quales $IPR$, $HPZ$) ipsorum $PS$, $PH$, qu{\ae} conjunctim axem totum $2AC$ ad{\ae}quant. Ad $SP$ demittatur perpendicularis $QT$, \& Ellipseos latere recto principali (seu $\frac{2BC \opit{quad.}}{AC}$) dicto $L$, erit $L \times QR$ ad $L \times Pv$ ut $QR$ ad $Pv$; id est ut $PE$ (seu $AC$) ad $PC$; \& $L \times Pv$ ad $GvP$ ut $L$ ad $Gv$; % -----File: 059.png--- \& $GvP$ ad $Qv \opit{quad.}$ ut $CP \opit{quad.}$ ad $CD \opit{quad.}$; \& (per Lem.\ VIII.) $Qv \opit{quad.}$ ad $Qx \opit{quad.}$ punctis $Q$ \& $P$ coeuntibus, est ratio {\ae}qualitatis, \& $Qx \opit{quad.}$ seu $Qv \opit{quad.}$ est ad $QT \opit{quad.}$ ut $EP \opit{quad.}$ ad $PF \opit{quad.}$, id est ut $CA \opit{quad.}$ ad $PF \opit{quad.}$ sive (per Lem.\ XII.) ut $CD \opit{quad.}$ ad $CB \opit{quad}$. Et conjunctis his omnibus rationibus, $L \times QR$ fit ad $QT \opit{quad.}$ ut $AC$ ad $PC + L$ ad $Gv + CPq.$ ad $CDq. + CDq.$ ad $CBq.$ id est ut $AC \times L$ (seu $2CBq.$) $\times CPq.$ ad $PC \times Gv \times CBq.$ sive ut $2PC$ ad $Gv$. Sed punctis $Q$ \& $P$ coeuntibus, {\ae}quantur $2PC$ \& $Gv$. Ergo \& his proportionalia $L \times QR$ \& $QT \opit{quad.}$ {\ae}quantur. Ducantur h{\ae}c aqualia in $\frac{SPq.}{QR}$ \& fiet $L \times SPq.$ {\ae}quale $\frac{SPq. \times QTq.}{QR}$. Ergo (per Corol.\ Theor.\ V.) vis centripeta reciproce est ut $L \times SPq.$ id est reciproce in ratione duplicata distanti{\ae} $SP$. \QEIit Eadem brevitate qua traduximus Problema quintum ad Parabolam, \& Hyperbolam, liceret idem hic facere: verum ob dignitatem Problematis \& usum ejus in sequentibus, non pigebit casus c{\ae}teros demonstratione confirmare. \condpagelarge{Prop.\ XII\@. Prob.\ VII.} \textit{Moveatur corpus in Hyperbola: requiritur lex vis centripet{\ae} tendentis ad umbilicum figur{\ae}.} \pngright{060.png}{1735}{2582}{-12} %[Illustration] Sunto $CA$, $CB$ semi-axes Hyperbol{\ae}; $PG$, $KD$ diametri conjugat{\ae}; $PF$, $Qt$ perpendicula ad diametros; \& $Qv$ ordinatim applicata ad dia\-met\-rum $GP$. Agatur $SP$ secans tum diametrum $DK$ in $E$, tum ordinatim applicatam $Qv$ in $x$, \& compleatur parallelogrammum $QRPx$. Patet $EP$ {\ae}qualem esse semi-axi transverso $AC$, eo quod, acta ab altero Hyperbol{\ae} umbilico $H$ linea $HI$ ipsi $EC$ parallela, ob {\ae}quales $CS$, $CH$, {\ae}quentur $ES$, $EI$; adeo ut $EP$ semidifferentia sit ipsarum $PS$, $PI$, id est (ob parallelas $HI$, $PR$ \& angulos {\ae}quales $IPR$, $HPZ$) ipsarum $PI$, $PH$, quarum differentia axem totum $2AC$ ad{\ae}quat. Ad $SP$ % -----File: 060.png--- demittatur perpendicularis $QT$. Et Hyperbol{\ae} latere recto principali (seu $\frac{2BCq.}{AC}$) dicto $L$, erit $L \times QR$ ad $L \times Pv$ ut $QR$ ad $Pv$, id est, ut $PE$ (seu $AC$) ad $PC$; Et $L \times Pv$ ad $GvP$ ut $L$ ad $Gv$; \& $GvP$ ad $Qvq.$ ut $CPq.$ ad $CDq.$; \& (per Lem.\ VIII.) $Qvq.$ ad $Qxq.$, punctis $Q$ \& $P$ coeuntibus fit ratio {\ae}qualitatis; \& $Qxq.$ seu $Qvq.$ est ad $QTq.$ ut $EPq.$ ad $PFq.$, id est ut $CAq.$ ad $PFq.$, sive (per Lem.\ XII.) ut $CDq.$ ad $CBq.$: \& conjunctis his omnibus rationibus $L \times QR$ fit ad $QTq.$ ut $AC$ ad $PC + L$ ad $Gv + CPq.$ ad $CDq. + CDq.$ ad $CBq.$: id est ut $AC \times L$ (seu $2BCq.$) $\times PCq.$ ad $PC \times Gv \times CB \opit{quad.}$ sive ut $2PC$ ad $Gv$, sed punctis $Q$ \& $P$ coeuntibus {\ae}quantur $2PC$ \& $Gv$. Ergo \& his proportionalia $L \times QR$ \& $QTq.$ {\ae}quantur. Ducantur h{\ae}c {\ae}qualia in $\frac{SPq.}{QR}$ \& fiet $L \times SPq.$ {\ae}quale $\frac{SPq. \times QTq.}{QR}$. Ergo (per Corol.\ Theor.\ V.) vis centripeta reciproce est ut $L \times SPq.$ id est in ratione duplicata distanti{\ae} $SP$. \QEIit % -----File: 061.png--- Eodem modo demonstratur quod corpus, hac vi centripeta in centrifugam versa, movebitur in Hyperbola conjugata. \condpagelarge{Lemma XIII.} \textit{Latus rectum Parabol{\ae} ad verticem quemvis pertinens, est quadruplum distanti{\ae} verticis illius ab umbilico figur{\ae}.} Patet ex Conicis. \condpagelarge{Lemma XIV.} \textit{Perpendiculum quod ab umbilico Parabol{\ae} ad tangentem ejus demittitur, medium est proportionale inter distantias umbilici a puncto contactus \& a vertice principali figur{\ae}.} \pngright{062.png}{1758}{1023}{-12} %Illustration Sit enim $APQ$ Parabola, $S$ umbilicus ejus, $A$ vertex principalis, $P$ punctum contactus, $PO$ ordinatim applicata ad diametrum principalem, $PM$ tangens diametro principali occurrens in $M$, \& $SN$ linea perpendicularis ab umbilico in tangentem. Jungatur $AN$, \& ob {\ae}quales $MS$ \& $SP$, $MN$ \& $NP$, $MA$ \& $AO$, parallel{\ae} erunt rect{\ae} $AN$ \& $OP$, \& inde triangulum $SAN$ rectangulum erit ad $A$ \& simile triangulis {\ae}qualibus $SMN$, $SPN$. Ergo $PS$ est ad $SN$ ut $SN$ ad $SA$. \QEDit Corol.\fsp{}1.\wsp{}$PSq.$ est ad $SNq.$ ut $PS$ ad $SA$. Corol.\fsp{}2.\wsp{}Et ob datam $SA$, est $SNq.$ ut $PS$. Corol.\fsp{}3.\wsp{}Et concursus tangentis cujusvis $PM$ cum recta $SN$ qu{\ae} ab umbilico in ipsam perpendicularis est, incidit in rectam $AN$, qu{\ae} Parabolam tangit in vertice principali. % -----File: 062.png--- \condpagelarge{Prop.\ XIII\@. Prob.\ VIII.} \textit{Moveatur corpus in perimetro Parabol{\ae}: requiritur Lex vis centripet{\ae} tendentis ad umbilicum hujus figur{\ae}.} \pngright{062.png}{1758}{1023}{-24} %Illustration Maneat constructio Lemmatis, sit{\que} $P$ corpus in perimetro Parabo\-l{\ae}, \& a loco $Q$ in quem corpus proxime movetur, age ipsi $SP$ Parallelam $QR$ \& perpendicularem $QT$, necnon $Qv$ tangentiparallelam \& \label{wasp54}occurrentem tum diametro $YPG$ in $v$, tum distanti{\ae} $SP$ in $x$. Jam ob similia triangula $Pxv$, $MSP$ \& {\ae}qualia unius latera $SM$, $SP$, {\ae}qualia sunt alterius latera $Px$ seu $QR$ \& $Pv$. Sed, ex Conicis, quadratum ordinat{\ae} $Qv$ {\ae}quale est rectangulo sub latere recto \& segmento diametri $Pv$, id est (per Lem.\ XIII.) rectangulo $4PS \times Pv$ seu $4PS \times QR$; \& punctis $P$ \& $Q$ coeuntibus, ratio $Qv$ ad $Qx$ (per Lem.\ 8.)\ fit {\ae}qualitatis. Ergo $Qxq.$ eo in casu, {\ae}quale est rectangulo $4PS \times QR$. Est autem (ob {\ae}quales angulos $QxT$, $MPS$, $PMO$) $Qxq.$ ad $QTq.$ ut $PSq.$ ad $SNq.$ hoc est (per Corol.\ I. Lem.\ XIV.) ut $PS$ ad $AS$, id est ut $4PS \times QR$ ad $4AS \times QR$, \& inde (per Prop.\ 9.\ Lib.\ V. Elem.)\ $QTq.$ \& $4AS \times QR$ {\ae}quantur. Ducantur h{\ae}c {\ae}qualia in $\frac{SPq.}{QR}$, \& fiet $\frac{SPq. \times QTq.}{QR}$ {\ae}quale $SPq. \times 4AS$: \& propterea (per Corol.\ Theor.\ V.) vis centripeta est reciproce ut $SPq. \times 4AS$, id est, ob datam $4AS$, reciproce in duplicata ratione distanti{\ae} $SP$. \QEIit % -----File: 063.png--- \textit{Corol.\fsp{}I\@.}\wsp{}Ex tribus novissimis Proportionibus consequens est, quod si corpus quodvis $P$, secundum lineam quamvis rectam $PR$, quacun{\que} cum velocitate exeat de loco $P$, \& vi centripeta qu{\ae} sit reciproce proportionalis quadrato distanti{\ae} a centro, simul agitetur; movebitur hoc corpus in aliqua sectionum Conicarum umbilicum habente in centro virium; \& contra. \textit{Corol.\fsp{}II\@.}\wsp{}Et si velocitas, quacum corpus exit de loco suo $P$, ea sit, qua lineola $PR$ in minima aliqua temporis particula describi possit, \& vis centripeta potis sit eodem tempore corpus idem movere per spatium $QR$: movebitur hoc corpus in Conica aliqua sectione cujus latus rectum est quantitas illa $\frac{QTq.}{QR}$ qu{\ae} ultimo fit ubi lineol{\ae} $PR$, $QR$ in infinitum diminuuntur. Circulum in his Corollariis refero ad Ellipsin, \& casum excipio ubi corpus recta descendit ad centrum. \condpagelarge{Prop.\ XIV\@. Theor.\ VI.} \textit{Si corpora plura revolvantur circa centrum commune, \& vis centripeta decrescat in duplicata ratione distantiarum a centro; dico quod Orbium Latera recta sunt in duplicata ratione arearum quas corpora, radiis ad centrum ductis, eodem tempore describunt.} Nam per Corol.\ II. Prob.\ VIII. Latus rectum $L$ {\ae}quale est quantitati $\frac{QTq.}{QR}$ qu{\ae} ultimo fit ubi coeunt puncta $P$ \& $Q$. Sed linea minima $QR$, dato tempore, est ut vis centripeta generans, hoc est (per Hypothesin) reciproce ut $SPq$. Ergo $\frac{QTq.}{QR}$ est ut $QTq. \times SPq.$ hoc est, latus rectum $L$ in duplicata ratione are{\ae} $QT \times SP$. \QEDit Corol. Hinc Ellipseos area tota, ei{\que} proportionale rectangulum sub axibus, est in ratione composita ex dimidiata ratione lateris recti \& integra ratione temporis periodici. % -----File: 064.png--- \condpagelarge{Prop.\ XV\@. Theor.\ VII.} \textit{Iisdem positis, dico quod tempora periodica in Ellipsibus sunt in ratione sesquiplicata transversorum axium.} Nam{\que} axis minor est medius proportionalis inter axem majorem (quem transversum appello) \& latus rectum, at{\que} adeo rectangulum sub axibus est in ratione composita ex dimidiata ratione lateris recti \& sesquiplicata ratione axis transversi. Sed hoc rectangulum, per Corollarium Theorematis Sexti, est in ratione composita ex dimidiata ratione lateris recti \& integra ratione periodici temporis. Dematur utrobi{\que} dimidiata ratio lateris recti \& manebit sesquiplicata ratio axis transversi {\ae}qualis rationi periodici temporis. \QEDit Corol. Sunt igitur tempora periodica in Ellipsibus eadem ac in circulis, quorum diametri {\ae}quantur majoribus axibus Ellipseon. \condpagelarge{Prop.\ XVI\@. Theor.\ VIII.} \textit{Iisdem positis, \& actis ad corpora lineis rectis, qu{\ae} ibidem tangant orbitas, demissis{\que} ab umbilico communi ad has tangentes perpendicularibus: dico quod velocitates corporum sunt in ratione composita ex ratione perpendiculorum inverse \& dimidiata ratione laterum rectorum directe.} Vide Fig.\ Prop.\ X. \&.\ XI. Ab umbilico $S$ ad tangentem $PR$ demitte perpendiculum $SY$ \& velocitas corporis $P$ erit reciproce in dimidiata ratione quantitatis $\frac{SYq.}{L}$. Nam velocitas illa est ut arcus quam minimus $PQ$ in data temporis particula descriptus, hoc est (per Lem.\ VII.) ut tangens $PR$, id est (ob proportionales $PR$ ad $QT$ \& $SP$ ad $SY$) ut $\frac{SP \times QT}{SY}$, sive ut $SY$ reciproce \& $SP \times QT$ directe; est{\que} % -----File: 065.png--- $SP \times QT$ ut area dato tempore descripta, id est, per Theor.\ VI. in dimidiata ratione lateris recti \QEDit \textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Latera recta sunt in ratione composita ex duplicata ratione perpendiculorum \& duplicata ratione velocitatum. \textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Velocitates corporum in maximis \& minimis ab umbilico communi distantiis, sunt in ratione composita ex ratione distantiarum inverse \& dimidiata ratione laterum rectorum directe. Nam perpendicula jam sunt ips{\ae} distanti{\ae}. \textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Ideo{\que} velocitas in Conica sectione, in minima ab umbilico distantia, est ad velocitatem in circulo in eadem a centro distantia, in dimidiata ratione lateris recti ad distantiam illam duplicatam. \textit{Corol.\fsp{}4.}\wsp{}Corporum in Ellipsibus gyrantium velocitates in mediocribus distantiis ab umbilico communi sunt e{\ae}dem qu{\ae} corporum gyrantium in circulis ad easdem distantias, hoc est (per Corol.\ VI. Theor.\ IV.) reciproce in dimidiata ratione distantiarum. Nam perpendicula jam sunt semi-axes minores, \& hi sunt ut medi{\ae} proportionales inter distantias \& latera recta. Componatur h{\ae}c ratio inverse cum dimidiata ratione laterum rectorum directe, \& fiet ratio dimidiata distantiarum inverse. \textit{Corol.\fsp{}5.}\wsp{}In eadem vel {\ae}qualibus figuris, vel etiam in figuris in{\ae}qualibus, quarum latera recta sunt {\ae}qualia, velocitas corporis est reciproce ut perpendiculum demissum ab umbilico ad tangentem. \textit{Corol.\fsp{}6.}\wsp{}In Parabola, velocitas est reciproce in dimidiata ratione distanti{\ae} corporis ab umbilico figur{\ae}, in Ellipsi minor est, in Hyperbola major quam in hac ratione. Nam (per Corol.\ 2 Lem.\ XIV.) perpendiculum demissum ab umbilico ad tangentem Parabol{\ae} est in dimidiata ratione distanti{\ae}. \textit{Corol.\fsp{}7.}\wsp{}In Parabola, velocitas ubi{\que} est ad velocitatem corporis revolventis in circulo ad eandem distantiam, in dimidiata ratione numeri binarii ad unitatem; in Ellipsi minor est, in Hyperbola major % -----File: 066.png--- quam in hac ratione. Nam per hujus Corollarium secundum, velocitas in vertice Parabol{\ae} est in hac ratione, \& per Corollaria sexta hujus \& Theorematis quarti, servatur eadem proportio in omnibus distantiis. Hinc etiam in Parabola velocitas ubi{\que} {\ae}qualis est velocitati corporis revolventis in circulo ad dimidiam distantiam, in Ellipsi minor est, in Hyperbola major. \textit{Corol.\fsp{}8.}\wsp{}Velocitas gyrantis in Sectione quavis Conica est ad velocitatem gyrantis in circulo in distantia dimidii lateris recti Sectionis, ut distantia illa ad perpendiculum ab umbilico in tangentem Sectionis demissum. Patet per Corollarium quintum. \textit{Corol.\fsp{}9.}\wsp{}Unde cum (per Corol.\ 6.\ Theor.\ IV.) velocitas gyrantis in hoc circulo sit ad velocitatem gyrantis in circulo quovis alio, reciproce in dimidiata ratione distantiarum; fiet ex {\ae}quo velocitas gyrantis in Conica sectione ad velocitatem gyrantis in circulo in eadem distantia, ut media proportionalis inter distantiam illam communem \& semissem lateris recti sectionis, ad perpendiculum ab umbilico communi in tangentem sectionis demissum. \condpagelarge{Prop.\ XVII\@. Prob.\ IX.} \textit{Posito quod vis centripeta sit reciproce proportionalis quadrato distanti{\ae} a centro, \& quod vis illius quantitas absoluta sit cognita; requiritur linea quam corpus describit, de loco dato cum data velocitate secundum datam rectam egrediens.} \pngright{067.png}{1490}{789}{-24} %Illustration Vis centripeta tendens ad punctum $S$ ea sit qu{\ae} corpus $p$ in orbita quavis data $pq$ gyrare faciat, \& cognoscatur hujus velocitas in loco $p$. De loco $P$ secundum lineam $PR$ exeat corpus $P$ cum data velocitate, \& mox inde, cogente vi centripeta, deflectat illud in Conisectionem $PQ$. Hanc igitur recta $PR$ tanget in $P$. Tangat itidem recta aliqua $pr$ orbitam $pq$ in $p$, \& si ab $S$ ad eas tangentes demitti intelligantur perpendicula, erit (per Corol.\ 1.\ Theor.\ VIII.) latus rectum Conisectionis ad latus rectum % -----File: 067.png--- orbit{\ae} dat{\ae}, in ratione composita ex duplicata ratione perpendiculorum \& duplicata ratione velocitatum, at{\que} adeo datur. Sit istud $L$. Datur pr{\ae}terea Conisectionis umbilicus $S$. Anguli $RPS$ complementum ad duos rectos fiat angulus $RPH$, \& dabitur positione linea $PH$, in qua umbilicus alter $H$ locatur. Demisso ad $PH$ perpendiculo $SK$, \& erecto semiaxe conjugato $BC$, est $SPq. - 2KPH + PHq.$ (per Prop.\ 13.\ Lib.\ II. Elem.)\ = $SHq.$ = $4CHq.$ = $4BHq. - 4BCq.$ = $\overline{SP + PH} \opit{quad.} - L \times \overline{SP + PH}$ = $SPq. + 2SPH + PHq. - L \times \overline{SP + PH}$. Addantur utrobi{\que} $2KPH + L \times \overline{SP + PH} - SPq. - PHq.$ \& fiet $L \times \overline{SP + PH}$ = $2SPH + 2KPH$, seu $SP + PH$ ad $PH$ ut $2SP + 2KP$ ad $L$. Unde datur $PH$ tam longitudine quam positione. Nimirum si ea sit corporis in $P$ velocitas, ut latus rectum $L$ minus fuerit quam $2SP + 2KP$, jacebit $PH$ ad eandem partem tangentis $PR$ cum linea $PS$, adeo{\que} figura erit Ellipsis, \& ex datis umbilicis $S$, $H$, \& axe principali $SP + PH$, dabitur: Sin tanta sit corporis velocitas ut latus rectum $L$ {\ae}quale fuerit $2SP + 2KP$, longitudo $PH$ infinita erit, \& propterea figura erit Parabola axem habens $SH$ parallelum line{\ae} $PK$, \& inde dabitur. Quod si corpus majori adhuc cum velocitate de loco suo $P$ exeat, capienda erit longitudo $PH$ ad alteram partem tangentis, adeo{\que} tangente inter umbilicos pergente, figura erit Hyperbola axem habens principalem {\ae}qualem differenti{\ae} linearum $SP$ \& $PH$, \& inde dabitur. \QEIit \textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Hinc in omni Conisectione ex dato vertice principali $D$, latere recto $L$, \& umbilico $S$, datur umbilicus alter $H$ capiendo $DH$ ad $DS$ ut est latus rectum ad differentiam inter latus % -----File: 068.png--- rectum \& $4DS$. Nam proportio $SP + PH$ ad $PH$ ut $2SP$ ad $L$, in casu hujus Corollarii, fit $DS + DH$ ad $DH$ ut $4DS$ ad $L$, \& divisim $DS$ ad $DH$ ut $4DS - L$ ad $L$. \textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Unde si datur corporis velocitas in vertice principali $D$, invenietur Orbita expedite, capiendo scilicet latus rectum ejus, ad duplam distantiam $DS$, in duplicata ratione velocitatis hujus dat{\ae} ad velocitatem corporis in circulo ad distantiam $DS$ gyrantis: (Per Corol.\ 3.\ Theor.\ VIII.) dein $DH$ ad $DS$ ut latus rectum ad differentiam inter latus rectum \& $4DS$. \textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Hinc etiam si corpus moveatur in Sectione quacun{\que} Conica, \& ex orbe suo impulsu quocun{\que} exturbetur; cognosci potest orbis in quo postea cursum suum peraget. Nam componendo proprium corporis motum cum motu illo quem impulsus solus generaret, habebitur motus quocum corpus de dato impulsus loco, secundum rectam positione datam, exibit. \textit{Corol.\fsp{}4.}\wsp{}Et si corpus illud vi aliqua extrinsecus impressa continuo perturbetur, innotescet cursus quam proxime, colligendo mutationes quas vis illa in punctis quibusdam inducit, \& ex seriei analogia, mutationes continuas in locis intermediis {\ae}stimando. % -----File: 069.png--- \sectpage{IV.} \begin{center}{\textit{De Inventione Orbium Ellipticorum, Parabolicorum \& Hyperbolicorum ex umbilico dato.}}\end{center} \begin{center}{\large \textit{Lemma XV.}}\end{center} \pngright{069.png}{897}{794}{-24} %Illustration \textit{Si ab Ellipseos vel Hyperbol{\ae} cujusvis umbilicis du\-obus $S$, $H$, ad punctum quodvis tertium $V$ inflectantur rect{\ae} du{\ae} $SV$, $HV$, quarum una $HV$ {\ae}qualis sit axi transverso figur{\ae}, altera $SV$ a perpendiculo $TR$ in se demisso bisecetur in $T$; perpendiculum illud $TR$ sectionem Conicam alicubi tangit: \& contra, si tangit, erit $VH$ {\ae}qualis axi figur{\ae}.} Secet enim $VH$ sectionem conicam in $R$, \& jungatur $SR$. Ob {\ae}quales rectas $TS$, $TV$, {\ae}quales erunt anguli $TRS$, $TRV$. Bisecat ergo $RT$ angulum $VRS$ \& propterea figuram tangit: \& contra. \QEDit \condpagelarge{Prop.\ XVIII\@. Prob.\ X.} \textit{Datis umbilico \& axibus transversis describere Trajectorias Ellipticas \& Hyperbolicas, qu{\ae} transibunt per puncta data, \& rectas positione datas contingent.} \pngright{070a.png}{1192}{1225}{-24} %Illustration Sit $S$ communis umbilicus figuraram; $AB$ longitudo axis transversi Trajectori{\ae} cujusvis; $P$ punctum per quod Trajectoria debet transire; \& $TR$ recta quam debet tangere. Centro $P$ intervallo $AB - SP$, si orbita sit Ellipsis, vel $AB + SP$, si ea sit Hyperbola, describatur circulus $HG$. Ad tangentem $TR$ demittatur perpendiculum % -----File: 070.png--- $ST$, \& producatur ea ad $V$ ut sit $TV$ {\ae}qualis $ST$; centro{\que} $V$ \& intervallo $AB$ describatur circulus $FH$. Hac methodo sive dentur duo puncta $P$, $p$, sive du{\ae} tangentes $TR$, $tr$, sive punctum $P$ \& tangens $TR$, describendi sunt circuli duo. Sit $H$ eorum intersectio communis, \& umbilicis $S$, $H$, axe illo dato describatur Trajectoria. Dico factum. Nam Trajectoria descripta (eo quod $PH + SP$ in Ellipsi, \& $PH - SP$ in Hyperbola {\ae}quatur axi) transibit per punctum $P$, \& (per Lemma superius) tanget rectam $TR$. Et eodem argumento vel transibit eadem per puncta duo $P$, $p$, vel tanget rectas duas $TR$, $tr$. \QEFit \condpagelarge{Prop.\ XIX\@. Prob.\ XI.} \textit{Circa datum umbilicum Trajectoriam Parabolicam describere, qu{\ae} transibit per puncta data, \& rectas positione datas continget.} \pngright{070b.png}{620}{948}{-24} %Illustration Sit $S$ umbilicus, $P$ punctum \& $TR$ tangens trajectori{\ae} describend{\ae}. Centro $P$, intervallo $PS$ describe circulum $FG$. Ab umbilico ad tangentem demitte perpendicularem $ST$, \& produc eam ad $V$, ut sit $TV$ {\ae}qualis $ST$. Eodem modo describendus est alter circulus $fg$, si datur alterum punctum $p$; vel inveniendum alterum punctum $v$, si datur altera tangens $tr$; dein ducenda recta $IF$ qu{\ae} tangat duos circulos $FG$, $fg$ si dantur duo puncta $P$, % -----File: 071.png--- $p$; vel transeat per duo puncta $V$, $v$, si dantur du{\ae} tangentes $TR$, $tr$, vel tangat circulum $FG$ \& transeat per punctum $V$, si datur punctum $P$ \& tangens $TR$. Ad $FI$ demitte perpendicularem $SI$, eam{\que} biseca in $K$, \& axe $SK$, vertice principali $K$ describatur Parabola. Dico factum. Nam Parabola ob {\ae}quales $SK$ \& $IK$, $SP$ \& $FP$ transibit per punctum $P$; \& (per Lemmatis XIV. Corol.\ 3.)\ ob {\ae}quales $ST$ \& $TV$ \& angulum rectum $STR$, tanget rectam $TR$. \QEFit \condpagelarge{Prop.\ XX\@. Prob.\ XII.} \textit{Circa datum umbilicum Trajectoriam quamvis specie datam describere, qu{\ae} per data puncta transibit \& rectas tanget positione datas.} \pngright{071.png}{1058}{537}{-24} %Illustration \textit{Cas.\fsp{}1.}\wsp{}Dato umbilico $S$, describenda sit Trajectoria $ABC$ per puncta duo $B$, $C$. Quoniam Trajectoria datur specie, dabitur ratio axis transversi ad distantiam umbilicorum. In ea ratione cape $KB$ ad $BS$, \& $LC$ ad $CS$. Centris $B$, $C$, intervallis $BK$, $CL$, describe circulos duos, \& ad rectam $KL$, qu{\ae} tangat eosdem in $K$ \& $L$, demitte perpendiculum $SG$, idem{\que} seca in $A$ \& $a$, ita ut sit $SA$ ad $AG$ \& $Sa$ ad $aG$, ut est $SB$ ad $BK$, \& axe $Aa$, verticibus $A$, $a$, describatur Trajectoria. Dico factum. Sit enim $H$ umbilicus alter figur{\ae} descript{\ae}, \& cum sit $SA$ ad $AG$ ut $Sa$ ad $aG$, erit divisim $Sa - SA$ seu $SH$ ad $aG - AG$ seu $Aa$ in eadem ratione, adeo{\que} in ratione quam habet axis transversus figur{\ae} describend{\ae} ad distantiam umbilicorum ejus; \& propterea figura descripta est ejusdem speciei cum describenda. Cum{\que} sint $KB$ ad $BS$ \& $LC$ ad $CS$ in eadem ratione, transibit h{\ae}c Figura per puncta $B$, $C$, ut ex Conicis manifestum est. % -----File: 072.png--- \pngright{072.png}{1072}{904}{-24} %Illustration \textit{Cas.\fsp{}2.}\wsp{}Dato umbilico $S$, describenda sit Trajectoria qu{\ae} rectas duas $TR$, $tr$ alicubi contingat. Ab umbilico in tangentes demitte perpendicula $ST$, $St$ \& produc eadem ad $V$, $v$, ut sint $TV$, $tv$ {\ae}quales $TS$, $ts$. Biseca $Vv$ in $O$, \& erige perpendiculum infinite $OH$, rectam{\que} $VS$ infinite productam seca in $K$ \& $k$ ita, ut sit $VK$ ad $KS$ \& $Vk$ ad $kS$ ut est Trajectori{\ae} describend{\ae} axis transversus ad umbilicorum distantiam. Super diametro $Kk$ describatur circulus secans rectam $OH$ in $H$; \& umbilicis $S$, $H$, axe transverso ipsam $VH$ {\ae}quante, describatur Trajectoria. Dico factum. Nam biseca $Kk$ in $X$, \& junge $HX$, $HS$, $HV$, $Hv$. Quoniam est $VK$ ad $KS$ ut $Vk$ ad $kS$; \& composite ut $VK + Vk$ ad $KS + kS$; divisim{\que} ut $Vk - VK$ ad $kS - KS$ id est ut $2VX$ ad $2KX$ \& $2KX$ ad $2SX$, adeo{\que} ut $VX$ ad $HX$ \& $HX$ ad $SX$, similia erunt triangula $VXH$, $HXS$, \& propterea $VH$ erit ad $SH$ ut $VX$ ad $XH$, adeo{\que} ut $VK$ ad $KS$. Habet igitur Trajectoria; descript{\ae} axis transversus $VH$ eam rationem ad ipsius umbilicorum distantiam $SH$, quam habet Trajectori{\ae} describend{\ae} axis transversus ad ipsius umbilicorum distantiam, \& propterea ejusdem est speciei. Insuper cum $VH$, $vH$ {\ae}quentur axi transverso, \& $VS$, $vS$ a rectis $TR$, $tr$ perpendiculariter bisecentur, liquet, ex Lemmate XV, rectas illas Trajectoriam descriptam tangere. \QEFit \pngright{073.png}{1108}{724}{-24} %Illustration \textit{Cas.\fsp{}3.}\wsp{}Dato umbilico $S$ describenda sit Trajectoria qu{\ae} rectam $TR$ tanget in puncto dato $R$. In rectam $TR$ demitte perpendicularem $ST$, \& produc eandem ad $V$, ut sit $TV$ {\ae}qualis $ST$. Junge $VR$, \& rectam $VS$ infinite productam seca in $K$ \& $k$, ita ut sit $VK$ ad $SK$ \& $Vk$ ad $Sk$ ut Ellipseos describend{\ae} axis transversus ad distantiam umbilicorum; circulo{\que} super diametro $Kk$ % -----File: 073.png--- descripto, secetur producta recta $VR$ in $H$, \& umbilicis $S$, $H$, axe transverso rectam $HV$ {\ae}quante, describatur Trajectoria. Dico factum. Nam{\que} $VH$ esse ad $SH$ ut $VK$ ad $SK$, at{\que} adeo ut axis transversus Trajectori{\ae} describend{\ae} ad distantiam umbilicorum ejus, patet ex demonstratis in Cas.\ secundo, \& propterea Trajectoriam descriptam ejusdem esse speciei cum describenda: rectam vero $TR$ qua angulus $VRS$ bisecatur, tangere Trajectoriam in puncto $R$, patet ex Conicis. \QEFit \pngright{074.png}{2214}{1362}{-24} %Illustration \textit{Cas.\fsp{}4.} Circa umbil\-icum $S$ describenda jam sit Trajectoria $APB$, qu{\ae} tangat rectam $TR$, trans\-eat{\que} per punctum quodvis $P$ extra tangentem datum, qu{\ae}{\que} similis sit figur{\ae} $apb$, axe transverso $ab$ \& umbilicis $s$, $h$ descript{\ae}. In tangentem $TR$ demitte perpendicul\-um $ST$, \& produc idem ad $V$, ut sit $TV$ {\ae}qualis $ST$. Angulis autem $VSP$, $SVP$ fac angulos $hsq$, $shq$ {\ae}quales; centro{\que} $q$ intervallo quod sit ad $ab$ ut $SP$ ad $VS$ describe % -----File: 074.png--- circulum secantem figuram $apb$ in $p$. Junge $sp$ \& age $SH$ qu{\ae} sit ad $sh$ ut est $SP$ ad $sp$ qu{\ae}{\que} angulum $PSH$ angulo $psh$ \& angulum $VSH$ angulo $psq$ {\ae}quales constituat. Deni{\que} umbilicis $S$, $H$, axe distantiam $VH$ {\ae}quante, describatur sectio conica. Dico factum. Nam si agatur $sv$ qu{\ae} sit ad $sp$ ut est $sh$ ad $sq$, qu{\ae}{\que} constituat angulum $vsp$ angulo $hsq$ \& angulum $vsh$ angulo $psq$ {\ae}quales, triangula $svh$, $spq$ erunt similia, \& propterea $vh$ erit ad $pq$ ut est $sh$ ad $sq$, id est (ob similia triangula $VSP$, $hsq$) ut est $VS$ ad $SP$ seu $ab$ ad $pq$. {\AE}quantur ergo $vh$ \& $ab$. Porro ob similia triangula $VSH$, $vsh$ est $VH$ ad $SH$ ut $vh$ ad $sh$, id est, axis Conic{\ae} actionis jam descripta: ad \label{wasp66}illius umbilicorum intervallum, ut axis $ab$ ad umbilicorum intervallum $sh$, \& propterea figura jam descripta similis est figur{\ae} $apb$. Transit autem h{\ae}c figura per punctum $P$, eo quod triangulum $PSH$ simile sit triangulo $psh$; \& quia $VH$ {\ae}quatur ipsius axi \& $VS$ bisecatur perpendiculariter a recta $TR$ tangit eadem rectam $TR$. \QEFit % -----File: 075.png--- \condpagelarge{Lemma XVI.} \textit{A datis tribus punctis ad quartum non datum inflectere tres rectas quarum differenti{\ae} vel dantur vel null{\ae} sunt.} \pngright{075.png}{1052}{1056}{-24} %Illustration \textit{Cas.\fsp{}1.}\wsp{}Sunto puncta illa data $A$, $B$, $C$ \& punctum quartum $Z$, quod invenire oportet: Ob datam differentiam linearum $AZ$, $BZ$, locabitur punctum $Z$ in Hyperbola cujus umbilici sunt $A$ \& $B$, \& axis transversus differentia illa data. Sit axis ille $MN$. Cape $PM$ ad $MA$ ut est $MN$ ad $AB$, \& erecto $PR$ perpendiculari ad $AB$, demisso{\que} $ZR$ perpendiculari ad $PR$, erit ex natura hujus Hyperbol{\ae} $ZR$ ad $AZ$ ut est $MN$ ad $AB$. Simili discursu punctum $Z$ locabitur in alia Hyperbola, cujus umbilici sunt $A$, $C$ \& axis transversus differentia inter $AZ$ \& $CZ$, duci{\que} potest $QS$ ipsi $AC$ perpendicularis, ad quam si ab Hyperbol{\ae} hujus puncto quovis $Z$ demittatur normalis $ZS$, h{\ae}c fuerit ad $AZ$ ut est differentia inter $AZ$ \& $CZ$ ad $AC$. Dantur ergo rationes ipsarum $ZR$ \& $ZS$ ad $AZ$, \& idcirco datur earundem $ZR$ \& $ZS$ ratio ad invicem; adeo{\que} rectis $RP$, $SQ$ concurrentibus in $T$, locabitur punctum $Z$ in recta $TZ$ positione data. Eadem Methodo per Hyperbolam tertiam, cujus umbilici sunt $B$ \& $C$ \& axis transversus differentia rectarum $BZ$, $CZ$, inveniri potest alia recta in qua punctum $Z$ locatur. Habitis autem duobus locis rectilineis, habetur punctum qu{\ae}situm $Z$ in earum intersectione, \QEIit \textit{Cas.\fsp{}2.}\wsp{}Si du{\ae} ex tribus lineis, puta $AZ$ \& $BZ$ {\ae}quantur, punctum $Z$ locabitur in perpendiculo bisecante distantiam $AB$, \& locus alius rectilineus invenietur ut supra. \QEIit % -----File: 076.png--- \textit{Cas.\fsp{}3.}\wsp{}Si omnes tres {\ae}quantur, locabitur punctum $Z$ in centro circuli per puncta $A$, $B$, $C$ transeuntis. \QEIit Solvitur etiam hoc Lemma problematicum per Librum. Tactionum \textit{Apollonii} a \textit{Vieta} restitutum. \condpagelarge{Prop.\ XXI\@. Prob.\ XIII.} \textit{Trajectoriam circa datum umbilicum describere, qu{\ae} transibit per puncta data \& rectas positione datas con\-tin\-get.} \pngright{076.png}{894}{653}{-12} %Illustration Detur umbilicus $S$, punctum $P$, \& tangens $TR$, \& inveniendus sit umbilicus alter $H$. Ad tangentem demitte perpendiculum $ST$, \& produc idem ad $Y$, ut sit $TY$ {\ae}qualis $ST$, \& erit $YH$ {\ae}qualis axi transverso. Junge $SP$, $HP$ \& erit $SP$ differentia inter $HP$ \& axem transversum. Hoc modo si dentur plures tangentes $TR$, vel plura puncta $P$, devenietur semper ad lineas totidem $YH$, vel $PH$, a dictis punctis $Y$ vel $P$ ad umbilicum $H$ ductas, qu{\ae} vel {\ae}quantur axibus, vel datis longitudinibus $SP$ differunt ab iisdem, at{\que} adeo qu{\ae} vel {\ae}quantur sibi invicem, vel datas habent differentias; \& inde, per Lemma superius, datur umbilicus ille alter $H$. Habitis autem umbilicis una cum axis longitudine (qu{\ae} vel est $YH$, vel si Trajectoria Ellipsis est, $PH + SP$; sin Hyperbola $PH - SP$) habetur Trajectoria. \QEIit \condpagelarge{\textit{Scholium.}} \pngright{077.png}{1465}{966}{-24} %Illustration Casus ubi dantur tria puncta sic solvitur expeditius. Dentur puncta $B$, $C$, $D$. Junctas $BC$, $CD$ produc ad $E$, $F$, ut sit $EB$ ad $EC$ ut $SB$ ad $SC$, \& $FC$ ad $FD$ ut $SC$ ad $SD$. Ad $EF$ ductam \& productam demitte normales $SG$, $BH$, in{\que} $GS$ infinite producta cape $GA$ ad $AS$ \& $Ga$ ad $aS$ ut est $HB$ ad $BS$; \& erit $A$ % -----File: 077.png--- vertex, \& $Aa$ axis transversus Trajectori{\ae}: qu{\ae}, perinde ut $GA$ minor, {\ae}qualis vel major fuerit quam $AS$, erit Ellipsis, Parabola vel Hyperbola; puncto $a$ in primo casu cadente ad eandem partem line{\ae} $GK$ cum puncto $A$; in secundo casu \label{wasp69}abeunte in infinitum; in tertio cadente ad contrariam partem line{\ae} $GK$. Nam si demittantur ad $GF$ perpendicula $CI$, $DK$, erit $IC$ ad $HB$ ut $EC$ ad $EB$, hoc est ut $SC$ ad $SB$; \& vicissim $IC$ ad $SC$ ut $HB$ ad $SB$, seu $GA$ ad $SA$. Et simili argumento probabitur esse $KD$ ad $SD$ in eadem ratione. Jacent ergo puncta $B$, $C$, $D$ in Conisectione circa umbilicum $S$ ita descripta, ut rect{\ae} omnes ab umbilico $S$ ad singula Sectionis puncta duct{\ae}, sint ad perpendicula a punctis iisdem ad rectam $GK$ demissa in data illa ratione. Methodo haud multum dissimili hujus problematis solutionem tradit Clarissimus Geometra \textit{De la Hire}, Conicorum suorum Lib.\ VIII. Prop.\ XXV. % -----File: 078.png--- \sectpage{V.} \begin{center}{\textit{Inventio orbium ubi umbilicus neuter datur.}}\end{center} \begin{center}{\large \textit{Lemma XVII.}}\end{center} \textit{Si a dat{\ae} conic{\ae} sectionis puncto quovis $P$, ad Trapezii alicujus $ABCD$, in Conica illa sectione inscripti, latera quatuor infinite producta $AB$, $CD$, $AC$, $DB$, totidem rect{\ae} $PQ$, $PR$, $PS$, $PT$ in datis angulis ducantur, singul{\ae} ad singula: rectangulum ductarum ad opposita duo latera $PQ \times PR$, erit ad rectangulum ductarum ad alia duo latera opposita $PS \times PT$ in data ratione.} \pngright{078.png}{1036}{1058}{-24} %Illustration \textit{Cas.\fsp{}1.}\wsp{}Ponamus imprimis lineas ad opposita latera ductas parallelas esse alterutri reliquorum laterum, puta $PQ$ \& $PR$ lateri $AC$, \& $PS$ ac $PT$ lateri $AB$. Sint{\que} insuper latera duo ex oppositis, puta $AC$ \& $BD$, parallela. Et recta qu{\ae} bisecat parallela illa latera erit una ex diametris Conic{\ae} sectionis, \& bisecabit etiam $RQ$. Sit $O$ punctum in quo $RQ$ bisecatur, \& erit $PO$ ordinatim applicata ad diametrum illam. Produc $PO$ ad $K$ ut sit $OK$ {\ae}qualis $PO$, \& erit $OK$ ordinatim applicata ad contrarias partes diametri. Cum igitur puncta $A$, $B$, $P$ \& $K$ sint ad Conicam sectionem, \& $PR$ secet $AB$ in dato angulo, erit (per Prop.\ 17 \& 18 Lib.\ III \textit{Apollonii}) rectangulum $PQK$ ad rectangulum $AQB$ in data ratione. Sed $QK$ \& $PR$ {\ae}quales sunt, utpote {\ae}qualium $OK$, $OP$, \& $OQ$, $OR$ differenti{\ae}, \& inde etiam % -----File: 079.png--- rectangula $PQK$ \& $PQ \times PR$ {\ae}qualia sunt; at{\que} adeo rectangulum $PQ \times PR$ est ad rectangulum $AQB$, hoc est ad rectangulum $PS \times PT$ in data ratione. \QEDit \pngright{079a.png}{1055}{1030}{-24} %Illustration \textit{Cas.\fsp{}2.}\wsp{}Ponamus jam Trapezii latera opposita $AC$ \& $BD$ non esse parallela. Age $Bd$ parallelam $AC$ \& occurrentem tum rect{\ae} $ST$ in $t$, tum Conic{\ae} sectioni in $d$. Junge $Cd$ secantem $PQ$ in $r$, \& ipsi $PQ$ parallelam age $DM$ secantem $Cd$ in $M$ \& $AB$ in $N$. Jam ob similia triangula $BTt$, $DBN$, est $Bt$ seu $PQ$ ad $Tt$ ut $DN$ ad $NB$. Sic \& $Rr$ est ad $AQ$ seu $PS$ ut $DM$ ad $AN$. Ergo ducendo antecedentes in antecedentes \& consequentes in consequentes, ut rectangulum $PQ$ in $Rr$ est ad rectangulum $Tt$ in $PS$, ita rectangulum $NDM$ est ad rectangulum $ANB$, \& (per Cas.\ 1) ita rectangulum $QPr$ est ad rectangulum $SPt$, ac divisim ita rectangulum $QPR$ est ad rectangulum $PS \times PT$. \QEDit \newpage \pngright{079b.png}{984}{931}{-12} %Illustration \textit{Cas.\fsp{}3.}\wsp{}Ponamus deni{\que} lineas quatuor $PQ$, $PR$, $PS$, $PT$ non esse parallelas lateribus $AC$, $AB$, sed ad ea utcun{\que} inclinatas. Earum vice age $Pq$, $Pr$ parallelas ipsi $AC$; \& $Ps$, $Pt$ parallelas ipsi $AB$; \& propter datos angulos triangulorum $PQq$, $PRr$, $PSs$, $PTt$, dabuntur rationes $PQ$ ad $Pq$, $PR$ ad $Pr$, $PS$ ad $Ps$ \& $PT$ ad $Pt$, at{\que} adeo rationes composit{\ae} $PQ$ in $PR$ ad $Pq$ in $Pr$, \& $PS$ in $PT$ ad $Ps$ in $Pt$. Sed per superius demonstrata, ratio $Pq$ in $Pr$ ad $Ps$ in $Pt$ data est: Ergo \& ratio $PQ$ in $PR$ ad $PS$ in $PT$. \QEDit % -----File: 080.png--- \condpagelarge{\textit{Lemma XVIII.}} \textit{Iisdem positis, si rectangulum ductarum ad opposita duo latera Trapezii $PQ \times PR$ sit ad rectangulum ductarum ad reliqua duo latera $PS \times PT$ in data ratione; punctum $P$, a quo line{\ae} ducuntur, tanget Conicam sectionem circa Trapezium descriptam.} \pngright{080.png}{1146}{1144}{-24} %Illustration Per puncta $A$, $B$, $C$, $D$ \& aliquod infinitorum punctorum $P$, puta $p$, concipe Conicam sectionem describi: dico punctum $P$ hanc semper tangere. Si negas, junge $AP$ secantem hanc Conicam sectionem alibi quam in $P$ si fieri potest, puta in $b$. Ergo si ab his punctis $p$ \& $b$ ducantur in datis angulis ad latera Trapezii rect{\ae} $pq$, $pr$, $ps$, $pt$ \& $bk$, $b\textrm{r}$, $b\longs$, $bd$; erit ut $bk \times b\textrm{r}$ ad $bd \times b\longs$ ita (per Lemma XVII) $pq \times pr$ ad $ps \times pt$ \& ita (per hypoth.)\ $PQ \times PR$ ad $PS \times PT$. Est \& propter similitudinem Trapeziorum $bkA\longs$, $PQAS$, ut $bk$ ad $b\longs$ ita $PQ$ ad $PS$. Quare applicando terminos prioris propositionis ad terminos correspondentes hujus, erit $b\textrm{r}$ ad $bd$ ut $PR$ ad $PT$. Ergo Trapezia {\ae}quiangula $D\textrm{r}bd$, $DRPT$ similia sunt, \& eorum diagonales $Db$, $DP$ propterea coincidunt. Incidit ita{\que} $b$ in intersectionem rectarum $AP$, $DP$ adeo{\que} coincidit cum puncto $P$. Quare punctum $P$, ubicun{\que} sumatur, incidit in assignatam Conicam sectionem. \QEDit \textit{Corol.}\wsp{}Hinc si rect{\ae} tres $PQ$, $PR$, $PS$ a puncto communi $P$ ad alias totidem positione datas rectas $AB$, $CD$, $AC$, singul{\ae} ad singulas, in datis angulis ducantur, sit{\que} rectangulum sub duabus ductis $PQ \times PR$ ad quadratum tertii, $PS \opit{quad.}$ in data ratione: punctum % -----File: 081.png--- $P$, a quibus rect{\ae} ducuntur, locabitur in sectione Conica qu{\ae} tangit lineas $AB$, $CD$ in $A$ \& $C$ \& contra. Nam coeat linea $BD$ cum linea $AC$ manente positione trium $AB$, $CD$, $AC$; dein coeat etiam linea $PT$ cum linea $PS$: \& rectangulum $PS \times PT$ evadet $PS \opit{quad.}$ rect{\ae}{\que} $AB$, $CD$ qu{\ae} curvam in punctis $A$ \& $B$, $C$ \& $D$ secabant, jam Curvam in punctis illis coeuntibus non amplius secare possunt sed tantum tangent. \condpagelarge{\textit{Scholium.}} Nomen Conic{\ae} sectionis in hoc Lemmate late sumitur, ita ut sectio tam rectilinea per verticem Coni transiens, quam circularis basi parallela includatur. Nam si punctum $p$ incidit in rectam, qua qu{\ae}vis ex punctis quatuor $A$, $B$, $C$, $D$ junguntur, Conica sectio vertetur in geminas rectas, quarum una est recta illa in quam punctum $p$ incidit, \& altera recta qua alia duo ex punctis quatuor junguntur. Si trapezii anguli duo oppositi simul sumpti {\ae}quentur duobus rectis, \& line{\ae} quatuor $PQ$, $PR$, $PS$, $PT$ ducantur ad latera ejus vel perpendiculariter vel in angulis quibusvis {\ae}qualibus, sit{\que} rectangulum sub duabus ductis $PS \times PR$ {\ae}quale rectangulo sub duabus aliis $PS \times PT$, Sectio conica evadet Circulus. Idem fiet si line{\ae} quatuor ducantur in angulis quibusvis \& rectangulum sub duabus ductis $PQ \times PR$ sit ad rectangulum sub aliis duabus $PS \times PT$ ut rectangulum sub sinubus angulorum $S$, $T$, in quibus du{\ae} ultim{\ae} $PS$, $PT$ ducuntur, ad rectangulum sub sinubus angulorum $Q$, $R$, in quibus du{\ae} prim{\ae} $PQ$, $PR$ ducuntur. C{\ae}teris in casibus Locus puncti $P$ erit aliqua trium figurarum qu{\ae} vulgo nominantur Sectiones Conic{\ae}. Vice autem Trapezii $ABCD$ substitui potest quadrilaterum cujus latera duo opposita se mutuo instar diagonalium decussant. Sed \& e punctis quatuor $A$, $B$, $C$, $D$ possunt unum vel duo abire in infinitum, eo{\que} pacto latera figur{\ae} qu{\ae} ad puncta illa convergunt, % -----File: 082.png--- evadere parallela: quo in casu sectio conica transibit per c{\ae}tera puncta, \& in plagas parallelarum abibit in infinitum. \condpagelarge{Lemma XIX.} \textit{Invenire punctum $P$, a quo si rect{\ae} quatuor $PQ$, $PR$, $PS$, $PT$ ad alias totidem positione datas rectas $AB$, $CD$, $AC$, $BD$ singul{\ae} ad singulas in datis angulis ducantur, rectangulum sub duabus ductis, $PQ \times PR$, sit ad rectangulum sub aliis duabus, $PS \times PT$, in data ratione.} \pngright{082.png}{1176}{1222}{-24} %Illustration Line{\ae} $AB, CD$, ad quas rect{\ae} du{\ae} $PQ$, $PR$, unum rectangulorum continentes ducuntur, conveniant cum aliis duabus positione datis lineis in punctis $A$, $B$, $C$, $D$. Ab eorum aliquo $A$ age rectam quamlibet $AH$, in qua velis punctum $P$ reperiri. Secet ea lineas oppositas $BD$, $CD$, nimirum $BD$ in $H$ \& $CD$ in $I$, \& ob datos omnes angulos figur{\ae}, dabuntur rationes $PQ$ ad $PA$ \& $PA$ ad $PS$, adeo{\que} ratio $PQ$ ad $PS$. Auferendo hanc a data ratione $PQ \times PR$ ad $PS \times PT$, dabitur ratio $PR$ ad $PT$, \& addendo datas rationes $PI$ ad $PR$, \& $PT$ ad $PH$ dabitur ratio $PI$ ad $PH$ at{\que} adeo punctum $P$. \QEIit \textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Hinc etiam ad Loci punctorum infinitorum $P$ punctum quodvis $D$ tangens duci potest. Nam chorda $PD$ ubi puncta $P$ ac $D$ conveniunt, hoc est, ubi $AH$ ducitur per punctum $D$, tangens evadit. Quo in casu, ultima ratio evanescentium $IP$ \& $PH$ invenietur ut supra. Ipsi igitur $AD$ duc parallelam $CF$, occurrentem $BD$ in $F$, \& in ea ultima ratione sectam in $E$, % -----File: 083.png--- \& $DE$ tangens erit, propterea quod $CF$ \& evanescens $IH$ parallel{\ae} sunt, \& in $E$ \& $P$ similiter sect{\ae}. \pngright{083.png}{1036}{1096}{-24} %Illustration \textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Hinc etiam Locus punctorum omnium $P$ definiri potest. Per quodvis punctorum $A$, $B$, $C$, $D$, puta $A$, duc Loci tangentem $AE$, \& per aliud quodvis punctum $B$ duc tangenti parallelam $BF$ occurrentem Loco in $F$. Invenietur autem punctum $F$ per Lemma superius. Biseca $BF$ in $G$, \& acta $AG$ diameter erit ad quam $BG$ \& $FG$ ordinatim applicantur. H{\ae}c $AG$ occurrat Loco in $H$, \& erit $AH$ latus transversum, ad quod latus rectum est ut $BGq.$ ad $AGH$. Si $AG$ nullibi occurrit Loco, linea $AH$ existente infinita, Locus erit Parabola \& latus rectum ejus $\frac{BGq.}{AG}$. Sin ea alicubi occurrit, Locus Hyperbola erit ubi puncta $A$ \& $H$ sita sunt ad easdem partes ipsius $G$: \& Ellipsis, ubi $G$ intermedium est, nisi forte angulus $AGB$ rectus sit \& insuper $BG \opit{quad.}$ {\ae}quale rectangulo $AGH$, quo in casu circulus habebitur. At{\que} ita Problematis veterum de quatuor lineis ab \textit{Euclide} inc{\ae}pti \& ab \textit{Apollonio} continuati non calculus, sed compositio Geometrica, qualem Veteres qu{\ae}rebant, in hoc Corollario exhibetur. \condpagelarge{Lemma XX.} \textit{Si parallelogrammum quodvis $ASPQ$ angulis duobus oppositis $A$ \& $P$ tangit sectionem quamvis Conicam in punctis $A$ \& $P$, \& lateribus unius angulorum illorum infinite productis $AQ$, $AS$ occurrit eidem sectioni Conic{\ae} in $B$ \& $C$; a punctis autem occursuum % -----File: 084.png--- $B$ \& $C$ ad quintum quodvis sectionis Conic{\ae} punctum $D$ agantur rect{\ae} du{\ae} $BD$, $CD$ occurrentes alteris duobus infinite productis parallelogrammi lateribus $PS$, $PQ$ in $T$ \& $R$: erunt semper absciss{\ae} laterum partes $PR$ \& $PT$ ad invicem in data ratione. Et contra, si partes ill{\ae} absciss{\ae} sunt ad invicem in data ratione, punctum $D$ tanget Sectionem Conicam per puncta quatuor $A$, $B$, $P$, $C$ transeuntem.} \pngright{084.png}{1261}{1042}{-24} %Illustration \textit{Cas.\fsp{}1.}\wsp{}Jungantur $BP$, $CP$ \& a puncto $D$ agantur rect{\ae} du{\ae} $DG$, $DE$, quarum prior $DG$ ipsi $AB$ parallela sit \& occurrat $PB$, $PQ$, $CA$ in $H$, $I$, $G$; altera $DE$ parallela sit ipsi $AC$ \& occurrat $PC$, $PS$, $AB$ in $F$, $K$, $E$: \& erit (per Lemma XVII.) rectangulum $DE \times DF$ ad rectangulum $DG \times DH$ in ratione data. Sed est $PQ$ ad $DE$ seu $IQ$, ut $PB$ ad $HB$, adeo{\que} ut $PT$ ad $DH$; \& vicissim $PQ$ ad $PT$ ut $DE$ ad $DH$. Est \& $PR$ ad $DF$ ut $RC$ ad $DC$, adeo{\que} ut $IG$ vel $PS$ ad $DG$, \& vicissim $PR$ ad $PS$ ut $DF$ ad $DG$; \& conjunctis rationibus fit rectangulum $PQ \times PR$ ad rectangulum $PS \times PT$ ut rectangulum $DE \times DF$ ad rectangulum $DG \times DH$, at{\que} adeo in data ratione. Sed dantur $PQ$ \& $PS$ \& propterea ratio $PR$ ad $PT$ datur. \QEDit \textit{Cas.\fsp{}2.}\wsp{}Quod si $PR$ \& $PT$ ponantur in data ratione ad invicem, tunc simili ratiocinio regrediendo, sequetur esse rectangulum $DE \times DF$ ad rectangulum $DG \times DH$ in ratione data, adeo{\que} punctum $D$ (per Lemma XVIII.) contingere Conicam sectionem transeuntem per puncta $A$, $B$, $P$, $C$. \QEDit \textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Hinc si agatur $BC$ secans $PQ$ in $r$, \& in $PT$ capiatur $Pt$ in ratione ad $Pr$ quam habet $PT$ ad $PR$, erit $Bt$ Tangens % -----File: 085.png--- Conic{\ae} sectionis ad punctum $B$. Nam concipe punctum $D$ coire cum puncto $B$ ita ut, chorda $BD$ evanescente, $BT$ Tangens evadet; \& $CD$ ac $BT$ coincident cum $CB$ \& $Bt$. \textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Et vice versa si $Bt$ sit Tangens, \& ad quodvis Conic{\ae} sectionis punctum $D$ conveniant $BD$, $CD$ erit $PR$ ad $PT$ ut $Pr$ ad $Pt$. Et contra, si sit $PR$ ad $PT$ ut $Pr$ ad $Pt$, convenient $BD$, $CD$ ad Conic{\ae} sectionis punctum aliquod $D$. \textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Conica sectio non secat Conicam sectionem in punctis pluribus quam quatuor. Nam, si fieri potest, transeant du{\ae} Conic{\ae} sectiones per quin{\que} puncta $A$, $B$, $C$, $D$, $P$, eas{\que} secet recta $BD$ in punctis $D$, $d$, \& ipsam $PQ$ secet recta $Cd$ in $\mathrm{r}$. Ergo $PR$ est ad $PT$ ut $P\mathrm{r}$ ad $PT$, hoc est, $PR$ \& $P\mathrm{r}$ sibi invicem {\ae}quantur, contra Hypothesin. \condpagelarge{Lemma XXI.} \textit{Si recta du{\ae} mobiles \& infinit{\ae} $BM$, $CM$ per data puncta $B$, $C$, ceu polos duct{\ae}, concursu suo $M$ describant tertiam positione datam rectam $MN$; \& ali{\ae} du{\ae} infinit{\ae} rect{\ae} $BD$, $CD$ cum prioribus duabus ad puncta illa data $B$, $C$, datos angulos $MBD$, $MCD$ efficientes ducantur; dico quod h{\ae} du{\ae} $BD$, $CD$ concursu suo $D$ describent \label{wasp77}sectionem % -----File: 086.png--- Conicam. Et vice versa, si rect{\ae} $BD$, $CD$ concursu suo $D$ describant Sectionem Conicam per puncta $B$, $C$, $A$ transeuntem, \& harum concursus tunc incidit in ejus punctum aliquod $A$, cum alter{\ae} du{\ae} $BM$, $CM$ coincidunt cum linea $BC$, punctum $M$ continget rectam positione datam.} \pngright{086.png}{1383}{1575}{-24} %Illustration Nam in recta $MN$ detur punctum $N$, \& ubi punctum mobile $M$ incidit in immotum $N$, incidat punctum mobile $D$ in immotum $P$. Junge $CN$, $BN$, $CP$, $BP$, \& a puncto $P$ age rectas $PT$, $PR$ occurrentes ipsis $BD$, $CD$ in $T$ \& $R$, \& facientes angulum $BPT$ {\ae}qualem angulo $BNM$ \& angulum $CPR$ {\ae}qualem angulo $CNM$. Cum ergo (ex Hypothesi) {\ae}quales sint anguli $MBD$, $NBP$, ut \& anguli $MCD$, $NCP$: aufer communes $NBD$ \& $MCP$, \& restabunt {\ae}quales $NBM$ \& $PBT$, $NCM$ \& $PCR$: adeo{\que} triangula $NBM$, $PBT$ similia sunt, ut \& triangula $NCM$, $PCR$. Quare $PT$ est ad $NM$ ut $PB$ ad $NB$, \& $PR$ ad $NM$ ut $PC$ ad $NC$. Ergo $PT$ \& $PR$ datam habent rationem ad $NM$, proinde{\que} datam rationem inter se, at{\que} adeo, per Lemma XX, punctum $P$ (perpetuus rectarum mobilum $BT$ \& $CR$ concursus) contingit sectionem Conicam. \QEDit Et contra, si punctum $D$ contingit sectionem Conicam transeuntem per puncta $B$, $C$, $A$, \& ubi rect{\ae} $BM$, $CM$ coincidunt cum recta $BC$, punctum illud $D$ incidit in aliquod sectionis punctum % -----File: 087.png--- $A$; ubi vero punctum $D$ incidit successive in alia duo qu{\ae}vis sectionis puncta $p$, $P$, punctum mobile $M$ incidit successive in puncta immobilia $n$, $N$: per eadem $n$, $N$ agatur recta $nN$, \& h{\ae}c erit Locus perpetuus puncti illius mobilis $M$. Nam, si fieri potest, versetur punctum $M$ in linea aliqua curva. Tanget ergo punctum $D$ sectionem Conicam per puncta quin{\que} $C$, $p$, $P$, $B$, $A$, transeuntem, ubi punctum $M$ perpetuo tangit lineam curvam. Sed \& ex jam demonstratis tanget etiam punctum $D$ sectionem Conicam per eadem quin{\que} puncta $C$, $p$, $P$, $B$, $A$, transeuntem, ubi punctum $M$ perpetuo tangit lineam rectam. Ergo du{\ae} sectiones Conic{\ae} transibunt per eadem quin{\que} puncta, contra Corol.\ 3.\ Lem.\ XX\@. Igitur punctum $M$ versari in linea curva absurdum est. \QEDit \condpagelarge{Prop.\ XXII\@. Prob.\ XIV.} \textit{Trajectoriam per data quin{\que} puncta describere.} \pngright{087.png}{1389}{1213}{-24} %Illustration Dentur puncta quin{\que} $A$, $B$, $C$, $D$, $P$. Ab eorum aliquo $A$ ad alia duo qu{\ae}vis $B$, $C$, qu{\ae} poli nominentur, age rectas $AB$, $AC$ his{\que} parallelas $TPS$, $PRQ$ per punctum quartum $P$. Deinde a polis duobus $B$, $C$ age per punctum quintum $D$ infinitas duas $BDT$, $CRD$, novissime ductis $TPS$, $PRQ$ (priorem priori \& posteriorem posteriori) \label{wasp79}occurrentes in $T$ \& $R$. Deni{\que} de rectis $PT$, $PR$, acta recta $tr$ ipsi $TR$ parallela, abscinde quasvis % -----File: 088.png--- $Pt$, $Pr$ ipsis $PT$, $PR$ proportionales, \& si per earum terminos $t$, $r$ \& polos $B$, $C$ act{\ae} $Bt$, $Cr$ concurrant in $d$, locabitur punctum illud $d$ in Trajectoria qu{\ae}sita. Nam punctum illud $d$ (per Lem.\ XX) versatur in Conica Sectione per puncta quatuor $A$, $B$, $P$, $C$ transeunte; \& lineis $Rr$, $Tt$ evanescentibus, coit punctum $d$ cum puncto $D$. Transit ergo sectio Conica per puncta quin{\que} $A$, $B$, $C$, $D$, $P$. \QEDit \condpagelarge{\textit{Idem aliter.}} E punctis datis junge tria qu{\ae}vis $A$, $B$, $C$, \& circum duo eorum $B$, $C$ ceu polos, rotando angulos magnitudine datos $ABC$, $ACB$, applicentur crura $BA$, $CA$ primo ad punctum $D$ deinde ad punctum $P$, \& notentur puncta $M$, $N$ in quibus altera crura $BL$, $CL$ casu utro{\que} se decussant. Agatur recta infinita $MN$, \& rotentur anguli illi mobiles circum polos suos $B$, $C$, ea lege ut % -----File: 089.png--- crurum $BL$, $CL$ vel $BM$, $CM$ intersectio, qu{\ae} jam sit $m$, incidat semper in rectam illam\spreadout{infinitam $MN$, \& crurum $BA$, $CA$, vel $BD$, $CD$ intersectio, qu{\ae} jam sit} \pngright{086.png}{1383}{1575}{-12} %Illustration \noindent $d$, Trajectoriam qu{\ae}sitam $PADdB$ delineabit. Nam punctum $d$ per Lem.\ XXI continget sectionem Conicam per puncta $B$, $C$ transeuntem \& ubi punctum $m$ accedit ad puncta $L$, $M$, $N$, punctum $d$ (per constructionem) accedet ad puncta $A$, $D$, $P$. Describetur ita{\que} sectio Conica transiens per puncta quin{\que} $A$, $B$, $C$, $D$, $P$. \QEFit \textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Hinc rect{\ae} expedite duci possunt qu{\ae} trajectoriam in punctis quibusvis datis $B$, $C$ tangent. In casu utrovis accedat punctum $d$ ad punctum $C$ \& recta $Cd$ evadet tangens qu{\ae}sita. \textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Unde etiam Trajectoriarum centra, diametri \& latera recta inveniri possunt, ut in Corollario secundo Lemmatis XIX. \condpagelarge{\textit{Schol.}} Constructio in casu priore evadet paulo simplicior jungendo $BP$, \& in ea si opus est producta, capiendo $Bp$ ad $BP$ ut est $PR$ ad $PT$, \& per $p$ agendo rectam infinitam $p\smallinmath{D}$ ipsi $SPT$ parallelam, in{\que} ea capiendo semper $p\smallinmath{D}$ {\ae}qualem $Pr$, \& agendo rectas $B\smallinmath{D}$, $Cr$ concurrentes in $d$. Nam cum sint $Pr$ ad $Pt$, $PR$ ad $PT$, $pB$ ad $PB$, $p\smallinmath{D}$ ad $Pt$ in eadem ratione, erunt $p\smallinmath{D}$ \& $Pr$ semper {\ae}quales. Hac methodo puncta Trajectori{\ae} inveniuntur expeditissime, nisi mavis Curvam, ut in casu secundo, describere Mechanice. \condpagelarge{Prop.\ XXIII\@. Prob.\ XV.} \pngright{090a.png}{1193}{1256}{-24} %Illustration \textit{Trajectoriam describere qu{\ae} per data quatuor puncta transibit, \& rectam continget positione datam.} \textit{Cas.\fsp{}1.}\wsp{}Dentur tangens $HB$, punctum contactus $B$, \& alia tria puncta $C$, $D$, $P$. Junge $BC$, \& agendo $PS$ parallelam % -----File: 090.png--- $BH$, \& $PQ$ parallelam $BC$, comple parallelogrammum $BSPQ$. Age $BD$ secantem $SP$ in $T$, \& $CD$ secantem $PQ$ in $R$. Deni{\que} agendo quamvis $tr$ ipsi $TR$ parallelam, de $PQ$, $PS$ abscinde $Pr$, $Pt$ ipsis $PR$, $PT$ proportionales respective; \& actarum $Cr$, $Bt$ concursus $d$ (per Corol.\ 2.\ Lem.\ XX) incidet semper in Trajectoriam describendam. \condpagelarge{\textit{Idem aliter.}} \pngright{090b.png}{1756}{1748}{-24} %Illustration Revolvatur tum angulus magnitudine datus $CBH$ circa polum $B$, tum radius quilibet rectilineus \& utrin{\que} productus $DC$ circa polum $C$. Notentur puncta $M$, $N$ in quibus anguli crus $BC$ secat radium illum ubi crus alterum $BH$ concurrit cum eodem radio in punctis $D$ \& $P$. Deinde ad actam infinitam $MN$ concurrant perpetuo radius ille $CP$ vel $CD$ \& anguli crus $CB$, \& % -----File: 091.png--- cruris alterius $BH$ concursus cum radio delineabit Trajectoriam qu{\ae}sitam. Nam si in constructionibus Problematis superioris accedat punctum $A$ ad punctum $B$, line{\ae} $CA$ \& $CB$ coincident, \& linea $AB$ in ultimo suo situ fiet tangens $BH$, at{\que} adeo constructiones ibi posit{\ae} evadent e{\ae}dem cum constructionibus hic descriptis. Delineabit igitur cruris $BH$ concursus cum radio sectionem Conicam per puncta $C$, $D$, $P$ transeuntem, \& rectam $BH$ tangentem in puncto $B$. \QEFit \pngright{091.png}{1185}{1144}{-24} %Illustration \textit{Cas.\fsp{}2.}\wsp{}Dentur puncta quatuor $B$, $C$, $D$, $P$ extra tangentem $HI$ sita. Junge bina $BD$, $CP$ concurrentia in $G$, tangenti{\que} occurrentia in $H$ \& $I$. Secetur tangens in $A$, ita ut sit $HA$ ad $AI$, ut est rectangulum sub media proportionali inter $BH$ \& $HD$ \& media proportionali inter $CG$ \& $GP$, ad rectangulum sub media proportionali inter $PI$ \& $IC$ \& media proportionali inter $DG$ \& $GB$, \& erit $A$ punctum contactus. Nam si rect{\ae} $PI$ parallela $HX$ trajectoriam secet in punctis quibusvis $X$ \& $Y$: erit (ex Conicis) $HA \opit{quad.}$ ad $AI \opit{quad.}$ ut rectangulum $XHY$ ad rectangulum $BHD$ (seu rectangulum $CGP$ ad rectangulum $DGB$) \& rectangulum $BHD$ ad rectangulum $PIC$ conjunctim. Invento autem contactus puncto $A$, describetur Trajectoria ut in casu primo. \QEFit Capi autem potest punctum $A$ vel inter puncta $H$ \& $I$, vel extra; \& perinde Trajectoria dupliciter describi. % -----File: 092.png--- \condpagelarge{Prop.\ XXIV\@. Prob.\ XVI.} \textit{Trajectoriam describere qu{\ae} transibit per data tria puncta \& rectas duas positione datas continget.} Dentur tangentes $HI$, $KL$ \& puncta $B$, $C$, $D$. Age $BD$ tangentibus occurrentem in punctis $H$, $K$ \& $CD$ tangentibus occurrentem in punctis $I$, $L$. Actas ita\spreadout{seca in $R$ \& $S$, ut sit $HR$ ad $KR$ ut est media proportionalis inter $BH$ \&} \pngright{092.png}{1080}{1371}{-12} %Illustration \noindent $HD$ ad mediam proportionalem inter $BK$ \& $KD$; \& $IS$ ad $LS$ ut est media proportionalis inter $CI$ \& $ID$ ad mediam proportionalem inter $CL$ \& $LD$. Age $RS$ secantem tangentes in $A$ \& $P$, \& erunt $A$ \& $P$ puncta contactus. Nam si $A$ \& $P$ sint Puncta contactuum ubivis in tangentibus sita, \& per punctorum $H$, $I$, $K$, $L$ quodvis $I$ agatur recta $IY$ tangenti $KL$ parallela \& occurrens curv{\ae} in $X$ \& $Y$, \& in ea sumatur $IZ$ media proportionalis inter $IX$ \& $IY$: erit, ex Conicis, rectangulum $XIY$ (seu $IZ \opit{quad.}$) ad $LP \opit{quad.}$ ut rectangulum $CID$ ad rectangulum $CLD$; id est (per constructionem) ut $SI \opit{quad.}$ ad $SL \opit{quad.}$ at{\que} adeo $IZ$ ad $LP$ ut $SI$ ad $SL$. Jacent ergo puncta $S$, $P$, $Z$ in una recta. Porro tangentibus concurrentibus in $G$, erit (ex Conicis) rectangulum $XIY$ (seu $IZ \opit{quad.}$) ad $IA \opit{quad.}$ ut $GP \opit{quad.}$ ad $GA \opit{quad.}$, adeo{\que} $IZ$ ad $IA$ ut $GP$ ad $GA$. Jacent ergo puncta $P$, $Z$ \& $A$ in una recta, adeo{\que} puncta $S$, $P$ \& $A$ sunt in una recta. Et eodem argumento probabitur quod puncta $R$, $P$ \& $A$ sunt in una recta. Jacent igitur puncta contactus $A$ \& $P$ in recta $SR$. % -----File: 093.png--- Hisce autem inventis, Trajectoria describetur ut in casu primo Problematis superioris. \QEFit \condpagelarge{Lemma XXII.} \textit{Figuras in alias ejusdem generis figuras mutare.} \pngright{093.png}{1386}{1018}{-24} %Illustration Transmutanda sit figura qu{\ae}vis $HGI$. Ducantur pro lubitu rect{\ae} du{\ae} parallel{\ae} $AO$, $BL$ tertiam quamvis positione datam $AB$ secantes in $A$ \& $B$, \& a figur{\ae} puncto quovis $G$, ad rectam $AB$ ducatur $GD$, ipsi $OA$ parallela. Deinde a puncto aliquo $O$ in linea $OA$ dato ad punctum $D$ ducatur recta $OD$, ipsi $BL$ occurrens in $d$; \& a puncto occursus erigatur recta $gd$, datum quemvis angulum cum recta $BL$ continens, at{\que} eam habens rationem ad $Od$ quam habet $GD$ ad $OD$; \& erit $g$ punctum in figura nova $hgi$ puncto $G$ respondens. Eadem ratione puncta singula figur{\ae} prim{\ae} dabunt puncta totidem figur{\ae} nov{\ae}. Concipe igitur punctum $G$ motu continuo percurrere puncta omnia figur{\ae} prim{\ae}, \& punctum $g$ motu itidem continuo percurret puncta omnia figur{\ae} nov{\ae} \& eandem describet. Distinctionis gratia nominemus $DG$ ordinatam primam, $dg$ ordinatam novam; $BD$ abscissam primam, $Bd$ abscissam novam; $O$ polum, $OD$ radium abscindentem, $OA$ radium ordinatum primum \& $Oa$ (quo parallelogrammum $OABa$ completur) radium ordinatum novum. Dico jam quod si punctum $G$ tangit rectam lineam positione datam, punctum $g$ tanget etiam lineam rectam positione datam. % -----File: 094.png--- Si punctum $G$ tangit Conicam sectionem, punctum $g$ tanget etiam conicam sectionem. Conicis sectionibus hic circulum annumero. Porro si punctum $G$ tangit lineam tertii ordinis Analytici, punctum $g$ tanget lineam tertii itidem ordinis; \& sic de curvis lineis superiorum ordinum: Line{\ae} du{\ae} erunt ejusdem semper ordinis Analytici quas puncta $G$, $g$ tangunt. Etenim ut est $ad$ ad $OA$ ita sunt $Od$ ad $OD$, $dg$ ad $DG$, \& $AB$ ad $AD$; adeo{\que} $AD$ {\ae}qualis est $\frac{OA \times AB}{ad}$ \& $DG$ {\ae}qualis est $\frac{OA \times dg}{ad}$. Jam si punctum $D$ tangit rectam lineam, at{\que} adeo in {\ae}quatione quavis, qua relatio inter abscissam $AD$ \& ordinatam $DG$ habetur, indeterminat{\ae} ill{\ae} $AD$ \& $DG$ ad unicam tantum dimensionem ascendunt, scribendo in hac {\ae}quatione $\frac{OA \times AB}{ad}$ pro $AD$, \& $\frac{OA \times dg}{ad}$ pro $DG$, producetur {\ae}quatio nova, in qua abscissa nova $ad$ \& ordinata noua $dg$ ad unicam tantum dimensionem ascendent, at{\que} adeo qu{\ae} designat lineam rectam. Sin $AD$ \& $DG$ (vel earum alterutra) ascendebant ad duas dimensiones in {\ae}quatione prima, ascendent itidem $ad$ \& $dg$ ad duas in {\ae}quatione secunda. Et sic de tribus vel pluribus dimensionibus. Indeterminat{\ae} $ad$, $dg$ in {\ae}quatione secunda \& $AD$, $DG$ in prima ascendent semper ad eundem dimensionum numerum, \& propterea line{\ae}, quas puncta $G$, $g$ tangunt, sunt ejusdem ordinis Analytici. Dico pr{\ae}terea quod si recta aliqua tangat lineam curvam in % -----File: 095.png--- figura prima; h{\ae}c recta translata tanget lineam curvam in figura nova: \& contra. Nam si Curv{\ae} puncta qu{\ae}vis duo accedunt ad invicem \& coeunt in figura prima, puncta eadem translata coibunt in figura nova, at{\que} adeo rect{\ae}, quibus h{\ae}c puncta junguntur simul, evadent curvarum tangentes in figura utra{\que}. Componi possent harum assertionum Demonstrationes more magis Geometrico. Sed brevitati consulo. Igitur si figura rectilinea in aliam transmutanda est, sufficit rectarum intersectiones transferre, \& per easdem in figura nova lineas rectas ducere. Sin curvilineam transmutare oportet, transferenda sunt puncta, tangentes \& ali{\ae} rect{\ae} quarum ope Curva linea definitur. Inservit autem hoc Lemma solutioni difficiliorum Problematum, transmutando figuras propositas in simpliciores. Nam rect{\ae} qu{\ae}vis convergentes transmutantur in parallelas, adhibendo pro radio ordinato primo $AO$ lineam quamvis rectam, qu{\ae} per concursum convergentium transit; id adeo quia concursus ille hoc pacto abit in infinitum, line{\ae} autem parallel{\ae} sunt qu{\ae} ad punctum infinite distans tendunt. Postquam autem Problema solvitur in figura nova, si per inversas operationes transmutetur h{\ae}c figura in figuram primam, habebitur Solutio qu{\ae}sita. Utile est etiam hoc Lemma in solutione Solidorum problematum. Nam quoties du{\ae} sectiones conic{\ae} obvenerint, quarum intersectione Problema solvi potest, transmutare licet unum earum in circulum. Recta item \& sectio Conica in constructione planorum problematum vertuntur in rectam \& circulum. \condpagelarge{Prop.\ XXV\@. Prob.\ XVII.} \textit{Trajectoriam describere qu{\ae} per data duo puncta transibit \& rectas tres continget positione datas.} Per concursum tangentium quarumvis duarum cum se invicem, \& concursum tangentis terti{\ae} cum recta illa, qu{\ae} per puncta duo % -----File: 096.png--- data transit, age rectam infinitam; ea{\que} adhibita pro radio ordinato primo, transmutetur figura, per Lemma superius, in figuram novam. In hac figura tangentes ill{\ae} du{\ae} evadent parallel{\ae},\spreadout{\& tangens tertia fiet parallela rect{\ae} per puncta duo transeunti.} \pngright{096.png}{1065}{1154}{-12} %Illustration \noindent Sunto $hi$, $kl$ tangentes du{\ae} parallel{\ae}, $ik$ tangens tertia, \& $hl$ recta huic parallela transiens per puncta illa $a$, $b$, per qu{\ae} Conica sectio in hac figura nova transire debet, \& parallelogrammum $hikl$ complens. Secentur rect{\ae} $hi$, $ik$, $kl$ in $c$, $d$ \& $e$, ita ut sit $hc$ ad latus quadratum rectanguli $ahb$, $ic$ ad $id$, \& $ke$ ad $kd$ ut est summa rectarum $hi$ \& $kl$ ad summam trium linearum quarum prima est recta $ik$, \& alter{\ae} du{\ae} sunt latera quadrata rectangulorum $ahb$ \& $alb$: Et erunt $c$, $d$, $e$ puncta contactus. Etenim, ex Conicis, sunt $hc$ quadratum ad rectangulum $ahb$, \& $ic$ quadratum ad $id$ quadratum, \& $ke$ quadratum ad $kd$ quadratum, \& $el$ quadratum ad $alb$ rectangulum in eadem ratione, \& propterea $hc$ ad latus quadratum ipsius $ahb$, $ic$ ad $id$, $ke$ ad $kd$ \& $el$ ad latus quadratum ipsius $alb$ sunt in dimidiata illa ratione, \& composite, in data ratione omnium antecedentium $hi$ \& $kl$ ad omnes consequentes, qu{\ae} sunt latus quadratum rectanguli $ahb$ \& recta $ik$ \& latus quadratum rectanguli $alb$. Habentur igitur ex data illa ratione puncta contactus $c$, $d$, $e$, in figura nova. Per inversas operationes Lemmatis novissimi transferantur h{\ae}c puncta in figuram primam \& ibi, per casum primum Problematis XIV, describetur Trajectoria. \QEFit C{\ae}terum perinde ut puncta $a$, $b$ jacent vel inter puncta $h$, $l$, vel extra, debent puncta $c$, $d$, $e$ vel inter puncta $h$, $i$, $k$, $l$ capi, vel extra. Si punctorum $a$, $b$ alterutrum cadit inter puncta $h$, $l$, \& alterum extra, Problema impossibile est. % -----File: 097.png--- \condpagelarge{Prop.\ XXVI\@. Prob.\ XVIII.} \textit{Trajectoriam describere qu{\ae} transibit per punctum datum \& rectas quatuor positione datas continget.} Ab intersectione communi duarum quarumlibet tangentium ad intersectio\-nem communem reliquarum duarum agatur recta infinita, \& eadem pro radio ordinato primo adhibita, transmutetur figura (per Lem.\ XXII) in figuram novam, \& Tangentes bin{\ae}, qu{\ae} ad radium ordinatum concurrebant, jam evadent parallel{\ae}. Sunto ill{\ae} $hi$ \& $kl$, $ik$ \& $hl$ continentes parallelogrammum $hikl$. Sit{\que} $p$ punctum in hac nova figura, puncto in figura prima dato respondens. Per figur{\ae} centrum $O$ agatur $pq$, \& existente $Oq$ {\ae}quali $Op$ erit $q$ punctum alterum per quod sectio Conica in hac figura nova transire debet. Per Lemmatis XXII operationem inversam transferatur hoc punctum in figuram primam, \& ibi habebuntur puncta duo per qu{\ae} Trajectoria describenda est. Per eadem vero describi potest Trajectoria illa per Prob.\ XVII\@. \QEFit \condpagelarge{Lemma XXIII.} \textit{Si rect{\ae} du{\ae} positione dat{\ae} $AC$, $BD$ ad data puncta $A$, $B$ terminentur, datam{\que} habeant rationem ad invicem, \& recta $CD$, qua puncta indeterminata $C$, $D$ junguntur secetur in ratione data in $K$: dico quod punctum $K$ locabitur in recta positione data.} \pngright{097.png}{1175}{1016}{-12} %Illustration Concurrant enim rect{\ae} $AC, BD$ in $E$, \& in $BE$ capiatur $BG$ ad $AE$ ut est $BD$ ad $AC$, sit{\que} $FD$ {\ae}qualis $EG$, \& erit $EC$ ad % -----File: 098.png--- $GD$, hoc est ad $EF$ ut $AC$ ad $BD$, adeo{\que} in ratione data, \& propterea dabitur specie triangulum $EFC$. Secetur $CF$ in $L$ in ratione $CK$ ad $CD$, \& dabitur etiam specie triangulum $EFL$, proinde{\que} punctum $L$ locabitur in recta $EL$ positione data. Junge $LK$, \& ob datam $FD$ \& datam rationem $LK$ ad $FD$, dabitur $LK$. Huic {\ae}qualis capiatur $EH$, \& erit $ELKH$ parallelogrammum. Locatur igitur punctum $K$ in parallelogrammi latere positione dato $HK$. \QEDit \condpagelarge{Lemma XXIV.} \textit{Si rect{\ae} tres tangant quamcun{\que} conisectionem, quarum du{\ae} parallel{\ae} sint ac dentur positione; dico quod sectionis semidiameter hisce duabus parallela, sit media proportionalis inter harum segmenta, punctis contactum \& tangenti terti{\ae} interjecta.} \pngright{098.png}{1516}{1184}{-24} %Illustration Sunto $AF$, $GB$ parallel{\ae} du{\ae} Conisectionem $ADB$ tangentes in $A$ \& $B$; $EF$ recta tertia Conisectionem tangens in $I$, \& occurrens prioribus tangentibus in $F$ \& $G$; sit{\que} $CD$ semidiameter Figur{\ae} tangentibus parallela: Dico quod $AF$, $CD$, $BG$ sunt continue proportionales. % -----File: 099.png--- Nam si diametri conjugat{\ae} $AB$, $DM$ tangenti $FG$ occurrant in $E$ \& $H$, se{\que} mutuo secent in $C$, \& compleatur parallelogrammum $IKCL$; erit ex natura sectionum Conicarum, ut $EC$ ad $CA$ ita $CA$ ad $LC$, \& ita divisim $EC - CA$ ad $CA - CL$ seu $EA$ ad $AL$, \& composite $EA$ ad $EA + AL$ seu $EL$ ut $EC$ ad $EC + CA$ seu $EB$; adeo{\que} (ob similitudinem triangulorum $EAF$, $ELI$, $ECH$, $EBG$) $AF$ ad $LI$ ut $CH$ ad $BG$. Est itidem ex natura sectionum Conicarum $LI$ seu $CK$ ad $CD$ ut $CD$ ad $CH$ at{\que} adeo ex {\ae}quo perturbate $AF$ ad $CD$ ut $CD$ ad $BG$. \QEDit \textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Hinc si tangentes du{\ae} $FG$, $PQ$ tangentibus parallelis $AF$, $BG$ occurrant in $F$ \& $G$, $P$ \& $Q$, se{\que} mutuo secent in $O$, erit (ex {\ae}quo perturbate) $AF$ ad $BQ$ ut $AP$ ad $BG$, \& divisim ut $FP$ ad $GQ$, at{\que} adeo ut $FO$ ad $OG$. \textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Unde etiam rect{\ae} du{\ae} $PG$, $FQ$ per puncta $P$ \& $G$, $F$ \& $Q$ duct{\ae}, concurrent ad rectam $ACB$ per centrum figur{\ae} \& puncta contactuum $A$, $B$ transeuntem. \condpagelarge{Lemma XXV.} \textit{Si parallelogrammi latera quattuor infinite producta tangant sectionem quamcun{\que} Conicam \& abscindantur ad tangentem quamvis quintam; sumantur aut\-em abscisse terminate ad angulos oppositos parallelogrammi: dico quod abscissa unius lateris ad latus illud, ut pars lateris contermini inter punctum contactus \& latus tertium, ad abscissam lateris hujus contermini.} \pngright{100.png}{1507}{945}{-24} %Illustration Tangant parallelogrammi $MIKL$ latera quatuor $ML$, $IK$, % -----File: 100.png--- $KL$, $MI$ sectionem Conicam in $A$, $B$, $C$, $D$, \& secet tangens quinta $FQ$ h{\ae}c latera in $F$, $Q$, $H$ \& $E$: dico quod sit $ME$ ad $MI$ ut $BK$ ad $KQ$ \& $KH$ ad $KL$ ut $AM$ ad $MF$. Nam per Corollarium Lemmatis superioris, est $ME$ ad $EI$ ut $AM$ seu $BK$ ad $BQ$, \& componendo $ME$ ad $MI$ ut $BK$ ad $KQ$. \QEDup Item $KH$ ad $HL$ ut $BK$ seu $AM$ ad $AF$, \& dividendo $KH$ ad $KL$ ut $AM$ ad $MF$. \QEDup \textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Hinc\spreadout{si parallelogrammum $IKLM$ datur, dabitur rectangulum} \\ $KQ \times ME$, ut \& huic {\ae}quale rectangulum $KH \times MF$. {\AE}quantur enim rectangula illa ob similitudinem triangulorum $KQH$, $MFE$. \textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Et si sexta ducatur tangens $eq$ tangentibus $KI$, $MI$ occurrens in $e$ \& $q$, rectangulum $KQ \times ME$ {\ae}quabitur rectangulo $Kq \times Me$, erit{\que} $KQ$ ad $Me$ ut $Kq$ ad $ME$, \& divisim ut $Qq$ ad $Ee$. \textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Unde etiam si $Eq$, $eQ$ jungantur \& bisecentur, \& recta per puncta bisectionum agatur, transibit h{\ae}c per centrum Sectionis Conic{\ae}. Nam cum sit $Qq$ ad $Ee$ ut $KQ$ ad $Me$, transibit eadem recta per medium omnium $Eq$, $eQ$, $MK$; (per Lemma XXIII) \& medium rect{\ae} $MK$ est centrum Sectionis. \condpagelarge{Prop.\ XXVII\@. Prob.\ XIX.} \textit{Trajectoriam describere qu{\ae} rectas quin{\que} positione datas continget.} \pngright{101.png}{1715}{1728}{-24} %Illustration Dentur positione tangentes $ABG$, $BCF$, $GCD$, $FDE$, $EA$. Figur{\ae} quadrilater{\ae} sub quatuor quibusvis content{\ae} $ABFE$ % -----File: 101.png--- diagonales $AF$, $BE$ biseca, \& (per Cor.\ 3.\ Lem.\ XXV) recta per puncta bisectionum acta transibit per centrum Trajectori{\ae}. Rursus figur{\ae} quadrilater{\ae} $BGDF$, sub alijs quibusvis quatuor tangentibus content{\ae}, diagonales (ut ita dicam) $BD$, $GF$ biseca, \& recta per puncta bisectionum acta transibit per centrum sectionis. Dabitur ergo centrum in concursu bisecantium. Sit illud $O$. Tangenti cuivis $BC$ parallelam age $KL$, ad eam distantiam ut centrum $O$ in medio inter parallelas locetur, \& acta $KL$ tanget trajectoriam describendam. Secet h{\ae}c tangentes alias quasvis duas $CD$, $FDE$ in $L$ \& $K$. Per tangentium non parallelarum $CL$, $FK$ cum parallelis $CF$, $KL$ concursus $C$ \& $K$, $F$ \& $L$ age $CK$, $FL$ concurrentes in $R$, \& recta $OR$ ducta \& producta secabit tangentes parallelas $CF$, $KL$ in punctis contactuum. Patet hoc per Corol.\ 2.\ Lem.\ XXIV\@. Eadem methodo invenire licet alia contactuum puncta, \& tum demum per Casum 1.\ Prob.\ XIV. Trajectoriam describere. \QEFit % -----File: 102.png--- \condpagelarge{\textit{Schol.}} Problemata, ubi dantur Trajectoriarum vel centra vel Asymptoti includuntur in pr{\ae}cedentibus. Nam datis punctis \& tangentibus una cum centro, dantur alia totidem puncta ali{\ae}{\que} tangentes a centro ex altera ejus parte {\ae}qualiter distantes. Asymptotos autem pro tangente habenda est, \& ejus terminus infinite distans (si ita loqui fas sit) pro puncto contactus. Concipe tangentis cujusvis punctum contactus abire in infinitum, \& tangens vertetur in Asymptoton, at{\que} constructiones Problematis XV \& Casus primi Problematis XIV vertentur in constructiones Problematum ubi Asymptoti dantur. \pngright{102.png}{1343}{1559}{-24} %Illustration Postquam Trajectoria descripta est, invenire licet axes \& umbilicos ejus hac methodo. In constructione \& Figura Lemmatis XXI, fac ut angulorum mobilium $PBN$, $PCN$ crura $BP$, $CP$ quorum concursu Trajectoria describebatur sint sibi invicem parallela, eum{\que} servantia situm revolvantur circa polos suos $B$, $C$ in figura illa. Interea vero describant altera angulorum illorum crura $CN$, $BN$ concursu suo $K$ vel $k$, circulum $IBKGC$. Sit circuli hujus centrum $O$. Ab hoc centro ad Regulam $MN$, ad quam altera illa crura $CN$, $BN$ interea concurrebant dum Trajectoria describebatur, demitte normalem $OH$ circulo occurrentem in $K$ \& $L$. Et ubi crura % -----File: 103.png--- illa altera $CK$, $BK $concurrant ad punctum istud $K$ quod Regul{\ae} proprius est, crura prima $CP$, $BP$ parallela erunt axi majori \& perpendicularia minori; \& contrarium eveniet si crura eadem concurrunt ad punctum remotius $L$. Unde si detur Trajectori{\ae} centrum, dabuntur axes. Hisce autem datis, umbilici sunt in promptu. \vspace{\baselineskip} Axium vero quadrata sunt ad invicem ut $KH$ ad $LH$, \& inde facile est Trajectoriam specie datam per data quatuor puncta describere. Nam si duo ex punctis datis constituantur poli $C$, $B$, tertium dabit angulos mobiles $PCK$, $PBK$. Tum ob datam specie Trajectoriam, dabitur ratio $OH$ ad $OK$, centro{\que} $O$ \& intervallo $OH$ describendo circulum, \& per punctum quartum agendo rectam qu{\ae} circulum illum tangat, dabitur regula $MN$ cujus ope Trajectoria describatur. Unde etiam vicissim Trapezium specie datum (si casus quidam impossibiles excipiantur) in data quavis sectione Conica inscribi potest. \vspace{\baselineskip} Sunt \& alia Lemmata quorum ope Trajectori{\ae} specie dat{\ae}, datis punctis \& tangentibus, describi possunt. Ejus generis est quod, si recta linea per punctum quodvis positione datum ducatur, qu{\ae} datam Conisectionem in punctis duobus intersecet, \& intersectionum intervallum bisecetur, punctum bisectionis tanget aliam Conisectionem ejusdem speciei cum priore, at{\que} axes habentem prioris axibus parallelos. Sed propero ad magis utilia. \condpagelarge{Lemma XXVI.} \textit{Trianguli specie \& magnitudine dati tres angulos ad rectas totidem positione datas, qu{\ae} non sunt omnes parallel{\ae}, singulos ad singulas ponere.} \pngright{104a.png}{1322}{1044}{-24} %Illustration Dantur positione tres rect{\ae} infinit{\ae} $AB$, $AC$, $BC$, \& oportet triangulum $DEF$ ita locare, ut angulus ejus $D$ lineam $AB$, % -----File: 104.png--- angulus $E$ lineam $AC$, \& angulus $F$ lineam $BC$ tangat. Super $DE$, $DF$ \& $EF$ describe tria circulorum segmenta $DRE$, $DGF$, $EMF$, qu{\ae} capiant angulos angulis $BAC$, $ABC$, $ACB$ {\ae}quales respective. Describantur autem h{\ae}c segmenta ad eas partes linearum $DE$, $DF$, $EF$ ut liter{\ae} $DRED$ eodem ordine cum literis $BACB$, liter{\ae} $DGFD$ eodem cum literis $ABCA$, \& liter{\ae} $EMFE$ eodem cum literis $ACBA$ in orbem redeant: deinde compleantur h{\ae}c segmenta in circulos. Secent circuli duo priores se mutuo in $G$, sint{\que} centra eorum $P$ \& $Q$. Junctis $GP$, $PQ$, cape $Ga$ ad $AB$ ut est $GP$ ad $PQ$, \& centro $G$, intervallo $Ga$ describe circulum, qui secet circulum primum $DGE$ in $a$. Jungatur tum $aD$ secans circulum secundum $DFG$ in $b$, tum $aE$ secans circulum tertium $GEc$ in $c$. Et compleatur figura $ABCdef$ similis \& {\ae}qualis figur{\ae} $abcDEF$. Dico factum. \pngright{104b.png}{1459}{1717}{-24} %Illustration Agatur enim $Fc$ ipsi $aD$ occurrens in $n$. Jungantur $aG$, % -----File: 105.png--- $bG$, $PD$, $QD$ \& producatur $PQ$ ad $R$. Ex constructione est angulus $EaD$ {\ae}qualis angulo $CAB$, \& angulus $EcF$ {\ae}qualis angulo $ACB$, adeo{\que} triangulum $anc$ triangulo $ABC$ {\ae}quiangulum. Ergo angulus $anc$ seu $FnD$ angulo $ABC$, adeo{\que} angulo $FbD$ {\ae}qualis est, \& propterea punctum $n$ incidit in punctum $b$. Porro angulus $GPQ$, qui dimidius est anguli ad centrum $GPD$, {\ae}qualis est angulo ad circumferentiam $GaD$; \& angulus $GQR$, qui dimidius est complementi anguli ad centrum $GQD$, {\ae}qualis est angulo ad circumferentiam $GbD$, adeo{\que} eorum complementa $PQG$, $abG$ {\ae}quantur, sunt{\que} ideo triangula $GPQ$, $Gab$ similia, \& $Ga$ est ad $ab$ ut $GP$ ad $PQ$; id est (ex constructione) ut $Ga$ ad $AB$. {\AE}quantur ita{\que} $ab$ \& $AB$, \& propterea triangula $abc$, $ABC$, qu{\ae} modo similia esse probavimus, sunt etiam {\ae}qualia. Unde cum tangant insuper trianguli $DEF$ anguli $D$, $E$, $F$ trianguli $abc$ latera $ab$, $ac$, $bc$ respective, compleri potest figura $ABCdef$ figur{\ae} $abcDEF$ similis \& {\ae}qualis, at{\que} eam complendo solvetur Problema. \QEFit \textit{Corol.}\wsp{}Hinc recta duci potest cujus partes longitudine dat{\ae} rectis tribus positione datis interjacebunt. Concipe Triangulum $DEF$, puncto $D$ ad latus $EF$ accedente, \& lateribus $DE$, $DF$ in directum positis, mutari in lineam rectam, cujus pars data $DE$, rectis positione datis $AB$, $AC$, \& pars data $DF$ rectis positione datis $AB$, $BC$ interponi debet; \& applicando constructionem pr{\ae}cedentem ad hunc casum solvetur Problema. \condpagelarge{Prop.\ XXVIII\@. Prob.\ XX.} \textit{Trajectoriam specie \& magnitudine datam describere, cujus partes dat{\ae} rectis tribus positione datis interjacebunt.} \pngright{106.png}{2269}{1053}{-24} %Illustration Describenda sit Trajectoria qu{\ae} sit similis \& {\ae}qualis line{\ae} curv{\ae} $DEF$, qu{\ae}{\que} a rectis trib\-us $AB$, $AC$, $BC$ positione datis, in % -----File: 106.png--- partes datis hujus partibus $DE$ \& $EF$ similes \& {\ae}quales secabitur. Age rectas $DE$, $EF$, $DF$, \& trianguli hujus $DEF$ pone angulos $D$, $E$, $F$ ad rectas illas positione datas: (per Lem.\ XXVI) Dein circa triangulum describe Trajectoriam curv{\ae} $DEF$ similem \& {\ae}qualem. \QEFit \condpagelarge{Lemma XXVII.} \textit{Trapezium specie datum describere cujus anguli ad rectas quatuor positione datas (qu{\ae} ne{\que} omnes parallel{\ae} sunt, ne{\que} ad commune punctum convergunt) singuli ad singulas consistent.} \pngrightsc{108.png}{2265}{1709}{11}{12} %Illustration Dentur positione rect{\ae} quatuor $ABC$, $AD$, $BD$, $CE$, quarum prima secet secundam in $A$, tertiam in $B$, \& quartam in $C$: \& describendum sit Trapezium $fghi$ quod sit Trapezio $FGHI$ simile, \& cujus angulus $f$, angulo dato $F$ {\ae}qualis, tangat rectam $ABC$ c{\ae}teri{\que} anguli $g$, $h$, $i$ c{\ae}teris angulis datis $G$, $H$, $I$ {\ae}quales tangant c{\ae}teras lineas $AD$, $BD$, $CE$ respective. Jungatur $FH$, \& super $FG$, $FH$, $FI$ describantur totidem circulorum segmenta $FSG$, $FTH$, $FVI$; quorum primum $FSG$ capiat angulum {\ae}qualem angulo $BAD$, secundum $FTH$ capiat angulum {\ae}qualem angulo $CBE$; ac tertium $FVI$ capiat angulum {\ae}qualem angulo $ACE$. % -----File: 107.png--- Describi autem debent segmenta ad eas partes linearum $FG$, $FH$, $FI$, ut literarum $FSGF$ idem sit ordo circularis qui literarum $BADB$, ut{\que} liter{\ae} $FTHF$ eodem ordine cum literis $CBEC$, \& liter{\ae} $FVIF$ eodem cum literis $ACEA$ in orbem redeant. Compleantur segmenta in circulos, sit{\que} $P$ centrum circuli primi $FSG$, \& $Q$ centrum secundi $FTH$. Jungatur \& utrin{\que} producatur $PQ$, \& in ea capiatur $QR$ in ea ratione ad $PQ$ quam habet $BC$ ad $AB$. Capiatur autem $QR$ ad eas partes puncti $Q$ ut literarum $P$, $Q$, $R$ idem sit ordo circularis at{\que} literarum $A$, $B$, $C$: centro{\que} $R$ \& intervallo $RF$ describatur circulus quartus $FNc$ secans circulum tertium $FVI$ in $c$. Jungatur $Fc$ secans circulum primum in $a$ \& secundum in $b$. Agantur $aG$, $bH$, $cI$, \& figur{\ae} $abcFGHI$ similis constituatur figura $ABCfghi$: Erit{\que} Trapezium $fghi$ illud ipsum quod constituere oportuit. Secent enim circuli duo primi $FSG$, $FTH$ se mutuo in $K$. Jungantur $PK$, $QK$, $RK$, $aK$, $bK$, $cK$ \& producatur $QP$ ad % -----File: 108.png--- $L$. Anguli ad circumferentias $FaK$, $FbK$, $FcK$, sunt semisses angulorum $FPK$, $FQK$, $FRK$ ad centra, adeo{\que} angulorum illorum dimidiis $LPK$, $LQK$, $LRK$ {\ae}quales. Est ergo figura $PQRK$ figur{\ae} $abcK$ {\ae}quiangula \& similis, \& propterea $ab$ est ad $bc$ ut $PQ$ ad $QR$, id est ut $AB$ ad $BC$. Angulis insuper $FaG$, $FbH$, $FcI$ {\ae}quantur $fAg$, $fBh$, $fCi$ per constructionem. Ergo figur{\ae} $abcFGHI$ figura similis $ABCfghi$ compleri potest. Quo facto Trapezium $fghi$ constituetur simile Trapezio $FGHI$ \& angulis suis $f$, $g$, $h$, $i$ tanget rectas $AB$, $AD$, $BD$, $CE$. \QEFit \textit{Corol.}\wsp{}Hinc recta duci potest cujus partes, rectis quatuor positione datis dato ordine interject{\ae}, datam habebunt proportionem ad invicem. Augeantur anguli $FGH$, $GHI$ us{\que} eo, ut rect{\ae} $FG$, $GH$, $HI$ in directum jaceant, \& in hoc casu construendo Problema, ducetur recta $fghi$ cujus partes $fg$, $gh$, $hi$, rectis quatuor positione datis $AB$ \& $AD$, $AD$ \& $BD$, $BD$ \& $CE$ interject{\ae}, erunt ad invicem ut line{\ae} $FG$, $GH$, $HI$, eundem{\que} servabunt ordinem inter se. Idem vero sic fit expeditius. % -----File: 109.png--- \pngright{109.png}{1806}{1685}{-24} %Illustration Producantur $AB$ ad $K$, \& $BD$ ad $L$, ut sit $BK$ ad $AB$ ut $HI$ ad $GH$; \& $DL$ ad $BD$ ut $GI$ ad $FG$; \& jungatur $KL$ occurrens rect{\ae} $CE$ in $i$. Producatur $iL$ ad $M$, ut sit $LM$ ad $iL$ ut $GH$ ad $HI$, \& agatur tum $MQ$ ipsi $LB$ parallela rect{\ae}{\que} $AD$ occurrens in $g$, tum $gi$ secans $AB$, $BD$ in $f$, $h$. Dico factum. Secet enim $Mg$ rectam $AB$ in $Q$, \& $AD$ rectam $KL$ in $S$, \& agatur $AP$, qu{\ae} sit ipsi $BD$ parallela \& occurrat $iL$ in $P$, \& erunt $Mg$ ad $Lh$ ($Mi$ ad $Li$, $gi$ ad $hi$, $AK$ ad $BK$) \& $AP$ ad $BL$ in eadem ratione. Secetur $DL$ in $R$ ut sit $DL$ ad $RL$ in eadem illa ratione, \& ob proportionales $gS$ ad $gM$, $AS$ ad $AP$ \& $DS$ ad $DL$, erit ex {\ae}quo ut $gS$ ad $Lh$ ita $AS$ ad $BL$ \& $DS$ ad $RL$; \& mixtim, $BL - RL$ ad $Lh - BL$ ut $AS - DS$ ad $gS - AS$. Id est $BR$ ad $Bh$ ut $AD$ ad $Ag$, adeo{\que} ut $BD$ ad $gQ$. Et vicissim $BR$ ad $BD$ ut $Bh$ ad $gQ$ seu $fh$ ad $fg$. Sed ex constructione est $BR$ ad $BD$ ut $FH$ ad $FG$. Ergo $fh$ est ad $fg$ ut $FH$ ad $FG$. Cum igitur sit etiam $ig$ ad $ih$ ut $Mi$ ad $Li$, id est, ut $IG$ ad $IH$, patet lineas $FI$, $fi$ in $g$ \& $h$, $G$ \& $H$ similiter sectas esse. \QEFit In constructione Corollarii hujus postquam ducitur $LK$ secans % -----File: 110.png--- $CE$ in $i$, producere licet $iE$ ad $V$, ut sit $EV$ ad $iE$ ut $FH$ ad $HI$, \& agere $Vf$ parallelam ipsi $BD$. Eodem recidit si centro $i$, intervallo $IH$ describatur circulus secans $BD$ in $X$, producatur $iX$ ad $Y$, ut sit $iY$ {\ae}qualis $IF$, \& agatur $Yf$ ipsi $BD$ parallela. \condpagelarge{Prop.\ XXIX\@. Prob.\ XIX.} \textit{Trajectoriam specie datam describere, qu{\ae} a rectis quatuor positione datis in partes secabitur, ordine, specie \& proportione datas.} \pngright{110.png}{1975}{1835}{-24} %Illustration Describenda sit Trajectoria $fghi$, qu{\ae} similis sit line{\ae} curv{\ae} $FGHI$, \& cujus partes $fg$, $gh$, $hi$ illius partibus $FG$, $GH$, $HI$ similes \& proportionales, rectis $AB$ \& $AD$, $AD$ \& $BD$, $BD$ \& $EC$ positione datis, prima primis, secunda secundis, tertia tertiis interjace\-ant. Actis rectis $FG$, $GH$, $HI$, $FI$, describatur Trapezium $fghi$ quod sit Trapezio $FGHI$ simile \& cujus anguli $f$, $g$, $h$, $i$ tangant rectas illas positione datas $AB$, $AD$, $BD$, $CE$ singuli singulas dicto ordine. Dein (per Lem.\ XXVII) circa hoc Trapezium describatur Trajectoria curv{\ae} line{\ae} $FGHI$ consimilis. % -----File: 111.png--- \condpagelarge{\textit{Scholium.}} Construi etiam potest hoc Problema ut sequitur. Junctis $FG$, $GH$, $HI$, $FI$ produc $GF$ ad $V$, junge{\que} $FH$, $IG$, \& angulis $FGH$, $VFH$ fac angulos $CAK$, $DAL$ {\ae}quales. Concurrant $AK$, $AL$ cum recta $BD$ in $K$ \& $L$, \& inde aguntur $KM$, $LN$, quarum $KM$ constituat angulum $AKM$ {\ae}qualem angulo $GHI$, sit{\que} ad $AK$ ut est $HI$ ad $GH$; \& $LN$ constituat angulum $ALN$ {\ae}qualem angulo $FHI$, sit{\que} ad $AL$ ut $HI$ ad $FH$. Ducantur autem $AK$, $KM$, $AL$, $LN$ ad eas partes linearum $AD$, $AK$, $AL$, ut liter{\ae} $CAKMC$, $ALK$, $DALND$ eodem ordine cum literis $FGHIF$ in orbem redeant, \& acta $MN$ occurrat rect{\ae} $CE$ in $i$. Fac angulum $iEP$ {\ae}qualem angulo $IGF$, sit{\que} $PE$ ad $Ei$ ut $FG$ ad $GI$; \& per $P$ agatur $QPf$, qu{\ae} cum recta $AED$ contineat angulum $PQE$ {\ae}qualem angulo $FIG$, rect{\ae}{\que} $AB$ occurrat in $f$, \& jungatur $fi$. Agantur autem $PE$ \& $PQ$ ad eas partes linearum $CE$, $PE$, ut literarum $PEiP$ \& $PEQP$ idem sit ordo circularis qui literarum $FGHIF$, \& si super linea $fi$ eodem quo{\que} literarum ordine constituatur Trapezium $fghi$ Trapezio $FGHI$ simile, \& circumscribatur Trajectoria specie data, solvetur Problema. \pngcent{111.png}{2285}{1185} %Illustration Hactenus de orbibus inveniendis. Superest ut motus corporum orbibus inventis determinemus. % -----File: 112.png--- \sectpage{VI.} \begin{center}{\textit{De inventione motuum in Orbibus datis.}}\end{center} \propnopage{Prop.\ XXX\@. Prob.\ XXII.} \textit{Corporis in data Trajectoria Parabolica moventis, invenire locum ad tempus assignatum.} \pngright{112.png}{918}{1298}{-24} %Illustration Sit $S$ umbilicus \& $A$ vertex principalis Parabol{\ae}, sit{\que} $4AS \times M$ area Parabolica $APS$, qu{\ae} radio $SP$, vel post excessum corporis de vertice descripta fuit, vel ante appulsum ejus ad verticem describenda est. Innotescit area illa ex tempore ipsi proportionali. Biseca $AS$ in $G$, erige{\que} perpendiculum $GH$ {\ae}quale $3M$, \& circulus centro $H$, intervallo $HS$ descriptus secabit Parabolam in loco qu{\ae}sito $P$. Nam demissa ad axem perpendiculari $PO$, est $HGq. + GSq.$ (= $HSq.$ = $HPq.$ = $GOq. + \overline{PO - HG}q.$) = $GOq. + HGq - 2HG \times PO + POq$. Et deleto utrin{\que} $HGq.$ fiet $GSq.$ = $GOq. - 2HG \times PO + POq.$ seu $2HG \times PO$ (= $GOq. + POq. - GSq.$ = $AOq. - 2GAO + POq.$) = $AOq. + \frac{3}{4}POq$. Pro $AOq.$ scribe $AO \times \frac{POq.}{4AS}$, \& applicatis terminis omnibus ad $3PO$, ductis{\que} in $2AS$, fiet $\frac{4}{3}GH \times AS$ (= $\frac{1}{6}AO \times PO + \frac{1}{2}AS \times PO$ = $\frac{AO + 3AS}{6} \times PO$ = $\frac{4AO - 3SO}{6} \times PO$ = are{\ae} $APO - SPO$) = are{\ae} $APS$. Sed $GH$ erat $3M$, \& inde % -----File: 113.png--- $\frac{4}{3}HG \times AS$ est $4AS \times M$. Ergo area $APS$ {\ae}qualis est $4AS \times M$. \QEDit \textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Hinc $GH$ est ad $AS$, ut tempus quo corpus descripsit arcum $AP$ ad tempus quo corpus descripsit arcum inter verticem $A$ \& perpendiculum ad axem ab umbilico $S$ erectum. \textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Et circulo $ASP$ per corpus movens perpetuo transeunte, velocitas puncti $H$ est ad velocitatem quam corpus habuit in vertice $A$, ut 3 ad 8; adeo{\que} in ea etiam ratione est linea $GH$ ad lineam rectam quam corpus tempore motus sui ab $A$ ad $P$, ea cum velocitate quam habuit in vertice $A$, describere posset. \textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Hinc etiam viceversa inveniri potest tempus quo corpus descripsit arcum quemvis assignatum $AP$. Junge $AP$ \& ad medium ejus punctum erige perpendiculum rect{\ae} $GH$ occurrens in $H$. \condpagelarge{Lemma XXVIII.} \textit{Nulla extat figura Ovalis cujus area, rectis pro lubitu abscissa, possit per {\ae}quationes numero terminorum ac dimensionum finitas generaliter inveniri.} Intra Ovalem detur punctum quodvis, circa quod ceu polum revolvatur perpetuo linea recta, \& interea in recta illa exeat punctum mobile de polo, pergat{\que} semper ea cum velocitate, qu{\ae} sit ut rect{\ae} illius intra Ovalem longitudo. Hoc motu punctum illud describet Spiralem gyris infinitis. Jam si area Oualis per finitam {\ae}quationem inveniri potest, invenietur etiam per eandem {\ae}quationem distantia puncti a polo; qu{\ae} huic are{\ae} proportionalis est, adeo{\que} omnia Spiralis puncta per {\ae}quationem finitam inveniri possunt: \& propterea rect{\ae} cujusvis positione dat{\ae} intersectio cum spirali inveniri etiam potest per {\ae}quationem finitam. Atqui recta omnis infinite producta spiralem secat in punctis numero infinitis, \& {\ae}quatio, qua intersectio aliqua duarum linearum invenitur, exhibet earum intersectiones omnes radicibus totidem, % -----File: 114.png--- adeo{\que} ascendit ad tot dimensiones quot sunt intersectiones. Quoniam circuli duo se mutuo secant in punctis duobus, intersectio una non invenitur nisi per {\ae}quationem duarum dimensionum, qua intersectio altera etiam inveniatur. Quoniam duarum sectionum Conicarum quatuor esse possunt intersectiones, non potest aliqua earum generaliter inveniri nisi per {\ae}quationem quatuor dimensionum, qua omnes simul inveniantur. Nam si intersectiones ill{\ae} seorsim qu{\ae}rantur, quoniam eadem est omnium lex \& conditio, idem erit calculus in casu unoquo{\que} \& propterea eadem semper conclusio, qu{\ae} igitur debet omnes intersectiones simul complecti \& indifferenter exhibere. Unde etiam intersectiones Sectionum Conicarum \& curvarum terti{\ae} potestatis, eo quod sex esse possunt, simul prodeunt per {\ae}quationes sex dimensionum, \& intersectiones duarum curvarum terti{\ae} potestatis, quia novem esse possunt, simul prodeunt per {\ae}quationes dimensionum novem. Id nisi necessario fieret, reducere liceret Problemata omnia Solida ad Plana, \& plusquam solida ad solida. Eadem de causa intersectiones bin{\ae} rectarum \& sectionum Conicarum prodeunt semper per {\ae}quationes duarum dimensionum; tern{\ae} rectarum \& curvarum terti{\ae} potestatis per {\ae}quationes trium, quatern{\ae} rectarum \& curvarum quart{\ae} potestatis per {\ae}quationes dimensionum quatuor, \& sic in \label{wasp106}infinitum. Ergo intersectiones numero infinit{\ae} rectarum, propterea quod omnium eadem est lex \& idem calculus, requirunt {\ae}quationes numero dimensionum \& radicum infinitas, quibus omnes possunt simul exhiberi. Si a polo in rectam illam secantem demittatur perpendiculum, \& perpendiculum una cum secante revolvatur circa polum, intersectiones spiralis transibunt in se mutuo, qu{\ae}{\que} prima erat seu proxima, post unam revolutionem secunda erit, post duas tertia, \& sic deinceps: nec interea mutabitur {\ae}quatio nisi pro mutata magnitudine quantitatum per quas positio secantis determinatur. Unde cum quantitates ill{\ae} post singulas revolutiones redeunt ad magnitudines primas, {\ae}quatio redibit ad formam primam, adeo{\que} una eadem{\que} exhibebit intersectiones % -----File: 115.png--- omnes, \& propterea radices habebit numero infinitas, quibus omnes exhiberi possunt. Nequit ergo intersectio rect{\ae} \& spiralis per {\ae}quationem finitam generaliter inveniri, \& idcirco nulla extat Ovalis cujus area, rectis imperatis abscissa, possit per talem {\ae}quationem generaliter exhiberi. Eodem argumento, si intervallum poli \& puncti, quo spiralis describitur, capiatur Ovalis perimetro absciss{\ae} proportionale, probari potest quod longitudo perimetri nequit per finitam {\ae}quationem generaliter exhiberi. \condpagelarge{\textit{Corollarium.}} Hinc area Ellipseos, qu{\ae} radio ab umbilico ad corpus mobile ducto describitur, non prodit ex dato tempore, per {\ae}quationem finitam; \& propterea per descriptionem Curuarum Geometrice rationalium determinari nequit. Curvas Geometrice rationales appello quarum puncta omnia per longitudines {\ae}quationibus definitas, id est, per longitudinum rationes complicatas, determinari possunt; c{\ae}teras{\que} (ut Spirales, Quadratrices, Trochoides) Geometrice irrationales. Nam longitudines qu{\ae} sunt vel non sunt ut numerus ad numerum (quemadmodum in decimo Elementorum) sunt Arithmetice rationales vel irrationales. Aream igitur Ellipseos tempori proportionalem abscindo per Curvam Geometrice irrationalem ut sequitur. \condpagelarge{Prop.\ XXXI\@. Prob.\ XXIII.} \textit{Corporis in data Trajectoria Elliptica moventis invenire locum ad tempus assignatum.} Ellipseos $APB$ sit $A$ vertex principalis, $S$ umbilicus, $O$ centrum, sit{\que} $P$ corporis locus inveniendus. Produc $OA$ ad $G$ ut sit $OG$ % -----File: 116.png--- ad $OA$ ut $OA$ ad $OS$. Erige perpendiculum $GH$, centro{\que} $O$ \& intervallo $OG$ describe circulum $EFG$, \& super regula $GH$, ceu fundo, progrediatur rota $GEF$ revolvendo circa axem suum, \& interea puncto suo $A$ describendo Trochoidem $ALI$. Quo facto, cape $GK$ in ratione ad rot{\ae} perimetrum $GEFG$, ut est tempus quo corpus progrediendo ab $A$ descripsit arcum $AP$, ad tempus revolutionis unius in Ellipsi. Erigatur perpendiculum $KL$ occurrens Trochoidi in $L$, \& acta $LP$ ipsi $KG$ parallela occurret Ellipsi in corporis loco qu{\ae}sito $P$. \pngright{116.png}{2127}{1249}{-24} %Illustration Nam centro $O$ intervallo $OA$ describatur semicirculus $AQB$, \& arcui $AQ$ occurrat $LP$ producta in $Q$, jungantur{\que} $SQ$, $OQ$. Arcui $EFG$ occurrat $OQ$ in $F$, \& in eandem $OQ$ demittatur perpendiculum $SR$. Area $APS$ est ut area $AQS$, id est, ut differentia inter sectorem $OQA$ \& triangulum $OQS$, sive ut differentia rectangulorum $\frac{1}{2}Q \times AQ$ \& $\frac{1}{2}OQ \times SR$, hoc est, ob datam $\frac{1}{2}OQ$, ut differentia inter arcum $AQ$ \& rectam $SR$, adeo{\que} (ob {\ae}qualitatem rationum $SR$ ad sinum arcus $AQ$, $OS$ ad $OA$, $OA$ ad $OG$, $AQ$ ad $GF$, \& divisim $AQ - SR$ ad $GF - \operatorname{sin. arc.} AQ$) ut $GK$ differentia inter arcum $GF$ \& sinum arcus $AQ$. \QEDit % -----File: 117.png--- \condpagelarge{\textit{Scholium.}} C{\ae}terum ob difficultatem describendi hanc curvam pr{\ae}stat constructiones vero proximas in praxi Mechanica adhibere. Ellipseos cujusvis $APB$ sit $AB$ axis major, $O$ centrum, $S$ umbilicus, $OD$ semiaxis minor, \& $AK$ dimidium lateris recti. Secetur $AS$ in $G$, ut sit $AG$ ad $AS$ ut $BO$ ad $BS$; \& qu{\ae}ratur longitudo $L$, qu{\ae} sit ad $\frac{1}{2}GK$ ut est $AO \opit{quad.}$ ad rectangulum $AS \times OD$. Bisecetur $OG$ in $C$, centro{\que} $C$ \& intervallo $CG$ describatur semicirculus $GFO$. Deni{\que} capiatur angulus $GCF$ in ea ratione ad angulos quatuor rectos, quam habet tempus datum, quo corpus descripsit arcum qu{\ae}situm $AP$, ad tempus periodicum seu revolutionis unius in Ellipsi: Ad $AO$ demittatur normalis $FE$, \& producatur eadem versus $F$ ad us{\que} $N$, ut sit $EN$ ad longitudinem $L$, ut anguli illius sinus $EF$ ad radium $CF$; centro{\que} $N$ \& intervallo $AN$ descriptus circulus secabit Ellipsin in corporis loco qu{\ae}sito $P$ quam proxime. \label{wasp109}\pngright{118.png}{1741}{1178}{-24} %Illustration Nam completo dimidio temporis periodici, corpus $P$ semper reperietur in Apside summa $B$, \& completo altero temporis dimidio, redibit ad Apsidem imam, ut oportet. Ubi vero proxime abest ab Apsidibus, ratio prima nascentium sectorum $ASP$, $GCF$, \& ratio ultima evanescentium $BSP$ \& $OCF$, eadem est rationi Ellipseos totius ad circulum totum. Nam punctis % -----File: 118.png--- $P$, $F$ \& $N$ incidentibus in loca $p$, $f$ \& $n$ axi $AB$ quam proximis; ob {\ae}quales $An$, $pn$, recta $nq$, qu{\ae} ad arcum $Ap$ perpendicularis est, adeo{\que} concurrit cum axe in puncto $K$, bisecat arcum $Ap$. Proinde est $\frac{1}{2}Ap$ ad $Gn$ ut $AK$ ad $GK$, \& $Ap$ ad $Gn$ ut $2AK$ ad $GK$. Est \& $Gn$ ad $Gf$ ut $EN$ ad $EF$, seu $L$ ad $CF$, id est, ut $\frac{GK \times AOq.}{2AS \times OD}$ ad $CF$, seu $GK \times AOq.$ ad $2AS \times OD \times CF$, \& ex {\ae}quo $Ap$ ad $Gf$ ut $2AK$ ad $GK + GK \times AOq.$ ad $2AS \times OD \times CF$, id est, ut $AK \times AOq.$ ad $AS \times OD \times CF$, hoc est, ob {\ae}qualia $AK \times AO \times ODq.$ ut $AO \times OD$ ad $AS \times CF$. Proinde $Ap \times \frac{1}{2}AS$ est ad $Gf \times \frac{1}{2}GC$ ut $AO \times OD \times AS$ ad $AS \times CF \times GC$, seu $AO \times OD$ ad $CGq.$ id est, sector nascens $ASp$ ad sectorem nascentem $GCf$ ut $AO \times OD$ ad $CGq.$ \& propterea ut area Ellipseos totius ad aream circuli totius. \QEDit Argumento prolixiore probari potest analogia ultima in Sectoribus evanescentibus $BSP$, $OCF$: ideo{\que} locus puncti $P$ prope Apsides satis accurate inventus est. In quadraturis error quasi quingentesim{\ae} partis are{\ae} Ellipseos totius vel paulo major obvenire solet: qui tamen propemodum evanescet per ulteriorem Constructionem sequentem. Per puncta $G$, $O$, duc arcum circularem $GTO$ just{\ae} magnitudinis; dein produc $EF$ hinc inde ad $T$ \& $N$ ut sit $EN$ ad $FT$ ut $\frac{1}{2}L$ ad $CF$; centro{\que} $N$ \& intervallo $AN$ describe circulum qui secet Ellipsin in $P$, ut supra. Arcus autem $GTO$ determinabitur % -----File: 119.png--- qu{\ae}rendo ejus punctum aliquod $T$; quod constructionem in illo casu accuratam reddet. Si Ellipseos latus transversum multo majus sit quam latus rectum, \& motus corporis prope verticem Ellipseos desideretur, (qui casus in Theoria Cometarum incidit,) educere licet e puncto $G$ rectam $GI$ axi $AB$ perpendicularem, \& in ea ratione ad $GK$ quam habet area $AVPS$ ad rectangulum $AK \times AS$; dein centro $I$ \& intervallo $AI$ circulum describere. Hic enim secabit Ellipsim in corporis loco qu{\ae}sito $P$ quamproxime. Et eadem constructione (mutatis mutandis) conficitur Problema in Hyperbola. H{\ae} autem constructiones demonstrantur ut supra, \& si Figura (vertice ulteriore $B$ in infinitum abeunte) vertatur in Parabolam, migrant in accuratam illam constructionem Problematis XXII. \pngright{119.png}{1596}{1114}{-24} %Illustration Si quando locus ille $P$ accuratius determinandus sit, inveniatur tum angulus quidam $B$, qui sit ad angulum graduum $57\decimals{29578}$ quem arcus radio {\ae}qualis subtendit, ut est umbilicorum distantia $SH$ ad Ellipseos diametrum $AB$; tum etiam longitudo qu{\ae}dam $L$, qu{\ae} sit ad radium in eadem ratione inverse. Quibus semel inventis, Problema deinceps confit per sequentem Analysin. Per constructionem superiorem (vel utcun{\que} conjecturam faciendo) cognoscatur corporis locus $P$ quam proxime. Demissa{\que} ad axem Ellipseos ordinatim applicata $PR$, ex proportione diametrorum Ellipseos, dabitur circuli circumscripti $AQB$ ordinatim applicata $RQ$, qu{\ae} sinus est anguli $ACQ$ existente % -----File: 120.png--- $AC$ radio. Sufficit angulum illum rudi calculo in numeris proximis invenire. Cognoscatur etiam angulus tempori \label{wasp112}proportionalis, id est, qui sit ad quatuor rectos ut est tempus quo corpus descripsit arcum $AP$, ad tempus revolutionis unius in Ellipsi. Sit angulus iste $N$. Tum capiatur \& angulus $D$ ad angulum $B$, ut est sinus iste anguli $ACQ$ ad Radium, \& angulus $E$ ad angulum $N - ACQ + D$, ut est longitudo $L$ ad longitudinem eandem $L$ cosinu anguli $ACQ + \frac{1}{2}D$ diminutam, ubi angulus iste recto minor est, auctam ubi major. Postea capiatur tum \label{wasp112bis}angulus $F$ ad angulum $B$, ut est sinus anguli $ACQ + E$ ad radium, tum angulus $G$ ad angulum $N - ACQ - E + F$ ut est longitudo $L$ ad Longitudinem eandem cosinu anguli $ACQ + E + \frac{1}{2}F$ diminutam ubi angulus iste recto minor est, auctam ubi major. Tertia vice capiatur angulus $H$ ad angulum $B$, ut est sinus anguli $ACQ + E + G$ ad radium; \& angulus $I$ ad angulum $N - ACQ - E - G + H$, ut est longitudo $L$ ad eandem longitudinem cosinu anguli $ACQ + E + G + \frac{1}{2}H$ diminutam, ubi angulus iste recto minor est, auctam ubi major. Et sic pergere licet in infinitum. Deni{\que} capiatur angulus $ACq$ {\ae}qualis angulo $ACQ + E + G + I$ \&c.\ \& ex cosinu ejus $Cr$ \& ordinata $pr$, qu{\ae} est ab sinum $qr$ ut Ellipseos axis minor ad axem majorem, habebitur corporis locus correctus $p$. Siquando angulus $N - ACQ + D$ negativus est, debet signum + ipsius $E$ ubi{\que} mutari in -, \& signum - in +. Idem intelligendum est de signis ipsorum $G$ \& $I$, ubi anguli $N - ACQ - E + F$, \& $N - ACQ - E - G + H$ negative % -----File: 121.png--- prodeunt. Convergit autem series infinita $ACQ + E + G + I$ quam celerrime, adeo ut vix unquam opus fuerit ultra progredi quam ad terminum secundum $E$. Et fundatur calculus in hoc Theoremate, quod area $APS$ sit ut differentia inter arcum $AQ$ \& rectam ab umbilico $S$ in Radium $CQ$ perpendiculariter demissam. \pngright{121.png}{1034}{876}{-12} %Illustration Non dissimili calculo conficitur Problema in Hyperbola. Sit ejus centrum $C$, Vertex $A$, Umbilicus $S$ \& \label{wasp113}Asymptotos $CK$. Cognoscatur quantitas are{\ae} $APS$ tempori proportionalis. Sit ea $A$, \& fiat conjectura de positione rect{\ae} $SP$, qu{\ae} aream illam abscindat quamproxime. Jungatur $CP$, \& ab $A$ \& $P$ ad Asymptoton agantur $AI$, $PK$ Asymptoto alteri parallel{\ae}, \& per Tabulam Logarithmorum dabitur Area $AIKP$, ei{\que} {\ae}qualis area $CPA$, qu{\ae} subducta de triangulo $CPS$ relinquet aream $APS$. Applicando arearum $A$ \& $APS$ semidifferentiam $\frac{1}{2}APS - \frac{1}{2}A$ vel $\frac{1}{2}A - \frac{1}{2}APS$ ad lineam $SN$, qu{\ae} ab umbilico $S$ in tangentem $PT$ perpendicularis est, orietur longitudo $PQ$. Capiatur autem $PQ$ inter $A$ \& $P$, si area $APS$ major sit area $A$, secus ad puncti $P$ contrarias partes: \& punctum $Q$ erit locus corporis accuratius. Et computatione repetita invenietur idem accuratius in perpetuum. %!!Page reference At{\que} his calculis Problema generaliter confit Analytice. Verum usibus Astronomicis accommodatior est calculus particularis qui sequitur. Existentibus $AO$, $OB$, $OD$ semiaxibus Ellipseos, (\textit{Vide fig.\ pag.\ \pageref{wasp109}.})\ \& $L$ ipsius latere recto, qu{\ae}re tum angulum $Y$, cujus Tangens sit ad Radium ut est semiaxium differentia $AO - OD$ ad eorum summam $AO + OD$; tum angulum $Z$, cujus tangens sit ad Radium ut rectangulum sub umbilicorum distantia $SH$ \& semiaxium differentia $AO - OD$ ad triplum rectangulum sub $OQ$ semiaxe minore \& $AO - \frac{1}{4}L$ differentia inter semiaxem % -----File: 122.png--- majorem \& quartam partem lateris recti. His angulis semel inventis, locus corporis sic deinceps determinabitur. Sume angulum $T$ proportionalem tempori quo arcus $BP$ descriptus est, seu motui medio (ut loquuntur) {\ae}qualem; \& angulum $V$ (primam medii motus {\ae}quationem) ad angulum $Y$ ({\ae}quationem maximam primam) ut est sinus anguli $T$ duplicati ad radium; at{\que} angulum $X$ ({\ae}quationem secundam) ad angulum $Z$ ({\ae}quationem maximam secundam) ut est sinus versus anguli $T$ duplicati ad radium duplicatum, vel (quod eodem recidit) ut est quadratum sinus anguli $T$ ad quadratum Radii. Angulorum $T$, $V$, $X$ vel summ{\ae} $T + X + V$, si angulus $T$ recto minor est, vel differenti{\ae} $T + X - V$, si is recto major est rectis{\que} duobus minor, {\ae}qualem cape angulum $BHP$ (motum medium {\ae}quatum;) \& si $HP$ occurrat Ellipsi in $P$, acta $SP$ abscindet aream $BSP$ tempori proportionalem quamproxime. H{\ae}c Praxis satis expedita videtur, propterea quod angulorum perexiguorum $V$ \& $X$ (in minutis secundis, si placet, positorum) figuras duas tresve primas invenire sufficit. Invento autem angulo motus medii {\ae}quati $BHP$, angulus veri motus $HSP$ \& distantia $SP$ in promptu sunt per methodum notissimam Dris.\ \textit{Sethi Wardi} Episcopi \textit{Salisburiensis} mihi plurimum colendi. Hactenus de motu corporum in lineis curvis. Fieri autem potest ut mobile recta descendat vel recta ascendat, \& qu{\ae} ad istiusmodi motus spectant, pergo jam exponere. % -----File: 123.png--- \sectpage{VII.} \begin{center}{\textit{De Corporum Ascensu \& Descensu Rectilineo.}}\end{center} \propnopage{Prop.\ XXXII\@. Prob.\ XXIV.} \textit{Posito quod vis centripeta sit reciproce proportionalis quad\-rato distanti{\ae} locorum a centro, spatia definire qu{\ae} corpus recta cadendo datis temporibus describit.} \pngright{123.png}{640}{1856}{-24} %Illustration \textit{Cas.\fsp{}1.}\wsp{}Si corpus non cadit perpendiculariter describet id sectionem aliquam Conicam cujus umbilicus inferior congruit cum centro. Id ex Propositionibus XI, XII, XIII \& earum Corollariis constat. Sit sectio illa Conica $ARPB$ \& umbilicus inferior $S$. Et primo si Figura illa Ellipsis est, super hujus axe majore $AB$ describatur semicirculus $ADB$, \& per corpus decidens transeat recta $DPC$ perpendicularis ad axem; actis{\que} $DS$, $PS$ erit area $ASD$ are{\ae} $ASP$ at{\que} adeo etiam tempori proportionalis. Manente axe $AB$ minuatur perpetuo latitudo Ellipseos, \& semper manebit area $ASD$ tempori proportionalis. Minuatur latitudo illa in infinitum, \& orbe $APB$ jam coincidente cum axe $AB$ \& umbilico $S$ cum axis termino $B$, descendet corpus in recta $AC$, \& area $ABD$ evadet tempori proportionalis. Dabitur ita{\que} spatium $AC$, quod corpus de loco $A$ perpendiculariter cadendo tempore dato describit, si modo tempori proportionalis capiatur area $ABD$, \& a puncto $D$ ad rectam $AB$ demittatur perpendicularis $DC$. \QEIit % -----File: 124.png--- \pngright{126.png}{1059}{1758}{-24} %Illustration \textit{Cas.\fsp{}2.}\wsp{}Sin figura superior $RPB$ Hyperbola est, describatur ad eandem diametrum principalem $AB$ Hyperbola rectangula $BD$: \& quoniam are{\ae} $CSP$, $CBfP$, $SPfB$ sunt ad areas $CSD$, $CBED$, $SDEB$, singul{\ae} ad singulas, in data ratione altitudinum $CP$, $CD$; \& area $SPfB$ proportionalis est tempori quo corpus $P$ movebitur per arcum $PB$, erit etiam area $SDEB$ eidem tempori proportionalis. Minuatur latus rectum Hyperbol{\ae} $RPB$ in infinitum manente latere transverso, \& coibit arcus $PB$ cum recta $CB$, \& umbilicus $S$ cum vertice $B$ \& recta $SD$ cum recta $BD$. Proinde area $BDEB$ proportionalis erit tempori quo corpus $C$ recto descensu describit lineam $CB$. \QEIit \textit{Cas.\fsp{}3.}\wsp{}Et simili argumento si figura $RPB$ Parabola est, \& eodem vertice principali $B$ describatur alia Parabola $BED$, qu{\ae} semper maneat data, interea dum Parabola prior in cujus perimetro corpus $P$ movetur, diminuto \& in nihilum redacto ejus Latere recto, conveniat cum linea $CB$, fiet segmentum Parabolicum $BDEB$ proportionale tempori quo corpus illud $P$ vel $C$ descendet ad centrum $B$. \QEIit \condpagelarge{Prop.\ XXXIII\@. Theor.\ IX.} \textit{Positis jam inventis, dico quod corporis cadentis velocitas in loco quovis $C$ est ad velocitatem corporis centro $B$ intervallo $BC$ circulum describentis, in dimidiata ratione quam $CA$, distantia corporis a Circuli vel Hyperbol{\ae} vertice ulteriore $A$, habet ad figur{\ae} semidiametrum principalem $\frac{1}{2}AB$.} % -----File: 125.png--- \pngright{123.png}{640}{1856}{-24} %Illustration Nam{\que} ob proportionales $CD$, $CP$, linea $AB$ communis est utrius{\que} figur{\ae} $RPB$, $DEB$ diameter. Bisecetur eadem in $O$, \& agatur recta $PT$ qu{\ae} tangat figuram $RPB$ in $P$, at{\que} etiam secet communem illam diametrum $AB$ (si opus est productam) in $T$; sit{\que} $SY$ ad hanc rectam \& $BQ$ ad hanc diametrum perpendicularis, at{\que} figur{\ae} $RPB$ latus rectum ponatur $L$. Constat per Cor.\ 9.\ Theor.\ VIII.\ quod corporis in linea $RPB$ circa centrum $S$ moventis velocitas in loco quovis $P$ sit ad velocitatem corporis intervallo $SP$ circa idem centrum circulum describentis in dimidiata ratione rectanguli $\frac{1}{2}L \times SP$ ad $SY$ quadratum. Est autem ex Conicis $ACB$ ad $CPq.$ ut $2AO$ ad $L$, adeo{\que} $\frac{2CPq. \times AO}{ACB}$ {\ae}quale $L$. Ergo velocitates ill{\ae} sunt ad invicem in dimidiata ratione $\frac{CPq. \times AO \times SP}{ACB}$ ad $SY \opit{quad}$. Porro ex Conicis est $CO$ ad $BO$ ut $BO$ ad $TO$, \& composite vel divisim ut $CB$ ad $BT$. Unde dividendo vel componendo fit $BO$ - uel + $CO$ ad $BO$ ut $CT$ ad $BT$, id est $AC$ ad $AO$ ut $CP$ ad $BQ$; inde{\que} $\frac{CPq. \times AO \times SP}{ACB}$ {\ae}quale est $\frac{BQq. \times AC \times SP}{AO \times BC}$. Minuatur jam in infinitum figur{\ae} $RPB$ latitudo $CP$, sic ut punctum $P$ coeat cum puncto $C$, punctum{\que} $S$ cum puncto $B$, \& linea $SP$ cum linea $BC$, linea{\que} $SY$ cum linea $BQ$; \& corporis jam recta descendentis\spreadout{in linea $CB$ velocitas fiet ad velocitatem corporis centro $B$} interuallo\spreadout{$BC$ circulum describentis, in dimidiata ratione ipsius $\frac{BQq.\times AC{}\times{}SP}{AO\times{}BC}$} %\pngright{126.png}{1059}{1758}{-24} %height parameter empirically adjusted to compensate for presence of header line \pngright{126.png}{1059}{1320}{-24} %Illustration \noindent ad $SYq.$ hoc est (neglectis {\ae}qualitatis rationibus $SP$ ad $BC$ \& $BQq.$ ad $SYq.$) in dimidiata ratione $AC$ ad $AO$. \QEDit % -----File: 126.png--- \textit{Corol.}\wsp{}Punctis $B$ \& $S$ coeuntibus, fit $TC$ ad $ST$ ut $AC$ ad $AO$. \condpagelarge{Prop.\ XXXIV\@. Theor.\ X.} \textit{Si figura $BED$ Parabola est, dico quod corporis cadentis velocitas in loco quovis $C$ {\ae}qualis est velocitati qua corpus centro $B$ dimidio intervalli sui $BC$ circulum uniformiter describere potest.} Nam corporis Parabolam $RPB$ circa centrum $S$ describentis velocitas in loco quovis $S$ (per Corol.\ 7.\ Theor.\ VIII) {\ae}qualis est velocitati corporis dimidio intervalli $SP$ circulum circa idem $S$ uniformiter describentis. Minuatur Parabol{\ae} latitudo $CP$ in infinitum eo, ut arcus Parabolicus $PfB$ cum recta $CB$, centrum $S$ cum vertice $B$, \& interuallum $SP$ cum intervallo $BP$ coincidat, \& constabit Propositio. \QEDit \condpagelarge{Prop.\ XXXV\@. Theor.\ XI.} \textit{Iisdem positis, dico quod area figur{\ae} $DES$, radio indefinito $SD$ descripta, {\ae}qualis sit are{\ae} quam corpus, radio dimidium lateris recti figur{\ae} $DES$ {\ae}quante, circa centrum $S$ uniformiter gyrando, eo\-dem tempore describere potest.} \pngright{127.png}{569}{1691}{-24} %Illustration Nam concipe corpus $C$ quam minima temporis particula lineolam $Cc$ cadendo describere, \& interea corpus aliud $K$, uniformiter in circulo $OKk$ circa centrum $S$ gyrando, arcum $Kk$ describere. % -----File: 127.png--- Erigantur perpendicula $CD$, $cd$ occurrentia figur{\ae} $DES$ in $D$, $d$. Jungantur $SD$, $SK$, $Sk$ \& ducatur $Dd$ axi $AS$ occurrens in $T$, \& ad eam demittatur perpendiculum $SY$. \textit{Cas.\fsp{}1.}\wsp{}Jam si figura $DES$ Circulus est vel Hyperbola, bisecetur ejus transversa diameter $AS$ in $O$, \& erit $SO$ dimidium Lateris recti. Et quoniam est $TC$ ad $TD$ ut $Cc$ ad $Dd$, \& $TD$ ad $TS$ ut $CD$ ad $SY$, erit ex {\ae}quo $TC$ ad $TS$ ut $CD \times Cc$ ad $SY \times Dd$. Sed per Corol.\ Prop.\ 33.\ est $TC$ ad $ST$ ut $AC$ ad $AO$, puta si in coitu punctorum $D$, $d$ capiantur linearum rationes ultim{\ae}. Ergo $AC$ est ad $AO$, id est ad $SK$, ut $CD \times Cc$ ad $SY \times Dd$. Porro corporis descendentis velocitas in $C$ est ad velocitatem corporis circulum intervallo $SC$ circa centrum $S$ describentis in dimidiata ratione $AC$ ad $AO$ vel $SK$ (per Theor.\ IX\@.) Et h{\ae}c velocitas ad velocitatem corporis describentis circulum $OKk$ in dimidiata ratione $SK$ ad $SC$ per Cor.\ 6.\ Theor.\ IV.\ \& ex {\ae}quo velocitas prima ad ultimam, hoc est lineola $Cc$ ad arcum $Kk$ in dimidiata ratione $AC$ ad $SC$, id est in ratione $AC$ ad $CD$. Quare est $CD \times Cc$ {\ae}quale $AC \times Kk$, \& propterea $AC$ ad $SK$ ut \pngright{128a.png}{1054}{1883}{-24} %Illustration \noindent $AC \times Kk$ ad $SY \times Dd$, inde{\que} $SK \times Kk$ {\ae}quale $SY \times Dd$, \& $\frac{1}{2}SK \times Kk$ {\ae}quale $\frac{1}{2}SY \times Dd$, id est area $KSk$ {\ae}qualis are{\ae} $SDd$. Singulis igitur temporis particulis generantur arearum duarum particul{\ae} $KSk$, $SDd$, qu{\ae}, si magnitudo earum minuatur \& numerus augeatur in infinitum, rationem obtinent {\ae}qualitatis, \& propterea (per Corollarium Lemmatis IV) are{\ae} tot{\ae} simul genit{\ae} sunt semper {\ae}quales. \QEDit \textit{Cas.\fsp{}2.}\wsp{}Quod si figura $DES$ Parabola sit, invenietur ut supra $CD \times Cc$ esse ad $SY \times Dd$ ut $TC$ ad $ST$, hoc est ut 2 ad 1, adeo{\que} $\frac{1}{4}CD \times Cc$ {\ae}qualem esse $\frac{1}{2}SY \times Dd$. Sed corporis cadentis % -----File: 128.png--- velocitas in $C$ {\ae}qualis est velocitati qua circulus intervallo $\frac{1}{2}SC$ uniformiter describi possit (per Theor.\ X\@.) Et h{\ae}c velocitas ad velocitatem qua circulus radio $SK$ describi possit, hoc est, lineola $Cc$ ad arcum $Kk$ est in dimidiata ratione $SK$ ad $\frac{1}{2}Sc$, id est, in ratione $SK$ ad $\frac{1}{2}CD$, per Corol.\ 6.\ Theorem.\ IV\@. Quare est $\frac{1}{2}SK \times Kk$ {\ae}quale $\frac{1}{4}CD \times Cc$, adeo{\que} {\ae}quale $\frac{1}{2}SY \times Dd$, hoc est, area $KSk$ {\ae}qualis Are{\ae} $SDd$, ut supra. \textit{Quod erat demonstrandum.} \condpagelarge{Prop.\ XXXVI\@. Prob.\ XXV.} \pngright{128b.png}{452}{1259}{-24} %Illustration \textit{Corporis de loco dato $A$ cadentis determinare tempora descen\-sus.} Super diametro $AS$ (distantia corporis a centro sub initio) describe semicirculum $ADS$, ut \& huic {\ae}qualem semicirculum $OKH$ circa centrum $S$. De corporis loco quovis $C$ erige ordinatim applicatam $CD$. Junge $SD$, \& are{\ae} $ASD$ {\ae}qualem constitue Sectionem $OSK$. Patet per Theor.\ XI, quod corpus cadendo describet spatium $AC$ eodem tempore quo corpus aliud uniformiter circa centrum $S$ gyrando, describere potest arcum $OK$. \textit{Quod erat faciendum.} \condpagelarge{Prop.\ XXXVII\@. Prob.\ XXVI.} \textit{Corporis de loco dato sursum vel deorsum projecti definire tempora ascensus vel descensus.} % -----File: 129.png--- \pngrightsc{129a.png}{585}{1880}{15}{16} %Illustration Exeat corpus de loco dato $G$ secundum lineam $ASG$ cum velocitate quacun{\que}. In duplicata ratione hujus velocitatis ad uniformem in circulo velocitatem, qua corpus ad intervallum datum $SG$ circa centrum $S$ revolvi posset, cape $CA$ ad $\frac{1}{2}AS$. Si ratio illa est numeri binarii ad unitatem, punctum $A$ cadet ad infinitam distantiam, quo in casu Parabola uertice $S$, axe $SC$, latere quovis recto describenda est. Patet hoc per Theorema X\@. Sin ratio illa minor vel major est quam 2 ad 1, priore casu Circulus, posteriore Hyperbola rectangula super diametro $SA$ describi debet. Patet per Theorema IX\@. Tum centro $S$, intervallo {\ae}quante dimidium lateris recti, describatur circulus $HKk$, \& ad corporis ascendentis vel descendentis loca duo qu{\ae}vis $G$, $C$, erigantur perpendicula $GI$, $CD$ occurrentia Conic{\ae} Sectioni vel circulo in $I$ ac $D$. Dein junctis $SI$, $SD$, fiant segmentis $SEIS$, $SEDS$ Sectores $HSK$, $HSk$ {\ae}quales, \& per Theorema XI. corpus $G$ describet spatium $GC$ eodem tempore quo corpus $K$ describere potest arcum $Kk$. \QEFup \condpagelarge{Prop.\ XXXVIII\@. Theor.\ XII.} \textit{Posito quod vis centripeta proportionalis sit altitudini seu distanti{\ae} locorum a centro, dico quod cadentium tempora, velocitates \& spatia descripta sunt arcubus arcuum{\que} sinibus versis \& sinibus rectis respective proportionales.} \pngright{129b.png}{717}{741}{-12} %Illustration Cadat corpus de loco quovis $A$ secundum rectam $AS$; \& centro virium $S$, intervallo $AS$, describatur circuli quadrans $AE$, sit{\que} $CD$ sinus rectus arcus cujusvis % -----File: 130.png--- $AD$, \& corpus $A$, tempore $AD$, cadendo describet spatium $AC$, in{\que} loco $C$ acquisierit velocitatem $CD$. Demonstratur eodem modo ex Propositione X. quo Propositio XXXII. ex Propositione XI. demonstrata fuit. \QEDup \textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Hinc {\ae}qualia sunt tempora quibus corpus unum de loco $A$ cadendo provenit ad centrum $S$, \& corpus aliud revolvendo describit arcum quadrantalem $ADE$. \textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Proinde\spreadout{{\ae}qualia sunt tempora omnia quibus corpora de locis} \\ quibusvis ad us{\que} centrum cadunt. Nam revolventium tempora omnia periodica (per Corol.\ 3.\ Prop.\ IV.) {\ae}quantur. \condpagelarge{Prop.\ XXXIX\@. Prob.\ XXVII.} \textit{Posita cujuscun{\que} generis vi centripeta, \& concessis figurarum curvilinearum quadraturis, requiritur corporis recta ascendentis vel descendentis tum velocitas in locis singulis, tum tempus quo corpus ad locum quemvis perveniet: Et contra.} \pngright{130.png}{872}{1649}{-24} %Illustration De loco quovis $A$ in recta $ADEC$ cadat corpus $E$, de{\que} loco ejus $E$ erigatur semper perpendicularis $EG$, vi centripet{\ae} in loco illo ad centrum $C$ tendenti proportionalis: Sit{\que} $BFG$ linea curva quam punctum $G$ perpetuo tangit. Coincidat autem $EG$ ipso motus initio cum perpendiculari $AB$, \& erit corporis velocitas in loco quovis $E$ ut are{\ae} curviline{\ae} $ABGE$ latus quadratum. \QEIit In $EG$ capiatur $EM$ lateri quadrato are{\ae} $ABGE$ reciproce proportionalis, \& sit $ALM$ linea curva quam punctum $M$ perpetuo tangit, \& erit tempus quo corpus cadendo describit lineam $AE$ ut area curvilinea $ALME$. \textit{Quod erat Inveniendum.} Etenim in recta $AE$ capiatur linea quam minima $DE$ dat{\ae} longitudinis, sit{\que} $DLF$ locus line{\ae} $EMG$ % -----File: 131.png--- ubi corpus versabatur in $D$; \& si ea sit vis centripeta, ut area $ABGE$ latus quadratum sit ut descendentis velocitas, erit area ipsa in duplicata ratione velocitatis, id est, si pro velocitatibus in $D$ \& $E$ scribantur $V$ \& $V + I$, erit area $ABFD$ ut $V^2$, \& area $ABGE$ ut $V^2 + 2VI + I^2$, \& divisim area $DFGE$ ut $2VI + I^2$, adeo{\que} $\frac{DFGE}{DE}$ ut $\frac{{2I \times V + \frac{1}{2}I}}{DE}$, id est, si prim{\ae} quantitatum nascentium rationes sumantur, longitudo $DF$ ut quantitas $\frac{2I \times V}{DE}$, adeo{\que} etiam ut quantitatis hujus dimidium $\frac{I \times V}{DE}$. Est autem tempus quo corpus cadendo describit lineolam $DE$, ut lineola illa directe \& velocitas $V$ inverse, est{\que} vis ut velocitatis incrementum $I$ directe \& tempus inverse, adeo{\que} si prim{\ae} nascentium rationes sumantur, ut $\frac{I \times V}{DE}$, hoc est, ut longitudo $DF$. Ergo vis ipsi $DF$ vel $EG$ proportionalis facit corpus ea cum velocitate descendere qu{\ae} sit ut are{\ae} $ABGE$ latus quadratum. \QEDup Porro cum tempus, quo qu{\ae}libet longitudinis dat{\ae} lineola $DE$ describatur, sit ut velocitas, adeo{\que} ut are{\ae} $ABFD$ latus quadratum inverse; sit{\que} $DL$, at{\que} adeo are{\ae} nascens $DLME$, ut idem latus quadratum inverse: erit tempus ut area $DLME$, \& summa omnium temporum ut summa omnium arearum, hoc est (per Corol.\ Lem.\ IV.) tempus totum quo linea $AE$ describitur ut area tota $AME$. \QEDup \textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Si $P$ sit locus de quo corpus cadere debet, ut, urgente aliqua uniformi ui centripeta nota (qualis vulgo supponitur gravitas) velocitatem acquirat in loco $D$ {\ae}qualem velocitati quam corpus aliud vi quacun{\que} cadens acquisivit eodem loco $D$, \& in perpendiculari $DF$ capiatur $DR$, qu{\ae} sit ad $DF$ ut vis illa uniformis ad vim alteram in loco $D$, \& compleatur rectangulum $PDRQ$, ei{\que} {\ae}qualis abscindatur area $ABFD$; erit $A$ locus de quo corpus alterum cecidit. Nam{\que} completo rectangulo % -----File: 132.png--- $EDRS$, cum sit area $ABFD$ ad aream $DFGE$ ut $VV$ ad $2V \times I$, adeo{\que} ut $\frac{1}{2}V$ ad $I$, id est, ut semissis velocitatis totius ad incrementum velocitatis corporis vi in{\ae}quabili cadentis; \& similiter area $PQRD$ ad aream $DRSE$ ut semissis velocitatis totius ad incrementum velocitatis corporis uniformi vi cadentis; sint{\que} incrementa illa (ob {\ae}qualitatem temporum nascentium) ut vires generatrices, id est ut ordinatim applicat{\ae} $DF$, $DR$, adeo{\que} ut are{\ae} nascentes $DFGE$, $DRSE$; erunt (ex {\ae}quo) are{\ae} tot{\ae} $ABFD$, $PQRD$ ad invicem ut semisses totarum velocitatum, \& propterea (ob {\ae}qualitatem velocitatum) {\ae}quantur. \textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Unde si corpus quodlibet de loco quocun{\que} $D$ data cum velocitate vel sursum vel deorsum projiciatur, \& detur lex vis centripet{\ae}, invenietur velocitas ejus in alio quovis loco $e$, erigendo ordinatam $eg$, \& capiendo velocitatem illam ad velocitatem in loco $D$ ut est latus quadratum rectanguli $PQRD$ area curvilinea $DFge$ vel aucti, si locus $e$ est loco $D$ inferior, vel diminuti, si is superior est, ad latus quadratum rectanguli solius $PQRD$, id est ut $\surd \overline{PQRD + \textrm{vel} - DFge}$ ad $\surd PQRD$. \textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Tempus quo{\que} innotescet erigendo ordinatam $em$ reciproce proportionalem lateri quadrato ex $PQRD$ + vel - $DFge$, \& capiendo tempus quo corpus descripsit lineam $De$ ad tempus quo corpus alterum vi uniformi cecidit a $P$ \& cadendo pervenit ad $D$, ut area curvilinea $DLme$ ad rectangulum $2PD \times DL$. Nam{\que} tempus quo corpus vi uniformi descendens descripsit lineam $PD$ est ad tempus quo corpus idem descripsit lineam $PE$ in dimidiata ratione $PD$ ad $PE$, id est (lineola $DE$ % -----File: 133.png--- jamjam nascente) in ratione $PD$ ad $PD + \frac{1}{2}DE$ seu $2PD$ ad $2PD + DE$, \& divisim, ad tempus quo corpus idem descripsit lineolam $DE$ ut $2PD$ ad $DE$, adeo{\que} ut rectangulum $2PE \times DL$ ad aream $DLME$; est{\que} tempus quo corpus utrum{\que} descripsit lineolam $DE$ ad tempus quo corpus alterum in{\ae}quabili motu descripsit lineam $De$ ut area $DLME$ ad aream $DLme$, \& ex {\ae}quo tempus primum ad tempus ultimum ut rectangulum $2PD \times DL$ ad aream $DLme$. \sectpage{VIII.} \begin{center}{\textit{De Inventione Orbium in quibus corpora viribus quibuscun{\que} centripetis agitata revolventur.} }\end{center} \propnopage{Prop.\ XL\@. Theor.\ XIII.} \textit{Si corpus, cogente vi quacun{\que} centripeta, moveatur utcun{\que}, \& corpus aliud recta ascendat vel descendat, sint{\que} eorum velocitates in aliquo {\ae}qualium altitudinum casu {\ae}quales, velocitates eorum in omnibus {\ae}qualibus altitudinibus erunt {\ae}quales.} \pngcent{136.png}{2391}{1688} %Illustration Descendat corpus aliquod ab $A$ per $D$, $E$, ad centrum $C$, \& moveatur corpus aliud a $V$ in linea curva $VIKk$. Centro $C$ intervallis quibusvis describantur circuli concentrici $DI$, $EK$ rect{\ae} $AC$ in $D$ \& $E$, curv{\ae}{\que} $VIK$ in $I$ \& $K$ occurrentes. Jungatur $IC$ occurrens ipsi $KE$ in $N$; \& in $IK$ demittatur perpendiculum $NT$; sit{\que} circumferentiarum circulorum intervallum $DE$ vel $IN$ quam minimum, \& habeant corpora in $D$ \& $I$ velocitates {\ae}quales. Quoniam distanti{\ae} $CD$, $CI$ {\ae}quantur, erunt vires centripet{\ae} in $D$ \& $I$ {\ae}quales. Exponantur h{\ae} vires per {\ae}quales lineolas $DE$, $IN$; \& si vis una $IN$, per Legum Corol.\ 2.\ resolvatur in duas $NT$ \& $IT$, vis $NT$, agendo secundum lineam % -----File: 134.png--- $NT$ corporis cursui $ITK$ perpendicularem, nil mutabit velocitatem corporis in cursu illo, sed retrahet solummodo corpus a cursu rectilineo, faciet{\que} ipsum de Orbis tangente perpetuo deflectere, in{\que} via curvilinea $ITKk$, progredi. In hoc effectu producendo vis illa tota consumetur: vis autem altera $IT$, secundum corporis cursum agendo, tota accelerabit illud, ac dato tempore quam minimo accelerationem generabit sibi ipsi proportionalem. Proinde corporum in $D$ \& $I$ accelerationes {\ae}qualibus temporibus fact{\ae} (si sumantur linearum nascentium $DE$, $IN$, $IK$, $IT$, $NT$ rationes prim{\ae}) sunt ut line{\ae} $DE$, $IT$: temporibus autem in{\ae}qualibus ut line{\ae} ill{\ae} \& tempora conjunctim. Tempora ob {\ae}qualitatem velocitatum sunt ut vi{\ae} descript{\ae} $DE$ \& $IK$, adeo{\que} accelerationes, in cursu corporum per lineas $DE$ \& $IK$, sunt ut $DE$ \& $IT$, $DE$ \& $IK$ conjunctim, id est ut $DE \opit{quad.}$ \& $IT \times IK$ rectangulum. Sed rectangulum $IT \times IK$ {\ae}quale est $IN \opit{quadrato}$, hoc est, {\ae}quale $DE \opit{quadrato}$ \& propterea accelerationes in transitu corporum a $D$ \& $I$ ad $E$ \& $K$ {\ae}quales generantur. {\AE}quales igitur sunt corporum velocitates in $E$ \& $K$ \& eodem argumento % -----File: 135.png--- semper reperientur {\ae}quales in subsequentibus {\ae}qualibus distantiis. \QEDup Sed \& eodem argumento corpora {\ae}quivelocia \& {\ae}qualiter a centro distantia, in ascensu ad {\ae}quales distantias {\ae}qualiter retardabuntur. \QEDup \textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Hinc si corpus vel funipendulum oscilletur, vel impedimento quovis politissimo \& perfecte lubrico cogatur in linea curva moveri, \& corpus aliud recta ascendat vel descendat, sint{\que} velocitates eorum in eadem quacun{\que} altitudine {\ae}quales: erunt velocitates eorum in aliis quibuscun{\que} {\ae}qualibus altitudinibus {\ae}quales. Nam{\que} impedimento vasis absolute lubrici idem pr{\ae}statur quod vi transversa $NT$. Corpus eo non retardatur, non acceleratur, sed tantum cogitur de cursu rectilineo discedere. \textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Hinc etiam si quantitas $P$ sit maxima a centro distantia, ad quam corpus vel oscillans vel in Trajectoria quacun{\que} revolvens, de{\que} quovis trajectori{\ae} puncto, ea quam ibi habet velocitate sursum projectum ascendere possit; sit{\que} quantitas $A$ distantia corporis a centro in alio quovis Orbis puncto, \& vis centripeta semper sit ut ipsius $A$ dignitas qu{\ae}libet $A^{n - 1}$, cujus Index $n$ - 1 est numerus quilibet $n$ unitate diminutus; velocitas corporis in omni altitudine $A$ erit ut $\surd \overline{nP^{n} - nA^{n}}$, at{\que} adeo datur. Nam{\que} velocitas ascendentis ac descendentis (per Prop.\ XXXIX.) est in hac ipsa ratione. \condpagelarge{Prop.\ XLI\@. Prob.\ XXVIII.} \textit{Posita cujuscun{\que} generis vi centripeta \& concessis figurarum curvilinearum quadraturis, requiruntur tum Trajectori{\ae} in quibus corpora movebuntur, tum tempora motuum in Trajectoriis inventis.} \pngcent{136.png}{2391}{1688} %Illustration Tendat vis qu{\ae}libet ad centrum $C$ \& invenienda sit Trajectoria $VITKk$. Detur circulus $VXY$ centro $C$ intervallo quovis $CV$ descriptus, centro{\que} eodem describantur alii quivis circuli $ID$, % -----File: 136.png--- $KE$ trajectoriam secantes in $I$ \& $K$ rectam{\que} $CV$ in $D$ \& $E$. Age tum rectam $CNIX$ secantem circulos $KE$, $VY$ in $N$ \& $X$, tum rectam $CKY$ occurrentem circulo $VXY$ in $Y$. Sint autem puncta $I$ \& $K$ sibi invicem vicinissima, \& pergat corpus ab $V$ per $I$, $T$ \& $K$ ad $k$; sit{\que} $A$ altitudo illa de qua corpus aliud cadere debet ut in loco $D$ velocitatem acquirat {\ae}qualem velocitati corporis prioris in $I$; \& stantibus qu{\ae} in Propositione XXXIX, quoniam lineola $IK$, dato tempore quam minimo descripta, est ut velocitas at{\que} adeo ut latus quadratum are{\ae} $ABFD$, \& triangulum $ICK$ tempori proportionale datur, adeo{\que} $KN$ est reciproce ut altitudo $IC$, id est, si detur quantitas aliqua $Q$, \& altitudo $IC$ nominetur $A$, ut $\frac{Q}{A}$; quam nominemus $Z$. Ponamus eam esse magnitudinem ipsius $Q$ ut sit $\surd ABFD$ in aliquo casu ad $Z$ ut est $IK$ ad $KN$, \& erit semper $\surd ABFD$ ad $Z$ ut $IK$ ad $KN$, \& $ABFD$ ad $ZZ$ ut $IK \opit{quad.}$ ad $KN \opit{quad.}$ \& divisim $ABFD - ZZ$ ad $ZZ$ ut $IN \opit{quad.}$ ad $KN \opit{quad.}$ adeo{\que} $\surd \overline{ABFD - ZZ}$ ad $Z$ ut $IN$ ad $KN$, \& propterea $A \times KN$ % -----File: 137.png--- {\ae}quale $\frac{Q \times IN}{\surd \overline{ABFD - ZZ}}$. Unde cum $YX \times XC$ sit ad $A \times KN$ in duplicata ratione $YC$ ad $KC$, erit rectang.\ $YX \times XC$ {\ae}quale $\frac{Q \times IN \times CX \opit{quad.}}{AA \surd \overline{ABFD - ZZ}}$. Igitur si in perpendiculo $DF$ capiantur semper $Db$, $Dc$ ipsis $\frac{Q}{2\surd \overline{ABFD - ZZ}}$ \& $\frac{Q \times CX \opit{quad.}}{2AA \surd \overline{ABFD - ZZ}}$ {\ae}quales respective, \& describantur curv{\ae} line{\ae} $ab$, $cd$ quas puncta $b$, $c$ perpetuo tangunt; de{\que} puncto $V$ ad lineam $AC$ erigatur perpendiculum $Vad$ abscindens areas curvilineas $VDba$, $VDdc$, \& erigantur etiam ordinat{\ae} $Ez$, $Ex$: quoniam rectangulum $Db \times IN$ seu $DbzE$ {\ae}quale est dimidio rectanguli $A \times KN$, seu triangulo $ICK$; \& rectangulum $Dc \times IN$ seu $Dc \times E$ {\ae}quale est dimidio rectanguli $YX$ in $CX$, seu triangulo $XCY$; hoc est, quoniam arearum $VDba$, $VIC$ {\ae}quales semper sunt nascentes particul{\ae} $DbzE$, $ICK$, \& arearum $VDcd$, $VCX$ {\ae}quales semper sunt nascentes particul{\ae} $DExc$, $XCY$, erit area genita $VDba$ {\ae}qualis are{\ae} genit{\ae}, $VIC$, adeo{\que} tempori proportionalis, \& area genita $VDdc$ {\ae}qualis Sectori genito $VCX$. Dato igitur tempore quovis ex quo corpus discessit de loco $V$, dabitur area ipsi proportionalis $VDba$, \& inde dabitur corporis altitudo $CD$ vel $CI$; \& area $VDcd$, ei{\que} {\ae}qualis Sector $VCX$ una cum ejus angulo $VCI$. Datis autem angulo $VCI$ \& altitudine $CI$ datur locus $I$, in quo corpus completo illo tempore reperietur. \QEIup \textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Hinc maxim{\ae} minim{\ae}{\que} corporum altitudines, id est Apsides Trajectoriarum expedite inveniri possunt. Incidunt enim Apsides in puncta illa in quibus recta $IC$ per centrum ducta incidit perpendiculariter in Trajectoriam $VIK$: id quod fit ubi rect{\ae} $IK$ \& $NK$ {\ae}quantur, adeo{\que} ubi area $ABFD$ {\ae}qualis est $ZZ$. \textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Sed \& angulus $KIN$, in quo Trajectoria alibi secat lineam illam $IC$, ex data corporis altitudine $IC$ expedite invenitur, % -----File: 138.png--- nimirum capiendo sinum ejus ad radium ut $KN$ ad $IK$, id est ut $Z$ ad latus quadratum are{\ae} $ABFD$. \textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Si centro $C$ \& vertice principali $V$ describatur sectio qu{\ae}libet Conica $VRS$, \& a quovis ejus puncto $R$ agatur Tangens $RT$ occurrens axi infinite producto $CV$ in puncto $T$; dein juncta $CR$ ducatur recta $CP$, qu{\ae} {\ae}qualis sit absciss{\ae} $CT$, angulum{\que} $VCP$ Sectori $VCR$ proportionalem constituat; tendat \pngright{138.png}{1751}{1414}{-12} %Illustration \noindent autem ad centrum $C$ vis centripeta cubo distanti{\ae} locorum a centro reciproce proportionalis, \& exeat corpus de loco $V$ justa cum velocitate secundum lineam rect{\ae} $CV$ perpendicularem: progredietur corpus illud in Trajectoria quam punctum $P$ perpetuo tangit; adeo{\que} si conica sectio $CVRS$ Hyperbola sit, descendet idem ad centrum: Sin ea Ellipsis sit, ascendet illud perpetuo \& abibit in infinitum. Et contra, si corpus quacun{\que} cum velocitate exeat de loco $V$, \& perinde ut inc{\ae}perit vel oblique descendere ad centrum, vel ab eo oblique ascendere, figura $CVRS$ vel Hyperbola sit vel Ellipsis, inveniri potest Trajectoria augendo vel minuendo angulum $VCP$ in data aliqua ratione. Sed et vi centripeta in centrifugam versa, ascendet corpus oblique in Trajectoria $VPQ$ qu{\ae} invenitur capiendo angulum $VCP$ Sectori Elliptico $CVRC$ proportionalem, \& longitudinem $CP$ longitudini $CT$ {\ae}qualem: ut supra. Consequuntur h{\ae}c omnia ex % -----File: 139.png--- Propositione pr{\ae}cedente, per Curv{\ae} cujusdam quadraturam, cujus inventionem ut satis facilem brevitatis gracia missam facio. \condpagelarge{Prop.\ XLII\@. Prob.\ XXIX.} \textit{Data lege vis centripet{\ae}, requiritur motus corporis de loco dato data cum velocitate secundum datam rectam egressi.} Stantibus qu{\ae} in tribus Propositionibus pr{\ae}cedentibus: exeat corpus de loco $I$ secundum lineolam $IT$, ea cum velocitate quam corpus aliud, vi aliqua uniformi centripeta, de loco $P$ cadendo acquirere posset in $D$: sit{\que} h{\ae}c vis uniformis ad vim qua corpus primum urgetur in $I$, ut $DR$ ad $DF$. Pergat autem corpus versus $k$; centro{\que} $C$ \& intervallo $Ck$ describatur circulus $ke$ occurrens rect{\ae} $PD$ in $e$, \& erigantur curvarum $ALMm$, $BFGg$, $abzv$, $dcxw$ ordinatim applicat{\ae} $em$, $eg$, $ev$, $ew$. Ex dato rectangulo $PDRQ$, data{\que} lege vis centripet{\ae} qua corpus primum agitatur, dantur curv{\ae} line{\ae} $BFGg$, $ALMm$, per constructionem Problematis XXVIII. \& ejus \textit{Corol.\ 1.} Deinde ex dato angulo $CIT$ datur proportio nascentium $IK$, $KN$ \& inde, per constructionem Prob.\ XXVIII, datur quantitas $Q$, una cum curvis lineis $abzv$, $dcxw$: adeo{\que} completo tempore quovis $Dbve$, datur tum corporis altitudo $Ce$ vel $Ck$, tum area $Dcwe$, ei{\que} {\ae}qualis Sector $XCy$, angulus{\que} $XCy$ \& locus $k$ in quo corpus tunc versabitur. \QEIup Supponimus autem in his Propositionibus vim centripetam in recessu quidem a centro variari secundum legem quamcun{\que} quam quis imaginari potest, in {\ae}qualibus autem a centro distantiis esse undi{\que} eandem. At{\que} hactenus corporum in Orbibus immobilibus consideravimus. Superest ut de motu eorum in Orbibus qui circa centrum virium revolvuntur adjiciamus pauca. % -----File: 140.png--- \sectpage{IX.} \begin{center}{\textit{De Motu Corporum in Orbibus mobilibus, de{\que} motu Apsidum.}}\end{center} \propnopage{Prop.\ XLIII\@. Prob.\ XXX.} \textit{Efficiendum est ut corpus in Trajectoria quacun{\que} circa centrum virium revolvente perinde moveri possit, at{\que} corpus aliud in eadem Trajectoria quiescente.} \pngright{140.png}{1352}{1427}{-24} %Illustration In Orbe $VPK$ positione dato revolvatur corpus $P$ pergendo a $V$ versus $K$. A centro $C$ agatur semper $Cp$, qu{\ae} sit ipsi $CP$ {\ae}qualis, angulum{\que} $VCp$ angulo $VCP$ proportionalem constituat; \& area quam linea $Cp$ describit erit ad aream $VCP$ quam linea $CP$ describit, ut velocitas line{\ae} describentis $Cp$ ad velocitatem line{\ae} describentis $CP$; hoc est, ut angulus $VCp$ ad angulum $VCP$, adeo{\que} in data ratione, \& propterea tempori proportionalis. Cum area tempori proportionalis sit quam linea $Cp$ in plano immobili describit, manifestum est quod corpus, cogente just{\ae} quantitatis vi centripeta, revolvi possit una cum puncto $p$ in curva illa linea quam punctum idem $p$ ratione jam exposita describit in plano immobili. Fiat angulus $VCv$ angulo $PCp$, \& linea $Cv$ line{\ae} % -----File: 141.png--- $CV$, at{\que} figura $vCp$ figur{\ae} $VCP$ {\ae}qualis, \& corpus in $p$ semper existens movebitur in perimetro figur{\ae} revolventis $vCp$, eodem{\que} tempore describet arcum ejus $vp$ quo corpus aliud $P$ arcum ipsi similem \& {\ae}qualem $VP$ in figura quiescente $VPK$ describere potest. Qu{\ae}ratur igitur, per Corollarium Propositionis VI, vis centripeta qua corpus revolvi possit in curva illa linea quam punctum $p$ describit in plano immobili, \& solvetur Problema. \QEFup \condpagelarge{Prop.\ XLIV\@. Theor.\ XIV.} \textit{Differentia virium, quibus corpus in Orbe quiescente, \& corpus aliud in eodem Orbe revolvente {\ae}qualiter moveri possunt, est in triplicata ratione communis altitudinis inverse.} Partibus orbis quiescentis $VP$, $PK$ sunto similes \& {\ae}quales orbis revolventis partes $vp$, $pk$. A puncto $k$ in rectam, $pC$ demitte perpendiculum $kr$, idem{\que} produc ad $m$, ut sit $mr$ ad $kr$ ut angulus $VCp$ ad angulum $VCP$. Quoniam corporum altitudines $PC$ \& $pC$, $KC$ \& $kC$ semper {\ae}quantur, manifestum est quod si corporum in locis $P$ \& $p$ existentium distinguantur motus singuli (per Legum Corol.\ 2.)\ in binos, (quorum hi versus centrum, sive secundum lineas $PC$, $pC$; alteri prioribus transversi secundum lineas ipsis $PC$, $pC$ perpendiculares determinantur) motus\spreadout{versus centrum erunt {\ae}quales, \& motus transversus cor-} \pngright{140.png}{1352}{1427}{-12} %Illustration \noindent poris $p$ erit ad motum transversum corporis $P$, ut motus angularis line{\ae} $pC$ ad motum angularem line{\ae} $PC$, id est ut angulus $VCp$ ad angulum $VCP$. Igitur eodem tempore quo corpus $P$ motu suo utro{\que} pervenit ad punctum $K$, corpus $p$ {\ae}quali in centrum motu {\ae}qualiter movebitur a $P$ versus $C$, adeo{\que} completo illo tempore reperietur alicubi in linea $mkr$, qu{\ae} per punctum $k$ in lineam $pC$ perpendicularis est; \& motu transverso acquiret distantiam a linea $pC$, qu{\ae} sit ad distantiam quam corpus alterum acquirit a linea $PC$, ut est hujus motus transversus ad motum % -----File: 142.png--- transversum alterius. Quare cum $kr$ {\ae}qualis sit distanti{\ae} quam corpus alterum acquirit a linea $pC$, sit{\que} $mr$ ad $kr$ ut angulus $VCp$ ad angulum $VCP$, hoc est, ut motus transversus corporis $p$ ad motum transversum corporis $P$, manifestum est quod corpus $p$ completo illo tempore reperietur in loco $m$. H{\ae}c ita se habebunt ubi corpora $P$ \& $p$ {\ae}qualiter secundum lineas $pC$ \& $PC$ moventur, adeo{\que} {\ae}qualibus viribus secundum lineas illas urgentur. Capiatur autem angulus $pCn$ ad angulum $pCk$ ut est angulus $VCp$ ad angulum $VCP$, sit{\que} $nC$ {\ae}qualis $kC$, \& corpus $p$ completo illo tempore revera reperietur in $n$; adeo{\que} vi majore urgetur, si modo angulus $mCp$ angulo $kCp$ major est, id est si orbis $Vpk$ movetur in consequentia, \& minore, si orbis regreditur; est{\que} virium differentia ut locorum intervallum $mn$, per quod corpus illud $p$ ipsius actione, dato illo temporis spatio transferri debet. Centro $C$ intervallo $Cn$ vel $Ck$ describi intelligetur circulus secans lineas $mr$, $mn$ productas in $s$ \& $t$, \& erit rectangulum $mn \times mt$ {\ae}quale rectangulo $mk \times ms$, adeo{\que} $mn$ {\ae}quale $\frac{mk \times ms}{mt}$. Cum autem triangula $pCk$, $pCn$ dentur magnitudine, sunt $kr$ \& $mr$, earum{\que} differentia $mk$ \& summa $ms$ reciproce ut altitudo $pC$, adeo{\que} rectangulum $mk \times ms$ est reciproce ut quadratum altitudinis $pC$. Est \& $mt$ directe ut $\frac{1}{2}mt$, id est ut altitudo $pC$. H{\ae} sunt prim{\ae} rationes linearum nascentium; \& hinc fit $\frac{mk \times ms}{mt}$, id % -----File: 143.png--- est lineola nascens $mn$, ei{\que} proportionalis virium differentia reciproce ut cubus altitudinis $pC$. \QEDup \textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Hinc differentia virium in locis $P$ \& $p$ vel $K$ \& $k$ est ad vim qua corpus motu circulari revolvi posset ab $r$ ad $k$, eodem tempore quo corpus $P$ in orbe immobili describit arcum $PK$, ut $mk \times ms$ ad $rk$ quadratum; hoc est si capiantur dat{\ae} quantitates $F$, $G$ in ea ratione ad invicem quam habet angulus $VCP$ ad angulum $VCp$, ut $Gq. - Fq.$ ad $Fq$. Et propterea, si centro $C$ intervallo quovis $CP$ vel $Cp$ describatur Sector circularis {\ae}qualis are{\ae} toti $VPC$, quam corpus $P$ tempore quovis in orbe immobili revolvens radio ad centrum ducto descripsit, differentia virium, quibus corpus $P$ in orbe immobili \& corpus $p$ in orbe mobili revolvuntur, erit ad vim centripetam qua corpus aliquod radio ad centrum ducto Sectorem illum, eodem tempore quo descripta sit area $VPC$, uniformiter describere potuisset, ut $Gq. - Fq.$ ad $Fq$. Nam{\que} sector ille \& area $pCk$ sunt ad invicem ut tempora quibus describuntur. \textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Si orbis $VPK$ Ellipsis sit umbilicum habens $C$ \& Apsidem summam $V$; ei{\que} similis \& {\ae}qualis ponatur Ellipsis $vpk$, ita ut sit semper $pc$ {\ae}qualis $PC$, \& angulus $VCp$ sit ad angulum $VCP$ in data ratione $G$ ad $F$; pro altitudine autem $PC$ vel $pc$ scribatur $A$, \& pro Ellipseos latere recto ponatur $2R$: erit vis qua corpus in Ellipsi mobili revolvi potest, ut $\frac{Fq.}{Aq.} + \frac{RGq. - RFq.}{A \opit{cub.}}$ \& contra. Exponatur enim vis qua corpus revolvatur in immota Ellipsi per quantitatem $\frac{Fq.}{Aq.}$, \& vis in $V$ erit $\frac{Fq.}{CV \opit{quad.}}$ Vis autem qua corpus in circulo ad distantiam $CV$ ea cum velocitate revolvi posset quam corpus in Ellipsi revolvens habet in $V$, est ad vim qua corpus in Ellipsi revolvens urgetur in Apside $V$, ut dimidium lateris recti Ellipseos ad circuli semidiametrum $CV$, adeo{\que} valet $\frac{RFq.}{CV \opit{cub.}}$: \& vis qu{\ae} sit ad hanc ut $Gq. - Fq.$ % -----File: 144.png--- ad $Fq.$, valet $\frac{RGq. - RFq.}{CV \opit{cub.}}$: est{\que} h{\ae}c vis (per hujus Corol.\ 1.)\ differentia virium quibus corpus $P$ in Ellipsi immota $VPK$, \& corpus $p$ in Ellipsi mobili $vpk$ revolvuntur. Unde cum (per hanc Prop.)\ differentia illa in alia quavis altitudine $A$ sit ad seipsam in altitudine $CV$ ut $\frac{1}{A \opit{cub.}}$ ad $\frac{1}{CV \opit{cub.}}$, eadem differentia in omni altitudine $A$ valebit $\frac{RGq. - RFq.}{A \opit{cub.}}$ Igitur ad vim $\frac{Fq.}{Aq.}$ qua corpus revolvi potest in Ellipsi immobili $VPK$, addatur excessus $\frac{RGq. - RFq.}{A \opit{cub.}}$ \& componetur vis tota $\frac{Fq.}{Aq.} + \frac{RGq. - RFq.}{A \opit{cub.}}$ qua corpus in Ellipsi mobili $vpk$ iisdem temporibus revolvi possit. \textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Ad eundem modum colligetur quod, si orbis immobilis $VPK$ Ellipsis sit centrum habens in virium centro $C$; ei{\que} similis, {\ae}qualis \& concentrica ponatur Ellipsis mobilis $vpk$, sit{\que} $2R$ Ellipseos hujus latus rectum, \& $2T$ latus transversum at{\que} angulus $VCp$ semper sit ad angulum $VCP$ ut $G$ ad $F$; vires quibus corpora in Ellipsi immobili \& mobili temporibus {\ae}qualibus revolvi possunt, erunt ut $\frac{Fq.A}{T \opit{cub.}}$ \& $\frac{Fq.A}{T \opit{cub.}} + \frac{RGq. - RFq.}{A \opit{cub.}}$ respective. \textit{Corol.\fsp{}4.}\wsp{}Et universaliter, si corporis altitudo maxima $CV$ nominetur $T$, \& radius curvatur{\ae} quam Orbis $VPK$ habet in $V$, id est radius circuli {\ae}qualiter curvi, nominetur $R$, \& vis centripeta qua corpus in Trajectoria quacun{\que} immobili $VPK$ revolvi potest, in loco $V$ dicatur $\frac{Fq.}{Tq.} V$, at{\que} aliis in locis $P$ indefinite dicatur $X$, altitudine $CP$ nominata $A$, \& capiatur $G$ ad $F$ in data ratione anguli $VCp$ ad angulum $VCP$: erit vis centripeta qua corpus idem eosdem motus in eadem Trajectoria $vpk$ circulariter % -----File: 145.png--- mota temporibus iisdem peragere potest, ut summa virium $X + \frac{VRGq. - VRFq.}{A \opit{cub.}}$ \textit{Corol.\fsp{}5.}\wsp{}Dato igitur motu corporis in Orbe quocun{\que} immobili, augeri vel minui potest ejus motus angularis circa centrum virium in ratione data, \& inde inveniri novi orbes immobiles in quibus corpora novis viribus centripetis gyrentur. \pngright{145.png}{923}{804}{-24} %Illustration \textit{Corol.\fsp{}6.}\wsp{}Igitur si ad rectam $CV$ positione datam erigatur perpendiculum $VP$ longitudinis indeterminat{\ae}, jungatur{\que} $PC$, \& ipsi {\ae}qualis agatur $Cp$, constituens angulum $VCp$, qui sit ad angulum $VCP$ in data ratione; vis qua corpus gyrari potest in Curva illa $Vpk$ quam punctum $p$ perpetuo tangit, erit reciproce ut cubus altitudinis $Cp$. Nam corpus $P$, per vim inerti{\ae}, nulla alia vi urgente, uniformiter progredi potest in recta $VP$. Addatur vis in centrum $C$, cubo altitudinis $CP$ vel $Cp$ reciproce proportionalis, \& (per jam demonstrata) detorquebitur motus ille rectilineus in lineam curvam $Vpk$. Est autem h{\ae}c Curva $Vpk$ eadem cum Curva illa $VPQ$ in Corol.\ 3.\ Prop.\ XLI inventa, in qua ibi diximus corpora hujusmodi viribus attracta oblique ascendere. \condpagelarge{Prop.\ XLV\@. Prob.\ XXXI.} \textit{Orbium qui sunt Circulis maxime finitimi requiruntur motus Apsidum.} Problema solvitur Arithmetice faciendo ut orbis, quem corpus in Ellipsi mobili, ut in Propositionis superioris Corol.\ 2.\ vel 3.\ revolvens, describit in plano immobili, accedat ad formam orbis cujus Apsides requiruntur, \& qu{\ae}rendo Apsides orbis quem corpus illud in plano immobili describit. Orbes autem eandem acquirent formam, si vires centripet{\ae} quibus describuntur, inter se % -----File: 146.png--- collat{\ae}, in {\ae}qualibus altitudinibus reddantur proportionales. Sit punctum $V$ Apsis summa, \& scribantur $T$ pro altitudine maxima $CV$, $A$ pro altitudine quavis alia $CP$ vel $Cp$, \& $X$ pro altitudinum differentia $CV - CP$; \& vis qua corpus in Ellipsi circa umbilicum ejus $C$ (ut in Corollario 2.)\ revolvente movetur, qu{\ae}{\que} in Corollario 2.\ erat ut $\frac{Fq.}{Aq.} + \frac{RGq. - RFq.}{A \opit{cub.}}$ id est ut $\frac{Fq. A + RGq. - RFq.}{A \opit{cub.}}$, substituendo $T - X$ pro $A$, erit ut $\frac{RGq. - RFq. + TFq. - Fq.X} {A \opit{cub.}}$. Reducenda similiter est vis alia qu{\ae}vis centripeta ad fractionem cujus denominator sit $A \opit{cub.}$ \& numeratores, facta homologorum terminorum collatione, statuendi sunt analogi. Res Exemplis parebit. \textit{Exempl.\fsp{}1.}\wsp{}Ponamus vim centripetam uniformem esse, adeo{\que} ut $\frac{A \opit{cub.}}{A \opit{cub.}}$, sive (scribendo $T - X$ pro $A$ in Numeratore) ut $\frac{T \opit{cub.} - 3Tq.X + 3TXq. - X \opit{cub.}}{A \opit{cub.}}$; \& collatis Numeratorum terminis correspondentibus, nimirum datis cum datis \& non datis cum non datis, fiet $RGq. - RFq. + TFq.$ ad $T \opit{cub.}$ ut $-Fq.X$ ad $-3Tq.X + 3TXq. - X \opit{cub.}$ sive ut $-Fq.$ ad $-3Tq. + 3TX - Xq$. Jam cum Orbis ponatur circulo quam maxime finitimus, coeat orbis cum circulo; \& ob factas $R$, $T$ {\ae}quales, at{\que} $X$ in infinitum diminutam, rationes ultim{\ae} erunt $RGq.$ ad $T \opit{cub.}$ ut $-Fq.$ ad $-3Tq.$ seu $Gq.$ ad $Tq.$ ut $Fq.$ ad $3Tq.$ \& vicissim $G \opit{quadrat.}$ ad $F \opit{quadrat.}$ ut $T \opit{quad.}$ ad $3T \opit{quad.}$ id est, ut 1 ad 3; adeo{\que} $G$ ad $F$, hoc est angulus $VCp$ ad angulum $VCP$ ut 1 ad $\surd 3$. Ergo cum corpus in Ellipsi immobili, ab Apside summa ad Apsidem imam descendendo conficiat angulum $VCP$ (ut ita dicam) graduum 180; corpus aliud in Ellipsi mobili, at{\que} adeo in orbe immobili de quo agimus, ab Abside summa ad Apsidem imam descendendo conficiet angulum $VCp$ graduum $\frac{180}{\surd 3}$: id % -----File: 147.png--- adeo ob similitudinem orbis hujus, quem corpus agente uniformi vi centripeta describit, \& orbis illius quem corpus in Ellipsi revolvente gyros peragens describit in plano quiescente. Per superiorem terminorum collationem similes redduntur hi orbes, non universaliter, sed tunc cum ad formam circularem quam maxime appropinquant. Corpus igitur uniformi cum vi centripeta in orbe propemodum circulari revolvens, inter Apsidem summam \& Apsidem imam conficiet semper angulum $\frac{180}{\surd 3}$ graduum, seu 103 \textit{gr.}\ 55 \textit{m.}\ ad centrum; perveniens ab Apside summa ad Apsidem imam, ubi semel confecit hunc angulum, \& inde ad Apsidem summam rediens, ubi iterum confecit eundem angulum, \& sic deinceps in infinitum. \textit{Exempl.\fsp{}2.}\wsp{}Ponamus vim centripetam esse ut altitudinis $A$ dignitas qu{\ae}libet $A^{n - 3}$ seu $\frac{A^{n}}{A^3}$: ubi $n$ - 3 \& $n$ significant dignitatum indices quoscun{\que} integros vel fractos, rationales vel irrationales, affirmativos vel negativos. Numerator ille $A^{n}$ seu $\overline{T - X}^n$ in seriem indeterminatam per Methodum nostram Serierum convergentium reducta, evadit $T^{n} - nXT^{n - 1} + \frac{nn - n}{2} Xq.T^{n - 2}$ \&c. Et collatis hujus terminis cum terminis Numeratoris alterius $RGq. - RFq. + TFq. - Fq.X$, fit $RGq. - RFq. + TFq.$ ad $T^{n}$ ut $-Fq.$ ad $-nT^{n - 1} + \frac{nn - n}{2} XT^{n - 2}$ \&c. Et sumendo rationes ultimas ubi orbes ad formam circularem accedunt, fit $RGq.$ ad $T^{n}$ ut $-Fq.$ ad $-nT^{n - 1}$, seu $Gq.$ ad $T^{n - 1}$ ut $Fq.$ ad $nT^{n - 1}$, \& vicissim $Gq.$ ad $Fq.$ ut $T^{n - 1}$ ad $nT^{n - 1}$ id est ut 1 ad $n$; adeo{\que} $G$ ad $F$, id est angulus $VCp$ ad angulum $VCP$, ut 1 ad $\surd n$. Quare cum angulus $VCP$, in descensu corporis % -----File: 148.png--- ab Apside summa ad Apsidem imam in Ellipsi confectus, sit graduum 180, conficietur angulus $VCp$, in descensu corporis ab Apside summa ad Apsidem imam in Orbe propemodum circulari, quem corpus quodvis vi centripeta dignitati $A^{n - 3}$ proportionali describit, {\ae}qualis angulo graduum $\frac{180}{\surd n}$; \& hoc angulo repetito corpus redibit ab Apside ima ad Apsidem summam, \& sic deinceps in infinitum. Ut si vis centripeta sit ut distantia corporis a centro, id est ut $A$ seu $\frac{A^4}{A^3}$, erit $n$ {\ae}qualis 4 \& $\surd 4$ {\ae}qualis 2; adeo{\que} angulus inter Apsidem summam \& Apsidem imam {\ae}qualis $\frac{180}{2}$ \textit{gr.}\ seu 90 \textit{gr.} Completa igitur quarta parte revolutionis unius corpus perveniet ad Apsidem imam, \& completa alia quarta parte ad Apsidem summam, \& sic deinceps per vices in infinitum. Id quod etiam ex Propositione X. manifestum est. Nam corpus urgente hac vi centripeta revolvetur in Ellipsi immobili, cujus centrum est in centro virium. Quod si vis centripeta sit reciproce ut distantia, id est directe ut $\frac{1}{A}$ seu $\frac{A^2}{A^3}$, erit $n = 2$, adeo{\que} inter Apsidem summam \& imam angulus erit graduum $\frac{180}{\surd 2}$ seu 127 \textit{gr.}\ 17 \textit{min.}\ \& propterea corpus tali vi revolvens, perpetua anguli hujus repetitione, vicibus alternis ab Apside summa ad imam \& ab ima ad summam perveniet in {\ae}ternum. Porro si vis centripeta sit reciproce ut Latus quadrato-quadratum undecim{\ae} dignitatis Altitudinis, id est reciproce ut $A^{\frac{11}{4}}$, adeo{\que} directe ut $\frac{1}{A^{\frac{11}{4}}}$ seu ut $\frac{A^{\frac{1}{4}}}{A^3}$ erit $n$ {\ae}qualis $\frac{1}{4}$, \& $\frac{180}{\surd n}$ \textit{gr.}\ {\ae}qualis 360 \textit{gr.}\ \& propterea corpus de Apside summa discedens \& subinde perpetuo descendens, perveniet ad Apsidem imam ubi complevit revolutionem integram, dein perpetuo ascensu complendo aliam revolutionem integram, redibit ad Apsidem summam: \& sic per vices in {\ae}ternum. % -----File: 149.png--- \textit{Exempl.\fsp{}3.}\wsp{}Assumentes $m$ \& $n$ pro quibusvis indicibus dignitatum Altitudinis, \& $b$, $c$ pro numeris quibusvis datis, ponamus vim centripetam esse ut $\frac{bA^m + cA^n}{A \opit{cub.}}$ id est ut $\frac{b \operatorname{in} \overline{T - X}^m + c \operatorname{in} \overline{T - X}^n}{A \opit{cub.}}$ seu (per eandem Methodum nostram Serierum convergentium) ut \begin{math} \frac{bT^m - mbXT^{m - 1} + \frac{mm - m}{2} bX^2 T^{m - 2} + cT^n - ncXT^{n - 1} + \frac{nn - n}{2} cX^2 T^{n - 2} \opit{\&c.}}{A \opit{cub.}} \end{math} \noindent \& collatis numeratorum terminis, fiet $RGq. - RFq. + TFq.$ ad $bT^m + cT^n$, ut $-Fq.$ ad $-mbT^{m - 1} - ncT^{n - 1} + \frac{mm - m}{2} XT^{m - 2} + \frac{nn - n}{2} XT^{n - 2}$ \&c. Et sumendo rationes ultimas qu{\ae} prodeunt ubi orbes ad formam circularem accedunt, fit $Gq.$ ad $bT^{m - 1} + cT^{n - 1}$, ut $Fq.$ ad $mbT^{m - 1} + ncT^{n - 1}$, \& vicissim $Gq.$ ad $Fq.$ ut $bT^{m - 1} + cT^{n - 1}$ ad $mbT^{m - 1} + ncT^{n - 1}$. Qu{\ae} proportio, exponendo altitudinem maximam $CV$ seu $T$ Arithmetice per unitatem, fit $Gq.$ ad $Fq.$ ut $b + c$ ad $mb + nc$, adeo{\que} ut 1 ad $\frac{mb + nc}{b + c}$. Unde est $G$ ad $F$, id est angulus $VCp$ ad angulum $VCP$, ut 1 ad $\surd \frac{mb + nc}{b + c}$. Et propterea cum angulus $VCP$ inter Apsidem summam \& Apsidem imam in Ellipsi immobili sit 180 \textit{gr.}\ erit angulus $VCp$ inter easdem Apsides, in Orbe quem corpus vi centripeta quantitati $\frac{bA^m + cA^n}{A \opit{cub.}}$ proportionali describit, {\ae}qualis angulo graduum $180 \surd \frac{b + c}{mb + nc}$. Et eodem argumento si vis centripeta sit ut $\frac{bA^m - cA^n}{A \opit{cub.}}$, angulus inter Apsides invenietur $180 \surd \frac{b - c}{mb - nc}$ graduum. Nec secus resolvetur Problema in % -----File: 150.png--- casibus difficilioribus. Quantitas cui vis centripeta proportionalis est, resolvi semper debet in series convergentes denominatorem habentes $A \opit{cub}$. Dein pars data Numeratoris hujus $RGq. - RFq. + TFq. - Fq.X$ ad partem non datam in eadem ratione ponend{\ae} sunt: Et quantitates superfluas delendo, scribendo{\que} unitatem pro $T$, obtinebitur proportio $G$ ad $F$. \textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Hinc si vis centripeta sit ut aliqua altitudinis dignitas, inveniri potest dignitas illa ex motu Apsidum; \& contra. Nimirum si motus totus angularis, quo corpus redit ad Apsidem eandem, sit ad motum angularem revolutionis unius, seu graduum 360, ut numerus aliquis $m$ ad numerum alium $n$, \& altitudo nominetur $A$: erit vis ut altitudinis dignitas illa $A^{\frac{nn}{mm} - 3}$, cujus Index est $\frac{nn}{mm} - 3$. Id quod per Exempla secunda manifestum est. Unde liquet vim illam in majore quam triplicata altitudinis ratione decrescere non posse: Corpus tali vi revolvens de{\que} Apside discedens, si c{\ae}perit descendere, nunquam perveniet ad Apsidem imam seu altitudinem minimam, sed descendet us{\que} ad centrum, describens curvam illam lineam de qua egimus in Corol.\ 3.\ Prop.\ XLI\@. Sin c{\ae}perit illud de Apside discedens vel minimum ascendere, ascendet in infinitum, ne{\que} unquam perveniet ad Apsidem summam. Describet enim curvam illam lineam de qua actum est in eodem Corol.\ \& in Corol.\ 6.\ Prop.\ XLIV\@. Sic \& ubi vis in recessu a centro decrescit in majori quam triplicata ratione altitudinis, corpus de Apside discedens, perinde ut c{\ae}perit descendere vel ascendere, vel descendet ad centrum us{\que} vel ascendet in infinitum. At si vis in recessu a centro vel decrescat in minori quam triplicata ratione altitudinis, vel crescat in altitudinis ratione quacun{\que} Corpus nunquam descendet ad centrum us{\que} sed ad Apsidem imam aliquando perveniet: \& contra, si corpus de Apside ad Apsidem alternis vicibus descendens \& ascendens nunquam appellat ad centrum, Vis in recessu a centro aut augebitur, aut in % -----File: 151.png--- minore quam triplicata altitudinis ratione decrescet: \& quo citius corpus de Apside ad Apsidem redierit, eo longius ratio virium recedet a ratione illa triplicata. Ut si corpus revolutionibus 8 vel 4 vel 2 vel $1\frac{1}{2}$ de Apside summa ad Apsidem summam alterno descensu \& ascensu redierit, hoc est, si fuerit $m$ ad $n$ ut 8 vel 4 vel 2 vel $1\frac{1}{2}$ ad 1, adeo{\que} $\frac{nn}{mm} - 3$ ualeat $\frac{1}{64} - 3$ vel $\frac{1}{16} - 3$ vel $\frac{1}{4} - 3$ vel $\frac{4}{9} - 3$, erit vis ut $A^{\frac{1}{64} - 3}$ vel $A^{\frac{1}{16} - 3}$ vel $A^{\frac{1}{4} - 3}$ vel $A^{\frac{4}{9} - 3}$, id est reciproce ut $A^{3 - \frac{1}{64}}$ vel $A^{3 - \frac{1}{16}}$ vel $A^{3 - \frac{1}{4}}$ vel $A^{3 - \frac{4}{9}}$. Si corpus singulis revolutionibus redierit ad Apsidem eandem immotam, erit $m$ ad $n$ ut 1 ad 1, adeo{\que} $A^{\frac{nn}{mm} - 3}$ {\ae}qualis $A^{-2}$ seu $\frac{1}{A^2}$, \& propterea decrementum virium in ratione duplicata altitudinis, ut in pr{\ae}cedentibus demonstratum est. Si corpus partibus revolutionis unius vel tribus quartis, vel duabus tertiis, vel una tertia, vel una quarta, ad Apsidem eandem redierit, erit $m$ ad $n$ ut $\frac{3}{4}$ vel $\frac{2}{3}$ vel $\frac{1}{3}$ vel $\frac{1}{4}$ ad 1, adeo{\que} $A^{\frac{nn}{mm} - 3}$ {\ae}qualis $A^{\frac{16}{9} - 3}$ vel $A^{\frac{9}{4} - 3}$ vel $A^{9 - 3}$ vel $A^{16 - 3}$ \& propterea Vis aut reciproce ut $A^{\frac{11}{9}}$ vel $A^{\frac{3}{4}}$, aut directe ut $A^6$ vel $A^{13}$. Deni{\que} si Corpus pergendo ab Apside summa ad Apsidem summam confecerit revolutionem integram, \& pr{\ae}terea gradus tres, adeo{\que} Apsis illa singulis corporis revolutionibus confecerit in Consequentia gradus tres, erit $m$ ad $n$ ut 363\textit{gr.}\ ad 360\textit{gr.}\ adeo{\que} $A^{\frac{nn}{mm} - 3}$ erit {\ae}quale $A^{-\frac{265707}{131769}}$, \& propterea Vis centripeta reciproce ut $A^{\frac{265707}{131769}}$ seu $A^{2\frac{4}{243}}$. Decrescit igitur Vis centripeta in ratione paulo majore quam duplicata, sed qu{\ae} vicibus $60\frac{3}{4}$ propius ad duplicatam quam ad triplicatam accedit. \textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Hinc etiam si corpus, vi centripeta qu{\ae} sit reciproce ut quadratum altitudinis, revolvatur in Ellipsi umbilicum habente in centro virium, \& huic vi centripet{\ae} addatur vel auferatur vis alia qu{\ae}vis extranea; cognosci potest (per Exempla % -----File: 152.png--- tertia) motus Apsidum qui ex vi illa extranea orietur: \& contra. Ut si vis qua corpus revolvitur in Ellipsi sit ut $\frac{1}{A^2}$, \& vis extranea ablata ut $cA$, adeo{\que} vis reliqua ut $\frac{A - cA^4}{A^3}$; erit (in Exemplis tertiis) $A$ {\ae}qualis 1 \& $n$ {\ae}qualis 4, adeo{\que} angulus revolutionis inter Apsides {\ae}qualis angulo graduum $180\surd \frac{1 - c}{1 - 4c}$. Ponatur vim illam extraneam esse $357\decimals{45}$ vicibus minorem quam vis altera qua corpus revolvitur in Ellipsi, id est $c$ esse $\frac{100}{35745}$, \& $180\surd \frac{1 - c}{1 - 4c}$ evadet $180\surd \frac{35645}{35345}$ seu $180\decimals{7602}$, id est 180\textit{gr.}\ 45\textit{m.}\ 37\textit{s.} Igitur corpus de Apside summa discedens, motu angulari 180\textit{gr.}\ 45\textit{m.}\ 37\textit{s.}\ perveniet ad Apsidem imam, \& hoc motu duplicato ad Apsidem summam redibit: adeo{\que} Apsis summa singulis revolutionibus progrediendo conficiet 1\textit{gr.}\ 31\textit{m.}\ 14\textit{s.} Hactenus de motu corporum in orbibus quorum plana per centrum virium transeunt. Superest ut motus etiam determinemus in planis excentricis. Nam Scriptores qui motum gravium tractant, considerare solent ascensus \& descensus ponderum, tam obliquos in planis quibuscun{\que} datis, quam perpendiculares: \& pari jure motus corporum viribus quibuscun{\que} centra petentium, \& planis excentricis innitentium hic considerandus venit. Plana autem supponimus esse politissima \& absolute lubrica ne corpora retardent. Quinimo in his demonstrationibus, vice planorum quibus corpora incumbunt quas{\que} tangunt incumbendo, usurpamus plana his parallela, in quibus centra corporum moventur \& orbitas movendo describunt. Et eadem lege motus corporum in superficiebus curvis peractos subinde determinamus. % -----File: 153.png--- \sectpage{X.} \begin{center}{\textit{De Motu Corporum in Superficiebus datis, de{\que} Funipendulorum Motu reciproco.}}\end{center} \propnopage{Prop.\ XLVI\@. Prob.\ XXXII.} \textit{Posita cujuscun{\que} generis vi centripeta, dato{\que} tum virium centro tum plano quocun{\que} in quo corpus revolvitur, \& concessis Figurarum curvilinearum quadraturis: requiritur motus corporis de loco dato data cum velocitate secundum Rectam in Plano illo datam egressi.} \pngright{153.png}{1431}{1464}{-24} %Illustration Sit $S$ centrum virium, $SC$ distantia minima centri hujus a plano dato, $P$ corpus de loco $P$ secundum rectam $PZ$ egrediens, $Q$ corpus idem in Trajectoria sua revolvens, \& $PQR$ Trajectoria illa in plano dato descripta, quam invenire oportet. Jungantur $CQ$, $QS$, \& si in $QS$ capiatur $SV$ proportionalis vi centripet{\ae} qua corpus trahitur versus centrum $S$, \& agatur $VT$ qu{\ae} sit parallela $CQ$ \& occurrat $SC$ in $T$: Vis $SV$ resolvetur (per Legum Corol.\ 2.)\ in vires $ST$, $TV$; quarum $ST$ trahendo corpus secundum lineam plano perpendicularem, nil mutat motum ejus in hoc plano. Vis autem altera $TV$, agendo secundum positionem plani, trahit corpus directe versus punctum $C$ in plano % -----File: 154.png--- datum, adeo{\que} facit illud in hoc plano perinde moveri ac si vis $ST$ tolleretur, \& corpus vi sola $TV$ revolveretur circa centrum $C$ in spatio libero. Data autem vi centripeta $TV$ qua corpus $Q$ in spatio libero circa centrum datum $C$ revolvitur, datur per Prop.\ XLII. tum Trajectoria $PQR$ quam corpus describit, tum locus $Q$ in quo corpus ad datum quodvis tempus versabitur, tum deni{\que} velocitas corporis in loco illo $Q$; \& contra. \QEIup \condpagelarge{Prop.\ XLVII\@. Theor.\ XV.} \textit{Posito quod vis centripeta proportionalis sit distanti{\ae} corporis a centro; corpora omnia in planis quibuscun{\que} revolventia describent Ellipses, \& revolutiones temporibus {\ae}qualibus peragent; qu{\ae}{\que} moventur in lineis rectis ultro citro{\que} discurrendo, singulas eundi \& redeundi periodos iisdem temporibus absolvent.} Nam stantibus qu{\ae} in superiore Propositione; vis $SV$ qua corpus $Q$ in plano quovis $PQR$ revolvens trahitur versus centrum $S$ est ut distantia $SQ$; at{\que} adeo ob proportionales $SV$ \& $SQ$, $TV$ \& $CQ$, vis $TV$ qua corpus trahitur versus punctum $C$ in Orbis plano datum, est ut distantia $CQ$. Vires igitur, quibus corpora in plano $PQR$ versantia trahuntur versus punctum $C$, sunt pro ratione distantiarum {\ae}quales viribus quibus corpora \label{wasp146}unaqua{\que} trahuntur versus centrum $S$; \& propterea corpora movebuntur iisdem temporibus in iisdem figuris in plano % -----File: 155.png--- quovis $PQR$ circa punctum $C$, at{\que} in spatiis liberis circa centrum $S$, adeo{\que} (per Corol.\ 2.\ Prop.\ X. \& Corol.\ 2.\ Prop.\ XXXVIII.) temporibus semper {\ae}qualibus, vel describent Ellipses in plano illo circa centrum $C$, vel periodos movendi ultro citro{\que} in lineis rectis per centrum $C$ in plano illo ductis, complebunt. \QEDup \pngcent{153.png}{1431}{1464} %Illustration \condpagelarge{\textit{Scholium.}} His affines sunt ascensus ac descensus corporum in superficiebus curvis. Concipe lineas curvas in plano describi, dein circa axes quosvis datos per centrum virium transeuntes revolvi, \& ea revolutione superficies curvas describere; tum corpora ita moveri ut eorum centra in his superficiebus perpetuo reperiantur. Si corpora illa oblique ascendendo \& descendendo currant ultro citro{\que} peragentur eorum motus in planis per axem transeuntibus, at{\que} adeo in lineis curvis quarum revolutione curv{\ae} ill{\ae} superficies genit{\ae} sunt. Istis igitur in casibus sufficit motum in his lineis curvis considerare. \condpagelarge{Prop.\ XLVIII\@. Theor.\ XVI.} \textit{Si rota globo extrinsecus ad angulos rectos insistat, \& more rotarum revolvendo progrediatur in circulo maximo; longitudo itineris curvilinei, quod punctum quodvis in rot{\ae} perimetro datum, ex quo globum tetigit, confecit, erit ad duplicatum sinum versum arcus dimidii qui globum ex eo tempore inter eundem tetigit, ut summa diametrorum globi \& rot{\ae} ad semidiametrum globi.} \condpagelarge{Prop.\ XLIX\@. Theor.\ XVII.} \textit{Si rota globo concavo ad rectos angulos intrinsecus insistat \& revolvendo progrediatur in circulo maximo; longitudo itineris curvilinei % -----File: 156.png--- quod punctum quodvis in Rot{\ae} Perimetro datum, ex quo globum tetigit, confecit, erit ad duplicatum sinum versum arcus dimidii qui globum toto hoc tempore inter eundum tetigit, ut differentia diametrorum globi \& rot{\ae} ad semidiametrum globi.} \pngcent{156.png}{2880}{2410} %Illustration Sit $ABL$ globus, $C$ centrum ejus, $BPV$ rota ei insistens, $E$ centrum rot{\ae}, $B$ punctum contactus, \& $P$ punctum datum in perimetro rot{\ae}. Concipe hanc Rotam pergere in circulo maximo $ABL$ ab $A$ per $B$ versus $L$, \& inter eundum ita revolvi ut arcus $AB$, $PB$ sibi invicem semper {\ae}quentur, at{\que} punctum illud $P$ in Perimetro rot{\ae} datum interea describere viam curvilineam $AP$. Sit autem $AP$ via tota curvilinea descripta ex quo Rota globum tetigit in $A$, \& erit vi{\ae} hujus longitudo $AP$ ad duplum sinum versum arcus $\frac{1}{2}PB$, ut $2CE$ ad $CB$. Nam recta $CE$ (si % -----File: 157.png--- opus est producta) occurrat Rot{\ae} in $V$, jungantur{\que} $CP$, $BP$, $EP$, $VP$, \& in $CP$ productam demittatur Normalis $VF$. Tangant $PH$, $VH$ circulum in $P$ \& $V$ concurrentes in $H$, secet{\que} $PH$ ipsam $VF$ in $G$, \& ad $VP$ demittantur Normales $GI$, $HK$. Centro item $C$ \& intervallo quovis describatur circulus $nom$ secans rectam $CP$ in $n$, Rot{\ae} perimetrum $Bp$ in $o$ \& viam curvilineam $AP$ in $m$, centro{\que} $V$ \& intervallo $Vo$ describatur circulus secans $VP$ productam in $q$. Quoniam Rota eundo semper revolvitur circa punctum contactus $B$, manifestum est quod recta $BP$ perpendicularis est ad lineam illam curvam $AP$, quam Rot{\ae} punctum $P$ describit, at{\que} adeo quod recta $VP$ tanget hanc curvam in puncto $P$. Circuli $nom$ radius sensim auctus {\ae}quetur tandem distanti{\ae} $CP$, \& ob similitudinem figur{\ae} evanescentis $Pnomq$ \& figur{\ae} $PFGVI$, ratio ultima lineolarum evanescentium $Pm$, $Pn$, $Po$, $Pq$, id est ratio incrementorum momentaneorum curv{\ae} $AP$, rect{\ae} $CP$ \& arcus circularis $BP$, ac decrementi rect{\ae} $VP$, eadem erit qu{\ae} linearum $PV$, $PF$, $PG$, $PI$ respective. Cum autem $VF$ ad $CF$ \& $VH$ ad $CV$ perpendiculares sunt, anguli{\que} $HVG$, $VCF$ propterea {\ae}quales; \& angulus $VHP$, (ob angulos quadrilateri $HVEP$ ad $V$ \& $P$ rectos,) complet angulum $VEP$ ad duos rectos, adeo{\que} angulo $CEP$ {\ae}qualis est, similia erunt triangula $VHG$, $CEP$; \& inde fiet ut $EP$ ad $CE$ ita $HG$ ad $HV$ seu $HP$, \& ita $KI$ ad $KP$, \& divisim ut $CB$ ad $CE$ ita $PI$ ad $PK$, \& duplicatis consequentibus ut $CB$ ad $2CE$ ita $PI$ ad $PV$. Est igitur decrementum line{\ae} $VP$, id est incrementum line{\ae} $BV - VP$, ad incrementum line{\ae} curv{\ae} $AP$ in data ratione $CB$ ad $2CE$, \& propterea (per Corol.\ Lem.\ IV.) longitudines $BV - VP$ \& $AP$ incrementis illis genit{\ae} sunt in eadem ratione. Sed existente $BV$ radio, est $VP$ cosinus anguli $VPB$ seu $\frac{1}{2}BEP$, adeo{\que} $BV - VP$ sinus versus ejusdem anguli, \& propterea in hac Rota cujus radius est $\frac{1}{2}BV$, erit $BV - VP$ duplus sinus versus arcus $\frac{1}{2}BP$. Ergo $AP$ est ad duplum sinum versum arcus $\frac{1}{2}BP$ ut $2CE$ ad $CB$. \QEDup % -----File: 158.png--- Lineam autem $AP$ in Propositione priore Cycloidem extra Globum, alteram in posteriore Cycloidem intra Globum distinctionis gratia nominabimus. \textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Hinc si describatur Cyclois integra $ASL$ \& bisecetur ea in $S$, erit longitudo partis $PS$ ad longitudinem $VP$ (qu{\ae} duplus est sinus anguli $VBP$, existente $EB$ radio) ut $2CE$ ad $CB$ at{\que} adeo in ratione data. \textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Et longitudo semiperimetri Cycloidis $AS$ {\ae}quabitur line{\ae} rect{\ae}, qu{\ae} est ad Rot{\ae} diametrum $BV$ ut $2CE$ ad $CB$. \textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Ideo{\que} longitudo illa est ut rectangulum $BEC$, si modo Globi detur semidiameter. \condpagelarge{Prop.\ L\@. Prob.\ XXXIII.} \pngrightsc{159.png}{1747}{1993}{15}{16} %Illustration \textit{Facere ut Corpus pendulum oscilletur in Cycloide data.} Intra Globum $QVS$ centro $C$ descriptum detur Cyclois $QRS$ bisecta in $R$ \& punctis suis extremis $Q$ \& $S$ superficiei Globi hinc inde occurrens. Agatur $CR$ bisecans arcum $QS$ in $O$, \& producatur ea ad $A$, ut sit $CA$ ad $CO$ ut $CO$ ad $CR$. Centro $C$ intervallo $CA$ describatur Globus exterior $ABD$, \& intra hunc globum Rota, cujus diameter sit $AO$, describantur du{\ae} semicycloides $AQ$, $AS$, qu{\ae} globum interiorem tangant in $Q$ \& $S$ \& globo exteriori occurrant in $A$. A puncto illo $A$, filo $APT$ longitudinem $AR$ {\ae}quante, pendeat corpus $T$, \& ita intra semicycloides $AQ$, $AS$ oscilletur, ut quoties pendulum digreditur a perpendiculo $AR$, filum parte sui superiore $AP$ applicetur ad semicycloidem illam $APS$, versus quam peragitur motus, \& circum eam ceu obstaculum flectatur, parte{\que} reliqua $PT$ cui semicyclois nondum objicitur, protendatur in lineam rectam; \& pondus $T$ oscillabitur in Cycloide data $QRS$. \QEFup Occurrat enim filum $PT$ tum Cycloidi $QRS$ in $T$, tum circulo $QOS$ in $V$, agatur{\que} $CV$ occurrens circulo $ABD$ in $B$; \& ad fili partem rectam $PT$, e punctis extremis $P$ ac $T$, erigantur % -----File: 159.png--- perpendicula $PB$, $TW$, occurrentia rect{\ae} $CV$ in $B$ \& $W$. Patet enim ex genesi Cycloidis, quod perpendicula illa $PB$, $TW$, abscindent de $CV$ longitudines $VB$, $VW$ rotarum diametris $OA$, $OR$ {\ae}quales, at{\que} adeo quod punctum $B$ incidet in circulum $ABD$. Est igitur $TP$ ad $VP$ (duplum sinum anguli $VBP$ existente $\frac{1}{2}BV$ radio) ut $BW$ ad $BV$, seu $AO + OR$ ad $AO$, id est (cum sint $CA$ ad $CO$, $CO$ ad $CR$ \& divisim $AO$ ad $OR$ proportionales,) ut $CA + CO$ seu $2CE$ ad $CA$. Proinde per Corol.\ 1.\ Prop.\ XLIX. longitudo $PT$ {\ae}quatur Cycloidis arcui $PS$, \& filum totum $APT$ {\ae}quatur Cycloidis arcui dimidio $APS$, hoc est (per Corollar.\ 2.\ Prop.\ XLIX) longitudini $AR$. Et propterea vicissim si filum manet semper {\ae}quale longitudini $AR$ movebitur punctum $T$ in Cycloide $QRS$. \QEDup \textit{Corol.}\wsp{}Filum $AR$ {\ae}quatur Cycloidis arcui dimidio $APS$. \condpagelarge{Prop.\ LI\@. Theor.\ XVIII.} \textit{Si vis centripeta tendens undi{\que} ad Globi centrum $C$ sit in locis singulis ut distantia loci cujus{\que} a centro, \& hac sola vi agente Corpus $T$ % -----File: 160.png--- oscilletur (modo jam descripto) in perimetro Cycloidis $QRS$: dico quod oscillationum utcun{\que} in{\ae}qualium {\ae}qualia erunt Tempora.} Nam in Cycloidis tangentem $TW$ infinite productam cadat perpendiculum $CX$ \& jungatur $CT$. Quoniam vis centripeta qua corpus $T$ impellitur versus $C$ est ut distantia $CT$, (per Legum Corol.\ 2.)\ resolvitur in partes $CX$, $TX$, quarum $CX$ impellendo corpus directe a $P$ distendit filum $PT$ \& per cujus resistentiam tota cessat, nullum alium edens effectum; pars autem altera $TX$ urgendo corpus transversim seu versus $X$, directe accelerat motum ejus in Cycloide; manifestum est quod corporis acceleratio huic vi acceleratrici proportionalis sit singulis momentis ut longitudo $TX$, id est, ob datas $CV$, $WV$ iis{\que} proportionales $TX$, $TW$, ut longitudo $TW$, hoc est (per Corol.\ 1.\ Prop.\ XLIX.) ut longitudo arcus Cycloidis $TR$. Pendulis igitur duabus $APT$, $Apt$ de perpendiculo $AR$ in{\ae}qualiter deductis \& simul dimissis, accelerationes eorum semper erunt ut arcus describendi $TR$, $tR$. Sunt autem partes sub initio descript{\ae} ut accelerationes, hoc est ut tot{\ae} sub initio describend{\ae}, \& propterea partes qu{\ae} manent describend{\ae} \& accelerationes subsequentes his partibus proportionales sunt etiam ut tot{\ae}; \& sic deinceps. Sunt igitur accelerationes at{\que} adeo velocitates genit{\ae} \& partes his velocitatibus descript{\ae} partes{\que} describend{\ae}, semper ut tot{\ae}; \& propterea partes describend{\ae} datam servantes rationem ad invicem simul evanescent, id est corpora duo oscillantia simul pervenient ad perpendiculum $AR$. Cum{\que} vicissim ascensus perpendiculorum de loco infimo $R$, per eosdem arcus Trochoidales motu retrogrado facti, retardentur in locis singulis a viribus iisdem a quibus descensus accelerabantur, patet velocitates ascensuum ac descensuum per eosdem arcus factorum {\ae}quales esse, at{\que} adeo temporibus {\ae}qualibus fieri; \& propterea, cum Cycloidis partes du{\ae} $RS$ \& $RQ$ ad utrum{\que} perpendiculi latus jacentes sint similes \& {\ae}quales, pendula duo oscillationes suas tam totas quam dimidias iisdem temporibus semper peragent. \QEDup % -----File: 161.png--- \condpagelarge{Prop.\ LII\@. Prob.\ XXXIV.} \textit{Definire \& velocitates Pendulorum in locis singulis, \& Tempora quibus tum oscillationes tot{\ae}, tum singul{\ae} oscillationum partes peraguntur.} \pngright{161.png}{1071}{759}{-24} %Illustration Centro quovis $G$, intervallo $GH$ Cycloidis arcum $RS$ {\ae}quante, describe semicirculum $HKMG$ semidiametro $GK$ bisectum. Et si vis centripeta distantiis locorum a centro proportionalis tendat ad centrum $G$, sit{\que} ea in perimetro $HIK$ {\ae}qualis vi centripet{\ae} in perimetro globi $QOS$ (\textit{Vide Fig.\ Prop.\ L. \& LI.}) ad ipsius centrum tendente; \& eodem tempore quo pendulum $T$ dimittitur e loco supremo $S$, cadat corpus aliquod $L$ ab $H$ ad $G$: quoniam vires quibus corpora urgentur sunt {\ae}quales sub initio \& spatiis describendis $TR$, $GL$ semper proportionales, at{\que} adeo, si {\ae}quantur $TR$ \& $LG$, {\ae}quales in locis $T$ \& $L$; patet corpora illa describere spatia $ST$, $HL$ {\ae}qualia sub initio, adeo{\que} subinde pergere {\ae}qualiter urgeri, \& {\ae}qualia spatia describere. Quare, per Prop.\ XXXVIII., tempus quo corpus describit arcum $ST$ est ad tempus oscillationis unius, ut arcus $HI$ (tempus quo corpus $H$ perveniet ad $L$) ad semicirculum $HKM$ (tempus quo corpus $H$ perveniet ad $M$.) Et velocitas corporis penduli in loco $T$ est ad velocitatem ipsius in loco infimo $R$, (hoc est velocitas corporis $H$ in loco $L$ ad velocitatem ejus in loco $G$, seu incrementum momentaneum line{\ae} $HL$ ad incrementum momentaneum line{\ae} $HG$, arcubus $HI$, $HK$ {\ae}quabili fluxu crescentibus) ut ordinatim applicata $LI$ ad radium $GK$, sive ut $\surd \overline{SRq. - TRq.}$ ad $SR$. Unde cum in Oscillationibus in{\ae}qualibus describantur {\ae}qualibus temporibus arcus totis Oscillationum arcubus proportionales, habentur ex datis % -----File: 162.png--- temporibus \& velocitates \& arcus descripti in Oscillationibus universis. Qu{\ae} erant primo invenienda. \pngright{162.png}{2004}{788}{-24} %Illustration Oscillentur jam funipendula duo corpora in Cycloidibus in{\ae}qualibus \& ea\-rum semiarcubus {\ae}quales capiantur rect{\ae} $GH$, $gh$, centris{\que} $G$, $g$ \& intervallis $GH$, $gh$ describantur semicirculi $HZKM$, $hzkm$. In eorum diametris $HM$, $hm$ capiantur lineol{\ae} {\ae}quales $HY$, $hy$, \& erigantur normaliter $YZ$, $yz$ circumferentiis occurrentes in $Z$ \& $z$. Quoniam corpora pendula sub initio motus versantur in circumferentia globi $QOS$, adeo{\que} a viribus {\ae}qualibus urgentur in centrum, incipiunt{\que} directe versus centrum moveri, spatia simul consecta {\ae}qualia erunt sub initio. Urgeantur igitur corpora $H$, $h$ a viribus iisdem in $H$ \& $h$, sint{\que} $HY$, $hy$ spatia {\ae}qualia ipso motus initio descripta, \& arcus $HZ$, $hz$ denotabunt {\ae}qualia tempora. Horum arcuum nascentium ratio prima duplicata est eadem qu{\ae} rectangulorum $GHY$, $ghy$, id est, eadem qu{\ae} linearum $GH$, $gh$ adeo{\que} arcus capti in dimidiata ratione semidiametrorum denotant {\ae}qualia tempora. Est ergo tempus totum in circulo $HKM$, Oscillationi in una Cycloide respondens, ad tempus totum in circulo $hkm$ Oscillationi in altera Cycloide respondens, ut semiperiferia $HKM$ ad medium proportionale inter hanc semiperiferiam \& semiperiferiam circuli alterius $hkm$, id est in dimidiata ratione diametri $HM$ ad diametrum $hm$, hoc est in dimidiata ratione perimetri Cycloidis prim{\ae} ad perimetrum Cycloidis alterius, adeo{\que} tempus illud in Cycloide % -----File: 163.png--- quavis est (per Corol.\ 3.\ Prop.\ XLIX.) ut latus quadratum rectanguli $BEC$ contenti sub semidiametro Rot{\ae}, qua Cyclois descripta fuit, \& differentia inter semidiametrum illam \& semidiametrum globi. \QEIup Est \& idem tempus (per Corol.\ Prop.\ L.) in dimidiata ratione longitudinis fili $AR$. \QEIup Porro si in globis concentricis describantur similes Cycloides: quoniam earum perimetri sunt ut semidiametri globorum \& vires in analogis perimetrorum locis sunt ut distanti{\ae} locorum a communi globorum centro, hoc est ut globorum semidiametri, at{\que} adeo ut Cycloidum perimetri \& perimetrorum partes similes, {\ae}qualia erunt tempora quibus perimetrorum partes similes Oscillationibus similibus describuntur, \& propterea Oscillationes omnes erunt Isochron{\ae}. Cum igitur Oscillationum tempora in Globo dato sint in dimidiata ratione longitudinis $AR$, at{\que} adeo (ob datam $AC$) in dimidiata ratione numeri $\frac{AR}{AC}$, id est in ratione integra numeri $\surd \frac{AR}{AC}$; \& hic numerus $\surd \frac{AR}{AC}$ servata ratione $AR$ ad $AC$ (ut fit in Cycloidibus similibus) idem semper maneat, \& propterea in globis diversis, ubi Cycloides sunt similes, sit ut tempus: manifestum est quod Oscillationum tempora in alio quovis globo dato, at{\que} adeo in globis omnibus concentricis sunt ut numerus $\surd \frac{AR}{AC}$, id est, in ratione composita ex dimidiata ratione longitudinis fili $AR$ directe \& dimidiata ratione semidiametri globi $AC$ inverse. \QEIup Deni{\que} si vires absolut{\ae} diversorum globorum ponantur in{\ae}quales, accelerationes temporibus {\ae}qualibus fact{\ae}, erunt ut vires. Unde si tempora capiantur in dimidiata ratione virium inverse, velocitates erunt in eadem dimidiata ratione directe, \& propterea spatia erunt {\ae}qualia qu{\ae} his temporibus describuntur. Ergo Oscillationes in globis \& Cycloidibus omnibus, quibuscun{\que} cum viribus absolutis fact{\ae}, sunt in ratione qu{\ae} componitur ex dimidiata % -----File: 164.png--- ratione longitudinis Penduli directe, \& dimidiata ratione distanti{\ae} inter centrum Penduli \& centrum globi inverse, \& dimidiata ratione vis absolut{\ae} etiam inverse, id est, si vis illa dicatur $V$, in ratione numeri $\surd \frac{AR}{AC \times V}$. \QEIup \textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Hinc etiam Oscillantium, cadentium \& revolventium corporum tempora possunt inter se conferri. Nam si Rot{\ae}, qua Cyclois intra globum describitur, diameter constituatur {\ae}qualis semidiametro globi, Cyclois evadet linea recta per centrum globi transiens, \& Oscillatio jam erit descensus \& subsequens ascensus in hac recta. Unde datur tum tempus descensus de loco quovis ad centrum, tum tempus huic {\ae}quale quo corpus uniformiter circa centrum globi ad distantiam quamvis revolvendo arcum quadrantalem describit. Est enim hoc tempus (per Casum secundum) ad tempus semioscillationis in Trochoide quavis $APS$ ut $\frac{1}{2}BC$ ad $\surd BEC$. \textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Hinc etiam consectantur qu{\ae} \textit{D. C. Wrennus} \& \textit{D. C. Hugenius} de Cycloide vulgari adinvenerunt. Nam si globi diameter augeatur in infinitum, mutabitur ejus superficies Sph{\ae}rica in planum, vis{\que} centripeta aget uniformiter secundum lineas huic plano perpendiculares, \& Cyclois nostra abibit in Cycloidem vulgi. Isto autem in casu, longitudo arcus Cycloidis, inter planum illud \& punctum describens, {\ae}qualis evadet quadruplicato sinui verso dimidii arcus Rot{\ae} inter idem planum \& punctum describens; ut invenit \textit{D. C. Wrennus}: Et pendulum inter duas ejusmodi Cycloides in simili \& {\ae}quali Cycloide temporibus {\ae}qualibus Oscillabitur, ut demonstravit \textit{Hugenius}. Sed \& descensus gravium, tempore Oscillationis unius, is erit quem \textit{Hugenius} indicavit. Aptantur autem Propositiones a nobis demonstrat{\ae} ad veram constitutionem Terr{\ae}, quatenus Rot{\ae} eundo in ejus circulis maximis describunt motu clavorum Cycloides extra globum; \& Pendula inferius in fodinis \& cavernis Terra suspensa, in Cycloidibus % -----File: 165.png--- intra globos Oscillari debent, ut Oscillationes omnes evadant Isochron{\ae}. Nam Gravitas (ut in Libro tertio docebitur) decrescit in progressu a superficie Terr{\ae}, sursum quidem in duplicata ratione distantiarum a centro ejus, deorsum vero in ratione simplici. \condpagelarge{Prop.\ LIII\@. Prob.\ XXXV.} \textit{Concessis figurarum curvilinearum Quadraturis, invenire vires quibus corpora in datis curvis lineis Oscillationes semper Isochronas peragent.} \pngright{165.png}{1708}{1986}{-24} %Illustration Oscilletur corpus $T$ in curva quavis linea $STRQ$, cujus axis sit $OR$ transiens per virium centrum $C$. Agatur $TX$ qu{\ae} curvam illam in corporis loco quovis $T$ contingat, in{\que} hac Tangente $TX$ capiatur $TY$ {\ae}qualis arcui $TR$. Nam longitudo arcus illius ex figurarum Quadraturis per Methodos vulgares innotescit. De puncto $Y$ educatur recta $YZ$ Tangenti perpendicularis. Agatur $CT$ perpendiculari illi occurrens in $Z$, \& erit vis centripeta proportionalis rect{\ae} $TZ$. \QEIup Nam si vis, qua corpus trahitur de $T$ versus $C$, exponatur per rectam $TZ$ captam ipsi proportionalem, resolvetur h{\ae}c in vires % -----File: 166.png--- $TY$, $YZ$; quarum $YZ$ trahendo corpus secundum longitudinem fili $PT$, motum ejus nil mutat, vis autem altera $TY$ motum ejus in curva $STRQ$ directe accelerat vel directe retardat. Proinde cum h{\ae}c sit ut via describenda $TR$, accelerationes corporis vel retardationes in Oscillationum duarum (majoris \& minoris) partibus proportionalibus describendis, erunt semper ut partes ill{\ae}, \& propterea facient ut partes ill{\ae} simul describantur. Corpora autem qu{\ae} partes totis semper proportionales simul describunt, simul describent totas. \QEDup \textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Hinc si corpus $T$ filo rectilineo $AT$ a centro $A$ pendens, describat arcum circularem $STRQ$, \& interea urgeatur secundum lineas parallelas deorsum a vi aliqua, qu{\ae} sit ad vim uniformem gravitatis, ut arcus $TR$ ad ejus sinum $TN$: {\ae}qualia erunt Oscillationum singularum tempora. Etenim ob parallelas $TZ$, $AR$, similia erunt triangula $ANT$, $TYZ$; \& propterea $TZ$ erit ad $AT$ ut $TY$ ad $TN$; hoc est, si gravitatis vis uniformis exponatur per longitudinem datam $AT$, vis $TZ$, qua Oscillationes evadent Isochron{\ae}, erit ad vim gravitatis $AT$, ut arcus $TR$ ipsi $TY$ {\ae}qualis ad arcus illius sinum $TN$. \textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Igitur in Horologiis, si vires a Machina in Pendulum ad motum conservandum impress{\ae} ita cum vi gravitatis componi possint, ut vis tota deorsum semper sit ut linea qu{\ae} oritur applicando rectangulum sub arcu $TR$ \& radio $AR$, ad sinum $TN$, Oscillationes omnes erunt Isochron{\ae}. \condpagelarge{Prop.\ LIV\@. Prob.\ XXXVI.} \textit{Concessis figurarum curvilinearum quadraturis, invenire tempora quibus corpora vi qualibet centripeta in lineis quibuscun{\que} curvis in plano per centrum virium transeunte descriptis, descendent \& ascendent.} \pngright{167.png}{876}{1492}{-24} %Illustration Descendat enim corpus de loco quovis $S$ per lineam quamvis curvam $STtR$ in plano per virium centrum $C$ transeunte datam. Jungatur $CS$ \& dividatur eadem in partes innumeras {\ae}quales, % -----File: 167.png--- sit{\que} $Dd$ partium illarum aliqua. Centro $C$, intervallis $CD$, $Cd$ describantur circuli $DT$, $dt$, Line{\ae} curv{\ae} $STtR$ occurrentes in $T$ \& $t$. Et ex data tum lege vis centripet{\ae}, tum altitudine $CS$ de qua corpus cecidit; dabitur velocitas corporis in alia quavis altitudine $CT$, per Prop.\ XXXIX\@. Tempus autem, quo corpus describit lineolam $Tt$, est ut lineol{\ae} hujus longitudo (id est ut secans anguli $tTC$) directe, \& velocitas inverse. Tempori huic proportionalis sit ordinatim applicata $DN$ ad rectam $CS$ per punctum $D$ perpendicularis, \& ob datam $Dd$ erit rectangulum $Dd \times DN$, hoc est area $DNnd$, eidem tempori proportionale. Ergo si $SNn$ sit curva illa linea quam punctum $N$ perpetuo tangit, erit area $SNDS$ proportionalis tempori quo corpus descendendo descripsit lineam $ST$; proinde{\que} ex inventa illa area dabitur tempus. \QEIup \condpagelarge{Prop.\ LV\@. Theor.\ XIX.} \textit{Si corpus movetur in superficie quacun{\que} curva, cujus axis per centrum virium transit, \& a corpore in axem demittatur perpendicularis, ei{\que} parallela \& {\ae}qualis ab axis puncto quovis ducatur: dico quod parallela illa aream tempori proportionalem describet.} \pngright{168.png}{1330}{1800}{-12} %Illustration Sit $BSKL$ superficies curva, $T$ corpus in ea revolvens, $STtR$ Trajectoria quam corpus in eadem describit, $S$ initium Trajectori{\ae}, $OMNK$ axis superficiei curv{\ae}, $TN$ recta a corpore in axem perpendicularis, $OP$ huic parallela \& {\ae}qualis a puncto $O$ quod in axe datur educta, $AP$ vestigium Trajectori{\ae} a puncto $P$ % -----File: 168.png--- in line{\ae} volubilis $OP$ plano $AOP$ descriptum, $A$ vestigii initium puncto $S$ respondens, $TC$ recta a corpore ad centrum ducta; $TG$ pars ejus vi centripet{\ae} qua corpus urgetur in centrum $C$ proportionalis; $TM$ recta ad superficiem curvam perpendicularis; $TI$ pars ejus vi pressionis qua corpus urget superficiem, vicissim{\que} urgetur versus $M$ a superficie, proportionalis; $PHTF$ recta axi parallela per corpus transiens, \& $GF$, $IH$ rect{\ae} a punctis $G$ \& $I$ in parallelam illam $PHTF$ perpendiculariter demiss{\ae}. Dico jam quod area $AOP$, radio $OP$ ab initio motus descripta, sit tempori proportionalis. Nam vis $TG$ (per Legum Corol.\ 2.)\ resolvitur in vires $TF$, $FG$; \& vis $TI$ in vires $TH$, $HI$: Vires autem $TF$, $TH$ agendo secundum lineam $PF$ plano $AOP$ perpendicularem mutant solummodo motum corporis quatenus huic plano perpendicularem. Ideo{\que} motus ejus quatenus secundum positionem plani factus, hoc est motus puncti $P$, quo Trajectori{\ae} vestigium $AP$ in hoc plano describitur, idem est ac si vires $TF$, $TH$ tollerentur, \& corpus solis viribus $FG$, $HI$ agitaretur, hoc est idem ac si corpus in plano $AOP$ vi centripeta ad centrum $O$ tendente \& summam virium $FG$ \& $HI$ {\ae}quante, describeret curvam $AP$. Sed vi tali describetur area $AOP$ (per Prop.\ I.) tempori proportionalis. \QEDup \textit{Corol.}\wsp{}Eodem argumento si corpus a viribus agitatum ad centra % -----File: 169.png--- duo vel plura in eadem quavis recta $CO$ data tendentibus, describeret in spatio libero lineam quamcun{\que} curvam $ST$, foret area $AOP$ tempori semper proportionalis. \condpagelarge{Prop.\ LVI\@. Prob.\ XXXVII.} \textit{Concessis figurarum curvilinearum Quadraturis, datis{\que} tum lege vis centripet{\ae} ad centrum datum tendentis, tum superficie curva cujus axis per centrum illud transit; invenienda est Trajectoria quam corpus in eadem superficie describet, de loco dato, data cum velocitate versus plagam in superficie illa datam egressum.} Stantibus qu{\ae} in superiore Propositione constructa sunt, exeat corpus de loco $S$ in Trajectoriam inveniendam $STtR$ \& ex data ejus velocitate in altitudine $SC$ dabitur ejus velocitas in alia quavis altitudine $TC$. Ea cum velocitate, dato tempore quam minimo, describat corpus Trajectori{\ae} su{\ae} particulam $Tt$, sit{\que} $Pp$ vestigium ejus plano $AOP$ descriptum. Jungatur $Op$, \& circelli centro $T$ intervallo $Tt$ in superficie curva descripti sit $PpQ$ vestigium Ellipticum in eodem plano $OAPp$ descriptum. Et ob datum magnitudine \& positione circellum, dabitur Ellipsis illa $PpQ$. Cum{\que} area $POp$ sit tempori proportionalis, at{\que} adeo ex dato tempore detur, dabitur $Op$ positione, \& inde dabitur communis ejus \& Ellipseos intersectio $p$, una cum angulo $OPp$, in quo Trajectori{\ae} vestigium $APp$ secat lineam $OP$. Inde autem invenietur Trajectori{\ae} vestigium illud $APp$, eadem methodo qua curva linea $VIKk$ in Propositione XLI. ex similibus datis inventa fuit. Tum ex singulis vestigii punctis $P$ erigendo ad planum $AOP$ perpendicula $PT$ superficiei curv{\ae} occurrentia in $T$, dabuntur singula Trajectori{\ae} puncta $T$. \QEIup % -----File: 170.png--- \sectpage{XI.} \begin{center}{\textit{De Motu Corporum Sph{\ae}ricorum viribus centripetis se mutuo petentium.}}\end{center} Hactenus exposui motus corporum attractorum ad centrum immobile, quale tamen vix extat in rerum natura. Attractiones enim fieri solent ad corpora; \& corporum trahentium \& attractorum actiones semper mutu{\ae} sunt \& {\ae}quales, per Legem tertiam: adeo ut ne{\que} attrahens possit quiescere ne{\que} attractum, si duo sint corpora, sed ambo (per Legum Corollarium quartum) quasi attractione mutua, circum gravitatis centrum commune revolvantur: \& si plura sint corpora (qu{\ae} vel ab unico attrahantur vel omnia se mutuo attrahant) h{\ae}c ita inter se moveri debeant, ut gravitatis centrum commune vel quiescat vel uniformiter moveatur in directum. Qua de causa jam pergo motum exponere corporum se mutuo trahentium, considerando vires centripetas tanquam Attractiones, quamvis fortasse, si physice loquamur, verius dicantur Impulsus. In Mathematicis enim jam versamur, \& propterea missis disputationibus Physicis, familiari utimur sermone, quo possimus a Lectoribus Mathematicis facilius intelligi. \propnopage{Prop.\ LVII\@. Theor.\ XX.} \textit{Corpora duo se invicem trahentia describunt, \& circum commune centrum gravitatis, \& circum se mutuo, figuras similes.} Sunt enim distanti{\ae} a communi gravitatis centro reciproce proportionales corporibus, at{\que} adeo in data ratione ad invicem, \& componendo, in data ratione ad distantiam totam inter corpora. Feruntur autem h{\ae} distanti{\ae} circum terminos suos communi motu % -----File: 171.png--- angulari, propterea quod in directum semper jacentes non mutant inclinationem ad se mutuo. Line{\ae} autem rect{\ae}, qu{\ae} sunt in data ratione ad invicem, \& {\ae}quali motu angulari circum terminos suos feruntur, figuras circum eosdem terminos (in planis qu{\ae} una cum his terminis vel quiescunt vel motu quovis non angulari moventur) describunt omnino similes. Proinde similes sunt figur{\ae} qu{\ae} his distantiis circumactis describuntur. \QEDup \condpagelarge{Prop.\ LVIII\@. Theor.\ XXI.} \textit{Si corpora duo viribus quibusvis se mutuo trahunt, \& interea revolvuntur circa gravitatis centrum commune: dico quod figuris, quas corpora sic mota describunt circum se mutuo, potest figura similis \& {\ae}qualis, circum corpus alterutrum immotum, viribus iisdem describi.} Revolvantur corpora $S$, $P$ circa commune gravitatis centrum $C$, pergendo de $S$ ad $T$ de{\que} $P$ ad $Q$. A dato puncto $s$ ipsis $SP$, $TQ$ {\ae}quales \& parallel{\ae} ducantur semper $sp$, $sq$; \& curva $pqv$ quam punctum $p$, revolvendo circum punctum immotum $s$, describit, erit similis \& {\ae}qualis curvis quas corpora $S$, $P$ describunt circum se mutuo: proinde{\que} (per Theor.\ XX.) similis curvis $ST$ \& $PQV$, quas eadem corpora describunt circum commune gravitatis centrum $C$: id adeo quia proportiones linearum $SC$, $CP$ \& $SP$ vel $sp$ ad invicem dantur. \pngright{172.png}{1945}{733}{-24} %Illustration \textit{Cas.\fsp{}1.}\wsp{}Commune illud gravitatis centrum $C$, per Legum Corollarium % -----File: 172.png--- quartum, vel quiescit vel movetur uniformiter in directum. Ponamus primo quod id quiescit, in{\que} $s$ \& $p$ locentur corpora duo, immobile in $s$, mobile in $p$, corporibus $S$ \& $P$ similia \& {\ae}qualia. Dein tangant rect{\ae} $PR$ \& $pr$ Curvas $PQ$ \& $pq$ in $P$ \& $p$, \& producantur $CQ$ \& $sq$ ad $R$ \& $r$. Et ob similitudinem figurarum $CPRQ$, $sprq$, erit $RQ$ ad $rq$ ut $CP$ ad $sp$, adeo{\que} in data ratione. Proinde si vis qua Corpus $P$ versus Corpus $S$, at{\que} adeo versus centrum intermedium $C$ attrahitur, esset ad vim qua corpus $p$ versus centrum $s$ attrahitur in eadem illa ratione data, h{\ae} vires {\ae}qualibus temporibus attraherent semper corpora de tangentibus $PR$, $pr$ ad arcus $PQ$, $pq$, per intervalla ipsis proportionalia $RQ$, $rq$; adeo{\que} vis posterior efficeret ut corpus $p$ gyraretur in curva $pqv$, qu{\ae} similis esset curv{\ae} $PQV$, in qua vis prior efficit ut corpus $P$ gyretur, \& revolutiones iisdem temporibus complerentur. At quoniam vires ill{\ae} non sunt ad invicem in ratione $CP$ ad $sp$, sed (ob similitudinem \& {\ae}qualitatem corporum $S$ \& $s$, $P$ \& $p$, \& {\ae}qualitatem distantiarum $SP$, $sp$) sibi mutuo {\ae}quales, corpora {\ae}qualibus temporibus {\ae}qualiter trahentur de Tangentibus; \& propterea ut corpus posterius $p$ trahatur per intervallum majus $rq$, requiritur tempus majus, id{\que} in dimidiata ratione intervallorum; propterea quod, per Lemma decimum, spatia ipso motus initio descripta sunt in duplicata ratione temporum. Ponatur igitur velocitas corporis $p$ esse ad velocitatem corporis $P$ in dimidiata ratione distanti{\ae} $sp$ ad distantiam $CP$, eo ut temporibus qu{\ae} sint in eadem dimidiata ratione describantur % -----File: 173.png--- arcus $PQ$, $pq$, qui sunt in ratione integra: Et corpora $P$, $p$ viribus {\ae}qualibus semper attracta describent circum centra quiescentia $C$ \& $s$ figuras similes $PQV$, $pqv$, quarum posterior $pqv$ similis est \& {\ae}qualis figur{\ae} quam corpus $P$ circum corpus mobile $S$ describit. \QEDup \textit{Cas.\fsp{}2.}\wsp{}Ponamus jam quod commune gravitatis centrum, una cum spatio in quo corpora moventur inter se, progreditur uniformiter in directum; \&, per Legum Corollarium sextum, motus omnes in hoc spatio peragentur ut prius, adeo{\que} corpora describent circum se mutuo figuras easdem ac prius, \& propterea figur{\ae} $pqv$ similes \& {\ae}quales. \QEDup \textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Hinc corpora duo viribus distanti{\ae} su{\ae} proportionalibus se mutuo trahentia, describunt (per Prop.\ X.) \& circum commune gravitatis centrum, \& circum se mutuo, Ellipses concentricas: \& vice versa, si tales figur{\ae} describuntur, sunt vires distanti{\ae} proportionales. \textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Et corpora duo viribus quadrato distanti{\ae} su{\ae} reciproce proportionalibus describunt (per Prop.\ XI, XII, XIII.) \& circum commune gravitatis centrum, \& circum se mutuo sectiones conicas umbilicos habentes in centro circum quod figur{\ae} describuntur. Et vice versa, si tales figur{\ae} describuntur, vires centripet{\ae} sunt quadrato distanti{\ae} reciproce proportionales. \textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Corpora duo qu{\ae}vis circum gravitatis centrum commune gyrantia, radiis \& ad centrum illud \& ad se mutuo ductis, describunt areas temporibus proportionales. \condpagelarge{Prop.\ LIX\@. Theor.\ XXII.} \textit{Corporum duorum $S$ \& $P$ circa commune gravitatis centrum $C$ revolventium tempus periodicum esse ad tempus periodicum corporis alterutrius $P$, circa alterum immotum $S$ gyrantis \& figuris qu{\ae} corpora circum se mutuo describunt figuram similem \& {\ae}qualem describentis, in dimidiata ratione corporis alterius $S$, ad summam corporum $S + P$.} % -----File: 174.png--- Nam{\que} ex demonstratione superioris Propositionis, tempora quibus arcus quivis similes $PQ$ \& $pq$ describuntur, sunt in dimidiata ratione distantiarum $CP$ \& $SP$ vel $sp$, hoc est, in dimidiata ratione corporis $S$ ad summam corporum $S + P$. Et componendo, summ{\ae} temporum quibus arcus omnes similes $PQ$ \& $pq$ describuntur, hoc est tempora tota quibus figur{\ae} tot{\ae} similes describuntur, sunt in eadem dimidiata ratione. \QEDup \condpagelarge{Prop.\ LX\@. Theor.\ XXIII.} \textit{Si corpora duo $S$ \& $P$, viribus quadrato distanti{\ae} su{\ae} reciproce proportionalibus se mutuo trahentia, revolvuntur circa gravitatis centrum commune: dico quod Ellipseos, quam corpus alterutrum $P$ hoc motu circa alterum $S$ describit, Axis transversus erit ad axem transversum Ellipseos, quam corpus idem $P$ circa alterum quiescens $S$ eodem tempore periodico describere posset, ut summa corporum duorum $S + P$ ad primam duarum medie proportionalium inter hanc summam \& corpus illud alterum $S$.} Nam si descript{\ae} Ellipses essent sibi invicem {\ae}quales, tempora periodica, per Theorema superius, forent in dimidiata ratione corporis $S$ ad summam corporum $S + P$. Minuatur in hac ratione tempus periodicum in Ellipsi posteriore, \& tempora periodica evadent {\ae}qualia, Ellipseos autem axis transversus per Theorema VII. minuetur in ratione cujus h{\ae}c est sesquiplicata, id est in ratione, cujus ratio $S$ ad $S + P$ est triplicata; adeo{\que} ad axem transversum Ellipseos alterius, ut prima duarum medie proportionalium inter $S + P$ \& $S$ ad $S + P$. Et inverse, axis transversus Ellipseos circa corpus mobile descript{\ae} erit ad axem transversum descript{\ae} circa immobile, ut $S + P$ ad primam duarum medie proportionalium inter $S + P$ \& $S$. \QEDup % -----File: 175.png--- \condpagelarge{Prop.\ LXI\@. Theor.\ XXIV.} \textit{Si corpora duo viribus quibusvis se mutuo trahentia, ne{\que} alias agitata vel impedita, quomodocun{\que} moveantur; motus eorum perinde se habebunt ac si non traherent se mutuo, sed utrum{\que} a corpore tertio in communi gravitatis centro constituto viribus iisdem traheretur: Et Virium trahentium eadem erit Lex respectu distanti{\ae} corporum a centro illo communi at{\que} respectu distanti{\ae} totius inter corpora.} Nam vires ill{\ae}, quibus corpora se mutuo trahunt, tendendo ad corpora, tendunt ad commune gravitatis centrum intermedium, adeo{\que} e{\ae}dem sunt ac si a corpore intermedio manarent. \QEDup Et quoniam data est ratio distanti{\ae} corporis utriusvis a centro illo communi ad distantiam corporis ejusdem a corpore altero, dabitur ratio cujusvis potestatis distanti{\ae} unius ad eandem potestatem distanti{\ae} alterius; ut \& ratio quantitatis cujusvis, qu{\ae} ex una distantia \& quantitatibus datis utcun{\que} derivatur, ad quantitatem aliam, qu{\ae} ex altera distantia \& quantitatibus totidem datis datam{\que} illam distantiarum rationem ad priores habentibus similiter derivatur. Proinde si vis, qua corpus unum ab altero trahitur, sit directe vel inverse ut distantia corporum ab invicem; vel ut qu{\ae}libet hujus distanti{\ae} potestas; vel deni{\que} ut quantitas qu{\ae}vis ex hac distantia \& quantitatibus datis quomodocun{\que} derivata: erit eadem vis, qua corpus idem ad commune gravitatis centrum trahitur, directe itidem vel inverse ut corporis attracti distantia a centro illo communi, vel ut eadem distanti{\ae} hujus potestas, vel deni{\que} ut quantitas ex hac distantia \& analogis quantitatibus datis similiter derivata. Hoc est Vis trahentis eadem erit Lex respectu distanti{\ae} utrius{\que}. \QEDup % -----File: 176.png--- \condpagelarge{Prop.\ LXII\@. Prob.\ XXXVIII.} \textit{Corporum duorum qu{\ae} viribus quadrato distanti{\ae} su{\ae} reciproce proportionalibus se mutuo trahunt, ac de locis datis demittuntur, determinare motus.} Corpora, per Theorema novissimum, perinde movebuntur, ac si a corpore tertio in communi gravitatis centro constituto traherentur; \& centrum illud ipso motus initio quiescet (per Hypothesin) \& propterea (per Legum Corol.\ 4.)\ semper quiescet. Determinandi sunt igitur motus Corporum (per Probl.\ XXV.) perinde ac si a viribus ad centrum illud tendentibus urgerentur, \& habebuntur motus corporum se mutuo trahentium. \QEIup \condpagelarge{Prop.\ LXIII\@. Prob.\ XXXIX.} \textit{Corporum duorum qu{\ae} viribus quadrato distanti{\ae} su{\ae} reciproce proportionalibus se mutuo trahunt, de{\que} locis datis, secundum datas rectas, datis cum velocitatibus exeunt, determinare motus.} Ex datis corporum motibus sub initio, datur uniformis motus centri communis gravitatis, ut \& motus spatii quod una cum hoc centro movetur uniformiter in directum, nec non corporum motus initiales respectu hujus spatii. Motus autem subsequentes (per Legum Corollarium quintum \& Theorema novissimum) perinde fiunt in hoc spatio, ac si spatium ipsum una cum communi illo gravitatis centro quiesceret, \& corpora non traherent se mutuo, sed a corpore tertio sito in centro illo traherentur. Corporis igitur alterutrius in hoc spatio mobili de loco dato, secundum datam rectam, data cum velocitate exeuntis, \& vi centripeta ad centrum illud tendente correpti, determinandus est motus per Problema nonum \& vicesimum sextum: \& habebitur simul motus corporis alterius e regione. Cum hoc motu componendus est uniformis ille Systematis spatii \& corporum in eo gyrantium % -----File: 177.png--- motus progressivus supra inventus, \& habebitur motus absolutus corporum in spatio immobili. \QEIup \condpagelarge{Prop.\ LXIV\@. Prob.\ XL.} \textit{Viribus quibus Corpora se mutuo trahunt crescentibus in simplici ratione distantiarum a centris: requiruntur motus plurium Corporum inter se.} Ponantur imprimis corpora duo $T$ \& $L$ commune habentia gravitatis centrum $D$. Describent h{\ae}c per Corollarium primum Theorematis XXI. Ellipses centra habentes in $D$, quarum magnitudo ex Problemate V. innotescit. \pngright{177.png}{1208}{844}{-24} %Illustration Trahat jam corpus tertium $S$ priora duo $T$ \& $L$ viribus acceleratricibus $ST$, $SL$, \& ab ipsis vicissim trahatur. Vis $ST$ per Legum Corol.\ 2.\ resolvitur in vires $SD$, $DT$; \& vis $SL$ in vires $SD$, $DL$. Vires autem $DT$, $DL$, qu{\ae} sunt ut ipsarum summa $TL$, at{\que} adeo ut vires acceleratrices quibus corpora $T$ \& $L$ se mutuo trahunt, addit{\ae} his viribus corporum $T$ \& $L$, prior priori \& posterior posteriori, componunt vires distantiis $DT$ ac $DL$ proportionales, ut prius, sed viribus prioribus majores; adeo{\que} (per Corol.\ 1.\ Prop.\ X. \& Corol.\ 1 \& 7.\ Prop.\ IV.) efficiunt ut corpora illa describant Ellipses ut prius, sed motu celeriore. Vires reliqu{\ae} acceleratrices $SD$ \& $SD$, actionibus motricibus $SD \times T$ \& $SD \times L$, qu{\ae} sunt ut corpora, trahendo corpora illa {\ae}qualiter \& secundum lineas $TI$, $LK$, ipsi $DS$ parallelas, nil mutant situs earum ad invicem, sed faciunt ipsa {\ae}qualiter accedere ad lineam $IK$; quam ductam concipe per medium corporis $S$, \& line{\ae} $DS$ perpendicularem. Impedietur autem iste ad lineam $IK$ accessus % -----File: 178.png--- faciendo ut Systema corporum $T$ \& $L$ ex una parte, \& corpus $S$ ex altera, justis cum velocitatibus, gyrentur circa commune gravitatis centrum $C$. Tali motu corpus $S$ (eo quod summa virium motricium $SD \times T$ \& $SD \times L$, distanti{\ae} $CS$ proportionalium, trahitur versus centrum $C$) describit Ellipsin circa idem $C$; \& punctum $D$ ob proportionales $CS$, $CD$ describet Ellipsin consimilem, e regione. Corpora autem $T$ \& $L$ viribus motricibus $SD \times T$ \& $SD \times L$, (prius priore, posterius posteriore) {\ae}qualiter \& secundum lineas parallelas $TI$ \& $LK$ (ut dictum est) attracta, pergent (per Legum Corollarium quintum \& sextum) circa centrum mobile $D$ Ellipses suas describere, ut prius. \QEIup Addatur jam corpus quartum $V$, \& simili argumento concludetur hoc \& punctum $C$ Ellipses circa omnium commune centrum gravitatis $B$ describere; manentibus motibus priorum corporum $T$, $L$ \& $S$ circa centra $D$ \& $C$, sed paulo acceleratis. Et eadem methodo corpora plura adjungere licebit. \QEIup H{\ae}c ita se habent ubi corpora $T$ \& $L$ trahunt se mutuo viribus acceleratricibus majoribus vel minoribus quam trahunt corpora reliqua pro ratione distantiarum. Sunto mutu{\ae} omnium attractiones acceleratrices ad invicem ut distanti{\ae} duct{\ae} in corpora trahentia, \& ex pr{\ae}cedentibus facile deducetur quod corpora omnia {\ae}qualibus temporibus periodicis Ellipses varias, circa omnium commune gravitatis centrum $B$, in plano immobili describunt. \QEIup \condpagelarge{Prop.\ LXV\@. Theor.\ XXV.} \textit{Corpora plura quorum vires decrescunt in duplicata ratione distantiarum % -----File: 179.png--- ab eorundem centris, moveri posse inter se in Ellipsibus, \& radiis ad umbilicos ductis Areas describere temporibus proportionales quam proxime.} In Propositione superiore demonstratus est casus ubi motus plures peraguntur in Ellipsibus accurate. Quo magis recedit lex virium a lege ibi posita, eo magis corpora perturbabunt mutuos motus, ne{\que} fieri potest ut corpora secundum legem hic positam se mutuo trahentia moveantur in Ellipsibus accurate, nisi servando certam proportionem distantiarum ab invicem. In sequentibus autem casibus non multum ab Ellipsibus errabitur. \textit{Cas.\fsp{}1.}\wsp{}Pone corpora plura minora circa maximum aliquod ad varias ab eo distantias revolvi, tendant{\que} ad singula vires absolut{\ae} proportionales iisdem corporibus. Et quoniam omnium commune gravitatis centrum (per Legum Corol.\ quartum.)\ vel quiescet vel movebitur uniformiter in directum, fingamus corpora minora tam parva esse, ut corpus maximum nunquam distet sensibiliter ab hoc centro: \& maximum illud vel quiescet vel movebitur uniformiter in directum, abs{\que} errore sensibili; minora autem revolventur circa hoc maximum in Ellipsibus, at{\que} radiis ad idem ductis describent areas temporibus proportionales; nisi quatenus errores inducuntur, vel per errorem maximi a communi illo gravitatis centro, vel per actiones minorum corporum in se mutuo. Diminui autem possunt corpora minora us{\que} donec error iste \& actiones mutu{\ae} sint datis quibusvis minores, at{\que} adeo donec orbes cum Ellipsibus quadrent, \& are{\ae} respondeant temporibus, abs{\que} errore qui non sit minor quovis dato. \QEOup \textit{Cas.\fsp{}2.}\wsp{}Fingamus jam Systema corporum minorum modo jam descripto circa maximum revolventium, aliudve quodvis duorum circum se mutuo revolventium corporum Systema progredi uniformiter in directum, \& interea vi corporis alterius longe maximi \& ad magnam distantiam siti urgeri ad latus. Et quoniam {\ae}quales vires acceleratrices, quibus corpora secundum lineas parallelas urgentur, non mutant situs corporum ad invicem, sed ut Systema % -----File: 180.png--- totum, servatis partium motibus inter se, simul transferatur efficiunt: manifestum est quod ex attractionibus in corpus maximum, nulla prorsus orietur mutatio motus attractorum inter se, nisi vel ex attractionum acceleratricum in{\ae}qualitate, vel ex inclinatione linearum ad invicem, secundum quas attractiones fiunt. Pone ergo attractiones omnes acceleratrices in corpus maximum esse inter se reciproce ut quadrata distantiarum, \& augendo corporis maximi distantiam, donec rectarum ab hoc ad reliqua ductarum minores sint differenti{\ae} \& inclinationes ad invicem quam dat{\ae} qu{\ae}vis, perseverabunt motus partium Systematis inter se abs{\que} erroribus qui non sint quibusvis datis minores. Et quoniam, ob exiguam partium illarum ab invicem distantiam, Systema totum ad modum corporis unius attrahitur, movebitur idem hac attractione ad modum corporis unius; hoc est, centro suo gravitatis describet circa corpus maximum, Sectionem aliquam Conicam (\textit{viz.}\ Hyperbolam vel Parabolam attractione languida, Ellipsim fortiore,) \& Radio ad maximum ducto, verret areas temporibus proportionales, abs{\que} ullis erroribus, nisi quas partium distanti{\ae} (perexigu{\ae} sane \& pro lubitu minuend{\ae}) valeant efficere. \QEOup Simili argumento pergere licet ad casus magis compositos in infinitum. \textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}In casu secundo; quo propius accedit corpus omnium maximum ad Systema duorum vel plurium, eo magis turbabuntur motus partium Systematis inter se, propterea quod linearum a corpore maximo ad has ductarum jam major est inclinatio ad invicem, major{\que} proportionis in{\ae}qualitas. \textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Maxime autem turbabuntur, ponendo quod attractiones acceleratrices partium Systematis versus corpus omnium maximum, non sint ad invicem reciproce ut quadrata distantiarum a corpore illo maximo; pr{\ae}sertim si proportionis hujus in{\ae}qualitas major sit quam in{\ae}qualitas proportionis distantiarum a corpore maximo: Nam si vis acceleratrix, {\ae}qualiter \& secundum lineas % -----File: 181.png--- parallelas agendo, nil perturbat motus inter se, necesse est ut ex actionis in{\ae}qualitate perturbatio oriatur, major{\que} sit vel minor pro majore vel minore in{\ae}qualitate. Excessus impulsuum majorum agendo in aliqua corpora \& non agendo in alia, necessario mutabunt situm eorum inter se. Et h{\ae}c perturbatio addita perturbationi, qu{\ae} ex linearum inclinatione \& in{\ae}qualitate oritur, majorem reddet perturbationem totam. \textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Unde si Systematis hujus partes in Ellipsibus vel Circulis sine perturbatione insigni moveantur, manifestum est, quod e{\ae}dem a viribus acceleratricibus ad alia corpora tendentibus, aut non urgentur nisi levissime, aut urgentur {\ae}qualiter \& secundum lineas parallelas quamproxime. \condpagelarge{Prop.\ LXVI\@. Theor.\ XXVI.} \textit{Si corpora tria, quorum vires decrescunt in duplicata ratione distantiarum, se mutuo trahant, \& attractiones acceleratrices binorum quorumcun{\que} in tertium sint inter se reciproce ut quadrata distantiarum; minora autem circa maximum in plano communi revolvantur: Dico quod interius circa intimum \& maximum, radiis ad ipsum ductis, describet areas temporibus magis proportionales, \& figuram ad formam Ellipseos umbilicum in concursu radiorum habentis magis accedentem, si corpus maximum his attractionibus agitetur, quam si maximum illud vel a minoribus non attractum quiescat, vel multo minus vel multo magis attractum aut multo minus aut multo magis agitetur.} \pngright{185.png}{1492}{806}{-24} %Illustration Liquet fere ex demonstratione Corollarii secundi Propositionis pr{\ae}cedentis; sed argumento magis distincto \& latius cogente sic evincitur. \textit{Cas.\fsp{}1.}\wsp{}Revolvantur corpora minora $P$ \& $Q$ in eodem plano circa maximum $S$, quorum $P$ describat orbem interiorem $PAB$, \& $Q$ exteriorem $QE$. Sit $QK$ mediocris distantia corporum $P$ \& $Q$; \& corporis $P$ versus $Q$ attractio acceleratrix in mediocri illa distantia exponatur per eandem. In duplicata ratione $QK$ % -----File: 182.png--- ad $QP$ capiatur $QL$ ad $QK$, \& erit $QL$ attractio acceleratrix corporis $P$ versus $Q$ in distantia quavis $QP$. Junge $PS$, ei{\que} parallelam age $LM$ occurrentem $QS$ in $M$, \& attractio $QL$ resolvetur (per Legum Corol.\ 2.)\ in attractiones $QM$, $LM$. Et sic urgebitur corpus $P$ vi acceleratrice triplici: una tendente ad $S$ \& oriunda a mutua attractione corporum $S$ \& $P$. Hac vi sola corpus $P$, circum corpus $S$ sive immotum, sive hac attractione agitatum, describere deberet \& areas, radio $PS$ temporibus proportionales, \& Ellipsin cui umbilicus est in centro corporis $S$. Patet hoc per Prob.\ VI. \& Corollaria Theor.\ XXI\@. Vis altera est attractionis $LM$, qu{\ae} quoniam tendit a $P$ ad $S$, superaddita vi priori coincidet cum ipsa, \& sic faciet ut are{\ae} etiamnum temporibus proportionales describantur per Corol.\ 3.\ Theor.\ XXI\@. At quoniam non est quadrato distanti{\ae} $PS$ reciproce proportionalis, componet ea cum vi priore vim ab hac proportione aberrantem, id{\que} eo magis quo major est proportio hujus vis ad vim priorem, c{\ae}teris paribus. Proinde cum (per Corol.\ 1.\ Prob.\ VIII. \& Corol.\ 2.\ Theor.\ XXI.) vis qua Ellipsis circa umbilicum S describitur tendere debeat ad umbilicum illum, \& esse quadrato distanti{\ae} $PS$ reciproce proportionalis; vis illa composita aberrando ab hac proportione, faciet ut Orbis $PAB$ aberret a forma Ellipseos umbilicum habentis in $S$; id{\que} eo magis quo major est aberratio ab hac proportione; at{\que} adeo etiam quo major est proportio vis secund{\ae} $LM$ ad vim primam, c{\ae}teris paribus. Jam vero vis tertia $QM$, trahendo corpus $P$ secundum lineam ipsi $QS$ parallelam, componet cum viribus prioribus vim qu{\ae} non amplius dirigitur a $P$ in $S$, qu{\ae}{\que} ab hac determinatione tanto % -----File: 183.png--- magis aberrat, quanto major est proportio hujus terti{\ae} vis ad vires priores, c{\ae}teris paribus; at{\que} adeo qu{\ae} faciet ut corpus $P$, radio $SP$, areas non amplius temporibus proportionales describet, at{\que} aberratio ab hac proportionalitate ut tanto major sit, quanto major est proportio vis hujus terti{\ae} ad vires c{\ae}teras. Orbis vero $PAB$ aberrationem a forma Elliptica pr{\ae}fata h{\ae}c vis tertia duplici de causa adaugebit, tum quod non dirigitur a $P$ ad $S$, tum etiam quod non sit proportionalis quadrato distanti{\ae} $PS$. Quibus intellectis, manifestum est quod are{\ae} temporibus tum maxime fiunt proportionales, ubi vis tertia, manentibus viribus c{\ae}teris, fit minima; \& quod Orbis $PAB$ tum maxime accedit ad pr{\ae}fatam formam Ellipticam, ubi vis tam secunda quam tertia, sed pr{\ae}cipue vis tertia, fit minima, vi prima manente. Exponatur corporis $S$ attractio acceleratrix versus $Q$ per lineam $QN$; \& si attractiones acceleratrices $QM$, $QN$ {\ae}quales essent, h{\ae} trahendo corpora $S$ \& $P$ {\ae}qualiter \& secundum lineas parallelas, nil mutarent situm eorum ad invicem. Iidem jam forent corporum illorum motus inter se (par Legum Corol.\ 6.)\ ac si h{\ae} attractiones tollerentur. Et pari ratione si attractio $QN$ minor esset attractione $QM$, tolleret ipsa attractionis $QM$ partem $QN$, \& maneret pars sola $MN$, qua temporum \& arearum proportionalitas \& Orbit{\ae} forma illa Elliptica perturbaretur. Et similiter si attractio $QN$ major esset attractione $QM$, oriretur ex differentia sola $MN$ perturbatio proportionalitatis \& Orbit{\ae}. Sic per attractionem $QN$ reducitur semper attractio tertia superior $QM$ ad attractionem $MN$, attractione prima \& secunda manentibus prorsus immutatis: \& propterea are{\ae} ac tempora ad proportionalitatem, \& Orbita $PAB$ ad formam pr{\ae}fatam Ellipticam tum maxime accedunt, ubi attractio $MN$ vel nulla est, vel quam fieri possit minima; hoc est ubi corporum $P$ \& $S$ attractiones acceleratrices, fact{\ae} versus corpus $Q$, accedunt quantum fieri potest ad {\ae}qualitatem; id est ubi attractio $QN$ non est nulla, ne{\que} minor minima attractionum omnium $QM$, sed inter attractionum omnium % -----File: 184.png--- $QM$ maximam \& minimam quasi mediocris, hoc est, non multo major ne{\que} multo minor attractione $QK$. \QEDup \textit{Cas.\fsp{}2.}\wsp{}Revolvantur jam corpora minora $P$, $Q$ circa maximum $S$ in planis diversis, \& vis $LM$, agendo secundum lineam $PS$ in plano Orbit{\ae} $PAB$ sitam, eundem habebit effectum ac prius, ne{\que} corpus $P$ de plano Orbit{\ae} su{\ae} deturbabit. At vis altera $NM$, agendo secundum lineam qu{\ae} ipsi $QS$ parallela est, (at{\que} adeo, quando corpus $Q$ versatur extra lineam Nodorum, inclinatur ad planum Orbit{\ae} $PAB$;) pr{\ae}ter perturbationem motus in longitudinem jam ante expositam, inducet perturbationem motus in latitudinem, trahendo corpus $P$ de plano su{\ae} Orbit{\ae}. Et h{\ae}c perturbatio in dato quovis corporum $P$ \& $S$ ad invicem situ, erit ut vis illa generans $MN$, adeo{\que} minima evadet ubi $MN$ est minima, hoc est (uti jam exposui) ubi attractio $QN$ non est multo major ne{\que} multo minor attractione $QK$. \QEDup \textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Ex his facile colligitur quod si corpora plura minora $P$, $Q$, $R$ \&c.\ revolvantur circa maximum $S$: motus corporis intimi $P$ minime perturbabitur attractionibus exteriorum, ubi corpus maximum $S$ pariter a c{\ae}teris, pro ratione virium acceleratricum, attrahitur \& agitatur at{\que} c{\ae}teri a se mutuo. \textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}In Systemate vero trium corporum $S$, $P$, $Q$; si attractiones acceleratrices binorum quorumcun{\que} in tertium sint ad invicem reciproce ut quadrata distantiarum, corpus $P$ radio $PS$ aream circa corpus $S$ velocius describet prope conjunctionem $A$ \& oppositionem $B$, quam prope quadraturas $C$, $D$. Nam{\que} vis omnis qua corpus $P$ urgetur \& corpus $S$ non urgetur, qu{\ae}{\que} non agit secundum lineam $PS$, accelerat vel retardat descriptionem are{\ae}, perinde ut ipsa in antecedentia vel in consequentia dirigitur. Talis est vis $NM$. H{\ae}c in transitu corporis $P$ a $C$ ad $A$ tendit in antecedentia, motum{\que} accelerat; dein us{\que} ad $D$ in consequentia, \& motum retardat; tum in antecedentia us{\que} ad $B$, \& ultimo in \label{wasp176}consequentia transeundo a $B$ ad $C$. \textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Et eodem argumento patet quod corpus $P$, c{\ae}teris % -----File: 185.png--- paribus, velocius movetur in Conjunctione \& Oppositione quam in Quadraturis. \textit{Corol.\fsp{}4.}\wsp{}Orbita corporis $P$ c{\ae}teris paribus curvior est in quadraturis quam in Conjunctione \& Oppositione. Nam corpora velociora minus deflectunt a recto tramite. Et pr{\ae}terea vis $NM$, in Conjunctione \& Oppositione, contraria est vi qua corpus $S$ trahit corpus $P$, adeo{\que} vim illam minuit; corpus autem $P$ minus deflectet a recto tramite, ubi minus urgetur in corpus $S$. \textit{Corol.\fsp{}5.}\wsp{}Unde corpus $P$, c{\ae}teris paribus, longius recedet a corpore $S$ in quadraturis, quam in Conjunctione \& Oppositione. H{\ae}c ita se habent excluso motu Excentricitatis. Nam si Orbita corporis $P$ excentrica sit, Excentricitas ejus (ut mox in hujus Corol.\ 9.\ ostendetur) evadet maxima ubi Apsides sunt in Syzygiis; inde{\que} fieri potest ut corpus $P$, ad Apsidem summam appellans, absit longius a corpore $S$ in Syzygiis quam in Quadraturis. \textit{Corol.\fsp{}6.}\wsp{}Quoniam vis centripeta corporis centralis $S$, qua corpus $P$ retinetur in Orbe suo, augetur in quadraturis per additionem vis $LM$, ac diminuitur in Syzygiis per ablationem vis $KL$, \& ob magnitudinem vis $KL$, magis diminuitur quam augeatur, est autem vis illa centripeta (per Corol.\ 2, Prop.\ IV.) in ratione composita ex ratione simplici radii $SP$ directe \& ratione duplicata temporis periodici inverse: patet hanc rationem compositam diminui per actionem vis $KL$, adeo{\que} tempus periodicum, si maneat Orbis radius $SP$, augeri, id{\que} in dimidiata ratione qua vis illa centripeta diminuitur: aucto{\que} adeo vel diminuto hoc Radio, tempus periodicum augeri magis, vel diminui % -----File: 186.png--- minus quam in Radii hujus ratione sesquiplicata, per Corol.\ 6.\ Prop.\ IV\@. Si vis illa corporis centralis paulatim languesceret, corpus $P$ minus semper \& minus attractum perpetuo recederet longius a centro $S$; \& contra, si vis illa augeretur, accederet propius. Ergo si actio corporis longinqui $Q$, qua vis illa diminuitur, augeatur ac diminuatur per vices, augebitur simul ac diminuetur Radius $SP$ per vices, \& tempus periodicum augebitur ac diminuetur in ratione composita ex ratione sesquiplicata Radii \& ratione dimidiata qua vis illa centripeta corporis centralis $S$ per incrementum vel decrementum actionis corporis longinqui $Q$ diminuitur vel augetur. \textit{Corol.\fsp{}7.}\wsp{}Ex pr{\ae}missis consequitur etiam quod Ellipseos a corpore $P$ descript{\ae} axis seu Apsidum linea, quoad motum angularem progreditur \& regreditur per vices, sed magis tamen progreditur, \& in singulis corporis revolutionibus per excessum progressionis fertur in consequentia. Nam vis qua corpus $P$ urgetur in corpus $S$ in Quadraturis, ubi vis $MN$ evanuit, componitur ex vi $LM$ \& vi centripeta qua corpus $S$ trahit corpus $P$. Vis prior $LM$, si augeatur distantia $PS$, augetur in eadem fere ratione cum hac distantia, \& vis posterior decrescit in duplicata illa ratione, adeo{\que} summa harum virium decrescit in minore quam duplicata ratione distanti{\ae} $PS$, \& propterea, per Corol.\ 1.\ Prop.\ XLV. facit Augem seu Apsidem summam regredi. In Conjunctione vero \& Oppositione, vis qua corpus $P$ urgetur in corpus $S$ differentia est inter vim qua corpus $S$ trahit corpus $P$ \& vim $KL$; \& differentia illa, propterea quod vis $KL$ augetur quamproxime in ratione distanti{\ae} $PS$, decrescit in majore quam duplicata ratione distanti{\ae} $PS$, adeo{\que} per Corol.\ 1.\ Prop.\ XLV. facit Augem progredi. In locis inter Syzygias \& Quadraturas, pendet motus Augis ex causa utra{\que} conjunctim, adeo ut pro hujus vel alterius excessu progrediatur ipsa vel regrediatur. Unde cum vis $KL$ in Syzygiis sit quasi duplo major quam vis $LM$ in quadraturis, excessus in tota revolutione erit penes vim $KL$, transferet{\que} Augem singulis % -----File: 187.png--- revolutionibus in consequentia. Veritas autem hujus \& pr{\ae}cedentis Corollarii facilius intelligetur concipiendo Systema corporum duorum $S$, $P$ corporibus pluribus $Q$, $Q$, $Q$ \&c.\ in Orbe $QE$ consistentibus, undi{\que} cingi. Nam{\que} horum actionibus actio ipsius $S$ minuetur undi{\que}, decrescet{\que} in ratione plusquam duplicata distanti{\ae}. \textit{Corol.\fsp{}8.}\wsp{}Cum autem pendeat Apsidum progressus vel regressus a decremento vis centripet{\ae} facto in majori vel minori quam duplicata ratione distanti{\ae} $SP$, in transitu corporis ab Apside ima ad Apsidem summam; ut \& a simili incremento in reditu ad Apsidem imam; at{\que} adeo maximus sit ubi proportio vis in Apside summa ad vim in Apside ima maxime recedit a duplicata ratione distantiarum inversa: manifestum est quod Apsides in Syzygiis suis, per vim ablatitiam $KL$ seu $NM - LM$, progredientur velocius, in{\que} Quadraturis suis tardius recedent per vim addititiam $LM$. Ob diuturnitatem vero temporis quo velocitas progressus vel tarditas regressus continuatur, fit h{\ae}c in{\ae}qualitas longe maxima. \textit{Corol.\fsp{}9.}\wsp{}Si corpus aliquod vi reciproce proportionali quadrato distanti{\ae} su{\ae} a centro, revolveretur circa hoc centrum in Ellipsi, \& mox, in descensu ab Apside summa seu Auge ad Apsidem imam, vis illa per accessum perpetuum vis nov{\ae} augeretur in ratione plusquam duplicata distanti{\ae} diminut{\ae}: Manifestum est quod corpus, perpetuo accessu vis illius nov{\ae} impulsum semper in centrum, magis vergeret in hoc centrum, quam si urgeretur vi sola crescente in duplicata ratione distanti{\ae} diminut{\ae}, adeo{\que} Orbem describeret Orbe Elliptico interiorem, \& in Apside ima propius accederet ad centrum quam prius. Orbis igitur, accessu % -----File: 188.png--- hujus vis nov{\ae}, fiet magis excentricus. Si jam vis, in recessu corporis ab Apside ima ad Apsidem summam, decresceret iisdem gradibus quibus ante creverat, rediret corpus ad distantiam priorem, adeo{\que} si vis decrescat in majori ratione, corpus jam minus attractum ascendet ad distantiam majorem \& sic Orbis Excentricitas adhuc magis augebitur. Igitur si ratio incrementi \& decrementi vis centripet{\ae} singulis revolutionibus augeatur, augebitur semper Excentricitas; \& e contra, diminuetur eadem si ratio illa decrescat. Jam vero in Systemate corporum $S$, $P$, $Q$, ubi Apsides orbis $PAB$ sunt in quadraturis, ratio illa incrementi ac decrementi minima est, \& maxima fit ubi Apsides sunt in Syzygiis. Si Apsides constituantur in quadraturis ratio prope Apsides minor est, \& prope Syzygias major quam duplicata distantiarum, \& ex ratione illa majori oritur Augis motus velocissimus, uti jam dictum est. At si consideretur ratio incrementi vel decrementi totius in progressu inter Apsides, h{\ae}c minor est quam duplicata distantiarum. Vis in Apside ima est ad vim in Apside summa in minore quam duplicata ratione distanti{\ae} Apsidis summ{\ae} ab umbilico Ellipseos ad distantiam Apsidis im{\ae} ab eodem umbilico: \& e contra, ubi Apsides constituuntur in Syzygiis, vis in Apside ima est ad vim in Apside summa in majore quam duplicata ratione distantiarum. Nam vires $LM$ in Quadraturis addit{\ae} viribus corporis $S$ componunt vires in ratione minore, \& vires $KL$ in Syzygiis subduct{\ae} viribus corporis $S$ relinquunt vires in ratione majore. Est igitur ratio decrementi \& incrementi totius in transitu inter Apsides, minima in quadraturis, maxima in Syzygiis: \& propterea in transitu Apsidum a quadraturis ad Syzygias perpetuo augetur, auget{\que} Excentricitatem \label{wasp180}Ellipseos; in{\que} transitu a Syzygiis ad quadraturas perpetuo diminuitur, \& Excentricitatem diminuit. \textit{Corol.\fsp{}10.}\wsp{}Ut rationem ineamus errorum in latitudinem, fingamus planum Orbis $QES$ immobile manere; \& ex errorum exposita causa manifestum est, quod ex viribus $NM$, $ML$, qu{\ae} sunt % -----File: 189.png--- causa illa tota, vis $ML$ agendo semper secundum planum Orbis $PAB$, nunquam perturbat motus in latitudinem, quod{\que} vis $NM$ ubi Nodi sunt in Syzygiis, agendo etiam secundum idem Orbis planum, non perturbat hos motus; ubi vero sunt in Quadraturis eos maxime perturbat, corpus{\que} $P$ de plano Orbis sui perpetuo trahendo, minuit inclinationem plani in transitu corporis a quadraturis ad Syzygias, auget{\que} vicissim eandem in transitu a Syzygiis ad quadraturas. Unde fit ut corpore in Syzygiis existente inclinatio evadat omnium minima, redeat{\que} ad priorem magnitudinem circiter, ubi corpus ad Nodum proximum accedit. At si Nodi constituantur in Octantibus post quadraturas, id est inter $C$ \& $A$, $D$ \& $B$, intelligetur ex modo expositis quod, in transitu corporis $P$ a Nodo alterutro ad gradum inde nonagesimum, inclinatio plani perpetuo minuitur; deinde in transitu per proximos 45 gradus, us{\que} ad quadraturam proximam, inclinatio augetur, \& postea denuo in transitu per alios 45 gradus, us{\que} ad nodum proximum, diminuitur. Magis ita{\que} diminuitur inclinatio quam augetur, \& propterea minor est semper in nodo subsequente quam in pr{\ae}cedente. Et simili ratiocinio inclinatio magis augetur quam diminuitur, ubi nodi sunt in Octantibus alteris inter $A$ \& $D$, $B$ \& $C$. Inclinatio igitur ubi Nodi sunt in Syzygiis est omnium maxima. In transitu eorum a Syzygiis ad quadraturas, in singulis corporis ad Nodos appulsibus, diminuitur, fit{\que} omnium minima ubi nodi sunt in quadraturis \& corpus in Syzygiis: dein crescit iisdem gradibus quibus antea decreverat, Nodis{\que} ad Syzygias proximas appulsis ad magnitudinem primam revertitur. \textit{Corol.\fsp{}11.}\wsp{}Quoniam corpus $P$ ubi nodi sunt in quadraturis perpetuo trahitur de plano Orbis sui, id{\que} in partem versus $Q$, in transitu suo a nodo $C$ per Conjunctionem $A$ ad nodum $D$; \& in contrariam partem in transitu a nodo $D$ per Oppositionem $B$ ad nodum $C$; manifestum est quod in motu suo a nodo $C$, corpus perpetuo recedit ab Orbis sui plano primo $CD$, us{\que} dum perventum est ad nodum proximum; adeo{\que} in hoc nodo, longissime distans a plano illo primo $CD$, transit per planum Orbis $QES$, % -----File: 190.png--- non in plani illius Nodo altero $D$, sed in puncto quod inde vergit ad partes corporis $Q$, quod{\que} proinde novus est Nodi locus in anteriora vergens. Et simili argumento pergent Nodi recedere in transitu Corporis de hoc nodo in nodum proximum. Nodi igitur in quadraturis constituti perpetuo recedunt, in Syzygiis (ubi motus in latitudinem nil perturbatur) quiescunt; in locis intermediis conditionis utrius{\que} participes recedunt tardius, adeo{\que} semper vel retrogradi vel stationarii singulis revolutionibus feruntur in antecedentia. \textit{Corol.\fsp{}12.}\wsp{}Omnes illi in his Corollariis descripti errores sunt paulo majores in conjunctione Corporum $P$, $Q$ quam in eorum Oppositione, id{\que} ob majores vires generantes $NM$ \& $ML$. \textit{Corol.\fsp{}13.}\wsp{}Cum{\que} rationes horum Corollariorum non pendeant a magnitudine corporis $Q$, obtinent pr{\ae}cedentia omnia, ubi corporis $Q$ tanta statuitur magnitudo ut circa ipsum revolvatur corporum duorum $S$ \& $P$ Systema. Et ex aucto corpore $Q$, aucta{\que} adeo ipsius vi centripeta, a qua errores corporis $P$ oriuntur, evadent errores illi omnes (paribus distantiis) majores in hoc casu quam in altero, ubi corpus $Q$ circum Systema corporum $P$ \& $S$ revolvitur. \textit{Corol.\fsp{}14.}\wsp{}Cum autem vires $NM$, $ML$, ubi corpus $Q$ longinquum est, sint quamproxime ut vis $QK$ \& ratio $PS$ ad $QS$ conjunctim, hoc est, si detur tum distantia $PS$, tum corporis $Q$ vis absoluta, ut $QS \opit{cub.}$ reciproce; sint autem vires ill{\ae} $NM$, $ML$ caus{\ae} errorum \& effectuum omnium de quibus actum est in pr{\ae}cedentibus Corollariis: manifestum est quod effectus illi omnes, stante corporum $S$ \& $P$ Systemate, sint quamproxime in ratione composita ex ratione directa vis absolut{\ae} corporis $Q$ \& ratione triplicata inversa distanti{\ae} $QS$. Unde si Systema corporum $S$ \& $P$ revolvatur circa corpus longinquum $Q$, vires ill{\ae} $NM$, $ML$ \& earum effectus erunt (per Corol.\ 2.\ \& 6.\ Prop.\ IV.) reciproce in duplicata ratione temporis periodici. Et inde si magnitudo corporis $Q$ proportionalis sit ipsius vi absolut{\ae}, erunt vires ill{\ae} % -----File: 191.png--- $NM$, $ML$ \& earum effectus directe ut cubus diametri apparentis longinqui corporis $Q$ e corpore $S$ spectati, \& vice versa. Nam{\que} h{\ae} rationes e{\ae}dem sunt at{\que} ratio superior composita. \textit{Corol.\fsp{}15.}\wsp{}Et quoniam si, manentibus Orbium $QE$ \& $PAB$ forma, proportionibus \& inclinatione ad invicem, mutetur eorum magnitudo, \& si corporum $Q$ \& $S$ vel maneant vel mutentur vires in data quavis ratione, h{\ae} vires (hoc est vis corporis $S$, qua corpus $P$ de recto tramite in Orbitam $PAB$ deflectere, \& vis corporis $Q$, qua corpus idem $P$ de Orbita illa deviare cogitur) agunt semper eodem modo \& eadem proportione: necesse est ut similes \& proportionales sint effectus omnes \& proportionalia effectuum tempora; hoc est, ut errores omnes lineares sint ut Orbium diametri, angulares vero iidem qui prius, \& errorum linearium similium vel angularium {\ae}qualium tempora ut Orbium tempora periodica. \textit{Corol.\fsp{}16.}\wsp{}Unde, si dentur Orbium form{\ae} \& inclinatio ad invicem, \& mutentur utcun{\que} corporum magnitudines, vires \& distanti{\ae}; ex datis erroribus \& errorum temporibus in uno Casu colligi possunt errores \& errorum tempora in alio quovis, quam proxime: Sed brevius hac Methodo. Vires $NM$, $ML$ c{\ae}teris stantibus sunt ut Radius $SP$, \& harum effectus periodici (per Corol.\ 2, Lem.\ X) ut vires \& quadratum temporis periodici corporis $P$ conjunctim. Hi sunt errores lineares corporis $P$; \& hinc errores angulares e centro $S$ spectati (id est tam motus Augis \& Nodorum, quam omnes in longitudinem \& latitudinem errores apparentes) sunt in qualibet revolutione corporis $P$, ut quadratum temporis revolutionis quam proxime. Conjungantur h{\ae} rationes cum rationibus Corollarii 14.\ \& in quolibet corporum $S$, $P$, $Q$ Systemate, ubi $P$ circum $S$ sibi propinquum, \& $S$ circum $Q$ longinquum revolvitur, errores angulares corporis $P$, de centro $S$ apparentes, erunt, in singulis revolutionibus corporis illius $P$, ut quadratum temporis periodici corporis $P$ directe \& quadratum temporis periodici corporis $S$ inverse. Et inde motus medius % -----File: 192.png--- Augis erit in data ratione ad motum medium Nodorum; \& motus uter{\que} erit ut tempus periodicum corporis $P$ directe \& quadratum temporis periodici corporis $S$ inverse. Augendo vel minuendo Excentricitatem \& Inclinationem Orbis $PAB$ non mutantur motus Augis \& Nodorum \label{wasp184}sensibiliter, nisi ubi e{\ae}dem sunt nimis magn{\ae}. \textit{Corol.\fsp{}17.}\wsp{}Cum autem linea $LM$ nunc major si nunc minor quam radius $PS$, Exponatur vis mediocris $LM$ per radium illum $PS$, \& erit h{\ae}c ad vim mediocrem $QK$ vel $QN$ (quam exponere licet per $QS$) ut longitudo $PS$ ad longitudinem $QS$. Est autem vis mediocris $QN$ vel $QS$, qua corpus retinetur in orbe suo circum $Q$, ad vim qua corpus $P$ retinetur in Orbe suo circum $S$, in ratione composita ex ratione radii $QS$ ad radium $PS$, \& ratione duplicata temporis periodici corporis $P$ circum $S$ ad tempus periodicum corporis $S$ circum $Q$. Et ex {\ae}quo, vis mediocris $LM$, ad vim qua corpus $P$ retinetur in Orbe suo circum $S$ (quave corpus idem $P$ eodem tempore periodico circum punctum quodvis immobile $S$ ad distantiam $PS$ revolvi posset) est in ratione illa duplicata periodicorum temporum. Datis igitur temporibus periodicis una cum distantia $PS$, datur vis mediocris $LM$; \& ea data datur etiam vis $MN$ quamproxime per analogiam linearum $PS$, $MN$. \textit{Corol.\fsp{}18.}\wsp{}Iisdem legibus quibus corpus $P$ circum corpus $S$ revolvitur, fingamus corpora plura fluida circum idem $S$ ad {\ae}quales ab ipso distantias moveri; deinde ex his contiguis factis conflari annulum fluidum, rotundum ac corpori $S$ concentricum; \& singul{\ae} annuli partes, motus suos omnes ad legem corporis $P$ peragendo, propius accedent ad corpus $S$, \& celerius movebuntur in Conjunctione \& Oppositione ipsarum \& corporis $Q$, quam in Quadraturis. Et Nodi annuli hujus seu intersectiones ejus cum plano Orbit{\ae} corporis $Q$ vel $S$, quiescent in Syzygiis; extra Syzygias vero movebuntur in antecedentia, \& velocissime quidem in Quadraturis, tardius aliis in locis. Annuli quo{\que} inclinatio % -----File: 193.png--- variabitur, \& axis ejus singulis revolutionibus oscillabitur, completa{\que} revolutione ad pristinum situm redibit, nisi quatenus per pr{\ae}cessionem Nodorum circumfertur. \textit{Corol.\fsp{}19.}\wsp{}Fingas jam globum corporis $S$ ex materia non fluida constantem ampliari \& extendi us{\que} ad hunc annulum, \& alveo per circuitum excavato continere Aquam, motu{\que} eodem periodico circa axem suum uniformiter revolvi. Hic liquor per vices acceleratus \& retardatus (ut in superiore Lemmate) in Syzygiis velocior erit, in Quadraturis tardior quam superficies Globi, \& sic fluet in alveo refluet{\que} ad modum Maris. Aqua revolvendo circa Globi centrum quiescens, si tollatur attractio $Q$, nullum acquiret motum fluxus \& refluxus. Par est ratio Globi uniformiter progredientis in directum \& interea revolventis circa centrum suum (per Legum Corol.\ 5) ut \& Globi de cursa rectilineo uniformiter tracti (per Legum Corol.\ 6.) Accedat autem corpus $Q$, \& ab ipsius in{\ae}quabili attractione mox turbabitur Aqua. Etenim major erit attractio aqu{\ae} propioris, minor ea remotioris. Vis autem $LM$ trahet aquam deorsum in Quadraturis, faciet{\que} ipsam descendere us{\que} ad Syzygias; \& vis $KL$ trahet eandem sursum in Syzygiis, sistet{\que} descensum ejus \& faciet ipsam ascendere us{\que} ad Quadraturas. \textit{Corol.\fsp{}20.}\wsp{}Si annulus jam rigeat \& minuatur Globus, cessabit motus fluendi \& refluendi; sed Oscillatorius ille inclinationis motus \& pr{\ae}cessio Nodorum manebunt. Habeat Globus eundem axem cum annulo, gyros{\que} compleat iisdem temporibus, \& superficie sua contingat ipsum interius, ei{\que} inh{\ae}reat; \& participando motum ejus, compages utrius{\que} Oscillabitur \& Nodi regredientur. Nam Globus, ut mox dicetur, ad suscipiendas impressiones omnes indifferens est. Annuli Globo orbati maximus inclinationis angulus est ubi Nodi sunt in Syzygiis. Inde in progressu Nodorum ad Quadraturas conatur is inclinationem suam minuere, \& isto conatu motum imprimit Globo toti. Retinet Globus motum impressum us{\que} dum annulus conatu contrario % -----File: 194.png--- motum hunc tollat, imprimat{\que} motum novum in contrariam partem: At{\que} hac ratione maximus decrescentis inclinationis motus fit in Quadraturis Nodorum, \& minimus inclinationis angulus in Octantibus post Quadraturas; dein maximus reclinationis motus in Syzygiis \& maximus angulus in Octantibus proximis. Et eadem est ratio Globi annulo nudati, qui in regionibus {\ae}quatoris vel altior est paulo quam juxta polos, vel constat ex materia paulo densiore. Supplet enim vicem annuli iste materi{\ae} in {\ae}quatoris regionibus excessus. Et quanquam, aucta utcun{\que} Globi hujus vi centripeta, tendere supponantur omnes ejus partes deorsum, ad modum gravitantium partium telluris, tamen Ph{\ae}nomena hujus \& pr{\ae}cedentis Corollarii vix inde mutabuntur. \textit{Corol.\fsp{}21.}\wsp{}Eadem ratione qua materia Globi juxta {\ae}quatorem redundans efficit ut Nodi regrediantur, at{\que} adeo per hujus incrementum augetur iste regressus, per diminutionem vero diminuitur \& per ablationem tollitur; si materia plusquam redundans tollatur, hoc est, si Globus juxta {\ae}quatorem vel depressior reddatur vel rarior quam juxta polos, orietur motus Nodorum in consequentia. \textit{Corol.\fsp{}22.}\wsp{}Et inde vicissim ex motu Nodorum innotescit constitutio Globi. Nimirum si Globus polos eosdem constanter servat \& motus fit in antecedentia, materia juxta {\ae}quatorem redundat; si in consequentia, deficit. Pone Globum uniformem \& perfecte circinatum in spatiis liberis primo quiescere; dein impetu quocun{\que} oblique in superficiem suam facto propelli, \& motum inde concipere partim circularem, partim in directum. Quoniam Globus iste ad axes omnes per centrum suum transeuntes indifferenter se habet, ne{\que} propensior est in unum axem, unumve axis situm, quam in alium quemvis; perspicuum est quod is axem suum axis{\que} inclinationem vi propria nunquam mutabit. Impellatur jam Globus oblique in eadem illa superficiei parte qua prius, impulsu quocun{\que} novo; \& cum citior vel serior impulsus effectum nil mutet, manifestum est quod hi duo impulsus % -----File: 195.png--- successive impressi eundem producent motum ac si simul impressi fuissent, hoc est eundem ac si Globus vi simplici ex utro{\que} (per Legum Corol.\ 2.)\ composita impulsus fuisset, at{\que} adeo simplicem, circa axem inclinatione datum. Et par est ratio impulsus secundi facti in locum alium quemvis in {\ae}quatore motus primi; ut \& impulsus primi facti in locum quemvis in {\ae}quatore motus, quem impulsus secundus abs{\que} primo generaret; at{\que} adeo impulsuum amborum factorum in loca qu{\ae}cun{\que}: Generabunt hi eundem motum circularem ac si simul \& semel in locum intersectionis {\ae}quatorum motuum illorum, quos seorsim generarent, fuissent impressi. Globus igitur homogeneus \& perfectus non retinet motus plures distinctos, sed impressos omnes componit \& ad unum reducit, \& quatenus in se est, gyratur semper motu simplici \& uniformi circa axem unicum inclinatione semper invariabili datum. Sed nec vis centripeta inclinationem axis, aut rotationis velocitatem mutare potest. Si Globus plano quocun{\que} per centrum suum \& centrum in quod vis dirigitur transeunte dividi intelligatur in duo hemisph{\ae}ria, urgebit semper vis illa utrum{\que} hemisph{\ae}rium {\ae}qualiter, \& propterea Globum quoad motum rotationis nullam in partem inclinabit. Addatur vero alicubi inter polum \& {\ae}quatorem materia nova in formam montis cumulata, \& h{\ae}c, perpetuo conatu recedendi a centro sui motus, turbabit motum Globi, faciet{\que} polos ejus errare per ipsius superficiem, \& circulos circum se punctum{\que} sibi oppositum perpetuo describere. Ne{\que} corrigetur ista vagationis enormitas, nisi locando montem illum vel in polo alterutro, quo in Casu, per Corol.\ 21, Nodi {\ae}quatoris progredientur; vel in {\ae}quatore, qua ratione, per Corol.\ 20, Nodi regredientur; vel deni{\que} ex altera axis parte addendo materiam novam, qua mons inter movendum libretur: \& hoc pacto Nodi vel progredientur, vel recedent, perinde ut mons \& h{\ae}cce nova materia sunt vel polo vel {\ae}quatori propiores. % -----File: 196.png--- \condpagelarge{Prop.\ LXVII\@. Theor.\ XXVII.} \textit{Positis iisdem attractionum legibus, dico quod corpus exterius $Q$, circa interiorum $P$, $S$ commune Gravitatis centrum $C$, radiis ad centrum illud ductis, describit areas temporibus magis proportionales \& Orbem ad formam Ellipseos umbilicum in centro eodem habentis magis accedentem, quam circa corpus intimum \& maximum $S$, radiis ad ipsum ductis, describere potest.} Nam corporis $Q$ attractiones versus $S$ \& $P$ componunt ipsius attractionem absolutam, qu{\ae} magis dirigitur in corporum $S$ \& $P$ commune gravitatis centrum $C$, quam in corpus maximum $S$, qu{\ae}{\que} quadrato distanti{\ae} $QC$ magis est proportionalis reciproce, quam quadrato distanti{\ae} $QS$: ut rem perpendenti facile constabit. \condpagelarge{Prop.\ LXVIII\@. Theor.\ XXVIII.} \textit{Positis iisdem attractionum legibus, dico quod corpus exterius $Q$ circa interiorum $P$ \& $S$ commune gravitatis centrum $C$, radiis ad centrum illud ductis, describit areas temporibus magis proportionales, \& Orbem ad formam Ellipseos umbilicum in centro eodem habentis magis accedentem, si corpus intimum \& maximum his attractionibus perinde at{\que} c{\ae}tera agitetur, quam si id vel non attractum quiescat, vel multo magis aut multo minus attractum aut multo magis aut multo minus agitetur.} \pngright{185.png}{1492}{806}{-24} %Illustration Demonstratur eodem fere modo cum Prop.\ LXVI, sed argumento prolixiore, quod ideo pr{\ae}tereo. Suffecerit rem sic {\ae}stimare. Ex demonstratione Propositionis novissim{\ae} liquet centrum in quod corpus $Q$ conjunctis viribus urgetur, proximum esse communi centro gravitatis illorum duorum. Si coincideret hoc centrum cum centro illo communi, \& quiesceret commune centrum gravitatis corporum trium; describerent corpus $Q$ ex una % -----File: 197.png--- parte, \& commune centrum aliorum duorum ex altera parte, circa commune omnium centrum quiescens, Ellipses accuratas. Liquet hoc per Corollarium secundum Propositionis LVIII. collatum cum demonstratis in Prop.\ LXIV. \& LXV\@. Perturbatur iste motus Ellipticus aliquantulum per distantiam centri duorum a centro in quod tertium $Q$ attrahitur. Detur pr{\ae}terea motus communi trium centro, \& augebitur perturbatio. Proinde minima est perturbatio, ubi commune trium centrum quiescit, hoc est ubi corpus intimum \& maximum $S$ lege c{\ae}terorum attrahitur: fit{\que} major semper ubi trium commune illud centrum, minuendo motum corporis $S$, moveri incipit \& magis deinceps magis{\que} agitatur. \textit{Corol.}\wsp{}Et hinc si corpora plura minora revolvantur circa maximum, colligere licet quod Orbit{\ae} descript{\ae} propius accedent ad Ellipticas, \& arearum descriptiones fient magis {\ae}quabiles, si corpora omnia viribus acceleratricibus, qu{\ae} sunt ut eorum vires absolut{\ae} directe \& quadrata distantiarum inverse, se mutuo trahant agitent{\que}, \& Orbit{\ae} cujus{\que} umbilicus collocetur in communi centro gravitatis corporum omnium interiorum (nimirum umbilicus Orbit{\ae} prim{\ae} \& intim{\ae} in centro gravitatis corporis maximi \& intimi; ille Orbit{\ae} secund{\ae}, in communi centro gravitatis corporum duorum intimorum; iste terti{\ae}, in communi centro gravitatis trium interiorum \& sic deinceps) quam si corpus intimum quiescat \& statuatur communis umbilicus orbitarum Omnium. % -----File: 198.png--- \condpagelarge{Prop.\ LXIX\@. Theor.\ XXIX.} \textit{In Systemate corporum plurium $A$, $B$, $C$, $D$ \&c.\ si corpus aliquod $A$ trahit c{\ae}tera omnia $B$, $C$, $D$ \&c.\ viribus acceleratricibus qu{\ae} sunt reciproce ut quadrata distantiarum a trahente; \& corpus aliud $B$ trahit etiam c{\ae}tera $A$, $C$, $D$ \&c.\ viribus qu{\ae} sunt reciproce ut quadrata distantiarum a trahente: erunt absolut{\ae} corporum trahentium $A$, $B$ vires ad invicem, ut sunt ipsa corpora $A$, $B$, quorum sunt vires.} Nam attractiones acceleratrices corporum omnium $B$, $C$, $D$ versus $A$, par\-ibus distantiis, sibi invicem {\ae}quantur ex hypothesi, \& similiter attractiones acceleratrices corporum omnium versus $B$, paribus distantiis, sibi invicem {\ae}quantur. Est autem absoluta vis attractiva corporis $A$ ad vim absolutam attractivam corporis $B$, ut attractio acceleratrix corporum omnium versus $A$ ad attractionem acceleratricem corporum omnium versus $B$, paribus distantiis; \& ita est attractio acceleratrix corporis $B$ versus $A$, ad attractionem acceleratricem corporis $A$ versus $B$. Sed attractio acceleratrix corporis $B$ versus $A$ est ad attractionem acceleratricem corporis $A$ versus $B$, ut massa corporis $A$ ad massam corporis $B$; propterea quod vires motrices, qu{\ae} (per Definitionem secundam, septimam \& octavam) ex viribus acceleratricibus in corpora attracta ductis oriuntur, sunt (per motus Legem tertiam) sibi invicem {\ae}quales. Ergo absoluta vis attractiva corporis $A$ est ad absolutam vim attractivam corporis $B$, ut massa corporis $A$ ad massam corporis $B$. \QEDup \textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Hinc si singula Systematis corpora $A$, $B$, $C$, $D$, \&c.\ seorsim spectata trahant c{\ae}tera omnia viribus acceleratricibus qu{\ae} sint reciproce ut Quadrata distantiarum a trahente; erunt corporum illorum omnium vires absolut{\ae} ad invicem ut sunt ipsa corpora. % -----File: 199.png--- \textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Eodem argumento, si singula Systematis corpora $A$, $B$, $C$, $D$ \&c.\ seorsim spectata trahant c{\ae}tera omnia viribus acceleratricibus qu{\ae} sunt vel reciproce vel directe in ratione dignitatis cujuscun{\que} distantiarum a trahente, qu{\ae}ve secundum legem quamcun{\que} communem ex distantiis ab unoquo{\que} trahente definiuntur; constat quod corporum illorum vires absolut{\ae} sunt ut corpora. \textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}In Systemate corporum, quorum vires decrescunt in ratione duplicata distantiarum, si minora circa maximum in Ellipsibus umbilicum communem in maximi illius centro habentibus quam fieri potest accuratissimis revolvantur, \& radiis ad maximum illud ductis describant areas temporibus quam maxime proportionales: erunt corporum illorum vires absolut{\ae} ad invicem, aut accurate aut quamproxime in ratione corporum; \& contra. Patet per Corol.\ Prop.\ LXVIII. collatum cum hujus Corol.\ 1. \condpagelarge{\textit{Scholium.}} His Propositionibus manuducimur ad analogiam inter vires centripetas \& corpora centralia, ad qu{\ae} vires ill{\ae} dirigi solent. Rationi enim consentaneum est, ut vires qu{\ae} ad corpora diriguntur pendeant ab eorundem natura \& quantitate, ut fit in Magneticis. Et quoties hujusmodi casus incidunt, {\ae}stimand{\ae} erunt corporum attractiones, assignando singulis eorum particulis vires proprias, \& colligendo summas virium. Vocem attractionis hic generaliter usurpo pro corporum conatu quocun{\que} accedendi ad invicem; sive conatus iste fiat ab actione corporum vel se mutuo petentium, vel per Spiritus emissos se invicem agitantium, sive is ab actione {\AE}theris aut Aeris mediive cujuscun{\que} seu corporei seu incorporei oriatur corpora innatantia in se invicem utcun{\que} impellentis. Eodem sensu generali usurpo vocem impulsus, non species virium \& qualitates physicas, sed quantitates \& proportiones Mathematicas in hoc Tractatu expendens; ut in Definitionibus % -----File: 200.png--- explicui. In Mathesi investigand{\ae} sunt virium quantitates \& rationes ill{\ae}, qu{\ae} ex conditionibus quibuscun{\que} positis consequentur: deinde ubi in Physicam descenditur, conferend{\ae} sunt h{\ae} rationes cum Ph{\ae}nomenis, ut innotescat qu{\ae}nam virium conditiones singulis corporum attractivorum generibus competant. Et tum demum de virium speciebus, causis \& rationibus physicis tutius disputare licebit. Videamus igitur quibus viribus corpora Sph{\ae}rica, ex particulis modo jam exposito attractivis constantia, debeant in se mutuo agere, \& quales motus inde consequantur. \sectpage{XII.} \begin{center}{\textit{De Corporum Sph{\ae}ricorum Viribus attractivis.}}\end{center} \propnopage{Prop.\ LXX\@. Theor.\ XXX.} \textit{Si ad Sph{\ae}ric{\ae} superficiei puncta singula tendant vires {\ae}quales centripet{\ae} decrescentes in duplicata ratione distantiarum a punctis: dico quod corpusculum intra superficiem constitutum his viribus nullam in partem attrahitur.} \pngright{201.png}{945}{1048}{-24} %Illustration Sit $HIKL$ superficies illa Sph{\ae}rica, \& $P$ corpusculum intus constitutum. Per $P$ agantur ad hanc superficiem line{\ae} du{\ae} $HK$, $IL$, arcus quam minimos $HI$, $KL$ intercipientes; \& ob triangula $HPI$, $LPK$ (per Corol.\ 3.\ Lem.\ VII.) similia, arcus illi erunt distantiis $HP$, $LP$ proportionales, \& superficiei Sph{\ae}ric{\ae} particul{\ae} qu{\ae}vis, ad $HI$ \& $KL$ rectis per punctum $P$ transeuntibus undi{\que} terminat{\ae}, erunt in duplicata illa ratione. Ergo vires % -----File: 201.png--- harum particularum in corpus $P$ exercit{\ae} sunt inter se aquales. Sunt enim ut particul{\ae} directe \& quadrata distantiarum inverse. Et h{\ae} du{\ae} rationes componunt rationem {\ae}qualitatis. Attractiones igitur in contrarias partes {\ae}qualiter fact{\ae} se mutuo destruunt. Et simili argumento attractiones omnes per totam Sph{\ae}ricam superficiem a contrariis attractionibus destruuntur. Proinde corpus $P$ nullam in partem his attractionibus impellitur. \QEDup \condpagelarge{Prop.\ LXXI\@. Theor.\ XXXI.} \textit{Iisdem positis, dico quod corpusculum extra Sph{\ae}ricam superficiem constitutum attrahitur ad centrum Sph{\ae}r{\ae}, vi reciproce proportionali quadrato distanti{\ae} su{\ae} ab eodem centro.} \pngcent{202.png}{2373}{829} %Illustration Sint $AHKB$, $ahkb$ {\ae}quales du{\ae} superficies Sph{\ae}ric{\ae}, centris $S$, $s$, diametris $AB$, $ab$ descript{\ae}, \& $P$, $p$ corpuscula sita extrinsecus in diametris illis productis. Agantur a corpusculis line{\ae} $PHK$, $PIL$, $phk$, $pil$, auferentes a circulis maximis $AHB$, $ahb$, {\ae}quales arcus quam minimos $HK$, $hk$ \& $HL$, $hl$: Et ad eas demittantur perpendicula $SD$, $sd$; $SE$, $se$; $IR$, $ir$; quorum % -----File: 202.png--- $SD$, $sd$ secent $PL$, $pl$ in $F$ \& $f$. Demittantur etiam ad diametros perpendicula $IQ$, $iq$; \& ob {\ae}quales $DS$ \& $ds$, $ES$ \& $es$, \& angulos evanescentes $DPE$ \& $dpe$, line{\ae} $PE$, $PF$ \& $pe$, $pf$ \& lineol{\ae} $DF$, $df$ pro {\ae}qualibus habeantur: quippe quarum ratio ultima, angulis illis $DPE$, $dpe$ simul evanescentibus, est {\ae}qualitatis. His ita{\que} constitutis, erit $PI$ ad $PF$ ut $RI$ ad $DF$, \& $pf$ ad $pi$ ut $DF$ vel $df$ ad $ri$; \& ex {\ae}quo $PI \times pf$ ad $PF \times pi$ ut $RI$ ad $ri$, hoc est (per Corol.\ 3.\ Lem.\ VII.) ut arcus $IH$ ad arcum $ih$. Rursus $PI$ ad $PS$ ut $IQ$ ad $SE$, \& $ps$ ad $pi$ ut $SE$ vel $se$ ad $iq$; \& ex {\ae}quo $PI \times ps$ ad $PS \times pi$ ut $IQ$ ad $iq$. Et conjunctis rationibus $PI \opit{quad.} \times pf \times ps$ ad $pi \opit{quad.} \times PF \times PS$, ut $IH \times IQ$ ad $ih \times iq$; hoc est, ut superficies circularis, quam arcus $IH$ convolutione semicirculi $AKB$ circa diametrum $AB$ describet, ad superficiem circularem, quam arcus $ih$ convolutione semicirculi $akb$ circa diametrum $ab$ describet. Et vires, quibus h{\ae} superficies secundum lineas ad se tendentes attrahunt corpuscula $P$ \& $p$, sunt (per Hypothesin) ut ips{\ae} superficies applicat{\ae} ad quadrata distantiarum suarum a corporibus, hoc est, ut $pf \times ps$ ad $PF \times PS$. Sunt{\que} h{\ae} vires ad ipsarum partes obliquas qu{\ae} (facta per Legum Corol.\ 2 resolutione virium) secundum lineas $PS$, $ps$ ad centra tendunt, ut $PI$ ad $PQ$, \& $pi$ ad $pq$; id est (ob similia triangula $PIQ$ \& $PSF$, $piq$ \& $psf$) ut $PS$ ad $PF$ \& $ps$ ad $pf$. Unde ex {\ae}quo fit attractio corpusculi hujus $P$ versus $S$ ad attractionem corpusculi $p$ versus $s$, ut $\frac{PF \times pf \times ps}{PS}$ ad % -----File: 203.png--- $\frac{pf \times PF \times PS}{ps}$, hoc es ut $ps \opit{quad.}$ ad $PS \opit{quad.}$ Et simili argumento vires, quibus superficies convolutione arcuum $KL$, $kl$ descript{\ae} trahunt corpuscula, erunt ut $ps \opit{quad.}$ ad $PS \opit{quad.}$; in{\que} eadem ratione erunt vires superficierum omnium circularium in quas utra{\que} superficies Sph{\ae}rica, capiendo semper $sd = SD$ \& $se = SE$, distingui potest. Et per Compositionem, vires totarum superficierum Sph{\ae}ricarum in corpuscula exercit{\ae} erunt in eadem ratione. \QEDit \condpagelarge{Prop.\ LXXII\@. Theor.\ XXXII.} \textit{Si ad Spher{\ae} cujusvis puncta singula tendant vires {\ae}quales centripet{\ae} decrescentes in duplicata ratione distantiarum a punctis, ac detur ratio diametri Spher{\ae} ad distantiam corpusculi a centro ejus; dico quod vis qua corpusculum attrahitur proportionalis erit semi-diametro Sph{\ae}r{\ae}.} Nam concipe corpuscula duo seorsim a Sph{\ae}ris duabus attrahi, \& distantias a centris proportionales esse diametris, Sph{\ae}ras autem resolvi in particulas similes \& similiter positas ad corpuscula. Hinc attractiones corpusculi unius, fact{\ae} versus singulas particulas Sph{\ae}r{\ae} unius, erunt ad attractiones alterius versus analogas totidem particulas Sph{\ae}r{\ae} alterius, in ratione composita ex ratione particularum directe \& ratione duplicata distantiarum inverse. Sed particul{\ae} sunt ut Sph{\ae}r{\ae}, hoc est in ratione triplicata diametrorum, \& distanti{\ae} sunt ut diametri, \& ratio prior directe una cum ratione posteriore bis inverse est ratio diametri ad diametrum. \QEDup \textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Hinc si corpuscula in circulis circa Sph{\ae}ras ex materia {\ae}qualiter attractiva constantes revolvantur, sint{\que} distanti{\ae} a centris Sph{\ae}rarum proportionales earundem diametris; tempora periodica erunt {\ae}qualia. % -----File: 204.png--- \textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Et vice versa, si tempora periodica sunt {\ae}qualia; distanti{\ae} erunt proportionales diametris. Constant h{\ae}c duo per Corol.\ 3.\ Theor.\ IV. \condpagelarge{Prop.\ LXXIII\@. Theor.\ XXXIII.} \pngright{204.png}{763}{981}{-24} %Illustration \textit{Si ad sph{\ae}r{\ae} alicujus dat{\ae} puncta singula tendant {\ae}quales vires centripet{\ae} decrescentes in duplicata ratione distantiarum a punctis: dico quod corpusculum intra Sph{\ae}r\-am constitutum attrahitur vi proportionali distanti{\ae} su{\ae} ab ipsius centro.} In Sph{\ae}ra $ABCD$, centro $S$ descripta, locetur corpusculum $P$, \& centro eodem $S$ intervallo $SP$ concipe Sph{\ae}ram interiorem $PEQF$ describi. Manifestum est, per Theor.\ XXX. quod Sph{\ae}ric{\ae} superficies concentric{\ae}, ex quibus Sph{\ae}rarum differentia $AEBF$ componitur, attractionibus per attractiones contrarias destructis, nil agunt in corpus $P$. Restat sola attractio Sph{\ae}r{\ae} interioris $PEQF$. Et per Theor.\ XXXII, h{\ae}c est ut distantia $PS$. \QEDup \condpagelarge{\textit{Scholium.}} Superficies ex quibus solida componuntur, hic non sunt pure Mathematic{\ae}, sed Orbes adeo tenues ut eorum crassitudo instar nihili sit; nimirum Orbes evanescentes ex quibus Sph{\ae}ra ultimo constat, ubi Orbium illorum numerus augetur \& crassitudo minuitur in infinitum, juxta Methodum sub initio in Lemmatis generalibus expositam. Similiter per puncta, ex quibus line{\ae}, superficies \& solida componi dicuntur, intelligend{\ae} sunt particul{\ae} {\ae}quales magnitudinis contemnend{\ae}. % -----File: 205.png--- \condpagelarge{Prop.\ LXXIV\@. Theor.\ XXXIV.} \textit{Iisdem positis, dico quod corpusculum extra Sph{\ae}ram constitutum attrahitur vi reciproce proportionali quadrato distanti{\ae} su{\ae} ab ipsius centro.} Nam distinguatur Sph{\ae}ra in superficies Sph{\ae}ricas innumeras concentricas, \& attractiones corpusculi a singulis superficiebus oriund{\ae} erunt reciproce proportionales quadrato distanti{\ae} corpusculi a centro, per Theor.\ XXXI\@. Et componendo, fiet summa attractionum, hoc est attractio Sph{\ae}r{\ae} totius, in eadem ratione. \QEDup \textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Hinc in {\ae}qualibus distantiis a centris homogenearum Sph{\ae}rarum, attractiones sunt ut Sph{\ae}r{\ae}. Nam per Theor.\ XXXII. si distanti{\ae} sunt proportionales diametris Sph{\ae}rarum, vires erunt ut diametri. Minuatur distantia major in illa ratione, \& distantiis jam factis {\ae}qualibus, augebitur attractio in duplicata illa ratione, adeo{\que} erit ad attractionem alteram in triplicata illa ratione, hoc est in ratione Sph{\ae}rarum. \textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}In distantiis quibusvis attractiones sunt ut Sph{\ae}r{\ae} applicat{\ae} ad quadrata distantiarum. \textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Si corpusculum extra Sph{\ae}ram homogeneam positum trahitur vi reciproce proportionali quadrato distanti{\ae} su{\ae} ab ipsius centro, constet autem Sph{\ae}ra ex particulis attractivis; decrescet vis particul{\ae} cujus{\que} in duplicata ratione distanti{\ae} a particula. \condpagelarge{Prop.\ LXXV\@. Theor.\ XXXV.} \textit{Si ad Sph{\ae}r{\ae} dat{\ae} puncta singula tendant vires {\ae}quales centripet{\ae} decrescentes in duplicata ratione distantiarum a punctis, dico quod Sph{\ae}ra qu{\ae}vis alia similaris attrahitur vi reciproce proportionali quadrato distanti{\ae} centrorum.} Nam particul{\ae} cujusvis attractio est reciproce ut quadratum distanti{\ae} ejus a centro Sph{\ae}r{\ae} trahentis, (per Theor.\ XXXI,) \& % -----File: 206.png--- propterea eadem est ac si vis tota attrahens manaret de corpusculo unico sito in centro hujus Sph{\ae}r{\ae}. H{\ae}c autem attractio tanta est quanta foret vicissim attractio corpusculi ejusdem, si modo illud a singulis Sph{\ae}r{\ae} attract{\ae} particulis eadem vi traheretur qua ipsas attrahit. Foret autem illa corpusculi attractio (per Theor.\ XXXIV) reciproce proportionalis quadrato distanti{\ae} ejus a centro Sph{\ae}r{\ae}; adeo{\que} huic {\ae}qualis attractio Sph{\ae}r{\ae} est in eadem ratione. \QEDup \textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Attractiones Sph{\ae}rarum, versus alias Sph{\ae}ras homogeneas, sunt ut Sph{\ae}r{\ae} trahentes applicat{\ae} ad quadrata distantiarum centrorum suorum a centris earum quas attrahunt. \textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Idem valet ubi Sph{\ae}ra attracta etiam attrahit. Nam{\que} hujus puncta singula trahent singula alterius, eadem vi qua ab ipsis vicissim trahuntur, adeo{\que} cum in omni attractione urgeatur (per Legem 3.)\ tam punctum attrahens, quam punctum attractum, geminabitur vis attractionis mutu{\ae}, conservatis proportionibus. \textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Eadem omnia, qu{\ae} superius de motu corporum circa umbilicum Conicarum Sectionum demonstrata sunt, obtinent ubi Sph{\ae}ra attrahens locatur in umbilico \& corpora moventur extra Sph{\ae}ram. \textit{Corol.\fsp{}4.}\wsp{}Ea vero qu{\ae} de motu corporum circa centrum Conicarum Sectionum demonstrantur, obtinent ubi motus peraguntur intra Sph{\ae}ram. \condpagelarge{Prop.\ LXXVI\@. Theor.\ XXXVI.} \pngright{207.png}{1761}{888}{-24} %Illustration \textit{Si Sph{\ae}r{\ae} in progressu a centro ad circumferentiam (quod materi{\ae} densitatem \& vim attractivam) utcun{\que} dissimilares, in progressu vero per circuitum ad datam omnem a centro distantiam sunt undi{\que} similares, \& vis attractiva puncti cujus{\que} decrescit in duplicata ratione distanti{\ae} corporis attracti: dico quod vis tota qua hujusmodi Sph{\ae}ra una attrahit aliam sit reciproce proportionalis quadrato distanti{\ae} centrorum.} % -----File: 207.png--- Sunto Sph{\ae}r{\ae} quotcun{\que} concentric{\ae} similares $AB$, $CD$, $EF$ \&c.\ quarum interiores addit{\ae} exterioribus componant materiam densiorem versus centrum, vel subduct{\ae} relinquant tenuiorem; \& h{\ae}, per Theor.\ XXXV, trahent Sph{\ae}ras alias quotcun{\que} concentricas similares $GH$, $IK$, $LM$, \&c.\ singul{\ae} singulas, viribus reciproce proportionalibus quadrato distanti{\ae} $SP$. Et componendo vel dividendo, summa virium illarum omnium, vel excessus aliquarum supra alias, hoc est, vis qua Sph{\ae}ra tota ex concentricis quibuscun{\que} vel concentricarum differentiis composita $AB$, trahit totam ex concentricis quibuscun{\que} vel concentricarum differentiis compositam $GH$, erit in eadem ratione. Augeatur numerus Sph{\ae}rarum concentricarum in infinitum sic, ut materi{\ae} densitas una cum vi attractiva, in progressu a circumferentia ad centrum, secundum Legem quamcun{\que} crescat vel decrescat: \& addita materia non attractiva compleatur ubivis densitas deficiens, eo ut Sph{\ae}r{\ae} acquirant formam quamvis optatam; \& vis qua harum una attrahet alteram erit etiamnum (per argumentum superius) in eadem illa distanti{\ae} quadrat{\ae} ratione inversa. \QEDup \textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Hinc si ejusmodi Sph{\ae}r{\ae} complures sibi invicem per omnia similes se mutuo trahant; attractiones acceleratrices singularum in singulas erunt in {\ae}qualibus quibusvis centrorum distantiis ut Sph{\ae}r{\ae} attrahentes. \textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}In{\que} distantiis quibusvis in{\ae}qualibus, ut Sph{\ae}r{\ae} attrahentes applicat{\ae} ad quadrata distantiarum inter centra. % -----File: 208.png--- \textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Attractiones vero motrices, seu pondera Sph{\ae}rarum in Sph{\ae}ras erunt, in {\ae}qualibus centrorum distantiis, ut Sph{\ae}r{\ae} attrahentes \& attract{\ae} conjunctim, id est, ut contenta sub Sph{\ae}ris per multiplicationem producta. \textit{Corol.\fsp{}4.}\wsp{}In{\que} distantiis in{\ae}qualibus, ut contenta illa applicata ad quadrata distantiarum inter centra. \textit{Corol.\fsp{}5.}\wsp{}Eadem valent ubi attractio oritur a Sph{\ae}r{\ae} utrius{\que} virtute attractiva, mutuo exercita in Sph{\ae}ram alteram. Nam viribus ambabus geminatur attractio, proportione servata. \textit{Corol.\fsp{}6.}\wsp{}Si hujusmodi Sph{\ae}r{\ae} aliqu{\ae} circa alias quiescentes revolvantur, singul{\ae} circa singulas, sint{\que} distanti{\ae} inter centra revolventium \& quiescentium proportionales quiescentium diametris; {\ae}qualia erunt tempora periodica. \textit{Corol.\fsp{}7.}\wsp{}Et vicissim, si tempora periodica sunt {\ae}qualia, distanti{\ae} erunt proportionales diametris. \textit{Corol.\fsp{}8.}\wsp{}Eadem omnia, qu{\ae} superius de motu corporum circa umbilicos Conicarum Sectionum demonstrata sunt, obtinent ubi Sph{\ae}ra attrahens, form{\ae} \& conditionis cujusvis jam descript{\ae}, locatur in umbilico. \textit{Corol.\fsp{}9.}\wsp{}Ut \& ubi gyrantia sunt etiam Sph{\ae}r{\ae} attrahentes, conditionis cujusvis jam descript{\ae}. \condpagelarge{Prop.\ LXXVII\@. Theor.\ XXXVII.} \pngright{210.png}{1091}{829}{-24} %Illustration \textit{Si ad singula Sph{\ae}rarum puncta tendant vires centripet{\ae} proportionales distantiis punctorum a corporibus attractis: dico quod vis composita, qua Sph{\ae}r{\ae} du{\ae} se mutuo trahent, est ut distantia inter centra Sph{\ae}rarum.} \textit{Cas.\fsp{}1.}\wsp{}Sit $ACBD$ Sph{\ae}ra, $S$ centrum ejus, $P$ corpusculum attractum, $PASB$ axis Sph{\ae}r{\ae} per centrum corpusculi transiens, $EF$, $ef$ plana duo quibus Sph{\ae}ra secatur, huic axi perpendicularia, \& hinc inde {\ae}qualiter distantia a centro Sph{\ae}r{\ae}; $Gg$ intersectiones planorum \& axis, \& $H$ punctum quodvis in plano $EF$. % -----File: 209.png--- Puncti $H$ vis centripeta in corpusculum $P$ secundum lineam $PH$ exercita est ut distantia $PH$, \& (per Legum Corol.\ 2.)\ secundum lineam $PG$, seu versus centrum $S$, ut longitudo $PG$. Igitur punctorum omnium in plano $EF$, hoc est plani totius vis, qua corpusculum $P$ trahitur versus centrum $S$, est ut numerus punctorum ductus in distantiam $PG$: id est ut contentum sub plano ipso $EF$ \& distantia illa $PG$. Et similiter vis plani $ef$, qua corpusculum $P$ trahitur versus centrum $S$, est ut planum illud ductum in distantiam suam $Pg$; sive ut huic {\ae}quale planum $EF$ ductum in distantiam illam $Pg$; \& summa virium plani utrius{\que} ut planum $EF$ ductum in summam distantiarum $PG + Pg$, id est, ut planum illud ductum in duplam centri \& corpusculi distantiam $PS$, hoc est, ut duplum planum $EF$ ductum in distantiam $PS$, vel ut summa {\ae}qualium planorum $EF + ef$ ducta in distantiam eandem. Et simili argumento, vires omnium planorum in Sph{\ae}ra tota, hinc inde {\ae}qualiter a centro Sph{\ae}r{\ae} distantium, sunt ut summa planorum ducta in distantiam $PS$, hoc est, ut Sph{\ae}ra tota ducta in distantiam centri sui $S$ a corpusculo $P$. \QEDup \textit{Cas.\fsp{}2.}\wsp{}Trahat jam corpusculum $P$ Sph{\ae}ram $ACBD$. Et eodem argumento probabitur quod vis, qua Sph{\ae}ra illa trahitur, erit ut distantia $PS$. \QEDup \textit{Cas.\fsp{}3.}\wsp{}Componatur jam Sph{\ae}ra altera ex corpusculis innumeris $P$; \& quoniam vis, qua corpusculum unumquod{\que} trahitur, est ut distantia corpusculi a centro Sph{\ae}r{\ae} prim{\ae} ducta in Sph{\ae}ram eandem, at{\que} adeo eadem est ac si prodiret tota de corpusculo unico in centro Sph{\ae}r{\ae}; vis tota qua corpuscula omnia in Sph{\ae}ra secunda trahuntur, hoc est, qua Sph{\ae}ra illa tota trahitur, eadem erit ac si Sph{\ae}ra illa traheretur vi prodeunte de corpusculo % -----File: 210.png--- unico in centro Sph{\ae}r{\ae} prim{\ae}, \& propterea proportionalis est distanti{\ae} inter centra Sph{\ae}rarum. \QEDup \textit{Cas.\fsp{}4.}\wsp{}Trahant Sph{\ae}r{\ae} se mutuo, \& vis geminata proportionem priorem servabit. \QEDup \textit{Cas.\fsp{}5.}\wsp{}Locetur jam corpusculum $p$ intra Sph{\ae}ram $ACBD$, \& quoniam vis plani $ef$ in corpusculum est ut contentum sub plano illo \& distantia $pg$; \& vis contraria plani $EF$ ut contentum sub plano illo \& distantia $pG$; erit vis ex utra{\que} composita ut differentia contentorum, hoc est, ut summa {\ae}qualium planorum ducta in semissem differenti{\ae} distantiarum, id est, ut summa illa ducta in $pS$, distantiam corpusculi a centro Sph{\ae}r{\ae}. Et simili argumento attractio planorum omnium $EF$, $ef$ in Sph{\ae}ra tota, hoc est attractio Sph{\ae}r{\ae} totius, est ut summa planorum omnium, seu Sph{\ae}ra tota, ducta in $pS$ distantiam corpusculi a centro Sph{\ae}r{\ae}. \QEDup \textit{Cas.\fsp{}6.}\wsp{}Et si ex corpusculis innumeris $p$ componatur Sph{\ae}ra nova intra Sph{\ae}ram priorem $ACBD$ sita, probabitur ut prius, quod attractio, sive simplex Sph{\ae}r{\ae} unius in alteram, sive mutua utrius{\que} in se invicem, erit ut distantia centrorum $pS$. \QEDup \condpagelarge{Prop.\ LXXVIII\@. Theor.\ XXXVIII.} \textit{Si Sph{\ae}r{\ae} in progressu a centro ad circumferentiam sint utcun{\que} dissimilares \& in{\ae}quabiles, in progressu vero per circuitum ad datam omnem a centro distantiam sint undi{\que} similares; \& vis attractiva puncti cujus{\que} sit ut distantia corporis attracti: dico quod vis tota qua hujusmodi Sph{\ae}r{\ae} du{\ae} se mutuo trahunt sit proportionalis distanti{\ae} inter centra Sph{\ae}rarum.} % -----File: 211.png--- Demonstratur\spreadout{ex Propositione pr{\ae}cedente, eodem modo quo Propositio} \\ LXXVII. ex Propositione LXXV. demonstrata fuit. \textit{Corol.}\wsp{}Qu{\ae} superius in Propositionibus X. \& LXIV. de motu corporum circa centra Conicarum Sectionum demonstrata sunt, valent ubi attractiones omnes fiunt vi Corporum Sph{\ae}ricorum, conditionis jam descript{\ae}, sunt{\que} corpora attracta Sph{\ae}r{\ae} conditionis ejusdem. \condpagelarge{\textit{Scholium.}} Attractionum Casus duos insigniores jam dedi expositos; nimirum ubi vires centripet{\ae} decrescunt in duplicata distantiarum ratione, vel crescunt in distantiarum ratione simplici; efficientes in utro{\que} Cas.\ ut corpora gyrentur in Conicis Sectionibus, \& componentes corporum Sph{\ae}ricorum vires centripetas eadem lege in recessu a centro decrescentes vel crescentes cum seipsis. Quod est notatu dignum. Casus c{\ae}teros, qui conclusiones minus elegantes exhibent, sigillatim percurrere longum esset: Malim cunctos methodo generali simul comprehendere ac determinare, ut sequitur. \condpagelarge{Lemma XXIX.} \textit{Si describantur centro $S$ circulus quilibet $AEB$,} (Vide Fig.\ Prop.\ sequentis) \textit{\& centro $P$ circuli duo $EF$, $ef$, secantes priorem in $E$, $e$, lineam{\que} $PS$ in $F$, $f$; \& ad $PS$ demittantur perpendicula $ED$, $ed$: dico quod si distantia arcuum $EF$, $ef$ in infinitum minui intelligatur, ratio ultima line{\ae} evanescentis $Dd$ ad lineam evanescentem $Ff$ ea sit, qu{\ae} line{\ae} $PE$ ad lineam $PS$.} Nam si linea $Pe$ secet arcum $EF$ in $q$; \& recta $Ee$, qu{\ae} cum arcu evanescente $Ee$ coincidit, producta occurrat rect{\ae} $PS$ in $T$; \& ab $S$ demittatur in $PE$ normalis $SG$: ob similia triangula $EDT$, $edt$, $EDS$; erit $Dd$ ad $Ee$, ut $DT$ ad $ET$ seu $DE$ ad % -----File: 212.png--- $ES$, \& ob triangula $Eqe$, $ESG$ (per Lem.\ VIII. \& Corol.\ 3.\ Lem.\ VII.) similia, erit $Ee$ ad $qe$ seu $Ff$, ut $ES$ ad $SG$, \& ex {\ae}quo $Dd$ ad $Ff$ ut $DE$ ad $SG$; hoc est (ob similia triangula $PDE$, $PGS$) ut $PE$ ad $PS$. \QEDup \condpagelarge{Prop.\ LXXIX\@. Theor.\ XXXIX.} \textit{Si superficies ob latitudinem infinite diminutam jamjam evanescens $EFfe$, convolutione sui circa axem $PS$, describat solidum Sph{\ae}ricum concavo-con\-vex\-um, ad cujus particulas singulas {\ae}quales tendant {\ae}quales vires centripet{\ae}: dico quod vis, qua solidum illud trahit corpusculum situm in $P$, est in ratione composita ex ratione solidi $DEq. \times Ff$ \& ratione vis qua particula data in loco $Ff$ traheret idem corpusculum.} \pngright{215.png}{1820}{1150}{-24} %Illustration Nam si primo consideremus vim superficiei Sph{\ae}ric{\ae} $FE$, qu{\ae} convolutione arcus $FE$ generatur, \& linea $de$ ubivis secatur in $r$; erit superficiei pars annularis, convolutione arcus $rE$ genita, ut lineola $Dd$, manente Sph{\ae}r{\ae} radio $PE$, (uti demonstravit $Archimedes$ in Lib.\ de Sph{\ae}ra \& Cylindro.) Et hujus vis secundum lineas $PE$ vel $Pr$ undi{\que} in superficie conica sitas exercita, ut h{\ae}c ipsa superficiei pars annularis; hoc est, ut lineola $Dd$, vel quod perinde est, ut rectangulum sub dato Sph{\ae}r{\ae} radio $PE$ \& lineola illa $Dd$: at secundum lineam $PS$ ad centrum $S$ tendentem % -----File: 213.png--- minor, in ratione $PD$ ad $PE$, adeo{\que} ut $PD \times Dd$. Dividi jam intelligatur linea $DF$ in particulas innumeras {\ae}quales, qu{\ae} singul{\ae} nominentur $Dd$; \& superficies $FE$ dividetur in totidem {\ae}quales annulos, quorum vires erunt ut summa omnium $PD \times Dd$, hoc est, cum lineol{\ae} omnes $Dd$ sibi invicem {\ae}quentur, adeo{\que} pro datis haberi possint, ut summa omnium $PD$ ducta in $Dd$, id est, ut $\frac{1}{2}PFq. - \frac{1}{2}PDq.$ sive $\frac{1}{2}PEq. - \frac{1}{2}PDq.$ vel $\frac{1}{2}DEq.$ ductum in $Dd$; hoc est, si negligatur data $\frac{1}{2}Dd$, ut $DE \opit{quad.}$ Ducatur jam superficies $FE$ in altitudinem $Ff$; \& fiet solidi $EFfe$ vis exercita in corpusculum $P$ ut $DEq. \times Ff$: puta si detur vis quam particula aliqua data $Ff$ in distantia $PF$ exercet in corpusculum $P$. At si vis illa non detur, fiet vis solidi $EFfe$ ut solidum $DEq. \times Ff$ \& vis illa non data conjunctim. \QEDup \condpagelarge{Prop.\ LXXX\@. Theor.\ XL.} \textit{Si ad Sph{\ae}r{\ae} alicujus $AEB$, centro $S$ descript{\ae}, particulas singulas {\ae}quales tendant {\ae}quales vires centripet{\ae}, \& ad Sph{\ae}r{\ae} axem $AB$, in quo corpusculum aliquod $P$ locatur, erigantur de punctis singulis $D$ perpendicula $DE$, Sph{\ae}r{\ae} occurrentia in $E$, \& in ipsis capiantur longitudines $DN$, qu{\ae} sint ut quantitas $\frac{DEq. \times PS}{PE}$ \& vis quam Sph{\ae}r{\ae} particula sita in axe ad distantiam $PE$ exercet in corpusculum $P$ conjunctim: dico quod vis tota, qua corpusculum $P$ trahitur versus Sph{\ae}ram, est ut area comprehensa sub axe Sph{\ae}r{\ae} $AB$ \& linea curva $ANB$, quam punctum $N$ perpetuo tangit.} Etenim stantibus qu{\ae} in Lemmate \& Theoremate novissimo constructa sunt, concipe axem Sph{\ae}r{\ae} $AB$ dividi in particulas innumeras {\ae}quales $Dd$, \& Sph{\ae}ram totam dividi in totidem laminas Sph{\ae}ricas concavo-convexas $EFfe$; \& erigatur perpendiculum $dn$. Per Theorema superius, vis qua lamina $EFfe$ trahit corpusculum $P$ est ut $DEq. \times Ff$ \& vis particul{\ae} unius ad distantiam $PE$ vel $PF$ exercita conjunctim. Est autem per Lemma % -----File: 214.png--- novissimum, $Dd$ ad $Ff$ ut $PE$ ad $PS$, \& inde $Ff$ {\ae}qualis $\frac{PS \times Dd}{PE}$; \& $DEq. \times Ff$ {\ae}quale $Dd$ in $\frac{DEq. \times PS}{PE}$, \& propterea vis lamin{\ae} $EFfe$ est ut $Dd$ in $\frac{DEq. \times PS}{PE}$ \& vis particul{\ae} ad distantiam $PF$ exercita conjunctim, hoc est (ex Hypothesi) ut $DN \times Dd$, seu area evanescens $DNnd$. Sunt igitur laminarum omnium vires in corpus $P$ exercit{\ae}, ut are{\ae} omnes $DNnd$, hoc est Sph{\ae}r{\ae} vis tota ut area tota $ABNA$. \QEDup \textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Hinc si vis centripeta, ad particulas singulas tendens, eadem semper maneat in omnibus distantiis, \& fiat $DN$ ut $\frac{DEq. \times PS}{PE}$: erit vis tota qua corpusculum a Sph{\ae}ra attrahitur, ut area $ABNA$. \textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Si particularum vis centripeta sit reciproce ut distantia corpusculi a se attracti, \& fiat $DN$ ut $\frac{DEq. \times PS}{PEq.}$: erit vis qua corpusculum $P$ a Sph{\ae}ra tota attrahitur ut area $ABNA$. \textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Si particularum vis centripeta sit reciproce ut cubus distanti{\ae} corpusculi a se attracti, \& fiat $DN$ ut $\frac{DEq. \times PS}{PE\opit{qq.}}$: erit vis qua corpusculum a tota Sph{\ae}ra attrahitur ut area $ABNA$. \textit{Corol.\fsp{}4.}\wsp{}Et universaliter si vis centripeta ad singulas Sph{\ae}r{\ae} particulas tendens ponatur esse reciproce ut quantitas $V$, fiat autem $DN$ ut $\frac{DEq. \times PS}{PE \times V}$; erit vis qua corpusculum a Sph{\ae}ra tota attrahitur ut area $ABNA$. \condpagelarge{Prop.\ LXXXI\@. Prob.\ XLI.} \textit{Stantibus jam positis, mensuranda est Area $ABNA$.} \pngright{215.png}{1820}{1150}{-24} %Illustration A puncto $P$ ducatur recta $PH$ Sph{\ae}ram tangens in $H$, \& ad axem $PAB$ demissa Normali $HI$, bisecetur $PI$ in $L$; \& erit % -----File: 215.png--- (per Prop.\ 12, Lib.\ 2.\ Elem.)\ $PEq.$ {\ae}quale $PSq. + SEq.$ + $2PSD$. Est autem $SEq.$ seu $SHq.$ (ob similitudinem triangulorum $SPH$, $SHI$) {\ae}quale rectangulo $PSI$. Ergo $PEq.$ {\ae}quale est contento sub $PS$ \& $PS + SI + 2SD$, hoc est, sub $PS$ \& $2LS + 2SD$, id est, sub $PS$ \& $2LD$. Porro $DE \opit{quad.}$ {\ae}quale est $SEq. - SDq.$ seu $SEq. - LSq. + 2SLD - LDq.$ id est, $SLD - LDq. - ALB$. Nam $LSq. - SEq.$ seu $LSq. - SAq.$ (per Prop.\ 6 Lib.\ 2.\ Elem) {\ae}quatur rectangulo $ALB$. Scribatur ita{\que} $2SLD - LDq. - ALB$ pro $DEq.$ \& quantitas $\frac{DEq. \times PS}{PE \times V}$, qu{\ae} secundum Corollarium quartum Propositionis pr{\ae}cedentis est ut longitudo ordinatim applicat{\ae} $DN$, resolvet sese in tres partes $\frac{2SLD \times PS}{PE \times V} - \frac{LDq. \times PS}{PE \times V} - \frac{ALB \times PS}{PE \times V}$: ubi si pro $V$ scribatur ratio inversa vis centripet{\ae}, \& pro $PE$ medium proportionale inter $PS$ \& $2LD$; tres ill{\ae} partes evadent ordinatim applicat{\ae} linearum totidem curvarum, quarum are{\ae} per Methodos vulgatas innotescunt. \QEFup \textit{Exempl.\fsp{}1.}\wsp{}Si vis centripeta ad singulas Sph{\ae}r{\ae} particulas tendens sit reciproce ut distantia; pro $V$ scribe distantiam $PE$, dein $2PS \times LD$ pro $PEq.$, \& fiet $DN$ ut $SL - \frac{1}{2}LD - \frac{ALB}{2LD}$. % -----File: 216.png--- Pone $DN$ {\ae}qualem duplo ejus $2SL - LD - \frac{ALB}{LD}$: \& ordinat{\ae} pars data $2SL$ ducta in longitudinem $AB$ describet aream rectangulam $2SL \times AB$; \& pars indefinita $LD$ ducta normaliter in eandem longitudinem per\spreadout{motum continuum, ea lege ut inter movendum crescendo vel decrescendo} {\ae}quetur\spreadout{semper longitudini $LD$, describet aream $\frac{LBq. - LAq.}{2}$, id est, aream} \pngright{216.png}{823}{1021}{-12} %Illustration \noindent $SL \times AB$; qu{\ae} subducta de area priore $2SL \times AB$ relinquit aream $SL \times AB$. Pars autem tertia $\frac{ALB}{LD}$ ducta itidem per motum localem normaliter in eandem longitudinem, describet aream Hyperbolicam; qu{\ae} subducta de area $SL \times AB$ relinquet aream qu{\ae}sitam $ABNA$. Unde talis emergit Problematis constructio. Ad puncta $L$, $A$, $B$ erige perpendicula $Ll$, $Aa$, $Bb$, quorum $Aa$ ipsi $LB$, \& $Bb$ ipsi $LA$ {\ae}quetur. Asymptotis $Ll$, $LB$, per puncta $a$, $b$ describatur Hyperbola $ab$. Et acta chorda $ba$ claudet aream $aba$ are{\ae} qu{\ae}sit{\ae} $ABNA$ {\ae}qualem. \pngright{217.png}{886}{951}{-24} %Illustration \textit{Exempl.\fsp{}2.}\wsp{}Si vis centripeta ad singulas Sph{\ae}r{\ae} particulas tendens sit reciproce ut cubus distanti{\ae}, vel (quod perinde est) ut cubus ille applicatus ad planum quodvis datum; scribe $\frac{PE \opit{cub.}}{2ASq.}$ pro $V$, dein $2PS \times LD$ pro $PEq.$; \& fiet $DN$ ut $\frac{SL \times ASq.}{PS \times LD} - \frac{ASq.}{2PS} - \frac{ALB \times ASq.}{2PS \times LDq.}$ id est (ob continue proportionales $PS$, $AS$, $SI$) ut $\frac{LSI}{LD} - \frac{1}{2}SI - \frac{ALB \times SI}{2LDq.}$. Si ducantur hujus partes % -----File: 217.png--- tres in longitudinem $AB$, prima $\frac{LSI}{LD}$ generabit aream Hyperbolicam; secunda $\frac{1}{2}SI$ aream $\frac{1}{2}AB \times SI$; tertia $\frac{ALB \times SI}{2LDq.}$ aream $\frac{ALB \times SI}{2LA} - \frac{ALB \times SI}{2LB}$, id est $\frac{1}{2}AB \times SI$. De prima subducatur summa secund{\ae} ac terti{\ae}, \& manebit area qu{\ae}sita $ABNA$. Unde talis emergit Problematis constructio. Ad puncta $L$, $A$, $S$, $B$ erige perpendicula $Ll$, $Aa$, $Ss$, $Bb$, quorum $Ss$ ipsi $SI$ {\ae}quetur, per{\que} punctum $s$ Asymptotis $Ll$, $LB$ describatur Hyperbola $asb$ occurrens perpendiculis $Aa$, $Bb$ in $a$ \& $b$; \& rectangulum $2ASI$ subductum de area Hyperbolica $AasbB$ relinquet aream qu{\ae}sitam $ABNA$. \textit{Exempl.\fsp{}3.}\wsp{}Si Vis centripeta, ad singulas Sph{\ae}r{\ae} particulas tendens, decrescit in quadruplicata ratione distanti{\ae} a particulis, scribe $\frac{PE^4}{2AS^3}$ pro $V$, dein $\surd 2PS \times LD$ pro $PE$, \& fiet $DN$ ut $\frac{SL \times SI^{\frac{3}{2}}}{\surd 2 \times LD^{\frac{3}{2}}} - \frac{SI^{\frac{3}{2}}}{2\surd 2 \times LD^{\frac{1}{2}}} - \frac{ALB \times SI^{\frac{3}{2}}}{2\surd 2 \times LD^{\frac{5}{2}}}$. Cujus tres partes duct{\ae} in longitudinem $AB$, producunt Areas totidem, \textit{viz.}\ $\frac{\surd 2 \times SL \times SI^{\frac{3}{2}}}{LA^{\frac{1}{2}}} - \frac{\surd 2 \times SL \times SI^{\frac{3}{2}}}{LB^{\frac{1}{2}}}$, $\frac{LB^{\frac{1}{2}} \times SI^{\frac{3}{2}} - LA^{\frac{1}{2}} - SI^{\frac{3}{2}}}{\surd 2}$ \& $\frac{ALB \times SI^{\frac{3}{2}}}{3\surd 2 \times LA^{\frac{3}{2}}} - \frac{ALB \times SI^{\frac{3}{2}}}{3\surd 2 \times LB^{\frac{3}{2}}}$. Et h{\ae} post debitam reductionem, subductis posterioribus de priori, evadunt $\frac{8SI \opit{cub.}}{3LI}$. Igitur vis tota, qua corpusculum $P$ in Sph{\ae}r{\ae} centrum trahitur, est ut $\frac{SI \opit{cub.}}{PI}$, id est reciproce ut $PS \opit{cub.} \times PI$. \QEIup % -----File: 218.png--- Eadem Methodo determinari potest attractio corpusculi siti intra Sph{\ae}ram, sed expeditius per Theorema sequens. \condpagelarge{Prop.\ LXXXII\@. Theor.\ XLI.} \textit{In Sph{\ae}ra centro $S$ intervallo $SA$ descripta, si capiantur $SI$, $SA$, $SP$ continue proportionales: dico quod corpusculi intra Sph{\ae}ram in loco quovis $I$ attractio est ad attractionem ipsius extra Sph{\ae}ram in loco $P$, in ratione composita ex dimidiata ratione distantiarum a centro $IS$, $PS$ \& dimidiata ratione virium centripetarum, in locis illis $P$ \& $I$, ad centrum tendentium.} \pngright{215.png}{1820}{1150}{-24} %Illustration Ut si vires centripet{\ae} particularum Sph{\ae}r{\ae} sint reciproce ut distanti{\ae} corpusculi a se attracti; vis, qua corpusculum situm in $I$ trahitur a Sph{\ae}ra tota, erit ad vim qua trahitur in $P$, in ratione composita ex dimidiata ratione distanti{\ae} $SI$ ad distantiam $SP$ \& ratione dimidiata vis centripet{\ae} in loco $I$, a particula aliqua in centro oriund{\ae}, ad vim centripetam in loco $P$ ab eadem in centro particula oriundam, id est, ratione dimidiata distantiarum $SI$, $SP$ ad invicem reciproce. H{\ae} du{\ae} rationes dimidiat{\ae} componunt rationem {\ae}qualitatis, \& propterea attractiones in $I$ \& $P$ a Sph{\ae}ra tota fact{\ae} {\ae}quantur. Simili computo, si vires particularum Sph{\ae}r{\ae} sunt reciproce in duplicata ratione distantiarum, colligetur quod attractio in $I$ sit ad attractionem in $P$, ut distantia $SP$ ad Sph{\ae}r{\ae} % -----File: 219.png--- semidiametrum $SA$: Si vires ill{\ae} sunt reciproce in triplicata ratione distantiarum, attractiones in $I$ \& $P$ erunt ad invicem ut $SP \opit{quad.}$ ad $SA \opit{quad.}$; si in quadruplicata, ut $SP \opit{cub.}$ ad $SA \opit{cub.}$ Unde cum attractio in $P$, in hoc ultimo casu, inventa fuit reciproce ut $PS \opit{cub.} \times PI$, attractio in $I$ erit reciproce ut $SA \opit{cub.} \times PI$, id est (ob datum $SA \opit{cub.}$) reciproce ut $PI$. Et similis est progressus in infinitum. Theorema vero sic demonstratur. Stantibus jam ante constructis, \& existente corpore in loco quovis $P$, ordinatim applicata $DN$ inventa fuit ut $\frac{DEq. \times PS}{PE \times V}$. Ergo si agatur $IE$, ordinata illa ad alium quemvis locum $I$, mutatis mutandis, evadet ut $\frac{DEq. \times IS}{IE \times V}$. Pone vires centripetas, e Sph{\ae}r{\ae} puncto quovis $E$ manantes, esse ad invicem in distantiis $IE$, $PE$, ut $PE^n$ ad $IE^n$, (ubi numerus $n$ designet indicem potestatum $PE$ \& $IE$) \& ordinat{\ae} ill{\ae} fient ut $\frac{DEq. \times PS}{PE \times PE^n}$ \& $\frac{DEq. \times IS}{IE \times IE^n}$, quarum ratio ad invicem est ut $PS \times IE \times IE^n$ ad $IS \times PE \times PE^n$. Quoniam ob similia triangula $SPE$, $SEI$, fit $IE$ ad $PE$ ut $IS$ ad $SE$ vel $SA$; pro ratione $IE$ ad $PE$ scribe rationem $IS$ ad $SA$; \& ordinatarum ratio evadet $PS \times IE^n$ ad $SA \times PE^n$. Sed $PS$ ad $SA$ dimidiata est ratio distantiarum $PS$, $SI$; \& $IE^n$ ad $PE^n$ dimidiata est ratio virium in distantiis $PS$, $IS$. Ergo ordinat{\ae}, \& propterea are{\ae} quas ordinat{\ae} describunt, his{\que} proportionales attractiones, sunt in ratione composita ex dimidiatis illis rationibus. \QEDup % -----File: 220.png--- \condpagelarge{Prop.\ LXXXIII\@. Prob.\ XLII.} \textit{Invenire vim qua corpusculum in centro Sph{\ae}r{\ae} locatum ad ejus segmentum quodcun{\que} attrahitur.} Sit $P$ corpus in centro Sph{\ae}r{\ae}, \& $RBSD$ segmentum ejus plano $RDS$ \& superficie\spreadout{Sph{\ae}rica $RBS$ contentum. Superficie Sph{\ae}rica $EFG$ centro $P$ des-} \pngright{220.png}{902}{1280}{-12} %Illustration \noindent cripta secetur $DB$ in $F$, ac distinguatur segmentum in partes $BREFGS$, $FEDG$. Sit autem superficies illa non pure Mathematica, sed Physica, profunditatem habens quam minimam. Nominetur ista profunditas $O$, \& erit h{\ae}c superficies (per demonstrata $Archimedis$) ut $PF \times DF \times O$. Ponamus pr{\ae}terea vires attractivas particularum Sph{\ae}r{\ae} esse reciproce ut distantiarum dignitas illa cujus Index est $n$; \& vis qua superficies $FE$ trahit corpus $P$ erit ut $\frac{DF \times O}{PF^{n - 1}}$. Huic proportionale sit perpendiculum $FN$ ductum in $O$; \& area curvilinea $BDLIB$, quam ordinatim applicata $FN$ in longitudinem $DB$ per motum continuum ducta describit, erit ut vis tota qua segmentum totum $RBSD$ trahit corpus $P$. \QEIup \condpagelarge{Prop.\ LXXXIV\@. Prob.\ XLIII.} \textit{Invenire vim qua corpusculum, extra centrum Sph{\ae}r{\ae} in axe segmenti cujusvis locatum, attrahitur ab eodem segmento.} A segmento $EBK$ trahatur corpus $P$ (\textit{Vide Fig.\ Prop.\ 79.\ 80.\ 81.})\ in ejus axe $ADB$ locatum. Centro $P$ intervallo $PE$ % -----File: 221.png--- describatur superficies Sph{\ae}rica $EFK$, qua distinguatur segmentum in partes duas $EBKF$ \& $EFKD$. Qu{\ae}ratur vis partis prioris per Prop.\ LXXXI. \& vis partis posterioris per Prop.\ LXXXIII.; \& summa virium erit vis segmenti totius $EBKD$. \QEIup \condpagelarge{\textit{Scholium.}} Explicatis attractionibus corporum Sph{\ae}ricorum, jam pergere liceret ad leges attractionum aliorum quorundam ex particulis attractivis similiter constantium corporum; sed ista particulatim tractare minus ad institutum spectat. Suffecerit Propositiones quasdam generaliores de viribus hujusmodi corporum, de{\que} motibus inde oriundis, ob eorum in rebus Philosophicis aliqualem usum, subjungere. \sectpage{XIII.} \begin{center}{\textit{De Corporum etiam non Sph{\ae}ricorum viribus attractivis.}}\end{center} \propnopage{Prop.\ LXXXV\@. Theor.\ XLII.} \textit{Si corporis attracti, ubi attrahenti contiguum est, attractio longe fortior sit, quam cum vel minimo intervallo separantur ab invicem: vires particularum trahentis, in recessu corporis attracti, decrescunt in ratione plusquam duplicata distantiarum a particulis.} Nam si vires decrescunt in ratione duplicata distantiarum a particulis; attractio versus corpus Sph{\ae}ricum, propterea quod (per Prop.\ LXXIV.) sit reciproce ut quadratum distanti{\ae} attracti % -----File: 222.png--- corporis a centro Sph{\ae}r{\ae}, haud sensibiliter augebitur ex contactu; at{\que} adhuc minus augebitur ex contactu, si attractio in recessu corporis attracti decrescat in ratione minore. Patet igitur Propositio de Sph{\ae}ris attractivis. Et par est ratio Orbium Sph{\ae}ricorum concavorum corpora externa trahentium. Et multo magis res constat in Orbibus corpora interius constituta trahentibus, cum attractiones passim per Orbium cavitates ab attractionibus contrariis (per Prop.\ LXX.) tollantur, ideo{\que} vel in ipso contactu null{\ae} sunt. Quod si Sph{\ae}ris hisce Orbibus{\que} Sph{\ae}ricis partes qu{\ae}libet a loco contactus remot{\ae} auferantur, \& partes nov{\ae} ubivis addantur: mutari possunt figur{\ae} horum corporum attractivorum pro lubitu, nec tamen partes addit{\ae} vel subduct{\ae}, cum sint a loco contactus remot{\ae}, augebunt notabiliter attractionis excessum qui ex contactu oritur. Constat igitur Propositio de corporibus figurarum omnium. \QEDup \condpagelarge{Prop.\ LXXXVI\@. Theor.\ XLIII.} \textit{Si particularum, ex quibus corpus attractivum componitur, vires in recessu corporis attracti decrescunt in triplicata vel plusquam triplicata ratione distantiarum a particulis: attractio longe fortior erit in contactu, quam cum attrahens \& attractum intervallo vel minimo separantur ab invicem.} Nam attractionem in accessu attracti corpusculi ad hujusmodi Sph{\ae}ram trahentem augeri in infinitum, constat per solutionem Problematis XLI. in Exemplo secundo ac tertio exhibitam. Idem, per Exempla illa \& Theorema XLI inter se collata, facile colligitur de attractionibus corporum versus Orbes concavo-convexos, sive corpora attracta collocentur extra Orbes, sive intra in eorum cavitatibus. Sed \& addendo vel auferendo his Sph{\ae}ris \& Orbibus ubivis extra locum contactus materiam quamlibet attractivam, eo ut corpora attractiva induant figuram quamvis assignatam, constabit Propositio de corporibus universis. \QEDup % -----File: 223.png--- \condpagelarge{Prop.\ LXXXVII\@. Theor.\ XLIV.} \textit{Si corpora duo sibi invicem similia \& ex materia {\ae}qualiter attractiva constantia seorsim attrahant corpuscula sibi ipsis proportionalia \& ad se similiter posita: attractiones acceleratrices corpusculorum in corpora tota erunt ut attractiones acceleratrices corpusculorum in eorum particulas totis proportionales \& in totis similiter positas.} Nam si corpora distinguantur in particulas, qu{\ae} sint totis proportionales \& in totis similiter sit{\ae}; erit, ut attractio in particulam quamlibet unius corporis ad attractionem in particulam correspondentem in corpore altero, ita attractiones in particulas singulas primi corporis ad attractiones in alterius particulas singulas correspondentes; \& componendo, ita attractio in totum primum corpus ad attractionem in totum secundum. \QEDup \textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Ergo si vires attractiv{\ae} particularum, augendo distantias corpusculorum attractorum, decrescant in ratione dignitatis cujusvis distantiarum: attractiones acceleratrices in corpora tota erunt ut corpora directe \& distantiarum dignitates ill{\ae} inverse. Ut si vires particularum decrescant in ratione duplicata distantiarum a corpusculis attractis, corpora autem sint ut $A \opit{cub.}$ \& $B \opit{cub.}$ adeo{\que} tum corporum latera cubica, tum corpusculorum attractorum distanti{\ae} a corporibus, ut $A$ \& $B$: attractiones acceleratrices in corpora erunt ut $\frac{A \opit{cub.}}{A \opit{quad.}}$ \& $\frac{B \opit{cub.}}{B \opit{quad.}}$ id est, ut corporum latera illa cubica $A$ \& $B$. Si vires particularum decrescant in ratione triplicata distantiarum a corpusculis attractis; attractiones acceleratrices in corpora tota erunt ut $\frac{A \opit{cub.}}{A \opit{cub.}}$ \& $\frac{B \opit{cub.}}{B \opit{cub.}}$ id est, {\ae}quales. Si vires decrescant in ratione quadruplicata, attractiones in corpora erunt ut $\frac{A \opit{cub.}}{A\opit{qq.}}$ \& $\frac{B \opit{cub.}}{B\opit{qq.}}$ id est, reciproce ut latera cubica $A$ \& $B$. Et sic in c{\ae}teris. % -----File: 224.png--- \textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Unde vicissim, ex viribus quibus corpora similia trahunt corpuscula ad se similiter posita, colligi potest ratio decrementi virium particularum attractivarum in recessu corpusculi attracti; si modo decrementum illud sit directe vel inverse in ratione aliqua distantiarum. \condpagelarge{Prop.\ LXXXVIII\@. Theor.\ XLV.} \textit{Si particularum {\ae}qualium corporis cujuscun{\que} vires attractiv{\ae} sint ut distanti{\ae} locorum a particulis: vis corporis totius tendet ad ipsius centrum gravitatis; \& eadem erit cum vi globi ex materia consimili \& {\ae}quali constantis \& centrum habentis in ejus centro gravitatis.} \pngright{224.png}{1043}{990}{-24} %Illustration Corporis $RSTV$ particul{\ae} $A$, $B$ trahant corpusculum aliquod $Z$ viribus qu{\ae}, si particul{\ae} {\ae}quantur inter se, sint ut distanti{\ae} $AZ$, $BZ$; sin particul{\ae} statuantur in{\ae}quales, sint ut h{\ae} particul{\ae} in distantias suas $AZ$, $BZ$ respective duct{\ae}. Et exponantur h{\ae} vires per contenta illa $A \times AZ$ \& $B \times BZ$. Jungatur $AB$, \& secetur ea in $G$ ut sit $AG$ ad $BG$ ut particula $B$ ad particulam $A$; \& erit $G$ commune centrum gravitatis particularum $A$ \& $B$. Vis $A \times AZ$ per Legum Corol.\ 2.\ resolvitur in vires $A \times GZ$ \& $A \times AG$, \& vis $B \times BZ$ in vires $B \times GZ$ \& $B \times BG$. Vires autem $A \times AG$ \& $B \times BG$, ob proportionales $A$ ad $B$ \& $BG$ ad $AG$, {\ae}quantur, adeo{\que}, cum dirigantur in partes contrarias, se mutuo destruunt. Restant vires $A \times GZ$ \& $B \times GZ$. Tendunt h{\ae} ab $Z$ versus centrum $G$, \& vim $A + B \times GZ$ componunt; hoc est, vim eandem ac si particul{\ae} attractiv{\ae} $A$ \& $B$ consisterent in eorum communi gravitatis centro $G$, globum ibi componentes. % -----File: 225.png--- Eodem argumento si adjungatur particula tertia $C$; \& componatur hujus vis cum vi $A + B \times GZ$ tendente ad centrum $G$, vis inde oriunda tendet ad commune centrum gravitatis globi illius $G$ \& particul{\ae} $C$; hoc est, ad commune centrum gravitatis trium particularum $A$, $B$, $C$; \& eadem erit ac si globus \& particula $C$ consisterent in centro illo communi, globum majorem ibi componentes. Et sic pergitur in infinitum. Eadem est igitur vis tota particularum omnium corporis cujuscun{\que} $RSTV$ ac si corpus illud, servato gravitatis centro, figuram globi indueret. \QEDup \textit{Corol.}\wsp{}Hinc motus corporis attracti $Z$ idem erit ac si corpus attrahens $RSTV$ esset Sph{\ae}ricum: \& propterea si corpus illud attrahens vel quiescat, vel progrediatur uniformiter in directum, corpus attractum movebitur in Ellipsi centrum habente in attrahentis centro gravitatis. \condpagelarge{Prop.\ LXXXIX\@. Theor.\ XLVI.} \textit{Si Corpora sint plura ex particulis {\ae}qualibus constantia, quarum vires sunt ut distanti{\ae} locorum a singulis: vis ex omnium viribus composita, qua corpusculum quodcun{\que} trahitur, tendet ad trahentium commune centrum gravitatis, \& eadem erit ac si trahentia illa, servato gravitatis centro communi, coirent \& in globum formarentur.} Demonstratur eodem modo, at{\que} Propositio superior. \textit{Corol.}\wsp{}Ergo motus corporis attracti idem erit ac si corpora trahentia, servato communi gravitatis centro, coirent \& in globum formarentur. Ideo{\que} si corporum trahentium commune gravitatis centrum vel quiescit, vel progreditur uniformiter in linea recta, corpus attractum movebitur in Ellipsi, centrum habente in communi illo trahentium centro gravitatis. % -----File: 226.png--- \condpagelarge{Prop.\ XC\@. Prob.\ XLIV.} \pngright{226.png}{1025}{1125}{-24} %Illustration \textit{Si ad singula circuli cujuscun{\que} puncta tendant vires centripet{\ae} decrescentes in quacun{\que} distantiarum ratione: invenire vim qua corpusculum attrahitur ubivis in recta qu{\ae} ad planum circuli per centrum ejus perpendicularis consistit.} Centro $A$ intervallo quovis $AD$, in plano cui recta $AP$ perpendicularis est, describi intelligatur circulus; \& invenienda sit vis qua corpus quodvis $P$ in eundem attrahitur. A circuli puncto quovis $E$ ad corpus attractum $P$ agatur recta $PE$: In recta $PA$ capiatur $PF$ ipsi $PE$ {\ae}qualis, \& erigatur Normalis $FK$, qu{\ae} sit ut vis qua punctum $E$ trahit corpusculum $P$. Sit{\que} $IKL$ curva linea quam punctum $K$ perpetuo tangit. Occurrat eadem circuli plano in $L$. In $PA$ capiatur $PH$ {\ae}qualis $PD$, \& erigatur perpendiculum $HI$ curv{\ae} pr{\ae}dict{\ae} occurrens in $I$; \& erit corpusculi $P$ attractio in circulum ut area $AHIL$ ducta in altitudinem $AP$. \QEIup Etenim in $AE$ capiatur linea quam minima $Ee$. Jungatur $Pe$, \& in $PA$ capiatur $Pf$ ipsi $Pe$ {\ae}qualis. Et quoniam vis, qua annuli punctum quodvis $E$ trahit ad se corpus $P$, ponitur esse ut $FK$, \& inde vis qua punctum illud trahit corpus $P$ versus $A$ est ut $\frac{AP \times FK}{PE}$, \& vis qua annulus totus trahit corpus $P$ versus $A$, ut annulus \& $\frac{AP \times FK}{PE}$ conjunctim; annulus autem iste est ut rectangulum sub radio $AE$ \& latitudine $Ee$, \& hoc rectangulum (ob proportionales $PE$ \& $AE$, $Ee$ \& $cE$) {\ae}quatur rectangulo $PE % -----File: 227.png--- \times cE$ seu $PE \times Ff$; erit vis qua annulus iste trahit corpus $P$ versus $A$ ut $PE \times Ff$ \& $\frac{AP \times FK}{PE}$ conjunctim, id est, ut contentum $Ff \times AP \times FK$, sive ut area $FKkf$ ducta in $AP$. Et propterea summa virium, quibus annuli omnes in circulo, qui centro $A$ \& intervallo $AD$ describitur, trahunt corpus $P$ versus $A$, est ut area tota $AHIKL$ ducta in $AP$. \QEDup \textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Hinc si vires punctorum decrescunt in duplicata distantiarum ratione, hoc est, si sit $FK$ ut $\frac{1}{PF \opit{quad.}}$, at{\que} adeo area $AHIKL$ ut $\frac{1}{PA} - \frac{1}{PH}$; erit attractio corpusculi $P$ in circulum \label{wasp219}$1 - \frac{PA}{PH}$, id est, ut $\frac{AH}{PH}$. \textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Et universaliter, si vires punctorum ad distantias $D$ sint reciproce ut distantiarum dignitas qu{\ae}libet $D^n$, hoc est, si sit $FK$ ut $\frac{1}{D^n}$, adeo{\que} area $AHIKL$ ut $\frac{1}{PA^{n - 1}} - \frac{1}{PH^{n - 1}}$; erit attractio corpusculi $P$ in circulum ut $\frac{1}{PA^{n - 2}} - \frac{PA}{PH^{n - 1}}$. \textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Et si diameter circuli augeatur in infinitum, \& numerus $n$ sit unitate major; attractio corpusculi $P$ in planum totum infinitum erit reciproce ut $PA^{n - 2}$, propterea quod terminus alter $\frac{PA}{PH^{n - 1}}$ evanescet. \condpagelarge{Prop.\ XCI\@. Prob.\ XLV.} \textit{Invenire attractionem corpusculi siti in axe solidi, ad cujus puncta singula tendunt vires centripet{\ae} in quacun{\que} distantiarum ratione decrescentes.} % -----File: 228.png--- \pngright{228.png}{1134}{933}{-24} %Illustration In solidum $ADEFG$ trahatur corpusculum $P$, situm in ejus axe $AB$. Circulo quolibet $RFS$ ad hunc axem perpendiculari secetur hoc solidum, \& in ejus diametro $FS$, in plano aliquo $PALKB$ per axem transeunte, capiatur (per Prop.\ XC.) longitudo $FK$ vi qua corpusculum $P$ in circulum illum attrahitur proportionalis. Tangat autem punctum $K$ curvam lineam $LKI$, planis extimorum circulorum $AL$ \& $BI$ occurrentem in $A$ \& $B$; \& erit attractio corpusculi $P$ in solidum ut area $LABI$. \QEDup \textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Unde si solidum Cylindrus sit, parallelogrammo $ADEB$ circa axem $AB$ revoluto descriptus, \& vires centripet{\ae} in singula ejus puncta tendentes sint reciproce ut quadrata distantiarum a punctis: erit attractio corpusculi $P$ in hunc Cylindrum ut $BA - PE + PD$. Nam ordinatim applicata $FK$ (per Corol.\ 1.\ Prop.\ XC.) erit ut $1 - \frac{PF}{PR}$. Hujus pars 1 ducta in longitudinem $AB$, describit aream $1 \times AB$; \& pars altera $\frac{PF}{PR}$ ducta in longitudinem $PB$, describit aream 1 in $\overline{PE - AD}$ (id quod ex curv{\ae} $LKI$ quadratura facile ostendi potest:) \& similiter pars eadem ducta in longitudinem $PA$ describit aream 1 in $PD - AD$, ducta{\que} in ipsarum $PB$, $PA$ differentiam $AB$ describit arearum differentiam 1 in $\overline{PE - PD}$. De contento primo $1 \times AB$ auferatur contentum postremum 1 in $PE - PD$, \& restabit area $LABI$ {\ae}qualis 1 in $AB - PE + PD$. Ergo vis huic are{\ae} proportionalis est ut $AB - PE + PD$. \pngright{229.png}{1344}{1081}{-24} %Illustration \textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Hinc etiam vis innotescit qua Sph{\ae}rois $AGBCD$ attrahit % -----File: 229.png--- corpus quodvis $P$, exterius in axe suo $AB$ situm. Sit $NKRM$ Sectio Conica cujus ordinatim applicata $ER$, ipsi $PE$ perpendicularis, {\ae}quetur semper longitudini $PD$, qu{\ae} ducitur ad punctum illud $D$, in quo applicata ista Sph{\ae}roidem secat. A Sph{\ae}roidis verticibus $A$, $B$ ad ejus axem $AB$ erigantur perpendicula $AK$, $BM$ ipsis $AP$, $BP$ {\ae}qualia respective, \& propterea Sectioni Conic{\ae} occurrentia in $K$ \& $M$; \& jungantur $KM$ auferens ab eadem segmentum $KMRK$. Sit autem Sph{\ae}roidis centrum $S$ \& semidiameter maxima $SC$: \& vis qua Sph{\ae}rois trahit corpus $P$ erit ad vim qua Sph{\ae}ra, diametro $AB$ descripta, trahit idem corpus, ut $\frac{AS \times CSq. - PS \times KMRK}{PSq. + CSq. - ASq.}$ ad $\frac{AS \opit{cub.}}{3PS \opit{quad.}}$. Et eodem computando fundamento invenire licet vires segmentorum Sph{\ae}roidis. \pngright{230.png}{898}{881}{-24} %Illustration \textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Quod si corpusculum intra Sph{\ae}roidem in data quavis ejusdem diametro collocetur; attractio erit ut ipsius distantia a centro. Id quod facilius colligetur hoc argumento. Sit $AGOF$ Sph{\ae}rois attrahens, $S$ centrum ejus \& $P$ corpus attractum. Per corpus illud $P$ agantur tum semidiameter $SPA$, tum rect{\ae} du{\ae} qu{\ae}vis $DE$, $FG$ Sph{\ae}roidi hinc inde occurrentes in $D$ \& $E$, $F$ \& $G$: Sint{\que} $PCM$, $HLN$ superficies Sph{\ae}roidum duarum interiorum, exteriori similium \& concentricarum, quarum prior % -----File: 230.png--- transeat per corpus $P$ \& secet rectas $DE$ \& $FG$ in $B$ \& $C$, posterior secet easdem rectas in $H$, $I$ \& $K$, $L$. Habeant autem Sph{\ae}roides omnes axem communem, \& erunt rectarum partes hinc inde intercept{\ae} $DP$ \& $BE$, $FP$ \& $CG$, $DH$ \& $IE$, $FK$ \& $LG$ sibi mutuo {\ae}quales; propterea quod rect{\ae} $DE$, $PB$ \& $HI$ bisecantur in eodem puncto, ut \& rect{\ae} $FG$, $PC$ \& $KL$. Concipe jam $DPF$, $EPG$ designare Conos oppositos, angulis verticalibus $DPF$, $EPG$ infinite parvis descriptos, \& lineas etiam $DH$, $EI$ infinite parvas esse; \& Conorum particul{\ae} Sph{\ae}roidum superficiebus absciss{\ae} $DHKF$, $GLIE$, ob {\ae}qualitatem linearum $DH$, $EI$, erunt ad invicem ut quadrata distantiarum suarum a corpusculo $P$, \& propterea corpusculum illud {\ae}qualiter trahent. Et \label{wasp222}pari ratione, si superficiebus Sph{\ae}roidum innumerarum similium concentricarum \& axem communem habentium dividantur spatia $DPF$, $EGCB$ in particulas, h{\ae} omnes utrin{\que} {\ae}qualiter trahent corpus $P$ in partes contrarias. {\AE}quales igitur sunt vires coni $DPF$ \& segmenti Conici $EGCB$, \& per contrarietatem se mutuo destruunt. Et par est ratio virium materi{\ae} omnis extra Sph{\ae}roidem intimam $PCBM$. Trahitur igitur corpus $P$ a sola Sph{\ae}roide intima $PCBM$, \& propterea (per Corol.\ 3.\ Prop.\ LXXII.) attractio ejus est ad vim, qua corpus $A$ trahitur a Sph{\ae}roide tota $AGOD$, ut distantia $PS$ ad distantiam $AS$. \QEIup \condpagelarge{Prop.\ XCII\@. Prob.\ XLVI.} \textit{Dato corpore attractivo, invenire rationem decrementi virium centripetarum in ejus puncta singula tendentium.} E corpore dato formanda est Sph{\ae}ra vel Cylindrus aliave figura % -----File: 231.png--- regularis, cujus lex attractionis, cuivis decrementi rationi congruens (per Prop.\ LXXX. LXXXI. \& XCI.) inveniri potest. Dein factis experimentis invenienda est vis attractionis in diversis distantiis, \& lex attractionis in totum inde patefacta dabit rationem decrementi virium partium singularum, quam invenire oportuit. \condpagelarge{Prop.\ XCIII\@. Theor.\ XLVII.} \textit{Si solidum ex una parte planum, ex reliquis autem partibus infinitum, constet ex particulis {\ae}qualibus {\ae}qualiter attractivis, quarum vires in recessu a solido decrescunt in ratione potestatis cujusvis distantiarum plusquam quadratic{\ae}, \& vi solidi totius corpusculum ad utramvis plani partem constitutum trahatur: dico quod solidi vis illa attractiva, in recessu ab ejus superficie plana, decrescet in ratione potestatis, cujus latus est distantia corpusculi a plano, \& Index ternario minor quam Index potestatis distantiarum.} \pngright{231.png}{1239}{732}{-24} %Illustration \textit{Cas.\fsp{}1.}\wsp{}Sit $LGl$ planum quo Solidum terminatur. Jaceat autem solidum ex parte plani hujus versus $I$, in{\que} plana innumera $mHM$, $nIN$ \&c.\ ipsi $GL$ parallela resolvatur. Et primo collocetur corpus attractum $C$ extra solidum. Agatur autem $CGHI$ planis illis innumeris perpendicularis, \& decrescant vires attractiv{\ae} punctorum solidi in ratione potestatis distantiarum, cujus index sit numerus $n$ ternario non minor. Ergo (per Corol.\ 3.\ Prop.\ XC) vis qua planum quodvis $mHM$ trahit punctum $C$ est reciproce ut $CH^{n - 2}$. In plano $mHM$ capiatur longitudo $HM$ ipsi $CH^{n - 2}$ reciproce proportionalis, \& erit vis illa ut $HM$. Similiter in planis singulis $lGL$, $nIN$, $oKO$ \&c.\ capiantur % -----File: 232.png--- longitudines $GL$, $IN$, $KO$ \&c.\ ipsis $CG^{n - 2}$, $CI^{n - 2}$, $CK^{n - 2}$ \&c.\ reciproce proportionales; \& vires planorum eorundem erunt ut longitudines capt{\ae}, adeo{\que} summa virium ut summa longitudinum, hoc est, vis solidi totius ut area $GLOK$ in infinitum versus $OK$ producta. Sed area illa per notas quadraturarum methodos est reciproce ut $CG^{n - 3}$, \& propterea vis solidi totius est reciproce ut $CG^{n - 3}$ \QEDup \textit{Cas.\fsp{}2.}\wsp{}Collocetur jam corpusculum $C$ ex parte plani $lGL$ intra solidum, \& capiatur distantia $CK$ {\ae}qualis distanti{\ae} $CG$. Et solidi pars $LGloKO$, planis parallelis $lGL$, $oKO$ terminata, corpusculum $C$ in medio situm nullam in partem trahet, contrariis oppositorum punctorum actionibus se mutuo per {\ae}qualitatem tollentibus. Proinde corpusculum $C$ sola vi solidi ultra planum $OK$ siti trahitur. H{\ae}c autem vis (per Casum primum) est reciproce ut $CK^{n - 3}$, hoc est (ob {\ae}quales $CG$, $CK$) reciproce ut $CG^{n - 3}$. \QEDup \textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Hinc si solidum $LGIN$ planis duobus infinitis parallelis $LG$, $IN$ utrin{\que} terminetur; innotescit ejus vis attractiva, subducendo de vi attractiva solidi totius infiniti $LGKO$ vim attractivam partis ulterioris $NIKO$, in infinitum versus $KO$ product{\ae}. \textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Si solidi hujus infiniti pars ulterior, quando attractio ejus collata cum attractione partis citerioris nullius pene est momenti, rejiciatur: attractio partis illius citerioris augendo distantiam decrescet quam proxime in ratione potestatis $CG^{n - 3}$. \textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Et hinc si corpus quodvis finitum \& ex una parte planum trahat corpusculum e regione medii illius plani, \& distantia inter corpusculum \& planum collata cum dimensionibus % -----File: 233.png--- corporis attrahentis perexigua sit, constet autem corpus attrahens ex particulis homogeneis, quarum vires attractiv{\ae} decrescunt in ratione potestatis cujusvis plusquam quadruplicat{\ae} distantiarum; vis attractiva corporis totius decrescet quamproxime in ratione potestatis, cujus latus sit distantia illa perexigua, \& Index ternario minor quam Index potestatis prioris. De corpore ex particulis constante, quarum vires attractiv{\ae} decrescunt in ratione potestatis triplicat{\ae} distantiarum, assertio non valet, propterea quod, in hoc casu, attractio partis illius ulterioris corporis infiniti in Corollario secundo, semper est infinite major quam attractio partis citerioris. \condpagelarge{\textit{Scholium.}} Si corpus aliquod perpendiculariter versus planum datum trahatur, \& ex data lege attractionis qu{\ae}ratur motus corporis: Solvetur Problema qu{\ae}rendo (per Prop.\ XXVII.) motum corporis recta descendentis ad hoc planum, \& (per Legum Corol.\ 2.)\ componendo motum istum cum uniformi motu, secundum lineas eidem plano parallelas facto. Et contra, si qu{\ae}ratur Lex attractionis in planum secundum lineas perpendiculares fact{\ae} ea conditione ut corpus attractum in data quacun{\que} curva linea moveatur, solvetur Problema operando ad exemplum Problematis tertii. Operationes autem contrahi solent resolvendo ordinatim applicatas in series convergentes. Ut si ad basem $A$ in angulo quovis dato ordinatim applicetur longitudo $B$, qu{\ae} sit ut basis dignitas qu{\ae}libet $A^{\frac{m}{n}}$; \& qu{\ae}ratur vis qua corpus, secundum positionem ordinatim applicat{\ae}, vel in basem attractum vel a basi fugatum, moveri possit in curva linea quam ordinatim applicata termino suo superiore semper attingit; Suppono basem augeri parte % -----File: 234.png--- quam minima $O$, \& ordinatim applicatam $\overline{A + O}^{\frac{m}{n}}$ resolvo in Seriem infinitam \label{wasp226}$A^{\frac{m}{n}} + \frac{m}{n} OA^{\frac{m - n}{n}} + \frac{mm - mn}{2nn} O^2 A^{\frac{m - 2n}{n}}$ \&c.\ at{\que} hujus termino in quo $O$ duarum est dimensionum, id est termino $\frac{mm - mn}{2nn} O^2 A^{\frac{m - 2n}{n}}$ vim proportionalem esse suppono. Est igitur vis qu{\ae}sita ut $\frac{mm - mn}{nn} A^{\frac{m - 2n}{n}}$, vel quod perinde est, ut $\frac{mm - mn}{nn} B^{\frac{m - 2n}{m}}$. Ut si ordinatim applicata Parabolam attingat, existente $m = 2$, \& $n = 1$: fiet vis ut data $2B^0$, adeo{\que} dabitur. Data igitur vi corpus movebitur in Parabola, quemadmodum \textit{Galil{\ae}us} demonstravit. Quod si ordinatim applicata Hyperbolam attingat, existente $m = 0 - 1$, \& $n = 1$; fiet vis ut $2B^3$: adeo{\que} vi, qu{\ae} sit ut cubus ordinatim applicat{\ae}, corpus movebitur in Hyperbola. Sed missis hujusmodi Propositionibus, pergo ad alias quasdam de motu, quas nondum attigi. % -----File: 235.png--- \sectpage{XIV.} \begin{center}{\textit{De motu corporum minimorum, qu{\ae} viribus centripetis ad singulas magni alicujus corporis partes tendentibus agitantur.}}\end{center} \propnopage{Prop.\ XCIV\@. Theor.\ XLVIII.} \textit{Si media duo similaria, spatio planis parallelis utrin{\que} terminato, distinguantur ab invicem, \& corpus in transitu per hoc spatium attrahatur vel impellatur perpendiculariter versus medium alterutrum, ne{\que} ulla alia vi agitetur vel impediatur; Sit autem attractio, in {\ae}qualibus ab utro{\que} plano distantiis ad eandem ipsius partem captis, ubi{\que} eadem: dico quod sinus incidenti{\ae} in planum alterutrum erit ad sinum emergenti{\ae} ex plano altero in ratione data.} \pngright{235.png}{1308}{1498}{-24} %Illustration \textit{Cas.\fsp{}1.}\wsp{}Sunto $Aa$, $Bb$ plana duo parallela. Incidat corpus in planum prius $Aa$ secundam lineam $GH$, ac toto suo per spatium intermedium transitu attrahatur vel impellatur versus medium incidenti{\ae}, ea{\que} actione describat lineam curvam $HI$, \& emergat secundum lineam $IK$. Ad planum emergenti{\ae} $Bb$ erigatur perpendiculum $IM$, occurrens tum line{\ae} incidenti{\ae} $GH$ product{\ae} in $M$, tum plano incidenti{\ae} $Aa$ in $R$; \& linea emergenti{\ae} $KI$ producta occurrat $HM$ in $L$. Centro $L$ intervallo % -----File: 236.png--- $LI$ describatur circulus, secans tam $HM$ in $P$ \& $Q$, quam $MI$ productam in $N$; \& primo si attractio vel impulsus ponatur uniformis, erit (ex demonstratis \textit{Galil{\ae}i}) curva $HI$ Parabola, cujus h{\ae}c est proprietas, ut rectangulum sub dato latere recto \& linea $IM$ {\ae}quale sit $HM$ quadrato; sed \& linea $HM$ bisecabitur in $L$. Unde si ad $MI$ demittatur perpendiculum $LO$, {\ae}quales erunt $MO$, $OR$; \& additis {\ae}qualibus $IO$, $ON$, fient tot{\ae} {\ae}quales $MN$, $IR$. Proinde cum $IR$ detur, datur etiam $MN$, est{\que} rectangulum $NMI$ ad rectangulum sub latere recto \& $IM$, hoc est, ad $HMq.$, in data ratione. Sed rectangulum $NMI$ {\ae}quale est rectangulo $PMQ$, id est, differenti{\ae} quadratorum $MLq.$ \& $PLq.$ seu $LIq.$; \& $HMq.$ datam rationem habet ad sui ipsius quartam partem $LMq.$: ergo datur ratio $MLq. - LIq.$ ad $MLq.$, \& divisim, ratio $LIq.$ ad $MLq.$, \& ratio dimidiata $LI$ ad $ML$. Sed in omni triangulo $LMI$, sinus angulorum sunt proportionales lateribus oppositis. Ergo datur ratio sinus anguli incidenti{\ae} $LMR$ ad sinum anguli emergenti{\ae} $LIR$. \QEDup \textit{Cas.\fsp{}2.}\wsp{}Transeat jam corpus successive per spatia plura parallelis planis terminata, $AabB$, $BbcC$ \&c.\ \& agitetur vi qu{\ae} sit in singulis separatim uniformis, at in diversis diversa; \& per jam demonstrata, sinus incidenti{\ae} in planum primum $Aa$ erit ad sinum emergenti{\ae} ex plano secundo $Bb$, in data ratione; \& hic sinus, qui est sinus incidenti{\ae} in planum secundum $Bb$, erit ad sinum emergenti{\ae} % -----File: 237.png--- \pngright{237.png}{1284}{1121}{-12} %Illustration \noindent ex plano tertio $Cc$, in data ratione; \& hic sinus ad sinum emergenti{\ae} ex plano quarto $Dd$, in data ratione; \& sic in infinitum: \& ex {\ae}quo sinus incidenti{\ae} in planum primum ad sinum emergenti{\ae} ex plano ultimo in data ratione. Minuatur jam planorum intervalla \& augeatur numerus in infinitum, eo ut attractionis vel impulsus actio secundum legem quamcun{\que} assignatam continua reddatur; \& ratio sinus incidenti{\ae} in planum primum ad sinum emergenti{\ae} ex plano ultimo, semper data existens, etiamnum dabitur. \QEDup \condpagelarge{Prop.\ XCV\@. Theor.\ XLIX.} \textit{Iisdem positis; dico quod velocitas corporis ante incidentiam est ad ejus velocitatem post emergentiam, ut sinus emergenti{\ae} ad sinum incidenti{\ae}.} Capiantur $AH$, $Id$ {\ae}quales, \& erigantur perpendicula $AG$, $dK$ occurrentia lineis incidenti{\ae} \& emergenti{\ae} $GH$, $IK$, in $G$ \& $K$. In $GH$ capiatur $TH$ {\ae}qualis $IK$, \& ad planum $Aa$ demittatur normaliter $Tv$. Et per Legum Corol.\ 2.\ distinguatur motus corporis in duos, unum planis $Aa$, $Bb$, $Cc$ \&c.\ perpendicularem, alterum iisdem parallelum. Vis attractionis vel impulsus agendo secundum lineas perpendiculares nil mutat motum secundum parallelas, \& propterea corpus hoc motu conficiet {\ae}qualibus temporibus {\ae}qualia illa secundum parallelas intervalla, qu{\ae} sunt inter lineam $AG$ \& punctum $H$, inter{\que} punctum $I$ \& lineam $dK$; hoc est, {\ae}qualibus temporibus describet lineas $GH$, % -----File: 238.png--- $IK$. Proinde velocitas ante incidentiam est ad velocitatem post emergentiam, ut $GH$ ad $IK$ vel $TH$, id est, ut $AH$ vel $Id$ ad $vH$, hoc est (respectu radii $TH$ vel $IK$) ut sinus emergenti{\ae} ad sinum incidenti{\ae}. \QEDup \condpagelarge{Prop.\ XCVI\@. Theor.\ L.} \textit{Iisdem positis \& quod motus ante incidentiam velocior sit quam postea: dico quod corpus, inclinando lineam incidenti{\ae}, reflectetur tandem, \& angulus reflexionis fiet {\ae}qualis angulo incidenti{\ae}.} \pngright{238.png}{1293}{640}{-24} %Illustration Nam concipe corpus inter plana parallela $Aa$, $Bb$, $Cc$ \&c.\ describere arcus Parabolicos, ut supra; sint{\que} arcus illi $HP$, $PQ$, $QR$, \&c. Et sit ea line{\ae} incidenti{\ae} $GH$ obliquitas ad planum primum $Aa$, ut sinus incidenti{\ae} sit ad radium circuli, cujus est sinus, in ea ratione quam habet idem sinus incidenti{\ae} ad sinum emergenti{\ae} ex plano $Dd$, in spatium $DdeE$: \& ob sinum emergenti{\ae} jam factum {\ae}qualem radio, angulus emergenti{\ae} erit rectus, adeo{\que} linea emergenti{\ae} coincidet cum plano $Dd$. Perveniat corpus ad hoc planum in puncto $R$; \& quoniam linea emergenti{\ae} coincidit cum eodem plano, perspicuum est quod corpus non potest ultra pergere versus planum $Ee$. Sed nec potest idem pergere in linea emergenti{\ae} $Rd$, propterea quod perpetuo attrahitur vel impellitur versus medium incidenti{\ae}. Revertetur ita{\que} inter plana $Cc$, $Dd$ describendo arcum Parabol{\ae} $QRq$, cujus vertex principalis (juxta demonstrata \textit{Galil{\ae}i}) est in $R$; secabit planum $Cc$ in eodem angulo in $q$, ac prius in $Q$; dein pergendo in arcubus parabolicis $qp$, $ph$ \&c.\ arcubus prioribus $QP$, $PH$ similibus \& {\ae}qualibus, secabit reliqua plana in iisdem angulis in $p$, $h$ \&c.\ ac prius in $P$, $H$ \&c.\ emerget{\que} tandem eadem obliquitate in $h$, qua incidit in $H$. Concipe jam planorum % -----File: 239.png--- $Aa$, $Bb$, $Cc$, $Dd$, $Ee$ intervalla in infinitum minui \& numerum augeri, eo ut actio attractionis vel impulsus secundum legem quamcun{\que} assignatam continua reddatur; \& angulus emergenti{\ae} semper angulo incidenti{\ae} {\ae}qualis existens, eidem etiamnum manebit {\ae}qualis. \QEDup \condpagelarge{\textit{Scholium.}} \pngright{240.png}{775}{589}{-24} %Illustration Harum attractionum haud multum dissimiles sunt Lucis reflexiones \& refractiones, fact{\ae} secundum datam Secantium rationem, ut invenit \textit{Snellius}, \& per consequens secundum datam Sinuum rationem, ut exposuit \textit{Cartesius}. Nam{\que} Lucem successive propagari \& spatio quasi decem minutorum primorum a Sole ad Terram venire, jam constat per Ph{\ae}nomena Satellitum \textit{Jovis}, Observationibus diversorum Astronomorum confirmata. Radii autem in aere existentes (uti dudum \textit{Grimaldus}, luce per foramen in tenebrosum cubiculum admissa, invenit, \& ipse quo{\que} expertus sum) in transitu suo prope corporum vel opacorum vel perspicuorum angulos (quales sunt nummorum ex auro, argento \& {\ae}re cusorum termini rectanguli circulares, \& cultrorum, lapidum aut fractorum vitrorum acies) incurvantur circum corpora, quasi attracti in eadem; \& ex his radiis, qui in transitu illo propius accedunt ad corpora incurvantur magis, quasi magis attracti, ut ipse etiam diligenter observavi. In figura designat $s$ aciem cultri vel cunei cujusvis $AsB$; \& $gowog$, $fnvnf$, $emtme$, $dlsld$ sunt radii, arcubus $owo$, $nvn$, $mtm$, $lsl$ versus cultrum incurvati; id{\que} magis vel minus pro distantia eorum a cultro. Cum autem talis incurvatio radiorum fiat in aere extra cultrum, debebunt etiam radii, qui incidunt in cultrum, prius incurvari in aere quam cultrum attingunt. Et par est ratio incidentium in % -----File: 240.png--- vitrum. Fit igitur refractio, non in puncto incidenti{\ae}, sed paulatim per continuam incurvationem radiorum, factam partim in aere antequam attingunt vitrum, partim (ni fallor) in vitro, postquam illud ingressi sunt: uti in radiis $ckzkc$, $biyib$, $ahxha$ incidentibus ad $r$, $q$, $p$, \& inter $k$ \& $z$, $i$ \& $y$, $h$ \& $x$ incurvatis, delineatum est. Igitur ob analogiam qu{\ae} est inter propagationem radiorum lucis \& progressum corporum, visum est Propositiones sequentes in usus opticos subjungere; interea de natura radiorum (utrum sint corpora necne) nihil omnino disputans, sed trajectorias corporum trajectoriis radiorum persimiles solummodo determinans. \condpagelarge{Prop.\ XCVII\@. Prob.\ XLVII.} \textit{Posito quod sinus incidenti{\ae} in superficiem aliquam sit ad sinum emergenti{\ae} in data ratione, quod{\que} incurvatio vi{\ae} corporum juxta superficiem illam fiat in spatio brevissimo, quod ut punctum considerari possit; determinare superficiem qu{\ae} corpuscula omnia de loco dato successive manantia convergere faciat ad alium locum datum.} \pngright{241a.png}{1311}{542}{-24} %Illustration Sit $A$ locus a quo corpuscula divergunt; $B$ locus in quem convergere debent; $CDE$ curva linea qu{\ae} circa axem $AB$ revoluta describat superficiem qu{\ae}sitam; $D$, $E$ curv{\ae} illius puncta duo qu{\ae}vis; \& $EF$, $EG$ perpendicula in corporis vias $AD$, $DB$ demissa. Accedat punctum $D$ ad punctum $E$; \& line{\ae} $DF$ qua $AD$ augetur, ad lineam $DG$ qua $DB$ diminuitur, ratio ultima erit eadem qu{\ae} sinus incidenti{\ae} ad sinum emergenti{\ae}. Datur ergo ratio incrementi line{\ae} $AD$ ad decrementum line{\ae} $DB$; \& propterea si in axe $AB$ sumatur ubivis punctum $C$, per quod curva $CDE$ transire debet, \& capiatur ipsius $AC$ incrementum $CM$, ad ipsius $BC$ decrementum $CN$ in data ratione; centris{\que} $A$, % -----File: 241.png--- $B$, \& intervallis $AM$, $BN$ describantur circuli duo se mutuo secantes in $D$: punctum illud $D$ tanget curvam qu{\ae}sitam $CDE$, eandem{\que} ubivis tangendo determinabit. \QEIup \textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Faciendo autem ut punctum $A$ vel $B$ nunc abeat in infinitum, nunc migret ad alteras partes puncti $C$, habebuntur figur{\ae} ill{\ae} omnes quas \textit{Cartesius} in Optica \& Geometria ad refractiones exposuit. Quarum inventionem cum \textit{Cartesius} maximi fecerit \& studiose celaverit, visum fuit hic propositione exponere. \pngright{241b.png}{1332}{852}{-24} %Illustration \textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Si corpus in superficiem quamvis $CD$, secundum lineam rectam $AD$ lege quavis ductam incidens, emergat secundum aliam quamvis rectam $DK$, \& a puncto $C$ duci intelligantur line{\ae} curv{\ae} $CP$, $CQ$ ipsis $AD$, $DK$ semper perpendiculares: erunt incrementa linearum $PD$, $QD$, at{\que} adeo line{\ae} ips{\ae} $PD$, $QD$, incrementis istis genit{\ae}, ut sinus incidenti{\ae} \& emergenti{\ae} ad invicem: \& contra. \condpagelarge{Prop.\ XCVIII\@. Prob.\ XLVIII.} \textit{Iisdem positis, \& circa axem AB descripta superficie quacun{\que} attractiva CD, regulari vel irregulari, per quam corpora de loco dato A exeuntia transire debent: invenire superficiem secundam attractivam EF, qu{\ae} corpora illa ad locum datum B convergere faciat.} Juncta $AB$ secet superficiem primam in $C$ \& secundam in $E$, % -----File: 242.png--- puncto $D$ utcun{\que} assumpto. Et posito sinu incidenti{\ae} in superficiem primam ad sinum emergenti{\ae} ex eadem, \& sinu emergenti{\ae} e superficie secunda ad sinum incidenti{\ae} in eandem, ut quantitas aliqua data $M$ ad aliam datam $N$; produc tum $AB$ ad $G$ ut sit $BG$ ad $CE$ ut $M - N$ ad $N$, tum $AD$ ad $H$ ut sit $AH$ {\ae}qualis $AG$, tum etiam $DF$ ad $K$ ut sit $DK$ ad $DH$ ut $N$ ad $M$. Junge $KB$, \& centro $D$ intervallo $DH$ describe circulum occurrentem $KB$ product{\ae} in $L$, ipsi{\que} $DL$ parallelam age $BF$: \& punctum $F$ tanget lineam $EF$, qu{\ae} circa axem $AB$ revoluta describet superficiem qu{\ae}sitam. \QEFup Nam concipe lineas $CP$, $CQ$ ipsis $AD$, $DF$ respective, \& lineas $ER$, $ES$ ipsis $FB$, $FD$ ubi{\que} perpendiculares esse, adeo{\que} $QS$ ipsi $CE$ semper {\ae}qualem; \& erit (per Corol.\ 2.\ Prop.\ XCVII.) $PD$ ad $QD$ ut $M$ ad $N$, adeo{\que} ut $DL$ ad $DK$ vel $FB$ ad $FK$; \& divisim ut $DL - FB$ seu $PH - PD - FB$ ad $FD$ seu $FQ - QD$; \& composite ut $HP - FB$ ad $FQ$, id est (ob {\ae}quales $HP$ \& $CG$, $QS$ \& $CE$) $CE + BG - FR$ ad $CE - FS$. Verum (ob proportionales $BG$ ad $CE$ \& $M - N$ ad $N$) est etiam $CE + BG$ ad $CE$ ut $M$ ad $N$: adeo{\que} divisim $FR$ ad $FS$ ut $M$ ad $N$, \& propterea per Corol.\ 2.\ Prop.\ XCVII. superficies $EF$ cogit corpus in se secundum lineam $DF$ incidens pergere in linea $FR$, ad locum $B$. \QEDup \condpagelarge{\textit{Scholium.}} Eadem methodo pergere liceret ad superficies tres vel plures. Ad usus autem Opticos maxime accommodat{\ae} sunt figur{\ae} Sph{\ae}ric{\ae}. Si Perspicillorum vitra Objectiva ex vitris duobus Sph{\ae}rice % -----File: 243.png--- figuratis \& Aquam inter se claudentibus conflentur, fieri potest ut a refractionibus aqu{\ae} errores refractionum, qu{\ae} fiunt in vitrorum superficiebus extremis, satis accurate corrigantur. Talia autem vitra Objectiva vitris Ellipticis \& Hyperbolicis pr{\ae}ferenda sunt, non solum quod facilius \& accuratius formari possint, sed etiam quod penicillos radiorum extra axem vitri sitos accuratius refringant. Verum tamen diversa diversorum radiorum refrangibilitas impedimento est, quo minus Optica per figuras vel Sph{\ae}ricas vel alias quascun{\que} perfici possit. Nisi corrigi possint errores illinc oriundi, labor omnis in c{\ae}teris corrigendis imperite collocabitur. \vspace{2em}\hrule\pagelines % -----File: 244.png--- \begin{center}{\large DE}\end{center} \begin{center}{\Huge MOTU CORPORUM}\end{center} \vspace{\baselineskip} \hrule \begin{center}{\large Liber \gesperrt{SECUNDUS}{3}}\end{center} \hrule \vspace{\baselineskip} \sectnopage{I.} \begin{center}{\textit{De Motu corporum quibus resistitur in ratione velocitatis.}}\end{center} \propnopage{Prop.\ I\@. Theor.\ I.} \textit{Corporis, cui resistitur in ratione velocitatis, motus ex resistentia amissus est ut spatium movendo confectum.} Nam cum motus singulis temporis particulis amissus sit ut velocitas, hoc est ut itineris confecti particula: erit componendo motus toto tempore amissus ut iter totum. \QEDup \textit{Corol.}\wsp{}Igitur si corpus gravitate omni destitutum in spatiis liberis sola vi insita moveatur, ac detur tum motus totus sub initio, tum etiam motus reliquus post spatium aliquod confectum, dabitur spatium totum quod corpus infinito tempore describere potest. Erit enim spatium illud ad spatium jam descriptum ut motus totus sub initio ad motus illius partem amissam. % -----File: 245.png--- \condpagelarge{Lemma I.} \textit{Quantitates differentiis suis proportionales, sunt continue proportionales.} Sit $A$ ad $A - B$ ut $B$ ad $B - C$ \& $C$ ad $C - D$ \&c.\ \& dividendo fiet $A$ ad $B$ ut $B$ ad $C$ \& $C$ ad $D$ \&c. \QEDup \condpagelarge{Prop.\ II\@. Theor.\ II.} \textit{Si corpori resistitur in ratione velocitatis, \& sola vi insita per Medium similare moveatur, sumantur autem tempora {\ae}qualia: velocitates in principiis singulorum temporum sunt in progressione Geometrica, \& spatia singulis temporibus descripta sunt ut velocitates.} \textit{Cas.\fsp{}1.}\wsp{}Dividatur tempus in particulas {\ae}quales, \& si ipsis particularum initiis agat vis resistenti{\ae} impulsu unico, qu{\ae} sit ut velocitas, erit decrementum velocitatis singulis temporis particulis ut eadem velocitas. Sunt ergo velocitates differentiis suis proportionales, \& propterea (per Lem.\ I. Lib.\ II.) continue proportionales. Proinde si ex {\ae}quali particularum numero componantur tempora qu{\ae}libet {\ae}qualia, erunt velocitates ipsis temporum initiis, ut termini in progressione continua, qui per saltum capiuntur, omisso passim {\ae}quali terminorum intermediorum numero. Componuntur autem horum terminorum rationes ex {\ae}qualibus rationibus terminorum intermediorum {\ae}qualiter repetitis, \& propterea sunt {\ae}quales. Igitur velocitates his terminis proportionales, sunt in progressione Geometrica. Minuantur jam {\ae}quales ill{\ae} temporum particul{\ae}, \& augeatur earum numerus in infinitum, eo ut resistenti{\ae} impulsus reddatur continuus, \& velocitates in principiis {\ae}qualium temporum, semper continue proportionales, erunt in hoc etiam Cas.\ continue proportionales. \QEDup % -----File: 246.png--- \textit{Cas.\fsp{}2.}\wsp{}Et divisim velocitatum differenti{\ae}, hoc est earum partes singulis temporibus amiss{\ae}, sunt ut tot{\ae}: Spatia autem singulis temporibus descripta sunt ut velocitatum partes amiss{\ae}, (per Prop.\ I. Lib.\ II.) \& propterea etiam ut tot{\ae}. \QEDup \pngright{246a.png}{643}{585}{-24} %Illustration \textit{Corol.}\wsp{}Hinc si Asymptotis rectangulis $ADC$, $CH$ describatur Hyperbola $BG$, sint{\que} $AB$, $DG$ ad Asymptoton $AC$ perpendiculares, \& exponatur tum corporis velocitas tum resistentia Medii, ipso motus initio, per lineam quamvis datam $AC$, elapso autem tempore aliquo per lineam indefinitam $DC$: exponi potest tempus per aream $ABGD$, \& spatium eo tempore descriptum per lineam $AD$. Nam si area illa per motum puncti $D$ augeatur uniformiter ad modum temporis, decrescet recta $DC$ in ratione Geometrica ad modum velocitatis, \& partes rect{\ae} $AC$ {\ae}qualibus temporibus descript{\ae} decrescent in eadem ratione. \condpagelarge{Prop.\ III\@. Prob.\ I.} \textit{Corporis, cui dum in Medio similari recta ascendit vel descendit, resistitur in ratione velocitatis, quod{\que} ab uniformi gravitate urgetur, definire motum.} \pngright{246b.png}{1190}{950}{-24} %Illustration Corpore ascendente, exponatur gravitas per datum quodvis rectangulum $BC$, \& resistentia Medii initio ascensus per rectangulum $BD$ sumptum ad contrarias partes. Asymptotis rectangulis $AC$, $CH$, per punctum $B$ describatur Hyperbola secans perpendicula $DE$, $de$ in $G$, $g$; \& corpus ascendendo, tempore $DGgd$, describet spatium $EGge$, tempore $DGBA$ spatium % -----File: 247.png--- ascensus totius $EGB$, tempore $AB2G2D$ spatium descensus $BF2G$, at{\que} tempore $2D2G2g2d$ spatium descensus $2GF2e2g$: \& velocitates corporis (resistenti{\ae} Medii proportionales) in horum temporum periodis erunt $ABED$, $ABed$, nulla, $ABF2D$, $AB2e2d$ respective; at{\que} maxima velocitas, quam corpus descendendo potest acquirere, erit $BC$. Resolvatur enim rectangulum $AH$ in rectangula innumera $Ak$, $Kl$, $Lm$, $Mn$, \&c.\ qu{\ae} sint ut incrementa velocitatum {\ae}qualibus totidem temporibus facta; \& erunt nihil, $Ak$, $Al$, $Am$, $An$, \&c.\ ut velocitates tot{\ae}, at{\que} adeo (per Hypothesin) \pngright{247.png}{1237}{1014}{-12} %Illustration \noindent ut resistentia Medii in principio singulorum temporum {\ae}qualium. Fiat $AC$ ad $AK$ vel $ABHC$ ad $ABkK$, ut vis gravitatis ad resistentiam in principio temporis secundi, de{\que} vi gravitatis subducantur resistenti{\ae}, \& manebunt $ABHC$, $KkHC$, $LlHC$, $NnHC$, \&c.\ ut vires absolut{\ae} quibus corpus in principio singulorum temporum urgetur, at{\que} adeo (per motus Legem II.) ut incrementa velocitatum, id est, ut rectangula $Ak$, $Kl$, $Lm$, $Mn$ \&c; \& propterea (per Lem.\ I. Lib.\ II.) in progressione Geometrica. Quare si rect{\ae} $Kk$, $Ll$, $Mm$, $Nn$ \&c.\ product{\ae} occurrant Hyperbol{\ae} in $q$, $r$, $s$, $t$ \&c.\ erunt are{\ae} $ABqK$, $KqrL$, $LrsM$, $MstN$ \&c.\ {\ae}quales, adeo{\que} tum temporibus tum viribus gravitatis semper {\ae}qualibus analog{\ae}. Est autem area $ABqK$ (per Corol.\ 3.\ Lem.\ VII. \& Lem.\ VIII. Lib.\ I.) ad aream $Bkq$ ut $Kq$ ad $\frac{1}{2}kq$ seu $AC$ ad $\frac{1}{2}AK$, hoc est ut vis gravitatis ad resistentiam in medio temporis primi. Et simili argumento are{\ae} $qKLr$, $rLMs$, $sMNt$, \&c.\ sunt ad areas $qklr$, $rlms$, $smnt$ \&c.\ ut vires gravitatis ad resistentias in medio temporis secundi, % -----File: 248.png--- tertii, quarti, \&c. Proinde cum are{\ae} {\ae}quales $BAKq$, $qKLr$, $rLMs$, $sMNt$, \&c.\ sint viribus grauitatis analog{\ae}, erunt are{\ae} $Bkq$, $qklr$, $rlms$, $smnt$, \&c.\ resistentiis in mediis singulorum temporum, hoc est, (per Hypothesin) velocitatibus, at{\que} adeo descriptis spatiis analog{\ae}. Sumantur analogarum summ{\ae}, \& erunt are{\ae} $Bkq$, $Blr$, $Bms$, $Bnt$, \&c.\ spatiis totis descriptis analog{\ae}; necnon are{\ae} $ABqK$, $ABrL$, $ABsM$, $ABtN$, \&c.\ temporibus. Corpus igitur inter descendendum, tempore quovis $ABrL$, describit spatium $Blr$, \& tempore $LrtN$ spatium $rlnt$. \QEDup Et similis est demonstratio motus expositi in ascensu. \QEDup \textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Igitur velocitas maxima, quam corpus cadendo potest acquirere, est ad velocitatem dato quovis tempore acquisitam, ut vis data gravitatis qua perpetuo urgetur, ad excessum vis hujus supra vim qua in fine temporis illius resistitur. \textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Tempore autem aucto in progressione Arithmetica, summa velocitatis illius maxim{\ae} ac velocitatis in ascensu (at{\que} etiam earundem differentia in descensu) decrescit in progressione Geometrica. \textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Sed \& differenti{\ae} spatiorum, qu{\ae} in {\ae}qualibus temporum differentiis describuntur, decrescunt in eadem progressione Geometrica. \textit{Corol.\fsp{}4.}\wsp{}Spatium vero a corpore descriptum differentia est duorum spatiorum, quorum alterum est ut tempus sumptum ab initio descensus, \& alterum ut velocitas, qu{\ae} etiam ipso descensus initio {\ae}quantur inter se. % -----File: 249.png--- \condpagelarge{Prop.\ IV\@. Prob.\ II.} \textit{Posito quod vis gravitatis in Medio aliquo similari uniformis sit, ac tendat perpendiculariter ad planum Horizontis; definire motum Projectilis, in eodem resistentiam velocitati proportionalem patientis.} \pngright{249.png}{1227}{1204}{-12} %Illustration E loco quovis $D$ egrediatur Projectile secundum lineam quamvis rectam $DP$, \& per longitudinem $DP$ exponatur ejusdem velocitas sub initio motus. A puncto $P$ ad lineam Horizontalem $DC$ demittatur perpendiculum $PC$, \& secetur $DC$ in $A$ ut sit $DA$ ad $AC$ ut resistentia Medii ex motu in altitudinem sub initio orta, ad vim gravitatis; vel (quod perinde est) ut sit rectangulum sub $DA$ \& $DP$ ad rectangulum sub $AC$ \& $CP$ ut resistentia tota sub initio motus ad vim Gravitatis. Describatur Hyperbola qu{\ae}vis $GTBS$ secans erecta perpendicula $DG$, $AB$ in $G$ \& $B$; \& compleatur parallelogrammum $DGKC$, cujus latus $GK$ secet $AB$ in $Q$. Capiatur linea $N$ in ratione ad $QB$ qua $DC$ sit ad $CP$; \& ad rect{\ae} $DC$ punctum quodvis $R$ erecto perpendiculo $RT$, quod Hyperbol{\ae} in $T$, \& rectis $GK$, $DP$ in $t$ \& $V$ occurrat; in eo cape $Vr$ {\ae}qualem $\frac{tGT}{N}$, \& Projectile tempore $DRTG$ perveniet ad punctum $r$, describens curvam lineam $DraF$, quam punctum $r$ semper tangit; perveniens autem ad maximam altitudinem $a$ in perpendiculo $AB$, \& postea semper % -----File: 250.png--- appropinquans ad Asymptoton $PLC$. Est{\que} velocitas ejus in puncto quovis $r$ ut Curv{\ae} Tangens $rL$. \QEIup Est enim $N$ ad $QB$ ut $DC$ ad $CP$ seu $DR$ ad $RV$, adeo{\que} $RV$ {\ae}qualis $\frac{DR \times QB}{N}$, \& $Rr$ (id est $RV - Vr$ seu $\frac{DR \times QB - tGT}{N}$) {\ae}qualis $\frac{DR \times AB - RDGT}{N}$. Exponatur jam tempus per aream $RDGT$, \& (per Legum Corol.\ 2.)\ distinguatur motus corporis in duos, unum ascensus, alterum ad latus. Et cum resistentia sit ut motus, distinguetur etiam h{\ae}c in partes duas partibus motus proportionales \& contrarias: ideo{\que} longitudo a motu ad latus descripta erit (per Prop.\ II. hujus) ut linea $DR$, altitudo vero (per Prop.\ III. hujus) ut area $DR \times AB - RDGT$, hoc est, ut linea $Rr$. Ipso autem motus initio area $RDGT$ {\ae}qualis est rectangulo $DR \times AQ$, ideo{\que} linea illa $Rr$ (seu $\frac{DR \times AB - DR \times AQ}{N}$) tunc est ad $DR$ ut $AB - AQ$ (seu $QB$) ad $N$, id est ut $CP$ ad $DC$; at{\que} adeo ut motus in altitudinem ad motum in longitudinem sub initio. Cum igitur $Rr$ semper sit ut altitudo, ac $DR$ semper ut longitudo, at{\que} $Rr$ ad $DR$ sub initio ut altitudo ad longitudinem: necesse est ut $Rr$ semper sit ad $DR$ ut altitudo ad longitudinem, \& propterea ut corpus moveatur in linea $DraF$, quam punctum $r$ perpetuo tangit. \QEDup \textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Hinc si vertice $D$, Diametro $DE$ deorsum producta, \& latere recto quod sit ad $2DP$ ut resistentia tota, ipso motus % -----File: 251.png--- initio, ad vim gravitatis, Parabola construatur: velocitas quacum corpus exire debet de loco $D$ secundum rectam $DP$, ut in Medio uniformi resistente describat Curvam $DraF$, ea ipsa erit quacum exire debet de eodem loco $D$, secundum eandem rectam $DR$, ut in spatio non resistente describat Parabolam. Nam Latus rectum Parabol{\ae} hujus, ipso motus initio, est $\frac{DV \opit{quad.}}{Vr}$ \& $Vr$ est $\frac{tGT}{N}$ seu $\frac{DR \times Tt}{2N}$. Recta autem, qu{\ae}, si duceretur, Hyperbolam $GTB$ tangeret in $G$, parallela est ipsi $DK$, ideo{\que} $Tt$ est $\frac{CK \times DR}{DC}$, \& $N$ erat $\frac{QB \times DC}{CP}$. Et propterea $Vr$ est $\frac{DRq. \times CK \times CP}{2CDq. \times QB}$, id est (ob proportionales $DR$ \& $DC$, $DV$ \& $DP$) $\frac{DVq. \times CK \times CP}{2DPq. \times QB}$, \& Latus rectum $\frac{DV \opit{quad.}}{Vr}$ prodit $\frac{2DPq. \times QB}{CK \times CP}$, id est (ob proportionales $QB$ \& $CK$, $DA$ \& $AC$) $\frac{2DPq. \times DA}{AC \times CP}$, adeo{\que} ad $2DP$ ut $DP \times DA$ ad $PC \times AC$; hoc est ut resistentia ad gravitatem. \QEDup \textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Unde si corpus de loco quovis $D$, data cum velocitate, secundum rectam quamvis positione datam $DP$ projiciatur; \& resistentia Medii ipso motus initio detur, inveniri potest Curva $DraF$, quam corpus idem describet. Nam ex data velocitate datur latus rectum Parabol{\ae}, ut notum est. Et sumendo $2DP$ ad latus illud rectum ut est vis Gravitatis ad vim resistenti{\ae}, datur $DP$. Dein secando $DC$ in $A$, ut sit $CP \times AC$ ad $DP \times DA$ in eadem illa ratione Gravitatis ad resistentiam, dabitur punctum $A$. Et inde datur Curva $DraF$. \textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Et contra, si datur curva $DraF$, dabitur \& velocitas corporis \& resistentia Medii in locis singulis $r$. Nam ex data % -----File: 252.png--- ratione $CP \times AC$ ad $DP \times DA$, datur tum resistentia Medii sub initio motus, tum latus rectum Parabol{\ae}: \& inde datur etiam velocitas sub initio motus. Deinde ex longitudine tangentis $rL$, datur \& huic proportionalis velocitas, \& velocitati proportionalis resistentia in loco quovis $r$. \textit{Corol.\fsp{}4.}\wsp{}Cum autem longitudo $2DP$ sit ad latus rectum Parabol{\ae} ut gravitas ad resistentiam in $D$; \& ex aucta Velocitate augeatur resistentia in eadem ratione, at latus rectum Parabol{\ae} augeatur in ratione illa duplicata: patet longitudinem $2DP$ augeri in ratione illa simplici, adeo{\que} velocitati semper proportionalem esse, ne{\que} ex angulo $CDP$ mutato augeri vel minui, nisi mutetur quo{\que} velocitas. \pngright{280.png}{809}{444}{-24} %Illustration \textit{Corol.\fsp{}5.}\wsp{}Unde liquet methodus determinandi Curvam $DraF$ ex Ph{\ae}nomenis quamproxime, \& inde colligendi resistentiam \& velocitatem quacum corpus projicitur. Projiciantur corpora duo similia \& {\ae}qualia eadem cum velocitate, de loco $D$, secundum angulos diversos $CDP$, $cDp$ (minuscularum literarum locis subintellectis) \& cognoscantur loca $F$, $f$, ubi incidunt in horizontale planum $DC$. Tum, assumpta quacun{\que} longitudine pro $DP$ vel $Dp$, fingatur quod resistentia in $D$ sit ad gravitatem in ratione qualibet, \& exponatur ratio illa per longitudinem quamvis $SM$. Deinde per computationem, ex longitudine illa assumpta $DP$, inveniantur longitudines $DF$, $Df$, ac de ratione $\frac{Ff}{DF}$ per calculum inventa, auferatur ratio eadem per experimentum inventa, \& exponatur differentia per perpendiculum $MN$. Idem fac iterum ac tertio, assumendo semper novam resistenti{\ae} ad gravitatem rationem $SM$, \& colligendo novam differentiam $MN$. Ducantur autem differenti{\ae} affirmativ{\ae} ad unam partem rect{\ae} $SM$, \& negativ{\ae} ad alteram; \& per puncta $N$, $N$, $N$ agatur curva regularis $NNN$ secans rectam % -----File: 253.png--- $SMMM$ in $X$, \& erit $SX$ vera ratio resistenti{\ae} ad gravitatem, quam invenire oportuit. Ex hac ratione colligenda est longitudo $DF$ per calculum; \& longitudo qu{\ae} sit ad assumptam longitudinem $DP$ ut modo inventa longitudo $DF$ ad longitudinem eandem per experimentum cognitam, erit vera longitudo $DP$. Qua inventa, habetur tum Curva Linea $DraF$ quam corpus describit, tum corporis velocitas \& resistentia in locis singulis. \condpagelarge{\textit{Scholium.}} C{\ae}terum corpora resisti in ratione velocitatis Hypothesis est magis Mathematica quam Naturalis. Obtinet h{\ae}c ratio quamproxime ubi corpora in Mediis rigore aliquo pr{\ae}ditis tardissime moventur. In Mediis autem qu{\ae} rigore omni vacant (uti posthac demonstrabitur) corpora resistuntur in duplicata ratione velocitatum. Actione corporis velocioris communicatur eidem Medii quantitati, tempore minore, motus major in ratione majoris velocitatis, adeo{\que} tempore {\ae}quali (ob majorem Medii quantitatem perturbatam) communicatur motus in duplicata ratione major, est{\que} resistentia (per motus Legem 2.\ \& 3.)\ ut motus communicatus. Videamus igitur quales oriantur motus ex hac lege Resistenti{\ae}. % -----File: 254.png--- \sectpage{II.} \begin{center}{\textit{De motu corporum quibus resistitur in duplicata ratione velocitatum.}}\end{center} \propnopage{Prop.\ V\@. Theor.\ III.} \textit{Si corpori resistitur in velocitatis ratione duplicata, \& sola vi insita per Medium similare movetur, tempora vero sumantur in progressione Geometrica a minoribus terminis ad majores pergente: dico quod velocitates initio singulorum temporum sunt in eadem progressione Geometrica inverse, \& quod spatia sunt {\ae}qualia qu{\ae} singulis temporibus describuntur.} \pngright{254.png}{949}{1030}{-24} %Illustration Nam quoniam quadrato velocitatis proportionalis est resistentia Medii, \& resistenti{\ae} proportionale est decrementum velocitatis; si tempus in particulas innumeras {\ae}quales dividatur, quadrata velocitatum singulis temporum initiis erunt velocitatum earundem differentiis proportionalia. Sunto temporis particul{\ae} ill{\ae} $AK$, $KL$, $LM$, \&c.\ in recta $CD$ sumpt{\ae}, \& erigantur perpendicula $AB$, $Kk$, $Ll$, $Mm$, \&c.\ Hyperbol{\ae} $BklmG$, centro $C$ Asymptotis rectangulis $CD$, $CH$ descript{\ae} occurrentia in $B$, $k$, $l$, $m$, \&c.\ \& erit $AB$ ad $Kk$ ut $CK$ ad $CA$, \& divisim $AB - Kk$ ad $Kk$ ut $AK$ ad $CA$, \& vicissim $AB - Kk$ ad $AK$ ut $Kk$ ad $CA$, adeo{\que} ut $AB \times Kk$ ad $AB \times CA$. Unde cum $AK$ \& $AB \times CA$ dentur, erit $AB - Kk$ ut $AB \times Kk$; \& ultimo, ubi coeunt $AB$ \& $Kk$, ut $ABq$. Et simili argumento erunt % -----File: 255.png--- $Kk - Ll$, $Ll - Mm$, \&c.\ ut $Kkq.$, $Llq.$ \&c. Linearum igitur $AB$, $Kk$, $Ll$, $Mm$ quadrata sunt ut earundem differenti{\ae}, \& idcirco cum quadrata velocitatum fuerint etiam ut ipsarum differenti{\ae}, similis erit ambarum progressio. Quo demonstrato, consequens est etiam ut are{\ae} his lineis descript{\ae} sint in progressione consimili cum spatiis qu{\ae} velocitatibus describuntur. Ergo si velocitas initio primi temporis $AK$ exponatur per lineam $AB$, \& velocitas initio secundi $KL$ per lineam $Kk$, \& longitudo primo tempore descripta per arcam $AKkB$, velocitates omnes subsequentes exponentur per lineas subsequentes $Ll$, $Mm$, \&c.\ \& longitudines descript{\ae} per areas $Kl$, $Lm$, \&c.\ \& composite, si tempus totum exponatur per summam partium suarum $AM$, longitudo tota descripta exponetur per summam partium suarum $AMmB$. Concipe jam tempus $AM$ ita dividi in partes $AK$, $KL$, $LM$, \&c.\ ut sint $CA$, $CK$, $CL$, $CM$, \&c.\ in progressione Geometrica, \& erunt partes ill{\ae} in eadem progressione, \& velocitates $AB$, $Kk$, $Ll$, $Mm$, \&c.\ in progressione eadem inversa, at{\que} spatia descripta $Ak$, $Kl$, $Lm$, \&c.\ {\ae}qualia. \QEDup \textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Patet\spreadout{ergo quod si tempus exponatur per Asymptoti partem} \\ quamvis $AD$, \& velocitas in principio temporis per ordinatim applicatam $AB$; velocitas in fine temporis exponetur per ordinatam $DG$, \& spatium totum descriptum per aream Hyperbolicam adjacentem $ABGD$; necnon spatium quod corpus aliquod eodem tempore $AD$, velocitate prima $AB$ in Medio non resistente describere posset, per rectangulum $AB \times AD$. \textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Unde datur spatium in Medio resistente descriptum, capiendo illud ad spatium quod velocitate uniformi $AB$ in Medio non resistente simul describi posset, ut est area Hyperbolica $ABGD$ ad rectangulum $AB \times AD$. \textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Datur etiam resistentia Medii, statuendo eam ipso motus initio {\ae}qualem esse vi uniformi centripet{\ae}, qu{\ae}, in cadente corpore, tempore $AC$, in Medio non resistente, generare posset velocitatem $AB$. Nam si ducatur $BT$ qu{\ae} tangat Hyperbolam % -----File: 256.png--- in $B$, \& occurrat Asymptoto in $T$; recta $AT$ {\ae}qualis erit ipsi $AC$, \& tempus exponet quo resistentia prima uniformiter continuata tollere posset velocitatem totam $AB$. \textit{Corol.\fsp{}4.}\wsp{}Et inde datur etiam proportio hujus resistenti{\ae} ad vim gravitatis, aliamve quamvis datam vim centripetam. \textit{Corol.\fsp{}5.}\wsp{}Et viceversa, si datur proportio resistenti{\ae} ad datam quamvis vim centripetam, datur tempus $AC$, quo vis centripeta resistenti{\ae} {\ae}qualis generare possit velocitatem quamvis $AB$; \& inde datur punctum $B$ per quod Hyperbola Asymptotis $CH$, $CD$ describi debet; ut \& spatium $ABGD$, quod corpus incipiendo motum suum cum velocitate illa $AB$, tempore quovis $AD$, in Medio similari resistente describere potest. \condpagelarge{Prop.\ VI\@. Theor.\ IV.} \textit{Corpora Sph{\ae}rica homogenea \& {\ae}qualia, resistentiis in duplicata ratione velocitatum impedita, \& solis viribus insitis incitata, temporibus qu{\ae} sunt reciproce ut velocitates sub initio, describunt semper {\ae}qualia spatia, \& amittunt partes velocitatum proportionales totis.} \pngright{256.png}{1169}{1058}{-24} %Illustration Asymptotis rectangulis $CD$, $CH$ descripta Hyperbola quavis $BbEe$ secante perpendicula $AB$, $ab$, $DE$, $de$, in $B$, $b$, $E$, $e$, exponantur velocitates initiales per perpendicula $AB$, $DE$, \& tempora per lineas $Aa$, $Dd$. Est ergo ut $Aa$ ad $Dd$ ita (per Hypothesin) $DE$ ad $AB$, \& ita (ex natura Hyperbol{\ae}) $CA$ ad $CD$; \& componendo, ita $Ca$ ad $Cd$. Ergo are{\ae} $ABba$, $DEed$, hoc est spatia descripta {\ae}quantur inter se, \& velocitates prim{\ae} % -----File: 257.png--- $AB$, $DE$ sunt ultimis $ab$, $de$, \& propterea (dividendo) partibus etiam suis amissis $AB - ab$, $DE - de$ proportionales. \QEDup \condpagelarge{Prop.\ VII\@. Theor.\ V.} \textit{Corpora Sph{\ae}rica quibus resistitur in duplicata ratione velocitatum, temporibus qu{\ae} sunt ut motus primi directe \& resistenti{\ae} prim{\ae} inverse, amittent partes motuum proportionales totis, \& spatia describent temporibus istis in velocitates primas ductis proportionalia.} Nam{\que} motuum partes amiss{\ae} sunt ut resistenti{\ae} \& tempora conjunctim. Igitur ut partes ill{\ae} sint totis proportionales, debebit resistentia \& tempus conjunctim esse ut motus. Proinde tempus erit ut Motus directe \& resistentia inverse. Quare temporum particulis in ea ratione sumptis, corpora amittent semper particulas motuum proportionales totis, adeo{\que} retinebunt velocitates in ratione prima. Et ob datam velocitatum rationem, describent semper spatia qu{\ae} sunt ut velocitates prim{\ae} \& tempora conjunctim. \QEDup \textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Igitur si {\ae}quivelocia corpora resistuntur in duplicata ratione diametrorum, Globi homogenei quibuscun{\que} cum velocitatibus moti, describendo spatia diametris suis proportionalia, amittent partes motuum proportionales totis. Motus enim Globi cujus{\que} erit ut ejus velocitas \& Massa conjunctim, id est ut velocitas \& cubus diametri; resistentia (per Hypothesin) erit ut quadratum diametri \& quadratum velocitatis conjunctim; \& tempus (per hanc Propositionem) est in ratione priore directe \& ratione posteriore inverse, id est ut diameter directe \& velocitas inverse; adeo{\que} spatium (tempori \& velocitati proportionale) est ut diameter. \textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Si {\ae}quivelocia corpora resistuntur in ratione sesquialtera diametrorum: Globi homogenei quibuscun{\que} cum velocitatibus moti, describendo spatia in sesquialtera ratione diametrorum % -----File: 258.png--- inverse, amittent partes motuum proportionales totis. Nam tempus augetur in ratione resistenti{\ae} diminut{\ae}, \& spatium augetur in ratione temporis. \textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Et universaliter, si {\ae}quivelocia corpora resistuntur in ratione dignitatis cujuscun{\que} diametrorum, spatia quibus Globi homogenei, quibuscun{\que} cum velocitatibus moti, amittent partes motuum proportionales totis, erunt ut cubi diametrorum ad dignitatem illam applicata. Sunto diametri $D$ \& $E$; \& si resistenti{\ae} sint ut $D^n$ \& $E^n$, spatia quibus amittent partes motuum proportionales totis, erunt ut $D^{3 - n}$ \& $E^{3 - n}$. Igitur describendo spatia ipsis $D^{3 - n}$ \& $E^{3 - n}$ proportionalia, retinebunt velocitates in eadem ratione ad invicem ac sub initio. \textit{Corol.\fsp{}4.}\wsp{}Quod si Globi non sint homogenei, spatium a Globo densiore descriptum augeri debet in ratione densitatis. Motus enim sub pari velocitate major est in ratione densitatis, \& tempus (per hanc Propositionem) augetur in ratione motus directe, ac spatium descriptum in ratione temporis. \textit{Corol.\fsp{}5.}\wsp{}Et si Globi moveantur in Mediis diversis, spatium in Medio, quod c{\ae}teris paribus magis resistit, diminuendum erit in ratione majoris resistenti{\ae}. Tempus enim (per hanc Propositionem) diminuetur in ratione resistenti{\ae}, \& spatium in ratione temporis. \condpagelarge{Lemma II.} \textit{Momentum Genit{\ae} {\ae}quatur momentis Terminorum singulorum generantium in eorundem laterum indices dignitatum \& coefficientia continue ductis.} Genitam voco quantitatem omnem qu{\ae} ex Terminis quibuscun{\que} in Arithmetica per multiplicationem, divisionem, \& extractionem radicum; in Geometria per inventionem vel contentorum \& laterum, vel extremarum \& mediarum proportionalium abs{\que} additione \& subductione generatur. Ejusmodi quantitates % -----File: 259.png--- sunt Facti, Quoti, Radices, rectangula, quadrata, cubi, latera quadrata, latera cubica \& similes. Has quantitates ut indeterminatas \& instabiles, \& quasi motu fluxuve perpetuo crescentes vel decrescentes hic considero, \& eorum incrementa vel decrementa momentanea sub nomine momentorum intelligo: ita ut incrementa pro momentis addititiis seu affirmativis, ac decrementa pro subductitiis seu negativis habeantur. Cave tamen intellexeris particulas finitas. Momenta, quam primum finit{\ae} sunt magnitudinis, desinunt esse momenta. Finiri enim repugnat aliquatenus perpetuo eorum incremento vel decremento. Intelligenda sunt principia jamjam nascentia finitarum magnitudinum. Ne{\que} enim spectatur in hoc Lemmate magnitudo momentorum, sed prima nascentium proportio. Eodem recidit si loco momentorum usurpentur vel velocitates incrementorum ac decrementorum, (quas etiam motus, mutationes \& fluxiones quantitatum nominare licet) vel finit{\ae} qu{\ae}vis quantitates velocitatibus hisce proportionales. Termini autem cujus{\que} Generantis coefficiens est quantitas, qu{\ae} oritur applicando Genitam ad hunc Terminum. Igitur sensus Lemmatis est, ut si quantitatum quarumcun{\que} perpetuo motu crescentium vel decrescentium $A$, $B$, $C$, \&c. Momenta, vel mutationum velocitates dicantur $a$, $b$, $c$, \&c.\ momentum vel mutatio rectanguli $AB$ fuerit $Ab + aB$, \& contenti $ABC$ momentum fuerit $ABc + AbC + aBC$: \& dignitatum $A^2$, $A^3$, $A^4$, $A^{\frac{1}{2}}$, $A^{\frac{3}{2}}$, $A^{\frac{1}{3}}$, $A^{\frac{2}{3}}$, $\frac{1}{A}$, $\frac{1}{A^2}$, \& $\frac{1}{A^{\frac{1}{2}}}$ momenta $2Aa$, $3aA^2$, $4aA^3$, $\frac{1}{2}aA^{-\frac{1}{2}}$, $\frac{3}{2}aA^{\frac{1}{2}}$, $\frac{1}{3}aA^{-\frac{2}{3}}$, $\frac{2}{3}aA^{\frac{1}{3}}$, $-aA^{-2}$, $-2aA^{-3}$, \& $-\frac{1}{2}aA^{-\frac{3}{2}}$ respective. Et generaliter ut dignitatis cujuscun{\que} $A^{\frac{n}{m}}$ momentum fuerit $\frac{n}{m} aA^{\frac{n-m}{m}}$. Item ut Genit{\ae} $A \opit{quad.} \times B$ momentum fuerit $2aAB + A^2 b$; \& Genit{\ae} $A^3 B^4 C^2$ momentum $3aA^2 B^4 C^2$ + $4A^3 bB^3 C^2 + 2A^3 B^4 Cc$; \& Genit{\ae} $\frac{A^3}{B^2}$ sive $A^3 B^{-2}$ momentum $3aA^2 B^{-2} - 2A^3 bB^{-3}$: \& sic in c{\ae}teris. Demonstratur vero Lemma in hunc modum. % -----File: 260.png--- \textit{Cas.\fsp{}1.}\wsp{}Rectangulum quodvis motu perpetuo auctum $AB$, ubi de lateribus $A$ \& $B$ deerant momentorum dimidia $\frac{1}{2}a$ \& $\frac{1}{2}b$, fuit $A - \frac{1}{2}a$ in $B - \frac{1}{2}b$, seu $AB - \frac{1}{2}aB - \frac{1}{2}Ab + \frac{1}{4}ab$; \& quam primum latera $A$ \& $B$ alteris momentorum dimidiis aucta sunt, evadit $A + \frac{1}{2}a$ in $B + \frac{1}{2}b$ seu $AB + \frac{1}{2}aB + \frac{1}{2}Ab + \frac{1}{4}ab$. De hoc rectangulo subducatur rectangulum prius, \& manebit excessus $aB + Ab$. Igitur laterum incrementis totis $a$ \& $b$ generatur rectanguli incrementum $aB + Ab$. \QEDup \textit{Cas.\fsp{}2.}\wsp{}Ponatur $AB$ {\ae}quale $G$, \& contenti $ABC$ seu $GC$ momentum (per Cas.\ 1.)\ erit $gC + Gc$, id est (si pro $G$ \& $g$ scribantur $AB$ \& $aB + Ab$) $aBC + AbC + ABc$. Et par est ratio contenti sub lateribus quotcun{\que}. \QEDup \textit{Cas.\fsp{}3.}\wsp{}Ponantur $A$, $B$, $C$ {\ae}qualia; \& ipsius $A^2$, id est rectanguli $AB$, momentum $aB + Ab$ erit $2aA$, ipsius autem $A^3$, id est contenti $ABC$, momentum $aBC + AbC + ABc$ erit $3aA^2$. Et eodem argumento momentum dignitatis cujuscun{\que} $A^n$ est $naA^{n - 1}$. \QEDup \textit{Cas.\fsp{}4.}\wsp{}Unde cum $\frac{1}{A}$ in $A$ sit 1, momentum ipsius $\frac{1}{A}$ ductum in $A$, una cum $\frac{1}{A}$ ducto in $a$ erit momentum ipsius 1, id est nihil. Proinde momentum ipsius $\frac{1}{A}$ seu $A^{-1}$ est $\frac{-a}{A^2}$. Et generaliter cum $\frac{1}{A^{n}}$ in $A^{n}$ sit 1, momentum ipsius $\frac{1}{A^n}$ ductum in $A^n$ una cum $\frac{1}{A^n}$ in $naA^{n - 1}$ erit nihil. Et propterea momentum ipsius $\frac{1}{A^n}$ seu $A^{-n}$ erit $\frac{-na}{A^{n + 1}}$. \QEDup \textit{Cas.\fsp{}5.}\wsp{}Et cum $A^{\frac{1}{2}}$ in $A^{\frac{1}{2}}$ sit $A$, momentum ipsius $A^{\frac{1}{2}}$ in $2A^{\frac{1}{2}}$ erit $a$, per Cas.\ 3: ideo{\que} momentum ipsius $A^{\frac{1}{2}}$ erit $\frac{a}{2A^{\frac{1}{2}}}$ sive % -----File: 261.png--- $2aA^{-\frac{1}{2}}$. Et generaliter si ponatur $A^{\frac{m}{n}}$ {\ae}qualem $B$, erit $A^m$ {\ae}quale $B^n$, ideo{\que} $maA^{m - 1}$ {\ae}quale $nbB^{n - 1}$, \& $maA^{-1}$ {\ae}quale $nbB^{-1}$ seu $\frac{nb}{A^{\frac{m}{n}}}$, adeo{\que} $\frac{m}{n}aA^{\frac{m-n}{n}}$ {\ae}quale $b$, id est {\ae}quale momento ipsius $A^{\frac{m}{n}}$. \QEDup \textit{Cas.\fsp{}6.}\wsp{}Igitur Genit{\ae} cujuscun{\que} $A^m B^n$ momentum est momentum ipsius $A^m$ ductum in $B^n$, una cum momento ipsius $B^n$ ducto in $A^m$, id est $maA^{m - 1} + nbB^{n - 1}$; id{\que} sive dignitatum indices $m$ \& $n$ sint integri numeri vel fracti, sive affirmativi vel negativi. Et par est ratio contenti sub pluribus dignitatibus. \QEDup \textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Hinc in continue proportionalibus, si terminus unus datur, momenta terminorum reliquorum erunt ut iidem termini multiplicati per numerum intervallorum inter ipsos \& terminum datum. Sunto $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$ continue proportionales; \& si detur terminus $C$, momenta reliquorum terminorum erunt inter se ut $-2A$, $-B$, $D$, $2E$, $3F$. \textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Et si in quatuor proportionalibus du{\ae} medi{\ae} dentur, momenta extremarum erunt ut e{\ae}dem extrem{\ae}. Idem intelligendum est de lateribus rectanguli cujuscun{\que} dati. \textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Et si summa vel differentia duorum quadratorum detur, momenta laterum erunt reciproce ut latera. \condpagelarge{\textit{Scholium.}} In literis qu{\ae} mihi cum Geometra peritissimo \textit{G.~G. Leibnitio} annis abhinc decem intercedebant, cum significarem me compotem esse methodi determinandi Maximas \& Minimas, ducendi % -----File: 262.png--- Tangentes, \& similia peragendi, qu{\ae} in terminis surdis {\ae}que ac in rationalibus procederet, \& literis transpositis hanc sententiam involventibus [Data {\ae}quatione quotcun{\que} fluentes quantitates involvente, fluxiones invenire, \& vice versa] eandem celarem: rescripsit Vir Clarissimus se quo{\que} in ejusmodi methodum incidisse, \& methodum suam communicavit a mea vix abludentem pr{\ae}terquam in verborum \& notarum formulis. Utrius{\que} fundamentum continetur in hoc Lemmate. \condpagelarge{Prop.\ VIII\@. Theor.\ VI.} \textit{Si corpus in Medio uniformi, Gravitate uniformiter agente, recta ascendat vel descendat, \& spatium totum \label{wasp254}descriptum distinguatur in partes {\ae}quales, in{\que} principiis singularum partium (addendo resistentiam Medii ad vim gravitatis, quando corpus ascendit, vel subducendo ipsam quando corpus descendit) colligantur vires absolut{\ae}; dico quod vires ill{\ae} absolut{\ae} sunt in progressione Geometrica.} Exponatur enim vis gravitatis per datam lineam $AC$; resistentia per lineam indefinitam $AK$; vis absoluta in descensu corporis per differentiam $KC$; velocitas corporis per lineam $AP$ (qu{\ae} sit media proportionalis inter $AK$ \& $AC$, ideo{\que} in dimidiata ratione resistenti{\ae}) incrementum resistenti{\ae} data temporis \pngcent{263.png}{2323}{2211} %Illustration \noindent particula factum per lineolam $KL$, \& contemporaneum velocitatis incrementum per lineolam $PQ$; \& centro $C$ Asymptotis rectangulis $CA$, $CH$ describatur Hyperbola qu{\ae}vis $BNS$, erectis perpendiculis $AB$, $KN$, $LO$, $PR$, $QS$ occurrens in $B$, $N$, $O$, $R$, $S$. Quoniam $AK$ est ut $APq.$, erit hujus momentum $KL$ ut illius momentum $2APQ$, id est ut $AP$ in $KC$. Nam velocitatis incrementum $PQ$, per motus Leg.\ 2.\ proportionale est vi generanti $KC$. Componatur ratio ipsius $KL$ cum ratione ipsius $KN$, \& fiet rectangulum $KL \times KN$ ut $AP \times KC \times KN$; hoc est, ob datum rectangulum $KC \times KN$, ut $AP$. Atqui are{\ae} Hyperbolic{\ae} % -----File: 263.png--- $KNOL$ ad rectangulum $KL \times KN$ ratio ultima, ubi coeunt puncta $K$ \& $L$, est {\ae}qualitatis. Ergo area illa Hyperbolica evanescens est ut $AP$. Componitur igitur area tota Hyperbolica $ABOL$ ex particulis $KNOL$ velocitati $AP$ semper proportionalibus, \& propterea spatio velocitate ista descripto proportionalis est. Dividatur jam area illa in partes {\ae}quales $ABMI$, $IMNK$, $KNOL$, \&c.\ \& vires absolut{\ae} $AC$, $IC$, $KC$, $LC$, \&c.\ erunt in progressione Geometrica. \QEDup Et simili argumento, in ascensu corporis, sumendo, ad contrariam partem puncti $A$, {\ae}quales areas $ABmi$, $imnk$, $knol$, \&c.\ constabit quod vires absolut{\ae} $AC$, $iC$, $kC$, $lC$, \&c.\ sunt continue proportionales. Ideo{\que} si spatia omnia in ascensu \& descensu capiantur {\ae}qualia; omnes vires absolut{\ae} $lC$, $kC$, $iC$, $AC$, $IC$, $KC$, $LC$, \&c.\ erunt continue proportionales. \QEDup % -----File: 264.png--- \textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Hinc si spatium descriptum exponatur per aream Hyperbolicam $ABNK$; exponi possunt vis gravitatis, velocitas corporis \& resistentia Medii per lineas $AC$, $AP$ \& $AK$ respective; \& vice versa. \textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Et velocitatis maxim{\ae}, quam corpus in infinitum descendendo potest unquam acquirere, exponens est linea $AC$. \textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Igitur si in data aliqua velocitate cognoscatur resistentia Medii, invenietur velocitas maxima, sumendo ipsam ad velocitatem illam datam in dimidiata ratione, quam habet vis Gravitatis ad Medii resistentiam illam cognitam. \textit{Corol.\fsp{}4.}\wsp{}Sed\spreadout{\& particula temporis, quo spatii particula quam minima} \\ $NKLO$ in descensu describitur, est ut rectangulum $KN \times PQ$. Nam quoniam spatium $NKLO$ est ut velocitas ducta in particulam temporis; erit particula temporis ut spatium illud applicatum ad velocitatem, id est ut rectangulum quam minimum $KN \times KL$ applicatum ad $AP$. Erat supra $KL$ ut $AP \times PQ$. Ergo particula temporis est ut $KN \times PQ$, vel quod perinde est, ut $\frac{PQ}{CK}$. \QEDup \textit{Corol.\fsp{}5.}\wsp{}Eodem argumento particula temporis, quo spatii particula $nklo$ in ascensu describitur, est ut $\frac{pq}{Ck}$. \condpagelarge{Prop.\ IX\@. Theor.\ VII.} \textit{Positis jam demonstratis, dico quod si Tangentes angulorum sectoris Circularis \& sectoris Hyperbolici sumantur velocitatibus proportionales, existente radio just{\ae} magnitudinis: erit tempus omne ascensus futuri ut sector Circuli, \& tempus omne descensus pr{\ae}teriti ut sector Hyperbol{\ae}.} Rect{\ae} $AC$, qua vis gravitatis exponitur, perpendicularis \& {\ae}qualis ducatur $AD$. Centro $D$ semidiametro $AD$ describatur tum circuli Quadrans $AtE$, tum Hyperbola rectangula $AVZ$ % -----File: 265.png--- axem habens $AX$, verticem principalem $A$ \& Asym\-ptoton $DC$. Jungantur $Dp$, $DP$, \& erit sector circularis $AtD$ ut tempus ascensus omnis futuri; \& Sector Hyperbolicus $ATD$ ut tempus descensus omnis pr{\ae}teriti, si modo Sectorem tangentes $Ap$ \& $AP$ sint velocitates. \pngcent{263.png}{2323}{2211} %Illustration \textit{Cas.\fsp{}1.}\wsp{}Agatur enim $Dvq$ abscindens Sectoris $ADt$ \& trianguli $ADp$ momenta, seu particulas quam minimas simul descriptas $tDv$ \& $pDq$. Cum particul{\ae} ill{\ae}, ob angulum communem $D$, sunt in duplicata ratione laterum, erit particula $tDv$ ut $\frac{qDp}{pD \opit{quad.}}$ Sed $pD \opit{quad.}$ est $AD \opit{quad.} + Ap \opit{quad.}$ id est $AD \opit{quad.} + Ak \times AD$ seu $AD \times Ck$; \& $qDp$ est $\frac{1}{2}AD \times pq$. Ergo Sectoris particula $vDt$ est ut $\frac{pq}{Ck}$, id est, per Corol.\ 5, Prop.\ VIII. ut particula temporis. Et componendo fit summa particularum omnium $tDv$ in Sectore $ADt$, ut summa particularum temporis singulis velocitatis decrescentis $Ap$ particulis amissis $pq$ % -----File: 266.png--- respondentium, us{\que} dum velocitas illa in nihilum diminuta evanuerit; hoc est, Sector totus $ADt$ est ut ascensus totius futuri tempus. \QEDup \textit{Cas.\fsp{}2.}\wsp{}Agatur $DQV$ abscindens tum Sectoris $DAV$, tum trianguli $DAQ$ particulas quam minimas $TDV$ \& $PDQ$; \& erunt h{\ae} particul{\ae} ad invicem ut $DTq.$ ad $DPq.$ id est (si $TX$ \& $AP$ parallel{\ae} sint) ut $DXq.$ ad $DAq.$ vel $TXq.$ ad $APq.$ \& divisim ut $DXq. - TXq.$ ad $ADq. - APq$. Sed ex natura Hyperbol{\ae} $DXq. - TXq.$ est $ADq.$, \& per Hypothesin $APq.$ est $AD \times AK$. Ergo particul{\ae} sunt ad invicem ut $ADq.$ ad $ADq. - AD \times AK$; id est ut $AD$ ad $AD - AK$ seu $AC$ ad $CK$: ideo{\que} Sectoris particula $TDV$ est $\frac{PDQ \times AC}{CK}$, at{\que} adeo ob datas $AC$ \& $AD$, ut $\frac{PQ}{CK}$; \& propterea per Corol.\ 5.\ Prop.\ % -----File: 267.png--- VIII. Lib.\ II. ut particula temporis incremento velocitatis $PQ$ respondens. Et componendo fit summa particularum temporis, quibus omnes velocitatis $AP$ particul{\ae} $PQ$ generantur, ut summa particularum Sectoris $ADT$, id est tempus totum ut Sector totus. \QEDup \textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Hinc si $AB$ {\ae}quetur quart{\ae} parti ipsius $AC$, spatium $ABRP$, quod corpus tempore quovis $ATD$ cadendo describit, erit ad spatium quod corpus semisse velocitatis maxim{\ae} $AC$, eodem tempore uniformiter progrediendo describere potest, ut area $ABRP$, qua spatium cadendo descriptum exponitur, ad aream $ATD$ qua tempus exponitur. Nam cum sit $AC$ ad $AP$ ut $AP$ ad $AK$, erit $2APQ$ {\ae}quale $AC \times KL$ (per Corol.\ 1.\ Lem.\ II. hujus) adeo{\que} $KL$ ad $PQ$ ut $2AP$ ad $AC$, \& inde $LKN$ ad $PQ \times \frac{1}{2}AD$ seu $DPQ$ ut $2AP \times KN$ ad $\frac{1}{2}AC \times AD$. Sed erat $DPQ$ ad $DTV$ ut $CK$ ad $AC$. Ergo ex {\ae}quo $LKN$ est ad $DTV$ ut $2AP \times KN \times CK$ ad $\frac{1}{2}AC \opit{cub.}$; id est, ob {\ae}quales $CKN$ \& $\frac{1}{4}ACq.$, ut $AP$ ad $AC$; hoc est ut velocitas corporis cadentis ad velocitatem maximam quam corpus cadendo potest acquirere. Cum igitur arearum $ABKN$ \& $AVD$ momenta $LKN$ \& $DTV$ sunt ut velocitates, erunt arearum illarum partes omnes simul genit{\ae} ut spatia simul descripta, ideo{\que} are{\ae} tot{\ae} ab initio genit{\ae} $ABKN$ \& $AVD$ ut spatia tota ab initio descensus descripta. \QEDup \textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Idem consequitur etiam de spatio quod in ascensu describitur. Nimirum quod spatium illud omne sit ad spatium, uniformi cum velocitate $AC$ eodem tempore descriptum, ut est area $ABnk$ ad Sectorem $ADt$. \textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Velocitas corporis tempore $ATD$ cadentis est ad velocitatem, quam eodem tempore in spatio non resistente acquireret, ut triangulum $APD$ ad Sectorem Hyperbolicum $ATD$. Nam velocitas in Medio non resistente foret ut tempus $ATD$, \& in Medio resistente est ut $AP$, id est ut triangulum $APD$. Et velocitates ill{\ae} initio descensus {\ae}quantur inter se, perinde ut are{\ae} ill{\ae} $ATD$, $APD$. % -----File: 268.png--- \textit{Corol.\fsp{}4.}\wsp{}Eodem argumento velocitas in ascensu est ad velocitatem, qua corpus eodem tempore in spatio non resistente omnem suum ascendendi motum amittere posset, ut triangulum $ApD$ ad Sectorem circularem $AtD$, sive ut recta $Ap$ ad arcum $At$. \textit{Corol.\fsp{}5.}\wsp{}Est igitur tempus quo corpus in Medio resistente cadendo velocitatem $AP$ acquirit, ad tempus quo velocitatem maximam $AC$ in spatio non resistente cadendo acquirere posset, ut Sector $ADT$ ad triangulum $ADC$: \& tempus, quo velocitatem $Ap$ in Medio resistente ascendendo possit amittere, ad tempus quo velocitatem eandem in spatio non resistente ascendendo posset amittere, ut arcus $At$ ad ejus Tangentem $Ap$. \textit{Corol.\fsp{}6.}\wsp{}Hinc ex dato tempore datur spatium ascensu vel descensu descriptum. Nam corporis in infinitum descendentis datur velocitas maxima, per Corol.\ 2.\ \& 3.\ Theor.\ VI, Lib.\ II. inde{\que} datur \& spatium quod semisse velocitatis illius dato tempore describi potest, \& tempus quo corpus velocitatem illam in spatio non resistente cadendo posset acquirere. Et sumendo Sectorem $ADT$ vel $ADt$ ad triangulum $ADC$ in ratione temporum; dabitur tum velocitas $AP$ vel $Ap$, tum area $ABKN$ vel $ABkn$, qu{\ae} est ad Sectorem ut spatium qu{\ae}situm ad spatium jam ante inventum. \textit{Corol.\fsp{}7.}\wsp{}Et regrediendo, ex dato ascensus vel descensus spatio $ABnk$ vel $ABNK$, dabitur tempus $ADt$ vel $ADT$. \condpagelarge{Prop.\ X\@. Prob.\ III.} \textit{Tendat uniformis vis gravitatis directe ad planum Horizontis, sit{\que} resistentia ut medii densitas \& quadratum velocitatis conjunctim: requiritur tum Medii densitas in locis singulis, qu{\ae} faciat ut corpus in data quavis linea curva moveatur, tum corporis velocitas in iisdem locis.} \pngright{271.png}{1190}{966}{-24} %Illustration Sit $AK$ planum illud plano Schematis perpendiculare; $ACK$ linea curva; $C$ corpus in ipsa motum; \& $FCf$ recta ipsam tangens % -----File: 269.png--- in $C$. Fingatur autem corpus $C$ nunc progredi ab $A$ ad $K$ per lineam illam $ACK$, nunc vero regredi per eandem lineam; \& in progressu impediri a Medio, in regressu {\ae}que promoveri, sic ut in iisdem locis eadem semper sit corporis progredientis \& regredientis velocitas. {\AE}qualibus autem temporibus describat corpus progrediens arcum quam minimum $CG$, \& corpus regrediens arcum $Cg$; \& sint $CH$, $Ch$ longitudines {\ae}quales rectiline{\ae}, quas corpora de loco $C$ exeuntia, his temporibus, abs{\que} Medii \& Gravitatis actionibus describerent: \& a punctis $C$, $G$, $g$, ad planum horizontale $AK$ demittantur perpendicula $CB$, $GD$, $gd$, quorum $GD$ ac $gd$ tangenti occurrant in $F$ \& $f$. Per Medii resistentiam fit ut corpus progrediens, vice longitudinis $CH$, describat solummodo longitudinem $CF$; \& per vim gravitatis transfertur corpus de $F$ in $G$: adeo{\que} lineola $HF$ vi resistenti{\ae}, \& lineola $FG$ vi gravitatis simul generantur. Proinde (per Lem.\ X. Lib.\ I.) lineola $FG$ est ut vis gravitatis \& quadratum temporis conjunctim, adeo{\que} (ob datam gravitatem) ut quadratum temporis; \& lineola $HF$ ut resistentia \& quadratum temporis, hoc est ut resistentia \& lineola $FG$. Et inde resistentia fit ut $HF$ directe \& $FG$ inverse, sive ut $\frac{HF}{FG}$. H{\ae}c ita se habent in lineolis nascentibus. Nam in lineolis finit{\ae} magnitudinis h{\ae} rationes non sunt accurat{\ae}. Et simili argumento est $fg$ ut quadratum temporis, adeo{\que} ob {\ae}qualia tempora {\ae}quatur ipsi $FG$; \& impulsus quo corpus regrediens urgetur est ut $\frac{hf}{fg}$. Sed impulsus corporis regredientis % -----File: 270.png--- \& resistentia progredientis ipso motus initio {\ae}quantur, adeo{\que} \& ipsis proportionales $\frac{hf}{fg}$ \& $\frac{HF}{FG}$ {\ae}quantur; \& propterea ob {\ae}quales $fg$ \& $FG$, {\ae}quantur etiam $hf$ \& $HF$, sunt{\que} adeo $CF$, $CH$ (vel $Ch$) \& $Cf$ in progressione Arithmetica, \& inde $HF$ semidifferentia est ipsarum $Cf$ \& $CF$; \& resistentia qu{\ae} supra fuit ut $\frac{HF}{FG}$, est ut $\frac{Cf - CF}{FG}$. Est autem resistentia ut Medii densitas \& quadratum velocitatis. Velocitas autem ut descripta longitudo $CF$ directe \& tempus $\surd FG$ inverse, hoc est ut $\frac{CF}{\surd FG}$, adeo{\que} quadratum velocitatis ut $\frac{CFq.}{FG}$. Quare resistentia, ipsi{\que} proportionalis $\frac{Cf - CF}{FG}$ est ut Medii densitas \& ut $\frac{CFq.}{FG}$ conjunctim; \& inde Medii densitas ut $\frac{Cf - CF}{FG}$ directe \& $\frac{CFq.}{FG}$ inverse, id est ut $\frac{Cf - CF}{CFq.}$ \QEIup \textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Et hinc colligitur, quod si in $Cf$ capiatur $Ck$ {\ae}qualis $CF$, \& ad planum horizontale $AK$ demittatur perpendiculum $ki$, secans curvam $ACK$ in $l$; fiet Medii densitas ut $\frac{FG - kl}{CF \times \overline{FG + kl}}$. Erit enim $fC$ ad $kC$ ut $\surd fg$ seu $\surd FG$ ad $\surd kl$, \& divisim $fk$ ad $kC$, id est $Cf - CF$ ad $CF$ ut $\surd FG$ - $\surd kl$ ad $\surd kl$; hoc est (si ducatur terminus uter{\que} in $\surd FG$ + $\surd kl$) ut $FG - kl$ ad $kl$ + $\surd FG \times kl$, sive ad $FG + kl$. Nam ratio prima nascentium $kl$ + $\surd FG \times kl$ \& $FG + kl$ est {\ae}qualitatis. Scribatur ita{\que} $\frac{FK - Kl}{FK + Kl}$ pro $\frac{Cf - CF}{CF}$; \& Medii densitas, qu{\ae} fuit ut $\frac{Cf - CF}{CF \opit{quad.}}$ evadet ut $\frac{FG - kl}{CF \times FG + kl}$. % -----File: 271.png--- \textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Unde cum $2HF$ \& $Cf - CF$ {\ae}quentur, \& $FG$ \& $kl$ (ob rationem {\ae}qualitatis) componant $2FG$; erit $2HF$ ad $CF$ ut $FG - kl$ ad $2FG$; et inde $HF$ ad $FG$, hoc est resistentia ad gravitatem, ut rectangulum $CF$ in $FG - kl$ ad $4FG \opit{quad.}$ \textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Et hinc si curva linea definiatur per relationem inter basem seu abscissam $AB$ \& ordinatim applicatam $BC$; (ut moris est) \& valor ordinatim applicat{\ae} resolvatur in seriem convergentem: Problema per primos seriei terminos expedite solvetur: ut in Exemplis sequentibus. \textit{Exempl.\fsp{}1.}\wsp{}Sit Linea $ACK$ semicirculus super diametro $AK$ descriptus, \& requiratur Medii densitas qu{\ae} faciat ut Projectile in hac linea moveatur. Bisecetur semicirculi diameter $AK$ in $O$; \& dic $OK$ $n$, $OB$ $a$, $BC$ $e$, \& $BD$ vel $Bi$ $o$: \& erit $DGq.$ seu $OGq. - ODq.$ {\ae}quale $nn - aa - 2ao - oo$ seu $ee - 2ao - oo$; \& radice per methodum nostram extracta, fiet $DG$ = $e - \frac{ao}{e} - \frac{oo}{2e} - \frac{aaoo}{2e^3} - \frac{ao^3}{2e^3} - \frac{a^3 o^3}{2e^5}$ \&c. Hic scribatur $nn$ pro $ee + aa$ \& evadet $DG$ = $e - \frac{ao}{e} - \frac{nnoo}{2e^3} - \frac{anno^3}{2e^5}$ \&c. Hujusmodi Series distinguo in terminos successivos in hunc modum. Terminum primum appello in quo quantitas infinite parva $o$ non extat; secundum in quo quantitas illa extat unius dimensionis; tertium in quo extat duarum, quartum in quo trium est, \& sic in infinitum. Et primus terminus, qui hic est $e$, denotabit semper longitudinem ordinat{\ae} $BC$ insistentis ad indefinit{\ae} quantitatis initium $B$; secundus terminus % -----File: 272.png--- qui hic est $\frac{ao}{e}$, denotabit differentiam inter $BC$ \& $DF$, id est lineolam $IF$, qu{\ae} abscinditur complendo parallelogrammum $BC - ID$, at{\que} adeo positionem Tangentis $CF$ semper determinat: ut in hoc casu capiendo $IF$ ad $IC$ ut est $\frac{ao}{e}$ ad $o$ seu $a$ ad $e$. Terminus tertius, qui hic est $\frac{nnoo}{2e^3}$ designabit lineolam $FG$, qu{\ae} jacet inter Tangentem \& Curvam, adeo{\que} determinat angulum contactus $FCG$, seu curvaturam quam curva linea habet in $C$. Si lineola illa $FG$ finit{\ae} est magnitudinis, designabitur per terminum tertium una cum subsequentibus in infinitum. At si lineola illa minuatur in infinitum, termini subsequentes evadent infinite minores tertio, ideo{\que} negligi possunt. Terminus quartus, qui hic est $\frac{anno^3}{2e^5}$, exhibet variationem Curvatur{\ae}; quintus variationem variationis, \& sic deinceps. Unde obiter patet usus non contemnendus harum Serierum in solutione Problematum, qu{\ae} pendent a Tangentibus \& curvatura Curvarum. Pr{\ae}terea $CF$ est latus quadratum ex $CIq.$ \& $IFq.$ hoc est ex $BDq.$ \& quadrato termini secundi. Est{\que} $FG + kl$ {\ae}qualis duplo termini tertii, \& $FG - kl$ {\ae}qualis duplo quarti. Nam valor ipsius $DG$ convertitur in valorem ipsius $il$, \& valor ipsius $FG$ in valorem ipsius $kl$, scribendo $Bi$ pro $BD$, seu $-o$ pro +$o$. Proinde cum $FG$ sit $-\frac{nnoo}{2e^3} - \frac{anno^3}{2e^5}$ \&c.\ erit $kl = -\frac{nnoo}{2e^3} + \frac{anno^3}{2e^5}$, \&c. Et horum summa est $-\frac{nnoo}{e^3}$, differentia $-\frac{anno^3}{e^5}$. Terminum quintum \& sequentes hic negligo, ut infinite minores quam qui in hoc Problemate considerandi veniant. Ita{\que} si designetur Series universaliter his terminis $\mp Qo - Roo - So^3$ \&c.\ erit $CF$ {\ae}qualis $\surd \overline{oo + QQoo}$, $FG + kl$ {\ae}qualis $2Roo$, \& $FG - kl$ {\ae}qualis $2So^3$. Pro $CF$, $FG + kl$ \& $FG - kl$ scribantur % -----File: 273.png--- hi earum valores, \& Medii densitas qu{\ae} erat ut $\frac{FG - kl}{CF \operatorname{in} FG + kl}$ jam fiet ut $\frac{S}{R \surd \overline{1 + QQ}}$. Deducendo igitur Problema unumquod{\que} ad seriem convergentem, \& hic pro $Q$, $R$ \& $S$ scribendo terminos seriei ipsis respondentes; deinde etiam ponendo resistentiam Medii in loco quovis $G$ esse ad Gravitatem ut $S\surd \overline{1 + QQ}$ ad $2RR$, \& velocitatem esse illam ipsam quacum corpus, de loco $C$ secundum rectam $CF$ egrediens, in Parabola, diametrum $CB$ \& latus rectum $\frac{1 + QQ}{R}$ habente, deinceps moveri posset, solvetur Problema. Sic in Problemate jam solvendo, si scribantur $\surd \overline{1 + \frac{aa}{ee}}$ seu $\frac{n}{e}$ pro $\surd \overline{1 + QQ}$, $\frac{nn}{2e^3}$ pro $R$, \& $\frac{ann}{2e^3}$ pro $S$, prodibit Medii densitas ut $\frac{a}{ne}$, hoc est (ob datam $n$) ut $\frac{a}{e}$ seu $\frac{OB}{BC}$, id est ut Tangentis longitudo illa $CT$, qu{\ae} ad semidiametrum $OL$ ipsi $AK$ normaliter insistentem terminatur, \& resistentia erit ad gravitatem ut $a$ ad $n$, id est ut $OB$ ad circuli semidiametrum $OK$, velocitas autem erit ut $\surd 2BC$. Igitur si corpus $C$ certa cum velocitate, secundum lineam ipsi $OK$ parallelam, exeat de loco $L$, \& Medii densitas in singulis locis $C$ sit ut longitudo tangentis $CT$, \& resistentia etiam in loco aliquo $C$ sit ad vim gravitatis ut $OB$ ad $OK$; corpus illud describet circuli quadrantem $LCK$. \QEIup At si corpus idem de loco $A$ secundum lineam ipsi $AK$ perpendicularem % -----File: 274.png--- egrederetur, sumenda esset $OB$ seu $a$ ad contrarias partes centri $O$, \& propterea signum ejus mutandum esset, \& scribendum $-a$ pro +$a$. Quo pacto prodiret Medii densitas ut $-\frac{a}{e}$. Negativam autem densitatem (hoc est qu{\ae} motus corporum accelerat) Natura non admittit, \& propterea naturaliter fieri non potest ut corpus ascendendo ab $A$ describat circuli quadrantem $AL$. Ad hunc effectum deberet corpus a Medio impellente accelerari, non a resistente impediri. \textit{Exempl.\fsp{}2.}\wsp{}Sit linea $ALCK$ Parabola, axem habens $OL$ horizonti $AK$ perpendicularem, \& requiratur Medii densitas qu{\ae} faciat ut projectile in ipsa moveatur. Ex natura Parabol{\ae}, rectangulum $ADK$ {\ae}quale est rectangulo sub ordinata $DG$ \& recta aliqua data: hoc est, si dicantur recta illa $b$, $AB$ $a$, $AK$ $c$, $BC$ $e$ \& $BD$ $o$; rectangulum $a + o$ in $c - a - o$ seu $ac - aa - 2ao + co - oo$ {\ae}quale est rectangulo $b$ in $DG$, adeo{\que} $DG$ {\ae}quale $\frac{ac - aa}{b} + \frac{c - 2a}{b}o - \frac{oo}{b}$. Jam scribendus esset hujus seriei secundus terminus $\frac{c - 2a}{b} o$ pro $Qo$, \& ejus coefficiens $\frac{c - 2a}{b}$ pro $Q$; tertius item terminus $\frac{oo}{b}$ pro $Roo$, \& ejus coefficiens $\frac{1}{b}$ pro $R$. Cum vero plures non sint termini, debebit quarti termini $So^3$ coefficiens $S$ evanescere, \& propterea quantitas $\frac{S}{R\surd \overline{1 + QQ}}$ cui Medii densitas proportionalis est, nihil erit. Nulla igitur Medii densitate movebitur Projectile in Parabola, uti olim demonstravit \textit{Galil{\ae}us}. \QEIup \newpage \textit{Exempl.\fsp{}3.}\wsp{}Sit linea $AGK$ Hyperbola, Asymptoton habens $NX$ plano horizontali $AK$ perpendicularem; \& qu{\ae}ratur Medii densitas qu{\ae} faciat ut Projectile moveatur in hac linea. \pngright{275.png}{1724}{1718}{-24} %Illustration Sit $MX$ Asymptotos altera, ordinatim applicat{\ae} $DG$ product{\ae} % -----File: 275.png--- occurrens in $V$, \& ex natura Hyperbol{\ae}, rectangulum $XV$ in $VG$ dabitur. Datur autem ratio $DN$ ad $VX$, \& propterea datur etiam rectangulum $DN$ in $VG$. Sit illud $bb$; \& completo parallelogrammo $DNXZ$, dicatur $BN$ $a$, $BD$ $o$, $NX$ $c$, \& ratio data $VZ$ ad $ZX$ vel $DN$ ponatur esse $\frac{m}{n}$. Et erit $DN$ {\ae}qualis $a - o$, $VG$ {\ae}qualis $\frac{bb}{a - o}$, $VZ$ {\ae}qualis $\frac{m}{n} \overline{a - o}$, \& $GD$ seu $NX - VZ - VG$ {\ae}qualis $c - \frac{m}{n}a + \frac{m}{n}o - \frac{bb}{a - o}$. Resolvatur terminus $\frac{bb}{a - o}$ in seriem convergentem $\frac{bb}{a} + \frac{bb}{aa}o + \frac{bb}{a^3}oo + \frac{bb3}{a^4}o^3$ etc.\ \& fiet $GD$ {\ae}qualis $c - \frac{m}{n}a - \frac{bb}{a} + \frac{m}{n}o - \frac{bb}{aa}o - \frac{bb}{a^3}o^2 - \frac{bb}{a^4}o^3$ \&c. Hujus seriei terminus secundus $\frac{m}{n}o - \frac{bb}{aa}o$ usurpandus est pro $Qo$, tertius cum signo mutato $\frac{bb}{a^3}o^2$ pro $Ro^2$, \& quartus cum signo etiam mutato $\frac{bb}{a^4}o^3$ pro $So^3$, eorum{\que} coefficientes $\frac{m}{n} - \frac{bb}{aa}$, $\frac{bb}{a^3}$ \& $\frac{bb}{a^4}$ scribend{\ae} sunt, % -----File: 276.png--- in Regula superiore, pro $Q$, $R$ \& $S$. Quo facto prodit medii densitas ut $\frac{\frac{bb}{a^4}}{\frac{bb}{a^3}\sqrt{1 - \frac{mm}{nn} - \frac{2mbb}{naa} + \frac{b^4}{a^4}}}$ seu $\frac{1}{\sqrt{aa + \frac{mm}{nn}aa - \frac{2mbb}{n} + \frac{b^4}{aa}}}$ est, si in $VZ$ sumatur $VY$ {\ae}qualis $VG$, ut $\frac{1}{XY}$. Nam{\que} $aa$ \& $\frac{mm}{nn}aa - \frac{2mbb}{n} + \frac{b^4}{aa}$ sunt ipsarum $XZ$ \& $ZY$ quadrata. Resistentia autem invenitur in ratione ad Gravitatem quam habet $XY$ ad $YG$, \& velocitas ea est quacum corpus in Parabola pergeret verticem $G$ diametrum $DG$ \& latus rectum $\frac{YX \opit{quad.}}{VG}$ habente. Ponatur ita{\que} quod Medii densitates in locis singulis $G$ sint reciproce ut distanti{\ae} $XY$, quod{\que} resistentia in loco aliquo $G$ sit ad gravitatem ut $XY$ ad $YG$; \& corpus de loco $A$ justa cum velocitate emissum describet Hyperbolam illam $AGK$. \QEIup \textit{Exempl.\fsp{}4.}\wsp{}Ponatur indefinite, quod linea $AGK$ Hyperbola sit, centro $X$ Asymptotis $MX$, $NX$, ea lege descripta, ut constructo rectangulo $XZDN$ cujus latus $ZD$ secet Hyperbolam in $G$ \& Asymptoton ejus in $V$, fuerit $VG$ reciproce ut ipsius $ZX$ vel $DN$ dignitas aliqua $ND^n$, cujus index est numerus $n$: \& qu{\ae}ratur Medii densitas, qua Projectile progrediatur in hac curva. Pro $DN$, $BD$, $NX$ scribantur $A$, $O$, $C$ respective, sit{\que} $VZ$ ad $ZX$ vel $DN$ ut $d$ ad $e$, \& $VG$ {\ae}qualis $\frac{bb}{DN^n}$, \& erit $DN$ {\ae}qualis $A - O$, $VG = \frac{bb}{A - O^n}$, $VZ = \frac{d}{e} \operatorname{in} A - O$, \& $GD$ seu $NX - VZ - VG$ {\ae}qualis $C - \frac{d}{e}A + \frac{d}{e}O - \frac{bb}{A - O^n}$. Resolvatur terminus ille $\frac{bb}{A - O^n}$ in seriam infinitam $\frac{bb}{A^n} + \frac{nbbO}{A^{n+1}} + \frac{nn + n}{2A^{n+2}} bbO^2 + \frac{n^3 + 3nn + 2n}{6A^{n+3}} bbO^3$ \&c.\ ac fiet $GD$ {\ae}qualis % -----File: 277.png--- $C - \frac{d}{e} A - \frac{bb}{A^n} + \frac{d}{e} O - \frac{nbb}{A^{n+1}} O - \frac{nn + n}{2A^{n+2}} bbO^2 - \frac{n^3 + 3nn + 2n}{6A^{n+3}} bbO^3$ \&c. Hujus seriei terminus secundus $\frac{d}{e}O - \frac{nbb}{A^{n+1}}O$ usurpandus est pro $Qo$, tertius $\frac{nn + n}{2A^{n+2}} bbO^2$ pro $Ro^2$, quartus $\frac{n^3 + 3nn + 2n}{6A^{n+3}} bbO^3$ pro $So^3$. Et inde Medii densitas $\frac{S}{R \times \surd \overline{1 + QQ}}$, in loco quovis $G$, fit $\frac{n + 2}{3\sqrt{A^2 + \frac{dd}{ee} A^2 - \frac{2dnbb}{eA^n} A + \frac{nnb^4}{A^{2n}}}}$, adeo{\que} si in $VZ$ capiatur $VY$ {\ae}qualis $n \times VG$, est reciproce ut $XY$. Sunt enim $A^2$ \& $\frac{dd}{ee} A^2 - \frac{2dnbb}{eA^n}$ in $A + \frac{nnb^4}{A^{2n}}$ ipsarum $XZ$ \& $ZY$ quadrata. Resistentia autem in eodem loco $G$ fit ad Gravitatem ut $S$ in $\frac{XY}{A}$ ad $2RR$, id est $XY$ ad $\frac{3nn + 3n}{n + 2} VG$. Et velocitas ibidem ea ipsa est quacum corpus projectum in Parabola pergeret, verticem $G$, diametrum $GD$ \& Latus rectum $\frac{1 + QQ}{R}$ seu $\frac{2XY \opit{quad.}} {\overline{nn + n} \operatorname{in} VG}$ habente. \QEIit \condpagelarge{\textit{Scholium.}} Quoniam motus non fit in Parabola nisi in Medio non resistente, in Hyperbolis vero hic descriptis fit per resistentiam perpetuam; perspicuum est quod linea, quam Projectile in Medio uniformiter resistente describit, propius accedit ad Hyperbolas hasce quam ad Parabolam. Est uti{\que} linea illa Hyperbolici generis, sed qu{\ae} circa verticem magis distat ab Asymptotis; in partibus a vertice remotioribus propius ad ipsas accedit quam pro ratione Hyperbolarum quas hic descripsi. Tanta vero non % -----File: 278.png--- est inter has \& illam differentia, quin illius loco possint h{\ae} in rebus practicis non incommode adhiberi. Et utiliores forsan futur{\ae} sunt h{\ae}, quam Hyperbola magis accurata \& simul magis composita. Ips{\ae} vero in usum sic deducentur. Compleatur parallelogrammum $XYGT$, \& ex natura harum Hyperbolarum facile colligitur quod recta $GT$ tangit Hyperbolam in $G$, ideo{\que} densitas Medii in $G$ est reciproce ut tangens $GT$, \& velocitas ibidem ut $\surd \frac{GTq.}{GV}$, resistentia autem ad vim gravitatis ut $GT$ ad $\frac{3nn + 3n}{n + 2} GV$. Proinde si corpus de loco $A$ secundum rectam $AH$ projectum describat Hyperbolam $AGK$, \& $AH$ producta occurrat Asymptoto $NX$ in $H$, acta{\que} $AI$ occurrat alteri Asymptoto $MX$ in $I$: erit Medii densitas in $A$ reciproce ut $AH$, \& corporis velocitas ut $\surd \frac{AHq.}{AI}$, ac resistentia ibidem ad Gravitatem ut $AH$ ad $\frac{3nn + 3n}{n + 2}$ in $AI$. Unde prodeunt sequentes Regul{\ae}. \textit{Reg.\fsp{}1.}\wsp{}Si servetur Medii densitas in $A$ \& mutetur angulus $NAH$, manebunt longitudines $AH$, $AI$, $HX$. Ideo{\que} si longitudines ill{\ae} in aliquo casu inveniantur, Hyperbola deinceps ex dato quovis angulo $NAH$ expedite determinari potest. \textit{Reg.\fsp{}2.}\wsp{}Si servetur tum angulus $NAH$ tum Medii densitas in $A$, \& mutetur velocitas quacum corpus projicitur; servabitur longitudo $AH$, \& mutabitur $AI$ in duplicata ratione velocitatis reciproce. \textit{Reg.\fsp{}3.}\wsp{}Si tam angulus $NAH$ quam corporis velocitas in $A$, gravitas{\que} acceleratrix servetur, \& proportio resistenti{\ae} in $A$ ad gravitatem motricem augeatur in ratione, quacunque: augebitur proportio $AH$ ad $AI$ eadem ratione, manente Parabol{\ae} latere recto, ei{\que} proportionali longitudine $\frac{AHq.}{AI}$; \& propterea minuetur $AH$ in eadem ratione, \& $AI$ minuetur in ratione illa duplicata. % -----File: 279.png--- Augetur vero proportio resistenti{\ae} ad pondus, ubi vel gravitas specifica sub {\ae}quali magnitudine fit minor, vel Medii densitas major, vel resistentia, ex magnitudine diminuta, diminuitur in minore ratione quam pondus. \textit{Reg.\fsp{}4.}\wsp{}Quoniam densitas Medii prope verticem Hyperbol{\ae} major est quam in loco $A$, ut servetur densitas mediocris, debet ratio minim{\ae} tangentium $GT$ ad Tangentem $AH$ inveniri, \& densitas in $A$, per Regulam tertiam, diminui in ratione paulo minore quam semisumm{\ae} Tangentium ad Tangentium $AH$. \textit{Reg.\fsp{}5.}\wsp{}Si dantur longitudines $AH$, $AI$, \& describenda sit figura $AGK$: produc $HN$ ad $X$, ut sit $HX$ {\ae}qualis facto sub $n$ + 1 \& $AI$; centro{\que} $X$ \& Asymptotis $MX$, $NX$ per punctum $A$ describatur Hyperbola, ea lege ut sit $AI$ ad quamvis $VG$ ut $XV^n$ ad $XI^n$. \textit{Reg.\fsp{}6.}\wsp{}Quo major est numerus $n$, eo magis accurat{\ae} sunt h{\ae} Hyperbol{\ae} in ascensu corporis ab $A$, \& minus accurat{\ae} in ejus descensu ad $G$; \& contra. Hyperbola Conica mediocrem rationem tenet, est{\que} c{\ae}teris simplicior. Igitur si Hyperbola sit hujus generis, \& punctum $K$, ubi corpus projectum incidet in rectam quamvis $AN$ per punctum $A$ transeuntem, qu{\ae}ratur: occurrat producta $AN$ Asymptotis $MX$, $NX$ in $M$ \& $N$, \& sumatur $NK$ ipsi $AM$ {\ae}qualis. \pngright{280.png}{809}{444}{-24} %Illustration \textit{Reg.\fsp{}7.}\wsp{}Et hinc liquet methodus expedita determinandi hanc Hyperbolam ex \label{wasp271}Ph{\ae}nomenis. Projiciantur corpora duo similia \& {\ae}qualia eadem velocitate, in angulis diversis $HAK$, \label{wasp271bis}$hAk$, incident{\que} in planum Horizontis in $K$ \& $k$; \& notetur proportio $AK$ ad $Ak$. Sit ea $d$ ad $e$. Tum erecto cujusvis longitudinis perpendiculo $AI$, assume utcun{\que} longitudinem $AH$ vel $Ah$, \& inde collige graphice longitudines $AK$, $Ak$, per Reg.\ 6. Si ratio $AK$ ad $Ak$ sit eadem cum ratione $d$ ad $e$, longitudo $AH$ recte assumpta fuit. Sin minus cape in recta infinita $SM$ longitudinem $SM$ {\ae}qualem assumpt{\ae} $AH$, \& erige perpendiculum $MN$ % -----File: 280.png--- {\ae}quale rationum differenti{\ae} $\frac{AK}{Ak} - \frac{d}{e}$ duct{\ae} in rectam quamvis datam. Simili methodo ex assumptis pluribus longitudinibus $AH$ invenienda sunt plura puncta $N$: \& tum demum si per omnia agatur Curva linea regularis $NNXN$, h{\ae}c abscindet $SX$ qu{\ae}sit{\ae} longitudini $AH$ {\ae}qualem. Ad usus Mechanicos sufficit longitudines $AH$, $AI$ easdem in angulis omnibus $HAK$ retinere. Sin figura ad inveniendam resistentiam Medij accuratius determinanda sit, corrigend{\ae} sunt semper h{\ae} longitudines per Regulam quartam. \newpage \pngright{275.png}{1724}{1718}{-12} %Illustration \textit{Reg.\fsp{}8.} Inventis longitudinibus $AH$, $HX$; si jam desideretur positio rect{\ae} $AH$, secundum quam Projectile data illa cum velocitate emissum incidit in punctum quodvis $K$: ad puncta $A$ \& $K$ erigantur rect{\ae} $AC$, $KF$ horizonti perpendiculares, quarum $AC$ deorsum \label{wasp272}tendat, \& {\ae}quetur ipsi $AI$ seu $\frac{1}{2}HX$. Asymptotis $AK$, $KF$ describatur Hyperbola, cujus Conjugata transeat per punctum $C$, centro{\que} $A$ \& intervallo $AH$ describatur Circulus secans Hyperbolam illam in % -----File: 281.png--- puncto $H$; \& projectile secundum rectam $AH$ emissum incidet in punctum $K$. \QEIit Nam punctum $H$, ob datam longitudinem $AH$, locatur alicubi in circulo descripto. Agatur $CH$ occurrens ipsis $AK$ \& $KF$, illi in $C$, huic in $F$, \& ob parallelas $CH$, $MX$ \& {\ae}quales $AC$, $AI$, erit $AE$ {\ae}qualis $AM$, \& propterea etiam {\ae}qualis $KN$. Sed $CE$ est ad $AE$ ut $FH$ ad $KN$, \& propterea $CE$ \& $FH$ {\ae}quantur. Incidit ergo punctum $H$ in Hyperbolam Asymptotis $AK$, $KF$ descriptam, cujus conjugata transit per punctum $C$, at{\que} adeo reperitur in communi intersectione Hyperbol{\ae} hujus \& circuli descripti. \QEDit Notandum est autem quod h{\ae}c operatio perinde se habet, sive recta $AKN$ horizonti parallela sit, sive ad horizontem in angulo quovis inclinata: quod{\que} ex duabus intersectionibus $H$, $H$ duo prodeunt anguli $NAH$, $NAH$, quorum minor eligendus est; \& quod in Praxi mechanica sufficit circulum semel describere, deinde regulam interminatam $CH$ ita applicare ad punctum $C$, ut ejus pars $FH$, circulo \& rect{\ae} $FK$ interjecta, {\ae}qualis sit ejus parti $CE$ inter punctum $C$ \& rectam $HK$ sit{\ae}. \pngright{281.png}{960}{1246}{-24} %Illustration Qu{\ae} de Hyperbolis dicta sunt facile applicantur ad Parabolas. Nam si $XAGK$ Parabolam designet quam recta $XV$ tangat in vertice $X$, sint{\que} ordinatim applicat{\ae} $IA$, $VG$ ut qu{\ae}libet abscissarum $XI$, $XV$ dignitates $XI^n$, $XV^n$; agantur $XT$, $TG$, $HA$, quarum $XT$ parallela sit $VG$, \& $TG$, $HA$ parabolam tangant in $G$ \& $A$: \& corpus de loco quovis $A$, secundum rectam $AH$ productam, justa cum velocitate projectum, describet hanc Parabolam, si modo densitas Medij, in locis singulis $G$, sit reciproce ut tangens $GT$. Velocitas autem in $G$ ea erit quacum Projectile pergeret, % -----File: 282.png--- in spatio non resistente, in Parabola Conica, verticem $G$, diametrum $VG$ deorsum productam, \& latus rectum $\surd \frac{2TGq.}{\overline{nn - n} XVG}$ habente. Et resistentia in $G$ erit ad vim Gravitatis ut $TG$ ad $\frac{3nn - 3n}{n - 2} VG$. Vnde si $NAK$ lineam horizontalem designet, \& manente tum densitate Medij in $A$, tum velocitate quacum corpus projicitur, mutetur utcun{\que} angulus $NAH$; manebunt longitudines $AH$, $AI$, $HX$, \& inde datur Parabol{\ae} vertex $X$, \& positio rect{\ae} $XI$, \& sumendo $VG$ ad $IA$ ut $XV^n$ ad $XI^n$, dantur omnia Parabol{\ae} puncta $G$, per qu{\ae} Projectile transibit. \sectpage{III.} \begin{center}{\textit{De motu corporum qu{\ae} resistuntur partim in ratione velocitatis, partim in ejusdem ratione duplicata.}}\end{center} \propnopage{Prop.\ XI\@. Theor.\ VIII.} \textit{Si corpus resistitur partim in ratione velocitatis, partim in velocitatis ratione duplicata, \& sola vi insita in Medio similari movetur, sumantur autem tempora in progressione Arithmetica: quantitates velocitatibus reciproce proportionales, data quadam quantitate auct{\ae}, erunt in progressione Geometrica.} \pngright{283.png}{1012}{1061}{-24} %Illustration Centro $C$, Asymptotis rectangulis $CADd$ \& $CH$ describatur Hyperbola $BEeS$, \& Asymptoto $CH$ parallel{\ae} sint $AB$, $DE$, $de$. In Asymptoto $CD$ dentur puncta $A$, $G$: Et si tempus exponatur per are\-am Hyperbolicam $ABED$ uniformiter crescentem; dico quod velocitas exponi potest per longitudinem $DF$, cujus reciproca $GD$ una cum data $CG$ componat longitudinem $CD$ in progressione Geometrica crescentem. % -----File: 283.png--- Sit enim areola $DEed$ datum temporis incrementum quam minimum, \& erit $Dd$ reciproce ut $DE$, adeoque directe ut $CD$. Ipsius autem $\frac{1}{GD}$ decrementum, quod (per hujus Lem.\ II.) est $\frac{Dd}{GDq.}$ erit ut $\frac{CD}{GDq.}$ seu $\frac{CG + GD}{GDq.}$, id est, ut $\frac{1}{GD} + \frac{CG}{GDq.}$. Igitur tempore $ABED$ per additionem datarum particularum $EDde$ uniformiter crescente, decrescit $\frac{1}{GD}$ in eadem ratione cum velocitate. Nam decrementum velocitatis est ut resistentia, hoc est (per Hypothesin) ut summa duarum quantitatum, quarum una est ut velocitas, altera ut quadratum velocitatis; \& ipsius $\frac{1}{GD}$ decrementum est ut summa quantitatum $\frac{1}{GD}$ \& $\frac{CG}{GDq.}$, quarum prior est ipsa $\frac{1}{GD}$, \& posterior $\frac{CG}{GDq.}$ est ut $\frac{1}{GDq.}$. Proinde $\frac{1}{GD}$, ob analogum decrementum, est ut velocitas. Et si quantitas $GD$ ipsi $\frac{1}{GD}$ reciproce proportionalis quantitate data $CG$ augeatur, summa $CD$, tempore $ABED$ uniformiter crescente, crescet in progressione Geometrica. \QEDit \textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Igitur si datis punctis $A$, $G$, exponatur tempus per aream Hyperbolicam $ABED$, exponi potest velocitas per ipsius $GD$ reciprocam $\frac{1}{GD}$. \textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Sumendo autem $GA$ ad $GD$ ut velocitatis reciproca sub initio, ad velocitatis reciprocam in fine temporis cujusvis % -----File: 284.png--- $ABED$, invenietur punctum $G$. Eo autem invento, velocitas ex dato quovis alio tempore inveniri potest. \condpagelarge{Prop.\ XII\@. Theor.\ IX.} \textit{Iisdem positis, dico quod si spatia descripta sumantur in progressione Arithmetica, velocitates data quadam quantitate auct{\ae} erunt in progressione Geometrica.} In Asymptoto $CD$ detur punctum $R$, \& erecto perpendiculo $RS$, quod occurrat Hyperbol{\ae} in $S$, exponatur descriptum spatium per aream Hyperbolicam $RSED$; \& velocitas erit ut longitudo $GD$, qu{\ae} cum data $CG$ componit longitudinem $CD$, in Progressione Geometrica decrescentem, interea dum spatium $RSED$ augetur in Arithmetica. Etenim ob datum spatii incrementum $EDde$, lineola $Dd$, qu{\ae} decrementum est ipsius $GD$, erit reciproce ut $ED$, adeo{\que} directe ut $CD$, hoc est ut summa ejusdem $GD$ \& longitudinis dat{\ae} $CG$. Sed velocitatis decrementum, tempore sibi reciproce proportionali, quo data spatii particula $DdeE$ describitur, est ut resistentia \& tempus conjunctim, id est directe ut summa duarum quantitatum, quarum una est velocitas, altera ut velocitatis quadratum, \& inverse ut velocitas; adeoque directe ut summa dearum quantitatum, quarum una datur, altera est ut velocitas. Igitur decrementum tam velocitatis quam line{\ae} $GD$, est ut quantitas data \& quantitas decrescens conjunctim, \& propter analoga decrementa, analog{\ae} semper erunt quantitates decrescentes: nimirum velocitas \& linea $GD$. \QEDit \textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Igitur si velocitas exponatur per longitudinem $GD$, spatium descriptum erit ut area Hyperbolica $DESR$. \textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Et si utcunque assumatur punctum $R$, invenietur punctum $G$, capiendo $GD$ ad $GR$ ut est velocitas sub initio ad velocitatem post spatium quodvis $ABED$ descriptum. Invento autem puncto $G$, datur spatium ex data velocitate, \& contra. % -----File: 285.png--- \textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Unde cum, per Prop.\ XI. detur velocitas ex dato tempore, \& per hanc Propositionem detur spatium ex data velocitate; dabitur spatium ex dato tempore: \& contra. \condpagelarge{Prop.\ XIII\@. Theor.\ X.} \pngright{285.png}{1203}{1412}{-24} %Illustration \textit{Posito quod corpus ab uniformi gravitate deorsum attractum recta ascendit vel descendit, \& resistitur partim in ratione velocitatis, partim in ejusdem ratione duplicata: dico quod si Circuli \& Hyperbol{\ae} diametris parallel{\ae} rect{\ae} per conjugatarum diametrorum terminos ducantur, \& velocitates sint ut segmenta qu{\ae}dam parallelarum a dato puncto ducta, Tempora erunt ut arearum Sectores, rectis a centro ad segmentorum terminos ductis abscissi: \& contra.} \textit{Cas.\fsp{}1.}\wsp{}Ponamus primo quod corpus ascendit, centroque $D$ \& semidiametro quovis $DB$ describatur circuli quadrans $BETF$, \& per semidiametri $DB$ terminum $B$ agatur infinita $BAP$, semidiametro $DF$ parallela. In ea detur punctum $A$, \& capiatur segmentum $AP$ velocitati proportionale. Et cum resistenti{\ae} pars aliqua sit ut velocitas \& pars altera ut velocitatis quadratum, fit resistentia tota in $P$ ut $AP \opit{quad.}$ + $2PAB$. Jungantur $DA$, $DP$ circulum secantes in $E$ ac $T$, \& exponatur gravitas per $DA$ quadratum, ita ut sit gravitas ad resistentiam in $P$ ut $DAq.$ ad $APq. + 2PAB$: \& tempus ascensus omnis futuri erit ut circuli sector $EDTE$. \pngright{286.png}{1519}{1396}{-24} %Illustration Agatur enim $DVQ$, abscindens \& velocitatis $AP$ momentum $PQ$, \& Sectoris $DET$ momentum $DTV$ dato temporis momento % -----File: 286.png--- respondens: \& velocitatis decrementum illud $PQ$ erit ut summa virium gravitatis $DBq.$ \& resistenti{\ae} $APq. + 2BAP$, id est (per \textit{Prop.\ 12.\ Lib.\ II.} Elem.)\ ut $DP \opit{quad.}$ Proinde area $DPQ$, ipsi $PQ$ proportionalis, est ut $DP \opit{quad.}$; \& area $DTV$, (qu{\ae} est ad aream $DPQ$ ut $DTq.$ ad $DPq.$) est ut datum $DTq$. Decrescit igitur area $EDT$ uniformiter ad modum temporis futuri, per subductionem datarum particularum $DTV$, \& propterea tempori ascensus futuri proportionalis est. \QEDit \textit{Cas.\fsp{}2.}\wsp{}Si velocitas in ascensu corporis exponatur per longitudinem $AP$ ut prius, \& resistentia ponatur esse ut $APq. + 2BAP$, \& si vis gravitatis minor sit quam qu{\ae} per $DAq.$ exponi possit; capiatur $BD$ ejus longitudinis, ut sit $ABq. - BDq.$ gravitati proportionale, sitque $DF$ ipsi $DB$ perpendicularis \& {\ae}qualis, \& per verticem $F$ describatur Hyperbola $FTVE$ cujus semidiametri conjugat{\ae} sint $DB$ \& $DF$, qu{\ae}{\que} secet $DA$ in $E$, \& $DP$, $DQ$ in $T$ \& $V$; \& erit tempus ascensus futuri ut Hyperbol{\ae} sector $TDE$. Nam velocitatis decrementum $PQ$, in data temporis particula factum, est ut summa resistenti{\ae} $APq. + 2ABP$ \& gravitatis $ABq. - BDq.$ id est ut $BPq. - BDq$. Est autem area $DTV$ ad aream $DPQ$ ut $DTq.$ ad $DPq.$ adeoque, si ad $DF$ demittatur perpendiculum $GT$, ut $GTq.$ seu $GDq. - DFq.$ ad $BDq.$ utque $GDq.$ ad $PBq.$ \& divisim ut $DFq.$ ad $BPq. - DBq$. Quare cum area $DPQ$ sit ut $PQ$, id est ut $BPq. - BDq.$ erit area $DTV$ ut datum $DFq$. Decrescit igitur area $EDT$ uniformiter % -----File: 287.png--- singulis temporis particulis {\ae}qualibus, per subductionem particularum totidem datarum $DTV$, \& propterea tempori proportionalis est. \QEDit \pngright{287.png}{1168}{1676}{-24} %Illustration \textit{Cas.\fsp{}3.}\wsp{}Sit $AP$ velocitas in descensu corporis, \& $APq. + 2ABP$ resistentia, \& $DBq. - ABq.$ vis gravitatis, existente angulo $DAB$ recto. Et si centro $D$, vertice principali $B$, describatur Hyperbola rectangula $BETV$ secans productas $DA$, $DP$ \& $DQ$ in $E$, $T$ \& $V$; erit Hyperbol{\ae} hujus sector $DET$ ut tempus descensus. Nam velocitatis incrementum $PQ$, ei{\que} proportionalis area $DPQ$, est ut excessus gravitatis supra resistentiam, id est, ut $DBq. - ABq. - 2ABP - APq.$ seu $DBq. - BPq$. Et area $DTV$ est ad aream $DPQ$ ut $DTq.$ ad $DPq.$ adeo{\que} ut $GTq.$ seu $GDq. - BDq.$ ad $BPq.$ utque $GDq.$ ad $BDq.$ \& divisim ut $BDq.$ ad $BDq. - BPq$. Quare cum area $DPQ$ sit ut $BDq. - BPq.$ erit area $DTV$ ut datum $BDq$. Crescit igitur area $EDT$ uniformiter singulis temporis particulis {\ae}qualibus, per additionem totidem datarum particularum $DTV$, \& propterea tempori descensus proportionalis est. \QEDit \textit{Corol.}\wsp{}Igitur velocitas $AP$ est ad velocitatem quam corpus tempore $EDT$, in spatio non resistente, ascendendo amittere vel descendendo acquirere posset, ut area trianguli $DAP$ ad aream sectoris centro $D$, radio $DA$, angulo $ADT$ descripti; ideoque ex dato tempore datur. Nam velocitas in Medio non resistente, tempori atque adeo Sectori huic proportionalis est; in Medio resistente est ut triangulum; \& in Medio utro{\que} ubi quam minima est, accedit ad rationem {\ae}qualitatis, pro more Sectoris \& Trianguli. % -----File: 288.png--- \condpagelarge{Prop.\ XIV\@. Prob.\ IV.} \textit{Iisdem positis, dico quod spatium ascensu vel descensu descriptum, est ut summa vel differentia are{\ae} per quam tempus exponitur, \& are{\ae} cujusdam alterius qu{\ae} augetur vel diminuitur in progressione Arithmetica; si vires ex resistentia \& gravitate composit{\ae} sumantur in progressione Geometrica.} Capiatur $AC$ (\textit{in Fig.\ tribus ultimis,}) gravitati, \& $AK$ resistenti{\ae} proportionalis. Capiantur autem ad easdem partes puncti $A$ si corpus ascendit, aliter ad contrarias. Erigatur $Ab$ qu{\ae} sit ad $DB$ ut $DBq.$ ad $4BAC$: \& area $AbNK$ augebitur vel diminuetur in progressione Arithmetica, dum vires $CK$ in progressione Geometrica sumuntur. Dico igitur quod distantia corporis ab ejus altitudine maxima sit ut excessus are{\ae} $AbNK$ supra aream $DET$. Nam cum $AK$ sit ut resistentia, id est ut $APq. + 2BAP$; assumatur data qu{\ae}vis quantitas $Z$, \& ponatur $AK$ {\ae}qualis $\frac{APq. + 2BAP}{Z}$; \& (per hujus Lem.\ II.) erit ipsius $AK$ momentum $KL$ {\ae}quale $\frac{2APQ + 2BA \times PB}{Z}$ seu $\frac{2BPQ}{Z}$, \& are{\ae} $AbNK$ momentum $KLON$ {\ae}quale $\frac{2BPQ \times LO}{Z}$ seu $\frac{BPQ \times BD \opit{cub.}}{2Z \times CK \times AB}$. \textit{Cas.\fsp{}1.}\wsp{}Jam si corpus ascendit, sitque gravitas ut $ABq.$ + $BDq.$ existente $BET$ circulo, (\textit{in Fig.\ Cas.\ 1.\ Prop.\ XIII.}) linea $AC$, qu{\ae} gravitati proportionalis est, erit $\frac{ABq. + BDq.}{Z}$ \& $DPq.$ seu $APq. + 2BAP + ABq. + BDq.$ erit $AK \times Z + AC \times Z$ seu $CK \times Z$; ideoque area $DTV$ erit ad aream $DPQ$ ut $DTq.$ vel $DBq.$ ad $CK \times Z$. % -----File: 289.png--- \textit{Cas.\fsp{}2.}\wsp{}Sin corpus ascendit, \& gravitas sit ut $ABq. - BDq.$ linea $AC$ (\textit{Fig.\ Cas.\ 2.\ Prop.\ XIII.}) erit $\frac{ABq. - BDq.}{Z}$, \& $DTq.$ erit ad $DPq.$ ut $DFq.$ seu $DBq.$ ad $BPq. - BDq.$ seu $APq.$ + $2BAP + ABq. - BDq.$ id est ad $AK \times Z + AC \times Z$ seu $CK \times Z$. Ideoque area $DTV$ erit ad aream $DPQ$ ut $DBq.$ ad $CK \times Z$. \textit{Cas.\fsp{}3.}\wsp{}Et eodem argumento, si corpus descendit, \& propterea gravitas sit ut $BDq. - ABq.$ \& linea $AC$ (\textit{Fig.\ Cas.\ 3.\ Prop.\ pr{\ae}ced.})\ {\ae}quetur $\frac{BDq. - ABq.}{Z}$ erit area $DTV$ ad aream $DPQ$ ut $DBq.$ ad $CK \times Z$: ut supra. Cum igitur are{\ae} ill{\ae} semper sint in hac ratione; si pro area $DTV$, qua momentum temporis sibimet ipsi semper {\ae}quale exponitur, scribatur determinatum quodvis rectangulum, puta $BD \times m$, erit area $DPQ$, id est, $\frac{1}{2}BD \times PQ$; ad $BD \times m$ ut $CK$ in $Z$ ad $BDq$. At{\que} inde fit $PQ$ in $BD \opit{cub.}$ {\ae}quale $2BD \times m \times CK \times Z$, \& are{\ae} $AbNK$ momentum $KLON$ superius inventum, fit $\frac{BP \times BD \times m}{AB}$. Auferatur are{\ae} $DET$ momentum $DTV$ seu $BD \times m$, \& restabit $\frac{AP \times BD \times m}{AB}$. Est igitur differentia momentorum, id est, momentum differenti{\ae} arearum, {\ae}qualis $\frac{AP \times BD \times m}{AB}$; \& propterea (ob datum $\frac{BD \times m}{AB}$) ut velocitas $AP$, id est ut momentum spatii quod corpus ascendendo vel descendendo describit. Ideoque differentia arearum \& spatium illud proportionalibus momentis crescentia vel decrescentia, \& simul incipientia vel simul evanescentia, sunt proportionalia. \QEDit \textit{Corol.}\wsp{}Igitur si longitudo aliqua $V$ sumatur in ea ratione ad arcum $ET$, quam habet linea $DA$ ad lineam $DE$; spatium quod corpus ascensu vel descensu toto in Medio resistente describit, erit ad spatium quod in Medio non resistente eodem tempore % -----File: 290.png--- describere posset, ut arearum illarum differentia ad $\frac{BD \times V^2}{4AB}$, ideoque ex dato tempore datur. Nam spatium in Medio non resistente est in duplicata ratione temporis, sive ut $V^2$, \& ob datas $BD$ \& $AB$, ut $\frac{BD \times V^2}{4AB}$. Tempus autem est ut $DET$ seu $\frac{1}{2}BD \times ET$, \& harum arearum momenta sunt ut $\frac{BD \times V}{2AB}$ ductum in momentum ipsius $V$ \& $\frac{1}{2}BD$ ductum in momentum ipsius $ET$, id est, ut $\frac{BD \times V}{2AB}$ in $\frac{DAq. \times 2m}{DEq.}$ \& $\frac{1}{2}BD \times 2m$, sive ut $\frac{BD \times V \times DAq. \times m}{AB \times DEq.}$ \& $BD \times m$. Et propterea momentum are{\ae} $V^2$ est ad momentum differenti{\ae} arearum $DET$ \& $AKNb$, ut $\frac{BD \times V \times DA \times m}{AB \times DE}$ ad $\frac{AP \times BD \times m}{AB}$ sive ut $\frac{V \times DA}{DE}$ ad $AP$; adeoque, ubi $V$ \& $AP$ quam minim{\ae} sunt, in ratione {\ae}qualitatis. {\AE}qualis igitur est area quam minima $\frac{BD \times V^2}{4AB}$ differenti{\ae} quam minim{\ae} arearum $DET$ \& $AKNb$. Unde cum spatia in Medio utroque, in principio descensus vel fine ascensus simul descripta accedunt ad {\ae}qualitatem, adeoque tunc sunt ad invicem ut area $\frac{BD \times V^2}{4AB}$ \& arearum $DET$ \& $AKNb$ differentia; ob eorum analoga incrementa necesse est ut in {\ae}qualibus quibuscunque temporibus sint ad invicem ut area illa $\frac{BD \times V^2}{4AB}$ \& arearum $DET$ \& $AKNb$ differentia. \QEDit % -----File: 291.png--- \sectpage{IV.} \begin{center}{\textit{De Corporum circulari Motu in Mediis resistentibus.}}\end{center} \condpagelarge{LEM. III.} \textit{Sit $PQRr$ Spiralis qu{\ae} secet radios omnes $SP$, $SQ$, $SR$, \&c.\ in {\ae}qualibus angulis. Agatur recta $PT$ qu{\ae} tangat eandem in puncto quovis $P$, secetque radium $SQ$ in $T$; \& ad Spiralem erectis perpendiculis $PO$, $QO$ concurrentibus in $O$, jungatur $SO$. Dico quod si puncta $P$ \& $Q$ accedant ad invicem \& coeant, angulus $PSO$ evadet rectus, \& ultima ratio rectanguli $TQ \times PS$ ad $PQ\opit{quad.}$ erit ratio {\ae}qualitatis.} \pngright{292.png}{1222}{1162}{-24} %Illustration Etenim de angulis rectis $OPQ$, $OQR$ subducantur anguli {\ae}quales $SPQ$, $SQR$, \& manebunt anguli {\ae}quales $OPS$, $OQS$. Ergo circulus qui transit per puncta $O$, $S$, $P$ transibit etiam per punctum $Q$. Coeant puncta $P$ \& $Q$, \& hic circulus in loco coitus $PQ$ tanget Spiralem, adeoque perpendiculariter secabit rectam $OP$. Fiet igitur $OP$ diameter circuli hujus, \& angulus $OSP$ in semicirculo rectus. \QEDit Ad $OP$ demittantur perpendicula $QD$, $SE$, \& linearum rationes ultim{\ae} erunt hujusmodi: $TQ$ ad $PD$ ut $TS$ vel $PS$ ad $PE$, seu $PO$ ad $PS$. Item $PD$ ad $PQ$ ut $PQ$ ad $PO$. Et ex {\ae}quo perturbate $TQ$ ad $PQ$ ut $PQ$ ad $PS$. Unde fit $PQq.$ {\ae}qualis $TQ \times PS$. \QEDit % -----File: 292.png--- \condpagelarge{Prop.\ XV\@. Theor.\ XI.} \textit{Si Medii densitas in locis singulis sit reciproce ut distantia locorum a centro immobili, sitque vis centripeta in duplicata ratione densitatis: dico quod corpus gyrari potest in Spirali, qu{\ae} radios omnes a centro illo ductos intersecat in angulo dato.} Ponantur qu{\ae} in superiore Lemmate, \& producatur $SQ$ ad $V$, ut sit $SV$ {\ae}qualis $SP$. Temporibus {\ae}qualibus describat corpus arcus quam minimos $PQ$ \& $QR$, sintque are{\ae} $PSQ$, $QSr$ {\ae}quales. Et quoniam vis centripeta, qua corpus urgetur in P est reciproce ut $SPq.$ \& (per Lem.\ X. Lib.\ I.) lineola $TQ$, qu{\ae} vi illa generatur, est in ratione composita ex ratione hujus vis \& ratione duplicata temporis quo arcus $PQ$ describitur, (Nam resistentiam in hoc casu, ut infinite minorem quam vis centripeta negligo) erit $TQ \times SPq.$ id est (per Lemma novissimum) $PQq. \times SP$, in ratione duplicata temporis, adeoque tempus est ut $PQ\times\surd SP$,\spreadout{\& corporis velocitas qua arcus $PQ$ illo tempore describitur ut} \pngright{292.png}{1222}{1162}{-12} %Illustration \noindent $\frac{PQ}{PQ \times \surd SP}$ seu $\frac{1}{\surd SP}$, hoc est in dimidiata ratione ipsius $SP$ reciproce. Et simili argumento velocitas, qua arcus $QR$ describitur, est in dimidiata ratione ipsius $SQ$ reciproce. Sunt autem arcus illi $PQ$ \& $QR$ ut velocitates descriptrices ad invicem, id est in dimidiata ratione $SQ$ ad $SP$, sive ut $SQ$ ad $\surd SP \times \surd SQ$; \& ob {\ae}quales angulos $SPQ$, $SQr$ \& {\ae}quales areas $PSQ$, $QSr$, est arcus % -----File: 293.png--- $PQ$ ad arcum $Qr$ ut $SQ$ ad $SP$. Sumantur proportionalium consequentium differenti{\ae}, \& fiet arcus $PQ$ ad arcum $Rr$ ut $SQ$ ad $SP - SP^{\frac{1}{2}} \times SQ^{\frac{1}{2}}$, seu $\frac{1}{2}VQ$; nam punctis $P$ \& $Q$ coeuntibus, ratio ultima $SP - SP^{\frac{1}{2}} \times SQ^{\frac{1}{2}}$ ad $\frac{1}{2}VQ$ fit {\ae}qualitatis. In Medio non resistente are{\ae} {\ae}quales $PSQ$, $QSr$ (Theor.\ I. Lib.\ I.) temporibus {\ae}qualibus describi deberent. Ex resistentia oritur arearum differentia $RSr$, \& propterea resistentia est ut lineol{\ae} $Qr$ decrementum $Rr$ collatum cum quadrato temporis quo generatur. Nam lineola $Rr$ (per Lem.\ X. Lib.\ I.) est in duplicata ratione temporis. Est igitur resistentia ut $\frac{Rr}{PQq. \times SP}$. Erat autem $PQ$ ad $Rr$ ut $SQ$ ad $\frac{1}{2}VQ$, \& inde $\frac{Rr}{PQq. \times SP}$ fit ut $\frac{\frac{1}{2}VQ}{PQ \times SP \times SQ}$ sive ut $\frac{\frac{1}{2}OS}{OP \times SPq.}$. Namque punctis $P$ \& $Q$ coeuntibus, $SP$ \& $SQ$ coincidunt; \& ob similia triangula $PVQ$, $PSO$, fit $PQ$ ad $\frac{1}{2}VQ$ ut $OP$ ad $\frac{1}{2}OS$. Est igitur $\frac{OS}{OP \times SPq.}$ ut resistentia, id est in ratione densitatis Medii in $P$ \& ratione duplicata velocitatis conjunctim. Auferatur duplicata ratio velocitatis, nempe ratio $\frac{1}{SP}$, \& manebit Medii densitas in $P$ ut $\frac{OS}{OP \times SP}$. Detur Spiralis, \& ob datam rationem $OS$ ad $OP$, densitas Medii in $P$ erit ut $\frac{1}{SP}$. In Medio igitur cujus densitas est reciproce ut distantia a centro $SP$, corpus gyrari potest in hac Spirali. \QEDit \textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Velocitas in loco quovis $P$ ea semper est quacum corpus in Medio non resistente gyrari potest in circulo, ad eandem a centro distantiam $SP$. \textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Medii densitas, si datur distantia $SP$, est ut $\frac{OS}{OP}$, % -----File: 294.png--- sin distantia illa non datur, ut $\frac{OS}{OP \times SP}$. Et inde Spiralis ad quamlibet Medii densitatem aptari potest. \textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Vis resistenti{\ae} in loco quovis $P$, est ad vim centripetam in eodem loco ut $\frac{1}{2}OS$ ad $OP$. Nam vires ill{\ae} sunt ut line{\ae} $Rr$ \& $TQ$ seu ut $\frac{\frac{1}{2}VQ \times PQ}{SQ}$ \& $\frac{PQq.}{SP}$ quas simul generant, hoc est, ut $\frac{1}{2}VQ$ \& $PQ$, seu $\frac{1}{2}OS$ \& $OP$. Data igitur Spirali datur proportio resistenti{\ae} ad vim centripetam, \& viceversa ex data illa proportione datur Spiralis. \textit{Corol.\fsp{}4.}\wsp{}Corpus itaque gyrari nequit in hac spirali, nisi ubi vis resistenti{\ae} minor est quam dimidium vis centripet{\ae}. Fiat resistentia {\ae}qualis dimidio vis centripet{\ae} \& Spiralis conveniet cum linea recta $PS$, inque hac recta corpus descendet ad centrum, dimidia semper cum velocitate qua probavimus in superioribus in casu Parabol{\ae} (Theor.\ X. Lib.\ I.) descensum in Medio non resistente fieri. Unde tempora descensus hic erunt dupla majora temporibus illis atque adeo dantur. \textit{Corol.\fsp{}5.}\wsp{}Et quoniam in {\ae}qualibus a centro distantiis velocitas eadem est in Spirali $PQR$ atque in recta $SP$, \& longitudo Spiralis ad longitudinem rect{\ae} $PS$ est in data ratione, nempe in ratione $OP$ ad $OS$; tempus descensus in Spirali erit ad tempus descensus in recta $SP$ in eadem illa data ratione, proindeque datur. \textit{Corol.\fsp{}6.}\wsp{}Si centro $S$ intervallis duobus describantur duo circuli; numerus revolutionum quas corpus intra circulorum circumferentias complere potest, est ut $\frac{PS}{OS}$, sive ut Tangens anguli quem Spiralis continet cum radio $PS$; tempus vero revolutionum earundem ut $\frac{OP}{OS}$, id est reciproce ut Medii densitas. \pngright{295.png}{1511}{1579}{-24} %Illustration \textit{Corol.\fsp{}7.}\wsp{}Si corpus, in Medio cujus densitas est reciproce ut distantia locorum a centro, revolutionem in Curva quacunque $AEB$ % -----File: 295.png--- circa centrum illud fecerit, \& Radium primum $AS$ in eodem angulo secuerit in $B$ quo prius in $A$, idque cum velocitate qu{\ae} fuerit ad velocitatem suam primam in $A$ reciproce in dimidiata ratione distantiarum a centro (id est ut $BS$ ad mediam proportionalem inter $AS$ \& $CS$:) corpus illud perget innumeras consimiles revolutiones $BFC$, $CGD$, \&c.\ facere, \& intersectionibus distinguet Radium $AS$ in partes $AS$, $BS$, $CS$, $DS$ \&c.\ continue proportionales. Revolutionum vero tempora erunt ut Perimetri orbitarum $AEB$, $BFC$, $CGD$ \&c.\ directe, \& velocitates in principiis $A$, $B$, $C$, inverse; id est ut $AS^{\frac{1}{2}}$, $BS^{\frac{1}{2}}$, $CS^{\frac{1}{2}}$. At{\que} tempus totum, quo corpus perveniet ad centrum, erit ad tempus revolutionis prim{\ae}, ut summa omnium continue proportionalium $AS^{\frac{1}{2}}$, $BS^{\frac{1}{2}}$, $CS^{\frac{1}{2}}$ pergentium in infinitum, ad terminum primum $AS^{\frac{1}{2}}$; id est ut terminus ille primus $AS^{\frac{1}{2}}$ ad differentiam duorum primorum $AS^{\frac{1}{2}} - BS^{\frac{1}{2}}$, \& quam proxime ut $\frac{2}{3}AS$ ad $AB$. Unde tempus illud totum expedite invenitur. \textit{Corol.\fsp{}8.}\wsp{}Ex his etiam pr{\ae}terpropter colligere licet motus corporum in Mediis, quorum densitas aut uniformis est, aut aliam quamcunque legem assignatam observat. Centro $S$ intervallis continue proportionalibus $SA$, $SB$, $SC$ \&c.\ describe circulos % -----File: 296.png--- quotcunque, \& statue numerum revolutionum inter perimetros duorum quorumvis ex his circulis, in Medio de quo egimus, esse ad numerum revolutionum inter eosdem in Medio proposito, ut Medii propositi densitas mediocris inter hos circulos ad Medii, de quo egimus, densitatem mediocrem inter eosdem quam proxime; Sed \& in eadem quo{\que} ratione esse Tangentem anguli quo Spiralis pr{\ae}finita, in Medio de quo egimus, secat radium $AS$, ad tangentem anguli quo Spiralis nova secat radium eundem in Medio proposito: At{\que} etiam ut sunt eorundem angulorum secantes ita esse tempora revolutionum omnium inter circulos eosdem duos quam proxime. Si h{\ae}c fiant passim inter circulos binos, continuabitur motus per circulos omnes. Atque hoc pacto haud difficulter imaginari possimus quibus modis ac temporibus corpora in Medio quocunque regulari gyrari debebunt. \textit{Corol.\fsp{}9.}\wsp{}Et quamvis motus excentrici in Spiralibus ad formam Ovalium accedentibus peragantur; tamen concipiendo Spiralium illarum singulas revolutiones eisdem ab invicem intervallis distare, iisdemque gradibus ad centrum accedere cum Spirali superius descripta, intelligemus etiam quomodo motus corporum in hujusmodi Spiralibus peragantur. \condpagelarge{Prop.\ XVI\@. Theor.\ XII.} \textit{Si Medii densitas in locis singulis sit reciproce ut dignitas aliqua distanti{\ae} locorum a centro, sitque vis centripeta reciproce ut distantia in dignitatem illam ducta: dico quod corpus gyrari potest in Spirali, qu{\ae} radios omnes a centro illo ductos intersecat in angulo dato.} Demonstratur eadem methodo cum Propositione superiore. Nam si vis centripeta in $P$ sit reciproce ut distanti{\ae} $SP$ dignitas qu{\ae}libet $SP^{n + 1}$ cujus index est $n$ + 1; colligetur ut supra, quod tempus quo corpus describit arcum quemvis $PQ$ erit ut $PQ \times SP^{\frac{1}{2}n}$ % -----File: 297.png--- \& resistentia in $P$ ut $\frac{Rr}{PQq. \times SP^n}$ sive ut $\frac{\frac{1}{2}nVQ}{PQ \times SP^n \times SQ}$, adeoque ut $\frac{\frac{1}{2}OS}{OP \times SP^{n + 1}}$. Et propterea densitas in $P$ est reciproce ut $SP^n$. \condpagelarge{\textit{Scholium.}} C{\ae}terum h{\ae}c Propositio \& superiores, qu{\ae} ad Media in{\ae}qualiter densa spectant, intelligend{\ae} sunt de motu corporum adeo parvorum, ut Medii ex uno corporis latere major densitas quam ex altero non consideranda veniat. Resistentiam quoque c{\ae}teris paribus densitati proportionalem esse suppono. Unde in Mediis quorum vis resistendi non est ut densitas, debet densitas eo usque augeri vel diminui, ut resistenti{\ae} vel tollatur excessus vel defectus suppleatur. \condpagelarge{Prop.\ XVII\@. Prob.\ V.} \textit{Invenire \& vim centripetam \& Medii resistentiam qua corpus in data Spirali data lege revolvi potest.} Vide \textit{Fig.\ Prop.\ XV.} Sit spiralis illa $PQR$. Ex velocitate qua corpus percurrit arcum quam minimum $PQ$ dabitur tempus, \& ex altitudine $TQ$, qu{\ae} est ut vis centripeta \& quadratum temporis dabitur vis. Deinde ex arearum, {\ae}qualibus temporum particulis confectarum $PSQ$ \& $QSR$, differentia $RSr$, dabitur corporis retardatio, \& ex retardatione invenietur resistentia ac densitas Medii. \condpagelarge{Prop.\ XVIII\@. Prob.\ VI.} \textit{Data lege vis centripet{\ae}, invenire Medii densitatem in locis singulis, qua corpus datam Spiralem describet.} Ex vi centripeta invenienda est velocitas in locis singulis, deinde ex velocitatis retardatione qu{\ae}renda Medii densitas: ut in Propositione superiore. % -----File: 298.png--- Methodum vero tractandi h{\ae}c Problemata aperui in hujus Propositione decima, \& Lemmate secundo; \& Lectorem in hujusmodi perplexis disquisitionibus diutius detenere nolo. Addenda jam sunt aliqua de viribus corporum ad progrediendum, deque densitate \& resistentia Mediorum, in quibus motus hactenus expositi \& his affines peraguntur. \sectpage{V.} \begin{center}{\textit{De Densitate \& compressione Fluidorum, deque Hydrostatica.}}\end{center} \condpagelarge{Definitio Fluidi.} Fluidum est corpus omne cujus partes cedunt vi cuicunque illat{\ae}, \& cedendo facile movetur inter se. \propnopage{Prop.\ XIX\@. Theor.\ XIII.} \textit{Fluidi homogenei \& immoti, quod in vase quocunque immoto clauditur \& undique comprimitur, partes omnes (seposita Condensationis, gravitatis \& virium omnium centripetarum consideratione) {\ae}qualiter premuntur undique, \& absque omni motu a pressione illa orto permanent in locis suis.} \pngright{299.png}{756}{888}{-24} %Illustration \textit{Cas.\fsp{}1.}\wsp{}In vase sph{\ae}rico $ABC$ claudatur \& uniformiter comprimatur fluidum undique: dico quod ejusdem pars nulla ex illa pressione movebitur. Nam si pars aliqua $D$ moveatur, necesse est ut omnes ejusmodi partes, ad eandem a centro distantiam undique consistentes, simili motu simul moveantur; at{\que} hoc adeo quia similis \& {\ae}qualis est omnium pressio, \& motus omnis exclusus supponitur, nisi qui a pressione illa oriatur. Atqui non possunt omnes ad centrum propius accedere, nisi fluidum ad centrum condensetur; contra Hypothesin. Non possunt longius ab eo recedere % -----File: 299.png--- nisi fluidum ad circumferentiam condensetur; etiam contra Hypothesin. Non possunt servata sua a centro distantia moveri in plagam quamcun{\que} quia pari ratione movebuntur in plagam contrariam; in plagas autem contrarias non potest pars eadem eodem tempore moveri. Ergo fluidi pars nulla de loco suo movebitur. \QEDit \textit{Cas.\fsp{}2.}\wsp{}Dico jam quod fluidi hujus partes omnes sph{\ae}ric{\ae} {\ae}qualiter premuntur undique: sit enim $EF$ pars sph{\ae}rica fluidi, \& si h{\ae}c undi{\que} non premitur {\ae}qualiter, augeatur pressio minor, us{\que} dum ipsa undi{\que} prematur {\ae}qualiter; \& partes ejus, per casum primum, permanebunt in locis suis. Sed ante auctam pressionem permanebunt in locis suis, per casum eundum primum, \& additione pressionis nov{\ae} movebuntur de locis suis, per definitionem Fluidi. Qu{\ae} duo repugnant. Ergo falso dicebatur quod Sph{\ae}ra $EF$ non undique premebatur {\ae}qualiter. \QEDit \textit{Cas.\fsp{}3.}\wsp{}Dico pr{\ae}terea quod diversarum partium sph{\ae}ricarum {\ae}qualis sit pressio. Nam partes sph{\ae}ric{\ae} contigu{\ae} se mutuo premunt {\ae}qualiter in puncto contactus, per motus Legem III\@. Sed \& per Casum secundum, undi{\que} premuntur eadem vi. Partes igitur du{\ae} qu{\ae}vis sph{\ae}ric{\ae} non contigu{\ae}, quia pars sph{\ae}rica intermedia tangere potest utramque, prementur eadem vi. \QEDit \textit{Cas.\fsp{}4.}\wsp{}Dico jam quod fluidi partes omnes ubi{\que} premuntur {\ae}qualiter. Nam partes du{\ae} qu{\ae}vis tangi possunt a partibus Sph{\ae}ricis in punctis quibuscunque, \& ibi partes illas Sph{\ae}ricas {\ae}qualiter premunt, per Casum 3.\ \& vicissim ab illis {\ae}qualiter premuntur, per Motus Legem Tertiam. \QEDit \textit{Cas.\fsp{}5.}\wsp{}Cum igitur fluidi pars qu{\ae}libet $GHI$ in fluido reliquo tanquam in vase claudatur, \& undique prematur {\ae}qualiter, partes autem ejus se mutuo {\ae}qualiter premant \& quiescant inter se; manifestum est quod Fluidi cujuscunque $GHI$, quod undique % -----File: 300.png--- premitur {\ae}qualiter, partes omnes se mutuo premunt {\ae}qualiter, \& quiescunt inter se. \QEDit \textit{Cas.\fsp{}6.}\wsp{}Igitur si Fluidum illud in vase non rigido claudatur, \& undique non prematur {\ae}qualiter, cedet idem pressioni fortiori, per Definitionem Fluiditatis. \textit{Cas.\fsp{}7.}\wsp{}Ideoque in vase rigido Fluidum non sustinebit pressionem fortiorem ex uno latere quam ex alio, sed eidem cedet, id{\que} in momento temporis, quia latus vasis rigidum non persequitur liquorem cedentem. Cedendo autem urgebit latus oppositum, \& sic pressio undique ad {\ae}qualitatem verget. Et quoniam Fluidum, quam primum a parte magis pressa recedere conatur, inhibetur per resistentiam vasis ad latus oppositum; reducetur pressio undique ad {\ae}qualitatem in momento temporis absque motu locali; \& subinde, partes fluidi, per Casum quintum, se mutuo prement {\ae}qualiter, \& quiescent inter se. \QEDit \textit{Corol.}\wsp{}Unde nec motus partium fluidi inter se, per pressionem fluido ubivis in externa superficie illatam, mutari possunt nisi, quatenus aut figura superficiei alicubi mutatur, aut omnes fluidi partes intensius vel remissius sese premendo difficilius vel facilius labuntur inter se. \condpagelarge{Prop.\ XX\@. Theor.\ XIV.} \textit{Si Fluidi Sph{\ae}rici, \& in {\ae}qualibus a centro distantiis homogenei, fundo sph{\ae}rico concentrico incumbentis partes singul{\ae} versus centrum totius gravitent; sustinet fundum pondus Cylindri, cujus basis {\ae}qualis est superficiei fundi, \& altitudo eadem qu{\ae} Fluidi incumbentis.} \pngright{301.png}{765}{951}{-24} %Illustration Sit $DHM$ superficies fundi, \& $AEI$ superficies superior fluidi. Superficiebus sph{\ae}ricis innumeris $BFK$, $CGL$ distinguatur fluidum in Orbes concentricos {\ae}qualiter crassos; \& concipe vim gravitatis agere solummodo in superficiem superiorem Orbis cujusque, \& {\ae}quales esse actiones in {\ae}quales partes superficierum omnium. Premitur ergo superficies suprema $AE$ vi simplici gravitatis propri{\ae}, qua \& omnes Orbis supremi partes \& superficies % -----File: 301.png--- secunda $BFK$ (per Prop.\ XIX.) premuntur. Premitur pr{\ae}terea superficies secunda $BFK$ vi propri{\ae} gravitatis, qu{\ae} addita vi priori facit pressionem duplam. Hac pressione \& insuper vi propri{\ae} gravitatis, id est pressione tripla, urgetur superficies tertia $CGL$. Et similiter pressione quadrupla urgetur superficies quarta, quintupla quinta \& sic deinceps. Pressio igitur qua superficies unaqu{\ae}que urgetur, non est ut quantitas solida fluidi incumbentis, sed ut numerus Orbium ad usque summitatem fluidi; \& {\ae}quatur gravitati Orbis infimi multiplicat{\ae} per numerum Orbium: hoc est gravitati solidi cujus ultima ratio ad Cylindrum pr{\ae}finitum, (si modo Orbium augeatur numerus \& minuatur crassitudo in infinitum, sic ut actio gravitatis a superficie infima ad supremam continua reddatur) fiet ratio {\ae}qualitatis. Sustinet ergo superficies infima pondus cylindri pr{\ae}finiti. \QEDit Et simili argumentatione patet Propositio, ubi gravitas decrescit in ratione quavis assignata distanti{\ae} a centro, ut \& ubi Fluidum sursum rarius est, deorsum densius. \QEDit \textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Igitur fundum non urgetur a toto fluidi incumbentis pondere, sed eam solummodo ponderis partem sustinet qu{\ae} in Propositione describitur; pondere reliquo a fluidi figura fornicata sustentato. \textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}In {\ae}qualibus autem a centro distantiis eadem semper est pressionis quantitas, sive superficies pressa sit Horizonti parallela vel perpendicularis vel obliqua; sive fluidum a superficie pressa sursum continuatum surgat perpendiculariter secundum lineam rectam, vel serpit oblique per tortas cavitates \& canales, easque regulares vel maxime irregulares, amplas vel angustissimas. Hisce circumstantiis pressionem nil mutari colligitur, applicando demonstrationem Theorematis hujus ad Casus singulos Fluidorum. % -----File: 302.png--- \textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Eadem Demonstratione colligitur etiam (per Prop.\ XIX.) quod fluidi gravis partes nullum, ex pressione ponderis incumbentis, acquirunt motum inter se, si modo excludatur motus qui ex condensatione oriatur. \textit{Corol.\fsp{}4.}\wsp{}Et propterea si aliud ejusdem gravitatis specific{\ae} corpus, quod sit condensationis expers, submergatur in hoc fluido, id ex pressione ponderis incumbentis nullum acquiret motum: non descendet, non ascendet, non cogetur figuram suam mutare. Si Sph{\ae}ricum est manebit sph{\ae}ricum, non obstante pressione; si quadratum est manebit quadratum: id{\que} sive molle sit, sive fluidissimum; sive fluido libere innatet, sive fundo incumbat. Habet enim fluidi pars qu{\ae}libet interna rationem corporis submersi, \& par est ratio omnium ejusdem \label{wasp294}magnitudinis, figur{\ae} \& gravitatis specific{\ae} submersorum corporum. Si corpus submersum servato pondere liquesceret \& indueret formam fluidi; hoc, si prius ascenderet vel descenderet vel ex pressione figuram novam indueret, etiam nunc ascenderet vel descenderet vel figuram novam induere cogeretur: id adeo quia gravitas ejus c{\ae}ter{\ae}que motuum caus{\ae} permanent. Atqui, per Cas.\ 5.\ Prop.\ XIX. jam quiesceret \& figuram retineret. Ergo \& prius. \textit{Corol.\fsp{}5.}\wsp{}Proinde corpus quod specifice gravius est quam Fluidum sibi contiguum subsidebit, \& quod specifice levius est ascendet, motumque \& figur{\ae} mutationem consequetur, quantum excessus ille vel defectus gravitatis efficere possit. Namque excessus ille vel defectus rationem habet impulsus, quo corpus, alias in {\ae}quilibrio cum fluidi partibus constitutum, urgetur; \& comparari potest cum excessu vel defectu ponderis in lance alterutra libr{\ae}. \textit{Corol.\fsp{}6.}\wsp{}Corporum igitur in fluidis constitutorum duplex est Gravitas: altera vera \& absoluta, altera apparens, vulgaris \& comparativa. Gravitas absoluta est vis tota qua corpus deorsum tendit: relativa \& vulgaris est excessus gravitatis quo corpus magis tendit deorsum quam fluidum ambiens. Prioris generis Gravitate partes fluidorum \& corporum omnium gravitant in locis % -----File: 303.png--- suis: ideoque conjunctis ponderibus componunt pondus totius. Nam totum omne grave est, ut in vasis liquorum plenis experiri licet; \& pondus totius {\ae}quale est ponderibus omnium partium, ideoque ex iisdem componitur. Alterius generis gravitate corpora non gravitant in locis suis, id est inter se collata non pr{\ae}gravant, sed mutuos ad descendendum conatus impedientia permanent in locis suis, perinde ac si gravia non essent. Qu{\ae} in Aere sunt \& non pr{\ae}gravant, Vulgus gravia non judicat. Qu{\ae} pr{\ae}gravant vulgus gravia judicat, quatenus ab Aeris pondere non sustinentur. Pondera vulgi nihil aliud sunt quam excessus verorum ponderum supra pondus Aeris. Unde \& vulgo dicuntur levia, qu{\ae} sunt minus gravia, Aerique pr{\ae}gravanti cedendo superiora petunt. Comparative levia sunt non vere, quia descendunt in vacuo. Sic \& in Aqua, corpora, qu{\ae} ob majorem vel minorem gravitatem descendunt vel ascendunt, sunt comparative \& apparenter gravia vel levia, \& eorum gravitas vel levitas comparativa \& apparens est excessus vel defectus quo vera eorum gravitas vel superat gravitatem aqu{\ae} vel ab ea superatur. Qu{\ae} vero nec pr{\ae}gravando descendunt, nec pr{\ae}gravanti cedendo ascendunt, etiamsi veris suis ponderibus adaugeant pondus totius, comparative tamen \& in sensu vulgi non gravitant in aqua. Nam similis est horum Casuum Demonstratio. \textit{Corol.\fsp{}7.}\wsp{}Qu{\ae} de gravitate demonstrantur, obtinent in aliis quibuscunque viribus centripetis. \textit{Corol.\fsp{}8.}\wsp{}Proinde si Medium, in quo corpus aliquod movetur, urgeatur vel a gravitate propria, vel ab alia quacun{\que} vi centripeta, \& corpus ab eadem vi urgeatur fortius: differentia virium est vis illa motrix, quam in pr{\ae}cedentibus Propositionibus ut vim centripetam consideravimus. Sin corpus a vi illa urgeatur levius, differentia virium pro vi centrifuga haberi debet. \textit{Corol.\fsp{}9.}\wsp{}Cum autem fluida premendo corpora inclusa non mutent eorum Figuras externas, patet insuper, per Corollaria Prop.\ XIX. quod non mutabunt situm partium internarum inter se: proindeque, si Animalia immergantur, \& sensatio omnis a motu % -----File: 304.png--- partium oriatur; nec l{\ae}dent corporibus immersis, nec sensationem ullam excitabunt, nisi quatenus h{\ae}c corpora a compressione ne condensari possunt. Et par est ratio cujuscunque corporum Systematis fluido comprimente circundati. Systematis partes omnes iisdem agitabuntur motibus, ac si in vacuo constituerentur, ac solam retinerent gravitatem suam comparativam, nisi quatenus fluidum vel motibus earum nonnihil resistat, vel ad easdem compressione conglutinandas requiratur. \condpagelarge{Prop.\ XXI\@. Theor.\ XV.} \textit{Sit Fluidi cujusdam densitas compressioni proportionalis, \& partes ejus a vi centripeta distantiis suis a centro reciproce proportionali deorsum trahantur: dico quod si distanti{\ae} ill{\ae} sumantur continue proportionales, densitates fluidi in iisdem distantiis erunt etiam continue proportionales.} Designet $ATV$ fundum Sph{\ae}ricum cui fluidum incumbit, $S$ centrum, $SA$, $SB$, $SC$, $SD$, $SE$, \&c.\ distantias continue proportionales. Erigantur perpendicula $AH$, $BI$, $CK$, $DL$, $EM$, \&c.\ qu{\ae} sint ut densitates Medii in locis $A$, $B$, $C$, $D$, $E$; \& specific{\ae} gravitates in iisdem locis erunt ut $\frac{AH}{AS}$, $\frac{BI}{BS}$, $\frac{CK}{CS}$, \&c.\ vel, quod\spreadout{perinde est, ut $\frac{AH}{AB}$, $\frac{BI}{BC}$, $\frac{CK}{CD}$ \&c. Finge primum has gravitates uniform-} \pngright{304.png}{639}{1084}{-12} %Illustration \noindent iter continuari ab $A$ ad $B$, a $B$ ad $C$, a $C$ ad $D$ \&c.\ factis per gradus decrementis in punctis $B$, $C$, $D$ \&c. Et h{\ae} gravitates duct{\ae} in altitudines $AB$, $BC$, $CD$ \&c.\ conficient pressiones $AH$, $BI$, $CK$, quibus fundum $ATV$ (juxta Theorema XIV.) urgetur. Sustinet ergo particula $A$ pressiones omnes $AH$, $BI$, $CK$, $DL$, pergendo in infinitum; \& particula $B$ pressiones omnes pr{\ae}ter primam $AH$; \& particula $C$ omnes pr{\ae}ter duas primas $AH$, $BI$; \& sic deinceps: % -----File: 305.png--- adeoque particul{\ae} prim{\ae} $A$ densitas $AH$ est ad particul{\ae} secund{\ae} $B$ densitatem $BI$ ut summa omnium $AH + BI + CK + DL$, in infinitum, ad summam omnium $BI + CK + DL$, \&c. Et $BI$ densitas secund{\ae} $B$, est ad $CK$ densitatem terti{\ae} $C$, ut summa omnium $BI + CK + DL$, \&c.\ ad summam omnium $CK + DL$, \&c. Sunt igitur summ{\ae} ill{\ae} differentiis suis $AH$, $BI$, $CK$, \&c.\ proportionales, atque adeo continue proportionales per hujus Lem.\ I. proinde{\que} differenti{\ae} $AH$, $BI$, $CK$, \&c.\ summis proportionales, sunt etiam continue proportionales. Quare cum densitates in locis $A$, $B$, $C$ sint ut $AH$, $BI$, $CK$, \&c.\ erunt etiam h{\ae} continue proportionales. Pergatur per saltum, \& (ex {\ae}quo) in distantiis $SA$, $SC$, $SE$ continue proportionalibus, erunt densitates $AH$, $CK$, $EM$ continue proportionales. Et eodem argumento in distantiis quibusvis continue proportionalibus $SA$, $SD$, $SQ$ densitates $AH$, $DL$, \label{wasp297}$QT$ erunt continue proportionales. Coeant jam puncta $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, \&c.\ eo ut progressio gravitatum specificarum a fundo $A$ ad summitatem Fluidi continua reddatur, \& in distantiis quibusvis continue proportionalibus $SA$, $SD$, $SQ$, densitates $AH$, $DL$, $QT$, semper existentes continue proportionales, manebunt etiamnum continue proportionales. \QEDit \pngright{305.png}{1183}{1248}{-24} %Illustration \textit{Corol.}\wsp{}Hinc si detur densitas Fluidi in duobus locis, puta $A$ \& $E$, colligi potest ejus densitas in alio quovis loco $Q$. Centro $S$, Asymptotis rectangulis $SQ$, $SX$ describatur Hyperbola secans perpendicula $AH$, $EM$, $QT$ in $a$, $e$, $q$, ut \& perpendicula $HX$, $MY$, $TZ$ ad asymptoton $SX$ demissa in $h$, $m$, \& $t$. Fiat area $ZYmtZ$ ad aream datam $YmhX$ ut area data $EeqQ$ ad aream datam $EeaA$; \& linea $Zt$ producta abscindet lineam $QT$ densitati proportionalem. Namque si line{\ae} $SA$, $SE$, $SQ$ sunt continue proportionales, erunt % -----File: 306.png--- are{\ae} $EeqQ$, $EeaA$ {\ae}quales, \& inde are{\ae} his proportionales $YmtZ$, $XhmY$ etiam {\ae}quales \& line{\ae} $SX$, $SY$, $SZ$ id est $AH$, $EM$, $QT$ continue proportionales, ut oportet. Et si line{\ae} $SA$, $SE$, $SQ$ obtinent alium quemvis ordinem in serie continue proportionalium, line{\ae} $AH$, $EM$, $QT$, ob proportionales areas Hyperbolicas, obtinebunt eundem ordinem in alia serie quantitatum continue proportionalium. \condpagelarge{Prop.\ XXII\@. Theor.\ XVI.} \textit{Sit Fluidi cujusdam densitas compressioni proportionalis, \& partes ejus a gravitate quadratis distantiarum suarum a centro reciproce proportionali deorsum trahantur: dico quod si distanti{\ae} sumantur in progressione Musica, densitates Fluidi in his distantiis erunt in progressione Geometrica.} \pngright{306.png}{1810}{1364}{-24} %Illustration Designet $S$ centrum, \& $SA$, $SB$, $SC$, $SD$, $SE$ distantias in Progressione Geometrica. Erigantur perpendicula $AH$, $BI$, $CK$, \&c.\ qu{\ae} sint ut Fluidi densitates in locis $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, \&c.\ \& ipsius gravitates specific{\ae} in iisdem locis erunt $\frac{AH}{SAq.}$, $\frac{BI}{SBq.}$, $\frac{CK}{SCq.}$, \&c. Finge has gravitates uniformiter continuari, primam ab $A$ ad $B$, secundam a $B$ ad $C$, tertiam a $C$ ad $D$, \&c. Et h{\ae} duct{\ae} in altitudines $AB$, $BC$, $CD$, $DE$, \&c.\ vel, quod perinde est, in distantias $SA$, $SB$, $SC$, \&c.\ altitudinibus illis proportionales, conficient % -----File: 307.png--- exponentes pressionum $\frac{AH}{SA}$, $\frac{BI}{SB}$, $\frac{CK}{SC}$, \&c. Quare cum densitates sint ut harum pressionum summ{\ae}, differenti{\ae} densitatum $AH - BI$, $BI - CK$, \&c.\ erunt ut summarum differenti{\ae} $\frac{AH}{SA}$, $\frac{BI}{SB}$, $\frac{CK}{SC}$, \&c. Centro $S$ Asymptotis $SA$, $SX$ describatur Hyperbola qu{\ae}vis, qu{\ae} secet perpendicula $AH$, $BI$, $CK$, \&c.\ in $a$, $b$, $c$; ut \& perpendicula ad Asymptoton $SX$ demissa $Ht$, $Iu$, $Kw$ in $h$, $i$, $k$; \& densitatum differenti{\ae} $tu$, $uw$, \&c.\ erunt ut $\frac{AH}{SA}$, $\frac{BI}{SB}$, \&c. Et rectangula $tu \times th$, $uw \times ui$, \&c.\ seu $tp$, $uq$, \&c.\ ut $\frac{AH \times th}{SA}$ ut $\frac{BI \times ui}{SB}$, \&c.\ id est ut $Aa$, $Bb$ \&c. Est enim ex natura Hyperbol{\ae} $SA$ ad $AH$ vel $St$, ut $th$ ad $Aa$, adeoque $\frac{AH \times th}{SA}$ {\ae}quale $Aa$. Et simili argumento est $\frac{BI \times ui}{SB}$ {\ae}qualis $Bb$, \&c. Sunt autem $Aa$, $Bb$, $Cc$, \&c.\ continue proportionales, \& propterea differentiis suis $Aa - Bb$, $Bb - Cc$, \&c.\ proportionales; ideoque differentiis hisce proportionalia sunt rectangula $tp$, $uq$, \&c.\ ut \& summis differentiarum $Aa - Cc$ vel $Aa - Dd$ summ{\ae} rectangulorum $tp + uq$, vel $tp + uq + wr$. Sunto ejusmodi termini quam plurimi, \& summa omnium differentiarum, puta $Aa - Ff$, erit summ{\ae} omnium rectangulorum, puta $zthn$, proportionalis. Augeatur numerus terminorum \& minuantur distanti{\ae} punctorum $A$, $B$, $C$, \&c.\ in infinitum, \& rectangula illa evadent {\ae}qualia are{\ae} Hyperbolic{\ae} $zthn$, adeoque huic are{\ae} proportionalis est differentia $Aa - Ff$. Sumantur jam distanti{\ae} qu{\ae}libet, puta $SA$, $SD$, $SF$ in Progressione Musica, \& differenti{\ae} $Aa - Dd$, $Dd - Ff$ erunt {\ae}quales; \& propterea differentiis hisce proportionales are{\ae} $thlx$, $xlnz$ {\ae}quales erunt inter se, \& densitates $St$, $Sx$, $Sz$, id est $AH$, $DL$, $FN$, continue proportionales. \QEDit % -----File: 308.png--- \textit{Corol.}\wsp{}Hinc si dentur Fluidi densitates du{\ae} qu{\ae}vis, puta $AH$ \& $CK$, dabitur area $thkw$ harum differenti{\ae} $tw$ respondens; \& inde invenietur densitas $FN$ in altitudine quacunque $SF$, sumendo aream $thnz$ ad aream illam datam $thkw$ ut est differentia $Aa - Ff$ ad differentiam $Aa - Cc$. \condpagelarge{\textit{Scholium.}} Simili argumentatione probari potest, quod si gravitas particularum Fluidi diminuatur in triplicata ratione distantiarum a centro; \& quadratorum distantiarum $SA$, $SB$, $SC$, \&c.\ reciproca (nempe $\frac{SA \opit{cub.}}{SAq.}$, $\frac{SA \opit{cub.}}{SBq.}$, $\frac{SA \opit{cub.}}{SCq.}$) sumantur in progressione Arithmetica; densitates $AH$, $BI$, $CK$, \&c.\ erunt in progressione Geometrica. Et si gravitas diminuatur in quadruplicata ratione distantiarum, \& cuborum distantiarum reciproca (puta $\frac{SA \opit{qq.}}{SA \opit{cub.}}$, $\frac{SA \opit{qq.}}{SB \opit{cub.}}$, $\frac{SA \opit{qq.}}{SC \opit{cub.}}$) sumantur in progressione Arithmetica; densitates $AH$, $BI$, $CK$, \&c.\ erunt in progressione Geometrica. Et sic in infinitum. Rursus si gravitas particularum Fluidi in omnibus distantiis eadem sit, \& distanti{\ae} sint in progressione Arithmetica, densitates erunt in progressione Geometrica, uti Vir Cl.\ \textit{Edmundus Halleius} invenit. Si gravitas sit ut distantia, \& quadrata distantiarum sint in progressione Arithmetica, densitates erunt in progressione Geometrica. Et sic in infinitum. H{\ae}c ita se habent ubi Fluidi compressione condensati densitas est ut vis compressionis, vel, quod perinde est, spatium a Fluido occupatum reciproce ut h{\ae}c vis. Fingi possunt ali{\ae} condensationis leges, ut quod cubus vis comprimentis sit ut quadrato-quadratum densitatis, seu triplicata ratio Vis {\ae}qualis quadruplicat{\ae} rationi densitatis. Quo in casu, si gravitas est reciproce ut quadratum distanti{\ae} a centro, densitas erit reciproce ut cubus distanti{\ae}. Fingatur quod cubus vis comprimentis sit ut quadrato-cubus densitatis, \& si gravitas est reciproce ut quadratum distanti{\ae}, densitas erit reciproce in % -----File: 309.png--- sesquiplicata ratione distanti{\ae}. Fingatur quod vis comprimens sit in duplicata ratione densitatis, \& gravitas reciproce in ratione duplicata distanti{\ae}, \& densitas erit reciproce ut distantia. Casus omnes percurrere longum esset. \condpagelarge{Prop.\ XXIII\@. Theor.\ XVII.} \textit{Particul{\ae} viribus qu{\ae} sunt reciproce proportionales distantiis centrorum suorum se mutuo fugientes componunt Fluidum Elasticum, cujus densitas est compressioni proportionalis. Et vice versa, si Fluidi ex particulis se mutuo fugientibus compositi densitas sit ut compressio, vires centrifug{\ae} particularum sunt reciproce proportionales distantiis centrorum.} \pngright{309.png}{1169}{783}{-24} %Illustration Includi intelligatur Fluidum in spatio cubico $ACE$, dein compressione redigi in spatium cubicum minus $ace$; \& particularum similem situm inter se in utroque spatio obtinentium distanti{\ae} erunt ut cuborum latera $AB$, $ab$; \& Medii densitates reciproce ut spatia continentia $AB \opit{cub.}$ \& $ab \opit{cub.}$ In latere cubi majoris $ABCD$ capiatur quadratum $DP$ {\ae}quale lateri cubi minoris $db$; \& ex Hypothesi, pressio qua quadratum $DP$ urget Fluidum inclusum, erit ad pressionem qua latus illud quadratum $db$ urget Fluidum inclusum, ut Medii densitates ad invicem, hoc est $ab \opit{cub.}$ ad $AB \opit{cub.}$ Sed pressio qua quadratum $DB$ urget Fluidum inclusum, est ad pressionem qua quadratum $DP$ urget idem Fluidum, ut quadratum $DB$ ad quadratum $DP$, hoc est ut $AB \opit{quad.}$ ad $ab \opit{quad.}$ Ergo ex {\ae}quo pressio qua latus $DB$ urget Fluidum, est ad pressionem qua latus $db$ urget Fluidum, ut $ab$ ad $AB$. Planis $FGH$, $fgh$ per media cuborum ductis distinguatur Fluidum in duas partes, \& h{\ae} se mutuo prement iisdem % -----File: 310.png--- viribus, quibus premuntur a planis $AC$, $ac$, hoc est in proportione $ab$ ad $AB$: adeoque vires centrifug{\ae}, quibus h{\ae} pressiones sustinentur, sunt in eadem ratione. Ob eundem particularum numerum similem{\que} situm in utroque cubo, vires quas particul{\ae} omnes secundum plana $FGH$, $fgh$ exercent in omnes, sunt ut vires quas singul{\ae} exercent in singulas. Ergo vires, quas singul{\ae} exercent in singulas secundum planum $FGH$ in cubo majore, sunt ad vires quas singul{\ae} exercent in singulas secundum planum $fgh$ in cubo minore ut $ab$ ad $AB$, hoc est reciproce ut distanti{\ae} particularum ad invicem. \QEDit Et vice versa, si vires particularum singularum sunt reciproce ut distanti{\ae}, id est reciproce ut cuborum latera $AB$, $ab$; summ{\ae} virium erunt in eadem ratione, \& pressiones laterum $DB$, $db$ ut summ{\ae} virium; \& pressio quadrati $DP$ ad pressionem lateris $DB$ ut $ab \opit{quad.}$ ad $AB \opit{quad.}$ Et ex {\ae}quo pressio quadrati $DP$ ad pressionem lateris $db$ ut $ab \opit{cub.}$ ad $AB \opit{cub.}$ id est vis compressionis ad vim compressionis ut densitas ad densitatem. \QEDit \condpagelarge{\textit{Scholium.}} Simili argumento si particularum vires centrifug{\ae} sint reciproce in duplicata ratione distantiarum inter centra, cubi virium comprimentium erunt ut quadrato-quadrata densitatum. Si vires centrifug{\ae} sint reciproce in triplicata vel quadruplicata ratione distantiarum, cubi virium comprimentium erunt ut quadrato-cubi vel cubo-cubi densitatum. Et universaliter, si $D$ ponatur pro distantia, \& $E$ pro densitate Fluidi compressi, \& vires centrifug{\ae} sint reciproce ut distanti{\ae} dignitas qu{\ae}libet $Dn$, cujus index est numerus $n$; vires comprimentes erunt ut latera cubica Dignitatis $E^{n + 2}$, cujus index est numerus $n$ + 2; \& contra. Intelligenda vero sunt h{\ae}c omnia de particularum Viribus centrifugis qu{\ae} terminantur in particulis proximis, aut non longe ultra diffunduntur. Exemplum habemus in corporibus Magneticis. Horum % -----File: 311.png--- Virtus attractiva terminatur fere in sui generis corporibus sibi proximis. Magnetis virtus per interpositam laminam ferri contrahitur, \& in lamina fere terminatur. Nam corpora ulteriora non tam a Magnete quam a lamina trahuntur. Ad eundem modum si particul{\ae} fugant alias sui generis particulas sibi proximas, in particulas autem remotiores virtutem nullam nisi forte per particulas intermedias virtute illa auctas exerceant, ex hujusmodi particulis componentur Fluida de quibus actum est in hac propositione. Quod si particul{\ae} cujus{\que} virtus in infinitum propagetur, opus erit vi majori ad {\ae}qualem condensationem majoris quantitatis Fluidi. Ut si particula unaqu{\ae}{\que} vi sua, qu{\ae} sit reciproce ut distantia locorum a centro suo, fugat alias omnes particulas in infinitum; Vires quibus Fluidum in vasis similibus {\ae}qualiter comprimi \& condensari possit, erunt ut quadrata diametrorum vasorum: ideoque vis, qua Fluidum in eodem vase comprimitur, erit reciproce ut latus cubicum quadrato-cubi densitatis. An vero Fluida Elastica ex particulis se mutuo fugantibus constent, Qu{\ae}stio Physica est. Nos proprietatem Fluidorum ex ejusmodi particulis constantium Mathematice demonstravimus, ut Philosophis ansam pr{\ae}beamus Qu{\ae}stionem illam tractandi. \sectpage{VI.} \begin{center}{\textit{De Motu \& resistentia Corporum Funependulorum.}}\end{center} \propnopage{Prop.\ XXIV\@. Theor.\ XVIII.} \textit{Quantitates materi{\ae} in corporibus funependulis, quorum centra oscillationum a centro suspensionis {\ae}qualiter distant, sunt in ratione composita ex ratione ponderum \& ratione duplicata temporum oscillationum in vacuo.} Nam velocitas, quam data vis in data materia dato tempore generare potest, est ut vis \& tempus directe, \& materia inverse. % -----File: 312.png--- Quo major est vis vel majus tempus vel minor materia, eo major generabitur velocitas. Id quod per motus Legem secundam manifestum est. Jam vero si pendula ejusdem sint longitudinis, vires motrices in locis a perpendiculo {\ae}qualiter distantibus sunt ut pondera: ideoque si corpora duo oscillando describant arcus {\ae}quales, \& arcus illi dividantur in partes {\ae}quales; cum tempora quibus corpora describant singulas arcuum partes correspondentes sint ut tempora oscillationum totarum, erunt velocitates ad invicem in correspondentibus oscillationum partibus, ut vires motrices \& tota oscillationum tempora directe \& quantitates materi{\ae} reciproce: adeoque quantitates materi{\ae} ut vires \& oscillationum tempora directe \& velocitates reciproce. Sed velocitates reciproce sunt ut tempora, atque adeo tempora directe \& velocitates reciproce sunt ut quadrata temporum, \& propterea quantitates materi{\ae} sunt ut vires motrices \& quadrata temporum, id est ut pondera \& quadrata temporum. \QEDit \textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Ideoque si tempora sunt {\ae}qualia, quantitates materi{\ae} in singulis corporibus erunt ut pondera. \textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Si pondera sunt {\ae}qualia, quantitates materi{\ae} erunt ut quadrata temporum. \textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Si\spreadout{quantitates materi{\ae} {\ae}quantur, pondera erunt reciproce ut} \\ quadrata temporum. \textit{Corol.\fsp{}4.}\wsp{}Unde cum quadrata temporum c{\ae}teris paribus sint ut longitudines pendulorum; si \& tempora \& quantitates materi{\ae} {\ae}qualia sunt, pondera erunt ut longitudines pendulorum. \textit{Corol.\fsp{}5.}\wsp{}Et\spreadout{universaliter, quantitas materi{\ae} pendul{\ae} est ut pondus \&} \\ quadratum temporis directe, \& longitudo penduli inverse. \textit{Corol.\fsp{}6.}\wsp{}Sed \& in Medio non resistente quantitas Materi{\ae} pendul{\ae} est ut pondus comparativum \& quadratum temporis directe \& longitudo penduli inverse. Nam pondus comparativum est vis motrix corporis in Medio quovis gravi, ut supra explicui; adeoque idem pr{\ae}stat in tali Medio non resistente atque pondus absolutum in vacuo. % -----File: 313.png--- \textit{Corol.\fsp{}7.}\wsp{}Et hinc liquet ratio tum comparandi corpora inter se, quoad quantitatem materi{\ae} in singulis, tum comparandi pondera ejusdem corporis in diversis locis, ad cognoscendam variationem gravitatis. Factis autem experimentis quam accuratissimis inveni semper quantitatem materi{\ae} in corporibus singulis eorum ponderi proportionalem esse. \condpagelarge{Prop.\ XXV\@. Theor.\ XIX.} \textit{Corpora Funependula qu{\ae} in Medio quovis resistuntur in ratione momentorum temporis, qu{\ae}que in ejusdem gravitatis specific{\ae} Medio non resistente moventur, oscillationes in Cycloide eodem tempore peragunt, \& arcuum partes proportionales simul describunt.} \pngright{313.png}{1429}{1082}{-24} %Illustration Sit $AB$ Cycloidis arcus, quem corpus $D$ tempore quovis in Medio non resistente oscillando describit. Bisecetur idem in $C$, ita ut $C$ sit infimum ejus punctum; \& erit vis acceleratrix qua corpus urgetur in loco quovis $D$ vel $d$ vel $E$ ut longitudo arcus $CD$ vel $Cd$ vel $CE$. Exponatur vis illa per eundem arcum; \& cum resistentia sit ut momentum temporis, adeoque detur, exponatur eadem per datam arcus Cycloidis partem $CO$, \& sumatur arcus $Od$ in ratione ad arcum $CD$ quam habet arcus $OB$ ad arcum $CB$: \& vis qua corpus in $d$ urgetur in Medio resistente, cum sit excessus vis $Cd$ supra resistentiam $CO$, exponetur per arcum $Od$, adeoque erit ad vim qua corpus $D$ urgetur in Medio non resistente, in loco $D$, ut arcus $Od$ ad arcum $CD$; \& propterea etiam in loco $B$ ut arcus $OB$ ad arcum $CB$. Proinde si corpora duo, $D$, $d$ exeant de loco % -----File: 314.png--- $B$ \& his viribus urgeantur: cum vires sub initio sint ut arcus $CB$ \& $OB$, erunt velocitates prim{\ae} \& arcus primo descripti in eadem ratione. Sunto arcus illi $BD$ \& $Bd$, \& arcus reliqui $CD$, $Od$ erunt in eadem ratione. Proinde vires ipsis $CD$, $Od$ proportionales manebunt in eadem ratione ac sub initio, \& propterea corpora pergent arcus in eadem ratione simul describere. Igitur vires \& velocitates \& arcus reliqui $CD$, $Od$ semper erunt ut arcus toti $CD$, $OB$, \& propterea arcus illi reliqui simul describentur. Quare corpora duo $D$, $d$ simul pervenient ad loca $C$ \& $O$, alterum quidem in Medio non resistente ad locum $C$, \& alterum in Medio resistente ad locum $O$. Cum autem velocitates in $C$ \& $O$ sint ut arcus $CB$ \& $OB$; erunt arcus quos corpora ulterius pergendo simul describunt, in eadem ratione. Sunto illi $CE$ \& $Oe$. Vis qua corpus $D$ in Medio non resistente retardatur in $E$ est ut $CE$, \& vis qua corpus $d$ in Medio resistente retardatur in $e$ est ut summa vis $Ce$ \& resistenti{\ae} $CO$, id est ut $Oe$; ideoque vires, quibus corpora retardantur, sunt ut arcubus $CE$, $Oe$ proportionales arcus $CB$, $OB$; proindeque velocitates in data illa ratione retardat{\ae} manent in eadem illa data ratione. Velocitates igitur \& arcus iisdem descripti semper sunt ad invicem in data illa ratione arcuum $CB$ \& $OB$; \& propterea si sumantur arcus toti $AB$, $aB$ in eadem ratione, corpora $D$, $d$ simul describent hos arcus, \& in locis $A$ \& $a$ motum omnem simul amittent. Isochron{\ae} sunt igitur oscillationes tot{\ae}, \& arcubus totis $BA$, $BE$ proportionales sunt arcuum partes qu{\ae}libet $BD$, $Bd$ vel $BE$, $Be$ qu{\ae} simul describuntur. \QEDit \textit{Corol.}\wsp{}Igitur motus velocissimus in Medio resistente non incidit in punctum infimum $C$, sed reperitur in puncto illo $O$, quo arcus totus descriptus $aB$ bisecatur. Et corpus subinde pergendo ad $a$, iisdem gradibus retardatur quibus antea \label{wasp306}accelerabatur in descensu suo a $B$ ad $O$. % -----File: 315.png--- \condpagelarge{Prop.\ XXVI\@. Theor.\ XX.} \textit{Corporum Funependulorum, qu{\ae} resistuntur in ratione velocitatum, oscillationes in Cycloide sunt Isochron{\ae}.} Nam si corpora duo a centris suspensionum {\ae}qualiter distantia, oscillando describant arcus in{\ae}quales, \& velocitates in arcuum partibus correspondentibus sint ad invicem ut arcus toti; resistenti{\ae} velocitatibus proportionales erunt etiam ad invicem ut iidem arcus. Proinde si viribus motricibus a gravitate oriundis, qu{\ae} sint ut iidem arcus auferantur, conferantur vel addantur h{\ae} resistenti{\ae}, erunt differenti{\ae} vel summ{\ae} ad invicem in eadem arcuum ratione: cumque velocitatum incrementa vel decrementa sint ut h{\ae} differenti{\ae} vel summ{\ae}, velocitates semper erunt ut arcus toti: Igitur velocitates, si sint in aliquo casu ut arcus toti, manebunt semper in eadem ratione. Sed in principio motus, ubi corpora incipiunt descendere \& arcus illos describere, vires, cum sint arcubus proportionales, generabunt velocitates arcubus proportionales. Ergo velocitates semper erunt ut arcus toti describendi, \& propterea arcus illi simul describentur. \QEDit \condpagelarge{Prop.\ XXVII\@. Theor.\ XXI.} \textit{Si corpora Funependula resistuntur in duplicata ratione velocitatum, differenti{\ae} inter tempora oscillationum in Medio resistente ac tempora oscillationum in ejusdem gravitatis specific{\ae} Medio non resistente, erunt arcubus oscillando descriptis proportionales, quam proxime.} Nam pendulis {\ae}qualibus in Medio resistente describantur arcus in{\ae}quales $A$, $B$; resistentia corporis in arcu $A$, erit ad resistentiam corporis in parte correspondente arcus $B$, in duplicata ratione velocitatum, id est ut $A \opit{quad.}$ ad $B \opit{quad.}$ quamproxime. Si resistentia in arcu $B$ esset ad resistentiam in arcu $A$ ut rectangulum $AB$ ad $A \opit{quad.}$ tempora in arcubus $A$ \& $B$ forent {\ae}qualia % -----File: 316.png--- per Propositionem superiorem. Ideoque resistentia $A \opit{quad.}$ in arcu $A$, vel $AB$ in arcu $B$, efficit excessum temporis in arcu $A$ supra tempus in Medio non resistente; \& resistentia $BB$ efficit excessum temporis in arcu $B$ supra tempus in Medio non resistente. Sunt autem excessus illi ut vires efficientes $AB$ \& $BB$ quam proxime, id est ut arcus $A$ \& $B$. \QEDit \textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Hinc ex oscillationum temporibus, in Medio resistente in arcubus in{\ae}qualibus factarum, cognosci possunt tempora oscillationum in ejusdem gravitatis specific{\ae} Medio non resistente. Nam si verbi gratia arcus sit altero duplo major, differentia temporum erit ad excessum temporis in arcu minore supra tempus in Medio non resistente, ut differentia arcuum ad arcum minorem. \textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Oscillationes breviores sunt magis Isochron{\ae}, \& brevissim{\ae} iisdem temporibus peraguntur ac in Medio non resistente, quam proxime. Earum vero qu{\ae} in majoribus arcubus fiunt, tempora sunt paulo majora, propterea quod resistentia in descensu corporis qua tempus producitur, major sit pro ratione longitudinis in descensu descript{\ae}, quam resistentia in ascensu subsequente qua tempus contrahitur. Sed \& tempus oscillationum tam brevium quam longarum nonnihil produci videtur per motum Medii. Nam corpora tardescentia paulo minus resistuntur pro ratione velocitatis, \& corpora accelerata paulo magis quam qu{\ae} uniformiter progrediuntur: id adeo quia Medium, eo quem a corporibus accepit motu, in eandem plagam pergendo, in priore casu magis agitatur, in posteriore minus; ac proinde magis vel minus cum corporibus motis conspirat. Pendulis igitur in descensu magis resistit, in ascensu minus quam pro ratione velocitatis, \& ex utraque causa tempus producitur. \condpagelarge{Prop.\ XXVIII\@. Theor.\ XXII.} \textit{Si corpus Funependulum in Cycloide oscillans resistitur in ratione momentorum temporis, erit ejus resistentia ad vim gravitatis ut excessus % -----File: 317.png--- arcus descensu toto descripti supra arcum ascensu subsequente descriptum, ad penduli longitudinem duplicatam.} Designet $BC$ arcum descensu descriptum, $Ca$ arcum ascensu descriptum, \& $Aa$ differentiam arcuum: \& stantibus qu{\ae} in Propositione XXV. constructa \& demonstrata sunt, erit vis qua corpus oscillans urgetur in loco quovis $D$, ad uim resistentia ut arcus $CD$ ad arcum $CO$, qui semissis est differenti{\ae} illius $Aa$. Ideoque vis qua corpus oscillans urgetur in Cycloidis principio seu puncto altissimo, id est vis gravitatis, erit ad resistentiam ut arcus Cycloidis inter punctum illud supremum \& punctum infimum $C$ ad arcum $CO$; id est (si arcus duplicentur) ut Cycloidis totius arcus, seu dupla penduli longitudo, ad arcum $Aa$. \QEDit \condpagelarge{Prop.\ XXIX\@. Prob.\ VII.} \textit{Posito quod corpus in Cycloide oscillans resistitur in duplicata ratione velocitatis: invenire resistentiam in locis singulis.} \pngright{317.png}{1500}{1143}{-24} %Illustration Sit $Ba$ (\textit{Fig.\ Prop.\ XXV.}) arcus oscillatione integra descriptus, sitque $C$ infimum Cycloidis punctum, \& $CZ$ semissis arcus Cycloidis totius, longitudini Penduli {\ae}qualis; \& qu{\ae}ratur resistentia corporis in loco quovis $D$. Secetur recta infinita $OQ$ in punctis $O$, $C$, $P$, $Q$ ea lege ut (si erigantur perpendicula $OK$, $CT$, $PI$, $QE$, centroque $O$ \& Asymptotis $OK$, $OQ$ describatur Hyperbola $TIGE$ secans perpendicula $CT$, $PI$, $QE$ in $T$, $I$ \& $E$, \& per punctum $I$ agatur $KF$ occurrens Asymptoto $OK$ in $K$, \& perpendiculis $CT$ \& $QE$ in $L$ \& $F$) fuerit area Hyperbolica $PIEQ$ ad aream Hyperbolicam % -----File: 318.png--- $PITC$ ut arcus $BC$ descensu corporis descriptus ad arcum $Ca$ ascensu descriptum, \& area $IEF$ ad aream $ILT$ ut $OQ$ ad $OC$. Dein perpendiculo $MN$ abscindatur area Hyperbolica $PINM$ qu{\ae} sit ad aream Hyperbolicam $PIEQ$ ut arcus $CZ$ ad arcum $BC$ descensu descriptum. Et si perpendiculo $RG$ abscindatur area Hyperbolica $PIGR$, qu{\ae} sit ad aream $PIEQ$ ut arcus quilibet $CD$ ad arcum $BC$ descensu toto descriptum: erit resistentia in loco $D$ ad vim gravitatis, ut area $\frac{OR}{OQ} IEF - IGH$ ad aream $PIENM$. Nam cum vires a gravitate oriund{\ae} quibus corpus in locis $Z$, $B$, $D$, $a$ urgetur, sint ut arcus $CZ$, $CB$, $CD$, $Ca$, \& arcus illi sint ut are{\ae} $PINM$, $PIEQ$, $PIGR$, $PITC$; exponatur tum arcus tum vires per has areas respective. Sit insuper $Dd$ spatium quam minimum a corpore descendente descriptum, \& exponatur idem per aream quam minimam $RGgr$ parallelis $RG$, $rg$ comprehensam; \& producatur $rg$ ad $h$, ut sint $GHhg$, \& $RGgr$ contemporanea arearum $IGH$, $PIGR$ decrementa. Et are{\ae} $\frac{OR}{OQ} IEF - IGH$ incrementum $GHhg - \frac{Rr}{OQ} IEF$, seu $Rr \times HG - \frac{Rr}{OQ} IEF$, erit ad are{\ae} $PIGR$ decrementum $RGgr$ seu $Rr \times RG$, ut $HG - \frac{IEF}{OQ}$ ad $RG$; adeoque ut $OR \times HG - \frac{OR}{OQ} IEF$ ad $OR \times GR$ seu $OP \times PI$: hoc est (ob {\ae}qualia $OR \times HG$, $OR \times HR - OR \times GR$, $ORHK - OPIK$, $PIHR$ \& $PIGR + IGH$) ut $PIGR + IGH - \frac{OR}{OQ} IEF$ ad $OPIK$. Igitur si area $\frac{OR}{OQ} IEF - IGH$ dicatur $Y$, atque are{\ae} $PIGR$ decrementum $RGgr$ detur, erit incrementum are{\ae} $Y$ ut $PIGR - Y$. Quod si $V$ designet vim a gravitate oriundam arcui describendo $CD$ proportionalem, qua corpus urgetur in $D$; \& $R$ pro resistentia ponatur: erit $V - R$ vis tota qua corpus urgetur in $D$, % -----File: 319.png--- adeoque ut incrementum velocitatis in data temporis particula factum. Est autem resistentia $R$ (per Hypothesin) ut quadratum velocitatis, \& inde (per Lem.\ II.) incrementum resistenti{\ae} ut velocitas \& incrementum velocitatis conjunctim, id est ut spatium data temporis particula descriptum \& $V - R$ conjunctim; atque adeo, si momentum spatii detur, ut $V - R$; id est, si pro vi $V$ scribatur ejus exponens $PIGR$, \& resistentia $R$ exponatur per aliam aliquam aream $Z$, ut $PIGR - Z$. Igitur area $PIGR$ per datorum momentorum subductionem uniformiter decrescente, crescunt area $Y$ in ratione $PIGR - Y$, \& area $Z$ in ratione $PIGR - Z$. Et propterea si are{\ae} $Y$ \& $Z$ simul incipiant \& sub initio {\ae}quales sint, h{\ae} per additionem {\ae}qualium momentorum pergent esse {\ae}quales, \& {\ae}qualibus itidem momentis subinde decrescentes simul evanescent. Et vicissim, si simul incipiunt \& simul evanescunt, {\ae}qualia habebunt momenta \& semper erunt {\ae}quales: id adeo quia si resistentia $Z$ augeatur, velocitas una cum arcu illo $Ca$, qui in ascensu corporis describitur, diminuetur; \& puncto in quo motus omnis una cum resistentia cessat propius accedente ad punctum $C$, resistentia citius evanescet quam area $Y$. Et contrarium eveniet ubi resistentia diminuitur. Jam vero area $Z$ incipit desinitque ubi resistentia nulla est, hoc est, in principio \& fine motus, ubi arcus $CD$, $CD$ arcubus $CB$ \& $Ca$ {\ae}quantur, adeoque ubi recta $RG$ incidit in rectas $QE$ \& $CT$. Et area $Y$ seu $\frac{OR}{OQ} IEF - IGH$ incipit desinitque ubi nulla est, adeoque ubi $\frac{OR}{OQ} IEF$ \& $IGH$ {\ae}qualia sunt: hoc est (per constructionem) ubi recta $RG$ incidit in rectam $QE$ \& $CT$. Proindeque are{\ae} ill{\ae} simul incipiunt \& simul evanescunt, \& propterea semper sunt {\ae}quales. Igitur area $\frac{OR}{OQ} IEF - IGH$ {\ae}qualis est are{\ae} $Z$, per quam resistentia exponitur, \& propterea est ad aream $PINM$ per quam gravitas exponitur, ut resistentia ad gravitatem. \QEDit % -----File: 320.png--- \textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Est igitur resistentia in loco infimo $C$ ad vim gravitatis, ut area $\frac{OP}{OQ} IEF$ ad aream $PINM$. \textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Fit autem maxima, ubi area $PIHR$ est ad aream $IEF$ ut $OR$ ad $OQ$. Eo enim in casu momentum ejus (nimirum $PIGR - Y$) evadit nullum. \textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Hinc etiam innotescit velocitas in locis singulis: quippe qu{\ae} est in dimidiata ratione resistenti{\ae}, \& ipso motus initio {\ae}quatur velocitati corporis in eadem Cycloide absque omni resistentia oscillantis. C{\ae}terum ob difficilem calculum quo resistentia \& velocitas per hanc Propositionem inveniend{\ae} sunt, visum est Propositionem sequentem subjungere, qu{\ae} \& generalior sit \& ad usus Philosophicos abunde satis accurata. \condpagelarge{Prop.\ XXX\@. Theor.\ XXIII.} \textit{Si recta $aB$ {\ae}qualis sit Cycloidis arcui quem corpus oscillando describit, \& ad singula ejus puncta $D$ erigantur perpendicula $DK$, qu{\ae} sint ad longitudinem Penduli ut resistentia corporis in arcus punctis correspondentibus ad vim gravitatis: dico quod differentia inter arcum descensu toto descriptum, \& arcum ascensu toto subsequente descriptum, ducta in arcuum \label{wasp312}eorundem semisummam, {\ae}qualis erit are{\ae} $BKaB$ a perpendiculis omnibus $DK$ occupat{\ae}, quamproxime.} \pngright{321.png}{1334}{869}{-24} %Illustration Exponatur enim tum Cycloidis arcus oscillatione integra descriptus, per rectam illam sibi {\ae}qualem $aB$, tum arcus qui describeretur in vacuo per longitudinem $AB$. Bisecetur $AB$ in $C$, \& punctum $C$ repr{\ae}sentabit infimum Cycloidis punctum, \& erit $CD$ ut vis a gravitate oriunda, qua corpus in $D$ secundum Tangentem Cycloidis urgetur, eamque habebit rationem ad longitudinem Penduli quam habet vis in $D$ ad vim gravitatis. Exponatur igitur vis illa per longitudinem $CD$, \& vis gravitatis per longitudinem penduli; \& si in $DE$ capiatur $DK$ in ea ratione ad % -----File: 321.png--- longitudinem penduli quam habet resistentia ad gravitatem, erit $DK$ exponens resistenti{\ae}. Centro $C$ \& intervallo $CA$ vel $CB$ construatur semicirculus, $BEeA$. Describat autem corpus tempore quam minimo spatium $Dd$, \& erectis perpendiculis $DE$, de circumferenti{\ae} occurrentibus in $E$ \& $e$, erunt h{\ae}c ut velocitates quas corpus in vacuo, descendendo a puncto $B$, acquireret in locis $D$ \& $d$. Patet hoc per Prop.\ LII. Lib.\ I\@. Exponantur ita{\que} h{\ae} velocitates per perpendicula illa $DE$, $de$; sitque $DF$ velocitas quam acquirit in $D$ cadendo de $B$ in Medio resistente. Et si centro $C$ \& intervallo $CF$ describatur circulus $FfM$ occurrens rectis $de$ \& $AB$ in $f$ \& $M$, erit $M$ locus ad quem deinceps absque ulteriore resistentia ascenderet, \& $df$ velocitas quam acquireret in $d$. Unde etiam si $Fg$ designet velocitatis momentum quod corpus $D$, describendo spatium quam minimum $Dd$, ex resistentia Medii amittit, \& sumatur $CN$ {\ae}qualis $Cg$: erit $N$ locus ad quem corpus deinceps absque ulteriore resistentia ascenderet, \& $MN$ erit decrementum ascensus ex velocitatis illius amissione oriundum. Ad $df$ demittatur perpendiculum $Fm$, \& velocitatis $DF$ decrementum $fg$ a resistentia $DK$ genitum, erit ad velocitatis ejusdem incrementum $fma$ vi $CD$ genitum, ut vis generans $DK$ ad vim generantem $CD$. Sed \& ob similia triangula $Fmf$, $Fhg$, $FDC$, est $fm$ ad $Fm$ seu $Dd$, ut $CD$ ad $DF$, \& ex {\ae}quo $Fg$ ad $Dd$ ut $DK$ ad $DF$. Item $Fg$ ad $Fh$ ut $CF$ ad $DF$; \& ex {\ae}quo perturbate $Fh$ seu $MN$ ad $Dd$ ut $DK$ ad $CF$. Sumatur $DR$ ad $\frac{1}{2}aB$ ut $DK$ ad $CF$, \& erit $MN$ ad $Dd$ ut $DR$ ad $\frac{1}{2}aB$; ideoque summa omnium $MN \times \frac{1}{2}aB$, id est $Aa \times \frac{1}{2}aB$, {\ae}qualis erit summ{\ae} omnium $Dd \times DR$, id est are{\ae} $BRrSa$, quam rectangula omnia $Dd \times DR$ % -----File: 322.png--- seu $DRrd$ componunt. Bisecentur $Aa$ \& $aB$ in $P$ \& $O$, \& erit $\frac{1}{2}aB$ seu $OB$ {\ae}qualis $CP$, ideoque $DR$ est ad $DK$ ut $CP$ ad $CF$ vel $CM$, \& divisim $KR$ ad $DR$ ut $PM$ ad $CP$. Ideoque cum punctum $M$, ubi corpus versatur in medio oscillationis loco $O$, incidat circiter in punctum $P$, \& priore oscillationis parte versetur inter $A$ \& $P$, posteriore autem inter $P$ \& $a$, utroque in casu {\ae}qualiter a puncto $P$ in partes contrarias errans: punctum $K$ circa medium oscillationis locum, id est e regione puncti $O$, puta in $V$, incidet in punctum $R$; in priore autem oscillationis parte jacebit inter $R$ \& $E$, \& in posteriore inter $R$ \& $D$, utroque in casu {\ae}qualiter a puncto $R$ in partes contrarias errans. Proinde area quam linea $KR$ describit, priore oscillationis parte jacebit extra aream $BRSa$, posteriore intra eandem, idque dimensionibus hinc inde propemodum {\ae}quatis inter se; \& propterea in casu priore addita are{\ae} $BRSa$, in posteriore eidem subducta, relinquet aream $BKTa$ are{\ae} $BRSa$ {\ae}qualem quam proxime. Ergo rectangulum $Aa \times \frac{1}{2}aB$ seu $AaO$, cum sit {\ae}quale are{\ae} $BRSa$, erit etiam {\ae}quale are{\ae} $BKTa$ quamproxime. \QEDit \textit{Corol.}\wsp{}Hinc ex lege resistenti{\ae} \& arcuum $Ca$, $CB$ differentia $Aa$, colligi potest proportio resistenti{\ae} ad gravitatem quam proxime. Nam si uniformis sit resistentia $DK$, figura $aBKkT$ rectangulum erit sub $Ba$ \& $DK$, \& inde rectangulum sub $\frac{1}{2}Ba$ \& $Aa$ {\ae}qualis erit rectangulo sub $Ba$ \& $DK$, \& $DK$ {\ae}qualis erit $\frac{1}{2}Aa$. Quare cum $DK$ sit exponens resistenti{\ae}, \& longitudo penduli exponens gravitatis, erit resistentia ad gravitatem ut $\frac{1}{2}Aa$ ad longitudinem Penduli; omnino ut in Propositione XXVIII. demonstratum est. Si resistentia sit ut velocitas, Figura $aBKkT$ Ellipsis erit quam proxime. Nam si corpus, in Medio non resistente, oscillatione integra describeret longitudinem $BA$, velocitas in loco quovis $D$ foret ut circuli diametro $AB$ descripti ordinatim applicata $DE$. Proinde cum $Ba$ in Medio resistente \& $BA$ in Medio non resistente, {\ae}qualibus circiter temporibus describantur; adeoque velocitates % -----File: 323.png--- in singulis ipsius $Ba$ punctis, sint quam proxime ad velocitates in punctis correspondentibus longitudinis $BA$, ut est $Ba$ ad $BA$; erit velocitas $DK$ in Medio resistente ut circuli vel Ellipseos super diametro $Ba$ descripti ordinatim applicata; adeoque figura $BKVTa$ Ellipsis, quam proxime. Cum resistentia velocitati proportionalis supponatur, sit $OV$ exponens resistenti{\ae} in puncto Medio $O$; \& Ellipsis, centro $O$, semiaxibus $OB$, $OV$ descripta, figuram $aBKVT$, eique {\ae}quale rectangulum $Aa \times BO$, {\ae}quabit quam proxime. Est igitur $Aa \times BO$ ad $OV \times BO$ ut area Ellipseos hujus ad $OV \times BO$: id est $Aa$ ad $OV$ ut area semicirculi, ad quadratum radii sive ut 11 and 7 circiter: Et propterea: $\frac{7}{11}Aa$ ad longitudinem penduli ut corporis oscillantis resistentia in $O$ ad ejusdem gravitatem. Quod si resistentia $DK$ sit in duplicata ratione velocitatis, figura $BKTVa$ Parabola erit verticem habens $V$ \& axem $OV$, ideoque {\ae}qualis erit duabus tertiis partibus rectanguli sub $Ba$ \& $OV$ quam proxime. Est igitur rectangulum sub $\frac{1}{2}Ba$ \& $Aa$ {\ae}quale rectangulo sub $\frac{2}{3}Ba$ \& $OV$, adeoque $OV$ {\ae}qualis $\frac{3}{4}Aa$, \& propterea corporis oscillantis resistentia in $O$ ad ipsius gravitatem ut $\frac{3}{4}Aa$ ad longitudinem Penduli. Atque has conclusiones in rebus practicis abunde satis accuratas esse censeo. Nam cum Ellipsis vel Parabola congruat cum figura $BKVTa$ in puncto medio $V$, h{\ae}c si ad partem alterutram $BKV$ vel $VTa$ excedit figuram illam, deficiet ab eadem ad partem alteram, \& sic eidem {\ae}quabitur quam proxime. \condpagelarge{Prop.\ XXXI\@. Theor.\ XXIV.} \textit{Si corporis oscillantis resistentia in singulis arcuum descriptorum partibus proportionalibus augeatur vel minuatur in data ratione; differentia inter arcum descensu descriptum \& arcum subsequente ascensu descriptum, augebitur vel diminuetur in eadem ratione quamproxime.} Oritur enim differentia illa ex retardatione Penduli per resistentiam % -----File: 324.png--- Medii, adeoque est ut retardatio tota eique proportionalis resistentia retardans. In superiore Propositione rectangulum sub recta $\frac{1}{2}aB$ \& arcuum illorum $CB$, $Ca$ differentia $Aa$, {\ae}qualis erat are{\ae} $BKT$. Et area illa, si maneat longitudo $aB$, augetur vel diminuitur in ratione ordinatim applicatarum $DK$; hoc est in ratione resistenti{\ae}, adeoque est ut longitudo $aB$ \& resistentia conjunctim. Proindeque rectangulum sub $Aa$ \& $\frac{1}{2}aB$ est ut $aB$ \& resistentia conjunctim, \& propterea $Aa$ ut resistentia. \QEDit \textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Unde si resistentia sit ut velocitas, differentia arcuum in eodem Medio erit ut arcus totus descriptus: \& contra. \textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Si resistentia sit in duplicata ratione velocitatis, differentia illa erit in duplicata ratione arcus totius; \& contra. \textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Et universaliter, si resistentia sit in triplicata vel alia quavis ratione velocitatis, differentia erit in eadem ratione arcus totius; \& contra. \textit{Corol.\fsp{}4.}\wsp{}Et si resistentia sit partim in ratione simplici velocitatis, partim in ejusdem ratione duplicata, differentia erit partim in ratione arcus totius \& partim in ejus ratione duplicata; \& contra. Eadem erit lex \& ratio resistenti{\ae} pro velocitate, qu{\ae} est differenti{\ae} illius pro longitudine arcus. \textit{Corol.\fsp{}5.}\wsp{}Ideoque si, pendulo in{\ae}quales arcus successive describente, inveniri potest ratio incrementi ac decrementi resistenti{\ae} hujus pro longitudine arcus descripti, habebitur etiam ratio incrementi ac decrementi resistenti{\ae} pro velocitate majore vel minore. % -----File: 325.png--- \sectpage{VII.} \begin{center}{\textit{De Motu Fluidorum \& resistentia Projectilium.}}\end{center} \propnopage{Prop.\ XXXII\@. Theor.\ XXV.} \textit{Si corporum Systemata duo ex {\ae}quali particularum numero constent \& particul{\ae} correspondentes similes sint, singul{\ae} in uno Systemate singulis in altero, ac datam habeant rationem densitatis ad invicem, \& inter se temporibus proportionalibus similiter moveri incipiant, (e{\ae} inter se qu{\ae} in uno sunt Systemate \& e{\ae} inter se qu{\ae} sunt in altero) \& si non tangant se mutuo qu{\ae} in eodem sunt Systemate, nisi in momentis reflexionum, neque attrahant vel fugent se mutuo, nisi viribus acceleratricibus qu{\ae} sint ut particularum correspondentium diametri inverse \& quadrata velocitatum directe: dico quod Systematum particul{\ae} ille pergent inter se temporibus proportionalibus similiter moveri; \& contra.} Corpora similia temporibus proportionalibus inter se similiter moveri dico, quorum situs ad invicem in fine temporum illorum semper sunt similes: puta si particul{\ae} unius Systematis cum alterius particulis correspondentibus conferantur. Unde tempora erunt proportionalia, in quibus similes \& proportionales figurarum similium partes a particulis correspondentibus describuntur. Igitur si duo sint ejusmodi Systemata, particul{\ae} correspondentes, ob similitudinem inc{\ae}ptorum motuum, pergent similiter moveri usque donec sibi mutuo occurrant. Nam si nullis agitantur viribus, progredientur uniformiter in lineis rectis per motus Leg.\ I\@. Si viribus aliquibus se mutuo agitant, \& vires ill{\ae} sint ut particularum correspondentium diametri inverse \& quadrata velocitatum directe; quoniam particularum situs sunt similes \& vires proportionales, vires tot{\ae} quibus particul{\ae} correspondentes agitantur, % -----File: 326.png--- ex viribus singulis agitantibus (per Legum Corollarium secundum) composit{\ae}, similes habebunt determinationes, perinde ac si centra inter particulas similiter sita respicerent; \& erunt vires ill{\ae} tot{\ae} ad invicem ut vires singul{\ae} componentes, hoc est ut correspondentium particularum diametri inverse, \& quadrata velocitatum directe: \& propterea efficient ut correspondentes particul{\ae} figuras similes describere pergant. H{\ae}c ita se habebunt per Corol.\ 1.\ 2, \& 7.\ Prop.\ IV. si modo centra illa quiescant. Sin moveantur, quoniam ob translationum similitudinem, similes manent eorum situs inter Systematum particulas; similes inducentur mutationes in figuris quas particul{\ae} describunt. Similes igitur erunt correspondentium \& similium particularum motus usque ad occursus suos primos, \& propterea similes occursus, \& similes reflexiones, \& subinde (per jam ostensa) similes motus inter se, donec iterum in se mutuo inciderint, \& sic deinceps in infinitum. \QEDit \textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Hinc si corpora duo qu{\ae}vis, qu{\ae} similia sint \& ad Systematum particulas correspondentes similiter sita, inter ipsas temporibus proportionalibus similiter moveri incipiant, sintque eorum densitates ad invicem ut densitates correspondentium particularum: h{\ae}c pergent temporibus proportionalibus similiter moveri. Est enim eadem ratio partium majorum Systematis utriusque atque particularum. \textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Et si similes \& similiter posit{\ae} Systematum partes omnes quiescant inter se: \& earum du{\ae}, qu{\ae} c{\ae}teris majores sint, \& sibi mutuo in utroque Systemate correspondeant, secundum lineas similiter sitas simili cum motu utcunque moveri incipiant: h{\ae} similes in reliquis systematum partibus excitabunt motus, \& pergent inter ipsas temporibus proportionalibus similiter moveri; atque adeo spatia diametris suis proportionalia describere. % -----File: 327.png--- \condpagelarge{Prop.\ XXXIII\@. Theor.\ XXVI.} \textit{Iisdem positis, dico quod Systematum partes majores resistuntur in ratione composita ex duplicata ratione velocitatum suarum \& duplicata ratione diametrorum \& ratione densitatis partium Systematum.} Nam resistentia oritur partim ex viribus centripetis vel centrifugis quibus particul{\ae} systematum se mutuo agitant, partim ex occursibus \& reflexionibus particularum \& partium majorum. Prioris autem generis resistenti{\ae} sunt ad invicem ut vires tot{\ae} motrices a quibus oriuntur, id est ut vires tot{\ae} acceleratrices \& quantitates materi{\ae} in partibus correspondentibus; hoc est (per Hypothesin) ut quadrata velocitatum directe \& distanti{\ae} particularum correspondentium inverse \& quantitates materi{\ae} in partibus correspondentibus directe: ideoque (cum distanti{\ae} particularum systematis unius sint ad distantias correspondentes particularum alterius, ut diameter particul{\ae} vel partis in systemate priore ad diametrum particul{\ae} vel partis correspondentis in altero, \& quantitates materi{\ae} sint ut densitates partium \& cubi diametrorum) resistenti{\ae} sunt ad invicem ut quadrata velocitatum \& quadrata diametrorum \& densitates partium Systematum. \QEDit Posterioris generis resistenti{\ae} sunt ut reflexionum correspondentium numeri \& vires conjunctim. Numeri autem reflexionum sunt ad invicem ut velocitates partium correspondentium directe, \& spatia inter eorum reflexiones inverse. Et vires reflexionum sunt ut velocitates \& magnitudines \& densitates partium correspondentium conjunctim; id est ut velocitates \& diametrorum cubi \& densitates partium. Et conjunctis his omnibus rationibus, resistenti{\ae} partium correspondentium sunt ad invicem ut quadrata velocitatum \& quadrata diametrorum \& densitates partium conjunctim. \QEDit \textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Igitur si systemata illa sint Fluida duo Elastica ad modum Aeris, \& partes eorum quiescant inter se: corpora autem % -----File: 328.png--- duo similia \& partibus fluidorum quoad magnitudinem \& densitatem proportionalia, \& inter partes illas similiter posita, secundum lineas similiter positas utcunque projiciantur; vires autem motrices, quibus particul{\ae} Fluidorum se mutuo agitant, sint ut corporum projectorum diametri inverse, \& quadrata velocitatum directe: corpora illa temporibus proportionalibus similes excitabunt motus in Fluidis, \& spatia similia ac diametris suis proportionalia describent. \textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Proinde in eodem Fluido projectile velox resistitur in duplicata ratione velocitatis quam proxime. Nam si vires, quibus particul{\ae} distantes se mutuo agitant, \label{wasp320}augerentur in duplicata ratione velocitatis, projectile resisteretur in eadem ratione duplicata accurate; ideoque in Medio, cujus partes ab invicem distantes sese viribus nullis agitant, resistentia est in duplicata ratione velocitatis accurate. Sunto igitur Media tria $A$, $B$, $C$ ex partibus similibus \& {\ae}qualibus \& secundum distantias {\ae}quales regulariter dispositis constantia. Partes Mediorum $A$ \& $B$ fugiant se mutuo viribus qu{\ae} sint ad invicem ut $T$ \& $V$, ill{\ae} Medii $C$ ejusmodi viribus omnino destituantur. Et si corpora quatuor {\ae}qualia $D$, $E$, $F$, $G$ in his Mediis moveantur, priora duo $D$ \& $E$ in prioribus duobus $A$ \& $B$, \& altera duo $F$ \& $G$ in tertio $C$; sitque velocitas corporis $D$ ad velocitatem corporis $E$, \& velocitas corporis $F$ ad velocitatem corporis $G$, in dimidiata ratione virium $T$ ad vires $V$; resistentia corporis $D$ erit ad resistentiam corporis $E$, \& resistentia corporis $F$ ad resistentiam corporis $G$ in velocitatum ratione duplicata; \& propterea resistentia corporis $D$ erit ad resistentiam corporis $F$ ut resistentia corporis $E$ ad resistentiam corporis $G$. Sunto corpora $D$ \& $F$ {\ae}quivelocia ut \& corpora $E$ \& $G$; \& augendo velocitates corporum $D$ \& $F$ in ratione quacunque, ac diminuendo vires particularum Medii $B$ in eadem ratione duplicata, accedet Medium $B$ ad formam \& conditionem Medii $C$ pro lubitu, \& idcirco resistenti{\ae} corporum {\ae}qualium \& {\ae}quivelocium $E$ \& $G$ in his Mediis, perpetuo accedent ad {\ae}qualitatem, % -----File: 329.png--- ita ut earum differentia evadat tandem minor quam data qu{\ae}vis. Proinde cum resistenti{\ae} corporum $D$ \& $F$ sint ad invicem ut resistenti{\ae} corporum $E$ \& $G$, accedent etiam h{\ae} similiter ad rationem {\ae}qualitatis. Corporum igitur $D$ \& $F$, ubi velocissime moventur, resistenti{\ae} sunt {\ae}quales quam proxime: \& propterea cum resistentia corporis $F$ sit in duplicata ratione velocitatis, erit resistentia corporis $D$ in eadem ratione quamproxime. \QEDit \textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Igitur corporis in Fluido quovis Elastico velocissime moventis eadem fere est resistentia ac si partes Fluidi viribus suis centrifugis destituerentur, seque mutuo non fugerent: si modo Fluidi vis Elastica ex particularum viribus centrifugis oriatur. \textit{Corol.\fsp{}4.}\wsp{}Proinde cum resistenti{\ae} similium \& {\ae}quivelocium corporum, in Medio cujus partes distantes se mutuo non fugiunt, sint ut quadrata diametrorum, sunt etiam {\ae}quivelocium \& celerrime moventium corporum resistenti{\ae} in Fluido Elastico ut quadrata diametrorum quam proxime. \textit{Corol.\fsp{}5.}\wsp{}Et cum corpora similia, {\ae}qualia \& {\ae}quivelocia, in Mediis ejusdem densitatis, quorum particul{\ae} se mutuo non fugiunt, sive particul{\ae} ill{\ae} sint plures \& minores, sive pauciores \& majores, in {\ae}qualem materi{\ae} quantitatem temporibus {\ae}qualibus inpingant, eique {\ae}qualem motus quantitatem imprimant, \& vicissim (per motus Legem tertiam) {\ae}qualem ab eadem reactionem patiantur, hoc est, {\ae}qualiter resistantur: manifestum est etiam quod in ejusdem densitatis Fluidis Elasticis, ubi velocissime moventur, {\ae}quales sint eorum resistenti{\ae} quam proxime; sive Fluida illa ex particulis crassioribus constent, sive ex omnium subtilissimis constituantur. Ex Medii subtilitate resistentia projectilium celerrime motorum non multum diminuitur. \textit{Corol.\fsp{}6.}\wsp{}Cum autem particul{\ae} Fluidorum, propter vires quibus se mutuo fugiunt, moveri nequeant quin simul agitent particulas alias in circuitu, atque adeo difficilius moveantur inter se quam si viribus istis destituerentur; \& quo majores sint earum % -----File: 330.png--- vires centrifug{\ae}, eo difficilius moveantur inter se: manifestum esse videtur quod projectile in tali Fluido eo difficilius movebitur, quo vires ill{\ae} sunt intensiores; \& propterea si corporis velocissimi in superioribus Corollariis velocitas diminuatur, quoniam resistentia diminueretur in duplicata ratione velocitatis, si modo vires particularum in eadem ratione duplicata diminuerentur; vires autem nullatenus diminuantur, manifestum est quod resistentia diminuetur in ratione minore quam duplicata velocitatis. \textit{Corol.\fsp{}7.}\wsp{}Porro cum vires centrifug{\ae} eo nomine ad augendam resistentiam conducant, quod particul{\ae} motus suos per Fluidum ad majorem a se distantiam per vires illas propagent; \& cum distantia illa minorem habeat rationem ad majora corpora: manifestum est quod augmentum resistenti{\ae} ex viribus illis oriundum in corporibus majoribus minoris sit momenti; \& propterea, quo corpora sint majora eo magis accurate resistentia tardescentium decrescet in duplicata ratione velocitatis. \textit{Corol.\fsp{}8.}\wsp{}Unde etiam ratio illa duplicata magis accurate obtinebit in Fluidis qu{\ae}, pari densitate \& vi Elastica, ex particulis minoribus constant. Nam si corpora illa majora diminuantur, \& particul{\ae} Fluidi, manente ejus densitate \& vi Elastica, diminuantur in eadem ratione; manebit eadem ratio resistenti{\ae} qu{\ae} prius: ut ex pr{\ae}cedentibus facile colligitur. \textit{Corol.\fsp{}9.}\wsp{}H{\ae}c omnia ita se habent in Fluidis, quorum vis Elastica ex particularum viribus centrifugis originem ducit. Quod si vis illa aliunde oriatur, veluti ex particularum expansione ad instar Lan{\ae} vel ramorum arborum, aut ex alia quavis causa, qua motus particularum inter se redduntur minus liberi: resistentia, ob minorem Medii fluiditatem, erit major quam in superioribus Corollariis. % -----File: 331.png--- \condpagelarge{Prop.\ XXXIV\@. Theor.\ XXVII.} \textit{Qu{\ae} in pr{\ae}cedentibus duabus Propositionibus demonstrata sunt, obtinent ubi particul{\ae} Systematum se mutuo contingunt, si modo particul{\ae} ill{\ae} sint summe lubric{\ae}.} Concipe particulas viribus quibusdam se mutuo fugere, \& vires illas in accessu ad superficies particularum augeri in infinitum, \& contra, in recessu ab iisdem celerrime diminui \& statim evanescere. Concipe etiam systemata comprimi, ita ut partes eorum se mutuo contingant, nisi quatenus vires ill{\ae} contactum impediunt. Sint autem spatia per qu{\ae} vires particularum diffunduntur quam angustissima, ita ut particul{\ae} se mutuo quam proxime contingant: \& motus particularum inter se iidem erunt quam proxime ac si se mutuo contingerent. Eadem facilitate labentur inter se ac si essent summe lubric{\ae}, \& si impingant in se mutuo reflectentur ab invicem ope virium pr{\ae}fatarum, perinde ac si essent Elastic{\ae}. Itaque motus erunt iidem in utroque casu, nisi quatenus perexigua particularum sese non contingentium intervalla diversitatem efficiant: qu{\ae} quidem diversitas diminuendo particularum intervalla diminui potest in infinitum. Jam vero qu{\ae} in pr{\ae}cedentibus duabus Propositionibus demonstrata sunt, obtinent in particulis sese non contingentibus, idque licet intervalla particularum, diminuendo spatia per qu{\ae} vires diffunduntur, diminuantur in infinitum. Et propterea eadem obtinent in particulis sese contingentibus, exceptis solum differentiis qu{\ae} tandem differentiis quibusvis datis minores evadant. Dico igitur quod accurate obtinent. Si negas, assigna differentiam in casu quocunque. Atqui jam probatum est quod differentia minor sit quam data qu{\ae}vis. Ergo differentia falso assignatur, \& propterea nulla est. \QEDit \textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Igitur si Systematum duorum partes omnes quiescant inter se, exceptis duabus, qu{\ae} c{\ae}teris majores sint \& sibi % -----File: 332.png--- mutuo correspondeant inter c{\ae}teras similiter sit{\ae}. H{\ae} secundum lineas similiter positas utcunque project{\ae} similes excitabunt motus in Systematibus, \& temporibus proportionalibus pergent spatia similia \& diametris suis proportionalia describere; \& resistentur in ratione composita ex duplicata ratione velocitatum \& duplicata ratione diametrorum \& ratione densitatis Systematum. \textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Unde si Systemata illa sint Fluida duo similia, \& eorum partes du{\ae} majores sint corpora in iisdem projecta: sint autem Fluidorum particul{\ae} summe lubric{\ae}, \& quoad magnitudinem \& densitatem proportionales corporibus: pergent corpora temporibus proportionalibus spatia similia \& diametris suis proportionalia describere, \& resistentur in ratione Corollario superiore definita. \textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Proinde in eodem Fluido Projectile magnitudine datum resistitur in duplicata ratione velocitatis. \textit{Corol.\fsp{}4.}\wsp{}At\spreadout{si particul{\ae} Fluidi non sint summe lubric{\ae}, vel si viribus} \\ quibuscunque se mutuo agitant, quibus motuum libertas diminuitur: Projectilia tardiora difficilius superabunt resistentiam, \& propterea magis resistentur quam in velocitatis ratione duplicata. \condpagelarge{Prop.\ XXXV\@. Theor.\ XXVIII.} \textit{Si Globus \& Cylindrus {\ae}qualibus diametris descripti, in Medio raro \& Elastico, secundum plagam axis Cylindri, {\ae}quali cum velocitate celerrime moveantur: erit resistentia Globi duplo minor quam resistentia Cylindri.} \label{wasp325}\pngright{333.png}{1792}{1260}{-24} %Illustration Nam quoniam resistentia (per Corol.\ 3.\ Prop.\ XXXIII.) eadem est quam proxime ac si partes Fluidi viribus nullis se mutuo fugerent, supponamus partes Fluidi ejusmodi viribus destitutas per spatia omnia uniformiter dispergi. Et quoniam actio Medii in corpus eadem est (per Legum Corol.\ 5.)\ sive corpus in Medio quiescente moveatur, sive Medii particul{\ae} eadem cum % -----File: 333.png--- velocitate impingant in corpus quiescens: consideremus corpus tanquam quiescens, \& videamus quo impetu urgebitur a Medio movente. Designet igitur $ABKI$ corpus Sph{\ae}ricum centro $C$ semidiametro $CA$ descriptum, \& incidant particul{\ae} Medii data cum velocitate in corpus illud Sph{\ae}ricum, secundum rectas ipsi $AC$ parallelas: Sitque $FB$ ejusmodi recta. In ea capiatur $LB$ semidiametro $CB$ {\ae}qualis, \& ducatur $BD$ qu{\ae} Sph{\ae}ram tangat in $B$. In $AC$ \& $BD$ demittantur perpendiculares $BE$, $DL$, \& vis qua particula Medii, secundum rectam $FB$ oblique incidendo, Globum ferit in $B$, erit ad vim qua particula eadem Cylindrum $ONGQ$ axe $ACI$ circa Globum descriptum perpendiculariter feriret in $b$, ut $LD$ ad $LB$ vel $BE$ ad $BC$. Rursus efficacia hujus vis ad movendum globum secundum incidenti{\ae} su{\ae} plagam $FB$ vel $AC$, est ad ejusdem efficaciam ad movendum globum secundum plagam determinationis su{\ae}, id est secundum plagam rect{\ae} $BC$ qua globum directe urget, ut $BE$ ad $BC$. Et conjunctis rationibus, efficacia particul{\ae}, in globum secundum rectam $FB$ oblique incidentis, ad movendum eundem secundum plagam incidenti{\ae} su{\ae}, est ad efficaciam particul{\ae} ejusdem secundum eandem rectam in cylindrum perpendiculariter incidentis, ad ipsum movendum in plagam eandem, ut $BE$ quadratum ad $BC$ quadratum. Quare si ad cylindri basem circularem $NAO$ erigatur perpendiculum $bHE$, \& sit $bE$ {\ae}qualis radio $AC$, \& $bH$ {\ae}qualis $\frac{BE \opit{quad.}}{CB}$, erit $bH$ ad % -----File: 334.png--- $bE$ ut effectus particul{\ae} in globum ad effectum particul{\ae} in cylindrum. Et propterea Solidum quod a rectis omnibus $bH$ occupatur erit ad solidum quod a rectis omnibus $bE$ occupatur, ut effectus particularum omnium in globum ad effectum particularum omnium in Cylindrum. Sed solidum prius est Parabolois vertice $V$, axe $CA$ \& latere recto $CA$ descriptum, \& solidum posterius est cylindrus Paraboloidi circumscriptus: \& notum est quod Parabolois sit semissis cylindri circumscripti. Ergo vis tota Medii in globum est duplo minor quam ejusdem vis tota in cylindrum. Et propterea si particul{\ae} Medii quiescerent, \& cylindrus ac globus {\ae}quali cum velocitate moverentur, foret resistentia globi duplo minor quam resistentia cylindri. \QEDit \condpagelarge{\textit{Scholium.}} \pngright{334.png}{643}{670}{-24} %Illustration Eadem methodo figur{\ae} ali{\ae} inter se quoad resistentiam comparari possunt, e{\ae}que inveniri qu{\ae} ad motus suos in Mediis resistentibus continuandos aptiores sunt. Ut si base circulari $CEBH$, qu{\ae} centro $O$, radio $OC$ describitur, \& altitudine $OD$, construendum sit frustum coni $CBGF$, quod omnium eadem basi \& altitudine constructorum \& secundum plagam axis sui versus $D$ progredientium frustorum minime resistatur: biseca altitudinem $OD$ in $Q$ \& produc, $OQ$ ad $S$ ut sit $QS$ {\ae}qualis $QC$, \& erit $S$ vertex coni cujus frustum qu{\ae}ritur. Unde obiter cum angulus $CSB$ semper sit acutus, consequens est, quod si solidum $ADBE$ convolutione figur{\ae} Elliptic{\ae} vel Ovalis $ADBE$ circa axem $AB$ facta generetur, \& tangatur figura generans a rectis tribus $FG$, $GH$, $HI$ in punctis $F$, $B$ \& $I$, ea lege ut $GH$ sit perpendicularis ad axem in puncto contactus $B$, \& $FG$, $HI$ cum eadem $GH$ contineant angulos $FGB$, $BHI$ graduum 135: solidum, quod convolutione figur{\ae} $ADFGHIE$ circa axem % -----File: 335.png--- eundem $CB$ generatur, minus resistitur quam solidum prius; si modo utrumque secundum plagam axis sui $AB$ progrediatur, \& utriusque terminus $B$ pr{\ae}cedat. Quam quidem propositionem in construendis Navibus non inutilem futuram esse censeo. \pngright{335.png}{1282}{860}{-12} %Illustration Quod si figura $DNFB$ ejusmodi sit ut, si ab ejus puncto quovis $N$ ad axem $AB$ demittatur perpendiculum $NM$, \& a puncto dato $G$ ducatur recta $GR$ qu{\ae} parallela sit rect{\ae} figuram tangenti in $N$, \& axem productum secet in $R$, fuerit $MN$ ad $GR$ ut $GR \opit{cub.}$ ad $4BR \times GBq.$: Solidum quod figur{\ae} hujus revolutione circa axem $AB$ facta describitur, in Medio raro \& Elastico ab $A$ versus $B$ velocissime movendo, minus resistetur quam aliud quodvis eadem longitudine \& latitudine descriptum Solidum circulare. \condpagelarge{Prop.\ XXXVI\@. Prob.\ VIII.} %!!Page reference \textit{Invenire resistentiam corporis Sph{\ae}rici in Fluido raro \& Elastico velocissime progredientis.} (Vide Fig.\ Pag.\ \pageref{wasp325}.) Designet $ABKI$ corpus Sph{\ae}ricum centro $C$ semidiametro $CA$ descriptum. Producatur $CA$ primo ad $S$ deinde ad $R$, ut sit $AS$ pars tertia ipsius $CA$, \& $CR$ sit ad $CS$ ut densitas corporis Sph{\ae}rici ad densitatem Medii. Ad $CR$ erigantur perpendicula $PC$, $RX$, centroque $R$ \& Asymptotis $CR$, $RX$ describatur Hyperbola qu{\ae}vis $PVY$. In $CR$ capiatur $CT$ longitudinis cujusvis, \& erigatur perpendiculum $TV$ abscindens aream Hyperbolicam $PCTV$, \& sit $CZ$ latus hujus are{\ae} applicat{\ae} ad rectam $PC$. Dico quod motus quem globus, describendo spatium $CZ$, ex resistentia Medii amittet, erit ad ejus motum totum sub initio ut longitudo $CT$ ad longitudinem $CR$ quamproxime. % -----File: 336.png--- Nam (per motuum Legem tertiam) motus quem cylindrus $GNOQ$ circa globum descriptus impingendo in Medii particulas amitteret, {\ae}qualis est motui quem imprimeret in easdem particulas. Ponamus quod particul{\ae} singul{\ae} reflectantur a cylindro, \& ab eodem ea cum velocitate resiliant, quacum cylindrus ad ipsas accedebat. Nam talis erit reflexio, per Legum Corol.\ 3.\ si modo particul{\ae} quam minime sint, \& vi Elastica quam maxima reflectantur. Velocitas igitur quacum a cylindro resiliunt, addita velocitati cylindri componet totam velocitatem duplo majorem quam velocitas cylindri, \& propterea motus quem cylindrus ex reflexione particul{\ae} cujusque amittit, erit ad motum totum cylindri, ut particula duplicata ad cylindrum. Proinde cum densitas Medii sit ad densitatem cylindri ut $CS$ ad $CR$; si $Ct$ sit longitudo tempore quam minimo a cylindro descripta, erit motus eo tempore amissus ad motum totum cylindri ut $2Ct \times CS$ ad $AI \times CR$. Ea enim est ratio materi{\ae} Medii, a cylindro protrus{\ae} \& reflex{\ae}, ad massam cylindri. Unde cum globus sit du{\ae} terti{\ae} partes cylindri, \& resistentia globi (per Propositionem superiorem) sit duplo minor quam resistentia cylindri: erit motus, quem globus describendo longitudinem $L$ amittit, ad motum totum globi, ut $Ct \times CS$ ad $\frac{2}{3}AI \times CR$, sive ut $Ct$ ad $CR$. Erigatur perpendiculum $tv$ Hyperbol{\ae} occurrens in $v$, \& (per Corol.\ 1.\ Prop.\ V. Lib.\ II.) si corpus describendo longitudinem are{\ae} $CtvP$ proportionalem, amittit motus sui totius $CR$ partem quamvis $Ct$, idem describendo longitudinem are{\ae} $CTVP$ proportionalem, amittet motus sui partem $CT$. Sed longitudo $Ct$ {\ae}qualis est $\frac{CPvt}{CP}$, \& longitudo $CZ$ (per Hypothesin) {\ae}qualis est $\frac{CPTV}{CP}$, adeoque longitudo $Ct$ est ad longitudinem $CZ$ ut area $CPvt$ ad aream $CPVT$. Et propterea cum globus describendo longitudinem quam minimam $Ct$ amittat motus sui partem, qu{\ae} sit ad totum ut $Ct$ ad $CR$, is % -----File: 337.png--- describendo longitudinem aliam quamvis $CZ$, amittet motus sui partem qu{\ae} sit ad totum ut $CT$ ad $CR.$ \QEDit \textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Si detur corporis velocitas sub initio, dabitur tempus quo corpus, describendo spatium $Ct$, amittet motus sui partem $Ct$: \& inde, dicendo quod resistentia sit ad vim gravitatis ut ista motus pars amissa ad motum, quem gravitas Globi eodem tempore generaret; dabitur proportio resistenti{\ae} ad gravitatem Globi. \textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Quoniam in his determinandis supposui quod particul{\ae} Fluidi per vim suam Elasticam quam maxime a Globo reflectantur, \& particularum sic reflexarum impetus in Globum duplo major sit quam si non reflecterentur: manifestum est quod in Fluido, cujus particul{\ae} vi omni Elastica aliaque omni vi reflexiva destituuntur, corpus Sph{\ae}ricum resistentiam duplo minorem patietur; adeoque eandem velocitatis partem amittendo, duplo longius progredietur quam pro constructione Problematis hujus superius allata. \textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Et si particularum vis reflexiva neque maxima sit neque omnino nulla, sed mediocrem aliquam rationem teneat: resistentia pariter, inter limites in constructione Problematis \& Corollario superiore positos, mediocrem rationem tenebit. \textit{Corol.\fsp{}4.}\wsp{}Cum corpora tarda paulo magis resistantur quam pro ratione duplicata velocitatis: h{\ae}c describendo longitudinem quamvis $CZ$ amittent majorem motus sui partem, quam qu{\ae} sit ad motum suum totum ut $CT$ ad $CR$. \textit{Corol.\fsp{}5.}\wsp{}Cognita autem resistentia corporum celerrimorum, innotescet etiam resistentia tardorum; si modo lex decrementi resistenti{\ae} pro ratione velocitatis inveniri potest. % -----File: 338.png--- \condpagelarge{Prop.\ XXXVII\@. Prob.\ IX.} \textit{Aqu{\ae} de vase dato per foramen effluentis definire motum.} Si vas impleatur aqua, \& in fundo perforetur ut aqua per foramen defluat, manifestum est quod vas sustinebit pondus aqu{\ae} totius, dempto pondere partis illius quod foramini perpendiculariter imminet. Nam si foramen obstaculo aliquo occluderetur, obstaculum sustineret pondus aqu{\ae} sibi perpendiculariter incumbentis, \& fundum vasis sustineret pondus aqu{\ae} reliqu{\ae}. Sublato autem obstaculo, fundum vasis eadem aqu{\ae} pressione eodemve ipsius pondere urgebitur ac prius; \& pondus quod obstaculum sustinebat, cum jam non sustineatur, faciet ut aqua descendat \& per foramen defluat. Unde consequens est, quod motus aqu{\ae} totius effluentis is erit quem pondus aqu{\ae} foramini perpendiculariter incumbentis generare possit. Nam aqu{\ae} particula unaqu{\ae}que pondere suo, quatenus non impeditur, descendit, idque motu uniformiter accelerato; \& quatenus impeditur, urgebit obstaculum. Obstaculum illud vel vasis est fundum, vel aqua inferior defluens; \& propterea ponderis pars illa, quam vasis fundum non sustinet, urgebit aquam defluentem \& motum sibi proportionalem generabit. Designet igitur $F$ aream foraminis, $A$ altitudinem aqu{\ae} foramini perpendiculariter incumbentis, $P$ pondus ejus, $AF$ quantitatem ejus, $S$ spatium quod dato quovis tempore $T$ in vacuo libere cadendo describeret, \& $V$ velocitatem quam in fine temporis illius cadendo acquisierit: \& motus ejus acquisitus $AF \times V$ {\ae}qualis erit motui aqu{\ae} totius eodem tempore effluentis. Sit velocitas quacum effluendo exit de foramine, ad velocitatem $V$ ut $d$ ad $e$; \& cum aqua velocitate $V$ describere posset spatium $2S$, aqua effluens eodem tempore, velocitate sua $\frac{d}{e} V$ describere posset spatium $\frac{2d}{e} S$. Et propterea columna aqu{\ae} cujus longitudo % -----File: 339.png--- sit $\frac{2d}{e} S$ \& latitudo eadem qu{\ae} foraminis, posset eo tempore defluendo egredi de vase, hoc est columna $\frac{2d}{e} SF$. Quare motus $\frac{2dd}{ee} SFV$, qui fiet ducendo quantitatem aqu{\ae} effluentis in velocitatem suam, hoc est motus omnis tempore effluxus illius genitus, {\ae}quabitur motui $AF \times V$. Et si {\ae}quales illi motus \label{wasp331}applicentur ad $FV$; fiet $\frac{2dd}{ee} S$ {\ae}qualis $A$. Unde est $dd$ ad $ee$ ut $A$ ad $2S$, \& $d$ ad $e$ in dimidiata ratione $\frac{1}{2}A$ ad $S$. Est igitur velocitas quacum aqua exit e foramine, ad velocitatem quam aqua cadens, \& tempore $T$ cadendo describens spatium $S$ acquireret, ut altitudo aqu{\ae} foramini perpendiculariter incumbentis, ad medium proportionale inter altitudinem illam duplicatam \& spatium illud $S$, quod corpus tempore $T$ cadendo describeret. Igitur si motus illi sursum vertantur; quoniam aqua velocitate $V$ ascenderet ad altitudinem illam $S$ de qua deciderat; \& altitudines (uti notum est) sint in duplicata ratione velocitatum: aqua effluens ascenderet ad altitudinem $\frac{1}{2}A$. Et propterea quantitas aqu{\ae} effluentis; quo tempore corpus cadendo describere posset altitudinem $\frac{1}{2}A$, {\ae}qualis erit column{\ae} aqu{\ae} totius $AF$ foramini perpendiculariter imminentis. Cum autem aqua effluens, motu suo sursum verso, perpendiculariter surgeret ad dimidiam altitudinem aqu{\ae} foramini incumbentis; consequens est quod si egrediatur oblique per canalem in latus vasis, describet in spatiis non resistentibus Parabolam cujus latus rectum est altitudo aqu{\ae} in vase supra canalis orificium, \& cujus diameter horizonti perpendicularis ab orificio illo ducitur, atque ordinatim applicat{\ae} parallel{\ae} sunt axi canalis. H{\ae}c omnia de Fluido subtilissimo intelligenda sunt. Nam si aqua ex partibus crassioribus constet, h{\ae}c tardius effluet quam pro ratione superius assignata, pr{\ae}sertim si foramen angustum sit per quod effluit. % -----File: 340.png--- Denique si aqua per canalem horizonti parallelum egrediatur; quoniam fundum vasis integrum est, \& eadem aqu{\ae} incumbentis pressione ubique urgetur ac si aqua non efflueret; vas sustinebit pondus aqu{\ae} totius, non obstante effluxu, sed latus vasis de quo effluit non sustinebit pressionem illam omnem, quam sustineret si aqua non efflueret. Tolletur enim pressio partis illius ubi perforatur: qu{\ae} quidem pressio {\ae}qualis est ponderi column{\ae} aqu{\ae}, cujus basis foramini {\ae}quatur \& altitudo eadem est qu{\ae} aqu{\ae} totius supra foramen. Et propterea si vas, ad modum corporis penduli, filo pr{\ae}longo a clavo suspendatur, hoc, si aqua in plagam quamvis secundum lineam horizontalem effluit, recedet semper a perpendiculo in plagam contrariam. Et par est ratio motus pilarum, qu{\ae} Pulvere tormentario madefacto implentur, \&, materia in flammam per foramen paulatim expirante, recedunt a regione flamm{\ae} \& in partem contrariam cum impetu feruntur. \condpagelarge{Prop.\ XXXVIII\@. Theor.\ XXIX.} \textit{Corporum Sph{\ae}ricorum in Mediis quibusque Fluidissimis resistentiam in anteriore superficie definire.} \pngright{341.png}{1665}{2402}{-24} %Illustration Defluat aqua de vase Cylindrico $ABCD$, per canalem Cylindricum $EFGH$, in vas inferius $IKLM$; \& inde effluat per vasis marginem $IM$. Sit autem margo ille ejusdem altitudinis cum vasis superioris fundo $CD$, eo ut aqua per totum canalem uniformi cum motu descendat; \& in medio canalis collocetur Globus $P$, sitque $PR$ altitudo aqu{\ae} supra Globum, \& $SR$ ejusdem altitudo supra fundum vasis. Sustineatur autem Globus filo tenuissimo $TV$, lateribus canalis hinc inde affixo. Et manifestum est per proportionem superiorem, quod quantitas aqu{\ae} dato tempore defluentis erit ut amplitudo foraminis per quod defluit; hoc est, si Globus tollatur, ut canalis orificium: sin Globus adsit, ut spatium undique inter Globum \& canalem. Nam velocitas aqu{\ae} defluentis (per superiorem Propositionem) ea erit % -----File: 341.png--- quam corpus cadendo, \& casu suo describendo dimidiam aqu{\ae} altitudinem $SR$, acquirere posset: adeoque eadem est sive Globus tollatur, sive adsit. Et propterea aqua defluens erit ut amplitudo spatii per quod transit. Certe transitus aqu{\ae} per spatium angustius facilior esse nequit quam per spatium amplius, \& propterea velocitas ejus ubi Globus adest, non potest esse major quam cum tollitur: ideoque major aqu{\ae} quantitas, ubi Globus adest, non effluet quam pro ratione spatii per quod transit. Si aqua non sit liquor subtilissimus \& fluidissimus, hujus transitus per spatium angustius, ob crassitudinem particularum, erit aliquanto tardior: at liquorem fluidissimum esse hic supponimus. Igitur quantitas aqu{\ae}, cujus descensum Globus dato tempore impedit, est ad quantitatem aqu{\ae} qu{\ae}, si Globus tolleretur, eodem tempore descenderet, ut basis Cylindri circa Globum descripti ad orificium canalis; sive ut quadratum diametri Globi ad quadratum diametri cavitatis canalis. Et propterea quantitas aqu{\ae} cujus descensum Globus impedit, {\ae}qualis est quantitati aqu{\ae}, qu{\ae} eodem % -----File: 342.png--- tempore per foramen circulare in fundo vasis, basi Cylindri illius {\ae}quale, descendere posset, \& cujus descensus per fundi partem quamvis circularem basi illi {\ae}qualem impeditur. Jam vero pondus aqu{\ae}, quod vas \& Globus conjunctim sustinent, est pondus aqu{\ae} totius in vase, pr{\ae}ter partem illam qu{\ae} aquam defluentem accelerat, \& ad ejus motum generandum sufficit, qu{\ae}que, per Propositionem superiorem, {\ae}qualis est ponderi column{\ae} aqu{\ae} cujus basis {\ae}quatur spatio inter Globum \& canalem per quod aqua defluit, \& altitudo eadem cum altitudine aqu{\ae} supra fundum vasis, per lineam $SR$ designata. Vasis igitur fundum \& Globus conjunctim sustinent pondus aqu{\ae} totius in vase sibi ipsis perpendiculariter imminentis. Unde cum fundum vasis sustineat pondus aqu{\ae} sibi perpendiculariter imminentis, reliquum est ut Globus etiam sustineat pondus aqu{\ae} sibi perpendiculariter imminentis. Globus quidem non sustinet pondus aqu{\ae} illius stagnantis \& sibi absque omni motu incumbentis, sed aqu{\ae} defluenti resistendo impedit effectum tanti ponderis; adeoque vim aqu{\ae} defluentis sustinet ponderi illi {\ae}qualem. Nam impedit descensum \& effluxum quantitatis aqu{\ae} quem pondus illud accurate efficeret si Globus tolleretur. Aqua pondere suo, quatenus descensus ejus impeditur, urget obstaculum omne, ideoque obstaculum, quatenus descensum aqu{\ae} impedit, vim sustinet {\ae}qualem ponderi quo descensus ille efficeretur. Globus autem descensum quantitatis aqu{\ae} impedit, quem pondus column{\ae} aqu{\ae} sibi perpendiculariter incumbentis efficere posset; \& propterea vim aqu{\ae} decurrentis sustinet ponderi illi {\ae}qualem. Actio \& reactio aqu{\ae} per motus Legem tertiam {\ae}quantur inter se, \& in plagas contrarias diriguntur. Actio Globi in aquam descendentem, ad ejus descensum impediendum, in superiora dirigitur, \& est ut descendendi motus impeditus, eique tollendo ad{\ae}quate sufficit: \& propterea actio contraria aqu{\ae} in Globum {\ae}qualis est vi qu{\ae} motum eundem vel tollere vel generare possit, % -----File: 343.png--- hoc est ponderi column{\ae} aqu{\ae}, qu{\ae} Globo perpendiculariter imminet \& cujus altitudo est $RS$. Si jam canalis orificium superius obstruatur, sic ut aqua descendere nequeat, Globus quidem, pondere aqu{\ae} in canali \& vase inferiore $IKLM$ stagnantis, premetur undique; sed non obstante pressione illa, si ejusdem sit specific{\ae} gravitatis cum aqua, quiescet. Pressio illa Globum nullam in partem impellet. Et propterea ubi canalis aperitur \& aqua de vase superiore descendit, vis omnis, qua Globus impellitur deorsum, orietur ab aqu{\ae} illius descensu, atque adeo {\ae}qualis erit ponderi column{\ae} aqu{\ae}, cujus altitudo est $RS$ \& diameter eadem qu{\ae} Globi. Pondus autem istud, quo tempore data qu{\ae}libet aqu{\ae} quantitas, per foramen basi Cylindri circa Globum descripti {\ae}quale, sublato Globo effluere posset, sufficit ad ejus motum omnem generandum; atque adeo quo tempore aqua in Cylindro uniformiter decurrendo describit duas tertias partes diametri Globi, sufficit ad motum omnem aqu{\ae} Globo {\ae}qualis generandum. Nam Cylindrus aqu{\ae}, latitudine Globi \& duabus tertiis partibus altitudinis descriptus, Globo {\ae}quatur. Et propterea aqu{\ae} currentis impetus in Globum quiescentem, quo tempore aqua currendo describit duas tertias partes diametri Globi, si uniformiter continuetur, generaret motum omnem partis Fluidi qu{\ae} Globo {\ae}quatur. Qu{\ae} vero de aqua in canali demonstrata sunt, intelligenda sunt etiam de aqua quacunque fluente, qua Globus quilibet in ea quiescens urgetur. Qu{\ae}que de aqua demonstrata sunt obtinent etiam in Fluidis universis subtilissimis. De his omnibus idem valet argumentum. Jam vero per Legum Corol.\ 5, vis Fluidi in Globum eadem est, sive Globus quiescat \& Fluidum uniformi cum velocitate moveatur, sive Fluidum quiescat \& Globus eadem cum velocitate in partem contrariam pergat. Et propterea resistentia Globi in Medio quocunque Fluidissimo uniformiter progredientis, quo tempore Globus duas tertias partes diametri su{\ae} describit, {\ae}qualis % -----File: 344.png--- est vi, qu{\ae} in corpus ejusdem magnitudinis cum Globo \& ejusdem densitatis cum Medio uniformiter impressa, quo tempore Globus duas tertias partes diametri su{\ae} progrediendo describit, velocitatem Globi in corpore illo generare posset. Tanta est resistentia Globi in superficiei parte pr{\ae}cedente. \QEIit \textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Si solidum Sph{\ae}ricum in ejusdem secum densitatis Fluido subtilissimo libere moveatur, \& inter movendum eadem vi urgeatur a tergo atque cum quiescit; ejusdem resistentia ea erit quam in Corollario secundo Propositionis xxxvi.\ descripsimus. Unde si computus ineatur, patebit quod solidum dimidiam motus sui partem prius amittet, quam progrediendo descripserit longitudinem diametri propri{\ae}; Quod si inter movendum minus urgeatur a tergo, magis retardabitur: \& contra, si magis urgeatur, minus retardabitur. \textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Hallucinantur igitur qui credunt resistentiam projectilium per infinitam divisionem partium Fluidi in infinitum diminui. Si Fluidum sit valde crassum, minuetur resistentia aliquantulum per divisionem partium ejus. At postquam competentem Fluiditatis gradum acquisiverit, (qualis forte est Fluiditas Aeris vel aqu{\ae} vel argenti vivi) resistentia in anteriore superficie solidi, per ulteriorem partium divisionem non multum minuetur. Nunquam enim minor futura est quam pro limite quem in Corollario superiore assignavimus. \textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Media\spreadout{igitur in quibus corpora projectilia sine sensibili motus} \\ diminutione longissime progrediuntur, non solum Fluidissima sunt, sed etiam longe rariora quam sunt corpora illa qu{\ae} in ipsis moventur: nisi forte quis dixerit Medium omne Fluidissimum, impetu perpetuo in posticam projectilis partem facto, tantum promovere motum ejus quantum impedit \& resistit in parte antica. Et motus quidem illius, quem projectile imprimit in Medium, partem aliquam a Medio circulariter lato reddi corpori a tergo verisimile est. Nam \& experimentis quibusdam factis, reperi quod in Fluidis satis compressis pars aliqua redditur. % -----File: 345.png--- Omnem vero in casu quocunque reddi nec rationi consentaneum videtur, neque cum experimentis hactenus a me tentatis bene quadrat. Fluidorum enim utcunque subtilium, si densa sint, vim ad solida movenda resistendaque permagnam esse, \& quomodo vis illius quantitas per experimenta determinetur, plenius patebit per Propositiones duas qu{\ae} sequuntur. \condpagelarge{Lemma IV.} \textit{Si vas Sph{\ae}ricum Fluido homogeneo quiescente plenum a vi impressa moveatur in directum, motuque progessivo semper accelerato ita pergat ut interea non moveatur in orbem: partes Fluidi inclusi, {\ae}qualiter participando motum vasis, quiescent inter se. Idem obtinebit in vase figur{\ae} cujuscunque. Res manifesta est, nec indiget demonstratione.} \condpagelarge{Prop.\ XXXIX\@. Theor.\ XXX.} \textit{Fluidum omne quod motu accelerato ad modum venti increbescentis progreditur, \& cujus partes inter se quiescunt, rapit omnia ejusdem densitatis innatantia corpora, \& secum cum eadem velocitate defert.} Nam per Lemma superius si vas Sph{\ae}ricum, rigidum, Fluidoque homogeneo quiescente plenum, motu paulatim impresso progrediatur; Fluidi motum vasis participantis partis omnes semper quiescent inter se. Ergo si Fluidi partes aliqu{\ae} congelarentur, pergerent h{\ae} quiescere inter partes reliquas. Nam quoniam partes omnes quiescunt inter se, perinde est sive fluid{\ae} sint, sive aliqu{\ae} earum rigescant. Ergo si vas a vi aliqua extrinsecus impressa moveatur, \& motum suum imprimat in Fluidum; Fluidum quoque motum suum imprimet in sui ipsius partes congelatas easque secum rapiet. Sed partes ill{\ae} congelat{\ae} sunt corpora solida ejusdem densitates cum Fluido; \& par est ratio Fluidi, sive id in vase moto claudatur, sive in spatiis liberis ad modum venti % -----File: 346.png--- spiret. Ergo Fluidum omne quod motu progressivo accelerato fertur, \& cujus partes inter se quiescunt, solida qu{\ae}cunque ejusdem densitatis inclusa, qu{\ae} sub initio quiescebant, rapit secum, \& una moveri cogit. \QEDit \condpagelarge{Prop.\ XL\@. Prob.\ X.} \textit{Invenire resistentiam solidorum Sph{\ae}ricorum in Mediis Fluidissimis densitate datis.} In Fluido quocunque dato inveniatur resistentia ultima solidi specie dati, cujus magnitudo in infinitum augetur. Dein dic: ut ejus motus amissus, quo tempore progrediendo longitudinem semidiametri su{\ae} describit, est ad ejus motum totum sub initio, ita motus quem solidum quodvis datum, in Fluido eodem jam facto subtilissimo, describendo diametri su{\ae} longitudinem amitteret, est ad ejus motum totum sub initio quamproxime. Nam si particul{\ae} minim{\ae} Fluidi subtiliati eandem habeant proportionem eundemque situm ad solidum datum in eo movens, quem particul{\ae} totidem minim{\ae} Fluidi non subtiliati habent ad solidum auctum; sintque particul{\ae} Fluidi utrius{\que} summe lubric{\ae}, \& viribus centrifugis centripetisque omnino destituantur; incipiant autem solida temporibus quibuscunque proportionalibus in his Fluidis similiter moveri: pergent eadem similiter moveri, adeoque quo tempore describunt spatia semidiametris suis {\ae}qualia, amittent partes motuum proportionales totis; idque licet partes Medii subtiliati minuantur, \& magnitudo solidi in Medio non subtiliato moventis augeatur in infinitum. Ergo ex resistentia solidi aucti in Medio non subtiliato, dabitur per proportionem superiorem resistentia solidi non aucti in Medio subtiliato. \QEIit Si particul{\ae} non sunt summe lubric{\ae}, supponendum est quod in utro{\que} Fluido sunt {\ae}qualiter lubric{\ae}, eo ut ex defectu lubricitatis resistentia utrin{\que} {\ae}qualiter augeatur: \& Propositio etiamnum valebit. % -----File: 347.png--- \textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Ergo si ex aucta solidi Sph{\ae}rici magnitudine augeatur ejus resistentia in ratione duplicata, resistentia solidi Sph{\ae}rici dati ex diminuta magnitudine particularum Fluidi, nullatenus minuetur. \textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Sin resistentia, augendo solidum Sph{\ae}ricum, augeatur in minore quam duplicata ratione diametri; eadem diminuendo particulas Fluidi, diminuetur in ratione qua resistentia aucta deficit a ratione duplicata diametri. \textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Unde perspicuum est quod solidi dati resistentia per divisionem partium Fluidi non multum diminui potest. Nam resistentia solidi aucti debebit esse quam proxime ut quantitas materi{\ae} fluid{\ae} resistentis, quam solidum illud movendo protrudit \& a locis a se invasis \& occupatis propellit: hoc est ut spatium Cylindricum per quod solidum movetur, adeoque in duplicata ratione semidiametri solidi quamproxime. \textit{Corol.\fsp{}4.}\wsp{}Igitur propositis duobus Fluidis, quorum alterum ab altero quoad vim resistendi longissime superatur: Fluidum quod minus resistit est altero rarius; suntque Fluidorum omnium vires resistendi prope ut eorum densitates; pr{\ae}sertim si solida sint magna, \& velociter moveantur, \& Fluidorum {\ae}qualis sit compressio. \condpagelarge{\textit{Scholium Generale.}} Qu{\ae} hactenus demonstrata sunt tentavi in hunc modum. Globum ligneum pondere unciarum \textit{Romanarum} $57\frac{7}{22}$, diametro digitorum \textit{Londinensium} $6\frac{7}{8}$ fabricatum, filo tenui ab unco satis firmo suspendi, ita ut inter uncum \& centrum oscillationis Globi distantia esset pedum $10\frac{1}{2}$. In filo punctum notavi pedibus decem \& uncia una a centro suspensionis distans; \& e regione puncti illius collocavi Regulam in digitos distinctam, quorum ope notarem longitudines arcuum a Pendulo descriptas. Deinde numeravi oscillationes quibus Globus quartam motus sui partem amitteret. Si pendulum deducebatur a perpendiculo ad distantiam % -----File: 348.png--- duorum digitorum, \& inde demittebatur; ita ut toto suo descensu describeret arcum duorum digitorum, totaque oscillatione prima, ex descensu \& ascensu subsequente composita, arcum digitorum fere quatuor; idem oscillationibus 164 amisit octavam motus sui partem, sic ut ultimo suo ascensu describeret arcum digiti unius cum tribus partibus quartis digiti. Si primo descensu descripsit arcum digitorum quatuor, amisit octavam motus partem oscillationibus 121; ita ut ascensu ultimo \label{wasp340}describeret arcum digitorum $3\frac{1}{2}$. Si primo descensu descripsit arcum digitorum octo, sexdecim, triginta duorum vel sexaginta quatuor, amisit octavam motus partem oscillationibus 69, $35\frac{1}{2}$, $18\frac{1}{2}$, $9\frac{2}{3}$, respective. Igitur differentia inter arcus descensu primo \& ascensu ultimo descriptos, erat in casu primo, secundo, tertio, quarto, quinto, sexto, digitorum $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{2}$, 1, 2, 4, 8 respective. Dividantur e{\ae} differenti{\ae} per numerum oscillationum in casu unoquoque; \& in oscillatione una mediocri, qua arcus digitorum $3\frac{3}{4}$, $7\frac{1}{2}$, 15, 30, 60, 120 descriptus fuit, differentia arcuum descensu \& subsequente ascensu descriptorum, erit $\frac{1}{656}$, $\frac{1}{242}$, $\frac{1}{69}$, $\frac{4}{71}$, $\frac{8}{37}$, $\frac{24}{29}$ partes digiti respective. H{\ae} autem in majoribus oscillationibus sunt in duplicata ratione arcuum descriptorum quam proxime; in minoribus vero paulo majores quam in ea ratione, \& propterea (per Corol.\ 2.\ Prop.\ xxxi.\ Libri hujus) resistentia Globi, ubi celerius movetur, est in duplicata ratione velocitatis quamproxime; ubi tardius, paulo major quam in ea ratione: omnino ut in Corollariis Propositionis xxxii.\ demonstratum est. Designet jam $V$ velocitatem maximam in oscillatione quavis, sintque $A$, $B$, $C$ quantitates dat{\ae}, \& fingamus quod differentia arcuum sit $AV + BV^{\frac{3}{2}} + CV^2$. Et cum velocitates maxim{\ae} in pr{\ae}dictis sex Casibus, sint ut arcuum dimidiorum $1\frac{7}{8}$, $3\frac{3}{4}$, $7\frac{1}{2}$, 15, 30, 60 chord{\ae}, atque adeo ut arcus ipsi quamproxime, hoc est ut numeri $\frac{1}{2}$, 1, 2, 4, 8, 16: scribamus in Cas.\ secundo quarto \& sexto numeros 1, 4, \& 16 pro $V$; \& prodibit arcuum differentia $\frac{1}{242}$ {\ae}qualis $A + B + C$ in Cas.\ secundo; \& $\frac{2}{35\frac{1}{2}}$ {\ae}qualis $4A + 8B + 16C$ % -----File: 349.png--- in casu quarto; \& $\frac{8}{9\frac{2}{3}}$ {\ae}qualis $16A + 64B + 256C$ in casu sexto. Unde si per has {\ae}quationes determinemus quantitates $A$, $B$, $C$; habebimus Regulam inveniendi differentiam arcuum pro velocitate quacunque data. C{\ae}terum cum velocitates maxim{\ae} sint in Cycloide ut arcus oscillando descripti, in circulo vero ut semissium arcuum illorum chord{\ae}, adeoque paribus arcubus majores sint in Cycloide quam in circulo, in ratione semissium arcuum ad eorundem chordas; tempora autem in circulo sint majora quam in Cycloide in velocitatis ratione reciproca: ut ex resistentia in circulo inveniatur resistentia in Trochoide, debebit resistentia augeri in duplicata circiter ratione arcus ad chordam, ob velocitatem in ratione illa simplici auctam; \& diminui in ratione chord{\ae} ad arcum, ob tempus (seu durationem resistenti{\ae} qua arcuum differentia pr{\ae}dicta generatur) diminutum in eadem ratione: id est (si rationes conjungamus) debebit resistentia augeri in ratione arcus ad chordam circiter. H{\ae}c ratio in casu secundo est 6283 ad 6279, in quarto 12566 ad 12533, in sexto 25132 ad 24869. Et inde resistentia $\frac{1}{242}$, $\frac{2}{35\frac{1}{2}}$, \& $\frac{8}{9\frac{2}{3}}$ evadunt $\frac{6283}{6279 \times 242}$, $\frac{25132}{12533 \times 35\frac{1}{2}}$ \& $\frac{201056}{24869 \times 9\frac{2}{3}}$, id est in numeris decimalibus $0\decimals{004135}$, $0\decimals{056486}$ \& $0\decimals{8363}$. Unde prodeunt {\ae}quationes $A + B + C = 0\decimals{004135}$: $4A + 8B + 16C = 0\decimals{05648}$ \& $16A + 64B + 256C = 0\decimals{8363}$. Et ex his per debitam terminorum collationem \& reductionem Analyticam fit $A = 0\decimals{0002097}$, $B = 0\decimals{0008955}$ \& $C = 0\decimals{0030298}$. Est igitur differentia arcuum ut \label{wasp341}$0\decimals{0002097}V + 0\decimals{0008955}V^{\frac{3}{2}} + 0\decimals{0030298}V^2$: \& propterea cum per Corol.\ Prop.\ xxx.\ resistentia Globi in medio arcus oscillando descripti, ubi velocitas est $V$, sit ad ipsius pondus ut $\frac{7}{11}AV + \frac{16}{23}BV^{\frac{3}{2}} + \frac{3}{4}CV^2$ ad longitudinem Penduli; si pro $A$, $B$, \& $C$ scribantur numeri inventi, fiet resistentia Globi ad ejus pondus, ut $0\decimals{0001334}V + 0\decimals{000623}V^{\frac{3}{2}} + 0\decimals{00227235}V^2$ ad longitudinem Penduli inter centrum suspensionis \& Regulam, id est ad 121 digitos. Unde cum $V$ in % -----File: 350.png--- casu secundo designet 1, in quarto 4, in sexto 16: erit resistentia ad pondus Globi in casu secundo ut $0\decimals{003029}$ ad 121, in quarto ut $0\decimals{042875}$ ad 121, in sexto ut $0\decimals{63013}$ ad 121. Arcus quem punctum in filo notatum in Cas.\ sexto descripsit, erat $120 - \frac{8}{9\frac{2}{3}}$ seu $119\frac{5}{29}$ digitorum. Et propterea cum radius esset 121 digitorum, \& longitudo penduli inter punctum suspensionis \& centrum Globi esset 126 digitorum, arcus quem centrum Globi descripsit erat $124\frac{3}{31}$ digitorum. Quoniam corporis oscillantis velocitas maxima ob resistentiam Aeris non incidit in punctum infimum arcus descripti, sed in medio fere loco arcus totius versatur: h{\ae}c eadem erit circiter ac si Globus descensu suo toto in Medio non resistente describeret arcus illius partem dimidiam digitorum $62\frac{3}{62}$; idque in Cycloide, ad quam motum penduli supra reduximus: \& propterea velocitas illa {\ae}qualis erit velocitati quam Globus, perpendiculariter cadendo \& casu suo describendo altitudinem arcus illius Sinui verso {\ae}qualem, acquirere posset. Est autem sinus ille versus in Cycloide ad arcum istum $62\frac{3}{62}$ ut arcus idem ad penduli longitudinem duplam 252, \& propterea {\ae}qualis digitis $15\decimals{278}$. Quare velocitas ea ipsa est quam corpus cadendo \& casu suo spatium $15\decimals{278}$ digitorum describendo acquirere posset. Unde cum corpus tempore minuti unius secundi cadendo (uti per experimenta pendulorum determinavit \textit{Hugenius}) describat pedes \textit{Parisienses} $15\frac{1}{12}$, id est pedes \textit{Anglicos} $16\frac{11}{24}$ seu digitos $197\frac{1}{2}$, \& tempora sint in dimidiata ratione spatiorum; Globus tempore minut.\ $16^{\mathrm{tert.}}$ $38^{\mathrm{quart.}}$ cadendo describet $15\decimals{278}$ digitos, \& velocitatem suam pr{\ae}dictam acquiret; \& propterea cum eadem velocitate uniformiter continuata describet eodem tempore longitudinem duplam $30\decimals{556}$ digitorum. Tali igitur cum velocitate Globus resistentiam patitur, qu{\ae} sit ad ejus pondus ut $0\decimals{63013}$ ad 121, vel (si resistenti{\ae} pars illa sola spectetur qu{\ae} est in velocitatis ratione duplicata) ut $0\decimals{58172}$ ad 121. Experimento autem Hydrostatico inveni quod pondus Globi % -----File: 351.png--- hujus lignei esset ad pondus Globi aquei magnitudinis ejusdem, ut 55 ad 97: \& propterea cum 121 sit ad $213\decimals{4}$ in eadem ratione, erit resistentia Globi aquei pr{\ae}fata cum velocitate progredientis ad ipsius pondus ut $0\decimals{58172}$ ad $213\decimals{4}$, id est ut 1 ad $366\frac{5}{6}$. Unde cum pondus Globi aquei, quo tempore Globus cum velocitate uniformiter continuata describat longitudinem pedum $30\decimals{556}$, velocitatem illam omnem in Globo cadente generare posset; manifestum est quod vis resistenti{\ae} uniformiter continuata tollere posset velocitatem minorem in ratione 1 ad $366\frac{5}{6}$, hoc est velocitatis totius partem $\frac{1}{366\frac{5}{6}}$. Et propterea quo tempore Globus, ea cum velocitate uniformiter continuata, longitudinem semidiametri su{\ae} seu digitorum $3\frac{7}{16}$ describere posset, eodem amitteret motus sui partem $\frac{1}{3262}$. Numerabam etiam oscillationes quibus pendulum quartam motus sui partem amisit. In sequente Tabula numeri supremi denotant longitudinem arcus descensu primo descripti, in digitis \& partibus digiti expressam: numeri medii significant longitudinem arcus ascensu ultimo descripti; \& loco infimo stant numeri oscillationum. Experimentum descripsi tanquam magis accuratum quam cum motus pars tantum octava amitteretur. Calculum tentet qui volet. \vspace{\baselineskip} \begin{tabular}{lcccccc} \textit{Descensus Primus} & 2 & 4 & 8 & 16 & 32 & 64 \\ \textit{Ascensus ultimus} & $1\frac{1}{2}$ & 3 & 6 & 12 & 24 & 48 \\ \textit{Num.\ Oscillat.} & 374 & 272 & $162\frac{1}{2}$ & $83\frac{1}{3}$ & $41\frac{2}{3}$ & $22\frac{2}{3}$ \end{tabular} \vspace{\baselineskip} Postea Globum plumbeum, diametro digitorum duorum \& pondere unciarum Romanarum $26\frac{1}{4}$ suspendi filo eodem, sic ut inter centrum Globi \& punctum suspensionis intervallum esset pedum $10\frac{1}{2}$, \& numerabam oscillationes quibus data motus pars amitteretur. Tabularum subsequentium prior exhibet numerum % -----File: 352.png--- oscillationum quibus pars octava motus totius cessavit; secunda numerum oscillationum quibus ejusdem pars quarta amissa fuit. \vspace{\baselineskip} \begin{tabular}{lccccccc} \textit{Descensus primus} & 1 & 2 & 4 & 8 & 16 & 32 & 64 \\ \textit{Ascensus ultimus} & $\frac{7}{8}$ & $\frac{7}{4}$ & $3\frac{1}{2}$ & 7 & 14 & 28 & 56 \\ \textit{Numerus Oscillat.} & 226 & 228 & 193 & 140 & $90\frac{1}{2}$ & 53 & 30 \\ \\ \textit{Descensus primus} & 1 & 2 & 4 & 8 & 16 & 32 & 64 \\ \textit{Ascensus ultimus} & $\frac{3}{4}$ & $1\frac{1}{2}$ & 3 & 6 & 12 & 24 & 48 \\ \textit{Numerus Oscillat.} & 510 & 518 & 420 & 318 & 204 & 121 & 70 \\ \end{tabular} \vspace{\baselineskip} In Tabula priore seligendo ex observationibus tertiam, quintam \& septimam, \& exponendo velocitates maximas in his observationibus particulatim per numeros 1, 4, 16 respective, \& generaliter per quantitatem $V$ ut supra: emerget in observatione prima $\frac{2}{193} = A + B + C$, in secunda $\frac{2}{90\frac{1}{2}} = 4A + 8B + 16C$, in tertia $\frac{8}{30}$ {\ae}qu.\ $16A + 64B + 256C$. Qu{\ae} {\ae}quationes per reductiones superius expositas dant, $A = 0\decimals{000145}$, $B = 0\decimals{000247}$ \& $C = 0\decimals{0009}$. Et inde prodit resistentia Globi cum velocitate $V$ moventis, in ea ratione ad pondus suum unciarum $26\frac{1}{4}$, quam habet $0\decimals{000923}V + 0\decimals{000172}V^{\frac{3}{2}} + 0\decimals{000675}V^2$ ad Penduli longitudinem 121 digitorum. Et si spectemus eam solummodo resistenti{\ae} partem qu{\ae} est in duplicata ratione velocitatis, h{\ae}c erit ad pondus Globi ut $0\decimals{000675}V^2$ ad 121 digitos. Erat autem h{\ae}c pars resistenti{\ae} in experimento primo ad pondus Globi lignei unciarum $57\frac{7}{22}$ ut $0\decimals{00227235}V^2$ ad 121: \& inde fit resistentia Globi lignei ad resistentiam Globi plumbei (paribus eorum velocitatibus) ut $57\frac{7}{22}$ in $0\decimals{00227235}$ ad $26\frac{1}{4}$ in $0\decimals{000675},$ id est ut 130309 ad 17719 seu $7\frac{1}{3}$ ad 1. Diametri Globorum duorum erant $6\frac{7}{8}$ \& 2 digitorum, \& harum quadrata sunt ad invicem ut $47\frac{1}{4}$ \& 4, seu $11\frac{13}{16}$ \& 1 quamproxime. Ergo resistenti{\ae} % -----File: 353.png--- Globorum {\ae}quivelocium erant in minore ratione quam duplicata diametrorum. At nondum consideravimus resistentiam fili, qu{\ae} certe permagna erat, ac de pendulorum inventa resistentia subduci debet. Hanc accurate definire non potui, sed majorem tamen inveni quam partem tertiam resistenti{\ae} totius minoris penduli, \& inde didici quod resistenti{\ae} Globorum, dempta fili resistentia, sunt quamproxime in dimidiata ratione diametrorum. Nam ratio $7\frac{1}{3} - \frac{1}{3}$ ad $1 - \frac{1}{3}$, id est 7 ad \label{wasp345}$\frac{2}{3}$ seu $10\frac{1}{2}$ ad 1, non longe abest a diametrorum ratione duplicata $11\frac{13}{16}$ ad 1. Cum resistentia fili in Globis majoribus minoris sit momenti, tentavi etiam experimentum in Globo cujus diameter erat $18\frac{1}{4}$ digitorum. Longitudo penduli inter punctum suspensionis \& centrum oscillationis erat digitorum $122\frac{3}{4}$ inter punctum suspensionis \& nodum in filo $109\frac{1}{2}$ dig. Arcus primo penduli descensu a nodo descriptus, 32 dig.\ arcus ascensu ultimo post oscillationes quinque ab eodem nodo descriptus, 28 dig. Summa arcuum seu arcus totus oscillatione mediocri descriptus, 30 dig. Differentia arcuum 4 dig. Ejus pars decima seu differentia inter descensum \& ascensum in oscillatione mediocri $\frac{2}{5}$ dig. Ut radius $109\frac{1}{2}$ ad radium $122\frac{1}{2}$, ita arcus totus 60 dig.\ oscillatione mediocri a Nodo descriptus, ad arcum totum $67\frac{1}{8}$, oscillatione mediocri a centro Globi descriptum: \& ita differentia $\frac{2}{5}$ ad differentiam novam $0\decimals{4475}$. Si longitudo penduli, manente longitudine arcus descripti, augeretur in ratione 126 ad $122\frac{1}{2}$, velocitas ejus diminueretur in ratione illa dimidiata; \& arcuum descensu \& subsequente ascensu descriptorum differentia $0\decimals{4475}$ diminueretur in ratione velocitatis, adeoque evaderet $0\decimals{4412}$. Deinde si arcus descriptus augeretur in ratione $67\frac{1}{8}$ ad $124\frac{3}{31}$, differentia ista $0\decimals{4412}$ augeretur in duplicata illa ratione, adeoque, evaderet $1\decimals{509}$. H{\ae}c ita se haberent, ex hypothesi quod resistentia Penduli esset in duplicata ratione velocitatis. Ergo si pendulum describeret arcum totum $124\frac{3}{31}$ digitorum, \& longitudo ejus inter punctum suspensionis \& centrum oscillationis esset 126 digitorum, differentia arcuum % -----File: 354.png--- descensu \& subsequente ascensu descriptorum foret $1\decimals{509}$ dig. Et h{\ae}c differentia ducta in pondus Globi penduli, quod erat unciarum 208, producit $313\decimals{9}$. Rursus ubi pendulum superius ex Globo ligneo constructum, centro oscillationis, quod a puncto suspensionis digitos 126 distabat, describebat arcum totum $124\frac{3}{31}$ digitorum, differentia arcuum descensu \& ascensu descriptorum fuit $\frac{126}{121}$ in $\frac{8}{9\frac{2}{3}}$ seu $\frac{25}{29}$, qu{\ae} ducta in pondus Globi, quod erat unciarum $57\frac{7}{22}$, producit $48\decimals{55}$. Duxi autem differentias hasce in pondera Globorum ut invenirem eorum resistentias. Nam differenti{\ae} oriuntur ex resistentiis, suntque ut resistenti{\ae} directe \& pondera inverse. Sunt igitur resistenti{\ae} ut numeri $313\decimals{9}$ \& $48\decimals{55}$. Pars autem resistenti{\ae} Globi minoris, qu{\ae} est in duplicata ratione velocitatis, erat ad resistentiam totam ut $0\decimals{58172}$ ad $0\decimals{63013}$, id est ut $44\decimals{4}$ ad $48\decimals{55}$; \& pars resistenti{\ae} Globi majoris propemodum {\ae}quatur ipsius resistenti{\ae} toti, adeoque partes ill{\ae} sunt ut $313\decimals{9}$ \& $44\decimals{4}$ quamproxime, id est ut $7\decimals{07}$ ad 1. Sunt autem Globorum diametri $10\frac{3}{4}$ \& $6\frac{7}{8}$; \& harum quadrata $351\frac{1}{2}$ \& $47\frac{17}{64}$ sunt ut $7\decimals{438}$ \& 1, id est ut Globorum resistenti{\ae} $7\decimals{07}$ \& 1 quamproxime. Differentia rationum haud major est quam qu{\ae} ex fili resistentia oriri potuit. Igitur resistentiarum partes ill{\ae} qu{\ae} sunt (paribus Globis) ut quadrata velocitatum, sunt etiam (paribus velocitatibus) ut quadrata diametrorum Globorum; \& propterea (per Corollaria Prop.\ XL. Libri hujus) resistentia quam Globi majores \& velociores in aere movendo sentiunt, haud multum per infinitam aeris divisionem \& subtiliationem diminui potest, proindeque Media omnia in quibus corpora multo minus resistuntur, sunt aere rariora. C{\ae}terum Globorum, quibus usus sum in his experimentis, maximus non erat perfecte Sph{\ae}ricus, \& propterea in calculo hic allato minutias quasdam brevitatis gratia neglexi; de calculo accurato in experimento non satis accurato minime sollicitus. Optarim itaque (cum demonstratio vacui ex his dependeat) ut experimenta % -----File: 355.png--- cum Globis \& pluribus \& majoribus \& magis accuratis tentarentur. Si Globi sumantur in proportione Geometrica, puta quorum diametri sint digitorum 4, 8, 16, 32; ex progressione experimentorum colligetur quid in Globis adhuc majoribus evenire debeat. Jam vero conferendo resistentias diversorum fluidorum inter se tentavi sequentia. Arcam ligneam paravi longitudine pedum quatuor, latitudine \& altitudine pedis unius. Hanc operculo nudatam implevi aqua fontana, fecique ut immersa pendula in medio aqu{\ae} oscillando moverentur. Globus autem plumbeus pondere $166\frac{1}{6}$ unciarum, diametro $3\frac{5}{8}$ digitorum, movebatur ut in Tabula sequente descripsimus, existente videlicet longitudine penduli a puncto suspensionis ad punctum quoddam in filo notatum 126 digitorum, ad oscillationis autem centrum $134\frac{1}{8}$ digitorum. \vspace{\baselineskip} \noindent\begin{tabular}{@{}p{5cm} @{\hspace{0.8em}}c @{\hspace{0.8em}}c @{\hspace{0.8em}}c @{\hspace{0.8em}}c @{\hspace{0.8em}}c @{\hspace{0.8em}}c @{\hspace{0.8em}}c @{\hspace{0.8em}}c @{\hspace{0.8em}}c} \textit{Arcus descensu primo a puncto in filo notato descriptus digitorum.} & 64 & 32 & 16 & 8 & 4 & 2 & 1 & $\frac{1}{2} $ & $\frac{1}{4}$ \\ \textit{Arcus ascensu ultimo descriptus digitorum.} & 48 & 24 & 12 & 6 & 3 & $1\frac{1}{2}$ & $\frac{3}{4}$ & $\frac{3}{8}$ & $\frac{3}{16}$ \\ \textit{Arcuum differentia motui amisso proportionalis, digitorum.} & 16 & 8 & 4 & 2 & 1 & $\frac{1}{2}$ & $\frac{1}{4}$ & $\frac{1}{8}$ & $\frac{1}{16}$ \\ \textit{Numerus oscillationum in aqua.} & & & $\frac{29}{60}$ & $1\frac{1}{5}$ & 3 & 7 & $11\frac{1}{4}$ & $12\frac{2}{3}$ & $13\frac{1}{3}$ \\ \textit{Numerus oscillationum in aere.} & $85\frac{1}{2}$ & & 287 & 535 \end{tabular} \vspace{\baselineskip} In experimento column{\ae} quart{\ae}, motus {\ae}quales oscillationibus 535 in aere, \& $1\frac{1}{5}$ in aqua amissi sunt. Erant autem oscillationes in aere paulo celeriores quam in aqua, nimirum in ratione 44 ad 41. Nam $14\frac{2}{3}$ oscillationes in aqua, \& $13\frac{2}{3}$ in aere simul peragebantur. Et propterea si oscillationes in aqua in ea ratione accelerarentur ut motus pendulorum in Medio utroque fierent {\ae}quiveloces, numerus oscillationum $1\frac{1}{5}$ in aqua, quibus motus idem ac prius amitteretur (ob resistentiam auctam in ratione illa duplicata \& tempus diminutum in ratione eadem simplici) % -----File: 356.png--- diminueretur in eadem illa ratione 44 ad 41, adeoque evaderet $1\frac{1}{5}$ in $\frac{41}{44}$ seu $\frac{123}{110}$. Paribus igitur Pendulorum velocitatibus motus {\ae}quales in aere oscillationibus 535 \& in aqua oscillationibus $\frac{123}{110}$ amissi sunt; ideoque resistentia penduli in aqua est ad ejus resistentiam in aere ut 535 ad $\frac{123}{110}$. H{\ae}c est proportio resistentiarum totarum in Cas.\ column{\ae} quart{\ae}. Designet jam $AV + CV^2$ resistentiam Globi in aere cum velocitate $V$ moventis, \& cum velocitas maxima, in Cas.\ column{\ae}, quart{\ae} sit ad velocitatem maximam in casu column{\ae} prim{\ae} ut 1 ad 8, \& resistentia in Cas.\ column{\ae} quart{\ae} ad resistentiam in Casu column{\ae} prim{\ae} in ratione arcuum differenti{\ae} in his casibus, ad numeros oscillationum applicat{\ae}, id est ut $\frac{2}{535}$ ad $\frac{16}{85\frac{1}{2}}$ seu ut $85\frac{1}{2}$ ad 4280: scribamus in his Casibus 1 \& 8 pro velocitatibus, atque $85\frac{1}{2}$ \& 4280 pro resistentiis, \& fiet $A + C = 85\frac{1}{2}$ \& $8A + 64C = 4280$ seu $A + 8C = 535$, indeque per reductionem {\ae}quationum proveniet $7C = 449\frac{1}{2}$ \& $C = 64\frac{3}{14}$ \& $A = 21\frac{2}{7}$; atque adeo resistentia ut $21\frac{2}{7}V + 64\frac{3}{14}V^2$ quamproxime. Quare in Cas.\ column{\ae} quart{\ae} ubi velocitas erat 1, resistentia tota est ad partem suam quadrato velocitatis proportionalem, ut $21\frac{2}{7} + 64\frac{3}{14}$ seu $85\frac{1}{2}$, ad $64\frac{3}{14}$; \& idcirco resistentia penduli in aqua est ad resistenti{\ae} partem illam in aere qu{\ae} quadrato velocitatis proportionalis est, qu{\ae}que sola in motibus velocioribus consideranda venit, ut $85\frac{1}{2}$ ad $64\frac{3}{14}$ \& 535 ad $\frac{123}{110}$ conjunctim, id est ut 637 ad 1. Si penduli in aqua oscillantis filum totum fuisset immersum, resistentia ejus fuisset adhuc major; adeo ut penduli in aere oscillantis resistentia illa qu{\ae} velocitatis quadrato proportionalis est, qu{\ae}que sola in corporibus velocioribus consideranda venit, sit ad resistentiam ejusdem penduli totius, eadem cum velocitate in aqua oscillantis, ut 800 vel 900 ad 1 circiter, hoc est ut densitas aqu{\ae} ad densitatem aeris quamproxime. In hoc calculo sumi quoque deberet pars illa resistenti{\ae} penduli in aqua, qu{\ae} esset ut quadratum velocitatis, sed (quod mirum % -----File: 357.png--- forte videatur) resistentia in aqua augebatur in ratione velocitatis plusquam duplicata. Ejus rei causam investigando, in hanc incidi, quod Arca nimis angusta esset pro magnitudine Globi penduli, \& motum aqu{\ae} cedentis pr{\ae} angustia sua nimis impediebat. Nam si Globus pendulus, cujus diameter erat digiti unius, immergeretur, resistentia augebatur in duplicata ratione velocitatis quamproxime. Id tentabam construendo pendulum ex Globis duobus, quorum inferior \& minor oscillaretur in aqua, superior \& major proxime supra aquam filo affixus esset, \& in Aere oscillando, adjuvaret motum penduli eumque diuturniorem redderet. Experimenta autem hoc modo instituta se habebant ut in Tabula sequente describitur. \vspace{\baselineskip} \noindent\begin{tabular}{@{}p{5.5cm} ccccccc} \textit{Arcus descensu primo descriptus} & 16 & 8 & 4 & 2 & 1 & $\frac{1}{2}$ & $ \frac{1}{4}$ \\ \textit{Arcus ascensu ultimo descriptus.} & 12 & 6 & 3 & $1\frac{1}{2}$ & $ \frac{3}{4}$ & $ \frac{3}{8}$ & $ \frac{3}{16}$ \\ \textit{Arcuum diff.\ motui amisso proportionalis} & 4 & 2 & 1 & $\frac{1}{2}$ & $ \frac{1}{4}$ & $ \frac{1}{8}$ & $ \frac{1}{16}$ \\ \textit{Numerus Oscillationum} & $3\frac{3}{8}$ & $ 6\frac{1}{2}$ & $ 12\frac{1}{12}$ & $ 21\frac{1}{5}$ & 34 & 53 & $62\frac{1}{5}$ \end{tabular} \vspace{\baselineskip} Resistentia hic nunquam augetur in ratione velocitatis plusquam duplicata. Et idem in pendulo majore evenire verisimile est, si modo Arca augeatur in ratione penduli. Debebit tamen resistentia tam in aere quam in aqua, si velocitas per gradus in infinitum augeatur, augeri tandem in ratione paulo plusquam duplicata, propterea quod in experimentis hic descriptis resistentia minor est quam pro ratione de corporibus velocissimis in Libri hujus Prop.\ xxxvi \& xxxviii.\ demonstrata. Nam corpora longe velocissima spatium a tergo relinquent vacuum, ideoque resistentia quam sentiunt in partibus pr{\ae}cedentibus, nullatenus minuetur per pressionem Medii in partibus posticis. Conferendo resistentias Mediorum inter se, effeci etiam ut pendula ferrea oscillarentur in argento vivo. Longitudo fili ferrei erat pedum quasi trium, \& diameter Globi penduli quasi tertia % -----File: 358.png--- pars digiti. Ad filum autem proxime supra Mercurium affixus erat Globus alius plumbeus satis magnus ad motum penduli diutius continuandum. Tum vasculum, quod capiebat quasi libras tres argenti vivi, implebam vicibus alternis argento vivo \& aqua communi, ut pendulo in Fluido utroque successive oscillante invenirem proportionem resistentiarum: \& prodiit resistentia argenti vivi ad resistentiam aqu{\ae} ut 13 vel 14 ad 1 circiter: id est ut densitas argenti vivi ad densitatem aqu{\ae}. Ubi Globum pendulum paulo majorem adhibebam, puta cujus diameter esset quasi $\frac{1}{2}$ vel $\frac{2}{3}$ partes digiti, prodibat resistentia argenti vivi in ea ratione ad resistentiam aqu{\ae} quam habet numerus 12 vel 10 ad 1 circiter. Sed experimento priori magis fidendum est, propterea quod in his ultimis vas nimis angustum fuit pro magnitudine Globi immersi. Ampliato Globo, deberet etiam vas ampliari. Constitueram quidem hujusmodi experimenta in vasis majoribus \& in liquoribus tum Metallorum fusorum, tum aliis quibusdam tam calidis quam frigidis repetere: sed omnia experiri non vacat, \& ex jam descriptis satis liquet resistentiam corporum celeriter motorum densitati Fluidorum in quibus moventur proportionalem esse quamproxime. Non dico accurate. Nam Fluida tenaciora pari densitate proculdubio magis resistunt quam liquidiora, ut oleum frigidum quam calidum, calidum quam aqua pluvialis, aqua quam Spiritus vini. Verum in liquoribus qui ad sensum satis fluidi sunt, ut in Aere, in aqua seu dulci seu falsa, in Spiritibus vini, Terebinthi \& Salium, in Oleo a f{\oe}cibus per destillationem liberato \& calefacto, Oleoque Vitrioli \& Mercurio, ac Metallis liquefactis, \& siqui sint alii, qui tam Fluidi sunt ut in vasis agitati motum impressum diutius conservent, effusique liberrime in guttas decurrendo resolvantur, nullus dubito quin regula allata satis accurate obtineat: pr{\ae}sertim si experimenta in corporibus pendulis \& majoribus \& velocius motis instituantur. Quare cum Globus aqueus in aere movendo resistentiam patiatur qua motus sui pars $\frac{1}{3261}$, interea dum longitudinem semidiametri % -----File: 359.png--- su{\ae} describat (ut jam ante ostensum est) tollatur, sitque densitas aeris ad densitatem aqu{\ae} ut 800 vel 850 ad 1 circiter, consequens est ut h{\ae}c Regula generaliter obtineat. Si corpus quodlibet Sph{\ae}ricum in Medio quocunque satis Fluido moveatur, \& spectetur resistenti{\ae} pars illa sola qu{\ae} est in duplicata ratione velocitatis, h{\ae}c pars erit ad vim qu{\ae} totum corporis motum, interea dum corpus idem longitudinem duarum ipsius semidiametrorum motu illo uniformiter continuato describat, vel tollere posset vel eundem generare, ut densitas Medii ad densitatem corporis quamproxime. Igitur resistentia quasi triplo major est quam pro lege in Corollario primo Propositionis xxxviii.\ allata; \& propterea partes quasi du{\ae} terti{\ae} motus illius omnis quem Globi partes antic{\ae} movendo imprimunt in Medium, restituuntur in Globi partes posticas a Medio in orbem redeunte, inque spatium irruente quod Globus alias vacuum post se relinqueret. Unde si velocitas Globi eousque augeatur ut Medium non posset adeo celeriter in spatium illud irruere, quin aliquid vacui a tergo Globi semper relinquatur, resistentia tandem evadet quasi triplo major quam pro Regula generali novissime posita. Hactenus experimentis usi sumus oscillantium pendulorum, eo quod eorum motus facilius \& accuratius observari \& mensurari possint. Motus autem pendulorum in gyrum actorum \& in orbem redeundo circulos describentium, propterea quod sint uniformes \& eo nomine ad investigandam resistentiam dat{\ae} velocitati competentem longe aptiores videantur, in consilium etiam adhibui. Faciendo enim ut pendulum circulariter latum duodecies revolveretur, notavi magnitudines circulorum duorum, quos prima \& ultima revolutione descripsit. Et inde collegi velocitates corporis sub initio \& fine. Tum dicendo quod corpus, velocitate mediocri describendo circulos duodecim mediocres, amitteret velocitatum illarum differentiam, collegi resistentiam qua differentia illa eo omni corporis per circulos duodecim itinere amitti posset; \& resistentia inventa, quanquam hujus generis experimenta % -----File: 360.png--- minus accurate tentare licuit, probe tamen cum pr{\ae}cedentibus congruebat. Denique cum receptissima Philosophorum {\ae}tatis hujus opinio sit, Medium quoddam {\ae}thereum \& longe subtilissimum extare, quod omnes omnium corporum poros \& meatus liberrime permeet; a tali autem Medio per corporum poros fluente resistentia oriri debeat: ut tentarem an resistentia, quam in motis corporibus experimur, tota sit in eorum externa superficie, an vero partes etiam intern{\ae} in superficiebus propriis resistentiam notabilem sentiant, excogitavi experimentum tale. Filo pedum undecim longitudinis, ab unco chalybeo satis firmo, mediante annulo chalybeo, suspendebam pyxidem abiegnam rotundam, ad constituendum pendulum longitudinis pr{\ae}dict{\ae}. Uncus sursum pr{\ae}acutus erat acie concava, ut annulus arcu suo superiore aciei innixus liberrime moveretur. Arcui autem inferiori annectebatur filum. Pendulum ita constitutum deducebam a perpendiculo ad distantiam quasi pedum sex, idque secundum planum aciei unci perpendiculare, ne annulus, oscillante Pendulo, supra aciem unci ultro citroque laberetur. Nam punctum suspensionis in quo annulus uncum tangit, immotum manere debet. Locum igitur accurate notabam, ad quem deduxeram pendulum, dein pendulo demisso notabam alia tria loca ad qu{\ae} redibat in fine oscillationis prim{\ae}, secund{\ae} ac terti{\ae}. Hoc repetebam s{\ae}pius, ut loca illa quam potui accuratissime invenirem. Tum pyxidem plumbo \& gravioribus, qu{\ae} ad manus erant, metallis implebam. Sed prius ponderabam pyxidem vacuam, una cum parte fili qu{\ae} circum pyxidem volvebatur ac dimidio partis reliqu{\ae} qu{\ae} inter uncum \& pyxidem pendulam tendebatur. (Nam filum tensum dimidio ponderis sui pendulum a perpendiculo digressum semper urget.) Huic ponderi addebam pondus aeris quam pyxis capiebat. Et pondus totum erat quasi pars septuagesima octava pyxidis metallorum plen{\ae}. Tum quoniam pyxis Metallorum plena, pondere suo tendendo filum, augebat longitudinem penduli, contrahebam % -----File: 361.png--- filum ut penduli jam oscillantis eadem esset longitudo ac prius. Dein pendulo ad locum primo notatum distracto ac dimisso, numerabam oscillationes quasi septuaginta \& septem, donec pyxis ad locum secundo notatum rediret, totidemque subinde donec pyxis ad locum tertio notatum rediret, atque rursus totidem donec pyxis reditu suo attingeret locum quartum. Unde concludo quod resistentia tota pyxidis plen{\ae} non majorem habebat proportionem ad resistentiam pyxidis vacu{\ae} quam 78 ad 77. Nam si {\ae}quales essent ambarum resistenti{\ae}, pyxis plena ob vim suam insitam septuagies \& octies majorem vi insita pyxidis vacui, motum suum oscillatorium tanto diutius conservare deberet, atque adeo completis semper oscillationibus 78 ad loca illa notata redire. Rediit autem ad eadem completis oscillationibus 77. Designet igitur $A$ resistentiam pyxidis in ipsius superficie externa, \& $B$ resistentiam pyxidis vacu{\ae} in partibus internis; \& si resistenti{\ae} corporum {\ae}quivelocium in partibus internis sint ut materia, seu numerus particularum qu{\ae} resistuntur: erit $78B$ resistentia pyxidis plen{\ae} in ipsius partibus internis: adeoque pyxidis vacu{\ae} resistentia tota $A + B$ erit ad pyxidis plen{\ae} resistentiam totam $A + 78B$ ut 77 ad 78, \& divisim $A + B$ ad $77B$ ut 77, ad 1, indeque $A + B$ ad $B$ ut $77 \times 77$ ad 1, \& divisim $A$ ad $B$ ut 5928 ad 1. Est igitur resistentia pyxidis vacu{\ae} in partibus internis quinquies millies minor quam ejusdem resistentia in externa superficie, \& amplius. Sic disputamus ex hypothesi quod major illa resistentia pyxidis plen{\ae} oriatur ab actione Fluidi alicujus subtilis in Metallum inclusum. Ac causam longe aliam esse opinor. Nam tempora oscillationum pyxidis plen{\ae} minora sunt quam tempora oscillationum pyxidis vacu{\ae}, \& propterea resistentia pyxidis plen{\ae} in externa superficie major est, pro ipsius velocitate \& longitudine spatii oscillando descripti, quam ea pyxidis vacu{\ae}. Quod cum ita sit, resistentia pyxidum in partibus internis aut nulla erit aut plane insensibilis. % -----File: 362.png--- Hoc experimentum recitavi memoriter. Nam charta, in qua illud aliquando descripseram, intercidit. Unde fractas quasdam numerorum partes, qu{\ae} memoria exciderunt, omittere compulsus sum. Nam omnia denuo tentare non vacat. Prima vice, cum unco infirmo usus essem, pyxis plena citius retardabatur. Causam qu{\ae}rendo, reperi quod uncus infirmus cedebat ponderi pyxidis, \& ejus oscillationibus obsequendo in partes omnes flectebatur. Parabam igitur uncum firmum, ut punctum suspensionis immotum maneret, \& tunc omnia ita evenerunt uti supra descripsimus. Eadem methodo qua invenimus resistentiam corporum Sph{\ae}ricorum in Aqua \& argento vivo, inveniri potest resistentia corporum figurarum aliarum; \& sic Navium figur{\ae} vari{\ae} in Typis exiguis construct{\ae} inter se conferri, ut qu{\ae}nam ad navigandum aptissim{\ae} sint, sumptibus parvis tentetur. \sectpage{VIII.} \begin{center}{\textit{De Motu per Fluida propagato.}}\end{center} \propnopage{Prop.\ XLI\@. Theor.\ XXXI.} \textit{Pressio non propagatur per Fluidum secundum lineas rectas, nisi ubi particul{\ae} Fluidi in directum jacent.} \pngright{362.png}{709}{603}{-24} %Illustration Si jaceant particul{\ae} $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ in linea recta, potest quidem pressio directe propagari ab $a$ ad $e$; at particula $e$ urgebit particulas oblique positas $f$ \& $g$ oblique, \& particul{\ae} ill{\ae} $f$ \& $g$ non sustinebunt pressionem illatam, nisi fulciantur a particulis ulterioribus $h$ \& $k$; quatenus autem fulciuntur, premunt particulas fulcientes; \& h{\ae} non sustinebunt pressionem nisi fulciantur % -----File: 363.png--- ab ulterioribus $l$ \& $m$ easque premant, \& sic deinceps in infinitum. Pressio igitur, quam primum propagatur ad particulas qu{\ae} non in directum jacent, divaricare incipiet \& oblique propagabitur in infinitum; \& postquam incipit oblique propagari, si inciderit in particulas ulteriores, qu{\ae} non in directum jacent, iterum divaricabit; idque toties, quoties in particulas non accurate in directum jacentes inciderit. \QEDit \pngrightsc{365.png}{2252}{2032}{16}{17} %Illustration \textit{Corol.}\wsp{}Si pressionis a dato puncto per Fluid\-um propagat{\ae} pars aliqua obstaculo intercipiatur, pars reliqua qu{\ae} non intercipitur divaricabit in spatia pone obstaculum. Id quod sic etiam demonstrari pot\-est. A puncto $A$ propagetur pressio quaquaversum, id\-que si fieri potest secundum lineas rectas, \& obstaculo $NBCK$ perforato in $BC$, intercip\-iatur ea omnis, pr{\ae}ter partem Coniformem $APQ$, qu{\ae} per foramen circulare $BC$ transit. Planis transversis $de$, $fg$, $hi$ distinguatur conus $APQ$ in frusta % -----File: 364.png--- \& interea dum conus $ABC$, pressionem propagando, urget frustum conicum ulterius $degf$ in superficie $de$, \& hoc frustum urget frustum proximum $fgih$ in superficie $fg$, \& frustum illud urget frustum tertium, \& sic deinceps in infinitum; manifestum est (per motus Legem tertiam) quod frustum primum $defg$, reactione frusti secundi $fghi$, tantum urgebitur \& premetur in superficie $fg$, quantum urget \& premit frustum illud secundum. Frustum igitur $degf$ inter Conum $Ade$ \& frustum $fhig$ comprimitur utrinque, \& propterea (per Corol.\ 6.\ Prop.\ XIX.) figuram suam servare nequit, nisi vi eadem comprimatur undique. Eodem igitur impetu quo premitur in superficiebus $de$, $fg$ conabitur cedere ad latera $df$, $eg$; ibique (cum rigidum non sit, sed omnimodo Fluidum) excurret ac dilatabitur, nisi Fluidum ambiens adsit, quo conatus iste cohibeatur. Proinde conatu excurrendi premet tam Fluidum ambiens ad latera $df$, $eg$ quam frustum $fghi$ eodem impetu; \& propterea pressio non minus propagabitur a lateribus $df$, $eg$ in spatia $NO$, $KL$ hinc inde, quam propagatur a superficie $fg$ versus $PQ$. \QEDit \condpagelarge{Prop.\ XLII\@. Theor.\ XXXII.} \textit{Motus omnis per Fluidum propagatus divergit a recto tramite in spatia immota.} \pngrightsc{365.png}{2252}{2032}{16}{17} %Illustration \textit{Cas.\fsp{}1.}\wsp{}Propagetur motus a puncto $A$ per foramen $BC$, pergatque (si fi\-eri potest) in spatio conico $BCQP$, secundum lineas rectas divergentes a puncto $C$. Et ponamus primo quod motus iste sit undarum in superficie stagnantis aqu{\ae}. Sintque $de$, $fg$, $hi$, $kl$, \&c.\ undarum singularum partes altissim{\ae}, vallibus totidem intermediis ab invicem distinct{\ae}. Igitur quoniam aqua in undarum jugis altior est quam in Fluidi partibus immotis $LK$, $NO$, defluet eadem de jugorum terminis $e$, $g$, $i$, $l$, \&c.\ $d$, $f$, $h$, $k$, \&c.\ hinc inde versus $KL$ \& $NO$: \& quoniam in undarum vallibus depressior est quam in Fluidi partibus immotis $KL$, $NO$; defluet % -----File: 365.png--- eadem de partibus illis immotis in undarum valles. Defluxu priore undarum juga, posteriore valles hinc inde dilatantur \& propagantur versus $KL$ \& $NO$. Et quoniam motus undarum ab $A$ versus $PQ$ fit per continuum defluxum jugorum in valles proximos, adeoque celerior non est quam pro celeritate descensus; \& descensus aqu{\ae} hinc inde versus $KL$ \& $NO$ eadem velocitate peragi debet; propagabitur dilatatio undarum hinc inde versus $KL$ \& $NO$, eadem velocitate qua und{\ae} ips{\ae} ab $A$ versus $PQ$ recta progrediuntur. Proindeque spatium totum hinc inde versus $KL$ \& $NO$ ab undis dilatatis $rfgr$, $shis$, $tklt$, $vmnv$, \&c.\ occupabitur. \QEDit H{\ae}c ita se habere quilibet in aqua stagnante experiri potest. \textit{Cas.\fsp{}2.}\wsp{}Ponamus jam quod $de$, $fg$, $hi$, $kl$, $mn$ designent pulsus a puncto $A$ per Medium Elasticum successive propagatos. Pulsus propagari concipe per successivas condensationes \& rarefactiones Medii, sic ut pulsus cujusque pars densissima Sph{\ae}ricam % -----File: 366.png--- occupet superficiem circa centrum $A$ descriptam, \& inter pulsus successivos {\ae}qualia intercedant intervalla. Designent autem line{\ae} $de$, $fg$, $hi$, $kl$, \&c.\ densissimas pulsuum partes per foramen $BC$ propagatas. Et quoniam Medium ibi densius est quam in spatiis hinc inde versus $KL$ \& $NO$, dilatabit sese tam versus spatia illa $KL$, $NO$ utrinque sita, quam versus pulsuum rariora intervalla; eo{\que} pacto rarius semper evadens e regione intervallorum ac densius e regione pulsuum, participabit eorundem motum. Et quoniam pulsuum progressivus motus oritur a perpetua relaxatione partium densiorum versus antecedentia intervalla rariora; \& pulsus eadem celeritate sese in Medii partes quiescentes $KL$, $NO$ hinc inde relaxare debent; pulsus illi eadem celeritate sese dilatabunt undique in spatia immota $KL$, $NO$, qua propagantur directe a centro $A$; adeoque spatium totum $KLON$ occupabunt. \QEDit Hoc experimur in sonis, qui vel domo interposita audiuntur, vel in cubiculum per fenestram admissi sese in omnes cubiculi partes dilatant, inque angulis omnibus audiuntur, non reflexi a parietibus oppositis sed a fenestra directe propagati. \textit{Cas.\fsp{}3.}\wsp{}Ponamus denique quod motus cujuscunque generis propagetur ab $A$ per foramen $BC$: \& quoniam propagatio ista non fit nisi quatenus partes Medii centro $A$ propiores urgent commoventque partes ulteriores; \& partes qu{\ae} urgentur Fluid{\ae} sunt, ideoque recedunt quaquaversum in regiones ubi minus premuntur: recedent e{\ae}dem versus Medii partes omnes quiescentes, tam laterales $KL$ \& $NO$, quam anteriores $PQ$, eoque pacto motus omnis, quam primum per foramen $BC$ transiit, dilatari incipiet, \& abinde tanquam a principio \& centro in partes omnes directe propagari. \QEDit \condpagelarge{Prop.\ XLIII\@. Theor.\ XXXIII.} \textit{Corpus omne tremulum in Medio Elastico propagabit motum pulsuum undi\-que in directum; in Medio vero non Elastico motum circularem excitabit.} % -----File: 367.png--- \textit{Cas.\fsp{}1.}\wsp{}Nam partes corporis tremuli vicibus alternis eundo \& redeundo, itu suo urgebunt \& propellent partes Medii sibi proximas, \& urgendo compriment easdem \& condensabunt; dein reditu suo sinent partes compressas recedere \& sese expandere. Igitur partes Medii corpori tremulo proxim{\ae} ibunt \& redibunt per vices, ad instar partium corporis illius tremuli: \& qua ratione partes corporis hujus agitabant hasce Medii partes, h{\ae} similibus tremoribus agitat{\ae} agitabunt partes sibi proximas, e{\ae}que similiter agitat{\ae} agitabunt ulteriores, \& sic deinceps in infinitum. Et quemadmodum Medii partes prim{\ae} eundo condensantur \& redeundo relaxantur, sic partes reliqu{\ae} quoties eunt condensabuntur, \& quoties redeunt sese expandent. Et propterea non omnes ibunt \& simul redibunt (sic enim determinatas ab invicem distantias servando non rarefierent \& condensarentur per vices) sed accedendo ad invicem ubi condensantur, \& recedendo ubi rarefiunt, aliqu{\ae} earum ibunt dum ali{\ae} redeunt; idque vicibus alternis in infinitum. Partes autem euntes \& eundo condensat{\ae}, ob motum suum progressivum quo feriunt obstacula, sunt pulsus; \& propterea pulsus successivi a corpore omni tremulo in directum propagabuntur; idque {\ae}qualibus circiter ab invicem distantiis, ob {\ae}qualia temporis intervalla, quibus corpus tremoribus suis singulis singulos pulsus excitat. \QEDit Et quanquam corporis tremuli partes eant \& redeant secundum plagam aliquam certam \& determinatam, tamen pulsus inde per Medium propagati sese dilatabunt ad latera, per Propositionem pr{\ae}cedentem; \& a corpore illo tremulo tanquam centrocommuni, secundum superficies propemodum Sph{\ae}ricas \& concentricas, undique propagabuntur. Cujus rei exemplum aliquod habemus in Undis, qu{\ae} si digito tremulo excitentur, non solum pergent hinc inde secundum plagam motus digiti, sed, in modum circulorum concentricorum, digitum statim cingent \& undique propagabuntur. Nam gravitas undarum supplet locum vis Elastic{\ae}. Quod si Medium non sit Elasticum: quoniam ejus partes a corporis % -----File: 368.png--- tremuli partibus vibratis press{\ae} condensari nequeunt, propagabitur motus in instanti ad partes ubi Medium facillime cedit, hoc est ad partes qu{\ae} corpus tremulum alioqui vacuas a tergo relinqueret. Idem est casus cum casu corporis in Medio quocunque projecti. Medium cedendo projectilibus, non recedit in infinitum, sed in circulum eundo pergit ad spatia qu{\ae} corpus relinquit a tergo. Igitur quoties corpus tremulum pergit in partem quamcunque, Medium cedendo perget per circulum ad partes quas corpus relinquit, \& quoties corpus regreditur ad locum priorem, Medium inde repelletur \& ad locum suum priorem redibit. Et quamvis corpus tremulum non sit firmum, sed modis omnibus flexile, si tamen magnitudine datum maneat, quoniam tremoribus suis nequit Medium ubivis urgere, quin alibi eidem simul cedat; efficiet ut Medium, recedendo a partibus ubi premitur, pergat semper in Orbem ad partes qu{\ae} eidem cedunt. \textit{Corol.}\wsp{}Hallucinantur igitur qui credunt agitationem partium flamm{\ae} ad pressionem per Medium ambiens secundum lineas rectas propagandam conducere. Debebit ejusmodi pressio non ab agitatione sola partium flamm{\ae} sed a totius dilatatione derivari. \condpagelarge{Prop.\ XLIV\@. Theor.\ XXXIV.} \textit{Si Aqua in canalis cruribus erectis $KL$, $MN$ vicibus alternis ascendat \& descendat; construatur autem Pendulum cujus longitudo inter punctum suspensionis \& centrum oscillationis {\ae}quetur semissi longitudinis aqu{\ae} in Canali: dico quod aqua ascendet \& descendet iisdem temporibus quibus pendulum oscillatur.} \pngright{369.png}{2328}{898}{-24} %Illustration Longitudinem aqu{\ae} mensuro secundum axes canalis \& crurum, eandem summ{\ae} horum axium {\ae}quando. Designent igitur $AB$, $CD$ mediocrem altitudinem aqu{\ae} in crure utroque; \& ubi aqua in crure $KL$ ascendit ad altitudinem $EF$, descenderit aqua in crure $MN$ ad altitudinem $GH$. Sit autem $P$ corpus % -----File: 369.png--- pendulum, $VP$ filum, $V$ punctum suspensionis, $SPQR$ Cyclois quam Pendulum describat, $P$ ejus punctum infimum, $PQ$ arcus altitudini $AE$ {\ae}qualis. Vis, qua motus aqu{\ae} alternis vicibus acceleratur \& retardatur, est excessus ponderis aqu{\ae} in alterutro crure supra pondus in altero, ideoque ubi aqua in crure $KL$ ascendit ad $EF$, \& in crure altero descendit ad $GH$, vis illa est pondus duplicatum aqu{\ae} $EABF$, \& propterea est ad pondus aqu{\ae} totius ut $AE$ seu $PQ$ ad $VP$ seu $PR$. Vis etiam, qua pondus $P$ in loco quovis $Q$ acceleratur \& retardatur in Cycloide, est ad ejus pondus totum, ut ejus distantia $PQ$ a loco infimo $P$, ad Cycloidis longitudinem $PR$. Quare aqu{\ae} \& penduli, {\ae}qualia spatia $AE$, $PQ$ describentium, vires motrices sunt ut pondera movenda; ideoque vires ill{\ae}, si aqua \& pendulum in principio, {\ae}quali cum velocitate moveantur; pergent eadem temporibus {\ae}qualiter movere, efficientque ut motu reciproco simul eant \& redeant. \QEDit \textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Igitur aqu{\ae} ascendentis \& descendentis, sive motus intensior sit sive remissior, vices omnes sunt Isochron{\ae}. \textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Si longitudo aqu{\ae} totius in canali sit pedum \textit{Parisiensium} $6\frac{1}{9}$, aqua tempore minuti unius secundi descendet, \& tempore minuti alterius secundi ascendet; \& sic deinceps vicibus alternis in infinitum. Nam pendulum pedum $3\frac{1}{18}$ longitudinis, tempore minuti unius secundi oscillatur. % -----File: 370.png--- \textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Aucta autem vel diminuta longitudine aqu{\ae}, augetur vel diminuitur tempus reciprocationis in longitudinis ratione dimidiata. \condpagelarge{Prop.\ XLV\@. Theor.\ XXXV.} \textit{Undarum velocitas est in dimidiata ratione latitudinum.} Consequitur ex constructione Propositionis sequentis. \condpagelarge{Prop.\ XLVI\@. Prob.\ XI.} \textit{Invenire velocitatem Undarum.} Constituatur Pendulum cujus longitudo inter punctum suspensionis \& centrum oscillationis {\ae}quetur latitudini Undarum: \& quo tempore pendulum illud oscillationes singulas peragit, eodem Und{\ae} progrediendo latitudinem suam propemodum conficient. Undarum latitudinem voco mensuram transversam qu{\ae} vel vallibus imis vel summis culminibus interjacet. Designet $ABCDEF$ superficiem aqu{\ae} stagnantis, undis successivis ascendentem ac descendentem, sintque $A$, $C$, $E$, \&c.\ undarum culmina, \& $B$, $D$, $F$, \&c.\ valles intermedii. Et quoniam motus undarum fit per aqu{\ae} successivum ascensum \& descensum, sic ut ejus partes $A$, $C$, $E$, \&c.\ qu{\ae} nunc infim{\ae} sunt, mox fiant altissim{\ae}; \& vis motrix, qua partes altissim{\ae} descendunt \& infim{\ae} ascendunt, est pondus aqu{\ae} elevat{\ae}; alternus ille ascensus \& descensus analogus erit motui reciproco aqu{\ae} in canali, easdemque temporis leges observabit: \& propterea (per Prop.\ XLIV.) si distanti{\ae} inter undarum loca altissima $A$, $C$, $E$, \& infima $B$, $D$, $F$ {\ae}quentur dupl{\ae} penduli longitudini, partes altissim{\ae} $A$, $C$, $E$ tempore oscillationis unius evadent infim{\ae}, \& tempore oscillationis alterius denuo ascendent. Igitur inter transitum Undarum singularum tempus erit oscillationum duarum; hoc est Unda describet latitudinem suam, quo tempore pendulum illud bis oscillatur; sed eodem tempore pendulum, cujus longitudo quadrupla est, % -----File: 371.png--- adeoque {\ae}quat undarum latitudinem, oscillabitur semel. \QEDit \textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Igitur Und{\ae}, qu{\ae} pedes \textit{Parisienses} $3\frac{1}{18}$ lat{\ae} sunt, tempore minuti unius secundi progrediendo latitudinem suam conficient; adeoque tempore minuti unius primi percurrent pedes $183\frac{1}{3}$, \& hor{\ae} spatio pedes 11000 quamproxime. \textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Et undarum majorum vel minorum velocitas augebitur vel diminuetur in dimidiata ratione latitudinis. H{\ae}c ita se habent ex Hypothesi quod partes aqu{\ae} recta ascendunt vel recta descendunt; sed ascensus \& descensus ille verius fit per circulum, ideoque tempus hac Propositione non nisi quamproxime definitum esse affirmo. \condpagelarge{Prop.\ XLVII\@. Theor.\ XXXVI.} \textit{Pulsuum in Fluido Elastico propagatorum velocitates sunt in ratione composita ex dimidiata ratione vis Elastic{\ae} directe \& dimidiata ratione densitatis inverse; si modo Fluidi vis Elastica ejusdem condensationi proportionalis esse supponatur.} \textit{Cas.\fsp{}1.}\wsp{}Si Media sint homogenea, \& pulsuum distanti{\ae} in his Mediis {\ae}quentur inter se, sed motus in uno Medio intensior sit: contractiones \& dilatationes partium analogarum erunt ut iidem motus. Accurata quidem non est h{\ae}c proportio. Verum tamen nisi contractiones \& dilatationes sint valde intens{\ae}, non errabit sensibiliter, ideoque pro Physice accurata haberi potest. Sunt autem vires Elastic{\ae} motrices ut contractiones \& dilatationes; \& velocitates partium {\ae}qualium simul genit{\ae} sunt ut vires. Ideoque {\ae}quales \& correspondentes pulsuum correspondentium partes, itus \& reditus suos per spatia contractionibus \& dilatationibus proportionalia, cum velocitatibus qu{\ae} sunt ut spatia, simul peragent: \& propterea pulsus, qui tempore itus \& reditus unius latitudinem suam progrediendo conficiunt, \& in loca pulsuum proxime pr{\ae}cedentium semper succedunt, ob {\ae}qualitatem distantiarum, {\ae}quali cum velocitate in Medio utroque progredientur. % -----File: 372.png--- \textit{Cas.\fsp{}2.}\wsp{}Sin pulsuum distanti{\ae} seu longitudines sint majores in uno Medio quam in altero; ponamus quod partes correspondentes spatia latitudinibus pulsuum proportionalia singulis vicibus eundo \& redeundo describant: \& {\ae}quales erunt earum contractiones \& dilatationes. Ideoque si Media sint homogenea, {\ae}quales erunt etiam vires ill{\ae} Elastic{\ae} motrices quibus reciproco motu agitantur. Materia autem his viribus movenda, est ut pulsuum latitudo; \& in eadem ratione est spatium per quod singulis vicibus eundo \& redeundo moveri debent. Estque tempus itus \& reditus unius in ratione composita ex ratione dimidiata materi{\ae} \& ratione dimidiata spatii, atque adeo ut spatium. Pulsus autem temporibus itus \& reditus unius eundo latitudines suas conficiunt, hoc est, spatia temporibus proportionalia percurrunt; \& propterea sunt {\ae}quiveloces. \textit{Cas.\fsp{}3.}\wsp{}In Mediis igitur densitate \& vi elastica paribus, pulsus omnes sunt {\ae}quiveloces. Quod si Medii vel densitas vel vis Elastica intendatur, quoniam vis motrix in ratione vis Elastic{\ae}, \& materia movenda in ratione densitatis augetur; tempus quo motus iidem peragantur ac prius, augebitur in dimidiata ratione densitatis, ac diminuetur in dimidiata ratione vis Elastic{\ae}. Et propterea velocitas pulsuum erit in ratione composita ex ratione dimidiata densitatis Medii inverse \& ratione dimidiata vis Elastic{\ae} directe. \QEDit \condpagelarge{Prop.\ XLVIII\@. Theor.\ XXXVII.} \pngright{374.png}{586}{4350}{-24} %Illustration \textit{Pulsibus per Fluidum propagatis, singul{\ae} Fluidi particul{\ae}, motu reciproco brevissimo euntes \& redeuntes, accelerantur semper \& retardantur pro lege oscillantis Penduli.} Designent $AB$, $BC$, $CD$, \&c.\ pulsuum successivorum {\ae}quales distantias; $ABC$ plagam motus pulsuum ab $A$ versus $B$ propagati; $E$, $F$, $G$ puncta tria Physica Medii quiescentis, in recta $AC$ ad {\ae}quales ab invicem distantias sita; $Ee$, $Ff$, $Gg$, spatia % -----File: 373.png--- {\ae}qualia perbrevia per qu{\ae} puncta illa motu reciproco singulis vibrationibus eunt \& redeunt; $\epsilon$, $\varphi$, $\gamma$ loca qu{\ae}vis intermedia eorundem punctorum; \& $EF$, $FG$ lineolas Physicas seu Medii partes lineares punctis illis interjectas, \& successive translatas in loca $\epsilon\varphi$, $\varphi\gamma$ \& $ef$, $fg$. Rect{\ae} $Ee$ {\ae}qualis ducatur recta $PS$. Bisecetur eadem in $O$, centroque $O$ \& intervallo $OP$ describatur circulus $SIPi$. Per hujus circumferentiam totam cum partibus suis exponatur tempus totum vibrationis unius cum ipsius partibus proportionalibus; sic ut completo tempore quovis $PH$ vel $PHSh$, si demittatur ad $PS$ perpendiculum $HL$ vel $hl$, \& capiatur $Ee$ {\ae}qualis $PL$ vel $Pl$, punctum Physicum $E$ reperiatur in $\epsilon$. Hac lege punctum quodvis $E$ eundo ab $E$ per $\epsilon$ ad $e$, \& inde redeundo per $\epsilon$ ad $E$ iisdem accelerationis ac retardationis gradibus, vibrationes singulas peraget cum oscillante Pendulo. Probandum est quod singula Medii puncta Physica tali motu agitari debeant. Fingamus igitur Medium tali motu a causa quacunque cieri, \& videamus quid inde sequatur. In circumferentia $PHSh$ capiantur {\ae}quales arcus $HI$, $IK$ vel $hi$, $ik$, eam habentes rationem ad circumferentiam totam quam habent {\ae}quales rect{\ae} $EF$, $FG$ ad pulsuum intervallum totum $BC$. Et demissis perpendiculis $IM$, $KN$ vel $im$, $kn$; quoniam puncta $E$, $F$, $G$ motibus similibus successive agitantur, si $PH$ vel $PHSk$ sit tempus ab initio motus puncti $E$, erit $PI$ % -----File: 374.png--- vel $PHSi$ tempus ab initio motus puncti $F$, \& $PK$ vel $PHSh$ tempus ab initio motus puncti $G$; \& propterea $E\epsilon$, $F\varphi$, $G\gamma$ erunt ipsis $PL$, $PM$, $PN$ in itu punctorum, vel ipsis $Pn$, $Pm$, $Pl$ in punctorum reditu, {\ae}quales respective. Unde $\epsilon\gamma$ in itu punctorum {\ae}qualis erit $EG - LN$, in reditu autem {\ae}qualis $EG + ln$. Sed $\epsilon\gamma$ latitudo est seu expansio partis Medii $EG$ in loco $\epsilon\gamma$, \& propterea expansio partis illius in itu, est ad ejus expansionem mediocrem ut $EG - LN$ ad $EG$; in reditu autem ut $EG + ln$ seu $EG + LN$ ad $EG$.\spreadout{Quare cum sit $LN$ ad $KH$ ut $IM$ ad radium $OP$, \& $EG$ ad $BC$ ut $HK$} \pngright{373.png}{694}{861}{-12} %Illustration \noindent ad circumferentiam $PHShP$, \& vicissim $EG$ ad $HK$ ut $BC$ ad circumferentiam $PHShP$, id est (si circumferentia dicatur $Z$) ut $\frac{OP \times BC}{Z}$ ad $OP$, \& ex {\ae}quo $LN$ ad $EG$ ut $IM$ ad $\frac{OP \times BC}{Z}$: erit expansio partis $EG$ in loco $\epsilon\gamma$ ad expansionem mediocrem quam habet in loco suo primo $EG$, ut $\frac{OP \times BC}{Z} - IM$ ad $\frac{OP \times BC}{Z}$ in itu, utque $\frac{OP \times BC}{Z} + im$ ad $\frac{OP \times BC}{Z}$ in reditu. Unde si $\frac{OP \times BC}{Z}$ dicatur $V$, erit expansio partis $EG$, punctive Physici $F$, ad ejus expansionem mediocrem in itu, ut $V - IM$ ad $V$, in reditu ut $V + im$ ad $V$; \& ejusdem vis elastica ad vim suam elasticam \label{wasp366}mediocrem in itu, ut $\frac{1}{V - IM}$ ad $\frac{1}{V}$; in reditu, ut $\frac{1}{V + im}$ ad $\frac{1}{V}$. Et eodem argumento vires Elastic{\ae} punctorum Physicorum $E$ \& $G$ in itu, sunt ut $\frac{1}{V - HL}$ \& $\frac{1}{V - KN}$ ad $\frac{1}{V}$; \& virium differentia ad Medii % -----File: 375.png--- vim elasticam mediocrem, ut $\frac{HL - KN}{VV - V \times HL - V \times KN + HL \times KN}$ ad $\frac{1}{V}$. Hoc est (si ob brevitatem pulsuum supponamus $HK$ \& $KN$ indefinite minores esse quantitate $V$) ut $\frac{HL - KN}{VV}$ ad $\frac{1}{V}$, sive ut $HL - KN$ ad $V$. Quare cum quantitas $V$ detur, differentia virium est ut $HL - KN$, hoc est (ob proportionales $HL - KN$ ad $HK$, \& $OM$ ad $OI$ vel $OP$, datasque $HK$ \& $OP$) ut $OM$; id est, si $Ff$ bisecetur in $\Omega$, ut $\Omega\varphi$. Et eodem argumento differentia virium Elasticarum punctorum Physicorum $\epsilon$ \& $\gamma$, in reditu lineol{\ae} Physic{\ae} $\epsilon\gamma$ est ut $\Omega\varphi$. Sed differentia illa (id est excessus vis Elastic{\ae} puncti $\epsilon$ supra vim elasticam puncti $\gamma$,) est vis qua interjecta Medii lineola Physica $\epsilon\gamma$ acceleratur; \& propterea vis acceleratrix lineol{\ae} Physic{\ae} $\epsilon\gamma$ est ut ipsius distantia a Medio vibrationis loco $\Omega$. Proinde tempus (per Prop.\ XXXVIII. Lib.\ I.) recte exponitur per arcum $PI$; \& Medii pars linearis $\epsilon\gamma$ lege pr{\ae}scripta movetur, id est lege oscillantis Penduli: estque par ratio partium omnium linearium ex quibus Medium totum componitur. \QEDit \textit{Corol.}\wsp{}Hinc patet quod numerus pulsuum propagatorum idem sit cum numero vibrationum corporis tremuli, neque multiplicatur in eorum progressu. Nam lineola Physica $\epsilon\gamma$, quamprimum ad locum suum primum redierit, quiescet; neque deinceps movebitur, nisi vel ab impetu corporis tremuli, vel ab impetu pulsuum qui a corpore tremulo propagantur, motu novo cieatur. Quiescet igitur quamprimum pulsus a corpore tremulo propagari desinunt. \condpagelarge{Prop.\ XLIX\@. Prob.\ XII.} \textit{Datis Medii densitate \& vi Elastica, invenire velocitatem pulsuum.} Fingamus Medium ab incumbente pondere, pro more Aeris nostri % -----File: 376.png--- comprimi, sitque $A$ altitudo Medii homogenei, cujus pondus ad{\ae}quet pondus incumbens, \& cujus densitas eadem sit cum densitate Medii compressi, in quo pulsus propagantur. Constitui autem intelligatur Pendulum, cujus longitudo inter punctum suspensionis \& centrum oscillationis sit $A$: \& quo tempore pendulum illud oscillationem integram ex itu \& reditu compositam peragit, eodem pulsus eundo conficiet spatium circumferenti{\ae} circuli radio $A$ descripti {\ae}quale. Nam stantibus qu{\ae} in Propositione superiore constructa sunt, si linea qu{\ae}vis Physica, $EF$ singulis vibrationibus describendo spatium $PS$, urgeatur in extremis itus \& reditus cujusque locis $P$ \& $S$, a vi Elastica qu{\ae} ipsius ponderi {\ae}quetur; peraget h{\ae}c vibrationes singulas quo tempore eadem in Cycloide, cujus Perimeter tota longitudini $PS$ {\ae}qualis est, oscillari posset: id adeo quia vires {\ae}quales {\ae}qualia corpuscula per {\ae}qualia spatia simul impellent. Quare cum oscillationum tempora sint in dimidiata ratione longitudinis pendulorum, \& longitudo penduli {\ae}quetur dimidio arcui Cycloidis totius; foret tempus vibrationis unius ad tempus oscillationis Penduli cujus longitudo est $A$, in dimidiata ratione longitudinis $\frac{1}{2}PS$ seu $PO$ ad longitudinem $A$. Sed vis Elastica qua lineola Physica $EG$, in locis suis extremis $P$, $S$ existens, urgetur, erat (in demonstratione Propositionis superioris) ad ejus vim totam Elasticam ut $HL - KN$ ad $V$, hoc est (cum punctum $K$ jam incidat in $P$) ut $HK$ ad $V$: \& vis illa tota, hoc est pondus incumbens, qua lineola $EG$ comprimitur, est ad pondus lineol{\ae} ut ponderis incumbentis altitudo $A$ ad lineol{\ae} longitudinem $EG$; adeoque ex {\ae}quo, vis qua lineola $EG$ in locis suis $P$ \& $S$ urgetur, est ad lineol{\ae} illius pondus ut $HK \times A$ ad $V \times EG$. Quare cum tempora, quibus {\ae}qualia corpora per {\ae}qualia spatia impelluntur, sint reciproce in dimidiata ratione virium, erit tempus vibrationis unius urgente vi illa Elastica, ad tempus vibrationis urgente vi ponderis, in dimidiata ratione $V \times EG$ ad $HK \times A$, atque adeo ad tempus oscillationis Penduli cujus longitudo est $A$, in dimidiata ratione $V \times EG$ ad $HK \times A$ \& $PO$ ad $A$ conjunctim; % -----File: 377.png--- id est (cům fuerit, in superiore Propositione, $V$ {\ae}qualis $\frac{PO \times BC}{Z}$, \& $HK$ {\ae}qualis $\frac{EG \times Z}{BC}$) in dimidiata ratione $\frac{PO \opit{qu.} \times BC \times EG}{Z}$ ad $\frac{EG \times Z \times A \opit{qu.}}{BC}$ seu $PO \opit{qu.} \times BC \opit{qu.}$ ad $Z \opit{qu.} \times A \opit{qu.}$ hoc est in ratione $PO \times BC$ ad $Z \times A$, seu $BC$ ad $\frac{Z \times A}{PO}$. Sed tempore vibrationis unius ex itu \& reditu composit{\ae}, pulsus progrediendo conficit latitudinem suam $BC$. Ergo tempus quo pulsus percurrit spatium $BC$, est ad tempus oscillationis unius ex itu \& reditu composit{\ae}, ut $BC$ ad $\frac{Z \times A}{PO}$, id est ut $BC$ ad circumferentiam circuli cujus radius est $A$. Tempus autem, quo pulsus percurret spatium $BC$, est ad tempus quo percurret longitudinem huic circumferenti{\ae} {\ae}qualem, in eadem ratione; ideoque tempore talis oscillationis pulsus percurret longitudinem huic circumferenti{\ae} {\ae}qualem. \QEDit \condpagelarge{Prop.\ L\@. Prob.\ XIII.} \textit{Invenire pulsuum distantias.} Corporis, cujus tremore pulsus excitantur, inveniatur numerus Vibrationum dato tempore. Per numerum illum dividatur spatium quod pulsus eodem tempore percurrere possit, \& pars inventa erit pulsus unius latitudo. \QEIit \condpagelarge{\textit{Schol.}} Spectant Propositiones novissim{\ae} ad motum Lucis \& Sonorum. Lux enim cum propagetur secundum lineas rectas, in actione sola (per Prop.\ XLI. \& XLII.) consistere nequit. Soni vero propterea quod a corporibus tremulis oriantur, nihil aliud sunt quŕm aeris pulsus propagati, per Prop.\ XLIII\@. Confirmatur id ex tremoribus quos excitant in corporibus objectis, si modň vehementes sint \& graves, % -----File: 378.png--- quales sunt soni Tympanorum. Nam tremores celeriores \& breviores difficilius excitantur. Sed \& sonos quosvis, in chordas corporibus sonoris unisonas impactos, excitare tremores notissimum est. Confirmatur etiam ex velocitate sonorum. Nam cům pondera specifica Aqu{\ae} pluvialis \& Argenti vivi sint ad invicem ut 1 ad $13\frac{2}{3}$ circiter, \& ubi \textit{Mercurius} in \textit{Barometro} altitudinem attingit digitorum \textit{Anglicorum} 30, pondus specificum Aeris \& aqu{\ae} pluvialis sint ad invicem ut 1 ad 850 circiter: erunt pondera specifica aeris \& argenti vivi ut 1 ad 11617. Proinde cum altitudo argenti vivi sit 30 digitorum, altitudo aeris uniformis, cujus pondus aerem nostrum subjectum comprimere posset, erit 348500 digitorum seu pedum \textit{Anglicorum} 29042. Estque h{\ae}c altitudo illa ipsa quam in constructione superioris Problematis nominavimus $A$. Circuli radio 29042 pedum descripti circumferentia est pedum 182476. Et cum Pendulum digitos $39\frac{1}{5}$ longum, oscillationem ex itu \& reditu compositam, tempore minutorum duorum secundorum, uti notum est, absolvat; pendulum pedes 29042, seu digitos 348500, longum, oscillationem consimilem tempore minutorum secundorum $188\frac{4}{7}$ absolvere debebit. Eo igitur tempore sonus progrediendo conficiet pedes 182476, adeoque tempore minuti unius secundi pedes 968. Scribit \textit{Mersennus}, in Balistic{\ae} su{\ae} Prop.\ XXXV. se factis experimentis invenisse quod sonus minutis quinque secundis hexapedas \textit{Gallicas} 1150 (id est pedes \textit{Gallicos} 6900) percurrat. Unde cum pes \textit{Gallicus} sit ad \textit{Anglicum} ut 1068 ad 1000, debebit sonus tempore minuti unius secundi pedes \textit{Anglicos} 1474 conficere. Scribit etiam idem \textit{Mersennus Robervallum} Geometram clarissimum in Obsidione \textit{Theodonis} observasse tormentorum fragorem exauditum esse post 13 vel 14 ab igne viso minuta secunda, cům tamen vix dimidiam \textit{Leucam} ab illis Tormentis abfuerit. Continet \textit{Leuca Gallica} hexapedas 2500, adeoque sonus tempore 13 vel 14 secundorum, ex Observatione \textit{Robervalli}, confecit pedes \textit{Parisienses} 7500, ac tempore minuti unius secundi pedes \textit{Parisienses} 560, \textit{Anglicos} % -----File: 379.png--- verň 600 circiter. Multum differunt h{\ae} Observationes ab invicem, \& computus noster medium locum tenet. In porticu Collegii nostri pedes 208 longa, sonus in termino alterutro excitatus quaterno recursu Echo quadruplicem efficit. Factis autem experimentis inveni quod singulis soni recursibus pendulum quasi sex vel septem digitorum longitudinis oscillabatur, ad priorem soni recursum eundo \& ad posteriorem redeundo. Longitudinem penduli satis accuratč definire nequibam: sed longitudine quatuor digitorum, oscillationes nimis celeres esse, ea novem digitorum nimis tardas judicabam. Unde sonus eundo \& redeundo confecit pedes 416 minore tempore quŕm pendulum digitorum novem, \& majore quŕm pendulum digitorum quatuor oscillatur; id est minore tempore quŕm $28\frac{3}{4}$ minutorum tertiorum, \& majore quŕm $19\frac{1}{6}$; \& propterea tempore minuti unius secundi conficit pedes \textit{Anglicos} plures quŕm 866 \& pauciores quŕm 1272, atque adeň velocior est quŕm pro Observatione \textit{Robervalli,} ac tardior quŕm pro Observatione \textit{Mersenni}. Quinetiam accuratioribus postea Observationibus definivi quod longitudo penduli major esse deberet quŕm digitorum quinque cum semisse, \& minor quŕm digitorum octo; adeoque quňd sonus tempore minuti unius secundi confecit pedes \textit{Anglicos} plures quŕm 920 \& pauciores quŕm 1085. Igitur motus sonorum, secundum calculum Geometricum superius allatum, inter hos limites consistens, quadrat cum Ph{\ae}nomenis, quatenus hactenus tentare licuit. Proinde cům motus iste pendeat ab aeris totius densitate, consequens est quod soni non in motu {\ae}theris vel aeris cujusdam subtilioris, sed in aeris totius agitatione consistat. Refragari videntur experimenta qu{\ae}dam de sono in vasis aere vacuis propagato, sed vasa aere omni evacuari vix possunt; \& ubi satis evacuantur soni notabiliter imminui solent; \textit{Ex.\ gr.}\ Si aeris totius pars tantům centesima in vase maneat, debebit sonus esse centuplo languidior, atque adeň non minus audiri quŕm si quis sonum eundem in aere libero excitatum audiendo, subinde ad decuplam % -----File: 380.png--- distantiam ŕ corpore sonoro recederet. Conferenda sunt igitur corpora duo {\ae}qualiter sonora, quorum alterum in vase evacuato, alterum in aere libero consistat, \& quorum distanti{\ae} ab auditore sint in dimidiata ratione densitatum aeris: \& si sonus corporis prioris non superat sonum posterioris objectio cessabit. Cognita sonorum velocitate, innotescunt etiam intervalla pulsuum. Scribit \textit{Mersennus} (Lib.\ I. Harmonicorum Prop.\ IV.) se (factis experimentis quibusdam qu{\ae} ibidem describit) invenisse quod nervus tensus vicibus 104 recurrit spatio minuti unius secundi, quando facit Unisonum cum organica Fistula quadrupedali aperta vel bipedali obturata, quam vocant Organarii \textit{C fa ut}. Sunt igitur pulsus 104 in spatio pedum 968, quos sonus tempore minuti secundi describit: adeoque pulsus unus occupat spatium pedum $9\frac{1}{4}$ circiter; id est duplam circiter longitudinem fistul{\ae}. Unde verisimile est quňd latitudines pulsuum, in omnium apertarum fistularum sonis, {\ae}quentur duplis longitudinibus fistularum. Porrň cur Soni cessante motu corporis sonori statim cessant, neque diutiůs audiuntur ubi longissimč distamus ŕ corporibus sonoris, quŕm cum proximč absumus, patet ex Corollario Propositionis XLVIII. Libri hujus. Sed \& cur soni in Tubis Stenterophonicis valde augentur, ex allatis principiis manifestum est. Motus enim omnis reciprocus singulis recursibus ŕ causa generante augeri solet. Motus autem in Tubis dilatationem sonorum impedientibus tardiůs amittitur \& fortius recurrit, \& propterea ŕ motu novo singulis recursibus impresso magis augetur. Et h{\ae}c sunt pr{\ae}cipua Ph{\ae}nomena Sonorum. % -----File: 381.png--- \sectpage{IX.} \begin{center}{\textit{De motu Circulari Fluidorum.}}\end{center} \condpagelarge{Hypothesis.} \textit{Resistentiam, qu{\ae} oritur ex defectu lubricitatis partium Fluidi, c{\ae}teris par\-ibus, proportionalem esse velocitati, qua partes Fluidi separantur ab invicem.} \propnopage{Prop.\ LI\@. Theor.\ XXXVIII.} \textit{Si Cylindrus solidus infinitč longus in fluido uniformi \& infinito circa axem positione datum uniformi cum motu revolvatur, \& ab hujus impulsu solo agatur Fluidum in Orbem, perseveret autem fluidi pars unaqu{\ae}que uniformiter in motu suo; dico quod tempora periodica partium fluidi sunt ut ipsarum distanti{\ae} ab axe cylindri.} \pngright{381.png}{1267}{1253}{-24} %Illustration Sit $AFL$ cylindrus uniformiter circa axem $S$ in orbem actus, \& circulis concentricis $BGM$, $CHN$, $DIO$, $EKP$, \&c.\ distinguatur fluidum in orbes cylindricos innumeros concentricos solidos ejusdem crassitudinis. Et quoniam homogeneum est Fluidum, impressiones contiguorum orbium in se mutuň fact{\ae}, erunt (per Hypothesin) ut eorum translationes ab invicem \& superficies contigu{\ae} in quibus impressiones fiunt. Si impressio in Orbem aliquem major % -----File: 382.png--- est vel minor, ex parte concava quŕm ex parte convexa, pr{\ae}valebit impressio fortior, \& motum Orbis vel accelerabit vel retardabit prout in eandem regionem cum ipsius motu, vel in contrariam dirigitur. Proinde ut Orbis unusquisque in motu suo uniformiter perseveret, debent impressiones ex parte utraque sibi invicem {\ae}quari, \& fieri in regiones contrarias. Unde cům impressiones sunt ut contigu{\ae} superficies \& harum translationes ab invicem, erunt translationes inversč ut superficies, hoc est inversč ut superficierum distanti{\ae} ab axe. Sunt autem differenti{\ae} motuum angularium circa axem ut h{\ae} translationes applicat{\ae} ad distantias, sive ut translationes directč \& distanti{\ae} inversč; hoc est (conjunctis rationibus) ut quadrata distantiarum inversč. Quare si ad infinit{\ae} rect{\ae} $SABCDEQ$ partes singulas erigantur perpendicula $Aa$, $Bb$, $Cc$, $Dd$, $Ee$, \&c.\ ipsarum $SA$, $SB$, $SC$, $SD$, $SE$, \&c.\ quadratis reciprocč proportionalia, \& per terminos perpendicularium duci intelligatur linea curva Hyperbolica; erunt summ{\ae} distantiarum, hoc est motus toti angulares, ut respondentes summ{\ae} linearum $Aa$, $Bb$, $Cc$, $Dd$, $Ee$: id est, si ad constituendum Medium uniformiter fluidum orbium numerus augeatur \& latitudo minuatur in infinitum, ut are{\ae} Hyperbolic{\ae} his summis Analog{\ae} $AaQ$, $BbQ$, $CcQ$, $DdQ$, $EeQ$, \&c.\ \& tempora motibus angularibus reciprocč proportionalia erunt etiam his areis reciprocč proportionalia. Est igitur tempus periodicum particul{\ae} cujusvis $D$ reciprocč ut area $DdQ$, hoc est, (per notas Curvarum quadraturas) directč ut distantia $SD$. \QEDit \textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Hinc motus angulares particularum fluidi sunt reciprocč ut ipsarum distanti{\ae} ab axe Cylindri, \& velocitates absolut{\ae} sunt {\ae}quales. \textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Si fluidum in vase cylindrico longitudinis infinit{\ae} contineantur, \& cylindrum alium interiorem contineat, revolvatur autem cylindrus uterque circa axem communem, sintque revolutionum tempora ut ipsorum semidiametri, \& perseveret fluidi pars unaqu{\ae}que in motu suo: erunt partium singularum tempora periodica ut ipsarum distanti{\ae} ab axe cylindrorum. % -----File: 383.png--- \textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Si cylindro \& fluido ad hunc modum motis addatur vel auferatur communis quilibet motus angularis; quoniam hoc novo motu non mutatur attritus mutuus partium fluidi, non mutabuntur motus partium inter se. Nam translationes partium ab invicem pendent ab attritu. Pars qu{\ae}libet in eo perseverabit motu, qui attritu utrinque in contrarias partes facto, non magis acceleratur quŕm retardatur. \textit{Corol.\fsp{}4.}\wsp{}Unde si toti cylindrorum \& fluidi Systemati auferatur motus omnis angularis cylindri exterioris, habebitur motus fluidi in cylindro quiescente. \textit{Corol.\fsp{}5.}\wsp{}Igitur si fluido \& cylindro exteriore quiescentibus, revolvatur cylindrus interior uniformiter, communicabitur motus circularis fluido, \& paulatim per totum fluidum propagabitur; nec prius desinet augeri quŕm fluidi partes singul{\ae} motum Corollario quarto definitum acquirant. \textit{Corol.\fsp{}6.}\wsp{}Et quoniam fluidum conatur motum suum adhuc latius propagare, hujus impetu circumagetur etiam cylindrus exterior nisi violenter detentus; \& accelerabitur ejus motus quoad usque tempora periodica cylindri utriusque {\ae}quentur inter se. Quod si cylindrus exterior violenter detineatur, conabitur is motum fluidi retardare, \& nisi cylindrus interior vi aliqua extrinsecůs impressa motum illum conservet, efficiet ut idem paulatim cesset. Qu{\ae} omnia in aqua profunda stagnante experiri licet. \condpagelarge{Prop.\ LII\@. Theor.\ XXXIX.} \textit{Si Sph{\ae}ra solida, in fluido uniformi \& infinito, circa axem positione datum uniformi cum motu revolvatur, \& ab hujus impulsu solo agatur fluidum in orbem; perseveret autem fluidi pars unaqu{\ae}que uniformiter in motu suo: dico quod tempora periodica partium fluidi erunt ut quadrata distantiarum ŕ centro Sph{\ae}r{\ae}.} Fig.\ Prop.\ LI. \textit{Cas.\fsp{}1.}\wsp{}Sit $AFL$ sph{\ae}ra uniformiter circa axem $S$ in orbem acta, \& circulis concentricis $BGM$, $CHN$, $DIO$, $EKP$, \&c.\ distinguatur % -----File: 384.png--- fluidum in orbes innumeros concentricos ejusdem crassitudinis. Finge autem orbes illos esse solidos; \& quoniam homogeneum est fluidum, impressiones contiguorum Orbium in se mutuň fact{\ae}, erunt (per Hypothesin) ut eorum translationes ab invicem \& superficies contigu{\ae} in quibus impressiones fiunt. Si impressio in orbem aliquem major est vel minor ex parte concava quŕm ex parte convexa, pr{\ae}valebit impressio fortior, \& velocitatem Orbis vel accelerabit vel retardabit, prout in eandem regionem cum ipsius motu vel in contrariam dirigitur. Proinde ut orbis unusquisque in motu suo perseveret uniformiter, debebunt impressiones ex parte utraque sibi invicem {\ae}quari, \& fieri in regiones contrarias. Unde cum impressiones sint ut contigu{\ae} superficies \& harum translationes ab invicem; erunt translationes inversč ut superficies, hoc est inversč ut quadrata distantiarum superficierum ŕ centro. Sunt autem differenti{\ae} motuum angularium circa axem ut h{\ae} translationes applicat{\ae} ad distantias, sive ut translationes directč \& distanti{\ae} inversč; hoc est (conjunctis rationibus) ut cubi distantiarum inversč. Quare si ad rect{\ae} infinit{\ae} $SABCDEQ$ partes singulas erigantur perpendicula $Aa$, $Bb$, $Cc$, $Dd$, $Ee$, \&c.\ ipsarum $SA$, $SB$, $SC$, $SD$, $SE$, \&c.\ cubis reciprocč proportionalia, erunt summ{\ae} distantiarum, hoc est, motus toti angulares, ut respondentes summ{\ae} linearum $Aa$, $Bb$, $Cc$, $Dd$, $Ee$: id est (si ad constituendum Medium uniformiter fluidum, numerus Orbium augeatur \& latitudo minuatur in infinitum) ut are{\ae} Hyperbolic{\ae} his summis analog{\ae} $AaQ$, $BbQ$, $CcQ$, $DdQ$, $EeQ$, \&c. Et tempora periodica motibus angularibus reciprocč proportionalia erunt etiam his areis reciprocč proportionalia. Est igitur tempus periodicum orbis cujusvis $DIO$ reciprocč ut area $DdQ$, hoc est, (per notas Curvarum quadraturas) directč ut quadratum distanti{\ae} $SD$. Id quod volui primň demonstrare. \textit{Cas.\fsp{}2.}\wsp{}A centro Sph{\ae}r{\ae} ducantur infinit{\ae} rect{\ae} quam plurim{\ae}, qu{\ae} cum axe datos contineant angulos, {\ae}qualibus differentiis se mutuň superantes; \& his rectis circa axem revolutis concipe orbes in annulos % -----File: 385.png--- innumeros secari; \& annulus unusquisque habebit annulos quatuor sibi contiguos, unum interiorem, alterum exteriorem \& duos laterales. Attritu interioris \& exterioris non potest annulus unusquisque, nisi in motu juxta legem casus primi facto, {\ae}qualiter \& in partes contrarias urgeri. Patet hoc ex demonstratione casus primi. Et propterea annulorum series qu{\ae}libet ŕ globo in infinitum rectŕ pergens movebitur pro lege casus primi, nisi quatenus impeditur ab attritu annulorum ad latera. At in motu hac lege facto, attritus annulorum ad latera nullus est, neque adeň motum, quo minus hac lege fiat, impediet. Si annuli, qui ŕ centro {\ae}qualiter distant, vel citiůs revolverentur vel tardiůs juxta polos quŕm juxta {\ae}quatorem; tardiores accelerarentur, \& velociores retardarentur ab attritu mutuo, \& sic vergerent semper tempora periodica ad {\ae}qualitatem, pro lege casus primi. Non impedit igitur hic attritus quo minus motus fiat secundum legem casus primi, \& propterea lex illa obtinebit: hoc est annulorum singulorum tempora periodica erunt ut quadrata distantiarum ipsorum ŕ centro globi. Quod volui secundo demonstrare. \textit{Cas.\fsp{}3.}\wsp{}Dividatur jam annulus unusquisque sectionibus transversis in particulas innumeras constituentes substantiam absolutč \& uniformiter fluidam; \& quoniam h{\ae} sectiones non spectant ad legem motus circularis, sed ad constitutionem fluidi solummodo conducunt, perseverabit motus circularis ut priůs. His sectionibus annuli omnes quamminimi asperitatem \& vim attritus mutui aut non mutabunt aut mutabunt {\ae}qualiter. Et manente causarum proportione manebit effectuum proportio, hoc est proportio motuum \& periodicorum temporum. \QEDit C{\ae}terum cum motus circularis, \& abinde orta vis centrifuga, major sit ad Eclipticam quŕm ad polos; debebit causa aliqua adesse qua particul{\ae} singul{\ae} in circulis suis retineantur, ne materia qu{\ae} ad Eclipticam est recedat semper ŕ centro \& per exteriora Vorticis migret ad polos, indeque per axem ad Eclipticam circulatione perpetua revertatur. \textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Hinc motus angulares partium fluidi circa axem globi sunt reciprocč ut quadrata distantiarum ŕ centro globi, \& velocitates % -----File: 386.png--- absolut{\ae} reciprocč ut eadem quadrata applicata ad distantias ab axe. \textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Si globus in fluido quiescente similari \& infinito circa axem positione datum uniformi cum motu revolvatur, communicabitur motus fluido in morem Vorticis, \& motus iste paulatim propagabitur in infinitum; neque prius cessabit in singulis fluidi partibus accelerari, quŕm tempora periodica singularum partium sint ut quadrata distantiarum ŕ centro globi. \textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Quoniam Vorticis partes interiores ob majorem suam velocitatem atterunt \& urgent exteriores, motumque ipsis ea actione perpetuň communicant, \& exteriores illi eandem motus quantitatem in alios adhuc exteriores simul transferunt, eaque actione servant quantitatem motus sui planč invariatam; patet quod motus perpetuň transfertur ŕ centro ad circumferentiam Vorticis, \& per infinitatem circumferenti{\ae} absorbetur. Materia inter sph{\ae}ricas duas quasvis superficies Vortici concentricas nunquam accelerabitur, eň quod motum omnem ŕ materia interiore acceptum transfert semper in exteriorem. \textit{Corol.\fsp{}4.}\wsp{}Proinde ad conservationem Vorticis constanter in eodem movendi statu, requiritur principium aliquod activum ŕ quo globus eandem semper quantitatem motus accipiat quam imprimit in materiam vorticis. Absque tali principio necesse est ut globus \& Vorticis partes interiores, propagantes semper motum suum in exteriores, neque novum aliquem motum recipientes, tardescant paulatim \& in orbem agi desinant. \textit{Corol.\fsp{}5.}\wsp{}Si globus alter huic Vortici ad certam ab ipsius centro distantiam innataret, \& interea circa axem inclinatione datum vi aliqua constanter revolveretur; hujus motu raperetur fluidum in vorticem: \& primň revolveretur hic vortex novus \& exiguus una cum globo circa centrum alterius, \& interea latiůs serperet ipsius motus, \& paulatim propagaretur in infinitum, ad modum vorticis primi. Et eadem ratione qua hujus globus raperetur motu vorticis alterius, raperetur etiam globus alterius motu hujus, sic ut globi duo circa intermedium aliquod punctum revolverentur, seque mutuň ob motum % -----File: 387.png--- illum circularem fugerent, nisi per vim aliquam cohibiti. Postea si vires constanter impress{\ae}, quibus globi in motibus suis perseverant, cessarent, \& omnia legibus Mechanicis permitterentur, languesceret paulatim motus globorum (ob rationem in Corol.\ 3.\ \& 4.\ assignatam) \& vortices tandem conquiescerent. \textit{Corol.\fsp{}6.}\wsp{}Si globi plures datis in locis circum axes positione datos certis cum velocitatibus constanter revolverentur, fierent vortices totidem in infinitum pergentes. Nam globi singuli, eadem ratione qua unus aliquis motum suum propagat in infinitum, propagabunt etiam motus suos in infinitum, adeň ut fluidi infiniti pars unaqu{\ae}que eo agitetur motu qui ex omnium globorum actionibus resultat. Unde vortices non definientur certis limitibus, sed in se mutuň paulatim excurrent; globi{\que} per actiones vorticum in se mutuň, perpetuň movebuntur de locis suis; uti in Lemmate superiore expositum est; ne{\que} certam quamvis inter se positionem servabunt, nisi per vim aliquam retenti. Cessantibus autem viribus illis qu{\ae} in globos constanter impress{\ae} conservant hosce motus, materia ob rationem in Corollario tertio \& quarto assignatam paulatim requiescet \& in vortices agi desinet. \textit{Corol.\fsp{}7.}\wsp{}Si Fluidum similare claudatur in vase sph{\ae}rico, ac globi in centro consistentis uniformi rotatione agatur in vorticem, globus autem \& vas in eandem partem circa axem eundem revolvantur, sint{\que} eorum tempora periodica ut quadrata semidiametrorum: partes fluidi non prius perseverabunt in motibus suis sine acceleratione \& retardatione, quŕm sint eorum tempora periodica ut quadrata distantiarum ŕ centro vorticis. Alia nulla Vorticis constitutio potest esse permanens. \textit{Corol.\fsp{}8.}\wsp{}Si vas, Fluidum inclusum \& globus servent hunc motum, \& motu pr{\ae}terea communi angulari circa axem quemvis datum revolvantur; quoniam hoc motu novo non mutatur attritus partium fluidi in se invicem, non mutabuntur motus partium inter se. Nam translationes partium inter se pendent ab attritu. Pars qu{\ae}libet in eo perseverabit motu, quo fit ut attritu ex uno latere non magis tardetur quŕm acceleretur attritu ex altero. % -----File: 388.png--- \textit{Corol.\fsp{}9.}\wsp{}Unde si vas quiescat ac detur motus globi, dabitur motus fluidi. Nam concipe planum transire per axem globi \& motu contrario revolvi; \& pone tempus revolutionis hujus esse ad summam hujus temporis \& temporis revolutionis globi, ut quadratum semidiametri vasis ad quadratum semidiametri globi: \& tempora periodica partium fluidi respectu plani hujus erunt ut quadrata distantiarum suarum ŕ centro globi. \textit{Corol.\fsp{}10.}\wsp{}Proinde si vas vel circa axem eundem cum globo, vel circa diversum aliquem, data cum velocitate quacun{\que} moveatur, dabitur motus fluidi. Nam si Systemati toti auferatur vasis motus angularis, manebunt motus omnes iidem inter se qui prius, per Corol.\ 8. Et motus isti per Corol.\ 9.\ dabuntur. \textit{Corol.\fsp{}11.}\wsp{}Si vas \& fluidum quiescant \& globus uniformi cum motu revolvatur, propagabitur motus paulatim per fluidum totum in vas, \& circumagetur vas nisi violenter detentum, ne{\que} prius desinent fluidum \& vas accelerari, quŕm sint eorum tempora periodica {\ae}qualia temporibus periodicis globi. Quod si vas vi aliqua detineatur vel revolvatur motu quovis constanti \& uniformi, deveniet Medium paulatim ad statum motus in Corollariis 8.\ 9 \& 10 definiti, nec in alio unquam statu quocun{\que} perseverabit. Deinde verň si, viribus illis cessantibus quibus vas \& globus certis motibus revolvebantur, permittatur Systema totum Legibus Mechanicis; vas \& globus in se invicem agent mediante fluido, ne{\que} motus suos in se mutuň per fluidum propagare prius cessabunt, quŕm eorum tempora periodica {\ae}quantur inter se, \& Systema totum ad instar corporis unius solidi simul revolvatur. \condpagelarge{\textit{Scholium.}} In his omnibus suppono fluidum ex materia quoad densitatem \& fluiditatem uniformi constare. Tale est in quo globus idem eodem cum motu, in eodem temporis intervallo, motus similes \& {\ae}quales, ad {\ae}quales semper ŕ se distantias, ubivis in fluido constitutus, propagare possit. Conatur quidem materia per motum suum % -----File: 389.png--- circularem recedere ab axe Vorticis, \& propterea premit materiam omnem ulteriorem. Ex hac pressione fit attritus partium fortior \& separatio ab invicem difficilior; \& per consequens diminuitur materi{\ae} fluiditas. Rursus si partes fluidi sunt alicubi crassiores seu majores, fluiditas ibi minor erit, ob pauciores superficies in quibus partes separentur ab invicem. In hujusmodi casibus deficientem fluiditatem vel lubricitate partium vel lentore aliave aliqua conditione restitui suppono. Hoc nisi fiat, materia ubi minůs fluida est magis coh{\ae}rebit \& segnior erit, adeo{\que} motum tardiůs recipiet \& longiůs propagabit quŕm pro ratione superiůs assignata. Si figura vasis non sit Sph{\ae}rica, movebuntur particul{\ae} in lineis non circularibus sed conformibus eidem vasis figur{\ae}, \& tempora periodica erunt ut quadrata mediocrium distantiarum ŕ centro quamproximč. In partibus inter centrum \& circumferentiam, ubi latiora sunt spatia, tardiores erunt motus, ubi angustiora velociores; neque tamen particul{\ae} velociores petent circumferentiam. Arcus enim describent minus curvos, \& conatus recedendi ŕ centro non minus diminuetur per decrementum hujus curvatur{\ae}, quŕm augebitur per incrementum velocitatis. Pergendo ŕ spatiis angustioribus in latiora recedent paulň longiůs ŕ centro, sed isto recessu tardescent; \& accedendo postea de latioribus ad angustiora accelerabuntur, \& sic per vices tardescent \& accelerabuntur particul{\ae} singul{\ae} in perpetuum. H{\ae}c ita se habebunt in vase rigido. Nam in fluido infinito constitutio Vorticum innotescit per Propositionis hujus Corollarium sextum. Proprietates autem Vorticum hac Propositione investigare conatus sum, ut pertentarem siqua ratione Ph{\ae}nomena c{\oe}lestia per Vortices explicari possint. Nam Ph{\ae}nomenon est quod Planetarum circa Jovem revolventium tempora periodica sunt in ratione sesquialtera distantiarum ŕ centro Jovis; \& eadem Regula obtinet in Planetis qui circa Solem revolvuntur. Obtinent autem h{\ae} Regul{\ae} in Planetis utrisque quam accuratissimč, quatenus observationes Astronomic{\ae} hactenus prodidęre. Ideo{\que} si Planet{\ae} illi ŕ Vorticibus circa Jovem \& Solem revolventibus deferantur, debebunt etiam % -----File: 390.png--- hi Vortices eadem lege revolvi. Verum tempora periodica partium Vorticis prodierunt in ratione duplicata distantiarum ŕ centro motus: neque potest ratio illa diminui \& ad rationem sesquialteram reduci, nisi vel materia vorticis eo fluidior sit quo longius distat ŕ centro, vel resistentia, qu{\ae} oritur ex defectu lubricitatis partium fluidi, ex aucta velocitate qua partes fluidi separantur ab invicem, augeatur in majori ratione quŕm ea est in qua velocitas augetur. Quorum tamen neutrum rationi consentaneum videtur. Partes crassiores \& minus fluid{\ae} (nisi graves sint in centrum) circumferentiam petent; \& verisimile est quod, etiamsi Demonstrationum gratia Hypothesin talem initio Sectionis hujus proposuerim ut Resistentia velocitati proportionalis esset, tamen Resistentia in minori sit ratione quŕm ea velocitatis est. Quo concesso tempora periodica partium Vorticis erunt in majori quŕm duplicata ratione distantiarum ab ipsius centro. Quod si vortices (uti aliquorum est opinio) celeriůs moveantur prope centrum, dein tardiůs usque ad certum limitem, tum denuň celeriůs juxta circumferentiam; certč nec ratio sesquialtera neque alia qu{\ae}vis certa ac determinata obtinere potest. Viderint ita{\que} Philosophi quo pacto Ph{\ae}nomenon illud rationis sesquialter{\ae} per Vortices explicari possit. \condpagelarge{Prop.\ LIII\@. Theor.\ XL.} \textit{Corpora qu{\ae} in Vortice delata in orbem redeunt ejusdem sunt densitatis cum Vortice, \& eadem lege cum ipsius partibus (quoad velocitatem \& cursus determinationem) moventur.} Nam si vorticis pars aliqua exigua, cujus particul{\ae} seu puncta physica datum servant situm inter se, congelari supponatur: h{\ae}c, quoniam ne{\que} quoad densitatem suam, neque quoad vim insitam aut figuram suam mutatur, movebitur eadem lege ac prius: \& contra, si Vorticis pars congelata \& solida ejusdem sit densitatis cum reliquo vortice, \& resolvatur in fluidum; movebitur h{\ae}c eadem lege ac prius, nisi quatenus ipsius particul{\ae} jam fluid{\ae} fact{\ae} moveantur inter se. Negligatur igitur motus particularum inter se, tanquam % -----File: 391.png--- ad totius motum progressivum nil spectans, \& motus totius idem erit ac prius. Motus autem idem erit cum motu aliarum Vorticis partium ŕ centro {\ae}qualiter distantium, propterea quod solidum in Fluidum resolutum fit pars Vorticis c{\ae}teris partibus consimilis. Ergo solidum, si sit ejusdem densitatis cum materia Vorticis, eodem motu cum ipsius partibus movebitur, in materia proximč ambiente relative quiescens. Sin densius sit, jam magis conabitur recedere ŕ centro Vorticis quŕm priůs; adeo{\que} Vorticis vim illam, qua priůs in Orbita sua tanquam in {\ae}quilibrio constitutum retinebatur, jam superans, recedet ŕ centro \& revolvendo describet Spiralem, non amplius in eundem Orbem rediens. Et eodem argumento si rarius sit, accedet ad centrum. Igitur non redibit in eundem Orbem nisi sit ejusdem densitatis cum fluido. Eo autem in casu ostensum est, quod revolveretur eadem lege cum partibus fluidi ŕ centro Vorticis {\ae}qualiter distantibus. \QEDit \textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Ergo solidum quod in Vortice revolvitur \& in eundem Orbem semper redit, relativč quiescit in fluido cui innatat. \textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Et si vortex sit quoad densitatem uniformis, corpus idem ad quamlibet ŕ centro Vorticis distantiam revolvi potest. \condpagelarge{\textit{Scholium.}} \pngright{392.png}{1118}{1272}{-24} %Illustration Hinc liquet Planetas ŕ Vorticibus corporeis non deferri. Nam Planet{\ae} secundum Hypothesin \textit{Copernic{\ae}am} circa Solem delati revolvuntur in Ellipsibus umbilicum habentibus in Sole, \& radiis ad Solem ductis areas describunt temporibus proportionales. At partes Vorticis tali motu revolvi nequeunt. Designent $AD$, $BE$, $CF$, orbes tres circa Solem $S$ descriptos, quorum extimus $CF$ circulus sit Soli concentricus, \& interiorum duorum Aphelia sint $A$, $B$, \& Perihelia $D$, $E$. Ergo corpus quod revolvitur in orbe $CF$, radio ad Solem ducto areas temporibus proportionales describendo, movebitur uniformi cum motu. Corpus autem quod revolvitur in Orbe $BE$, tardiůs movebitur in Aphelio $B$ \& velociůs in Perihelio $C$, secundum leges Astronomicas; cum tamen secundum leges Mechanicas materia Vorticis in spatio angustiore inter $A$ \& $C$ velociůs % -----File: 392.png--- moveri debeat quŕm in spatio latiore inter $D$ \& $F$; id est, in Aphelio velociůs quŕm in Perihelio. Qu{\ae} duo repugnant inter se. Sic in principio Signi Virginis, ubi Aphelium Martis jam versatur, distantia inter orbes Martis \& Veneris est ad distantiam eorundem orbium in principio Signi Piscium ut tria ad duo circiter, \& propterea materia Vorticis inter Orbes illos in principio Piscium debet esse velocior quŕm in principio Virginis in ratione trium ad duo. Nam quo angustius est spatium per quod eadem Materi{\ae} quantitas eodem revolutionis unius tempore transit, eo majori cum velocitate transire debet. Igitur si Terra in hac Materia c{\oe}lesti relativč quiescens ab ea deferretur, \& una circa Solem revolveretur, foret hujus velocitas in principio Piscium ad ejusdem velocitatem in principio Virginis in ratione sesquialtera. Unde Solis motus diurnus apparens in principio Virginis major esset quŕm minutorum primorum septuaginta, \& in principio Piscium minor quŕm minutorum quadraginta \& octo: cum tamen (experientia teste) apparens iste Solis motus major sit in principio Piscium quŕm in principio Virginis, \& propterea Terra velocior in principio Virginis quŕm in principio Piscium. Ita{\que} Hypothesis Vorticum cum Ph{\ae}nomenis Astronomicis omninň pugnat, \& non tam ad explicandos quŕm ad perturbandos motus c{\oe}lestes conducit. Quomodo verň motus isti in spatiis liberis absque Vorticibus peraguntur intelligi potest ex Libro primo, \& in Mundi Systemate pleniůs docebitur. \pagelines % -----File: 393.png--- \begin{center}{\large DE}\end{center} \begin{center}{\Huge Mundi Systemate}\end{center} \condpagelarge{\gesperrt{LIBER}{3} \gesperrt{TERTIUS}{3}} In Libris pr{\ae}cedentibus principia Philosophi{\ae} tradidi, non tamen Philosophica sed Mathematica tantum, ex quibus videlicet in rebus Philosophicis disputari possit. H{\ae}c sunt motuum \& virium leges \& conditiones, qu{\ae} ad Philosophiam maximč spectant. Eadem tamen, ne sterilia videantur, illustravi Scholiis quibusdam Philosophicis, ea tractans qu{\ae} generalia sunt, \& in quibus Philosophia maximč fundari videtur, uti corporum densitatem \& resistentiam, spatia corporibus vacua, motumque Lucis \& Sonorum. Superest ut ex iisdem principiis doceamus constitutionem Systematis Mundani. De hoc argumento composueram Librum tertium methodo populari, ut ŕ pluribus legeretur. Sed quibus Principia posita satis intellecta non fuerint, ij vim consequentiarum minimč percipient, neque pr{\ae}judicia deponent quibus ŕ multis retro annis insueverunt: \& propterea ne res in disputationes trahatur, summam libri illius transtuli in Propositiones, more Mathematico, ut ab iis solis legantur qui principia prius evolverint. Veruntamen quoniam Propositiones ibi quam plurim{\ae} occurrant, qu{\ae} Lectoribus etiam Mathematicč doctis moram nimiam injicere possint, author esse nolo ut quisquam eas omnes evolvat; suffecerit siquis Definitiones, Leges motuum \& sectiones tres priores Libri primi sedulň legat, dein transeat ad hunc Librum de Mundi Systemate, \& reliquas Librorum priorum Propositiones hic citatas pro lubitu consulat. % -----File: 394.png--- \condpagelarge{HYPOTHESES.} Hypoth.\fsp{}I\@.\wsp{}\textit{Causas rerum naturalium non plures admitti debere, quŕm qu{\ae} \& vera sint \& earum Ph{\ae}nomenis explicandis sufficiunt.} Natura enim simplex est \& rerum causis superfluis non luxuriat. % creative use of \spreadout to avoid unsplittable causae giving Overfull hbox Hypoth.\fsp{}II\@.\wsp{}\textit{Ideoque\spreadout{effectuum naturalium ejusdem generis e{\ae}dem sunt} caus{\ae}.} Uti respirationis in Homine \& in Bestia; descensus lapidum in \textit{Europa} \& in \textit{America}; Lucis in Igne culinari \& in Sole; reflexionis lucis in Terra \& in Planetis. Hypoth.\fsp{}III\@.\wsp{}\textit{Corpus omne in alterius cujuscunque generis corpus transformari posse, \& qualitatum gradus omnes intermedios sucessivč induere.} Hypoth.\fsp{}IV\@.\wsp{}\textit{Centrum Systematis Mundani quiescere.} Hoc ab omnibus concessum est, dum aliqui Terram alii Solem in centro quiescere contendat. Hypoth.\fsp{}V\@.\wsp{}\textit{Planetas circumjoviales, radiis ad centrum Jovis ductis, areas describere temporibus proportionales, eorumque tempora periodica esse in ratione sesquialtera distantiarum ab ipsius centro.} Constat ex observationibus Astronomicis. Orbes horum Planetarum non differunt sensibiliter ŕ circulis Jovi concentricis, \& motus eorum in his circulis uniformes deprehenduntur. Tempora verň periodica esse in sesquialtera semidiametrorum orbium consentiunt Astronomici: \& \textit{Flamstedius}, qui omnia Micrometro \& per Eclipses Satellitum accuratius definivit, literis ad me datis, quinetiam numeris suis mecum communicatis, significavit rationem illam sesquialteram tam accuratč obtinere, quŕm sit possibile sensu deprehendere. Id quňd ex Tabula sequente manifestum est. % -----File: 395.png--- \condpagelarge{\textit{Satellitum tempora periodica.}} \begin{tabular}{ l l l l} 1d.\ 18h.\ $28\minute\frac{3}{5}$. & 3d.\ 13h.\ $17\minute\frac{9}{10}$. & 7d.\ 3h.\ $59\minute\frac{3}{5}$. & 16d.\ 18h.\ $5\minute\frac{1}{5}$. \end{tabular} \condpagelarge{\textit{Distanti{\ae} Satellitum ŕ centro Jovis.}} \noindent\begin{tabular}{@{}l|l|l|l|ll} \textit{Ex Observationibus} & 1. & 2 & 3 & 4 \\ \hline Cassini & 5. & 8. & 13. & 23. \\ Borelli & $5\frac{2}{3}$. & $8\frac{2}{3}$. & 14. & $24\frac{2}{3}$. \\ Tounlei \textit{per Micromet.} & $5\decimals{51}$. & $8\decimals{78}$. & $13\decimals{47}$. & $24\decimals{72}$. & Semidiam. \\ Flamstedii \textit{per Microm.} & $5\decimals{31}$. & $8\decimals{85}$. & $13\decimals{98}$. & $24\decimals{23}$. & Jovis. \\ Flamst.\ \textit{per Eclips.\ Satel.}& $5\decimals{578}$. & 8$\decimals{876}$. & $14\decimals{159}$.& $24\decimals{903}$. \\ \hline \textit{Ex temporibus periodicis.} & $5\decimals{578}$. & $8\decimals{878}$. & $14\decimals{168}$.& $24\decimals{968}$. \end{tabular} \vspace{\baselineskip} Hypoth.\fsp{}VI\@. \textit{Planetas quinque primarios Mercurium, Venerem, Martem, Jovem \& Saturnum Orbibus suis Solem cingere.} Mercurium \& Venerem circa Solem revolvi ex eorum phasibus lunaribus demonstratur. Plenâ facie lucentes ultra Solem siti sunt, dimidiatâ č regione Solis, falcatâ cis Solem; per discum ejus ad modum macularum nonnunquam transeuntes. Ex Martis quoque plena facie prope Solis conjunctionem, \& gibbosa in quadraturis, certum est quod is Solem ambit. De Jove etiam \& Saturno idem ex eorum phasibus semper plenis demonstratur. Hypoth.\fsp{}VII\@.\wsp{}\textit{Planetarum quinque primariorum, \& (vel Solis circa Terram vel) Terr{\ae} circa Solem tempora periodica esse in ratione sesquialtera mediocrium distantiarum ŕ Sole.} H{\ae}c ŕ \textit{Keplero} inventa ratio in confesso est apud omnes. Eadem utique sunt tempora periodica, e{\ae}dem{\que} orbium dimensiones, sive Planet{\ae} circa Terram, sive iidem circa Solem revolvantur. Ac de mensura quidem temporum periodicorum convenit inter Astronomos universos. Magnitudines autem Orbium \textit{Keplerus} \& \textit{Bullialdus} omnium diligentissimč ex Observationibus determinaverunt: \& distanti{\ae} mediocres, qu{\ae} temporibus periodicis respondent, non % -----File: 396.png--- differunt sensibiliter ŕ distantiis quas illi invenerunt, suntque inter ipsas ut plurimum intermedi{\ae}; uti in Tabula sequente videre licet. \condpagelarge{\textit{Planetarum ac Telluris Distanti{\ae} mediocres ŕ Sole.}} \noindent\begin{tabular}{@{}l @{\hspace{0.3em}}c @{\hspace{0.3em}}c @{\hspace{0.3em}}c @{\hspace{0.3em}}c @{\hspace{0.3em}}c @{\hspace{0.3em}}c} & $\saturn$ & $ \jupiter$ & $ \mars$ & $ \earth$ & $ \venus$ & $ \mercury$ \\ Secundum \textit{Keplerum} & 951000. & 519650. & 152350. & 100000. & 72400. & 38806. \\ Secundum \textit{Bullialdum} & 954198. & 522520. & 152350. & 100000. & 72398. & 38585. \\ Secundum tempora periodica & 953806. & 520116. & 152399. & 100000. & 72333. & 38710. \end{tabular} \vspace{\baselineskip} De distantiis Mercurii \& Veneris ŕ Sole disputandi non est locus, cum h{\ae} per eorum Elongationes ŕ Sole determinentur. De distantiis etiam superiorum Planetarum ŕ Sole tollitur omnis disputatio per Eclipses Satellitum Jovis. Etenim per Eclipses illas determinatur positio umbr{\ae} quam Jupiter projicit, \& eo nomine habetur Jovis longitudo Heliocentrica. Ex longitudinibus autem Heliocentrica \& Geocentrica inter se collatis determinatur distantia Jovis. Hypoth.\fsp{}VIII\@.\wsp{}\textit{Planetas primarios radiis ad Terram ductis areas describere temporibus minimč proportionales; at radiis ad Solem ductis areas temporibus proportionales percurrere.} Nam respectu terr{\ae} nunc progrediuntur, nunc stationarii sunt, nunc etiam regrediuntur: At Solis respectu semper progrediuntur, idque propemodum uniformi cum motu, sed paulo celerius tamen in Periheliis ac tardius in Apheliis, sic ut arearum {\ae}quabilis sit descriptio. Propositio est Astronomis notissima, \& in Jove apprimč demonstratur per Eclipses Satellitum, quibus Eclipsibus Heliocentricas Planet{\ae} hujus longitudines \& distantias ŕ Sole determinari diximus. Hypoth.\fsp{}IX\@.\wsp{}\textit{Lunam radio ad centrum terr{\ae} ducto aream tempori proportionalem describere.} Patet ex Lun{\ae} motu apparente cum ipsius diametro apparente collato. Perturbatur autem motus Lunaris aliquantulum ŕ vi Solis, sed errorum insensibiles minutias Physicis in hisce Hypothesibus negligo. % -----File: 397.png--- \condpagelarge{Prop.\ I\@. Theor.\ I.} \textit{Vires, quibus Planet{\ae} circumjoviales perpetuo retrahuntur ŕ motibus rectilineis \& in orbibus suis retinentur, respicere centrum Jovis, \& esse reciproce ut quadrata distantiarum locorum ab eodem centro.} Patet pars prior Propositionis per Hypoth.\ V. \& Prop.\ II. vel III. Lib.\ I. \& pars posterior per Hypoth.\ V. \& Corol.\ 6.\ Prop.\ IV. ejusdem Libri. \condpagelarge{Prop.\ II\@. Theor.\ II.} \textit{Vires, quibus Planet{\ae} primarii perpetuo retrahuntur ŕ motibus rectilineis, \& in Orbibus suis retinentur, respicere Solem, \& esse reciproce ut quadrata distantiarum ab ipsius centro.} Patet pars prior Propositionis per Hypoth.\ VIII. \& Prop.\ II. Lib.\ I. \& pars posterior per Hypoth.\ VII. \& Prop.\ IV. ejusdem Libri. Accuratissimč autem demonstratur h{\ae}c pars Propositionis per quietem Apheliorum. Nam aberratio quam minima ŕ ratione duplicata (per \label{wasp405}Corol.\ 1.\ Prop.\ XLV. Lib.\ I.) motum Apsidum in singulis revolutionibus notabilem, in pluribus enormem efficere deberet. \condpagelarge{Prop.\ III\@. Theor.\ III.} \textit{Vim qua Luna retinetur in Orbe suo respicere terram, \& esse reciprocň ut quadratum distanti{\ae} locorum ab ipsius centro.} Patet assertionis pars prior, per Hypoth.\ IX. \& Prop.\ II. vel III. Lib.\ I. \& pars posterior per motum tardissimum Lunaris Apog{\ae}i. Nam motus ille, qui singulis revolutionibus est graduum tantum trium in consequentia, contemni potest. Patet enim, per Corol.\ 1.\ Prop.\ XLV. Lib.\ I. quod si distantia Lun{\ae} ŕ centro Terr{\ae} dicatur % -----File: 398.png--- $D$, vis ŕ qua motus talis oriatur, sit reciproce ut $D^{2\frac{4}{243}}$, id est reciprocč ut ea ipsius $D$ dignitas, cujus index est $2\frac{4}{243}$, hoc est in ratione distanti{\ae} paulo majore quam duplicata inverse, sed qu{\ae} vicibus $60\frac{3}{4}$ propius ad duplicatam quam ad triplicatam accedit. Tantillus autem accessus meritň contemnendus est. Oritur verň ab actione Solis (uti posthac dicetur) \& propterea hic negligendus est. Restat igitur ut vis illa, qu{\ae} ad Terram spectat, sit reciprocč ut $D^2$; id quod etiam plenius constabit, conferendo hanc vim cum vi gravitatis, ut fit in Propositione sequente. \condpagelarge{Prop.\ IV\@. Theor.\ IV.} \textit{Lunam gravitare in terram, \& vi gravitatis retrahi semper ŕ motu rectilineo, \& in orbe suo retineri.} Lun{\ae} distantia mediocris ŕ centro Terr{\ae} est semidiametrorum terrestrium, secundum plerosque Astronomorum 59, secundum \textit{Vendelinum} 60, secundum \textit{Copernicum} $60\frac{1}{3}$, secundum \textit{Kircherum} $62\frac{1}{2}$, \& secundum \textit{Tychonem} $56\frac{1}{2}$. Ast \textit{Tycho}, \& quotquot ejus Tabulas refractionum sequuntur, constituendo refractiones Solis \& Lun{\ae} (omnino contra naturam Lucis) majores quam fixarum, idque scrupulis quasi quatuor vel quinque, auxerunt Parallaxin Lun{\ae} scrupulis totidem, hoc est quasi duodecima vel decima quinta parte totius parallaxeos. Corrigatur iste error, \& distantia evadet quasi 61 semidiametrorum terrestrium, fere ut ab aliis assignatum est. Assumamus distantiam mediocrem sexaginta semidiametrorum; \& Lunarem periodum respectu fixarum compleri diebus 27, horis 7, minutis primis 43, ut ab Astronomis statuitur; atque ambitum Terr{\ae} esse pedum Parisiensium 123249600, uti ŕ Gallis mensurantibus nuper definitum est: \& si Luna motu omni privari fingatur, ac dimitti ut, urgente vi illa omni qua in Orbe suo retinetur, descendat in terram; h{\ae}c spatio minuti primi cadendo describet pedes Parisienses $15\frac{1}{12}$. Colligitur % -----File: 399.png--- hoc ex calculo, vel per Propositionem xxxvi Libri primi, vel (quod eodem recedit) per Scholium Propositionis quart{\ae} ejusdem Libri, confecto. Unde cum vis illa accedendo ad terram augeatur in duplicata distanti{\ae} ratione inversâ, adeoque ad superficiem Terr{\ae} major sit vicibus $60 \times 60$ quam ad Lunam, corpus vi illa in regionibus nostris cadendo describere deberet spatio minuti unius primi pedes Parisienses $60 \times 60 \times 15\frac{1}{12}$, \& spatio minuti unius secundi pedes $15\frac{1}{12}$. Atqui corpora in regionibus nostris vi gravitatis cadendo describunt tempore minuti unius secundi pedes Parisienses $15\frac{1}{12}$, uti \textit{Hugenius}, factis pendulorum experimentis \& computo inde inito, demonstravit: \& propterea vis qua Luna in orbe suo retinetur, illa ipsa est quam nos gravitatem dicere solemus. Nam si gravitas ab ea diversa est, corpora viribus utrisque conjunctis Terram petendo duplo velocius descendent, \& spatio minuti unius secundi cadendo describent pedes Parisienses $30\frac{1}{6}$: omnino contra experientiam. Calculus hic fundatur in Hypothesi quod Terra quiescit. Nam si Terra \& Luna circa Solem moveantur, \& interea quoque circa commune gravitatis centrum revolvantur: distantia centrorum Lun{\ae} ac Terr{\ae} ab invicem erit $60\frac{1}{2}$ semidiametrorum terrestrium; uti computationem (per Prop.\ LX. Lib.\ I.) ineunti patebit. \condpagelarge{Prop.\ V\@. Theor.\ V.} \textit{Planetas circumjoviales gravitare in Jovem, \& circumsolares in Solem, \& vi gravitatis su{\ae} retrahi semper ŕ motibus rectilineis, \& in orbibus curvilineis retineri.} Nam revolutiones Planetarum circumjovialium circa Jovem, \& Mercurii ac Veneris reliquorumque circumsolarium circa Solem sunt Ph{\ae}nomena ejusdem generis cum revolutione Lun{\ae} circa Terram; \& propterea per Hypoth.\ II. ŕ causis ejusdem generis dependent: pr{\ae}sertim cům demonstratum sit quod vires, ŕ quibus revolutiones ill{\ae} dependent, respiciant centra Jovis ac Solis, \& recedendo % -----File: 39A.png--- ŕ Jove \& Sole decrescant eadem ratione ac lege, qua vis gravitatis decrescit in recessu ŕ Terra. \textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Igitur gravitas datur in Planetas universos. Nam Venerem, Mercurium c{\ae}terosque esse corpora ejusdem generis cum Jove nemo dubitat. Certe Planeta Hugenianus, eodem argumento quo Satellites Jovis gravitant in Jovem, gravis est in Saturnum. Et cum attractio omnis (per motus legem tertiam) mutua sit, Saturnus vicissim gravitabit in Planetam Hugenianum. Eodem argumento Jupiter in Satellites suos omnes, Terraque in Lunam, \& Sol in Planetas omnes primarios gravitabit. \textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Gravitatem, qu{\ae} Planetam unumquemque respicit, ese reciprocč ut quadratum distanti{\ae} locorum ab ipsius centro. \condpagelarge{Prop.\ VI\@. Theor.\ VI.} \textit{Corpora omnia in Planetas singulos gravitare, \& pondera eorum in eundem quemvis Planetam, paribus distantiis ŕ centro Planet{\ae}, proportionalia esse quantitati materi{\ae} in singulis.} Descensus gravium omnium in Terram (dempta saltem in{\ae}quali retardatione qu{\ae} ex Aeris perexigua resistentia oritur) {\ae}qualibus temporibus fieri jamdudum observarunt alii; \& accuratissimč quidem notare licet {\ae}qualitatem temporum in Pendulis. Rem tentavi in auro, argento, plumbo, vitro, arena, sale communi, ligno, aqua, tritico. Comparabam pixides duas ligneas rotundas \& {\ae}quales. Unam implebam ligno, \& idem auri pondus suspendebam (quŕm potui exactč) in alterius centro oscillationis. Pixides ab {\ae}qualibus pedum undecim filis pendentes constituebant Pendula, quoad pondus, figuram \& aeris resistentia omnino paria: Et paribus oscillationibus juxta posit{\ae} ibant unŕ \& redibant diutissime. Proinde copia materi{\ae} in auro (per Corol.\ 1.\ \& 6.\ Prop.\ XXIV. Lib.\ II.) erat ad copiam materi{\ae} in ligno, ut vis motricis actio in totum aurum ad ejusdem actionem in totum lignum; hoc % -----File: 39B.png--- est ut pondus ad pondus. Et sit in c{\ae}teris. In corporibus ejusdem ponderis differentia materi{\ae}, qu{\ae} vel minor esset quŕm pars millesima materi{\ae} totius, his experimentis manifestň deprehendi potuit. Jam verň naturam gravitatis in Planetas eandem esse atque in Terram non est dubium. Elevari enim fingantur corpora h{\ae}c Terrestria ad usque Orbem Lun{\ae}, \& una cum Lunâ motu omni privata demitti, ut in Terram simul cadant; \& per jam ante ostensa certum est quod temporibus {\ae}qualibus describent {\ae}qualia Spatia cum Luna, adeoque quod sunt ad quantitatem materi{\ae} in Luna, ut pondera sua ad ipsius pondus. Porrň quoniam Satellites Jovis temporibus revolvuntur qu{\ae} sunt in ratione sesquialtera distantiarum a centro Jovis, erunt eorum gravitates acceleratrices in Jovem reciprocč ut quadrata distantiarum ŕ centro Jovis; \& propterea in {\ae}qualibus ŕ Jove distantiis eorum gravitates acceleratrices evaderent {\ae}quales. Proinde temporibus {\ae}qualibus ab {\ae}qualibus altitudinibus cadendo describerent {\ae}qualia Spatia, perinde ut fit in gravibus, in hac Terra nostra. Et eodem argumento Planet{\ae} circumsolares ab {\ae}qualibus ŕ Sole distantiis dimissi, descensu suo in Solem {\ae}qualibus temporibus {\ae}qualia spatia describerent. Vires autem, quibus corpora in{\ae}qualia {\ae}qualiter accelerantur, sunt ut corpora; hoc est pondera ut quantitates materi{\ae} in Planetis. Porrň Jovis \& ejus Satellitum pondera in Solem proportionalia esse quantitatibus materi{\ae} eorum, patet ex motu Satellitum quam maxime regulari; per Corol.\ 3.\ Prop.\ LXV. Lib.\ I\@. Nam si horum aliqui magis traherentur in Solem pro quantitate materi{\ae} su{\ae} quŕm c{\ae}teri, motus Satellitum (per Corol.\ 2.\ Prop.\ LXV. Lib.\ I.) ex in{\ae}qualitate attractionis perturbarentur. Si (paribus ŕ Sole distantiis) Satelles aliquis gravior esset in Solem pro quantitate materi{\ae} su{\ae}, quam Jupiter pro quantitate materi{\ae} su{\ae}, in ratione quacunque data, puta $d$ ad $e$: distantia inter centrum Solis \& centrum Orbis Satellitis major semper foret quam distantia inter centrum Solis \& centrum Jovis in ratione dimidiata quam proximč; uti calculis quibusdam initis inveni. Et si Satelles minus gravis esset in Solem in ratione illa $d$ ad $e$, distantia % -----File: 400.png--- centri Orbis Satellitis ŕ Sole minor foret quŕm distantia centri Jovis ŕ Sole in ratione illa dimidiata. Igitur si in {\ae}qualibus ŕ Sole distantiis, gravitas acceleratrix Satellitis cujusvis in Solem major esset vel minor quŕm gravitas acceleratrix Jovis in Solem, parte tantum millesima gravitatis totius; foret distantia centri Orbis Satellitis ŕ Sole major vel minor quŕm distantia Jovis ŕ Sole parte $\frac{1}{2600}$ distanti{\ae} totius, id est parte quinta distanti{\ae} Satellitis extimi ŕ centro Jovis: Qu{\ae} quidem Orbis excentricitas foret valde sensibilis. Sed Orbes Satellitum sunt Jovi concentrici, \& propterea gravitates acceleratrices Jovis \& Satellitum in Solem {\ae}quantur inter se. Et eodem argumento pondera Saturni \& Comitis ejus in Solem, in {\ae}qualibus ŕ Sole distantiis, sunt ut quantitates materi{\ae} in ipsis: Et pondera Lun{\ae} ac Terr{\ae} in Solem vel nulla sunt, vel earum massis accuratč proportionalia. Quinetiam pondera partium singularum Planet{\ae} cujusque in alium quemcunque sunt inter se ut materia in partibus singulis. Nam si partes aliqu{\ae} plus gravitarent, ali{\ae} minus, quŕm pro quantitate materi{\ae}, Planeta totus, pro genere partium quibus maximč abundet, gravitaret magis vel minus quŕm pro quantitate materi{\ae} totius. Sed nec refert utrum partes ill{\ae} extern{\ae} sint vel intern{\ae}. Nam si verbi gratia corpora Terrestria, qu{\ae} apud nos sunt, in Orbem Lun{\ae} elevari fingantur, \& conferantur cum corpore Lun{\ae}: Si horum pondera essent ad pondera partium externarum Lun{\ae} ut quantitates materi{\ae} in iisdem, ad pondera verň partium internarum in majori vel minori ratione, forent eadem ad pondus Lun{\ae} totius in majori vel minori ratione: contra quam supra ostensum est. \textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Hinc pondera corporum non pendent ab eorum formis \& texturis. Nam si cum formis variari possent, forent majora vel minora pro varietate formarum in {\ae}quali materia; omninň contra experientiam. \textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Igitur corpora universa qu{\ae} circa Terram sunt, gravia sunt in Terram; \& pondera omnium, qu{\ae} {\ae}qualiter ŕ centro Terr{\ae} distant, sunt ut quantitates materi{\ae} in iisdem. Nam si {\ae}ther % -----File: 401.png--- aut corpus aliud quodcunque vel gravitate omnino destitueretur vel pro quantitate materi{\ae} su{\ae} minus gravitaret, quoniam id non differt ab aliis corporibus nisi in forma materi{\ae}, posset idem per mutationem form{\ae} gradatim transmutari in corpus ejusdem conditionis cum iis qu{\ae} pro quantitate materi{\ae} quam maximč gravitant, (per Hypoth.\ III.) \& vicissim corpora maxime gravia, formam illius gradatim induendo, possent gravitatem suam gradatim amittere. Ac proinde pondera penderent ŕ formis corporum, possentque cum formis variari, contra quam probatum est in Corollario superiore. \textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Itaque Vacuum necessariň datur. Nam si spatia omnia plena essent, gravitas specifica fluidi quo regio aeris impleretur, ob summam densitatem materi{\ae}, nil cederet gravitati specific{\ae} argenti vivi, vel auri, vel corporis alterius cujuscunque densissimi; \& propterea nec aurum neque aliud quodcunque corpus in aere descendere posset. Nam corpora in fluidis, nisi specificč graviora sint, minimč descendunt. \textit{Corol.\fsp{}4.}\wsp{}Gravitatem diversi generis esse ŕ vi magnetica. Nam attractio magnetica non est ut materia attracta. Corpora aliqua magis trahuntur, alia minus, plurima non trahuntur. Estque vis magnetica longe major pro quantitate materi{\ae} quam vis gravitatis: sed \& in eodem corpore intendi potest \& remitti; in recessu verň ŕ magnete decrescit in ratione distanti{\ae} plusquam duplicata, per Prop.\ LXXXV. Lib.\ I.; propterea quod vis longe fortior sit in contactu, quam cum attrahentia vel minimum separantur ab invicem. \condpagelarge{Prop.\ VII\@. Theor.\ VII.} \textit{Gravitatem in corpora universa fieri, eamque proportionalem esse quantitati materi{\ae} in singulis.} Planetas omnes in se mutuň graves esse jam ante probavimus, ut \& gravitatem in unumquemque seorsim spectatum esse reciprocč ut quadratum distanti{\ae} locorum ŕ centro Planet{\ae}. Et inde consequens % -----File: 402.png--- est, (per Prop.\ LXIX. Lib.\ I. \& ejus Corollaria) gravitatem in omnes proportionalem esse materi{\ae} in iisdem. Porrň cum Planet{\ae} cujusvis $A$ partes omnes graves sint in Planetam quemvis $B$, \& gravitas partis cujusque sit ad gravitatem totius, ut materia partis ad materiam totius, \& actioni omni reactio (per motus Legem tertiam) {\ae}qualis sit; Planeta $B$ in partes omnes Planet{\ae} $A$ vicissim gravitabit, \& erit gravitas sua in partem unamquamque ad gravitatem suam in totum, ut materia partis ad materiam totius. \QEDit \textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Oritur igitur \& componitur gravitas in Planetam totum ex gravitate in partes singulas. Cujus rei exempla habemus in attractionibus Magneticis \& Electricis. Oritur enim attractio omnis in totum ex attractionibus in partes singulas. Res intelligetur in gravitate, concipiendo Planetas plures minores in unum Globum coire \& Planetam majorem componere. Nam vis totius ex viribus partium componentium oriri debebit. Siquis objiciat quod corpora omnia, qu{\ae} apud nos sunt, hac lege gravitare deberent in se mutuň, cům tamen ejusmodi gravitas neutiquam sentiatur: Respondeo quod gravitas in h{\ae}c corpora, cum sit ad gravitatem in Terram totam ut sunt h{\ae}c corpora ad Terram totam, longe minor est quam qu{\ae} sentiri possit. \textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Gravitatio in singulas corporis particulas {\ae}quales est reciprocč ut quadratum distanti{\ae} locorum ŕ particulis. Patet per Corol.\ 3.\ Prop.\ LXXIV. Lib.\ I. \condpagelarge{Prop.\ VIII\@. Theor.\ VIII.} \textit{Si Globorum duorum in se mutuň gravitantium materia undique, in regionibus qu{\ae} ŕ centris {\ae}qualiter distant, homogenea sit: erit pondus Globi alterutrius in alterum reciprocč ut quadratum distanti{\ae} inter centra.} Postquam invenissem gravitatem in Planetam totum oriri \& componi ex gravitatibus in partes; \& esse in partes singulas reciprocč % -----File: 403.png--- proportionalem quad\-rat\-is distantiarum ŕ partibus: dubitabam an reciproca illa proportio duplicata obtineret accuratč in vi tota ex viribus pluribus composita, an verň quam proximč. Nam fieri posset ut proportio illa in majoribus distantiis satis obtineret, at prope superficiem Planet{\ae}, ob in{\ae}quales particularum distantias \& situs dissimiles, notabiliter erraret. Tandem verň, per Prop.\ LXXV. Libri primi \& ipsius Corollaria, intellexi veritatem Propositionis de qua hic agitur. \textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Hinc inveniri \& inter se comparari possunt pondera corporum in diversos Planetas. Nam pondera corporum {\ae}qualium circum Planetas in circulis revolventium sunt (per Prop.\ IV. Lib.\ I.) ut diametri circulorum directč \& quadrata temporum periodicorum inversč; \& pondera ad superficies Planetarum aliasve quasvis ŕ centro distantias majora sunt vel minora (per hanc Propositionem) in duplicata ratione distantiarum inversa. Sic ex temporibus periodicis Veneris circa Solem dierum $224\frac{2}{3}$, Satellitis extimi circumjovialis circa Jovem dierum $16\frac{3}{4}$, Satellitis Hugeniani circa Saturnum dierum 15 \& horarum $22\frac{2}{3}$, \& Lun{\ae} circa Terram 27 \textit{dier.}\ 7 \textit{hor.}\ 43 \textit{min.}\ collatis cum distantia mediocri Veneris ŕ Sole; cum Elongatione maxima Heliocentrica Satellitis extimi circumjovialis, qu{\ae} (in mediocri Jovis ŕ Sole distantia juxta observationes \textit{Flamstedii}) est $8\minute.$ $13\second$; cum elongatione maxim{\ae} Heliocentrica Satellitis Saturnii $3\minute.$ $20\second$; \& cum distantia Lun{\ae} ŕ Terra, ex Hypothesi quod Solis parallaxis horizontalis seu semidiameter Terr{\ae} č Sole vis{\ae} sit quasi $20\second$; calculum ineundo inveni quod corporum {\ae}qualium \& ŕ Sole, Jove, Saturno ac Terra {\ae}qualiter distantium pondera in Solem, Jovem, Saturnum ac Terram forent ad invicem ut 1, $\frac{1}{1100}$, $\frac{1}{2360}$ \& $\frac{1}{28700}$ respectivč. Est autem Solis semidiameter mediocris apparens quasi $16\minute.$ $6\second$. Illam Jovis č Sole visam \textit{Flamstedius}, ex umbr{\ae} Jovialis diametro per Eclipses Satellitum inventa, determinavit esse ad elongationem Satellitis extimi ut 1 ad $24\decimals{9}$ adeoque cum elongatio illa sit $8\minute.$ $13\second$ semidiameter Jovis č Sole visi erit $19\second\frac{3}{4}$. Diameter Saturni % -----File: 404.png--- est ad diametrum Annuli ejus ut 4 ad 9, \& diameter annuli č Sole visi (mensurante \textit{Flamstedio}) $50\second$, adeoque semidiameter Saturnie č Sole visi $11\second$. Malim dicere $10\second$ vel $9\second$, propterea quod globus Saturni per lucis in{\ae}qualem refrangibilitatem nonnihil dilatatur. Hinc inito calculo prodeunt ver{\ae} Solis, Jovis, Saturni ac Terr{\ae} semidiametri ad invicem ut 10000, 1063, 889, \& 208. Unde cum pondera {\ae}qualium corporum ŕ centris Solis, Jovis, Saturni ac Telluris {\ae}qualiter distantium sint in Solem, Jovem, Saturnum ac Terram ut 1, $\frac{1}{1100}$, $\frac{1}{2360}$, $\frac{1}{28700}$ respective, \& auctis vel diminutis distantiis diminuuntur vel augentur pondera in duplicata ratione; erunt pondera eorundem {\ae}qualium corporum in Solem, Jovem, Saturnum \& Terram, in distantiis 10000, 1063, 889 \& 208 ab eorum centris, atque adeo in eorum superficiebus versantium, ut 10000, $804\frac{1}{2}$, 536 \& $805\frac{1}{2}$ respectivč. Pondera corporum in superficie Lun{\ae} ferč duplo minora esse quam pondera corporum in superficie Terr{\ae} dicemus in sequentibus. \textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Igitur pondera corporum {\ae}qualium, in superficiebus Terr{\ae} \& Planetarum, sunt fere in ratione dimidiata diametrorum apparentium č Sole visarum. De Terr{\ae} quidem diametro č Sole visa nondum constat. Hanc assumpsi $40\second$, propterea quod observationes \textit{Kepleri}, \textit{Riccioli} \& \textit{Vendelini} non multo majorem esse permittunt; eam \textit{Horroxii} \& \textit{Flamstedii} observationes paulo minorem adstruere videntur. Et malui in excessu peccare. Quňd si fortč diameter illa \& gravitas in superficie Terr{\ae} mediocris sit inter diametros Planetarum \& gravitatem in eorum superficiebus: quoniam Saturni, Jovis, Martis, Veneris \& Mercurii č Sole visorum diametri sunt $18\second$, $39\second\frac{1}{2}$, $8\second$, $28\second$, $20\second$ circiter, erit diameter Terr{\ae} quasi $24\second$, adeoque Parallaxis Solis quasi $12\second$, ut \textit{Horroxius} \& \textit{Flamstedius} propemodum statuere. Sed diameter paulo major melius congruit cum Regula hujus Corollarii. \textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Innotescit\spreadout{etiam quantitas materi{\ae} in Planetis singulis. Nam} \\ quantitates ill{\ae} sunt ut Planetarum Vires in distantiis ŕ se {\ae}qualibus; id est in Sole, Jove, Saturno ac Terra ut 1, % -----File: 405.png--- $\frac{1}{1100}$, $\frac{1}{2360}$, $\frac{1}{28700}$ respectivč. Si Parallaxis Solis statuatur minor quam $20\second$, debebit quantitas materi{\ae} in Terra diminui in triplicata ratione. \textit{Corol.\fsp{}4.}\wsp{}Innotescunt etiam densitates Planetarum. Nam corporum {\ae}qualium \& homogeneorum pondera in Sph{\ae}ras homogeneas in superficiebus Sph{\ae}r\-ar\-um, sunt ut Sph{\ae}rarum diametri per Prop.\ LXXII. Lib.\ I. ideoque Sph{\ae}rarum heterogenearum densitates sunt ut pondera applicata ad diametros. Erant autem ver{\ae} Solis, Saturni, Jovis ac Terr{\ae} diametri ad invicem ut 10000, 889, 1063 \& 208, \& pondera in eosdem ut 10000, 536, $804\frac{1}{2}$ \& $805\frac{1}{2}$, \& propterea densitates sunt ut 100, 60, 76, 387. Densitas autem Terr{\ae}, qu{\ae} hic colligitur, non pendet ŕ Parallaxi Solis, sed determinatur per parallaxin Lun{\ae}, \& propterea hic recte definitur. Est igitur Sol paulo densior quŕm Jupiter, \& Terra multo densior quŕm Sol. \textit{Corol.\fsp{}5.}\wsp{}Planetarum autem densitates inter se fere sunt in ratione composita ex ratione distantiarum ŕ Sole \& ratione dimidiata diametrorum apparentium č Sole visarum. Nempe Saturni, Jovis, Terr{\ae} \& Lun{\ae} densitates 60, 76, 387 \& 700, fere sunt ut distantiarum reciproca $\frac{1}{9538}$, $\frac{1}{5201}$, $\frac{1}{1000}$ \& $\frac{1}{1000}$, ducta in radices diametrorum apparentium $18\second$, $39\second\frac{1}{2}$, $40\second$, \& $11\second$. Diximus utique, in Corollario secundo, gravitatem ad superficies Planetarum esse quam proximč in ratione dimidiata apparentium diametrorum č Sole visarum; \& in Lemmate quarto densitates esse ut gravitates ill{\ae} applicat{\ae} ad diametros veras: ideoque densitates fere sunt ut radices diametrorum apparentium applicat{\ae} ad diametros veras, hoc est reciproce ut distanti{\ae} Planetarum ŕ Sole duct{\ae} in radices diametrorum apparentium. Collocavit igitur Deus Planetas in diversas distantiis ŕ Sole, ut quilibet pro gradu densitatis calore Solis majore vel minore fruatur. Aqua nostra, si Terra locaretur in orbe Saturne, rigesceret, si in orbe Mercurii in vapores statim abiret. Nam lux Solis, cui calor proportionalis est, septuplo densior est in orbe Mercurii quŕm apud nos; \& Thermometro % -----File: 406.png--- expertus sum quod septuplo Solis {\ae}stivi calore aqua ebullit. Dubium verň non est quin materia Mercurii ad calorem accommodetur, \& propterea densior sit hac nostra; cum materia omnis densior ad operationes Naturales obeundas majorem calorem requirat. \condpagelarge{Prop.\ IX\@. Theor.\ IX.} \textit{Gravitatem pergendo ŕ superficiebus Planetarum deorsum decrescere in ratione distantiarum ŕ centro quam proximč.} Si materia Planet{\ae} quoad densitatem uniformis esset, obtineret h{\ae}c Propositio accuratč: per Prop.\ LXXIII. Lib.\ I\@. Error igitur tantus est, quantus ab in{\ae}quabili densitate oriri possit. \condpagelarge{Prop.\ X\@. Theor.\ X.} \textit{Motus Planetarum in C{\oe}lis diutissimč conservari posse.} In Scholio Propositionis XL. Lib.\ II. ostensum est quod globus Aqu{\ae} congelat{\ae} in Aere nostro, liberč movendo \& longitudinem semidiametri su{\ae} describendo, ex resistentia Aeris amitteret motus sui partem $\frac{1}{3200}$. Obtinet autem eadem proportio quam proximč (per Prop.\ XL. Lib.\ II.) in globis utcunque magnis \& velocibus. Jam verň Globum Terr{\ae} nostr{\ae} densiorem esse quam si totus ex Aqua constaret, sic colligo. Si Globus hicce totus esset aqueus, qu{\ae}cunque rariora essent quŕm aqua, ob minorem specificam gravitatem emergerent \& supernatarent. Eaque de causa Globus terreus aquis undique coopertus, si rarior esset quam aqua, emergeret alicubi, \& aqua omnis inde defluens congregaretur in regione opposita. Et par est ratio Terr{\ae} nostr{\ae} maribus magna ex parte circumdat{\ae}. H{\ae}c si densior non esset, emergeret ex maribus, \& parte sui pro gradu levitatis extaret ex Aqua, maribus omnibus in % -----File: 407.png--- regionem oppositam confluentibus. Eodem argumento macul{\ae} Solares leviores sunt quŕm materia lucida Solaris cui supernatant. Et in formatione qualicunque Planetarum, materia omnis gravior, quo tempore massa tota fluida erat, centrum petebat. Unde cum Terra communis suprema quasi duplo gravior sit quam aqua, \& paulo inferius in fodinis quasi triplo vel quadruplo aut etiam quintuplo gravior reperiatur: verisimile est quod copia materi{\ae} totius in Terra quasi quintuplo vel sextuplo major sit quŕm si tota ex aqua constaret; pr{\ae}sertim cum Terram quasi quintuplo densiorem esse quŕm Jovem jam ante ostensum sit. Igitur si Jupiter paulo densior sit quŕm aqua, hic spatio dierum viginti \& unius, quibus longitudinem 320 semidiametrorum suarum describit, amitteret in Medio ejusdem densitatis cum Aere nostro motus sui partem fere decimam. Verum cum resistentia Mediorum minuatur in ratione ponderis ac densitatis, sic ut aqua, qu{\ae} vicibus $13\frac{2}{3}$ levior est quŕm argentum vivum, minus resistat in eadem ratione; \& aer, qui vicibus 800 levior est quŕm aqua, minus resistat in eadem ratione: si ascendatur in c{\oe}los ubi pondus Medii, in quo Planet{\ae} moventur, diminuitur in immensum, resistentia prope cessabit. \condpagelarge{Prop.\ XI\@. Theor.\ XI.} \textit{Commune centrum gravitas Terr{\ae} Solis \& Planetarum omnium quiescere.} Nam centrum illud (per Legum Corol.\ 4.)\ vel quiescet vel progredietur uniformiter in directum. Sed centro illo semper progrediente, centrum Mundi quoque movebitur contra Hypothesin quartam. % -----File: 40A.png--- \condpagelarge{Prop.\ XII\@. Theor.\ XII.} \textit{Solem motu perpetuo agitari sed nunquam longe recedere ŕ communi gravitatis centro Planetarum omnium.} Nam cum, per Corol.\ 3.\ Prop.\ VIII. materia in Sole sit ad materiam in Jove ut 1100 ad 1, \& distantia Jovis ŕ Sole sit ad \label{wasp418}semidiametrum Solis in eadem ratione circiter; commune centrum gravitatis Jovis \& Solis incidet fere in superficiem Solis. Eodem argumento cům materia in Sole sit ad materiam in Saturno ut 2360 ad 1, \& distantia Saturni ŕ Sole sit ad semidiametrum Solis in ratione paulo minori: incidet commune centrum gravitatis Saturni \& Solis in punctum paulo infra superficiem Solis. Et ejusdem calculi vestigiis insistendo si Terra \& Planet{\ae} omnes ex una Solis parte consisterent, commune omnium centrum gravitatis vix integra Solis diametro ŕ centro Solis distaret. Aliis in casibus distantia centrorum semper minor est. Et propterea cum centrum illud gravitatis perpetuo quiescit, Sol pro vario Planetarum situ in omnes partes movebitur, sed ŕ centro illo nunquam longe recedet. \textit{Corol.}\wsp{}Hinc commune gravitatis centrum Terr{\ae}, Solis \& Planetarum omnium pro centro Mundi habendum est. Nam cům Terra, Sol \& Planet{\ae} omnes gravitent in se mutuň, \& propterea, pro vi gravitatis su{\ae}, secundum leges motűs perpetuň agitentur: perspicuum est quod horum centra mobilia pro Mundi centro quiescente haberi nequeunt. Si corpus illud in centro locandum esset in quod corpora omnia maximč gravitant (uti vulgi est opinio) privilegium istud concedendum esset Soli. Cum autem Sol moveatur, eligendum erit punctum quiescens, ŕ quo centrum Solis quam minimč discedit, \& ŕ quo idem adhuc minus discederet, si modň Sol densior esset \& major, ut minus moveretur. % -----File: 40B.png--- \condpagelarge{Prop.\ XIII\@. Theor.\ XIII.} \textit{Planet{\ae} moventur in Ellipsibus umbilicum habentibus in centro Solis, \& radiis ad centrum illud ductis areas describunt temporibus proportionales.} Disputavimus supra de his motibus ex Ph{\ae}nomenis. Jam cognitis motuum principiis, ex his colligimus motus c{\oe}lestes ŕ priori. Quoniam pondera Planetarum in Solem sunt reciprocč ut quadrata distantiarum ŕ centro Solis; si Sol quiesceret \& Planet{\ae} reliqui non agerent in se mutuň, forent orbes eorum Elliptici, Solem in umbilico communi habentes, \& are{\ae} describerentur temporibus proportionales (per Prop.\ I. \& XI, \& Corol.\ 1.\ Prop.\ XIII. Lib.\ I\@.) Actiones autem Planetarum in se mutůo perexigu{\ae} sunt (ut possint contemni) \& motus Planetarum in Ellipsibus circa Solem mobilem minus perturbant (per Prop.\ LXVI. Lib.\ I.) quŕm si motus isti circa Solem quiescentem peragerentur. Actio quidem Jovis in Saturnum non est omnino contemnenda. Nam gravitas in Jovem est ad gravitatem in Solem (paribus distantiis) ut 1 ad 1100; adeoque in conjunctione Jovis \& Saturni, quoniam distantia Saturni ŕ Jove est ad distantiam Saturni ŕ Sole fere ut 4 ad 9, erit gravitas Saturni in Jovem ad gravitatem Saturni in Solem ut 81 ad $16 \times 1100$ seu 1 ad 217 circiter. Error tamen omnis in motu Saturni circa Solem, ŕ tanta in Jovem gravitate oriundus, evitari fere potest constituendo umbilicum Orbis Saturni in communi centro gravitatis Jovis \& Solis (per Prop.\ LXVII. Lib.\ I.) \& propterea ubi maximus est vix superat minutos duos primos. In conjunctione autem Jovis \& Saturni gravitates acceleratrices Solis in Saturnum, Jovis in Saturnum \& Jovis in Solem sunt fere ut 16, 81 \& $\frac{16 \times 81 \times 2360}{25}$ seu 122342, adeoque differentia gravitatum Solis in Saturnum \& Jovis in Saturnum est ad gravitatem Jovis in Solem ut 65 ad 122342 seu 1 ad 1867. % -----File: 408.png--- Huic autem differenti{\ae} proportionalis est maxima Saturni efficacia ad perturbandum motum Jovis, \& propterea perturbatio orbis Jovialis longe minor est quŕm ea Saturnii. Reliquorum orbium perturbationes sunt adhuc longe minores. \condpagelarge{Prop.\ XIV\@. Theor.\ XIV.} \textit{Orbium Aphelia \& Nodi quiescunt.} Aphelia quiescunt, per Prop.\ XI. Lib.\ I. ut \& orbium plana, per ejusdem Libri Prop.\ I. \& quiescentibus planis quiescunt Nodi. Attamen ŕ Planetarum revolventium \& Cometarum actionibus in se invicem orientur in{\ae}qualitates aliqu{\ae}, sed qu{\ae} ob parvitatem contemni possunt. \textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Quiescunt etiam Stell{\ae} fix{\ae}, propterea quod datas ad Aphelia Nodosque positiones servant. \textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Ideoque cum nulla sit earum parallaxis sensibilis ex Terr{\ae} motu annuo oriunda, vires earum ob immensam corporum distantiam nullos edent sensibiles effectus in regione Systematis nostri. \condpagelarge{Prop.\ XV\@. Theor.\ XV.} \textit{Invenire Orbium transversas diametros.} Capiend{\ae} sunt h{\ae} in ratione sesquialtera temporum periodicorum per Prop.\ XV. Lib.\ I. deinde sigillatim augend{\ae} in ratione summ{\ae} massarum Solis \& Planet{\ae} cujusque revolventis ad primam duarum medič proportionalium inter summam illam \& Solem, per Prop.\ LX. Lib.\ I. % -----File: 409.png--- \condpagelarge{Prop.\ XVI\@. Prob.\ I.} \textit{Invenire Orbium Excentricitates \& Aphelia.} Problema confit per Prop.\ XVIII. Lib.\ I. \condpagelarge{Prop.\ XVII\@. Theor.\ XVI.} \textit{Planetarum motus diurnos uniformes esse, \& librationem Lun{\ae} ex ipsius motu diurno oriri.} Patet per motus Legem I, \& Corol.\ 22.\ Prop.\ LXVI. Lib.\ I\@. Quoniam verň Lun{\ae}, circa axem suum uniformiter revolventis, dies menstruus est; hujus facies eadem ulteriorem umbilicum orbis ipsius semper respiciet, \& propterea pro situ umbilici illius deviabit hinc inde ŕ Terra. H{\ae}c est libratio in longitudinem. Nam libratio in latitudinem orta est ex inclinatione axis Lunaris ad planum orbis. Porrň h{\ae}c ita se habere, ex Ph{\ae}nomenis manifestum est. \condpagelarge{Prop.\ XVIII\@. Theor.\ XVII.} \textit{Axes Planetarum dimetris qu{\ae} ad eosdem axes normaliter ducuntur minores esse.} Planet{\ae} sublato omni motu circulari diurno figuram Sph{\ae}ricam, ob {\ae}qualem undique partium gravitatem, affectare deberent. Per motum illum circularem fit ut partes ab axe recedentes juxta {\ae}quatorem ascendere conentur. Ideoque materia si fluida sit ascensu suo ad {\ae}quatorem diametros adaugebit, axem verň descensu suo ad polos diminuet. Sic Jovis diameter (consentientibus observationibus \textit{Cassini} \& \textit{Flamstedii}) brevior deprehenditur inter polos quŕm ab oriente in occidentem. Eodem argumento, nisi Terra nostra % -----File: 410.png--- paulň altior esset sub {\ae}quatore quŕm ad polos, Maria ad polos subsiderent, \& juxta {\ae}quatorem ascendendo, ibi omnia inundarent. \condpagelarge{Prop.\ XIX\@. Prob.\ II.} \textit{Invenire proportionem axis Planet{\ae} ad diametros eidem perpendiculares.} \pngright{410.png}{748}{860}{-24} %Illustration Ad hujus Problematis solutionem requiritur computatio multiplex, qu{\ae} facilius exemplis quŕm pr{\ae}ceptis addiscitur. Inito igitur calculo invenio, per Prop.\ IV. Lib.\ I. quod vis centrifuga partium Terr{\ae} sub {\ae}quatore, ex motu diurno oriunda, sit ad vim gravitatis ut 1 ad $290\frac{4}{5}$. Unde si $APBQ$ figuram Terr{\ae} designet revolutione Ellipseos circa axem minorem $PQ$ genitam; sitque $ACQqca$ canalis aqu{\ae} plena, ŕ polo $Qq$ ad centrum $Cc$, \& inde ad {\ae}quatorem $Aa$ pergens: debebit pondus aqu{\ae} in canalis crure $ACca$ esse ad pondus aqu{\ae} in crure altero $QCcq$ ut 291 ad 290, eň quňd vis centrifuga ex circulari motu orta partem unam č ponderis partibus 291 sustinebit \& detrahet, \& pondus 290 in altero crure sustinebit partes reliquas. Porrň (ex Propositionis XCI. Corollario secundo, Lib.\ I.) computationem ineundo, invenio quod si Terra constaret ex uniformi materia, motuque omni privaretur, \& esset ejus axis $PQ$ ad diametrum $AB$ ut 100 ad 101: gravitas in loco $Q$ in Terram, foret ad gravitatem in eodem loco $Q$ sph{\ae}ram centro $C$ radio $PC$ vel $QC$ descriptam, ut $126\frac{2}{15}$ ad $125\frac{2}{15}$. Et eodem argumento gravitas in loco $A$ in Sph{\ae}roidem, convolutione Ellipseos $APBQ$ circa axem $AB$ descriptam, est ad gravitatem in eodem loco $A$ in Sph{\ae}ram centro $C$ radio $AC$ descriptam, ut $125\frac{2}{15}$ ad $126\frac{2}{15}$. Est autem gravitas in loco $A$ in Terram, media proportionalis inter gravitates in dictam Sph{\ae}roidem \& Sph{\ae}ram, propterea quod % -----File: 411.png--- Sph{\ae}ra, diminuendo diametrum $PQ$ in ratione 101 ad 100, vertitur in figuram Terr{\ae}; \& h{\ae}c figura diminuendo in eadem ratione diametrum tertiam, qu{\ae} diametris duabus \textit{AP, PQ} perpendicularis est, vertitur in dictam Sph{\ae}roidem, \& gravitas in $A$, in casu utroque, diminuitur in eadem ratione quam proximč. Est igitur gravitas in $A$ in Sph{\ae}ram centro $C$ radio $AC$ descriptam, ad gravitatem in $A$ in Terram ut 126 ad $125\frac{1}{2}$, \& gravitas in loco $Q$ in Sph{\ae}ram centro $C$ radio $QC$ descriptam, est ad gravitatem in loco $A$ in Sph{\ae}ram centro $C$ radio $AC$ descriptam, in ratione diametrorum (per Prop.\ LXXII. Lib.\ I.) id est ut 100 ad 101: Conjungantur jam h{\ae} tres rationes, $126\frac{2}{15}$ ad $125\frac{2}{15}$, $125\frac{1}{2}$ ad 126 \& 100 ad 101 \& fiet gravitas in loco $Q$ in Terram ad gravitatem in loco $A$ in Terram, ut $126 \times 126 \times 100$ ad $125 \times 125\frac{1}{2} \times 101$, seu ut 501 ad 500. Jam cum per Corol.\ 3.\ Prop.\ XCI. Lib.\ I. gravitas in canalis crure utrovis $ACca$ vel $QCcq$ sit ut distantia locorum ŕ centro Terr{\ae}; si crura illa superficiebus transversis \& {\ae}quidistantibus distinguantur in partes totis proportionales, erunt pondera partium singularum in crure $ACca$ ad pondera partium totidem in crure altero, ut magnitudines \& gravitates acceleratrices conjunctim; id est ut 101 ad 100 \& 500 ad 501, hoc est ut 505 ad 501. Ac proinde si vis centrifuga partis cujusque in crure $ACca$ ex motu diurno oriunda, fuisset ad pondus partis ejusdem ut 4 ad 505, eň ut de pondere partis cujusque, in partes 505 diviso, partes quatuor detraheret; manerent pondera in utroque crure {\ae}qualia, \& propterea fluidum consisteret in {\ae}quilibrio. Verum vis centrifuga partis cujusque est ad pondus ejusdem ut 1 ad 290. Hoc est, vis centripeta qu{\ae} deberet esse ponderis pars $\frac{4}{505}$ est tantum pars $\frac{1}{290}$, \& propterea dico, secundum Regulam auream, quod si vis centrifuga $\frac{4}{505}$ faciat ut altitudo aqu{\ae} in crure $ACca$ superet altitudin aqu{\ae} in crure $QCcq$ parte centesima totius altitudinis: vis centrifuga $\frac{1}{290}$ faciet ut excessus altitudinis in crure $ACca$ sit altitudinis in crure altero $QCcq$ pars tantum $\frac{3}{689}$. Est igitur diameter Terr{\ae} secundum {\ae}quatorem % -----File: 412.png--- ad ipsius diametrum per polos ut 692 ad 689. Ideoque cům Terr{\ae} semidiameter mediocris, juxta nuperam Gallorum mensuram, sit pedum Parisiensium 19615800 seu milliarium 3923 (posito quod milliare sit mensura pedum 5000;) Terra altior erit ad {\ae}quatorem quŕm ad polos, excessu pedum 85200 seu milliarium 17. Si Planeta vel major sit vel densior, minorve aut rarior quŕm Terra, manente tempore periodico revolutionis diurn{\ae}, manebit proportio vis centrifug{\ae} ad gravitatem, \& propterea manebit etiam proportio diametri inter polos ad diametrum secundum {\ae}quatorem. At si motus diurnus in ratione quacunque acceleretur vel retardetur, augebitur vel minuetur vis centrifuga in duplicata illa ratione, \& propterea differentia diametrorum augebitur in eadem duplicata ratione. Unde cum Terra respectu fixarum revolvatur horis 23, $56\minute$ \textit{Jupiter} autem horis 9, $56\minute$, sintque temporum quadrata ut 29 ad 5, differentia diametrorum \textit{Jovis} erit ad ipsius diametrum minorem ut $\frac{29 \times 3}{5 \times 689}$ ad 1, seu 1 ad $39\frac{3}{5}$. Est igitur diameter \textit{Jovis} ab oriente in occidentem ducta, ad ipsius diametrum inter polos ut $40\frac{3}{5}$ ad $39\frac{3}{5}$ quam proximč. H{\ae}c ita se habent ex Hypothesi quod uniformis sit Planetarum materia. Nam si materia densior sit ad centrum quŕm ad circumferentiam, diameter, qu{\ae} ab oriente in occidentem ducitur, erit adhuc major. \condpagelarge{Prop.\ XX\@. Prob.\ III.} \textit{Invenire \& inter se comparare pondera corporum in regionibus diversis.} Quoniam pondera in{\ae}qualium crurum canalis aque{\ae} $ACQqca$ {\ae}qualia sunt; \& pondera partium, cruribus totis proportionalium \& similiter in totis sitarum, sunt ad invicem ut pondera totorum, adeoque etiam {\ae}quantur inter se; erunt pondera {\ae}qualium \& in cruribus similiter sitarum partium reciprocč ut crura, id est reciprocč ut 692 ad 689. Et par est ratio homogeneorum \& {\ae}qualium quorumvis \& in canalis cruribus similiter sitorum corporum. Horum % -----File: 413.png--- pondera sunt reciprocč ut crura, id est reciprocč ut distanti{\ae} corporum ŕ centro Terr{\ae}. Proinde si corpora in supremis canalium partibus, sive in superficie Terr{\ae} consistant; erunt pondera eorum ad invicem reciprocč ut distanti{\ae} eorum ŕ centro. Et eodem argumento pondera, in aliis quibuscunque per totam Terr{\ae} superficiem regionibus, sunt reciprocč ut distanti{\ae} locorum ŕ centro; \& propterea, ex Hypothesi quod Terra Sph{\ae}rois sit, dantur proportione. Unde tale confit Theorema, quod incrementum ponderis, pergendo ab {\AE}quatore ad Polos, sit quam proximč ut Sinus versus latitudinis duplicat{\ae}, vel quod perinde est ut quadratum Sinus recti Latitudinis. Exempli gratia, Latitudo \textit{Luteti{\ae} Parisiorum} est 48 \textit{gr.}\ 45$\minute$: Ea Insul{\ae} \textit{Goree} prope \textit{Cape Verde} 14 \textit{gr.}\ $15\minute$: ea \textit{Cayenn{\ae}} ad littus \textit{Guian{\ae}} quasi 5 \textit{gr.}\ ea locorum sub Polo 90 \textit{gr.} Duplorum $97\frac{1}{2}$ \textit{gr.}\ $28\frac{1}{2}$ \textit{gr.}\ 10 \textit{gr.}\ \& 180 \textit{gr.}\ Sinus versi sunt 11305, 1211, 152, \& 20000. Proinde cum gravitas in Polo sit ad gravitatem sub {\AE}quatore ut 692 ad 689, \& excessus ille gravitatis sub Polo ad gravitatem sub {\AE}quatore ut 3 ad 689; erit excessus gravitatis \textit{Luteti{\ae}}, in Insula \textit{Goree} \& \textit{Cayenn{\ae}}, ad gravitatem sub {\ae}quatore ut $\frac{3 \times 11305}{20000}$, $\frac{3 \times 1211}{20000}$ \& $\frac{3 \times 152}{20000}$ ad 689, seu 33915, 3633, \& 456 ad 13780000, \& propterea gravitates tot{\ae} in his locis erunt ad invicem ut 13813915, 13783633, 13780456, \& 13780000. Quare cum longitudines Pendulorum {\ae}qualibus temporibus oscillantium sint ut gravitates, \& \textit{Luteti{\ae} Parisiorum} longitudo penduli singulis minutis secundis oscillantis sit pedum trium Parisiensium \& $\frac{17}{24}$ partium digiti; longitudines Pendulorum in Insulâ \textit{Goree}, in illâ \textit{Cayenn{\ae}} \& sub {\AE}quatore, minutis singulis secundis oscillantium superabuntur ŕ longitudine Penduli Parisiensis excessibus $\frac{81}{1000}$, $\frac{89}{1000}$ \& $\frac{90}{1000}$ partium digiti. H{\ae}c omnia ita se habebunt, ex Hypothesi quod Terra ex uniformi materia constat. Nam si materia ad centrum paulň densior sit quŕm ad superficiem, excessus illi erunt paulň majores; propterea quod, si materia ad centrum redundans, qua densitas ibi major redditur, subducatur \& seorsim spectetur, gravitas in Terram reliquam uniformiter densam erit % -----File: 414.png--- reciprocč ut distantia ponderis ŕ centro; in materiam verň redundantem reciprocč ut quadratum distanti{\ae} ŕ materia illa quam proximč. Gravitas igitur sub {\ae}quatore minor erit in materiam illam redundantem quŕm pro computo superiore, \& propterea Terra ibi propter defectum gravitatis paulň altius ascendet quŕm in pr{\ae}cedentibus definitum est. Jam verň Galli factis experimentis invenerunt quod Pendulorum minutis singulis secundis oscillantium longitudo \textit{Parisiis} major sit quŕm in Insula \textit{Goree}, parte decima digiti, \& major quŕm \textit{Cayenn{\ae}} parte octava. Paulň majores sunt h{\ae} differenti{\ae} quam differenti{\ae} $\frac{81}{1000}$ \& $\frac{89}{1000}$ qu{\ae} per computationem superiorem prodiere: \& propterea (si crassis hisce Observationibus satěs confidendum sit) Terra aliquanto altior erit sub {\ae}quatore quŕm pro superiore calculo, \& densior ad centrum quŕm in fodinis prope superficiem. Si excessus gravitatis in locis hisce Borealibus supra gravitatem ad {\ae}quatorem, experimentis majori cum diligentia institutis, accuratč tandem determinetur, deinde excessus ejus ubique sumatur in ratione Sinus versi latitudinis duplicat{\ae}; determinabitur tum Mensura Universalis, tum {\AE}quatio temporis per {\ae}qualia pendula in locis diversis indicati, tum etiam proportio diametrorum Terr{\ae} ac densitas ejus ad centrum; ex Hypothesi quod densitas illa, pergendo ad circumferentiam, uniformiter decrescat. Qu{\ae} quidem Hypothesis, licet accurata non sit, ad ineundum tamen calculum assumi potest. \condpagelarge{Prop.\ XXI\@. Theor.\ XVIII.} \textit{Puncta {\AE}quinoctialia regredi, \& axem Terr{\ae} singulis revolutionibus nutando bis inclinari in Eclipticam \& bis redire ad positionem priorem.} Patet per Corol.\ 20.\ Prop.\ LXVI. Lib.\ I\@. Motus tamen iste nutandi perexiguus esse debet, \& vix aut ne vix quidem sensibilis. % -----File: 415.png--- \condpagelarge{Prop.\ XXII\@. Theor.\ XIX.} \textit{Motus omnes Lunares, omnesque motuum in{\ae}qualitates ex allatis Principiis consequi.} Planetas majores, interea dum circa Solem feruntur, posse alios minores circum se revolventes Planetas deferre, \& minores illos in Ellipsibus, umbilicos in centris majorum habentibus, revolvi debere patet per Prop.\ LXV. Lib.\ I\@. Actione autem Solis perturbabuntur eorum motus multimode, iisque adficientur in{\ae}qualitatibus qu{\ae} in Luna nostra notantur. H{\ae}c utique (per Corol.\ 2, 3, 4, \& 5 Prop.\ LXVI.) velocius movetur, ac radio ad Terram ducto describit aream pro tempore majorem, orbemque habet minus curvam, atque adeň propius accedit ad Terram, in Syzygiis quŕm in Quadraturis, nisi quatenus impedit motus Excentricitatis. Excentricitas enim maxima est (per Corol.\ 9.\ Prop.\ LXVI.) ubi Apog{\ae}um Lun{\ae} in Syzygiis versatur, \& minima ubi idem in Quadraturis consistit; \& inde Luna in Perig{\ae}o velocior est \& nobis propior, in Apog{\ae}o autem tardior \& remotior in Syzygiis quŕm in Quadraturis. Progreditur insuper Apog{\ae}um, \& regrediuntur Nodi, sed motu in{\ae}quabili. Et Apog{\ae}um quidem (per Corol.\ 7 \& 8 Prop.\ LXVI.) velocius progreditur in Syzygiis suis, tardius regreditur in Quadraturis, \& excessu progressus supra regressum annuatim fertur in consequentia. Nodi autem (per Corol.\ 11.\ Prop.\ LXVI.) quiescunt in Syzygiis suis, \& velocissimč regrediuntur in Quadraturis. Sed \& major est Lun{\ae} latitudo maxima in ipsius Quadraturis (per Corol.\ 10.\ Prop.\ LXVI.) quŕm in Syzygiis: \& motus medius velocior in Perihelio Terr{\ae} (per Corol.\ 6.\ Prop.\ LXVI.) quŕm in ipsius Aphelio. Atque h{\ae} sunt in{\ae}qualitates insigniores ab Astronomis notat{\ae}. Sunt etiam ali{\ae} qu{\ae}dam nondum observat{\ae} in{\ae}qualitates, quibus motus Lunares adeň perturbantur, ut nulla hactenus lege ad Regulam % -----File: 416.png--- aliquam certam reduci potuerint. Velocitates enim seu motus horarii Apog{\ae}i \& Nodorum Lun{\ae}, \& eorundem {\ae}quationes, ut \& differentia inter excentricitatem maximam in Syzygiis \& minimam in Quadraturis, \& in{\ae}qualitas qu{\ae} Variatio dicitur, augentur ac diminuuntur annuatim (per Corol.\ 14.\ Prop.\ LXVI.) in triplicata ratione diametri apparentis Solaris. Et Variatio pr{\ae}terea augetur vel diminuitur in duplicata ratione temporis inter quadraturas quam proximč (per Corol.\ 1 \& 2.\ Lem.\ X. \& Corol.\ 16.\ Prop.\ LXVI. Lib.\ I\@.) Sed h{\ae}c in{\ae}qualitas in calculo Astronomico, ad Prostaph{\ae}resin Lun{\ae} referri solet, \& cum ea confundi. \condpagelarge{Prop.\ XXIII\@. Prob.\ IV.} \textit{Motus in{\ae}quales Satellitum Jovis \& Saturni ŕ motibus Lunaribus derivare.} Ex motibus Lun{\ae} nostr{\ae} motus analogi Lunarum seu Satellitum Jovis sic derivantur. Motus medius Nodorum Satellitis extimi Jovialis est ad motum medium Nodorum Lun{\ae} nostr{\ae}, in ratione composita ex ratione duplicata temporis periodici Terr{\ae} circa Solem ad tempus periodicum Jovis circa Solem, \& ratione simplici temporis periodici Satellitis circa Jovem ad tempus periodicum Jovis circa Solem, \& ratione simplici temporis periodici Satellitis circa Jovem ad tempus periodicum Lun{\ae} circa Terram: (per Corol.\ 16.\ Prop.\ LXVI.) adeoque annis centum conficit Nodus iste 9 \textit{gr.}\ $34\minute.$ in antecedentia. Motus medii Nodorum Satellitum interiorum sunt ad motum hujus, ut illorum tempora periodica ad tempus periodicum hujus, per idem Corollarium, \& inde dantur. Motus autem Augis Satellitis cujusque in consequentia est ad motum Nodorum ipsius in antecedentia ut motus Apog{\ae}i Lun{\ae} nostr{\ae} ad hujus motum Nodorum (per idem Corol.)\ \& inde datur. Diminui tamen debet motus Augis sic inventus in ratione 5 ad 9 vel 1 ad 2 circiter, ob causam quam hic exponere non vacat. % -----File: 417.png--- {\AE}quationes maxim{\ae} Nodorum \& Augis Satellitis cujusque fere sunt ad {\ae}quationes maximas Nodorum \& Augis Lun{\ae} respectivč, ut motus Nodorum \& Augis Satellitum, tempore unius revolutionis {\ae}quationum priorum, ad motus Nodorum \& Apog{\ae}i Lun{\ae} tempore unius revolutionis {\ae}quationum posteriorum. Variatio Satellitis č Jove spectati, est ad Variationem Lun{\ae} ut sunt toti motus Nodorum temporibus periodicis Satellitis \& Lun{\ae} ad invicem, per idem Corollarium, adeoque in Satellite extimo non superat $6\second.$ $22\third$. Parvitate harum in{\ae}qualitatum \& tarditate motuum fit ut motus Satellitum summč regulares reperiantur, utque Astronomi recentiores aut motum omnem Nodis denegent, aut asserant tardissimč retrogradum. Nam \textit{Flamstedius} collatis suis cum \textit{Cassini} Observationibus Nodos tarde regredi deprehendit. \condpagelarge{Prop.\ XXIV\@. Theor.\ XX.} \textit{Fluxum \& refluxum Maris ab actionibus Solis ac Lun{\ae} oriri debere.} Mare singulis diebus tam Lunaribus quŕm Solaribus bis intumescere debere ac bis defluere patet per Corol.\ 19.\ Prop.\ LXVI. Lib.\ I. ut \& aqu{\ae} maximam altitudinem, in maribus profundis \& liberis, appulsum Luminarium ad Meridianum loci minori quŕm sex horarum spatio sequi, uti fit in Maris \textit{Atlantici} \& \textit{{\AE}thiopici} tractu toto orientali inter \textit{Galliam} \& Promontorium \textit{Bon{\ae} Spei}, ut \& in Maris \textit{Pacifici} littore \textit{Chilensi} \& \textit{Peruviano}: in quibus omnibus littoribus {\ae}stus in horam circiter tertiam incidit, nisi ubi motus per loca vadosa propagatus aliquantulum retardatur. Horas numero ab appulsu Luminaris utriusque ad Meridianum loci, tam infra Horizontem quŕm supra, \& per horas diei Lunaris intelligo vigesimas quartas partes temporis quo Luna motu apparente diurno ad Meridianum loci revolvitur. Motus autem bini, quos Luminaria duo excitant, non cernentur distinctč, sed motum quendam mixtum efficient. In Luminarium % -----File: 418.png--- Conjunctione vel Oppositione conjugentur eorum effectus, \& componetur fluxus \& refluxus maximus. In Quadraturis Sol attollet aquam ubi Luna deprimit, deprimetque ubi Sol attollit; \& ex effectuum differentia {\ae}stus omnium minimus orietur. Et quoniam, experientia teste, major est effectus Lun{\ae} quŕm Solis, incidet aqu{\ae} maxima altitudo in horam tertiam Lunarem. Extra Syzygias \& Quadraturas, {\ae}stus maximus qui sola vi Lunari incidere semper deberet in horam tertiam Lunarem, \& sola Solari in tertiam Solarem, compositis viribus incidet in tempus aliquod intermedium quod terti{\ae} Lunari propinquius est; adeoque in transitu Lun{\ae} ŕ Syzygiis ad Quadraturas, ubi hora tertia Solaris pr{\ae}cedit tertiam Lunarem, maxima aqu{\ae} altitudo pr{\ae}cedet etiam tertiam Lunarem, idque maximo intervallo paulo post Octantes Lun{\ae}; \& paribus intervallis {\ae}stus maximus sequetur horam tertiam Lunarem in transitu Lun{\ae} ŕ Quadraturis ad Syzygias. H{\ae}c ita sunt in mari aperto. Nam in ostiis Fluviorum fluxus majores c{\ae}teris paribus tardius ad \textgreek{\as km\hg n} venient. Pendent autem effectus Luminarium ex eorum distantiis ŕ Terra. In minoribus enim distantiis majores sunt eorum effectus, in majoribus minores, idque in triplicata ratione diametrorum apparentium. Igitur Sol tempore hyberno, in Perig{\ae}o existens, majores edit effectus, efficitque ut {\ae}stus in Syzygiis paulo majores sint, \& in Quadraturis paulo minores (c{\ae}teris paribus) quŕm tempore {\ae}stivo; \& Luna in Perig{\ae}o singulis mensibus majores ciet {\ae}stus quŕm ante vel post dies quindecim, ubi in Apog{\ae}o versatur. Unde fit ut {\ae}stus duo omnino maximi in Syzygiis continuis se mutuo non sequantur. Pendet etiam effectus utriusque Luminaris ex ipsius Declinatione seu distantia ab {\AE}quatore. Nam si Luminare in polo constitueretur, traheret illud singulas aqu{\ae} partes constanter, absque actionis intensione \& remissione, adeoque nullam motus reciprocationem cieret. Igitur Luminaria recedendo ab {\ae}quatore polum versus effectus suos gradatim amittent, \& propterea minores ciebunt {\ae}stus % -----File: 419.png--- in Syzygiis Solstitialibus quŕm in {\AE}quinoctialibus. In Quadraturis autem Solstitialibus majores ciebunt {\ae}stus quŕm in Quadraturis {\AE}quinoctialibus; eň quod Lun{\ae} jam in {\ae}quatore constitut{\ae} effectus maxime superat effectum Solis. Incidunt igitur {\ae}stus maximi in Syzygias \& minimi in Quadraturas Luminarium, circa tempora {\AE}quinoctii utriusque. Et {\ae}stum maximum in Syzygiis comitatur semper minimus in Quadraturis, ut experientiâ compertum est. Per minorem autem distantiam Solis ŕ Terra, tempore hyberno quŕm tempore {\ae}stivo, fit ut {\ae}stus maximi \& minimi s{\ae}pius pr{\ae}cedant {\AE}quinoctium vernum quŕm sequantur, \& s{\ae}pius sequantur autumnale quŕm pr{\ae}cedant. \pngright{419.png}{1259}{1023}{-24} %Illustration Pendent etiam effectus Luminarium ex locorum latitudine. Designet $ApEP$ Tellurem aquis profundis undique coopertam; $C$ centrum ejus; $Pp$, polos; $AE$ {\AE}quatorem; $F$ locum quemvis extra {\AE}quatorem; $Ff$ parallelum loci; $Dd$ parallelum ei respondentem ex altera parte {\ae}quatoris; $L$ locum quem Luna tribus ante horis occupabat; $H$ locum Telluris ei perpendiculariter subjectum; $h$ locum huic oppositum; $K$, $k$ loca inde gradibus 90 distantia, $CH$, $Ch$ Maris altitudines maximas mensuratas ŕ centro Telluris; \& $CK$, $Ck$ altitudines minimas; \& si axibus $Hh$, $Kk$ describatur Ellipsis, deinde Ellipseos hujus revolutione circa axem majorem $Hh$ describatur Sph{\ae}rois $HPKhpk$; designabit h{\ae}c figuram Maris quam proximč, \& erunt $CF$, $Cf$, $CD$, $Cd$ altitudines Maris in locis $F$, $f$, $D$, $d$. Quinetiam si in pr{\ae}fata Ellipseos revolutione punctum quodvis $N$ describat circulum $NM$, secantem parallelos $Ff$, $Dd$ in locis quibusvis $R$, $T$, \& {\ae}quatorem $AE$ in $S$; erit $CN$ altitudo Maris in locis omnibus $R$, $S$, $T$, sitis in hoc circulo. Hinc in % -----File: 420.png--- revolutione diurna loci cujusvis $F$, affluxus erit maximus in $F$, hora tertia post appulsum Lun{\ae} ad Meridianum supra Horizontem; postea defluxus maximus in $Q$ hora tertia post occasum Lun{\ae}; dein affluxus maximus in $f$ hora tertia post appulsum Lun{\ae} ad Meridianum infra Horizontem; ultimň defluxus maximus in $Q$ hora tertia post ortum Lun{\ae}; \& affluxus posterior in $f$ erit minor quŕm affluxus prior in $F$. Distinguitur enim Mare totum in duos omnino fluctus Hemisph{\ae}ricos, unum in Hemisph{\ae}rio $KHkC$ ad Boream vergentem, alterum in \label{wasp432}Hemisph{\ae}rio opposito $KhkC$; quos igitur fluctum Borealem \& fluctum Australem nominare licet. Hi fluctus semper sibi mutuň oppositi veniunt per vices ad Meridianos locorum singulorum, interposito intervallo horarum Lunarium duodecim. Cumque regiones Boreales magis participant fluctum Borealem, \& Australes magis Australem, inde oriuntur {\ae}stus alternis vicibus majores \& minores, in locis singulis extra {\ae}quatorem. {\AE}stus autem major, Lunâ in verticem loci declinante, incidet in horam circiter tertiam post appulsum Lun{\ae} ad Meridianum supra Horizontem, \& Lunâ declinationem mutante vertetur in minorem. Et fluxuum differentia maxima incidet in tempora Solstitiorum; pr{\ae}sertim si Lun{\ae} Nodus ascendens versatur in principio Arietis. Sic experientiâ compertum est, quod {\ae}stus matutini tempore hyberno superent vespertinos \& vespertini tempore {\ae}stivo matutinos, ad \textit{Plymuthum} quidem altitudine quasi pedis unius, ad \textit{Bristoliam} verň altitudine quindecim digitorum: Observantibus \textit{Colepressio} \& \textit{Sturmio}. Motus autem hactenus descripti mutantur aliquantulum per vim illam reciprocationis aquarum, qua Maris {\ae}stus, etiam cessantibus Luminarium actionibus, posset aliquamdiu perseverare. Conservatio h{\ae}cce motus impressi minuit differentiam {\ae}stuum alternorum; \& {\ae}stus proximč post Syzygias majores reddit, eosque proximč post Quadraturas minuit. Unde fit ut {\ae}stus alterni ad \textit{Plymuthum} \& \textit{Bristoliam} non multo magis differant ab invicem quŕm altitudine pedis unius vel digitorum quindecim; utque {\ae}stus omnium maximi in iisdem portubus non sint primi ŕ Syzygiis sed tertii. Retardantur % -----File: 421.png--- etiam motus omnes in transitu per vada, adeň ut {\ae}stus omnium maximi, in fretis quibusdam \& Fluviorum ostiis, sint quarti vel etiam quinti ŕ Syzygiis. Porrň fieri potest ut {\ae}stus propagetur ab Oceano per freta diversa ad eundem portum, \& citius transeat per aliqua freta quŕm per alia, quo in casu {\ae}stus idem, in duos vel plures successive advenientes divisus, componere possit motus novos diversorum generum. Fingamus {\ae}stus duos {\ae}quales ŕ diversis locis in eundem portum venire, quorum prior pr{\ae}cedat alterum spatio horarum sex, incidatque in horam tertiam ab appulsu Lun{\ae} ad Meridianum portus. Si Luna in hocce suo ad Meridianum appulsu versabatur in {\ae}quatore, venient singulis horis senis {\ae}quales affluxus, qui in mutuos refluxus incidendo eosdem affluxibus {\ae}quabunt, \& sic spatio diei illius efficient ut aqua tranquillč stagnet. Si Luna tunc declinabat ab {\AE}quatore, fient {\ae}stus in Oceano vicibus alternis majores \& minores, uti dictum est; \& inde propagabuntur in hunc portum affluxus bini majores \& bini minores, vicibus alternis. Affluxus autem bini majores component aquam altissimam in medio inter utrumque, affluxus major \& minor faciet ut aqua ascendat ad mediocrem altitudinem in Medio ipsorum, \& inter affluxus binos minores aqua ascendet ad altitudinem minimam. Sic spatio viginti quatuor horarum, aqua non bis ut fieri solet, sed semel tantum perveniet ad maximam altitudinem \& semel ad minimam; \& altitudo maxima, si Luna declinat in polum supra Horizontem loci, incidet in horam vel sextam vel tricesimam ab appulsu Lun{\ae} ad Meridianum, atque Lunâ declinationem mutante mutabitur in defluxum. Quorum omnium exemplum, in portu regni \textit{Tunquini} ad \textit{Batsham}, sub latitudine Boreali 20 \textit{gr.}\ 50 \textit{min.}\ \textit{Halleius} ex Nautarum Observationibus patefecit. Ibi aqua die transitum Lun{\ae} per {\AE}quatorem sequente stagnat, dein Lunâ ad Boream declinante incipit fluere \& refluere, non bis, ut in aliis portubus, sed semel singulis diebus; \& {\ae}stus incidit in occasum Lun{\ae}, defluxus maximus in ortum. Cum Lun{\ae} declinatione augetur hic {\ae}stus, usque ad % -----File: 422.png--- diem septimum vel octavum, dein per alios septem dies iisdem gradibus decrescit, quibus antea creverat; \& Lunâ declinationem mutante cessat, ac mox mutatur in defluxum. Incidit enim subinde defluxus in occasum Lun{\ae} \& affluxus in ortum, donec Luna iterum mutet declinationem. Aditus ad hunc portum fretaque vicina duplex patet, alter ab Oceano \textit{Sinensi} inter Continentem \& Insulam \textit{Luconiam}, alter ŕ Mari \textit{Indico} inter Continentem \& Insulam \textit{Borneo}. An {\ae}stus spatio horarum duodecim ŕ Mari \textit{Indico}, \& spatio horarum sex ŕ Mari \textit{Sinensi} per freta illa venientes, \& sic in horam tertiam \& nonam Lunarem incidentes, componant hujusmodi motus; sitne alia Marium illorum conditio, observationibus vicinorum littorum determinandum relinquo. Hactenus causas motuum Lun{\ae} \& Marium reddidi. De quantitate motuum jam convenit aliqua subjungere. \condpagelarge{Prop.\ XXV\@. Prob.\ V.} \textit{Invenire vires Solis ad perturbandos motus Lun{\ae}.} \label{wasp434}\pngright{422.png}{1488}{795}{-24} %Illustration Designet $Q$ Solem, $S$ Terram, $P$ Lunam, $PADB$ orbem Lun{\ae}. In $QP$ capiatur $QK$ {\ae}qualis $QS$; sitque $QL$ ad $QK$ in duplicata ratione $QK$ ad $QP$ \& ipsi $PS$ agatur parallela $LM$; \& si gravitas acceleratrix Terr{\ae} in Solem exponatur per distantiam $QS$ vel $QK$, erit $QL$ gravitas acceleratrix Lun{\ae} in Solem. Ea componitur ex partibus $QM$, $LM$, quarum $LM$ \& ipsius $QM$ pars $SM$ perturbat motum Lun{\ae}, ut in Libri primi Prop.\ LXVI. \& ejus Corollariis expositum est. % -----File: 423.png--- Quatenus Terra \& Luna circum commune gravitatis centrum revolvuntur, perturbabitur motus Terr{\ae} circa centrum illud ŕ viribus consimilibus; sed summas tam virium quŕm motuum referre licet ad Lunam, \& summas virium per lineas ipsis analogas $SM$ \& $ML$ designare. Vis $ML$ (in mediocri sua quantitate) est ad vim gravitatis, qua Luna in orbe suo circa Terram quiescentem ad distantiam $PS$ revolvi posset, in duplicata ratione temporum periodicorum Lun{\ae} circa Terram \& Terr{\ae} circa Solem, (per Corol.\ 17.\ Prop.\ LXVI. Lib.\ I.) hoc est in duplicata ratione dierum 27.\ \textit{hor.}\ 7.\ \textit{min.}\ 43.\ ad dies 365.\ \textit{hor.}\ 6.\ \textit{min.}\ 9.\ id est ut 1000 ad 178725, seu 1 ad $178\frac{8}{11}$. Vis qua Luna in orbe suo circa Terram quiescentem, ad distantiam $PS$ semidiametrorum terrestrium $60\frac{1}{2}$ revolvi posset, est ad vim, qua eodem tempore ad distantiam semidiametrorum 60 revolvi posset, ut $60\frac{1}{2}$ ad 60; \& h{\ae}c vis ad vim gravitatis apud nos ut 1 ad $60 \times 60$. Ideoque vis mediocris $ML$ est ad vim gravitatis in superficie Terr{\ae}, ut $1 \times 60\frac{1}{2}$ ad $60 \times 60 \times 60 \times 178\frac{8}{11}$ seu 1 ad $638092\decimals{6}$. Unde ex proportione linearum $SM$, $ML$ datur etiam vis $SM$: \& h{\ae} sunt vires Solis quibus motus Lun{\ae} perturbantur. \QEIit \condpagelarge{Prop.\ XXVI\@. Prob.\ VI.} \textit{Invenire incrementum are{\ae} quam Luna radio ad Terram ducto describit.} \pngright{424.png}{1816}{1526}{-24} %Illustration Diximus aream, quam Luna radio ad Terram ducto describit, esse tempori proportionalem, nisi quatenus motus Lunaris ab actione Solis turbatur. In{\ae}qualitatem momenti (vel incrementi horarii) hic investigandam proponimus. Ut com\-putatio facilior reddatur, fingamus orbem Lun{\ae} circularem esse, \& in{\ae}qualitates omnes negligamus, ea sola excepta, de qua hic agitur. Ob ingentem verň Solis distantiam pon\-amus etiam lineas $QP$, $QS$ sibi in\-vicem parallelas esse. Hoc pacto vis $LM$ reducetur semper ad mediocrem % -----File: 424.png--- suam quantitatem $SP$, ut \& vis $SM$ ad mediocrem suam quantitatem $3PK$. H{\ae} vires, per Legum Corol.\ 2.\ componunt vim $SL$; \& h{\ae}c vis, si in radium $SP$ demittatur perpendiculum $LE$, resolvitur in vires $SE$, $EL$, quarum $SE$, agendo semper secundum radium $SP$, nec accelerat nec retardat descriptionem are{\ae} $QSP$ radio illo $SP$ factam; \& $EL$ agendo secundum perpendiculum, accelerat vel retardat ipsam, quantum accelerat vel retardat Lunam. Acceleratio illa Lun{\ae}, in transitu ipsius ŕ Quadratura $C$ ad conjunctionem $A$, singulis temporis momentis facta, est ut ipsa vis accelerans $EL$, hoc est ut $\frac{3PK \times SK}{SP}$. Exponatur tempus per motum medium Lunarem, vel (quod eodem fere recidit) per angulum $CSP$, vel etiam per arcum $CP$. Ad $CS$ erigatur Normalis $CG$ ipsi $CS$ {\ae}qualis. Et diviso arcu quadrantali $AC$ in particulas innumeras {\ae}quales $Pp$ \&c.\ per quas {\ae}quales totidem particul{\ae} temporis exponi possint, ductâque $pk$ perpendiculari ad $CS$, jungatur $SG$ ipsis $KP$, $kp$ productis occurrens in $F$ \& $f$; \& erit $Kk$ ad $PK$ ut $Pp$ ad $Sp$, hoc est in data ratione, adeoque $FK \times Kk$ seu area $FKkf$ ut $\frac{3PK \times SK}{SP}$ id est ut $EL$; \& compositč, area tota $GCKF$ ut % -----File: 425.png--- summa omnium virium $EL$ tempore toto $CP$ impressarum in Lunam, atque adeň etiam ut velocitas hac summâ genita, id est, ut acceleratio descriptionis are{\ae} $CSP$, seu incrementum momenti. Vis qua Luna circa Terram quiescentem ad distantiam $SP$, tempore suo periodico $CADBC$ dierum 27.\ hor.\ 7.\ min.\ 43.\ revolvi posset, efficeret ut corpus, tempore $CS$ cadendo, describeret longitudinem $\frac{1}{2}CS$, \& velocitatem simul acquireret {\ae}qualem velocitati, qua Luna in orbe suo movetur. Patet hoc per Schol.\ Prop.\ IV. Lib.\ I\@. Cum autem perpendiculum $Kd$ in $SP$ demissum sit ipsius $EL$ pars tertia, \& ipsius $SP$ seu $ML$ in octantibus pars dimidia, vis $EL$ in Octantibus, ubi maxima est, superabit vim $ML$ in ratione 3 ad 2, adeoque erit ad vim illam, qua Luna tempore suo periodico circa Terram quiescentem revolvi posset, ut 100 ad $\frac{2}{3} \times 17872\frac{1}{2}$ seu 11915, \& tempore $CS$ velocitatem generare deberet qu{\ae} esset pars $\frac{100}{11915}$ velocitatis Lunaris, tempore autem $CPA$ velocitatem majorem generaret in ratione $CA$ ad $CS$ seu $SP$. Exponatur vis maxima $EL$ in Octantibus per aream $FK \times Kk$ rectangulo $\frac{1}{2}SP \times Pp$ {\ae}qualem. Et velocitas, quam vis maxima tempore quovis $CP$ generare posset, erit ad velocitatem quam vis omnis minor $EL$ eodem tempore generat ut rectangulum $\frac{1}{2}SP \times CP$ ad aream $KCGF$: tempore autem toto $CPA$, velocitates genit{\ae} erunt ad invicem ut rectangulum $\frac{1}{2}SP \times CA$ \& triangulum $SCG$, sive ut arcus quadrantalis $CA$ ad radium $SP$. Ideoque (per Prop.\ IX. Lib.\ V. Elem.)\ velocitatis posterior, toto tempore genita, erit pars $\frac{100}{11915}$ velocitatis Lun{\ae}. Huic Lun{\ae} velocitati, qu{\ae} are{\ae} momento mediocri analoga est, addatur \& auferatur dimidium velocitatis alterius; \& si momentum mediocre exponatur per numerum 11915 summa 11915 + 50 seu 11965 exhibebit momentum maximum are{\ae} in Syzygia $A$, ac differentia 11915 - 50 seu 11865 ejusdem momentum minimum in Quadraturis. Igitur are{\ae} temporibus {\ae}qualibus in Syzygiis \& Quadraturis descript{\ae}, sunt ad invicem ut 11965 ad 11865. Ad momentum minimum 11865 addatur momentum, quod sit ad momentorum differentiam 100 ut trapezium $FKCG$ ad triangulum % -----File: 426.png--- $SCG$ (vel quod perinde est, ut quadratum Sinus $PK$ ad quadratum Radii $SP$, id est ut $Pd$ ad $SP$) \& summa exhibebit momentum are{\ae}, ubi Luna est in loco quovis intermedio $P$. H{\ae}c omnia ita se habent, ex Hypothesi quod Sol \& Terra quiescunt, \& Luna tempore Synodico dierum 27.\ \textit{hor.}\ 7.\ \textit{min.}\ 43.\ revolvitur. Cum autem periodus Synodica Lunaris verč sit dierum 29.\ \textit{hor.}\ 12.\ \& \textit{min.}\ 44.\ augeri debent momentorum incrementa in ratione temporis. Hoc pacto incrementum totum, quod erat pars $\frac{100}{11915}$ momenti mediocris, jam fiet ejusdem pars $\frac{100}{11023}$. Ideoque momentum are{\ae} in Quadratura Lun{\ae} erit ad ejus momentum in Syzygia ut 11023 - 50 ad 11023 + 50, seu 10973 ad 11073, \& ad ejus momentum, ubi Luna in alio quovis loco intermedio $P$ versatur, ut 10973 ad 10973 + $Pd$, existente videlicet $SP$ {\ae}quali 100. Area igitur, quam Luna radio ad Terram ducto singulis temporis particulis {\ae}qualibus describit, est quam proximč ut summa numeri $219\frac{46}{100}$ \& Sinus versi duplicat{\ae} distanti{\ae} Lun{\ae} ŕ Quadratura proxima, in circulo cujus radius est unitas. H{\ae}c ita se habent ubi Variatio in Octantibus est magnitudinis mediocris. Sin Variatio ibi major sit vel minor, augeri debet vel minui Sinus ille versus in eadem ratione. \condpagelarge{Prop.\ XXVII\@. Prob.\ VII.} \textit{Ex motu horario Lun{\ae} invenire ipsius distantiam ŕ Terra.} Area, quam Luna radio ad Terram ducto, singulis temporis momentis, describit, est ut motus horarius Lun{\ae} \& quadratum distanti{\ae} Lun{\ae} ŕ Terrâ conjunctim; \& propterea distantia Lun{\ae} ŕ Terrâ est in ratione compositâ ex dimidiatâ ratione Are{\ae} directč \& dimidiatâ ratione motus horarii inversč. \QEIit \textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Hinc datur Lun{\ae} diameter apparens: quippe qu{\ae} sit reciprocč ut ipsius distantia ŕ Terra. Tentent Astronomi quŕm probč h{\ae}c Regula cum Ph{\ae}nomenis congruat. % -----File: 427.png--- \textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Hinc etiam Orbis Lunaris accuratiůs ex Ph{\ae}nomenis quŕm antehac definiri potest. \condpagelarge{Prop.\ XXVIII\@. Prob.\ VIII.} \textit{Invenire diametros Orbis in quo Luna absque excentricitate moveri deberet.} \pngright{427.png}{1238}{1692}{-24} %Illustration %!!Page reference Curvatura Trajectori{\ae}, quam mobile, si secundum Trajectori{\ae} illius perpendiculum trahatur, describit, est ut attractio directč \& quad\-ratum velocitatis inversč. Curvaturas linearum pono esse inter se in ultima proportione Sinuum vel Tangentium angulorum contactuum ad radios {\ae}quales pertinentium, ubi radii illi in infinitum diminuuntur. Attractio autem Lun{\ae} in Terram in Syzygiis est excessus gravitatis ipsius in Terram supra vim Solarem $2PK$ (Vide \textit{Figur.\ pag.\ \pageref{wasp434}.})\ qua gravitas acceleratrix Lun{\ae} in Solem superat gravitatem acceleratricem Terr{\ae} in Solem. In Quadraturis autem attractio illa est summa gravitatis Lun{\ae} in Terram \& vis Solaris $KS$, qua Luna in Terram trahitur. Et h{\ae} attractiones, si $\frac{AS + CS}{2}$ dicatur $N$, sunt ut $\frac{178725}{ASq.} - \frac{2000}{CS \times N}$ \& $\frac{178725}{CSq.} + \frac{1000}{AS \times N}$ quam proxime; seu ut $178725N$ in $CSq. - 2000ASq.$ in $CS$, \& $178725N$ in $ASq. + 1000 CSq. \times AS$. Nam se gravitas acceleratrix Terr{\ae} in Solem exponatur per numerum 178725, vis mediocris $ML$, qu{\ae} in Quadraturis est $PS$ % -----File: 428.png--- vel $SK$ \& Lunam trahit in Terram, erit 1000, \& vis mediocris $SM$ in Syzygiis erit 3000; de qua, si vis mediocris $ML$ subducatur, manebit vis 2000 qua Luna in Syzygiis distrahitur ŕ Terra, quamque jam ante nominavi $2PK$. Velocitas autem Lun{\ae} in Syzygiis $A$ \& $B$ est ad ipsius velocitatem in Quadraturis $C$ \& $D$ ut $CS$, ad $AS$ \& momentum are{\ae} quam Luna radio ad Terram ducto describit in Syzygiis ad momentum ejusdem are{\ae} in Quadraturis conjunctim; id est ut $11073CS$ ad $10973AS$. Sumatur h{\ae}c ratio bis inversč \& ratio prior semel directč, \& fiet Curvatura Orbis Lunaris in Syzygiis ad ejusdem Curvaturam in Quadraturis ut $120407 \times 178725ASq. \times CSq. \times N - 120407 \times 2000AS \opit{qq.} \times CS$ ad $122611 \times 178725ASq. \times CSq. \times N$ + $122611 \times 1000CS \opit{qq.} \times AS$, id est ut $2151969AS \times CS \times N - 24081AS \opit{cub.}$ ad $2191371AS \times CS \times N + 12261CS \opit{cub.}$ % creative use of \spreadout to avoid unsplittable DBCA giving Overfull hbox Quoniam\spreadout{figura orbis Lunaris ignoratur, hujus vice assumamus Ellipsin} \\ $DBCA$, in cujus centro $S$ Terra collocetur, \& cujus axis major $DC$ Quadraturis, minor $AB$ Syzygiis interjaceat. Cum autem planum Ellipseos hujus motu angulari circa Terram revolvatur, \& Trajectoria, cujus Curvaturam consideramus, describi debet in plano quod motu omni angulari omnino destituitur: consideranda erit figura, quam Luna in Ellipsi illa revolvendo describit in hoc plano, hoc est Figura $Cpa$, cujus puncta singula $p$ inveniuntur capiendo punctum quodvis $P$ in Ellipsi, quod locum Lun{\ae} representet, \& ducendo $Sp$ {\ae}qualem $SP$, ea lege ut angulus $PSp$ {\ae}qualis sit motui apparenti Solis ŕ tempore Quadratur{\ae} $C$ confecto; vel (quod eodem fere recidit) ut angulus $CSp$ sit ad angulum $CSP$ ut tempus revolutionis Synodic{\ae} Lunaris ad tempus revolutionis Periodic{\ae} seu 29 \textit{d.}\ 12.\ \textit{h.}\ $44\minute$, ad 27 \textit{d.}\ 7 \textit{h.}\ $43\minute$. Capiatur igitur angulus $CSa$ in eadem ratione ad angulum rectum $CSA$, \& sit longitudo $Sa$ {\ae}qualis longitudini $SA$; \& erit $a$ Apsis ima \& $C$ Apsis summa orbis hujus $Cpa$. Rationes autem ineundo invenio quod differentia inter curvaturam orbis $Cpa$ in vertice $a$, \& curvaturam circuli centro $S$ intervallo $SA$ descripti, sit ad differentiam inter % -----File: 429.png--- curvaturam Ellipseos in vertice $A$ \& curvaturam ejusdem circuli, in duplicata ratione anguli $CSP$ ad angulum $CSp$; \& quod curvatura Ellipseos in $A$ sit ad curvaturam circuli illius in duplicata ratione $SA$ ad $SC$; \& curvatura circuli illius ad curvaturam circuli centro $S$ intervallo $SC$ descripti ut $SC$ ad $SA$; hujus autem curvatura ad curvaturam Ellipseos in $C$ in duplicata ratione $SA$ ad $SC$; \& differentia inter curvaturam Ellipseos in vertice $C$ \& curvaturam circuli novissimi, ad differentiam inter curvaturam figur{\ae} $Spa$ in vertice $C$ \& curvaturam ejusdem circuli, in duplicata ratione anguli $CSP$ ad angulum $CSp$. Qu{\ae} quidem rationes ex Sinubus angulorum contactus ac differentiarum angulorum facilč colliguntur. Collatis autem his rationibus inter se, prodit curvatura figur{\ae} $Cpa$ in $a$ ad ipsius curvaturam in $C$, ut $AS \opit{cub.} + \frac{16824}{100000}CSq. \times AS$ ad $CS \opit{cub.} + \frac{16824}{100000}ASq. \times CS$. Ubi numerus $\frac{16824}{100000}$ designat differentiam quadratorum angulorum $CSP$ \& $CSp$ applicatam ad Quadratum anguli minoris $CSP$, seu (quod perinde est) differentiam Quadratorum temporum 27 \textit{d.}\ 7 \textit{h.}\ $43\minute$, \& 29 \textit{d.}\ 12 \textit{h.}\ $44\minute$, applicatam ad Quadratum temporis 27 \textit{d.}\ 7 \textit{h.}\ $43\minute$. Igitur cum $a$ designet Syzygiam Lun{\ae}, \& $C$ ipsius Quadraturam, proportio jam inventa eadem esse debet cum proportione curvatur{\ae} Orbis Lun{\ae} in Syzygiis ad ejusdem curvaturam in Quadraturis, quam supra invenimus. Proinde ut inveniatur proportio $CS$ ad $AS$, duco extrema \& media in se invicem. Et termini prodeuntes ad $AS \times CS$ applicati, fiunt $2062\decimals{79}CS \opit{qq.} - 2151969N \times CS \opit{cub.} + 368682N \times AS \times CSq. + 36342ASq. \times CSq. - 362046N \times ASq. \times CS + 2191371N \times AS \opit{cub.} + 4051\decimals{4}AS \opit{qq.} = 0$. Hic pro terminorum $AS$ \& $CS$ semisummâ $N$ scribo 1, \& pro eorundem semidifferentia ponendo $x$, fit $CS = 1 + x$, \& $AS = 1 - x$: quibus in {\ae}quatione scriptis, \& {\ae}quatione prodeunte resolutâ, obtinetur $x$ {\ae}qualis $0\decimals{0072036}$, \& inde semidiameter $CS$ fit $1\decimals{0072}$, \& semidiameter $AS$ $0\decimals{9928}$, qui numeri sunt ut $69\frac{11}{12}$ \& $68\frac{11}{12}$ quam proximč. Est igitur distantia Lun{\ae} ŕ Terra in Syzygiis ad ipsius distantiam in Quadraturis (seposita scilicet excentricitatis consideratione) ut $68\frac{11}{12}$ ad $69\frac{11}{12}$, vel numeris rotundis ut 69 ad 70. % -----File: 430.png--- \condpagelarge{Prop.\ XXIX\@. Prob.\ IX.} \textit{Invenire Variationem Lun{\ae}.} Oritur h{\ae}c in{\ae}qualitas partim ex forma Elliptica orbis Lunaris, partim ex in{\ae}qualitate momentorum are{\ae}, quam Luna radio ad Terram ducto describit. Si Luna $P$ in Ellipsi $DBCA$ circa Terram in centro Ellipseos quiescentem moveretur, \& radio $SP$ ad Terram ducto describeret aream $CSP$ tempori proportionalem; esset autem Ellipseos semidiameter maxima $CS$ ad semidiametrum minimam\spreadout{$SA$ ut $69\frac{11}{12}$ ad $68\frac{11}{12}$: foret Tangens anguli $CSP$ ad Tangentem ang-} \pngright{432.png}{2117}{1907}{-12} %Illustration \noindent uli motus medii ŕ quadratura $C$ computati, ut Ellipseos semidiameter $SA$ ad ejusdem semidiametrum $SC$ seu $68\frac{11}{12}$ ad $69\frac{11}{12}$. Debet autem descriptio are{\ae} $CSP$, in progressu Lun{\ae} ŕ Quadratura ad Syzygiam, ea ratione accelerari, ut ejus momentum in Syzygia Lun{\ae} sit ad ejus momentum in Quadratura ut 11073 ad 10973, ut{\que} excessus momenti in loco quovis intermedio $P$ supra momentum in Quadratura sit ut quadratum Sinus anguli $CSP$. Id quod satis accuratč fiet, si tangens anguli $CSP$ diminuatur in dimidiata ratione numeri 10973 ad numerum 11073, id est in ratione numeri $68\frac{5958}{10000}$ ad numerum $68\frac{11}{12}$. Quo pacto tangens anguli $CSP$ jam erit ad tangentem motus medii ut $68\frac{5958}{10000}$ ad $69\frac{11}{12}$, \& angulus $CSP$ % -----File: 431.png--- in Octantibus, ubi motus medius est 45 \textit{gr.}\ invenietur 44 \textit{gr.}\ $27\minute.$ $29\second$: qui subductus de angulo motus medii 45 \textit{gr.}\ relinquit Variationem $32\minute.$ $31\second$. H{\ae}c ita se haberent si Luna, pergendo ŕ Quadratura ad Syzygiam, describeret angulum $CSA$ graduum tantum nonaginta. Verum ob motum Terr{\ae}, quo Sol in antecedentia motu apparente transfertur, Luna, priusquam Solem assequitur, describit angulum $CSa$ angulo recto majorem in ratione revolutionis Lunaris Synodic{\ae} ad revolutionem periodicam, id est in ratione 29 \textit{d.}\ 12 \textit{h.}\ $44\minute.$ ad 27 \textit{d.}\ 7 \textit{h.}\ $43\minute$. Et hoc pacto anguli omnes circa centrum $S$ dilatantur in eadem ratione, \& Variatio qu{\ae} secus esset $32\minute.$ $31\second.$ jam aucta in eadem ratione, fit $35\minute.$ $9\second$. H{\ae}c ab Astronomis constituitur $40\minute$, \& ex recentioribus Observationibus $38\minute$. \textit{Halleius} autem recentissimč deprehendit esse $38\minute$ in Octantibus versus oppositionem Solis, \& $32\minute$ in Octantibus Solem versus. Unde mediocris ejus magnitudo erit $35\minute$: qu{\ae} cum magnitudine ŕ nobis inventa $35\minute.$ $9\second$ probe congruit. Magnitudinem enim mediocrem computavimus, neglectis differentiis, qu{\ae} ŕ curvaturâ Orbis magni, majorique Solis actione in Lunam falcatam \& novam quam in Gibbosam \& plenam, oriri possint. \condpagelarge{Prop.\ XXX\@. Prob.\ X.} \textit{Invenire motum horarium Nodorum Lun{\ae} in Orbe circulari.} Designet $S$ Solem, $T$ Terram, $P$ Lunam, $NPn$ Orbem Lun{\ae}, $Npn$ vestigium Orbis in plano Ecliptic{\ae}; $N$, $n$, Nodos, $nTNm$ lineam Nodorum infinitč productam, $PI$, $PK$; perpendicula demissa in lineas $ST$, $Qq$; $Pp$ perpendiculum demissum in planum Ecliptic{\ae}; $Q$, $q$ Quadraturas Lun{\ae} in plano Ecliptic{\ae} \& $pK$ perpendiculum in lineam $Qq$ Quadraturis intrajacentem. Et vis Solis ad perturbandum motum Lun{\ae} (per Prop.\ XXV.) duplex erit, altera line{\ae} $2IT$ vel $2Kp$, altera line{\ae} $PI$ proportionalis. Et Luna vi priore in Solem, posteriore \label{wasp444}\pngright{432.png}{2117}{1907}{-12} %Illustration \noindent in lineam $ST$ trahitur. % -----File: 432.png--- Componitur autem vis posterior $PI$ ex viribus $IT$ \& $PT$, quarum $PT$ agit secundum planum orbis Lunaris, \& propterea situm plani nil mutat. H{\ae}c igitur negligenda est. Vis autem $IT$ cum vi $2IT$ componit vim totam $3IT$, qua planum Orbis Lunaris perturbatur. Et h{\ae}c vis per Prop.\ XXV. est ad vim qua Luna in circulo circa Terram quiescentem tempore suo periodico revolvi posset, ut $3IT$ ad Radium circuli multiplicatum per numerum $178\decimals{725}$, sive ut $IT$ ad Radium multiplicatum per $59\decimals{575}$. C{\ae}terum in hoc calculo \& eo omni qui sequitur, considero lineas omnes ŕ Luna ad Solem ductas tanquam parallelas line{\ae} qu{\ae} ŕ Terra ad Solem ducitur, propterea quod inclinatio tantum ferč minuit effectus omnes in aliquibus casibus, quantum auget in aliis; \& Nodorum motus mediocres qu{\ae}rimus, neglectis istiusmodi minutiis, qu{\ae} calculum nimis impeditum redderent. % -----File: 433.png--- Designet jam $PM$ arcum, quem Luna dato tempore quam minimo describit, \& $ML$ lineolam quam Luna, impellente vi pr{\ae}fata $3IT$, eodem tempore describere posset. Jungantur $PL$, $MP$, \& producantur e{\ae} ad $m$ \& $l$, ubi secent planum Ecliptic{\ae}; inque $Tm$ demittatur perpendiculum $PH$. Et quoniam $ML$ parallela est ipsi $ST$, si $ml$ parallela sit ipsi $ML$, erit $ml$ in plano Ecliptic{\ae}, \& contra. Ergo $ml$, cum sit in plano Ecliptic{\ae}, parallela erit ipsi $ML$, \& similia erunt triangula $LMP$, $Lmp$. Jam cum $MPm$ sit in plano Orbis, in quo Luna in loco $P$ movebatur, incidet punctum $m$ in lineam $Nn$ per Orbis illius Nodos $N$, $n$, ductam. Et quoniam vis qua lineola $LM$ generatur, si tota simul \& semel in loco $P$ impressa esset, efficeret ut Luna moveretur in arcu, cujus Chorda esset $LP$, atque adeň transferret Lunam de plano $MPmT$ in planum $LPlT$; motus Nodorum ŕ vi illa genitus {\ae}qualis erit angulo $mTl$. Est autem $ml$ ad $mP$ ut $ML$ ad $MP$, adeoque cum $MP$ ob datum tempus data sit, est $ml$ ut rectangulum $ML \times mP$, id est ut rectangulum $IT \times mP$. Et angulus $mTl$, si modo angulus $Tml$ rectus sit, est ut $\frac{ml}{Tm}$, \& propterea ut $\frac{IT \times Pm}{Tm}$ id est (ob proportionales $Tm$ \& $mP$, $TP$ \& $PH$) ut $\frac{IT \times PH}{TP}$, adeoque ob datam $TP$, ut $IT \times PH$. Quod si angulus $Tml$, seu $STN$ obliquus sit, erit angulus $mTl$ adhuc minor, in ratione Sinus anguli $STN$ ad Radium. Est igitur velocitas Nodorum ut $IT \times PH$ \& Sinus anguli $STN$ conjunctim, sive ut contentum sub sinubus trium angulorum $TPI$, $PTN$ \& $STN$. Si anguli illi, Nodis in Quadraturis \& Luna in Syzygia existentibus, recti sint, lineola $ml$ abibit in infinitum, \& angulus $mTl$ evadet angulo $mPl$ {\ae}qualis. Hoc autem in casu, angulus $mPl$ est ad angulum $PTM$, quem Luna eodem tempore motu suo apparente circa Terram describit ut 1 ad $59\decimals{575}$. Nam angulus $mPl$ {\ae}qualis est angulo $LPM$, id est angulo deflexionis Lun{\ae} ŕ recto tramite, quam pr{\ae}fata vis Solaris $3IT$ dato illo tempore generare possit; \& angulus $PTM$ {\ae}qualis est angulo deflexionis % -----File: 434.png--- Lun{\ae} ŕ recto tramite, quem vis illa, qua Luna in Orbe suo retinetur, eodem tempore generat. Et h{\ae} vires, uti supra diximus, sunt ad invicem ut 1 ad $59\decimals{575}$. Ergo cum motus medius horarius Lun{\ae} (respectu fixarum) sit $32\minute.$ $56\second.$ $27\third.$ $12\fourth\frac{1}{2}$, motus horarius Nodi in hoc casu erit $33\second.$ $10\third.$ $33\fourth.$ $12\fifth$. Aliis autem in casibus motus iste horarius erit ad $33\second.$ $10\third.$ $33\fourth.$ $12\fifth.$ ut contentum sub sinibus angulorum trium $TPI$, $PTN$, \& $STN$ (seu distantiarum Lun{\ae} ŕ Quadratura, Lun{\ae} ŕ Nodo \& Nodi ŕ Sole) ad cubum Radii. Et quoties signum anguli alicujus de affirmativo in negativum, deque negativo\spreadout{in affirmativum mutatur, debebit motus regressivus in progressivum} \pngright{434.png}{1602}{1417}{-24} %Illustration \noindent \& progressivus in regressivum mutari. Unde fit ut Nodi progrediantur quoties Luna inter Quadraturam alterutram \& Nodum Quadratur{\ae} proximum versatur. Aliis in casibus regrediuntur, \& per excessum regressus supra progres\-sum, singulis mensibus feruntur in ante\-cedentia. \textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Hinc si a dati arcus quam minimi $PM$ terminis $P$ \& $M$ ad lineam Quadraturas jungentem $Qq$ demittantur perpendicula $PK$, $Mk$, eademque producantur donec secent lineam Nodorum $Nn$ in $D$ \& $d$; erit motus horarius Nodorum ut area $MPDd$ \& quadratum line{\ae} $AZ$ conjunctim. Sunto enim $PK$, $PH$ \& $AZ$ pr{\ae}dicti tres Sinus. Nempe $PK$ Sinus distanti{\ae} Lun{\ae} ŕ Quadratura, $PH$ Sinus distanti{\ae} Lun{\ae} ŕ Nodo, \& $AZ$ Sinus distanti{\ae} Nodi ŕ Sole: \& erit velocitas Nodi ut contentum $PK \times PH \times AZ$. Est % -----File: 435.png--- autem $PT$ ad $PK$ ut $PM$ ad $Kk$, adeoque ob datas $PT$ \& $PM$ est $Kk$ ipsi $PK$ proportionalis. Est \& $AT$ ad $PD$ ut $AZ$ ad $PH$, \& propterea $PH$ rectangulo $PD \times AZ$ proportionalis, \& conjunctis rationibus, $PK \times PH$ est ut contentum $Kk \times PD \times AZ$, \& $PK \times PH \times AZ$ ut $Kk \times PD \times AZ \opit{qu.}$ id est ut area $PDdM$, \& $AZ \opit{qu.}$ conjunctim. \QEDit \textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}In data quavis Nodorum positione, motus horarius mediocris est semissis motus horarii in Syzygiis Lun{\ae}, ideoque est ad $16\second.$ $35\third.$ $16\fourth.$ $36\fifth.$ ut quadratum Sinus distanti{\ae} Nodorum ŕ Syzygiis ad quadratum Radii, sive ut $AZ \opit{qu.}$ ad $AT \opit{qu.}$ Nam si Luna uniformi cum motu perambulet semicirculum $QAq$, summa omnium arearum $PDdM$, quo tempore Luna pergit ŕ $Q$ ad $M$, erit area $QMdE$ qu{\ae} ad circuli tangentem $QE$ terminatur; \& quo tempore Luna attingit punctum $n$, summa illa erit area tota $EQAn$ quam linea $PD$ describit; dein Luna pergente ab $n$ ad $q$, linea $PD$ cadet extra circulum, \& aream $nqe$ ad circuli tangentem $qe$ terminatam describet; qu{\ae}, quoniam Nodi prius regrediebantur, jam verň progrediuntur, subduci debet de area priore, \& cum {\ae}qualis sit are{\ae} $QEN$, relinquet semicirculum $NQAn$. Igitur summa omnium arearum $PDdM$, quo tempore Luna semicirculum describit, est area semicirculi; \& summa omnium quo tempore Luna circulum describit est area circuli totius. At area $PDdM$, ubi Luna versatur in Syzygiis, est rectangulum sub arcu $PM$ \& radio $MT$; \& summa omnium huic {\ae}qualium arearum, quo tempore Luna circulum describit, est rectangulum sub circumferentia tota \& radio circuli; \& hoc rectangulum, cum sit {\ae}quale duobus circulis, duplo majus est quŕm rectangulum prius. Proinde Nodi, eâ cum velocitate uniformiter continuatâ quam habent in Syzygiis Lunaribus, spatium duplo majus describerent quŕm revera describunt; \& propterea motus mediocris quocum, si uniformiter continuaretur, spatium ŕ se in{\ae}quabili cum motu revera confectum describere possent, est semissis motus quem habent in Syzygiis Lun{\ae}. Unde cum motus orarius maximus, si Nodi in Quadraturis versantur, sit $33\second.$ $10\third.$ $33\fourth.$ $12\fifth$, motus mediocris horarius in hoc casu erit % -----File: 436.png--- $16\second.$ $35\third.$ $16\fourth.$ $36\fifth$. Et cum motus horarius Nodorum semper sit ut $AZ \opit{qu.}$ \& area $PDdM$ conjunctim, \& propterea motus horarius Nodorum in Syzygiis Lun{\ae} ut $AZ \opit{qu.}$ \& area $PDdM$ conjunctim, id est (ob datam aream $PDdM$ in Syzygiis descriptam) ut $AZ \opit{qu.}$ erit etiam motus mediocris ut $AZ \opit{qu.}$ atque adeo hic motus, ubi Nodi extra Quadraturas versantur, erit ad $16\second.$ $35\third.$ $16\fourth.$ $36\fifth.$ ut $AZ \opit{qu.}$ ad $AT \opit{qu}$. \QEDit \condpagelarge{Prop.\ XXXI\@. Prob.\ XI.} \textit{Invenire motum horarium Nodorum Lun{\ae} in Orbe Elliptico.} \pngright{436.png}{2104}{2256}{-24} %Illustration Designet $Qpmaq$ Ellipsim, axe majore $Qq$, minore $ab$ descriptam, $QAq$ circulum circumscriptum, $T$ Terram in utriusque centro communi, $S$ Solem, $p$ Lunam in Ellipsi moventem, \& $pm$ arcum quem data temporis particula quam minima describit, $N$ \& $n$ % -----File: 437.png--- Nodos linea $Nn$ junctos, $pK$ \& $mk$ perpendicula in axem $Qq$ demissa \& hinc inde producta, donec occurrant circulo in $P$ \& $M$, \& line{\ae} Nodorum in $D$ \& $d$. Et si Luna, radio ad Terram ducto, aream describat tempori proportionalem, erit motus Nodi in Ellipsi ut area $pDdm$. Nam si $PF$ tangat circulum in $P$, \& producta occurrat $TN$ in $F$, \& $pf$ tangat Ellipsin in $p$ \& producta occurrat eidem $TN$ in $f$, conveniant autem h{\ae} Tangentes in axe $TQ$ ad $Y$; \& si $ML$ designet spatium quod Luna in circulo revolvens, interea dum describit arcum $PM$, urgente \& impellente vi pr{\ae}dicta $3IT$, motu transverso describere posset, \& $ml$ designet spatium quod Luna in Ellipsi revolvens eodem tempore, urgente etiam vi $3IT$, describere posset; \& producantur $LP$ \& $lp$ donec occurrant plano Ecliptic{\ae} in $G$ \& $g$; \& jungantur $FG$ \& $fg$, quarum $FG$ producta secet $pf$, $pg$ \& $TQ$ in $c$, $e$ \& $R$ respectivč, \& $fg$ producta secet $TQ$ in $r$: Quoniam vis $3IT$ seu $3PK$ in circulo est ad vim $3IT$ seu $3pK$ in Ellipsi, ut $PK$ ad $pK$, seu $AT$ ad $aT$; erit spatium $ML$ vi priore genitum, ad spatium $ml$ vi posteriore genitum, ut $PK$ ad $pK$, id est ob similes figuras $PYKp$ \& $FYRc$, ut $FR$ ad $cR$. Est autem $ML$ ad $FG$ (ob similia triangula $PLM$, $PGF$) ut $PL$ ad $PG$, hoc est (ob parallelas $Lk$, $PK$, $GR$) ut $pl$ ad $pe$, id est (ob similia triangula $plm$, $cpe$) ut $lm$ ad $ce$; \& inversč ut $LM$ est ad $lm$, seu $FR$ ad $cR$, ita est $FG$ ad $ce$. Et propterea si $fg$ esset ad $ce$ ut $fY$ ad $cY$, id est ut $fr$ ad $cR$, (hoc est ut $fr$ ad $FR$ \& $FR$ ad $cR$ conjunctim, id est ut $fT$ ad $FT$ \& $FG$ ad $ce$ conjunctim,) quoniam ratio $FG$ ad $ce$ utrinque ablata relinquit rationes $fg$ ad $FG$ \& $fT$ ad $FT$, foret $fg$ ad $FG$ ut $fT$ ad $FT$; propterea quod anguli, quos $FG$ \& $fg$ subtenderent ad Terram $T$, {\ae}quarentur inter se. Sed anguli illi (per ea qu{\ae} in pr{\ae}cedente Propositione exposuimus) sunt motus Nodorum, quo tempore Luna in circulo arcum $PM$, in Ellipsi arcum $pm$ percurrit: \& propterea motus Nodorum in Circulo \& Ellipsi {\ae}quarentur inter se. H{\ae}c ita se haberent, si modo $fg$ esset ad $ce$ ut $fY$ ad $cY$, % -----File: 438.png--- id est si $fg$ {\ae}qualis esset $\frac{ce \times fY}{cY}$. Verum ob similia triangula $fgp$, $cep$, est $fg$ ad $ce$ ut $fp$ ad $cp$; ideoque $fg$ {\ae}qualis est $\frac{ce \times fp}{cp}$, \& propterea angulus, quem $fg$ revera subtendit, est ad angulum priorem, quem $FG$ subtendit, hoc est motus Nodorum in Ellipsi ad motum Nodorum in Circulo, ut h{\ae}c $fg$ seu $\frac{ce \times fp}{cp}$ ad priorem $fg$ seu $\frac{ce \times fY}{cY}$, id est ut $fp \times cY$ ad $cp \times fY$, seu $fp$ ad $fY$ \& $cY$ ad $cp$; hoc est, si $pb$ ipsi $TN$ parallela occurrat $FP$ in $b$, ut $Fb$ ad $FY$ \& $FY$ ad $FP$; hoc est ut $Fb$ ad $FP$ seu $Dp$ ad $DP$, adeoque ut area $Dpmd$ ad aream $DPMd$. Et propterea, cum area posterior proportionalis sit motui Nodorum in Circulo, erit area prior proportionalis motui Nodorum in Ellipsi. \QEDit \textit{Corol.}\spreadout{Igitur cum, in data Nodorum positione, summa omnium are-} \\ \noindent arum $pDdm$, quo tempore Luna pergit ŕ Quadratura ad locum quemvis $m$, sit area $mpQEd$, qu{\ae} ad Ellipseos Tangentem $QE$ terminatur; \& summa omnium arearum illarum, in revolutione integra, sit area Ellipseos totius: motus mediocris Nodorum in Ellipsi erit ad motum mediocrem Nodorum in circulo, ut Ellipsis ad circulum, id est ut $Ta$ ad $TA$, seu $68\frac{11}{12}$ ad $69\frac{11}{12}$. Et propterea, cum motus mediocris horarius Nodorum in circulo sit ad $16\second.$ $35\third.$ $16\fourth.$ $36\fifth.$ ut $AZ \opit{qu.}$ ad $AT \opit{qu.}$ si capiatur angulus $16\second.$ $21\third.$ $2\fourth.$ $36\fifth.$ ad angulum $16\second.$ $35\third.$ $16\fourth.$ $36\fifth.$ ut $68\frac{11}{12}$ ad $69\frac{11}{12}$, erit motus mediocris horarius Nodorum in Ellipsi ad $16\second.$ $21\third.$ $2\fourth.$ $36\fifth.$ ut $AZq.$ ad $ATq.$; hoc est ut quadratum Sinus distanti{\ae} Nodi ŕ Sole ad quadratum Radii. C{\ae}terum Luna, radio ad Terram ducto, aream velocius describit in Syzygiis quŕm in Quadraturis, \& eo nomine tempus in Syzygiis contrahitur, in Quadraturis producitur; \& una cum tempore motus Nodorum augetur ac diminuitur. Erat autem momentum are{\ae} in Quadraturis Lun{\ae} ad ejus momentum in Syzygiis ut 10973 ad 11073; \& propterea momentum mediocre in Octantibus est ad excessum in Syzygiis, defectumque in Quadraturis, ut numerorum semisumma 11023 ad eorundem semidifferentiam 50. % -----File: 439.png--- Unde cum tempus Lun{\ae} in singulis Orbis particulis {\ae}qualibus sit reciprocč ut ipsius velocitas, erit tempus mediocre in Octantibus ad excessum temporis in Quadrantibus, ac defectum in Syzygiis, ab hac causa oriundum, ut 11023 ad 50 quam proxime. Pergendo autem ŕ Quadraturis ad Syzygias, invenio quod excessus momentorum are{\ae} in locis singulis, supra momentum minimum in Quadraturis, sit ut quadratum Sinus distanti{\ae} Lun{\ae} ŕ Quadrantibus quam proximč; \& propterea differentia inter momentum in loco quocunque \& momentum mediocre in Octantibus, est ut differentia inter quadratum Sinus distanti{\ae} Lun{\ae} ŕ Quadraturis \& quadratum Sinus graduum 45, seu semissem quadrati Radii; \& incrementum temporis in locis singulis inter Octantes \& Quadraturas, \& decrementum ejus inter Octantes \& Syzygias est in eadem ratione. Motus autem Nodorum, quo tempore Luna percurrit singulas Orbis particulas {\ae}quales, acceleratur vel retardatur in duplicata ratione temporis. Est enim motus iste, dum Luna percurrit $PM$, (c{\ae}teris paribus) ut $ML$, \& $ML$ est in duplicata ratione temporis. Quare motus Nodorum in Syzygiis, eo tempore confectus quo Luna datas Orbis particulas percurrit, diminuitur in duplicata ratione numeri 11073 ad numerum 11023; estque decrementum ad motum reliquum ut 100 ad 10973, ad motum verň totum ut 100 ad 11073 quam proximč. Decrementum autem in locis inter Octantes \& Syzygias, \& incrementum in locis inter Octantes \& Quadraturas, est quam proxime ad hoc decrementum, ut motus totus in locis illis ad motum totum in Syzygiis \& differentia inter quadratum Sinus distanti{\ae} Lun{\ae} ŕ Quadratura \& semissem quadrati Radii ad semissem quadrati Radii, conjunctim. Unde si Nodi in Quadraturis versentur, \& capiantur loca duo {\ae}qualiter ab Octante hinc inde distantia, \& alia duo ŕ Syzygiâ \& Quadraturâ iisdem intervallis distantia, deque decrementis motuum in locis duabus inter Syzygiam \& Octantem, subducantur incrementa motuum in locis reliquis duobus, qu{\ae} sunt inter Octantem \& Quadraturam; decrementum reliquum {\ae}quale erit decremento in Syzygia: uti rationem % -----File: 440.png--- ineunti facilč constabit. Proindeque decrementum mediocre, quod de Nodorum motu mediocri subduci debet, est pars quarta decrementi in Syzygia. Motus totus horarius Nodorum in Syzygiis (ubi Luna radio ad Terram ducto aream tempori proportionalem describere supponebatur) erat $32\second.$ $42\third.$ $5\fourth.$ $12\fifth$. Et decrementum motus Nodorum, quo tempore Luna jam velocior describit idem spatium, diximus esse ad hunc motum ut 100 ad 11073; adeoque decrementum illud est $17\third.$ $43\fourth.$ $10\fifth$, cujus pars quarta $4\third.$ $25\fourth.$ $48\fifth$, motui horario mediocri superius invento $16\second.$ $21\third.$ $2\fourth.$ $36\fifth.$ subducta, relinquit $16\second.$ $16\third.$ $36\fourth.$ $48\fifth.$ motum mediocrem horarium correctum. Si Nodi versantur extra Quadraturas, \& spectentur loca bina ŕ Syzygiis hinc inde {\ae}qualiter distantia; summa motuum Nodorum, ubi Luna versatur in his locis, erit ad summam motuum, ubi Luna in iisdem locis \& Nodi in Quadraturis versantur, ut $AZ \opit{qu.}$ ad $AT \opit{qu.}$ Et decrementa motuum, ŕ causis jam expositis oriunda, erunt ad invicem ut ipsi motus, adeoque motus reliqui erunt ad invicem ut $AZ \opit{qu.}$ ad $AT \opit{qu.}$ \& motus mediocres ut motus reliqui. Est itaque motus mediocris horarius correctus, in dato quocunque Nodorum situ, ad $16\second.$ $16\third.$ $36\fourth.$ $48\fifth.$ ut $AZ \opit{qu.}$ ad $AT \opit{qu.}$; id est ut quadratum Sinus distanti{\ae} Nodorum ŕ Syzygiis ad quadratum Radii. \condpagelarge{Prop.\ XXXII\@. Prob.\ XII.} \textit{Invenire motum medium Nodorum Lun{\ae}.} Motus medius annuus est summa motuum omnium horariorum mediocrium in anno. Concipe Nodum versari in $N$, \& singulis horis completis retrahi in locum suum priorem, ut non obstante motu suo proprio, datum semper servet situm ad Stellas Fixas. Interea verň Solem $S$, per motum Terr{\ae}, progredi ŕ Nodo, \& cursum annuum apparentem uniformiter complere. Sit autem $Aa$ arcus datus quam minimus, quem recta $TS$ ad Solem semper ducta, % -----File: 441.png--- intersectione sua \& circuli $NAn$, dato tempore quam minimo describit: \& motus horarius mediocris (per jam ostensa) erit ut $AZq.$ id est (ob proportionales $AZ$, $ZY$) ut rectangulum sub $AZ$ \& $ZY$, hoc est ut area $AZYa$. Et summa omnium horariorum motuum mediocrium ab initio, ut summa omnium arearum $aYZA$, id est ut area $NAZ$. Est autem maxima $AZYa$ {\ae}qualis rectangulo sub arcu $Aa$ \& radio circuli; \& propterea summa omnium rectangulorum in circulo toto ad summam totidem maximorum, ut area circuli totius ad rectangulum sub circumferentia tota \& radio; id est ut 1 ad 2. Motus autem horarius, rectangulo maximo respondens, erat $16\second.$ $16\third.$ $36\fourth.$ $48\fifth$. Et hic motus, anno toto sidereo dierum 365.\ 6 \textit{hor.}\ 9 \textit{min.}\ fit 39 \textit{gr.}\ $38\minute.$ $5\second.$ $39\third$. Ideoque hujus dimidium 19 \textit{gr.}\ $49\minute.$ $2\second.$ $49\third\frac{1}{2}$ est motus medius Nodorum circulo toti respondens. Et motus Nodorum, quo tempore Sol pergit ab $N$ ad $A$, est ad 19 \textit{gr.}\ $49\minute.$ $2\second.$ $49\third\frac{1}{2}$ ut area $NAZ$ ad circulum totum. \pngright{441.png}{1580}{1350}{-24} %Illustration H{\ae}c ita se habent, ex Hypothesi quod Nodus horis singulis in locum priorem retrahitur, sic ut Sol anno toto completo ad Nodum eundem redeat ŕ quo sub initio digressus fuerat. Verum per motum Nodi fit ut Sol citius ad Nodum revertatur, \& computanda jam est abbreviatio temporis. Cum Sol anno toto conficiat 360 gradus, \& Nodus motu maximo eodem tempore conficeret 39 \textit{gr.}\ $38\minute.$ $5\second.$ $39\third.$ seu $39\decimals{6349}$ gradus; \& motus mediocris Nodi % -----File: 442.png--- in loco quovis $N$ sit ad ipsius motum mediocrem in Quadraturis suis, ut $AZq.$ ad $ATq.$ erit motus Solis ad motum Nodi in $N$, ut 360 $ATq.$ ad $39\decimals{6349}$ $AZq.$; id est ut $9\decimals{0829032}$ $ATq.$ ad $AZq$. Unde si circuli totius circumferentia $NAn$ dividatur in particulas {\ae}quales $Aa$, tempus quo Sol percurrat particulam $Aa$, si circulus quiesceret, erit ad tempus quo percurrit eandem particulam, si circulus una cum Nodis circa centrum $T$ revolvatur, reciprocč ut $9\decimals{0829032}$ $ATq.$ ad $9\decimals{0829032}$ $ATq. + AZq$. Nam tempus est reciprocč ut velocitas qua particula percurritur, \& h{\ae}c velocitas est summa velocitatum Solis \& Nodi. Igitur si tempus, quo Sol absque motu Nodi percurreret arcum $NA$, exponatur per Sectorem $NTA$, \& particula temporis quo percurreret arcum quam minimum $Aa$, exponatur per Sectoris particulam $ATa$; \& (perpendiculo $aY$ in $Nn$ demisso) si in $AZ$ capiatur $dZ$, ejus longitudinis ut sit rectangulum $dZ$ in $ZY$ ad Sectoris particulam $ATa$ ut $AZq.$ ad $9\decimals{0829032}$ $ATq. + AZq.$ id est ut sit $dZ$ ad $\frac{1}{2}AZ$ ut $ATq.$ ad $9\decimals{0829032}$ $ATq. + AZq.$; rectangulum $dZ$ in $ZY$ designabit decrementum temporis ex motu Nodi oriundum, tempore toto quo arcus $Aa$ percurritur. Et si punctum $d$ tangit curvam $NdGn$, area curvilinea $NdZ$ erit decrementum totum, quo tempore arcus totus $NA$ percurritur; \& propterea excessus Sectoris $NAT$ supra aream $NdZ$ erit tempus illud totum. Et quoniam motus Nodi tempore minore minor est in ratione temporis, debebit etiam area $AaYZ$ diminui in eadem ratione. Id quod fiet si capiatur in $AZ$ longitudo $eZ$, qu{\ae} sit ad longitudinem $AZ$ ut $AZq.$ ad $9\decimals{0829032}$ $ATq. + AZq$. Sic enim rectangulum $eZ$ in $ZY$ erit ad aream $AZYa$ ut decrementum temporis, quo arcus $Aa$ percurritur, ad tempus totum, quo percurreretur si Nodus quiesceret: Et propterea rectangulum illud respondebit decremento motus Nodi. Et si punctum $e$ tangat curvam $NeFn$, area tota $NeZ$, qu{\ae} summa est omnium decrementorum, respondebit decremento toti, quo tempore arcus $AN$ percurritur; \& area reliqua $NAe$ respondebit motui reliquo, qui verus est Nodi motus quo tempore arcus % -----File: 443.png--- totus $NA$, per Solis \& Nodi conjunctos motus, percurritur. Jam verň si circuli radius $AT$ ponatur 1, erit area semicirculi $1\decimals{570796}$; \& area figur{\ae} $NeFnT$, per methodum Serierum infinitarum qu{\ae}sita, prodibit $0\decimals{1188478}$. Motus autem qui respondet circulo toti erat 19 \textit{gr.}\ $49\minute.$ $2\second.$ $49\third\frac{1}{2}$; \& propterea motus, qui figur{\ae} $NeFnT$ duplicat{\ae} respondet, est 1 \textit{gr.}\ $29\minute.$ $57\second.$ $51\third\frac{1}{2}$. Qui de motu priore subductus relinquit 18 \textit{gr.}\ $19\minute.$ $4\second.$ $58\third.$ motum totum Nodi inter sui ipsius Conjunctiones cum Sole; \& hic motus de Solis motu annuo graduum 360 subductus, relinquit 341 \textit{gr.}\ $40\minute.$ $55\second.$ $2\third.$ motum Solis inter easdem Conjunctiones. Iste autem motus est ad motum annuum 360 \textit{gr.}\ ut Nodi motus jam inventus 18 \textit{gr.}\ $19\minute.$ $4\second.$ $58\third.$ ad ipsius motum annuum, qui propterea erit 19 \textit{gr.}\ $18\minute.$ $0\second.$ $22\third$. Hic est motus medius Nodorum in anno sidereo. Idem per Tabulas Astronomicas est 19 \textit{gr.}\ $20\minute.$ $31\second.$ $1\third$. Differentia minor est parte quadringentesima motus totius, \& ab Orbis Lunaris Excentricitate \& Inclinatione ad planum Ecliptic{\ae} oriri videtur. Per Excentricitatem Orbis motus Nodorum nimis acceleratur, \& per ejus Inclinationem vicissim retardatur aliquantulum, \& ad justam velocitatem reducitur. \condpagelarge{Prop.\ XXXIII\@. Prob.\ XIII.} \textit{Invenire motum verum Nodorum Lun{\ae}.} In tempore quod est ut area $NTA - NdZ$, (\textit{in Fig.\ pr{\ae}ced.})\ motus iste est ut area $NAeN$, \& inde datur. Verum ob nimiam calculi difficultatem, pr{\ae}stat sequentem Problematis constructionem adhibere. Centro $C$, intervallo quovis $CD$, describatur circulus $BEFD$. Producatur $DC$ ad $A$, ut sit $AB$ ad $AC$ ut motus medius ad semissem motus veri mediocris, ubi Nodi sunt in Quadraturis: (id est ut 19 \textit{gr.}\ $18\minute.$ $0\second.$ $22\third.$ ad 19 \textit{gr.}\ $49\minute.$ $2\second.$ $49\third\frac{1}{2}$, atque adeo $BC$ ad $AC$ ut motuum differentia 0 \textit{gr.}\ $31\minute.$ $2\second.$ $27\third\frac{1}{2}$, ad motum posteriorem 19 \textit{gr.}\ $49\minute.$ $2\second.$ $49\third\frac{1}{2}$, hoc est, ut 1.\ % -----File: 444.png--- ad $38\frac{1}{3}$) dein per punctum $D$ ducatur infinita $Gg$, qu{\ae} tangat\spreadout{circulum in $D$; \& si capiatur angulus $BCE$ vel $BCF$ {\ae}qualis semissi} \pngright{444.png}{1680}{1070}{-12} %Illustration \noindent distanti{\ae} Solis ŕ loco Nodi, per motum medium invento; \& agatur $AE$ vel $AF$ secans perpendiculum $DG$ in $G$; \& capiatur angulus qui sit ad motum Nodi inter ipsius Syzygias (id est ad 9 \textit{gr.}\ $10\minute.$ $40\second.$) ut tangens $DG$ ad circuli $BED$ circumferentiam totam, atque angulus iste ad motum medium Nodorum addatur; habebitur eorum motus verus. Nam motus verus sic inventus congruet quam proximč cum motu vero qui prodit exponendo tempus per aream $NTA - NdZ$, \& motum Nodi per aream $NAeN$; ut rem perpendenti constabit. H{\ae}c est {\ae}quatio annua motus Nodorum. Est \& {\ae}quatio menstrua, sed qu{\ae} ad inventionem Latitudinis Lun{\ae} minimč necessaria est. Nam cum Variatio inclinationis Orbis Lunaris ad planum Ecliptic{\ae} duplici in{\ae}qualitati obnoxia sit, alteri annu{\ae}, alteri autem menstru{\ae}; hujus menstrua in{\ae}qualitas \& {\ae}quatio menstrua Nodorum ita se mutuň contemperant \& corrigunt, ut amb{\ae} in determinanda Latitudine Lun{\ae} negligi possint. \textit{Corol.}\wsp{}Ex hac \& pr{\ae}cedente Propositione liquet quod Nodi in Syzygiis suis quiescunt, in Quadraturis autem regrediuntur motu horario $16\second.$ $18\third.$ $41\fourth\frac{1}{2}$. Et quod {\ae}quatio motus Nodorum in Octantibus sit 1 \textit{gr.}\ $30\minute$. Qu{\ae} omnia cum Ph{\ae}nomenis c{\oe}lestibus probč quadrant. % -----File: 445.png--- \condpagelarge{Prop.\ XXXIV\@. Prob.\ XIV.} \textit{Invenire Variationem horariam inclinationis Orbis Lunaris ad planum Ecliptic{\ae}.} \pngright{445.png}{2131}{2020}{-24} %Illustration Designent $A$ \& $a$ Syzygias; $Q$ \& $q$ Quadraturas; $N$ \& $n$ Nodos; $P$ locum Lun{\ae} in Orbe suo; $p$ vestigium loci illius in plano Ecliptic{\ae}, \& $mTl$ motum momentaneum Nodorum ut supra. Et si ad lineam $Tm$ demittatur perpendiculum $PG$, jungatur $pG$, \& producatur ea donec occurrat $Tl$ in $g$, \& jungatur etiam $Pg$: erit angulus $PGp$ inclinatio orbis Lunaris ad planum Ecliptic{\ae}, ubi Luna versatur in $P$; \& angulus $Pgp$ inclinatio ejusdem post momentum temporis completum, adeoque angulus $GPg$ Variatio % -----File: 446.png--- momentanea inclinationis. Est autem hic angulus $GPg$ ad angulum $GTg$ ut $TG$ ad $PG$ \& $Pp$ ad $PG$ conjunctim. Et propterea si pro momento temporis substituatur hora; cum angulus $GTg$ (per Prop.\ XXX.) sit ad angulum $33\second.$ $10\third.$ $33\fourth.$ ut $IT \times PG \times AZ$ ad $AT \opit{cub.}$ erit angulus $GPg$ (seu inclinationis horaria Variatio) ad angulum $33\second.$ $10\third.$ $33\fourth.$ ut $IT \times AZ \times TG \times \frac{Pp}{PG}$ ad $AT \opit{cub.}$ \QEIit H{\ae}c ita se habent ex Hypothesi quod Luna in Orbe circulari uniformiter gyratur. Quod si orbis ille Ellipticus sit, motus mediocris Nodorum minuetur in ratione axis minoris ad axem majorem; uti supra expositum est. Et in eadem ratione minuetur etiam Sinus $IT$. Inclinationis autem Variatio tantum augebitur per decrementum Sinus $IT$, quantum diminuitur per decrementum motus Nodorum; \& propterea idem manebit atque prius. \textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Si ad $Nn$ erigatur perpendiculum $TF$, sitque $pM$ motus horarius Lun{\ae} in plano Ecliptic{\ae}; \& perpendicula $pK$, $Mk$ in $QT$ demissa \& utrinque producta occurrant $TF$ in $H$ \& $h$: erit $Kk$ ad $Mp$ ut $pK$ seu $IT$ ad $AT$, \& $TZ$ ad $AT$ ut $TG$ ad $Hp$; ideoque $IT \times TG$ {\ae}quale $\frac{Kk \times Hp \times TZ}{Mp}$, hoc est {\ae}quale are{\ae} $HpMh$ duct{\ae} in rationem $\frac{TZ}{Mp}$: \& propterea inclinationis Variatio horaria ad $33\second.$ $10\third.$ $33\fourth.$ ut $HpMh$ ducta in $AZ \times \frac{TZ}{Mp} \times \frac{Pp}{PG}$ ad $AT \opit{cub.}$ \textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Ideoque si Terra \& Nodi singulis horis completis retraherentur ŕ locis suis novis, \& in loca priora in instanti semper reducerentur, ut situs eorum, per mensem integrum periodicum, datus maneret; tota Inclinationis Variatio tempore mensis illius foret ad $33\second.$ $10\third.$ $33\fourth$, ut aggregatum omnium arearum $HpMh$, in revolutione puncti $p$ \label{wasp458}generatarum, \& sub signis propriis + \& - conjunctarum, ductum in $AZ \times TZ \times \frac{Pp}{PG}$, ad $Mp \times AT \opit{cub.}$ id est ut circulus totus $QAqa$ ductus in $AZ \times TZ \times \frac{Pp}{PG}$ ad $Mp \times AT % -----File: 447.png--- cub.$ hoc est ut circumferentia $QAqa$ ducta in $AZ \times TZ \times \frac{Pp}{PG}$ ad $2MP \times AT \opit{quad.}$ \textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Proinde in dato Nodorum situ, Variatio mediocris horaria, ex quâ per mensem uniformiter continuatâ Variatio illa menstrua generari posset, est ad $33\second.$ $10\third.$ $33\fourth.$ ut $AZ \times TZ \times \frac{Pp}{PG}$ ad $2ATq.$ id est (cum $Pp$ sit ad $PG$ ut Sinus Inclinationis pr{\ae}dict{\ae} ad Radium, \& $\frac{AZ \times TZ}{AT}$ sit ad $\frac{1}{2}AT$ ut sinus duplicati anguli $ATn$ ad Radium) ut inclinationis ejusdem Sinus ductus in Sinum duplicat{\ae} distanti{\ae} Nodorum ŕ Sole, ad quadruplum quadratum Radii. \textit{Corol.\fsp{}4.}\wsp{}Quoniam inclinationis horaria Variatio, ubi Nodi in Quadraturis versantur, est (per Propositionem superiorem) ad angulum $33\second.$ $10\third.$ $33\fourth.$ ut $IT \times AZ \times TG \times \frac{Pp}{PG}$ ad $AT \opit{cub.}$ id est ut $\frac{IT \times TG}{AT} \times \frac{Pp}{PG}$ ad $AT$; hoc est ut Sinus duplicat{\ae} distanti{\ae} Lun{\ae} ŕ Quadraturis ductus in $\frac{Pp}{PG}$ ad radium duplicatum: summa omnium Variationum horariarum, quo tempore Luna in hoc situ Nodorum transit ŕ Quadratura ad Syzygiam, (id est spatio horarum $177\frac{1}{6}$,) erit ad summam totidem angulorum $33\second.$ $10\third.$ $33\fourth.$ seu $5878\second\frac{1}{2}$, ut summa omnium sinuum duplicat{\ae} distanti{\ae} Lun{\ae} ŕ Quadraturis ducta in $\frac{Pp}{PG}$ ad summam totidem diametrorum; hoc est ut diameter ducta in $\frac{Pp}{PG}$, ad circumferentiam; id est si inclinatio sit 5 \textit{gr.}\ $2\minute$, ut $7 \times \frac{876}{10000}$ ad 22, seu 279 ad 10000. Proindeque Variatio tota, ex summa omnium horariarum Variationum tempore pr{\ae}dicto conflata, est $164\second$, seu $2\minute.$ $44\second.$ % -----File: 448.png--- \condpagelarge{Prop.\ XXXV\@. Prob.\ XV.} \textit{Dato tempore invenire Inclinationem Orbis Lunaris ad planum Ecliptic{\ae}.} \pngright{450.png}{1679}{613}{-24} %Illustration Sit $AD$ Sinus inclinationis maxim{\ae}, \& $AB$ Sinus Inclinationis minim{\ae}. Bisecetur $BD$ in $C$, \& centro $C$, intervallo $BC$, describatur Circulus $BGD$. In $AC$ capiatur $CE$ in ea ratione ad $EB$ quam $EB$ habet ad $2BA$: Et si dato tempore constituatur angulus $AEG$ {\ae}qualis duplicat{\ae} distanti{\ae} Nodorum ŕ Quadraturis, \& ad $AD$ demittatur perpendiculum $GH$: erit $AH$ Sinus inclinationis qu{\ae}sit{\ae}. Nam $GEq.$ {\ae}quale est $GHq. + HEq.$ = $BHD + HEq.$ = $HBD + HEq. - BHq.$ = $HBD + BEq. - 2BH \times BE$ = $BEq. + 2EC \times BH$ = $2EC \times AB + 2EC \times BH$ = $2EC \times AH$. Ideoque cum $2EC$ detur, est $GEq.$ ut $AH$. Designet jam $AEg$ distantiam Nodorum ŕ Quadraturis post datum aliquod momentum temporis completum, \& arcus $Gg$, ob datum angulum $GEg$, erit ut distantia $GE$. Est autem $Hh$ ad $Gg$ ut $GH$ ad $GC$, \& propterea $Hh$ est ut contentum $GH \times Gg$ seu $GH \times GE$; id est ut $\frac{GH}{GE} \times GE \opit{qu.}$ seu $\frac{GH}{GE} \times AH$, id est ut $AH$ \& sinus anguli $AEG$ conjunctim. Igitur si $AH$ in casu aliquo sit Sinus inclinationis, augebitur ea iisdem incrementis cum sinu inclinationis, per Corol.\ 3.\ Propositionis superioris, \& propterea sinui illi {\ae}qualis semper manebit. Sed $AH$ ubi punctum $G$ incidit in punctum alterutrum $B$ vel $D$ huic Sinui {\ae}qualis est, \& propterea eidem semper {\ae}qualis manet. \QEDit % -----File: 449.png--- In hac demonstratione supposui angulum $BEG$, qui distantia est Nodorum ŕ Quadraturis, uniformiter augeri. Nam omnes in{\ae}qualitatum minutias expendere non vacat. Concipe jam angulum $BEG$ rectum esse, \& $Gg$ esse augmentum horarium distanti{\ae} Nodorum \& Solis ab invicem; \& inclinationis Variatio horaria (per Corol.\ 3.\ Prop.\ novissim{\ae}) erit ad $33\second.$ $10\third.$ $33\fourth.$ ut contentum sub inclinationis Sinu $AH$ \& Sinu anguli recti $BEG$, qui est duplicata distantia Nodorum ŕ Sole, ad quadruplum quadratum Radii; id est ut mediocris inclinationis Sinus $AH$ ad radium quadruplicatum; hoc est (cum inclinatio illa mediocris sit quasi 5 \textit{gr.}\ $8\minute\frac{1}{2}.$) ut ejus Sinus 896 ad radium quadruplicatum 40000, sive ut 224 ad 10000. Est autem Variatio tota, Sinuum differenti{\ae} $BD$ respondens, ad variationem illam horariam ut diameter $BD$ ad arcum $Gg$; id est ut diameter $BD$ ad semicircumferentiam $BGD$ \& tempus horarum 2080, quo Nodus pergit ŕ Quadraturis ad Syzygias, ad horam unam conjunctim; hoc est ut 7 ad 11 \& 2080 ad 1. Quare si rationes omnes conjungantur, fiet Variatio tota $BD$ ad $33\second.$ $10\third.$ $33\fourth.$ ut $224 \times 7 \times 2080$ ad 110000, id est ut 2965 ad 100, \& inde Variatio illa $BD$ prodibit $16\minute.$ $24\second$. H{\ae}c est inclinationis Variatio maxima quatenus locus Lun{\ae} in Orbe suo non consideratur. Nam inclinatio, si Nodi in Syzygiis versantur, nil mutatur ex vario situ Lun{\ae}. At si Nodi in Quadraturis consistunt, inclinatio major est ubi Luna versatur in Syzygiis, quŕm ubi ea versatur in Quadraturis, excessu $2\minute.$ $44\second$; uti in Propositionis superioris Corollario quarto indicavimus. Et hujus excessus dimidio $1\minute.$ $22\second$ Variatio tota mediocris $BD$ in Quadraturis Lunaribus diminuta fit $15\minute.$ $2\second$, in ipsius autem Syzygiis aucta fit $17\minute.$ $46\second$. Si Luna igitur in Syzygiis constituatur, Variatio tota, in transitu Nodorum ŕ Quadraturis ad Syzygias, erit $17\minute.$ $46\second.$ adeoque si Inclinatio, ubi Nodi in Syzygiis versantur, sit 5 \textit{gr.}\ $17\minute.$ $46\second.$ eadem, ubi Nodi sunt in Quadraturis, \& Luna in Syzygiis, erit 5 \textit{gr.} Atque h{\ae}c ita se habere confirmatur ex Observationibus. Nam statuunt Astronomi Inclinationem Orbis Lunaris ad planum Ecliptic{\ae}, % -----File: 450.png--- ubi Nodi sunt in Quadraturis \& Luna in oppositione Solis, esse quasi 5 \textit{gr.} Ubi verň Nodi sunt in Syzygiis, eandem docent esse 5 \textit{gr.}\ $17\minute\frac{1}{2}$ vel 5 \textit{gr.}\ $18\minute$. Si jam desideretur Orbis Inclinatio illa, ubi Luna in Syzygiis \& Nodi ubivis versantur; fiat $AB$ ad $AD$ ut Sinus 5 \textit{gr.}\ ad Sinum 5 \textit{gr.}\ $17\minute.$ $46\second$, \& capiatur angulus $AEG$ {\ae}qualis duplicat{\ae} distanti{\ae} Nodorum ŕ Quadraturis; \& erit $AH$ Sinus Inclinationis qu{\ae}sit{\ae}. Huic Orbis Inclinationi {\ae}qualis est ejusdem Inclinatio, ubi Luna distat 90 \textit{gr.}\ ŕ Nodis. Aliis in Lun{\ae} locis in{\ae}qualitas menstrua, quam Inclinationis variatio admittit, in calculo Latitudinis Lun{\ae} compensatur \& quodammodo tollitur per in{\ae}qualitatem menstruam motus Nodorum, (ut supra diximus) adeoque in calculo Latitudinis illius negligi potest. \condpagelarge{\textit{Scholium.}} Hactenus de motibus Lun{\ae} quatenus Excentricitas Orbis non consideratur. Similibus computationibus inveni, quod Apog{\ae}um ubi in Conjunctione vel Oppositione Solis versatur, progreditur singulis diebus $23\minute$ respectu Fixarum; ubi verň in Quadraturis est, regreditur singulis diebus $16\frac{1}{3}$ circiter: quodque ipsius motus medius annuus sit quasi 40 \textit{gr.} Per Tabulas Astronomicas ŕ \textit{Cl.\ Flamstedio} ad Hypothesin \textit{Horroxii} accommodatas, Apog{\ae}um in ipsius Syzygiis progreditur cum motu diurno $24\minute.$ $28\second$, in Quadraturis autem regreditur cum motu diurno $20\minute.$ $12\second$, \& motu medio annuo 40 \textit{gr.}\ $41\minute$ fertur in consequentia. Quod differentia inter motum diurnum progressivum Apog{\ae}i in ipsius Syzygiis, \& motum diurnum regressivum in ipsius Quadraturis, per Tabulas sit $4\minute.$ $16\second$, per computationem verň nostram $6\minute\frac{2}{3}$, vitio Tabularum tribuendum esse % -----File: 451.png--- suspicamur. Sed neque computationem nostram satis accuratam esse putamus. Nam rationem quandam ineundo prodiere Apog{\ae}i motus diurnus progressivus in ipsius Syzygiis, \& motus diurnus regressivus in ipsius Quadraturis, paulo majores. Computationes autem, ut nimis perplexas \& approximationibus impeditas, neque satis accuratas, apponere non lubet. \condpagelarge{Prop.\ XXXVI\@. Prob.\ XVI.} \textit{Invenire vim Solis ad Mare movendum.} Solis vis $ML$ seu $PS$, in Quadraturis Lunaribus, ad perturbandos motus Lunares, erat (per Prop.\ XXV. hujus) ad vim gravitatis apud nos ut 1 ad $638092\decimals{6}$. Et vis $SM - LM$ seu $2PK$ in Syzygiis Lunaribus est duplo major. H{\ae} autem vires, si descendatur ad superficiem Terr{\ae}, diminuuntur in ratione distantiarum ŕ centro Terr{\ae}, id est in ratione $60\frac{1}{2}$ ad 1; adeoque vis prior in superficie Terr{\ae} est ad vim gravitatis ut 1 ad 38604600. Hac vi Mare deprimitur \pngright{451.png}{1486}{775}{-12} %Illustration \noindent in locis qu{\ae} 90 \textit{gr.}\ distant ŕ Sole. Vi alterâ qu{\ae} duplo major est Mare elevatur, \& sub Sole \& in regione Soli opposita. Summa virium est ad vim gravitatis ut 1 ad 12868200. Et quoniam vis eadem eundem ciet motum, sive ea deprimat Aquam in regionibus qu{\ae} 90 \textit{gr.}\ distant ŕ Sole, sive elevet eandem in regionibus sub Sole \& Soli oppositis, h{\ae}c summa erit tota Solis vis ad Mare agitandum; \& eundem habebit effectum ac si tota in regionibus sub Sole \& Soli oppositis mare elevaret, in regionibus autem qu{\ae} 90 \textit{gr.}\ distant ŕ Sole nil ageret. % -----File: 452.png--- \textit{Corol.}\wsp{}Hinc cum vis centrifuga partium Terr{\ae} ŕ diurno Terr{\ae} motu oriunda, qu{\ae} est ad vim gravitatis ut 1 ad 291, efficiat ut altitudo Aqu{\ae} sub {\AE}quatore superet ejus altitudinem sub polis mensura pedum Parisiensium 85200, vis Solaris, de qua egimus, cum sit ad vim gravitatis ut 1 ad 12868200, atque adeo ad vim illam centrifugam ut 291 ad 12868200 seu 1 ad 44221, efficiet ut altitudo aqu{\ae} in regionibus sub Sole \& Soli oppositis superet altitudinem ejus in locis qu{\ae} 90 gradibus distant ŕ Sole, mensura tantum pedis unius Parisiensis \& digitorum undecim. Est enim h{\ae}c mensura ad mensuram pedum 85200 ut 1 ad 44221. \condpagelarge{Prop.\ XXXVII\@. Prob.\ XVII.} \textit{Invenire vim Lun{\ae} ad Mare movendum.} Vis Lun{\ae} ad mare movendum colligenda est ex ejus proportione ad vim Solis, \& h{\ae}c proportio colligenda est ex proportione motuum maris, qui ab his viribus oriuntur. Ante ostium fluvii \textit{Avon{\ae}}, ad lapidem tertium infra \textit{Bristoliam}, tempore verno \& autumnali totus aqu{\ae} ascensus in Conjunctione \& Oppositione Luminarium (observante \textit{Samuele Sturmio}) est pedum plus minus 45, in Quadraturis autem est pedum tantum 25: Altitudo prior ex summa virium, posterior ex earundem differentia oritur. Solis igitur \& Lun{\ae} in {\AE}quatore versantium \& mediocriter ŕ Terra distantium, sunto vires $S$ \& $L$. Et quoniam Luna in Quadraturis, tempore verno \& autumnali extra {\AE}quatorem in declinatione graduum plus minus $23\frac{1}{2}$ versatur, \& Luminaris ab {\AE}quatore declinantis vis ad mare movendum minor sit, idque (quantum sentio) in duplicata ratione Sinus complementi declinationis quam proximč, vis Lun{\ae} in Quadraturis, (cum sinus ille sit ad radium ut 91706 ad 100000) erit $\frac{841}{1000} L$, \& summa virium in Syzygiis erit $L + S$, ac differentia in Quadraturis $\frac{841}{1000} L - S$, adeoque $L + S$ erit ad $\frac{841}{1000} L - S$ ut 45 ad 25 seu 9 ad 5, \& inde $5L + 5S$ {\ae}qualis erit $\frac{7569}{1000} L - 9S$, \& % -----File: 453.png--- $14S$ {\ae}qualis $\frac{2569}{1000} L$, \& propterea $L$ ad $S$ ut 14000 ad 2569 seu $5\frac{7}{15}$ ad 1. In Portu \textit{Plymuthi} {\ae}stus maris (ex observatione \textit{Samuelis Colepressi}) ad pedes plus minus sexdecim, altitudine mediocri attollitur, ac tempore verno \& autumnali altitudo {\ae}stus in Syzygiis Lun{\ae} superare potest altitudinem ejus in Quadraturis pedibus septem vel octo. Si excessus mediocris his temporibus sit pedum septem cum dimidio; {\ae}stus in Syzygiis ascendet ad pedes $19\frac{3}{4}$, in Quadraturis ad pedes $12\frac{1}{4}$, \& sic $L + S$ erit ad $\frac{841}{1000} L - S$ ut $19\frac{3}{4}$ ad $12\frac{1}{4}$, \& inde $L$ ad $S$ ut 734 ad 100 seu $7\frac{1}{3}$ ad 1. Est igitur vis Lun{\ae} ad vim Solis per computationem priorem ut $5\frac{7}{15}$ ad 1, per posteriorem ut $7\frac{1}{3}$ ad 1. Donec aliquid certius ex Observationibus accuratius institutis constiterit, usurpabimus proportionem mediocrem $6\frac{1}{3}$ ad 1. Unde cum vis Solis sit ad vim gravitatis ut 1 ad 12868200, vis Lun{\ae} erit ad vim gravitatis ut 1 ad 2031821. \textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Igitur cum aqua vi Solis agitata ad altitudinem pedis unius \& undecim digitorum ascendat, eadem vi Lun{\ae} ascendet ad altitudinem pedum duodecim. Tanta autem vis ad omnes maris motus excitandos abunde sufficit, \& quantitati motuum probe respondet. Nam in maribus qu{\ae} ab Oriente in Occidentem latč patent, uti in Mari \textit{Pacifico}, \& Maris \textit{Atlantici} \& \textit{{\AE}thiopici} partibus extra Tropicos, aqua attolli solet ad altitudinem pedum sex, novem duodecim vel quindecim. In mari autem \textit{Pacifico}, quod profundius est \& latius patet, {\ae}stus dicuntur esse majores quŕm in \textit{Atlantico} \& \textit{{\AE}thiopico}. Etenim ut plenus sit {\ae}stus, latitudo Maris ab Oriente in Occidentem non minor esse debet quŕm graduum nonaginta. In Mari \textit{{\AE}thiopico}, ascensus aqu{\ae} intra Tropicos minor est quŕm in Zonis temperatis, propter angustiam Maris inter \textit{Africam} \& Australem partem \textit{Americ{\ae}}. In medio Mari aqua nequit ascendere nisi ad littus utrumque \& orientale \& occidentale simul descendat: cum tamen vicibus alternis ad littora illa in Maribus nostris angustis descendere debeat. Ea de causa fluxus \& refluxus in Insulis, qu{\ae} ŕ littoribus longissimč absunt, perexiguus esset solet. In Portubus quibusdam, ubi aqua cum impetu magno per loca % -----File: 454.png--- vadosa, ad Sinus alternis vicibus implendos \& evacuandos, influere \& effluere cogitur, fluxus \& refluxus sunt solito majores, uti ad \textit{Plymuthum} \& pontem \textit{Chepstow{\ae}} in \textit{Anglia}; ad montes \textit{S. Michaelis} \& urbem \textit{Abrincatuorum} (vulgo \textit{Auranches}) in \textit{Normania}; ad \textit{Cambaiam} \& \textit{Pegu} in \textit{India} orientali. His in locis mare, magna cum velocitate accedendo \& recedendo, littora nunc inundat nunc arida relinquit ad multa Milliaria. Neque impetus influendi \& remeandi prius frangi potest, quam aqua attollitur vel deprimitur ad pedes 30, 40 vel 50 \& amplius. Et par est ratio fretorum oblongorum \& vadosorum, uti \textit{Magellanici} \& ejus quo \textit{Anglia} circundatur. {\AE}stus in hujusmodi portubus \& fretis per impetum cursus \& recursus supra modum augetur. Ad littora verň qu{\ae} descensu pr{\ae}cipiti ad mare profundum \& apertum spectant, ubi aqua sine impetu effluendi \& remeandi attolli \& subsidere potest, magnitudo {\ae}stus respondet viribus Solis \& Lun{\ae}. \textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Cum vis Lun{\ae} ad mare movendum sit ad vim gravitatis ut 1 ad 2031821, perspicuum est quod vis illa sit longč minor quŕm qu{\ae} vel in experimentis Pendulorum, vel in Staticis aut Hydrostaticis quibuscunque sentiri possit. In {\ae}stu solo marino h{\ae}c vis sensibilem edit effectum. \textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Quoniam vis Lun{\ae} ad mare movendum est ad Solis vim consimilem ut $6\frac{1}{3}$ ad 1, \& vires ill{\ae} sunt ut densitates corporum Lun{\ae} \& Solis \& cubi diametrorum apparentium conjunctim; erit densitas Lun{\ae} ad densitatem Solis ut $6\frac{1}{3}$ ad 1 directč \& cubus diametri Solis ad cubum diametri Lun{\ae} inversč, id est (cum diametri mediocres apparentes Solis \& Lun{\ae} sint $31\minute.$ $27\second.$ \& $32\minute.$ $12\second.$) ut 34 ad 5. Densitas autem Solis erat ad densitatem Terr{\ae} ut 100 ad 387, \& propterea densitas Lun{\ae} est ad densitatem Terr{\ae} ut 600 ad 387, seu 9 ad 5 quam proximč. Est igitur corpus Lun{\ae} densius \& magis terrestre quŕm Terra nostra. \textit{Corol.\fsp{}4.}\wsp{}Unde cum vera diameter Lun{\ae} sit ad veram diametrum Terr{\ae} ut 1 ad $3\decimals{6\frac{1}{2}}$, erit massa Lun{\ae} ad massam Terr{\ae} ut 1 ad 26 quam proximč. % -----File: 455.png--- \textit{Corol.\fsp{}5.}\wsp{}Et gravitas acceleratrix in superficie Lun{\ae}, erit quasi duplo minor quŕm gravitas acceleratrix in superficie Terr{\ae}. \condpagelarge{Prop.\ XXXVIII\@. Prob.\ XVIII.} \textit{Invenire figuram corporis Lun{\ae}.} Si corpus Lunare fluidum esset ad instar maris nostri, vis Terr{\ae} ad fluidum illud in partibus \& citimis \& ultimis elevandum, esset ad vim Lun{\ae}, qua mare nostrum in partibus \& sub Luna \& Lun{\ae} oppositis attollitur, ut gravitas acceleratrix Lun{\ae} in Terram ad gravitatem acceleratricem Terr{\ae} in Lunam \& diameter Lun{\ae} ad diametrum Terr{\ae} conjunctim; id est ut 26 ad 1 \& 5 ad 18 conjunctim seu 65 ad 9. Unde cum mare nostrum vi Lun{\ae} attollatur ad pedes duodecim, fluidum Lunare vi Terr{\ae} attolli deberet ad pedes fere nonaginta. Eaque de causa figura Lun{\ae} Sph{\ae}rois esset, cujus maxima diameter producta transiret per centrum Terr{\ae}, \& superaret diametros perpendiculares excessu pedum 180. Talem igitur figuram Luna affectat, eamque sub initio induere debuit. \QEIit \textit{Corol.}\wsp{}Inde verň fit ut eadem semper Lun{\ae} facies in Terram obvertatur. In alio enim situ corpus Lunare quiescere non potest, sed ad hunc situm oscillando semper redibit. Attamen oscillationes ob parvitatem virium agitantium essent longč tardissim{\ae}: adeň ut facies illa, qu{\ae} Terram semper respicere deberet, possit alterum orbis Lunaris umbilicum, ob rationem superius allatam respicere, neque statim abinde retrahi \& in Terram converti. \condpagelarge{Lemma I.} \pngright{458.png}{964}{1252}{-24} %Illustration \textit{Si $APEp$ Terram designet uniformiter densam, centroque $C$ \& polis $P$, $p$ \& {\ae}quatore $AE$ delineatam; \& si centro $C$ radio $CP$ describi intelligatur sph{\ae}ra $Pape$; sit autem $QR$ planum, cui recta ŕ centro % -----File: 456.png--- Solis ad centrum Terr{\ae} ducta normaliter insistit; \& Terr{\ae} totius exterioris $PapAPepE$, qu{\ae} Sph{\ae}râ modň descriptâ altior est, particul{\ae} singul{\ae} conantur recedere hinc inde ŕ plano $QR$, sitque conatus particul{\ae} cujusque ut ejusdem distantia ŕ plano: erit vis \& efficacia tota particularum omnium, ad Terram circulariter movendam, quadruplo minor quŕm vis tota particularum totidem in {\AE}quatoris circulo $AE$, uniformiter per totum circuitum in morem annuli dispositarum, ad Terram consimili motu circulari movendam. Et motus iste circularis circa axem in plano $QR$ jacentem, \& axi $Pp$ perpendiculariter insistentem, peragetur.} Sit enim $IK$ circulus minor {\AE}quatori $AE$ parallelus, sitque $L$ particula Terr{\ae} in circulo illo extra globum $Pape$ sita. Et si in planum $QR$ demittatur perpendiculum $LM$, vis tota particul{\ae} illius ad Terram circa ipsius centrum convertendum proportionalis erit eidem $LM$: \& si h{\ae}c vis $LM$ (per Legum Corol.\ 2.)\ distinguatur in vires $LN$, $NM$; efficacia virium $MN$ particularum omnium $L$, in circuitu Terr{\ae} totius extra globum $Pape$ consistentium, ad Terram circa ipsius centrum secundum ordinem literarum $ApEP$ convertendam, erit ad efficaciam virium $LN$ particularum omnium $L$, ad Terram circa ipsius centrum secundum ordinem contrarium earundem literarum convertendam, ut tria ad duo. Ideoque efficacia virium omnium $MN$ erit ad excessum efficaci{\ae} hujus supra efficaciam virium omnium $LN$ ut tria ad unum. Et si particul{\ae} ill{\ae} omnes locarentur in {\AE}quatore, efficacia virium omnium $LN$ evanesceret, \& efficacia virium omnium $MN$ augeretur in ratione quatuor ad tria. Quare excessus ille, qui est efficacia absoluta particularum in locis propriis, est pars quarta efficaci{\ae} particularum earundem in {\AE}quatore. Motus autem {\ae}quinoctiorum % -----File: 457.png--- est ut h{\ae}c efficacia. Singula examinet qui volet. Brevitati consulo. \condpagelarge{Lemma II.} \textit{Motus autem Terr{\ae} totius circa axem illum, ex motibus particularum omnium compositus, erit ad motum annuli circa axem eundem, in ratione composita ex ratione materi{\ae} in Terra ad materiam in annulo, \& ratione trium quadratorum ex arcu quadrantali circuli cujuscunque, ad duo quadrata ex diametro; id est in ratione materi{\ae} ad materiam \& numeri 925275 \& 1000000.} Est enim motus Cylindri circa axem suum immotum revolventis, ad motum Sph{\ae}r{\ae} inscript{\ae} \& simul revolventis, ut qu{\ae}libet quatuor {\ae}qualia quadrata ad tres ex circulis sibi inscriptis: \& motus Cylindri ad motum annuli tenuissimi, Sph{\ae}ram \& Cylindrum ad communem eorum contactum ambientis, ut duplum materi{\ae} in Cylindro ad triplum materi{\ae} in annulo; \& annuli motus iste circa axem Cylindri uniformiter continuatus, ad ejusdem motum uniformem circa diametrum propriam, eodem tempore periodico factum, ut circumferentia circuli ad duplum diametri. \condpagelarge{Lemma III.} \textit{Si annulus, Terra omni reliqua sublata, solus in orbe Terr{\ae} motu annuo circa Solem ferretur, \& interea circa axem suum, ad planum Ecliptic{\ae} in angulo graduum $23\frac{1}{2}$ inclinatum, motu diurno revolveretur: idem foret motus Punctorum {\AE}quinoctialium sive annulus iste fluidus esset, sive is ex materia rigida \& firma constaret.} % -----File: 458.png--- \condpagelarge{Prop.\ XXXIX\@. Prob.\ XIX.} \textit{Invenire Pr{\ae}cessionem {\AE}quinoctiorum.} Motus mediocris horarius Nodorum Lun{\ae} in Orbe circulari, ubi Nodi sunt in Quadraturis, erat $16\second.$ $35\third.$ $16\fourth.$ $36\fifth.$ \& hujus dimidium $8\second.$ $17\third.$ $38\fourth.$ $18\fifth.$ (ob rationes \& supra explicatas) est motus medius horarius Nodorum in tali Orbe; fitque anno toto sidereo 20 \textit{gr.}\ $11\minute.$ $46\second$. Quoniam igitur Nodi Lun{\ae} in tali Orbe conficerent annuatim 20 \textit{gr.}\ $11\minute.$ $46\second.$ in antecedentia; \& si plures essent Lun{\ae} motus Nodorum cujusque, per Corol.\ 16.\ Prop.\ LXVI. Lib.\ I. forent reciprocč ut tempora periodica; \& propterea si Luna spatio diei siderei juxta superficiem Terr{\ae} revolveretur, motus annuus Nodorum foret ad 20 \textit{gr.}\ $11\minute.$ $46\second.$ ut dies sidereus horarum 23.\ $56\minute.$ ad tempus periodicum Lun{\ae} dierum 27.\ 7 hor.\ $43\minute$; id est ut 1436 ad 39343. Et par est ratio Nodorum annuli Lunarum Terram ambientis; sive Lun{\ae} ill{\ae} se mutuň non contingant, sive liquescant \& in annulum continuum formentur, sive denique annulus ille rigescat \& inflexibilis reddatur. \pngright{458.png}{964}{1252}{-24} %Illustration %!!Page reference Fingamus igitur quod annulus iste quoad quantitatem materi{\ae} {\ae}qualis sit Terr{\ae} omni $PapAPepE$, qu{\ae} globo $PapE$ superior est; \& quoniam globus iste est ad Terram illam superiorem ut $aC \opit{qu.}$ ad $AC \opit{qu.} - aC \opit{qu.}$ id est (cum Terr{\ae} diameter minor $PC$ vel $aC$ sit ad diametrum majorem $AC$ ut 689 ad 692) ut 4143 ad 474721 seu 1000 ad 114585; si annulus iste Terram secundum {\ae}quatorem cingeret, \& uterque simul circa diametrum annuli revolveretur, motus annuli esset ad motum globi interioris (per % -----File: 459.png--- hujus Lem.\ II.) ut 4143 ad 474721 \& 1000000 ad 925275 conjunctim, hoc est ut 4143 ad 439248: ideoque motus annuli esset ad summam motuum annuli \& globi, ut 4143 ad 443991. Unde si annulus globo adh{\ae}reat, \& motum suum, quo ipsius Nodi seu puncta {\ae}quinoctialia regrediuntur, cum globo communicet: motus qui restabit in annulo erit ad ipsius motum priorem ut 4143 ad 443391; \& propterea motus punctorum {\ae}quinoctialium diminuetur in eadem ratione. Erit igitur motus annuus punctorum {\ae}quinoctialium corporis ex globo \& annulo compositi, ad motum 20 \textit{gr.}\ $11\minute.$ $46\second$, ut 1436 ad 39343 \& 4143 ad 443391 conjunctim, id est ut 1 ad 2932. Vires autem quibus Nodi Lunarum (ut supra explicui) atque adeň quibus puncta {\ae}quinoctialia annuli regrediuntur (id est vires $3IT$, \textit{in Fig.\ pag.\ \pageref{wasp444}.})\ sunt in singulis particulis ut distanti{\ae} particularum ŕ plano $QR$, \& his viribus particul{\ae} ill{\ae} planum fugiunt; \& propterea (per Lem.\ I.) si materia annuli per totam globi superficiem, in morem figur{\ae} $PapAPepE$, ad superiorem illam Terr{\ae} partem constituendam spargeretur, vis \& efficacia tota particularum omnium ad Terram circa quamvis {\AE}quatoris diametrum rotandam, atque adeo ad movenda puncta {\ae}quinoctialia, evaderet quadruplo minor quŕm prius. Ideoque annuus {\ae}quinoctiorum regressus jam esset ad 20 \textit{gr.}\ $11\minute.$ $46\second.$ ut 1 ad 11728, ac proinde fieret $6\second.$ $12\third.$ $2\fourth$. H{\ae}c est pr{\ae}cessio {\AE}quinoctiorum ŕ vi Solis oriunda. Vis autem Lun{\ae} ad mare movendum erat ad vim Solis ut $6\frac{1}{3}$ ad 1, \& h{\ae}c vis pro quantitate sua augebit etiam pr{\ae}cessionem {\AE}quinoctiorum. Ideoque pr{\ae}cessio illa ex utraque causa oriunda jam fiet major in ratione $7\frac{1}{3}$ ad 1, \& sic erit $45\second.$ $24\third.$ $15\fourth$. Hic est motus punctorum {\ae}quinoctialium ab actionibus Solis \& Lun{\ae} in partes Terr{\ae}, qu{\ae} globo $Pape$ incumbunt, oriundus. Nam Terra ab actionibus illis in globum ipsum exercitis nullam in partem inclinari potest. \pngright{460.png}{1049}{1057}{-12} %Illustration Designet jam $APEp$ corpus Terr{\ae} figurâ Ellipticâ pr{\ae}ditum, \& ex uniformi materiâ constans. Et si distinguatur idem in figuras innumeras Ellipticas concentricas \& consimiles, $APEp$, $BQbq$, % -----File: 460.png--- $CRcr$, $DSds$, \&c.\ quarum diametri sint in progressione Geometrica: quoniam figur{\ae} consimiles sunt, vires Solis \& Lun{\ae}, quibus puncta {\ae}quinoctialia regrediuntur, efficerent ut figurarum reliquarum seorsim spectatarum puncta eadem {\ae}quinoctialia eadem cum velocitate regrederentur. Et par est ratio motus orbium singulorum $AQEq$, $BRbr$, $CScs$, \&c.\ qui sunt figurarum illarum differenti{\ae}. Orbis uniuscujusque, si solus esset, puncta {\ae}quinoctialia eadem cum velocitate regredi deberent. Nec refert utrum orbis quilibet densior sit an rarior, si modň ex materia uniformiter densa confletur. Unde etiam si orbes ad centrum densiores sint quŕm ad circumferentiam, idem erit motus {\ae}quinoctiorum Terr{\ae} totius ac prius; si modo orbis unusquisque seorsim spectatus ex materia uniformiter densa constet, \& figura orbis non mutetur. Quod si figur{\ae} orbium mutentur, Terraque ad {\ae}quatorem $AE$, ob densitatem materi{\ae} ad centrum, jam altius ascendat quŕm prius; regressus {\ae}quinoctiorum ex aucta altitudine augebitur, idque in orbibus singulis seorsim existentibus, in ratione majoris altitudinis materi{\ae} juxta orbis illius {\ae}quatorem; in Terra autem tota in ratione majoris altitudinis materi{\ae} juxta {\ae}quatorem orbis non extimi $AQEq$, non intimi $Gg$, sed mediocris alicujus $CScs$. Terram autem ad centrum densiorem esse, \& propterea sub {\AE}quatore altiorem esse quŕm ad polos in majore ratione quŕm 692 ad 689, in superioribus insinuavimus. Et ratio majoris altitudinis colligi ferč potest ex majore diminutione gravitatis sub {\ae}quatore, quŕm qu{\ae} ex ratione 692 ad 689 consequi debeat. Excessus longitudinis penduli, quod in Insula \textit{Goree} \& in illâ \textit{Cayenn{\ae}} minutis singulis secundis oscillatur, supra longitudinem Penduli quod \textit{Parisiis} eodem tempore oscillatur, ŕ % -----File: 461.png--- \textit{Gallis} inventi sunt pars decima \& pars octava digiti, qui tamen ex proportione 692 ad 689 prodiere $\frac{81}{1000}$ \& $\frac{89}{1000}$. Major est itaque longitudo Penduli \textit{Cayenn{\ae}} quŕm oportet, in ratione $\frac{1}{8}$ ad $\frac{89}{1000}$, seu 1000 ad 712; \& in Insula \textit{Goree} in ratione $\frac{1}{10}$ ad $\frac{81}{1000}$ seu 1000 ad 810. Si sumamus rationem mediocrem 1000 ad 760; minuenda erit gravitas Terr{\ae} ad {\ae}quatorem, \& ibidem augenda ejus altitudo, in ratione 1000 ad 760 quam proximč. Unde motus {\ae}quinoctiorum (ut supra dictum est) auctus in ratione altitudinis Terr{\ae}, non ad orbem extimum, non ad intimum, sed ad intermedium aliquem, id est, non in ratione maxima 1000 ad 760, non in minima 1000 ad 1000, sed in mediocri aliqua, puta 10 ad $8\frac{1}{3}$ vel 6 ad 5, evadet annuatim $54\second.$ $29\third.$ $6\fourth$. Rursus hic motus, ob inclinationem plani {\AE}quatoris ad planum Ecliptic{\ae}, minuendus est, idque in ratione Sinus complementi inclinationis ad Radium. Nam distantia particul{\ae} cujusque terrestris ŕ plano $QR$, quo tempore particula illa ŕ plano Ecliptic{\ae} longissimč distat, in Tropico suo (ut ita dicam) consistens, diminuitur, per inclinationem planorum Ecliptic{\ae} \& {\AE}quatoris ad invicem, in ratione Sinus complementi inclinationis ad Radium. Et in ratione distanti{\ae} illius diminuitur etiam vis particul{\ae} ad {\ae}quinoctia movenda. In eadem quoque ratione diminuitur summa virium particul{\ae} ejusdem, in locis hinc inde ŕ Tropico {\ae}qualiter distantibus: uti ex pr{\ae}demonstratis facilč ostendi possit: \& propterea vis tota particul{\ae} illius, in revolutione integrâ, ad {\ae}quinoctia movenda, ut \& vis tota particularum omnium, \& motus {\ae}quinoctiorum ŕ vi illa oriundus, diminuitur in eadem ratione. Igitur cum inclinatio illa sit $23\frac{1}{2}$ \textit{gr.}\ diminuendus est motus $54\second.$ $29\third.$ in ratione Sinus 91706 (qui sinus est complementi graduum $23\frac{1}{2}$) ad Radium 100000. Qua ratione motus iste jam fiet $49\second.$ $58\third$. Regrediuntur igitur puncta {\ae}quinoctiorum motu annuo (juxta computationem nostram) $49\second.$ $58\third$, fere ut Ph{\ae}nomena c{\oe}lestia requirunt. Nam regressus ille annuus ex observationibus Astronomorum est $50\second$. Descripsimus jam Systema Solis, Terr{\ae} \& Planetarum: superest ut de Com\-et\-is nonnulla adjiciantur. % -----File: 462.png--- \condpagelarge{Lemma IV.} \textit{Cometas esse Lunâ superiores \& in regione Planetarum versari.} Ut defectus Parallaxeos diurn{\ae} extulit Cometas supra regiones sublunares, sic ex Parallaxi annua convincitur eorum descensus in regiones Planetarum. Nam Comet{\ae} qui progrediuntur secundum ordinem signorum sunt omnes, sub exitu apparitionis, aut solito tardiores aut retrogradi, si Terra est inter ipsos \& Solem, at justo celeriores si Terra vergit ad oppositionem. Et č contra, qui pergunt contra ordinem signorum sunt justo celeriores in fine apparitionis, si Terra versatur inter ipsos \& Solem; \& justo tardiores vel retrogradi si Terra sita est ad contrarias partes. Contingit hoc maximč ex motu Terr{\ae} in vario ipsius situ, perinde ut fit in Planetis, qui, pro motu Terr{\ae} vel conspirante vel contrario, nunc retrogradi sunt, nunc tardiůs moveri videntur, nunc verň celeriůs. Si Terra pergit ad eandem partem cum Cometa, \& motu angulari circa Solem celerius fertur, Cometa č Terra spectatus, ob motum suum tardiorem, apparet esse retrogradus; sin Terra tardiůs fertur, motus Comet{\ae}, (detracto motu Terr{\ae}) fit \pngright{462.png}{1330}{987}{-24} %Illustration \noindent saltem tardior. At si Terra pergit in contrarias partes, Cometa exinde velocior apparet. Ex acceleratione autem vel retardatione vel motu retrogrado distantia Comet{\ae} in hunc modum colligitur. Sunto $\aries QA$, $\aries QB$, $\aries QC$ observat{\ae} tres longitudines Comet{\ae}, sub initio motus, sitque $\aries QF$ longitudo ultimň observata, ubi Cometa videri desinit. Agatur recta $ABC$, cujus partes $AB$, $BC$ rectis $QA$ \& % -----File: 463.png--- $QB$, $QB$ \& $QC$ interject{\ae}, sint ad invicem ut tempora inter observationes tres primas. Producatur $AC$ ad $G$, ut sit $AG$ ad $AB$ ut tempus inter observationem primam \& ultimam, ad tempus inter observationem primam \& secundam, \& jungatur $QG$. Et si Cometa moveretur uniformiter in linea recta, atque Terra vel quiesceret, vel etiam in linea recta, uniformi cum motu, progrederetur; foret angulus $\aries QG$ longitudo Comet{\ae} tempore Observationis ultim{\ae}. Angulus igitur $FQG$, qui longitudinum differentia est, oritur ab in{\ae}qualitate motuum Comet{\ae} ac Terr{\ae}. Hic autem angulus, si Terra \& Cometa in contrarias partes moventur, additur angulo $AQG$, \& sic motum apparentem Comet{\ae} velociorem reddit: Sin Cometa pergit in easdem partes cum Terra, eidem subducitur, motumque Comet{\ae} vel tardiorem reddit, vel forte retrogradum; uti modň exposui. Oritur igitur hic angulus pr{\ae}cipuč ex motu Terr{\ae}, \& idcirco pro parallaxi Comet{\ae} meritň habendus est, neglecto videlicet ejus incremento vel decremento nonnullo, quod ŕ Comet{\ae} motu in{\ae}quabili in orbe proprio oriri possit. Distantia \pngright{463.png}{880}{1335}{-24} %Illustration \noindent verň Comet{\ae} ex hac parallaxi sic colligitur. Designet $S$ Solem, $acT$ Orbem magnum, $a$ locum Terr{\ae} in observatione prima, $c$ locum Terr{\ae} in observatione secunda, $T$ locum Terr{\ae} in observatione ultima, \& $T\aries$ lineam rectam versus principium Arietis ductam. Sumatur angulus $\aries TV$ {\ae}qualis angulo $\aries QF$, hoc est {\ae}qualis longitudini Comet{\ae} ubi Terra versatur in $T$. Jungatur $ac$, \& producatur ea ad $g$, ut sit $ag$ ad $ac$ ut $AG$ ad $AC$, \& erit $g$ locus quem Terra tempore observationis ultim{\ae}, motu in recta $ac$ uniformiter continuato, attingeret. Ideoque si ducatur $g\aries$ ipsi $T\aries$ parallela, \& capiatur angulus $\aries gV$ angulo $\aries QG$ {\ae}qualis, erit hic angulus $\aries gV$ % -----File: 464.png--- {\ae}qualis longitudini Comet{\ae} č loco $g$ spectati; \& angulus $TVg$ parallaxis erit, qu{\ae} oritur ŕ translatione Terr{\ae} de loco $g$ in locum $T$: ac proinde $V$ locus erit Comet{\ae} in plano Ecliptic{\ae}. Hic autem locus $V$ orbe Jovis inferior esse solet. Idem colligitur ex curvatura vi{\ae} Cometarum. Pergunt h{\ae}c corpora propemodum in circulis maximis quamdiu moventur celerius; at in fine cursus, ubi motus apparentis pars illa qu{\ae} ŕ parallaxi oritur, majorem habet proportionem ad motum totum apparentem, deflectere solent ab his circulis, \& quoties Terra movetur in unam partem abire in partem contrariam. Oritur h{\ae}c deflexio maximč ex Parallaxi, propterea quod respondet motui Terr{\ae}; \& insignis ejus quantitas meo computo collocavit disparentes Cometas satis longč infra Jovem. Unde consequens est quňd in Perig{\ae}is \& Periheliis, ubi propius adsunt, descendunt s{\ae}pius infra orbes Martis \& inferiorum Planetarum. Confirmatur etiam propinquitas Cometarum ex luce capitum. Nam corporis c{\oe}lestis ŕ Sole illustrati \& in regiones longinquas abeuntis diminuitur splendor in quadruplicata ratione distanti{\ae}: in duplicata ratione videlicet ob auctam corporis distantiam ŕ Sole, \& in alia duplicata ratione ob diminutam diametrum apparentem. Unde si detur \& lucis quantitas \& apparens diameter Comet{\ae}, dabitur distantia, dicendo quod distantia sit ad distantiam Planet{\ae} in ratione integra diametri ad diametrum directč \& ratione dimidiata lucis ad lucem inversč. Sic minima Capillitii Comet{\ae} anni 1682 diameter, per Tubum opticum sexdecim pedum ŕ \textit{Cl.\ Flamstedio} observata \& micrometro mensurata, {\ae}quabat $2\minute.$ $0\second$. Nucleus autem seu stella in medio capitis vix decimam partem latitudinis hujus occupabat, adeoque lata erat tantum $11\second$ vel $12\second$. Luce verň \& claritate capitis superabit caput Comet{\ae} anni 1680, stellasque prim{\ae} vel secund{\ae} magnitudinis {\ae}mulabatur. Ponamus Saturnum cum annulo suo quasi quadruplo lucidiorem fuisse: \& quoniam lux annuli propemodum {\ae}quabat lucem globi intermedii, \& diameter apparens globi sit quasi $21\second$, adeoque lux globi \& annuli % -----File: 465.png--- conjunctim {\ae}quaret lucem globi, cujus diameter esset $30\second$: erit distanti{\ae} Comet{\ae} ad distantiam Saturni ut 1 ad $\surd 4$ inversč, \& $12\second$ ad $30\second$ directč, id est ut 24 ad 30 seu 4 ad 5. Rursus Cometa anni 1665 mense \textit{Aprili}, ut Author est \textit{Hevelius}, claritate sua pene fixas omnes superabat, quinetiam ipsum Saturnum, ratione coloris videlicet longč vividioris. Quippe lucidior erat hic Cometa altero illo, qui in fine anni pr{\ae}cedentis apparuerat \& cum stellis prim{\ae} magnitudinis conferebatur. Latitudo capillitii erat quasi $6\minute$, at nucleus cum Planetis ope Tubi optici collatus, plane minor erat Jove, \& nunc minor corpore intermedio Saturni, nunc ipsi {\ae}qualis judicabatur. Porrň cum diameter Capillitii Cometarum rarň superet $8\minute$ vel $12\minute$, diameter verň Nuclei seu stell{\ae} centralis sit quasi decima vel fortč decima quinta pars diametri capillitii, patet Stellas hasce ut plurimum ejusdem esse apparentis magnitudinis cum Planetis. Unde cum lux eorum cum luce Saturni non rarň conferri possit, eamque aliquando superet; manifestum est quod Comet{\ae} omnes in Periheliis vel infra Saturnum collocandi sint, vel non longe supra. Errant igitur toto c{\oe}lo qui Cometas in regionem Fixarum prope ablegant: qua certč ratione non magis illustrari deberent ŕ Sole nostro, quŕm Planet{\ae}, qui hic sunt, illustrantur ŕ Stellis fixis. H{\ae}c disputavimus non considerando obscurationem Cometarum per fumum illum maximč copiosum \& crassum, quo caput circundatur, quasi per nubem obtusč semper lucens. Nam quanto obscurius redditur corpus per hunc fumum, tanto propius ad Solem accedat necesse est, ut copia lucis ŕ se reflexa Planetas {\ae}muletur. Inde verisimile fit Cometas longe infra Sph{\ae}ram Saturni descendere, uti ex Parallaxi probavimus. Idem verň quam maximč confirmatur ex Caudis. H{\ae} vel ex reflexione fumi sparsi per {\ae}thera, vel ex luce capitis oriuntur. Priore casu minuenda est distantia Cometarum, ne fumus ŕ Capite semper ortus per spatia nimis ampla incredibili cum velocitate \& expansione propagetur. In posteriore referenda est lux omnis tam caud{\ae} quŕm capillitii ad % -----File: 466.png--- Nucleum capitis. Igitur si imaginemur lucem hanc omnem congregari \& intra discum Nuclei coarctari, Nucleus ille jam certč, quoties caudam maximam \& fulgentissimam emittit, Jovem ipsum splendore suo multum superabit. Minore igitur cum diametro apparente plus lucis emittens, multň magis illustrabitur ŕ Sole, adeoque erit Soli multň propior. Quinetiam capita sub Sole delitescentia, \& caudas cum maximas tum fulgentissimas instar trabium ignitarum nonnunquam emittentia, eodem argumento infra orbem Veneris collocari debent. Nam lux illa omnis si in stellam congregari supponatur, ipsam Venerem ne dicam Veneres plures conjunctas quandoque superaret. Idem denique colligitur ex luce capitum crescente in recessu Cometarum ŕ Terra Solem versus, ac decrescente in eorum recessu ŕ Sole versus Terram. Sic enim Cometa posterior Anni 1665 (observante \textit{Hevelio},) ex quo conspici c{\ae}pit, remittebat semper de motu suo, adeoque pr{\ae}terierat Perig{\ae}um; Splendor verň capitis nihilominus indies crescebat, usque dum Cometa radiis Solaribus obtectus desiit apparere. Cometa Anni 1683, observante eodem \textit{Hevelio}, in fine Mensis \textit{Julii} ubi primum conspectus est, tardissimč movebatur, minuta prima 40 vel 45 circiter singulis diebus in orbe suo conficiens. Ex eo tempore motus ejus diurnus perpetuo augebatur usque ad \textit{Sept.~4.}\ quando evasit graduum quasi quinque. Igitur toto hoc tempore Cometa ad Terram appropinquabat. Id quod etiam ex diametro capitis micrometro mensurata colligitur: quippe quam \textit{Hevelius} reperit \textit{Aug.~6.}\ esse tantum $6\minute.$ $5\second$ inclusâ comâ, at \textit{Sept.~2.}\ esse $9\minute.$ $7\second$. Caput igitur initio longe minus apparuit quŕm in fine motus, at initio tamen in vicinia Solis longe lucidius extitit quŕm circa finem, ut refert idem \textit{Hevelius}. Proinde toto hoc tempore, ob recessum ipsius ŕ Sole, quoad lumen decrevit, non obstante accessu ad Terram. Cometa Anni 1618 circa medium Mensis \textit{Decembris}, \& iste Anni 1680 circa finem ejusdem Mensis, celerrimč movebantur, adeoque tunc erant in Perig{\ae}is. Verum splendor maximus capitum contigit ante duas fere % -----File: 467.png--- septimanas, ubi modň exierant de radiis Solaribus; \& splendor maximus caudarum paulo ante, in majore vicinitate Solis. Caput Comet{\ae} prioris, juxta observationes \textit{Cysati}, \textit{Decem.~1.}\ majus videbatur stellis prim{\ae} magnitudinis, \& \textit{Decem.~16.}\ (jam in Perig{\ae}o existens) magnitudine parům, splendore seu claritate luminis plurimum defecerat. \textit{Jan.~7.}\ \textit{Keplerus} de capite incertus finem fecit observandi. Die 12 mensis \textit{Decemb.}\ conspectum \& ŕ \textit{Flamstedio} observatum est caput Comet{\ae} posterioris, in distantia novem graduum ŕ Sole; id quod stell{\ae} terti{\ae} magnitudinis vix concessum fuisset. \textit{Decem.~15 \& 17} apparuit idem ut stella terti{\ae} magnitudinis, diminutum utique splendore Nubium juxta Solem occidentum. \textit{Decem.~26.}\ velocissimč motus, inque Perig{\ae}o propemodum existens, cedebat ori Pegasi, Stell{\ae} terti{\ae} magnitudinis. \textit{Jan.~3.}\ apparebat ut Stella quart{\ae}, \textit{Jan.~9.}\ ut Stella quint{\ae}, \textit{Jan.~13.}\ ob splendorem Lun{\ae} crescentis disparuit. \textit{Jan.~25.}\ vix {\ae}quabat Stellas magnitudinis septim{\ae}. Si sumantur {\ae}qualia ŕ Perig{\ae}o hinc inde tempora, capita qu{\ae} temporibus illis in longinquis regionibus posita, ob {\ae}quales ŕ Terra distantias, {\ae}qualiter lucere debuissent, in plaga Solis maximč splenduere, ex altera Perig{\ae}i parte evanuere. Igitur ex magna lucis in utroque situ differentia concluditur magna Solis \& Comet{\ae} vicinitas in situ priore. Nam lux Cometarum regularis esse solet, \& maxima apparere ubi capita velocissimč moventur, atque adeo sunt in Perig{\ae}is; nisi quatenus ea major est in vicinia Solis. \textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Splendent igitur Comet{\ae} luce Solis ŕ se reflexa. \textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Ex dictis etiam intelligitur cur Comet{\ae} tantopere frequentant regionem Solis. Si cernerentur in regionibus longč ultra Saturnum deberent s{\ae}pius apparere in partibus Soli oppositis. Forent enim Terr{\ae} vicinioris qui in his partibus versarentur, \& Sol interpositus obscuraret c{\ae}teros. Verum percurrendo historias Cometarum reperi quod quadruplo vel quintuplo plures detecti sunt in Hemisph{\ae}rio Solem versus, quŕm in Hemisph{\ae}rio opposito, pr{\ae}ter alios procul dubio non paucos quos lux Solaris obtexit. Nimirum % -----File: 468.png--- in descensu ad regiones nostras neque caudas emittunt, neque adeo illustrantur ŕ Sole, ut nudis oculis se prius detegendos exhibeant, quŕm sint ipso Jove propiores. Spatii autem tantillo intervallo circa Solem descripti pars longč major sita est ŕ latere Terr{\ae} quod Solem respicit; inque parte illa majore Comet{\ae} Soli ut plurimum viciniores magis illuminari solent. \textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Hinc etiam manifestum est, quod c{\oe}li resistentia destituuntur. Nam Comet{\ae} vias obliquas \& nonnunquam cursui Planetarum contrarias secuti, moventur omnifariam liberrimč, \& motus suos etiam contra cursum Planetarum diutissimč conservant. Fallor ni genus Planetarum sint, \& motu perpetuo in orbem redeant. Nam quod Scriptores aliqui Meteora esse volunt, argumentum ŕ capitum perpetuis mutationibus ducentes, fundamento carere videtur. Capita Cometarum Atmosph{\ae}ris ingentibus cinguntur; \& Atmosph{\ae}r{\ae} infernč densiores esse debent. Unde nubes sunt non ipsa Cometarum corpora, in quibus mutationes ill{\ae} visuntur. Sic Terra si č Planetis spectaretur, luce nubium suarum proculdubio splenderet, \& corpus firmum sub nubibus prope delitesceret. Sic cingula Jovis in nubibus Planet{\ae} illius formata, situm mutant inter se, \& firmum Jovis corpus per nubes illas difficilius cernitur. Et multo magis corpora Cometarum sub Atmosph{\ae}ris \& profundioribus \& crassioribus abscondi debent. \condpagelarge{Prop.\ XL\@. Theor.\ XXI.} \textit{Cometas in Sectionibus conicis umbilicos in centro Solis habentibus moveri, \& radiis ad solem ductis areas temporibus proportionales describere.} Patet per Corol.\ 1.\ Prop.\ XIII. Libri primi, collatum cum Prop.\ VIII, XII \& XIII. Libri tertii. \textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Hinc si Comet{\ae} in orbem redeunt, orbes erunt Ellipses, \& tempora periodica erunt ad tempora periodica Planetarum in ratione \label{wasp480}sesquialtera transversorum axium. Ideoque Comet{\ae} maxima % -----File: 469.png--- ex parte supra Planetas versantes, \& eo nomine orbes axibus majoribus describentes, tardius revolventur. Ut si axis orbis Comet{\ae} sit quadruplo major axe orbis Saturni, tempus revolutionis Comet{\ae} erit ad tempus revolutionis Saturni, id est ad annos 30, ut $4\surd 4$ (seu 8) ad 1, ideoque erit annorum 240. \textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Orbes autem erunt Parabolis adeo finitimi, ut eorum vice Parabol{\ae} absque erroribus sensibilibus adhiberi possunt. \textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Et propterea, per Corol.\ 7.\ Prop.\ XVI. Lib.\ I. velocitas Comet{\ae} omnis erit semper ad velocitatem Planet{\ae} cujusvis circa Solem in circulo revolventis, in dimidiata ratione duplicat{\ae} distanti{\ae} Comet{\ae} ŕ centro Solis ad distantiam Planet{\ae} ŕ centro Solis quamproximč. Ponamus radium orbis magni, seu Ellipseos in qua Terra revolvitur semidiametrum transversam, esse partium 100000000, \& Terra motu suo diurno mediocri describet partes 1720212, \& motu horario partes $71675\frac{1}{2}$. Ideoque Cometa in eadem Telluris ŕ Sole distantia mediocri, ea cum velocitate qu{\ae} sit ad velocitatem Telluris ut $\surd 2$ ad 1, describet motu suo diurno partes 2432747, \& motu horario partes $101364\frac{1}{2}$. In majoribus autem vel minoribus distantiis, motus tum diurnus tum horarius erit ad hunc motum diurnum \& horarium in dimidiata ratione distantiarum respectivč, ideoque datur. \condpagelarge{Lemma V.} \textit{Invenire lineam curvam generis Parabolici, qu{\ae} per data quotcunque puncta transibit.} Sunto puncta illa $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$, \&c.\ \& ab iisdem ad rectam quamvis positione datam $HN$ demitte perpendicula quotcunque $AH$, $BI$, $CK$, $DL$, $EM$, $FN$. \pngright{470.png}{1326}{1171}{-12} %Illustration \textit{Cas.\fsp{}1.}\wsp{}Si punctorum $H$, $I$, $K$, $L$, $M$, $N$ {\ae}qualia sunt intervalla $HI$, $IK$, $KL$, \&c.\ collige perpendiculorum $AH$, $BI$, $CK$ \&c.\ differentias primas $b$, $2b$, $3b$, $4b$, $5b$, \&c.\ secundas $c$, % -----File: 470.png--- $2c$, $3c$, $4c$, \&c.\ tertias $d$, $2d$, $3d$, \&c.\ id est, ita ut sit $HA - BI = b$, $BI - CK = 2b$, $CK - DL = 3b$, $DL + EM = 4b$, $- EM + FN = 5b$, \&c.\ dein $b - 2b = c$ \&c.\ \& sic pergatur ad differentiam ultimam, qu{\ae} hic est $f$. Deinde erecta quacunque perpendiculari $RS$, qu{\ae} fuerit ordinatim applicata ad curvam qu{\ae}sitam: ut inveniatur hujus longitudo, pone intervalla $HI$, $IK$, $KL$, $LM$, \&c.\ unitates esse, \& dic $AH = a$, $- HS = p$, $\frac{1}{2}p$ in $- IS = q$, $\frac{1}{3}q$ in $+ SK = r$, $\frac{1}{4}r$ in $+ SL = s$, $\frac{1}{5}s$ in $+ SM = t$; pergendo videlicet ad usque penultimum perpendiculum $ME$, \& pr{\ae}ponendo signa negativa terminis $HS$, $IS$, \&c.\ qui jacent ad partes puncti $S$ versus $A$, \& signa affirmativa terminis $SK$, $SL$, \&c.\ qui jacent ad alteras partes puncti $S$. Et signis probe observatis erit $RS = a + bp + cq + dr + es + ft$ \&c. \textit{Cas.\fsp{}2.}\wsp{}Quod si punctorum $H$, $I$, $K$, $L$, \&c.\ in{\ae}qualia sint intervalla $HI$, $IK$, \&c.\ collige perpendiculorum $AH$, $BI$, $CK$, \&c.\ differentias primas per intervalla perpendiculorum divisas $b$, $2b$, $3b$, $4b$, $5b$; secundas per intervalla bina divisas $c$, $2c$, $3c$, $4c$, \&c.\ tertias per intervalla terna divisas $d$, $2d$, $3d$, \&c.\ quartas per intervalla quaterna divisas $e$, $2e$, \&c.\ \& sic deinceps; id est ita ut sit $b = \frac{AH - BI}{HI}$, $2b = \frac{BI - CK}{IK}$, $3b = \frac{CK - DL}{KL}$ \&c.\ dein $c = \frac{b - 2b}{HK}$, $2c = \frac{2b - 3b}{IL}$, $3c = \frac{3b - 4b}{KM}$ \&c. Postea $d = \frac{c - 2c}{HL}$, $2d = \frac{2c - 3c}{IM}$ \&c. Inventis differentiis, dic $AH = a$, $- HS = p$, $p$ in $- IS = q$, $q$ in $+ SK = r$, $r$ in \label{wasp482}$+ SL = s$, $s$ in $+ SM = t$; pergendo scilicet ad usque perpendiculum penultimum $ME$, \& erit ordinatim applicata $RS = a + bp + cq + dr + es + ft$, \&c. \textit{Corol.}\wsp{}Hinc are{\ae} curvarum omnium inveniri possunt quamproximč. Nam si curv{\ae} cujusvis quadrand{\ae} inveniantur puncta aliquot, % -----File: 471.png--- \& Parabola per eadem duci intelligatur: erit area Parabol{\ae} hujus eadem quam proximč cum area curv{\ae} illius quadrand{\ae}. Potest autem Parabola per Methodos notissimas semper quadrari Geometricč. \condpagelarge{Lemma VI.} \textit{Ex observatis aliquot locis Comet{\ae} invenire locum ejus ad tempus quodvis intermedium datum.} Designent $HI$, $IK$, $KL$, $LM$ tempora inter observationes, (\textit{in Fig.\ pr{\ae}ced.})\ $HA$, $IB$, $KC$, $LD$, $ME$, observatas quinque longitudines Comet{\ae}, $HS$ tempus datum inter observationem primam \& longitudinem qu{\ae}sitam. Et si per puncta $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ duci intelligatur curva regularis $ABCDE$; \& per Lemma superius inveniatur ejus ordinatim applicata $RS$, erit $RS$ longitudo qu{\ae}sita. Eadem methodo ex observatis quinque latitudinibus invenitur latitudo ad tempus datum. Si longitudinum observatarum parv{\ae} sint differenti{\ae}, puta graduum tantum 4 vel 5; suffecerint observationes tres vel quatuor ad inveniendam longitudinem \& latitudinem novam. Sin majores sint differenti{\ae}, puta graduum 10 vel 20, debebunt observationes quinque adhiberi. % -----File: 472.png--- \condpagelarge{Lemma VII.} \pngright{472.png}{922}{920}{-24} %Illustration \textit{Per datum punctum $P$ ducere rectam lineam $BC$, cujus partes $PB$, $PC$, rectis duabus positione datis $AB$, $AC$ absciss{\ae}, datam habeant rationem ad invicem.} A puncto illo $P$ ad rectarum alterutram $AB$ ducatur recta qu{\ae}vis $PD$, \& producatur eadem versus rectam alteram $AC$ usque ad $E$, ut sit $PE$ ad $PD$ in data illa ratione. Ipsi $AD$ parallela sit $EC$; \& si agatur $CPB$, erit $PC$ ad $PB$ ut $PE$ ad $PD$. \QEFit \condpagelarge{Lemma VIII.} \textit{Sit $ABC$ Parabola umbilicum habens $S$. Chordâ $AC$ bisectâ in $I$ abscindatur segmentum $ABCI$, cujus diameter sit $I\mu$ \& vertex $\mu$. In $I\mu$ productâ capiatur $\mu O$ {\ae}qualis dimidio ipsius $I\mu$. Jungatur $OS$, \& producatur ea ad $\xi$, ut sit $S\xi$ {\ae}qualis $2SO$. Et si Cometa $B$ moveatur in arcu $CBA$, \& agatur $\xi B$ secans $AC$ in $E$: dico quod punctum $E$ abscindet % -----File: 473.png--- de chorda $AC$ segmentum $AE$ tempori proportionale quamproximč.} \pngcent{474.png}{2266}{1192} %Illustration Jungatur enim $EO$ secans arcum Parabolicum $ABC$ in $Y$, \& erit area curvilinea $AEY$ ad aream curvilineam $ACY$ ut $AE$ ad $AC$ quamproximč. Ideoque cum triangulum $ASE$ sit ad triangulum $ASC$ in eadem ratione, erit area tota $ASEY$ ad aream totam $ASCY$ ut $AE$ ad $AC$ quamproximč. Cum autem $\xi O$ sit ad $SO$ ut 3 ad 1 \& $EO$ ad $YO$ prope in eadem ratione, erit $SY$ ipsi $EB$ parallela quamproximč, \& propterea triangulum $SEB$, triangulo $YEB$ quamproximč {\ae}quale. Unde si ad aream $ASEY$ addatur triangulum $EYB$, \& de summa auferatur triangulum $SEB$, manebit area $ASBY$ are{\ae} $ASEY$ {\ae}qualis quamproximč, atque adeo ad aream $ASCY$ ut $AE$ ad $AC$. Sed area $ASBY$ est ad aream $ASCY$ ut tempus descripti arcus $AB$ ad tempus descripti arcus totius. Ideoque $AE$ est ad $AC$ in ratione temporum quamproximč. \QEDit \condpagelarge{Lemma IX.} \textit{Rect{\ae} $I\mu$ \& $\mu M$ \& longitudo $\frac{AIC}{4S\mu}$ {\ae}quantur inter se. Nam $4S\mu$ est latus rectum Parabol{\ae} pertinens ad verticem $B$.} \condpagelarge{Lemma X.} \textit{Si producatur $S\mu$ ad $N$ \& $P$, ut $\mu N$ sit pars tertia ipsius $\mu I$, \& $SP$ sit ad $SN$ ut $SN$ ad $S\mu$. Cometa quo tempore describit arcum $A\mu C$, si progrederetur ea semper cum velocitate quam habet in altitudine ipsi $SP$ {\ae}quali, describeret longitudinem {\ae}qualem chord{\ae} $AC$.} Nam si velocitate quam habet in $\mu$, eodem tempore progrediatur uniformiter in recta qu{\ae} Parabolam tangit in $\mu$; area quam Radio ad punctum $S$ ducto describeret, {\ae}qualis esset are{\ae} Parabolic{\ae} $ASC\mu$. Ideoque contentum sub longitudine in Tangente descripta % -----File: 474.png--- \& longitudine $S\mu$, esset ad contentum sub longitudinibus $AC$ \& $SM$, ut area $ASC\mu$ ad triangulum $ASCM$, id est ut $SN$ ad $SM$. Quare $AC$ est ad longitudinem in tangente descriptam ut $S\mu$ ad $SN$. Cum autem velocitas Comet{\ae} in altitudine $SP$ sit ad velocitatem in altitudine $S\mu$ in dimidiata ratione $SP$ ad $S\mu$ inversč, id est in ratione $S\mu$ ad $SN$, longitudo hac velocitate eodem tempore descripta, erit ad longitudinem in Tangente descriptam ut $S\mu$ ad $SN$. Igitur $AC$ \& longitudo hac nova velocitate descripta, cum sint ad longitudinem in Tangente descriptam in eadem ratione, {\ae}quantur inter se. \QEDit \textit{Corol.}\wsp{}Cometa igitur ea cum velocitate, quam habet in altitudine $S\mu + \frac{2}{3}I\mu$, eodem tempore describeret chordam $AC$ quamproximč. \condpagelarge{Lemma XI.} \textit{Si Cometa motu omni privatus de altitudine $SN$ seu $S\mu + \frac{1}{3}I\mu$ demitteretur, ut caderet in Solem, \& ea semper vi uniformiter continuata urgeretur in Solem qua urgetur sub initio; idem tempore in orbe suo describat arcum $AC$, descensu suo describeret spatium longitudini $I\mu$ {\ae}quale.} Nam Cometa quo tempore describat arcum Parabolicum $AC$, eodem tempore ea cum velocitate quam habet in altitudine $SP$ (per % -----File: 475.png--- Lemma novissimum) describet chordam $AC$, adeoque eodem tempore in circulo cujus semidiameter esset $SP$ revolvendo, describeret arcum cujus longitudo esset ad arcus Parabolici chordam $AC$ in dimidiata ratione unius ad duo. Et propterea eo cum pondere quod habet in Solem in altitudine $SP$, cadendo de altitudine illa in Solem, describeret eodem tempore (per Scholium Prop.\ IV. Lib.\ I.) spatium {\ae}quale quadrato semissis chord{\ae} illius applicato ad quadruplum altitudinis $SP$, id est spatium $\frac{AIq.}{4SP}$. Unde cum pondus Comet{\ae} in Solem in altitudine $SN$ sit ad ipsius pondus in Solem in altitudine $SP$, ut $SP$ ad $S\mu$: Cometa pondere quod habet in altitudine $SN$ eodem tempore, in Solem cadendo, describet spatium $\frac{AIq.}{4S\mu}$, id est spatium longitudini $I\mu$ vel $M\mu$ {\ae}quale. \QEDit \condpagelarge{Prop.\ XLI\@. Prob.\ XX.} \textit{Comet{\ae} in Parabola moventis Trajectoriam ex datis tribus observationibus determinare.} Problema hocce longe difficillimum multimodč aggressus, composui Problemata qu{\ae}dam in Libro primo qu{\ae} ad ejus solutionem spectant. Postea solutionem sequentem paulň simpliciorem excogitavi. Seligantur tres observationes {\ae}qualibus temporum intervallis ab invicem quamproximč distantes. Sit autem temporis intervallum illud ubi Cometa tard\-ius movetur paulo majus altero, ita videlicet ut temporum differentia sit ad summam temporum ut summa \label{wasp487}temporum ad dies plus minus sexcentos. Si tales observationes non pr{\ae}sto sint, inveniendus est novus Comet{\ae} locus per Lemma sextum. \pngcent{476.png}{2385}{2116} %Illustration Designent $S$ Solem, $T$, $t$, $\tau$ tria loca Terr{\ae} in orbe magno, $TA$, $tB$, $\tau C$ observatas tres longitudines Comet{\ae}, $V$ tempus inter observationem primam \& secundam, $W$ tempus inter secundam ac % -----File: 476.png--- tertiam, $X$ longitudinem quam Cometa toto illo tempore ea cum velocitate quam habet in mediocri Telluris ŕ Sole distantia, describere posset, \& $tV$ perpendiculum in chordam $T\tau$. In longitudine media $tB$ sumatur utcunque punctum $B$, \& inde versus Solem $S$ ducatur linea $BE$, qu{\ae} sit ad Sagittam $tV$, ut contentum sub $SB$ \& $St$ quadrato ad cubum hypotenus{\ae} trianguli rectanguli, cujus latera sunt $SB$ \& tangens latitudinis Comet{\ae} in observatione secunda ad radium $tB$. Et per punctum $E$ agatur recta $AEC$, cujus partes $AE$, $EC$ ad rectas $TA$ \& $\tau C$ terminat{\ae}, sint ad invicem ut tempora $V$ \& $W$: Tum per puncta $A$, $B$, $C$, duc circumferentiam circuli, eamque biseca in $i$, ut \& chordam $AC$ in $I$. Age occultam $Si$ secantem $AC$ in $\lambda$, \& comple parallelogrammum $iI\lambda\mu$. Cape $I\sigma$ {\ae}qualem $3I\lambda$, \& per Solem $S$ age occultam $\sigma\xi$ {\ae}qualem $3S\sigma + 3i\lambda$. Et deletis jam literis $A$, $E$, $C$, $I$, ŕ puncto $B$ versus punctum $\xi$ duc occultam % -----File: 477.png--- novam $BE$, qu{\ae} sit ad priorem $BE$ in duplicata ratione distanti{\ae} $BS$ ad quantitatem $S\mu + \frac{1}{3}i\lambda$. Et per punctum $E$ iterum duc rectam $AEC$ eadem lege ac prius, id est, ita ut ejus partes $AE$ \& $EC$ sint ad invicem ut tempora inter observationes, $V$ \& $W$. Ad $AC$ bisectam in $I$ erigantur perpendicula $AM$, $CN$, $IO$, quarum $AM$ \& $CN$ sint tangentes latitudinum in observatione prima ac tertia ad radios $TA$ \& $\tau\alpha$. Jungatur $MN$ secans $IO$ in $O$. Constituatur rectangulum $iI\lambda\mu$ ut prius. In $IA$ producta capiatur $ID$ {\ae}qualis $S\mu + \frac{2}{3}i\lambda$, \& agatur occulta $OD$. Deinde in $MN$ versus $N$ capiatur $MP$, qu{\ae} sit ad longitudinem supra inventam $X$ in dimidiata ratione mediocris distanti{\ae} Telluris ŕ Sole (seu semidiametri orbis magni) ad distantiam $OD$. Et in $AC$ capiatur $CG$ ipsi $NP$ {\ae}qualis, ita ut puncta $G$ \& $P$ ad easdem partes rect{\ae} $NC$ jaceant. Eadem methodo qua puncta $E$, $A$, $C$, $G$, ex assumpto puncto $B$ inventa sunt, inveniantur ex assumptis utcunque punctis aliis $b$ \& $\beta$ puncta nova $e$, $a$, $c$, $g$, \& $\epsilon$, $\alpha$, $\kappa$, $\gamma$. Deinde si per $G$, $g$, $\gamma$ ducatur circumferentia circuli $Gg\gamma$ secans rectam $\tau C$ in $Z$: erit $Z$ locus Comet{\ae} in plano Ecliptic{\ae}. Et si in $AC$, $ac$, $\alpha\kappa$ capiantur $AF$, $af$, $\alpha\varphi$ ipsis $CG$, $cg$, $\kappa\gamma$ respectivč {\ae}quales, \& per puncta $F$, $f$, $\varphi$ ducatur circumferentia circuli $Ff\varphi$ secans rectam $AT$ in $X$; erit punctum $X$ alius Comet{\ae} locus in plano Ecliptic{\ae}. Ad puncta $X$ \& $Z$ erigantur tangentes latitudinum Comet{\ae} ad radios $TX$ \& $\tau Z$; \& habebuntur loca duo Comet{\ae} in orbe proprio. Denique (per Prop.\ XIX. Lib.\ I.) umbilico $S$, per loca illa duo describatur Parabola, \& h{\ae}c erit Trajectoria Comet{\ae}. \QEIit Constructionis hujus demonstratio ex Lemmatibus consequitur: quippe cum recta $AC$ secetur in $E$ in ratione temporum, per Lemma VIII: \& $BE$ per Lem.\ XI. sit pars rect{\ae} $BS$ in plano Ecliptic{\ae} arcui $ABC$ \& chord{\ae} $AEG$ interjecta; \& $MP$ (per Lem.\ VIII.) longitudo sit chord{\ae} arcus, quem Cometa in orbe proprio inter observationem primam ac tertiam describere debet, ideoque ipsi $MN$ {\ae}qualis fuerit, si modň $B$ sit verus Comet{\ae} locus in plano Ecliptic{\ae}. % -----File: 478.png--- C{\ae}terum puncta $B$, $b$, $\beta$ non qu{\ae}libet, sed vero proxima eligere convenit. Si angulus $AQt$ in quo vestigium orbis in plano Ecliptic{\ae} descriptum secabit rectam $tB$ pr{\ae}terpropter innotescat, in angulo illo ducenda erit recta occulta $AC$, qu{\ae} sit ad $\frac{4}{3}Tt$ in dimidiata ratione $St$ ad $SQ$. Et agendo rectam $SEB$ cujus pars $EB$ {\ae}quetur longitudini $Vt$, determinabitur punctum $B$ quod prima vice usurpare licet. Tum rectâ $AC$ deletâ \& secundum pr{\ae}cedentem constructionem iterum ductâ, \& inventâ insuper longitudine $MP$; in $tB$ capiatur punctum $b$, ea lege, ut si $TA$, $TC$ se mutuň secuerint in $Y$, sit distantia $Yb$ ad distantiam $YB$ in ratione composita ex ratione $MN$ ad $MP$ \& ratione dimidiata $SB$ ad $Sb$. Et eadem methodo inveniendum erit punctum tertium $\beta$; si modň operationem tertiň repetere lubet. Sed hac methodo operationes du{\ae} ut plurimum suffecerint. Nam si distantia $Bb$ perexigua obvenerit, postquam inventa sunt puncta $F$, $f$ \& $G$, $g$, act{\ae} rect{\ae} $Ff$ \& $Gg$, secabunt $TA$ \& $\tau C$ in punctis qu{\ae}sitis $X$ \& $Z$. \condpagelarge{\textit{Exemplum.}} Proponatur Cometa anni 1680. Hujus motum ŕ \textit{Flamstedio} observatum Tabula sequens exhibet. \vspace{\baselineskip} \noindent\begin{tabular}{@{}r|r|r|r|r|r|} &Tem. &Temp. & Long. & Long. &Lat. \\ &appar.&ver\={u} & Solis &Comet{\ae}&Comet{\ae} \\ \hline 1680 \textit{December} 12& $4.46\phantom{\frac{1}{2}}$ & 4.46.00 &$\capricornus$ \phantom{0}1.53.\phantom{0}2 &$\capricornus$ \phantom{0}6.33.\phantom{0}0& 8.26.\phantom{0}0 \\ 21& $6.32\frac{1}{2}$& 6.36.59 & 11.\phantom{0}8.10 &$\aquarius$ \phantom{0}5.\phantom{0}7.38& 21.45.30 \\ 24& $6.12\phantom{\frac{1}{2}}$ & 6.17.52 & 14.10.49 & 18.49.10& 25.23.24 \\ 26& $5.14\phantom{\frac{1}{2}}$ & 5.20.44 & 16.10.38 & 28.24.\phantom{0}6& 27.00.57 \\ 29& $7.55\phantom{\frac{1}{2}}$ & 8.03.\phantom{0}2 & 19.20.56 &$\pisces$ 13.11.45& 28.10.05 \\ 30& $8.\phantom{0}2\phantom{\frac{1}{2}}$ & 8.10.26 & 20.22.20 & 17.37.\phantom{0}5& 28.11.12 \\ 1681 \textit{January} \phantom{0}5& $5.51\phantom{\frac{1}{2}}$ & 6.\phantom{0}1.38 & 26.23.19 &$\aries$ \phantom{0}8.49.10& 26.15.26 \\ 9& $6.49\phantom{\frac{1}{2}}$ & 7.\phantom{0}0.53 &$\aquarius$ \phantom{0}0.29.54 & 18.43.18& 24.12.42 \\ 10& $5.54\phantom{\frac{1}{2}}$ & 6.\phantom{0}6.10 & 1.28.34 & 20.40.57& 23.44.00 \\ 13& $6.56\phantom{\frac{1}{2}}$ & 7.\phantom{0}8.55 & 4.34.\phantom{0}6 & 25.59.34& 22.17.36 \\ 25& $7.44\phantom{\frac{1}{2}}$ & 7.58.42 & 16.45.58 &$\taurus$ \phantom{0}9.55.48& 17.56.54 \\ 30& $8.07\phantom{\frac{1}{2}}$ & 8.21.53 & 21.50.\phantom{0}9 &$\taurus$ 13.19.36& 16.40.57 \\ \textit{February} \phantom{0}2& $6.20\phantom{\frac{1}{2}}$ & 6.34.51 & 24.47.\phantom{0}4 & 15.13.48& 16.02.02 \\ 5& $6.50\phantom{\frac{1}{2}}$ & 7.\phantom{0}4.41 & 27.49.51 & 16.59.52& 15.27.23 \\ \hline \end{tabular} \vspace{\baselineskip} % -----File: 479.png--- In his observationibus \textit{Flamstedius} eâ usus est diligentiâ, ut postquam bis observasset distantiam Comet{\ae} ŕ Stella aliqua fixa, deinde etiam distantiam bis ab alia stella fixa, rediret ad stellam priorem \& distantiam Comet{\ae} ab eadem iterum observaret, idque bis, ac deinde ex distanti{\ae} illius incremento vel decremento tempori proportionali colligeret distantiam tempore intermedio, quando distantia ŕ stella altera observabatur. Ex hujusmodi observationibus loca Comet{\ae} festinanter computata \textit{Flamstedius} primň cum amicis communicavit, \& postea easdem ad examen revocatas calculo diligentiore correxit. Nos loca correcta hic descripsimus. \begin{center}{His adde observationes quasdam č nostris.}\end{center} \begin{tabular}{@{}r|r|r|r|} & Temp. & & \\ & appar. &Comet{\ae} Longit.&Com.\ Lat. \\ \hline Febru.\ 25& 8$^\mathrm{h}$.$30\minute$&$\taurus$ 26.$19\minute.22\second$& $12.46\frac{7}{8}$ \\ 27& 8\phantom{$^\mathrm{h}$}.$15\phantom{\minute}$ & $27.\phantom{0}4\phantom{\minute}.28\phantom{\second}$ & $12.36\phantom{\frac{7}{8}}$ \\ Mart.\ \phantom{0}1& 11\phantom{$^\mathrm{h}$}.$\phantom{0}0\phantom{\minute}$ & $27.53\phantom{\minute}.\phantom{0}8\phantom{\second}$ & $12.24\frac{3}{4}$ \\ 2& 8\phantom{$^\mathrm{h}$}.$\phantom{0}0\phantom{\minute}$ & $28.12\phantom{\minute}.29\phantom{\second}$ & $12.19\frac{1}{2}$ \\ 5& 11\phantom{$^\mathrm{h}$}.$30\phantom{\minute}$ & $29.20\phantom{\minute}.51\phantom{\second}$ & $12.\phantom{0}2\frac{2}{3}$ \\ 9& 8\phantom{$^\mathrm{h}$}.$30\phantom{\minute}$ &$\gemini$ $\phantom{0}0.43.\phantom{\minute}\phantom{0}2\phantom{\second}$ & $11.44\frac{3}{5}$ \end{tabular} \vspace{\baselineskip} H{\ae} observationes Telescopio septupedali, \& Micrometro filisque in foco Telescopii locatis paract{\ae} sunt: quibus instrumentis \& positiones fixarum inter se \& positiones Comet{\ae} ad fixas determinavimus. Designet $A$ stellam in sinistro calcaneo Persei (\textit{Bayero} $o$) $B$ stellam sequentem in sinistro pede (\textit{Bayero} $\zeta$) \& $C$, $D$, $E$, $F$, $G$, $H$, $I$, $K$, $L$, $M$, $N$ stellas alias minores in eodem pede. Sintque $P$, $Q$, $R$, $S$, $T$ loca Comet{\ae} in observationibus supra descriptis: \& existente distantiâ $AB$ partium $80\frac{7}{12}$, erat $AC$ partium $52\frac{1}{4}$, $BC$ $58\frac{5}{6}$, $AD$ $57\frac{5}{12}$, $BD$ $82\frac{6}{11}$, $CD$ $23\frac{2}{3}$, $AE$ $29\frac{4}{7}$, $CE$ $57\frac{1}{2}$, $DE$ $49\frac{11}{12}$, $AK$ $38\frac{2}{3}$, $BK$ 43, $CK$ $31\frac{5}{9}$, $FK$ 29, $FB$ 23, $FC$ $36\frac{1}{4}$, $AH$ $18\frac{6}{7}$, $DH$ $53\frac{5}{11}$, $BN$ $46\frac{5}{12}$, $CN$ $31\frac{1}{3}$, $BL$ $45\frac{5}{12}$, $NL$ $31\frac{5}{7}$. $LM$ erat ad $LB$ ut 2 ad 9 \& producta transibat per stellam $H$. His determinabantur positiones fixarum inter se. % -----File: 480.png--- \pngcent{480.png}{2140}{1464} %Illustration Die Veneris \textit{Feb.~25.}\ St.\ vet.\ Hor.\ $8\frac{1}{2}$ P.M. Comet{\ae} in $p$ existentis distantia ŕ stella $E$ erat major quŕm $\frac{3}{13} AE$, minor quŕm $\frac{1}{5} AE$, adeoque {\ae}qualis $\frac{3}{14} AE$ proximč; \& angulus $ApE$ nonnihil obtusus erat, sed fere rectus. Nempe si demitteretur ad $pE$ perpendiculum ab $A$, distantia Comet{\ae} ŕ perpendiculo illo erat $\frac{1}{5} pE$. Eadem nocte, horâ $9\frac{1}{2}$, Comet{\ae} in $P$ existentis distantia ŕ stella $E$ erat major quŕm $\frac{1}{4\frac{1}{2}} AE$, minor quŕm $\frac{1}{5\frac{1}{4}} AE$, adeoque {\ae}qualis $\frac{1}{4\frac{7}{8}} AE$, seu $\frac{8}{39} AE$ quamproximč. A perpendiculo autem ŕ Stella $A$ ad rectam $PE$ demisso distantia Comet{\ae} erat $\frac{4}{5} PE$. Die $\mars^{\mathrm{tis}}$, \textit{Mart.~1}, hor.\ 11.\ P.M. Cometa in $R$ existens, stellis $K$ \& $C$ accuratč interjacebat, \& rect{\ae} $CRK$ pars $CR$ paulo major erat quŕm $\frac{1}{3} CK$, \& paulo minor quam $\frac{1}{3} CK$ + $\frac{1}{8} CR$, adeoque {\ae}qualis $\frac{1}{3} CK + \frac{1}{16} CR$ seu $\frac{16}{45} CK$. %reduced width \pngcent{481.png}{3200}{2350} %Illustration Die $\mercury^{\mathrm{ii}}$, \textit{Mart.~2.}\ hor.\ 8.\ P.M. Comet{\ae} existentis in $S$, distantia ŕ stella $C$ erat $\frac{4}{9} FC$ quamproximč. Distantia stell{\ae} $F$ ŕ recta $CS$ producta erat $\frac{1}{24} FC$; \& distantia stell{\ae} $B$ ab eadem recta erat quintuplo major quŕm distantia stell{\ae} $F$. Item recta $NS$ producta % -----File: 482.png--- transibat inter stellas $H$ \& $I$, quintuplo vel sextuplo propior existens stell{\ae} $H$ quŕm stell{\ae} $I$. Die $\saturn^{\textrm{ni}}$, \textit{Mart.~5.}\ hor.\ $11\frac{1}{2}$. P.M. Cometa existente in $T$, recta $MT$ {\ae}qualis erat $\frac{1}{2}ML$, \& recta $LT$ producta transibat inter $B$ \& $F$, quadruplo vel quintuplo propior $F$ quŕm $B$, auferens ŕ $BF$ quintam vel sextam ejus partem versus $F$. Et $MT$ producta transibat extra spatium $BF$ ad partes stell{\ae} $B$, quadruplo propior existens stell{\ae} $B$ quam stell{\ae} $F$. Erat $M$ stella perexigua qu{\ae} per Telescopium videri vix potuit, \& $L$ stella major quasi magnitudinis octav{\ae}. Ex hujusmodi observationibus per constructiones figurarum \& computationes (posito quod stellarum $A$ \& $B$ distantia esset 2 \textit{gr.}\ $6\frac{4}{5}$, \& stell{\ae} $A$ longitudo $\taurus$ 26 \textit{gr.}\ $41\minute.$ $48\second$ \& latitudo borealis 12 \textit{gr.}\ $8\minute\frac{1}{2}$, stell{\ae}que $B$ longitudo $\taurus$ 28 \textit{gr.}\ $40\minute.$ $16\second.$ \& latitudo borealis 11 \textit{gr.}\ $17\frac{1}{5}$; quemadmodum ŕ \textit{Flamstedio} observatas accepi) derivabam longitudines \& latitudines Comet{\ae}. Micrometro parum affabre constructâ usus sum, sed Longitudinum tamen \& Latitudinum errores (quatenus ab observationibus nostris oriantur) dimidium minuti unius primi vix superant, pr{\ae}terquam in observatione ultimâ \textit{Mart.~9.}\ ubi positiones fixarum ad stellas $A$ \& $B$ minus accuratč determinare potui. \textit{Cassinus} qui Cometam eodem tempore observavit, se declinationem ejus tanquam invariatam manentem parum diligenter definivisse fassus est. Nam Cometa (juxta observationes nostras) in fine motus sui notabiliter deflectere c{\ae}pit boream versus, ŕ parallelo quem in fine Mensis \textit{Februarii} tenuerat. Jam ad Orbem Comet{\ae} determinandum; selegi ex observationibus hactenus descriptis tres, quas \textit{Flamstedius} habuit \textit{Dec.~21}, \textit{Jan.~5}, \& \textit{Jan.~25}. Ex his inveni $St$ partium $9842\decimals{1}$ \& $Vt$ partium 455, quales 10000 sunt semidiameter orbis magni. Tum ad operationem primam assumendo $tB$ partium 5657, inveni $SB$ 9747, $BE$ prima vice 412, $S\mu$ 9503, $i\lambda$ = 413: $BE$ secunda vice 421, $OD$ 10186, $X$ $8528\decimals{4}$, $MP$ 8450, $MN$ 8475, $NP$ -25. Unde ad operationem secundam collegi distantiam $tb$ 5640. Et % -----File: 483.png--- per hanc operationem inveni tandem distantias $TX$ 4775 \& $\tau Z$ 11322. Ex quibus orbem definiendo inveni Nodos ejus in $\cancer$ \& $\capricornus$ 1 \textit{gr.}\ $53\minute$; Inclinationem plani ejus ad planum Ecliptic{\ae} 61 \textit{gr.}\ $20\frac{1}{3}$; verticem ejus (seu perihelium Comet{\ae}) in $\sagittarius$ 27 \textit{gr.}\ $43\minute$ cum latitudine australi 7 \textit{gr.}\ $34\minute$; \& ejus latus rectum $236\decimals{8}$, aream{\que} radio ad Solem ducto singulis diebus descriptam 93585; Cometam verň \textit{Decemb.}\ 8 \textit{d.}\ 0 \textit{h.}\ $4\minute.$ P.M. in vertice orbis seu perihelio fuisse. H{\ae}c omnia per scalam partium {\ae}qualium \& chordas angulorum ex Tabula Sinuum naturalium collectas determinavi graphicč; construendo Schema satis amplum, in quo videlicet semidiameter orbis magni (partium 10000) {\ae}qualis esset digitis $16\frac{1}{3}$ pedis Anglicani. Tandem ut constaret an Cometa in Orbe sic invento verč moveretur, collegi per operationes partim Arithmeticas partim Graphicas, loca Comet{\ae} in hoc orbe ad observationum quarundam tempora: uti in Tabula sequente videre licet. \vspace{\baselineskip} \noindent\begin{tabular}{@{}r@{\hspace{0.4em}}|@{\hspace{0.4em}}r@{\hspace{0.4em}}|@{\hspace{0.4em}}r@{\hspace{0.4em}}|@{\hspace{0.4em}}r@{\hspace{0.4em}}|@{\hspace{0.4em}}r@{\hspace{0.4em}}|@{\hspace{0.4em}}r@{\hspace{0.4em}}|@{\hspace{0.4em}}r@{\hspace{0.4em}}|@{\hspace{0.4em}}r@{\hspace{0.4em}}|} \multicolumn{8}{c}{COMET{\AE}} \\ & Distant. & & & & & & \\ & Comet{\ae} &Lon. &Lat. & Long. & Lat. &Differ.&Differ. \\ & ŕ Sole &Collect. &Collect. & Obs. & Obs. &Long. &Lat. \\ \hline Decemb.\ 12 & 2792 & $\capricornus \phantom{0}6.32\phantom{\frac{1}{2}}$ & $8.18\frac{1}{2}$ & $\capricornus \phantom{0}6.33\phantom{\frac{1}{2}}$ & $8.26\phantom{\frac{1}{12}}$ & $-2$ & $-\phantom{0}7\frac{1}{2}$ \\ 29 & 8403 & $\pisces 13.13\frac{2}{3}$ & $28.\phantom{0}0\phantom{\frac{1}{2}}$ & $\pisces 13.11\frac{3}{4}$ & $28.10\frac{1}{12}$ & $+2$ & $-10\frac{1}{2}$ \\ Febr.\ \phantom{0}5 & 16669 & $\taurus 17.\phantom{0}0\phantom{\frac{1}{2}}$ & $15.29\frac{2}{3}$ & $\taurus 16.59\frac{7}{8}$ & $15.27\frac{2}{5}$ & 0 & +$\phantom{0}2\frac{1}{5}$ \\ Mar.\ \phantom{0}5 & 21737 & $\taurus 29.19\frac{3}{4}$ & $12.\phantom{0}4\phantom{\frac{1}{2}}$ & $\taurus 29.20\frac{6}{7}$ & $12.\phantom{0}2\frac{2}{3}$ & $-1$ & $+\phantom{0}1\frac{1}{3}$ \end{tabular} \vspace{\baselineskip} Pr{\ae}terea cum \textit{Cl.\ Flamstedius} Cometam, qui Mense \textit{Novembri} apparuerat, eundem esse cum Cometa mensium subsequentium, literis ad me datis aliquando disputaret, \& Trajectoriam quamdam ab orbe hocce Parabolico non longe aberrantem delinearet, visum est loca Comet{\ae} in hoc orbe Mense \textit{Novembri} computare, \& cum Observationis conferre. Observationes ita se habent. \textit{Nov.~17.}\ St.\ Vet.\ \textit{Ponth{\ae}us} \& alii hora sexta matutina \textit{Rom{\ae}}, (id est hora 5.\ $10\minute$ \textit{Londini}) Cometam observarunt in $\libra$ 8 \textit{gr.}\ $30\minute$ cum latitudine Australi 0 \textit{gr.}\ $40\minute$. Extant autem eorum observationes in tractatu quem \textit{Ponth{\ae}us} de hoc Cometa in lucem edidit. Eadem horâ \textit{Galletius} etiam \textit{Rom{\ae}}, Cometam vidit in $\libra$ 8 \textit{gr.}\ sine Latitudine. % -----File: 484.png--- \textit{Nov.~18.}\ \textit{Ponth{\ae}us} \& Socii horâ matutinâ 6, $30\minute$ \textit{Rom{\ae}} (\textit{i.~e.}\ hor.\ 5.\ $40\minute$ \textit{Londini}) Cometam viderunt in $\libra$ $13\frac{1}{2}$ cum Lat.\ Austr.\ 1 \textit{gr.}\ $20\minute$. Eodem die \textit{R.~P. Ango} in Academia \textit{Flechensi} apud \textit{Gallos}, horâ quintâ matutinâ, Cometam vidit in medio Stellarum duarum parvarum, quarum una media est trium in recta linea in Virginis Australi manu, \& altera est extrema al{\ae}. Unde Cometa tunc fuit in $\libra$ 12 \textit{gr.}\ $46\minute$ cum Lat.\ Austr.\ $50\minute$. Eodem die \textit{Bostoni{\ae}} in \textit{Nova Anglia} in Lat.\ $42\frac{1}{3}$, horâ quintâ matutinâ (id est \textit{Londini} hora Mat.\ $9\frac{2}{3}$) Cometa visus est in $\libra$ 14 circiter, cum Lat.\ Austr.\ 1 \textit{gr.}\ $30\minute$; uti ŕ \textit{Cl.\ Halleio} accepi. \textit{Nov.~19.}\ hora Mat.\ $4\frac{1}{2}$ \textit{Cantabrigi{\ae}}, Cometa (observante juvene quodam) distabat ŕ Spica $\virgo$ quasi 2 \textit{gr.}\ Boreazephyrum versus. Eodem die hor.\ 5.\ Mat.\ \textit{Bostoni{\ae}} in \textit{Nova-Anglia} Cometa distabat ŕ Spica $\virgo$ gradu uno, differentiâ latitudinum existente $40\minute$, atque adeo differentia Long.\ $44\minute$ circiter. Unde Cometa erat in $\libra$ 18 \textit{gr.}\ $40\minute$ cum Lat.\ Austr.\ 1 \textit{gr.}\ $19\minute$. Eodem die D. \textit{Arthurus Storer} ad fluvium \textit{Patuxent} prope \textit{Hunting-Creek} in \textit{Mary-Land}, in Confinio \textit{Virgini{\ae}} in Lat.\ $38\frac{1}{2}$ \textit{gr.}\ horâ quintâ matutinâ (id est horâ $10^{\textrm{a}}$ \textit{Londini}) Cometam vidit supra Spicam $\virgo$, \& cum Spica propemodum conjunctum, existente distantia inter eosdem quasi $\frac{3}{4}$ \textit{gr.}\ Observator idem, eadem horŕ diei sequentis, Cometam vidit quasi 2 \textit{gr.}\ inferiorem Spicâ. Congruent h{\ae} observationes cum observationibus in \textit{Nova Anglia} factis, si modň distanti{\ae} (pro motu diurno Comet{\ae}) nonnihil augeantur, ita ut Cometa die priore superior esset Spica $\virgo$ altitudine $52\minute$ circiter, ac die posteriore inferior eadem stellâ altitudine perpendiculari 2 \textit{gr.}\ $40\minute$. \textit{Nov.~20.}\ D. \textit{Montenarus} Astronomi{\ae} Professor \textit{Paduensis}, hora sexta Mat\-ut\-ina, \textit{Venetiis} (id est hora 5.\ $10\minute$ \textit{Londini}) Cometam vidit in $\libra$ 23 \textit{gr.}\ cum Lat.\ Austr.\ 1 \textit{gr.}\ $30\minute$. Eodem die \textit{Bostoni{\ae}} distabat Cometa ŕ Spica $\virgo$, 4 \textit{gr.}\ longitudinis in orientem, adeoque erat in $\libra$ 23 \textit{gr.}\ 24 circiter. \textit{Nov.~21.}\ \textit{Ponth{\ae}us} \& Socii hor.\ mat.\ $7\frac{1}{4}$ Cometam observarunt in $\libra$ 27 \textit{gr.}\ $50\minute$ cum Latitudine Australi 1 \textit{gr.}\ $16\minute$. \textit{Ango} horâ % -----File: 485.png--- quintâ mat.\ in $\libra$ 27 \textit{gr.}\ $45\minute$. \textit{Montenarus} in $\libra$ 27 \textit{gr.}\ $51\minute$. Eodem die in Insulâ \textit{Jamaicâ} visus est prope principium Scorpii, eandemque circiter latitudinem habuit cum Spica Virginis, id est 1 \textit{gr.}\ $59\minute$. \textit{Novem.~22.}\ Visus est ŕ \textit{Montenaro} in $\scorpio$ 2°.\ $33\minute$. \textit{Bostoni{\ae}} autem in \textit{Novâ Angliâ} apparuit in $\scorpio$ 3 \textit{gr.}\ circiter, eadem fere cum latitudine ac prius. Deinde visus est ŕ \textit{Montenaro} \textit{Novem.~24.}\ in $\scorpio$ 12 \textit{gr.}\ $52\minute.$ \& \textit{Nov.~25.}\ in $\scorpio$ 17 \textit{gr.}\ $45\minute$. Latitudinem \textit{Galletius} jam ponit 2 \textit{gr.} Eandem \textit{Ponth{\ae}us} \& \textit{Galletius} decrevisse, \textit{Montenarus} \& \textit{Ango} semper crevisse testantur. Crass{\ae} sunt horum omnium observationes, sed e{\ae} \textit{Montenari}, \textit{Angonis} \& observatoris in \textit{Nova-Anglia} pr{\ae}ferend{\ae} videntur. Ex omnibus autem inter se collatis, \& ad meridianum \textit{Londini}, hora mat.\ 5.\ $10\minute$ reductis, colligo Cometam hujusmodi cursum quamproximč descripsisse. \vspace{\baselineskip} \begin{tabular}{@{}r|r|l|} & Long.\ Com. & Latit.\ Com. \\ \hline \textit{Nov.}\ 17 &$\libra$ \phantom{0}8.0\phantom{0} & 0.45 Austr. \\ 18 & 12.52 & 1.\phantom{0}2 \\ 19 & 17.48 & 1.18 \\ 20 & 22.45 & 1.32 \\ 21 & 27.46 & 1.44 \\ 22 &$\scorpio$ \phantom{0}2.48 & 1.55 \\ 23 & 7.50 & 2.\phantom{0}4 \\ 24 & 12.52 & 2.12 \\ 25 & 17.45 & 2.18 \end{tabular} \vspace{\baselineskip} Loca autem Comet{\ae} iisdem horis in orbe Parabolico inventa ita se habent. \vspace{\baselineskip} \begin{tabular}{@{}r|r|r|} & Comet.\ Lon. & Com.\ Lat. \\ \hline \textit{Nov.}\ 17 &$\libra$ \phantom{0}8.\phantom{0}3 & 0.23 \textit{A} \\ 21 &$\libra$ 28.\phantom{0}0 & 1.22 \textit{A} \\ 25 &$\scorpio$ 18.17 & 2.\phantom{0}6 \textit{A} \end{tabular} \vspace{\baselineskip} Congruunt igitur observationes tam mense \textit{Novembri}, quam mensibus tribus subsequentibus cum motu Comet{\ae} circa Solem in Trajectoriâ hacce Parabolicâ, atque adeo hanc esse veram hujus Comet{\ae} Trajectoriam confirmant. Nam differentia inter loca observata % -----File: 486.png--- \& loca computata tam ex erroribus observationum quam ex erroribus operationum Graphicarum in Orbe definiendo admissis, facilč oriri potuere. C{\ae}terum Trajectoriam quam Cometa descripsit, \& caudam veram quam singulis in locis projecit, visum est annexo schemate in plano Trajectori{\ae} opticč delineatas exhibere: observationibus sequentibus in cauda definienda adhibitis. % creative use of \spreadout to avoid unsplittable DBCA giving Overfull hbox \textit{Nov.~17.}\spreadout{Cauda gradus amplius quindecim longa \textit{Ponth{\ae}o} apparuit.} \\ \textit{Nov.~18.}\ cauda 30 \textit{gr.}\ longa, Solique directe opposita in \textit{Nova Anglia} cernebatur, \& protendebatur usque ad stellam $\mars$, qui tunc erat in $\virgo$ 9 \textit{gr.}\ $54\minute$. \textit{Nov.~19} in \textit{Mary-Land} cauda visa fuit gradus 15 vel 20 longa. \textit{Dec.~10.}\ cauda (observante \textit{Flamstedio}) transibat per medium distanti{\ae} inter caudam serpentis Ophiuchi \& stellam $\delta$ in Aquil{\ae} australi ala, \& desinebat prope stellas $A$, $\omega$, $b$ in Tabulis \textit{Bayeri}. Terminus igitur erat in $\capricornus$ $19\frac{1}{2}$ cum lat.\ bor.\ $34\frac{1}{4}$ \textit{gr.}\ circiter. \textit{Dec.~11.}\ surgebat ad usque caput sagitt{\ae} (\textit{Bayero}, $\alpha$, $\beta$,) desinens in $\capricornus$ 26 \textit{gr.}\ $43\minute$ cum lat.\ bor.\ 38 \textit{gr.}\ $34\minute$. \textit{Dec.~12.}\ transibat per medium Sagitt{\ae}, nec longe ultra protendebatur, desinens in $\aquarius$ 4°, cum lat.\ bor.\ $42\frac{1}{2}$ circiter. Intelligenda sunt h{\ae}c de longitudine caud{\ae} clarioris. Nam luce obscuriore, in c{\oe}lo forsan magis sereno, cauda \textit{Dec.~12.}\ hora 5, $40\minute$ \textit{Rom{\ae}} (observante \textit{Ponth{\ae}o}) supra cygni Uropygium ad \textit{gr.}\ 10.\ sese extulit; atque ab hac stella ejus latus ad occasum \& boream min.\ 45.\ destitit. Lata autem erat cauda his diebus \textit{gr.}\ 3.\ juxta terminum superiorem, ideoque medium ejus distabat ŕ Stella illa 2 \textit{gr.}\ $15\minute$ austrum versus, \& terminus superior erat in $\pisces$ 22 \textit{gr.}\ cum lat.\ bor.\ 61 \textit{gr.} \textit{Dec.~21.}\ surgebat fere ad cathedram \textit{Cassiopei{\ae}}, {\ae}qualiter distans ŕ $\beta$ \& \textit{Schedir}, \& distantiam ab utraque distanti{\ae} earum ab invicem {\ae}qualem habens, adeoque desinens in $\pisces$ 24 \textit{gr.}\ cum lat.\ $47\frac{1}{2}$ \textit{gr.} \textit{Dec.~29.}\ tangebat \textit{Scheat} sitam ad sinistram, \& intervallum stellarum duarum in pede boreali \textit{Andromed{\ae}} accuratč complebat, \& longa erat 54 \textit{gr.}\ adeoque desinebat in $\taurus$ 19 \textit{gr.}\ cum lat.\ 35.\ \textit{gr.} \textit{Jan.~5.}\ tetigit stellam $\pi$ in pectore \textit{Andromed{\ae}}, ad latus suum dextrum \& stellam $\mu$ in ejus cingulo ad latus sinistrum; \& (juxta observationes nostras) longa erat % -----File: 487.png--- 40 \textit{gr.}; curva autem erat \& convexo latere spectabat ad austrum. Cum circulo per Solem \& caput Comet{\ae} transeunte angulum confecit graduum 4 juxta caput Comet{\ae}; at juxta terminum alterum inclinabatur ad circulum illum in angulo 10 vel 11 grad.\ \& chorda caud{\ae} cum circulo illo continebat angulum graduum octo. \textit{Jan.~13.}\ Cauda luce satis sensibili terminabatur inter \textit{Alamech} \& \textit{Algol}, \& luce tenuissima desinebat č regione stell{\ae} $\kappa$ in latere \textit{Persei}. Distantia termini caud{\ae} ŕ circulo Solem \& Cometam jungente erat 3 \textit{gr.}\ $50\minute$, \& inclinatio chord{\ae} caud{\ae} ad circulum illum $8\frac{1}{2}$ \textit{gr.} \textit{Jan.~25 \& 26} luce tenui micabat ad longitudinem graduum 6 vel 7; \& ubi c{\oe}lum valde serenum erat, luce tenuissimâ \& {\ae}gerrimč sensibili attingebat longitudinem graduum duodecim \& paulo ultra. Dirigebatur autem ejus axis ad Lucidam in humero orientali Aurig{\ae} accuratč, adeoque declinabat ab oppositione Solis Boream versus in angulo graduum decem. Denique \textit{Feb.~10.}\ caudam oculis armatis aspexi gradus duos longam. Nam lux pr{\ae}dicta tenuior per vitra non apparuit. \textit{Ponth{\ae}us} autem \textit{Feb.~7.}\ se caudam ad longitudinem \textit{gr.}\ 12.\ vidisse scribit. Orbem jam descriptum spectanti \& reliqua Comet{\ae} hujus Ph{\ae}nomena in animo revolventi haud difficulter constabit quod corpora Cometarum sunt solida, compacta, fixa ac durabilia ad instar corporum Planetarum. Nam si nihil aliud essent quŕm vapores vel exhalationes Terr{\ae}, Solis \& Planetarum, Cometa hicce in transitu suo per viciniam Solis statim dissipari debuisset. Est enim calor Solis ut radiorum densitas, hoc est reciprocč ut quadratum distanti{\ae} locorum ŕ Sole. Ideoque cum distantia Comet{\ae} ŕ Sole \textit{Dec.~8.}\ ubi in Perihelio versabatur, esset ad distantiam Terr{\ae} ŕ Sole ut 6 ad 1000 circiter, calor Solis apud Cometam eo tempore erat ad calorem Solis {\ae}stivi apud nos ut 1000000 ad 36, seu 28000 ad 1. Sed calor aqu{\ae} ebullientis est quasi triplo major quŕm calor quem terra arida concipit ad {\ae}stivum Solem; ut expertus sum: \& calor ferri candentis (si rectč conjector) quasi triplo vel quadruplo major quam calor aqu{\ae} ebullientis; adeoque calor quem terra arida apud Cometam in perihelio versantem ex radiis % -----File: 488.png--- Solaribus concipere posset; quasi 2000 vicibus major quŕm calor ferri candentis. Tanto autem calore vapores \& exhalationes, omnisque materia volatilis statim consumi ac dissipari debuissent. Cometa igitur in perihelio suo calorem immensum ad Solem concepit, \& calorem illum diutissimč conservare potest. Nam globus ferri candentis digitum unum latus, calorem suum omnem spatio hor{\ae} unius in aere consistens vix amitteret. Globus autem major calorem diutius conservaret in ratione diametri, propterea quod superficies (ad cujus mensuram per contactum aeris ambientis refrigeratur) in illa ratione minor est pro quantitate materi{\ae} su{\ae} calid{\ae} inclus{\ae}. Ideoque globus ferri candentis huic Terr{\ae} {\ae}qualis, id est pedes plus minus 40000000 latus, diebus totidem, \& idcirco annis 50000, vix refrigesceret. Suspicor tamen quod duratio Caloris ob causas latentes augeatur in minore ratione quam ea diametri: \& optarim rationem veram per experimenta investigari. Porrň notandum est quod Cometa Mense \textit{Decembri}, ubi ad Solem modň incaluerat, caudam emittebat longe majorem \& splendidiorem quŕm antea Mense \textit{Novembri}; ubi perihelium nondum attigerat. Et universaliter caud{\ae} omnes maxim{\ae} \& fulgentissim{\ae} č Cometis oriuntur, statim post transitum eorum per regionem Solis. Conducit igitur calefactio Comet{\ae} ad magnitudinem caud{\ae}. Et inde colligere videor quod cauda nihil aliud sit quam vapor longe tenuissimus, quem caput seu Nucleus Comet{\ae} per calorem suum emittit. C{\ae}terum de Cometarum caudis triplex est opinio, eas vel jubar esse Solis per translucida Cometarum capita propagatum; vel oriri ex refractione lucis in progressu ipsius ŕ capite Comet{\ae} in Terram: vel denique nubem esse seu vaporem ŕ capite Comet{\ae} jugiter surgentem \& abeuntem in partes ŕ Sole aversas. Opinio prima eorum est qui nondum imbuti sunt scientia rerum opticarum. Nam jubar Solis in cubiculo tenebroso non cernitur nisi quatenus lux reflectitur č pulverum \& fumorum particulis per aerem semper volitantibus: adeoque in aere fumis crassioribus infecto splendidius est, \& sensum % -----File: 489.png--- fortius ferit; in aere clariore tenuius est \& {\ae}grius sentitur: in c{\oe}lis autem absque materia reflectente nullum esse potest. Lux non cernitur quatenus in jubare est, sed quatenus inde reflectitur ad oculos nostros. Nam visio non fit nisi per radios qui in oculos impingunt. Requiritur igitur materia aliqua reflectens in regione Caud{\ae}, ne c{\oe}lum totum luce Solis illustratum uniformiter splendeat. Opinio secunda multis premitur difficultatibus. Caud{\ae} nunquam variegantur coloribus: qui tamen refractionum solent esse comites inseparabiles. Lux Fixarum \& Planetarum distinctč ad nos transmissa demonstrat medium c{\oe}leste nulla vi refractiva pollere. Nam quod dicitur fixas ab \textit{{\AE}gyptiis} comatas nonnunquam visas fuisse, id quoniam rarissimč contingit, ascribendum est nubium refractioni fortuit{\ae}. Fixarum quoque radiatio \& scintillatio ad refractiones tum Oculorum tum aeris tremuli referend{\ae} sunt: quippe qu{\ae} admotis oculo Telescopiis evanescunt. Aeris \& ascendentium vaporum tremore fit ut radii facile de angusto pupilli spatio per vices detorqueantur, de latiore autem vitri objectivi apertura neutiquam. Inde est quod scintillatio in priori casu generetur, in posteriore autem cesset: \& cessatio in posteriore casu demonstrat regularem transmissionem lucis per c{\oe}los absque omni refractione sensibili. Nequis contendat quod caud{\ae} non soleant videri in Cometis cum eorum lux non est satis fortis, quia tunc radii secundarii non habent satis virium ad oculos movendos, \& propterea caudas fixarum non cerni: sciendum est quod lux fixarum plus centum vicibus augeri potest mediantibus Telescopiis, nec tamen caud{\ae} cernuntur. Planetarum quoque lux copiosior est, caud{\ae} verň null{\ae}: Comet{\ae} autem s{\ae}pe caudatissimi sunt, ubi capitum lux tenuis est \& valde obtusa: sic enim Cometa Anni 1680, Mense \textit{Decembri}, quo tempore caput luce sua vix {\ae}quabat stellas secund{\ae} magnitudinis, caudam emittebat splendore notabili usque ad gradus 40, 50, 60 longitudinis \& ultra: postea \textit{Jan.~27 \& 28} caput apparebat ut stella septim{\ae} tantum magnitudinis, cauda verň luce quidem pertenui sed satis sensibili longa erat 6 vel 7 gradus, \& luce obscurissima, % -----File: 490.png--- qu{\ae} cerni vix posset, porrigebatur ad gradum usque duodecimum vel paulo ultra: ut supra dictum est. Sed \& \textit{Feb.\ 9.\ \& 10} ubi caput nudis oculis videri desierat, caudam gradus duos longam per Telescopium contemplatus sum. Porro si cauda oriretur ex refractione materi{\ae} c{\oe}lestis, \& pro figura c{\oe}lorum deflecteretur de Solis oppositione, deberet deflexio illa in iisdem c{\oe}li regionibus in eandem semper partem fieri. Atqui Cometa Anni 1680 \textit{Decemb.~28} hora $8\frac{1}{2}$ P.M. \textit{Londini}, versabatur in $\pisces$ 8 \textit{gr.}\ 41 cum latitudine boreali 28 \textit{gr.}\ $6\minute$, Sole existente in $\capricornus$ 18 \textit{gr.}\ $26\minute$. Et Cometa Anni 1577 \textit{Dec.~29.}\ versabatur in $\pisces$ 8 \textit{gr.}\ $41\minute$ cum latitudine boreali 28 \textit{gr.}\ $40\minute$. Sole etiam existente in $\capricornus$ 18 \textit{gr.}\ $26\minute$ circiter. Utroque in casu Terra versabatur in eodem loco \& Cometa apparebat in eadem c{\oe}li parte: in priori tamen casu cauda Comet{\ae} (ex meis \& aliorum observationibus) declinabat angulo graduum $4\frac{1}{2}$ ab oppositione Solis Aquilonem versus; in posteriore verň (ex Observationibus \textit{Tychonis}) declinatio erat graduum 21 in austrum. Igitur repudiata c{\oe}lorum refractione, superest ut Ph{\ae}nomena Caudarum ex materia aliqua reflectente deriventur. Caudas autem ŕ capitibus oriri \& in regiones ŕ Sole aversas ascendere confirmatur ex legibus quas observant. Ut quod in planis orbium Cometarum per Solem transeuntibus jacentes, deviant ab oppositione Solis in eas semper partes quas capita in orbibus illis progredientia relinquunt. Quod spectatori in his planis constituto apparent in partibus ŕ Sole directč aversis; digrediente autem spectatore de his planis, deviatio paulatim sentitur, \& indies apparet major. Quod deviatio c{\ae}teris paribus minor est ubi cauda obliquior est ad orbem Comet{\ae}, ut \& ubi caput Comet{\ae} ad Solem propius accedit; pr{\ae}sertim si spectetur deviationis angulus juxta caput Comet{\ae}. Pr{\ae}terea quod caud{\ae} non deviantes apparent rect{\ae}, deviantes autem incurvantur. Quod curvatura major est ubi major est deviatio, \& magis sensibilis ubi cauda c{\ae}teris paribus longior est: nam in brevioribus curvatura {\ae}gre animadvertitur. Quod deviationis angulus minor est juxta caput Comet{\ae}, major juxta caud{\ae} % -----File: 491.png--- extremitatem alteram, atque adeň quod cauda convexo sui latere partes respicit ŕ quibus fit deviatio, qu{\ae}que in rectâ sunt lineâ ŕ Sole per caput Comet{\ae} in infinitum ductâ. Et quod caud{\ae} qu{\ae} prolixiores sunt \& latiores, \& luce vegetiore micant, sint ad latera convexa paulň splendidiores \& limite minus indistincto terminat{\ae} quam ad concava. Pendent igitur Ph{\ae}nomena caud{\ae} ŕ motu capitis, non autem ŕ regione c{\oe}li in qua caput conspicitur; \& propterea non fiunt per refractionem c{\oe}lorum, sed ŕ capite suppeditante materiam oriuntur. Etenim ut in aere nostro fumus corporis cujusvis igniti petit superiora, idque vel perpendiculariter si corpus quiescat, vel obliquč si corpus moveatur in latus; ita in c{\oe}lis ubi corpora gravitant in Solem, fumi \& vapores ascendere debent ŕ Sole (uti jam dictum est) \& superiora vel rectâ petere, si corpus fumans quiescit; vel obliquč, si corpus progrediendo loca semper deserit ŕ quibus superiores vaporis partes ascenderant. Et obliquitas ista minor erit ubi ascensus vaporis velocior est: nimirum in vicinia Solis \& juxta corpus fumans. Ex obliquitatis autem diversitate incurvabitur vaporis columna: \& quia vapor in column{\ae} latere pr{\ae}cedente paulo recentior est, ideo etiam is ibidem aliquanto densior erit, lucemque propterea copiosius reflectet, \& limite minus indistincto terminabitur. De caudarum agitationibus subitaneis \& incertis, deque earum figuris irregularibus, quas nonnulli quandoque describunt, hic nihil adjicio; propterea quod vel ŕ mutationibus aeris nostri, \& motibus nubium caudas aliqua ex parte obscurantium oriantur; vel forte ŕ partibus Vi{\ae} Lacte{\ae}, qu{\ae} cum caudis pr{\ae}tereuntibus confundi possint, ac tanquam earum partes spectari. Vapores autem, qui spatiis tam immensis implendis sufficiant, ex Cometarum Atmosph{\ae}ris oriri posse, intelligetur ex raritate aeris nostri. Nam aer juxta superficiem Terr{\ae} spatium occupat quasi 850 vicibus majus quam aqua ejusdem ponderis, ideoque aeris columna Cylindrica pedes 850 alta ejusdem est ponderis cum aqu{\ae} columna pedali latitudinis ejusdem. Columna autem aeris ad summitatem Atmosph{\ae}r{\ae} assurgens {\ae}quat pondere suo columnam aqu{\ae} % -----File: 492.png--- pedes 33 altam circiter; \& propterea si column{\ae} totius aere{\ae} pars inferior pedum 850 altitudinis dematur, pars reliqua superior {\ae}quabit pondere suo columnam aqu{\ae} altam pedes 32. Inde verň (ex Hypothesi multis experimentis confirmata, quod compresso aeris sit ut pondus Atmosph{\ae}r{\ae} incumbentis, quodque gravitas sit reciproce ut quadratum distanti{\ae} locorum ŕ centro Terr{\ae}) computationem per Corol.\ Prop.\ XXII. Lib.\ II. ineundo, inveni quod aer, si ascendatur ŕ superficie Terr{\ae} ad altitudinem semidiametri unius terrestris, rarior sit quŕm apud nos in ratione longe majori, quŕm spatii omnis infra orbem Saturni ad globum diametro digiti unius descriptum. Ideoque globus aeris nostri digitum unum latus, ea cum raritate quam haberet in altitudine semidiametri unius terrestris, impleret omnes Planetarum regiones ad usque sph{\ae}ram Saturni \& longe ultra. Proinde cum aer adhuc altior in immensum rarescat; \& coma seu Atmosph{\ae}ra Comet{\ae}, ascendendo ab illius centro, quasi decuplo altior sit quŕm superficies nuclei, deinde cauda adhuc altius ascendat, debebit cauda esse quŕm rarissima. Et quamvis, ob longe crassiorem Cometarum Atmosph{\ae}ram, magnamque corporum gravitationem Solem versus, \& gravitationem particularum Aeris \& vaporum in se mutuo, fieri possit ut aer in spatiis c{\oe}lestibus inque Cometarum caudis non adeo rarescat; perexiguam tamen quantitatem aeris \& vaporum ad omnia illa caudarum ph{\ae}nomena abunde sufficere ex hac computatione perspicuum est. Nam \& caudarum insignis raritas colligitur ex astris per eas translucentibus. Atmosph{\ae}ra terrestris luce Solis splendens, crassitudine sua paucorum milliarium, \& astra omnia \& ipsam Lunam obscurat \& extinguit penitus: per immensam verň caudarum crassitudinem, luce pariter Solari illustratam, astra minima absque claritatis detrimento translucere noscuntur. Neque major esse solet caudarum plurimarum splendor, quam aeris nostri in tenebroso cubiculo latitudine digiti unius duorumve, lucem Solis in jubare reflectentis. Quo tempore vapor ŕ capite ad terminum caud{\ae} ascendit, cognosci fere potest ducendo rectam ŕ termino caud{\ae} ad Solem, \& notando % -----File: 493.png--- locum ubi recta illa Trajectoriam secat. Nam vapor in termino caud{\ae}, si rectŕ ascendat ŕ Sole, ascendere c{\ae}pit ŕ capite quo tempore caput erat in loco intersectionis. At vapor non rectŕ ascendit ŕ Sole, sed motum Comet{\ae}, quem ante ascensum suum habebat, retinendo, \& cum motu ascensus sui eundem componendo, ascendit oblique. Unde verior erit Problematis solutio, ut recta illa qu{\ae} orbem secat, parallela sit longitudini caud{\ae}, vel potius (ob motum curvilineum Comet{\ae}) ut eadem ŕ linea caud{\ae} divergat. Hoc pacto inveni quod vapor qui erat in termino caud{\ae} \textit{Jan.~25.}\ ascendere c{\ae}perat ŕ capite ante \textit{Decemb.~11.}\ adeoque ascensu suo toto dies plus 45 consumpserat. At cauda illa omnis qu{\ae} \textit{Dec.~10.}\ apparuit, ascenderat spatio dierum illorum duorum, qui ŕ tempore perihelii Comet{\ae} elapsi fuerant. Vapor igitur sub initio in vicinia Solis celerrimč ascendebat, \& postea cum motu per gravitatem suam semper retardato ascendere pergebat; \& ascendendo augebat \label{wasp504}longitudinem caud{\ae}: cauda autem quamdiu apparuit ex vapore fere omni constabat qui ŕ tempore perihelii ascenderat; \& vapor, qui primus ascendit, \& terminum caud{\ae} composuit, non prius evanuit quŕm ob nimiam suam tam ŕ Sole illustrante quam ab oculis nostris distantiam videri desiit. Unde etiam caud{\ae} Cometarum aliorum qu{\ae} breves sunt, non ascendunt motu celeri \& perpetuo ŕ capitibus \& mox evanescunt, sed sunt permanentes vaporum \& exhalationum column{\ae}, ŕ capitibus lentissimo multorum dierum motu propagat{\ae}, qu{\ae}, participando motum illum capitum quem habuere sub initio, per c{\oe}los una cum capitibus moveri pergunt. Et hinc rursus colligitur spatia c{\ae}lestia vi resistendi destitui; utpote in quibus non solum solida Planetarum \& Cometarum corpora, sed etiam rarissimi caudarum vapores motus suos velocissimos liberrimč peragunt ac diutissimč conservant. Ascensum caudarum ex Atmosph{\ae}ris capitum \& progressum in partes ŕ Sole aversas \textit{Keplerus} ascribit actioni radiorum lucis materiam caud{\ae} secum rapientium. Et auram longe tenuissimam in spatiis liberrimis actioni radiorum cedere, non est ŕ ratione prorsus % -----File: 494.png--- alienum, non obstante quod substanti{\ae} crass{\ae}, impeditissimis in regionibus nostris, ŕ radiis Solis sensibiliter propelli nequeant. Alius particulas tam leves quam graves dari posse existimat, \& materiam caudarum levitare, perque levitatem suam ŕ Sole ascendere. Cům autem gravitas corporum terrestrium sit ut materia in corporibus, ideoque servata quantitate materi{\ae} intendi \& remitti nequeat, suspicor ascensum illum ex rarefactione materi{\ae} caudarum potius oriri. Ascendit fumus in camino impulsu aeris cui innatat. Aer ille per calorem rarefactus ascendit, ob diminutam suam gravitatem specificam, \& fumum implicatum rapit secum. Quidni cauda Comet{\ae} ad eundem modum ascenderit ŕ Sole? Nam radii Solares non agitant Media qu{\ae} permeant, nisi in reflexione \& refractione. Particul{\ae} reflectentes ea actione calefact{\ae} calefacient auram {\ae}theream cui implicantur. Illa calore sibi communicato rarefiet, \& ob diminutam ea raritate gravitatem suam specificam qua prius tendebat in Solem, ascendet \& secum rapiet particulas reflectentes ex quibus cauda componitur: Ad ascensum vaporum conducit etiam quod hi gyrantur circa Solem \& ea actione conantur ŕ Sole recedere, at Solis Atmosph{\ae}ra \& materia c{\oe}lorum vel plane quiescit, vel motu solo quem ŕ Solis rotatione acceperint, tardius gyratur. H{\ae} sunt caus{\ae} ascensus caudarum in vicinia Solis, ubi orbes curviores sunt, \& Comet{\ae} intra densiorem \& ea ratione graviorem Solis Atmosph{\ae}ram consistunt, \& caudas quŕm longissimas mox emittunt. Nam caud{\ae} qu{\ae} tunc nascuntur, conservando motum suum \& interea versus Solem gravitando, movebuntur circa Solem in Ellipsibus pro more capitum, \& per motum illum capita semper comitabuntur \& iis liberrimč adh{\ae}rebunt. Gravitas enim vaporum in Solem non magis efficiet ut caud{\ae} postea decidant ŕ capitibus Solem versus, quam gravitas capitum efficere possit ut h{\ae}c decidant ŕ caudis. Communi gravitate vel simul in Solem cadunt, vel simul in ascensu suo retardabuntur, adeoque gravitas illa non impedit, quo minus caud{\ae} \& capita positionem quamcunque ad invicem ŕ causis jam descriptis aut aliis quibuscunque facillimč accipiant \& postea liberrime servent. % -----File: 495.png--- Caud{\ae} igitur qu{\ae} Cometarum periheliis nascuntur, in regiones longinquas cum eorum capitibus abibunt, \& vel inde post longam annorum seriem cum iisdem ad nos redibunt, vel potius ibi rarefacti paulatim evanescent. Nam postea in descensu capitum ad Solem caud{\ae} nov{\ae} breviuscul{\ae} lento motu ŕ capitibus propagari debebunt, \& subinde, in Periheliis Cometarum illorum qui adus{\que} Atmosph{\ae}ram Solis descendunt, in immensum augeri. Vapor enim in spatiis illis liberrimis perpetuň rarescit ac dilatatur. Qua ratione fit ut cauda omnis ad extremitatem superiorem latior sit quam juxta caput Comet{\ae}. Ea autem rarefactione vaporem perpetuo dilatatum diffundi tandem \& spargi per c{\oe}los universos, deinde paulatim in Planetas per gravitatem suam attrahi \& cum eorum Atmosph{\ae}ris misceri rationi consentaneum videtur. Nam quemadmodum Maria ad constitutionem Terr{\ae} hujus omnino requiruntur, idque ut ex iis per calorem Solis vapores copiose satis excitentur, qui vel in nubes coacti decidant in pluviis, \& terram omnem ad procreationem \label{wasp506}vegetabilium irrigent \& nutriant; vel in frigidis montium verticibus condensati (ut aliqui cum ratione philosophantur) decurrant in fontes \& flumina: sic ad conservationem marium \& humorum in Planetis Comet{\ae} requiri videntur; ex quorum exhalationibus \& vaporibus condensatis, quicquid liquoris per vegetationem \& putrefactionem consumitur \& in terram aridam convertitur, continuň suppleri \& refici possit. Nam vegetabilia omnia ex liquoribus omnino crescunt, dein magna ex parte in terram aridam per putrefactionem abeunt, \& limus ex liquoribus putrefactis perpetuň decidit. Hinc moles Terr{\ae} arid{\ae} indies augetur, \& liquores, nisi aliunde augmentum sumerent, perpetuň decrescere deberent, ac tandem deficere. Porrň suspicor spiritum illum, qui aeris nostri pars minima est sed subtilissima \& optima, \& ad rerum omnium vitam requiritur, ex Cometis pr{\ae}cipue venire. Atmosph{\ae}r{\ae} Cometarum in descensu eorum in Solem excurrendo in caudas diminuuntur, \& (ea certe in parte qu{\ae} Solem respicit) % -----File: 496.png--- angustiores redduntur: \& vicissim in recessu eorum ŕ Sole, ubi jam minus excurrunt in caudas, ampliantur; si modň Ph{\ae}nomena eorum \textit{Hevelius} recte notavit. Minim{\ae} autem apparent ubi capita jam modo ad Solem calefacta in caudas maximas \& fulgentissimas abiere, \& nuclei fumo forsan crassiore \& nigriore in Atmosph{\ae}rarum partibus infimis circundantur. Nam fumus omnis ingenti calore excitatus crassior \& nigrior esse solet. Sic caput Comet{\ae} de quo egimus, in {\ae}qualibus ŕ Sole ac Terrâ distantiis, obscurius apparuit post perihelium suum quam antea. Mense enim \textit{Decem.}\ cum stellis terti{\ae} magnitudinis conferri solebat, at Mense \textit{Novem.}\ cum stellis prim{\ae} \& secund{\ae}. Et qui utrum{\que} viderant, majorem describunt Cometam priorem. Nam Juveni cuidam \textit{Cantabrigiensi} \textit{Novem.~19.}\ Cometa hicce luce sua \label{wasp507}quantumvis plumbea \& obtusa {\ae}quabat Spicam Virginis, \& clarius micabat quŕm postea. Et \textit{D. Storer} literis qu{\ae} in manus nostras incidęre, scripsit caput ejus Mense \textit{Decembri}, ubi caudam maximam \& fulgentissimam emittebat, parvum esse \& magnitudine visibili longe cedere Comet{\ae} qui Mense \textit{Novembri} ante Solis ortum apparuerat. Cujus rei rationem esse conjectabatur quod materia capitis sub initio copiosior esset \& paulatim consumeretur. Eodem spectare videtur quod capita Cometarum aliorum, qui caudas maximas \& fulgentissimas emiserunt, describantur subobscura \& exigua. Nam Anno 1668 Mart.\ 5.\ St.\ nov.\ hora septima Vesp.\ \textit{R.~P. Valentinus Estancius}, \textit{Brasili{\ae}} agens, Cometam vidit Horizonti proximum ad occasum Solis brumalem, capite minimo \& vix conspicuo, cauda verň supra modum fulgente, ut stantes in littore speciem ejus č mati reflexam facilč cernerent. Speciem utique habebat trabis splendentis longitudine 23 graduum, ab occidente in austrum vergens, \& Horizonti fere parallela. Tantus autem splendor tres solum dies durabat, subinde notabiliter decrescens; \& interea decrescente splendore aucta est magnitudine cauda. Unde etiam in \textit{Portugallia} quartam fere c{\oe}li partem (id est gradus 45) occupasse dicitur, ab occidente in orientem splendore cum insigni protensa; % -----File: 497.png--- nec tamen tota apparuit, capite semper in his regionibus infra Horizontem delitescente. Ex incremento caud{\ae} \& decremento splendoris manifestum est quod caput ŕ Sole recessit, eique proximum fuit sub initio, pro more Comet{\ae} anni 1680. Et similis legitur Cometa anni 1101 vel 1106, \textit{cujus Stella erat parva \& obscura} (ut ille anni 1680) \textit{sed splendor qui ex ea exivit valde clarus \& quasi ingens trabs ad orientem \& Aquilonem tendebat}, ut habet \textit{Hevelius} ex \textit{Simeone Dunelmensi} Monacho. Apparuit initio Mensis \textit{Feb.}\ circa vesperam ad occasum Solis brumalem. Inde verň \& ex situ caud{\ae} colligitur caput fuisse Soli vicinum. \textit{A Sole}, inquit Matth{\ae}us Parisiensis, \textit{distabat quasi cubito uno, ab hora tertia} [rectius sexta] \textit{usque ad horam nonam radium ex se longum emittens}. Talis etiam erat ardentissimus ille Cometa ab \textit{Aristotele} descriptus Lib.\ 1.\ Meteor.\ 6.\ \textit{cujus caput primo die non conspectum est, eo quod ante Solem vel saltem sub radiis solaribus occidisset, sequente verň die quantum potuit visum est. Nam quam minimâ fieri potest distantiâ Solem reliquit, \& mox occubuit. Ob nimium ardorem} [caud{\ae} scilicet] \textit{nondum apparebat capitis sparsus ignis, sed procedente tempore} (ait Aristoteles) \textit{cum} [cauda] \textit{jam minus flagraret, reddita est} [capiti] \textit{Comet{\ae} sua facies. Et splendorem suum ad tertiam usque c{\oe}li partem} [id est ad 60 gr.]\ \textit{extendit. Apparuit autem tempore hyberno, \& ascendens usque ad cingulum Orionis ibi evanuit.} Cometa ille anni 1618, qui č radiis Solaribus caudatissimus emersit, stellas prim{\ae} magnitudinis {\ae}quare vel paulo superare videbatur, sed majores apparuere Comet{\ae} non pauci qui caudas breviores habuere. Horum aliqui Jovem, alii Venerem vel etiam Lunam {\ae}quasse traduntur. Diximus Cometas esse genus Planetarum in Orbibus valde excentricis circa Solem revolventium. Et quemadmodum č Planetis non caudatis, minores esse solent qui in orbibus minoribus \& Soli proprioribus gyrantur, sie etiam Cometas, qui in Periheliis suis ad Solem propius accedunt, ut plurimum minores esse \& in orbibus minoribus revolvi rationi consentaneum videtur. Orbium verň transversas diametros \& revolutionum tempora periodica ex collatione Cometarum % -----File: 498.png--- in iisdem orbibus post longa temporum intervalla redeuntium determinanda relinquo. Interea huic negotio Propositio sequens Lumen accendere potest. \condpagelarge{Prop.\ XLII\@. Prob.\ XXI.} \textit{Trajectoriam Comet{\ae} graphicč inventam corrigere.} \textit{Oper.\fsp{}1.}\wsp{}Assumatur positio plani Trajectori{\ae}, per Propositionem superiorem graphicč inventa; \& seligantur tria loca Comet{\ae} observationibus accuratissimis definita, \& ab invicem quam maximč distantia; sitque $A$ tempus inter primam \& secundam, ac $B$ tempus inter secundam ac tertiam. Cometam autem in eorum aliquo in Perig{\ae}o versari convenit, vel saltem non longe ŕ Perig{\ae}o abesse. Ex his locis apparentibus inveniantur per operationes Trigonometricas loca tria vera Comet{\ae} in assumpto illo plano Trajectori{\ae}. Deinde per loca illa inventa, circa centrum Solis ceu umbilicum, per operationes Arithmeticas, ope Prop.\ XXI. Lib.\ I. institutas, describatur Sectio Conica: \& ejus are{\ae}, radiis ŕ Sole ad loca inventa ductis terminat{\ae}, sunto $D$ \& $E$; nempe $D$ area inter observationem primam \& secundam, \& $E$ area inter secundam ac tertiam. Sitque $T$ tempus totum quo area tota $D + E$, velocitate Comet{\ae} per Prop.\ XVI. Lib.\ I. inventa, describi debet. \textit{Oper.\fsp{}2.}\wsp{}Augeatur longitudo Nodorum Plani Trajectori{\ae}, additis ad longitudinem illam $20\minute$ vel $30\minute$, qu{\ae} dicantur $P$; \& servetur plani illius inclinatio ad planum Ecliptic{\ae}. Deinde ex pr{\ae}dictis tribus Comet{\ae} locis observatis inveniantur in hoc novo plano loca tria vera (ut supra): deinde etiam orbis per loca illa transiens, \& ejusdem are{\ae} du{\ae} inter observationes descript{\ae}, qu{\ae} sint $d$ \& $e$, nec non tempus totum $t$ quo area tota $d + e$ describi debeat. \textit{Oper.\fsp{}3.}\wsp{}Servetur\spreadout{Longitudo Nodorum in operatione prima, \& augeatur} \\ inclinatio Plani Trajectori{\ae} ad planum Ecliptic{\ae}, additis ad inclinationem illam $20\minute$ vel $30\minute$, qu{\ae} dicantur $Q$. Deinde ex observatis % -----File: 499.png--- pr{\ae}dictis tribus Comet{\ae} locis apparentibus, inveniantur in hoc novo Plano loca tria vera, Orbisque per loca illa transiens, ut \& ejusdem are{\ae} du{\ae} inter observationes descript{\ae}, qu{\ae} sint $\delta$ \& $\epsilon$, \& tempus totum $\tau$ quo area tota $\delta$ + $\epsilon$ describi debeat. Jam sit $C$ ad 1 ut $A$ ad $B$, \& $G$ ad 1 ut $D$ ad $E$, \& $g$ ad 1 ut $d$ ad $e$, \& $\gamma$ ad 1 ut $\delta$ ad $\epsilon$; sitque $S$ tempus verum inter observationem primam ac tertiam; \& signis + \& - probe observatis qu{\ae}rantur numeri $m$ \& $n$, ea lege ut sit $G - C$ = $mG - mg + nG - n\gamma$, \& $T - S$ {\ae}quale $mT - mt + nT - n\tau$. Et si, in operatione prima, $I$ designet inclinationem plani Trajectori{\ae} ad planum Ecliptic{\ae}, \& $K$ longitudinem Nodi alterutrius: erit $I + nQ$ vera inclinatio Plani Trajectori{\ae} ad Planum Ecliptic{\ae}, \& $K + mP$ vera longitudo Nodi. Ac denique si in operatione prima, secunda ac tertia, quantitates $R$, $r$ \& $\rho$ designent Latera recta Trajectori{\ae}, \& quantitates $\frac{1}{L}$, $\frac{1}{l}$, $\frac{1}{\lambda}$ ejusdem Latera transversa respectivč: erit $R + mr - mR + n\rho - nR$ verum Latus rectum, \& $\frac{1}{L + ml - mL + n\lambda - nL}$ verum Latus transversum Trajectori{\ae} quŕm Cometa describit. Dato autem Latere transverso datur etiam tempus periodicum Comet{\ae}. \QEIit \tblong \begin{center}{\LARGE \textit{FINIS.}}\end{center} % -----File: 500.png--- \tblong \newpage \pagestyle{empty} \begin{center}{\large Corrections made to printed original.}\end{center} \begin{center}\textit{The errata of the printed work have been incorporated in the main text. These are additional errors found during transciption.}\end{center} p.\fsp\pageref{wasp6}.\wsp{}IV. ``cum Velocitate partium 10010'': `Volocitate' in original. p.\fsp\pageref{wasp16}.\wsp{}``differenti{\ae} contrariorum 17 - 1 \& 18 - 2'': `contrario-' at end of page in original, the `rum' is only in the catchword. p.\fsp\pageref{wasp11}.\wsp{}``At si attenderetur ad filum'': `attenderatur' in original. p.\fsp\pageref{wasp22}.\wsp{}``si corpora ibant ad eandem plagam'': `eandam' in original. p.\fsp\pageref{wasp27}.\wsp{}Lemma II. ``\& curva $acE$ comprehensa'': `$AcE$' in original. p.\fsp\pageref{wasp27bis}. Lemma III. ``ubi parallelogrammorum latitudines'': `parallelogramomrum' in original. p.\fsp\pageref{wasp54}.\wsp{}``occurrentem tum diametro $YPG$'': `occurentem' in original. p.\fsp\pageref{wasp66}.\wsp{}``ad illius umbilicorum intervallum'': `il-ius' on line break in original. p.\fsp\pageref{wasp69}.\wsp{}``in secundo casu abeunte in infinitum'': `abeun-in' on line break in original. p.\fsp\pageref{wasp77}.\wsp{}Lemma XXI. ``describent sectionem Conicam'': `sec-ionem' in original, across page break: the catchword has the missing t. p.\fsp\pageref{wasp79}.\wsp{}Prob.\ XIV. ``occurrentes in $T$ \& $R$'': `occurentes' in original. p.\fsp\pageref{wasp106}.\wsp{}``\& sic in infinitum.'': `infinium' in original. p.\fsp\pageref{wasp112}.\wsp{}``Cognoscatur etiam angulus tempori proportionalis'': `porportionalis' in original. p.\fsp\pageref{wasp112bis}.\wsp{}``Postea capiatur tum angulus $F$ ad angulum $B$'': `augulus $F$' in original. p.\fsp\pageref{wasp113}.\wsp{}``Asymptotos $CK$'': `Asymtotos' in original. p.\fsp\pageref{wasp146}.\wsp{}``pro ratione distantiarum {\ae}quales viribus quibus corpora unaqua{\que} trahuntur'': `undiqua{\que}' in original. p.\fsp\pageref{wasp176}.\wsp{}Corol.\ 2. ``ultimo in consequentia transeundo a $B$ ad $C$'': `conseqentia' in original. p.\fsp\pageref{wasp180}.\wsp{}``auget{\que} Excentricitatem Ellipseos'': `Ellipsieos' in original. p.\fsp\pageref{wasp184}.\wsp{}``non mutantur motus Augis \& Nodorum sensibiliter'': `sensibilitur' in original. p.\fsp\pageref{wasp219}.\wsp{}``erit attractio corpusculi $P$ in circulum ut $\frac{1}{PA^{n-2}} - \frac{PA}{PH^{n-1}}$.'': First term `$\frac{1}{PA^{n-1}}$' in original. p.\fsp\pageref{wasp222}.\wsp{}``Et pari ratione'': `pari-' at end of line in original. p.\fsp\pageref{wasp226}.\wsp{}``resolvo in Seriem infinitam ... $\frac{m}{n}{OA}$ ...'': `$\frac{n}{m}$' in original. p.\fsp\pageref{wasp254}.\wsp{}Prop.\ VIII. ``spatium totum descriptum distinguatur'': `descriptnm' in original. p.\fsp\pageref{wasp271}.\wsp{}Reg.\ 7. ``determinandi hanc Hyperbolam ex Ph{\ae}nomenis'': `Ph{\ae}nominis' in original. p.\fsp\pageref{wasp271bis}.\wsp{}``in angulis diversis $HAK$, $hAk$'': The second `$hAK$' in original. p.\fsp\pageref{wasp272}.\wsp{}Reg.\ 8. ``quarum $AC$ deorsum tendat'': `tandat' in original. p.\fsp\pageref{wasp294}.\wsp{}Corol.\ 4. ``par est ratio omnium ejusdem magnitudinis'': `magitudinis' in original. p.\fsp\pageref{wasp297}.\wsp{}``densitates $AH$, $DL$, $QT$ erunt continue proportionales'': Last reads `$QO$' in original - the point near $Q$ was marked $O$ in original but changed to $T$ by errata. p.\fsp\pageref{wasp306}.\wsp{}Corol. ``accelerabatur in descensu'': `desensu' in original. p.\fsp\pageref{wasp312}.\wsp{}Theor.\ XXIII. ``in arcuum eorundem semisummam'': `eorundam' in original. p.\fsp\pageref{wasp320}.\wsp{}Corol.\ 2. ``augerentur in duplicata ratione velocitatis'': `augerenter' in original. p.\fsp\pageref{wasp331}.\wsp{}``Et si {\ae}quales illi motus applicentur'': `applicenter' in original. p.\fsp\pageref{wasp340}.\wsp{}``ita ut ascensu ultimo describeret'': `describaret' in original. p.\fsp\pageref{wasp341}.\wsp{}``ut $0\decimals{0002097}V + 0\decimals{0008955}V^{\frac{3}{2}} + ...$'': Exponent `$\frac{2}{3}$' in original. p.\fsp\pageref{wasp345}.\wsp{}``id est 7 ad $\frac{2}{3}$'': `7 ad $\frac{3}{2}$' in original. p.\fsp\pageref{wasp366}.\wsp{}``vim suam elasticam mediocrem'': `medio-' at end of line in original, 'crem' missing. p.\fsp\pageref{wasp405}.\wsp{}Prop.\ II. Theor.\ II. ``(per Corol.\ 1. Prop.\ XLV. Lib.\ I.)'': `Coral' in original. p.\fsp\pageref{wasp418}.\wsp{}``sit ad semidiametrum Solis in eadem ratione circiter'': `semediametrum' in original. p.\fsp\pageref{wasp432}.\wsp{}``alterum in Hemisph{\ae}rio opposito'': `H{\ae}misph{\ae}rio' in original. p.\fsp\pageref{wasp458}.\wsp{}Corol.\ 2. ``in revolutione puncti $p$ generatarum'': `genetarum' in original. p.\fsp\pageref{wasp480}.\wsp{}Corol.\ 1. ``in ratione sesquialtera'': `sequialtera' in original. p.\fsp\pageref{wasp482}.\wsp{}Cas.\ 2. ``$r \operatorname{in} + SL = s$, $s \operatorname{in} + SM = t$'': `$r \operatorname{in} + SL = S$, $S \operatorname{in} + SM = t$' in original. p.\fsp\pageref{wasp487}.\wsp{}Prob.\ XX. ``summa temporum ad dies'': `tempo-porum' on line break in original. p.\fsp\pageref{wasp504}.\wsp{}``ascendendo augebat longitudinem caud{\ae}'': `longi-dinem' on line break in original. p.\fsp\pageref{wasp506}.\wsp{}``ad procreationem vegetabilium irrigent \& nutriant'': `vegitabilium' in original. p.\fsp\pageref{wasp507}.\wsp{}``luce sua quantumvis plumbea'': `quamtumvis' in original. \newpage \small \pagenumbering{Roman} \begin{verbatim} End of the Project Gutenberg EBook of Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, by Isaac Newton *** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK PHILOSOPHIAE NATURALIS *** ***** This file should be named 28233-pdf.pdf or 28233-pdf.zip ***** This and all associated files of various formats will be found in: http://www.gutenberg.org/2/8/2/3/28233/ Produced by Jonathan Ingram, Keith Edkins and the Online Distributed Proofreading Team at http://www.pgdp.net Updated editions will replace the previous one--the old editions will be renamed. Creating the works from public domain print editions means that no one owns a United States copyright in these works, so the Foundation (and you!) can copy and distribute it in the United States without permission and without paying copyright royalties. Special rules, set forth in the General Terms of Use part of this license, apply to copying and distributing Project Gutenberg-tm electronic works to protect the PROJECT GUTENBERG-tm concept and trademark. Project Gutenberg is a registered trademark, and may not be used if you charge for the eBooks, unless you receive specific permission. If you do not charge anything for copies of this eBook, complying with the rules is very easy. You may use this eBook for nearly any purpose such as creation of derivative works, reports, performances and research. They may be modified and printed and given away--you may do practically ANYTHING with public domain eBooks. Redistribution is subject to the trademark license, especially commercial redistribution. *** START: FULL LICENSE *** THE FULL PROJECT GUTENBERG LICENSE PLEASE READ THIS BEFORE YOU DISTRIBUTE OR USE THIS WORK To protect the Project Gutenberg-tm mission of promoting the free distribution of electronic works, by using or distributing this work (or any other work associated in any way with the phrase "Project Gutenberg"), you agree to comply with all the terms of the Full Project Gutenberg-tm License (available with this file or online at http://gutenberg.org/license). Section 1. General Terms of Use and Redistributing Project Gutenberg-tm electronic works 1.A. By reading or using any part of this Project Gutenberg-tm electronic work, you indicate that you have read, understand, agree to and accept all the terms of this license and intellectual property (trademark/copyright) agreement. If you do not agree to abide by all the terms of this agreement, you must cease using and return or destroy all copies of Project Gutenberg-tm electronic works in your possession. If you paid a fee for obtaining a copy of or access to a Project Gutenberg-tm electronic work and you do not agree to be bound by the terms of this agreement, you may obtain a refund from the person or entity to whom you paid the fee as set forth in paragraph 1.E.8. 1.B. "Project Gutenberg" is a registered trademark. It may only be used on or associated in any way with an electronic work by people who agree to be bound by the terms of this agreement. There are a few things that you can do with most Project Gutenberg-tm electronic works even without complying with the full terms of this agreement. See paragraph 1.C below. There are a lot of things you can do with Project Gutenberg-tm electronic works if you follow the terms of this agreement and help preserve free future access to Project Gutenberg-tm electronic works. See paragraph 1.E below. 1.C. The Project Gutenberg Literary Archive Foundation ("the Foundation" or PGLAF), owns a compilation copyright in the collection of Project Gutenberg-tm electronic works. Nearly all the individual works in the collection are in the public domain in the United States. If an individual work is in the public domain in the United States and you are located in the United States, we do not claim a right to prevent you from copying, distributing, performing, displaying or creating derivative works based on the work as long as all references to Project Gutenberg are removed. Of course, we hope that you will support the Project Gutenberg-tm mission of promoting free access to electronic works by freely sharing Project Gutenberg-tm works in compliance with the terms of this agreement for keeping the Project Gutenberg-tm name associated with the work. You can easily comply with the terms of this agreement by keeping this work in the same format with its attached full Project Gutenberg-tm License when you share it without charge with others. 1.D. The copyright laws of the place where you are located also govern what you can do with this work. Copyright laws in most countries are in a constant state of change. If you are outside the United States, check the laws of your country in addition to the terms of this agreement before downloading, copying, displaying, performing, distributing or creating derivative works based on this work or any other Project Gutenberg-tm work. The Foundation makes no representations concerning the copyright status of any work in any country outside the United States. 1.E. Unless you have removed all references to Project Gutenberg: 1.E.1. The following sentence, with active links to, or other immediate access to, the full Project Gutenberg-tm License must appear prominently whenever any copy of a Project Gutenberg-tm work (any work on which the phrase "Project Gutenberg" appears, or with which the phrase "Project Gutenberg" is associated) is accessed, displayed, performed, viewed, copied or distributed: This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with almost no restrictions whatsoever. You may copy it, give it away or re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included with this eBook or online at www.gutenberg.org 1.E.2. If an individual Project Gutenberg-tm electronic work is derived from the public domain (does not contain a notice indicating that it is posted with permission of the copyright holder), the work can be copied and distributed to anyone in the United States without paying any fees or charges. If you are redistributing or providing access to a work with the phrase "Project Gutenberg" associated with or appearing on the work, you must comply either with the requirements of paragraphs 1.E.1 through 1.E.7 or obtain permission for the use of the work and the Project Gutenberg-tm trademark as set forth in paragraphs 1.E.8 or 1.E.9. 1.E.3. If an individual Project Gutenberg-tm electronic work is posted with the permission of the copyright holder, your use and distribution must comply with both paragraphs 1.E.1 through 1.E.7 and any additional terms imposed by the copyright holder. Additional terms will be linked to the Project Gutenberg-tm License for all works posted with the permission of the copyright holder found at the beginning of this work. 1.E.4. Do not unlink or detach or remove the full Project Gutenberg-tm License terms from this work, or any files containing a part of this work or any other work associated with Project Gutenberg-tm. 1.E.5. Do not copy, display, perform, distribute or redistribute this electronic work, or any part of this electronic work, without prominently displaying the sentence set forth in paragraph 1.E.1 with active links or immediate access to the full terms of the Project Gutenberg-tm License. 1.E.6. You may convert to and distribute this work in any binary, compressed, marked up, nonproprietary or proprietary form, including any word processing or hypertext form. However, if you provide access to or distribute copies of a Project Gutenberg-tm work in a format other than "Plain Vanilla ASCII" or other format used in the official version posted on the official Project Gutenberg-tm web site (www.gutenberg.org), you must, at no additional cost, fee or expense to the user, provide a copy, a means of exporting a copy, or a means of obtaining a copy upon request, of the work in its original "Plain Vanilla ASCII" or other form. Any alternate format must include the full Project Gutenberg-tm License as specified in paragraph 1.E.1. 1.E.7. Do not charge a fee for access to, viewing, displaying, performing, copying or distributing any Project Gutenberg-tm works unless you comply with paragraph 1.E.8 or 1.E.9. 1.E.8. You may charge a reasonable fee for copies of or providing access to or distributing Project Gutenberg-tm electronic works provided that - You pay a royalty fee of 20% of the gross profits you derive from the use of Project Gutenberg-tm works calculated using the method you already use to calculate your applicable taxes. The fee is owed to the owner of the Project Gutenberg-tm trademark, but he has agreed to donate royalties under this paragraph to the Project Gutenberg Literary Archive Foundation. Royalty payments must be paid within 60 days following each date on which you prepare (or are legally required to prepare) your periodic tax returns. Royalty payments should be clearly marked as such and sent to the Project Gutenberg Literary Archive Foundation at the address specified in Section 4, "Information about donations to the Project Gutenberg Literary Archive Foundation." - You provide a full refund of any money paid by a user who notifies you in writing (or by e-mail) within 30 days of receipt that s/he does not agree to the terms of the full Project Gutenberg-tm License. You must require such a user to return or destroy all copies of the works possessed in a physical medium and discontinue all use of and all access to other copies of Project Gutenberg-tm works. - You provide, in accordance with paragraph 1.F.3, a full refund of any money paid for a work or a replacement copy, if a defect in the electronic work is discovered and reported to you within 90 days of receipt of the work. - You comply with all other terms of this agreement for free distribution of Project Gutenberg-tm works. 1.E.9. If you wish to charge a fee or distribute a Project Gutenberg-tm electronic work or group of works on different terms than are set forth in this agreement, you must obtain permission in writing from both the Project Gutenberg Literary Archive Foundation and Michael Hart, the owner of the Project Gutenberg-tm trademark. Contact the Foundation as set forth in Section 3 below. 1.F. 1.F.1. Project Gutenberg volunteers and employees expend considerable effort to identify, do copyright research on, transcribe and proofread public domain works in creating the Project Gutenberg-tm collection. Despite these efforts, Project Gutenberg-tm electronic works, and the medium on which they may be stored, may contain "Defects," such as, but not limited to, incomplete, inaccurate or corrupt data, transcription errors, a copyright or other intellectual property infringement, a defective or damaged disk or other medium, a computer virus, or computer codes that damage or cannot be read by your equipment. 1.F.2. LIMITED WARRANTY, DISCLAIMER OF DAMAGES - Except for the "Right of Replacement or Refund" described in paragraph 1.F.3, the Project Gutenberg Literary Archive Foundation, the owner of the Project Gutenberg-tm trademark, and any other party distributing a Project Gutenberg-tm electronic work under this agreement, disclaim all liability to you for damages, costs and expenses, including legal fees. YOU AGREE THAT YOU HAVE NO REMEDIES FOR NEGLIGENCE, STRICT LIABILITY, BREACH OF WARRANTY OR BREACH OF CONTRACT EXCEPT THOSE PROVIDED IN PARAGRAPH F3. YOU AGREE THAT THE FOUNDATION, THE TRADEMARK OWNER, AND ANY DISTRIBUTOR UNDER THIS AGREEMENT WILL NOT BE LIABLE TO YOU FOR ACTUAL, DIRECT, INDIRECT, CONSEQUENTIAL, PUNITIVE OR INCIDENTAL DAMAGES EVEN IF YOU GIVE NOTICE OF THE POSSIBILITY OF SUCH DAMAGE. 1.F.3. LIMITED RIGHT OF REPLACEMENT OR REFUND - If you discover a defect in this electronic work within 90 days of receiving it, you can receive a refund of the money (if any) you paid for it by sending a written explanation to the person you received the work from. If you received the work on a physical medium, you must return the medium with your written explanation. The person or entity that provided you with the defective work may elect to provide a replacement copy in lieu of a refund. If you received the work electronically, the person or entity providing it to you may choose to give you a second opportunity to receive the work electronically in lieu of a refund. If the second copy is also defective, you may demand a refund in writing without further opportunities to fix the problem. 1.F.4. Except for the limited right of replacement or refund set forth in paragraph 1.F.3, this work is provided to you 'AS-IS' WITH NO OTHER WARRANTIES OF ANY KIND, EXPRESS OR IMPLIED, INCLUDING BUT NOT LIMITED TO WARRANTIES OF MERCHANTIBILITY OR FITNESS FOR ANY PURPOSE. 1.F.5. Some states do not allow disclaimers of certain implied warranties or the exclusion or limitation of certain types of damages. If any disclaimer or limitation set forth in this agreement violates the law of the state applicable to this agreement, the agreement shall be interpreted to make the maximum disclaimer or limitation permitted by the applicable state law. The invalidity or unenforceability of any provision of this agreement shall not void the remaining provisions. 1.F.6. INDEMNITY - You agree to indemnify and hold the Foundation, the trademark owner, any agent or employee of the Foundation, anyone providing copies of Project Gutenberg-tm electronic works in accordance with this agreement, and any volunteers associated with the production, promotion and distribution of Project Gutenberg-tm electronic works, harmless from all liability, costs and expenses, including legal fees, that arise directly or indirectly from any of the following which you do or cause to occur: (a) distribution of this or any Project Gutenberg-tm work, (b) alteration, modification, or additions or deletions to any Project Gutenberg-tm work, and (c) any Defect you cause. Section 2. Information about the Mission of Project Gutenberg-tm Project Gutenberg-tm is synonymous with the free distribution of electronic works in formats readable by the widest variety of computers including obsolete, old, middle-aged and new computers. It exists because of the efforts of hundreds of volunteers and donations from people in all walks of life. Volunteers and financial support to provide volunteers with the assistance they need, are critical to reaching Project Gutenberg-tm's goals and ensuring that the Project Gutenberg-tm collection will remain freely available for generations to come. In 2001, the Project Gutenberg Literary Archive Foundation was created to provide a secure and permanent future for Project Gutenberg-tm and future generations. To learn more about the Project Gutenberg Literary Archive Foundation and how your efforts and donations can help, see Sections 3 and 4 and the Foundation web page at http://www.pglaf.org. Section 3. Information about the Project Gutenberg Literary Archive Foundation The Project Gutenberg Literary Archive Foundation is a non profit 501(c)(3) educational corporation organized under the laws of the state of Mississippi and granted tax exempt status by the Internal Revenue Service. The Foundation's EIN or federal tax identification number is 64-6221541. Its 501(c)(3) letter is posted at http://pglaf.org/fundraising. Contributions to the Project Gutenberg Literary Archive Foundation are tax deductible to the full extent permitted by U.S. federal laws and your state's laws. The Foundation's principal office is located at 4557 Melan Dr. S. Fairbanks, AK, 99712., but its volunteers and employees are scattered throughout numerous locations. Its business office is located at 809 North 1500 West, Salt Lake City, UT 84116, (801) 596-1887, email business@pglaf.org. Email contact links and up to date contact information can be found at the Foundation's web site and official page at http://pglaf.org For additional contact information: Dr. Gregory B. Newby Chief Executive and Director gbnewby@pglaf.org Section 4. Information about Donations to the Project Gutenberg Literary Archive Foundation Project Gutenberg-tm depends upon and cannot survive without wide spread public support and donations to carry out its mission of increasing the number of public domain and licensed works that can be freely distributed in machine readable form accessible by the widest array of equipment including outdated equipment. Many small donations ($1 to $5,000) are particularly important to maintaining tax exempt status with the IRS. The Foundation is committed to complying with the laws regulating charities and charitable donations in all 50 states of the United States. Compliance requirements are not uniform and it takes a considerable effort, much paperwork and many fees to meet and keep up with these requirements. We do not solicit donations in locations where we have not received written confirmation of compliance. To SEND DONATIONS or determine the status of compliance for any particular state visit http://pglaf.org While we cannot and do not solicit contributions from states where we have not met the solicitation requirements, we know of no prohibition against accepting unsolicited donations from donors in such states who approach us with offers to donate. International donations are gratefully accepted, but we cannot make any statements concerning tax treatment of donations received from outside the United States. U.S. laws alone swamp our small staff. Please check the Project Gutenberg Web pages for current donation methods and addresses. Donations are accepted in a number of other ways including checks, online payments and credit card donations. To donate, please visit: http://pglaf.org/donate Section 5. General Information About Project Gutenberg-tm electronic works. Professor Michael S. Hart is the originator of the Project Gutenberg-tm concept of a library of electronic works that could be freely shared with anyone. For thirty years, he produced and distributed Project Gutenberg-tm eBooks with only a loose network of volunteer support. Project Gutenberg-tm eBooks are often created from several printed editions, all of which are confirmed as Public Domain in the U.S. unless a copyright notice is included. Thus, we do not necessarily keep eBooks in compliance with any particular paper edition. Most people start at our Web site which has the main PG search facility: http://www.gutenberg.org This Web site includes information about Project Gutenberg-tm, including how to make donations to the Project Gutenberg Literary Archive Foundation, how to help produce our new eBooks, and how to subscribe to our email newsletter to hear about new eBooks. \end{verbatim} % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % % % % End of the Project Gutenberg EBook of Philosophiae Naturalis Principia % % Mathematica, by Isaac Newton % % % % *** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK PHILOSOPHIAE NATURALIS *** % % % % ***** This file should be named 28233-t.tex or 28233-t.zip ***** % % This and all associated files of various formats will be found in: % % http://www.gutenberg.org/2/8/2/3/28233/ % % % % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % \end{document} ### lprep configuration @ControlwordReplace = ( ['\\QEDit',' Q. E. D. '], ['\\QEFit',' Q. E. F. '], ['\\QEIit',' Q. E. I. '], ['\\QEDup',' Q. E. D. '], ['\\QEFup',' Q. E. F. '], ['\\QEIup',' Q. E. I. '], ['\\QEOup',' Q. E. O. '], ['\\tblong',"\n* * *\n"], ['\\tbshort',"\n* * *\n"], ['\\pagelines',"\n* * *\n"], ['\\que','que'], ['\\fsp',' '] ['\\wsp',' '] ); @ControlwordArguments = ( ['\\spreadout',1,1,' ',''], ['\\gesperrt',1,1,'','',1,0,'',''], ['\\sectpage',1,1,'SECT. ',''], ['\\sectnopage',1,1,'SECT. ',''], ['\\pngrightsc',1,0,'[Illustration]','',1,0,'','',1,0,'','',1,0,'','',1,0,'',''], ['\\pngright',1,0,'[Illustration]','',1,0,'','',1,0,'','',1,0,'',''], ['\\pngcent',1,0,'[Illustration]','',1,0,'','',1,0,'',''] ); ### This is pdfeTeX, Version 3.141592-1.30.5-2.2 (Web2C 7.5.5) (format=pdflatex 2008.5.6) 1 MAR 2009 11:21 entering extended mode **28233-t.tex (./28233-t.tex LaTeX2e <2003/12/01> Babel and hyphenation patterns for english, usenglishmax, dumylang, noh yphenation, greek, monogreek, ancientgreek, ibycus, loaded. (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/book.cls Document Class: book 2004/02/16 v1.4f Standard LaTeX document class (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/bk10.clo File: bk10.clo 2004/02/16 v1.4f Standard LaTeX file (size option) ) \c@part=\count79 \c@chapter=\count80 \c@section=\count81 \c@subsection=\count82 \c@subsubsection=\count83 \c@paragraph=\count84 \c@subparagraph=\count85 \c@figure=\count86 \c@table=\count87 \abovecaptionskip=\skip41 \belowcaptionskip=\skip42 \bibindent=\dimen102 ) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amslatex/amsmath.sty Package: amsmath 2000/07/18 v2.13 AMS math features \@mathmargin=\skip43 For additional information on amsmath, use the `?' option. (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amslatex/amstext.sty Package: amstext 2000/06/29 v2.01 (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amslatex/amsgen.sty File: amsgen.sty 1999/11/30 v2.0 \@emptytoks=\toks14 \ex@=\dimen103 )) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amslatex/amsbsy.sty Package: amsbsy 1999/11/29 v1.2d \pmbraise@=\dimen104 ) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amslatex/amsopn.sty Package: amsopn 1999/12/14 v2.01 operator names ) \inf@bad=\count88 LaTeX Info: Redefining \frac on input line 211. \uproot@=\count89 \leftroot@=\count90 LaTeX Info: Redefining \overline on input line 307. \classnum@=\count91 \DOTSCASE@=\count92 LaTeX Info: Redefining \ldots on input line 379. LaTeX Info: Redefining \dots on input line 382. LaTeX Info: Redefining \cdots on input line 467. \Mathstrutbox@=\box26 \strutbox@=\box27 \big@size=\dimen105 LaTeX Font Info: Redeclaring font encoding OML on input line 567. LaTeX Font Info: Redeclaring font encoding OMS on input line 568. \macc@depth=\count93 \c@MaxMatrixCols=\count94 \dotsspace@=\muskip10 \c@parentequation=\count95 \dspbrk@lvl=\count96 \tag@help=\toks15 \row@=\count97 \column@=\count98 \maxfields@=\count99 \andhelp@=\toks16 \eqnshift@=\dimen106 \alignsep@=\dimen107 \tagshift@=\dimen108 \tagwidth@=\dimen109 \totwidth@=\dimen110 \lineht@=\dimen111 \@envbody=\toks17 \multlinegap=\skip44 \multlinetaggap=\skip45 \mathdisplay@stack=\toks18 LaTeX Info: Redefining \[ on input line 2666. LaTeX Info: Redefining \] on input line 2667. ) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty Package: amssymb 2002/01/22 v2.2d (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty Package: amsfonts 2001/10/25 v2.2f \symAMSa=\mathgroup4 \symAMSb=\mathgroup5 LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathfrak' in version `bold' (Font) U/euf/m/n --> U/euf/b/n on input line 132. )) (/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/babel.sty Package: babel 2005/05/21 v3.8g The Babel package (/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/greek.ldf Language: greek 2005/03/30 v1.3l Greek support from the babel system (/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/babel.def File: babel.def 2005/05/21 v3.8g Babel common definitions \babel@savecnt=\count100 \U@D=\dimen112 ) Loading the definitions for the Greek font encoding (/usr/share/texmf-texlive /tex/generic/babel/lgrenc.def File: lgrenc.def 2001/01/30 v2.2e Greek Encoding )) (/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/latin.ldf File: latin.ldf 2005/03/30 v2.0f Latin support from the babel system Package babel Warning: No hyphenation patterns were loaded for (babel) the language `Latin' (babel) I will use the patterns loaded for \language=0 instead. \l@latin = a dialect from \language0 Package babel Info: Making " an active character on input line 182. )) LaTeX Warning: You have requested, on input line 71, version `2008/07/06' of package babel, but only version `2005/05/21 v3.8g The Babel package' is available. (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/graphicx.sty Package: graphicx 1999/02/16 v1.0f Enhanced LaTeX Graphics (DPC,SPQR) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/keyval.sty Package: keyval 1999/03/16 v1.13 key=value parser (DPC) \KV@toks@=\toks19 ) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/graphics.sty Package: graphics 2001/07/07 v1.0n Standard LaTeX Graphics (DPC,SPQR) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/trig.sty Package: trig 1999/03/16 v1.09 sin cos tan (DPC) ) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/config/graphics.cfg File: graphics.cfg 2001/08/31 v1.1 graphics configuration of teTeX/TeXLive ) Package graphics Info: Driver file: pdftex.def on input line 80. (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/pdftex.def File: pdftex.def 2005/06/20 v0.03m graphics/color for pdftex \Gread@gobject=\count101 )) \Gin@req@height=\dimen113 \Gin@req@width=\dimen114 ) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/inputenc.sty Package: inputenc 2004/02/05 v1.0d Input encoding file (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/latin1.def File: latin1.def 2004/02/05 v1.0d Input encoding file )) LaTeX Warning: You have requested, on input line 73, version `2006/05/05' of package inputenc, but only version `2004/02/05 v1.0d Input encoding file' is available. (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ltxmisc/needspace.sty Package: needspace 2003/02/18 v1.3a reserve vertical space ) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/teubner/teubner.sty Package: teubner 2004/09/14 v.2.2b extensions for Greek philology (/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/lgrcmr.fd File: lgrcmr.fd 2001/01/30 v2.2e Greek Computer Modern ) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/exscale.sty Package: exscale 1997/06/16 v2.1g Standard LaTeX package exscale LaTeX Font Info: Redeclaring symbol font `largesymbols' on input line 52. LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `largesymbols' in version `normal' (Font) OMX/cmex/m/n --> OMX/cmex/m/n on input line 52. LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `largesymbols' in version `bold' (Font) OMX/cmex/m/n --> OMX/cmex/m/n on input line 52. \big@size=\dimen115 ) LaTeX Info: Redefining \textlatin on input line 101. LaTeX Info: Redefining \: on input line 588. LaTeX Info: Redefining \; on input line 589. LaTeX Info: Redefining \| on input line 598. \Uunit=\dimen116 LaTeX Info: Redefining \star on input line 771. \c@verso=\count102 \c@subverso=\count103 \versoskip=\skip46 LaTeX Info: Redefining \breve on input line 972. \br@cedmetrics=\skip47 LaTeX Info: Redefining \Greeknumeral on input line 1051. LaTeX Info: Redefining \greeknumeral on input line 1054. ) LaTeX Warning: You have requested, on input line 75, version `2008/02/10' of package teubner, but only version `2004/09/14 v.2.2b extensions for Greek philology' is available. (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/wasysym/wasysym.sty Package: wasysym 2003/10/30 v2.0 Wasy-2 symbol support package \symwasy=\mathgroup6 LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `wasy' in version `bold' (Font) U/wasy/m/n --> U/wasy/b/n on input line 90. ) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/wrapfig/wrapfig.sty \wrapoverhang=\dimen117 \WF@size=\dimen118 \c@WF@wrappedlines=\count104 \WF@box=\box28 \WF@everypar=\toks20 Package: wrapfig 2003/01/31 v 3.6 ) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/tools/verbatim.sty Package: verbatim 2003/08/22 v1.5q LaTeX2e package for verbatim enhancements \every@verbatim=\toks21 \verbatim@line=\toks22 \verbatim@in@stream=\read1 ) \c@wrapwidth=\count105 \Zw=\count106 \Zh=\count107 (./28233-t.aux) \openout1 = `28233-t.aux'. LaTeX Font Info: Checking defaults for OML/cmm/m/it on input line 223. LaTeX Font Info: ... okay on input line 223. LaTeX Font Info: Checking defaults for T1/cmr/m/n on input line 223. LaTeX Font Info: ... okay on input line 223. LaTeX Font Info: Checking defaults for OT1/cmr/m/n on input line 223. LaTeX Font Info: ... okay on input line 223. LaTeX Font Info: Checking defaults for OMS/cmsy/m/n on input line 223. LaTeX Font Info: ... okay on input line 223. LaTeX Font Info: Checking defaults for OMX/cmex/m/n on input line 223. LaTeX Font Info: ... okay on input line 223. LaTeX Font Info: Checking defaults for U/cmr/m/n on input line 223. LaTeX Font Info: ... okay on input line 223. LaTeX Font Info: Checking defaults for LGR/cmr/m/n on input line 223. LaTeX Font Info: ... okay on input line 223. (/usr/share/texmf-texlive/tex/context/base/supp-pdf.tex (/usr/share/texmf-texli ve/tex/context/base/supp-mis.tex loading : Context Support Macros / Miscellaneous (2004.10.26) \protectiondepth=\count108 \scratchcounter=\count109 \scratchtoks=\toks23 \scratchdimen=\dimen119 \scratchskip=\skip48 \scratchmuskip=\muskip11 \scratchbox=\box29 \scratchread=\read2 \scratchwrite=\write3 \zeropoint=\dimen120 \onepoint=\dimen121 \onebasepoint=\dimen122 \minusone=\count110 \thousandpoint=\dimen123 \onerealpoint=\dimen124 \emptytoks=\toks24 \nextbox=\box30 \nextdepth=\dimen125 \everyline=\toks25 \!!counta=\count111 \!!countb=\count112 \recursecounter=\count113 ) loading : Context Support Macros / PDF (2004.03.26) \nofMPsegments=\count114 \nofMParguments=\count115 \MPscratchCnt=\count116 \MPscratchDim=\dimen126 \MPnumerator=\count117 \everyMPtoPDFconversion=\toks26 ) [1 {/var/lib/texmf/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map}] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8 ] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] File: images/021.png Graphic file (type png) LaTeX Font Info: External font `cmex7' loaded for size (Font) <7> on input line 999. LaTeX Font Info: External font `cmex7' loaded for size (Font) <5> on input line 999. LaTeX Font Info: Try loading font information for U+msa on input line 999. (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsa.fd File: umsa.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions ) LaTeX Font Info: Try loading font information for U+msb on input line 999. (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsb.fd File: umsb.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions ) LaTeX Font Info: Try loading font information for U+wasy on input line 999. (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/wasysym/uwasy.fd File: uwasy.fd 2003/10/30 v2.0 Wasy-2 symbol font definitions ) File: images/022.png Graphic file (type png) [17 <./images/021.png (PNG copy)> <./images/022.png (PNG c opy)>] [18] [19] [20] File: images/029.png Graphic file (type png) [21 <./images/029.png (PNG copy)>] [22] [23] [24] File: images/035.png Graphic file (type png) [25 <./images/035.png (PNG copy)>] File: images/036.png Graphic file (type png) Underfull \hbox (badness 1048) in paragraph at lines 1553--1554 \OT1/cmr/m/it/10 in-scrib-an-tur (ut supra) du^^Z par-al-lel-o- [] [26 <./images/036.png (PNG copy)>] File: images/037.png Graphic file (type png) File: images/038.png Graphic file (type png) File: images/037.png Graphic file (type png) [27 <./images/037.png (PNG copy)> <./images/038.png (PNG c opy)>] File: images/039.png Graphic file (type png) [28 <./images/039.png (PNG copy)>] File: images/041.png Graphic file (type png) [29 <./images/041.png (PNG copy)>] [30] [31] File: images/045.png Graphic file (type png) [32 <./images/045.png (PNG copy)>] [33] File: images/049.png Graphic file (type png) [34 <./images/049.png (PNG copy)>] [35] File: images/052a.png Graphic file (type png) File: images/052b.png Graphic file (type png) [36 <./images/052a.png (PNG copy)> <./images/052b.png (PN G copy)>] File: images/053.png Graphic file (type png) File: images/054.png Graphic file (type png) [37 <./images/053.png (PNG copy)> <./images/054.png (PNG c opy)>] File: images/055.png Graphic file (type png) File: images/056.png Graphic file (type png) [38 <./images/055.png (PNG copy)>] Underfull \hbox (badness 3049) in paragraph at lines 2369--2379 []\OT1/cmr/m/it/10 Corol. 2. \OT1/cmr/m/n/10 Et ^^Zqualia erunt rev-o-lu- [] Underfull \hbox (badness 1072) in paragraph at lines 2369--2379 \OT1/cmr/m/n/10 tion-um in Fig-uris uni-ver-sis cir-ca cen- [] [39 <./images/056.png (PNG copy)>] File: images/056.png Graphic file (type png) File: images/060.png Graphic file (type png) [40] Underfull \hbox (badness 1308) in paragraph at lines 2461--2503 \OT1/cmr/m/n/10 si $\OML/cmm/m/it/10 EC$ \OT1/cmr/m/n/10 par-al-lela, ob ^^Zqua les $\OML/cmm/m/it/10 CS$\OT1/cmr/m/n/10 , [] File: images/062.png Graphic file (type png) [41 <./images/060.png (PNG copy)>] File: images/062.png Graphic file (type png) Underfull \hbox (badness 3690) in paragraph at lines 2560--2588 [][]\OT1/cmr/m/n/10 Maneat con-struc-tio Lem-ma-tis, [] [42 <./images/062.png (PNG copy)>] [43] [44] File: images/067.png Graphic file (type png) [45 <./images/067.png (PNG copy)>] [46] File: images/069.png Graphic file (type png) File: images/070a.png Graphic file (type png) [47 <./images/069.png (PNG copy)> <./images/070a.png (PNG copy)>] File: images/070b.png Graphic file (type png) File: images/071.png Graphic file (type png) File: images/072.png Graphic file (type png) [48 <./images/070b.png (PNG copy)> <./images/071.png (PNG copy)> <./images/072.png (PNG copy)>] File: images/073.png Graphic file (type png) File: images/074.png Graphic file (type png) Underfull \hbox (badness 1565) in paragraph at lines 2983--2995 \OT1/cmr/m/n/10 scrip-t^^Z. In tan-gen-tem [] [49 <./images/073.png (PNG copy)> <./images/074.png (PNG copy)>] File: images/075.png Graphic file (type png) File: images/076.png Graphic file (type png) [50 <./images/075.png (PNG copy)>] File: images/077.png Graphic file (type png) [51 <./images/076.png (PNG copy)> <./images/077.png (PNG c opy)>] File: images/078.png Graphic file (type png) File: images/079a.png Graphic file (type png) [52 <./images/078.png (PNG copy)> <./images/079a.png (PNG copy)>] File: images/079b.png Graphic file (type png) File: images/080.png Graphic file (type png) [53 <./images/079b.png (PNG copy)> <./images/080.png (PNG copy)>] File: images/082.png Graphic file (type png) [54 <./images/082.png (PNG copy)>] File: images/083.png Graphic file (type png) File: images/084.png Graphic file (type png) [55 <./images/083.png (PNG copy)> <./images/084.png (PNG c opy)>] File: images/086.png Graphic file (type png) [56 <./images/086.png (PNG copy)>] File: images/087.png Graphic file (type png) File: images/086.png Graphic file (type png) [57 <./images/087.png (PNG copy)>] File: images/090a.png Graphic file (type png) [58 <./images/090a.png (PNG copy)>] File: images/090b.png Graphic file (type png) File: images/091.png Graphic file (type png) File: images/092.png Graphic file (type png) [59 <./images/090b.png (PNG copy)> <./images/091.png (PNG copy)>] File: images/093.png Graphic file (type png) Underfull \hbox (badness 1048) in paragraph at lines 3733--3758 [][]\OT1/cmr/m/n/10 Transmutanda sit figu-ra qu^^Zvis $\OML/cmm/m/it/10 HGI$\OT 1/cmr/m/n/10 . [] [60 <./images/092.png (PNG copy)> <./images/093.png (PNG copy)>] File: images/096.png Graphic file (type png) [61] File: images/097.png Graphic file (type png) [62 <./images/096.png (PNG copy)>] File: images/098.png Graphic file (type png) [63 <./images/097.png (PNG copy)> <./images/098.png (PNG c opy)>] File: images/100.png Graphic file (type png) File: images/101.png Graphic file (type png) [64 <./images/100.png (PNG copy)> <./images/101.png (PNG c opy)>] File: images/102.png Graphic file (type png) [65 <./images/102.png (PNG copy)>] File: images/104a.png Graphic file (type png) File: images/104b.png Graphic file (type png) [66 <./images/104a.png (PNG copy)> <./images/104b.png (PN G copy)>] File: images/106.png Graphic file (type png) Underfull \hbox (badness 2134) in paragraph at lines 4221--4225 \OML/cmm/m/it/10 DEF$\OT1/cmr/m/n/10 , qu^^Zq; a rec-tis [] File: images/108.png Graphic file (type png) Underfull \hbox (badness 5231) in paragraph at lines 4241--4266 [][]\OT1/cmr/m/n/10 Dentur po-si-tione rec-t^^Z [] [67 <./images/106.png (PNG copy)> <./images/108.png (PNG copy)>] File: images/109.png Graphic file (type png) [68 <./images/109.png (PNG copy)>] File: images/110.png Graphic file (type png) Underfull \hbox (badness 3333) in paragraph at lines 4343--4363 \OML/cmm/m/it/10 fghi$\OT1/cmr/m/n/10 , qu^^Z sim-ilis sit line^^Z [] Underfull \hbox (badness 2698) in paragraph at lines 4343--4363 \OML/cmm/m/it/10 GH$\OT1/cmr/m/n/10 , $\OML/cmm/m/it/10 HI$ \OT1/cmr/m/n/10 sim -i-les & pro-por- [] [69 <./images/110.png (PNG copy)>] File: images/111.png Graphic file (type png) [70 <./images/111.png (PNG copy)>] File: images/112.png Graphic file (type png) [71 <./images/112.png (PNG copy)>] [72] File: images/116.png Graphic file (type png) [73 <./images/116.png (PNG copy)>] File: images/118.png Graphic file (type png) [74 <./images/118.png (PNG copy)>] File: images/119.png Graphic file (type png) File: images/121.png Graphic file (type png) [75 <./images/119.png (PNG copy)>] [76 <./images/121.png ( PNG copy)>] File: images/123.png Graphic file (type png) File: images/126.png Graphic file (type png) Underfull \hbox (badness 3333) in paragraph at lines 4853--4861 []\OT1/cmr/m/it/10 Cas. 3. \OT1/cmr/m/n/10 Et sim-ili ar-gu-men-to si figu-ra $ \OML/cmm/m/it/10 RPB$ [] [77 <./images/123.png (PNG copy)> <./images/126.png (PNG copy)>] File: images/123.png Graphic file (type png) File: images/126.png Graphic file (type png) [78] File: images/127.png Graphic file (type png) File: images/128a.png Graphic file (type png) [79 <./images/127.png (PNG copy)> <./images/128a.png (PNG copy)>] File: images/128b.png Graphic file (type png) File: images/129a.png Graphic file (type png) File: images/129b.png Graphic file (type png) [80 <./images/128b.png (PNG copy)> <./images/129a.png (PN G copy)>] File: images/130.png Graphic file (type png) [81 <./images/129b.png (PNG copy)> <./images/130.png (PNG copy)>] [82] File: images/136.png Graphic file (type png) [83 <./images/136.png (PNG copy)>] File: images/136.png Graphic file (type png) [84] File: images/138.png Graphic file (type png) [85] [86 <./images/138.png (PNG copy)>] File: images/140.png Graphic file (type png) File: images/140.png Graphic file (type png) [87 <./images/140.png (PNG copy)>] [88] File: images/145.png Graphic file (type png) [89 <./images/145.png (PNG copy)>] [90] [91] [92] [93] File: images/153.png Graphic file (type png) [94 <./images/153.png (PNG copy)>] File: images/153.png Graphic file (type png) [95] File: images/156.png Graphic file (type png) [96 <./images/156.png (PNG copy)>] File: images/159.png Graphic file (type png) [97 <./images/159.png (PNG copy)>] [98] File: images/161.png Graphic file (type png) File: images/162.png Graphic file (type png) [99 <./images/161.png (PNG copy)> <./images/162.png (PNG c opy)>] [100] File: images/165.png Graphic file (type png) [101 <./images/165.png (PNG copy)>] File: images/167.png Graphic file (type png) File: images/168.png Graphic file (type png) [102 <./images/167.png (PNG copy)>] [103 <./images/168.png (PNG copy)>] [104] File: images/172.png Graphic file (type png) [105] [106 <./images/172.png (PNG copy)>] [107] [108] File: images/177.png Graphic file (type png) [109 <./images/177.png (PNG copy)>] [110] File: images/185.png Graphic file (type png) Underfull \hbox (badness 1776) in paragraph at lines 6914--6967 \OT1/cmr/m/n/10 & $\OML/cmm/m/it/10 Q$ \OT1/cmr/m/n/10 in eo-dem plano cir-ca m ax-i-mum [] [111 <./images/185.png (PNG copy)>] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [ 119] File: images/185.png Graphic file (type png) Underfull \hbox (badness 1484) in paragraph at lines 7454--7474 \OT1/cmr/m/n/10 Prop. LXVI, sed ar-gu-men-to pro-lix-iore, [] [120] [121] [122] File: images/201.png Graphic file (type png) File: images/202.png Graphic file (type png) [123 <./images/201.png (PNG copy)> <./images/202.png (PNG copy)>] [124] File: images/204.png Graphic file (type png) [125 <./images/204.png (PNG copy)>] File: images/207.png Graphic file (type png) [126 <./images/207.png (PNG copy)>] File: images/210.png Graphic file (type png) Underfull \hbox (badness 1158) in paragraph at lines 7897--7898 \OT1/cmr/m/it/10 cen-tripet^^Z pro-por-tionales dis-tan-ti-is punc-to-rum a [] [127 <./images/210.png (PNG copy)>] [128] File: images/215.png Graphic file (type png) [129] [130 <./images/215.png (PNG copy)>] File: images/215.png Graphic file (type png) File: images/216.png Graphic file (type png) [131] File: images/217.png Graphic file (type png) [132 <./images/216.png (PNG copy)> <./images/217.png (PNG copy)>] File: images/215.png Graphic file (type png) File: images/220.png Graphic file (type png) [133] [134 <./images/220.png (PNG copy)>] [135] File: images/224.png Graphic file (type png) [136 <./images/224.png (PNG copy)>] File: images/226.png Graphic file (type png) [137 <./images/226.png (PNG copy)>] File: images/228.png Graphic file (type png) [138 <./images/228.png (PNG copy)>] File: images/229.png Graphic file (type png) Underfull \hbox (badness 1112) in paragraph at lines 8657--8681 [][]\OT1/cmr/m/it/10 Corol. 2. \OT1/cmr/m/n/10 Hinc eti-am vis in-notesc-it qua [] File: images/230.png Graphic file (type png) [139 <./images/229.png (PNG copy)> <./images/230.png (PNG copy)>] File: images/231.png Graphic file (type png) [140 <./images/231.png (PNG copy)>] [141] [142] File: images/235.png Graphic file (type png) File: images/237.png Graphic file (type png) [143 <./images/235.png (PNG copy)>] File: images/238.png Graphic file (type png) [144 <./images/237.png (PNG copy)> <./images/238.png (PNG copy)>] File: images/240.png Graphic file (type png) [145 <./images/240.png (PNG copy)>] File: images/241a.png Graphic file (type png) File: images/241b.png Graphic file (type png) [146 <./images/241a.png (PNG copy)> <./images/241b.png (P NG copy)>] [147] [148] File: images/246a.png Graphic file (type png) File: images/246b.png Graphic file (type png) File: images/247.png Graphic file (type png) [149 <./images/246a.png (PNG copy)> <./images/246b.png (PN G copy)>] File: images/249.png Graphic file (type png) [150 <./images/247.png (PNG copy)>] [151 <./images/249.png (PNG copy)>] File: images/280.png Graphic file (type png) [152 <./images/280.png (PNG copy)>] [153] File: images/254.png Graphic file (type png) [154 <./images/254.png (PNG copy)>] File: images/256.png Graphic file (type png) [155 <./images/256.png (PNG copy)>] [156] [157] File: images/263.png Graphic file (type png) [158] [159 <./images/263.png (PNG copy)>] File: images/263.png Graphic file (type png) [160] [161] File: images/271.png Graphic file (type png) [162 <./images/271.png (PNG copy)>] [163] [164] [165] File: images/275.png Graphic file (type png) Underfull \hbox (badness 2237) in paragraph at lines 10269--10316 \OT1/cmr/m/n/10 rect-an-gu-lum $\OML/cmm/m/it/10 XV$ \OT1/cmr/m/n/10 in $\OML/c mm/m/it/10 VG$ \OT1/cmr/m/n/10 dabitur. [] [166 <./images/275.png (PNG copy)>] [167] File: images/280.png Graphic file (type png) [168] File: images/275.png Graphic file (type png) File: images/281.png Graphic file (type png) [169 <./images/281.png (PNG copy)>] [170] File: images/283.png Graphic file (type png) [171 <./images/283.png (PNG copy)>] File: images/285.png Graphic file (type png) [172 <./images/285.png (PNG copy)>] File: images/286.png Graphic file (type png) File: images/287.png Graphic file (type png) [173 <./images/286.png (PNG copy)> <./images/287.png (PNG copy)>] [174] [175] File: images/292.png Graphic file (type png) File: images/292.png Graphic file (type png) [176 <./images/292.png (PNG copy)>] [177] File: images/295.png Graphic file (type png) Underfull \hbox (badness 1014) in paragraph at lines 10982--11013 [][]\OT1/cmr/m/it/10 Corol. 7. \OT1/cmr/m/n/10 Si cor-pus, in Medio cu-jus [] [178 <./images/295.png (PNG copy)>] [179] [180] File: images/299.png Graphic file (type png) [181 <./images/299.png (PNG copy)>] File: images/301.png Graphic file (type png) [182 <./images/301.png (PNG copy)>] [183] File: images/304.png Graphic file (type png) [184] File: images/305.png Graphic file (type png) [185 <./images/304.png (PNG copy)> <./images/305.png (PNG copy)>] File: images/306.png Graphic file (type png) [186 <./images/306.png (PNG copy)>] File: images/309.png Graphic file (type png) [187 <./images/309.png (PNG copy)>] [188] [189] [190] File: images/313.png Graphic file (type png) [191 <./images/313.png (PNG copy)>] [192] File: images/317.png Graphic file (type png) [193 <./images/317.png (PNG copy)>] [194] File: images/321.png Graphic file (type png) [195 <./images/321.png (PNG copy)>] [196] [197] [198] [199 ] [200] [201] File: images/333.png Graphic file (type png) [202 <./images/333.png (PNG copy)>] File: images/334.png Graphic file (type png) File: images/335.png Graphic file (type png) [203 <./images/334.png (PNG copy)>] [204 <./images/335.png (PNG copy)>] [205] [206] File: images/341.png Graphic file (type png) Underfull \hbox (badness 2875) in paragraph at lines 12687--12738 [][]\OT1/cmr/m/n/10 Defluat aqua de vase Cylin-dri- [] [207 <./images/341.png (PNG copy)>] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [ 215] [216] [217] [218] [219] [220] File: images/362.png Graphic file (type png) File: images/365.png Graphic file (type png) Underfull \hbox (badness 1348) in paragraph at lines 13504--13532 \OT1/cmr/m/n/10 a-gat^^Z pars ali-qua ob-stac- [] Underfull \hbox (badness 2573) in paragraph at lines 13504--13532 \OT1/cmr/m/n/10 qua qu^^Z non in-ter-cip-itur [] Underfull \hbox (badness 1466) in paragraph at lines 13504--13532 \OT1/cmr/m/n/10 di-var-i-cabit in spa-tia pone [] Underfull \hbox (badness 1014) in paragraph at lines 13504--13532 \OT1/cmr/m/n/10 ob-stac-u-lum. Id quod sic [] Underfull \hbox (badness 3375) in paragraph at lines 13504--13532 \OT1/cmr/m/n/10 eti-am demon-strari pot-est. [] Underfull \hbox (badness 7576) in paragraph at lines 13504--13532 \OT1/cmr/m/n/10 A punc-to $\OML/cmm/m/it/10 A$ \OT1/cmr/m/n/10 propage-tur [] Underfull \hbox (badness 2334) in paragraph at lines 13504--13532 \OT1/cmr/m/n/10 pres-sio quaqua-ver-sum, id- [] Underfull \hbox (badness 1867) in paragraph at lines 13504--13532 \OT1/cmr/m/n/10 que si fieri potest se-cun- [] Underfull \hbox (badness 1292) in paragraph at lines 13504--13532 \OT1/cmr/m/n/10 dum lin-eas rec-tas, & ob- [] [221 <./images/362.png (PNG copy)> <./images/365.png (PNG copy)>] File: images/365.png Graphic file (type png) Underfull \hbox (badness 1655) in paragraph at lines 13542--13565 [][]\OT1/cmr/m/it/10 Cas. 1. \OT1/cmr/m/n/10 Propage-tur mo- [] [222] [223] File: images/369.png Graphic file (type png) Underfull \hbox (badness 1688) in paragraph at lines 13677--13699 \OT1/cmr/m/n/10 es canalis & cru-rum, [] [224 <./images/369.png (PNG copy)>] [225] [226] File: images/374.png Graphic file (type png) Underfull \hbox (badness 1735) in paragraph at lines 13824--13858 []\OT1/cmr/m/n/10 Designent $\OML/cmm/m/it/10 AB$\OT1/cmr/m/n/10 , $\OML/cmm/m/ it/10 BC$\OT1/cmr/m/n/10 , $\OML/cmm/m/it/10 CD$\OT1/cmr/m/n/10 , &c. pul-su-um suc-ces-sivo-rum [] File: images/373.png Graphic file (type png) [227 <./images/374.png (PNG copy)>] [228 <./images/373.png (PNG copy)>] [229] [230] [231] File: images/381.png Graphic file (type png) [232 <./images/381.png (PNG copy)>] [233] [234] [235] [236 ] [237] File: images/392.png Graphic file (type png) [238 <./images/392.png (PNG copy)>] [239] [240] [241] [242 ] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] File: images/410.png Graphic file (type png) [253 <./images/410.png (PNG copy)>] [254] [255] [256] [257 ] File: images/419.png Graphic file (type png) [258 <./images/419.png (PNG copy)>] [259] File: images/422.png Graphic file (type png) [260 <./images/422.png (PNG copy)>] File: images/424.png Graphic file (type png) Underfull \hbox (badness 2799) in paragraph at lines 15839--15904 \OT1/cmr/m/n/10 dio ad Ter-ram duc-to de-scrib-it, [] Underfull \hbox (badness 2065) in paragraph at lines 15839--15904 \OT1/cmr/m/n/10 in-ves-ti-gan-dam pro-pon-imus. Ut [] [261 <./images/424.png (PNG copy)>] [262] File: images/427.png Graphic file (type png) [263 <./images/427.png (PNG copy)>] File: images/432.png Graphic file (type png) [264] Underfull \hbox (badness 1072) in paragraph at lines 16072--16111 \OT1/cmr/m/n/10 semidi-am-e-ter $\OML/cmm/m/it/10 SA$ \OT1/cmr/m/n/10 ad ejus- [] Underfull \hbox (badness 1755) in paragraph at lines 16072--16111 \OT1/cmr/m/n/10 mo-men-tum in Quadratu-ra [] File: images/432.png Graphic file (type png) [265 <./images/432.png (PNG copy)>] Underfull \hbox (badness 2932) in paragraph at lines 16130--16146 \OT1/cmr/m/n/10 or $\OML/cmm/m/it/10 PI$ \OT1/cmr/m/n/10 ex viribus $\OML/cmm/m /it/10 IT$ \OT1/cmr/m/n/10 & [] Underfull \hbox (badness 1087) in paragraph at lines 16130--16146 \OT1/cmr/m/n/10 pore suo pe-ri-od-i-co re-volvi [] [266] File: images/434.png Graphic file (type png) Underfull \hbox (badness 4217) in paragraph at lines 16198--16203 \OT1/cmr/m/n/10 sum, sin-gulis men-si-bus fer-un-tur in [] [267 <./images/434.png (PNG copy)>] File: images/436.png Graphic file (type png) Underfull \hbox (badness 2521) in paragraph at lines 16277--16287 [][]\OT1/cmr/m/n/10 Designet $\OML/cmm/m/it/10 Qpmaq$ \OT1/cmr/m/n/10 El-lip- [] [268 <./images/436.png (PNG copy)>] [269] [270] File: images/441.png Graphic file (type png) [271 <./images/441.png (PNG copy)>] File: images/444.png Graphic file (type png) [272] File: images/445.png Graphic file (type png) Underfull \hbox (badness 1173) in paragraph at lines 16582--16598 \OT1/cmr/m/n/10 pen-dicu-lum $\OML/cmm/m/it/10 PG$\OT1/cmr/m/n/10 , jun-gatur [] [273 <./images/444.png (PNG copy)> <./images/445.png (PNG copy)>] [274] File: images/450.png Graphic file (type png) [275 <./images/450.png (PNG copy)>] File: images/451.png Graphic file (type png) [276] [277 <./images/451.png (PNG copy)>] [278] File: images/458.png Graphic file (type png) [279 <./images/458.png (PNG copy)>] [280] File: images/458.png Graphic file (type png) File: images/460.png Graphic file (type png) [281] [282 <./images/460.png (PNG copy)>] File: images/462.png Graphic file (type png) [283 <./images/462.png (PNG copy)>] File: images/463.png Graphic file (type png) [284 <./images/463.png (PNG copy)>] [285] [286] File: images/470.png Graphic file (type png) [287] [288 <./images/470.png (PNG copy)>] File: images/472.png Graphic file (type png) File: images/474.png Graphic file (type png) [289 <./images/472.png (PNG copy)> <./images/474.png (PNG copy)>] [290] File: images/476.png Graphic file (type png) [291 <./images/476.png (PNG copy)>] [292] [293] File: images/480.png Graphic file (type png) File: images/481.png Graphic file (type png) [294 <./images/480.png (PNG copy)> <./images/481.png (PNG copy)>] [295] [296] [297] [298] [299] [300] [301] [302] [303] [304] [305] [306] [307] [308] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] (./28233-t.aux) ) Here is how much of TeX's memory you used: 4338 strings out of 95148 51694 string characters out of 1184452 106859 words of memory out of 1000000 7270 multiletter control sequences out of 10000+50000 9815 words of font info for 36 fonts, out of 500000 for 2000 73 hyphenation exceptions out of 8191 26i,12n,29p,322b,297s stack positions out of 1500i,500n,5000p,200000b,5000s PDF statistics: 1753 PDF objects out of 300000 0 named destinations out of 131072 1941 words of extra memory for PDF output out of 10000 Output written on 28233-t.pdf (316 pages, 4017826 bytes).