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% The Project Gutenberg EBook of Étude des Élassoïdes ou Surfaces A Courbure
% Moyenne Nulle, by Albert Ribaucour                                      %
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% This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with        %
% almost no restrictions whatsoever.  You may copy it, give it away or    %
% re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included     %
% with this eBook or online at www.gutenberg.org                          %
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% Title: Étude des Élassoïdes ou Surfaces A Courbure Moyenne Nulle        %
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% Author: Albert Ribaucour                                                %
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% Release Date: August 26, 2009 [EBook #29805]                            %
% Most recently updated: June 11, 2021                         %
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% *** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK ÉTUDE DES ÉLASSOÏDES ***      %
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%% inputenc: Standard DP encoding. Required.                        %%
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%% babel:    French hyphenation rules. Required.                    %%
%% textcomp: French degree symbol. Optional.                        %%
%%                                                                  %%
%% amsmath:  AMS mathematics enhancements. Required.                %%
%% amssymb:  Additional mathematical symbols. Required.             %%
%% alltt:    Fixed-width font environment. Required.                %%
%%                                                                  %%
%% footmisc: Footnote numbering restarts on each page. Required.    %%
%%                                                                  %%
%% ifthen:   Logical conditionals. Required.                        %%
%%                                                                  %%
%% fancyhdr: Enhanced running headers and footers. Required.        %%
%%                                                                  %%
%% geometry: Enhanced page layout package. Required.                %%
%%                                                                  %%
%% graphicx: For title page. Required.                              %%
%% hyperref: Hypertext embellishments for pdf output. Required.     %%
%%                                                                  %%
%%                                                                  %%
%% Producer's Comments:                                             %%
%%                                                                  %%
%%   A straightforward book with no diagrams and one half-page      %%
%%   table.                                                         %%
%%                                                                  %%
%%   Special thanks to DP:mcbax for tracking down four missing      %%
%%   pages at the Staatsbibliothek Zu Berlin, and to DP:stegel      %%
%%   for meticulously proofreading the finished book!               %%
%%                                                                  %%
%%                                                                  %%
%% Things to Check:                                                 %%
%%                                                                  %%
%%   The large brace labeled (12) on page 39 groups three equations %%
%%   on one page, i.e., does not extend off the top or bottom of    %%
%%   the page.                                                      %%
%%                                                                  %%
%%   End-of-chapter rules are on the same page as the final text of %%
%%   the chapter.                                                   %%
%%                                                                  %%
%% Spellcheck: .................................. OK                %%
%% Smoothreading pool: ......................... Yes                %%
%%                                                                  %%
%% lacheck: ..................................... OK                %%
%%   False positives:                                               %%
%%   "Do not use @ in LaTeX macro names" (x 10)                     %%
%%   "bad character in label"                                       %%
%%   "unmatched ..."                     (x 10)                     %%
%%                                                                  %%
%% Lprep/gutcheck: .............................. OK                %%
%% ToC page numbers: ............................ OK                %%
%%                                                                  %%
%% PDF pages: 221                                                   %%
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%% PDF bookmarks: Created, point to chapters                        %%
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%% Summary of log file:                                             %%
%% * Three overfull hboxes (largest ~0.38pt).                       %%
%%                                                                  %%
%% Compile History:                                                 %%
%%                                                                  %%
%% April, 2009: adhere (Andrew D. Hwang)                            %%
%%              texlive2007, GNU/Linux                              %%
%%                                                                  %%
%% Command block:                                                   %%
%%                                                                  %%
%%     pdflatex x3 (Run pdflatex three times)                       %%
%%                                                                  %%
%%                                                                  %%
%% August 2009: pglatex.                                            %%
%%   Compile this project with:                                     %%
%%   pdflatex 29805-t.tex ..... THREE times                         %%
%%                                                                  %%
%%   pdfTeXk, Version 3.141592-1.40.3 (Web2C 7.5.6)                 %%
%%                                                                  %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% PACKAGES %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %
\listfiles
% N.B. global french option
\documentclass[12pt]{book}[2005/09/16]

\usepackage[utf8]{inputenc}[2006/05/05] %% DP standard encoding
\usepackage[T1]{fontenc}[2005/09/27]      %%
\usepackage[greek,french]{babel}[2005/11/23]

\IfFileExists{textcomp.sty}{%    %% French degree symbol
\usepackage{textcomp}[2005/09/27]%
}{}

\usepackage{amsmath}[2000/07/18] %% Required for displayed equations
\usepackage{amssymb}[2002/01/22] %% and additional symbols

\usepackage{alltt}[1997/06/16]   %% boilerplate, credits, license

% footnote numbering restarts on each page; use symbols
\usepackage[symbol,perpage]{footmisc}[2005/03/17]

\usepackage{ifthen}[2001/05/26]

\usepackage{graphicx}[1999/02/16]

% for running heads
\usepackage{fancyhdr}

% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %
% %% Interlude:  Set up PRINTING (default) or SCREEN VIEWING %% %
% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %

% ForPrinting=true (default)           false
% Asymmetric margins                   Symmetric margins
% Black hyperlinks                     Blue hyperlinks
% Start Preface, ToC, etc. recto       No blank verso pages
%
% Chapter-like ``Sections'' start both recto and verso in the scanned
% book. This behavior has been retained.
\newboolean{ForPrinting}

% COMMENT the next line for a SCREEN-OPTIMIZED VERSION of the text %
\setboolean{ForPrinting}{true}

% Initialize values to ForPrinting=false
\newcommand{\Margins}{hmarginratio=1:1}     % Symmetric margins
\newcommand{\HLinkColor}{blue}              % Hyperlink color
\newcommand{\PDFPageLayout}{SinglePage}
\newcommand{\TransNote}{Note sur la transcription}
\newcommand{\TransNoteCommon}{%
  Les résumés de chapitre des pages \pageref{Summ1}--\pageref{Summ2}
  ne concordent pas avec la division des chapitres du présent
  livre. Le résumé pour le Chapitre~XIX renvoie à des informations non
  contenues dans ce livre. Les résumés pour les Chapitres XX, XXI,
  XXII et~XXIII correspondent respectivement aux Chapitres XIX, XX,
  XXI et~XXII.
  \phantomsection\label{Tnote}
  \bigskip

  Des modifications mineures ont été apportées à la présentation,
  l'orthographe, la ponctuation et aux notations mathématiques. Le
  fichier \LaTeX\ source contient des notes de ces corrections.
}

\newcommand{\TransNoteText}{%
  \TransNoteCommon
  \bigskip

  Ce fichier est optimisée pour être lu sur un écran, mais peut être
  aisément reformater pour être imprimer. Veuillez consulter le
  préambule du fichier \LaTeX\ source pour les instructions.
}

% Re-set if ForPrinting=true
\ifthenelse{\boolean{ForPrinting}}{%
  \renewcommand{\Margins}{hmarginratio=2:3} % Asymmetric margins
  \renewcommand{\HLinkColor}{black}         % Hyperlink color
  \renewcommand{\PDFPageLayout}{TwoPageRight}
  \renewcommand{\TransNote}{Notes sur la transcription}
  \renewcommand{\TransNoteText}{%
    \TransNoteCommon
    \bigskip

    Ce fichier est optimisée pour imprimer, mais peut être aisément
    reformater pour être lu sur un écran. Veuillez consulter le
    préambule du fichier \LaTeX\ source pour les instructions.
  }
}{% If ForPrinting=false, don't skip to recto
  \renewcommand{\cleardoublepage}{\clearpage}
}
% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %
% %%  End of PRINTING/SCREEN VIEWING code; back to packages  %% %
% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %


%\usepackage[body={5.9in,8.5in},\Margins]{geometry}[2002/07/08]
\usepackage[body={5.9in,8.5in},\Margins]{geometry}[2002/07/08]

\providecommand{\ebook}{00000}    % Overridden during white-washing
\usepackage[pdftex,
  hyperfootnotes=false,
  pdftitle={The Project Gutenberg eBook \#\ebook: Étude des Élassoïdes},
  pdfauthor={Albert Ribaucour},
  pdfkeywords={Laura Wisewell, Andrew D. Hwang,
               Project Gutenberg Online Distributed Proofreading Team,
               University of Glasgow Department of Mathematics},
  pdfstartview=Fit,    % default value
  pdfstartpage=1,      % default value
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  pdfpagelayout=\PDFPageLayout,
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  bookmarksopenlevel=1,
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  linkcolor=\HLinkColor]{hyperref}[2007/02/07]

% Re-crop screen-formatted version, accommodating wide displays
\ifthenelse{\boolean{ForPrinting}}
  {}
  {\hypersetup{pdfpagescrop= 70 70 543 780}}

% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% END OF PACKAGE SETUP %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %


% ·s are used somewhat irregularly. Setting RegularizeMath to true
% inserts/removes dots for consistency.
\newboolean{RegularizeMath}
\setboolean{RegularizeMath}{true}

\newcommand{\Reg}[2]{\ifthenelse{\boolean{RegularizeMath}}{#2}{#1}}


% No hrule in page header
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}


% Fixed-width environment to format PG boilerplate
% 9.2pt leaves no overfull hbox at 80 char line width
\newenvironment{PGtext}{%
\begin{alltt}
\fontsize{9.2}{10.5}\ttfamily\selectfont}%
{\end{alltt}}


% Thought breaks
\newcommand{\Rule}[1]{\rule{#1}{0.5pt}}

\newcommand{\TbPref}{\Rule{0.5in}}% Preface/Chapter I heading

\newcommand{\TbChap}{\Rule{0.375in}}% Chapter heading

\newcommand{\TbEoC}% End of Chapter
{\null\vfil%
 \begin{center}%
   \Rule{0.75in}%
 \end{center}%
 \vfil%
}%

\newcommand{\TbFancy}%
{\begin{center}\includegraphics[width=0.75in]{./images/tb.pdf}\end{center}}


% Footnotes: Surround markers with upright parentheses
\makeatletter
\renewcommand\@makefnmark%
  {\mbox{\,\upshape(\@textsuperscript{\normalfont\@thefnmark})}}

\renewcommand\@makefntext[1]%
  {\noindent\makebox[2.4em][r]{\@makefnmark}\ #1}
\makeatother


% Cross-referencing commands
\newcommand{\Pagelabel}[1]{%
  \phantomsection
  \label{#1}
}

\newcommand{\Tag}[1]{%
  \Pagelabel{equation:#1}
  \tag{$#1$}
}

\newcommand{\Eqref}[2]{%
  \ifthenelse{\equal{#1}{}}%
  {\hyperref[equation:#2]{$(#2)$}}%
  {\hyperref[equation:#2]{#1 $(#2)$}}%
}

% Chapter reference
\newcommand{\chapitre}[1]{\hyperref[chapter:#1.]{chapitre~#1}}
\newcommand{\ChapRef}[2][]
{\ifthenelse{\equal{#1}{}}
  {\hyperref[chapter:#2]{Chapitre~#2}}% Empty optional arg
  {\hyperref[chapter:#1]{Chapitre~#2}}
}

\newcommand{\Secref}[1]%
{\hyperref[paragraph:#1.]{\texorpdfstring{§~#1}{Section~#1}}}

% Preface, Chapter, Section
\newcommand{\Preface}[2]
{
  \cleardoublepage
  % drop anchors
  \Pagelabel{preface}
  \pdfbookmark[0]{Avant-Propos.}{chapitre:0}

  % page formatting
  \section*{\normalfont\upshape\centering\textbf{\Large #1}
  \break \TbPref}

  \thispagestyle{empty}

  % Running heads
  \pagestyle{fancy}
  \setlength{\headheight}{15.1pt}
  \fancyhead{}
  \fancyfoot{}
  \fancyhead[C]{\textsc{AVANT-PROPOS.}}

  \thispagestyle{empty}
  \ifthenelse{\boolean{ForPrinting}}%
    {\fancyhead[RO,LE]{\textsc{\thepage}}}% End of ForPrinting
    {\fancyhead[R]{\textsc{\thepage}}}
}

\newcommand{\Chapter}[2]
{
% Running heads same throughout, set up explicitly in document
% Use explicit \clearpage for Chapitre I, which has a half-title
  \ifthenelse{\equal{#1}{I.}}{}{\cleardoublepage\vspace*{0.5in}}
  % drop anchors
  \Pagelabel{chapter:#1}
  \pdfbookmark[0]{Chapitre #1}{chapitre:#1}

  % Title; Chapter I rule wider than others in original, standardizing
  \section*{\normalfont\upshape\centering\textbf{\Large CHAPITRE~#1} \break
  \textsc{\small #2} \break \TbChap}

  \thispagestyle{empty}

  \ifthenelse{\boolean{ForPrinting}}%
    {\fancyhead[RO,LE]{\thepage}}% End of ForPrinting
    {\fancyhead[R]{\thepage}}
}

\newcommand{\Section}[2]
{
  % drop anchors
  \Pagelabel{paragraph:#1}
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\begin{center}
\begin{minipage}{\textwidth}
\begin{PGtext}
The Project Gutenberg EBook of Étude des Élassoïdes ou Surfaces A Courbure
Moyenne Nulle, by Albert Ribaucour

This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with
almost no restrictions whatsoever.  You may copy it, give it away or
re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included
with this eBook or online at www.gutenberg.org


Title: Étude des Élassoïdes ou Surfaces A Courbure Moyenne Nulle

Author: Albert Ribaucour

Release Date: August 26, 2009 [EBook #29805]
Most recently updated: June 11, 2021

Language: French

Character set encoding: UTF-8     

*** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK ÉTUDE DES ÉLASSOÏDES ***
\end{PGtext}
\end{minipage}
\end{center}
\vfill


%%%% CREDITS %%%%

\clearpage
\begin{center}
\begin{minipage}{\textwidth}
\begin{PGtext}
Produced by Laura Wisewell, Andrew D. Hwang, and the Online
Distributed Proofreading Team at http://www.pgdp.net (The
original copy of this book was generously made available
for scanning by the Department of Mathematics at the
University of Glasgow.)
\end{PGtext}
\end{minipage}
\end{center}
\vfill

\begin{minipage}{0.8\textwidth}
\small
\subsection*{\centering \TransNote}

\raggedright
\TransNoteText

\end{minipage}
\vfil

%% -----File: 001.png---Folio xx-------
\frontmatter
\pagestyle{empty}

% Titlepage
%\clearpage

\begin{center}
\HalfTitle \\[\TPSkip]
{\footnotesize PAR} \\[\TPSkip]
\textsf{\Large ALBERT RIBAUCOUR,} \\[0.5\TPSkip]
% INGÉNIEUR DES PONTS ET CHAUSSÉES, A AIX (BOUCHES-DU-RHÔNE).
\textsc{\footnotesize
ingénieur des ponts et chaussées, a aix (bouches-du-rhône).} \\[2\TPSkip]
\includegraphics[width=1in]{./images/device.pdf} \\[2\TPSkip]
\rule{1.5in}{0.5pt} \\[2\TPSkip]
{\footnotesize(Couronné par l'Académie dans la séance publique du 16 décembre 1880.)}
\end{center}

%% -----File: 002.png---Folio xx-------

\pagenumbering{roman}

\Preface{AVANT-PROPOS.}

La classe des sciences de l'Académie royale de Belgique avait inscrit sur
son programme de concours de 1880, la question suivante:
\begin{center}
«\ \textsc{Trouver et discuter les équations de quelques} \\
\textsc{surfaces algébriques a courbure moyenne nulle}.\ » \\
\TbPref
\end{center}

De toutes les applications des mathématiques il n'en est pas qui présentent
plus de séductions que la théorie des surfaces; il en est peu qui soient facilement,
comme elle, susceptibles d'élégance et de pittoresque. Laplace a dit:
«Cependant les considérations géométriques ne doivent pas être abandonnées,
elles sont de la plus grande utilité dans les arts. D'ailleurs, il est curieux
de se figurer dans l'espace, les divers résultats de l'analyse; et réciproquement,
de lire toutes les modifications des lignes et des surfaces, et les variations du
mouvement des corps, dans les équations qui les expriment. Ce rapprochement
de la géométrie et de l'analyse répand un jour nouveau sur ces deux
sciences: les opérations intellectuelles de celles-ci, rendues sensibles par les
images de la première, sont plus faciles à saisir, plus intéressantes à suivre;
et quand l'observation réalise ces images et transforme les résultats géométriques
en lois de la nature,\ldots\ la vue de ce sublime spectacle nous fait
éprouver le plus noble des plaisirs réservés à la nature humaine.»

La question proposée par l'Académie royale de Belgique, malgré sa limitation
et son caractère particulier, présente, à un certain degré, l'intérêt
éloquemment défini par Laplace: en effet, depuis qu'entre les mains d'un
illustre physicien belge «la nature se fait géomètre»; depuis que chacun % [** PP: Typo chacuu]
%% -----File: 003.png---Folio xx-------
a pu réaliser les \emph{lames minces à courbure moyenne nulle}, les plus variées,
tous ceux que l'exactitude et la perfection enchantent, ne se lassent de vérifier,
jusque dans ses conséquences les plus délicates, ou les plus imprévues, une
des lois dérobées au monde moléculaire.

D'un autre côté, il n'est peut-être pas, dans l'étude des surfaces, de chapitre
plus attachant, dans sa simplicité, que celui où l'on traite des surfaces
à courbure moyenne nulle. Depuis Lagrange, tous les géomètres, pour ainsi
dire, les ont étudiées, chacun ajoutant des résultats nouveaux, soit très-généraux,
soit très-particuliers, également recommandables par leur netteté ou
leur élégance.

L'Académie nous excusera sans doute de prendre pour guide dans notre
étude plutôt l'imagination en quête de résultats que la question même soumise
au concours.

C'est un chapitre au sujet des surfaces à courbure moyenne nulle que
nous écrirons, et, par surcroît, le problème posé recevra sans doute une
solution suffisamment développée.

Nous ne pouvons mieux faire, pour indiquer dans quel ordre d'idées nous
entraînons le lecteur, que de relater dans un historique rapide, les contributions
successives à la théorie qui nous occupe, apportées par les géomètres,
comme autant de phrases d'un poëme facile, mais séduisant.

Lagrange, le premier, a montré que, par un contour fixe, il passe des
surfaces moins étendues que toutes les surfaces voisines.

%**** Comma after quotes?
Monge, en étudiant «les surfaces dont les rayons de courbure sont toujours
égaux entre eux et de signes contraires,» trouva l'équation aux différentielles
partielles des surfaces à étendue minima.

Le premier il en donna l'intégrale générale, mais sous une forme compliquée
d'imaginaire, qui ne le satisfaisait pas, et qui surtout ne lui paraissait
pas susceptible de conduire à la construction géométrique qu'il considérait
comme le complément indispensable d'une étude achevée. Voici comment il
pose un problème bien digne d'intérêt, en lui-même et par son origine: «Il
%% -----File: 004.png---Folio xx-------
s'agirait actuellement de construire cette intégrale, ou, ce qui revient au
même, de trouver la génération de la surface. La seule construction à laquelle
nous soyons encore parvenu, procède par courbes, infiniment voisines, \ldots\ %[** F1: five dots]
mais elle ne peut être d'aucune utilité dans la pratique. Nous allons néanmoins
la rapporter, parce qu'elle pourra donner lieu à des efforts plus heureux.»

Les premières surfaces à étendue minima étudiées le furent par Meusnier
qui fit connaître celle qui est de révolution, appelée depuis \emph{alysséïde}, par
Bour, et la surface de vis à filet quarré. La considération des lignes asymptotiques,
introduite par Ch.\ Dupin, vint donner un attrait nouveau aux surfaces
qui nous occupent; car leurs lignes asymptotiques sont rectangulaires.

M.~Catalan fit voir que seule la surface de vis à filet quarré est à la fois
gauche et à étendue minima.

M.~O. Bonnet démontra, dans une série d'études importantes: \primo~qu'on
peut faire la carte d'une surface à étendue minima sur la sphère, les angles
étant conservés; \secundo~que les lignes de courbure et les asymptotiques de ces
surfaces sont isométriques ainsi que leurs images sphériques; \tertio~que si l'on
cherche les surfaces de la famille admettant une ligne sphérique donnée pour
image de ligne de courbure ou d'asymptotique, on obtient deux surfaces minimas,
applicables l'une sur l'autre; \quarto~que l'on peut écrire l'intégrale des
surfaces admettant pour ligne de courbure, asymptotique ou géodésique, un
contour déterminé.

Le théorème de M.~Bonnet, sur les deux surfaces \emph{minimas}, est doublement
intéressant, parce qu'il donne un exemple de surfaces applicables, et surtout
de deux surfaces dont les lignes de courbure de l'une correspondent aux
lignes asymptotiques de l'autre.

Il faut ajouter que M.~Bonnet a fait connaître les surfaces minimas dont
toutes les lignes de courbure sont planes; il a indiqué comment on pourrait
former des surfaces, de la famille, algébriques; enfin il a montré comment on
pouvait éliminer les imaginaires de l'intégrale, et donné des exemples particuliers.

%% -----File: 005.png---Folio xx-------

M.~Catalan se proposait, au même moment, de former des exemples simples
de surfaces minimas. Il indiqua plusieurs surfaces algébriques dégagées des
généralités dont la particularisation seule constitue l'intérêt. Mais il faut
signaler surtout parmi des surfaces construites élégamment par M.~Catalan,
celle qui présente une double génération par des paraboles et des cycloïdes.
On verra, par la suite, comment le rapprochement de cette surface remarquable
de l'alysséïde qui admet parallèlement une double génération par des
cercles et des chaînettes, nous a amené à trouver une singulière propriété,
tout à fait générale, d'ailleurs, des surfaces à l'étude.

Il convient, en outre, d'observer que cette surface est la première de la
famille, transcendante, mais sur laquelle on ait pu tracer des lignes algébriques.
M.~Schwartz a tiré grand parti de cet exemple, et nous aurons
l'occasion de montrer comme il est profitable d'en chercher de semblables.

Nous ne passerons pas sous silence une remarque de M.~J. Serret, fort
importante malgré son apparence de simple curiosité: ce géomètre a fait
voir que certaines développables imaginaires doivent être considérées comme
des surfaces à étendue minima. C'était un retour inconscient à l'intégrale de
Monge et la clef du problème dont il avait laissé la solution à de plus heureux.

M.~Mathet, parmi les géomètres français, donna une construction différentielle
des surfaces minimas les plus générales, mais sans prétendre à la
construction intégrale.

Les études sur la déformation des surfaces mirent en lumière de nouvelles
propriétés: Bour fit voir qu'une surface minima peut être déformée sans
perdre son caractère de minimum; déjà M.~O. Bonnet en avait donné un
exemple cité plus haut. Bour montra qu'il est une infinité de surfaces minimas
applicables sur des surfaces de révolution; il parvint même à donner leur
intégrale, mais sans particulariser; il montra que de toutes les surfaces, la
plus simple au point de vue de la déformation est l'allyséïde, %[**typo alysséïde]
à la fois minima
et de révolution.

Il est très-remarquable que les surfaces caractérisées par une condition de
%% -----File: 006.png---Folio xx-------
minimum le long d'un contour déterminé jouissent d'une définition ponctuelle
indépendante de ce contour. Ce fait devait amener à reconnaître que le
minimum considéré n'est pas absolu et que par un contour donné on peut
faire passer une infinité de surfaces minimas. On attribue à Björling le
mérite d'avoir établi que si le long du contour on fixe les plans tangents, la
surface minima est entièrement définie. MM.~O. Bonnet et Catalan ont, d'ailleurs,
dans leurs mémoires \emph{précités}, appliqué fréquemment ce lemme.

Quoi qu'il en soit, un problème, plus assujetti que celui de Monge, résulte
de cette remarque: \textit{construire géométriquement la surface minima inscrite
à une développable donnée, le long d'un contour tracé sur cette surface}.
Que si le problème analytique ne présente pas de difficultés réelles, tant
que l'on reste dans la généralité, la question géométrique, à raison même du
caractère de minimum qui la domine, présente un intérêt indiscutable. Nous
montrerons comment elle reçoit une entière solution par l'introduction d'une
idée féconde due à M.~Moutard, je veux parler de la correspondance par
orthogonalité des éléments.

Un autre problème tout aussi précis s'impose également: puisque, cette
fois, la surface est minima minimorum, son aire, limitée au contour, est
\emph{unique} et sa mesure doit résulter uniquement des éléments du contour.

Un très-beau théorème de Riemann a répondu à ce \emph{desideratum}. Il en est
de ce résultat comme de tous ceux qui sont marqués au coin de la simplicité;
les considérations les plus simples (\emph{à~posteriori}) permettent de les
rétablir. Nous en rattacherons la démonstration aux idées de Gauss, en
essayant une ébauche d'exposé simplement géométrique de la théorie des
surfaces minimas.

Si les premiers géomètres qui s'occupèrent des surfaces minimas tendirent
aux résultats généraux, leurs successeurs devaient s'attacher à particulariser
et à simplifier; les admirables expériences de M.~Plateau devaient amener,
d'ailleurs, à des recherches plus précises, et, la satisfaction de voir façonner,
par la nature, des surfaces dont la discussion est parfois hérissée de difficultés;
%% -----File: 007.png---Folio xx-------
de lui voir tracer toutes les singularités calculées, conduisirent à les
isoler dans des exemples assujettis à diverses conditions de simplicité
maxima.

M.~Schwartz se proposa de trouver les surfaces minimas admettant une
géodésique plane donnée; Henneberg fit remarquer, le premier, que si la
géodésique est la développée d'une courbe algébrique, la surface minima est
algébrique.

Geiser démontra que ces surfaces ne coupent le plan de l'infini que suivant
des droites.

Enfin Weierstrass a donné une méthode pour trouver toutes les surfaces à
étendue \emph{minima}, algébriques et réelles.

Enneper a fait connaître une surface du neuvième degré et de sixième
classe, extrêmement remarquable, qui peut, par exemple, être déformée d'une
infinité de façons, tout en restant identique à elle-même.

Depuis que l'Académie royale de Belgique a posé ce problème qui fait
l'objet de notre étude, un géomètre du plus grand mérite a successivement
publié un grand nombre de beaux résultats sur les surfaces \emph{minimas}:
M.~Sophus Lie a donné la véritable solution du problème de Monge; il a
montré que les surfaces à courbure moyenne nulle sont de deux façons des
surfaces moulures; il a en outre donné, du problème de Björling, une solution
s'appliquant à des cas particuliers intéressants. Enfin il a discuté quelles
sont les surfaces minimas d'ordre et de classe déterminés.

Les résultats de M.~Sophus Lie viennent ôter le plus grand intérêt à nos
recherches. S'il nous a été pénible, après avoir cherché et trouvé la solution
du problème de Monge et de bien d'autres, de recevoir les communications
du très-savant géomètre de Christiania, nous n'avons pas moins résolu de
transmettre à l'Académie royale de Belgique nos recherches en développant
surtout ce qui s'écarte des propriétés publiées.

C'est ce qui doit justifier les écarts du mémoire, en dehors de la question
posée par l'Académie.

\vfil
\TbFancy
\vfil

\clearpage
\fancyhead{} % Clear stale heading

%% -----File: 008.png---Folio 2-------

\cleardoublepage
\pagenumbering{arabic}

% Running heads same throughout
\fancyhead[CE]{ÉTUDE DES ÉLASSOÏDES} % [** PP: ÉLASSOIDES in original]
\fancyhead[CO]{OU SURFACES A COURBURE MOYENNE NULLE.}

\begin{center}
\HalfTitle
\end{center}
\TbFancy

\Chapter{I.}
{LOCUTIONS EMPLOYÉES.---PROCÉDÉS DE DÉMONSTRATION.---PÉRIMORPHIE.
PROGRAMME.}

\Section{1.}
{Définition du mot élassoïde.}

Il faut commencer par s'entendre au sujet des locutions employées dans
ce mémoire. Il n'est pas commode d'employer constamment l'expression de
\emph{surface à courbure moyenne nulle} ni même celle de \emph{surface minima}, que
les Allemands ont adoptée, sous le vocable de «Minimälfläche». %[**typo Minimalfläche]
D'ailleurs ce
terme est impropre, en général, l'aire de la surface n'étant pas, le plus
souvent, un minimum absolu.

Nous emploierons le mot \emph{Élassoïde} formé des deux mots grecs
\textgreek{<elasswn} %[Greek: helassôn]
(comparatif de \textgreek{mikros}) %[**Greek: michros]
et de \textgreek{eidos} %[**Greek: eidos]
(apparence). La substitution de l'\emph{o} à l'\emph{é} est
consacrée par l'usage. Nous dirons donc, conformément à l'avis de Terquem,
%% -----File: 009.png---Folio 3-------
\emph{un élassoïde}. Cette locution nous paraît réunir les deux avantages d'être
régulièrement établie et surtout d'être brève.

A l'exemple de M.~O. Bonnet nous dirons que deux \emph{élassoïdes} sont \emph{conjugués}
quand ils sont applicables l'un sur l'autre et que les lignes de courbure
de l'un correspondent aux asymptotiques de l'autre.


\Section{2.}
{Locutions employées.}

La plupart des géomètres appellent \emph{congruence} de droites, une famille de
droites analogues aux normales d'une surface et telles que, par un point de
l'espace, choisi arbitrairement, il passe \emph{une} droite de la congruence.

Les \emph{focales} de la congruence sont deux surfaces, réelles ou imaginaires,
qui sont touchées par chacune des droites de la famille.

Les droites d'une congruence, qui rencontrent une courbe donnée, forment
une \emph{surface élémentaire}. Les surfaces élémentaires développables forment
deux familles, ce sont les \emph{surfaces principales} de la congruence.

Ces dénominations sont usuelles. Nous conviendrons d'appeler \emph{développée}
d'une \emph{congruence de normales} les deux nappes focales de cette congruence
prises dans leur ensemble; c'est le lieu des centres de courbure principaux
d'une famille de surfaces parallèles.

Sur une droite de la congruence, le point milieu du segment qui se limite
aux deux foyers sera le \emph{point moyen}. Le lieu de ces points pour toute congruence
sera la \emph{surface moyenne}.

Le plan perpendiculaire à une droite de la congruence, et mené par le
\emph{point moyen} situé sur cette droite, sera le \emph{plan moyen}. Tous les plans
moyens, relatifs aux droites d'une congruence, touchent une même surface
que nous appellerons l'\emph{enveloppée moyenne}. Ce sera la \emph{développée moyenne}, si
la famille de droites est une \emph{congruence de normales}.

Nous aurons à considérer des congruences dans leurs rapports avec une
surface déterminée: nous dirons qu'une congruence de droites est \emph{harmonique
par rapport à une surface}~$(A)$, si les surfaces principales de la congruence
découpent, sur~$(A)$, un réseau conjugué.

%% -----File: 010.png---Folio 4-------

Lorsqu'une \emph{congruence de normales} sera \emph{harmonique} par rapport à une
surface~$(A)$, nous dirons qu'elle constitue une \emph{congruence de Dupin} (par rapport
à cette surface), rappelant ainsi le nom de Charles Dupin qui, le premier,
a considéré des familles de droites de cette espèce.

Il nous reste à rappeler les termes du vocabulaire, adopté dans la géométrie
des imaginaires, dont nous ferons un constant usage.

L'\emph{ombilicale} est le cercle imaginaire commun à toutes les sphères et situé
dans le plan de l'infini.

Une \emph{droite isotrope} se dira de toute droite rencontrant l'ombilicale.

Un \emph{plan isotrope} se dira de tout plan tangent à l'ombilicale.

Une \emph{développable isotrope} se dira de toute développable qui contient
l'ombilicale.

Une \emph{ligne isotrope}, ou ligne de \emph{longueur nulle}, sera une courbe, arête de
rebroussement d'une développable isotrope, dont, par conséquent, toutes les
tangentes seront des droites isotropes.

Enfin nous appellerons \emph{congruence isotrope} une famille de droites dont les
surfaces focales sont des développables isotropes. Ces congruences seront
réelles toutes les fois que les deux développables isotropes focales seront
imaginaires conjuguées.

Ajoutons qu'un réseau de lignes orthogonales $(u)$, $(v)$, tracées sur une
surface, sera isométrique toutes les fois que le carré de l'élément linéaire de
la surface rapportée aux lignes $(u)$, $(v)$, pourra s'écrire
\[
dS^2 = \lambda^2(du^2 + dv^2),
\]
en particularisant convenablement les variables $u$ et~$v$.

On appelle \emph{image sphérique} d'une surface, en général, la représentation
sur la sphère de cette surface (le mode de correspondance étant le parallélisme
des plans tangents de la sphère et de la surface aux points correspondants).
On considérera de la sorte les images sphériques des lignes de
courbure, des lignes asymptotiques, etc.

%% -----File: 011.png---Folio 5-------

\Section{3.}
{Définition de la périmorphie comme procédé de démonstration.}

Les procédés de démonstration que nous emploierons uniformément dans
notre étude analytique se rapportent à une méthode particulière que l'on a
désignée par un néologisme imagé en l'appelant la \emph{périmorphie}. Dans cette
géométrie, l'origine des coordonnées est remplacée par une surface dite \emph{de
référence}, et les axes de coordonnées sont simplement définis, en chaque
point de la surface de référence, par des relations où figurent les coordonnées
superficielles $u$ et~$v$ (à la façon de Gauss) du point, considéré comme
origine instantanée.

Dans cette étude, nous considérerons toujours, comme base de nos calculs,
un réseau orthogonal des courbes $(u)$, $(v)$ tracé sur une surface de référence
$(O)$: les courbes $(u)$ correspondront aux différentes valeurs du
paramètre~$u$, de même, les courbes $(v)$ correspondront aux différentes valeurs
du paramètre~$v$.

Le quarré de l'élément linéaire de la surface de référence $(O)$ s'écrira,
comme d'habitude:
\[
dS^2 = f^2\, du^2 + g^2\, dv^2.
\]

Ceci posé, les axes de coordonnées instantanés seront toujours en un
point $O(u, v)$ (c'est-à dire en un point~$O$ défini par les valeurs $u$ et~$v$ des
paramètres): \primo~$OX$ tangente à la courbe~$(v)$; \secundo~$OY$ tangente à la courbe~$(u)$;
\tertio~$OZ$ normale à la surface. Les trois axes seront ainsi rectangulaires.

Les calculs de \emph{périmorphie} réclament l'emploi constant de six formules
que nous allons transcrire en les définissant.


\Section{4.}
{Six formules fondamentales de périmorphie.}

En \emph{périmorphie}, on se donne, à chaque instant, les coordonnées $\xi$, $\eta$, $\zeta$
d'un point~$M$ variable avec le point~$O$, coordonnées mesurées sur les axes $OX$,
$OY$, $OZ$. Ces coordonnées sont des fonctions de~$u$ et~$v$. Lorsque l'on donne à
%% -----File: 012.png---Folio 6-------
ces paramètres les accroissements $du$ et~$dv$, l'origine se transporte en~$O'$ et le
point correspondant de l'espace sera un certain point~$M'$ défini par les
coordonnées
\[
\xi + \Delta\xi,\quad \eta + \Delta\eta,\quad \zeta + \Delta\zeta,
\]
comptées sur les axes nouveaux $O'X'$, $O'Y'$, $O'Z'$. Mais l'élément~$MM'$, projeté
sur les trois axes primitifs, donne lieu à trois longueurs, fonctions de
$u$, $v$, $du$ et~$dv$.

Suivant l'axe $OX$, on a
\begin{align*}
\Delta X
  &= du \left(f + \frac{d\xi}{du} + \frac{df}{g\, dv} \eta +  P\zeta\right)
   + dv \left(    \frac{d\xi}{dv} - \frac{dg}{f\, du} \eta - gD\zeta\right), \\
\intertext{suivant l'axe $OY$, on a}
\Delta Y
  &= du \left(    \frac{d\eta}{du} - \frac{df}{g\, dv} \xi - fD\zeta\right)
   + dv \left(g + \frac{d\eta}{dv} + \frac{dg}{f\, du} \xi +  Q\zeta\right),
% [**** PP: Hard-coded lengths; vulnerable to bad page break]
\smash{\left.\rule[-1.125in]{0pt}{2.25in}\right\}}
\Tag{1} \\
\intertext{suivant l'axe $OZ$, on a}
\Delta Z
  &= du \left(\frac{d\zeta}{du} - P\xi + fD\eta\right)
   + dv \left(\frac{d\zeta}{dv} - Q\eta + gD\xi\right).
\end{align*}

Telles sont les trois formules fondamentales de la géométrie considérée.
Trois autres formules, également nécessaires, s'en déduisent immédiatement:

Soient $X'$, $Y'$, $Z'$ les coordonnées d'un point de l'espace, par rapport au
trièdre instantané $O'$, $X'$, $Y'$, $Z'$ défini ci-dessus; soient, d'un autre côté, $X$,
$Y$, $Z$ les coordonnées du même point par rapport au trièdre primitif $O$, $X$,
$Y$, $Z$. On a
\[
\left.
\begin{aligned} % [** PP: Typo -= in first equation]
X' &= -f\, du
  + X + Y\left(-\frac{df}{g\, dv}\, du + \frac{dg}{f\, du}\, dv\right)
  + Z(-P\, du + gD\, dv), \\
%
Y' &= -g\, dv
  +     X\left(-\frac{dg}{f\, du}\, dv + \frac{df}{g\, dv}\, du\right) + Y
  + Z(-Q\, dv + fD\, du), \\
%
Z' &= X(P\,du - gD\, dv) + Y(Q\,dv - fD\, du) + Z.
\end{aligned}\ \right\}
\Tag{2}
\]

Ces formules contiennent cinq coefficients: $f$ et~$g$ déjà définis, $P$, $Q$, $D$
tels que:

% [** PP: Itemized list with em-dash bullets]
\begin{itemize}
\item[---] $\frac{f}{P}$ représente le rayon de courbure de la section normale tangente à~$OX$;

%% -----File: 013.png---Folio 7-------

\item[---] $\frac{g}{Q}$ représente le rayon de courbure de la section normale tangente à~$OY$;

\item[---] $\frac{1}{D}$ représente le paramètre de déviation relatif aux deux directions
rectangulaires $OX$, $OY$ (\textsc{Bertrand}).
\end{itemize}


\Section{5.}
{Équations de Codazzi.}

Ces cinq coefficients sont liés par trois équations célèbres, dites équations
de Codazzi, auxquelles il faut constamment recourir:
\[
\left.
\begin{aligned}
PQ - fgD^2 + \frac{d}{dv}\left(\frac{df}{g\, dv}\right)
           + \frac{d}{du}\left(\frac{dg}{f\, du}\right) &= 0, \\
\frac{dP}{dv} + g\frac{dD}{du} + 2\frac{dg}{du} D - \frac{df}{g\, dv}Q &= 0, \\
\frac{dQ}{du} + f\frac{dD}{dv} + 2\frac{df}{dv} D - \frac{dg}{f\, du}P &= 0.
\end{aligned}\ \right\}
\Tag{3}
\]

Les trois groupes d'équations que nous venons de décrire constituent les
bases de la \emph{périmorphie}. Quant aux procédés, il serait oiseux de les résumer,
ils s'indiqueront d'eux-mêmes par les applications que nous en ferons dans
le cours de ce mémoire; la simplicité qui les caractérise permettra de les
exposer, le plus souvent, en détail.


\Section{6.}
{Programme des recherches comprises dans ce mémoire.}

Il nous reste à indiquer le programme des recherches successivement
exposées dans ce mémoire.

Nous avons cru qu'il convenait de rappeler rapidement, mais d'une façon
synthétique et pour ainsi dire évidente, les résultats connus. L'Académie nous
permettra de commencer notre étude par un rapide exposé géométrique qui,
nous l'espérons, intéressera une assemblée où la théorie qui nous occupe a
reçu de si belles contributions.

Ce sera l'objet du \emph{second chapitre et du troisième}.

%% -----File: 014.png---Folio 8-------

Voici, d'une façon très-sommaire, la composition des autres chapitres.

\phantomsection\label{Summ1}
\begin{Summary}{\ChapRef{IV.}}
Des congruences isotropes, des surfaces d'about; la surface
moyenne est le lieu des lignes de striction des surfaces élémentaires; l'enveloppée
moyenne est un élassoïde.
\end{Summary}

\begin{Summary}{\ChapRef{V.}}
Des congruences isotropes qui donnent lieu au même élassoïde
central; construction directe donnant toutes les congruences satisfaisantes
en fonction d'une première congruence isotrope.
\end{Summary}

\begin{Summary}{\ChapRef{VI.}}
Toute congruence isotrope est définie par une seule surface
élémentaire; construction des éléments de l'élassoïde central à l'aide d'une
surface élémentaire donnée. Construction ponctuelle d'un élassoïde en utilisant
deux lignes de longueur nulle.
\end{Summary}

\begin{Summary}{\ChapRef{VII.}}
Tout élassoïde est le lieu d'une $\infty^3$ de courbes lieux des
centres de courbure de courbes gauches, qui sont les lignes doubles de toutes
les congruences isotropes satisfaisantes.
\end{Summary}

\begin{Summary}{\ChapRef{VIII.}}
Étude des surfaces moyennes des congruences isotropes;
elles s'introduisent en géométrie cinématique; elles correspondent par orthogonalité
des éléments à la sphère. Sur l'élassoïde moyen et la surface
moyenne les asymptotiques se correspondent; relations entre les courbures
des deux surfaces. Une surface moyenne ne peut être élassoïde sans être
une surface de vis à filet quarré.
\end{Summary}

\begin{Summary}{\ChapRef{IX.}}
Formules générales de représentation sphérique. Élassoïdes
groupés, dérivés d'un réseau isométrique de la sphère; ils sont applicables
sur l'un d'entre eux.
\end{Summary}

\begin{Summary}{\ChapRef{X.}}
Définition des élassoïdes conjugués, des élassoïdes stratifiés.
Deux surfaces qui se correspondent par orthogonalité et égalité des éléments
sont deux élassoïdes conjugués.
\end{Summary}

\begin{Summary}{\ChapRef{XI.}}
Solution du problème de Björling. Définition de contours
conjugués. Une surface gauche arbitraire définit deux contours conjugués.
Contours correspondants à une ligne plane.
\end{Summary}

\begin{Summary}{\ChapRef{XII.}}
Calculs au sujet de la dérivation des élassoïdes du plan.
Élassoïdes transcendants à lignes algébriques.
\end{Summary}

%% -----File: 015.png---Folio 9-------

\begin{Summary}{\ChapRef{XIII.}}
Lignes de courbure des élassoïdes. Exemples de lignes
algébriques ou dépendant des fonctions elliptiques.
\end{Summary}

\begin{Summary}{\ChapRef{XIV.}}
On peut mettre simultanément sur un élassoïde les courbes
pour lesquelles $R = ± k\rho$. Recherche de ces courbes; élassoïdes qui les
admettent pour géodésiques. Lignes algébriques.
\end{Summary}

\begin{Summary}{\ChapRef{XV.}}
Nouvelles propriétés des congruences isotropes dérivées du
plan. Courbes de contact de cônes dont les sommets sont en ligne droite.
Nouvelle définition des élassoïdes.
\end{Summary}

\begin{Summary}{\ChapRef{XVI.}}
Propriétés des lignes de niveau des élassoïdes groupés;
rotation des lignes de niveau par déformation.
\end{Summary}

\begin{Summary}{\ChapRef{XVII.}}
Propriété caractéristique des congruences composées des
génératrices d'une famille de quadriques homofocales.
\end{Summary}

\begin{Summary}{\ChapRef{XVIII.}}
Recherche des élassoïdes algébriques passant par un
cercle.
\end{Summary}

% [** PP: Chapter not present, remaining numbers off by one]
\begin{Summary}{Chapitre~XIX.}\footnote
  {\textit{Voir} \hyperref[Tnote]{Notes sur la transcription},
  page~\pageref{Tnote}.}
Étude des élassoïdes dérivés des quadriques à centre,
homofocales.
\end{Summary}

\begin{Summary}{\ChapRef[XIX.]{XX.}}
Étude des élassoïdes dérivés des paraboloïdes du deuxième
ordre, homofocaux.
\end{Summary}

\begin{Summary}{\ChapRef[XX.]{XXI.}}
Recherche des élassoïdes applicables sur des surfaces de
révolution. Équations des élassoïdes du neuvième et du douzième ordre.
\end{Summary}

\begin{Summary}{\ChapRef[XXI.]{XXII.}}
Énoncé de plusieurs propriétés relatives aux élassoïdes.
Renvoi à la théorie de la correspondance par orthogonalité des éléments.
Généralisations se rattachant plus directement à la théorie des couples de
surfaces applicables l'une sur l'autre. Sur le problème de la correspondance
de deux surfaces par correspondance des plans tangents et des lignes
isotropes.
\end{Summary}

% [** PP: Note book contains no Chapter XXIII]
\begin{Summary}{\ChapRef[XXII.]{XXIII.}}
Conclusions: \emph{Desiderata} de l'étude entreprise et résultats
obtenus.
\end{Summary}
\phantomsection\label{Summ2}

Telles sont les lignes principales de l'étude que nous allons maintenant
détailler.

\TbEoC

%% -----File: 016.png---Folio 10-------


\Chapter{II.}
{CONSIDÉRATIONS GÉOMÉTRIQUES DIRECTES AU SUJET DES ÉLASSOÏDES.}

\Section{7.}
{En chaque point d'un élassoïde la courbure moyenne est nulle.}

L'existence des élassoïdes se déduit du problème posé pour la première
fois par Lagrange: \emph{trouver la surface à étendue minima limitée à un contour
déterminé}.

Soit $(C)$ un contour fermé, gauche. Admettons qu'il existe une surface~$(O)$,
passant par~$(C)$, ne présentant à l'intérieur aucune nappe infinie et jouissant
du caractère de minimum; celui-ci sera réalisé si toute surface~$(O')$, infiniment
voisine de~$(O)$, et passant comme elle par le contour~$(C)$, a une étendue
comprise à l'intérieur du contour ne différant de l'étendue correspondante
de la surface~$(O)$ que par un infiniment petit du second ordre (les quantités
qui mesurent l'écart des surfaces $(O)$ et~$(O')$ étant des infiniment petits du
premier ordre).

Il importe d'observer que le mode de correspondance des surfaces $(O)$ et~$(O')$
est arbitraire; il doit simplement satisfaire à ces conditions, qu'aux
points correspondants les plans tangents fassent entre eux des angles infiniment
petits du premier ordre et que le contour~$(C)$ se corresponde à lui-même
sur les deux surfaces. En particulier, le long de ce contour, les plans
tangents correspondants doivent faire des angles infiniment petits du premier
ordre.

Ces restrictions préalables vont montrer tout à l'heure pourquoi la solution
du problème de Lagrange n'est réellement jamais obtenue.

%% -----File: 017.png---Folio 11-------

Puisque le mode de correspondance des surfaces $(O)$ et~$(O')$ est arbitraire,
il est naturel d'avoir recours au suivant: prendre comme points correspondants
$a'$ et~$a$ deux points de~$(O')$ et de~$(O)$ situés sur une même normale
à~$(O)$. Il est clair que si $(O)$ et~$(O')$ n'ont pas de nappes infinies et sont infiniment
voisines, les restrictions obligatoires sont observées.

Ceci posé, traçons sur $(O)$ un petit contour fermé~$(a)$ et, tout le long,
menons les normales à la surface~$(O)$: elles vont découper, sur~$(O')$, un contour
fermé~$(a')$, correspondant à~$(a)$. La longueur~$aa'$ du segment compté
sur la normale et limitée aux deux surfaces, pour tous les points du contour,
est un infiniment petit du premier ordre; sa valeur moyenne peut donc
s'écrire $H · d\rho$ (où $H$ est une fonction finie). Désignons donc par~$d(a)$ l'aire du
contour~$(a)$, par~$d\theta$ l'aire sphérique (entendue à la façon de Gauss) de ce
même contour; enfin soient $R_1$ et~$R_2$ les rayons de courbure principaux
de~$(O)$ pour un point moyen pris à l'intérieur du contour~$(a)$.

D'après un théorème de Gauss, on a
\[
d(a) = R_1 · R_2\, d\theta,
\]
à une quantité infiniment petite près, par rapport à~$d(a)$.

De même façon:
\[
d(a') = (R_1 + H\, d\rho)(R_2 + H\, d\rho) \frac{d\theta}{\cos i},
\]
si $i$ désigne l'angle des plans tangents en $a$ et~$a'$. Mais on doit écrire:
\[
d(a') = d(a) + \Delta d(a)
\]
et comme l'angle $i$ est infiniment petit du premier ordre, on est en droit
d'écrire, au degré d'approximation précité
\[
\frac{\Delta d(a)}{d\theta} = (R_1 + R_2) · H\, d\rho + H^2\, d\rho^2.
\]

Ceci s'applique à deux surfaces infiniment voisines quelconques, et l'on
voit que~$\Delta d(a)$ est ainsi du troisième ordre infinitésimal, en général.

Dès lors, l'intégrale des éléments semblables étendue jusqu'au contour~$(C)$
sera en général une quantité infiniment petite du premier ordre.

%% -----File: 018.png---Folio 12-------

Or, si le minimum a lieu, il faut que cette quantité soit infiniment petite
du second ordre, et le terme correspondant de~$\Delta d(a)$ doit disparaître.

On doit donc avoir, tout d'abord,
\[
R_1 + R_2 = 0.
\]

\begin{Emph}
\emph{Ainsi,} la première condition du minimum est qu'en chaque point de la
surface minima, les rayons de courbure principaux soient égaux et de
signes contraires.
\end{Emph}

Cette condition équivaut à l'équation différentielle des élassoïdes; comme
elle lie deux éléments de courbure, l'équation est du second ordre et par
conséquent son intégrale générale ne comporte que deux fonctions arbitraires
distinctes (on verra plus loin le parti qu'il faut tirer de cette remarque).

\Section{8.}
{Aire d'une portion d'élassoïde \upshape(\textsc{intégrale de Riemann}).}

Afin de pousser plus avant la solution du problème de Lagrange il importe
de chercher à évaluer immédiatement l'aire dont on demande le minimum;
les considérations qui précèdent rendent cette recherche facile.

Considérons en effet une famille d'élassoïdes se succédant par variations
insensibles, commandées par celles d'un paramètre, et soient $(O)$ et~$(O')$
deux élassoïdes infiniment voisins. Soient $(\alpha)$ et~$(\alpha')$ deux contours fermés,
correspondants, tracés sur ces deux surfaces, $(A)$ et~$(A) + \Delta(A)$ les aires
limitées à ces contours. Quelle que soit la loi de variation des élassoïdes, il
est facile de trouver une expression géométrique de~$\Delta(A)$. Si, en effet, le long
de~$(\alpha)$, nous menons au premier élassoïde la \emph{normalie} qu'il détermine, cette
surface gauche trace sur~$(O')$ un contour fermé~$(\alpha'')$, et, d'après ce qui a été
dit plus haut, l'aire de~$(O')$, limitée au contour~$(\alpha'')$, ne diffère de l'aire de~$(O)$,
limitée au contour~$(\alpha)$, que d'une quantité infiniment petite du second ordre
(l'aire étant finie). Par conséquent la variation $\Delta(A)$ est représentée, à un
infiniment petit du second ordre près, par la couronne comprise entre les
%% -----File: 019.png---Folio 13-------
contours $(\alpha')$ et~$(\alpha'')$. Ce qui précède indique suffisamment ce qu'il y aurait
lieu de compter positif ou négatif si les contours se rencontraient.

Ceci posé, comme on est maître de considérer telle loi de variation des
élassoïdes que l'on veut, il convient, pour la recherche de l'aire, de prendre
la loi de variation la plus simple, savoir celle de la similitude: dans cette
hypothèse, si $k$ est le paramètre de similitude, on aura
\[
(A) + \Delta(A) = (A)(1 + dk)^2 = (A)(1 + 2\,dk + dk^2),
\]
donc, au degré d'approximation requis,
\[
\Delta(A) = 2 · dk(A);
\]
si donc l'on parvient à calculer l'aire du ruban compris entre $(\alpha')$ et~$(\alpha'')$, la
valeur de l'aire~$(A)$ en résultera.

Prenons pour pôle de similitude un point de l'espace~$S$, soit~$P$ le plan tangent
à la surface~$(O')$, au point~$a'$, $T$ la tangente au contour~$(\alpha)$; projetons
le point~$a''$ en~$\beta$ sur~$a'T$ et~$S$ en~$B$ sur cette même droite. Il est clair que,
si $d\sigma$ désigne l'élément de courbe~$(a')$, on a, pour l'élément d'aire du ruban
limité aux contours $(a')$, $(a'')$,
\[
d\sigma · a''\beta.
\]

Si $\omega$ est l'angle du plan~$P$ et du plan contenant la droite~$T$ et le point~$S$,
on a
\[
a''\beta = a\beta · \cos\omega.
\]
Mais la similitude des triangles $SBa'$ % [** PP: Spacing SB a' in original]
et $a\beta a'$ donne
\[
a\beta = SB · \frac{aa'}{Sa'}.
\]

D'un autre côté:
\[
\frac{aa'}{Sa'} = \frac{dk}{1 + dk},
\]
par conséquent on peut écrire:
\[
\Delta(A) = 2\, dk(A) = \int d\sigma · SB\cos\omega\, dk,
\]
%% -----File: 020.png---Folio 14-------
il en résulte
\[
(A) = \int \frac{d\sigma · SB}{2} \cos \omega.
\]

C'est l'expression donnée par Riemann.

L'élément de l'intégrale n'est autre chose que la projection du triangle
infinitésimal $a'a'_1S$ sur le plan tangent en~$a'$ à l'élassoïde.


\Section{9.}
{Aire d'une portion finie d'élassoïde inscrite à un cône.}

Signalons en passant le cas où $\omega$ est constant tout le long du contour~$(\alpha)$:
\emph{Lorsqu'un élassoïde coupe, sous un angle constant, un cône et lorsque la
portion de surface comprise dans le contour d'intersection est fermée, sans
nappes infinies, l'aire de cette portion de surface est proportionnelle à celle
de la surface du cône limitée au même contour et au sommet.}

\emph{Dans le cas où le cône est tangent à l'élassoïde, les deux surfaces sont
équivalentes.}

L'intégrale donnée ci-dessus montre tout d'abord que l'aire d'un élassoïde,
et par conséquent la surface elle-même, dépendent non-seulement du contour
donné $(\alpha)$, mais encore des plans tangents en chacun des points de ce
contour. Il y a donc une infinité d'élassoïdes passant par un contour donné.

Il convient de poser, avec Björling, le problème de la construction d'un
élassoïde circonscrit à une développable déterminée le long d'un contour
tracé sur celle-ci.


\Section{10.}
{Intégrale invariante le long d'un contour fermé.}

Remarquons, d'un autre côté, que si la considération d'homothétie a
disparu de l'intégrale, celle du point fixe dans l'espace a persisté, quoique
l'aire de l'élassoïde soit indépendante de ce point choisi arbitrairement. Il
%% -----File: 021.png---Folio 15-------
en résulte que l'expression
\[
\int \frac{d\sigma · SB}{2} · \cos \omega
\]
étendue à un contour fermé tracé sur une développable, est \emph{invariante}, quelle
que soit la position du point fixe~$S$ dans l'espace.

On trouvera l'expression de l'aire d'une portion d'élassoïde quand on saura
trouver une famille d'élassoïdes dont les surfaces varieront proportionnellement,
et il n'est pas besoin pour cela que les élassoïdes soient tous semblables
et semblablement placés.


\Section{11.}
{Définition des problèmes de Monge et de Björling.}

Au point où nous en sommes arrivé, on comprend que le problème de
Lagrange (\emph{faire passer par un contour donné une surface d'aire minima})
sera susceptible de solution, seulement quand on saura construire tous les
élassoïdes passant par un contour et ne présentant \emph{pas de nappes infinies à
l'intérieur de ce contour}. Ainsi est-on amené, par la nécessité, à résoudre successivement
les problèmes de Monge et de Björling, savoir:

\begin{Problem}{Problème de Monge:}
Construire toutes les surfaces à courbure moyenne
nulle {\upshape(}élassoïdes{\upshape)}, c'est-à-dire en chaque point desquelles les rayons de courbure
principaux sont égaux et de signes contraires.
\end{Problem}

\begin{Problem}{Problème de Björling:}
Construire l'élassoïde circonscrit à une surface
développable donnée, % [** PP: Typo donné]
le long d'un contour déterminé.
\end{Problem}

Leur solution fera l'objet des chapitres qui vont suivre.

\TbEoC

%% -----File: 022.png---Folio 16-------


\Chapter{III.}
{SOLUTION DU PROBLÈME DE MONGE.}

\Section{12.}
{Sur un élassoïde les lignes de longueur nulle sont toujours conjuguées.}

Trouver un élassoïde c'est découvrir une surface telle qu'en chacun de ses
points l'\emph{indicatrice}\footnote
  {Il s'agit de l'indicatrice de \textsc{Charles Dupin}, qui donne l'image de la variation des courbures
  dans chaque azimuth.}
soit une hyperbole équilatère. La condition d'égalité
des axes d'une conique s'exprime en disant que celle-ci passe par les
\emph{ombilics} de son plan (cercle), de même l'hyberbole équilatère dont les
carrés des axes sont égaux et de signes contraires, se caractérise par ce fait
que \emph{les diamètres isotropes sont conjugués}.

Cette simple remarque conduit à cette conséquence capitale: si sur un
élassoïde on trace les deux séries de \emph{lignes isotropes}, arêtes de rebroussement
des développables isotropes circonscrites à la surface, on obtient deux
familles de courbes conjuguées. La réciproque n'est pas moins évidente.

En conséquence \emph{toute développable isotrope doit être considérée comme
un élassoïde}.

En effet, sur une développable une génératrice est conjuguée de toute
direction tangente à la surface et qui la rencontre; elle est aussi à elle-même
sa propre conjuguée.

Or, sur une développable isotrope, les deux familles de lignes isotropes
coïncident entre elles et avec les génératrices; elles sont à elles-mêmes leurs
%% -----File: 023.png---Folio 17-------
propres conjuguées, donc elles caractérisent les élassoïdes. Ainsi se trouve,
au début de cette étude, le résultat mis en lumière, pour la première fois,
par M.~J. Serret (\textit{Journal de Liouville}, t.~XI, 1846) et dont nous déduirons
presque intuitivement la solution du problème de Monge.


\Section{13.}
{Propriétés des congruences harmoniques.}

Il convient de faire un moment diversion pour rappeler quelques notions
très-simples relatives aux \emph{congruences harmoniques}.

Soient $(A)$ et~$(B)$ deux surfaces arbitraires dont nous ferons correspondre
les points par parallélisme des plans tangents. Soient $A$ et~$B$ deux points
correspondants, les droites telles que $AB$ engendrent une \emph{congruence harmonique},
c'est-à-dire telle que si on la décompose en ses deux familles
de développables, celles-ci tracent, sur les surfaces $(A)$ et~$(B)$, deux familles
de courbes conjuguées.

La proposition sera démontrée si l'on fait voir que les indicatrices des
surfaces $(A)$ et~$(B)$ ont toujours deux diamètres conjugués parallèles. M.~de
la Gournerie a donné, de ceci, une démonstration réduite à l'évidence en
montrant que l'on peut toujours: \primo~amener les coniques à avoir même
centre; \secundo~en réduire une de telle façon qu'elle devienne doublement tangente
à l'autre; le diamètre de contact et les tangentes sont manifestement les
directions cherchées.

Ainsi, dans le cas qui nous occupe, la congruence est harmonique par
rapport aux surfaces $(A)$ et~$(B)$; il est clair qu'elle l'est également par
rapport à chacune des surfaces divisant, en segments proportionnels, les
cordes telles que~$AB$, surfaces correspondant à~$(A)$ et~$(B)$ par parallélisme
de leurs plans tangents.

Particularisons un peu, en supposant développables les surfaces $(A)$ et~$(B)$,
que nous avions prises arbitraires.

Soient $T_a$ et~$T_b$ les génératrices de ces deux surfaces situées dans deux
plans tangents parallèles ou non, désignons par $(A)$, $(B)$ les arêtes de rebroussement
%% -----File: 024.png---Folio 18-------
des deux développables. La congruence des droites $AB$ existe
toujours, elle se décompose en deux familles de surfaces principales qui sont
les cônes ayant leurs sommets en tous les points de~$(A)$ et contenant~$(B)$,
ou inversement. Les surfaces, lieux des points qui divisent les segments~$AB$
en parties proportionnelles, existent toujours, les cônes précités les découpent
suivant deux familles de courbes semblables aux courbes $(A)$ et~$(B)$, chaque
famille se composant de courbes identiques. De plus (et c'est le point principal)
ces familles de courbes sont conjuguées.


\Section{14.}
{Construction ponctuelle d'un élassoïde avec deux développables isotropes.}

Particularisons davantage et supposons que $(A)$ et~$(B)$ sont deux développables
isotropes.

Dans ce cas les droites $T_a$ et~$T_b$ sont isotropes; par conséquent elles sont
parallèles aux droites isotropes de tout plan parallèle à ces deux droites.

Mais les surfaces divisant en parties proportionnelles les segments tels que
$AB$ sont coupées par les cônes principaux suivant des courbes identiques (à
l'homothétie près) aux arêtes de rebroussement $(A)$ et~$(B)$, dont par conséquent
les tangentes, comme celles de~$(A)$ et de~$(B)$, sont isotropes. Ces deux
familles de courbes (comme dans le cas général) sont conjuguées.

On peut donc énoncer ce théorème important:

\begin{Emph}
Soient $(A)$ et~$(B)$ les arêtes de rebroussement de deux développables
isotropes arbitraires, si l'on joint de deux en deux les points de~$(A)$ et de~$(B)$
et que l'on divise, en parties proportionnelles, les segments ainsi
obtenus, le lieu des points de division est un élassoïde.
\end{Emph}

Or, une développable est déterminée quand on se donne deux directrices;
une développable isotrope, déjà assujettie à contenir l'ombilicale, est définie
par une seule autre directrice; par conséquent, une développable de cette
nature correspond à une fonction arbitraire. %[** PP: Added .]

%% -----File: 025.png---Folio 19-------

Ainsi la construction que nous venons de donner des élassoïdes contient
deux fonctions arbitraires, elle conduit donc (d'après une remarque du
chapitre précédent) à l'intégrale générale du problème de Monge.

Les élassoïdes sont donc, de deux manières, des surfaces \emph{moulures}; les
profils sont imaginaires. Les surfaces peuvent pourtant être réelles, mais à
condition que les développables isotropes $(A)$ et~$(B)$ seront imaginaires
conjuguées. En conséquence les élassoïdes réels ne contiennent, dans leur
définition, qu'une seule fonction arbitraire.

Nous montrerons plus loin comment nous avions été amené au résultat
qui précède avant de lire, dans le \emph{Bulletin des sciences mathématiques}
(novembre 1879), le résumé des mémoires de M.~Sophus Lie.


\Section{15.}
{Construction ponctuelle d'un élassoïde dérivé de deux élassoïdes.}

Si, dans ce qui précède, on prend pour $(A)$ et~$(B)$ deux élassoïdes se
correspondant par parallélisme de leurs plans tangents, les surfaces divisant,
en segments proportionnels, le segment variable $AB$ sont encore des élassoïdes,
puisque les traces principales de la congruence sur chacune de ces
surfaces ont leurs tangentes parallèles aux droites isotropes des plans tangents
en~$A$ et~$B$ à~$(A)$ et~$(B)$ et qu'en outre ces directions sont conjuguées.

C'est même en faisant cette observation que nous avons été conduit à
particulariser les surfaces $(A)$ et~$(B)$ dont la définition comporte en apparence
quatre fonctions arbitraires, mais dont en réalité deux sont surabondantes.


\Section{16.}
{Élassoïdes stratifiés.}

Deux développables isotropes arbitraires et arbitrairement placées dans
l'espace, donnent lieu à une famille d'élassoïdes que nous nommerons
\emph{stratifiés} pour rappeler qu'ils se correspondent par parallélisme de leurs
%% -----File: 026.png---Folio 20-------
plans tangents. Ces élassoïdes jouissent de propriétés fort singulières; elles
seront développées dans un chapitre spécial. Ils comprennent comme limites
les deux surfaces développables $(A)$ et~$(B)$ qui ont servi à les engendrer.
Chacun des élassoïdes de la famille se distingue par la valeur d'un coefficient
afférent au rapport de division du segment~$AB$, mais il est bien clair qu'on
ne particularise en aucune façon en supposant le coefficient égal à \emph{un}
puisque les deux fonctions arbitraires caractérisant la généralité de la définition
restent générales. En conséquence on peut dire que \emph{tout élassoïde est
le lieu des milieux des segments de droites limités à la rencontre de deux
lignes de longueur nulle}.

Il peut se faire que les deux lignes $(A)$ et~$(B)$ soient \emph{identiques}, c'est-à-dire
appartiennent à une même courbe; dans ce cas, nous dirons, avec
M.~Sophus Lie, que l'élassoïde est double.


\Section{17.}
{Le plan de l'infini coupe un élassoïde seulement suivant des droites.}

Nous déduirons de ce qui précède une seule conséquence: \emph{la section d'un
élassoïde, par le plan de l'infini, se compose de droites} (résultat énoncé depuis
longtemps par Geiser).

Il est clair en effet qu'on peut substituer aux définitions données précédemment
la suivante:

Tout élassoïde est le lieu d'un point associé sur les droites $AB$ rencontrant
deux lignes de longueur nulle $(A)$ et~$(B)$, au point de l'infini, et tel que le
rapport anharmonique des deux points associés et des points $A$ et~$B$ ait une
valeur constante.

Dans ces conditions, un point de l'élassoïde, situé à l'infini, correspond à
deux points de~$(A)$ et~$(B)$ également situés à l'infini; dès lors, le point de
rencontre de la droite~$AB$, avec le plan de l'infini, est indéterminé, par conséquent
la droite, tout entière, appartient à l'élassoïde.

Nous ne poursuivrons pas dans cette voie les belles conséquences que M.~Lie
%% -----File: 027.png---Folio 21-------
a développées avec un grand talent; désireux d'aborder des considérations
nouvelles, nous n'entrerons pas dans la discussion des nombres déterminant
le degré et la classe d'un élassoïde, en fonction des nombres caractéristiques
de la classe, du degré, du rang et des singularités à l'infini, des développables
isotropes $(A)$ et~$(B)$.

En terminant ce chapitre, observons que si le problème de Monge est,
ainsi, complétement résolu, la solution n'est pas dépourvue d'imaginaires.
Bien que ce \emph{desideratum} paraisse aujourd'hui assez oiseux, nous montrerons
plus loin comment on y satisfait par la considération des congruences
isotropes.

\TbEoC

%% -----File: 028.png---Folio 22-------


\Chapter{IV.}
{DES CONGRUENCES ISOTROPES.}

Si nous écrivions un traité didactique, nous serions amené à résoudre en
ce moment et par des procédés synthétiques, le problème de Björling, mais
il nous paraît préférable de suivre la marche d'invention plus féconde en
aperçus \emph{latéraux} et par conséquent susceptible, mieux qu'une synthèse
étroite, de faire apprécier les nombreuses attaches géométriques de problèmes
relatifs aux élassoïdes. A ce point de vue, il ne sera pas indifférent,
à raison de la nouveauté et de la précision des résultats, d'indiquer les considérations
qui nous ont conduit à l'\emph{étude des congruences isotropes} laquelle
fera plus spécialement l'objet de ce chapitre. Nous supprimons d'ailleurs
toute démonstration des résultats étrangers à l'étude proprement dite.


\Section{18.}
{Courbes symétriques par rapport aux plans tangents d'une surface le long
d'une courbe unique, correspondant aux premières avec orthogonalité
des plans tangents aux surfaces élémentaires. La courbe unique est
asymptotique.}

En général, étant données deux surfaces $(A)$ et~$(B)$ et une congruence
arbitraire de droites telles que~$AB$, il y a seulement deux paires de lignes
$(a)$ et~$(b)$ tracées sur $(A)$ et~$(B)$ se correspondant une à une et telles que les
plans tangents aux abouts du segment~$AB$ des surfaces gauches élémentaires
%% -----File: 029.png---Folio 23-------
ayant pour traces sur $(A)$ et~$(B)$ les courbes $(a)$ et~$(b)$, soient rectangulaires.

Dans ce qui suit, nous appellerons~$D$ la droite instantanée de la congruence
et~$(D)$ cette congruence elle-même.

Si l'on fait réfléchir les rayons $D$ de la congruence sur la surface $(A)$ et
que l'on considère la surface~$(C)$ lieu des points~$C$ symétriques des points~$B$
par rapport aux plans tangents de~$(A)$, les surfaces $(A)$ et~$(C)$ donneront lieu
comme le couple $(A)$~$(B)$ à deux paires de courbes $(a')$ et~$(c)$ correspondantes
et telles qu'aux abouts du segment~$AC$, les plans tangents aux
surfaces élémentaires de la congruence~$(D')$ réfléchie [ayant pour traces sur
$(A)$ et~$(C)$ les courbes $(a')$ et~$(c)$] soient rectangulaires.

\emph{En général, les paires de courbes $(a)$ et~$(a')$ ne coïncident pas. Lorsqu'elles
coïncident entre elles, elles sont les lignes asymptotiques de la surface~$(A)$.}

Dans ce cas, la position de la droite $BC$ est définie sans quadrature; les
surfaces $(B)$ et~$(C)$ sont uniques, et il suffit de connaître la congruence~$(D)$
(qui est particulière) indépendamment de la surface~$(B)$.

La congruence $(D)$ et la congruence réfléchie~$(D')$ satisfont à une seule
et même équation différentielle.


\Section{19.}
{Cas où les deux congruences symétriques sont formées de normales
à des surfaces. Ce sont des congruences de Dupin.}

Si l'on veut qu'une congruence $(D)$ soit satisfaisante [par cette locution,
employée généralement dans ce mémoire, nous entendons qu'un système géométrique
vérifie les conditions du problème dont on s'occupe] et qu'en outre
elle soit formée de normales à des surfaces, le problème se précise et donne
lieu aux remarques suivantes:

\primo~\emph{La droite $BC$ passe par le point de contact du plan d'incidence~$BAC$
avec l'enveloppée qu'il touche constamment;}

\secundo~\emph{Les traces $(\alpha)$, $(\alpha')$ sur $(A)$ des paires de développables suivant lesquelles
on peut décomposer les congruences $(D)$ et~$(D')$ coïncident;}

%% -----File: 030.png---Folio 24-------

\tertio~\emph{Ces courbes $(\alpha)$ et~$(\alpha')$, coïncidant entre elles, sont conjuguées. Dès lors,
les congruences $(D)$ et~$(D')$ sont des congruences de Dupin;}

\quarto~\emph{Enfin, si l'on particularise davantage et qu'on veuille que les surfaces
$(B)$ et~$(C)$ soient trajectoires des droites des congruences $(D)$ et~$(D')$, il
faut alors que ces surfaces $(B)$ et~$(C)$ soient les deux nappes d'une enveloppe
de sphères ayant leurs centres sur~$(A)$ et orthogonales à une sphère fixe.}

Ces résultats, où figurent à la fois les lignes asymptotiques, les congruences
de Dupin et les surfaces anallagmatiques prêtent un véritable intérêt à la
correspondance par orthogonalité, qui leur donne naissance.


\Section{20.}
{Génération des normales aux surfaces anallagmatiques du quatrième ordre.}

Une application fort élégante de ce qui précède se rapporte à la génération
des surfaces anallagmatiques du quatrième ordre indiquée par M.~Laguerre,
dans les termes suivants:

\begin{Emph}
Si par toutes les droites d'un plan on mène, à deux quadriques homofocales,
deux plans tangents et que l'on joigne, par une droite, les points de
contact, la congruence formée par les droites de même génération est aussi
formée des normales à une surface anallagmatique du quatrième ordre.
\end{Emph}

Si nous avons indiqué les résultats précédents, c'est pour montrer comment
nous avons été naturellement amené à l'étude des congruences isotropes.


\Section{21.}
{Congruences rencontrant deux surfaces suivant une infinité de courbes
correspondantes, le long desquelles les plans tangents aux surfaces élémentaires
sont rectangulaires.}

Nous avons dit qu'en général, sur deux surfaces $(A)$ et~$(B)$ une congruence
$(D)$ découpe seulement deux paires de courbes $(a)$ et~$(b)$ telles qu'aux abouts
%% -----File: 031.png---Folio 25-------
du segment~$AB$, les plans tangents aux surfaces élémentaires de la congruence
soient rectangulaires. \emph{Mais il peut arriver, en particulier, qu'il y ait plus de
deux paires de courbes. S'il en est ainsi, il y en a une infinité.} C'est ce que
nous allons démontrer.

Soient $(A)$ et~$(B)$ deux surfaces (arbitraires jusqu'à nouvel ordre), soit~$D$
la droite d'une congruence~$(D)$ joignant les points correspondants $A$,~$B$.
Si, par les milieux des segments~$AB$, on élève des plans perpendiculaires
aux cordes~$AB$, ils toucheront une certaine surface~$(O)$ que nous prendrons
pour surface de référence. Même, pour simplifier les calculs, nous supposerons
que les lignes coordonnées $(u)$, $(v)$ sont les lignes de courbure
de~$(O)$.

$\xi$, $\eta$, $\zeta$ étant les coordonnées instantanées du point~$A$,

$\xi$, $\eta$, $-\zeta$ seront les coordonnées instantanées du point~$B$.

Si l'on suit, sur~$(O)$, une ligne satisfaisante (c'est-à-dire telle que les plans
tangents à la surface élémentaire engendrée par~$D$ soient rectangulaires en
$A$ et~$B$), on aura
\[
1 + \frac{\Delta Y_A - \Delta Y_B}{\Delta X_A - \Delta X_B} = 0.
\]

En effet, si $\theta$ désigne l'angle du plan tangent en~$A$, à la surface élémentaire,
avec le plan~$ZOX$, on a manifestement
\[
\tg \theta = \frac{\Delta Y_A}{\Delta X_A},
\]
$\Delta X_A$ et~$\Delta Y_A$ ayant les valeurs déduites des \Eqref{formules}{1}, lorsque l'on particularise
les axes en supposant que $(u)$ et~$(v)$ soient lignes de courbure,
c'est-à-dire en annulant~$D$. Par conséquent, on suivra sur~$(O)$ une ligne
satisfaisante si
\[
\left.
\begin{aligned}
&\left[du \left(f + \frac{d\xi}{du} + \frac{df}{g\, dv}\eta\right)
     + dv \left(    \frac{d\xi}{dv} - \frac{dg}{f\, du}\eta\right)\right]^2
     - P^2 \zeta^2\, du^2 \\
+
&\left[dv \left(g + \frac{d\eta}{dv} + \frac{dg}{f\, du}\xi\right)
     + du \left(    \frac{d\eta}{du} - \frac{df}{g\, dv}\xi\right)\right]^2
     - Q^2 \zeta^2\, dv^2
\end{aligned}\ \right\} = 0.
\]

%% -----File: 032.png---Folio 26-------

%**** Sentence has no verb
Équation du second degré en $\frac{dv}{du}$, comme nous l'avions annoncée. % [** PP: Typo annoncé]
Dans la
question qui nous occupe, cette équation doit être identique et alors, suivant
toutes les directions, les plans tangents aux surfaces élémentaires, aux abouts
des segments~$AB$, sont rectangulaires. Pour que ces circonstances se réalisent,
il faut écrire
\[
±\frac{P}{Q}
= \frac{f + \dfrac{d\xi}{du} + \dfrac{df}{g\, dv}\eta}
       {g + \dfrac{d\eta}{dv} + \dfrac{dg}{f\, du}\xi}
= - \frac{\dfrac{d\eta}{du} - \dfrac{df}{g\, dv}\xi}
         {\dfrac{d\xi}{dv} - \dfrac{dg}{f\, du}\eta},
\Tag{4}
\]
en même temps que:
\[% [** PP: Breaking wide display]
\begin{aligned}
\zeta^2
&= \frac{\left(f + \dfrac{d\xi}{du} + \dfrac{df}{g\, dv}\eta\right)^2
      + \left(\dfrac{d\eta}{du} - \dfrac{df}{g\, dv}\xi\right)^2}{P^2} \\
&= \frac{\left(g + \dfrac{d\eta}{dv} + \dfrac{dg}{f\, du}\xi\right)^2
      + \left(\dfrac{d\xi}{dv} - \dfrac{dg}{f\, du}\eta\right)^2}{Q^2},
\end{aligned}
\Tag{5}
\]
système qui se réduit à trois équations.


\Section{22.}
{Équation des foyers et plans principaux d'une congruence formée de droites
parallèles aux normales de la surface de référence.}

Pour interpréter les relations précédentes, il faut établir les équations des
foyers et des plans principaux de la congruence~$(D)$.

Conformément à ce qui a été dit ci-dessus, le plan tangent à la surface
élémentaire, en un point de~$D$ dont l'ordonnée $\zeta$ peut être différente du~$\zeta$  du
point~$A$, est défini par la relation
\[
\tg \theta
= \frac{dv \left(g + \dfrac{d\eta}{dv} + \dfrac{dg}{f\, du}\xi + Q\zeta\right)
      + du \left(\dfrac{d\eta}{du} - \dfrac{df}{g\, dv}\xi\right)}
       {du \left(f + \dfrac{d\xi}{du} + \dfrac{df}{g\, dv}\eta + P\zeta\right)
      + dv \left(\dfrac{d\xi}{dv} - \dfrac{dg}{f\, du}\eta\right)},
\]
où $\theta$ est l'angle de ce plan et du plan~$ZOX$.

%% -----File: 033.png---Folio 27-------

On sait que les plans principaux sont tangents à toutes les surfaces élémentaires,
aux foyers; on obtiendra donc les valeurs de~$\tg \theta$, afférentes aux plans
principaux, et les valeurs de~$\zeta$, afférentes aux foyers, en écrivant que l'équation
précédente est indépendante de $du$, $dv$.

Le procédé est général: nous l'appliquerons à chaque instant dans ce qui
suivra, mais sans revenir sur sa justification.

On trouve ainsi, pour l'\emph{équation des points principaux}
\[% [** PP: Re-breaking]
\left.
\begin{aligned}
& P \tg^2\theta \left(\frac{d\xi}{dv} - \frac{dg}{f\, du}\eta\right) \\
&\qquad
  - \tg  \theta \left[ P \left(g + \frac{d\eta}{dv}
                      + \frac{dg}{f\, du}\xi\right)
  - Q \left(f + \frac{d\xi}{du} + \frac{df}{g\, dv}\eta\right)\right] \\
&\qquad
  - Q\left[\frac{d\eta}{du} - \frac{df}{g\, dv}\xi\right]
\end{aligned}\ \right\} = 0
\Tag{6}
\]
et pour l'équation donnant \emph{les~$Z$ des foyers}
\[% [** PP: Re-breaking]
\left.
\begin{aligned}
PQZ^2
 &+ Z\left[P\left(g + \frac{d\eta}{dv} + \frac{dg}{f\, du}\xi\right)
  + Q\left(f + \frac{d\xi}{du} + \frac{df}{g\, dv}\eta\right)\right] \\
%
 &+ \left(f + \frac{d\xi}{du} + \frac{df}{g\, dv}\eta\right)
    \left(g + \frac{d\eta}{dv} + \frac{dg}{f\, du}\xi\right) \\
 &- \left(\frac{d\xi}{dv} - \frac{dg}{f\, du}\eta\right)
    \left(\frac{d\eta}{du} - \frac{df}{g\, dv}\xi\right)
\end{aligned}\ \right\} = 0.
\Tag{7}
\]

Dès lors, si $Z_1$ % [** PP: Typo Z]
et~$Z_2$ sont \emph{les~$Z$ des deux foyers}, on a toujours
\begin{multline*}% [** PP: Re-breaking]
PQ · Z_1 · Z_2
  = \left(f + \frac{d\xi}{du} + \frac{df}{g\, dv}\eta\right)
    \left(g + \frac{d\eta}{dv} + \frac{dg}{f\, du}\xi\right) \\
  - \left(\frac{d\xi}{dv} - \frac{dg}{f\, du}\eta\right)
    \left(\frac{d\eta}{du} - \frac{df}{g\, dv}\xi\right).
\end{multline*}

Si l'on revient au problème, on trouve, en tenant compte des \Eqref{équations}{4}
et~\hyperref[equation:5]{(5)}
\[
Z_1Z_2 = ±\zeta^2,
\]
première relation qui a lieu dans tous les cas. Faisons maintenant les deux
hypothèses sur le signe.

%% -----File: 034.png---Folio 28-------

\Section{23.}
{La congruence peut être formée de normales à une surface; les surfaces
d'about sont les surfaces focales.}

\emph{Première hypothèse:} mettons le signe $-$ devant~$\frac{P}{Q}$; il vient alors:
\[
  P\left(\frac{d\xi}{dv}  - \frac{dg}{f\, du}\eta\right)
- Q\left(\frac{d\eta}{du} - \frac{df}{g\, dv}\xi \right) = 0;
\]
mais, si $\theta_1$ et~$\theta_2$ caractérisent les deux plans tangents principaux, l'\Eqref{équation}{6}
rapprochée de la précédente, montre que celle-ci équivaut à la relation
\[
1 + \tg\theta_1 · \tg\theta_2 = 0.
\]
En conséquence, dans ce cas, \emph{la congruence est formée des normales à une
famille de surfaces}.

On a d'ailleurs en même temps
\[
  P\left(g + \frac{d\eta}{dv} + \frac{dg}{f\, du}\xi\right)
+ Q\left(f + \frac{d\xi}{du} + \frac{df}{g\, dv}\eta\right) = 0.
\]
Cette relation, rapprochée de l'\Eqref{équation}{7}, conduit à écrire
\[
Z_1 + Z_2 = 0.
\]
Comme on a en même temps
\[
Z_1Z_2 = -\zeta^2:
\]

Les deux surfaces d'about $(A)$ et~$(B)$ sont les deux surfaces focales de la
congruence.

En effet, quelles que soient les surfaces élémentaires isolées dans une congruence
de normales, les plans tangents aux foyers sont rectangulaires.

%% -----File: 035.png---Folio 29-------

\Section{24.}
{La congruence est isotrope.}

\emph{Deuxième hypothèse:} mettons le signe~$+$ devant~$\frac{P}{Q}$, nous avons alors les
deux équations
\begin{gather*}
  P\left(\frac{d\xi}{dv} - \frac{dg}{f\, du}\eta\right)
+ Q\left(\frac{d\eta}{du} - \frac{df}{g\, dv}\xi\right) = 0, \\
%
  Q\left(f + \frac{d\xi}{du} + \frac{df}{g\, dv}\eta\right)
- P\left(g + \frac{d\eta}{dv} + \frac{dg}{f\, du}\xi\right) = 0,
\end{gather*}
en vertu desquelles l'équation des plans principaux se réduit à
\[
\tg^2\theta + 1 = 0,
\]
à moins que l'on n'ait
\[
  P\left(\frac{d\xi}{dv} - \frac{dg}{f\, du}\eta\right)
= Q\left(\frac{d\eta}{du} - \frac{df}{g\, dv}\xi\right) = 0;
\]
si cette particularité se réalisait, l'\Eqref{équation}{6} serait entièrement indéterminée;
par conséquent la congruence serait formée de droites parallèles ou
concourantes.

Écartant cette dernière hypothèse, on voit que \emph{les plans principaux de la
congruence sont isotropes}. Par conséquent \emph{la congruence est isotrope, c'est-à-dire
qu'elle a pour focales deux développables isotropes}.

On trouve, immédiatement, que les foyers de la congruence sont donnés
par l'équation
\[
Z = -\frac{g + \dfrac{d\eta}{dv} + \dfrac{dg}{f\, du}\xi}{Q}
    ±\sqrt{-1} \frac{\dfrac{d\xi}{dv} - \dfrac{dg}{f\, du}\eta}{Q};
\]
ils sont naturellement imaginaires.

Si l'on désigne par~$l$ la distance du pied~$M$ de la droite~$D$ au milieu du
%% -----File: 036.png---Folio 30-------
segment focal, et par $m\sqrt{-1}$ la valeur du demi-segment focal, on trouve
\begin{gather*}
-l = \frac{g + \dfrac{d\eta}{dv} + \dfrac{dg}{f\, du} \xi}{Q}
   = \frac{f + \dfrac{d\xi}{du} + \dfrac{df}{g\, dv} \eta}{P}, \\[1ex]
 m = \frac{\dfrac{d\xi}{dv} - \dfrac{dg}{f\, du} \eta}{Q}
   = -\frac{\dfrac{d\eta}{du} - \dfrac{df}{g\, dv} \xi}{P};
\end{gather*}
on en conclut
\[
\zeta^2 = l^2 + m^2.
\]


\Section{25.}
{Sur une congruence isotrope les points des surfaces d'about sont conjugués
par rapport aux foyers.}

Il importe de définir complétement les surfaces d'about $(A)$ et~$(B)$ par
rapport à la congruence isotrope.

L'équation précédente (si l'on désigne par~$F$ le milieu du segment focal)
équivaut à la relation
\[
FA · FB = -m^2.
\]

On peut dès lors énoncer cette propriété, qui nous paraît importante:

\begin{Emph}
Sur les droites d'une congruence isotrope, les points correspondants de
deux surfaces d'about sont conjugués harmoniques par rapport aux foyers
de la congruence.
\end{Emph}

Nous désignons par surfaces d'about, pour abréger, les surfaces $(A)$ et~$(B)$
jouissant de la propriété de se correspondre par orthogonalité des plans
tangents des surfaces élémentaires de la congruence, aux abouts des
segments tels que~$AB$.

On voit aussi que les surfaces d'about sont transformées l'une de l'autre
par une loi analogue à celle des figures inverses (transformation par rayons
%% -----File: 037.png---Folio 31-------
vecteurs réciproques) et que, quelle que soit la congruence isotrope choisie,
l'une des surfaces est arbitraire.

Pour donner dès l'abord un exemple des calculs habituels de la périmorphie
et pour mettre en évidence un résultat très-général, nous allons
montrer comment, lorsqu'on se donne arbitrairement la surface de référence~$(O)$
définie comme l'enveloppée des plans moyens perpendiculaires aux
segments~$AB$ joignant les points de surfaces d'about inconnues, celles-ci
peuvent être déterminées.


\Section{26.}
{L'enveloppée moyenne d'une congruence isotrope est un élassoïde.}

Ce problème serait identique à la recherche de toutes les congruences
isotropes dont on ferait correspondre les droites par parallélisme aux
normales de la surface de référence prise arbitrairement.

A l'aide des valeurs de $l$ et~$m$, on peut écrire
\begin{align*}
-\frac{d\eta}{dv} &=  Ql + g + \frac{dg}{f\, du}\xi,&
-\frac{d\eta}{du} &=  \phantom{-}Pm - \frac{df}{g\, dv}\xi, \\
%
-\frac{d\xi}{du}  &=  Pl + f + \frac{df}{g\, dv}\eta,&
-\frac{d\xi}{dv}  &= -Qm - \frac{dg}{f\, du}\eta,
\end{align*}
et rien n'empêche de prendre pour variables principales $l$ et~$m$. Exprimant
que les deux valeurs de $\smfrac{d^2\eta}{du\,dv}$ et de $\smfrac{d^2\xi}{du\, dv}$ sont égales individuellement et,
tenant compte des \Eqref{équations de Codazzi}{3}, il vient simplement:
\begin{align*}
\xi  &= \frac{dl}{P\, du} - \frac{dm}{Q\, dv}, \\
\eta &= \frac{dl}{Q\, dv} + \frac{dm}{P\, du}.
\end{align*}
mais il importe de particulariser, afin de mettre en lumière, sans effort, la
propriété capitale des congruences isotropes.
%% -----File: 038.png---Folio 32-------

% [**** PP: New paragraph?] Isabelle: Yes, but no indent
Puisque la surface de référence est arbitraire par rapport à la congruence
isotrope~$(D)$, elle peut coïncider avec l'\emph{enveloppée moyenne} de la congruence
(voir \Secref{2}), on réalisera cette hypothèse en annulant~$l$. Il vient alors:
\begin{align*}
\xi  &=           -\frac{dm}{Q\, dv}, \\
\eta &= \phantom{-}\frac{dm}{P\, du},
\end{align*}
avec:
\begin{align*}
-\frac{d\eta}{dv} &= g + \frac{dg}{f\, du}\xi, &
-\frac{d\eta}{du} &= -\frac{df}{g\, dv}\zeta, \\
-\frac{d\xi}{du}  &= f + \frac{df}{g\, dv}\eta, &
-\frac{d\xi}{dv}  &= -Qm - \frac{dg}{f\, du}\eta.
\end{align*}
Substituant les valeurs de $\xi$ et~$\eta$ dans les quatre équations différentielles,
on trouve
\[
\Tag{8}
\left.
\begin{aligned}
\frac{d^2m}{du\, dv} - \frac{1}{P}\frac{dP}{dv}\frac{dZ}{du}
                     - \frac{1}{Q}\frac{dQ}{du}\frac{dZ}{dv}
&= fQ = -gP, \\
%
\frac{d}{du}\left(\frac{dZ}{P\, du}\right)
  + \frac{dP}{Q^2\, dv}\frac{dZ}{dv} + PZ % [**** PP: Should be dZ/du?]
&= 0, \\
%
\frac{d}{dv}\left(\frac{dZ}{Q\, dv}\right)
  + \frac{dQ}{P^2\, du}\frac{dZ}{dv} + QZ
&= 0.
\end{aligned}\ \right\}
\]

Les deux premières équations entraînant la relation
\[
fQ + gP=0,
\]
on voit, d'après la signification de $P$ et~$Q$ (\Secref{4}), que la surface de référence est
à courbure moyenne nulle.

Ainsi se trouve établie cette proposition, capitale dans notre étude:
\emph{L'enveloppée moyenne, d'une congruence isotrope, est un élassoïde.}

Avant d'aborder la résolution du groupe d'\Eqref{équations}{8}, établissons deux
nouvelles propriétés essentielles des congruences isotropes.

%% -----File: 039.png---Folio 33-------

\Section{27.}
{La recherche des congruences isotropes est ramenée à celle des
réseaux isométriques orthogonaux de la sphère.}

Particularisons différemment la surface de référence, en admettant qu'elle
coïncide avec une sphère. Dans ce cas le réseau $(u, v)$ sera formé d'un
réseau orthogonal arbitraire, et rien ne s'oppose à ce que nous le choisissions
tel que les droites~$D$ soient, à chaque instant, situées dans le plan~$ZOX$; ces
hypothèses seront réalisées, si l'on fait\footnote{$a$ étant le rayon de la sphère.}
\begin{gather*}
f = a · P,\quad g = a \Reg{}{·} Q. \\
\eta = 0.
\end{gather*}

L'équation donnant la variation du plan tangent le long d'une droite~$D$
appartenant à une surface élémentaire devient, en appelant~$\rho$ la longueur
$\zeta+a$ comptée à partir du centre de la sphère
\[
\tg\theta
  = \frac{du \left(f_\rho + \dfrac{d\xi}{du}\right) + dv · \dfrac{d\xi}{dv}}
         {-du\dfrac{df}{g\, dv} · \xi + dv\left(g_\rho + \dfrac{dg}{f\, du} \xi\right)}.
\Tag{9}
\]

L'équation des plans principaux devient
\[
  \tg^2\theta · \xi \frac{df}{fg\, dv}
+ \tg\theta \left(\frac{d\xi}{f\, du} - \frac{dg}{fg\, du}\xi\right)
+ \frac{d\xi}{g\, dv} = 0.
\]
Si la congruence~$(D)$ est isotrope, cette équation devra se réduire à
\[
\tg^2\theta + 1 = 0.
\]
Il faut donc que
\begin{align*}
\frac{d\xi}{\xi\, du} &= \frac{dg}{g\, du}, \\
\frac{d\xi}{\xi\, dv} &= \frac{df}{f\, dv}.
\end{align*}
%% -----File: 040.png---Folio 34-------
on doit, en conséquence, avoir
\[
\xi = f = g = \lambda
\]
et le carré de l'élément linéaire de la sphère peut s'écrire
\[
ds^2 = \lambda^2 (du^2 + dv^2).
\]

Ainsi la recherche des congruences isotropes est ramenée à celle des
réseaux isométriques sphériques.

\begin{Emph}
Soit tracé, sur une sphère, un réseau isométrique arbitraire, que sur
les tangentes aux courbes de l'une des familles on porte, à partir des
points de contact, des segments égaux aux valeurs de~$\lambda$ en ces points; que,
par les extrémités des segments, on mène des droites parallèles aux
normales de la sphère, ces droites engendreront une congruence isotrope.
\end{Emph}

Le problème de l'intégration des réseaux isométriques sphériques a été
résolu par M.~Liouville; on devra donc, de toute façon, trouver l'intégrale
générale explicite des congruences isotropes ou des élassoïdes.


\Section{28.}
{Pour une congruence isotrope le paramètre de distribution est fonction
de droite, et toutes les lignes de striction sont situées sur une surface
unique.}

Mais revenons à l'équation de la surface élémentaire. Sur chacune des
droites~$D$, d'une surface élémentaire, existe un \emph{point central} dont le lieu est
appelé la \emph{ligne de striction} de la surface élémentaire; le plan tangent à la
surface au \emph{point central}, dit le plan central, est perpendiculaire au \emph{plan
tangent à l'infini}. Enfin, il y a lieu de considérer ce que M.~Chasles a défini
\emph{paramètre de distribution}; par abréviation nous le nommerons \emph{paramètre}.
On sait qu'en un point de la droite, distant de~$x$ du point central, le plan
tangent fait, avec le plan central, un angle~$\omega$ défini par l'équation
\[
x = p · \tg\omega,
\]
où $p$ représente la valeur du paramètre.

%% -----File: 041.png---Folio 35-------

L'équation de la surface élémentaire doit s'écrire
\[
\tg \theta
= \frac{ du \left(\lambda\rho + \dfrac{d\lambda}{du}\right)
      + \dfrac{d\lambda}{dv} · dv}
       {-du · \dfrac{d\lambda}{dv}
       + dv \left(\lambda\rho + \dfrac{d\lambda}{du}\right)}.
\]

Le plan tangent à l'infini s'obtient en faisant $\rho$ infini, on a donc:
\[
\tg\theta_\infty = \frac{du}{dv}
\]
et le plan central lui étant perpendiculaire, on doit avoir pour le déterminer
\[
\tg \theta_c
= \frac{ du \left(\lambda\rho_c + \dfrac{d\lambda}{du}\right)
        + \dfrac{d\lambda}{dv} \Reg{\,}{·} dv}
       {-du \Reg{\,}{·} \dfrac{d\lambda}{dv}
       + dv \left(\lambda\rho_c + \dfrac{d\lambda}{du}\right)}
= -\frac{dv}{du}.
\]

Par conséquent, on déduit:
\[
\rho_c = -\frac{d\lambda}{\lambda\, du}
\]
et si l'on introduit $\tg\theta_c$ ainsi que $\rho_c$ dans l'équation de la surface élémentaire,
on trouve
\[
\rho - \rho_c = -\frac{d\lambda}{\lambda\, dv}
                 \frac{\tg \theta - \tg \theta_c}
                      {1 + \tg \theta · \tg \theta_c}.
\]
On voit donc que le paramètre a pour valeur
\[
p = -\frac{d\lambda}{\lambda\, dv}; % [**** PP: \rho?]
\]
mais un fait capital résulte de cette analyse:

\primo~\emph{Pour toutes les surfaces élémentaires possibles, contenant une droite~$D$,
le paramètre est le même.}

\secundo~\emph{Le lieu des lignes de striction de toutes les surfaces élémentaires est
une surface.}

Il est clair que la position du point central et la valeur du paramètre
étant \emph{invariantes} sur chaque droite~$D$, sont liées aux éléments focaux.

Cherchons l'équation des foyers, elle se réduit ici à
\[
\rho = -\frac{d\lambda}{\lambda\, du} ± i \frac{d\lambda}{\lambda\, dv}.
\]

%% -----File: 042.png---Folio 36-------

On voit donc qu'il y a lieu d'énoncer les propriétés suivantes:

Étant donnée une congruence isotrope,

\primo~\emph{Toutes les lignes de striction des surfaces élémentaires sont situées sur
la surface moyenne de la congruence \emph{(voir \Secref{2})}.}

\secundo~\emph{Sur chaque droite de la congruence le demi-segment focal est égal au
produit, par $\sqrt{-1}$, du paramètre de toutes les surfaces élémentaires contenant
la droite.}


\Section{29.}
{Valeur du paramètre d'une congruence isotrope en fonction
du segment focal.}

Il importe de mettre hors de doute que si, inversement, on trouve une
congruence où les lignes de striction de toutes les surfaces élémentaires possibles
soient situées sur une surface, cette congruence est isotrope.

L'équation $(\rho)$, se rapportant à une congruence arbitraire, montre que la
condition précitée sera réalisée si l'équation en $\rho$ afférente au point central,
est indépendante de $dv$ et~$du$.

Cette équation s'obtient, comme tout à l'heure, en écrivant
\[
-\frac{g\, dv}{f\, du}
 = \frac{du\left(f\rho_c + \dfrac{d\xi}{du}\right) + dv \dfrac{d\xi}{dv}}
        {-du \dfrac{df}{g\, dv} \xi + dv\left(g\rho_c + \dfrac{dg}{f\, du} \xi\right)}.
\]

Pour qu'elle soit identique en $du$ et~$dv$:
\begin{gather*}
\frac{df}{f\, dv} = \frac{d\xi}{\xi\, dv}, \\
\frac{dg}{g\, du} = \frac{d\xi}{\xi\, du}, \\
\rho_c = -\frac{d\xi}{f\, du}.
\end{gather*}

%% -----File: 043.png---Folio 37-------

Les deux premières équations caractérisent la congruence isotrope,
comme nous l'avons montré au \Secref{27}.

L'invariabilité du \emph{paramètre} nécessite aussi que la congruence soit
isotrope.


\Section{30.}
{Diagramme d'une congruence isotrope imaginé par M.~Mannheim.}

Il n'est pas inutile de rapprocher ce qui précède d'un élégant diagramme
imaginé par M.~Mannheim, pour représenter le déplacement du point central
et la variation du paramètre de distribution sur une droite~$D$ d'une congruence,
lorsqu'on envisage toutes les surfaces élémentaires contenant la
droite (voir \emph{Journal de Liouville}, \Ord{2}{e}~série, t.~XVII, 1872, page~123).

M.~Mannheim énonce ainsi la propriété:

\begin{Emph}
«Si dans un plan passant par un rayon d'un pinceau on porte, sur des
perpendiculaires à ce rayon élevées des points centraux des surfaces élémentaires
et à partir de ces points, des longueurs égales aux paramètres de
distribution de ces surfaces, les extrémités des longueurs ainsi portées sont
sur une circonférence~$C$ passant par les foyers du rayon.»
\end{Emph}

Chaque droite d'une congruence comporte ainsi un diagramme particulier.
Dans l'espèce qui nous occupe, la projection du cercle-diagramme sur la
droite~$D$ doit être nulle; par conséquent le cercle se réduit à un point, et
l'on voit immédiatement que la distance de ce point à la droite~$D$ est la
valeur invariante du \emph{paramètre}.

Nous abandonnerons pour un moment la voie qui s'ouvre pour l'étude des
élassoïdes dans la considération des réseaux sphériques isométriques. Il
importe avant tout de préciser la connexité des problèmes de recherche d'un
élassoïde et d'une congruence isotrope.

\TbEoC

%% -----File: 044.png---Folio 38-------


\Chapter{V.}
{CONGRUENCES ISOTROPES DONNANT LIEU AU MÊME ÉLASSOÏDE.}

\Section{31.}
{Mise en équation du problème de la recherche de toutes les congruences
isotropes donnant lieu au même élassoïde moyen.}

Nous avons montré que l'enveloppée moyenne d'une congruence isotrope
est un élassoïde.  Inversement, étant donné un élassoïde, comment
trouver les congruences isotropes génératrices? Tel sera le problème
dont ce chapitre donnera la solution.

Prenons pour surface de référence l'élassoïde donné, et choisissons
pour réseau $(u, v)$ celui des lignes asymptotiques, qui est rectangulaire. Les
\Eqref{équations de Codazzi}{3} simplifiées par la disparition de~$P$ et de~$Q$, qui sont
nuls, deviennent:
\begin{gather*}
g \frac{dD}{du} + 2 \frac{dg}{du} D = 0, \\[1ex]
f \frac{dD}{dv} + 2 \frac{df}{dv} D = 0. \\[1ex] %[**,?]
fg D^2 = \frac{d}{du} \left(\frac{dg}{f\, du}\right)
       + \frac{d}{dv} \left(\frac{df}{g\, dv}\right).
\end{gather*}

Les deux premières entraînent
\begin{align*}
Dg^2 &= V, \\
Df^2 &= U,
\end{align*}
où $U$ et~$V$ sont des fonctions arbitraires de $u$ et~$v$, mais le carré de l'élément
linéaire étant de la forme
\[
dS^2 = \frac{U\, du^2}{D} + \frac{V\, dv^2}{D},
\]
%% -----File: 045.png---Folio 39-------
on peut toujours particulariser les variables $u$ et~$v$ de telle façon que
$U$ et~$V$ soient égales à l'unité. Alors
\[
f = g = D^{-\frac{1}{2}}
\]
et la troisième équation de Codazzi devient
\[
2D + \frac{d^2 \log D}{du^2} + \frac{d^2 \log D}{dv^2} = 0.
\]

Ceci posé si $\xi$ et~$\eta$ sont les coordonnées instantanées d'une droite~$D$ de la
congruence, l'équation de la surface élémentaire sera, comme d'habitude:
\[
\tg \theta
= \frac{dv \left[g + \dfrac{d\eta}{dv} + \dfrac{dg}{f\, du} \xi\right]
      + du \left[\dfrac{d\eta}{du} - \dfrac{df}{g\, dv} \xi - f D\zeta\right]}
       {du \left[f + \dfrac{d\xi}{du} + \dfrac{df}{g\, dv} \eta\right]
      + dv \left[\dfrac{d\xi}{dv} - \dfrac{dg}{f\, du} \eta - g D\zeta\right]}.
\]
Posant:
\begin{gather*}
M  = g + \frac{d\eta}{dv} + \frac{dg}{f\, du} \xi,\quad
M' = f + \frac{d\xi}{du} + \frac{df}{g\, dv} \eta, \\
N  = \frac{d\eta}{du} - \frac{df}{g\, dv} \xi,\quad
N' = \frac{d\xi}{dv} - \frac{dg}{f\, du} \eta,
\end{gather*}
on trouve, pour l'équation des plans principaux:
\[
-\tg^2\theta · gDM' + \tg\theta (gDN - fDN') + fD · M = 0;
\]
pour l'équation des ordonnées des foyers:
\[
-\zeta^2 fg D^2 + \zeta (fDN' + gDN) + MM' - NN' = 0.
\]

Écrivant que la congruence est isotrope, on obtient:
\begin{align*}
gN - fN' &= 0, \\
fM + gM' &= 0.
\end{align*}

Si la surface de référence est l'enveloppée moyenne, dans l'équation en~$\zeta$,
le terme du premier degré disparaît; par conséquent
\[
fN' + gN = 0.
\]

%% -----File: 046.png---Folio 40-------

En outre, les foyers seront déterminés par l'équation
\[
± \sqrt{-1} · \zeta fgD = fM = -gM';
\]
et cette double relation, jointe à la suivante,
\[
N = N' = 0
\]
régit tout le problème.

Mais, d'après ce qui a été établi au \Secref{28}, si $p$ désigne le \emph{paramètre}
de la droite~$D$, on a en valeur absolue,
\[
\zeta = \sqrt{-1} p,
\]
par conséquent les équations du problème se réduisent au système
\begin{gather*}
N = N' = 0, \\
pD = \frac{M}{g} = -\frac{M'}{f},
\end{gather*}
qui, développé, après substitution, devient:
\[
\left\{
\begin{aligned}
f + \frac{d\xi}{du} + \frac{df}{g\, dv} \eta + fDp &= 0,\quad
\frac{d\xi}{dv} - \frac{dg}{f\, du} \eta = 0, \\
g + \frac{d\eta}{dv} + \frac{dg}{f\, du} \xi - gDp &= 0,\quad
\frac{d\eta}{du} - \frac{df}{g\, dv} \xi = 0.
\end{aligned}
\right.
\]


\Section{32.}
{Réduction des équations à un système canonique.}

Égalant les deux valeurs de $\smfrac{d^2\xi}{du\,dv}$, puis de $\smfrac{d^2\eta}{du\,dv}$, en tenant compte des
valeurs de~$f$ et~$g$ en~$D$, on trouve
\begin{align*}
\xi  &= \phantom{-}D^{-\frac{1}{2}} \frac{dp}{du}, \\
\eta &=           -D^{-\frac{1}{2}} \frac{dp}{dv};
\end{align*}
%% -----File: 047.png---Folio 41-------
puis, substituant ces valeurs dans les équations du problème, on obtient le
nouveau système.
\[
\left.
\begin{aligned}
1 + \frac{d^2p}{du^2} - \frac{dD}{2D\, du} · \frac{dp}{du}
                      + \frac{dD}{2D\, dv} · \frac{dp}{dv} + Dp &= 0, \\
1 - \frac{d^2p}{dv^2} + \frac{dD}{2D\, dv} · \frac{dp}{dv}
                      - \frac{dD}{2D\, du} · \frac{dp}{du} - Dp &= 0, \\
  \frac{d^2p}{du\,dv} - \frac{dD}{2D\, du} · \frac{dp}{dv}
                      - \frac{dD}{2D\, dv} · \frac{dp}{du} &= 0.
\end{aligned}\ \right\}
\Tag{10}
\]

Nous dirons que le problème est rendu canonique, en ce sens que les
inconnues $\xi$ et~$\eta$ sont données explicitement en fonction des paramètres $p$ et~$D$
et de leurs dérivées.

Pour résoudre cet ensemble d'\Eqref{équations}{10} complété par l'équation de
Codazzi en~$D$, non identique, nous poserons
\begin{align*}
u + \sqrt{-1} · v &= x, \\
u - \sqrt{-1} · v &= y,
\end{align*}
$x$ et $y$ étant les coordonnées symétriques imaginaires habituelles. Le groupe
se transforme ainsi:
\[
\left.
\begin{aligned}
\frac{D}{2}  + \frac{d^2 \log D}{dx\, dy} &= 0, \\
\frac{D}{2} · p + \frac{d^2p}{dx\, dy} &= 0, \\
\frac{1}{2} + \frac{d^2p}{dx^2} - \frac{dp}{dx} · \frac{dD}{D\, dx} &= 0, \\
\frac{1}{2} + \frac{d^2p}{dy^2} - \frac{dp}{dy} · \frac{dD}{D\, dy} &= 0.
\end{aligned}\ \right\}
\Tag{11}
\]


\Section{33.}
{Intégration des équations.}

La première équation a été intégrée par M.~Liouville (Notes.---\emph{Application
de l'analyse à la géométrie}); elle donne:
\[
-\frac{D}{2} = \frac{2X'Y'}{(X+Y)^2},
\]
%% -----File: 048.png---Folio 42-------
$X$ et~$Y$ désignant deux fonctions arbitraires, l'une de~$x$ l'autre de~$y$, $X'$ et~$Y'$
désignant les dérivées de ces quantités par rapport à $x$ et~$y$.

La seconde équation a été intégrée par M.~Moutard, dans un très-beau
mémoire publié dans le \Ord{XLV}{e}~cahier du \emph{Journal de l'École polytechnique}
(page~5).

$X_1$, $Y_1$ désignant deux nouvelles fonctions arbitraires, la valeur la plus
générale de~$p$ est:
\[
p = \frac{X_1'}{X'} + \frac{Y_1'}{Y'} - 2\frac{X_1+Y_1}{X+Y}.
\]

Il s'agit maintenant de déterminer $X$ et~$Y$ de telle façon, que les
deux dernières équations du \Eqref{groupe}{10} soient vérifiées. Effectuant la substitution,
on obtient les deux équations définitives
\begin{align*}
\frac{1}{2} + \left(\frac{X_1'}{X'}\right)''
  - \frac{X''}{X'} \left(\frac{X_1'}{X'}\right)' &= 0, \\
\frac{1}{2} + \left(\frac{Y_1'}{Y'}\right)''
  - \frac{Y''}{Y'} \left(\frac{Y_1'}{Y'}\right)' &= 0,
\end{align*}
qui, dans tous les cas, sont ramenées aux quadratures.

En somme, le carré de l'élément linéaire d'un élassoïde étant mis sous la
forme
\[
dS^2 = D^{-1}(du^2 + dv^2)
     = D^{-1} · dx\Reg{·}{\,} dy,
\]
les coordonnées instantanées d'une droite de congruence isotrope satisfaisante
auront pour valeurs
\begin{gather*} % [** PP: Hard-coded lengths below]
\xi  =  D^{-\frac{1}{2}} \frac{dp}{du},\quad
\eta = -D^{-\frac{1}{2}} \frac{dp}{dv}, \\
\intertext{où}
D = -\frac{4X'Y'}{(X+Y)^2}, \\
\rule{1in}{0pt}% **
p = \frac{X_1'}{X'} + \frac{Y_1'}{Y'} - \frac{2(X_1 + Y_1)}{X + Y},
\rule{1in}{0pt}% **
% [**** PP: Vulnerable to bad page break]
\smash{\left.\rule[-1.375in]{0pt}{2.75in}\right\}}%
\Tag{12} \\
\intertext{avec}
X_1 = -\int dx\, X' \int dx\, X' \int \frac{dx}{2X'} +  aX^2 +  bX + c, \\
Y_1 = -\int dy\, Y' \int dy\, Y' \int \frac{dy}{2Y'} + a'Y^2 + b'Y + c',
\end{gather*}
%% -----File: 049.png---Folio 43-------
où $a, b, c, a', b', c'$, sont six constantes arbitraires introduites par les intégrations
successives.

Il résulte de cette analyse \emph{qu'un élassoïde donné est l'enveloppée moyenne
d'une infinité de congruences isotropes}.


\Section{34.}
{Construction géométrique de toutes les congruences isotropes satisfaisantes
à l'aide de l'une d'entre elles.}

Nous terminerons ce chapitre en montrant comment on peut déduire,
d'une congruence isotrope donnée, par une construction géométrique, toutes
les congruences isotropes satisfaisantes. La liaison de cette infinité de
congruences est définie analytiquement par les \Eqref{équations}{12}; mais la loi
géométrique fort remarquable qui la régit, ne saurait s'en déduire aisément.
On y parvient, au contraire, sans difficulté en remontant aux \Eqref{équations}{10}.

Supposons que $p_1$ et~$p_2$ soient deux valeurs de~$p$ satisfaisantes, c'est-à-dire
donnant lieu à deux congruences isotropes admettant pour enveloppée
moyenne la surface de référence. $\xi_1$, $\eta_1$, $\xi_2$, $\eta_2$ étant les coordonnées
instantanées des droites $D_1$, $D_2$ correspondantes, nous aurons
\[
\left.
\begin{aligned}
\xi = \xi_2 - \xi_1
    = D^{-\frac{1}{2}} \left(\frac{dp_2}{du} - \frac{dp_1}{du}\right)
   &= \phantom{-}D^{-\frac{1}{2}} \frac{d\pi}{du}, \\
\eta= \eta_2 - \eta_1
    = -D^{-\frac{1}{2}} \left(\frac{dp_2}{dv} - \frac{dp_1}{dv}\right) % [** PP: Typo du -> dv]
   &= -D^{-\frac{1}{2}} \frac{d\pi}{dv},
\end{aligned}\ \right\}
\Tag{13}
\]
en désignant par $\pi$ la différence $p_2-p_1$; chacune de ces quantités $p_2$ et~$p_1$
vérifiant les \Eqref{équations}{10}, $\pi$ vérifiera le groupe que voici:
\[
\left.
\begin{gathered}
\frac{d^2\pi}{du^2} - \frac{dD}{2D\, du} · \frac{d\pi}{du}
                    + \frac{dD}{2D\, dv} · \frac{d\pi}{dv} + D\pi = 0, \\
\frac{d^2\pi}{dv^2} - \frac{dD}{2D\, dv} · \frac{d\pi}{dv}
                    + \frac{dD}{2D\, du} · \frac{d\pi}{du} + D\pi = 0, \\
\frac{d^2\pi}{du\, dv} - \frac{dD}{2D\, du} · \frac{d\pi}{dv}
                       - \frac{dD}{2D\, dv} · \frac{d\pi}{du} = 0.
\end{gathered}\ \right\}
\Tag{14}
\]

%% -----File: 050.png---Folio 44-------

Ceci posé, soient $\xi$, $\eta$, $\zeta$ les coordonnées instantanées d'un point~$O'$ d'un
élassoïde identique à l'élassoïde de référence, et transporté parallèlement
à lui-même dans l'espace. Il est clair que le segment~$OO'$ est constant en
grandeur et en direction; par conséquent, on doit avoir, quels que soient
$du$ et~$dv$:
\begin{align*}
\Delta XO' &= f\, du, \\
\Delta YO' &= g\, dv, \\
\Delta ZO' &= 0.
\end{align*}

Il faut, par conséquent, que les \Eqref{équations}{1} donnent:
\begin{align*}
& \frac{d\xi}{du}  + \frac{df}{g\, dv} \eta
= \frac{d\eta}{dv} + \frac{dg}{f\, du} \xi = 0, \\[1ex]
& \frac{d\xi}{dv}  - \frac{dg}{f\, du} \eta - gD\zeta = 0, \\[1ex]
& \frac{d\eta}{du} - \frac{df}{g\, dv} \Reg{·}{}\xi  - fD\zeta = 0, \\[1ex]
& \frac{d\zeta}{du} + fD\eta = \frac{d\zeta}{dv} + gD\xi = 0.
\end{align*}

Tenant compte des valeurs de $f$ et de~$g$ en fonction de~$D$, le groupe précédent
se ramène au groupe canonique que voici:
\begin{align*}
\xi  &= -D^{-\frac{1}{2}} \frac{d\zeta}{dv}, \\
\eta &= -D^{-\frac{1}{2}} \frac{d\zeta}{du},
\end{align*}
complété par trois équations ne différant, de celles du \Eqref{groupe}{14}, que par
le changement de~$\pi$ en~$\zeta$.

Les deux problèmes analytiques seront donc identifiés en posant
\begin{align*}
\xi   &= \eta_2 - \eta_1, \\
\eta  &= -(\xi_2 - \xi_1), \\
\zeta &= \pi. % [** PP: Added .]
\end{align*}

%% -----File: 051.png---Folio 45-------

De là résulte cette transformation géométrique des congruences isotropes
satisfaisantes:

\begin{Emph}
Soit $D$ une droite d'une congruence isotrope~$(D)$: transportons-la dans
l'espace, parallèlement à elle-même, suivant une direction toujours la même,
et d'une quantité constante, nous obtiendrons ainsi une nouvelle congruence~$(D')$
superposable à~$(D)$. Que l'on fasse tourner chaque droite~$D'$ de~$\frac{\pi}{2}$ autour
de la droite~$D$ correspondante, on engendrera une nouvelle congruence~$(D'')$.
Cette nouvelle congruence~$(D'')$ sera isotrope, elle sera satisfaisante
comme~$(D)$.
\end{Emph}

La transformation précédente donne, de la façon la plus générale, avec
\emph{trois constantes arbitraires} distinctes, toutes les congruences isotropes satisfaisantes
dérivées de l'une d'entre elles. Les six constantes du \Eqref{groupe}{12}
ne sont donc pas distinctes.

En définitive, adoptant une notation très-expressive qui est admise
aujourd'hui, nous dirons:

\begin{Emph}
Il existe $\infty^3$ congruences isotropes distinctes admettant le même élassoïde
pour enveloppée moyenne. Elles se déduisent de l'une d'entre elles par
un procédé cinématique; à un moment déterminé, tous les paramètres de
ces congruences diffèrent entre eux des mêmes quantités que les distances
de tous les points fixes de l'espace au plan moyen commun.
\end{Emph}

\TbEoC

%% -----File: 052.png---Folio 46-------


\Chapter{VI.}
{GÉNÉRATION D'UNE CONGRUENCE ISOTROPE ET DE SON ENVELOPPÉE MOYENNE ÉLASSOÏDE.}

Nous avons ramené la recherche des élassoïdes à celle des congruences
isotropes; il est vrai que cette seconde recherche conduit à considérer comme
différentes des congruences donnant lieu au même élassoïde, mais, à l'inverse,
une congruence considérée donne également naissance à une infinité d'élassoïdes.
Pour le moment, il importe d'observer que la recherche des
\emph{élassoïdes algébriques} est ramenée à celle d'autant \emph{de surfaces réglées
algébriques}.


\Section{35.}
{Une congruence isotrope est définie par une surface élémentaire.}

Il est facile de voir qu'une surface gauche, réglée, considérée comme
surface élémentaire d'une congruence isotrope, détermine entièrement cette
congruence.

Que l'on considère en effet tous les plans isotropes menés par les génératrices
de la surface réglée, ces plans auront pour enveloppes deux développables
isotropes; car, par chaque génératrice on pourra, en général,
mener deux plans isotropes. Ces deux développables peuvent être considérées
comme les focales d'une congruence isotrope dont la surface réglée originelle
sera surface élémentaire.

Les opérations que nous venons de relater sont toutes algébriques; on est
%% -----File: 053.png---Folio 47-------
donc en droit de conclure que l'enveloppée moyenne de la congruence sera
algébrique si la surface gauche originelle est algébrique.

Mais avant de poursuivre, dans la voie qui s'ouvre ainsi, la solution du
problème mis au concours par l'Académie, nous devons préciser les relations
de l'enveloppée moyenne élassoïde (que pour abréger nous appellerons
dorénavant l'élassoïde moyen) avec la congruence isotrope génératrice.

En outre, les congruences isotropes conduisant à une construction tangentielle
des élassoïdes, il conviendra d'en déduire une génération ponctuelle.
Telles seront les questions dont nous traiterons dans ce chapitre.


\Section{36.}
{Calcul des éléments de l'élassoïde moyen quand on se donne
une seule surface élémentaire.}

Étant donnée une surface réglée élémentaire~$(d)$, si par chacun des points
centraux on élève des plans perpendiculaires aux génératrices, ces plans
envelopperont une surface développable circonscrite à l'élassoïde moyen; il
faut tout d'abord déterminer quelle sera la courbe de contact de la développable
et de l'élassoïde.

Considérons un point~$M$ pris arbitrairement sur chacune des droites~$D$ de
la congruence et voyons ce que deviennent les \Eqref{formules}{1} lorsqu'on prend
pour surface de référence l'élassoïde moyen, dans les conditions spécifiées
au chapitre précédent. On a pour les coordonnées instantanées $\xi$ et~$\eta$
\[
\xi  =  D^{-\frac{1}{2}} \frac{dp}{du},\quad
\eta = -D^{-\frac{1}{2}} \frac{dp}{dv};
\]
$\zeta$ est arbitraire.

Si l'on tient compte des relations
\begin{align*}
f &= g = D^{-\frac{1}{2}}, \\
P &= Q = 0,
\end{align*}
%% -----File: 054.png---Folio 48-------
les \Eqref{formules}{1} deviennent
\begin{align*}% [** PP: Re-breaking; Hard-coded skips]
\Delta X
&= du\, D^{-\frac{1}{2}}
  \left(1 + \frac{d^2p}{du^2}
          - \frac{dD}{2D\, du}\, \frac{dp}{du}
          + \frac{dD}{2D\, dv}\, \frac{dp}{dv}\right) \\
&+ dv\, D^{-\frac{1}{2}}
      \left(\frac{d^2p}{du\, dv}
          - \frac{dD}{2D\, dv}\, \frac{dp}{du}
          - \frac{dD}{2D\, du}\, \frac{dp}{dv} - D\zeta\right), \\[1.5ex]
%%
\Delta Y
&= du\, D^{-\frac{1}{2}}
    \left(-\frac{d^2p}{du\, dv}
          + \frac{dD}{2D\, du}\, \frac{dp}{dv}
          + \frac{dD}{2D\, dv}\, \frac{dp}{du} - D\zeta\right) \\
&+ dv\, D^{-\frac{1}{2}}
  \left(1 - \frac{d^2p}{dv^2}
          + \frac{dD}{2D\, dv}\, \frac{dp}{dv}
          + \frac{dD}{2D\, du}\, \frac{dp}{du}\right), \\[1.5ex]
%%
\Delta Z
&= du \left(\frac{d\zeta}{du} - \frac{dp}{dv}\right)
 + dv \left(\frac{d\zeta}{dv} + \frac{dp}{du}\right).
\end{align*}

Mais, si l'on tient compte des \Eqref{équations}{10}, il vient
\[
\left.
\begin{aligned}
\Delta X &=           -D^{\frac{1}{2}} (p\, du + \zeta\, dv), \\
\Delta Y &= \phantom{-}D^{\frac{1}{2}} (p\, dv + \zeta\, du), \\
\Delta Z &= du \left(\frac{d\zeta}{du} - \frac{dp}{dv}\right)
          + dv \left(\frac{d\zeta}{dv} + \frac{dp}{du}\right).
\end{aligned}\ \right\}
\Tag{15}
\]
En particulier s'il s'agit du point central~$M$ on a:
\[
\left.
\begin{aligned}
\Delta X_M &=           -D^{\frac{1}{2}} p\, du, \\
\Delta Y_M &= \phantom{-}D^{\frac{1}{2}} p\, dv, \\
\Delta Z_M &= -du\, \frac{dp}{dv} + dv\, \frac{dp}{du}.
\end{aligned}\ \right\}
\Tag{16}
\]

Lorsqu'on isolera, dans la congruence, une surface élémentaire, on
suivra sur l'élassoïde un certain chemin caractérisé par les accroissements
$du$, $dv$ des paramètres, et ce chemin sera précisément la courbe de contact
cherchée.

Pour déterminer le point de contact~$O$, alors qu'on ne dispose que de la
surface élémentaire~$(d)$, il faudra connaître, dans le plan central, deux droites
s'y rencontrant.

Deux plans centraux consécutifs se couperont suivant une droite passant
en~$O$, direction conjuguée sur l'élassoïde, de la tangente à la courbe de
contact cherchée. On peut considérer cette caractéristique du plan central
comme connue, car elle résulte directement des éléments de la surface élémentaire;
ce sera \emph{une} droite satisfaisante.

%% -----File: 055.png---Folio 49-------

Cherchons à déterminer la droite~$OM$. Le plan passant par la droite~$D$ et
par~$OM$ sera tangent à la surface élémentaire en un point défini par la hauteur~$\zeta'$;
mais, dans l'espèce, l'équation donnant la variation des plans tangents
le long de~$D$ devient [en désignant par~$\theta$ l'angle du plan tangent au
point $(\xi\, \eta\, \zeta)$ avec le plan~$ZOX$]
\[
\tg \theta
  = \frac{\Delta Y}{\Delta X}
  = - \frac{p\, dv - \zeta\, du}{p\, du + \zeta\, dv},
\]
nous exprimerons que ce plan passe par~$O$ en écrivant
\[
\tg \theta
  = \frac{\eta}{\xi}
  = - \frac{\dfrac{dp}{dv}}{\dfrac{dp}{du}}
  = - \frac{p\, dv - \zeta'\, du}{p\, du + \zeta'\, dv}.
\]
Conséquemment
\[
\zeta' \left(\frac{dp}{du}\, du + \frac{dp}{dv}\, dv\right)
  = p\left(\frac{dp}{du}\, dv - \frac{dp}{dv}\, du\right);
\]
mais le \Eqref{groupe}{16} montre que cette équation peut s'écrire
\[
\zeta'\, \Delta p = p · \Delta Z_M.
\]

D'un autre côté, puisque $M$ est le point central, si $\omega$ désigne l'angle du
plan~$NMO$ avec le plan central, tangent en~$M$ à la surface élémentaire:
\[
\zeta' = p \tg \omega,
\]
on a donc, en somme
\[
\tg \omega = \frac{\Delta Z_M}{\Delta p},
\Tag{17}
\]
$\Delta p$ est l'accroissement du paramètre de distribution quand on passe de la
génératrice~$D$ à la génératrice infiniment voisine; $\Delta Z_M$ n'est autre chose que
la projection de l'arc infiniment petit de la ligne de striction sur la génératrice~$D$.
On voit donc que le plan~$OMN$ est entièrement défini à l'aide des
éléments de la surface élémentaire.

%% -----File: 056.png---Folio 50-------

\Section{37.}
{Construction des éléments de l'élassoïde moyen à l'aide de ceux
d'une surface élémentaire.}

Si le calcul qui précède est utile (surtout lorsque l'on particularise la
surface élémentaire), il ne conduit pas à une construction purement géométrique
du point de contact. Pour l'obtenir, portons, de part et d'autre du
point central, sur la génératrice~$D$, un segment égal à~$p$; les extrémités de
ces segments seront situées sur deux courbes $(p)$ et~$(p')$ que l'on peut supposer
tracées sur la surface élémentaire~$(d)$. Cherchons à déterminer les
équations des plans normaux à ces courbes, aux points $P$ et~$P'$, situés sur~$D$.
On a pour le point~$P$, par exemple, situé au-dessus du plan~$XOY$
\begin{align*}
\Delta X_p &=           -D^{\frac{1}{2}} p(du + dv), \\
\Delta Y_p &= \phantom{-}D^{\frac{1}{2}} p(dv - du), \\
\Delta Z_p &= du \left(\frac{dp}{du} - \frac{dp}{dv}\right)
            + dv \left(\frac{dp}{dv} + \frac{dp}{du}\right).
\end{align*}
Mais l'équation du plan normal étant
\[
(X - \xi) \Delta X_p + (Y - \eta) \Delta Y_p + (Z - \zeta) \Delta Z_p = 0,
\]
devient, après substitution,
\[
 -XD^{\frac{1}{2}}(du + dv)
+ YD^{\frac{1}{2}}(dv - du)
+ Z\left[\frac{dp}{p\, du} (du + dv) + \frac{dp}{p\, dv} (dv - du)\right] = 0.
\]
Pour obtenir l'équation du plan normal en~$P'$, il faudrait opérer semblablement
sur les valeurs de~$\Delta XP'$, etc., on trouve
\[
  XD^{\frac{1}{2}}(dv - du)
+ YD^{\frac{1}{2}}(du + dv)
+ Z\left[\frac{dp}{p\, du} (dv - du) - \frac{dp}{p\, dv} (du + dv)\right] = 0.
\]

On voit \primo~\emph{que les deux plans normaux, aux courbes $(P)$ et~$(P')$, passent
par le point de contact~$O$.}

\secundo~\emph{Que ces plans normaux coupent le plan moyen suivant deux droites
rectangulaires inclinées à~$45°$ sur la caractéristique.}

%% -----File: 057.png---Folio 51-------

\Section{38.}
{L'élassoïde moyen est le lieu des milieux des cordes rencontrant les arêtes
de rebroussement des développables focales de la congruence isotrope.}

On pourra, de la sorte, connaissant une surface élémentaire de la congruence,
déterminer le contour suivant lequel les plans moyens touchent
l'élassoïde; mais il est nécessaire de trouver une construction ponctuelle,
dépendant des développables isotropes, focales de la congruence, afin
d'obtenir une détermination indépendante des surfaces élémentaires prises
isolément. A cet effet, il convient de rechercher les génératrices des développables
isotropes qui rencontrent la droite~$D$, et, sur ces génératrices, les
points appartenant aux arêtes de rebroussement.

Les développables isotropes sont, en somme, les enveloppes des plans
isotropes passant par~$D$, plans dont les équations peuvent s'écrire
\[
(Y - \eta) ± (X - \xi) \sqrt{-1} = 0,
\]
ou, si l'on veut:
\[
Y +           D^{-\frac{1}{2}} \frac{dp}{dv}
  ± \left(X - D^{-\frac{1}{2}} \frac{dp}{du}\right) \sqrt{-1} = 0;
\Tag{18}
\]
si l'on suit la surface élémentaire ($u$ et~$v$ croissant de $du$, $dv$) les équations
des plans isotropes nouveaux, considérés dans la seconde position du trièdre
$OX'Y'Z'$, seront
\[
Y' - \eta - \Delta\eta ± (X' - \xi - \Delta\xi) \sqrt{-1} = 0.
\]
Les \Eqref{équations}{2} donnent (et nous entrons dans le détail de ces calculs,
courants en périmorphie, parce que c'est la première fois que nous y avons
recours dans ce mémoire)
\[
\left.
\begin{aligned}
X' &= -D^{-\frac{1}{2}}\, du + X
        + Y \left(+\frac{dD}{2D\, dv}\, du
                  -\frac{dD}{2D\, du}\, dv\right)
        + ZD^{\frac{1}{2}}\, dv, \\
%%
Y' &= -D^{-\frac{1}{2}}\, dv
        + X \left(+\frac{dD}{2D\, du}\, dv
                  -\frac{dD}{2D\, dv}\, du\right)
        + Y
        + ZD^{\frac{1}{2}}\, du, \\
%%
Z' &= -XD^{\frac{1}{2}}\, dv - YD^{\frac{1}{2}}\, du + Z.
\end{aligned}\ \right\}
\Tag{19}
\]
%% -----File: 058.png---Folio 52-------
On en déduit sans difficulté [en tenant compte de~\Eqref{}{18}] pour les équations
des caractéristiques des plans isotropes
\[
Z ± p \sqrt{-1} = 0.
\]
C'est là une simple vérification, car on savait que ces caractéristiques passent
par les foyers situés sur~$D$, lesquels sont précisément déterminés par l'équation
précédente en~$Z$; quant à l'orthogonalité des génératrices des développables
isotropes et de la droite~$D$ qui les rencontre, elle résultait du lemme
suivant, établi par Poncelet. % [**** Colon?]

\begin{Emph}
Dans un plan, si deux droites $OA$, $OB$ sont rectangulaires, elles rencontrent
la droite de l'infini en deux points $A$ et~$B$ harmoniques conjugués
par rapport aux ombilics $I$ et~$J$.
\end{Emph}

Lorsque le plan considéré est isotrope, toute droite~$OB$ qu'il contient est
orthogonale aux droites isotropes; en effet, dans ce cas, les points $I$ et~$J$
coïncident avec le point~$A$.  C'est pourquoi nous pouvons dire que, \emph{dans un
plan isotrope, toute droite du plan est orthogonale à la direction isotrope
unique de ce plan}.

Ceci posé, cherchons, sur les génératrices des développables isotropes, les
points appartenant aux arêtes de rebroussement. Rappelons tout d'abord que,
\emph{si des plans passent par les diverses génératrices d'une surface gauche, la
caractéristique d'un plan rencontre la génératrice contenue dans le plan,
au point où celui-ci touche la surface réglée}. Dans le cas où la surface est
développable, le point de rencontre appartient à l'arête de rebroussement.

Dans le cas qui nous occupe, les plans
\[
Z = ± p \sqrt{-1}
\]
ont des caractéristiques contenues dans les plans
\[
Z' = ± (p + \Delta p) \sqrt{-1},
\]
ou d'après~\Eqref{}{19}
\[
X\, dv + Y\, du
  ± \sqrt{-1} \left(\frac{dp}{du}\, du + \frac{dp}{dv}\, dv\right) D^{-\frac{1}{2}} = 0,
\]
%% -----File: 059.png---Folio 53-------
soit en éliminant le symbole $±\sqrt{-1}$
\[
X\, dv + Y\, du + Z \frac{D^{-\frac{1}{2}}}{p}
  \left(\frac{dp}{du}\, du + \frac{dp}{dv}\, dv\right) = 0.
\]
Comme les points cherchés sont les mêmes, quels que soient $du$ et~$dv$, on
voit qu'ils sont déterminés par les équations
\[
  X + ZD^{-\frac{1}{2}} \frac{dp}{p\, dv}
= Y + ZD^{-\frac{1}{2}} \frac{dp}{p\, du} = 0.
\]

Ainsi les points de contact, avec les arêtes de rebroussement des génératrices
des développables rencontrant~$D$, sont situés sur une droite passant
par le point de contact~$O$.  D'un autre côté, comme les deux génératrices sont
situées dans des plans parallèles au plan moyen, on voit que:

\begin{Emph}
L'élassoïde moyen est le lieu des milieux des cordes rencontrant les arêtes
de rebroussement des deux développables isotropes focales de la congruence.
\end{Emph}

Nous retrouvons ainsi la construction ponctuelle des élassoïdes, établie
synthétiquement au \Secref{14}.

En fait, constatant que les plans représentés par
\[
Z = ±p\sqrt{-1}
\]
enveloppent des \emph{courbes de longueur nulle}, et non des surfaces, nous avions
trouvé la génération ponctuelle des élassoïdes que M.~Sophus Lie a publiée
avant nous.

Nous aurons l'occasion, plus loin, de vérifier que les arêtes de rebroussement
des développables isotropes sont bien des lignes de longueur nulle.

Pour le moment, voyons à déduire des conséquences des résultats établis
dans ce chapitre.

\TbEoC

%% -----File: 060.png---Folio 54-------


\Chapter{VII.}
{CONSÉQUENCES RELATIVES A UN ÉLASSOÏDE CONSIDÉRÉ ISOLÉMENT.}

\Section{39.}
{Construction de tous les couples de lignes isotropes donnant lieu au même
élassoïde moyen. {\upshape(}Elles sont toutes identiques.{\upshape)}}

Puisqu'il y a une $\infty^3$ de congruences isotropes admettant le même élassoïde
moyen (\Secref{34}), il y a $\infty^3$ manières de considérer l'élassoïde comme
lieu des milieux des cordes joignant les points de deux lignes isotropes.
Comme celles-ci sont toujours semblables aux lignes de longueur nulle
tracées sur l'élassoïde, les arêtes de rebroussement des focales de congruences
isotropes satisfaisantes forment des couples ou semblables ou identiques. Il
est facile de trancher la question:

Soient $(A)$ et~$(B)$ deux lignes isotropes %[**cannot be an accent]
satisfaisantes; transportons $(A)$ de
droite à gauche, dans l'espace, d'une quantité~$Aa$, suivant une direction arbitraire;
de même transportons $(B)$ de gauche à droite parallèlement à~$Aa$ et
d'une quantité $Bb = Aa$, manifestement les lieux des milieux des cordes
telles que $AB$ ou $ab$ sont les mêmes.

Si donc on fait subir cette transformation (comportant \emph{trois} constantes
arbitraires) à un couple satisfaisant de lignes isotropes, on obtiendra le couple
satisfaisant le plus général.

Vérifions cette conséquence par les procédés de périmorphie: des calculs
%% -----File: 061.png---Folio 55-------
du \Secref{38}, il résulte que les coordonnées instantanées des points $A$ et~$B$ sont
\begin{align*}
&&
\xi_A   &= -D^{-\frac{1}{2}} \frac{dp}{dv} \sqrt{-1}, &
\xi_B   &=  D^{-\frac{1}{2}} \frac{dp}{dv} \sqrt{-1}, && \\
&&
\eta_A  &= -D^{-\frac{1}{2}} \frac{dp}{du} \sqrt{-1}, &
\eta_B  &=  D^{-\frac{1}{2}} \frac{dp}{du} \sqrt{-1}, && \\
&&
\zeta_A &=  p \sqrt{-1}, &
\zeta_B &= -p \sqrt{-1}. &&
\end{align*}

Mais d'après les calculs du \Secref{34}, $\pi$ désignant la projection du segment
$Aa$ sur~$OZ$, les coordonnées du point~$a$ sont:
\begin{align*}
\xi_a   &= -D^{-\frac{1}{2}} \left(\frac{dp}{dv} \sqrt{-1} + \frac{d\pi}{dv}\right), \\
\eta_a  &= -D^{-\frac{1}{2}} \left(\frac{dp}{du} \sqrt{-1} + \frac{d\pi}{du}\right), \\
\zeta_a &= p \sqrt{-1} + \pi.
\end{align*}

D'ailleurs $\pi$ satisfait aux \Eqref{équations}{14}. Posons
\[
\pi = \sqrt{-1}(p_1 - p).
\]

Les coordonnées du point~$a$ deviennent
\begin{align*}
\xi_a   &= -D^{-\frac{1}{2}} \frac{dp_1}{dv} \sqrt{-1}, \\
\eta_a  &= -D^{-\frac{1}{2}} \frac{dp_1}{du} \sqrt{-1}, \\
\zeta_a &= p_1 \sqrt{-1}
\end{align*}
et par la façon même dont le \Eqref{groupe}{14} a été obtenu, on voit que~$p_1$ doit
vérifier le \Eqref{groupe}{10}. Or ce dernier régit précisément le \emph{paramètre} le plus
général des congruences isotropes satisfaisantes; les coordonnées du point~$a$,
exprimées en fonction de~$p_1$, sont de même forme que les coordonnées du
%% -----File: 062.png---Folio 56-------
point~$A$ exprimées en fonction de~$p$. On peut donc conclure que la transformation
indiquée ci-dessus est la plus générale.

La vérification précédente permet de remarquer que si les droites d'une
congruence isotrope $(D)$ sont réelles, pour obtenir une nouvelle congruence
isotrope $(D')$ réelle (dont par conséquent le paramètre soit réel), le segment
constant~$Aa$ doit être imaginaire, le segment~$Bb$ est alors imaginaire conjugué.

Ces considérations accroissent l'intérêt de la transformation \emph{réelle} trouvée
au \Secref{34} et qui permet de passer d'une congruence isotrope réelle à toutes les
congruences isotropes réelles satisfaisantes.

Il convient, maintenant, de particulariser les surfaces élémentaires des
congruences isotropes, afin d'établir diverses propriétés des élassoïdes.


\Section{40.}
{L'élassoïde moyen est inscrit dans la polaire de la ligne double d'une congruence
isotrope génératrice le long du lieu des centres de courbure de
cette ligne double.}

Un élassoïde réel est engendré ponctuellement par le point milieu de
cordes réelles dont les extrémités décrivent deux lignes de longueur nulle,
imaginaires conjuguées; les deux développables isotropes, lieux des tangentes
à ces courbes, sont imaginaires conjuguées, elles se coupent mutuellement
suivant des \emph{lignes doubles réelles}. La congruence isotrope qui admet ces développables
conjuguées pour focales, est réelle. Les droites de la congruence
qui rencontrent la ligne double, devant toucher à la fois chacune des développables,
sont les tangentes de la ligne double. Dès lors \emph{la ligne double réelle
est l'arête de rebroussement d'une surface élémentaire développable}. Si l'on
se reporte à la \Eqref{formule}{17}, $\Delta Z$ étant l'arc élémentaire de la ligne double,
$p$~étant nul (parce que la plus courte distance de deux génératrices consécutives
de la surface élémentaire est infiniment petite du troisième ordre et
que $p$ est le quotient de cette distance par l'angle de deux génératrices consécutives,
angle infiniment petit du premier ordre) $\Delta p$ est nul et $\cot\omega$ % [** PP: cotg in original]
est nulle.

%% -----File: 063.png---Folio 57-------

Ainsi, le plan~$NMO$ est perpendiculaire au plan tangent à la développable,
le long de la génératrice. La droite~$MO$ est donc la normale à la ligne double
située dans le plan osculateur. Mais ici la caractéristique du plan moyen est la
droite \emph{polaire}, intersection des plans normaux consécutifs. En conséquence
on peut dire que:

\begin{Emph}
Tout élassoïde est inscrit à la développable polaire de la ligne double
réelle, intersection des deux développables isotropes qui servent à l'engendrer;
la courbe de contact est le lieu des centres de courbure de la ligne
double.
\end{Emph}


\Section{41.}
{Sur un élassoïde donné on peut tracer une $\infty^3$ de lignes lieux des centres
de courbure de courbes doubles.}

Conséquemment, \emph{sur un élassoïde quelconque, on peut tracer une $\infty^3$ de
lignes, le long desquelles la surface est tangente aux développables polaires
de courbes gauches}.

Si l'élassoïde est algébrique, toutes les congruences isotropes qui l'engendrent
sont algébriques; donc les courbes gauches, précitées, sont également
algébriques. Elles sont du reste, en général, de même degré; car ce
sont les intersections de deux développables isotropes, déplacées, parallèlement
à elles-mêmes, dans l'espace.

Inversement, si l'on prend, pour surface élémentaire d'une congruence
isotrope, une surface développable, son arête de rebroussement sera ligne
double (souvent partielle) du couple de développables isotropes satisfaisantes.
Il suffira que la développable soit algébrique pour que l'élassoïde moyen
soit algébrique.

C'est le cas de particulariser encore et de considérer une développable
réduite à un plan: l'arête de rebroussement sera une courbe~$(C)$ arbitraire
de ce plan, la surface polaire devient un cylindre, admettant pour section
droite la développée $(D)$ de la courbe~$(C)$. Cette développée est une géodésique
de l'élassoïde.

%% -----File: 064.png---Folio 58-------

\Section{42.}
{Élassoïde admettant pour géodésique une courbe plane. Vérification
de la transformation des congruences isotropes satisfaisantes.}

On est donc en droit de dire avec Henneberg: \emph{tout élassoïde, qui admet
pour géodésique une courbe plane, $(D)$, sera algébrique si~$(D)$ est la développée
d'une courbe algébrique}.

A cette occasion, nous vérifierons la transformation réelle des congruences
isotropes satisfaisantes, donnée au \Secref{34}.

Dans le cas particulier considéré, la surface élémentaire de la congruence
est formée par les tangentes à une courbe~$(C)$ développante de la géodésique
plane~$(D)$; on doit pouvoir adopter telle développante que l'on voudra
et par conséquent la transformation précitée doit transformer les tangentes
de la courbe~$(C)$ en tangentes d'une courbe parallèle. C'est ce qui a lieu en
effet en considérant un déplacement des tangentes de~$(C)$ perpendiculaire au
plan de cette courbe; la rotation de~$90°$ autour des tangentes primitives
ramène les secondes tangentes dans le plan de~$(C)$ et à une distance constante
des premières; les droites transformées enveloppent donc une courbe parallèle
à~$(C)$.


\Section{43.}
{L'élassoïde moyen et la surface moyenne sont focales d'une même congruence.}

Si dans la \Eqref{formule}{17} on annule $\Delta p$, $\cot\omega$ est aussi nulle; par conséquent
les droites telles que~$OM$ sont normales aux surfaces élémentaires
caractérisées par la constance du paramètre. Remarquons, à l'inverse, que
si $\Delta Z$ est nul, les droites telles que $OM$ sont tangentes aux surfaces élémentaires;
mais la condition
\[
\Delta Z = 0
\]
%% -----File: 065.png---Folio 59-------
emporte que $OM$ soit tangente à la ligne de striction. De ceci résulte une
conséquence importante:
% ** smallskip?

\primo~\emph{Les droites joignant le point central~$M$ d'une droite~$D$ de la congruence
isotrope, au point de contact~$O$ de l'élassoïde et du plan moyen, forment
une congruence dont les focales sont l'élassoïde moyen et la surface moyenne}.

\secundo~\emph{Sur la surface moyenne, les trajectoires orthogonales des courbes
enveloppes des droites~$OM$ \emph{(arêtes de rebroussement d'une famille de développables
principales)} sont les lignes de striction des surfaces élémentaires,
de la congruence isotrope, dont le paramètre est constant}.
% ** smallskip?

Nous sommes ainsi amenés à étudier les surfaces moyennes; le prochain
chapitre fera connaître les singulières propriétés de ces surfaces dont la
théorie, si intimement liée à celle des élassoïdes, mettra définitivement en
lumière toute l'importance des congruences isotropes.

\TbEoC

%% -----File: 066.png---Folio 60-------


\Chapter{VIII.}
{PROPRIÉTÉS DES SURFACES MOYENNES.}

\Section{44.}
{La surface moyenne d'une congruence isotrope est le lieu des milieux de
cordes égales entre elles dont les extrémités décrivent des surfaces applicables
l'une sur l'autre.}

A un élassoïde donné correspondent autant de surfaces moyennes que de
congruences isotropes satisfaisantes, la transformation géométrique du \Secref{34} % [** PP: Omitted () around section number]
permet de construire toutes ces surfaces quand on connaît l'une d'entre elles
et la congruence isotrope lui donnant naissance.

Démontrons tout d'abord que les surfaces moyennes ont une définition
propre indépendante des élassoïdes. Dans ce but, reprenons les \Eqref{formules}{15}
qui se rapportent aux $\Delta x$, $\Delta y$, $\Delta z$ d'un point arbitraire~$N$ de la droite~$D$ et,
par conséquent, à une surface arbitraire $(N)$ coupant la congruence isotrope~$(D)$.

Supposons que sur~$D$ on porte, à chaque instant, une longueur constante~$c$;
l'extrémité du segment décrira une surface~$(C)$ caractérisée par le groupe
\begin{align*}
\Delta X &=           -D^{\frac{1}{2}} (p\, du + c\, dv), \\
\Delta Y &= \phantom{-}D^{\frac{1}{2}} (p\, dv - c\, du), \\
\Delta Z &= -\frac{dp}{dv}\, du + \frac{dp}{du}\, dv;
\end{align*}
%% -----File: 067.png---Folio 61-------
et le carré de l'élément linéaire de cette surface a pour valeur
\[
dS^2 = (p^2 + c^2)(du^2 + dv^2) + \left(\frac{dp}{du}\, dv - \frac{dp}{dv}\, du\right)^2.
\]

Si sur les droites~$D$, à partir de~$M$, nous portons de haut en bas, le
segment~$c$, nous obtiendrons une nouvelle surface~$(c)$ dont le carré de
l'élément linéaire sera identique à celui de~$(C)$ puisque cette expression ne
contient que~$c^2$. Conséquemment, \emph{les deux surfaces $(C)$ et~$(C')$ sont applicables
l'une sur l'autre}.

On obtiendra ainsi autant de couples de surfaces applicables qu'on donnera
de valeur au paramètre~$c$.


\Section{45.}
{Réciproque de la proposition qui précède énoncée sous forme de théorème
de géométrie cinématique.}

Réciproquement, \emph{si les deux extrémités d'un segment constant de droite
décrivent deux surfaces $(C)$ et~$(C')$ applicables l'une sur l'autre, la droite
engendre une congruence isotrope}.

Prenons pour surface de référence la surface que touchent tous les plans
élevés par les milieux des segments perpendiculairement aux segments
mêmes, et pour simplifier les calculs, supposons que la droite~$D$ joignant les
points $CC'$ est constamment située dans le plan des~$ZOX$, ce qui ne particularise
que les axes $(u, v)$.

Les coordonnées du point~$C$ seront
\[
\xi,\quad O,\quad c,
\]
celles du point~$C'$ seront
\[
\xi,\quad O,\quad -c.
\]

Le \Eqref{groupe}{1} devient, pour le point~$C$:
\begin{align*}
\Delta X_c &= (P\, du - gD\, dv)c + du\left(f + \frac{d\xi}{du}\right)
              + dv\, \frac{d\xi}{dv}, \\
\Delta Y_c &= (-fD\, du+Q\, dv)c - du\, \frac{df}{g\, dv} \xi
              + dv\left(g + \frac{dg}{f\, du} \xi\right), \\ % [** PP: Typo fda]
\Delta Z_c &= du\, (-P\xi + fD\eta) + dv\, (-Q\eta + gD\xi).
\end{align*}
%% -----File: 068.png---Folio 62-------
Pour le point~$C'$ il faudrait changer le signe de~$c$. Si les surfaces $(C)$ et~$(C')$
sont applicables l'une sur l'autre, l'expression du~$dS^2$ ne contient pas $c$ au
premier degré.

Il faut donc que l'équation
\[ % [** PP: Re-breaking]
\left.
\begin{aligned}
&(-fD\, du + Q\, dv)
  \left[-du\, \frac{df}{g\, dv} \xi
       + dv\, \left(g + \frac{dg}{f\, du} \xi\right)\right] \\
&+(P\, du - gD\, dv)
  \left[du \left(f + \frac{d\xi}{du}\right)
      + dv\, \frac{d\xi}{dv}\right]
\end{aligned}\ \right\} = 0
\]
soit identique, quels que soient $du$ et~$dv$.

Cela entraîne le groupe de conditions
\begin{gather*}
-gD \left(f + \frac{d\xi}{du}\right) - fD \left(g + \frac{dg}{f\, du} \xi\right)
 - Q \frac{df}{g\, dv} \xi + P \frac{d\xi}{dv} = 0, \\
fD \frac{df}{g\, dv} \xi + P \left(f + \frac{d\xi}{du}\right) = 0, \\
Q \left(g + \frac{dg}{f\, du} \xi\right) - gD \frac{d\xi}{dv} = 0;
\end{gather*}
mais en tenant compte des deux dernières la première peut s'écrire
\[
(PQ -fgD^2) \left[\frac{d\xi}{Q\, dv} - \frac{df}{Pg\, dv} \xi\right] = 0;
\]
et l'on peut mettre les trois équations de condition sous la forme simple [en
supposant que~$(O)$ n'est pas développable]
\[
\frac{\dfrac{d\xi}{\xi\, dv}}{Q} = \frac{\dfrac{df}{g\, dv}}{P}
  = \frac{\dfrac{1}{\xi} + \dfrac{dg}{fg\, du}}{D}
  = \frac{-\left(\dfrac{1}{\xi} + \dfrac{d\xi}{f\xi\, du}\right)}{D}.\footnotemark
\Tag{20}
\]
\footnotetext{Chacun des \Eqref{rapports}{20} est encore égal au quotient du paramètre~$p$ par~$\xi$. On sait
qu'une conséquence de ces équations doit être l'égalité des quantités $\frac{P}{f}$ et~$\frac{Q}{g}$.}

D'un autre côté, si nous établissons comme d'habitude l'équation de la
%% -----File: 069.png---Folio 63-------
surface élémentaire de la congruence~$(D)$, puis celle des plans principaux,
nous trouvons
\[
\left.
\begin{gathered}
\tg^2\theta \left[P\frac{d\xi}{dv} + gD \left(f + \frac{d\xi}{du}\right)\right] \\
+ \tg\theta \left\{-P \left(g + \frac{dg}{f\,du} \xi\right)
                   +Q \left(f + \frac{d\xi}{du}\right)
  + fD \frac{d\xi}{dv}
  +  D \frac{df}{dv} \xi\right\} \\
+ Q \frac{df}{g\, dv} \xi - fD \left(g + \frac{dg}{f\, du} \xi\right)
\end{gathered}\ \right\} = 0.
\Tag{21}
\]

Enfin, cherchant les équations des foyers, nous trouvons que leurs ordonnées
satisfont à la condition
\[
\left.
\begin{gathered}
Z^2 (fgD^2 - PQ) \\
-Z \left\{fD \left(\frac{d\xi}{dv}\right) - gD \frac{df}{g\, dv} \xi
          + Pg + Qf + Q \frac{d\xi}{du} + P \frac{dg}{f\, du} \xi\right\} \\
-\frac{df}{g\, dv} \xi \frac{d\xi}{dv}
  - \left(f + \frac{d\xi}{du}\right)\left(g + \frac{dg}{f\, du} \xi\right)
\end{gathered}\ \right\} = 0.
\Tag{22}
\]

Si l'\Eqref{équation}{21} se réduit à
\[
\tg^2 \theta + 1=0,
\]
et si~\Eqref{}{22} est privée du terme en~$Z$, la congruence~$(D)$ est isotrope et la
surface de référence est son enveloppée moyenne. Cela donne trois conditions
identiques à celles du \Eqref{groupe}{20}. La proposition est donc vérifiée.

Conséquemment nous énoncerons cette proposition de \emph{Géométrie cinématique}
(en adoptant une locution de M.~Mannheim).

\begin{Emph}
Si deux points d'une droite de longueur constante décrivent deux surfaces
applicables l'une sur l'autre: \primo~cette droite engendre une congruence
isotrope; \secundo~le plan mené à égale distance des deux points et perpendiculaire
à la droite enveloppe un élassoïde.
\end{Emph}

%% -----File: 070.png---Folio 64-------

\Section{46.}
{La surface moyenne d'une congruence isotrope correspond
par orthogonalité des éléments à la sphère.}

Ceci posé, rien n'est plus simple que de définir directement la surface
moyenne. Soient $x$, $y$, $z$ les coordonnées cartésiennes, rectangulaires, prises
par rapport à des axes fixes, d'un point~$M$ de la surface moyenne; soient,
d'autre part, $x$, $y$, $z$, les coordonnées d'un point~$P$ d'une sphère de rayon~$c$,
point obtenu en menant par le centre de la sphère un rayon parallèle à la
droite~$D$ de la congruence isotrope passant par~$M$. Il est manifeste que les
coordonnées des points $C$ et~$C'$ appartenant aux surfaces applicables l'une
sur l'autre sont:

\noindent pour~$C$
\[
(x + x_1),\quad (y + y_1),\quad (z + z_1),
\]
pour~$C'$
\[
(x - x_1),\quad (y - y_1),\quad (z - z_1).
\]

Puisque par hypothèse les surfaces $(c)$ et~$(c')$ sont applicables l'une sur
l'autre, on a identiquement
\[
 d\overline{(x+x_1)}^2 + d\overline{(y+y_1)}^2 + d\overline{(z+z_1)}^2
=d\overline{(x-x_1)}^2 + d\overline{(y-y_1)}^2 + d\overline{(z-z_1)}^2,
\]
d'où résulte
\[
dx · dx_1 + dy · dy_1 + dz · dz_1 = 0.
\]

Et par conséquent on peut dire que \emph{la surface moyenne d'une congruence
isotrope correspond par orthogonalité des éléments à la sphère}.

Les points correspondants sont: \primo~sur une droite de la congruence, le
point central; \secundo~sur la sphère, le point image de la droite.

%% -----File: 071.png---Folio 65-------

\Section{47.}
{De la correspondance par orthogonalité des éléments entre deux surfaces
dont l'une est une quadrique.}

Ainsi s'introduit dans la théorie des élassoïdes la considération importante de
la correspondance par orthogonalité des éléments.  Ce mode de correspondance
qui va jouer un rôle capital dans nos recherches, a été imaginé par M.~Moutard.
Ce géomètre en a fait une très-belle application en donnant l'intégrale avec
deux fonctions arbitraires et même la construction géométrique des surfaces
correspondant aux quadriques par orthogonalité des éléments. La théorie qui
nous occupe en dérive immédiatement puisqu'ici la quadrique se réduit à la
sphère. Nous aurions pu déduire de l'intégrale de M.~Moutard la nature des
surfaces moyennes des congruences isotropes, mais il importait de tout établir
directement, et les \Eqref{équations}{20} nous serviront tout à l'heure. D'ailleurs
les procédés de la périmorphie s'appliquent très-simplement au mode de
correspondance de M.~Moutard, ils conduisent à un théorème général, d'une
grande simplicité, d'où découle avec évidence l'intégrale relative aux quadriques,
intégrale qui a été le point de départ d'importantes recherches
géométriques ou analytiques.

Les surfaces moyennes sont rattachées aux élassoïdes moyens par d'élégantes
relations où figurent les courbures des deux surfaces; nous allons les
établir par les procédés de périmorphie, en insistant un peu sur leur emploi
qui est absolument général.


\Section{48.}
{Tout réseau conjugué de la surface moyenne correspond à un réseau
conjugué de l'élassoïde moyen.}

Le \Eqref{groupe}{15} donnant les projections du déplacement du point~$M$ permet
d'écrire immédiatement l'équation du plan tangent à la surface moyenne
\[
X \frac{dp}{dv} + Y \frac{dp}{du} = D^{\frac{1}{2}} p · Z.
\Tag{23}
\]

%% -----File: 072.png---Folio 66-------

Cherchons à déterminer la caractéristique du plan tangent à la surface
moyenne. Le plan tangent au point~$M'$ a pour équation, dans le second
trièdre,
\[
  X' \left(\frac{dp}{dv} + \Delta \frac{dp}{dv}\right)
+ Y' \left(\frac{dp}{du} + \Delta \frac{dp}{du}\right)
= (D^{\frac{1}{2}} p + \Delta · D^{\frac{1}{2}} p) Z'.
\]

Les \Eqref{équations}{19} permettent d'écrire pour la caractéristique
\[
\left.
\begin{aligned}
  &X \left[\left(\frac{d^2 p}{du\, dv} - \frac{dD}{2D\, dv}\, \frac{dp}{du}\right) du
        + \left(\frac{d^2 p}{dv^2} + \frac{dD}{2D\, du}\, \frac{dp}{du} + Dp\right) dv\right] \\
+ &Y \left[\left(\frac{d^2 p}{du^2} + \frac{dD}{2D\, dv}\, \frac{dp}{dv} + Dp\right) du
        + \left(\frac{d^2 p}{du\, dv} - \frac{dD}{2D\, du}\, \frac{dp}{dv}\right) dv\right] \\
- &\frac{p}{2}\, D^{-\frac{1}{2}} \left(\frac{dD}{du}\, du + \frac{dD}{dv}\, dv\right) Z
            - D^{-\frac{1}{2}} \left(\frac{dp}{dv}\, du + \frac{dp}{du}\, dv\right)
\end{aligned}\ \right\} = 0.
\]

Éliminant les dérivées secondes de~$p$ au moyen des équations du
\Eqref{groupe}{10}, on trouve:
\[
0 =
\left\{
\begin{aligned}
 &X \left[\frac{dD}{2D\, du}\, \frac{dp}{dv}\, du
        + \left(\frac{dD}{2D\, dv}\, \frac{dp}{dv} + 1\right) dv\right] \\
%
+&Y \left[\left(\frac{dD}{2D\, du}\, \frac{dp}{du} - 1\right) du
        + \frac{dD}{2D\, dv}\, \frac{dp}{du}\, dv\right] \\
%
-&Z \frac{p}{2}\,
    D^{-\frac{1}{2}}
    \left(\frac{dD}{du}\, du + \frac{dD}{dv}\, dv\right) %[** PP: Typo dD/du]
  - D^{-\frac{1}{2}}
    \left(\frac{dp}{du}\, du + \frac{dp}{dv}\, dv\right)
\end{aligned}\ \right\}
\Tag{24}
\]

Soient $du'$, $dv'$ les accroissements qu'il faut donner aux paramètres $u$ et~$v$
pour que le point~$M$ se déplace précisément suivant la caractéristique du
chemin correspondant à $du$, $dv$, on obtiendra l'équation qui lie $du'$, $dv'$ à $du$,
$dv$ en remplaçant $X$, $Y$, $Z$ dans la \Eqref{relation}{24} privée de termes constants
par $\Delta X$, $\Delta Y$, $\Delta Z$. Ce sera, si l'on veut, l'équation des directions conjuguées de
la surface moyenne.

Les $\Delta X$, $\Delta Y$, $\Delta Z$ sont donnés par le \Eqref{groupe}{16} où $du$ et~$dv$ sont remplacés
par $du'$ et~$dv'$. On trouve après substitution et réduction
\[
2D(du'\, dv + dv'\, du) = 0.
\]
%% -----File: 073.png---Folio 67-------
Mais il est facile de voir que cette équation n'est autre que celle de directions
conjuguées tracées sur l'élassoïde, car la caractéristique du plan moyen
est déterminée par
\[
Z = X\, dv + Y\, du = 0,
\]
et comme ici
\[
\Delta X = D^{-\frac{1}{2}}\, du',\quad
\Delta Y = D^{-\frac{1}{2}}\, dv',
\]
remplaçant $x$ et~$y$ par $\Delta X$ et~$\Delta Y$, on trouve en définitive pour l'équation des
directions conjuguées
\[
du'\, dv + dv'\, du = 0.
\Tag{25}
\]

Cette analyse établit donc un fait digne de remarque, savoir que, \emph{sur la
surface moyenne tout réseau conjugué correspond à un réseau conjugué
tracé sur l'élassoïde moyen. En particulier, les lignes asymptotiques d'une
surface moyenne correspondent aux lignes asymptotiques de l'élassoïde}
puisqu'une famille d'asymptotiques représente un réseau conjugué dont les
courbes des deux familles coïncident.

Le fait est d'autant plus remarquable qu'il y a une $\infty^3$ de surfaces
moyennes correspondant à un même élassoïde.


\Section{49.}
{Sur la surface moyenne et l'élassoïde moyen les lignes asymptotiques
se correspondent.}

Nous verrons tout à l'heure que l'intégration des lignes asymptotiques
d'un élassoïde ne dépend jamais que de quadratures; on peut donc
dire que l'\emph{intégration des asymptotiques des surfaces correspondant par
orthogonalité des éléments à la sphère, est toujours ramenée aux quadratures}.

On peut encore conclure pour la projection de la direction conjuguée de
%% -----File: 074.png---Folio 68-------
l'élément de la surface moyenne correspondant à $du$, $dv$ (projection effectuée
sur le plan moyen)
\[
X\, dv - Y\, du = D^{-\frac{1}{2}} \left(\frac{dp}{du}\, du + \frac{dp}{dv}\, dv\right).
\]
Cette équation montre que: si  $Oo'$, $Oo''$ sont deux directions conjuguées de
l'élassoïde, si  $Mm'$, $Mm''$ sont les projections sur le plan moyen des directions
conjuguées correspondantes de la surface moyenne $Oo'$ et~$Mm''$ sont
parallèles, $Oo''$ et~$Mm'$ le sont aussi.
% **** Unclear to SR; another ``si''?


\Section{50.}
{Calcul des rayons de courbure principaux de la surface moyenne.}

La simplicité des résultats précédents tient à ce qu'on peut, dans les
calculs, éliminer les différentielles secondes de~$p$ chaque fois qu'elles se
présentent en tenant compte des \Eqref{équations}{10}. Il en sera de même pour
tout ce qui tient au second ordre. En particulier il doit exister deux relations
simples pour déterminer les courbures principales des surfaces moyennes;
leur recherche nous donnera l'occasion d'appliquer l'une des règles les plus
utiles de la périmorphie, et de constater une analogie bien remarquable.

% **** ``ses'' normales?
Soit en général~$(S)$ une surface, portons sur ces normales une longueur
constante $l$, l'extrémité du segment décrit une surface $(\Sigma)$ parallèle à~$(S)$;
soient $d(S)$ et~$d(\Sigma)$ les éléments d'aires correspondants des deux surfaces,
$R_1$ et~$R_2$ désignant les rayons de courbure principaux moyens de l'élément
$d(S)$; on a, d'après un théorème de Gauss, rappelé au \Secref{7}: % [** PP: Omitted () around section number]
\[
d(\Sigma) = \frac{(R_1+ l)(R_2 + l)}{R_1 R_2} d(S);
\]
par conséquent
\[
\frac{d(\Sigma)}{d(S)} = 1 + \frac{l^2}{R_1R_2} + l\left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}\right).
\]

%% -----File: 075.png---Folio 69-------

Le rapport ne peut s'annuler que si $l$ égale l'un des rayons de courbure
principaux; mais ce fait se présentera seulement si $d(\Sigma)$ est nul; et cela
nécessite que les projections de l'élément d'aire $d(\Sigma)$ sur les trois plans coordonnés
soient nulles. En général, si l'une de ces projections est nulle, les
deux autres le sont, et, par conséquent, $d(\Sigma)$ s'annule. Il n'y a d'exception
que dans le cas où la normale à~$(S)$ serait parallèle à l'un des plans coordonnés.

En périmorphie, on porte, sur les normales à la surface~$(S)$, une longueur~$l$
constante, on calcule, comme d'habitude, les $\Delta X$, $\Delta Y$, $\Delta Z$ de l'extrémité; il
est visible que la projection de l'élément $d(\Sigma)$, sur le plan instantané~$XOY$,
est proportionnelle à
\[
\Delta Y_v \Delta X_u - \Delta Y_u \Delta X_v.
\]

(En désignant par $\Delta X_u$, $\Delta Y_u$ les valeurs de $\Delta X$, $\Delta Y$ lorsque $u$ varie seul.)
Écrivant que l'expression ci-dessus est nulle, on obtiendra une équation du
second degré en~$l$, qui détermine les rayons de courbure principaux.

Désignant par $\gamma$ le cosinus de l'angle que fait la normale à la surface
moyenne avec~$OZ$, on déduit de~\Eqref{}{23}
\[
-\frac{p}{\gamma}
  = \sqrt{p^2 + \frac{1}{D} \biggl[\left(\frac{dp}{du}\right)^2
                                + \left(\frac{dp}{dv}\right)^2\,\biggr]}.
\]

Les coordonnées instantanées du point de la surface parallèle à~$(M)$ et
distante de~$l$ de cette surface, sont
\begin{align*}
\zeta &= l\gamma, \\
\xi   &= \phantom{-}D^{-\frac{1}{2}} \frac{dp}{du} - l\gamma \frac{dp}{p\, dv} D^{-\frac{1}{2}}, \\
\eta  &=           -D^{-\frac{1}{2}} \frac{dp}{dv} - l\gamma \frac{dp}{p\, du} D^{-\frac{1}{2}}.
\end{align*}

On trouve à l'aide des \Eqref{formules}{1}:
\begin{align*}% [** PP: Align with display on following page]
\frac{\Delta X_u}{D^{-\frac{1}{2}}\, du} % [**** PP: \Delta X_u, etc.?]
&= -Dp + \frac{l\gamma}{p}
         \left(\frac{1}{p}\, \frac{dp}{du}\, \frac{dp}{dv}
             - \frac{d\gamma}{\gamma\, du}\, \frac{dp}{dv}\right) \\
%% -----File: 076.png---Folio 70-------
\intertext{que nous écrirons}
%
\frac{\Delta X_u}{D^{-\frac{1}{2}}\, du}
  &= -Dp + l\gamma\, \frac{dp}{p\, dv}\,
           \frac{d}{du} \log \left(\frac{p}{\gamma}\right); \\
\intertext{de même}
%
\frac{\Delta X_v}{D^{-\frac{1}{2}}\, dv}
  &= \frac{l\gamma}{p} \left[ -1 + \frac{dp}{dv}·
           \frac{d}{dv} \log \left(\frac{p}{\gamma}\right)\right], \\
\intertext{également}
%
\frac{\Delta Y_u}{D^{-\frac{1}{2}}\, du}
  &= \frac{l\gamma}{p} \left[ 1 + \frac{dp}{du}\,
           \frac{d}{du} \log \left(\frac{p}{\gamma}\right)\right], \\
\intertext{et, enfin,}
%
\frac{\Delta Y_v}{D^{-\frac{1}{2}}\, dv}
  &= Dp + \frac{l\gamma}{p}\, \frac{dp}{du}·
           \frac{d}{dv} \log \left(\frac{p}{\gamma}\right);
\end{align*}
on en conclut, pour l'équation des rayons de courbure principaux, comme il
a été dit:
\[
\left.
\begin{aligned}
\frac{l^2\gamma^2}{p^2} &\left[ -1
  + \frac{dp}{dv}\, \frac{d}{dv} \log \left(\frac{p}{\gamma}\right)
  - \frac{dp}{du}\, \frac{d}{du} \log \left(\frac{p}{\gamma}\right) \right] \\
%
-Dl \gamma &\left[
  + \frac{dp}{dv}\, \frac{d}{du} \log \left(\frac{p}{\gamma}\right)
  - \frac{dp}{du}\, \frac{d}{dv} \log \left(\frac{p}{\gamma}\right) \right]
  + D^2 p^2
\end{aligned}\ \right\} = 0.
\]
Comme on trouve
\begin{align*}
\frac{d}{du} \log \frac{p}{\gamma}
  &= \frac{-\dfrac{dp}{D\, du}}
          {p^2 + \dfrac{1}{D} \left[\left(\dfrac{dp}{du}\right)^2
                                  + \left(\dfrac{dp}{dv}\right)^2\right]}, \\
%%
\intertext{et}
\frac{d}{dv} \log \frac{p}{\gamma}
  &= \frac{\dfrac{dp}{D\, dv}}
          {p^2 + \dfrac{1}{D} \left[\left(\dfrac{dp}{du}\right)^2
                                  + \left(\dfrac{dp}{dv}\right)^2\right]},
\end{align*}
il vient, en définitive,
\[
l^2 - 2 \frac{l}{\gamma} D \frac{dp}{du}\, D^{-\frac{1}{2}} ·
                           \frac{dp}{dv}\, D^{-\frac{1}{2}}
    - \frac{D^2 p^4}{\gamma^4} = 0.
\]

%% -----File: 077.png---Folio 71-------

Nous en déduirons, en désignant par $L_1$ et~$L_2$ les deux rayons de courbure
principaux de la surface moyenne
\begin{align*}
L_1 + L_2 &= -\frac{2}{\gamma} D · \eta_M · \xi_M
\Tag{26} \\
\intertext{avec}
L_1 · L_2 &= -\frac{D^2 · p^4}{\gamma^4}
\Tag{27}
\end{align*}


\Section{51.}
{Relation entre les courbures de la surface moyenne et de l'élassoïde moyen.}

Laissons de côté provisoirement l'\Eqref{équation}{26} et ne nous occupons
que de~\Eqref{}{27}.

Si $R_1$ et~$R_2$ sont les rayons de courbure principaux de l'élassoïde, égaux
d'ailleurs en valeur absolue, on a
\[
D = \frac{1}{\sqrt{-R_1 R_2}}.
\]

Désignons par $V$ l'angle des normales à la surface moyenne~$(M)$ et à
l'élassoïde moyen~$(O)$; on a
\begin{align*}
\overline{OM}^2
  &= \frac{1}{D} \left[\left(\frac{dp}{du}\right)^2 + \left(\frac{dp}{dv}\right)^2\right], \\
\intertext{d'un autre côté}
p^2 · \tg^2 V
  &= \frac{1}{D} \left[\left(\frac{dp}{du}\right)^2 + \left(\frac{dp}{dv}\right)^2\right].
\end{align*}

Conséquemment, (27) équivaut à la relation géométrique
\[
L_1 L_2  · R_1R_2 = \frac{\overline{OM}^4}{\sin V^4}
\Tag{28}
\]

%% -----File: 078.png---Folio 72-------

\Section{52.}
{La relation qui précède se retrouve en étudiant les nappes de la développée
d'une surface dont les rayons de courbure principaux sont liés, et en
général dans la théorie de la correspondance par orthogonalité des
éléments.}

C'est ici qu'il convient de faire un rapprochement.

Nous avons montré que les deux nappes de la développée d'une surface
dont les rayons de courbure sont liés (surfaces considérées pour la première
fois par M.~Weingarten), se correspondent de telle manière qu'aux asymptotiques
de l'une correspondent les asymptotiques de l'autre. M.~Halphen a
ensuite établi que si $R_1$, $R_2$ sont les rayons de courbure principaux de l'une
des nappes, $L_1$, $L_2$ ceux de l'autre nappe et~$OM$ le segment de normale
compris entre les deux nappes de la développée,
\[
L_1 L_2 · R_1 R_2 = \overline{OM}^4.
\]

Dans l'espèce, la congruence, admettant les deux surfaces considérées
comme focales, a ses plans principaux rectangulaires; on peut donc dire que
l'\Eqref{équation}{28} régit aussi les relations des deux nappes, puisque $\sin V$ est
égal à l'unité.

Ces propriétés similaires tiennent à des lois beaucoup plus générales se
rapportant aux liaisons des nappes de congruences particulières. C'est ce que
nous établirions en rattachant toutes ces théories à celles des couples de
surfaces applicables l'une sur l'autre.

Mais nous devons nous refuser à nous écarter plus longtemps de la théorie
des élassoïdes; nous aurons d'ailleurs encore l'occasion de faire allusion à
plusieurs théorèmes généraux qui trouvent de remarquables applications dans
la théorie des élassoïdes. (Voir \chapitre{XXII}.)

Revenons aux surfaces moyennes, et cherchons s'il n'est pas possible
qu'une surface moyenne soit élassoïde.

%% -----File: 079.png---Folio 73-------

\Section{53.}
{La surface moyenne ne peut être un élassoïde réel qu'en coïncidant
avec une surface de vis à filet quarré qui est aussi l'élassoïde moyen.}

Il faut d'après~\Eqref{}{26} que
\[
\eta_M - \xi_M = 0.
\]

La droite~$OM$ serait donc toujours tangente à une asymptotique de l'élassoïde~$(o)$,
mais le résultat s'obtient très-facilement à l'aide des \Eqref{équations}{20}:
puisque l'axe des~$X$ est une asymptote de l'indicatrice, on doit avoir
\[
P = \frac{df}{g\, dv} = 0.
\]

Donc, l'\emph{élassoïde est réglé}, puisque l'\Eqref{asymptotique}{8} est géodésique.
D'après un théorème dû à M.~Catalan, on sait que l'élassoïde (quand il est
réel) n'est autre chose que la surface de vis à filet quarré.

Comme il n'est pas sans intérêt de faire connaître les congruences
isotropes assez singulières, dont nous venons de signaler l'existence, nous
établirons, par nos procédés, le résultat de M.~Catalan, et nous intégrerons le
\Eqref{groupe}{20}.

Pour éviter les imaginaires, il convient de revenir aux premiers calculs
du \Secref{29}. De ce que les \Eqref{lignes}{8} sont à la fois asymptotiques et géodésiques,
\begin{align*}
Dg^2 &= V, \\
D    &= U,
\end{align*}
$f$ étant pris égal à l'unité. La troisième des équations de Codazzi donne,
pour déterminer~$g$,
\[
\frac{V^2}{g^5} = \frac{d^2g}{du^2}
\]
%% -----File: 080.png---Folio 74-------
dont l'intégrale générale est ici
\[
g^2 = Lu^2 + 2Mu + N,
\]
moyennant que
\[
V = NL - M^2;
\]
mais comme on doit avoir
\[
\frac{1}{D} = \frac{Lu^2 + 2Mu + N}{NL - M^2} = \frac{1}{u},
\]
$L$, $M$ et~$N$ doivent être des constantes.

Dans le cas où $L$ ne sera pas nul, on changera de variable en prenant
une nouvelle $v$ définie par
\[
dv_1= \sqrt{L}\, dv,
\]
et si l'on prend pour nouvelle variable~$u$, un terme convenable, on voit que
le carré de l'élément linéaire de la surface peut s'écrire
\[
ds^2 = du^2 + (u^2 + A^2)\, dv^2.
\Tag{29}
\]

Au contraire, dans le cas où $L$ serait nul, on pourrait écrire cette expression
sous l'une des formes
\begin{align*}
ds^2 &= du^2 + u\, dv^2
\Tag{30} \\
ds^2 &= du^2 + dv^2.
\end{align*}

Cette dernière caractérise le plan.

Dans l'hypothèse correspondant à l'\Eqref{équation}{29}, on a
\[
D = \frac{1}{\sqrt{-R_1R_2}} = \frac{A}{u^2 + A^2},
\]
les rayons de courbure principaux sont réels puisqu'ils sont égaux et qu'ils
doivent être de signes opposés, pour que la surface soit réelle.

%% -----File: 081.png---Folio 75-------

Dans l'hypothèse caractérisée par l'\Eqref{équation}{30}
\[
-D^2 = \frac{1}{4u^2} = \frac{1}{R_1R_2};
\]
donc, pour toute valeur réelle de~$u$, les rayons de courbure principaux seront
de même signe; la surface est imaginaire. (Les congruences isotropes ne
peuvent apparaître dans les présents calculs basés sur l'hypothèse de l'orthogonalité
de lignes asymptotiques distinctes).

Revenons à l'\Eqref{équation}{29}, on a
\[
\frac{dg}{g\, du} = \frac{u}{u^2 + A^2}.
\]

Or, cette expression exprime la courbure géodésique des lignes~$(u)$; et
comme les plans osculateurs sont tangents à l'élassoïde, on voit que les
premières courbures de ces courbes sont constantes tout le long de l'une
d'entre elles.

Le rayon de seconde courbure~$D$ est dans le même cas.

Les lignes~$(u)$ sont donc des \emph{hélices} orthogonales aux génératrices~$(v)$;
l'une de ces hélices se réduit à une droite, au cas où $u$ s'annule. La surface
est une \emph{surface de vis à filet quarré}, comme l'avait indiqué, depuis longtemps,
M.~Catalan.


\Section{54.}
{Recherche des congruences isotropes dont la surface moyenne est élassoïde.}

Passons à la détermination des congruences isotropes admettant cette
surface de vis pour surface moyenne.

Il est clair qu'il doit entrer dans leur définition une constante arbitraire,
car si l'on opère sur une congruence satisfaisante la transformation du \Secref{34}
en prenant pour direction fixe celle de l'hélice réduite à une droite, on obtient
encore une congruence isotrope satisfaisante.

%% -----File: 082.png---Folio 76-------

Ici le \Eqref{groupe}{20} se réduit à
\begin{align*}
\frac{d\xi}{dv}    &= 0, \\
\frac{d(g\xi)}{du} &= -2g.
\end{align*}

Si $u$ désigne la distance d'un point~$M'$ de la génératrice de l'héliçoïde à %[** PP: Typo héliçoide]
l'axe~$OZ$, $\theta$ désignant l'angle de la normale en $M'$ avec cet axe, on a
\begin{align*}
u &= A \cot \theta, \\
g &= \frac{A}{\sin \theta}, \\
\intertext{et, par conséquent,}
d \left(\frac{A\xi}{\sin \theta}\right)
  &= 2 \frac{A^2}{\sin^3 \theta}\, d\theta, \\
\intertext{on en conclut}
\frac{\xi + A \cot \theta}{\sin \theta}
  &= A \log \tg \frac{\theta}{2} + C. \\
\intertext{\indent Si $D$ est la droite de la congruence isotrope,}
CP &= \xi + A \cot \theta.
\end{align*}

Nous voulons seulement faire observer que si l'on considère les surfaces
élémentaires de la congruence admettant pour lignes de striction les génératrices
de l'héliçoïde, on aura une \emph{famille de surfaces identiques, déplacées
héliçoïdalement}\footnotemark.
\footnotetext{L'équation
\[
u = \sin \theta A \left(\log \tg \frac{\theta}{2} + C\right)
\]
est l'équation de la surface réglée élémentaire.}% End of footnote

La transformation du \Secref{34}, effectuée avec généralité, donnera, avec deux
%% -----File: 083.png---Folio 77-------
constantes arbitraires, des surfaces moyennes dont les asymptotiques correspondront
aux génératrices et aux hélices orthogonales de la surface
de vis.

Enfin, l'\Eqref{équation}{28} doit être vérifiée identiquement si l'on prend deux
points arbitraires, situés sur une même génératrice de l'héliçoïde, sans quoi
la relation précitée donnerait l'intégrale des congruences isotropes satisfaisantes,
chose impossible, puisque la constante fait défaut. La vérification se
fait immédiatement.

Nous ne poursuivrons pas plus loin l'étude des surfaces moyennes qui se
prêterait pourtant à d'intéressants développements. Nous avons désiré faire
voir, par ce qui précède, combien la considération des congruences isotropes
est motivée. Nous allons montrer maintenant comment en cherchant à obtenir,
par les procédés les plus simples, les congruences isotropes, on arrive naturellement
à étendre encore la théorie des élassoïdes.

\TbEoC

%% -----File: 084.png---Folio 78-------


\Chapter{IX.}
{CONGRUENCES ISOTROPES DÉRIVÉES DE LA SPHÈRE.}

\Section{55.}
{Formules donnant le $ds^2$ d'une surface, ses lignes de courbure et asymptotiques,
les rayons de courbure principaux, en fonction des éléments sphériques
de l'image.}

Avant de poursuivre les conséquences des résultats obtenus au \Secref{28} qui
rattachent à la théorie des réseaux isométriques sphériques celle des congruences
isotropes, il est nécessaire d'établir rapidement quelques calculs
ayant trait à la représentation sphérique des surfaces, et qui, d'ailleurs, s'obtiennent
aisément par les procédés de périmorphie.

Prenons pour surface de référence une sphère de rayon un, pour réseau
$(u, v)$ un réseau isométrique; soit~$p$ la distance au plan tangent d'une
surface arbitraire~$(A)$, du centre de la sphère. L'équation instantanée du
plan tangent est
\[
Z - p + 1 = 0.
\]
On obtiendra le point de contact en cherchant l'enveloppe des caractéristiques.

Dans l'espèce, comme
\begin{gather*}
ds^2 = \lambda^2(du^2 + dv^2), \\
P = Q = \lambda,\quad D=0,
\end{gather*}
%% -----File: 085.png---Folio 79-------
l'équation du plan tangent dans sa seconde position est
\[
Z + \left(\lambda X - \frac{dp}{du}\right) du
  + \left(\lambda Y - \frac{dp}{dv}\right) dv + 1 = 0.
\]

On voit que les coordonnées instantanées du point de contact ont pour
valeurs
\[
\xi  = \frac{dp}{\lambda\, du},\quad
\eta = \frac{dp}{\lambda\, dv}.
\]

Si l'on suit un chemin caractérisé par les accroissements $du$, $dv$ sur la
sphère, le point~$A$ de contact décrit une courbe et les normales le long de
celle-ci, à la surface~$(A)$ normales parallèles à celles de la sphère, engendrent
une surface élémentaire ou \emph{normalie} (d'après une locution introduite par
M.~Mannheim). On a, comme d'habitude, pour l'équation de la variation du
plan tangent le long d'une normale appartenant à la surface élémentaire
\[
\tg \theta =
\frac{du \left(\dfrac{d\eta}{du} - \dfrac{d\lambda}{\lambda\, dv} \xi \right)
  + dv \left(\dfrac{d\eta}{dv} + \lambda l + \dfrac{d\lambda}{\lambda\, du} \xi\right)}
     {du \left(\dfrac{d\xi}{du} + \lambda l + \dfrac{d\lambda}{\lambda\, dv} \eta\right)
  + dv \left(\dfrac{d\xi}{dv} - \dfrac{d\lambda}{\lambda\, du} \eta\right)}.
% [** PP: Added .]
\Tag{31}
\]

Tenant compte des valeurs de $\xi$ et de~$\eta$, passant aux coordonnées symétriques
imaginaires, et posant
\begin{align*}
a &= \frac{dp}{\lambda^2\, dx}, \\[1ex]
b &= \frac{dp}{\lambda^2\, dy}, \\[1ex]
c &= \frac{1}{\lambda^2}\, \frac{d^2p}{dx\, dy},
\end{align*}
il vient
\[
e^{-2i\theta}
  = \frac{dx\, \dfrac{da}{dx} + dy \left(c + \dfrac{l}{2}\right)}
         {dx \left(c + \dfrac{l}{2}\right) + dy\, \dfrac{db}{dy}}
\Tag{32}
% [** F1: Missing comma?]
\]
équation dans laquelle $\theta$ est l'angle du plan tangent à la normalie et du plan
%% -----File: 086.png---Folio 80-------
$ZOX$, $l-1$ est la hauteur au-dessus du plan~$XOY$ du point de contact du
plan tangent précité.

Puisqu'on a les valeurs instantanées des coordonnées du point de contact~$A$,
rien n'est plus simple que de former les $\Delta X$, $\Delta Y$, $\Delta Z$ de ce point. Élevant
au carré ces expressions et ajoutant, on trouve pour le carré de l'élément
linéaire de la surface~$(A)$
\[
\frac{dS^2}{\lambda^2} =
(p + 2c) \left[2 \frac{da}{dx}\, dx^2
             + (p + 2c)\, dx · dy
             + 2 \frac{db}{dy}\, dy^2\right]
  + 4 \frac{da}{dx} · \frac{db}{dy}\, dx\, dy.
\Tag{33}
\]

L'\Eqref{équation}{32} permet de trouver l'expression des rayons de courbure
principaux de la surface~$(A)$ ainsi que les équations des images sphériques de
ses lignes de courbure. Opérant comme nous l'avons déjà fait bien souvent
dans ce mémoire, on trouve: \primo~pour l'équation des images sphériques
\[
% [** PP: Changed + to =]
\frac{dy}{dx} = ± \sqrt{\frac{\;\dfrac{da}{dx}\;}{\dfrac{db}{dy}}}\;.
\Tag{34}
\]
\secundo~pour l'équation des rayons de courbure principaux
\[
R^2 - 2R(2c+p) + (2c+p)^2 - 4 \frac{da}{dx} · \frac{db}{dy} = 0.
% [** PP: Added .]
\Tag{35}
\]

Enfin, nous exprimerons que deux directions de~$(A)$ caractérisées par les
accroissements $dx$, $dy$ d'une part, $dx'$, $dy'$ d'autre part, sont conjuguées, en
écrivant que le plan tangent en~$A$ à la normalie correspondant aux accroissements
$dx'$, $dy'$ est le plan central de la normalie correspondant aux accroissements
$dx$, $dy$ (théorème de Joachimstal). Nous n'insistons plus sur ces calculs.
On trouve ainsi pour l'équation des lignes conjuguées de~$(A)$
\[
  \frac{da}{dx} · dx \Reg{·}{\,} dx'
+ \left(c + \frac{p}{2}\right)(dx\, dy' + dy\, dx')
+ \frac{db}{dy} · dy \Reg{}{\,} dy' = 0. % [** PP: Added .]
\Tag{36}
\]

Il en résulte pour l'équation des lignes asymptotiques
\[
  \frac{da}{dx} · dx^2
+ 2\left(c + \frac{p}{2}\right) dx \Reg{·}{\,} dy
+ \frac{db}{dy} \Reg{}{·} dy^2 = 0.
\]

%% -----File: 087.png---Folio 81-------

L'importance des calculs qui précèdent tient à ce que la surface~$(A)$ est
arbitraire et à ce que le réseau sphérique $(u, v)$ l'est également (pourvu qu'il
soit isométrique).


\Section{56.}
{Équation la plus générale d'un élassoïde en coordonnées sphériques.}

Dans le cas actuel, puisqu'il s'agit d'élassoïdes, nous obtiendrons l'équation
différentielle de ces surfaces en écrivant, par exemple, que dans l'\Eqref{équation}{35}
le terme du premier degré en~$R$ disparaît, c'est-à-dire que la courbure
moyenne de la surface est nulle. Il vient
\[
p + \frac{2}{\lambda^2}\, \frac{d^2p}{dx\, dy} = 0
\Tag{37}
\]
l'équation des lignes de courbure ne change pas, mais celle des asymptotiques
devient
\[
dx \sqrt{\frac{da}{dx}} ± \sqrt{-1} \sqrt{\frac{db}{dy}} · dy = 0
\Tag{38}
\]
enfin le carré de l'élément linéaire de l'élassoïde prend la forme remarquable
\[
\frac{dS^2}{\lambda^2} = 4 \frac{da}{dx} · \frac{db}{dy} · dx \Reg{·}{\,} dy.
% [** PP: Added .]
\Tag{39}
\]

Rappelons, en dernière analyse, que $\lambda$ satisfait à la troisième équation de
Codazzi
\[
\lambda^2 + 2 \frac{\lambda^2 \log \lambda^2}{dx\, dy} = 0.
\Tag{40}
% [** PP: Added .]
\]

Si l'on remplace $\lambda^2$ par~$D$ on voit que les \Eqref{équations}{37} et~\Eqref{}{40} coïncident
avec les deux premières du \Eqref{groupe}{11}.

%% -----File: 088.png---Folio 82-------

Leur intégrale générale est donc
\begin{gather*}
-\frac{\lambda^2}{2} = \frac{2X'Y'}{(X + Y)^2}, \\
p = \frac{X'_1}{X'} + \frac{Y'_1}{Y'} - 2 \frac{X_1 + Y_1}{X + Y},
\end{gather*}
et ici, les fonctions $X_1$ et~$Y_1$ sont assujetties seulement à être, comme $X$ et~$Y$,
des fonctions arbitraires des variables $x$ et~$y$.


\Section{57.}
{Un élassoïde et la sphère image ont toujours leurs lignes isotropes
correspondantes.}

Déduisons maintenant des conséquences.

L'\Eqref{équation}{39} montre que les \textit{lignes isotropes d'un élassoïde ont pour
image sphérique les lignes isotropes de la sphère}. D'après une théorie bien
connue, il en résulte que, si l'on fait correspondre un élassoïde et une sphère
par parallélisme des plans tangents, on a un mode de correspondance dans
lequel les angles se conservent.

Ceci démontre que l'élassoïde est la seule surface correspondant de la sorte
à la sphère. (Théorème dû à M.~Ossian Bonnet.)


\Section{58.}
{Remarque au sujet de la forme explicite des fonctions arbitraires qui entrent
dans l'équation intégrale d'un élassoïde.}

On vérifie, sur l'\Eqref{équation}{38}, que les asymptotiques d'un élassoïde sont
rectangulaires.

La valeur la plus générale de~$p$, convenant aux élassoïdes, peut s'écrire
%% -----File: 089.png---Folio 83-------
sous la forme simple et très-utile
\[
p = X' + 2X \frac{d\lambda}{\lambda\, dx} + Y' + 2Y \frac{d\lambda}{\lambda\, dy}
\Tag{41}
\]
où ne figurent plus que les deux fonctions arbitraires nécessaires et suffisantes,
celles qui caractérisent le réseau isométrique sphérique étant masquées.

Inversement, on peut dans la formule qui précède particulariser autant
que l'on voudra les fonctions arbitraires $X$ et~$Y$, pourvu qu'on laisse à $\lambda$ toute
la généralité que comportent les deux fonctions arbitraires de son expression
en $x$ et~$y$; on obtiendra encore l'intégrale générale des élassoïdes, seulement
\textit{ils se sépareront en autant de groupes qu'il y a de réseaux isométriques sphériques
distincts}.

Cette conséquence résultait également des calculs du \Secref{27} relatifs aux
congruence isotropes.


\Section{59.}
{Remarque sur les réseaux sphériques isométriques et trajectoires
les uns des autres.}

Avant de déduire, de ce qui précède, les remarquables propriétés des
\emph{élassoïdes groupés}, il convient de démontrer un résultat simple et connu, mais
qui nous importe particulièrement.

\begin{Emph}
Les trajectoires des courbes~$(u)$ sous un angle constant $\omega$ et les trajectoires
sous le même angle des courbes~$(v)$ forment un réseau isométrique si le réseau
sphérique $(u, v)$ est isométrique; la valeur du~$\lambda$, pour les deux réseaux, est la
même.
\end{Emph}

Soit, en effet, sur une surface qui peut être arbitraire
\[
dS^2 = \lambda^2(du^2 + dv^2),
\]
posons
\begin{align*}
du &= du' \cos\omega - dv' \sin\omega, \\
dv &= du' \sin\omega + dv' \cos\omega,
\end{align*}
%% -----File: 090.png---Folio 84-------
il est clair que
\[
du^2 + dv^2 = {du'}^2 + {dv'}^2.
\]

En conséquence, le carré de l'élément linéaire de la surface peut s'écrire
indifféremment
\[
dS^2 = \lambda^2(du^2 + dv^2)
     = \lambda^2({du'}^2 + {dv'}^2),
\]
d'où résulte la proposition annoncée.


\Section{60.}
{D'un réseau sphérique isométrique on peut déduire une infinité de congruences
isotropes donnant lieu à une famille d'élassoïdes groupés.}

Ceci posé, si nous nous reportons aux calculs du \Secref{27}, nous voyous
qu'étant donné un réseau isométrique sphérique, on en déduira une infinité
de congruences isotropes, de la façon suivante: le pied~$M$ de chacune des
droites~$D$ sera à la distance~$\lambda$ de~$O$, et la droite~$OM$ fera un angle constant~$\omega$
avec la tangente~$OX$ de la courbe~$(v)$.

Il est clair, d'ailleurs, que le segment~$OM$ peut être multiplié par une constante;
car on obtiendra ainsi des congruences isotropes, homothétiques par
rapport au centre de la sphère de référence.

Chaque congruence isotrope, déduite du réseau isométrique sphérique,
donnera lieu à un élassoïde moyen; tous ces élassoïdes formeront un groupe
dont nous allons établir les propriétés.

Nous avons trouvé, au \Secref{28}, que si l'on porte le segment $\lambda$ sur~$OX$:

\primo~Le \emph{plan moyen} de la congruence isotrope est à la distance~$p$ du centre
de la sphère, marquée par
\[
p = -\frac{d\lambda}{\lambda\, du}.
\]

\secundo~Le \emph{paramètre} de la congruence a pour valeur
\[
p = -\frac{d\lambda}{\lambda\, dv}.
\]

%% -----File: 091.png---Folio 85-------

\Section{61.}
{Calcul des éléments des élassoïdes groupés.}

Il en résulte que, si nous désignons par~$\rho_{\omega}$ et~$p_{\omega}$ les valeurs analogues,
relatives à la congruence isotrope définie par des positions de $OM$ faisant avec
$OX$ l'angle~$\omega$, nous aurons
\begin{align*}
\rho_\omega &= -\frac{d\lambda}{\lambda\, du'}
  = -\cos\omega\, \frac{d\lambda}{\lambda\, du}
    -\sin\omega\, \frac{d\lambda}{\lambda\, dv}, % [** PP: Added ,]
\Tag{42} \\
%
p_\omega &= - \frac{d\lambda}{\lambda\, dv'}
  = \phantom{-}
     \sin\omega\, \frac{d\lambda}{\lambda\, du}
    -\cos\omega\, \frac{d\lambda}{\lambda\, dv}. % [** PP: Added .]
\Tag{43}
\end{align*}

L'\Eqref{équation}{42} donnant, en définitive, les distances du centre de la
sphère de référence aux plans tangents parallèles des élassoïdes groupés
doit coïncider avec~\Eqref{}{41} particularisée; passant aux coordonnées symétriques
imaginaires, \Eqref{}{42}~devient
\[
\rho_\omega
  = -\left[\frac{d\lambda}{\lambda\, dx} (\cos\omega + i \sin\omega)
          +\frac{d\lambda}{\lambda\, dy} (\cos\omega - i \sin\omega)\right].
\]
Et cette équation coïncide avec~\Eqref{}{41} si l'on fait dans celle-ci
\begin{align*}
2X &= -(\cos\omega + i \sin\omega), \\
2Y &= -(\cos\omega - i \sin\omega).
\end{align*}

Dans l'espèce, adoptant les notations du \Secref{55}, et tenant compte de
l'\Eqref{équation}{40}, on trouve:
\begin{align*}
-a &= \frac{1}{\lambda^2}\, \frac{d^2 \log \lambda}{dx^2}\, (\cos\omega + i \sin\omega)
    - \frac{1}{4} (\cos\omega - i \sin\omega), \\
-b &= \frac{1}{\lambda^2}\, \frac{d^2 \log \lambda}{dy^2}\, (\cos\omega - i \sin\omega)
    - \frac{1}{4} (\cos\omega + i \sin\omega);
\end{align*}
%% -----File: 092.png---Folio 86-------
par conséquent,
\begin{align*}
-\frac{da}{dx} &= \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{\lambda}\, \frac{d^2 \log \lambda}{dx^2}\right) (\cos\omega + i \sin\omega), \\
-\frac{db}{dy} &= \frac{d}{dy} \left(\frac{1}{\lambda}\, \frac{d^2 \log \lambda}{dy^2}\right) (\cos\omega - i \sin\omega).
\end{align*}


\Section{62.}
{Tous les élassoïdes groupés sont applicables sur l'un d'entre eux;
ils ne sont pas identiques.}

La \Eqref{formule}{33} qui a trait au carré de l'élément linéaire devient en
conséquence
\[
\frac{dS^2}{\lambda^2}
  = 4 \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{\lambda}\, \frac{d^2 \log \lambda}{dx^2}\right)
      \frac{d}{dy} \left(\frac{1}{\lambda}\, \frac{d^2 \log \lambda}{dy^2}\right) dx\, dy,
\]
résultat qui ne contient plus trace de l'angle~$\omega$. On peut donc énoncer cet
important résultat:

\begin{Emph}
Tous les élassoïdes groupés, dérivés d'un même réseau isométrique
sphérique, sont applicables sur l'un d'entre eux.
\end{Emph}

Mais il pourrait y avoir doute sur leur non-identité quoique l'identité dût
entraîner des conséquences (en ce qui concerne les valeurs de~$\rho_\omega$) à priori
non réalisées.

Pour donner une preuve décisive, nous chercherons l'équation de l'image
sphérique des lignes de courbure de l'élassoïde du groupe, le plus général,
et nous ferons voir qu'elle varie avec~$\omega$.

On a, d'après~\Eqref{}{34}, pour l'équation de l'image
\[
\frac{dy}{dx} = ± \sqrt{
  \frac{\dfrac{d}{dx} \left(\dfrac{1}{\lambda}\, \dfrac{d^2 \log \lambda}{dx^2}\right) (\cos\omega + i \sin\omega)}
       {\dfrac{d}{dy} \left(\dfrac{1}{\lambda}\, \dfrac{d^2 \log \lambda}{dy^2}\right) (\cos\omega - i \sin\omega)}},
\]
ce qui établit la proposition annoncée.

On peut même déduire de cette relation une conséquence géométrique
importante.

%% -----File: 093.png---Folio 87-------

\Section{63.}
{Les élassoïdes groupés ont pour images sphériques de leurs lignes de
courbure des réseaux isométriques trajectoires les uns des autres sous
des angles constants.}

D'après~\Eqref{}{32}, si l'on suit une ligne de courbure de la surface~$(A)$, on a
\[
e^{-2i\theta} = \frac{dy}{dx}.
\]

Dès lors, si nous désignons par~$\theta_\omega$ l'angle que l'image d'une ligne de
courbure de l'élassoïde général fait avec~$OX$, nous aurons
\[
e^{-4i\theta_\omega}
  = e^{-4i\theta_0} \frac{\cos\omega + i \sin\omega}
                         {\cos\omega - i \sin\omega}
  = e^{-4i\theta_0} · e^{2\omega i},
\]
d'où résulte simplement
\[
\theta_\omega - \theta_0 = \frac{\omega}{2}.
\]

Ainsi \textit{les images sphériques des lignes de courbure des élassoïdes groupés
sont trajectoires, sous des angles constants, les unes des autres}.

Prenons, par exemple, deux élassoïdes du groupe caractérisés par des
valeurs du paramètre~$\omega$ différant d'une constante~$\alpha$, leurs images sphériques
se couperont mutuellement sous l'angle~$\frac{\alpha}{2}$.

Il est bien clair que les résultats qui précèdent s'appliquent également
aux images sphériques des asymptotiques des divers élassoïdes du groupe.

Sans chercher à particulariser davantage pour le moment, faisons cette
observation que les images sphériques des élassoïdes d'un même groupe
forment sur la sphère un groupe de réseaux isométriques trajectoires, sous
des angles constants, les uns des autres. [Les équations de Codazzi montrent
immédiatement que l'image sphérique des lignes de courbure d'un élassoïde
est isométrique.]

Si donc on suppose obtenue l'image sphérique des lignes de courbure des
élassoïdes groupés, on pourra la prendre pour point de départ d'un nouveau
groupe d'élassoïdes et ainsi de suite.

%% -----File: 094.png---Folio 88-------

\Section{64.}
{Recherche des élassoïdes admettant pour image sphérique de leurs lignes de
courbure un réseau isométrique déterminé. Intégration des congruences
isotropes satisfaisantes.}

Inversement, on est conduit à résoudre le problème suivant: \emph{étant donné
un réseau isométrique sphérique, trouver l'élassoïde qui l'admet pour image
de ses lignes de courbure; intégrer ses congruences isotropes génératrices}.

Nous pourrions déduire la solution, de ce qui précède, mais il est tout
aussi simple de l'établir directement.

Prenons pour réseau $(u, v)$ le réseau isométrique choisi. Soient $\xi$ et~$\eta$ les
coordonnées instantanées du pied de la droite~$D$ de la congruence isotrope,
$p$~le paramètre de la congruence, $\rho$~la distance du plan moyen au centre de
la sphère de référence. Sans recommencer des calculs identiques à ceux qui
ont été faits si souvent, nous écrirons immédiatement

% **** Provisional code
% N.B. Blank line to prevent \baselineskip reduction above
{\scriptsize
\begin{align*}
\makebox[12pt][r]{$\rho-1$}
 &= -\frac{dv \left[dv \left(\lambda + \dfrac{d\eta}{dv} + \dfrac{d\lambda}{\lambda\, du} \xi\right)
                      + du \left(\dfrac{d\eta}{du} - \dfrac{d\lambda}{\lambda\, dv}\xi\right)\right]
             + du \left[du \left(\lambda + \dfrac{d\xi}{du} + \dfrac{d\lambda}{\lambda\, dv} \eta\right)
                      + dv \left(\dfrac{d\xi}{dv}  - \dfrac{d\lambda}{\lambda\, du}\eta\right)\right]}
              {\lambda (du^2 + dv^2)}, \\[1.5ex]
%
p &= \Neg\frac{dv \left[du \left(\lambda + \dfrac{d\xi}{du} + \dfrac{d\lambda}{\lambda\, dv} \eta\right)
                 + dv \left(\dfrac{d\xi}{dv} - \dfrac{d\lambda}{\lambda\, du}\eta\right)\right]
             - du \left[dv \left(\lambda + \dfrac{d\eta}{dv} + \dfrac{d\lambda}{\lambda\, du} \xi\right)
                      + du \left(\dfrac{d\eta}{du} - \dfrac{d\lambda}{\lambda\, dv}\xi\right)\right]}
          {\lambda (du^2 + dv^2)}.
\end{align*}
%**
}%

La congruence étant isotrope, ces expressions doivent être indépendantes
de $du$ et~$dv$, ce qui entraîne
\begin{align*}
& \frac{d\eta}{du} - \frac{d\lambda}{\lambda\, dv} \xi + \frac{d\xi}{dv} - \frac{d\lambda}{\lambda\, du} \eta = 0, \\
& \frac{d\eta}{dv} + \frac{d\lambda}{\lambda\, du} \xi = \frac{d\xi}{du} + \frac{d\lambda}{\lambda\, dv} \eta.
\end{align*}

%% -----File: 095.png---Folio 89-------

Et alors on a, en effet
\begin{align*}
p &=  \frac{\dfrac{d\xi}{dv}  - \dfrac{d\lambda}{\lambda\, du} \eta}{\lambda}
   = -\frac{\dfrac{d\eta}{du} - \dfrac{d\lambda}{\lambda\, dv}  \xi}{\lambda}, \\
%
-\rho
  &= \frac{d\eta}{\lambda\, dv} - \frac{d\lambda}{\lambda^2\, du} \xi
   = \frac{d\xi}{\lambda\, du} + \frac{d\lambda}{\lambda^2\, dv} \eta.
\end{align*}

Prenons pour variables canoniques $p$ et~$\rho$, nous aurons le groupe
\[
\left.
\begin{aligned}
\frac{d\xi}{du} + \frac{d\lambda}{\lambda\, dv} \eta &= -\lambda \rho,
  & \frac{d\xi}{dv} - \frac{d\lambda}{\lambda\, du} \eta &= \lambda p \\
%
\frac{d\eta}{du} - \frac{d\lambda}{\lambda\, dv} \xi &= -\lambda p,
  & \frac{d\eta}{dv} + \frac{d\lambda}{\lambda\, du} \xi &= -\lambda \rho
\end{aligned}\ \right\}
\Tag{44}
\]

Opérant comme au \Secref{31} en tenant compte de l'équation
\[
\frac{d^2 \log \lambda}{du^2} + \frac{d^2 \log \lambda}{dv^2} + \lambda^2 = 0,
\]
il vient
\begin{align*}
\xi  &= \lambda^{-1} \left(\frac{d\rho}{du} - \frac{dp}{dv}\right), \\
\eta &= \lambda^{-1} \left(\frac{d\rho}{dv} + \frac{dp}{du}\right).
\end{align*}

Exprimant que ces valeurs de $\xi$ et~$\eta$ satisfont au \Eqref{groupe}{44}, on obtient
le groupe définitif
\[% [** PP: Added punctuation]
\left.
\begin{aligned}
\frac{d^2\rho}{du^2}
  - \frac{d^2p}{du\, dv}
  + \frac{d\lambda}{\lambda\, dv} \left(\frac{d\rho}{dv} + \frac{dp}{du}\right)
  - \frac{d\lambda}{\lambda\, du} \left(\frac{d\rho}{du} - \frac{dp}{dv}\right)
  + \lambda^2\rho = 0, \\
%
\frac{d^2\rho}{dv^2}
  + \frac{d^2p}{du\, dv}
  + \frac{d\lambda}{\lambda\, du} \left(\frac{d\rho}{du} - \frac{dp}{dv}\right)
  - \frac{d\lambda}{\lambda\, dv} \left(\frac{d\rho}{dv} + \frac{dp}{du}\right)
  + \lambda^2\rho = 0, \\
%
\frac{d^2p}{du^2}
  + \frac{d^2\rho}{du\, dv}
  + \frac{d\lambda}{\lambda\, dv} \left(\frac{dp}{dv} - \frac{d\rho}{du}\right)
  - \frac{d\lambda}{\lambda\, du} \left(\frac{dp}{du} + \frac{d\rho}{dv}\right)
  + \lambda^2 p = 0, \\
%
\frac{d^2p}{dv^2}
  - \frac{d^2\rho}{du\, dv}
  + \frac{d\lambda}{\lambda\, du} \left(\frac{dp}{du} + \frac{d\rho}{dv}\right)
  - \frac{d\lambda}{\lambda\, dv} \left(\frac{dp}{dv} - \frac{d\rho}{du}\right)
  + \lambda^2 p = 0.
\end{aligned}\ \right\}
\Tag{45}
\]

Les valeurs des $\xi$, $\eta$ et le \Eqref{groupe}{45}, définissent, par rapport à la sphère
%% -----File: 096.png---Folio 90-------
de référence, la congruence isotrope la plus générale. Il s'agit d'exprimer
maintenant que l'élassoïde central a pour image sphérique le réseau isométrique
$(u, v)$.

On a
\[
1 = e^{-2i\theta} = \frac{dy}{dx}
  = \sqrt{\frac{\;\dfrac{da}{dx}\;}{\dfrac{db}{dy}}}.
\]
En outre, on sait d'avance que
\[
\rho + \frac{2}{\lambda^2}\, \frac{d^2p}{dx\, dy} = 0.
\Tag{46}
\]

Si l'on voulait simplement obtenir l'élassoïde satisfaisant, il faudrait intégrer~\Eqref{}{46}
et vérifier la condition
\[
  \frac{d}{dx} \left(\frac{d\rho}{\lambda^2\, dx}\right)
= \frac{d}{dy} \left(\frac{dp}{\lambda^2\, dy}\right)
\Tag{47}
\]
mais pour obtenir les congruences isotropes correspondantes, il faut vérifier
le \Eqref{groupe}{45}; celui-ci se transforme, en passant aux coordonnées symétriques
imaginaires, en un groupe qu'il s'agit de former: \Eqref{}{45}~peut s'écrire
\begin{gather*}
\frac{d^2\rho}{du^2}
  + \frac{d^2\rho}{dv^2}
  + 2\lambda^2\rho
  = \frac{d^2p}{du^2}
  + \frac{d^2p}{dv^2}
  + 2\lambda^2 p = 0, \\
%
\frac{1}{2} \left(\frac{d^2\rho}{dv^2} - \frac{d^2\rho}{du^2}\right)
  - \frac{d\lambda}{\lambda\, dv}  · \frac{d\rho}{dv}
  + \frac{d\lambda}{\lambda\, du}  · \frac{d\rho}{du}
  + \left[\frac{d^2p}{du\, dv}
        - \frac{d\lambda}{\lambda\, du}  · \frac{dp}{dv}
        - \frac{d\lambda}{\lambda\, dv}  · \frac{dp}{du}\right] = 0, \\
%
\frac{1}{2} \left(\frac{d^2p}{du^2} - \frac{d^2p}{dv^2}\right)
  - \frac{d\lambda}{\lambda\, du}  · \frac{dp}{du}
  + \frac{d\lambda}{\lambda\, dv}  · \frac{dp}{dv}
  + \left[\frac{d^2\rho}{du\, dv}
        - \frac{d\lambda}{\lambda\, du}  · \frac{d\rho}{dv}
        - \frac{d\lambda}{\lambda\, dv}  · \frac{d\rho}{du}\right] = 0.
\end{gather*}

Il vient, en passant aux coordonnées imaginaires
\begin{gather*}
  \frac{2}{\lambda^2}\, \frac{d^2\rho}{dx\, dy} + \rho
= \frac{2}{\lambda^2}\, \frac{d^2p}{dx\, dy} + p = 0, \\[2ex]
%
\begin{aligned}
-\frac{1}{2} \left(\frac{d^2\rho}{dx^2} + \frac{d^2\rho}{dy^2}\right)
 &+ \frac{d\lambda}{\lambda\, dx}  · \frac{d\rho}{dx}
  + \frac{d\lambda}{\lambda\, dy}  · \frac{d\rho}{dy} \\
 &+ i\left[\frac{1}{2} \left(\frac{d^2p}{dx^2} - \frac{d^2p}{dy^2}\right)
         - \frac{d\lambda}{\lambda\, dx}  · \frac{dp}{dx}
         + \frac{d\lambda}{\lambda\, dy}  · \frac{dp}{dy}\right] = 0, \\[2ex]
%
+\frac{1}{2} \left(\frac{d^2p}{dx^2} + \frac{d^2p}{dy^2}\right)
 &- \frac{d\lambda}{\lambda\, dx}  · \frac{dp}{dx}
  - \frac{d\lambda}{\lambda\, dy}  · \frac{dp}{dy} \\
 &+ i\left[\frac{1}{2} \left(\frac{d^2\rho}{dx^2} - \frac{d^2\rho}{dy^2}\right)
         - \frac{d\lambda}{\lambda\, dx}  · \frac{d\rho}{dx}
         + \frac{d\lambda}{\lambda\, dy}  · \frac{d\rho}{dy}\right] = 0,
% [** PP: d^2 p/dx^2 -> d^2 \rho/dx^2]
\end{aligned}
\end{gather*}
%% -----File: 097.png---Folio 91-------
on en déduit
\[
\left.
\begin{aligned}
\frac{d^2p}{dx^2} + i\frac{d^2\rho}{dx^2}
  - 2\frac{d\lambda}{\lambda\, dx} \left(\frac{dp}{dx} + i\frac{d\rho}{dx}\right) &= 0 \\
%
\frac{d^2p}{dy^2} - i\frac{d^2\rho}{dy^2}
  - 2\frac{d\lambda}{\lambda\, dy} \left(\frac{dp}{dy} - i\frac{d\rho}{dy}\right) &= 0 \\
%
\rho + \frac{2}{\lambda^2}\, \frac{d^2\rho}{dx\, dy}
  = p + \frac{2}{\lambda^2}\, \frac{d^2p}{dx\, dy} &= 0
\end{aligned}\ \right\}
\Tag{48}
\]

Ces quatre équations à elles seules régissent le problème des congruences
isotropes.

Comme cela devait être, (46) est vérifiée, ce qui démontre une fois de plus
le théorème fondamental.

L'\Eqref{équation}{47}, exprimant la coïncidence de l'image sphérique des lignes
de courbure de l'élassoïde moyen et du réseau isométrique pris pour origine,
devient, développée,
\[
\frac{1}{2} \left(\frac{d^2\rho}{dx^2} - \frac{d^2\rho}{dy^2}\right)
  - \frac{d\lambda}{\lambda\, dx}  · \frac{d\rho}{dx}
  + \frac{d\lambda}{\lambda\, dy}  · \frac{d\rho}{dy} = 0
\Tag{49}
\]
on voit qu'elle entraîne
\[
\frac{1}{2} \left(\frac{d^2p}{dx^2} + \frac{d^2p}{dy^2}\right)
  - \frac{d\lambda}{\lambda\, dx}  · \frac{dp}{dx}
  - \frac{d\lambda}{\lambda\, dy}  · \frac{dp}{dy} = 0. % [**PP: Added .]
\Tag{50}
\]

Ainsi se trouve préparé le problème que nous avons en vue. Quant à
l'intégration, elle ne présente pas de nouvelles difficultés:

Remplaçons $\lambda^2$ par~$D$, nous aurons:

\primo~Pour ce qui concerne~$\rho$
\begin{gather*}
\frac{D\rho}{2} + \frac{d^2\rho}{dx\, dy} = 0, \\
\frac{d^2\rho}{dx^2} - \frac{d^2\rho}{dy^2}
  - \frac{dD}{D\, dx}  · \frac{d\rho}{dx}
  + \frac{dD}{D\, dy}  · \frac{d\rho}{dy} = 0.
\end{gather*}

Comme
\[
D = -\frac{4X'Y'}{(X+Y)^2},
\]
on doit avoir
\[
\rho = \frac{X'_1}{X'} + \frac{Y'_1}{Y'}
  - 2 \frac{X_1 + Y_1}{X + Y}.
\]
%% -----File: 098.png---Folio 92-------
Mais alors
\begin{align*}
\frac{d^2\rho}{dx^2} - \frac{dD}{D\, dx}  · \frac{d\rho}{dx}
  &= \left(\frac{X'_1}{X'}\right)''
   - \left(\frac{X'_1}{X'}\right)' \left(\frac{X''}{X'}\right), \\
%
\frac{d^2\rho}{dy^2} - \frac{dD}{D\, dy}  · \frac{d\rho}{dy}
  &= \left(\frac{Y'_1}{Y'}\right)''
   - \left(\frac{Y'_1}{Y'}\right)' \left(\frac{Y''}{Y'}\right).
\end{align*}
Par conséquent, l'\Eqref{équation}{49} ne peut être vérifiée que si
\[
\left(\frac{X'_1}{X'}\right)''
  - \left(\frac{X'_1}{X'}\right)' \left(\frac{X''}{X'}\right)
  = K
  = \left(\frac{Y'_1}{Y'}\right)''
  - \left(\frac{Y'_1}{Y'}\right)' \left(\frac{Y''}{Y'}\right),
\]
où $K$ désigne une constante arbitraire.

On conclut facilement de ce qui précède
\begin{align*}
X_1 &= \int X'\, dx \int X'\, dx \int \frac{K\, dx}{X'} + aX^2  + bX  + c, \\
Y_1 &= \int Y'\, dy \int Y'\, dy \int \frac{K\, dy}{Y'} + a'Y^2 + b'Y + c'.
\end{align*}

\secundo~En ce qui concerne~$p$, on trouverait semblablement
\[
p = \frac{X'_2}{X'} + \frac{Y'_2}{Y'}
  - 2\frac{(X_2 + Y_2)}{X + Y}, %[** PP: Typo in numerator X_2 -> Y_2]
\]
avec
\begin{align*}
X_2 &= -i \int X'\, dx \int X'\, dx \int \frac{K\, dx}{X'} + a_1X^2 + b_1X + c_1, \\
Y_2 &= +i \int Y'\, dy \int Y'\, dy \int \frac{K\, dy}{Y'} + a'_1Y^2 + b'_1Y + c'_1.
\end{align*}

On voit ainsi que
\begin{align*}
X_2 &= -iX_1 + \alpha  X^2 + \beta  X + \gamma, \\
Y_2 &= +iY_1 + \alpha' Y^2 + \beta' Y + \gamma'.
\end{align*}

Les élassoïdes ainsi trouvés sont en nombre infini, mais il est facile de voir
que la variation de la constante~$k$ donne des élassoïdes homothétiques par
rapport au centre de la sphère de référence, et que les variations des
constantes $a$, $b$, $c$, $a'$, $b'$, $c'$ donnent lieu à des élassoïdes déplacés dans
l'espace, parallèlement à eux-mêmes.

%% -----File: 099.png---Folio 93-------

Considérons, en effet, l'expression du carré de l'élément linéaire de
l'élassoïde, il a pour valeur, d'après~\Eqref{}{39}
\[
\frac{dS^2}{\lambda^2}
  = 4dx · dy\, \frac{1}{\lambda^2}
    \left[\frac{d^2\rho}{dx^2} - \frac{dD}{D\, dx}  · \frac{d\rho}{dx}\right]
    \frac{1}{\lambda^2}
    \left[\frac{d^2\rho}{dy^2} - \frac{dD}{D\, dy}  · \frac{d\rho}{dy}\right];
\]
soit, à raison de ce qui a été dit ci-dessus,
\[
dS^2 = \frac{4K^2  · dx  · dy}{\lambda^2}.
\]

Les constantes $a, b, c, a', b', c'$ ne jouent aucun rôle et $k$ n'a d'autre
effet que de rendre proportionnels tous les éléments correspondants des
élassoïdes satisfaisants.

Or, les éléments des lignes de courbure parallèles à ceux des courbes
$(u)$ et~$(v)$ conservent des directions invariables, quelles que soient les variations
des constantes; conséquemment tous les élassoïdes satisfaisants sont
identiques ou homothétiques.


\Section{65.}
{Remarque au sujet de l'expression des paramètres des congruences isotropes
déduites de réseaux sphériques isométriques.}

On n'est pas sans avoir constaté la symétrie remarquable qui lie dans tous
les calculs de ce chapitre les \emph{paramètres} d'une congruence isotrope et les
\emph{distances du centre de la sphère de référence aux plans moyens}; nous
avons à dessein réservé, pour les grouper, les remarques se présentant à
chaque pas et qui mettaient naturellement sur la voie d'une très-importante
propriété des élassoïdes, de celle qui va nous permettre bientôt de résoudre
le problème de Björling; nous voulons parler de la coexistence des \emph{élassoïdes
conjugués}, signalée pour la première fois par M.~Ossian Bonnet.

\TbEoC

%% -----File: 100.png---Folio 94-------


\Chapter{X.}
{ÉLASSOÏDES CONJUGUÉS; ÉLASSOÏDES STRATIFIÉS.}

\Section{66.}
{Construction des élassoïdes conjugués à l'aide de la représentation sphérique.
Les lignes de courbure de l'un correspondent aux lignes asymptotiques
de l'autre.}

Du \Secref{63} il résulte que, si l'on porte sur les tangentes $OX$, $OY$ des courbes
$(v)$ et~$(u)$ d'un réseau isométrique se coupant en~$O$ (point de la sphère) des
longueurs $OA$ et~$OB$ égales au~$\lambda$ du réseau, les droites menées par les extrémités
parallèlement au rayon de la sphère engendrent des congruences isotropes;
les \emph{élassoïdes moyens} de ces congruences sont applicables l'un sur
l'autre; de plus, les images sphériques des lignes de courbure de ces élassoïdes
se coupent sous un angle égal à~$\frac{\pi}{4}$.

\emph{L'image sphérique des lignes de courbure de l'un des élassoïdes est l'image
sphérique des lignes asymptotiques de l'autre} (puisque \primo~les asymptotiques
d'un élassoïde coupent sous un angle égal à~$\frac{\pi}{4}$ les lignes de courbure et que
\secundo~les angles sont conservés dans la correspondance de l'élassoïde %[** PP: Typo élassoide]
et de la
sphère).

Nous dirons que \emph{les deux élassoïdes correspondant ainsi à deux directions
rectangulaires isométriques sont conjugués. Tous les élassoïdes groupés
s'accouplent en élassoïdes conjugués}.

%% -----File: 101.png---Folio 95-------

Mais les calculs du \Secref{28} ayant montré que, si l'on prend une congruence
isotrope arbitraire~$(D)$, on peut toujours tracer sur une sphère donnée un
réseau isométrique tel que les normales à la sphère soient parallèles aux
droites de la congruence et que les tangentes aux courbes de l'une des
familles du réseau rencontrent toujours les droites~$D$, on est en droit
d'énoncer cette nouvelle proposition:


\Section{67.}
{Étant donnée une congruence isotrope définissant un élassoïde moyen, construire
une congruence isotrope donnant lieu à l'élassoïde conjugué.}

\begin{Emph}
Si l'on fait tourner, de~$\frac{\pi}{2}$, autour d'un point fixe~$O$ les droites~$D$ d'une
congruence isotrope, de telle façon que les nouvelles droites soient parallèles
aux premières, on engendre une seconde congruence isotrope; les deux
élassoïdes moyens de ces congruences sont conjugués.
\end{Emph}

Désignons uniformément par~$\rho_D$ la distance du centre de la sphère de
référence au plan tangent de l'élassoïde moyen de la congruence~$(D)$ et par
$p_D$ le paramètre de cette congruence, on a d'après les calculs du \Secref{28}:
\begin{align*}
p_D &= \rho_{D'} = \frac{d\lambda}{\lambda\, dv}, \\
\rho_D &= p_{D'} = \frac{d\lambda}{\lambda\, du}.
\end{align*}


\Section{68.}
{Aux courbes lieux des centres de courbure d'une courbe double de congruence
isotrope correspondent sur l'élassoïde conjugué les courbes de
contact de cônes.}

On peut, de ces relations, déduire un fait assez important. Nous avons
montré (\Secref{41}) que \emph{l'on peut tracer sur un élassoïde une $\infty^3$ de lignes, lieux % [** Italics continue]
%% -----File: 102.png---Folio 96-------
des centres de courbure des lignes doubles des développables isotropes focales
des congruences isotropes satisfaisantes; le long de ces courbes le paramètre
est nul}. Ce qui précède montre que \emph{ces courbes ont pour transformées, sur
l'élassoïde conjugué, les courbes de contact des cônes ayant pour sommets
tous les points de l'espace}. En effet $p_D$ ne peut s'annuler sans~$\rho_{D'}$, par conséquent,
les plans tangents à l'élassoïde conjugué le long de l'une des courbes
transformées passent par le centre de la sphère de référence\footnotemark.
\footnotetext{Ce centre peut effectivement coïncider avec un point quelconque de l'espace.}

Ce résultat peut encore se généraliser en considérant les courbes le long
desquelles $p_D$ ou~$\rho_{D'}$ sont constants; elles sont sur le premier élassoïde les
trajectoires des droites, telles que~$OM$; sur l'élassoïde conjugué ce sont les
courbes de contact de développables circonscrites à l'élassoïde et à des
sphères.

Si l'on fait tourner les droites~$D$ d'une congruence isotrope autour de tous
les points de l'espace, de la manière indiquée ci-dessus, on obtiendra toutes
les congruences isotropes satisfaisantes relatives à l'élassoïde conjugué. La
question a pourtant besoin d'être approfondie, car on peut se demander
quelles positions occupent dans l'espace les divers élassoïdes moyens des
congruences isotropes dérivées des congruences relatives à un même élassoïde
moyen choisi à priori. Le calcul nous amènera d'ailleurs à rencontrer
la propriété capitale, qui domine la théorie des élassoïdes conjugués.

Reprenons pour surface de référence l'élassoïde moyen d'une congruence
isotrope et pour réseau $(u, v)$ celui des asymptotiques. Soit~$D$ la droite
instantanée d'une congruence isotrope~$(D)$ et $P$ un point fixe de l'espace.
Je dis que, si à partir de ce point fixe, on porte sur des parallèles aux normales
de l'élassoïde des longueurs égales aux paramètres des diverses congruences
isotropes satisfaisantes, les plans perpendiculaires aux normales et
passant par les extrémités de ces segments touchent des surfaces identiques.
Cette propriété résulte déjà de la transformation indiquée au \Secref{34}, mais
établissons-la différemment.

%% -----File: 103.png---Folio 97-------

\Section{69.}
{Toutes les congruences isotropes conjuguées des congruences engendrant le
même élassoïde moyen donnent lieu au même élassoïde moyen conjugué % [** PP: Typo élassoide]
du précédent.}

Les coordonnées instantanées de la droite~$D$ sont
\[
\xi  =  D^{-\frac{1}{2}} \frac{dp}{du},\quad
\eta = -D^{-\frac{1}{2}} \frac{dp}{dv},
\]
$p$ satisfaisant aux équations du \Eqref{groupe}{10}.

Soient d'un autre côté $\xi, \eta, \zeta$, les coordonnées instantanées du point fixe~$P$,
écrivant que les $\Delta X, \Delta Y, \Delta Z$ du point~$P$ sont nuls, quels que soient $du$ et~$dv$,
on obtient le groupe canonique
\[
\left.
\begin{gathered}
\xi_1  = -D^{-\frac{1}{2}} \frac{d\zeta_1}{dv},\quad
\eta_1 = -D^{-\frac{1}{2}} \frac{d\zeta_1}{du} \\
%
\frac{d^2\zeta_1}{du\, dv}
  - \frac{1}{2D}\, \frac{dD}{du}\, \frac{d\zeta_1}{dv}
  - \frac{1}{2D}\, \frac{dD}{dv}\, \frac{d\zeta_1}{du} - 1 = 0 \\
%
\frac{d^2\zeta_1}{du^2} + D\zeta_1
  = \frac{1}{2D}\, \frac{dD}{du}\, \frac{d\zeta_1}{du}
  - \frac{1}{2D}\, \frac{dD}{dv}\, \frac{d\zeta_1}{dv}
  = -\frac{d^2\zeta_1}{dv^2} - D\zeta_1
\end{gathered}\ \right\}
\Tag{51}
\]

Portons sur $\zeta_1$, à partir de~$P$, une longueur égale au paramètre~$p$ et par
le point obtenu menons un plan parallèle à~$XOY$, nous savons qu'il touchera
l'élassoïde conjugué de~$(O)$; soit~$Z$ la distance de ce plan à~$XOY$, on aura
\[
Z = \zeta_1 - p.
\]
Combinant les \Eqref{groupes}{10} et~\Eqref{}{51}, on trouve que $Z$ satisfait au nouveau
groupe:
\[
\left.
\begin{gathered}
\frac{d^2 Z}{du\, dv}
  - \frac{dD}{2D\, dv}\, \frac{dZ}{du}
  - \frac{dD}{2D\, du}\, \frac{dZ}{dv} - 1 = 0, \\
%
\frac{d^2 Z}{du^2} + DZ - 1
  = \frac{dD}{2D\, du}\Reg{·}{\,} \frac{dZ}{du}
  - \frac{dD}{2D\, dv}\, \frac{dZ}{dv}
  = -\frac{d^2 Z}{dv^2} - DZ - 1.
\end{gathered}\ \right\}
\Tag{52}
\]
%% -----File: 104.png---Folio 98-------
Quant aux coordonnées instantanées du point de contact, écrivant que le $\Delta Z$
est constamment nul, on trouve
\[
  \xi'   = -D^{-\frac{1}{2}} \frac{dZ}{dv},\quad
  \eta'  = -D^{-\frac{1}{2}} \frac{dZ}{du},\quad
  \zeta' = Z.
\]

Calculons les valeurs de $\Delta X$, $\Delta Y$, $\Delta Z$ du point de contact, correspondant
sur l'élassoïde conjugué de~$(O)$ au point~$O$.

En opérant comme d'habitude, et tenant compte du \Eqref{groupe}{52}, on voit
que
\[ % [** PP: Added punctuation]
\left.
\begin{aligned}
  \Delta X &= D^{-\frac{1}{2}}\, dv, \\
  \Delta Y &=-D^{-\frac{1}{2}}\, du, \\
  \Delta Z &= 0.
\end{aligned}\ \right\}
\Tag{53}
\]

La première conséquence à tirer est que ces éléments seront les mêmes,
quelle que soit la valeur de~$p$ employée; on est donc en droit de dire que
toutes les surfaces obtenues comme enveloppées des plans situés aux distances
d'un point fixe, marquées par les différentes valeurs du \emph{paramètre},
sont \emph{identiques} et même simplement déplacées parallèlement à elles-mêmes
dans l'espace.

Désignons dorénavant par~$(O')$ l'élassoïde conjugué de~$(O)$. Élevant au
carré les valeurs des $\Delta X$, $\Delta Y$, et ajoutant, on vérifie de nouveau que les
élassoïdes conjugués sont applicables l'un sur l'autre.


\Section{70.}
{Deux élassoïdes conjugués se correspondent par orthogonalité des éléments.}

Mais le \Eqref{groupe}{53} met en relief un résultat beaucoup plus important,
à savoir que \emph{les élassoïdes conjugués~$(O)$ et~$(O')$ se correspondent par orthogonalité
des éléments}.

%% -----File: 105.png---Folio 99-------

Il suffit pour le démontrer de mettre en regard les $\Delta X$, $\Delta Y$, $\Delta Z$ des points
$O$ et~$O'$.
\begin{align*}
&\qquad\textsc{\footnotesize sur}~(O)  &
&\qquad\textsc{\footnotesize sur}~(O') \\
%
&\left.
\begin{aligned}
\Delta X &= D^{-\frac{1}{2}}\, du \\
\Delta Y &= D^{-\frac{1}{2}}\, dv
\end{aligned}\ \right\}\quad \Delta Z = 0, & % "top-level" alignment stop
%
&\left.
\begin{aligned}
\Delta X' &= \phantom{-}D^{-\frac{1}{2}}\, dv \\
\Delta Y' &=           -D^{-\frac{1}{2}}\, du
\end{aligned}\ \right\}\quad \Delta Z' = 0.
\end{align*}
On a donc bien, identiquement, quels que soient $du$ et~$dv$:
\[ % [** PP: Changed . to ·]
  \Delta X · \Delta X'
+ \Delta Y · \Delta Y'
+ \Delta Z · \Delta Z' = 0.
\]

Ainsi peut-on énoncer ce théorème:

\begin{Emph}
A tout élassoïde en correspond un autre, \primo~par le parallélisme des plans
tangents; \secundo~par égalité des éléments; et, \tertio~par orthogonalité de ces mêmes
éléments.
\end{Emph}

Nous montrerons tout à l'heure dans quelles conditions de généralité a lieu
la réciproque.


\Section{71.}
{Deux segments relatifs aux élassoïdes conjugués sont, en tous points
correspondants, égaux et rectangulaires.}

On peut encore déduire des calculs qui précèdent un résultat intéressant:

Joignons dans le plan tangent à l'élassoïde~$(O)$ le point~$O$ au point~$M$ de
la droite~$D$, appartenant à la congruence isotrope.

Semblablement, dans le plan tangent à l'élassoïde~$(O')$, joignons le point
$O'$ au point~$N$, pied de la perpendiculaire abaissée du point fixe~$P$ sur le
plan tangent considéré.

Je dis que \emph{les segments $OM$ et~$O'N$ sont égaux et rectangulaires}.

Formons en effet le tableau des coordonnées instantanées des différents
%% -----File: 106.png---Folio 100-------
points de la figure:
\[
\overbrace{
\begin{aligned}
\xi_O  &= 0, \vphantom{\Bigg|} \\
\eta_O &= 0, \vphantom{\Bigg|}
\end{aligned}}^{\textsc{point}~O}
\quad
\overbrace{
\begin{aligned}
\xi_M  &= \phantom{-}D^{-\frac{1}{2}}\, \frac{dp}{du},\vphantom{\Bigg|} \\
\eta_M &=           -D^{-\frac{1}{2}}\, \frac{dp}{dv},\vphantom{\Bigg|}
\end{aligned}}^{\textsc{point}~M}
\quad
\overbrace{
\begin{aligned}
\xi_N  &= -D^{-\frac{1}{2}} \frac{d\zeta_1}{dv},\vphantom{\Bigg|} \\
\eta_N &= -D^{-\frac{1}{2}} \frac{d\zeta_1}{du},\vphantom{\Bigg|}
\end{aligned}}^{\textsc{point}~N}
\quad
\overbrace{
\begin{aligned}
\xi_{O'}  &= -D^{-\frac{1}{2}}
   \left(\frac{d\zeta_1}{dv} - \frac{dp}{dv}\right),\vphantom{\Bigg|} \\
\eta_{O'} &= -D^{-\frac{1}{2}}
   \left(\frac{d\zeta_1}{du} - \frac{dp}{du}\right);\vphantom{\Bigg|}
\end{aligned}}^{\textsc{point}~O'}
\]
il en résulte
\begin{align*}
\xi_{O'}  &= \xi_N  - \eta_M, \\
\eta_{O'} &= \eta_N + \xi_M,
\end{align*}
ce qui démontre la proposition annoncée.


\Section{72.}
{Construction ponctuelle simultanée des élassoïdes conjugués
et des élassoïdes stratifiés.}

Nous allons déduire de nos calculs \emph{la construction ponctuelle simultanée
des élassoïdes conjugués}.

Dans l'ordre d'idées énoncées au \Secref{46}, on peut manifestement déduire des
surfaces~$(O)$ et~$(O')$ deux familles de surfaces applicables par couples les
unes sur les autres.

Considérons en effet les surfaces $(O)$ et~$(O')$ simplement comme deux surfaces
applicables l'une sur l'autre; joignons à chaque instant les points~$O$
et~$O'$, prenons les points $m$ milieux des segments; puis, portons de part et
d'autre sur~$OO'$ deux segments $mO_1$ et~$m{O'}_1$ égaux à~$mO$ multiplié par une
constante~$k$, il est visible que les surfaces, lieux des points~$O_1$ et~$O_2$, sont
encore applicables l'une sur l'autre.

Comme les surfaces $(O)$ et~$(O')$ ont leurs plans tangents parallèles, ces
plans seront aussi parallèles aux plans tangents des surfaces $(m)$, $(O_1)$,~$({O'}_1)$.

%% -----File: 107.png---Folio 101-------

\Section{73.}
{Seconde famille d'élassoïdes stratifiés.}

Les considérations du \hyperref[chapter:III.]{chapitre~III} montrent même que toutes ces surfaces
sont des élassoïdes.

Considérons maintenant les surfaces $(O)$ et~$(O')$ comme correspondantes
par orthogonalité de leurs éléments. Prenons en outre un point fixe arbitraire~$P$
dans l'espace. D'après la remarque du \Secref{46}, si l'on joint à chaque instant
le point~$P$ au point~$O'$, puis, que de part et d'autre du point~$O$ on porte
parallèlement à~$PO'$ des segments $OC$ et~$OC'$ égaux au produit de $PO'$ par
une constante~$k$, on obtiendra deux surfaces $(C)$ et~$(C')$ applicables l'une sur
l'autre.

En donnant à~$k$ toutes les valeurs, on obtiendra une famille de surfaces
applicables par couples, surfaces qui sont visiblement des élassoïdes.

Les deux familles ainsi obtenues ne sont pas identiques. C'est ce qui
résultera de l'étude que nous allons en faire.

Commençons par la famille dont les élassoïdes conjugués $(O)$ et~$(O')$ font
partie.


\Section{74.}
{Les élassoïdes de la première famille sont tous applicables sur des élassoïdes
homothétiques à l'un d'entre eux.}

D'après le tableau de coordonnées du \Secref{71}, on obtient immédiatement
les coordonnées instantanées des points~$O_1$ et~${O'}_1$; calculons les valeurs des
$\Delta X$, $\Delta Y$, $\Delta Z$ de ces points: on a manifestement, pour les~$\Delta X$, par exemple,
\begin{align*}
\Delta X_{O'_1} &= \Delta X_{O'} \frac{(1+K)}{2} + \Delta X_O \frac{(1-K)}{2}, \\
\Delta X_{O_1}  &= \Delta X_{O'} \frac{(1-K)}{2} + \Delta X_O \frac{(1+K)}{2},
\end{align*}
%% -----File: 108.png---Folio 102-------
d'où l'on conclut:
\begin{align*}
\Delta X_{O'_1}
  &= \mSmall{\frac{D^{-\frac{1}{2}}}{2}} \bigl[dv(1+K) + du(1-K)\bigr], &
\Delta Y_{O'_1}
  &= \mSmall{\frac{D^{-\frac{1}{2}}}{2}} \bigl[-du(1+K) + dv(1-K)\bigr], \\
%
\Delta X_{O_1}
  &= \mSmall{\frac{D^{-\frac{1}{2}}}{2}} \bigl[dv(1-K) + du(1+K)\bigr], &
\Delta Y_{O_1}
  &= \mSmall{\frac{D^{-\frac{1}{2}}}{2}} \bigl[-du(1-K) + dv(1+K)\bigr].
\end{align*}
On en déduit, pour les carrés des éléments linéaires des surfaces $(O_1)$ et~$(O'_1)$:
\[
\overline{dS}_{O_1}^2 = \overline{dS}_{O'_1}^2
  = \frac{D^{-1}}{2} (1 + K^2)(du^2 + dv^2).
\]

Ainsi les deux surfaces $(O_1)$ et~$(O'_1)$ sont applicables l'une sur l'autre, et,
\textit{toutes les surfaces analogues de la famille, convenablement réduites par
homothétie, sont applicables les unes sur les autres}.


\Section{75.}
{Une famille d'élassoïdes stratifiés comprend toujours
deux développables isotropes.}

Mais le fait important à déduire vient de ce que, si
\[
K = ±\sqrt{-1},
\]
le carré de l'élément linéaire s'annule.

Dans cette hypothèse, les $\Delta X$, $\Delta Y$ ne s'annulent pas, bien que le $\overline{dS}^2$ se
réduise à zéro. Dès lors les surfaces $(O_1)$ et~$(O'_1)$ se réduisent à deux courbes
de longueur nulle. D'où cette proposition décisive:

\begin{Emph}
Soient $(O)$ et~$(O')$ deux élassoïdes conjugués; joignez, à chaque instant,
les points correspondants $O$ et~$O'$; portez de part et d'autre des milieux~$m$
de ces segments, et sur leurs directions, des longueurs égales entre elles et
au produit par $\sqrt{-1}$ du demi-segment~$OO'$; les lieux des extrémités des
segments imaginaires, ainsi construits, sont des lignes de longueur nulle.
\end{Emph}

%% -----File: 109.png---Folio 103-------

\Section{76.}
{Les élassoïdes de la seconde famille sont également stratifiés.}

Occupons-nous maintenant de la seconde famille: comme les plans tangents
sont parallèles, aux points correspondants des surfaces de la famille, il
résulte de la construction même que leurs distances aux plans tangents de
l'élassoïde~$(O)$ sont marquées par la valeur du produit de~$p$ (paramètre de
la congruence isotrope originelle) par la constante~$K$.

On est donc en droit d'énoncer cette proposition:

\begin{Emph}
Les plans parallèles au plan moyen d'une congruence isotrope et distants
de ce plan de quantités proportionnelles au paramètre de la congruence, ont
pour enveloppées des surfaces applicables par couples les unes sur les autres.
\end{Emph}

Mais nous avons montré au \Secref{38} que les plans distants du plan moyen de
quantités égales à $p\sqrt{-1}$ ont pour enveloppées les lignes isotropes, arêtes
de rebroussement des développables focales de la congruence.

On voit par conséquent que les deux familles de surfaces auxquelles nous
avons été conduit, sans être identiques [puisque la seconde ne contient pas
l'élassoïde~$(O')$], répondent à une même définition: \textit{ce sont toujours des
familles d'élassoïdes obtenus en divisant par segments proportionnels les
cordes s'appuyant à leurs extrémités sur deux lignes de longueur nulle}.

Mais il faut se souvenir que nous avons déjà déduit des réseaux isométriques
trajectoires les uns des autres une famille d'élassoïdes groupés, tous
applicables sur l'un d'entre eux.


\Section{77.}
{Les familles d'élassoïdes groupés et stratifiés sont composées
de surfaces semblables.}

Nous montrerons que les diverses familles se composent d'élassoïdes identiques
ou semblables, de famille à famille, non identiques ni semblables, dans
%% -----File: 110.png---Folio 104-------
chaque famille, en établissant que les images sphériques des lignes de courbure
de ces diverses surfaces sont, dans tous les cas, trajectoires (sous des
angles constants) les unes des autres.

Nous vérifierons en même temps (ce qui a  été prouvé jusqu'à présent,
seulement, par les considérations directes du chapitre second) que toutes les
surfaces des familles sont élassoïdes.

Portons, sur la droite instantanée~$D$ d'une congruence isotrope, dont~$(O)$
est l'élassoïde moyen, un segment~$MA$ égal au produit du paramètre~$p$ par
une constante $k$. Sur chaque surface élémentaire de la congruence les plans
tangents en~$M$ et~$A$ feront entre eux un angle~$\omega$ dont la tangente sera égale
à~$K$; il est donc naturel de remplacer~$k$ par~$\tg \omega$.

Une surface de la famille que nous voulons étudier est touchée par le plan
contenant~$A$ et parallèle au plan~$XOY$; cette surface est donc enveloppée par
le plan dont l'équation instantanée est
\[
Z - p \tg \omega = 0.
\]
On cherchera comme d'habitude la caractéristique de ce plan et l'on trouvera
pour les coordonnées instantanées du point de contact:
\begin{gather*}
\xi  = -KD^{-\frac{1}{2}} \frac{dp}{dv},\quad
\eta = -KD^{-\frac{1}{2}} \frac{dp}{du}. \\
\zeta = Kp.
\end{gather*}
On trouve ensuite pour les $\Delta X$, $\Delta Y$, $\Delta Z$ du point de contact:
\begin{align*} % [** F1: Aligning on = instead of centering]
\Delta X &= D^{-\frac{1}{2}}(du - k\, dv), \\
\Delta Y &= D^{-\frac{1}{2}}(dv + k\, du), \\
\Delta Z &= 0,
\end{align*}
par conséquent,
\[
dS^2 = D^{-1}(du^2 + dv^2)(1 + k^2)
     = \frac{dS_O^2}{\cos^2\omega}.
\]
Ainsi l'enveloppée du plan considéré a ses éléments proportionnels à ceux
de~$(O)$.

%% -----File: 111.png---Folio 105-------

Nous suivrons sur $(O)$ l'image d'une ligne de courbure de la surface considérée,
si le déplacement du point de contact est perpendiculaire à la caractéristique
du plan~$P$. Ayant les équations de la caractéristique:
\begin{gather*}
Z - Kp = 0, \\
D^{-\frac{1}{2}} (X\, dv + Y\, du)
  + K \left(\frac{dp}{du}\, du + \frac{dp}{dv}\, dv\right) = 0,
\end{gather*}
et les $\Delta X$, $\Delta Y$, $\Delta Z$, rien de plus facile que de trouver la condition:
\[
\frac{dv}{du} = -K ± \sqrt{1 + K^2}
  = \left\{
    \begin{array}{c}
      \tg \left(\dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\omega}{2}\right), \\[1ex]
      \text{ou} \\[1ex]
      \tg \left(\dfrac{3\pi}{4} - \dfrac{\omega}{2}\right).
    \end{array}
    \right.
\]
Mais si $\varphi$ désigne l'angle que l'image de la ligne de courbure de~$(P)$ sur~$(O)$
fait avec une ligne de courbure de~$(O)$, on a:
\[
\frac{dv}{du} = \tg \left(\frac{\pi}{4} + \varphi\right),
\]
puisque les lignes de courbure de~$(O)$ sont bissectrices des angles des axes.
En conséquence, on trouve, en valeur absolue:
\[
\varphi = \frac{\omega}{2}.
\]

Exprimons, au contraire, que le déplacement du point de contact a lieu
suivant la caractéristique, nous obtiendrons ainsi l'équation différentielle des
images sur~$(O)$ des lignes asymptotiques de la surface~$(P)$. On vérifie que les
directions obtenues sont rectangulaires.

%% -----File: 112.png---Folio 106-------

\Section{78.}
{Construction d'une famille d'élassoïdes stratifiés dérivés d'une congruence
isotrope déterminée.}

Combinant ces résultats avec les remarques suivantes:

\primo~Que les images sur un élassoïde et sur la sphère donnent des angles
correspondants égaux;

\secundo~Qu'en général les lignes asymptotiques d'une surface correspondent
par orthogonalité des éléments à leur image sphérique, nous serons en
droit de dire:

\begin{Emph}
Les enveloppées des plans tels que~$P$, distants, du plan moyen de la congruence
isotrope, de quantités proportionnelles au paramètre, sont des élassoïdes
applicables après réduction par homothétie. Sur l'élassoïde moyen ou
sur la sphère, les images de leurs lignes de courbure sont trajectoires, sous
des angles constants, des lignes de courbure de l'élassoïde moyen, ou de
leurs images sphériques.
\end{Emph}

On vérifie à l'aide des $\Delta X$, $\Delta Y$, $\Delta Z$ du point de contact:

\primo~\textit{Que deux des plans~$P$, également distants du plan moyen, touchent
deux élassoïdes applicables l'un sur l'autre sans réduction par homothétie;}

\secundo~\textit{Que parmi les surfaces analogues à~$(P)$, il en existe seulement deux
se correspondant par orthogonalité des éléments; elles sont obtenues en égalant
à l'unité la constante~$k$.}


\Section{79.}
{Caractères distinctifs des familles d'élassoïdes groupés et stratifiés.}

En résumé, il n'y a, en réalité, que deux familles d'élassoïdes distinctes
parmi les trois, primitivement envisagées.

La première famille, déduite d'un réseau isométrique sphérique, comprend
%% -----File: 113.png---Folio 107-------
des élassoïdes tous applicables les uns sur les autres, ce sont les \emph{élassoïdes
groupés}. A un point d'un élassoïde correspondent sur les autres élassoïdes
des points distribués sur une ellipse.

La seconde famille, déduite d'une congruence isotrope arbitraire, peut
être identifiée à la précédente en ce sens qu'elle peut être composée avec des
élassoïdes semblables à ceux de la première famille; mais \emph{il faudra toujours
en laisser un de côté}. Nous dirons (pour la distinguer) qu'elle est composée
d'\emph{élassoïdes stratifiés}.

Une famille d'\emph{élassoïdes groupés} se décompose d'une infinité de manières
en couples d'\emph{élassoïdes conjugués}.

Une famille d'\emph{élassoïdes stratifiés} ne comprend qu'\emph{un couple d'élassoïdes
conjugués}. Les points correspondants sont en ligne droite.

Enfin la seconde famille comprend toujours comme élassoïdes limites deux
développables isotropes; la première famille n'en contient jamais.


\Section{80.}
{Quand deux surfaces se correspondent avec réalisation de deux des trois
conditions: \primo~parallélisme des plans tangents; \secundo~égalité des éléments;
\tertio~orthogonalité des éléments, ce sont deux élassoïdes conjugués.}

Nous terminerons ce chapitre en recherchant s'il est d'autres surfaces que
les élassoïdes conjugués qui se correspondent par égalité et orthogonalité
des éléments, avec parallélisme des plans tangents.

Si l'on exige que les conditions soient réunies toutes les trois, il ne paraît
pas possible d'obtenir autre chose.

Si l'on n'exige que la réalisation de deux des conditions à la fois, on a trois
problèmes à résoudre:

\primo~Trouver les couples de surfaces se correspondant à la fois par le parallélisme
de leurs plans tangents et l'égalité de leurs éléments.

\secundo~Obtenir deux surfaces dont les plans tangents sont parallèles deux à
deux et dont les éléments correspondants sont rectangulaires.

%% -----File: 114.png---Folio 108-------

\tertio~Former les couples de surfaces se correspondant à la fois par égalité
et orthogonalité des éléments.

Le premier problème peut être ramené au second, car étant données deux
surfaces $(O)$ et~$(O')$ satisfaisantes, la surface~$(M)$, lieu des milieux des cordes $OO'$,
a ses plans tangents parallèles à ceux de $(O)$ et de~$(O')$; de ce que ces
dernières sont applicables l'une sur l'autre il résulte que, si, par un point fixe
de l'espace, on mène des rayons égaux et parallèles aux demi-segments~$OO'$,
la surface, lieu des extrémités des rayons~$(R)$, correspondra par orthogonalité
de ses éléments à~$(M)$. Il est en outre visible que les plans tangents
de~$(R)$ sont parallèles à ceux de~$(O)$, $(O')$ et de~$(M)$; donc les surfaces~$(M)$
et~$(R)$ donnent la solution du second problème.

Soient maintenant $(M)$ et~$(R)$ ces deux surfaces satisfaisantes. Considérons
une asymptotique de~$(M)$, son image sur~$(R)$, ainsi que sur la sphère~$(S)$.
Nous savons que l'asymptotique de~$(M)$ correspond par orthogonalité de ses
éléments à son image sphérique; il faut donc que celle-ci corresponde par
parallélisme d'éléments à l'image de l'asymptotique, sur~$(R)$; cette image est
donc une ligne de courbure. Ainsi les asymptotiques de~$(M)$ correspondent
aux lignes de courbure de~$(R)$ et réciproquement. Il faut en outre que les
images sphériques de ces lignes soient rectangulaires (en tant qu'images de
lignes de courbure). Il en résulte immédiatement que $(M)$ et~$(R)$ sont des
élassoïdes conjugués.

Reste donc à traiter le troisième problème: les éléments des deux surfaces
sont deux à deux égaux et rectangulaires. Considérons sur ces surfaces les
lignes de longueur nulle; elles se correspondent manifestement, comme étant
égales éléments à éléments, mais deux éléments correspondants ne peuvent
être rectangulaires sans que leurs tangentes isotropes rencontrent l'ombilicale
au même point; dès lors, si les lignes de longueur nulle sont distinctes sur
les deux surfaces, les plans tangents sont parallèles comme contenant deux
couples de droites isotropes parallèles.

Ainsi, dans tous les cas, on n'obtient que les élassoïdes conjugués.

%% -----File: 115.png---Folio 109-------

\Section{81.}
{Sur deux élassoïdes conjugués, de deux familles de courbes correspondantes
dérivent comme lignes conjuguées des lignes qui seraient orthogonales,
rapportées sur l'une des surfaces.}

Une conséquence intéressante de la propriété fondamentale des élassoïdes
conjugués doit être signalée.

Traçons sur $(O)$ une famille de courbes~$(u)$ et sur~$(O')$ les transformées
des courbes~$(v)$ trajectoires orthogonales des courbes~$(u)$, \emph{les courbes conjuguées
% **** des lignes?
de lignes~$(u)$ sur~$(O)$ et des transformées des~$(v)$ sur~$(O')$ se correspondent}.

Nous allons maintenant appliquer les résultats qui précèdent à la solution
géométrique du problème de Björling.

\TbEoC

%% -----File: 116.png---Folio 110-------


\Chapter{XI.}
{SOLUTION GÉOMÉTRIQUE DU PROBLÈME DE BJÖRLING.}

\Section{82.}
{Si on planifie deux développables circonscrites à deux élassoïdes conjugués
suivant deux contours correspondants, on peut superposer les transformées
de ces contours, et les transformées des génératrices seront des
droites deux à deux rectangulaires.}

Soient $(O)$ et~$(O')$ deux élassoïdes conjugués, considérons, sur ces surfaces,
deux contours correspondants $(C)$ et~$(C')$; aux points correspondants les
plans tangents sont parallèles et les développables circonscrites le long de~$(C)$
et de~$(C')$ aux élassoïdes, ont leurs génératrices parallèles.

D'un autre côté, puisque $(O)$ et~$(O')$ sont deux surfaces applicables l'une
sur l'autre, les \emph{courbures géodésiques} des courbes correspondantes $(C)$ et~$(C')$
sont égales, aux points correspondants.

\begin{Emph}
Si donc l'on étend les deux développables sur deux plans, les courbes~$(C)$
et~$(C')$ se transformeront en deux courbes $(v)$ et~$(v')$ dont les éléments et les
rayons de courbure seront égaux; conséquemment, les courbes $(v)$ et~$(v')$,
transformées, seront superposables. \emph{Effectuant la superposition, tous les
points correspondants des deux contours coïncideront;} quant aux transformées
rectilignes des génératrices des développables, elles seront deux à deux
rectangulaires.
\end{Emph}

%% -----File: 117.png---Folio 111-------

Ceci posé, proposons-nous de construire l'élassoïde inscrit à une développable
donnée $(\Delta)$ le long d'un contour déterminé $(C)$ (c'est-à-dire de résoudre
le problème de Björling). % [** PP: Added de]


\Section{83.}
{Construire un élassoïde inscrit dans une développable donnée le long
d'un contour déterminé {\upshape (\textsc{problème de björling}).}}

Les opérations à effectuer comportent trois degrés.

En premier lieu on déroulera $(\Delta)$ sur un plan et on tracera dans ce plan
les perpendiculaires aux transformées des génératrices de la développable
menées par les différents points du contour $(C)$ transformé. Les droites ainsi
obtenues peuvent être considérées comme les transformées de génératrices
d'une certaine développable $(\Delta')$ planifiée.

En second lieu on formera cette seconde développable $(\Delta')$ en lui donnant
même cône directeur qu'à~$(\Delta)$; et on lui assignera une telle position dans
l'espace, que les génératrices correspondantes des développables $(\Delta)$, $(\Delta')$
soient parallèles.

En troisième lieu on joindra les points correspondants des contours $(C)$
et~$(C')$ transformés; enfin, de part et d'autre des milieux des cordes, et
sur celle-ci, on parlera des longueurs égales aux produits des demi-cordes
par~$\sqrt{-1}$.

Les courbes imaginaires, lieux des extrémités des segments ainsi construits,
sont les lignes isotropes génératrices des deux élassoïdes.

Les deux premières séries d'opérations peuvent conduire à des résultats
non algébriques, la troisième série ne donne lieu qu'à des opérations algébriques.

Les deux premières séries n'entraînent que des opérations essentiellement
réelles, mais la troisième série introduit nécessairement des constructions
imaginaires.

%% -----File: 118.png---Folio 112-------

\Section{84.}
{Des contours conjugués.}

En résumé, \emph{si l'on veut construire un élassoïde passant par un contour
donné $(C)$, il faut tout d'abord construire un contour conjugué $(C')$ correspondant
au premier, par égalité et par orthogonalité des éléments}.

Ce résultat obtenu, des opérations, simplement algébriques, détermineront
les deux élassoïdes conjugués passant par les deux contours.

Nous avons montré par quelles opérations il faut passer pour obtenir le
contour $(C')$ conjugué de~$(C)$ lorsqu'on se donne la développable circonscrite
à l'élassoïde le long de~$(C)$, mais rien n'oblige à passer par l'intermédiaire
du problème de Björling, dans tous les cas. Il est bien clair que, si, par un
procédé quelconque, on a obtenu deux contours conjugués $(C)$ et~$(C')$, les
tangentes de ces contours en deux points correspondants, étant situées dans
deux plans tangents parallèles, déterminent ces plans eux-mêmes.


\Section{85.}
{Étant donnée une surface gauche, construire les contours conjugués
qu'elle détermine.}

Si l'on veut simplement obtenir des élassoïdes, sans s'assujettir à les faire
passer par un contour déterminé, le procédé le plus simple est encore celui
que nous avons déduit de la notion des congruences isotropes, à savoir:
\emph{partir d'une surface gauche arbitraire}. Nous avons montré au \chapitre{VII}
comment on doit construire le contour~$(C)$ suivant lequel les plans moyens
touchent l'élassoïde. Il peut paraître intéressant d'indiquer comment s'obtiendrait
le contour conjugué~$(C')$.

Par un point fixe~$P$ de l'espace on mènerait des parallèles aux génératrices
de la surface gauche, et, sur ces droites, on porterait des segments~$PN$ égaux
aux valeurs des \emph{paramètres}; par les extrémités on élèverait des plans perpendiculaires
%% -----File: 119.png---Folio 113-------
aux droites; on obtiendrait ainsi les plans tangents à l'élassoïde
conjugué le long du contour cherché~$(C')$; celui-ci s'obtiendrait point par
point en tirant parti de la proposition % [** PP: Typo proportion]
démontrée au \Secref{71}, en vertu de % [** PP: Omitted () around section number]
laquelle le segment~$NC'$ est égal et perpendiculaire au segment joignant le
point central d'une génératrice de la surface gauche au point de contact
correspondant de l'élassoïde sur~$(C)$.

Examinons quelques cas particuliers dans lesquels on peut obtenir immédiatement
le contour~$(C')$ conjugué d'un contour déterminé.

Si $(C)$ est le lieu des centres de courbure d'une courbe gauche~$(C_1)$, $(C')$
est le lieu des extrémités de segments issus d'un point fixe de l'espace égaux
et perpendiculaires aux rayons de courbure de~$(C)$.

Dans ce cas la surface gauche élémentaire est la développable lieu des
tangentes de~$(C_1)$.

Si $(C_1)$ est algébrique les deux élassoïdes conjugués sont algébriques. Tout
cela a déjà été démontré au \chapitre{VI}.

Dans le cas où $(C_1)$ est une courbe plane, le problème prend, naturellement,
une simplicité toute particulière.


\Section{86.}
{Contours conjugués d'un contour plan.}

Soit $(C')$ le contour conjugué de~$(C)$; projetons $(C')$ en~$(\gamma)$ sur le plan
de la courbe~$(C)$; appelons~$Z$ la hauteur variable du point~$C'$ au-dessus du
plan: pour que les contours soient conjugués il faut que les tangentes à~$(C)$
et~$(\gamma)$ aux points correspondants soient rectangulaires; en outre
\[
dZ = \sqrt{\overline{d(c)}^2 - \overline{d(\gamma)}^2},
\]
en désignant par $d(c)$ et~$d(\gamma)$ les éléments d'arc des courbes $(C)$ et~$(\gamma)$.

Si les éléments $d(\gamma)$ et~$d(c)$ faisaient entre eux un angle constant, même
nul, la courbe~$(C')$ obtenue deviendrait satisfaisante par une simple rotation
autour d'un axe perpendiculaire au plan de~$(C)$.

Le problème est, dans tous les cas, ramené aux quadratures.

%% -----File: 120.png---Folio 114-------

Supposons, tout d'abord, que l'on prenne pour $(\gamma)$ un point; $(C')$ se réduit
à une droite. Le $Z$ de celle-ci est égal à l'arc de~$(C)$. Le premier élassoïde
admet pour géodésique la courbe~$(C)$. Si celle-ci est la développée d'une
courbe algébrique, on pourra algébriquement obtenir la correspondance sur
la droite $(C')$ et, par conséquent, les deux élassoïdes conjugués seront
algébriques.


\Section{87.}
{Un élassoïde admettant pour ligne de courbure une courbe plane sera
algébrique en même temps que la développante de cette courbe.}

Supposons maintenant que $(\gamma)$ soit une courbe semblable à~$(C)$; le rapport
de similitude étant~$k$, on aura
\[
dZ = d(c) \sqrt{1 - k^2}.
\]

Ainsi $Z$ sera proportionnel à l'arc de~$(C)$; et, si cet arc peut s'obtenir
algébriquement, c'est-à-dire si $(C)$ est la développée d'une courbe algébrique,
la courbe~$(C')$ et les deux élassoïdes conjugués seront algébriques.

Il est facile de pousser plus loin l'étude de ce cas intéressant: en effet, de
ce que $dZ$ est proportionnel à $d(\gamma)$ résulte que les tangentes à la courbe~$(C')$
font des angles constants avec la normale au plan de~$(C)$.

Mais les plans tangents le long de~$(C)$ ont leur lignes de plus grande pente
parallèles aux tangentes de~$(C')$; conséquemment, l'élassoïde passant par~$(C)$
coupe le plan de cette courbe sous un angle constant.

D'après un théorème bien connu, $(C)$~est alors ligne de courbure de
l'élassoïde. Ainsi, on est en droit d'énoncer cette généralisation du théorème
d'Henneberg:

\begin{Emph}
Tout élassoïde, admettant pour ligne de courbure une courbe plane,
sera algébrique si cette courbe est la développée d'une courbe algébrique.
\end{Emph}

Il n'est pas besoin d'insister pour établir qu'un élassoïde ne pourrait être
algébrique sans que son conjugué le fût. Tous les élassoïdes \emph{groupés} ou
\emph{stratifiés} sont algébriques si l'un d'entre eux l'est.

%% -----File: 121.png---Folio 115-------

\Section{88.}
{Surfaces dont les lignes asymptotiques et leurs images sphériques
sont des contours conjugués.}

Citons un exemple fort curieux de contours conjugués. Soit une surface~$(S)$
telle qu'en chacun de ses points le produit des rayons de courbure principaux
soit constant, négatif et égal, en valeur absolue, à~$a^2$. Considérons, d'autre
part, une sphère de rayon~$a$ et faisons sur la sphère l'image du réseau des
asymptotiques de~$(S)$.

Soit $d\theta\, a^2$ l'aire sphérique d'un élément de la surface~$(S)$. $R_1$ et~$R_2$ désignant
les rayons de courbure principaux de~$(S)$, on sait d'après Gauss, que
\[
d(S) = d\theta · R_1R_2.
\]

Il en résulte que, dans ce cas, l'\emph{aire d'une portion de la surface~$(S)$ est égale
à l'aire sphérique correspondante, prise sur la sphère de rayon~$a$}. % [** PP: Put "a" in math mode]

Manifestement, \emph{toutes les fois que deux surfaces se correspondent avec
conservation des aires, on peut tracer sur elles un double réseau de courbes
égales par correspondance, et réelles}. Il est manifeste également qu'en deux
points correspondants les courbes de longueur conservée se coupent sous des
angles supplémentaires (car leurs sinus doivent être égaux, pour que la correspondance
homalographique ait lieu).

Dans le cas actuel, on voit facilement que les images sphériques des asymptotiques
de~$(S)$ (faisant entre elles un angle supplémentaire de celui des
asymptotiques), sont, sur la sphère, les lignes de longueur conservée. Mais
nous avons déjà eu l'occasion de faire observer qu'une ligne asymptotique et
son image sphérique se correspondent toujours par orthogonalité des éléments.

On voit, par conséquent, \emph{qu'une ligne asymptotique de la surface~$(S)$ et
son image, sur la sphère de rayon~$a$, sont deux contours conjugués}.

Les élassoïdes conjugués correspondants sont circonscrits à la surface~$(S)$,
le long de l'asymptotique, et, à la sphère, suivant l'image\footnotemark.
  \footnotetext{Nous avons démontré que sur~$(S)$ quatre asymptotiques quelconques, par deux, de familles
différentes, forment toujours un parallélogramme courbe, en ce sens que les segments opposés
sont égaux. Il en est de même des images sphériques.}

%% -----File: 122.png---Folio 116-------

\Section{89.}
{Élassoïdes conjugués inscrits dans une même développable.}

\begin{Emph}
Peut-il se faire que deux élassoïdes conjugués soient inscrits à une même
surface développable?
\end{Emph}

Si l'on planifie cette développable, les deux courbes de contact doivent
être superposables, après la transformation, et leurs tangentes aux points
correspondants doivent être rectangulaires. Rien de plus simple que de les
obtenir: choisissons arbitrairement, dans le plan, un point~$P$; de ce point,
abaissons sur chacune des génératrices limites de la développable, des droites
faisant avec elles des angles de~$45°$, les lieux des points de rencontre seront
des courbes identiques, semblables à la podaire par rapport au point~$P$ de
l'arête de rebroussement planifiée.

Que l'on forme à nouveau la développable, le point~$P$ décrira une courbe
gauche $(P)$ dont les plans normaux seront tangents à la développable considérée;
la podaire du point~$P$ devient le lieu des centres de courbure de la
courbe trajectoire de~$P$.

Les élassoïdes conjugués font partie d'une famille d'élassoïdes stratifiés dont
l'élassoïde moyen est inscrit, le long de la podaire de~$P$, dans la développable
donnée.

Ainsi, \emph{deux élassoïdes conjugués, inscrits à une même développable, seront
algébriques si cette développable est l'enveloppe des plans normaux d'une
courbe algébrique}.

Dans ce cas, la développable contient les deux lignes de longueur nulle
génératrices des deux élassoïdes, ce sont les transformées des deux droites
isotropes passant par le point~$P$ et tracées dans le plan de la développable
aplatie.

%% -----File: 123.png---Folio 117-------

\Section{90.}
{Construire deux élassoïdes conjugués inscrits dans deux développables
ayant même cône directeur.}

On peut, dans la même voie, obtenir un théorème beaucoup plus général:
soient données deux développables $(\Delta)$ et~$(\Delta')$ satisfaisant à la seule condition
d'avoir même cône directeur; supposons que l'on demande de leur inscrire
deux élassoïdes conjugués de telle façon qu'elles leur soient tangentes le
long de contours conjugués. Il s'agit de construire ces contours.

$(\Delta)$ et $(\Delta')$ peuvent être considérées comme les enveloppes des plans
normaux de deux courbes $(P)$ et~$(P')$ dont les tangentes correspondantes
sont parallèles.

Amenons le point $P'$ en~$P$, en y faisant coïncider les tangentes de $(P)$ et
de~$(P')$ transportée: les génératrices correspondantes $G$, $G'$ de~$(\Delta)$ et de~$(\Delta')$
seront alors dans un même plan normal à~$(P)$. Faisons tourner autour de la
tangente à~$(P)$ la génératrice~$G'$ de~$(\Delta')$ correspondant au point~$P'$, jusqu'à ce
qu'elle ait pris une position~$G_1$, à angle droit sur sa position première, les
deux droites $G_1$ et~$G$ se rencontreront en un point~$M$ qui appartient au contour
de contact de~$(\Delta)$ et de l'élassoïde satisfaisant.

On construira, de la sorte, les deux contours conjugués par des opérations
purement algébriques, pourvu que $(P)$ et~$(P')$ soient obtenues d'avance.

Nous dirons, en conséquence, que deux élassoïdes conjugués assujettis à
toucher deux développables données ayant même cône directeur seront algébriques
si les deux développables sont les \emph{polaires} de deux courbes gauches
algébriques.

Comme on peut remplacer les points $P$ et~$P'$ par deux points arbitraires
des plans des deux développables infiniment aplaties, on voit que le problème
en question est susceptible d'une~$\infty^8$ de solutions\footnotemark.
  \footnotetext{Comme on peut effectuer la rotation autour de~$P$ de deux côtés différents, les mêmes
  courbes $(P)$ et~$(P')$ donnent lieu à deux systèmes de contours conjugués; c'est ce qui conduit à
  l'$\infty^8$ de solutions.}

%% -----File: 124.png---Folio 118-------

Un cas très-simple se présente lorsque le point~$P$ décrit une courbe sphérique,
la surface polaire est un cône et les courbes de contact de ce cône avec
deux élassoïdes conjugués sont deux cercles géodésiques passant par le sommet
du cône.


\Section{91.}
{Construction des deux contours conjugués résultant de la connaissance
d'une surface gauche.}

Le problème de la recherche des contours conjugués peut être abordé de
bien des façons; comme il présente en lui-même un réel intérêt, il ne sera pas
inutile de montrer, avec plus de précision que nous ne l'avons encore fait,
comment la connaissance d'une surface gauche permet de construire deux
couples de contours conjugués.

% [** PP: Omitted () around section numbers]
Nous avons indiqué, au \Secref{37}, comment se construisent les points du
contour le long desquels les plans moyens de la surface gauche touchent
l'élassoïde moyen, et au \Secref{85}, comment s'obtiennent les points du contour
conjugué; nous n'y reviendrons pas; mais, rappelons que parmi les élassoïdes
stratifiés que détermine directement la surface gauche, il en est deux qui
sont conjugués. Soient $(C)$ et~$(C')$ les courbes tracées sur ces élassoïdes et
correspondant à la surface gauche choisie (comme surface élémentaire de la
congruence isotrope). Soient $C$ et~$C'$ les points correspondant à la génératrice~$D$
de la congruence.

On sait que $C$ et $C'$ sont dans des plans distants du plan moyen de quantités
égales au paramètre de la droite~$D$.

Si $O$ est le point de contact du plan moyen, $C$ et~$C'$ sont sur une droite
$COC'$ parallèle à la normale à la surface moyenne en~$M$, droite située dans un
plan perpendiculaire à~$OM$ et dans le plan normal à la ligne de striction.
Les droites $CP$, $C'P'$ font des angles de~$45°$ avec le plan mené par~$D$ et
par~$OM$\footnotemark.
  \footnotetext{$P$ et $P'$ sont situés dans les plans tangents aux élassoïdes conjugués et sur la droite~$D$.}

%% -----File: 125.png---Folio 119-------

Nous terminerons cette étude des contours conjugués en montrant comment
on en peut déduire une infinité de la connaissance d'une surface moyenne de
congruence isotrope.


\Section{92.}
{La connaissance d'une surface moyenne conduit à celle d'une infinité
de couples de contours conjugués.}

On sait qu'une surface de cette nature correspond par orthogonalité de ses
éléments à la sphère. Prenant donc une sphère de rayon déterminé, il y aura
toujours sur la surface une famille double de courbes égales en arc à leurs
correspondantes sur la sphère, ayant par conséquent ces courbes pour conjuguées.
Une équation différentielle régit le problème.

A ce propos, il est intéressant de connaître les surfaces les plus simples
correspondant à la sphère par orthogonalité des éléments.

L'élassoïde moyen peut se réduire à un point. Dans ce cas, il faut, d'après~\Eqref{}{28},
que la surface moyenne ait sa courbure nulle. La considération de~\Eqref{}{26}
montre immédiatement que la surface est \emph{plane}.

La correspondance par orthogonalité de la sphère et d'un plan diamétral,
par exemple, s'obtient en projetant un point de la sphère sur le plan, puis
en faisant tourner cette projection autour du centre, de~$90°$.

Dans ce cas, les contours conjugués sont imaginaires.

Il convient de signaler que si l'on recherche les élassoïdes groupés, dérivés
du réseau isométrique formé de cercles orthogonaux passant par un même
point de la sphère, on trouve seulement des points.

On pourrait développer bien davantage, mais il convient de poursuivre
l'exposé des considérations générales, afin d'aborder, sans retard, les monographies
d'élassoïdes.

Il est naturel, après avoir cherché à déduire les congruences isotropes de
la sphère, de voir comment on peut les déduire du plan; c'est ce qui fera
l'objet du prochain chapitre.

\TbEoC

%% -----File: 126.png---Folio 120-------


\Chapter{XII.}
{CONGRUENCES ISOTROPES DÉDUITES DU PLAN.}

\Section{93.}
{Calcul d'un réseau orthogonal plan duquel on peut déduire
une congruence isotrope.}

Établissons tout d'abord les conditions exprimant qu'une congruence de
droites émanant des points d'une surface de référence est isotrope. Ce calcul
nous sera nécessaire dans sa généralité, un peu plus loin, et, pour notre
objet actuel, particularisé, il conduira immédiatement au but.

Nous supposerons toujours que les droites~$D$ de la congruence sont situées
dans les plans~$ZOX$. Désignons par~$i$ l'angle de~$D$ avec la normale~$OZ$.

L'équation de la surface élémentaire, établie comme d'habitude, donne
pour l'angle~$\theta$ du plan tangent en un point~$M$ de~$D$ avec le plan~$ZOX$
\[
\tg \theta
  = \frac{g\, dv
    + L \left[dv \left(\dfrac{dg}{f\, du} \sin i + Q  \cos i\right)
            - du \left(\dfrac{df}{g\, dv} \sin i + fD \cos i\right)\right]}
         {f \cos i\, du
    + L \left[dv \left(\dfrac{di}{dv} + gD\right)
            + du \left(\dfrac{di}{du} + P\right)\right]}.
\]

L'équation des plans focaux, établie comme précédemment, est
\begin{multline*}% [** PP: Re-breaking]
\tg^2 \theta \left(-D + \frac{di}{g\, dv}\right)
  + \frac{\tg \theta}{fg \cos i}
     \left(gP - Qf \cos^2i + g \dfrac{di}{du}
         - \cos i \sin i \frac{dg}{du}\right) \\
  + D + \tg i \frac{df}{g\, dv} = 0.
\end{multline*}

%% -----File: 127.png---Folio 121-------

La congruence sera isotrope si
\[
gP - fQ \cos^2 i + g \frac{di}{du} - \cos i \sin i \frac{dg}{du} = 0
\Tag{54}
\]
en même temps que
\[
2Dg - \frac{di}{dv} + \tg i \frac{df}{f\, dv} = 0. % [** PP: tg -> \tg]
\Tag{55}
\]

Supposons maintenant que $(O)$ se réduise à un plan, il vient ($P$, $Q$, $D$
étant nuls),
\begin{align*}
\frac{di}{du}\, \frac{1}{\sin i \cos i} &= \frac{dg}{g\, du}, \\
\frac{di}{dv}\, \frac{\cos i}{\sin i}   &= \frac{df}{f\, dv}, \\
\intertext{on en déduit}
g \cot i &= V, \\
\frac{f}{\sin i} &= U.
\end{align*}

Éliminant l'angle~$i$, on trouve la relation
\[
\frac{U^2}{f^2} - \frac{V^2}{g^2} = 1.
\Tag{56}
\]

Inversement, \emph{toutes les fois qu'on aura, dans le plan, un réseau orthogonal
caractérisé par l'équation~{\upshape(56)}, on en déduira une congruence isotrope}.
Les calculs précédents démontrent également cette réciproque. Mais on voit
facilement que d'un réseau satisfaisant on peut déduire \emph{deux} congruences
isotropes définies par les systèmes
\[
\left\{
\begin{aligned}
g \cot i &= V, \\
\frac{f}{\sin i} &= U,
\end{aligned}\right.
\qquad
\left\{
\begin{aligned}
f \cot \omega &= \sqrt{-1} U, \\
\frac{g}{\sin \omega} &= \sqrt{-1}\Reg{·}{} V.
\end{aligned}
\right.
\]

On peut même, puisque $U$ et~$V$ sont des fonctions indéterminées de~$u$ et
de~$v$, considérer $U$ et~$V$ comme de même signe dans~\Eqref{}{56}, en général.

%% -----File: 128.png---Folio 122-------

En fait, lorsque les signes de $U^2$ et de~$V^2$ seront tous deux positifs, les
congruences isotropes seront imaginaires toutes les deux; lorsque les signes
seront contraires, l'une des congruences sera formée de droites réelles et
l'autre de droites imaginaires.

On est également en droit de compter les congruences formées des droites
symétriques, par rapport au plan, de celles des~$(D)$. Donc, en général, d'un
réseau satisfaisant, on pourra déduire quatre congruences isotropes, symétriques
par couple, relativement au plan~$(O)$.

Il est facile de voir qu'il y a seulement quatre plans isotropes focaux pour
ces quatre congruences, et que ces plans eux-mêmes se groupent par couples
coupant le plan~$(O)$ suivant deux droites imaginaires.


\Section{94.}
{D'un réseau orthogonal satisfaisant on déduit quatre plans isotropes
en chaque point du plan, se coupant suivant deux droites de ce plan.}

C'est ce qu'on vérifie sans peine en cherchant en $du\, dv$ l'équation quadratique
des traces sur~$(O)$ des plans focaux de la congruence. On trouve, en
général, pour une surface de référence arbitraire
\begin{align*}
0 % [** PP: O -> 0]
  = dv^2 \left(-g^2D + g \frac{di}{dv}\right)
  &+ du\, dv \left(gP - Qf \cos^2 i + g \frac{di}{du}
                         - \cos i \sin i \frac{dg}{du}\right) \\
  &+ du^2 \left(f^2D \cos^2 i
                   + \sin i \cos i \frac{f}{g}\, \frac{df}{dv}\right);
% [** PP: Break last fraction]
\end{align*}
mais, \emph{dans l'espèce}, il vient
\[
g^2\, dv^2 + f^2 \cos^2 i\, du^2 = 0.
\]

Pour les autres congruences satisfaisantes, on aurait, symétriquement,
\[
f^2\, du^2 + g^2 \cos^2 \omega\, dv^2 = 0;
\]
%% -----File: 129.png---Folio 123-------
et ces deux équations sont équivalentes à
\[
du^2 \frac{f^4}{U^2} + dv^2 \frac{g^4}{V^2} = 0.
\Tag{57}
\]

Ces directions seront imaginaires, lorsque, parmi les congruences, deux
seront réelles; inversement lorsque ces directions seront réelles toutes les
congruences isotropes satisfaisantes seront imaginaires.

On sait par la théorie des congruences isotropes que ces directions imaginaires
sont les traces, sur le plan de référence, des plans tangents aux développables
isotropes focales des congruences satisfaisantes. Conséquemment,
les directions en question doivent former dans le plan deux familles de \emph{droites}
imaginaires enveloppant les traces, sur le plan, des deux développables
isotropes focales.


\Section{95.}
{Définition géométrique du réseau orthogonal satisfaisant.}

Si l'on considère deux développantes des traces focales, le réseau orthogonal
$(u, v)$ est formé par l'ensemble des courbes telles que la somme ou la
différence des distances de leurs points aux deux développantes soient
constantes.

Vérifions au moyen de l'\Eqref{équation}{56}, que le réseau $(u, v)$ satisfait
toujours à la définition précitée. On peut, dans chaque cas, particulariser
ces variables $U$ et~$V$, et ramener l'expression du carré de l'élément linéaire
à la forme
\[
dS^2 = \frac{dv^2}{\cos^2 \varphi} + \frac{du^2}{\sin^2 \varphi},
\]
qui caractérise d'après M.~Weingarten tout réseau orthogonal formé (sur une
surface arbitraire) par les courbes dont tous les points sont à des distances
géodésiques de deux courbes fixes dont la somme ou la différence est
constante\footnotemark.
  \footnotetext{\textsc{M.~Ossian Bonnet} a donné, de ce fait, une démonstration simple (p.~96 du \Ord{XLII}{e} cahier
du \emph{Journal de l'École polytechnique}).}

%% -----File: 130.png---Folio 124-------

Ici, quand l'angle~$\varphi$ est réel, les congruences isotropes sont toutes imaginaires,
et inversement.

Comme vérification, on doit trouver que les lignes définies par l'\Eqref{équation}{57}
sont des géodésiques.


\Section{96.}
{Cas où le réseau satisfaisant est isométrique: il est composé
de coniques homofocales.}

Le réseau $(u, v)$ ne peut, à la fois, être isométrique et être caractérisé
par la \Eqref{relation}{56}, que si le carré de l'élément linéaire du plan peut se
mettre sous la forme
\[
dS^2 = (U^2 - V^2)(du^2 + dv^2);
\]
mais alors, d'après une théorie \emph{bien connue} de M.~Liouville, l'intégrale des
géodésiques du plan peut s'écrire
\[
U \sin^2 \varphi + V \cos^2 \varphi = k\footnotemark % [** PP: Typo K]
\]
et chaque valeur de la constante~$k$ définira une double famille de géodésiques,
enveloppant, par conséquent, deux courbes. Lorsque les valeurs de~$k$
seront telles que l'angle~$\varphi$ soit imaginaire, on déduira des droites ainsi obtenues
deux congruences isotropes réelles.
  \footnotetext{C'est d'ailleurs l'intégrale qu'on obtiendrait immédiatement en cherchant à résoudre~\Eqref{}{57}
  qui est l'équation des traces principales des congruences isotropes.}

Ainsi \emph{le réseau orthogonal plan, particulier, qui est à la fois isométrique
et de la forme permettant l'intégration des géodésiques, donnera lieu à une $\infty^2$
de congruences isotropes}. Nous ne nous arrêterons pas à démontrer, après
M.~Liouville, que ce réseau plan, remarquable, est \emph{unique} et qu'il est formé
par des coniques homofocales.

\begin{Emph}
\emph{Dans ce cas} les congruences isotropes satisfaisantes ne sont autre chose que
%% -----File: 131.png---Folio 125-------
l'ensemble des génératrices des hyperboloïdes homofocaux ayant pour trace,
sur le plan de référence, les ellipses du réseau $(u, v)$ et dont \emph{une} quelconque
de ces ellipses est la focale.
\end{Emph}

Autant on choisira de focales distinctes, autant on obtiendra de congruences
isotropes différentes.

Nous n'insistons pas davantage sur ces propriétés qui mettent à part les
congruences isotropes formées des génératrices de quadriques homofocales;
dans le \chapitre{XVII} nous montrerons, en effet, comment tout ce qui
précède est un cas particulier d'une proposition plus générale et pourtant
caractéristique.

Pour obtenir, en termes finis, les équations d'élassoïdes et surtout des
élassoïdes algébriques dont s'est préoccupée spécialement l'Académie de
Belgique, il convient d'établir (maintenant que nous avons élucidé les propriétés
des congruences), sous la forme la plus simple, des formules qui
permettent d'effectuer en langage algébrique, et par avance, les opérations
géométriques dont nous avons montré l'agencement. Cette nouvelle étude ne
laissera pas de mettre en relief d'intéressantes propriétés des élassoïdes auxquelles
nous n'avons pas encore été conduit.


\Section{97.}
{Plans isotropes passant par une droite déterminée. \\
Équations.}

Soit une congruence de droites. Si, par chaque droite, on mène les deux
plans isotropes qu'elle détermine, ceux-ci couperont, suivant deux droites, un
plan fixe arbitraire.

Inversement si dans un plan on se donne deux droites, on peut en déduire,
par \emph{isotropie}, quatre droites dans l'espace.

Supposons que les droites considérées aient pour équations
\begin{align*}
x \cos \varphi + y \sin \varphi &= 0, \\
x \cos \psi    + y \sin \psi    &= 0,
\end{align*}
%% -----File: 132.png---Folio 126-------
où les angles $\varphi$ et~$\psi$ sont arbitraires et complexes (c'est-à-dire imaginaires,
conjugués ou non).

Les plans isotropes, passant par la première droite, ont pour équation
quadratique
\[
X \cos \varphi + Y \sin \varphi ± iZ = 0.
\]

De même, les plans isotropes, passant par la seconde droite, sont représentés
par l'équation à double signe
\[
X \cos \psi + Y \sin \psi ± iZ = 0.
\]

Les deux doubles signes sont indépendants.

Les droites d'intersection des plans isotropes (en ne considérant pas les
symétriques) ont pour équations, soit
\begin{gather*}
X = \frac{iZ(\sin \varphi - \sin \psi)}{\sin(\psi - \varphi)}, \quad
Y = \frac{iZ(\cos \psi - \cos \varphi)}{\sin(\psi - \varphi)}, \\
%
\intertext{soit}
X = -\frac{iZ(\sin \varphi + \sin \psi)}{\sin(\psi - \varphi)},\quad
Y = -\frac{iZ(\cos \psi + \cos \varphi)}{\sin(\psi - \varphi)}.
\end{gather*}

Il ne faut considérer, naturellement, que les équations pouvant représenter
des droites réelles quand $\varphi$ et~$\psi$ sont imaginaires conjugués. Posant
\[
\varphi = \alpha + \beta i,\quad \psi = \alpha - \beta i,
\]
les deux systèmes d'équations deviennent
\begin{gather*}
X = -\frac{2iZ \cos\alpha}{e^{\beta} + e^{-\beta}}, \quad
Y = -\frac{2iZ \sin\alpha}{e^{\beta} + e^{-\beta}}, \\
\intertext{ou}
X = \frac{2Z \sin\alpha}{e^{\beta} - e^{-\beta}}, \quad
Y = \frac{2Z \cos\alpha}{e^{-\beta} - e^{\beta}}.
\end{gather*}

Ainsi la seconde combinaison doit seule être conservée.

%% -----File: 133.png---Folio 127-------

\Section{98.}
{Intégrale générale analytique d'une congruence isotrope.}

Donnons-nous arbitrairement les traces, sur le plan de référence, de deux
développables isotropes; ces traces peuvent être deux courbes arbitraires,
imaginaires. On peut toujours les considérer comme les enveloppes de deux
droites variables définies par les équations
\begin{align*}
x \cos\varphi + y \sin\varphi - F(\varphi) &= 0, \\
x \cos\psi    + y \sin\psi    - f(\psi )   &= 0,
\end{align*}
où $F$ et~$f$ sont des fonctions, données, des angles complexes $\varphi$ et~$\psi$. D'après
ce qui vient d'être dit, les droites de la congruence isotrope, dérivant de ces
courbes imaginaires, sont définies ainsi
\[
\left.
\begin{aligned}
X &= -iZ\, \frac{\sin \varphi + \sin \psi}{\sin(\psi - \varphi)}
         + \frac{F \sin \psi - f \sin \varphi}{\sin(\psi - \varphi)} \\
%
Y &= \phantom{-}iZ\,
           \frac{\cos \psi + \cos \varphi}{\sin(\psi - \varphi)}
         - \frac{F \cos \psi - f \cos\varphi}{\sin(\psi - \varphi)}
\end{aligned}\ \right\}
\Tag{58}
\]

Telle est, si l'on veut, sous une forme simple, l'intégrale générale des
congruences isotropes.


\Section{99.}
{Calcul du paramètre d'une congruence isotrope.}

Il s'agit maintenant de calculer les équations du \emph{plan moyen} et la valeur
du \emph{paramètre}.

Soient, en général,
\[
x = aZ + p,\quad
y = bZ + q,
\]
%% -----File: 134.png---Folio 128-------
les équations d'une congruence, où $a$, $b$, $p$, $q$ sont des fonctions de deux
paramètres variables. Établissons l'équation de variation des plans tangents
à une surface élémentaire, le long de la droite~$D$, dont la trace est le point~$A$.

Soit $DA\delta$ le plan projetant de la droite~$D$ sur le plan de référence; considérons
une position~$D'$ de la droite, infiniment voisine de~$D$. Soit~$M'$ un point
de~$D'$ situé à la hauteur~$Z$; projetons-le en~$m$, sur le plan~$DA\delta$ et en~$\mu$ sur~$D$.
$\theta$~désignant toujours l'angle du plan tangent à la surface élémentaire avec le
plan projetant de~$D$, on a
\[
\tg\theta = \frac{M'm}{m\mu}.
\]

L'équation du plan projetant est
\[
b(x-p) - a(y-q) = 0,
\]
les coordonnées du point~$M'$ (que, pour plus de simplicité, on suppose se
déplacer dans un plan horizontal) croissent de
\begin{align*}
\Delta X &= \Delta a· Z + \Delta p, \\
\Delta Y &= \Delta b· Z + \Delta q.
\end{align*}
On en conclut, par les règles élémentaires,
\[
M'm = \frac{b(\Delta a·Z - \Delta p)
          - a(\Delta b·Z - \Delta q)}{\sqrt{a^2 + b^2 + 1}}\footnotemark.
\]
  \footnotetext{$M'm$ étant la plus courte distance des deux droites.}

D'un autre coté, le plan passant par~$D$, perpendiculaire au plan projetant,
a pour équation
\[
a(x - aZ - p) + b(y - bZ - q) = 0,
\]
$m\mu$ n'est autre chose que la distance de~$M'$ à ce plan. Conséquemment, nous
aurons
\[
m\mu = \frac{a(\Delta a·Z + \Delta p)
           + b(\Delta b·Z + \Delta q)}{\sqrt{(a^2 + b^2)(1 + a^2 + b^2)}}.
\]

%% -----File: 135.png---Folio 129-------

En définitive,
\[
\tg \theta
  = \frac{b(\Delta a·Z + \Delta p) - a(\Delta b·Z + \Delta q)}
         {a(\Delta a·Z + \Delta p) + b(\Delta b·Z + \Delta q)}
    \sqrt{a^2 + b^2}.
\]

Ici
\begin{gather*} % [** PP: Moved "-" out of numerator]
a = -\frac{i(\sin \varphi + \sin \psi)}{\sin(\psi - \varphi)}, \quad
b =  \frac{i(\cos \varphi + \cos \psi)}{\sin(\psi - \varphi)}, \\
%
p =  \frac{F \sin \psi - f \sin\varphi}{\sin(\psi - \varphi)}, \quad
q = -\frac{F \cos \psi - f \cos\varphi}{\sin(\psi - \varphi)}.
\end{gather*}

Si on laissait arbitraires les variations des paramètres $\varphi$ et~$\psi$, les calculs
seraient longs, mais la théorie générale nous ayant appris que les résultats
recherchés sont invariables quelles que soient les surfaces élémentaires
choisies, on est libre de les particulariser et, par exemple, de supposer la
relation
\[
\psi - \varphi = K,
\]
constamment vérifiée. Comme
\[
(a^2 + b^2) = -\frac{2\bigl[1 + \cos(\psi - \varphi)\bigr]}{\sin^2(\psi - \varphi)},
\]
on voit que, par cet artifice, on a constamment
\[
a\Delta a + b\Delta b = 0.
\]

En somme, on obtient
\[
\tg \theta
  = \frac{\bigl[2Z + i(F-f)\bigr]\bigl[1 + \cos(\psi - \varphi)\bigr]
       + i\bigl[F' + f'] \sin (\psi - \varphi)}
         {-i[F' - f'] \bigl[1 + \cos (\psi - \varphi)\bigr]
       + i[F + f] \sin (\psi - \varphi)}.
\Tag{59}
\]

$Z$ et~$\tg \theta$ sont infinis en même temps. On aura, par conséquent, la
valeur de~$Z$ afférente au \emph{point central} en annulant~$\tg \theta$:
\[
2Z_0 + i[F-f] + i[F'+f'] \frac{\sin (\psi-\varphi)}{1 + \cos (\psi - \varphi)} = 0.
\Tag{60}
\]

Le \emph{paramètre} se trouve dès lors mis en évidence dans l'\Eqref{équation}{59}, il
est défini par la relation
\[
2P_0 = i[F'-f']
     + i[F + f] \frac{\sin (\psi - \varphi)}
                     {1 + \cos (\psi - \varphi)}. % [**PP: Added .]
\Tag{61}
\]

%% -----File: 136.png---Folio 130-------

\Section{100.}
{Calcul des équations des plans tangents aux élassoïdes conjugués.}

Connaissant le~$Z$ du \emph{point central}, on obtient immédiatement pour l'équation
du \emph{plan moyen}
\begin{align*} % [** PP: Re-breaking]
0 &= -2X(\sin\varphi + \sin\psi)
   + 2Y(\cos\varphi + \cos\psi) \\
  &\quad+ \sin(\psi - \varphi)
       \left[-2Zi + (F - f) - (F' + f')\cot \frac{\psi - \varphi}{2}\right].
\Tag{62}
\end{align*}

La distance de l'origine des coordonnées au plan moyen, distance égale au
\emph{paramètre} d'une congruence isotrope conjuguée de~\Eqref{}{58}, c'est-à-dire ayant
pour élassoïde moyen le conjugué de l'élassoïde défini par~\Eqref{}{58}, a pour
expression
\[ % [** F1: Subscript looks like O'?]
2P_0 = -(F' + f') + (F - f) \tg \frac{\psi - \varphi}{2}.
\Tag{63}
\]

Inversement, l'\Eqref{équation}{61} donne, pour le plan tangent de l'élassoïde
conjugué:
\[% [** PP: Re-breaking]
\begin{aligned}
&-2X(\sin\varphi + \sin\psi)
+2Y(\cos\varphi + \cos\psi) \\
&\quad+i\bigl\{\sin(\psi - \varphi)[F + f - 2Z]
  +(F'-f')\bigl[1 + \cos(\psi - \varphi)\bigr]\bigr\} = 0.
\end{aligned}
\Tag{64}
\]

Pour obtenir une congruence isotrope génératrice de l'élassoïde conjugué,
il suffit de faire tourner, de~$\frac{\pi}{2}$, la droite~\Eqref{}{58} autour de l'origine. Nous trouvons
de la sorte par des calculs dont nous supprimons les détails
\[
\left.
\begin{aligned}
X &= -\frac{i(\sin\varphi + \sin\psi)}{\sin(\psi - \varphi)} Z
     + (F \cos\psi - f \cos\varphi)\Delta \\
Y &=  \frac{i(\cos\varphi + \cos\psi)}{\sin(\psi - \varphi)} Z
     + (F \sin\psi - f \cos\varphi)\Delta,
\end{aligned}\ \right\}
\Tag{65}
\]
où $\Delta^2$ a pour valeur
\[
\Delta^2 = \frac{2Ff}{\bigl[1 + \cos (\psi - \varphi)\bigr]
                      \bigl[F^2 + f^2 - 2Ff\cos(\psi - \varphi)\bigr]}.
\]

%% -----File: 137.png---Folio 131-------

Il serait très-facile, s'il y avait intérêt, de former les équations de toutes
les congruences isotropes satisfaisantes, en utilisant la transformation du
\Secref{34}; mais en général, quand on en aura besoin, ce sera pour chercher % [** PP: Omitted () around section number]
toutes les surfaces moyennes, et il sera toujours plus rapide d'effectuer la
transformation sur les congruences particulières définies par des paramètres
réels.

Cherchons maintenant à déterminer les coordonnées des points des deux
élassoïdes, en fonction des paramètres complexes $\varphi$ et~$\psi$.

Posons pour un instant
\[
\frac{\psi - \varphi}{2} = \alpha,\quad
\frac{\psi + \varphi}{2} = \beta.
\]

Les équations des plans tangents aux deux élassoïdes deviennent, pour
l'élassoïde moyen:
\begin{align*}
-X \sin\beta + Y \cos\beta
 + \sin\alpha \left[-Zi +  \frac{F - f}{2}\right] -  \frac{F' + f'}{2} \cos\alpha &= 0,
\Tag{62'} \\
\intertext{pour l'élassoïde conjugué}
-X \sin\beta + Y \cos\beta
 + \sin\alpha \left[-Zi + i\frac{F + f}{2}\right] - i\frac{F' - f'}{2} \cos\alpha &= 0.
\Tag{64'}
\end{align*}


\Section{101.}
{Coordonnées des points des élassoïdes conjugués.}

N'oublions pas que $F$ et~$f$ sont des fonctions de $\varphi$ et de~$\psi$ individuellement,
et représentons comme d'habitude, par exemple
\[
\frac{d^2 F}{d\varphi^2}\quad\text{par}\quad F'',
\]
%% -----File: 138.png---Folio 132-------
comme on a
\begin{align*}
\frac{d\varphi}{d\alpha} &= -1,\quad \frac{d\varphi}{d\beta} = +1, \\
\frac{d\psi}{d\alpha}    &= +1,\quad \frac{d\psi}{d\beta} = +1,
\end{align*}
on peut considérer maintenant les équations $(62')$ $(64')$ comme formées de
fonctions des paramètres $\alpha$ et~$\beta$, et chercher les caractéristiques.

Tout d'abord, pour l'élassoïde moyen, on trouve
\begin{gather*}
2Zi = (F + F'') - (f + f''), \\
X \cos\beta + Y \sin\beta
  - \sin\alpha \frac{F' - f'}{2}
  + \cos\alpha \frac{F'' + f''}{2} = 0;
\end{gather*}
repassant maintenant aux expressions en $\varphi$ et~$\psi$, il vient, en résumé,
\begin{flalign*}
&\BoxTag{élassoïde}{moyen} &
\left.
\begin{gathered} % [** PP: Added punctuation.]
X + \frac{F' \sin \varphi + F'' \cos \varphi}{2}
  + \frac{f' \sin \psi    + f'' \cos \psi}{2} = 0, \\
Y - \frac{F' \cos \varphi - F'' \sin \varphi}{2}
  - \frac{f' \cos \psi    - f'' \sin \psi}{2} = 0, \\
Z = -i \frac{(F + F'') - (f + f'')}{2}.
\end{gathered}\ \right\} &&
\Tag{66}
\end{flalign*}

De la même manière on calculera les coordonnées du point correspondant
de l'élassoïde conjugué; on trouve
\begin{flalign*}
&\BoxTag{élassoïde}{conjugué} &
\left.
\begin{gathered} % [** PP: Added commas.]
\frac{X}{i} + \frac{F' \sin \varphi + F'' \cos \varphi}{2}
            - \frac{f' \sin\psi     + f'' \cos \psi}{2} = 0, \\
\frac{Y}{i} - \frac{F' \cos \varphi - F'' \sin \varphi}{2}
            + \frac{f' \cos \psi    - f'' \sin \psi}{2} = 0, \\
Z = \frac{(F + F'') + (f + f'')}{2}.
\end{gathered}\ \right\} &&
\Tag{67}
\end{flalign*}

Ces deux groupes d'équations fort simples sont susceptibles d'interprétations
géométriques importantes.

%% -----File: 139.png---Folio 133-------

Soient $(A)$ et~$(B)$ les deux courbes imaginaires, sections des deux développables
isotropes par le plan de référence, $P$~une origine fixe. Soient $A$ et~$B$
les points des deux courbes déterminés par les deux valeurs $\varphi$ et~$\psi$ des paramètres.
Enfin, soient $a$ et~$b$ les centres de courbure correspondants. Désignons
par $R_A$, $R_B$ les rayons de courbure de~$(A)$ et~$(B)$ en~$A$ et~$B$.

On sait que le centre de courbure~$a$, par exemple, est déterminé par
l'équation de la normale en~$A$ à~$(A)$
\[
-x \sin\varphi + y \cos\varphi - F' = 0,
\]
et par celle de la caractéristique qui est la normale de la développée
\[
-x \cos\varphi - y \sin\varphi - F'' = 0.
\]


\Section{102.}
{Définition géométrique des points des élassoïdes conjugués.}

Désignons par $O$ et~$O'$ les points correspondants des deux élassoïdes, par
$\omega$ et~$\omega'$ leurs projections sur le plan de référence.

\primo~\textit{La projection~$\omega$ du point~$O$ de l'élassoïde moyen~$(O)$ est au milieu
du segment~$ab$}; % [** PP: Moved ; out of italics]

\secundo~\textit{Le $Z$ du point~$O$ de l'élassoïde moyen~$(O)$ est égal à la demi-différence
des rayons de courbure $R_A$ et~$R_B$ multipliée par~$\sqrt{-1}$};

\tertio~\textit{Si l'on joint l'origine~$P$, fixe, au point~$\omega'$ projection sur le plan de
référence du point~$O'$ de l'élassoïde conjugué~$(O')$ le segment~$P\omega'$ est égal à
la moitié du segment~$ab$ multiplié par~$\sqrt{-1}$, de plus~$P\omega'$ et~$ab$ sont
parallèles}
\[
P\omega' = i \frac{ab}{2}.
\]

\quarto~\textit{Le $Z$ du point~$O'$ de l'élassoïde conjugué~$(O')$ est égal à la demi-somme
des rayons de courbure $R_A$ et~$R_B$}.

%% -----File: 140.png---Folio 134-------

Les deux premières propriétés sont des conséquences immédiates de la
construction ponctuelle de l'élassoïde moyen comme lieu des milieux des
cordes s'appuyant à leurs extrémités sur les arêtes de rebroussement de deux
développables isotropes, si l'on tient compte de cette proposition (énoncée
pour la première fois par M.~Moutard): \emph{La projection de l'arête de rebroussement
d'une développable isotrope, sur un plan donné, est la développée de
la section, par le plan, de la développable}.


\Section{103.}
{Définition des sections planes d'un élassoïde.}

Arrêtons-nous un moment, afin de tirer de ce qui précède des conséquences.
Supposons que les courbes $(A)$ et~$(B)$ se superposent; elles coïncideront
alors avec une courbe $(C)$ qui sera toujours réelle si les élassoïdes
sont réels.

On sait, et l'on vérifie d'ailleurs à première vue, que la développée~$(D)$ de
la courbe appartient à l'élassoïde moyen, qu'elle est une géodésique de cette
surface. On voit de nouveau que le contour conjugué est une droite perpendiculaire
au plan de la courbe~$(C)$. Pour obtenir le point~$O'$ de cette droite
correspondant à un point~$D$ de la développée~$(D)$, il suffit de prendre~$PO'$
égal à~$AD$.

\begin{Emph}
Le plan de~$(C)$ coupe l'élassoïde moyen suivant une courbe double, lieu des
milieux des cordes joignant les centres de courbure des cercles osculateurs,
de même rayon, de la courbe~$(C)$.
\end{Emph}

Considérons maintenant une courbe~$(D)$ symétrique par rapport à une
droite $PP'$. Il est clair que tous les couples de points symétriques $a$ et~$b$ donneront
lieu à un point~$O$ situé dans le plan perpendiculaire au plan de~$(D)$
et passant par l'axe de symétrie, mais deux cas sont à distinguer, ou~$(D)$
coupe l'axe~$PP'$ à angle droit ou elle y présente un rebroussement de première
espèce.

%% -----File: 141.png---Folio 135-------

Dans le premier cas $(C)$ présente en~$P$ un rebroussement et les rayons de
courbure $Aa$, $Bb$ doivent être considérés comme étant de signe contraire;
dès lors \emph{le point~$O$ est dans le plan de symétrie à une hauteur au-dessus de
$\omega$ marquée par le produit de la longueur de l'arc imaginaire~$Pb$ par~$\sqrt{-1}$.
On voit que le plan de symétrie coupera l'élassoïde moyen suivant une nouvelle
géodésique dont les points réels correspondront aux couples de points
symétriques, imaginaires, de $(D)$ et inversement}. Nous reviendrons plus loin
sur ce cas particulier. Le contour conjugué n'est autre chose qu'une droite
perpendiculaire au plan de symétrie.

Au contraire, si la courbe~$(D)$ présente un rebroussement sur l'axe
de symétrie, la développante $(C)$ coupant cet axe à angle droit en~$P$, les
rayons de courbure en deux points symétriques ont même signe, leur
différence est donc nulle. En conséquence, \emph{le plan de symétrie de~$(D)$ coupe
l'élassoïde moyen suivant l'axe de symétrie~$PP'$. Le contour conjugué
est, au contraire, une géodésique située dans un plan perpendiculaire à
l'axe~$PP'$}.


\Section{104.}
{On peut tracer sur des élassoïdes, même algébriques, des droites
n'ayant que des parties réelles situées sur ces surfaces.}

Au point de vue de la réalisation physique par le procédé de M.~Plateau,
il convient de faire observer que, toutes les fois qu'un élassoïde, algébrique
ou non, admettra un plan de symétrie, lui et son conjugué, simultanément
algébriques, contiendront des droites; mais il est fort remarquable que certaines
de ces droites soient seulement réelles partiellement. Donnons un
exemple.

Soit proposé de construire l'élassoïde admettant pour géodésique la développée
d'une ellipse; il est algébrique ainsi que son conjugué, mais, sur
celui-ci, le contour correspondant à la développée est une droite égale en
%% -----File: 142.png---Folio 136-------
longueur (nous parlons de la partie réelle) au quart du périmètre total de la
développée.

Aussi dans la réalisation physique devra-t-on obtenir des nappes se reliant
d'elles-mêmes à des segments de droite limités.

On peut déduire, des formules interprétées ci-dessus, des conséquences
d'un genre tout différent.

Si les arcs $(a)$ et~$(b)$ des courbes développées de $(A)$ et~$(B)$ s'expriment
algébriquement, les élassoïdes seront algébriques.


\Section{105.}
{Élassoïdes transcendants admettant des lignes algébriques.}

Bornons-nous à examiner le cas de l'élassoïde admettant pour géodésique
une courbe plane~$(D)$; si celle-ci n'est pas la développée d'une courbe algébrique~$(C)$,
\emph{les élassoïdes seront transcendants, mais dans certains cas ils
contiendront des courbes algébriques}.

Les courbes algébriques d'un élassoïde transcendant correspondront aux
groupements de points $a$ et~$b$ tels que la différence ou la somme des longueurs
correspondantes des arcs $(a)$ et~$(b)$ soient algébriques.

Un exemple éclaircira: Soit proposé de chercher l'\emph{élassoïde admettant
pour géodésique une ellipse donnée~$(D)$}. Cette surface est transcendante,
puisque le~$Z$ est proportionnel à la différence des deux arcs de l'ellipse.

Mais, considérons les points du plan rangés suivant une hyperbole homofocale~$(H)$,
ou suivant une ellipse~$(E)$ également homofocale à~$(D)$. On sait,
d'après un théorème dû à M.~Chasles, que si le point~$M$ décrit l'ellipse~$(E)$, par
exemple, les arcs décrits par les points de contact des tangentes à~$(D)$ issues
de~$M$ ont une différence algébrique\footnotemark.
  \footnotetext{A la façon de compter les arcs, adoptée ci-dessus, il faut dire ici la différence.}
Dès lors, les points de l'élassoïde correspondant
à ceux de l'ellipse~$(E)$ seront situés sur une courbe algébrique.

%% -----File: 143.png---Folio 137-------

Au contraire, si l'on suit l'hyperbole~$(H)$, ce sont les points de l'élassoïde
conjugué qui se rangent suivant une courbe algébrique.

Étant donnée la nature des transcendantes déterminant les longueurs
d'arcs d'ellipse, on voit que sur chacun des deux élassoïdes précités il n'y
a qu'une famille de courbes algébriques. Au demeurant, s'il y en avait
deux, les élassoïdes seraient algébriques.


\Section{106.}
{Les lignes de niveau d'un élassoïde admettant pour géodésique une courbe
plane algébrique dont l'arc s'exprime par une fonction elliptique de
première espèce, sont algébriques.}

Soit pris en général pour~$(D)$ une courbe algébrique dont l'arc s'exprime
par une fonction elliptique de première espèce [M.~Serret a montré qu'il en
existe une infinité, toutes unicursales; la plus simple est la lemniscate de
Bernoulli]. \emph{L'élassoïde qui admet $(D)$ pour géodésique, et son conjugué,
sont coupés par des plans parallèles à celui de~$(D)$ suivant des courbes
algébriques}.

Il importe d'observer que ces diverses courbes algébriques ne se correspondent
pas d'un élassoïde à l'autre. On sait d'ailleurs qu'en thèse générale,
si l'on trouve deux contours conjugués algébriques, les élassoïdes conjugués
sont algébriques.

Ajoutons que, \emph{le long d'une courbe algébrique d'un élassoïde transcendant,
la développable circonscrite est algébrique}. En effet, l'équation~$(62')$
donne pour la trace du plan tangent à l'élassoïde moyen sur le plan de
référence
\[
-X \sin\beta + Y \cos\beta + \sin\alpha \frac{F-f}{2} - \frac{F'+f'}{2} \cos\alpha = 0.
\]

%% -----File: 144.png---Folio 138-------

\Section{107.}
{Sur l'algébricité des développables circonscrites à un élassoïde
le long de courbes algébriques.}

On peut toujours supposer que l'origine est transportée pour un instant
au point de rencontre des tangentes en $a$ et~$b$, et que l'axe des $X$ coïncide
avec la bissectrice de l'angle $aMb$ (car si les points $a$ et~$b$ sont imaginaires % [** PP: Not spacing AMb]
conjugués, l'origine et l'axe seront réels), l'équation précédente devient
alors
\[
Y + \sin \alpha \frac{F-f}{2} = 0.
\]

La trace du plan tangent est donc parallèle à la bissectrice de l'angle~$aMb$.
Parce que la courbe suivie est algébrique, le $Z$ est algébrique, conséquemment
(voir \Secref{101})
\[
F - f + F'' - f'',
\]
est une expression algébrique; or $F''$ et~$f''$ distance de l'origine aux normales
en $a$ et~$b$ sont manifestement algébriques; dès lors la différence $F-f$ est
algébrique.

Conséquemment, les traces des développables circonscrites à un élassoïde
le long d'un contour algébrique, traces prises sur un plan arbitraire, sont
algébriques. L'algébricité des développables elles-mêmes est donc complétement
démontrée.

On vérifierait facilement que la trace du plan tangent à l'élassoïde moyen
passe par le milieu de la corde~$AB$ (voir \Secref{101}). On donnerait une définition
aussi simple du plan tangent à l'élassoïde conjugué.

%% -----File: 145.png---Folio 139-------

\Section{108.}
{Lignes de longueur nulle se projetant sur un plan donné
suivant des courbes algébriques.  Exemples.}

Les considérations précédentes ne sont vraies que si les courbes $(a)$ et~$(b)$
sont algébriques. Il est d'ailleurs bien facile de former autant d'exemples que
l'on voudra d'élassoïdes satisfaisant à cette condition: nous avons montré
à la \Secref{87} % [** PP: Typo page~87]
qu'à toute section plane d'un élassoïde correspond un contour
conjugué dont la projection sur le plan de la courbe peut être arbitraire. Si
donc la première courbe et la projection de la seconde courbe sont prises
algébriques, les lignes isotropes des élassoïdes conjugués auront pour projections
des lignes algébriques.

Par exemple, si l'on considère l'élassoïde admettant pour ligne de courbure
une conique, on voit facilement que ses lignes isotropes ont pour projections
sur le plan de la conique deux familles de coniques identiques.

\TbEoC

%% -----File: 146.png---Folio 140-------


\Chapter{XIII.}
{LIGNES DE COURBURE OU LIGNES ASYMPTOTIQUES DES ÉLASSOÏDES DÉDUITS DU PLAN.}


\Section{109.}
{Calcul des éléments d'un élassoïde dépendant du deuxième ordre.}

Déduisons, des calculs précédents, ce qui a trait à l'image sphérique des
élassoïdes, afin de pouvoir appliquer les résultats obtenus au \Secref{55}.

La \Eqref{formule}{62} fait voir que les coordonnées du point de l'image sphérique
(sur une sphère de rayon~$R$) sont définies par le groupe
\[
  \frac{-X}{\sin \dfrac{\psi + \varphi}{2}}
= \frac{ Y}{\cos \dfrac{\psi + \varphi}{2}}
= \frac{Zi}{\sin \dfrac{\psi - \varphi}{2}}
= \frac{ R}{\cos \dfrac{\psi - \varphi}{2}}.
\]
On en déduit, pour le carré de l'élément linéaire,
\[
dS^2 = \frac{R^2}{\cos^2 \smfrac{\psi - \varphi}{2}}\,
       d\psi\Reg{·}{\,} d\varphi.
\]

On voit que les lignes isotropes de la sphère correspondent, comme cela
devait être, aux tangentes des lignes $(A)$ et~$(B)$. Nous trouvons
\begin{align*} % [** PP: Aligning, moved "-" out of numerator]
a &= -\frac{1}{4} \Bigl\{F - f - F' \sin (\psi - \varphi)
                      + F''\bigl[1 + \cos(\psi - \varphi)\bigr]\Bigr\}, \\
b &= \phantom{-}
     \frac{1}{4} \Bigl\{F - f - f' \sin (\psi - \varphi)
                      - f''\bigl[1 + \cos(\psi - \varphi)\bigr]\Bigr\},
\end{align*}
%% -----File: 147.png---Folio 141-------
et nous en concluons
\begin{align*}
\frac{da}{d\varphi}
  &= -\frac{(F' + F''')}{2} \cos^2\frac{(\psi - \varphi)}{2}, \\
\frac{db}{d\psi}
  &= -\frac{(f' + f''')}{2} \cos^2\frac{(\psi - \varphi)}{2}.
\end{align*}

Conséquemment, nous déduirons:

\primo~pour le carré de l'élément linéaire de l'élassoïde moyen
\[
dS^2 = (F' + F''')(f' + f'') \cos^2\frac{(\psi - \varphi)}{2}\, d\varphi\, d\psi.
\Tag{68}
\]

\secundo~pour les rayons de courbure principaux
\[
R^2 = (F' + F''')(f' + f''') \cos^4\frac{(\psi - \varphi)}{2}.
\Tag{69}
\]

\tertio~pour l'équation de directions conjuguées
\[
(F' + F''')\, d\varphi\, d\varphi' + (f' + f''')\, d\psi\, d\psi' = 0. % [* F1: Removed dot]
\Tag{70}
\]

En particulier, l'équation des lignes de courbure peut s'écrire
\[
d\varphi \sqrt{F' + F'''} = ± d\psi \sqrt{f' + f'''}.
\]


\Section{110.}
{Équations des lignes de courbure et des asymptotiques. Introduction des
mêmes intégrales, en cherchant des élassoïdes passant par un contour
plan.}

Désignons par $R_a$ et~$R_b$ les rayons de courbure en $(a)$ et~$(b)$ des développées
de~$(A)$ et de~$(B)$ projections des arêtes de rebroussement des focales
isotropes; l'équation précédente est équivalente à
\[
d\varphi \sqrt{R_a} = ± d\psi \sqrt{R_b}. % [** PP: Added .]
\Tag{71}
\]

%% -----File: 148.png---Folio 142-------

Il est bien clair, également, que les lignes de courbure des élassoïdes
stratifiés, dérivés de l'élassoïde moyen, sont définies par l'équation
\[
m\, d\varphi\, \sqrt{R_a} = ±n\, d\psi\, \sqrt{R_b}.
\]

Si donc les expressions
\[
\int d\varphi\, \sqrt{R_a}\quad\text{et}\quad
\int d\psi\, \sqrt{R_b}, % [** PP: Typo d\varphi]
\]
qui dépendent de quadratures, sont algébriques, les projections des lignes
de courbure de tous les élassoïdes stratifiés sont toutes algébriques\footnotemark.
  \footnotetext{Les projections sur le plan de $(a)$ et~$(b)$ sont alors algébriques parce que l'on suppose~$(a)$
  et~$(b)$ algébriques. Les images sphériques des lignes de courbure des élassoïdes dérivés sont
  aussi toutes algébriques, elles peuvent même l'être si les intégrales caractéristiques sont algébriques
  sans que $(a)$ et~$(b)$ le soient.}

Il pourrait se faire que les lignes de courbure d'un seul des élassoïdes
de la famille fussent algébriques. Ce cas se présenterait si les expressions
précitées étaient des fonctions elliptiques de première espèce.

La théorie des contours conjugués conduit aussi à considérer les mêmes
intégrales à un point de vue tout différent.

Soient trois courbes planes parallèles et équidistantes $(c)$ $(a)$ $(\gamma)$; désignons
par~$a$ les distances constantes et égales $ca$ % [** PP: Typo Ca]
et~$a\gamma$.

Cherchons le $Z$ du contour~$(c')$ conjugué de~$(c)$ et qui admet pour projection
sur le plan de la figure la courbe~$(\gamma)$, après une rotation de $90°$
autour d'un point du plan. Comme
\begin{align*}
d(c)      &= (R + a)\, d\theta, \\
d(\gamma) &= (R - a)\, d\theta,
\end{align*}
si $R$ et~$d\theta$ désignent le rayon de courbure et l'angle de contingence de~$(a)$ au
point~$a$; d'après ce qui a été dit au \Secref{87}
\[
dZ = \sqrt{d(c)^2 - d(\gamma)^2} = \sqrt{2a}· d\theta\, \sqrt{R}.
\]

Conséquemment
\[
Z = \sqrt{2a} \int d\theta\, \sqrt{R}.
\]

%% -----File: 149.png---Folio 143-------

Sans entrer dans aucun nouveau détail, nous dirons, par exemple,
que:

\begin{Emph}
Toutes les fois qu'un élassoïde admet une géodésique plane~$(a)$ et que les
projections de ses lignes de courbure, sur le plan de la géodésique, sont
algébriques, on peut faire passer un élassoïde algébrique par chacune des
courbes parallèles à~$(a)$.
\end{Emph}

Arrêtons-nous un instant à montrer comment se déterminent les lignes de
courbure d'élassoïdes simples, algébriques ou non.


\Section{111.}
{Les lignes de courbure d'un élassoïde dont une parabole est géodésique
dépendent des fonctions elliptiques.}

\emph{Élassoïde admettant pour géodésique une parabole.}

L'élassoïde n'est pas algébrique puisque l'arc de la développante de la
parabole dépend des logarithmes. Prenant pour origine le foyer et pour axe
polaire l'axe de la courbe, on voit, d'après les propriétés élémentaires de la
parabole, que
\[
R = \frac{p}{\cos^3\theta}\footnotemark,
\]
\footnotetext{$\theta$ étant l'angle de la normale avec l'axe de la parabole.}%
si $p$ désigne le paramètre de la courbe. Conséquemment l'intégrale caractéristique
de l'équation des lignes de courbure (car les deux intégrales sont
de même forme quand les deux courbes $(a)$ et~$(b)$ coïncident) est
\[
\sqrt{p}· \int \frac{d\theta}{\sqrt{\cos^3\theta}}\;,
\]
posons
\[
\cos \theta = \frac{1}{\cos 2\omega}\;,
\]
%% -----File: 150.png---Folio 144-------
on obtient l'intégrale transformée
\[
\sqrt{p}\, \sqrt{-1} \int d\omega\, \sqrt{1 - 2\sin^2\omega}.
\]

\begin{Emph}
Ainsi la détermination des lignes de courbure {\upshape(}ou des asymptotiques{\upshape)}
dépend des fonctions elliptiques.
\end{Emph}


\Section{112.}
{Lignes de courbure d'un élassoïde admettant pour géodésique la développée
d'une parabole. {\upshape(}Fonctions elliptiques.{\upshape)}}

\emph{Élassoïde admettant pour géodésique la développée d'une parabole.}

Cette surface est algébrique:

Le rayon de courbure de la développée n'est autre chose que la dérivée du
rayon de courbure de la développante; on aura donc, en conservant les notations
précédentes, pour l'intégrale caractéristique,
\[
\int \frac{d\theta\, \sqrt{\sin\theta}}{\cos^2\theta},
\]
posons cette fois,
\[
\cos\theta = \frac{1}{\smfrac{\sqrt{2}}{2} (\cos\omega + \sin\omega)};
\]
nous obtenons l'intégrale transformée
\[
\int d\omega\, \sqrt{1 - 2 \sin^2\omega}.
\]

Ainsi, \emph{la détermination des lignes de courbure ou des asymptotiques de
l'élassoïde admettant pour géodésique la développée d'une parabole dépend
aussi des fonctions elliptiques}.

%% -----File: 151.png---Folio 145-------

\Section{113.}
{Lignes de courbure des élassoïdes admettant pour géodésique une épicycloïde.
{\upshape(}Fonctions elliptiques.{\upshape)}}

Considérons maintenant \emph{tous les élassoïdes admettant pour géodésiques des
épicycloïdes ou des hypocycloïdes planes}. On sait que ces courbes sont semblables
à leurs développées, par conséquent toutes celles qui sont algébriques
[et il y en a une infinité] donnent lieu à des élassoïdes algébriques.

$R$~désignant le rayon du cercle, \emph{base de l'épicycloïde}, et $r$~le rayon de la
\emph{roulette génératrice}, $p$~la distance, à la tangente, du centre de la \emph{base}, $\omega$~étant
l'angle de la normale et de l'axe polaire,
\[
p = (R + 2r) \sin \frac{R}{R + 2r} \omega,
\]
de même, pour une hypocycloïde on trouverait
\[
p' = (R - 2r)\sin \frac{R}{R - 2r} \omega.
\]

Conséquemment, d'une façon générale pour les deux genres de courbes,
\[
p = \alpha \sin k\omega,
\]
et les courbes correspondantes seront algébriques chaque fois que $k$ sera un
nombre commensurable.

L'intégrale caractéristique des lignes de courbure prend la forme
\[
\int d\omega\, \sqrt{\sin k\omega},
\]
posons
\[
\omega = \frac{\pi}{2k} - \frac{2}{k}\varphi
\]
%% -----File: 152.png---Folio 146-------
et nous transformerons l'intégrale précédente en celle-ci
\[
\int d\varphi\, \sqrt{1 - 2\sin^2\varphi}.
\]

Donc on peut énoncer cette proposition générale:

\begin{Emph}
La détermination des lignes de courbure ou des asymptotiques des
élassoïdes admettant pour géodésiques une épicycloïde ou une hypocycloïde,
dépend des fonctions elliptiques.
\end{Emph}


\Section{114.}
{Élassoïde d'Enneper à lignes de courbure algébriques.}

Donnons maintenant des exemples d'élassoïdes dont les lignes de courbure
sont algébriques.

Considérons \emph{l'élassoïde admettant pour géodésique la première podaire
négative de la parabole, prise par rapport au foyer}.

La podaire de la courbe considérée n'est autre chose que la parabole;
conséquemment, si $p$ désigne la distance de l'origine à une tangente, et
$\theta$ l'angle de la normale avec l'axe polaire
\[
p = \frac{a}{\cos^2 \smfrac{\theta}{2}},
\]
($a$~désignant cette fois le demi-paramètre de la parabole) comme d'ailleurs
\[
R = p + \frac{d^2p}{d\theta^2}
  = \frac{3}{2} a\, \frac{1}{\cos^4 \smfrac{\theta}{2}};
\]
on voit que l'intégrale caractéristique a pour valeur
\[
\tg \frac{\theta}{2},
\]
%% -----File: 153.png---Folio 147-------
par conséquent l'équation des lignes de courbure est
\[
\tg \frac{\varphi}{2} ± \tg \frac{\psi}{2} = \text{constante},
\]
et l'on voit que les lignes de courbure ou les asymptotiques sont algébriques.

D'un autre côté, on aura manifestement une développante de la courbe
choisie en considérant l'équation tangentielle
\[
P = \int p\, d\theta,
\]
où $P$ désigne la distance de l'origine à la tangente de cette développante et~$\varphi$
l'angle de la tangente et de l'axe polaire. Or,
\[
P = 2a·\tg \frac{\theta}{2}.
\]

La développante est donc algébrique.

On voit que \emph{l'élassoïde qui admet pour géodésique la première podaire
négative de la parabole prise par rapport au foyer, est algébrique; il a ses
lignes de courbure et ses lignes asymptotiques algébriques}.

Nous montrerons plus loin que cet élassoïde a ses lignes de courbure
planes. Il a été découvert par Enneper.

% [** PP: Omitted () around section number]
Les considérations du \Secref{109} peuvent être invoquées; elles montrent que
\emph{par les courbes parallèles à la première podaire négative de la parabole \emph{(le
pôle étant au foyer)} on peut faire passer des élassoïdes algébriques}.


\Section{115.}
{On peut déduire de l'élassoïde d'Enneper un nouvel élassoïde algébrique
dont les lignes de courbure s'intègrent.}

Mais on peut déduire de ce qui précède un nouvel élassoïde algébrique
dont les lignes de courbure ou les asymptotiques s'intègrent.

%% -----File: 154.png---Folio 148-------

Si nous considérons en effet l'élassoïde admettant pour géodésique la développée
de cette première podaire négative de la parabole (surface manifestement
algébrique), nous trouvons pour l'intégrale caractéristique des lignes de
courbure
\[
\int \frac{d\theta}{\cos^2\smfrac{\theta}{2}} \sqrt{\tg \smfrac{\theta}{2}}.
\]

Dès lors l'intégrale des lignes de courbure ou des asymptotiques est
donnée par une relation de la forme
\[
  m \left(\tg \frac{\varphi}{2}\right)^{\frac{3}{2}}
± n \left(\tg \frac{\psi}{2}\right)^{\frac{3}{2}} = \text{constante}.
\]

Enfin, ce qui précède met en évidence une application des plus remarquables
sur laquelle il convient d'insister.


\Section{116.}
{Deux exemples de lignes de courbure transcendantes.}

La podaire négative dont il vient d'être question est la développée d'une
courbe algébrique~$(C)$ dont l'équation tangentielle est, comme nous l'avons
montré,
\[
P = 2a - \tg \frac{\theta}{2}.
\]

Les développantes de celles-ci sont à leur tour définies par l'équation
\[
P' = -4a \log\Reg{·}{} \cos \frac{\theta}{2} + C,
\]
laquelle est transcendante, par conséquent \emph{l'élassoïde, qui admet~$(C)$ pour
géodésique, est transcendant}.

Les lignes de courbure et les asymptotiques sont également transcendantes;
donc de ce côté il n'y a rien à découvrir au point de vue de l'\emph{algébricité}.

%% -----File: 155.png---Folio 149-------

Mais il n'en sera pas de même si nous considérons la transformée par
rayons vecteurs réciproques de la parabole en prenant pour pôle de transformation
le foyer.

Soit $\theta$ l'angle de la parallèle à la normale en c à la courbe considérée~$(C)$.
Soit~$P$ le pied de la perpendiculaire abaissée du foyer~$F$ sur la tangente.
Enfin soit~$b$ le point correspondant de la première podaire négative de la
parabole. On sait que $Fb$ est parallèle à la normale en~$c$ à~$(C)$ et que~$F$, $P$ et
$b$ sont en ligne droite. % [** PP: Not spacing F b]

On a manifestement
\[
Fb = \frac{a}{\cos^3 \smfrac{\theta}{3}}\;,
\]
comme d'ailleurs
\[
Fb × FP = a^2,
\]
($a^2$ étant pris pour la puissance de transformation)
\[
FP = a \cos^3 \frac{\theta}{3};
\]
mais, si l'on forme l'équation de la développante
\[
P = \int d\theta\, a \cos^3 \frac{\theta}{3}
= 3a \sin \frac{\theta}{3} \left(1 - \frac{1}{3} \sin^2 \frac{\theta}{3}\right).
\]
On voit qu'elle est algébrique; conséquemment:

\begin{Emph}
L'élassoïde qui admet pour géodésique la transformée par rayons vecteur~$s$
réciproques d'une parabole \emph{(le pôle étant au foyer)} est algébrique\footnotemark.
\end{Emph}
  \footnotetext{Cette courbe est une cardioïde, variété d'une épicycloïde algébrique; conséquemment, on
  devait prévoir que l'élassoïde serait algébrique, mais ce qui précède conduit à la généralisation
  qu'il importait de signaler.}

On trouve en opérant comme d'habitude, pour le rayon de courbure
de~$(C)$,
\[
R_c = \frac{2}{3} a \cos \frac{\theta}{3}.
\]

%% -----File: 156.png---Folio 150-------

Dès lors l'intégrale caractéristique des lignes de courbure et des asymptotiques
devient
\[
  \int \frac{d\theta}{6}\, \sqrt{\cos \frac{2\theta}{6}}
= \int \frac{d\theta}{6}\, \sqrt{1 - 2\sin^2\frac{\theta}{6}}.
\]

\emph{La détermination des lignes de courbure de cet élassoïde dépend encore des
fonctions elliptiques.}


\Section{117.}
{Étude d'une famille d'élassoïdes algébriques ou dépendant
de fonctions circulaires.}

Plus généralement, considérons la courbe~$(C_n)$ dont l'équation tangentielle
est
\[
p_n = a \cos^n \frac{\theta}{n};
\]
on trouve pour son rayon de courbure~$R_n$
\[
R_n = a · \frac{n-1}{n} \cos^{n-2} \frac{\theta}{n}.
\]

Conséquemment la développante serait définie par l'équation
\[
P_{D_n} = na \int \frac{d\theta}{n}\, \cos^n \frac{\theta}{n},
\]
et l'intégrale caractéristique des lignes de courbure des élassoïdes dérivés de~$(C_n)$
serait
\[
\int d\theta\, \cos^{\frac{n}{2} - 1} \frac{\theta}{n}.
\]

Si $n$ est impair,
\[
P_{D_n} = a \sin \frac{\theta}{n}
  \left[\cos^{n-1}\frac{\theta}{n} + \frac{n-1}{n-2} \cos^{n-3} \frac{\theta}{n}
        + \dotsb \frac{2·4\dotsm (n-3)(n-1)}{1·3\dotsm (n-4)(n-2)}\right] + C;
\]
par conséquent \emph{la développante est toujours algébrique}.

Il en résulte, alors, que \emph{tout élassoïde admettant pour géodésique une
%% -----File: 157.png---Folio 151-------
courbe $(C_{2m+1})$ est algébrique.} [Nous indiquons par les notations $(C_{2m})$,
$(C_{2m+1})$ des courbes satisfaisantes pour lesquelles le coefficient~$n$ prend des
valeurs paires et impaires.]

Si $n$ est pair,
\begin{align*}
P_{D_n} = a \sin \frac{\theta}{n}
  \left[\cos^{n-1}\frac{\theta}{n} \right.
  &+ \left.\frac{n-1}{n-2} \cos^{n-3}\frac{\theta}{n}
   + \dotsb \frac{3·5\dotsm (n-3)(n-1)}{2·4\dotsm (n-4)(n-2)}
     \cos \frac{\theta}{n}\right] \\
  &+ \frac{1·3\dotsm (n-3)(n-1)}{2·4\dotsm (n-2)n}\, \frac{\theta}{n} + C.
\end{align*}
Conséquemment \emph{tout élassoïde admettant pour géodésique une courbe $(C_{2m})$
dépend des fonctions circulaires}.

Mais il est remarquable que, dans ce cas, les intégrales caractéristiques, et
par conséquent les lignes de courbure des élassoïdes dérivés dépendent aussi
seulement des fonctions circulaires. En effet, on a
\[
n = 4m;\quad \text{ou}\quad n = 2m,
\]
suivant que le nombre pair $n$ est ou n'est pas divisible par~$4$.

\begin{Emph}
Supposons tout d'abord que $n$ soit divisible par~$4$; \emph{il vient alors}
\[
\int d\theta\, \sqrt{R}
  = k \int d\omega\Reg{·}{\,} \cos^{2m-1}\omega,
\]
dont l'expression intégrale est algébrique. \emph{Il en résulte que} les projections
des lignes de courbure et des asymptotiques des élassoïdes dérivés d'une courbe
$(C_{4n})$, sur le plan de cette courbe, sont algébriques. Les courbes elles-mêmes,
comme les élassoïdes, dépendent des fonctions circulaires.

Supposons maintenant que $n$ ne soit divisible que par~$2$
\[
\int d\theta\, \sqrt{R} = k \int d\omega\, \cos^{m-1}\omega,
\]
\emph{et comme la puissance du cosinus est paire}, les projections des lignes de
courbure des élassoïdes dérivés de la courbe $(C_{2n})$ dépendent des fonctions
circulaires.

Considérons encore le cas où $n$ est pair et négatif. \emph{Soit, par exemple,}
\[
n = -4m,\quad \text{ou}\quad n = -2m
\]
\end{Emph}

%% -----File: 158.png---Folio 152-------

Dans le premier et le second cas
\begin{align*}% [** PP: Aligning, re-breaking]
P_{D_{-2m}}
  &= a\int d\theta\, \sec^{2m} \frac{\theta}{2m} \\
  &=
\begin{aligned}
  a \frac{\sin \smfrac{\theta}{2m}}{2m-1}
       \left[\sec^{2n-1} \frac{\theta}{2m} \right.
          &+ \frac{2m-2}{2m-3} \sec^{2m-3} \frac{\theta}{2m}
           + \dotsb \\
       &\left.
           + \frac{2·4\dotsm (2m-4)(2m-2)}
                  {1·3\dotsm (2m-5)(2m-3)} \sec \frac{\theta}{2m}\right] + C;
\end{aligned}
\end{align*}
par conséquent \emph{les élassoïdes dérivés sont tous algébriques}.

Dans le premier cas [$n = -4m$]
\begin{align*} % [** PP: Aligning, re-breaking]
&\int d\theta\, \sqrt{R}
  = k \int d\omega\, \sec^{2m+1}\omega \\
&\qquad
  = k \frac{\sin \omega}{2m}
      \left[\sec^{2m}\omega + \frac{2m-1}{2m-2} \sec^{2m-1}\omega + \dotsb
% [** PP: Adding +]
  + \frac{3·5\dotsm (2m-1)}{2·4\dotsm (2m-2)} \sec^2\omega\right] \\
  &\qquad\qquad
  + \frac{1·3\dotsm (2m-1)}{2·4\dotsm 2m}
          \log \tg \left(\frac{\omega}{2} + \frac{\pi}{4}\right),
\end{align*}
donc \emph{les projections des lignes de courbure des élassoïdes dérivés, sur le plan
de $(C_{-4m})$, dépendent des logarithmes}.

Dans le second cas [$n = -2m$]
\begin{align*}% [** PP: Re-breaking]
\int d\theta\, \sqrt{R}
  &= k \int d\omega\, \sec^{2m'}\omega \\
&\begin{aligned}
   = k \frac{\sin\omega}{2m'-1}
     \left[\vphantom{\dfrac{(2)}{(1)}}\sec^{2m'-1}\omega \right.
     &+ \frac{2m'-2}{2m'-3} \sec^{2m'-3}\omega + \dotsb \\
     &+ \left.
        \frac{2·4\dotsm (2m'-4)(2m'-2)}
             {1·3\dotsm (2m'-5)(2m'-3)} \sec\omega\right] + C;
\end{aligned}
\end{align*}
par conséquent \emph{les lignes de courbure des élassoïdes dérivés de~$(C_{-2m})$ sont
algébriques}.


\Section{118.}
{Récapitulation de la nature des élassoïdes et de leurs lignes de courbure.}

% [** PP: If the table gets separated from the text reference, make a footnote]
On peut résumer les résultats établis ci-dessus, dans un
\hyperref[table1]{tableau récapitulatif}.\phantomsection\label{table1ref}%
\ifthenelse{\not\equal{\pageref{table1}}{\pageref{table1ref}}}%
{\footnote{\textit{Voir} page~\pageref{table1}. \quad ---\bsc{Trans}.}}{}
Remarquons tout d'abord que les courbes~$(C)$ sont des \emph{podaires positives
ou négatives d'un point fixe}\footnotemark, que par conséquent \emph{une podaire positive et}
\footnotetext{Si $n$ est entier seulement.}
%% -----File: 159.png---Folio 153-------
\emph{la podaire négative de même rang peuvent être considérées comme les transformées
par rayons vecteurs réciproques l'une de l'autre.}

\begin{table*}[htb]
\begin{center}
\phantomsection\label{table1}%
\makebox[0pt][c]% Coax overall centering regardless of true width
{\scriptsize
\begin{tabular}{|*{6}{|@{\;}c@{\;}}||}
\hline
\settowidth{\TmpLen}{coefficient~$n$. }%
\begin{minipage}{\TmpLen}
\centering
\Strut Valeurs \\ du \\ coefficient~$n$.
\end{minipage} &
\settowidth{\TmpLen}{des podaires}%
\begin{minipage}{\TmpLen}
\centering
\Strut Indices \\ des podaires \\ de points.
\end{minipage} &
\settowidth{\TmpLen}{Désignation}%
\begin{minipage}{\TmpLen}
\centering
\Strut Désignation \\ de la \\ courbe~$(C)$.
\end{minipage} &
\settowidth{\TmpLen}{Fonctions circulaires}%
\begin{minipage}{\TmpLen}
\centering
\Strut Nature \\ des \\ élassoïdes dérivés.
\end{minipage} &
\multicolumn{2}{c||}{%
\settowidth{\TmpLen}{Lignes de courbure ou asymptotiques.}%
\begin{minipage}{\TmpLen}%
\centering
\Strut Lignes de courbure ou asymptotiques.\\
\rule{0.25in}{0.5pt} \\
\textsc{nature} \\
%\settowidth{\TmpLen}{Fonctions logarithmiques Fonctions logarithmiques}%
%$\overbrace{\rule{\TmpLen}{0pt}}^{}$ % [** PP; Omitting brace]
\smallskip
\end{minipage}}% End of multicolumn
\\
& & & & des projections.\Strub & des courbes mêmes. \\
\hline
\Strut\dotfill & \dotfill & \dotfill & \dotfill & \dotfill & \dotfill \\
\NS{-8} & \NS{-9} & \Ditto & Algébrique & Fonctions logarithmiques & Fonctions logarithmiques \\
\NS{-7} & \NS{-8} & \Ditto & \Ditto     & \Ditto      & \Ditto \\
\NS{-6} & \NS{-7} & \Ditto & \emph{Algébrique} & \emph{Algébriques} & \emph{Algébriques} \\
\NS{-5} & \NS{-6} & \Ditto & \Ditto     & \Ditto      & \Ditto \\
\NS{-4} & \NS{-5} & \Ditto & Algébrique & Fonctions logarithmiques & Fonctions logarithmiques \\
\NS{-3} & \NS{-4} & \Ditto & \Ditto     & \Ditto      & \Ditto \\
\NS{-2} & \NS{-3} &
\settowidth{\TmpLen}{Géodésique de}%
  \begin{minipage}{\TmpLen}
    \centering
    \scriptsize Géodésique de \\
    \scriptsize l'ennépérien
  \end{minipage} & \emph{Algébrique} & \emph{Algébriques} & \emph{Algébriques} \\
\NS{-1} & \NS{-2} & Parabole & Logarithmique & Fonctions elliptiques & De deuxième espèce \\
\NS{0} & \NS{-1} & Droite & Plan & \Ditto & \Ditto \\
\NS{+1} & \NS{0} & Point & Point & Fonctions elliptiques & De première espèce \\
\NS{+2} & \NS{+1} & Cercle & Fonctions circulaires & Fonctions circulaires & Fonctions circulaires \\
\NS{+3} & \NS{+2} & Cardioïde & Algébrique & Fonctions elliptiques & De deuxième espèce \\
\NS{+4} & \NS{+3} & \Ditto & Fonctions circulaires & \emph{Algébriques} & Fonctions circulaires \\
\NS{+5} & \NS{+4} & \Ditto & Algébrique & \Ditto & \Ditto \\
\NS{+6} & \NS{+5} & \Ditto & Fonctions circulaires & Fonctions circulaires & Fonctions circulaires \\
\NS{+7} & \NS{+6} & \Ditto & Algébrique & \Ditto & \Ditto \\
\NS{+8} & \NS{+7} & \Ditto & Fonctions circulaires & \emph{Algébriques} & Fonctions circulaires \\
\NS{+9} & \NS{+8} & \Ditto & Algébrique & \Ditto & \Ditto \\
\Strub\dotfill & \dotfill & \dotfill & \dotfill & \dotfill & \dotfill \\
\hline
\end{tabular}} % End of \scriptsize
\end{center}
\end{table*}


\Section{119.}
{Autres élassoïdes algébriques à lignes de courbure intégrables.}

Il serait bien facile de former les équations d'élassoïdes dont les lignes de
courbure ou les asymptotiques peuvent s'intégrer; démontrons-en simplement
la possibilité.

Tout élassoïde admettant pour géodésique la développée d'une courbe~$(C_n)$
podaire, positive ou négative d'un point fixe, sera algébrique. Mais puisque
\[
R_n = a \frac{n-1}{n} \cos^{n-2} \frac{\theta}{n},
\]
%% -----File: 160.png---Folio 154-------
on obtient par dérivation pour le rayon de courbure de la développée
\[
\frac{d}{d\theta} R_n
  = -\frac{a(n-1)(n-2)}{n^2} \cos^{n-3} \frac{\theta}{n} \sin \frac{\theta}{n}.
\]
Conséquemment l'intégrale caractéristique des lignes de courbure du nouvel
élassoïde sera de la forme
\[
\int d\omega\Reg{·}{\,}
  \cos^{\frac{n-3}{2}}\omega · \sin^{\frac{1}{2}}\omega,
\]
qui se ramène immédiatement aux intégrales binômes. En particulier si $n$ est
égal à
\[
4\alpha + 2\quad\text{ou}\quad 4\alpha + 1, % [** PP: Typo .]
\]
l'intégration s'effectue complétement, $\alpha$ étant un nombre entier arbitraire.
% [** PP: In the original, previous line is a complete paragraph.]

A propos de l'étude des élassoïdes applicables sur des surfaces de révolution,
nous aurons l'occasion de montrer de nouveaux exemples d'élassoïdes
dont les lignes de courbure sont algébriques.


\Section{120.}
{Relations entre deux géodésiques planes réciproques, d'un même élassoïde.}

Nous terminerons ce chapitre en établissant une propriété fort curieuse
des élassoïdes admettant un plan de symétrie. Un élassoïde de cette nature
est coupé par le plan suivant une géodésique; si celle-ci admet un axe de
symétrie, le plan mené par cet axe perpendiculairement au premier est
encore plan de symétrie; il coupe donc l'élassoïde suivant une nouvelle
géodésique et ce sont les relations de ces deux géodésiques réciproques que
nous allons mettre en évidence.

Soient pris pour plan des $XY$ et des $ZX$ les deux plans de symétrie, le
plan des $YZ$ étant pris perpendiculairement aux précédents, et l'origine étant
arbitraire.

%% -----File: 161.png---Folio 155-------

Considérons une développable isotrope dont les tangentes sur le plan des
$XY$ ont pour équation
\[
X \cos\varphi + Y \sin\varphi - F = 0.
\]
Soit d'un autre côté pour l'équation des traces des plans tangents de cette
développable sur le plan des~$ZX$
\[
X \cos\alpha + Z \sin\alpha - p = 0.
\]
L'équation du plan tangent isotrope étant
\[
X \cos\varphi + Y \sin\varphi + iZ - F = 0,
\]
sa section par le plan des $ZX$ aura pour équation
\[
X \cos\varphi + iZ - F = 0,
\]
on l'identifiera à la trace déjà considérée en posant
\begin{gather*}
p = \frac{F}{i \sin\varphi} = -\frac{iF}{\sin\varphi}, \\ % [** PP: Moved - out of numerator]
\tg \alpha = \frac{i}{\cos\varphi}\quad \text{d'où}\quad
\cos\alpha = ±i \cot\varphi,
\end{gather*}
on en déduit
\[
\frac{d\varphi}{d\alpha} = i \sin\varphi.
\]

Désignons par $(M)$ et~$(N)$ les traces de la développable isotrope sur les
plans des $XY$ et des~$XZ$, par $M$ et~$N$ les points de contact des tangentes correspondantes; % [** PP: Typo corresdantes]
par~$(m)$ et~$(n)$ les développées respectives de~$(M)$ et~$(N)$; par~$m$ et~$n$
les points correspondants de ces courbes; enfin par~$R_M$ et~$R_N$ ou~$R_m$ et~$R_n$ les
rayons de courbure des courbes $(M)$ et~$(N)$ ou~$(m)$ et~$(n)$. Comme
\begin{gather*}
\frac{dp}{d\alpha} = F' - F \cot\varphi, \\
\frac{d^2p}{d\alpha^2} = i(F'' \sin\varphi - F' \cos\varphi) + \frac{F}{\sin\varphi}, \\
\intertext{on voit que}
R_N = p + \frac{d^2p}{d\alpha^2} = i(F'' \sin\varphi - F' \cos\varphi).
\end{gather*}

%% -----File: 162.png---Folio 156-------

Pour le rayon de courbure de la développée on obtient de même
\[
R'_n
  = \frac{d}{d\alpha} R_N
  = -(F''' + F') \sin^2\varphi.
\]

Enfin, désignons par $m$ et~$n$ les longueurs des normales menées en~$m$ et~$n$
aux courbes~$(m)$ et~$(n)$ et prolongées l'une jusqu'à la rencontre de l'axe~$OY$,
l'autre jusqu'à la rencontre de l'axe~$OZ$. Nous trouvons
\[
n = (F'' \cos\varphi + F' \sin\varphi) \sin\varphi.
\]

Parallèlement on a
\begin{gather*}
R'_m = F''' + F', \\
m = \frac{F'' \cos\varphi + F' \sin\varphi}{\sin\varphi}.
\end{gather*}

Le tableau suivant, dans lequel nous avons introduit les coordonnées des
points $m$ et~$n$, résume l'analyse précédente.
\[
\begin{array}{c|c}
\text{\textsc{\footnotesize dans le plan des} $X$, $Y$.} &
\text{\textsc{\footnotesize dans le plan des} $X$, $Z$.} \\
\hline % [** PP: Using \hline in lieu of braces]
\begin{aligned}
  -x_m &= F'' \cos\varphi + F' \sin\varphi, \vphantom{\bigg|} \\
  +y_m &= F'' \sin\varphi - F' \sin\varphi, \\
     m &= \frac{F'' \cos\varphi + F' \sin\varphi}{\sin\varphi}, \\
  R'_m &= F''' + F'.
\end{aligned} &
\begin{aligned}
  -x_n &= F'' \cos\varphi + F' \sin\varphi, \vphantom{\bigg|} \\
   z_n &= i(F'' + F), \\
     n &= (F'' \cos\varphi + F' \sin\varphi) \sin\varphi,\vphantom{\bigg|} \\
  R'_n &= -(F''' + F') \sin^2\varphi.
\end{aligned}
\end{array}
\]

Prenons pour $(m)$ une courbe réelle et cherchons l'élassoïde qui l'admet
pour géodésique. Cet élassoïde est \emph{double}; les deux arêtes de rebroussement
des focales isotropes génératrices coïncident avec une seule ligne de longueur
nulle dont la projection sur le plan des~$XY$ sera~$(m)$, comme elle sera~$(n)$
sur le plan des~$XZ$. Conséquemment le tableau précédent donne les relations
existant entre deux géodésiques particulières de l'élassoïde. Si $S_{(m)}$ et~$S_{(n)}$ désignent
les longueurs des arcs de ces deux courbes (toutes deux réelles si~$OX$
%% -----File: 163.png---Folio 157-------
est axe de symétrie) on a
\begin{gather*}
z_n = iS_{(m)},\qquad y_m = iS_{(n)}, \\
x_n = x_m, \\
\frac{R'_m}{m} = -\frac{R'_n}{n}.
\end{gather*}

Les deux premières relations sont de simples vérifications de ce fait que
les courbes $(m)$ et~$(n)$ sont les deux projections d'une courbe de longueur
nulle.


\Section{121.}
{Géodésiques planes pour lesquelles $R = ± kn$; elles sont toujours associées
sur un même élassoïde.}

La troisième relation présente un intérêt tout particulier. Il est clair qu'aux
points réels de la courbe~$(m)$ correspondent des points imaginaires de~$(n)$ et
inversement; la relation qui nous occupe n'aurait donc qu'un intérêt secondaire
si elle ne caractérisait pour certaines courbes une double propriété
invariante.

Considérons en effet une courbe~$(m)$ telle que le rapport du rayon de courbure
à la normale (comptée jusqu'à l'axe~$OY$) soit constant et égal à~$k$. La
relation précitée exprime que la courbe~$(n)$ jouit d'une propriété analogue,
le rapport du rayon de courbure et de la normale étant cette fois égal à~$-k$.

L'étude des élassoïdes qui donnent lieu à ces propriétés fera l'objet du
chapitre qui suit.

\TbEoC

%% -----File: 164.png---Folio 158-------


\Chapter{XIV.}
{ÉTUDE D'UNE FAMILLE D'ÉLASSOÏDES PARTICULIERS.---LIGNES ALGÉBRIQUES.
LIGNES DE COURBURE.}

\Section{122.}
{Il y a deux élassoïdes satisfaisants déjà connus, l'alysséide et la surface
de M.~Catalan.}

Il convient tout d'abord d'observer que l'on connaît déjà deux élassoïdes
de la famille.

L'élassoïde de révolution a pour méridienne une chaînette qui est une
ligne géodésique plane; il admet une autre géodésique plane qui est le
cercle de gorge. Pour cette courbe le rayon de courbure est égal à la normale,
et, conformément au théorème général, le rayon de courbure de la chaînette
est bien égal et de signe contraire à la normale comptée jusqu'à la base.
L'élassoïde de révolution est transcendant, mais il admet une famille de lignes
algébriques qui sont les sections par des plans perpendiculaires à l'axe de
révolution.

En second lieu, M.~Catalan a fait connaître un très-bel élassoïde engendré
par des paraboles et une cycloïde, admettant deux géodésiques planes, l'une
parabolique, l'autre cycloïdale, comportant aussi une famille de courbes algébriques,
les paraboles du second degré. Or la parabole, comme la cycloïde,
jouit de cette propriété que son rayon de courbure est double de la normale.
%% -----File: 165.png---Folio 159-------
Dans le premier cas, le rapport est négatif (la normale est comptée jusqu'à la
directrice), dans le second cas, le rapport est positif (la normale est comptée
jusqu'à la base).

C'est en faisant \emph{à priori} ce rapprochement et en cherchant pourquoi s'associent
sur un même élassoïde des courbes algébriques et transcendantes
disparates, comme la parabole et la cycloïde, que nous avons été amené à
soupçonner le théorème général.


\Section{123.}
{Les roulettes génératrices des courbes pour lesquelles $R = n\rho$ ont
pour équation $p = a \cos^n \dfrac{\theta}{n}$.}

Cherchons les courbes planes $(O)$ pour lesquelles le rayon de courbure~$R_0$
est égal au produit de la normale comptée jusqu'à la rencontre d'une
droite~$DD'$, par un coefficient $n$ arbitraire, mais constant. Bien que le problème
soit résolu dans tous les traités, il convient pour notre objet d'en donner
une solution fort simple et qui a l'avantage d'introduire à nouveau des
courbes intéressantes, rencontrées précédemment.

Considérons la roulette $(C)$ qui, roulant sur~$DD'$, ferait décrire à un point~$O$
de son plan la courbe satisfaisante~$(O)$: $\mu$~désignant à chaque instant l'angle
de~$OC$ avec~$DD'$, $r$~désignant le rayon de courbure en~$C$ de~$(C)$, on
obtient sans difficulté la relation\footnote{$\rho$ désigne la distance~$OC$.}
\[
R_0 = \frac{\rho^2}{\rho - r \sin\mu}.
\]

Dans le cas actuel, de ce que
\[
R_0 = n\rho,
\]
on déduit
\[
\frac{\rho}{\sin\mu} · \frac{n-1}{n} = r.
\]

%% -----File: 166.png---Folio 160-------

Considérons maintenant la roulette~$(C)$ dans son plan, $XX'$~étant un axe
fixe passant par le pôle~$O$, $\omega$ désignant l'angle polaire~$COX'$, $\theta$~l'angle de la
normale à~$(C)$ avec l'axe fixe. On sait que, si~$d(C)$ représente l'élément
d'arc
\begin{align*}
\frac{d(C)}{d\omega} &= \frac{\rho}{\sin\mu}, \\
\frac{d(C)}{d\theta} &= r.
\end{align*}
Conséquemment l'équation du problème devient
\[
d\theta\, \frac{n-1}{n} = d\omega.
\]
Donc, en choisissant pour~$XX'$ une direction convenable
\[
\theta \frac{n-1}{n} = \omega;
\]
mais d'un autre côté, on a généralement
\[
\theta = \frac{\pi}{2} - \mu + \omega,
\]
ce qui, dans l'espèce, donne
\[
\frac{\pi}{2} - \mu = \frac{\theta}{n}.
\]

Il est maintenant facile d'intégrer l'équation des courbes~$(C)$. Si $p$ désigne
la distance~$OP$ de l'origine à la tangente, comme l'angle de la tangente à la
podaire~$(P)$ avec~$OP$ est égal à~$\mu$, on sait que
\[
\cot\mu = -\frac{dp}{p\, d\theta}. % [** PP: cotg in original]
\]
Il en résulte pour l'équation différentielle des courbes~$(C)$
\[
\frac{dp}{p} + n\, \frac{d\theta}{n} \tg \frac{\theta}{n} = 0.
\]
%% -----File: 167.png---Folio 161-------
En définitive
\[
p = a \cos^n \frac{\theta}{n}.
\]
Ainsi les roulettes~$(C)$ sont précisément les courbes étudiées au chapitre précédent.

Si nous revenons aux courbes~$(O)$, nous voyons que
\settowidth{\TmpLen}{\text{l'ordonnée}}%
\begin{align*}
\makebox[\TmpLen][l]{\text{l'ordonnée}}\quad y &= p, \\
\makebox[\TmpLen][l]{\text{l'abscisse}}\quad x &= \int p\, d\theta;
\end{align*}
car cette dernière intégrale est, comme il a été dit déjà, l'expression de la
distance de l'origine~$(O)$ à la tangente d'une développante $(D)$ de~$(C)$, et, la
courbe~$(D)$ entraînée dans le roulement de~$(C)$ sur~$DD'$ passe constamment
par un point fixe qu'on peut prendre pour origine des abscisses.

Conséquemment la courbe~$(O)$ sera algébrique \emph{en même temps que l'élassoïde
admettant la roulette correspondante~$(C)$ pour géodésique}.


\Section{124.}
{Les deux roulettes génératrices des courbes pour lesquelles $R = ± n\rho$
sont transformées l'une de l'autre par rayons vecteurs réciproques.}

D'après le théorème général qui a motivé cette étude, l'élassoïde, admettant~$(O)$
pour géodésique, en admet une autre~$(O')$ telle qu'en chacun de ses
points
\[
R_{O'} = -n\rho.
\]
Dès lors, la roulette~$(C')$ correspondante a pour équation tangentielle
\[
p' = a \cos^{-n} \frac{\theta}{n},
\]
et l'on a
\[
pp' = a^2.
\]
%% -----File: 168.png---Folio 162-------
\emph{Les podaires des roulettes $(C)$, $(C')$ correspondantes, sont transformées, par
rayons vecteurs réciproques, l'une de l'autre.}

Le rayon de courbure $R_O$ a pour valeur
\[
R_O = n\rho = n\, \frac{p}{\sin\mu}
  = na \cos^{n-1} \frac{\theta}{n};
\]
par conséquent l'intégrale caractéristique de l'élassoïde qui admet pour
géodésique $(O)$ (l'angle de contingence de~$(O)$ étant précisément~$d\mu$) a pour
valeur
\[
\int d\theta\, \cos^{\frac{n-1}{2}} \frac{\theta}{n},
\]
et l'équation des lignes de courbure ou des asymptotiques de l'élassoïde sera
algébrique toutes les fois que l'intégrale précédente le sera. Les projections
de ces lignes, ou seulement leurs images sphériques, seront alors algébriques.

Occupons-nous en premier lieu des courbes~$(O)$ seules. D'après ce
qui vient d'être dit, on voit qu'il convient de distinguer quatre classes de
courbes~$(O)$.


\Section{125.}
{Courbes du genre cycloïde.}

\emph{Première classe caractérisée par des valeurs paires et positives de~$n$.} Les
points de la courbe correspondant à une valeur du paramètre sont définis
par les équations simultanées
\begin{gather*}
y = a \cos^n \omega, \\
\begin{aligned}% [** PP: Re-breaking]
\frac{x}{a} &= \sin\omega
  \left[\cos^{n-1} \omega
      + \frac{n-1}{n-2} \cos^{n-3} \omega + \dotsb
        \frac{3·5\dotsm (n-3)(n-1)}{2·4\dotsm (n-4)(n-2)} \cos\omega\right] \\
     &\qquad+ \frac{1·3\dotsm (n-3)(n-1)}{2·4\dotsm (n-2)n} \omega;
\end{aligned}
\end{gather*}
ces courbes sont périodiques, elles présentent une suite d'ondes cycloïdales;
\emph{la cycloïde en est le type}.

%% -----File: 169.png---Folio 163-------

\Section{126.}
{Paraboles du degré~$n$.}

\emph{Deuxième classe caractérisée par des valeurs paires et négatives de~$n$.} Les
points d'une courbe correspondant à une valeur du paramètre (considéré ci-après
en valeur absolue) sont donnés par les équations simultanées
\begin{gather*}
y = a \cos^{-n} \omega, \\
\frac{x}{a} = \frac{n}{n-1} \tg\omega
  \left[\frac{1}{\cos^{n-2} \omega}
      + \frac{n-2}{n-3}\, \frac{1}{\cos^{n-4} \omega}
      + \dotsb \frac{2·4\dotsm (n-4)(n-2)}{1·3\dotsm (n-5)(n-3)}\right].
\end{gather*}
Si l'on donne à~$y$ % [** PP: Typo a~$y$]
une certaine valeur il n'y a que $n$~valeurs de~$x$ correspondantes,
car les valeurs de~$\cos\omega$ affectées des signes~$±$ donnent le même
résultat dans la parenthèse et comme $\tg\omega$ comporte le double signe, on voit
que \emph{les courbes considérées sont algébriques et du~\emph{\Ord{$n$}{ième}} degré}. Il faut vérifier
qu'il n'y a pas de points à l'infini sur les directions parallèles à l'axe des~$x$
pour que le raisonnement qui précède soit légitime; or pour que $x$ devienne
infini il faut que
\[
\lim \frac{y}{x} = \frac{2(n-1)}{n} \lim \frac{1}{\sin 2\omega} = \infty;
\]
d'ailleurs comme $y$ est infini en même temps que~$x$, on voit que \emph{les courbes
sont des paraboles de degré~$n$} dont la direction asymptotique est perpendiculaire
à la directrice ou base. Le type est la parabole du second degré. On
aura des courbes de la même famille du quatrième, du sixième, du huitième
degré, en un mot de tous les degrés pairs.

L'équation de la parabole du quatrième ordre est
\[
\biggl[\frac{9}{16} · \frac{x^2}{a^2} - \frac{y}{a} + 4\biggr]^2
  = \frac{y}{a} \biggl[2 + \frac{y}{a}\biggr]^2.
\]

%% -----File: 170.png---Folio 164-------

\Section{127.}
{Cercles de degré~$2n$.}

\emph{Troisième classe caractérisée par des valeurs impaires et positives de~$n$.}
Les points d'une courbe de la famille sont déterminés par les équations
\begin{gather*}
y = a \cos^n \omega, \\
\frac{x}{a} = \sin \omega
  \left[\cos^{n-1} \omega + \frac{n-1}{n-2} \cos^{n-3} \omega + \dotsb
      + \frac{2·4\dotsm (n-3)(n-1)}{1·3\dotsm (n-4)(n-2)}\right].
\end{gather*}
Remarquons tout d'abord que ces courbes algébriques sont fermées, car elles
n'ont d'autres points à l'infini que les ombilics puisque
\[
\lim \frac{y}{x} = ± i,
\]
lorsque $\sin \omega$ ou $\cos \omega$ tendent vers l'infini, ce qui est nécessaire pour que
les coordonnées croissent indéfiniment.

\emph{L'axe des~$y$ est un axe de symétrie; aussi la courbe est-elle du degré~$2n$};
les degrés de ces courbes seront donc~$2$ (cercle), $6$, $10$, $14 \dotsc$, etc. Le cercle
en est le type.

Le cercle du sixième degré a pour équation
\[
(x^2 + y^2 - 4a^2)^3 + 27a^2y^4 = 0.
\]


\Section{128.}
{Courbes transcendantes du genre chaînette.}

\emph{Quatrième classe caractérisée par des valeurs impaires et négatives du
paramètre~$n$.} On a (en prenant la valeur absolue de~$n$)
\begin{gather*}
\frac{x}{a} = \frac{n}{n-1} \sin \omega
  \left[\frac{1}{\cos^{n-1}\omega}
      + \frac{n-2}{(n-3)}\, \frac{1}{\cos^{n-2}\omega}
      + \dotsb \frac{3·5\dotsm (n-2)}{2·4\dotsm (n-3)}\,
               \frac{1}{\cos^2\omega}\right] \\
  + \frac{1·3\dotsm (n-2)}{2·4\dotsm (n-3)} % [** PP: Typo (n-2)/(n-2)]
    \log \tg \left(\frac{\omega}{2} + \frac{\pi}{4}\right);
\end{gather*}
%% -----File: 171.png---Folio 165-------
ces courbes, dont la chaînette est le type, sont toutes transcendantes.

On voit par cette énumération qu'aucun des élassoïdes admettant des
courbes $(O)$ pour géodésiques ne peut être algébrique, car tant que~$n$ est
entier, à toute courbe~$(O)$ algébrique correspond une courbe~$(O')$ transcendante
et inversement. Lorsque $n$ est fractionnaire, aucune des géodésiques
$(O)$ et~$(O')$ n'est algébrique.


\Section{129.}
{Longueurs des courbes satisfaisantes.}

Désignons par $F'$ la distance de l'origine aux tangentes d'une courbe~$(O)$, $\omega$,
l'angle auxiliaire employé précédemment, est l'angle que fait la normale
avec la base prise pour axe polaire, on a, en conservant les notations relatives
aux courbes génératrices~$(C)$,
\[
\frac{F'}{a} = + n \sin\omega \int p\, d\omega + \cos\omega · p;
\]
par conséquent
\[
\frac{F''}{a}
  = + n \cos\omega \int \cos^n \omega\Reg{·}{\,} d\omega
    - \sin\omega·\cos^n \omega.
\]
Soit en intégrant par parties
\[
\frac{F}{a}
  = -n \cos\omega \int \cos^n \omega\, d\omega
  + (n + 1) \int \cos^{n+1} \omega·d\omega.
\]
Mais d'après la formule de réduction bien connue
\[
(n + 1) \int \cos^{n+1} \omega\, d\omega
  = \sin\omega \cos^n\omega + n \int \cos^{n-1}\omega\, d\omega,
\]
il vient aussi
\[
\frac{F}{a} = n \int \cos^{n-1} \omega\, d\omega
  + \sin\omega \cos^n \omega
  - n \cos\omega \int \cos^n \omega\, d\omega.
\]
%% -----File: 172.png---Folio 166-------
On en déduit pour l'arc de la courbe~$(O)$
\[
S_{(O)} = F + F'' = na \int \cos^{n-1} \omega\Reg{·}{\,} d\omega,
\]
ce qui peut être considéré comme une vérification.


\Section{130.}
{Lignes algébriques des élassoïdes % [** PP: Typo élassoides]
$(E_n)$ et de leurs conjugués~$(E'_n)$. Leurs
images sphériques forment un réseau orthogonal de grands et de petits
cercles.}

Cherchons maintenant à déterminer sur les élassoïdes, admettant une
courbe $(O)$ pour géodésique, les lignes algébriques. Les calculs s'appliqueront
immédiatement aux élassoïdes conjugués en utilisant les formules des
§\Secref{101} et~\hyperref[paragraph:109.]{§~109}.

Nous désignerons par $[E_n]$ et~$[E'_n]$ les élassoïdes dérivés l'un d'une courbe $(O)$,
dont le paramètre est~$n$, l'autre conjugué du précédent.

D'après le théorème sur l'association des géodésiques~$(O)$, caractérisées
par les paramètres~$±n$, il suffira de considérer deux cas:

\primo~\emph{$n$~positif et pair} [$(O)$ est du genre cycloïdal]. Remplaçant $\omega$ par $\varphi$ et~$\psi$,
comme dans la théorie générale, on trouve d'après (66), (67), pour les
coordonnées de l'élassoïde~$[E_n]$
\[
\left\{
\begin{aligned}
& \begin{aligned}
  \frac{2x}{a} &= {\textstyle\sum^\varphi_\psi} \sin\omega
  \mSmall{%
  \left[\cos^{n-1} \omega + \frac{n-1}{n-2} \cos^{n-3} \omega + \dotsb
        \frac{3·5\dotsm (n-3)(n-1)}{2·4\dotsm (n-4)(n-2)} \cos\omega\right]
  } \\
  &\qquad
      + \mSmall{\frac{1·3\dotsm (n-3)(n-1)}{2·4\dotsm (n-2)n} \omega},
  \end{aligned} \\
%
&\frac{2y}{a} = {\textstyle\sum^\varphi_\psi} \cos^n \omega, \\
%
& \begin{aligned}
  &\frac{2n-1}{n} · \frac{z}{a} · i \\
  &\qquad = \Delta^\varphi_\psi \sin\omega
% [** PP: Typo 2-n in next line? Also, n-4 indistinct, but fits pattern.]
  \mSmall{\left[\cos^{n-2} \omega + \frac{n-2}{n-3} \cos^{n-4} \omega
  + \dotsb \frac{2·4\dotsm (n-4)(n-2)}{1·3\dotsm (n-5)(n-3)}\right]},
  \end{aligned}
\end{aligned}
\right.
\]
groupe où les symboles $\sum^\varphi_\psi$ et~$\Delta^\varphi_\psi$ représentent les sommes et les différences
%% -----File: 173.png---Folio 167-------
des deux expressions obtenues en remplaçant successivement $\omega$ par $\varphi$ et~$\psi$,
dans les expressions régies par ces symboles.

En ce qui concerne %[** PP: Typo conserne]
l'élassoïde conjugué du précédent, on trouve pour les
coordonnées de l'élassoïde~$[E'_n]$
\[
\left\{
\begin{aligned}
& \begin{aligned}
\frac{2x'i}{a} &= \Delta^\varphi_\psi \sin\omega
  \mSmall{%
% [** PP: in next line, 1·2 probably n-2]
  \left[\cos^{n-1} \omega + \frac{n-1}{1·2} \cos^{n-3} \omega + \dotsb
        \frac{3·5\dotsm (n-3)(n-1)}{2·4\dotsm (n-4)(n-2)} \cos\omega \right]
  } \\
  &\qquad
  + \mSmall{\frac{1·3\dotsm (n-3)(n-1)}{2·4\dotsm (n-2)n} \omega},
  \end{aligned} \\
%
&\frac{2y'i}{a} = \Delta^\varphi_\psi \cos^n \omega, \\
%
& \begin{aligned}
&\frac{2(n-1)}{n} · \frac{z}{a} \\
& \qquad = {\textstyle\sum^\varphi_\psi} \sin\omega
  \mSmall{%
  \left[\cos^{n-2} \omega + \frac{n-2}{n-3} \cos^{n-4} \omega + \dotsb
        \frac{2·4\dotsm (n-4)(n-2)}{1·3\dotsm (n-5)(n-3)}\right]}.
  \end{aligned}
\end{aligned}
\right.
\]

\secundo~\emph{$n$~positif et impair} [$(O)$ est du genre circulaire], on a de même, pour
les coordonnées de l'élassoïde~$[E_n]$
\[
\left\{
\begin{aligned}
&\frac{2x}{a} = {\textstyle\sum^\varphi_\psi} \sin\omega
  \mSmall{%
  \left[\cos^{n-1} \omega + \frac{n-1}{n-2} \cos^{n-3} \omega + \dotsb
        \frac{2·4\dotsm (n-3)(n-1)}{1·3\dotsm (n-4)(n-2)}\right]}, \\
%
&\frac{2y}{a} = {\textstyle\sum^\varphi_\psi} \cos^n \omega, \\
%
& \begin{aligned}
  &\frac{2(n-1)}{n}\, \frac{z}{a} i \\
  &\qquad = \Delta^\varphi_\psi \sin\omega
  \mSmall{%
  \left[\cos^{n-2} \omega + \frac{n-2}{n-3} \cos^{n-4} \omega + \dotsb
        \frac{3·5\dotsm (n-4)(n-2)}{2·4\dotsm (n-5)(n-3)} \cos\omega \right]
  } \\
  &\qquad\qquad
  + \mSmall{\frac{1·3\dotsm (n-4)(n-2)}{2·4\dotsm (n-3)(n-1)} \omega}.
  \end{aligned}
\end{aligned}
\right.
\]
Pareillement, pour les coordonnées de l'élassoïde~$[E'_n]$
\[
\left\{
\begin{aligned}
&\frac{2x'}{a} i = \Delta^\varphi_\psi \sin\omega
  \mSmall{%
  \left[\cos^{n-1} \omega + \frac{n-1}{n-2} \cos^{n-3} \omega + \dotsb
        \frac{2·4\dotsm (n-3)(n-1)}{1·3\dotsm (n-4)(n-2)} \right]}, \\
%
&\frac{2y'}{a} i = \Delta^\varphi_\psi \cos^n \omega, \\
%
&\begin{aligned}
  &\frac{2(n-1)}{n} · \frac{z}{a} \\
  &\qquad = {\textstyle\sum^\varphi_\psi} \sin\omega
  \mSmall{%
  \left[\cos^{n-2} \omega + \frac{n-2}{n-3} \cos^{n-4} \omega + \dotsb
        \frac{3·5\dotsm (n-4)(n-2)}{2·4\dotsm (n-5)(n-3)} \cos\omega\right]
  } \\
  &\qquad\qquad+
  \mSmall{\frac{1·3\dotsm (n-4)(n-2)}{2·4\dotsm (n-3)(n-1)} \omega}.
  \end{aligned}
\end{aligned}
\right.
\]
%**}%

Il est bien entendu que dans ces formules $\varphi$ et~$\psi$ représentent des angles
imaginaires conjugués
\[
\varphi = \alpha + i\beta,\quad \psi = \alpha - i\beta.
\]

%% -----File: 174.png---Folio 168-------

Les formules qui précèdent montrent immédiatement par quelles associations
de valeurs de $\varphi$ et~$\psi$ on obtiendra des lignes algébriques des
élassoïdes.

\primo~\emph{$n$ étant positif et pair} [$(O)$~étant du genre cycloïdal] les lignes algébriques
sont déterminées sur~$[E_n]$ par
\[
\varphi + \psi = 2\alpha = \text{constante},
\]
sur $[E'_n]$ par
\[
\varphi - \psi = 2i\beta = \text{constante};
\]
inversement

\secundo~\emph{$n$~étant positif et impair} [$(O)$~étant du genre circulaire] les lignes
algébriques sont déterminées sur~$[E_n]$ par
\[
\varphi - \psi = 2i\beta = \text{constante},
\]
sur $[E'_n]$ par
\[
\varphi + \psi = 2\alpha = \text{constante}.
\]

Les images sphériques de ces courbes algébriques sont, dans tous les cas,
déterminées par les équations
\[
 -\frac{X}{\sin\alpha} % [** PP: Moved - out of numerator]
= \frac{Y}{\cos\alpha}
= \frac{Zi}{\sin i\beta}
= \frac{R}{\cos i\beta}.
\]

\begin{Emph}
\emph{Conséquemment}, elles sont tantôt de grands cercles admettant l'axe des~$Z$
pour diamètre, tantôt les petits cercles dont les plans sont perpendiculaires
à l'axe des~$Z$.

\emph{Ainsi}, lorsque $n$ est positif et pair: sur $[E_n]$ les lignes algébriques
sont les courbes de contact de cylindres dont les génératrices sont parallèles
au plan de la courbe cycloïdale~$(O)$.

Il en est de même sur $[E'_n]$ lorsque $n$ est positif et impair.
\end{Emph}

Par exemple, si $n = 2$, $[E_2]$ est l'élassoïde de M.~Catalan, où s'associent la
cycloïde et la parabole; les lignes algébriques sont des paraboles dont les plans
%% -----File: 175.png---Folio 169-------
sont perpendiculaires à celui de la cycloïde et les développables circonscrites
à l'élassoïde %[** PP: Typo élassoide]
le long de ces courbes sont des cylindres.

Si $n=1$, $[E'_1]$ est la surface de vis à filet quarré.

\begin{Emph}
Lorsque $n$ est positif et impair, les développables algébriques circonscrites
à l'élassoïde % [** PP: Typo élassoide]
$[E_n]$ ont leurs cônes directeurs circulaires. Il en est de même en
ce qui concerne $[E'_n]$, lorsque $n$~est positif et pair.
\end{Emph}

Par exemple, si $n = 1$, l'élassoïde %[** PP: Typo élassoide]
$[E_1]$ est de révolution et les développables
algébriques sont les cônes ayant leurs sommets sur l'axe de
révolution.


\Section{131.}
{$[E'_2]$\footnotemark a pour lignes algébriques des biquadratiques.}
\footnotetext{Il s'agit de l'élassoïde conjugué de celui qui comporte un assemblage de paraboles et de
cycloïdes.}%

Si $n = 2$ l'élassoïde $[E'_2]$ a ses lignes algébriques définies par les équations
\[
\left.
\begin{aligned}
&\frac{2xi}{a} - \beta i = \cos 2\alpha · \sin 2i\beta, \\
&\frac{2yi}{a}           = -\sin 2\alpha · \sin 2i\beta, \\
&\frac{z}{a}             = 2\sin \alpha · \cos i\beta,
\end{aligned}\ \right\}
\quad\text{où $\beta$ est constante.}
\]
Soit, en éliminant $\alpha$
\[
\frac{2xi}{a} - \beta i
  = \sin 2i\beta \left[1 - \frac{z^2}{2a^2 \cos^2 i\beta}\right]
\]
avec
\[
\left[\frac{2x}{a} - \beta\right]^2 + \frac{4y^2}{a^2} + \sin^2 2i\beta = 0,
\]
%% -----File: 176.png---Folio 170-------
on a donc des biquadratiques qui se projettent suivant des cercles ou des
paraboles sur les plans des $XY$ ou des~$XZ$.

Nous verrons dans une autre occasion comment on peut établir avec
généralité de nouvelles propriétés de ces courbes algébriques, mais il
faut se limiter.


\Section{132.}
{Sur les lignes de courbure des élassoïdes~$[E_n]$.}

Examinons rapidement dans quels cas les lignes de courbure ou les
asymptotiques donnent lieu à des propriétés se rapportant à l'algébricité.

Nous avons montré que l'équation caractéristique de ces lignes sur~$[E_n]$
est
\[
\int d\varphi\, \cos^{\frac{n+1}{2}}\varphi
 ± \int d\psi\, \cos^{\frac{n-1}{2}}\psi = 0,
\]
obtenue en partant de la géodésique~$(O_{+n})$; on aurait, au contraire,
\[
\int d\varphi'\, \cos^{\frac{-n+1}{2}}\varphi' % [**** PP: Typo -n-1?]
 ± \int d\psi'\, \cos^{\frac{-n-1}{2}}\psi' = 0,
\]
si l'on partait de la géodésique~$(O_{-n})$.

On peut facilement vérifier l'identité des deux formules en partant
des relations du \Secref{119} qui lient les éléments des deux courbes transformées.

Tenant compte de la nouvelle direction des axes, on aura, par exemple,
\begin{align*}
\cos\varphi &= \frac{1}{\cos\varphi'}\;, \\
\frac{d\varphi}{d\varphi'} &= i \cos\varphi.
\end{align*}
%% -----File: 177.png---Folio 171-------
Conséquemment, en substituant, on trouve
\[ % [** Removed dot]
d\varphi\, \cos^{\frac{n-1}{2}} \varphi = i\, d\varphi'\, \cos^{\frac{-n-1}{2}} \varphi',
\]
et l'identité est vérifiée.

Pour $n = 1$ l'élassoïde $[E_1]$ est l'alysséide, qui est de révolution; on a en
effet pour l'intégrale des lignes de courbure prises par rapport au cercle de
gorge,
\[
\varphi ± \psi = 0,
\]
équation qui caractérise le réseau sphérique des grands cercles ayant un
diamètre commun et coupés par de petits cercles à plans parallèles.

Pour $n=2$, l'élassoïde $[E_2]$ est celui de M.~Catalan; les lignes de courbure
dépendent des fonctions elliptiques de seconde espèce.


\Section{133.}
{Le réseau sphérique, image des lignes de courbure de~$[E_n]$, est formé de
biquadratiques; une projection des lignes de courbure est algébrique.}

Pour $n = 3$ l'intégrale des lignes de courbure est
\[
\sin\varphi ± \sin\psi = \text{constante},
\]
soit en passant aux angles réels
\begin{align*}
\sin\alpha \cos i\beta &= m, \\
\cos\alpha \sin i\beta &= ni,
\end{align*}
où $m$ et~$n$ sont les paramètres des lignes de courbure. Les images sphériques
sont les deux familles de biquadratiques
\[
X^2 + Y^2 + Z^2 - R^2 = 0\quad
\left\{
\begin{aligned}
m(X^2 + Y^2) + RX &= 0, \\
n(X^2 + Y^2) - ZY &= 0.
\end{aligned}
\right.
\]
%% -----File: 178.png---Folio 172-------
on sait d'avance que le réseau formé par ces deux familles de courbes est
orthogonal et isométrique, et que toutes les trajectoires des courbes d'une
même famille sont algébriques.

Les lignes de courbure de $[E_3]$ se projettent sur le plan du cercle~$[O_3]$, du
degré~$6$ (voir \Secref{126}), suivant des courbes algébriques. Il est remarquable que
les asymptotiques de l'élassoïde $[E'_3]$ transformées des lignes de courbure
de $[E_3]$ ont aussi leurs projections % [** PP: Typo projectons]
algébriques sur le plan de~$(O_3)$. Pour $n=1$
on a un résultat semblable avec cette particularité, qui ne se retrouve plus
ici, que les deux projections coïncident avec des droites et des cercles
orthogonaux.

Il est facile de voir que si l'on a
\[
n = 4\alpha + 3,
\]
$\alpha$ étant un nombre entier quelconque, les images sphériques et les projections
des lignes de courbure des élassoïdes $(E_n)$ et~$[E'_n]$ seront algébriques. Il
faudra, bien entendu, ne considérer que les projections des lignes de courbure
effectuées sur les plans des cercles $(O)$ de degré~$2n$.


\Section{134.}
{Au sujet des courbes $(O)$ quand $n$ est fractionnaire.}

Dans tout ce qui précède, il n'a été question que des séries dérivées de
$n = 1$, séries qui comprennent tous les élassoïdes caractérisés par des
valeurs entières de~$n$. On pourrait également considérer le cas beaucoup plus
étendu où $n$ est fractionnaire. Les élassoïdes $[E_n]$ correspondants possèdent
toujours deux géodésiques~$(O_±n)$. Ces courbes elles-mêmes font partie de
deux séries de courbes, podaires les unes des autres, correspondant à toutes
les valeurs du paramètre augmentées ou diminuées de nombres entiers. Ces
deux séries seront toujours distinctes hormis dans le cas où $n = ±\frac{1}{2}$. Dans ce
%% -----File: 179.png---Folio 173-------
cas la courbe $(O_{-\frac{1}{2}})$ est une hyperbole équilatère, $(O_{\frac{1}{2}})$ est la lemniscate de
Bernoulli, % [** PP: Typo Bernouilli]
podaire de l'hyperbole par rapport au centre. Tous les élassoïdes
qu'on déduirait de ces courbes sont transcendants, aussi bien ceux qui
admettent les courbes~$(O)$ pour géodésiques que les élassoïdes~$[E_n]$.

Nous aurions pu préciser davantage certaines propriétés des courbes algébriques,
mais il sera plus commode d'en déduire des propriétés générales
nouvelles ayant trait à la dérivation des congruences isotropes d'un plan
donné, propriétés qui feront l'objet du chapitre suivant.

\TbEoC

%% -----File: 180.png---Folio 174-------


\Chapter{XV.}
{NOUVELLES PROPRIÉTÉS DES CONGRUENCES ISOTROPES DÉRIVÉES D'UN PLAN DONNÉ.}

Conservant les notations et les définitions du \chapitre{XII}:
\begin{align*}
-x\sin\varphi + y\cos\varphi - F' &= 0, \\
-x\sin\psi    + y\cos\psi    - f' &= 0
\end{align*}
seront les équations des normales $Aa$ et $Bb$ aux courbes $(A)$ et $(B)$ traces de
deux développables isotropes, focales d'une congruence isotrope. Soit $N$ le
point commun aux normales en $A$ et $B$ à $(A)$ et~$(B)$; et $\omega$ le milieu du
segment~$ab$.

\Section{135.}
{Au sujet des courbes orthogonales $(\lambda)$ et~$(\mu)$.}

Posant
\[
\frac{\psi - \varphi}{2} = \alpha,\quad
\frac{\psi + \varphi}{2} = \beta,
\]
on trouve que
\begin{align*}
NA &= P = \frac{F'\cos2\alpha - f'}{\sin2\alpha} - F, \\
NB &= p = \frac{F' - f'\cos2\alpha}{\sin2\alpha} - f.
\end{align*}
%% -----File: 181.png---Folio 175-------
On en déduit
\begin{align*}
\lambda &= P + p =   (F' - f')\cot\alpha - (F + f), \\
\mu     &= P - p = - (F' + f')\tg \alpha - (F - f),
\end{align*}
$\lambda$ et~$\mu$ désignant les paramètres des courbes orthogonales, lieux du point~$N$,
les unes analogues à des ellipses homofocales [ce sont les courbes~$(\mu)$], les
autres analogues à des hyperboles homofocales [ce sont les courbes~$(\lambda)$]\footnotemark.
  \footnotetext{Soit en effet $(AB)$ une développante d'ellipse~$(E)$; si $M$ décrit une ellipse homofocale à~$(E)$,
on sait que
\[
Ma + Mb = \operatorname{arc}ab + \text{constante}.
\]
Conséquemment:
\[
Ma + Mb = bB - aA + \text{constante},
\]
et, en définitive
\[
MA - MB = \text{constante}.
\]
}% End of footnote

Rappelons que, l'équation du plan tangent à l'élassoïde moyen est
\[
-2X\sin\beta + 2Y\cos\beta
  + \sin\alpha [-2Zi - (F' + f')\cot\alpha + F - f] = 0
\]
et que celle du plan tangent à l'élassoïde conjugué peut s'écrire
\[
-2X'\sin\beta + 2Y'\cos\beta
  + i\sin\alpha [-2Z' + (F + f)  - (F' - f')\cot\alpha] = 0.
\]

On voit donc que $Z'_O$ désignant l'ordonnée à l'origine du plan tangent à
l'élassoïde conjugué
\[
2Z'_O + \lambda = 0.
\]

\begin{Emph}
\emph{Il en résulte que} si l'on fait décrire au point~$N$ une courbe~$(\lambda)$, la courbe
suivie sur l'élassoïde conjugué est la courbe de contact de l'élassoïde et d'un
cône.

Tous les cônes correspondant aux diverses valeurs du paramètre~$\lambda$ ont
leurs sommets sur une perpendiculaire au plan auxiliaire d'où l'on fait
dériver les élassoïdes.
\end{Emph}

%% -----File: 182.png---Folio 176-------

\Section{136.}
{Aux courbes $(\lambda)$ correspondent, comme développables circonscrites à l'élassoïde moyen, des polaires de courbes gauches.}

\begin{Emph}
\emph{D'après la théorie des contours conjugués,} si l'on suit une courbe~$(\lambda)$, les
plans tangents à l'élassoïde moyen sont les plans normaux d'une certaine
courbe gauche qui est la ligne d'intersection des deux développables isotropes
supposées relevées et abaissées de quantités égales et imaginaires,
au-dessus ou au-dessous du plan auxiliaire. La courbe de contact des plans
tangents et de l'élassoïde moyen est le lieu des centres de courbure de la
courbe gauche indiquée.
\end{Emph}

Ceci fait entrevoir la possibilité d'obtenir sur le plan, non-seulement une
représentation conforme des élassoïdes moyen et conjugué, mais encore une
image des surfaces et des courbes gauches qui jouent un rôle dans leur
étude.

\Section{137.}
{Les courbes gauches en question ont pour lieux des centres de courbure
les lignes de plus grande pente d'une certaine surface.}

Cherchons tout d'abord la courbe gauche dont le lieu des centres de
courbure se projette suivant le lieu de~$\omega$, lorsque $N$ décrit la courbe~$\lambda$. On
sait que si $P$ désigne le point de cette courbe, $S$~étant le sommet du cône
circonscrit à l'élassoïde conjugué, les segments $PO$ et $SO'$ sont égaux, situés
dans les plans tangents aux deux élassoïdes, et rectangulaires.

Transportons l'origine des coordonnées au point $N$ et prenons pour axe
des $x$ la bissectrice de l'angle $ANB$, de façon à annuler~$\beta$. Les coordonnées
%% -----File: 183.png---Folio 177-------
du point de l'élassoïde moyen deviennent
\begin{gather*}
X_O + \frac{F'' + f''}{2}\cos\alpha = 0, \\
Y_O - \frac{F'' - f''}{2}\sin\alpha = 0, \\
Z_O = -i\frac{(F + F'') - (f + f'')}{2}.
\end{gather*}

L'équation du plan moyen est
\[
Y + \sin\alpha\left(-Zi + \frac{F-f}{2}\right) = 0.
\]

Les coordonnées du point de l'élassoïde conjugué sont
\begin{gather*}
\frac{X_{O'}}{i} + \frac{F'' - f''}{2}\cos\alpha = 0, \\
\frac{Y_{O'}}{i} - \frac{F'' + f''}{2}\sin\alpha = 0, \\
Z_{O'} = \frac{F + F'' + f + f''}{2}.
\end{gather*}

L'équation du plan tangent à l'élassoïde conjugué est
\[
Y + i\sin\alpha \left[-Z + \frac{F + f}{2}\right] = 0.
\]

Le sommet du cône~$S$ étant le point où ce plan moyen est percé par l'axe
des $Z$, le $Z$ de $S$~est
\[
Z_S = \frac{F + f}{2}.
\]

Conséquemment
\[
\frac{X_{O'}}{-i\cos\alpha\smfrac{(F'' - f'')}{2}}
  = \frac{Y_{O'}}{i\sin\alpha\smfrac{(F'' + f'')}{2}}
  = \frac{Z_{O'}-Z_S}{\smfrac{F'' + f''}{2}}=1
  = \frac{±SO'}{\cos\alpha\sqrt{F'' f''}}.
\]

%% -----File: 184.png---Folio 178-------

La droite $OP$ perpendiculaire à~$SO'$ et située dans le plan moyen est
parallèle à l'intersection du plan moyen et de
\[
- Xi\cos\alpha(F'' - f'')
+ Yi\sin\alpha(F'' + f'') + Z(F'' + f'') = 0;
\]
elle est donc parallèle à la droite définie par les équations
\[
\frac{X}{-i\cos\alpha\smfrac{(F'' + f'')}{2}}
  = \frac{Y}{i\sin\alpha\smfrac{(F'' - f'')}{2}}
  = \frac{Z}{\smfrac{(F'' - f'')}{2}}
  = \frac{±\sqrt{X^2 + Y^2 + Z^2}}{i\cos\alpha \sqrt{F'' · f''}}.
\]

Dès lors les coordonnées du point $P$ sont
\begin{gather*}
X_P = X_O \mp \cos\alpha \frac{(F'' + f'')}{2},\\
Y_P = Y_O  ±  \sin\alpha \frac{(F'' - f'')}{2},\\
Z_P = Z_O \mp i\frac{(F'' - f'')}{2}.
\end{gather*}

Il n'y a manifestement qu'une combinaison de signes qui soit satisfaisante,
c'est celle qui réduit la valeur de $Z_P$. On en conclut
\begin{gather*}
X_P = Y_P = 0,\\
Z_P = -i\frac{(F - f)}{2} = i\frac{\mu}{2}.
\end{gather*}

D'ailleurs, cet important résultat se vérifiera en étudiant les variations
des paramètres $\lambda$ et~$\mu$.

Revenons maintenant aux axes primitifs, différentiant les valeurs de $\lambda$ et~$\mu$,
il vient
\begin{align*}
-d\lambda
  &= d\beta[F' + f' - (F'' - f'') \cot\alpha]
   + d\alpha \cot\alpha[F'' + f'' + (F' - f')\cot\alpha], \\
-d\mu
  &= d\beta[F' - f' + (F'' + f'')  \tg\alpha]
   + d\alpha · \tg\alpha[-(F'' - f'') + (F' + f')\tg\alpha].
\end{align*}

%% -----File: 185.png---Folio 179-------

Cherchons les équations des projections, sur le plan auxiliaire, des caractéristiques
du plan moyen et de son conjugué, nous trouvons
\begin{align*}
\Delta\alpha · \cot\alpha
  & [(F'' - f'') \sin\alpha + (F' + f')\cos\alpha
    + 2X\sin\beta - 2Y\cos\beta] \\
+ \Delta\beta ·
  & [(F' - f') \sin\alpha - (F'' + f'')\cos\alpha
    - 2X\cos\beta - 2Y\sin\beta] = 0,
\end{align*}
pour la caractéristique du plan moyen projetée, et
\begin{align*}
\Delta\alpha · \cot\alpha · i
  & [(F'' + f'')\sin\alpha + (F' - f')\cos\alpha
    + 2X'\sin\beta - 2Y'\cos\beta] \\
+\Delta\beta
  & [i(F' + f')\sin\alpha - i(F'' - f'')\cos\alpha
    - 2X'\cos\beta - 2Y'\sin\beta] = 0,
\end{align*}
pour la caractéristique projetée du plan conjugué.

Commençons par vérifier la propriété de la surface, lieu du point~$P$, qui
se projette en~$N$, et dont le $Z_P$ est égal à~$\frac{i\mu}{2}$. A cet effet, nous chercherons les
$\Delta x$, $\Delta y$, $\Delta z$ du point~$P$, d'une façon générale, puis en supposant que les
axes sont particularisés; c'est-à-dire en annulant $F'$, $f'$ et $\sin\beta$. On a manifestement
\begin{align*}
-\Delta x\sin\varphi + \Delta y\cos\varphi
  - (x\cos\varphi + y\sin\varphi + F'')\, d\varphi &= 0, \\
%
-\Delta x\sin\psi    + \Delta y\cos\psi
  - (x\cos\psi    + y\sin\psi    + f'')\, d\psi    &= 0,
\end{align*}
d'où l'on déduit, en particularisant comme il a été dit:
\begin{align*}
2\Delta x &= \frac{d\beta(F'' - f'') - d\alpha(F'' + f'')}{\sin\alpha},\\
2\Delta y &= \frac{d\beta(F'' + f'') - d\alpha(F'' - f'')}{\cos\alpha},
\end{align*}
et puisque, par hypothèse
\begin{gather*}
2Z_P i = -\mu,\\
2\Delta Z i = -d\mu
  = \tg\alpha[d\beta(F'' + f'') - d\alpha(F'' - f'')];
\end{gather*}
mais on a dans l'espèce
\[
-d\lambda = -[d\beta (F'' - f'') - d\alpha(F'' + f'')]\cot\alpha.
\]

%% -----File: 186.png---Folio 180-------

Il en résulte que si $\lambda$ reste constant, $\Delta x$ s'annule et que
\[
\frac{\Delta z · i}{\Delta y} = \sin\alpha
\]

Ainsi se trouve démontrée, sans ambiguïté de signe, la propriété trouvée
plus haut et qu'on peut énoncer ainsi:

\begin{Emph}
Les courbes~$(P)$ dont les plans normaux touchent l'élassoïde moyen,
caractérisées par les diverses valeurs du paramètre~$\lambda$, sont, par rapport
au plan auxiliaire, les lignes de plus grande pente d'une surface dont les
lignes de niveau se projettent sur le plan auxiliaire suivant les courbes~$(\mu)$.
\end{Emph}


\Section{138.}
{Nouvelle dérivation des élassoïdes du plan.}

Cette proposition conduit à une définition géométrique nouvelle de l'élassoïde
considéré comme l'enveloppée des plans normaux aux lignes de plus
grande pente d'une certaine surface. La définition de celle-ci est fort simple,
puisque les courbes~$(\lambda)$ et~$(\mu)$ constituent dans le plan auxiliaire un réseau
orthogonal tel que l'élément linéaire soit exprimé par la relation
\[
4dS^2 = \frac{d\lambda^2}{\cos^2\alpha} + \frac{d\mu^2}{\sin^2\alpha}.
\]

Toutes les fois qu'on aura obtenu, dans le plan, un réseau orthogonal
satisfaisant, il suffira d'élever en chacun des points du plan une perpendiculaire
et d'y porter un segment égal à~$\frac{i\mu}{2}$ ou~$\frac{i\lambda}{2}$, les lieux des extrémités
donneront des surfaces~$(P)$, dont l'une sera réelle et l'autre imaginaire toutes
les fois que l'angle~$\alpha$ sera imaginaire [les courbes~$(\lambda)$ et~$(\mu)$ étant réelles]\footnotemark.
\footnotetext{Elles seront toujours imaginaires si l'angle $\alpha$ est réel.}

Il est manifeste que les surfaces $(P)$ ainsi trouvées sont d'un genre particulier
caractérisé par la nature du réseau $(\lambda) (\mu)$ plan. Elles sont ainsi suffisamment
définies.

%% -----File: 187.png---Folio 181-------

\Section{139.}
{Sur les développables circonscrites aux élassoïdes
correspondant aux courbes $(\lambda)$ et~$(\mu)$.}

Considérons maintenant les équations des projections des caractéristiques,
en les rapportant aux axes particularisés.

En ce qui concerne l'élassoïde moyen, l'équation est
\[
2X\,d\beta · \tg\alpha + 2Y\,d\alpha = \cos\alpha · d\mu.
\]

En ce qui concerne l'élassoïde conjugué, on trouve
\[
2X'\,d\beta + 2 · Y'i \cot\alpha = -i \sin\alpha · d\lambda.
\]

\begin{Emph}
Si donc l'on suit une courbe~$(\mu)$, la projection de la caractéristique passe
par le point~$N$, en ce qui concerne l'élassoïde moyen.
\end{Emph}

Si l'on suit une courbe~$(\lambda)$ la projection de la caractéristique du plan tangent
à l'élassoïde conjugué passe par l'origine. Cette dernière remarque est
d'ailleurs une conséquence de ce fait que la développable, enveloppe des
plans conjugués, est un cône.

Mais si l'on observe que les caractéristiques des plans moyens et conjugués
sont toujours parallèles quand elles sont correspondantes, on peut
énoncer deux élégantes propriétés des développables, enveloppes des plans
moyen et conjugué, obtenues en suivant les lignes~$(\lambda)$ et~$(\mu)$.

\begin{Emph}
Lorsqu'on suit dans le plan auxiliaire une courbe~$(\lambda)$ [du genre hyperbole]
les génératrices de la développable, enveloppe du plan moyen, se projettent
sur le plan suivant les droites $ab$, dont l'enveloppe est, par conséquent, la
projection de l'arête de rebroussement de la développable considérée.

Lorsqu'on suit dans le plan auxiliaire une courbe~$(\mu)$ [du genre ellipse]
les droites, telles que $N\omega$, représentent les projections, sur le plan auxiliaire,
des génératrices de la développable, enveloppe des plans moyens.
\end{Emph}

%% -----File: 188.png---Folio 182-------

\Section{140.}
{Élassoïde admettant pour géodésique une conique et élassoïde conjugué.}

L'application la plus simple de ces propriétés générales est celle que l'on
peut faire en prenant pour courbes~$(\lambda)$ et~$(\mu)$ des coniques homofocales.

Dans ce cas, les surfaces~$(P)$ ont pour lignes de niveau des ellipses qui
se projettent sur le plan auxiliaire suivant un réseau homofocal. Les lignes
de plus grande pente sont transcendantes, mais elles se projettent suivant des
hyperboles homofocales; de plus leurs surfaces polaires ont pour conjuguées
des cônes dont les sommets sont en ligne droite. Les lignes, lieux des
centres de courbure des lignes de plus grande pente, appartiennent à
l'élassoïde moyen.

D'un autre côté, les lignes $ab$ étant les polaires des points~$N$, par rapport
à l'ellipse $(a, b)$, les surfaces polaires des lignes de plus grande pente ont
des arêtes de rebroussement qui se projettent sur le plan auxiliaire suivant
des coniques polaires réciproques des hyperboles $(\lambda)$ par rapport à l'ellipse
$(a, b)$ [ellipse qui est une géodésique de l'élassoïde moyen].


\Section{141.}
{Cônes du second degré circonscrits à l'élassoïde.}

Enfin, les droites, telles que~$N\omega$, passent par le centre de l'ellipse; conséquemment,
les développables circonscrites à l'élassoïde moyen sont des cônes
ayant leurs sommets sur la perpendiculaire au plan auxiliaire, élevée au
centre des coniques homofocales. On a vu que ces développables contiennent
individuellement les courbes $(\mu)$. Les cônes considérés sont donc du
second degré.

Il est bien facile de compléter cette étude particulière en montrant que les
%% -----File: 189.png---Folio 183-------
cônes, correspondant aux hyperboles $(\lambda)$ et circonscrits à l'élassoïde conjugué,
ou correspondant aux ellipses $(\lambda)$ et circonscrits à l'élassoïde moyen,
sont les cônes supplémentaires de cônes homofocaux [pourvu qu'on les transporte
convenablement].


\Section{142.}
{Les lignes algébriques des deux élassoïdes ont pour image sphérique
un réseau de coniques homofocales.}

Si l'on considère en effet les plans isotropes passant par les droites $Aa$, $Bb$,
ils se couperont suivant quatre droites, génératrices des quadriques homofocales
ayant pour traces, sur le plan auxiliaire, les diverses coniques homofocales
$(\lambda)$ et~$(\mu)$. On sait que les cônes asymptotes de ces quadriques sont
homofocaux. Mais l'une des génératrices passant en $N$ occupe, par rapport à
l'angle $aNb$, la même position que la droite de la congruence isotrope originelle,
par rapport à l'angle supplémentaire de~$ANB$; donc, si l'on fait tourner
de~$90°$, autour de la verticale, la génératrice de la congruence, on aura une
parallèle à la génératrice de l'hyperboloïde passant en~$N$ et ayant pour
trace~$(\mu)$. Conséquemment les traces sphériques des cônes asymptotes, tournées
de~$90°$ autour de la verticale, constitueront l'image sphérique complète
des courbes algébriques des élassoïdes moyen et conjugué. On peut donc
dire que ces lignes ont pour image sphérique une famille de coniques sphériques
homofocales.

La plupart de ces propriétés ont été énoncées par M.~Schwartz, en ce qui
concerne l'élassoïde admettant pour géodésique une conique [\textit{Journal de
Borchardt}, page~293, année~1874].

%% -----File: 190.png---Folio 184-------

\Section{143.}
{Le réseau $(\mu\lambda)$ est le seul du plan qui corresponde à un réseau orthogonal
de l'élassoïde.}

Dans le cas général, les courbes correspondant, sur les deux élassoïdes,
aux lignes $(\mu)$ et~$(\lambda)$ sont rectangulaires; les calculs du \Secref{137} montrent en
effet que leurs conjuguées sont orthogonales, ce qui équivaut à la proposition;
mais cette propriété peut s'établir directement comme il suit.

Calculons, sur la sphère, le carré de l'élément linéaire rapporté au réseau
des images sphériques des lignes correspondant aux $(\mu)$ et~$(\lambda)$. On sait que,
d'une façon générale, on a sur la sphère de rayon unité (\Secref{109})
\begin{align*}
dS^2 &= \frac{d\varphi · d\psi}{\cos^2\alpha}, \\
\intertext{ou encore}
dS^2 &= \frac{d\beta^2 - d\alpha^2}{\cos^2\alpha}.
\end{align*}
Mais on déduit des valeurs de $d\lambda$ et~$d\mu$ particularisées
\begin{align*}
-4F''f'' · d\beta
  &= \frac{d\mu}{\tg\alpha} (F'' + f'')
   + \frac{d\lambda}{\cot\alpha} (F'' - f''), \\
%
-4F''f'' · d\alpha
  &= \frac{d\mu}{\tg\alpha} (F'' - f'')
   + \frac{d\lambda}{\cot\alpha} (F'' + f'').
\end{align*}

On en conclut
\[
dS^2 = \frac{d\mu^2\, \cot^2\alpha - d\lambda^2\, \tg^2\alpha}
            {4F'' · f'' · \cos^2\alpha}.
\]
Ce qui montre bien que l'image sphérique est formée de courbes orthogonales.
Comme, sur les élassoïdes et sur la sphère image, les angles se conservent
dans la correspondance:

\emph{Le réseau orthogonal plan $(\lambda,\mu)$ correspond, sur les deux élassoïdes, à un
%% -----File: 191.png---Folio 185-------
réseau orthogonal.} Il est même clair qu'il n'y a pas d'autres réseaux orthogonaux
se correspondant sur le plan et sur les élassoïdes.

Nous venons de voir que, dans le cas où le réseau $(\lambda,\mu)$ est formé de
coniques homofocales, le réseau sphérique correspondant est formé également
de coniques sphériques homofocales, constituant un réseau isométrique.
On sait, d'après un théorème de M.~Ossian % [** PP: Typo Ossiau]
Bonnet, que les courbes correspondantes
des élassoïdes sont aussi isométriques.


\Section{144.}
{Si le réseau $(\lambda\mu)$ de l'élassoïde est isométrique, son correspondant du plan
est formé de coniques homofocales.}

Il est intéressant de chercher dans quel cas cette propriété subsistera, à
raison du caractère du réseau $(\lambda, \mu)$.

Il faut que le logarithme du quotient des coefficients du carré de l'élément
linéaire soit la somme de deux fonctions, l'une de~$\lambda$, l'autre de~$\mu$. Ce qui
conduit à la condition
\[
2 \frac{d^2}{du\, dv} · \log \tg\alpha = 0.
\]

D'ailleurs on trouve la même condition en exprimant que le réseau plan
$(\lambda\mu)$ lui-même est isométrique. Mais nous avons montré d'après M.~Liouville
que le réseau $(\lambda, \mu)$ ne peut être dans ce cas composé que de coniques homofocales;
conséquemment les élassoïdes admettant une conique pour géodésique
jouissent d'un caractère distinctif tout particulier, qui permet d'énoncer
la proposition suivante:

\begin{Emph}
Que, de tous les points d'une droite, comme sommets on circonscrive des
cônes à un élassoïde; que l'on trace sur celui-ci les trajectoires orthogonales
des courbes de contact; si le réseau orthogonal ainsi obtenu est isométrique,
l'élassoïde est conjugué de celui qui admet une conique pour géodésique.
\end{Emph}

%% -----File: 192.png---Folio 186-------

C'est le moment de faire une remarque sur l'expression du carré de l'élément
linéaire d'un élassoïde.

$(a)$ et~$(b)$ désignant les projections planes des arêtes de rebroussement
des développables génératrices, on a d'après~\Eqref{}{68} l'expression
\[
dS^2 = d(a)·d(b) \cos^2 \frac{V}{2},
\]
où $d(a)$ et~$d(b)$ désignent les longueurs des éléments correspondants et~$V$
l'angle des tangentes aux courbes $(a)$ et~$(b)$. Il en résulte que si les courbes
$(a)$ et~$(b)$ sont algébriques, l'élassoïde moyen correspondant aura son élément
linéaire exprimé par une formule algébrique.


\Section{145.}
{$dS^2$ de l'élassoïde sur lequel le réseau $(\lambda,\mu)$ est isométrique.}

A titre d'exemple, prenons pour courbes $(\mu)$ et~$(\lambda)$ un réseau de coniques
homofocales, et cherchons l'expression de l'élément linéaire de l'élassoïde
admettant l'une d'entre elles pour géodésique.

L'élément linéaire du plan, rapporté aux coniques dont l'équation est de
la forme
\[
\frac{x^2}{a^2 - \lambda} + \frac{y^2}{b^2 - \lambda} = 1,
\]
peut s'écrire
\[
4·dS^2
  = (\mu - \lambda) \left[\frac{d\lambda^2}{(a^2 - \lambda)(b^2 - \lambda)}
                        - \frac{d\mu^2}{(a^2 - \mu)(b^2-\mu)} \right].
\]

La \Eqref{condition}{56} est vérifiée et l'\Eqref{équation}{57} donne pour les traces
d'une congruence isotrope la relation bien connue
\[
\mu \cos^2i + \lambda \sin^2i = k,
\]
qui donne les directions des deux tangentes à l'une des coniques du réseau
%% -----File: 193.png---Folio 187-------
définie par le paramètre~$k$, tangentes issues du point $(\lambda,\mu)$. Soient $(a)$ et~$(b)$
les deux branches de la conique enveloppe. Pour calculer l'élément linéaire
de l'élassoïde l'admettant pour géodésique, il faut obtenir l'expression
\[
dS^2 = R_a \, d\varphi · R_b \Reg{·}{\,} d\psi\, \cos^2i,
\]
$R_a$ et~$R_b$ désignant les rayons de courbure en $(a)$ et~$(b)$, $d\varphi$ et~$d\psi$ les angles
de contingence, en ces points, de la conique enveloppe. On a
\[
\Delta i = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{-1}{(k - \mu)(k - \lambda)}}
  \left[\frac{d\mu\, (k - \lambda) - d\lambda\, (k - \mu)}{\mu - \lambda}\right].
\]

Prenant pour réseau de référence celui des coniques $(\lambda,\mu)$ on a les formules
générales, analogues à~\Eqref{}{2}
\begin{gather*}
X' = X - \frac{d\lambda}{2}
  \mSmall{\sqrt{\frac{\mu-\lambda}{(a^2-\lambda)(b^2-\lambda)}}} \\
  \mSmall{%
  -\frac{Y}{2} \frac{\sqrt{-1}}{\mu-\lambda}
   \sqrt{(a^2-\lambda)(b^2-\lambda)(a^2-\mu)(b^2-\mu)}
   \left[\frac{d\mu}{(a^2-\mu)(b^2-\mu)}
       - \frac{d\lambda}{(a^2-\lambda)(b^2-\lambda)}\right]}, \\[2ex]
%
Y' = Y - \frac{d\mu}{2}
  \mSmall{\sqrt{\frac{\lambda-\mu}{(a^2-\mu)(b^2-\mu)}}} \\
  \mSmall{%
  +\frac{X}{2} \frac{\sqrt{-1}}{\mu-\lambda}
   \sqrt{(a^2-\lambda)(b^2-\lambda)(a^2-\mu)(b^2-\mu)}
   \left[\frac{d\mu}{(a^2-\mu)(b^2-\mu)}
       - \frac{d\lambda}{(a^2-\lambda)(b^2-\lambda)}\right]}.
\end{gather*}

L'équation instantanée de la tangente à l'ellipse fixe est
\[
Y \cos i \mp X \sin i = 0,
\]
son point de contact avec la conique est le même quels que soient $d\mu$ et~$d\lambda$;
il est déterminé par l'équation de la normale instantanée
\[
-Y \sin i \mp X \cos i ± \frac{\mu-\lambda}{L \mp M} = 0,
\]
où $L$ et~$M$ désignent les fonctions de $\lambda$ et~$\mu$ seules que voici
\[
L = \sqrt{\frac{(a^2-\lambda)(b^2-\lambda)}{k-\lambda}},\qquad
M = \sqrt{\frac{(a^2-\mu)(b^2-\mu)}{k-\mu}}.
\]

%% -----File: 194.png---Folio 188-------

En posant
\[
P = \frac{\mu - \lambda}{L\mp M},
\]
on trouve [par les procédés habituels de périmorphie, en observant que le
résultat est indépendant de $d\mu$ et~$d\lambda$] pour l'équation déterminant le centre
de courbure
\[
\left(\frac{2\, dP}{d\lambda} + \frac{1}{L}\right)
  \sqrt{\frac{(a^2-\lambda)(b^2-\lambda)}{k-\mu}}
  = \frac{\sqrt{-1}}{\mu - \lambda}(Y \cos i \mp X \sin i)(M\mp L);
\]
après différentes réductions on obtient l'équation indépendante des variations
particulières
\[
\frac{(a^2-k)(b^2-k)}{(k-\mu)(k-\lambda)}
  = ±\sqrt{-1} \frac{\sqrt{(k-\mu)(k-\lambda)}}{(\mu - \lambda)^3}
     (Y \cos i \mp X \sin i)(L^2 - M^2)(L\mp M).
\]
Cette équation donne immédiatement
\[
R_a · R_b = \mp\frac{(a^2-k)^2(b^2-k)^2(\mu-\lambda)^6}{(k-\mu)^3(k-\lambda)^3(L^2-M^2)^3}.
\]

Il s'agit maintenant de calculer les angles de contingence. $\Delta x$, $\Delta y$ étant
relatifs au point $(\lambda \mu)$ on a manifestement
\[
P\, d\varphi = \Delta Y \cos i \mp \Delta X \sin i; % [** Typo y]
\]
conséquemment
\[
d\varphi·d\psi
  = \frac{\overline{\Delta Y}^2 \cos^2 i - \overline{\Delta X}^2 \sin^2 i}{P·P'}.
\]

Si $P'$ désigne la seconde valeur de~$P$ lorsqu'on change le signe, on trouve
ainsi
\begin{multline*}% [** PP: Re-breaking, adding ×]
d\varphi·d\psi
  = \frac{L^2-M^2}{(\mu-\lambda)^2}\,
    \frac{(k-\lambda)(k-\mu)}{4} \\
  × \left[\frac{d\mu^2}{(a^2-\mu)(b^2-\mu)(k-\mu)}
        - \frac{d\lambda^2}{(a^2-\lambda)(b^2-\lambda)(k-\lambda)}\right].
\end{multline*}
%% -----File: 195.png---Folio 189-------
On en déduit immédiatement
\begin{multline*}% [** PP: Re-breaking, adding ×]
dS^2 =
  \frac{(a^2-k)^2(b^2-k)^2(\mu-\lambda)^3}
       {4(k-\mu)^2(k-\lambda)^2(L^2-M^2)^2} \\
  × \left[\frac{d\mu^2}{(a^2-\mu)(b^2-\mu)(k-\mu)}
        - \frac{d\lambda^2}{(a^2-\lambda)(b^2-\lambda)(k-\lambda)}\right],
\end{multline*}
car $\cos^2 \frac{V}{2}$ est égal à~$\cos^2i$.

Si enfin l'on observe que
\[
L^2 - M^2 = (\mu -\lambda)\left[1 - \frac{(k-a^2)(k-b^2)}{(k-\lambda)(k-\mu)}\right],
\]
on obtient en somme
\begin{multline*}% [** PP: Re-breaking, adding ×]
dS^2 = \frac{1}{4} ·
  \frac{(a^2-k)^2(b^2-k)^2(\mu-\lambda)(k-\lambda)}
       {\bigl[(k-\lambda)(k-\mu) - (k-a^2)(k-b^2)\bigr]^2} \\
  × \left[\frac{d\mu^2}{(a^2-\mu)(b^2-\mu)(k-\mu)}
        - \frac{d\lambda^2}{(a^2-\lambda)(b^2-\lambda)(k-\lambda)}\right].
\end{multline*}

Quant à l'image sphérique, l'expression du carré de l'élément linéaire
est, d'après la théorie générale,
\begin{multline*}% [** PP: Re-breaking, adding ×]
dS'^2 = \frac{R^2}{4}
  \left[(k-\mu) - \frac{(k-a^2)(k-b^2)}{(k-\lambda)}\right] \\
  × \left[\frac{d\mu^2}{(a^2-\mu)(b^2-\mu)(k-\mu)}
        - \frac{d\lambda^2}{(a^2-\lambda)(b^2-\lambda)(k-\lambda)}\right].
\end{multline*}

Les deux réseaux sont bien isométriques, et, le réseau sphérique, comme
le réseau plan, est de la forme signalée par M.~Liouville, forme qui permet
l'intégration des lignes géodésiques; il devait en être ainsi, puisque le réseau
est composé de coniques sphériques homofocales.

\TbEoC

%% -----File: 196.png---Folio 190-------


\Chapter{XVI.}
{AU SUJET DES LIGNES DE NIVEAU DES ÉLASSOÏDES.}


\Section{146.}
{Conditions pour qu'un réseau orthogonal tracé sur un élassoïde soit formé
de lignes de niveau et de lignes de plus grande pente.}

Nous avons déjà montré que tous les \emph{élassoïdes groupés} provenant de la
déformation d'un même élassoïde ont leurs lignes de courbure correspondant
sur l'élassoïde originel aux trajectoires sous un angle constant des
lignes de courbure de cette surface.

Une propriété toute semblable a lieu pour les lignes de niveau; c'est ce
que nous allons établir.

Considérons, en général, une surface de référence $(O)$ prise arbitrairement;
prenons pour réseau $(u, v)$ celui des sections planes toutes parallèles
à un plan~$(P)$ donné, ainsi que leurs trajectoires orthogonales. $i$~désignant
l'angle qu'en chaque point de~$(O)$ fait la normale à la surface avec la perpendiculaire
au plan~$(P)$, on trouve facilement par nos procédés habituels,
%% -----File: 197.png---Folio 191-------
pour déterminer les éléments du réseau $(u, v)$
\begin{align*}
P &= -\frac{di}{du}, \\
Q &= -\frac{dg}{f\, du}  \tg i, \\
D &= -\frac{df}{fg\, dv} \tg i,
\end{align*}
équations auxquelles il faut ajouter les conditions
\begin{gather*}
\frac{df}{f\, dv} + \frac{di}{dv} · \cot i = 0, \\
\frac{di}{du} · \frac{dg}{f\, du} \tg i
  - \frac{1}{fg} \left(\frac{df}{dv}\right)^2 \tg^2 i
  + \frac{d}{dv} \left(\frac{df}{g\, dv}\right)
  + \frac{d}{du} \left(\frac{dg}{f\, du}\right) = 0.
\end{gather*}

Si la surface est élassoïde, on a à la fois
\[
\frac{df}{f\, dv} + \frac{di}{dv} \cot i = 0,\quad
\frac{dg}{g\, du} + \frac{di}{du} \cot i = 0;
\]
on peut donc poser
\[
f = g = \frac{1}{\sin i}.
\]

Dès lors la seule équation non résolue devient
\[
  \left(\frac{di}{du}\right)^2
+ \left(\frac{di}{dv}\right)^2
  = \frac{d^2}{du^2} \log \frac{1}{\sin i}
  + \frac{d^2}{dv^2} \log \frac{1}{\sin i}.
\]

Soit, en passant aux coordonnées symétriques imaginaires
\[
\frac{di}{dx}\, \frac{di}{dy} + \frac{d^2 \log \sin i}{dx\, dy} = 0,
\]
et par conséquent
\[
\tg \frac{i}{2} = X+Y.
\]

%% -----File: 198.png---Folio 192-------

\Section{147.}
{Les trajectoires sous un angle constant des lignes de niveau d'un élassoïde
correspondent aux lignes de niveau des élassoïdes groupés.}

On voit que l'on peut poser indifféremment
\[
\left.
\begin{aligned}
P &= -\frac{di}{du}, \\
Q &= +\frac{di}{du}, \\
D &= \sin i \frac{di}{dv},
\end{aligned}\ \right\}\quad\text{ou}\quad \left\{
\begin{aligned}
P &= \phantom{-}\frac{di}{dv}, \\
Q &= -\frac{di}{dv}, \\
D &= \sin i \frac{di}{du},
\end{aligned}
\right.
\]
sans que l'équation canonique soit modifiée et sans que la surface cesse
d'être élassoïde, mais ces valeurs sont comprises dans les formules générales
\begin{align*}
P &=           -\cos\varphi\, \frac{di}{du} + \sin\varphi\, \frac{di}{dv}, \\
Q &= \phantom{-}\cos\varphi\, \frac{di}{du} - \sin\varphi\, \frac{di}{dv}, \\
D &= \sin i\left(\frac{di}{dv}\, \cos\varphi + \frac{di}{du}\, \sin\varphi\right),
\end{align*}
où l'angle $\varphi$ est considéré comme une constante. On vérifie facilement que
ces valeurs correspondent bien à des solutions des équations de Codazzi;
conséquemment elles représentent des valeurs de $P$, $Q$, $D$ correspondant à
une forme particulière de la surface, et, comme dans chaque cas la somme
$P + Q$ est nulle, chacune des surfaces déformées (puisque le réseau $u, v$
est isométrique) reste élassoïde.

Il est facile de voir que les élassoïdes correspondant aux valeurs~$0$ et~$\frac{\pi}{2}$ % [** PP: O -> 0]
de l'angle~$\varphi$ sont conjugués. Tous les autres appartiennent naturellement à la
famille des \emph{élassoïdes groupés} dérivés de la surface de référence.

%% -----File: 199.png---Folio 193-------

\Section{148.}
{Nouvelle forme du $\lambda$ d'un réseau isométrique sphérique.}

On trouve, d'une façon générale, que l'image sphérique a pour élément
linéaire
\[
dS^2 = du^2\, (P^2 + f^2D^2) + dv^2\, (Q^2 + g^2D^2);
\]
dans l'espèce on a
\[
dS^2 = \left[\left(\frac{di}{du}\right)^2
           + \left(\frac{di}{dv}\right)^2\right] (du^2 + dv^2),
\]
soit en passant aux coordonnées symétriques imaginaires
\[
dS^2 = 4·\frac{di}{dx} · \frac{di}{dy}\, dx\Reg{·}{\,} dy.
\]

Désignant par $\lambda$ le coefficient des $du$, $dv$ sur la sphère, on trouve
\[
\lambda = \frac{1}{4}\, \frac{\sqrt{X'}\Reg{·}{\,} \sqrt{Y'}}{1 + (X+Y)^2},
\]
ce qui constitue une forme digne d'intérêt.


\Section{149.}
{Sur un théorème général.}

Plus généralement: toutes les fois qu'on peut déformer une surface, de
telle façon que \emph{deux} familles de courbes orthogonales deviennent successivement
des lignes de niveau de surfaces transformées, les trajectoires sous un
même angle constant, de ces deux séries de courbes, peuvent, par une
déformation convenable de la surface, devenir à leur tour lignes de niveau.

%% -----File: 200.png---Folio 194-------

Cette propriété tient à ce que les lignes de niveau d'une surface, les lignes
de plus grande pente correspondantes et leurs trajectoires sous des angles
constants, sont telles qu'en un même point de la surface les centres de courbure
géodésiques de toutes ces courbes sont sur une même ligne droite.

La propriété énoncée ci-dessus s'applique à d'autres surfaces que les élassoïdes
dérivés par flexion les uns des autres.


\Section{150.}
{Réseau plan dont les courbes se coupent sous un angle constant et peuvent
être lignes de niveau de développables résultant de l'enroulement du
plan.}

Si l'on prend, par exemple, pour surface de référence un plan, on parvient
à construire les surfaces développables suivant lesquelles il faut enrouler
le plan pour que deux courbes, prises au hasard, se transforment successivement
en lignes de niveau se coupant mutuellement sous un angle
donné.

Les deux développables déformées sont applicables l'une sur l'autre par
de simples rotations autour des génératrices.

Ce n'est pas le moment de montrer comment la construction géométrique
s'achève sans difficulté, ni comment le quarré de l'élément linéaire du plan
s'obtient avec deux fonctions arbitraires [mettant ainsi en évidence les
réseaux orthogonaux intéressants dont nous venons de donner la définition,
réseaux dont les trajectoires comprennent également des courbes de même
nature]\footnotemark.
  \footnotetext{Soient deux courbes arbitraires $(a)$ et~$(b)$, faisant correspondre des points $a$ et~$b$ tels que
les tangentes y fassent entre elles un angle constant, enroulant le plan de telle façon que la
corde~$ab$ devienne génératrice et que~$(a)$ reste plane, toutes les lignes de niveau de la développable
situées dans des plans parallèles à~$(a)$ formeront les courbes de la première famille; on
obtiendra de même les courbes de la seconde. Telle est l'intégrale avec deux fonctions arbitraires.}

%% -----File: 201.png---Folio 195-------

\Section{151.}
{Une propriété générale des courbes de niveau.}

Nous terminerons en observant que sur toutes les surfaces dont les lignes
de niveau sont trajectoires les unes des autres, la forme variant, les conjuguées
des courbes de niveau se correspondent toutes; on peut dire que ces
conjuguées sont immobiles, et cela correspond à une propriété tout à fait
générale: sur une surface arbitraire, en un même point les centres de courbure
de la ligne de niveau et de toutes ses trajectoires sont sur une même
droite perpendiculaire à la direction conjuguée de la courbe de niveau.

\TbEoC

%% -----File: 202.png---Folio 196-------


\Chapter{XVII.}
{PROPRIÉTÉ CARACTÉRISTIQUE DE LA CONGRUENCE ISOTROPE FORMÉE
DES GÉNÉRATRICES DE QUADRIQUES HOMOFOCALES.}


\Section{152.}
{Si deux congruences incidente et réfléchie sont isotropes, la surface dirimante
est une quadrique.}

La théorie des congruences isotropes comprend, comme exemple particulièrement
intéressant, celui d'une congruence formée des génératrices de
quadriques homofocales. Nous allons établir que cette congruence jouit
d'une propriété fondamentale.

Cherchons s'il est possible de trouver une surface de référence et une congruence
de droites, telles que les droites données et les droites réfléchies
forment deux congruences isotropes.

Considérons le réseau orthogonal $(u, v)$ tel que les droites $D$ de la congruence
incidente soient toujours comprises dans le plan des $ZOX$, soit $i$
l'angle d'incidence, on a pour l'équation de la surface élémentaire
\[
\tg \theta
  = \frac{g\, dv + L\left[dv\left(\dfrac{dg}{f\, du} \sin i +  Q \cos i\right)
                        - du\left(\dfrac{df}{g\, dv} \sin i + fD \cos i\right)\right]}
         {f \cos i\, du + L\left[dv\left(\dfrac{di}{dv} - gD\right)
                               + du\left(\dfrac{di}{du} +  P\right)\right]},
\]
%% -----File: 203.png---Folio 197-------
on en déduit que la congruence des droites $D$ sera isotrope si
\[
gP - Qf \cos^2i + g\frac{di}{du} - \cos i \sin i \frac{dg}{du} = 0,
\]
avec
\[
2Dg - \frac{di}{dv} + \tg i \frac{df}{f\, dv} = 0.
\]
Si la congruence réfléchie est aussi isotrope, les deux équations qui précèdent
doivent être indépendantes du signe de~$i$; on a donc $D = 0$. %[**O?].
Ainsi
le réseau $(u, v)$ est formé des lignes de courbure de la surface de référence.

Posons $\frac{P}{f} = A$ et $\frac{Q}{g} = B$. On devra avoir
\begin{gather*}
A - B \cos^2i = 0, \\
\frac{di}{du} = \cos i \sin i \frac{dg}{g\, du}, \\
\frac{di}{dv} = \tg i \Reg{·}{} \frac{df}{f\, dv}.
\end{gather*}

On a l'équation de Codazzi
\[
\frac{df}{f\, dv}(A-B) + \frac{dA}{dv} = 0.
\]

De la troisième des équations de Codazzi on déduit
\[
-\frac{di}{dv} \tg i + \frac{dA}{A\, dv} = 0;
\]
d'où résulte, d'après ce qui précède,
\begin{gather*}
A \cos i = U_1, \\
B = \frac{U_1}{\cos^3i};
\end{gather*}
%% -----File: 204.png---Folio 198-------
et, par conséquent,
\[
\frac{A^3}{B} = U_1^2.
\]

D'un autre côté, on a
\[
\frac{dg}{g\, du} % [** PP: Typo dg/(g dn)]
  = \frac{di}{du}\, \frac{1}{\cos i \sin i},
\]
avec l'équation de Codazzi:
\[
\frac{dg}{g\, du}(B-A) + \frac{dB}{du} = 0,
\]
on obtient
\[
\frac{di}{du}\, \frac{\sin i}{\cos i} + \frac{dB}{B\, du} = 0;
\]
d'où résulte
\[
B = V\cos i;
\]
ce qui entraîne, comme conséquence,
\[
\cos^4 i = \frac{U_1}{V};
\]
et, en définitive,
\[
\frac{B^3}{A} = V^2.
\]

Ainsi les quantités $\frac{A^3}{B}$ et $\frac{B^3}{A}$ sont respectivement des fonctions de~$U$ et
de~$V$; d'après un beau résultat établi par M.~Ossian Bonnet, on sait que cette
double condition caractérise des surfaces du second ordre\footnotemark.
  \footnotetext{Voir page~113 du \Ord{XLII}{e}~cahier du \textit{Journal de l'École polytechnique}.}

\Section{153.}
{Les congruences isotropes incidente et réfléchie sont les génératrices
d'une famille de quadriques homofocales.}

Il n'est pas difficile de trouver maintenant ce que sont les rayons des congruences
isotropes: on vérifie, en effet, immédiatement, que les traces principales
%% -----File: 205.png---Folio 199-------
des congruences isotropes, sur la surface de référence, coïncident
avec les asymptotiques de celle-ci\footnotemark.
  \footnotetext{La nécessité d'abréger nous fait supprimer ce calcul. De ce que les traces principales sont
  les asymptotiques, il résulte, comme au \chapitre{XII}, que les plans isotropes tangents se coupent
  suivant les rayons des congruences; et, le long d'une ligne de courbure de la surface dirimante,
  ces droites se rangent suivant un hyperboloïde orthogonal à la quadrique.}

\begin{Emph}
\emph{Conséquemment on peut énoncer cette importante proposition}: Si une
congruence, réfléchie sur une surface de référence, est isotrope avant et
après la réflexion, \primo~la surface de référence est une quadrique; \secundo~les
rayons de la congruence sont formés des génératrices des quadriques homofocales
à la surface de référence et qui lui sont orthogonales.
\end{Emph}

\TbEoC

%% -----File: 206.png---Folio 200-------


\Chapter{XVIII.}
{ÉLASSOÏDES ALGÉBRIQUES PASSANT PAR UN CERCLE.}

\Section{154.}
{Par un cercle déterminé on peut faire passer autant d'élassoïdes algébriques
qu'on peut construire d'épicycloïdes ou d'hypocycloïdes algébriques.}


D'après la théorie que nous avons donnée des contours conjugués, on sait
comment doit s'aborder la recherche des élassoïdes passant par un contour
plan.

Une application de quelque élégance peut être faite dans le cas où le
contour donné est un cercle. Le problème de la recherche de tous les
élassoïdes passant par le cercle revient, comme nous l'avons montré, à la
découverte de tous les contours conjugués au cercle. Chaque fois que les
contours seront algébriques, les élassoïdes seront algébriques.

Considérons la courbe, projection sur le plan du cercle, du contour
conjugué; faisons correspondre par parallélisme des tangentes les points du
cercle et de la projection. (Il suffira de tourner le cercle dans son plan,
de $\frac{\pi}{2}$ pour que les éléments correspondants des deux courbes soient rectangulaires.)
L'élément du cercle a pour valeur
\[
dS_c^2= a^2\,d\theta^2,
\]
l'élément de la courbe conjuguée a pour valeur
\[
dS_{c'}^{'2}= R^2\,d\theta^2+dZ^2,
\]
%% -----File: 207.png---Folio 201-------
expression où $R$ désigne le rayon de courbure de la projection sur le plan
du cercle et $Z$ la distance d'un point du contour au plan.

Prenons, pour projection du contour indéterminé, l'épicycloïde ayant
pour équation
\[
p=b\sin k\theta;
\]
dans ce cas
\[
R=b(1-k^2)\sin k\theta,
\]
et puisque les éléments des deux contours sont égaux, on obtient
\[
dZ=d\theta \sqrt{ a^2-b^2(1-k^2)^2 \sin^2 k\theta}.
\]

Pour que le contour soit algébrique, sa projection doit être algébrique et
la valeur de $Z$ doit également être algébrique.

En général $Z$ dépend des fonctions elliptiques, mais on peut toujours
choisir $a$ de telle façon que
\[
a=b(1-K^2),
\]
et alors
\[
Z=\frac{a \sin k\theta}{K}.
\]

Dès lors, si la projection est algébrique, les élassoïdes conjugués, dont
l'un passe par le cercle, seront algébriques.

\begin{Emph}
\emph{Mais la projection sera algébrique toutes les fois que le coefficient~$R$ sera
un nombre commensurable; conséquemment:} par un cercle déterminé ou
peut faire passer autant d'élassoïdes algébriques qu'on peut construire
d'épicycloïdes ou d'hypocycloïdes algébriques.
\end{Emph}

Le contour conjugué est défini par les équations suivantes entre lesquelles
il faut éliminer~$\theta$:
\begin{gather*}
x \cos\theta + y \sin\theta = b \sin k\theta,\\
y \cos \theta-x \sin \theta = b k \cos k\theta,\\
Z=\frac{b(1-K^2)}{K} \sin k\theta;
\end{gather*}
on en déduit immédiatement l'équation
\[
x^2+y^2=b^2K^2+z^2 \frac{K^2}{1-K^2},
\]
qui représente une quadrique de révolution.

%% -----File: 208.png---Folio 202-------

Si l'on désigne par~$R$ le rayon du cercle de base d'une hypocycloïde et
par~$r$ celui du cercle roulant, l'équation précédente peut s'écrire
\[
\frac{x^2}{R^2}+\frac{y^2}{R^2}-\frac{z^2}{4r(r-R)}=1.
\]

Dans le cas des épicycloïdes, il suffirait de changer le signe de~$r$.

Le rayon du cercle conjugué au contour est
\[
a=\frac{4r(r-R)}{R-2r}.
\]

Nous réservons l'étude détaillée des élassoïdes intéressants dont nous
venons d'établir l'existence.

\Section{155.}
{Congruence déduite du réseau isométrique sphérique formé
de coniques homofocales.}

De toutes les congruences isotropes, la plus remarquable est celle que
l'on déduit de la considération des quadriques homofocales. Il y a lieu de
traiter différemment le cas des quadriques à centre et celui des paraboloïdes
homofocaux. Dans ce chapitre, nous ne nous occuperons que du
premier cas.

On sait que le plan tangent au cône asymptote d'un hyperboloïde coupe
cette surface suivant deux génératrices parallèles à la génératrice suivant
laquelle le cône asymptote est touché par le plan tangent. Conséquemment
les cônes asymptotes de tous les hyperboloïdes homofocaux découpent, sur
une sphère de rayon unité, ayant leur sommet commun pour centre, une
famille de coniques sphériques orthogonales formant un réseau isométrique.

On voit que tous les élassoïdes groupés déduits de ce réseau isométrique
sphérique seront algébriques; l'une des congruences (et elle sera double) sera
formée des génératrices des quadriques homofocales; la congruence conjuguée
s'obtiendra en portant sur les tangentes aux courbes du réseau des
%% -----File: 209.png---Folio 203-------
longueurs égales aux valeurs du coefficient~$\lambda$ de l'élément linéaire; cette
longueur portée tangentiellement aux coniques intersections avec la sphère
des cônes asymptotes des hyperboloïdes à une nappe, donnerait le pied des
rayons de la congruence formée par les génératrices des hyperboloïdes
homofocaux; portée à angle droit et tangentiellement aux coniques du
réseau, intersection de la sphère et des cônes asymptotes des hyperboloïdes
à une nappe, homofocaux, elle déterminera le pied de génératrices d'hyperboloïdes
encore homofocaux aux premiers. On obtiendra donc les deux
congruences conjuguées en considérant les génératrices des quadriques
\[
\frac{x^2}{a^2-\lambda} + \frac{y^2}{b^2-\lambda} + \frac{z^2}{c^2-\lambda} = 1.
\]


\Section{156.}
{Les élassoïdes conjugués coïncident.}

Ainsi, les deux élassoïdes conjugués ont même nature, même degré,
même classe. Ils forment la même surface.

Désignant par $u$ et~$v$ les paramètres des coniques homofocales sphériques,
on trouve pour l'élément linéaire de la sphère en fonction des éléments du
réseau $(u, v)$, la sphère ayant pour rayon~$R$
\[
\frac{4\, dS^2}{R^2}
  = \frac{(u-v)\, du^2}{(a^2-u)(b^2-u)(c^2-u)}
  + \frac{(v-u)\, dv^2}{(a^2-v)(b^2-v)(c^2-v)}.
\]

Les coordonnées d'un point de l'image sphérique sont définies par le
système
\begin{align*}
x_0 &= R \sqrt{\frac{(a^2-u)(a^2-v)}{(b^2-a^2)(c^2-a^2)}}, \\
y_0 &= R \sqrt{\frac{(b^2-u)(b^2-v)}{(c^2-b^2)(a^2-b^2)}}, \\
z_0 &= R \sqrt{\frac{(c^2-u)(c^2-v)}{(a^2-c^2)(b^2-c^2)}}.
\end{align*}

%% -----File: 210.png---Folio 204-------

\Section{157.}
{Valeur du paramètre de la congruence isotrope.}

Par des calculs dont nous supprimons le détail on trouve que sur l'hyperboloïde
$(u)$ le paramètre des génératrices de la quadrique $(u)$ a pour valeur
\[
p = i \frac{\sqrt{(a^2-u)(b^2-u)(c^2-u)}}{(u-v)}.
\]

Quant à la distance de la génératrice et de sa parallèle menée par le centre
de la sphère, on trouve
\[
L = \sqrt{v-u}.
\]

Rien n'est plus simple que d'établir l'équation du plan tangent à l'un des
élassoïdes groupés, on a
\begin{multline*}
\sum \sqrt{\frac{(a^2-u)(a^2-v)}{(b^2-a^2)(c^2-a^2)}} X \\
  = m \frac{\sqrt{(a^2-u)(b^2-u)(c^2-u)}}{(u-v)}
  + n \frac{\sqrt{(a^2-v)(b^2-v)(c^2-v)}}{(v-u)},
\end{multline*}
où $\sum$ s'applique à trois termes permutés et où $m$ et~$n$ sont des constantes
arbitraires dont l'annulation donne lieu aux deux élassoïdes moyen et
conjugué ou, plus exactement, aux deux nappes de l'élassoïde unique.


\Section{158.}
{Discussion de l'élassoïde.}

Les coordonnées d'un point de l'élassoïde stratifié sont données par trois
formules symétriques de la suivante\footnote
  {L'élassoïde moyen s'obtiendrait en faisant $m=1$, $n=0$, l'élassoïde conjugué en faisant $m=0$,
   $n=1$, un couple arbitraire de valeur de~$m$ et~$n$ correspond à un élassoïde stratifié arbitraire.}
\begin{gather*}% [** PP: Re-breaking, adding ×]
X \sqrt{(b^2-a^2)(c^2-a^2)} \\
= \frac{1}{(v-u)^3}
\left\{
\begin{aligned}
 m & \begin{aligned}
     &\sqrt{(a^2-v)(b^2-u)(c^2-u)} \\
     &×\bigl[3(a^2-u)(b^2-v)(c^2-v) + (a^2-v)(b^2-u)(c^2-u)\bigr]
     \end{aligned} \\[2ex]
-n & \begin{aligned}
     &\sqrt{(a^2-u)(b^2-v)(c^2-v)} \\
     &×\bigl[3(a^2-v)(b^2-u)(c^2-u) + (a^2-u)(b^2-v)(c^2-v)\bigr]
      \end{aligned}
\end{aligned}\right\},
\end{gather*}
%% -----File: 211.png---Folio 205-------
les valeurs des deux autres coordonnées s'obtenant par permutation circulaire.

On vérifie sans difficulté sur ces formules que les élassoïdes principaux
sont coupés par les plans coordonnés suivant les développées des coniques
focales du réseau de quadrique; ces courbes sont des géodésiques de la
surface. Les axes de coordonnées appartiennent aussi au lieu comme lignes
multiples; mais on sait qu'il n'y a que des segments de ces axes qui soient
situés sur des nappes réelles; on obtiendra les points limites de ces segments
en portant sur un axe à partir du centre des longueurs égales aux rayons
de courbure limites de la conique focale située dans un plan de symétrie
perpendiculaire et appartenant au système conjugué.

On sait que les plans de symétrie coupent encore l'élassoïde moyen suivant
des lignes doubles dont on construira les points \emph{en prenant les points milieux
des droites joignant les centres des cercles de courbure de même rayon,
d'une conique focale}.

La classe de l'élassoïde moyen est $12$ et son degré~$66$.

Si l'on considère un des hyperboloïdes homofocaux, tous les plans moyens
correspondants enveloppent une développable de quatrième classe.

Dans le cas où l'on considère au lieu d'hyperboloïdes des paraboloïdes
homofocaux, on voit directement en considérant les droites de l'élassoïde
situées dans le plan de l'infini que la classe est $5$ et le degré~$15$\footnotemark.
  \footnotetext{La considération de la développable imaginaire double circonscrite à toutes les quadriques
  homofocales, surface complétement étudiée et connue dans ses plus grands détails, permet de
  traiter géométriquement et du premier coup tout ce qui a trait au degré et à la classe de ces
  élassoïdes.}

\TbEoC

%% -----File: 212.png---Folio 206-------


\Chapter{XIX.}
{ÉTUDE DES ÉLASSOÏDES DÉRIVÉS DES PARABOLOÏDES HOMOFOCAUX.}


\Section{159.}
{Calcul des coordonnées de l'élassoïde moyen en fonction
de deux paramètres.}

L'extrême complication des élassoïdes dérivés des quadriques homofocales
à centre conduit à examiner plus en détail le cas particulier qui a trait aux
paraboloïdes homofocaux: nous étudierons les propriétés de l'élassoïde moyen
et de son conjugué, car ici les deux nappes se séparent.

Rappelons que la recherche des lignes de courbure dépend des fonctions
elliptiques; nous l'avons déjà établi en dérivant des élassoïdes du plan;
nous n'y reviendrons plus.

L'équation la plus générale des paraboloïdes homofocaux rapportés à leurs
plans principaux (l'origine étant au milieu du segment focal) est
\[
\frac{y^2}{\sin^2\varphi} - \frac{z^2}{\cos^2\varphi} = 8h(x-h \cos 2\varphi).
\]

Il en résulte que les équations d'une génératrice peuvent s'écrire
\begin{align*}
y &= \frac{\sin\varphi}{\lambda} x
   - \frac{h \sin\varphi}{\lambda} (-2\lambda^2 + \cos 2\varphi), \\
z &= \frac{\cos\varphi}{\lambda} x
   - \frac{h \cos\varphi}{\lambda} (2\lambda^2 + \cos 2\varphi);
\end{align*}
%% -----File: 213.png---Folio 207-------
l'équation de la ligne de striction est
\[
y \cos^3\varphi + z \sin^3\varphi = 0.
\]

Dès lors, on trouve pour les coordonnées du point central
\begin{align*}
x' &= h \cos2\varphi(1 - 2\lambda^2), \\
y' &= 4h\lambda \sin^3\varphi, \\
z' &= 4h\lambda \cos^3\varphi. %[** . added]
\end{align*}

En conséquence l'équation du plan moyen est
\[
\lambda x + y \sin\varphi + z \cos\varphi
  + \lambda h \cos2\varphi (3 + 2\lambda^2) = 0;
\]
on en déduit pour les coordonnées du point de contact du plan moyen et de
l'élassoïde
\begin{align*}
X &= -3h \cos2\varphi (1 + 2\lambda^2), \\
Y &= 2\lambda h \sin \varphi [\cos 2\varphi (4\lambda^2 + 3) + (2\lambda^2 + 3)], \\
Z &= 2\lambda h \cos \varphi [\cos 2\varphi (4\lambda^2 + 3) - (2\lambda^2 + 3)].
\end{align*}


\Section{160.}
{Calcul des coordonnées de l'élassoïde conjugué.}

Nous trouvons pour le paramètre de distribution
\[
P = -2h \sin 2\varphi (1 + \lambda^2).
\]

L'équation du plan tangent à l'élassoïde conjugué est
\[
\lambda X + Y \sin\varphi + Z \cos\varphi
  = 2h \sin^2\varphi (1 + \lambda^2)^{\frac{3}{2}}.
\]

Les coordonnées de l'élassoïde sont définies par les équations
\begin{align*}
X' &= 6h \sin 2\varphi\lambda (1 + \lambda^2)^{\frac{1}{2}}, \\
Y' &= 4h \cos \varphi(1 + \lambda^2)^{\frac{1}{2}}
      \bigl[\cos^2\varphi + \lambda^2(\cos^2\varphi - 3\sin^2\varphi)\bigr], \\
Z' &= 4h \sin \varphi(1 + \lambda^2)^{\frac{1}{2}}
      \bigl[\sin^2\varphi + \lambda^2(\sin^2\varphi - 3\cos^2\varphi)\bigr].
\end{align*}

%% -----File: 214.png---Folio 208-------

\Section{161.}
{Classe de l'élassoïde moyen et des élassoïdes stratifiés.}

Cherchons la classe de l'élassoïde central: nous trouvons pour l'équation
de la surface polaire réciproque par rapport à une sphère du rayon~$h$, ayant
son centre à l'origine:
\[
X(Z^2 - Y^2) [3(Y^2 + Z^2) + 2X^2] = h(Y^2 + Z^2)^2.
\]

\emph{L'élassoïde est donc de cinquième classe.}

Nous trouvons de même, pour la polaire réciproque de l'élassoïde conjugué,
l'équation
\[
Y^2 Z^2 (X^2 + Y^2 + Z^2)^3 = h^2(Y^2 + Z^2)^4.
\]

\emph{L'élassoïde conjugué est de dixième classe.}

On trouve avec la même facilité l'équation de la polaire réciproque d'un
des élassoïdes stratifiés quelconque
\[
\bigl[h(Y^2 + Z^2)^2 - mX(Z^2 - Y^2)[3(Y^2 + Z^2) + 2X^2]\bigr]^2
  - 4n^2 Y^2 Z^2(X^2 + Y^2 + Z^2)^3;
\]
on voit que leur classe n'est jamais supérieure à \emph{dix}.


\Section{162.}
{Le degré de l'élassoïde central est~$15$. Considération de la section par le plan
de l'infini et de la section par le plan des~$XY$.}

La développable isotrope unique touchant chacun des paraboloïdes homofocaux
a son arête de rebroussement du sixième ordre; l'intersection de
l'élassoïde moyen et du plan de l'infini doit donc être composée de $\frac{6(6-1)}{2}$
droites; conséquemment la surface doit être du quinzième degré. On le
%% -----File: 215.png---Folio 209-------
vérifie bien facilement comme il suit: cherchons l'intersection par le plan
des~$XY$; il y a trois cas à examiner:

\primo~$\lambda= 0$, alors $Y$ est nul et
\[
X = -3h(\cos^2 \varphi - \sin^2\varphi),
\]
le plan tangent, tout le long de l'axe des~$X$, qui forme ligne multiple, est
défini par l'équation
\[
Y \sin\varphi + Z \cos\varphi = 0,
\]
le point de contact a pour abscisse
\[
X_0 = -3h \frac{1 - \tg^2\varphi}{1 + \tg^2\varphi};
\]
on voit qu'à chaque valeur de~$X_0$ % [**** X_O?]
correspondent deux valeurs de $\tg\varphi$ et par
conséquent deux plans tangents. L'axe des~$X$ est donc \emph{ligne double}.

\secundo~$\cos \varphi = 0$. Le plan tangent a son équation de la forme
\[
\lambda X ± Y - \lambda h(3 + 2\lambda^2) = 0;
\]
il est parallèle à l'axe des $Z$ tout le long de la section qui est ligne simple;
son équation est
\[
\left(\frac{X-3h}{6h}\right)^3 = \frac{Y^2}{16h^2},
\]
\emph{c'est la développée de la parabole focale contenue dans le plan des~$XY$};
\begin{flalign*}
&\text{\indent\tertio}&&
3\sin^2\varphi(1 + \lambda^2) - \cos^2\varphi\lambda^2 = 0.\qquad &&
\end{flalign*}

La ligne correspondante est double, les plans tangents en un de ses points
sont définis par l'équation
\[
\cos V = \frac{\cos\varphi}{\sqrt{1 + \lambda^2}}.
\]

%% -----File: 216.png---Folio 210-------

Effectuant l'élimination on trouve pour l'équation de la courbe double
\begin{align*}% [** PP: Re-breaking]
-24 x^3 y^2 &+ 3h(2^6 x^4 - 2^3·3x^2 y^2 - 3^2·y^4) \\
  &+ 3^2·2^3h^2x(3y^2 + 2^2·5·y^2) + 2^4·3^2h^3(3x^2 + y^2)=0;
\end{align*}
\emph{elle est du cinquième ordre et doit être comptée pour dix unités}.

Additionnant les degrés des courbes d'intersection, on trouve bien $15$
pour le degré de la surface.


\Section{163.}
{La section de l'élassoïde par le plan des $ZY$ se compose de deux droites triples
et d'une ligne de courbure imaginaire qui est une hypocycloïde à quatre
rebroussements.}

Si l'on cherche la section de la surface par le plan des $ZY$ on trouve
\primo~comme \emph{droites triples} les bissectrices des angles des axes; \secundo~en rapportant
la section à ces lignes triples, on trouve pour l'équation du complément
\[
2 = \left(-\frac{z'^2}{h^2}\right)^{\frac{1}{3}} % [** PP: Exponent indistinct, typo 5?]
  + \left(-\frac{y'^2}{h^2}\right)^{\frac{1}{3}},
\]
ce qui dénote une hypocycloïde imaginaire à quatre rebroussements. Tout le
long de cette courbe le plan tangent à la surface est défini par la relation
\[
\cos V = \frac{i}{\sqrt{3}},
\]
\emph{c'est donc une ligne de courbure imaginaire}.

\tertio~La droite de l'infini appartient tout entière au lieu. On vérifie sans difficulté
que la section de la surface par le plan de l'infini se compose de cette
droite \emph{nonuple} et des deux tangentes à l'ombilicale (comptées \emph{triples}) menées
aux ombilics du plan~$ZY$.

%% -----File: 217.png---Folio 211-------

\Section{164.}
{L'élassoïde est inscrit dans un cône de révolution ayant son sommet à l'origine.}

Si l'on cherche l'équation du cône circonscrit à la surface et ayant son
sommet à l'origine, on trouve le \emph{cône de révolution}
\[
\left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{2}{3}} (Y^2 + Z^2) = X^2,
\]
dont la courbe de contact est définie par l'équation
\[
\frac{X^5}{6h} + \left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{2}{3}} (Z^2 - Y^2) = 0.
\]


\Section{165.}
{Les courbes de l'élassoïde correspondant aux paraboloïdes homofocaux sont
de quatrième ordre et de deuxième espèce, leurs trajectoires orthogonales
sont du sixième ordre.}

Les lignes les plus simples que l'on puisse tracer sur l'élassoïde moyen
sont celles qui correspondent à chacun des paraboloïdes homofocaux; ce
sont les courbes de contact de cylindres dont les génératrices sont perpendiculaires
aux divers plans directeurs des paraboloïdes. Tous ces plans
directeurs sont parallèles à l'axe des~$X$, et si l'on mène les plans parallèles
passant par cet axe ils couperont les cylindres circonscrits suivant les développées
des paraboles, projections des lignes de striction.

Prenant toujours pour origine et pour axe des $X$ les mêmes données,
mais pour plan des $XY$ le plan directeur correspondant à une valeur donnée
de $\varphi=\frac{\omega}{2}$, nous trouvons pour équation de la ligne de contact
\begin{gather*}
2h^2 \cos^2 \omega y^2 + (x + 3h \cos\omega)^3 = 0, \\
\frac{2}{y} = \tg\omega \frac{6h \cos\omega - x}{3h \cos\omega + x}.
\end{gather*}

%% -----File: 218.png---Folio 212-------

Ces deux surfaces ont pour intersection la génératrice représentée par
\[
x = -3h \cos\omega,\quad y = 0,
\]
et la courbe de contact proprement dite, qui est du quatrième ordre, à point
de rebroussement, et de deuxième espèce.

Sur la surface, ces courbes forment une famille dont les trajectoires orthogonales
sont des courbes du sixième ordre tracées sur des quadriques de
révolution.


\Section{166.}
{Lignes de l'élassoïde conjugué correspondant aux paraboloïdes homofocaux:
courbes de contact de cylindres dont la section droite, du sixième ordre, est
la développée d'une courbe du sixième ordre.}

Il convient maintenant d'étudier l'élassoïde conjugué. Commençons par
chercher, dans le dernier système d'axes, les courbes correspondant aux
paraboloïdes homofocaux successifs. Posons, pour plus de commodité,
\[
\lambda = \cot\mu. % [** PP: cotg in original]
\]

L'équation du plan tangent à l'élassoïde conjugué devient
\[
x \cos\mu + y \sin\mu = \frac{h \sin\omega}{2\sin^2\mu}.
\]

On vérifie (comme l'indiquait déjà la théorie générale) que la développable
correspondant à une valeur de~$\omega$ est un cylindre; on sait que sa section
droite doit être la développée d'une courbe algébrique. Il suffira de le
démontrer pour le cas où $\omega$ sera égal à~$\frac{\pi}{2}$.

Les coordonnées du point de tangence sont
\[
x = \frac{5h}{2}\, \frac{\cos\mu}{\sin^2\mu},\quad % y[**looks more like eta, but (x,y) on rest of page]
y = \frac{h}{2}\,  \frac{(\sin^2\mu - 2\cos^2\mu)}{\sin^3\mu},
\]
%% -----File: 219.png---Folio 213-------
mais, d'après la théorie générale, le rayon de courbure de la développante
cherchée est
\[
R = \frac{h}{2} \cos\mu \frac{3\sin^2\mu + 2\cos^2\mu}{\sin^3\mu};
\]
on en déduit sans peine que la développante est l'enveloppe de la droite
ayant pour équation
\[
-x \sin\mu + y \cos\mu = \frac{h}{2} \cot \mu.
\]

On en peut donner la définition suivante: c'est l'\emph{enveloppe d'un côté d'un
angle droit dont l'autre côté touche le cercle de rayon~$\frac{h}{2}$ et dont le sommet
décrit un diamètre du cercle}.

On peut définir l'élassoïde conjugué comme admettant pour géodésique la
développée de la courbe précédente; celle-ci a pour équation cartésienne
\[
x^2(8a^2 + y^2)^2 = [4x^2 + 3(y^2 - a^2)][(y^2 - a^2)^2 - 12a^2 x^2],
\]
et sa développée
\[
\frac{2^4}{3^4}\, \frac{x^6}{a^4}
  - \frac{4}{3}\, \frac{x^2}{a^2} (2x^2 + 9y^2)
  - \frac{9y^2}{a^2} + 9(x^2 + y^2) = 0,
\]
elles sont toutes deux \emph{du sixième ordre}.


\Section{167.}
{Équation de la courbe de contact des cylindres dérivant des paraboloïdes
homofocaux lorsqu'on les a étendus sur un plan {\upshape(}sixième ordre{\upshape)}.}

Pour compléter l'étude des courbes des deux élassoïdes correspondant aux
paraboloïdes, il convient de chercher ce qu'elles deviennent lorsqu'on aplatit
les cylindres circonscrits sur un plan. On sait d'après la théorie générale
que dans ce cas la courbe de contact se transforme \emph{en une seule courbe algébrique};
elle a pour équation
\begin{align*}% [** PP: Re-breaking]
0 &= \frac{4^3}{3^3·h^4} %[**5^3?]
  \left(\frac{z^2}{\cos^2\omega} - \frac{R^2}{\sin^2\omega} - h^2\right)^3 \\
  &\quad+ \frac{4^2}{3·h^2}
  \left(\frac{z^2}{\cos^2\omega} - \frac{R^2}{\sin^2\omega} - h^2\right)^2
  + 3
  \left(\frac{z^2}{\cos^2\omega} - \frac{4}{3}\,\frac{R^2}{\sin^2\omega} - 1\right),
\end{align*}
%% -----File: 220.png---Folio 214-------
$Z$ et~$R$ étant les deux coordonnées; \emph{la courbe est donc du sixième degré}.

Pour déterminer le degré de l'élassoïde conjugué, il convient de chercher
sa section par le plan des $XY$ qui est un plan de symétrie.


\Section{168.}
{Degré de l'élassoïde conjugué {\upshape(26)}.}

\primo\quad$\sin\varphi = 0$ l'axe des~$y$ \emph{sextuple} appartient au lieu, quatre nappes sont
imaginaires, deux sont réelles aux points tels que
\[
y^2 > h^2.
\]
\begin{flalign*}
&\text{\indent\secundo} &&
(1 + \lambda^2)\sin^2\varphi - 3\lambda^2 \cos^2\varphi = 0.\qquad &&
\end{flalign*}

La courbe est double; remplaçant $\lambda^2$ par~$\omega$, l'équation s'obtiendra en éliminant
$\omega$ entre les relations
\begin{gather*}
\omega^2 + \omega \left(1 ± \frac{4}{3^\frac{3}{2}}\, \frac{x}{h}\right) ± \frac{x}{3^\frac{3}{2} h} = 0, \\
\omega \frac{3^\frac{3}{2} y^2}{hx} + (1 + \omega)(1 - 2\omega)^2 = 0,
\end{gather*}
on trouve deux courbes distinctes suivant le signe donné à~$x$; elles sont du
cinquième degré et ont pour équation
\begin{multline*}% [** PP: Re-breaking]
2 \frac{y^4}{h} + 3h\left(1 - 16 \frac{x'^2}{h^2}\right) \\
  \qquad= 2 · 3^2 hx'^2 \left(1 + 4 \frac{x'}{h}\right)^2
  + y^2 \left[\left(1 + \frac{6x'}{h}\right)2 % [**** F1: Coefficient at end?]
              - x'\left(1 + \frac{8x'}{h}\right) \left(2^3 \frac{x'}{h} + 5\right)\right],
\end{multline*}
où l'on a posé
\[
±x = x' 3^\frac{3}{2}\footnotemark.
\]
  \footnotetext{Il existe deux autres plans (à $45°$ sur les premiers) qui sont plans de symétrie, qui coupent
par conséquent l'élassoïde suivant une ligne double laquelle se décompose en deux lignes
du cinquième degré. La section par le plan des $ZY$ comprend comme ligne de courbure une
hypocycloïde à quatre rebroussements.}

On en conclut que le degré est~$26$.

%% -----File: 221.png---Folio 215-------

\Section{169.}
{Formation d'un réseau isométrique sphérique composé de biquadratiques,
comme application de la théorie générale.}

On sait que les génératrices des paraboloïdes homofocaux peuvent être
considérées comme les rayons d'une congruence isotrope dérivée d'un certain
réseau isométrique tracé sur la sphère, réseau qui variera par conséquent
avec la position du centre de la sphère; cherchons en particulier ce qu'il
est dans le cas où la sphère a pour centre le point milieu du segment focal.

Nous trouvons pour intégrales des lignes du réseau
\begin{align*}
\frac{\sin 2\omega}{\cos 2\varphi} &= ai, \\
\frac{\sin 2\varphi}{\cos 2\omega} &= b,
\end{align*}
où $a$ et~$b$ sont les constantes caractéristiques de ces lignes. En coordonnées
cartésiennes, on trouve
\[
\left.
\begin{aligned}
a &= \frac{2RX}{Y^2 - Z^2}, \\
b &= \frac{2YZ}{2X^2 + Y^2 + Z^2}
\end{aligned}\ \right\}
\text{ avec}\quad R^2 = X^2 + Y^2 + Z^2;
\]
\emph{ce sont donc des biquadratiques}.

Si l'on cherche l'expression du quarré de l'élément linéaire de la sphère,
on trouve
\[
\frac{dS^2}{R^2}
  = \frac{1}{2}\, \frac{(1 + a^2)(1 + b^2)}
                       {1 + a^2 b^2 + \sqrt{(1 + a^2)(1 + a^2 b^2)}}
  \left[\frac{da^2}{(1 + a^2)^2} + \frac{db^2}{(1 - b^2)^2}\right], % [** PP: . -> ,]
\]
ainsi se vérifie cette conséquence de la théorie générale, que le réseau est
orthogonal et isométrique.

Voilà bien assez de détails au sujet des élassoïdes dérivés des paraboloïdes
homofocaux.

\TbEoC

%% -----File: 222.png---Folio 216-------


\Chapter{XX.}
{ÉTUDE DES ÉLASSOÏDES APPLICABLES SUR DES SURFACES DE RÉVOLUTION\footnotemark.}

\footnotetext{Ce chapitre est le résumé d'une étude entreprise par M.~Rouquet sur ma demande.}


\Section{170.}
{Les géodésiques principales, et leurs trajectoires orthogonales, sur des élassoïdes
applicables sur des surfaces de révolution ont pour image sphérique
un réseau orthogonal formé de grands cercles et de petits cercles.}

Bour a montré qu'il existe une famille d'élassoïdes applicables sur des surfaces
de révolution; nous terminerons cette étude des élassoïdes par une
étude de ces surfaces remarquables dont un grand nombre sont algébriques,
sur lesquelles on peut intégrer l'équation des lignes de courbure et de leurs
trajectoires, et dont (par définition) les géodésiques s'obtiennent par de
simples quadratures.

Rappelons rapidement les propriétés fondamentales de ces surfaces. Tout
réseau orthogonal d'un élassoïde a pour image sphérique un réseau orthogonal.
Soient $A$, $B$ les courbures normales des courbes transformées, sur
l'élassoïde, des méridiens et des parallèles des surfaces de révolution, $D$~le
paramètre de déviation, l'élément linéaire de l'élassoïde et celui de la sphère
sont
\begin{align*}
dS^2  &= f^2\, du^2 + g^2\, dv^2, \\
dS'^2 &= (A^2 + D^2)(f^2\, du^2 + g^2\, dv^2).
\end{align*}

$A$ et~$B$ sont égaux et de signe contraire, mais les lignes $(v)$ et~$(u)$ étant
sur l'élassoïde des géodésiques et des cercles géodésiques, $f$ et~$g$ sont des
%% -----File: 223.png---Folio 217-------
fonctions de~$u$ seule. D'un autre côté, la troisième équation de Codazzi,
appliquée au réseau $(u, v)$ de l'élassoïde, donne
\[
fg(A^2 + D^2) = \frac{d}{du} \left(\frac{dg}{f\, du}\right),
\]
par conséquent $A^2 + D^2$ qui est fonction de~$g$ et de~$f$ est une simple fonction
de~$u$. Ceci démontre que sur la sphère les coefficients du quarré de l'élément
linéaire sont tous deux fonction de~$u$ seule. Dès lors \emph{les lignes~$v$ sont des
géodésiques et par conséquent des grands cercles; les lignes~$u$ sont des cercles
géodésiques et par conséquent des petits cercles}.

On sait qu'un semblable réseau ne peut être composé que de grands
cercles ayant un diamètre commun et de petits cercles ayant pour pôles
les extrémités de ce diamètre.

En conséquence le carré de l'élément linéaire de la sphère se mettra sous
la forme la plus simple
\[
dS'^2 = du^2 + \sin^2 u\Reg{·}{\,} dv^2.
\]
Nous prendrons pour surface de référence la sphère rapportée à ce réseau
particulier. Désignons par~$t$ la distance du centre de la sphère (de rayon
unité) au plan tangent de l'élassoïde; posant
\begin{align*}
M  &= \frac{d^2 t}{du^2} + t, \\
M' &= \frac{1}{\sin u}\Reg{·}{\,} \frac{d^2 t}{dv^2}
    + \cos u\, \frac{dt}{du} + t \sin u, \\
N  &= \frac{d^2 t}{du\, dv} - \cot u\, \frac{dt}{dv},
\end{align*}
on trouve pour l'élément linéaire de la surface-enveloppe du plan~$t$, par les
calculs de périmorphie
\[
dS^2 = \left(M^2  + \frac{N^2}{\sin^2 u}\right) du^2
     + (M'^2 + N^2)\, dv^2
     + 2N \left(\frac{M'}{\sin u} + M\right)\, du\, dv.
\]

La surface est élassoïde si le réseau $(u, v)$ correspondant au réseau sphérique
est orthogonal et n'est pas celui des lignes de courbure (ce qui élimine
l'hypothèse de $N = O$). % [**** F1: 0 -> O]

%% -----File: 224.png---Folio 218-------

Conséquemment nous devrons avoir
\[
M'=-M \sin u,
\]
et pour que l'élassoïde soit applicable sur une surface de révolution (nous
désignerons par~$(\varepsilon_r)$ les élassoïdes de cette nature) il faut et il suffit que
$\left(M^2+\frac{N^2}{\sin^2 u}\right)$ soit une simple fonction de~$u$.

\Section{171.}
{Équation générale des cylindres circonscrits le long des géodésiques
principales des élassoïdes~$(\varepsilon_r)$.}

Nous poserons donc
\[
M = U \cos V, \quad \frac{N}{\sin u} = U \sin V;
\]
on démontre que $V$ est une simple fonction de~$v$. Par des calculs dont nous
supprimons le détail, on trouve
\[
t= \frac{a}{m(m^2-1)}\cot^m \frac{u}{2} (m-\cos u) \cos m (v+v_0) + \sin u(V_1+U_2),
\]
où l'on a posé
\[
V_1=b \cos v + b'\sin v, \quad U_2=c \cot u.
\]

Les constantes $b$, $b'$, $c$ n'ont d'influence que sur la position de la surface
et~$a$ sur son échelle de grandeur. La constante~$v_0$ influe seulement sur
l'orientation de la surface; la constante~$m$ est donc la seule à considérer et
toutes les autres peuvent être annulées sans inconvénient; on aura donc
\[
t=\frac{a}{ m(m^2-1)} \cot^m \frac{u}{2}(m-\cos u) \cos mv.
\]

\begin{Emph}
L'élassoïde $(\varepsilon_r)$ est l'enveloppe de cylindres semblables entre eux dont les
courbes de contact sont des géodésiques de l'élassoïde.
\end{Emph}

%% -----File: 225.png---Folio 219-------

\Section{172.}
{Forme des élassoïdes $(\varepsilon_r)$.}

L'élassoïde est composé de nappes identiques dont une entière s'obtient
en faisant varier~$u$ de~$0$ à~$\pi$ et~$v$ de~$0$ à~$\frac{2\pi}{m}$.

La surface entière s'obtiendra en faisant tourner cette nappe de l'angle~$\frac{2\pi}{m}$
indéfiniment. Si~$m$ est un nombre entier on retrouvera la nappe primitive,
après $m$ rotations; si~$m$ est un nombre fractionnaire~$\frac{p}{q}$, $p$ rotations seront
nécessaires pour retrouver la première nappe $\left(\frac{p}{q}\text{ étant supposée irréductible}\right)$.

De ce que $t$ ne change pas quand on change $v$ en~$\frac{2\pi}{m}-v$, il résulte que
chaque nappe admet un plan de symétrie.

Les élassoïdes $(\varepsilon_r)$, algébriques, correspondent aux valeurs commensurables
de~$m$.

\Section{173.}
{Rectification des géodésiques principales. Lignes de courbure.}

Les lignes~$(v)$ de l'élassoïde ont pour longueur
\[
S_v=\frac{a}{m^2-1}\frac{\cot^m \dfrac{u}{2}(m-\cos u)}{\sin u}.
\]

\begin{Emph}
\emph{Si l'on cherche l'équation des lignes de courbure, on trouve, pour l'angle
qu'elles font avec la ligne~$(v)$,
\[
\varphi=k\frac{\pi}{2}+\frac{mv}{2};
\]
mais l'angle~$mv$ est celui que fait la ligne~$(v)$ de l'élassoïde avec son image
sphérique, conséquemment:} En un point d'un élassoïde~$(\varepsilon_r)$ les directions des
lignes de courbure sont les bissectrices des angles que forment les directions
de la ligne~$(v)$ passant en ce point et de son image sphérique; ces angles croissent
proportionnellement au module~$m$ et au paramètre~$v$. Une même ligne~$(v)$
coupe sous un angle constant les lignes de courbure de la surface.
\end{Emph}

%% -----File: 226.png---Folio 220-------

Les équations des lignes de courbure sont
\begin{gather*}
\cot \frac{mu}{2} · \sin^2 \frac{mv}{2} = h^2, \\
\cot \frac{mu}{2} · \cos^2 \frac{mv}{2} = k^2,
\end{gather*}
où~$h$ et~$k$ sont les paramètres de chacune de ces lignes.

Les lignes de courbure comme les lignes asymptotiques sont algébriques.
Il con\-vi\-ent, pour se figurer ces courbes, de faire la projection stéréographique
de leur image sphérique sur le plan des $YZ$ (le point de vue étant à un pôle
du grand cercle situé dans ce plan).

\Section{174.}
{Projections stéréographiques des images des lignes de courbure
(Spirales de Lamé).}

$\rho$ désignant le rayon vecteur, dans le plan~$YZ$, on a pour les perspectives
des images des lignes de courbure
\begin{gather*}
\rho^m · \sin^2 \frac{mv}{2} = h^2, \\
\rho^m · \cos^2 \frac{mv}{2} = k^2.
\end{gather*}

Ce sont des spirales dont M.~Haton a résumé les propriétés (\textit{Nouvelles
Annales de mathématiques}, 1876, pp.~97 à~108). Les lignes asymptotiques
donneraient lieu à des perspectives identiques aux précédentes, l'axe polaire
ayant simplement tourné de $\frac{\pi}{2m}$. Ces spirales se coupent à angle droit; elles
forment un réseau isométrique (\textsc{Lamé}, \textit{Journal de Liouville}, \Ord{1}{re}~sér., t.~I, p.~86).

Pour que les courbes précédentes deviennent des cercles ou des droites, $m$
devra être égal à deux. Dans ce cas, les lignes de courbure ont pour image
sphérique des cercles et par conséquent sont planes. L'élassoïde correspondant
est celui d'Enneper.

%% -----File: 227.png---Folio 221-------

L'élément linéaire de l'élassoïde~$(\varepsilon_r)$, rapporté aux lignes de courbure, est
\[
dS^2 = \frac{a^2}{m^2} (h^2+k^2)
  \left[(h^2 + k^2)^{ \frac{1}{m}}
      + (h^2 + k^2)^{-\frac{1}{m}}\right]^2 (dh^2 + dk^2).
\]

\Section{175.}
{Tous les élassoïdes groupés correspondant à un élassoïde~$(\varepsilon_r)$ sont identiques
à celui-ci. Les élassoïdes groupés qu'on peut déduire du réseau isométrique
des lignes de courbure sont des~$(\varepsilon_r)$ identiques.}

On pourrait manifestement déduire de nouveaux élassoïdes groupés de la
connaissance des réseaux isométriques, images des lignes de courbure. Ces
élassoïdes seraient algébriques en même temps que les spirales; il suffit de
les signaler. Ces nouveaux élassoïdes ne diffèrent pas de ceux qui nous
occupent. En effet, les trajectoires sous un angle arbitraire des spirales représentant
les lignes de courbure ne sont autre chose que ces spirales tournées
d'un certain angle; conséquemment tous les élassoïdes groupés seraient identiques
entre eux, absolument comme les élassoïdes $(\varepsilon_r)$ et les élassoïdes
stratifiés. Les images sphériques de leurs lignes de courbure, trajectoires les
unes des autres, devront être identiques, elles sont la perspective des spirales
indiquées ci-dessus.

\Section{176.}
{Classe des élassoïdes~$(\varepsilon_r)$.}

Il est facile d'établir la classe des élassoïdes~$(\varepsilon_r)$.

Posant:
\[
\rho^2=X^2+Y^2+Z^2,
\]
on obtient:
\begin{gather*}
X= \rho \cos u, \quad
Y=-\rho \sin u \cos v, \quad
Z=-\rho \sin u \sin v, \\
\rho t=a^2,
\end{gather*}
%% -----File: 228.png---Folio 222-------
$X$, $Y$, $Z$ désignant les coordonnées d'un point de la polaire réciproque. On
trouve en exprimant~$t$ en~$X$ et~$Y$
\[
t = \frac{(-1)^m a}{2m(m^2-1)}\,
    \frac{(Y+iZ)^m + (Y-iZ)^m }{(\rho - X)^m}
  · \frac{m\rho - X}{\rho},
\]
d'où résulte pour l'équation cherchée
\[
\bigl[(Y+iZ)^m + (Y-iZ)^m\bigr] (m\rho - X) = 2am(m^2-1)(X-\rho)'''.
\]

Il y a trois cas à distinguer suivant que $m$ est un nombre entier, fractionnaire
ou incommensurable.

\begin{Emph}
\primo~Lorsque le module~$m$ est un nombre entier positif, la classe de l'élassoïde~$(\varepsilon_r)$
est égale à~$2(m + 1)$.
\end{Emph}

\secundo~Le module~$m$ est commensurable et égal à~$\frac{p}{q}$, on a donc
\[
\bigl[(Y + iZ)^{\frac{p}{q}}
    + (Y - iZ)^{\frac{p}{q}}\bigr]^q (m\rho - X)^q = k^q (X - \rho)^p,
\]
en donnant à $k$ la valeur
\[
k = 2am(m^2 - 1).
\]

Pour faire disparaître les radicaux d'indice~$q$, il faut former la \emph{norme} de
l'équation, c'est-à-dire le produit
\[
\prod^{\mu=q-1}_{\mu=0}
   \left[\bigl\{(Y + iZ)^{\frac{p}{q}}
    + \alpha_\mu(Y - iZ)^{\frac{p}{q}}\bigr\}^q
      (m\rho - X)^q - k^q (X - \rho)^p \right],
\]
où $\alpha_\mu$ désigne l'une quelconque des racines de l'équation binôme
\[
\omega^q - 1 = 0. %[** PP: Typo \omega^2]
\]

\begin{Emph}
\emph{On obtiendra ainsi une fonction entière de~$X$, $Y$, $Z$, $\rho$, de degré $q(p + q)$
qui sera le premier membre d'une équation où il ne subsistera plus qu'un
radical contenant~$\rho$. Conséquemment l'}équation de la polaire réciproque sera
de degré $2q(p + q)$.
\end{Emph}

Par exemple, lorsque $m = \frac{1}{2}$ la classe est~12.

\tertio~Lorsque $m$ est incommensurable, les élassoïdes ne sont plus algébriques.

%% -----File: 229.png---Folio 223-------

\Section{177.}
{Valeurs des coordonnées d'un élassoïde~$(\varepsilon_r)$. Degré égal à $(m + 1)^2$
si le module~$m$ est entier.}

Les coordonnées d'un point de l'élassoïde, en introduisant comme paramètre
auxiliaire la fonction désignée ci-dessus
\[
\rho = \cot \frac{u}{2},
\]
deviennent
\begin{align*}
X &= \frac{a}{m} \rho^m \cos mv,\\
Y &= \frac{a}{2} \left[\frac{ \rho^{m+1}}{m+1} \cos(m + 1)v - \frac{\rho^{m-1}}{m-1} \cos(m - 1)v \right],\\
Z &= \frac{a}{2} \left[ \frac{\rho^{m+1} }{m+1} \sin(m + 1)v + \frac{\rho^{m-1}}{m-1} \sin(m - 1)v \right].
\end{align*}

Ce sont, à des différences insignifiantes près, les formules données par Bour.

Dans le cas où $m$ est entier et positif, on peut établir l'ordre de l'élassoïde.
On trouve, par des considérations assez détaillées, que le plan des~$YZ$ coupe
la surface suivant~$m$ droites, écartées de l'angle~$\frac{\pi}{m}$, deux à deux, passant
toutes par l'origine, de multiplicité $m + 1$. Le plan contient en outre la
droite de l'infini comme droite de multiplicité égale à~$m + 1$. Dans ce cas,
l'ordre de la surface est égal à~$(m + 1)^2$.

\Section{178.}
{Chaque courbe $(u)$ est située sur une quadrique.}

On peut, sans sortir de la généralité, établir certaines propriétés des
courbes $(u)$; on trouve, en effet, la relation
\[
\frac{4}{a^2}\left( Y^2 + Z^2 + \frac{m^2}{m^2-1} X^2 \right) =
\left( \frac{\rho^{m+1}}{m+1} - \frac{\rho^{m-1}}{m-1}\right)^2;
\]
lorsque $u$ reste constant et par conséquent~$\rho$, on voit que la courbe
$(u)$ est
%% -----File: 230.png---Folio 224-------
située sur une quadrique de révolution homothétique à la quadrique fixe
\[
Y^2 + Z^2 + \frac{m^2}{m^2-1} X^2 = a^2.
\]

On peut trouver une autre relation indépendante de~$v$. En posant
\[
\cos v + i \sin v = \lambda,
\]
on a les équations simultanées
\begin{align*}
\frac{2}{a} (Y + iZ) &= \frac{ \rho^{m+1}}{m+1} \lambda^{m+1} - \frac{\rho^{m-1}}{m-1}\frac{ 1}{\lambda^{m-1}},\\
\frac{2}{a} (Y - iZ) &= \frac{ \rho^{m+1}}{m+1}·\frac{ 1}{\lambda^{m+1}} - \frac{\rho^{m-1}}{m-1}· \lambda^{m-1},
\end{align*}
entre lesquelles, si on éliminait $\lambda$, on aurait une relation ne dépendant que
de~$u$.

\Section{179.}
{Les géodésiques principales $(v)$ sont l'intersection de cônes du second degré
et de cylindres, elles sont de degré $2m - 1$ si $m$ est entier.}

De même en cherchant à isoler les courbes~$(v)$ on trouve
\[
[Z \cos(m - 1)v + Y \sin(m - 1)v][Z \cos(m + 1)v - Y \sin(m + 1)v] =
\frac{m^2 X^2 }{m^2-1} \sin^2 mv, % [** PP: Typo mV]
\]
avec la relation
\[
\frac{2}{a} [Z \cos(m + 1)v - Y \sin(m + 1)v]^m = \frac{(mX \sin mv)^{m-1}· \sin2mv}{(m - 1)^m};
\]
ces lignes sont les intersections de cônes du second degré et de cylindres,
ayant en commun l'intersection des plans
\[
X = Z \cos(m + 1)v - Y \sin(m +1)v = 0.
\]

Conséquemment, lorsque $m$ est un nombre entier, les courbes~$(v)$ sont
d'ordre $2m - 1$.

Enfin, on peut trouver deux plans correspondants à chaque courbe~$(v)$ et
tels que cette courbe s'y projette suivant deux courbes toujours semblables à
elles-mêmes.

%% -----File: 231.png---Folio 225-------

\Section{180.}
{Géodésiques principales planes. Équation.}

On sait que les lignes~$(v)$ sont géodésiques, il en est de planes, toutes
identiques entre elles; une de ces courbes détermine l'élassoïde~$(\varepsilon_r)$; on peut
la définir par les valeurs des coordonnées d'un point
\[
X = \frac{a}{m} \rho^m, \quad
Y = \frac{a}{2} \left(\frac{\rho^{m+1}}{m+1}
                    - \frac{\rho^{m-1}}{m-1}\right),
\]
ou comme l'enveloppe de la droite
\[
X \cos u - Y \sin u = \frac{a}{m(m^2 - 1)} \cot^m \frac{u}{2} (m - \cos u).
\]

\Section{181.}
{$m = 2$, élassoïde d'Enneper du neuvième degré. $m = \frac{1}{2}$, élassoïde de
douzième ordre et de douzième classe. Équations.}

Pour ne pas prolonger indéfiniment ces monographies, nous rappellerons
simplement que dans le cas où $m = 2$, l'élassoïde est celui d'Enneper; ses
lignes de courbure sont des cubiques planes; en appliquant les considérations
développées ci-dessus, on trouve pour son équation
\[
\left[\frac{ 3}{a^2}\left(Y^2 + Z^2 + \frac{8}{9} X^2 \right) - \frac{2}{3} + \frac{3(Y^2 - Z^2)}{aX}\right]^2 =
6\left[\frac{8X^2}{9a^2} - \frac{Y^2 - Z^2}{aX} + \frac{2}{3} \right]^3 .
\]

Un cas fort intéressant et qui justifierait une étude détaillée est celui où
$m = \frac{1}{2}$; les lignes~$(v)$ dans ce cas sont des biquadratiques; l'équation de la
surface est
\begin{gather*}
[12a^4 X^2 - (X^3 - 6a^2 Y)^2]^2 \\
= \mSmall{27X \left( Y^2 + Z^2 - \frac{X^2}{3}\right)
  \bigl\{27a^4 X^2 [9X(Y^2 + Z^2) + (X^3 - 24a^2 Y)] - (X^3 - 6a^2 Y)^3\bigr\}};
\end{gather*}
on voit qu'elle est du douzième degré; on sait d'ailleurs que cette surface est
aussi de douzième classe.

\TbEoC

%% -----File: 232.png---Folio 226-------

\Chapter{XXI.}
{PROPRIÉTÉS DIVERSES, RELATIVES AUX ÉLASSOÏDES.}

Nous terminerons cette étude en réunissant quelques propositions relatives
aux élassoïdes et ne se rattachant pas directement aux divers chapitres
dont il a été traité.

\Section{182.}
{Les axes d'une congruence de cercles qui n'a que deux focales à distance
finie, forment une congruence isotrope. Transformation par rayons vecteurs
réciproques.}

Occupons-nous d'abord des congruences isotropes: cet élément géométrique
s'introduit d'une façon tout à fait inattendue dans la théorie des congruences
de cercles. Lorsque des cercles remplissent l'espace comme les
droites d'une congruence (lorsque, par exemple, on trace un cercle unique
dans chacun des plans tangents d'une surface donnée), ces courbes touchent
dans l'espace certaines surfaces qui, en général, ont quatre nappes situées à
distance finie et qui à l'infini rencontrent l'ombilicale, \emph{mais lorsque deux des
nappes-enveloppes passent à l'infini, les axes des cercles forment toujours
une congruence isotrope}.

%% -----File: 233.png---Folio 227-------

La réciproque est exacte. On peut donc former autant de congruences
de cercles que l'on veut, n'ayant que deux focales simples à distance
finie, car les rayons des cercles sont arbitraires [pourvu qu'ils ne soient
pas nuls].

Si, par exemple, on considère des congruences de cercles, ayant mêmes
axes, et formant une congruence isotrope, les fonctions définissant la variation
arbitraire des rayons ne joueront aucun rôle dans la nature de l'élassoïde
moyen; mais, que l'on vienne à transformer ces congruences de cercles par
rayons vecteurs réciproques, il est manifeste qu'on obtiendra de nouvelles
congruences de cercles n'ayant que deux focales à distance finie. Seulement
on aura fusionné, pour ainsi dire, les deux fonctions caractéristiques de la
congruence isotrope primitive avec deux autres---qui définissent les cercles;---on
aura donc créé une congruence isotrope nouvelle. On conçoit, de la
sorte, qu'il soit facile d'obtenir une infinité d'élassoïdes algébriques déduits
tous les uns des autres\footnotemark.
  \footnotetext{En réalité, bien qu'on ait introduit par une transformation deux fonctions arbitraires nouvelles,
  elles se confondront en partie avec celles de la première congruence isotrope, de façon
  qu'il ne figure réellement que deux fonctions arbitraires dans la définition de la nouvelle
  congruence.}


\Section{183.}
{Transformation d'une congruence isotrope en congruence normale.}

Nous avons montré que si l'on porte sur les tangentes à la sphère, dans
la direction des courbes ($u$ ou~$v$) d'un réseau isométrique des longueurs
égales au~$\lambda$ du réseau isométrique, l'extrémité du segment est le pied mobile
du rayon d'une congruence isotrope. Si, au lieu de porter un segment
égal à~$\lambda$, on portait un segment égal à~$\frac{a^2}{\lambda}$, on construirait une nouvelle
congruence, cette fois, formée de normales à une surface. L'application
aux quadriques homofocales introduit une surface dépendant des fonctions
elliptiques.

%% -----File: 234.png---Folio 228-------

\Section{184.}
{Congruence normale déduite d'un réseau isométrique
tracé sur un élassoïde.}

Portant sur les tangentes aux courbes~$(u, v)$ d'un réseau isométrique des
segments égaux aux valeurs des~$\lambda$, et, par les extrémités menant des parallèles
à la normale au point~$(u, v)$, on sait que les congruences des droites
obtenues sont isotropes, si la surface de référence est une sphère. Au contraire,
si cette surface est un élassoïde, les congruences sont formées de normales
à des surfaces.

Les élassoïdes~$(\varepsilon_r)$ applicables sur des surfaces de révolution donnent lieu
à des lignes asymptotiques algébriques si le module~$m$ est commensurable;
d'après notre théorème sur la correspondance des asymptotiques d'un élassoïde
moyen et de la surface moyenne, on voit que pour chaque valeur de~$m$
on aura une $\infty^1$ %[**Check the exponent]
de surfaces moyennes des congruences isotropes satisfaisantes
sur lesquelles les asymptotiques s'obtiendront immédiatement sans quadratures.

\Section{185.}
{Les surfaces moyennes correspondant aux élassoïdes~$(\varepsilon_r)$ et une surface par
élassoïde, également applicable sur une surface de révolution, ont leurs
asymptotiques qui correspondent à celles des~$(\varepsilon_r)$.}

Mais, d'après un théorème de M.~Weingarten, à tout élassoïde~$(\varepsilon_r)$ applicable
sur une surface de révolution correspondra une autre surface~$(S)$
également applicable sur une surface de révolution, mais non élassoïde,
constituant avec~$(\varepsilon_r)$ la développée d'une certaine surface dont les rayons de
courbure sont fonctions l'un de l'autre. Cette dernière surface s'obtiendra
%% -----File: 235.png---Folio 229-------
chaque fois sans quadrature puisque nous avons rectifié les géodésiques
méridiennes de~$(\varepsilon_r)$; elle sera algébrique en même temps que~$(\varepsilon_r)$, c'est-à-dire
toutes les fois que le module~$m$ sera commensurable.

D'après un théorème (qui nous appartient), sur les surfaces~$(\varepsilon_r)$  et~$(S)$,
nappes de la développée d'une surface dont les rayons de courbure principaux
sont liés, les asymptotiques se correspondent encore; conséquemment à
chaque valeur du module~$m$ correspondra une surface~$(S)$ dont on saura
trouver sans quadrature les asymptotiques.

On obtient ainsi une double famille de surfaces~$(\varepsilon_r)$ et~$(S)$ simultanément
algébriques et toutes deux applicables sur des surfaces de révolution; celles-ci
ne peuvent être que transcendantes quand elles sont réelles.

\Section{186.}
{Sur les deux nappes de la développée d'un élassoïde les asymptotiques
se correspondent, ainsi qu'aux lignes de longueur nulle de l'élassoïde.}

Dans le même ordre d'idées, la théorie des élassoïdes met aussi en évidence
une famille intéressante de surfaces applicables sur des surfaces de
révolution; en effet, on peut envisager les deux nappes de la développée d'un
élassoïde comme satisfaisant à cette condition; toutes deux sont applicables
sur une surface de révolution dont le profil serait une développée de chaînette
(qui serait, par conséquent, transcendante); pourtant chaque élassoïde
algébrique donne lieu à une développée algébrique.

Si l'on applique notre théorème à ces nappes de développée d'élassoïde,
on voit que leurs asymptotiques se correspondent; elles sont toujours imaginaires,
mais elles correspondent aux lignes de longueur nulle de l'élassoïde
dont elles constituent la développée.

%% -----File: 236.png---Folio 230-------

\Section{187.}
{Propriété générale au sujet de doubles couples de surfaces
applicables l'une sur l'autre.}

Tout ce qui précède n'est point une conséquence propre de la théorie
des élassoïdes, mais bien de celle, beaucoup plus générale, des couples de
surfaces applicables l'une sur l'autre. Si les asymptotiques se correspondent
sur l'élassoïde moyen et sur la surface moyenne d'une congruence isotrope,
si, de même, elles se correspondent sur les deux nappes de la développée
d'une surface dont les rayons de courbure sont liés, c'est qu'il se présente une
particularité commune, bien digne d'être mise en lumière: les deux surfaces,
dont les asymptotiques se correspondent, peuvent, dans chaque cas, être
considérées comme les lieux des milieux de segments dont les extrémités
décrivent des surfaces applicables l'une sur l'autre. Or ces doubles couples
de surfaces applicables existent toujours associés, et le théorème que voici
montre qu'un couple quelconque entraîne avec lui son correspondant:

Soient~$(A)$, $(A')$ deux surfaces applicables, l'une sur l'autre, et~$(O)$ la
surface lieu des milieux des cordes joignant les points correspondants~$A$
et~$A'$; il existe toujours un autre couple~$(B) (B')$ de surfaces applicables tel
que la surface~$(O)$ soit touchée par tous les plans perpendiculaires sur les
milieux des cordes $BB'$; les couples de points $AA'$ et $BB'$ sont réciproques.
Conséquemment les surfaces~$(O)$ et~$(\Omega)$ lieux des milieux des cordes~$AA'$,
$BB'$, sont les focales d'une même congruence de droites; de plus, les cordes
elles-mêmes sont parallèles aux normales en~$O$ et~$\Omega$ des surfaces~$(O)$
et~$(\Omega)$, $AA'$ étant parallèle à la normale de~$(\Omega)$. Enfin, entre les longueurs
des cordes~$AA'$, $BB'$, et les autres éléments de la figure, il existe la
relation
\[
AA' × BB'\sin V = k × O\Omega,
\]
où~$V$ désigne l'angle des normales à~$(O)$ et~$(\Omega)$ et~$k$ une constante. On voit
%% -----File: 237.png---Folio 231-------
qu'il y a une infinité de couples associés correspondant à toutes les valeurs
de la constante et dérivant d'une même congruence de droites~$O\Omega$; celle-ci
jouit donc de propriétés spéciales qui ont été mises en évidence dans le cas
particulier traité au \chapitre{VIII}.

\Section{188.}
{Autre propriété générale de la correspondance par orthogonalité
des éléments.}

Mais comme nous l'avons dit, cette théorie des couples de surfaces applicables
peut aussi être envisagée différemment: elle coïncide avec celle de la
correspondance des surfaces par orthogonalité des éléments dont nous avons
parlé constamment au cours de l'étude qui précède. Il ne sera pas inutile de
donner ici (à raison d'une application fort simple aux élassoïdes) le théorème
qui domine la théorie.

Soient deux surfaces~$(O)$ et~$(M)$ qui se correspondent par orthogonalité
des éléments; si par les points de~$(M)$ on mène des droites~$D$ parallèles aux
normales de~$(O)$, elles forment une congruence telle que: \primo~\emph{$(M)$ en soit la
surface moyenne; \secundo~les plans principaux (tangents aux surfaces focales)
sont perpendiculaires aux asymptotes de l'indicatrice en~$O$ à~$(O)$.}

Dès lors, si l'on trace les images sphériques~$(\alpha)$ et~$(\beta)$ des asymptotiques
de~$(O)$, \emph{ce sont précisément les images sphériques principales de la congruence $(D)$}.

Conséquemment, si l'on connaît le réseau sphérique, image des asymptotiques
d'une surface~$(O)$, il faudra chercher toutes les congruences l'admettant
pour image principale et leurs surfaces moyennes donneront l'intégrale
des surfaces~$(M)$ correspondant par orthogonalité des éléments à~$(O)$.

On peut se donner le réseau sphérique, image des asymptotiques d'une
surface inconnue; on sait que (si certaines conditions sont remplies) la surface~$(O)$
est déterminée \emph{uniquement}. Quant à la congruence~$(D)$, qui admet
%% -----File: 238.png---Folio 232-------
le réseau sphérique pour image principale, elle est déterminée par un système
\emph{canonique}, c'est-à-dire ramené à l'intégration d'une seule équation
aux différentielles partielles, linéaire et du second ordre, de cette forme,
seule intégrable explicitement, mise en lumière par M.~Moutard.

\Section{189.}
{Recherche des surfaces correspondant par orthogonalité des éléments
à un élassoïde.}

L'application la plus simple de cette théorie a trait aux élassoïdes. Si~$(O)$
est élassoïde, le réseau sphérique, image de ses asymptotiques, est un réseau
orthogonal et isométrique; il n'est pas différemment assujetti. On voit d'abord
que les congruences~$(D)$ sont formées de normales à des surfaces, et en second
lieu que ces surfaces ont pour image sphérique de leurs lignes de courbure
le réseau isométrique choisi.

Prenant la sphère pour surface de référence et le réseau isométrique pour
réseau~$(u, v)$ tel que
\[
dS^2=\lambda^2(du^2 +dv^2),
\]
on trouve pour l'équation canonique
\[
\frac{d^2X}{ X \,du \,dv}=\frac{d^2\left(\dfrac{1}{\lambda}\right)}
{\left( \dfrac{1}{\lambda}\right)\,du \,dv}.
\]

(Voir pour l'intégration le mémoire de M.~Moutard, au \Ord{XLV}{e} cahier du
\textit{Journal de l'École polytechnique}.)

%% -----File: 239.png---Folio 233-------

\Section{190.}
{Recherche des surfaces se correspondant par parallélisme des plans tangents
et par leurs lignes isotropes.}

Ces diverses théories se rapprochent encore dans une question qui dérive
tout naturellement de l'étude des élassoïdes. La sphère et un élassoïde arbitraire
se correspondent à la fois par le parallélisme des plans tangents et par
leurs lignes isotropes. Il serait intéressant de connaître tous les couples de
surfaces analogues, parce que l'on pourrait faire sur l'une des surfaces la
carte de l'autre, en conservant les angles.

Sur les deux surfaces les lignes de courbure se correspondent, et les rayons
de courbure principaux sont liés par la relation
\[
\frac{R_1}{r_1} + \frac{R_2}{r_2}=0\footnotemark;
\]
poussant plus avant, on introduit à nouveau la correspondance par orthogonalité
des éléments.
  \footnotetext{Cette relation peut s'écrire
\[
% [** PP: Typo \frac{R_1}{R_2} on right-hand side]
\sqrt{\frac{ R_1}{R_2}}=± i \sqrt{\frac{r_1}{r_2}};
\]
on voit que si~$\omega$ et~$\omega'$ désignent les demi-angles des asymptotes de l'indicatrice
\[
\tg \omega =± i \tg \omega'.
\]

Donc les images sphériques des asymptotiques sont simultanément déterminées pour les deux
surfaces; l'une est convexe et l'autre à courbures opposées.} % End of footnote

Le développement des recherches qui viennent d'être indiquées s'écarterait
trop du sujet de ce mémoire; il convient de le réserver pour un travail
différent.

\TbEoC

%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Missing pages hand-typed %%%%%%%%%%%%%%%%%%

%% -----File: 240.png---Folio 233-------

\Chapter{XXII.}
{CONCLUSIONS.}

\Section{191.}
{Indication d'une théorie générale dominante.}

On a envisagé dans ce qui précède, certaines questions d'ordre général
soulevées par la théorie des élassoïdes.

Les propositions importantes dominant notre mémoire sont des manifestations
plus ou moins élégantes des idées fondamentales émises à propos de
l'intégration, sous forme explicite et finie, des équations aux différentielles
partielles du second ordre, par M.~Moutard; idées indiquées à la Société
Philomatique de Paris, le 23~octobre 1869, poursuivies dans le détail à
propos de l'équation particulière
\[
\frac{1}{Z}\, \frac{d²Z}{du\, dv} = \lambda,
\]
dans le \Ord{XVL}{e} cahier du \emph{Journal de l'École polytechnique}.

%% -----File: 241.png---Folio 234-------


\Section{192.}
{Des compléments à donner à ce mémoire.}

Si ce mémoire, déjà étendu, comprenait le développement entier du
programme que nous nous % [** PP: Typo nons]
étions tracé, il contiendrait un chapitre analogue
aux chapitres XII et~XIII, établissant tous les éléments d'un élassoïde passant
par un contour-plan, conjugué d'un autre contour déterminé. Une
application intéressante serait faite aux élassoïdes algébriques passant par
un cercle. A titre de généralisation, nous aurions voulu pouvoir traiter le
problème de la recherche des élassoïdes algébriques passant par une conique
ou une biquadratique\footnotemark.
\footnotetext{Nous n'en connaissons d'autres exemples que ceux relatés au chapitre~XVIII et au §~181.} % [** Xrefs]

Ne conviendrait-il pas également de discuter les élassoïdes algébriques
admettant pour géodésiques les épicycloïdes les plus simples? Déjà nous
avons vu que l'élassoïde qui admet pour géodésique une hypocycloïde à
quatre rebroussements est le conjugué de l'élassoïde dérivé des paraboloïdes
homofocaux; il faudrait au moins définir l'élassoïde dont l'hypocycloïde à
trois rebroussements et la cardioïde sont des géodésiques.

L'étude des surfaces moyennes mériterait un chapitre spécial; il n'y en a
qu'une, celle dérivée des quadriques homofocales, qui soit un peu connue.
M.~Moutard a montré qu'elle est le lieu de biquadratiques, intersections des
hyperboloïdes homofocaux et des cônes supplémentaires aux cônes asymptotes
de ces quadriques, ayant pour sommet le centre.

La surface moyenne dérivée des paraboloïdes homofocaux est le lieu d'une
double série de paraboles, elle a pour équation
\[
(y^{\frac{2}{3}} + z^{\frac{2}{3}})^3
(y^{\frac{2}{3}} - z^{\frac{2}{3}})
=8h\bigl[x(y^{\frac{2}{3}} + z^{\frac{2}{3}})
        -h(y^{\frac{2}{3}} - z^{\frac{2}{3}})\bigr].
\]

L'étude des surfaces moyennes dont les asymptotiques sont algébriques,
serait particulièrement intéressante, par exemple, la surface moyenne, la
%% -----File: 242.png---Folio 235-------
plus générale, correspondant à l'élassoïde d'Enneper, dont les coordonnées
en fonction des paramètres $u$ et~$v$ des lignes de courbure de l'élassoïde
sont
\begin{gather*}
\begin{aligned}
X &= \frac{a(u^2 - v^2)(u^2 + v^2 - 3) + 2(Cu - Bv)}{u^2 + v^2 + 1}, \\
Y &= \frac{-4au^3 + C(u^2 + v^2 - 1) + 2Av}{u^2 + v^2 + 1}, \\
Z &= \frac{ 4av^3 - B(u^2 + v^2 - 1) - 2Au}{u^2 + v^2 + 1}, \\
\end{aligned} \\
u ± v = k
\end{gather*}
étant l'équation des asymptotiques.

Sans parler de la transformation par rayons vecteurs réciproques des
congruences de cercles à focales doubles, il est d'autres questions véritablement
importantes au point de vue théorique et qu'il faudrait élucider.

De même que, si l'on recherche les surfaces dont le réseau des lignes de
courbure est de cette nature définie par M.~Liouville et qui permet l'intégration
des lignes géodésiques, de même, disons-nous, que dans ce cas on
trouve avec M.~Ossian Bonnet, qu'à part les surfaces de révolution il n'y a
que les quadriques; de même si l'on recherche les surfaces élassoïdes sur
lesquelles on peut tracer un réseau orthogonal de genre caractérisé par
M.~Liouville, le problème se divisera en deux parts, la première afférente à
la famille de surfaces applicables sur des surfaces de révolution, la seconde
se rapportant à \emph{une} surface élassoïde qui n'a pas encore été isolée.


\Section{193.}
{Résultats du présent mémoire.}

En résumé, notre travail indique les solutions des problèmes de Monge
et de Björling; il fait, croyons-nous, suffisamment ressortir l'importance
d'un être géométrique particulièrement simple, la congruence isotrope; il
%% -----File: 243.png---Folio 236-------
indique toute l'importance de la correspondance par orthogonalité des éléments,
et la liaison naturelle qui existe entre les élassoïdes et les couples de
surfaces applicables l'une sur l'autre. La notion des contours conjugués n'est
pas sans utilité, et la recherche des contours conjugués algébriques d'un
contour algébrique conduit à des applications géométriques intéressantes.

Qu'on nous permette d'attacher quelque importance au résultat trouvé à
propos des élassoïdes sur lesquels on peut tracer deux géodésiques pour
lesquelles
\[
R = ±k \rho;
\]
il met en évidence une sorte de transformation isotrope des courbes, qui
fait correspondre deux parties de la ligne double d'une congruence isotrope.
Il serait bien facile d'effectuer d'élégantes vérifications par le procédé auquel
nous faisons allusion.


\TbEoC


%%%% PG License %%%%
\cleardoublepage
\fancyhead{}
%\phantomsection
\Pagelabel{License}
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\begin{PGtext}
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Courbure Moyenne Nulle, by Albert Ribaucour

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both the Project Gutenberg Literary Archive Foundation and Michael
Hart, the owner of the Project Gutenberg-tm trademark.  Contact the
Foundation as set forth in Section 3 below.

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in paragraph 1.F.3, this work is provided to you 'AS-IS' WITH NO OTHER
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WARRANTIES OF MERCHANTIBILITY OR FITNESS FOR ANY PURPOSE.

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with this agreement, and any volunteers associated with the production,
promotion and distribution of Project Gutenberg-tm electronic works,
harmless from all liability, costs and expenses, including legal fees,
that arise directly or indirectly from any of the following which you do
or cause to occur: (a) distribution of this or any Project Gutenberg-tm
work, (b) alteration, modification, or additions or deletions to any
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Section  2.  Information about the Mission of Project Gutenberg-tm

Project Gutenberg-tm is synonymous with the free distribution of
electronic works in formats readable by the widest variety of computers
including obsolete, old, middle-aged and new computers.  It exists
because of the efforts of hundreds of volunteers and donations from
people in all walks of life.

Volunteers and financial support to provide volunteers with the
assistance they need, are critical to reaching Project Gutenberg-tm's
goals and ensuring that the Project Gutenberg-tm collection will
remain freely available for generations to come.  In 2001, the Project
Gutenberg Literary Archive Foundation was created to provide a secure
and permanent future for Project Gutenberg-tm and future generations.
To learn more about the Project Gutenberg Literary Archive Foundation
and how your efforts and donations can help, see Sections 3 and 4
and the Foundation web page at http://www.pglaf.org.


Section 3.  Information about the Project Gutenberg Literary Archive
Foundation

The Project Gutenberg Literary Archive Foundation is a non profit
501(c)(3) educational corporation organized under the laws of the
state of Mississippi and granted tax exempt status by the Internal
Revenue Service.  The Foundation's EIN or federal tax identification
number is 64-6221541.  Its 501(c)(3) letter is posted at
http://pglaf.org/fundraising.  Contributions to the Project Gutenberg
Literary Archive Foundation are tax deductible to the full extent
permitted by U.S. federal laws and your state's laws.

The Foundation's principal office is located at 4557 Melan Dr. S.
Fairbanks, AK, 99712., but its volunteers and employees are scattered
throughout numerous locations.  Its business office is located at
809 North 1500 West, Salt Lake City, UT 84116, (801) 596-1887, email
business@pglaf.org.  Email contact links and up to date contact
information can be found at the Foundation's web site and official
page at http://pglaf.org

For additional contact information:
     Dr. Gregory B. Newby
     Chief Executive and Director
     gbnewby@pglaf.org


Section 4.  Information about Donations to the Project Gutenberg
Literary Archive Foundation

Project Gutenberg-tm depends upon and cannot survive without wide
spread public support and donations to carry out its mission of
increasing the number of public domain and licensed works that can be
freely distributed in machine readable form accessible by the widest
array of equipment including outdated equipment.  Many small donations
($1 to $5,000) are particularly important to maintaining tax exempt
status with the IRS.

The Foundation is committed to complying with the laws regulating
charities and charitable donations in all 50 states of the United
States.  Compliance requirements are not uniform and it takes a
considerable effort, much paperwork and many fees to meet and keep up
with these requirements.  We do not solicit donations in locations
where we have not received written confirmation of compliance.  To
SEND DONATIONS or determine the status of compliance for any
particular state visit http://pglaf.org

While we cannot and do not solicit contributions from states where we
have not met the solicitation requirements, we know of no prohibition
against accepting unsolicited donations from donors in such states who
approach us with offers to donate.

International donations are gratefully accepted, but we cannot make
any statements concerning tax treatment of donations received from
outside the United States.  U.S. laws alone swamp our small staff.

Please check the Project Gutenberg Web pages for current donation
methods and addresses.  Donations are accepted in a number of other
ways including checks, online payments and credit card donations.
To donate, please visit: http://pglaf.org/donate


Section 5.  General Information About Project Gutenberg-tm electronic
works.

Professor Michael S. Hart is the originator of the Project Gutenberg-tm
concept of a library of electronic works that could be freely shared
with anyone.  For thirty years, he produced and distributed Project
Gutenberg-tm eBooks with only a loose network of volunteer support.


Project Gutenberg-tm eBooks are often created from several printed
editions, all of which are confirmed as Public Domain in the U.S.
unless a copyright notice is included.  Thus, we do not necessarily
keep eBooks in compliance with any particular paper edition.


Most people start at our Web site which has the main PG search facility:

     http://www.gutenberg.org

This Web site includes information about Project Gutenberg-tm,
including how to make donations to the Project Gutenberg Literary
Archive Foundation, how to help produce our new eBooks, and how to
subscribe to our email newsletter to hear about new eBooks.
\end{PGtext}

\vfill

% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %
%                                                                         %
% End of the Project Gutenberg EBook of Étude des Élassoïdes ou Surfaces A%
% Courbure Moyenne Nulle, by Albert Ribaucour                             %
%                                                                         %
% *** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK ÉTUDE DES ÉLASSOÏDES ***        %
%                                                                         %
% ***** This file should be named 29805-t.tex or 29805-t.zip *****        %
% This and all associated files of various formats will be found in:      %
%         http://www.gutenberg.org/2/9/8/0/29805/                         %
%                                                                         %
% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %

\end{document}
###
#@ControlwordReplace = (
#  ['\\Appendix', 'Appendix. '],
#  ['\\Prologue', 'Prologue. ']
#  );

@ControlwordArguments = (
  ['\\hyperref', 0, 0, '', ''],
  ['\\Chapter', 1, 1, 'Chapitre ', '  ', 1, 1, '', '\n'],
  ['\\Section', 1, 1, '§ ', '  ', 1, 1, '', ''],
  ['\\ChapRef', 1, 1, 'Chapitre ', '']
  );
###
This is pdfTeXk, Version 3.141592-1.40.3 (Web2C 7.5.6) (format=pdflatex 2009.8.25)  26 AUG 2009 04:44
entering extended mode
 %&-line parsing enabled.
**29805-t.tex
(./29805-t.tex
LaTeX2e <2005/12/01>
Babel <v3.8h> and hyphenation patterns for english, usenglishmax, dumylang, noh
yphenation, arabic, farsi, croatian, ukrainian, russian, bulgarian, czech, slov
ak, danish, dutch, finnish, basque, french, german, ngerman, ibycus, greek, mon
ogreek, ancientgreek, hungarian, italian, latin, mongolian, norsk, icelandic, i
nterlingua, turkish, coptic, romanian, welsh, serbian, slovenian, estonian, esp
eranto, uppersorbian, indonesian, polish, portuguese, spanish, catalan, galicia
n, swedish, ukenglish, pinyin, loaded.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/book.cls
Document Class: book 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX document class
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/bk12.clo
File: bk12.clo 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX file (size option)
)
\c@part=\count79
\c@chapter=\count80
\c@section=\count81
\c@subsection=\count82
\c@subsubsection=\count83
\c@paragraph=\count84
\c@subparagraph=\count85
\c@figure=\count86
\c@table=\count87
\abovecaptionskip=\skip41
\belowcaptionskip=\skip42
\bibindent=\dimen102
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/inputenc.sty
Package: inputenc 2006/05/05 v1.1b Input encoding file
\inpenc@prehook=\toks14
\inpenc@posthook=\toks15
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/latin1.def
File: latin1.def 2006/05/05 v1.1b Input encoding file
)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/fontenc.sty
Package: fontenc 2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX package
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/t1enc.def
File: t1enc.def 2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX file
LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding T1 on input line 43.
)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/babel.sty
Package: babel 2005/11/23 v3.8h The Babel package
(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/greek.ldf
Language: greek 2005/03/30 v1.3l Greek support from the babel system
(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/babel.def
File: babel.def 2005/11/23 v3.8h Babel common definitions
\babel@savecnt=\count88
\U@D=\dimen103
) Loading the definitions for the Greek font encoding (/usr/share/texmf-texlive
/tex/generic/babel/lgrenc.def
File: lgrenc.def 2001/01/30 v2.2e Greek Encoding
)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/frenchb.ldf
Language: french 2005/02/06 v1.6g French support from the babel system
Package babel Info: Making : an active character on input line 219.
Package babel Info: Making ; an active character on input line 220.
Package babel Info: Making ! an active character on input line 221.
Package babel Info: Making ? an active character on input line 222.
LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding T1 on input line 299.
\parindentFFN=\dimen104
\std@mcc=\count89
\dec@mcc=\count90
*************************************
* Local config file frenchb.cfg used
*
(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/frenchb.cfg))) (/usr/share/texmf-te
xlive/tex/latex/base/textcomp.sty
Package: textcomp 2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX package
Package textcomp Info: Sub-encoding information:
(textcomp)               5 = only ISO-Adobe without \textcurrency
(textcomp)               4 = 5 + \texteuro
(textcomp)               3 = 4 + \textohm
(textcomp)               2 = 3 + \textestimated + \textcurrency
(textcomp)               1 = TS1 - \textcircled - \t
(textcomp)               0 = TS1 (full)
(textcomp)             Font families with sub-encoding setting implement
(textcomp)             only a restricted character set as indicated.
(textcomp)             Family '?' is the default used for unknown fonts.
(textcomp)             See the documentation for details.
Package textcomp Info: Setting ? sub-encoding to TS1/1 on input line 71.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/ts1enc.def
File: ts1enc.def 2001/06/05 v3.0e (jk/car/fm) Standard LaTeX file
)
LaTeX Info: Redefining \oldstylenums on input line 266.
Package textcomp Info: Setting cmr sub-encoding to TS1/0 on input line 281.
Package textcomp Info: Setting cmss sub-encoding to TS1/0 on input line 282.
Package textcomp Info: Setting cmtt sub-encoding to TS1/0 on input line 283.
Package textcomp Info: Setting cmvtt sub-encoding to TS1/0 on input line 284.
Package textcomp Info: Setting cmbr sub-encoding to TS1/0 on input line 285.
Package textcomp Info: Setting cmtl sub-encoding to TS1/0 on input line 286.
Package textcomp Info: Setting ccr sub-encoding to TS1/0 on input line 287.
Package textcomp Info: Setting ptm sub-encoding to TS1/4 on input line 288.
Package textcomp Info: Setting pcr sub-encoding to TS1/4 on input line 289.
Package textcomp Info: Setting phv sub-encoding to TS1/4 on input line 290.
Package textcomp Info: Setting ppl sub-encoding to TS1/3 on input line 291.
Package textcomp Info: Setting pag sub-encoding to TS1/4 on input line 292.
Package textcomp Info: Setting pbk sub-encoding to TS1/4 on input line 293.
Package textcomp Info: Setting pnc sub-encoding to TS1/4 on input line 294.
Package textcomp Info: Setting pzc sub-encoding to TS1/4 on input line 295.
Package textcomp Info: Setting bch sub-encoding to TS1/4 on input line 296.
Package textcomp Info: Setting put sub-encoding to TS1/5 on input line 297.
Package textcomp Info: Setting uag sub-encoding to TS1/5 on input line 298.
Package textcomp Info: Setting ugq sub-encoding to TS1/5 on input line 299.
Package textcomp Info: Setting ul8 sub-encoding to TS1/4 on input line 300.
Package textcomp Info: Setting ul9 sub-encoding to TS1/4 on input line 301.
Package textcomp Info: Setting augie sub-encoding to TS1/5 on input line 302.
Package textcomp Info: Setting dayrom sub-encoding to TS1/3 on input line 303.
Package textcomp Info: Setting dayroms sub-encoding to TS1/3 on input line 304.

Package textcomp Info: Setting pxr sub-encoding to TS1/0 on input line 305.
Package textcomp Info: Setting pxss sub-encoding to TS1/0 on input line 306.
Package textcomp Info: Setting pxtt sub-encoding to TS1/0 on input line 307.
Package textcomp Info: Setting txr sub-encoding to TS1/0 on input line 308.
Package textcomp Info: Setting txss sub-encoding to TS1/0 on input line 309.
Package textcomp Info: Setting txtt sub-encoding to TS1/0 on input line 310.
Package textcomp Info: Setting futs sub-encoding to TS1/4 on input line 311.
Package textcomp Info: Setting futx sub-encoding to TS1/4 on input line 312.
Package textcomp Info: Setting futj sub-encoding to TS1/4 on input line 313.
Package textcomp Info: Setting hlh sub-encoding to TS1/3 on input line 314.
Package textcomp Info: Setting hls sub-encoding to TS1/3 on input line 315.
Package textcomp Info: Setting hlst sub-encoding to TS1/3 on input line 316.
Package textcomp Info: Setting hlct sub-encoding to TS1/5 on input line 317.
Package textcomp Info: Setting hlx sub-encoding to TS1/5 on input line 318.
Package textcomp Info: Setting hlce sub-encoding to TS1/5 on input line 319.
Package textcomp Info: Setting hlcn sub-encoding to TS1/5 on input line 320.
Package textcomp Info: Setting hlcw sub-encoding to TS1/5 on input line 321.
Package textcomp Info: Setting hlcf sub-encoding to TS1/5 on input line 322.
Package textcomp Info: Setting pplx sub-encoding to TS1/3 on input line 323.
Package textcomp Info: Setting pplj sub-encoding to TS1/3 on input line 324.
Package textcomp Info: Setting ptmx sub-encoding to TS1/4 on input line 325.
Package textcomp Info: Setting ptmj sub-encoding to TS1/4 on input line 326.
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsmath.sty
Package: amsmath 2000/07/18 v2.13 AMS math features
\@mathmargin=\skip43
For additional information on amsmath, use the `?' option.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amstext.sty
Package: amstext 2000/06/29 v2.01
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsgen.sty
File: amsgen.sty 1999/11/30 v2.0
\@emptytoks=\toks16
\ex@=\dimen105
)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty
Package: amsbsy 1999/11/29 v1.2d
\pmbraise@=\dimen106
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsopn.sty
Package: amsopn 1999/12/14 v2.01 operator names
)
\inf@bad=\count91
LaTeX Info: Redefining \frac on input line 211.
\uproot@=\count92
\leftroot@=\count93
LaTeX Info: Redefining \overline on input line 307.
\classnum@=\count94
\DOTSCASE@=\count95
LaTeX Info: Redefining \ldots on input line 379.
LaTeX Info: Redefining \dots on input line 382.
LaTeX Info: Redefining \cdots on input line 467.
\Mathstrutbox@=\box26
\strutbox@=\box27
\big@size=\dimen107
LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding OML on input line 567.
LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding OMS on input line 568.
\macc@depth=\count96
\c@MaxMatrixCols=\count97
\dotsspace@=\muskip10
\c@parentequation=\count98
\dspbrk@lvl=\count99
\tag@help=\toks17
\row@=\count100
\column@=\count101
\maxfields@=\count102
\andhelp@=\toks18
\eqnshift@=\dimen108
\alignsep@=\dimen109
\tagshift@=\dimen110
\tagwidth@=\dimen111
\totwidth@=\dimen112
\lineht@=\dimen113
\@envbody=\toks19
\multlinegap=\skip44
\multlinetaggap=\skip45
\mathdisplay@stack=\toks20
LaTeX Info: Redefining \[ on input line 2666.
LaTeX Info: Redefining \] on input line 2667.
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty
Package: amssymb 2002/01/22 v2.2d
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty
Package: amsfonts 2001/10/25 v2.2f
\symAMSa=\mathgroup4
\symAMSb=\mathgroup5
LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathfrak' in version `bold'
(Font)                  U/euf/m/n --> U/euf/b/n on input line 132.
)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/alltt.sty
Package: alltt 1997/06/16 v2.0g defines alltt environment
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/footmisc/footmisc.sty
Package: footmisc 2005/03/17 v5.3d a miscellany of footnote facilities
\FN@temptoken=\toks21
\footnotemargin=\dimen114
\c@pp@next@reset=\count103
\c@@fnserial=\count104
Package footmisc Info: Declaring symbol style bringhurst on input line 817.
Package footmisc Info: Declaring symbol style chicago on input line 818.
Package footmisc Info: Declaring symbol style wiley on input line 819.
Package footmisc Info: Declaring symbol style lamport-robust on input line 823.

Package footmisc Info: Declaring symbol style lamport* on input line 831.
Package footmisc Info: Declaring symbol style lamport*-robust on input line 840
.
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/ifthen.sty
Package: ifthen 2001/05/26 v1.1c Standard LaTeX ifthen package (DPC)
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/graphicx.sty
Package: graphicx 1999/02/16 v1.0f Enhanced LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/keyval.sty
Package: keyval 1999/03/16 v1.13 key=value parser (DPC)
\KV@toks@=\toks22
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/graphics.sty
Package: graphics 2006/02/20 v1.0o Standard LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/trig.sty
Package: trig 1999/03/16 v1.09 sin cos tan (DPC)
) (/etc/texmf/tex/latex/config/graphics.cfg
File: graphics.cfg 2007/01/18 v1.5 graphics configuration of teTeX/TeXLive
)
Package graphics Info: Driver file: pdftex.def on input line 90.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/pdftex-def/pdftex.def
File: pdftex.def 2007/01/08 v0.04d Graphics/color for pdfTeX
\Gread@gobject=\count105
))
\Gin@req@height=\dimen115
\Gin@req@width=\dimen116
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/fancyhdr/fancyhdr.sty
\fancy@headwidth=\skip46
\f@ncyO@elh=\skip47
\f@ncyO@erh=\skip48
\f@ncyO@olh=\skip49
\f@ncyO@orh=\skip50
\f@ncyO@elf=\skip51
\f@ncyO@erf=\skip52
\f@ncyO@olf=\skip53
\f@ncyO@orf=\skip54
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/geometry/geometry.sty
Package: geometry 2002/07/08 v3.2 Page Geometry
\Gm@cnth=\count106
\Gm@cntv=\count107
\c@Gm@tempcnt=\count108
\Gm@bindingoffset=\dimen117
\Gm@wd@mp=\dimen118
\Gm@odd@mp=\dimen119
\Gm@even@mp=\dimen120
\Gm@dimlist=\toks23
(/usr/share/texmf-texlive/tex/xelatex/xetexconfig/geometry.cfg)) (/usr/share/te
xmf-texlive/tex/latex/hyperref/hyperref.sty
Package: hyperref 2007/02/07 v6.75r Hypertext links for LaTeX
\@linkdim=\dimen121
\Hy@linkcounter=\count109
\Hy@pagecounter=\count110
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/pd1enc.def
File: pd1enc.def 2007/02/07 v6.75r Hyperref: PDFDocEncoding definition (HO)
) (/etc/texmf/tex/latex/config/hyperref.cfg
File: hyperref.cfg 2002/06/06 v1.2 hyperref configuration of TeXLive
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/oberdiek/kvoptions.sty
Package: kvoptions 2006/08/22 v2.4 Connects package keyval with LaTeX options (
HO)
)
Package hyperref Info: Option `hyperfootnotes' set `false' on input line 2238.
Package hyperref Info: Option `bookmarks' set `true' on input line 2238.
Package hyperref Info: Option `linktocpage' set `false' on input line 2238.
Package hyperref Info: Option `pdfdisplaydoctitle' set `true' on input line 223
8.
Package hyperref Info: Option `pdfpagelabels' set `true' on input line 2238.
Package hyperref Info: Option `bookmarksopen' set `true' on input line 2238.
Package hyperref Info: Option `colorlinks' set `true' on input line 2238.
Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 2288.
Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 2293.
Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 2296.
Package hyperref Info: Plain pages OFF on input line 2303.
Package hyperref Info: Backreferencing OFF on input line 2308.
Implicit mode ON; LaTeX internals redefined
Package hyperref Info: Bookmarks ON on input line 2444.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ltxmisc/url.sty
\Urlmuskip=\muskip11
Package: url 2005/06/27  ver 3.2  Verb mode for urls, etc.
)
LaTeX Info: Redefining \url on input line 2599.
\Fld@menulength=\count111
\Field@Width=\dimen122
\Fld@charsize=\dimen123
\Choice@toks=\toks24
\Field@toks=\toks25
Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 3102.
Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 3107.
Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 3110.
Package hyperref Info: backreferencing OFF on input line 3117.
Package hyperref Info: Link coloring ON on input line 3120.
\Hy@abspage=\count112
\c@Item=\count113
)
*hyperref using driver hpdftex*
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/hpdftex.def
File: hpdftex.def 2007/02/07 v6.75r Hyperref driver for pdfTeX
\Fld@listcount=\count114
)
\TmpLen=\skip55
\TPSkip=\skip56
\symupletters=\mathgroup6
LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `upletters' in version `bold'
(Font)                  T1/cmr/m/n --> T1/cmr/b/n on input line 433.
(./29805-t.aux)
\openout1 = `29805-t.aux'.

LaTeX Font Info:    Checking defaults for OML/cmm/m/it on input line 494.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 494.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for T1/lmr/m/n on input line 494.
LaTeX Font Info:    Try loading font information for T1+lmr on input line 494.
(/usr/share/texmf/tex/latex/lm/t1lmr.fd
File: t1lmr.fd 2007/01/14 v1.3 Font defs for Latin Modern
)
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 494.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for OT1/cmr/m/n on input line 494.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 494.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for OMS/cmsy/m/n on input line 494.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 494.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for OMX/cmex/m/n on input line 494.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 494.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for U/cmr/m/n on input line 494.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 494.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for LGR/cmr/m/n on input line 494.
LaTeX Font Info:    Try loading font information for LGR+cmr on input line 494.

(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/lgrcmr.fd
File: lgrcmr.fd 2001/01/30 v2.2e Greek Computer Modern
)
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 494.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for TS1/cmr/m/n on input line 494.
LaTeX Font Info:    Try loading font information for TS1+cmr on input line 494.

(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/ts1cmr.fd
File: ts1cmr.fd 1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions
)
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 494.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for PD1/pdf/m/n on input line 494.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 494.
LaTeX Info: Redefining \dots on input line 494.
(/usr/share/texmf/tex/context/base/supp-pdf.tex
[Loading MPS to PDF converter (version 2006.09.02).]
\scratchcounter=\count115
\scratchdimen=\dimen124
\scratchbox=\box28
\nofMPsegments=\count116
\nofMParguments=\count117
\everyMPshowfont=\toks26
\MPscratchCnt=\count118
\MPscratchDim=\dimen125
\MPnumerator=\count119
\everyMPtoPDFconversion=\toks27
)
-------------------- Geometry parameters
paper: class default
landscape: --
twocolumn: --
twoside: true
asymmetric: --
h-parts: 75.16098pt, 426.39255pt, 112.74147pt
v-parts: 72.26999pt, 614.295pt, 108.405pt
hmarginratio: 2:3
vmarginratio: 2:3
lines: --
heightrounded: --
bindingoffset: 0.0pt
truedimen: --
includehead: --
includefoot: --
includemp: --
driver: pdftex
-------------------- Page layout dimensions and switches
\paperwidth  614.295pt
\paperheight 794.96999pt
\textwidth  426.39255pt
\textheight 614.295pt
\oddsidemargin  2.89099pt
\evensidemargin 40.47148pt
\topmargin  -31.8738pt
\headheight 12.0pt
\headsep    19.8738pt
\footskip   30.0pt
\marginparwidth 98.0pt
\marginparsep   7.0pt
\columnsep  10.0pt
\skip\footins  10.8pt plus 4.0pt minus 2.0pt
\hoffset 0.0pt
\voffset 0.0pt
\mag 1000
\@twosidetrue \@mparswitchtrue 
(1in=72.27pt, 1cm=28.45pt)
-----------------------
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/color.sty
Package: color 2005/11/14 v1.0j Standard LaTeX Color (DPC)
(/etc/texmf/tex/latex/config/color.cfg
File: color.cfg 2007/01/18 v1.5 color configuration of teTeX/TeXLive
)
Package color Info: Driver file: pdftex.def on input line 130.
)
Package hyperref Info: Link coloring ON on input line 494.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/nameref.sty
Package: nameref 2006/12/27 v2.28 Cross-referencing by name of section
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/oberdiek/refcount.sty
Package: refcount 2006/02/20 v3.0 Data extraction from references (HO)
)
\c@section@level=\count120
)
LaTeX Info: Redefining \ref on input line 494.
LaTeX Info: Redefining \pageref on input line 494.
(./29805-t.out) (./29805-t.out)
\@outlinefile=\write3
\openout3 = `29805-t.out'.

LaTeX Font Info:    Try loading font information for T1+cmtt on input line 505.

(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/t1cmtt.fd
File: t1cmtt.fd 1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions
)
LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+msa on input line 527.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsa.fd
File: umsa.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
)
LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+msb on input line 527.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsb.fd
File: umsb.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
) [1

{/var/lib/texmf/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map}] [2

]
LaTeX Font Info:    Try loading font information for T1+cmss on input line 568.

(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/t1cmss.fd
File: t1cmss.fd 1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions
) <./images/device.pdf, id=899, 76.285pt x 76.285pt>
File: ./images/device.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/device.pdf> [1

 <./images/device.pdf>] [2

] [3] [4] [5] <./images/tb.pdf, id=946, 96.36pt x 7.02625pt>
File: ./images/tb.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/tb.pdf> [6 <./images/tb.pdf>]
File: ./images/tb.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/tb.pdf> [1


] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8

] [9] [10] [11] [12] [13] [14

] [15] [16] [17] [18] [19] [20

] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34

] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42

] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50

] [51] [52] [53] [54] [55] [56

] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71

] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84

] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97

] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105

] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118]
[119] [120

] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133]
[134] [135] [136

] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149]
[150

] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163]
[164

] [165] [166] [167]
Overfull \hbox (0.12828pt too wide) in paragraph at lines 8981--8983
[]\T1/cmr/m/n/12 Les deux dé-ve-lop-pables dé-for-mées sont ap-pli-cables l'une
 sur l'autre par de simples
 []


Overfull \hbox (0.35886pt too wide) in paragraph at lines 8984--8995
[]\T1/cmr/m/n/12 Ce n'est pas le mo-ment de mon-trer com-ment la construc-tion 
géo-mé-trique s'achève
 []

[168] [169

] [170] [171] [172

] [173] [174] [175] [176] [177] [178

] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187

] [188]
Overfull \hbox (0.38002pt too wide) in paragraph at lines 9935--9937
[]\T1/cmr/m/n/12 Les élas-soïdes $\OT1/cmr/m/n/12 (\OML/cmm/m/it/12 "[]\OT1/cmr
/m/n/12 )$\T1/cmr/m/n/12 , al-gé-briques, cor-res-pondent aux va-leurs com-men-
su-rables de $\OML/cmm/m/it/12 m$\T1/cmr/m/n/12 . 
 []

[189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196

] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203

] [204] [205] [206

]
Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []

[207]
Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []

[208]
Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []

[209]
Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []

[210]
Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []

[211]
Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []

[212] [213] (./29805-t.aux)

 *File List*
    book.cls    2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX document class
    bk12.clo    2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX file (size option)
inputenc.sty    2006/05/05 v1.1b Input encoding file
  latin1.def    2006/05/05 v1.1b Input encoding file
 fontenc.sty
   t1enc.def    2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX file
   babel.sty    2005/11/23 v3.8h The Babel package
   greek.ldf    2005/03/30 v1.3l Greek support from the babel system
  lgrenc.def    2001/01/30 v2.2e Greek Encoding
 frenchb.ldf
 frenchb.cfg
textcomp.sty    2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX package
  ts1enc.def    2001/06/05 v3.0e (jk/car/fm) Standard LaTeX file
 amsmath.sty    2000/07/18 v2.13 AMS math features
 amstext.sty    2000/06/29 v2.01
  amsgen.sty    1999/11/30 v2.0
  amsbsy.sty    1999/11/29 v1.2d
  amsopn.sty    1999/12/14 v2.01 operator names
 amssymb.sty    2002/01/22 v2.2d
amsfonts.sty    2001/10/25 v2.2f
   alltt.sty    1997/06/16 v2.0g defines alltt environment
footmisc.sty    2005/03/17 v5.3d a miscellany of footnote facilities
  ifthen.sty    2001/05/26 v1.1c Standard LaTeX ifthen package (DPC)
graphicx.sty    1999/02/16 v1.0f Enhanced LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
  keyval.sty    1999/03/16 v1.13 key=value parser (DPC)
graphics.sty    2006/02/20 v1.0o Standard LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
    trig.sty    1999/03/16 v1.09 sin cos tan (DPC)
graphics.cfg    2007/01/18 v1.5 graphics configuration of teTeX/TeXLive
  pdftex.def    2007/01/08 v0.04d Graphics/color for pdfTeX
fancyhdr.sty    
geometry.sty    2002/07/08 v3.2 Page Geometry
geometry.cfg
hyperref.sty    2007/02/07 v6.75r Hypertext links for LaTeX
  pd1enc.def    2007/02/07 v6.75r Hyperref: PDFDocEncoding definition (HO)
hyperref.cfg    2002/06/06 v1.2 hyperref configuration of TeXLive
kvoptions.sty    2006/08/22 v2.4 Connects package keyval with LaTeX options (HO
)
     url.sty    2005/06/27  ver 3.2  Verb mode for urls, etc.
 hpdftex.def    2007/02/07 v6.75r Hyperref driver for pdfTeX
   t1lmr.fd    2007/01/14 v1.3 Font defs for Latin Modern
  lgrcmr.fd    2001/01/30 v2.2e Greek Computer Modern
  ts1cmr.fd    1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions
supp-pdf.tex
   color.sty    2005/11/14 v1.0j Standard LaTeX Color (DPC)
   color.cfg    2007/01/18 v1.5 color configuration of teTeX/TeXLive
 nameref.sty    2006/12/27 v2.28 Cross-referencing by name of section
refcount.sty    2006/02/20 v3.0 Data extraction from references (HO)
 29805-t.out
 29805-t.out
  t1cmtt.fd    1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions
    umsa.fd    2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
    umsb.fd    2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
  t1cmss.fd    1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions
./images/device.pdf
./images/tb.pdf
./images/tb.pdf
 ***********

 ) 
Here is how much of TeX's memory you used:
 7367 strings out of 94074
 97179 string characters out of 1165153
 193818 words of memory out of 1500000
 9493 multiletter control sequences out of 10000+50000
 32981 words of font info for 78 fonts, out of 1200000 for 2000
 649 hyphenation exceptions out of 8191
 28i,25n,43p,457b,488s stack positions out of 5000i,500n,6000p,200000b,5000s
{/usr/share/texmf/fonts/enc/dvips/cm-super/cm-super-ts1.enc}{/usr/share/texmf
/fonts/enc/dvips/cm-super/cm-super-t1.enc} </home/widger/.texmf-var/fonts/pk/lj
four/public/cb/grmn1200.600pk></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/
cmbx10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmex10.pfb></usr/sh
are/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi10.pfb></usr/share/texmf-texlive/f
onts/type1/bluesky/cm/cmmi12.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/
cm/cmmi6.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi7.pfb></usr/s
hare/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi8.pfb></usr/share/texmf-texlive/f
onts/type1/bluesky/cm/cmr10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/c
m/cmr12.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr6.pfb></usr/sha
re/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr7.pfb></usr/share/texmf-texlive/font
s/type1/bluesky/cm/cmr8.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cm
sy10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmsy6.pfb></usr/share
/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmsy7.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts
/type1/bluesky/cm/cmsy8.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/public/cmex/f
mex8.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfbx1440.pfb></usr/share
/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfbx1728.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/p
ublic/cm-super/sfbx2074.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfcc0
800.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfcc1000.pfb></usr/share/
texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfcc1095.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/pu
blic/cm-super/sfcc1200.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfrm07
00.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfrm0800.pfb></usr/share/t
exmf/fonts/type1/public/cm-super/sfrm1000.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/pub
lic/cm-super/sfrm1095.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfrm120
0.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfss1728.pfb></usr/share/te
xmf/fonts/type1/public/cm-super/sfti0800.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/publ
ic/cm-super/sfti1000.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfti1200
.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sftt0900.pfb>
Output written on 29805-t.pdf (221 pages, 1239366 bytes).
PDF statistics:
 2967 PDF objects out of 2984 (max. 8388607)
 1026 named destinations out of 1200 (max. 131072)
 1771 words of extra memory for PDF output out of 10000 (max. 10000000)