% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % % % % Project Gutenberg's Elemente der Absoluten Geometrie, by Johannes Frischauf % % % This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with % % almost no restrictions whatsoever. You may copy it, give it away or % % re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included % % with this eBook or online at www.gutenberg.org % % % % % % Title: Elemente der Absoluten Geometrie % % % % Author: Johannes Frischauf % % % % Release Date: August 26, 2009 [EBook #29806] % % % % Language: German % % % % Character set encoding: ISO-8859-1 % % % % *** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK ELEMENTE DER ABSOLUTEN GEOMETRIE *** % % % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % \def\ebook{29806} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% Project Gutenberg's Elemente der absoluten Geometrie J. Frischauf %% %% %% %% This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with %% %% almost no restrictions whatsoever. 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Frischauf /Keywords Ralf Stephan, Joshua Hutchinson, Online Distributed Proofreading Team, Cornell University Library: Historical Mathematics Monographs collection } % enhance verbatim environment \makeatletter \def\@xobeysp{~\hfil\discretionary{}{\kern\z@}{}\hfilneg} \renewcommand\verbatim@processline{\leavevmode \null\kern-0.25in\the\verbatim@line\par} \addto@hook\every@verbatim{\@totalleftmargin0.25in\small} \makeatother %% Fig. caption appearance using caption package \captionsetup{font=scriptsize,labelfont=bf,justification=centering,aboveskip=0pt,belowskip=10pt,labelsep=period} %% Small font size environment \newenvironment{Small}{\medskip\footnotesize}{\par} %% Chapter/Subchapter/Section/Subsection appearance using titlesec package \setcounter{secnumdepth}{-1} \titleformat{\chapter}[hang] {\filcenter\normalfont\huge}{\thechapter}{1em}{} \titlespacing*{\chapter}{0pt}{3.5ex plus 1ex minus 0.2ex}{2.3ex plus 0.2ex} \titleclass{\subchapter}{straight}[\chapter] \newcounter{subchapter} \renewcommand{\thesubchapter}{} \titleformat{\subchapter}[hang] {\filcenter\normalfont\Large\bfseries}{\thesubchapter}{1em}{} \titlespacing*{\subchapter}{0pt}{3.5ex plus 1ex minus 0.2ex}{2.3ex plus 0.2ex} \titleformat{\section}[hang] {\filcenter\normalfont\large\bfseries}{\thesection}{1em}{} \titlespacing*{\subsection}{0pt}{*3}{*1} \titleformat{\subsubsection}[runin] {\filcenter\normalfont\bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{} %% \paragraph-like unit with indented, run-in heading \newcommand{\Paragraph}[1]{\par\textbf{#1}\quad} %% Page header appearance using titlesec package \newpagestyle{frischauf}{% \sethead{}{\hfil---\ \ \thepage\ \ ---\hfil}{}} \pagestyle{frischauf} %% TOC appearance using titlesec package \setcounter{tocdepth}{1} \titlecontents{chapter}[1.5em]{\addvspace{16pt}}{}{\hspace*{-2.3em}\bfseries\large\hfil}{\hfil} \titlecontents{subchapter}[1.5em]{\addvspace{8pt}}{}{\hspace*{-2.3em}\bfseries\hfil}{\hfil} %% refining placement of floats \renewcommand{\topfraction}{.85} \renewcommand{\bottomfraction}{.7} \renewcommand{\textfraction}{.15} \renewcommand{\floatpagefraction}{.66} \renewcommand{\dbltopfraction}{.66} \renewcommand{\dblfloatpagefraction}{.66} \setcounter{topnumber}{9} \setcounter{bottomnumber}{9} \setcounter{totalnumber}{20} \setcounter{dbltopnumber}{9} %% abbreviations of math operators for convenience \DeclareMathOperator{\fsin}{\mathfrak{sin}} \DeclareMathOperator{\fcos}{\mathfrak{cos}} \DeclareMathOperator{\fcot}{\mathfrak{cot}} \DeclareMathOperator{\fsec}{\mathfrak{sec}} \DeclareMathOperator{\ftan}{\mathfrak{tan}} \DeclareMathOperator{\farcsin}{\mathfrak{arc}\,\mathfrak{sin}} \DeclareMathOperator{\farccos}{\mathfrak{arc}\,\mathfrak{cos}} \DeclareMathOperator{\farctan}{\mathfrak{arc}\,\mathfrak{tan}} \DeclareMathOperator{\farccot}{\mathfrak{arc}\,\mathfrak{cot}} \DeclareMathOperator{\mcirc}{\text{\Circpipe}\!} \DeclareMathOperator{\Triangle}{\triangle} \def\GothS{\text{\textgoth{S}}} % Footnotes on the very page bottom \renewcommand*{\footnoterule}{\kern-3pt\vfill \hrule width 0.4\columnwidth \kern 2.6pt} % No page number on first page of ToC; change heading to ``Inhalt.'' \AtBeginDocument{\addtocontents{toc}{\protect\thispagestyle{empty}}} \AtBeginDocument{\renewcommand{\contentsname}% {\protect\centering\protect\Large Inhalt.}} \DeclareInputText{176}{\ifmmode{{}^\circ}\else\textdegree\fi} \graphicspath{./} \DeclareGraphicsExtensions{.pdf} \begin{document} \pagenumbering{Alph}% \renewcommand{\figurename}{Fig.} \thispagestyle{empty} \begin{verbatim} Project Gutenberg's Elemente der Absoluten Geometrie, by Johannes Frischauf This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with almost no restrictions whatsoever. You may copy it, give it away or re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included with this eBook or online at www.gutenberg.org Title: Elemente der Absoluten Geometrie Author: Johannes Frischauf Release Date: August 26, 2009 [EBook #29806] Language: German Character set encoding: ISO-8859-1 *** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK ELEMENTE DER ABSOLUTEN GEOMETRIE *** \end{verbatim} \clearpage \chapter*{} \section*{Dank} %% Credits \thispagestyle{empty} \begin{verbatim} Produced by Ralf Stephan, Joshua Hutchinson and the Online Distributed Proofreading Team at http://www.pgdp.net (This file was produced from images from the Cornell University Library: Historical Mathematics Monographs collection.) \end{verbatim} \clearpage \setcounter{page}{0}% \pagenumbering{roman}% \thispagestyle{empty} {\begingroup% stolen from titlepages package \centering \vspace*{0.14\textheight} {\huge ELEMENTE}\\[1.5\baselineskip] {\small DER}\\[2\baselineskip] {\Huge ABSOLUTEN GEOMETRIE}\\[2\baselineskip] {\small VON}\\[2\baselineskip] {\Large\textsc{Dr.~J. FRISCHAUF},}\\[0.2\baselineskip] {\tiny PROFESSOR A. D. UNIVERSITÄT GRAZ.}\\[\baselineskip] \vfill {\Large LEIPZIG.}\\[\baselineskip] {\large DRUCK UND VERLAG VON B. G. TEUBNER.}\\[\baselineskip] {\large 1876.}\\[\baselineskip] %\vfill %{EIN EBOOK VON PROJECT GUTENBERG}\par \endgroup} \clearpage % LEIPZIG % DRUCK UND VERLAG VON B. G. TEUBNER. %-----File: 004.png-------------------------------------------- %-----File: 005.png-------------------------------------------- \chapter*{Vorwort.} \begin{center}\rule[1ex]{1cm}{.5pt}\end{center} \thispagestyle{empty} Die Grundlage der vorliegenden Schrift bildet meine vor mehr als drei Jahren erschienene freie Bearbeitung von J. \so{Bolyai}'s absoluter Raumlehre.\footnote {\so{Absolute Geometrie} nach J.~\so{Bolyai} bearbeitet. Leipzig, Verlag von B.~G. Teubner. 1872.} Zu dieser Arbeit veranlasste mich der damals in der »Zeitschrift für den mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterricht« in höchst unduldsamer und leidenschaftlicher Weise geführte Streit über die zweckmässigste Behandlung der Lehre von den Parallelen; dadurch wollte ich Klarheit in diese wichtige Frage bringen, namentlich das Unnütze der Beweis-Versuche für das elfte euclidische Axiom darlegen. Da gegenwärtig die richtige Ansicht über die Parallelen-Frage in die meisten Kreise gedrungen ist, so glaubte ich, dass eine vollständige Untersuchung der geometrischen Voraussetzungen und eine übersichtliche Zusammenstellung der Resultate der darauf bezüglichen Arbeiten nicht ohne Interesse sein dürfte. Die Literatur, soweit sie sich auf den hier in engen Grenzen behandelten Stoff bezieht, konnte Dank der vielfachen Unterstützung meiner Freunde ziemlich vollständig berücksichtigt werden. Besonders dankend muss ich die Bereitwilligkeit des Herrn Dr.\ J. \so{Hoüel} (Professor in Bordeaux) rühmen, der mir nebst anderen wichtigen Schriften das Manuscript seiner Uebersetzung des in russischer Sprache erschienenen Hauptwerkes von \so{Lobatschewsky}'s »Neue Principien der Geometrie nebst einer vollständigen Theorie der Parallelen« für meine Studien zur Verfügung stellte. %-----File: 006.png-------------------------------------------- Die Darstellungsweise wurde durch die Rücksicht bestimmt, dass meine Schrift Lesern gewidmet sei, welche mit der gewöhnlichen Behandlung der Geometrie vertraut, das Bedürfniss einer Aufklärung der Dunkelheiten in den Principien fühlen; diesen Zweck glaubte ich durch eine kurze, alles überflüssige Detail vermeidende Schreibweise am besten zu erreichen. Dass ich unter diesen Umständen bei der Wahl der aus den Elementen als bekannt vorauszusetzenden Theorien manchmal nach der einen oder anderen Richtung etwas zu weit ging, möge der geehrte Leser entschuldigen. Als das Endziel meiner Schrift halte ich die Erkenntniss des Einflusses einer jeden einzelnen geometrischen Voraussetzung: denn nur dadurch können die den verschiedenen Formen der Erfahrung entsprechenden Theorien aufgebaut werden. Die für die letzteren eben erwähnten Fragen höchst wichtigen Untersuchungen von \so{Riemann} und \so{Helmholtz} fanden hier eine ungleiche Berücksichtigung. Für die erstere suchte ich durch erläuternde Bemerkungen und die Angabe der Schriften, welche die bei Riemann unterdrückten Rechnungen enthalten, dem Leser das Studium dieser Abhandlung zu erleichtern. Die Arbeit von Helmholtz wurde (mit Ausnahme der Schlussfolgerungen) hier desshalb vollständig mitgetheilt, weil sie den Zusammenhang der analytischen und synthetischen Voraussetzungen der Geometrie aufklärt, und weil es möglich ist, die analytischen Entwicklungen in zwei wesentlichen Punkten zu vereinfachen, wodurch diese Untersuchung an Klarheit und Uebersichtlichkeit bedeutend gewinnt. Bei der Correctur des Druckes wurde ich vom Herrn A.~v.\ \so{Frank}, Lehrer an der hiesigen Gewerbeschule, auf das freundlichste unterstützt, wofür ich ihm meinen innigsten Dank ausspreche. \so{Graz}, im März 1876. \begin{flushright} \so{Johannes Frischauf}.\mbox{\qquad} \end{flushright} %-----File: 007.png-------------------------------------------- \tableofcontents %% Inhalt. %% %% Erstes Buch. %% %% Voraussetzungen und Grundgebilde. %% Seite %% %% Einleitende Bemerkungen ................... 1 %% %% Kugelfläche und Kreislinie ................... 8 %% %% Gerade und Ebene ...................... 13 %% %% Zweites Buch. %% %% Erster Abschnitt. %% %% Parallelen-Axiom und euclidische Geometrie. %% %% Das geradlinige Dreieck .................... 21 %% %% Nichtschneidende Gerade in derselben Ebene, parallele Gerade . 24 %% %% Winkel zweier Parallelen mit einer schneidenden Geraden ... 28 %% %% Zusammenhang der Parallelen und der Winkelsumme des Dreiecks 29 %% %% Euclidische Geometrie ..................... 30 %% %% Zweiter Abschnitt. %% %% Nichteuclidische Geometrie. %% %% Historische Bemerkungen ................... 33 %% %% Parallele, Nichtschneidende und Linien gleichen Abstandes ... 35 %% %% Winkelsumme und Fläche des Dreiecks ............ 38 %% %% Unendlich ferne Punkte .................... 42 %% %% Sätze aus der Stereometrie .................. 44 %% %% Ebenen durch parallele Gerade ................ 46 %% %% Grenzfläche, Grenzlinie ..................... 50 %% %% Figuren auf der Grenzfläche ................. 53 %% %% Anwendung auf das geradlinige und sphärische Dreieck .... 55 %% %% Verhältniss zweier Grenzbögen ................ 56 %% %% Beziehung zwischen Distanz und Parallelwinkel ........ 58 %% %% Linien und Flächen gleichen Abstandes ............ 59 %% %% Kreisumfang ......................... 61 %% %% Ebene Trigonometrie ..................... 62 %% %% Unendlich kleine Figuren, absolute Geometrie im Sinne Bolyai's %% und Lobatschewsky's ................... 65 %% %% Aufgaben über Parallele und Nichtschneidende ......... 68 %% %% Punkt und Linien-Element in der Ebene ............ 72 %% %% Grenzlinie .......................... 73 %% %% Gleichung der Geraden .................... 74 %% %% Entfernung zweier Punkte .................... 79 %% %% Kreis und Krümmung ..................... 82 %% %% Punkt und Linien-Element im Raume ............. 85 %% %% Gerade und Ebene ...................... 86 %% %% Andere Coordinaten-Systeme ................. 88 %% %% Flächenbestimmung ebener Figuren .............. 90 %% %% Flächenbestimmung räumlicher Figuren ............ 96 %% %% Inhaltsbestimmung ...................... 98 %% %% Drittes Buch. %% %% Endlicher Raum und absolute Geometrie. %% %% Absolute Sphärik ..................... 101 %% %% Planimetrie des endlichen Raumes ............... 105 %% %% Absolute Geometrie ..................... 106 %% %% Absolute Projektivität ................... 109 %% %% Versinnlichung der Geometrie ................ 110 %% %% Riemann's und Helmholtz's Raumtheorien .......... 120 %% %% Anhang ........................... 134 %% %-----File: 009.png-------------------------------------------- \chapter{Erstes Buch.} \setcounter{page}{0}% \pagenumbering{arabic}% \subchapter{Voraussetzungen und Grundgebilde.} \section{Einleitende Bemerkungen.} \subsection{1.} \thispagestyle{empty} Die Erfahrung führt uns zur Idee, die Körper ohne Rücksicht auf ihre besonderen Eigenschaften blos nach der Möglichkeit der Zusammensetzung zu einem anderen und der Zerlegung in Theile zu betrachten. Die Erfahrung lässt uns auch erkennen, dass jeder Körper einen gewissen Raum einnimmt, nämlich einen Theil des durch die Erfahrung gegebenen Raumes. Dadurch gelangen wir zur Idee eines Raumes, in welchem Körper sein können, aber nicht sein müssen. Dieser Raum ist, da wir ihn durch das Wegdenken der in demselben sich befindlichen Dinge erhalten, ein leerer Raum; man nennt ihn desshalb auch den \so{idealen}. In dem idealen Raume kann man sich einzelne Theile denken, die durch die Körper der Erfahrung ausgefüllt werden können. Diese Theile kann man unter einander gleichartig voraussetzen --- weil sie eben durch keine bestimmten Körper ausgefüllt sind. Den idealen Raum stellt man sich daher überall gleichartig und ohne Unterbrechung zusammenhängend, d.~i.\ \so{stetig} vor. Derselbe ist daher auch \so{theilbar} bis zu beliebig kleinen Theilen. \subsection{2.} Ein aus dem (idealen) Räume ausgeschiedener (d.~i.\ für sich betrachteter) Theil heisst ein (mathematischer) \so{Körper}, das ihn vom Gesammtraume Abgrenzende heisst die \so{Oberfläche} des Körpers. %-----File: 010.png-------------------------------------------- Durch einen Schnitt $\GothS$ kann ein Körper $\mathbf{K}$ in zwei Theile $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$ zerlegt werden, welche letztere wieder durch Zusammenfügung den ersten Körper $\mathbf{K}$ bilden. Man sagt: die Körper $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$ \so{berühren} sich im Schnitte $\GothS$. Der Schnitt $\GothS$ heisst auch eine \so{Fläche}, die Körper $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$ bestimmen die entgegengesetzten Seiten derselben. \begin{wrapfigure}{r}{2cm} \caption{\hskip1pt } \includegraphics*[width=2cm,height=2cm]{images/fig01} \end{wrapfigure} Bei zwei Schnitten $\GothS$ und $\GothS'$ desselben Körpers $\mathbf{K}$ können zwei Fälle eintreten. Liegt der eine Schnitt vollständig auf der einen Seite des ersten, so wird der dieser Seite zugehörige Theil von $\mathbf{K}$ wieder in zwei, also der ursprüngliche Körper in \so{drei} Theile zerlegt. Liegt jedoch der eine Schnitt zu beiden Seiten des anderen, d.~h.\ geht er durch den anderen Schnitt hindurch, so wird jeder der beiden Theilkörper wieder in zwei Körper, also der ursprüngliche Körper in \so{vier} Theile zerlegt. Die beiden Schnitte $\GothS$ und $\GothS'$ schneiden sich in einer \so{Linie}~$l$, welche die \so{Durchschnittslinie} der beiden Schnittflächen heisst. Sind $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$ die Theile von $\mathbf{K}$, erhalten durch den ersten Schnitt $\GothS$, $\mathbf{A}'$ und $\mathbf{A}''$, $\mathbf{B}'$ und $\mathbf{B}''$ die Theile in Folge eines zweiten Schnittes $\GothS'$ der zweiten Art, so \so{berühren} sich die Körperpaare $\mathbf{A}'$ und $\mathbf{B}''$, $\mathbf{A}''$ und $\mathbf{B}'$, welche zu entgegengesetzten Seiten der beiden Schnitte liegen, in der gemeinsamen Linie $l$ dieser Schnitte. Ein dritter Schnitt $\GothS''$ kann derart geführt werden, dass er jeden der vier Theilkörper der beiden ersten Schnitte, also auch die beiden ersten Schnitte selbst, mithin auch ihre Durchschnittslinie in einem \so{Punkte}~$P$ schneidet. Der ursprüngliche Körper $\mathbf{K}$ wird dadurch in \so{acht} Theile zerlegt; je zwei Theil-Körper der vier Paare, welche zu entgegengesetzten Seiten der drei Schnitte liegen, \so{berühren} sich in dem Punkte~$P$. Denkt man sich von den Theilen $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$ des Körpers $\mathbf{K}$ fortgesetzt ohne Ende Theile abgeschnitten ohne den Schnitt $\GothS$ zu treffen, so erhält man den Begriff der Fläche $\GothS$ als eines selbstständigen Gebildes im Raume. In gleicher Weise kann man von zwei Körpern, die sich in einer Linie $l$ berühren, fortgesetzt Theile abschneiden, ohne diese Linie $l$ zu treffen, und dadurch zum Begriffe der Linie im Raume gelangen. %-----File: 011.png-------------------------------------------- Den Punkt im Raume kann man als das Endresultat der Schnitte betrachten, die fortgesetzt an zwei in einem Punkte sich berührenden Körpern derart geführt werden, dass sie den Punkt nicht treffen. \subsection{3.} Die Oberfläche eines Körpers kann als der Inbegriff der Schnitte, welche den Körper vom Raume abtrennen, betrachtet werden. Jede Fläche kann daher als Theil der Oberfläche eines Körpers angesehen werden, sie wird von letzterem durch einen Inbegriff von Linien abgetrennt, welche der \so{Umfang} der Fläche heisst. Wird eine Fläche durch einen Schnitt in zwei Flächen zerlegt, so bestimmen die letzteren die beiden entgegengesetzten Seiten der Linie, welche der Schnitt auf der gegebenen Fläche bildet. Ein Schnitt trifft eine Linie in einem Punkte, die beiden Theile der Linie bestimmen die entgegengesetzten Seiten des Punktes. Die entgegengesetzten Seiten der Oberfläche eines Körpers, welche durch den Körper und den ihn umgebenden Raum bestimmt sind, werden resp.\ die \so{innere} und die \so{äussere} Seite der Oberfläche genannt. In gleicher Weise nennt man die beiden entgegengesetzten Seiten des Umfanges einer Fläche, welche durch die Fläche und den sie ergänzenden Theil der Oberfläche des (hinzugedachten) Körpers bestimmt sind, resp.\ die \so{innere} und die \so{äussere} Seite der Fläche. \subsection{4.} Punkt, Linie, Fläche und Körper sind die \so{Grundgebilde} der Geometrie. Jedes Gebilde kann von einem Orte des Raumes an einen anderen gebracht werden; zwei Gebilde, etwa $A$ und $B$, welche sich nur durch die Orte, an denen sie sich befinden, unterscheiden, werden \so{congruente} Gebilde genannt und durch $A \cong B$ bezeichnet. Diese vorausgesetzte Beweglichkeit ermöglicht die Einführung von Gebilden, welche aus lauter congruenten Elementen in gleicher Weise zusammengesetzt sind, und welche man »an allen Stellen gleichartig« nennt. Zwei solche Gebilde können ohne Rücksicht auf ihre Grenzen zur Deckung gebracht und mit einander verglichen d.~i.\ gemessen werden. Man prüft z.~B. %-----File: 012.png-------------------------------------------- eine an allen Stellen als gleichartig vorausgesetzte Fläche hinsichtlich dieser Eigenschaft dadurch, dass jeder beliebige Theil derselben durch Verschiebung auf der Fläche mit jedem beliebigen Theil der ungeänderten Fläche zur Deckung gebracht werden kann. Bei dieser Verschiebung fällt die äussere oder innere Seite des verschobenen Theils resp.\ mit der inneren oder äusseren Seite der ganzen betrachteten Fläche zusammen. In gleicher Weise kann auf einer solchen Fläche in einer an allen Stellen gleichartigen Linie jeder ihrer Theile mit einem beliebigen anderen zur Deckung gebracht werden. Beispiele hierzu sind die Kugelfläche und der auf ihr liegende Kreis nach unseren gewöhnlichen Vorstellungen. Eine Fläche heisst \so{umkehrbar}, wenn --- dieselbe zweimal gedacht --- die inneren oder äusseren Seiten zur Deckung gebracht werden können. Zwei Gebilde, welche aus congruenten Theilen in beliebiger Weise zusammengefügt sind, werden \so{gleich} genannt, und zwar \so{inhaltsgleich} oder \so{flächengleich}, je nachdem Körper oder Flächenräume in Betracht kommen. \begin{Small} \so{Anmerkung.} Die Voraussetzung der Congruenz ist bei allen auf Grössenbe\-stim\-mun\-gen bezüglichen Untersuchungen unerlässlich; denn jede Grössenbestimmung setzt die Mög\-lich\-keit des Abtragens der Grösseneinheit von einer (zu messenden) gegebenen Grösse, also die Unabhängigkeit der Grössen vom Orte voraus. Dieselbe Voraussetzung liegt auch der Arithmetik zu Grunde, ob man nun die Zahl als das Ergebniss der wiederholten Setzung eines Dinges oder als Beziehung eines Gliedes einer Reihe zu einem Anfangsgliede betrachtet. Denn im ersteren Falle hat man eine Menge identischer Objecte; im zweiten Falle gelangt man nur dann zum Zahl-Begriff, wenn die Beziehung zwischen immer je zweien der Objecte in der Reihe unverändert bleibt. In beiden Fällen hat man es also mit Identitäten zu thun. Die Anwendung der Rechnung auf die Geometrie setzt also vor allem anderen die Möglichkeit der Congruenz voraus. Die Messung der Raumgrössen beruht auf der Voraussetzung der Zusammensetzung aus congruenten Elementen. Es werden daher alle Linien aus congruenten Linien-Ele\-men\-ten, alle Flächen aus congruenten Flächen-Elementen und consequentermassen alle Körper aus congruenten Körper-Elementen zusammengesetzt betrachtet.\footnote {Ausführlichere Untersuchungen über die mathematischen Voraussetzungen sollen im dritten Buche folgen.} \end{Small} %-----File: 013.png-------------------------------------------- \subsection{5.} Die Gebilde werden in \so{begrenzte} und \so{unbegrenzte}, \so{endliche} und \so{unendliche} unterschieden. Der Ausgang dieser Benennung stammt von dem Reihenbegriffe. Eine \so{Reihe} ist der Inbegriff von Grössen $A$, $B$, $C$,~.~.\ $K$, $L$, $M$,~.~.\ in welchem jede einzelne Grösse d.~i.\ jedes Glied, etwa $L$, nach einem und demselben Bildungsgesetze durch seine Beziehung zu seinem vorausgehenden $K$ oder nachfolgenden $M$ bestimmt ist. Die Möglichkeit des successiven Ueberganges durch alle Glieder einer Reihe findet auch bei den geometrischen Gebilden statt; man kann von einem Theil eines Gebildes zum nächsten, u.~s.~w.\ übergehen, d.~h.\ die auf einander folgenden Theile des Gebildes als die Glieder einer Reihe betrachten. Es genügt daher die oben angeführten Unterschiede bei den Reihen zu erörtern. Eine Reihe heisst \so{unbegrenzt}, wenn man --- ohne Umkehrung des Uebergangsprocesses --- fortgesetzt von einem Gliede zu einem nächsten übergehen kann. Gelangt man bei diesem Uebergang zum Ausgangs-Gliede zurück, so ist die Reihe eine \so{endliche}; gestattet jedoch die Reihe ein fortgesetztes Uebergehen von einem Gliede zu einem andern, ohne dass man zu einem früheren Gliede zurückkommt, so heisst die Reihe eine \so{unendliche}. Als Beispiel einer endlichen (unbegrenzten) Reihe können die (gleichen) Theile einer Kreislinie dienen; als unendliche Reihe erscheint die unbegrenzt fortgesetzte Reihe der ganzen Zahlen. Jede unendliche Reihe ist unbegrenzt, da man in einer solchen Reihe fortgesetzt von einem Gliede zu einem anderen übergehen kann. Dem idealen Raume wird mit Recht die Eigenschaft der »Unbegrenztheit« zugesprochen. Denn eine Grenze würde eine Ungleichheit mit den übrigen Theilen voraussetzen, was unseren Vorstellungen widerspricht. Daraus folgt keineswegs die Unendlichkeit des Raumes, letztere Eigenschaft müss\-te erst besonders nachgewiesen werden. \begin{Small} \so{Anmerkung 1.} Die Unterscheidung zwischen »unbegrenzt« und »unendlich« \linebreak wurde zuerst von B.~\so{Riemann} in seiner Habilitationsschrift »Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen« (vorgelesen zu Göttingen am 10.~Juni 1854) gemacht. Berücksichtigt %-----File: 014.png-------------------------------------------- man, dass im Unbegrenzten in Folge des fortgesetzt wiederholten Uebergangs-Processes auch das Moment des Unendlichen vorkommt, indem zur Darstellung dieser Wiederholung die Reihe der ganzen Zahlen gewählt werden kann, so darf man sich nicht wundern, wenn mit der Unbegrenztheit des Raumes demselben auch zugleich die Eigenschaft der Unendlichkeit zuerkannt wurde. \so{Anmerkung 2.} Die Eigenschaften des idealen Raumes sind durch die in ihm befindlichen Gebilde bedingt. Es ist mindestens in der Geometrie unnütz, ihm andere Eigenschaften noch zuzusprechen. Man wird daher den idealen Raum dann als unendlich voraussetzen, wenn unendliche Gebilde in Betracht gezogen werden. \end{Small} \subsection{6.} Aus den Erklärungen des vor.\ Art.\ folgt: \begin{itemize} \item[a)] Die Oberfläche eines vollständig begrenzten Körpers kann als eine unbegrenzte Fläche betrachtet werden. Gleiches gilt auch von dem Umfang einer Fläche eines Körpers. \item[b)] Sind auf einer Fläche zwei unbegrenzte Linien gegeben, und schneidet die eine den Umfang der durch die andere bestimmten Fläche einmal, so muss sie denselben mindestens nochmals schneiden. Denn im Momente des Schneidens geht die unbegrenzte schneidende Linie aus dem Aeussern ins Innere der Fläche, sie muss also, um zu den Punkten im Aeussern wieder zurückzukehren, den Umfang beim Austritte nochmals schneiden. \end{itemize} Da die unbegrenzte schneidende Linie nach dem Austritte die Fläche der zweiten Linie nochmals schneiden kann, u.~s.~w., so gilt allgemein der Satz: Zwei unbegrenzte Linien auf derselben Fläche schneiden sich in einer geraden Anzahl von Punkten, wenn sie sich einmal schneiden. \begin{itemize} \item[c)] Analog wie in b) wird bewiesen: Eine unbegrenzte Linie schneidet die Oberfläche eines Körpers in einer geraden Anzahl von Punkten, wenn sie dieselbe einmal schneidet. \end{itemize} \subsection{7.} Die Aufgabe der Geometrie besteht in der Erforschung der Eigenschaften der Gebilde, sowol der einfachen unmittelbar gegebenen, als auch solcher, welche aus diesen durch Verbindung und unter Voraussetzung des Congruenz-Axioms erhalten werden. Man beginnt ihre Entwicklung gewöhnlich derart, dass man gewisse einfache Gebilde durch ihre Definitionen %-----File: 015.png-------------------------------------------- einführt. Es wird die Existenz von Linien und Flächen, die resp.\ aus congruenten Theilen zusammengesetzt sind, vorausgesetzt. Nennt man, wie dies fast allgemein geschieht, \so{Gerade} diejenige Linie, die durch zwei Punkte bestimmt ist --- die also aus congruenten Stücken zusammengesetzt, mithin an allen Stellen gleichartig ist ---, ferner \so{Ebene} diejenige Fläche, dass die geradlinige Verbindung zweier Punkte vollständig in ihr liegt; so sind mit der Unbegrenztheit und Unendlichkeit der Geraden die Unbegrenztheit und Unendlichkeit der Ebene ausgesprochen. Da die Unbegrenztheit des idealen Raumes aus dessen Gleichartigkeit an allen Theilen folgt, so kann der Geraden, also auch der Ebene die Eigenschaft der Unbegrenztheit zuerkannt werden. Die Eigenschaften der Endlichkeit und Unendlichkeit müssen besonders vorausgesetzt werden, und daher die bezüglichen Formen der Geometrie einzeln entwickelt werden. An der Stelle dieses gewöhnlichen Verfahrens sollen diese Gebilde aus einfacheren Voraussetzungen hergeleitet werden, wodurch auch ihre Eigenschaften vollständiger und naturgemässer entwickelt werden. \begin{Small} \so{Anmerkung 1.} Diese Ableitung wurde in gelungener Weise zuerst von W.~\so{Bolyai} und \so{Lobatschewsky} durchgeführt. Der Grundgedanke, welcher bereits von \so{Leibniz} (s.~Uylenbrök »Christiani Hugenii aliorumque seculi XVII virorum celebrium exercitationes mathematicae et philosophicae« Hagae MDCCCXXXIII, Fasc.~II, p.~8) bei der Erklärung der geometrischen Orte angedeutet wurde, besteht in Folgendem: Um die Ebene zu erhalten, denke man sich von zwei Punkten $O$ und $O'$ (als Mittelpunkte) fortgesetzt (concentrische) Kugelflächen mit (demselben aber) immer grösser werdenden Radius beschrieben. Der Inbegriff der Durchschnittslinien je zweier Kugelflächen mit gleichem Radius ist eine \so{Ebene}. Dreht man die sämmtlichen Durchschnittslinien d.~h.\ Kreise um die durch die Endpunkte eines Durchmessers eines dieser Kreise bestimmte Gerade als Axe, so bleiben bei dieser Bewegung die Punkte der Axe in Ruhe, während alle übrigen Punkte der Ebene ihre Lage verändern. Die ziemlich übereinstimmende Darstellung der beiden oben genannten Mathematiker wurde auch in dieser Schrift befolgt. \so{Anmerkung 2.} Die Versinnlichung von geometrischen Figuren und ihren Beziehungen durch Zeichnung hat nur den Zweck, eine Uebersicht der Lagenverhältnisse und der Anordnung im Allgemeinen zu vermitteln. Daraus folgt, dass es nicht nöthig ist, die wahren Dimensionen (oder deren Verhältnisse) der Figuren durch eine Zeichnung %-----File: 016.png-------------------------------------------- darzustellen --- was für räumliche Gebilde auch unmöglich ist ---; sondern es genügt, wenn die Linien, Winkel,~.~.\ der Figur durch Linien, Winkel,~.~.\ in der Zeichnung versinnlicht sind, ohne dass man sich zu sehr um die Richtigkeit der einzelnen Verhältnisse zu kümmern braucht. Diese Verzerrung kann sogar in den einzelnen Theilen der Zeichnung wechseln; namentlich für diejenigen Theile der Figur, welche in der vorliegenden Untersuchung gar nicht in Betracht kommen, kann die Abweichung ziemlich bedeutend werden, während es zweckmässig ist, von den in Untersuchung gezogenen Theilen der Figur eine möglichst richtige Zeichnung zu liefern. Diese beiläufige Andeutung der Lagenverhältnisse der Figuren findet in der absoluten Geometrie häufig statt. Aber auch in den angewandten mathematischen Wissenschaften verfährt man ja auf dieselbe Art. Z.~B. Die nahezu kreisförmigen Planetenbahnen werden bei der Untersuchung der elliptischen Bewegung durch stark excentrische Ellipsen, hingegen, wenn es sich um die Anordnung der Bahnen im Sonnensystem handelt, durch Kreise, deren Radien nicht in den Verhältnissen der mittleren Entfernungen stehen, sondern so gewählt werden, dass man eine bequeme Zeichnung erhält, versinnlicht. \end{Small} \section{Kugelfläche und Kreislinie.} \subsection{8.} Um die gegenseitige Lage zweier Punkte $A$ und $B$ zu fixiren, denke man sich dieselbe durch eine beliebige feste Linie (die man sich nach Art.~2 aus einem Körper geschnitten denken kann) verbunden. Diese Verbindung soll durch $\overline{AB}$ bezeichnet werden. Sind die Punkte $A$, $B$, $C$,~.~.\ eines Gebildes durch beliebige Paare Linien in feste Verbindung gesetzt, was durch $\overline{ABC}$~.~.\ ausgedrückt werden soll, so kann dieses Gebilde aus irgend einem Theile des Raumes in einen anderen Raum-Theil übertragen werden. Sind nach Ausführung dieser Uebertragung $A'$, $B'$, $C'$,~.~.\ die entsprechenden Punkte des Gebildes in dem anderen Raumtheil, so nennt man nach Art.~4 die Gebilde $\overline{ABC}\dots$ und $\overline{A'B'C'}\dots$ \so{congruent} und bezeichnet dies durch $\overline{ABC}\dots\cong\overline{A'B'C'}\dots$. Sind $A$ und $B$, $A'$ und $B'$ zwei Punktpaare im Raume von der Eigenschaft, dass $\overline{AB}\cong\overline{A'B'}$ ist, so sagt man: die Punkte $A'$ und $B'$ haben \so{gleichen Abstand} mit den Punkten $A$ und $B$. Der Inbegriff aller Punkte $M$, welche von einem gegebenen Punkt $O$ gleichen Abstand haben, heisst eine \so{Kugelfläche}. %-----File: 017.png-------------------------------------------- Diese ist an allen Stellen gleichartig, stetig und theilt den Raum in zwei Bestandteile: in einen allseitig begrenzten und einen unbegrenzten. Jeder Punkt des begrenzten Theils kann nur in den unbegrenzten gelangen, wenn er durch die Kugelfläche geht. Der Punkt $O$ heisst der \so{Mittelpunkt}, der unveränderliche Abstand der Punkte $O$ und $M$ --- durch $OM$ bezeichnet --- der \so{Radius} der Kugelfläche. Der durch die Kugelfläche abgegrenzte (körperliche) Raum wird eine \so{Kugel} genannt. Durch den Mittelpunkt und den Radius ist die Kugelfläche, also auch die Kugel \so{eindeutig} bestimmt. Zu jeder Kugelfläche kann man sich aus demselben Mittelpunkte eine zweite die erstere einschliessende denken, man sagt dann: die zweite hat einen \so{grösseren} Radius als die erste. Zwei Theile von Kugelflächen mit verschiedenen Radien können nicht (ohne Rücksicht auf die Grenzen) zur Deckung gebracht werden. Denn ergänzte man diese Theile zu ihren Kugelflächen, so müssten im Falle der Möglichkeit der Deckung der Theile auch die ganzen Kugelflächen sich decken können. \subsection{9.} Zwei Kugelflächen $\GothS$ und $\GothS'$ mit verschiedenen Mittelpunkten $O$ und $O'$, von denen die eine theilweise innerhalb, theilweise ausserhalb der andern liegt, schneiden sich in einer Linie $k$, welche eine \so{Kreislinie} genannt wird. Die Kreislinie ist (nach dem Grundsatze »gleiche Bestimmungen erzeugen Gleiches«) an allen Stellen gleichartig. Daraus folgt: \begin{itemize} \item[a)] Sind $M$ und $N$ zwei beliebige Punkte der Kreislinie, so kann das Gebilde $\overline{OO'M}$ mit dem Gebilde $\overline{OO'N}$ zur Deckung gebracht werden. \item[b)] Denkt man sich von einem ihrer Punkte, etwa $A$, zwei Punkte $M$ und $M'$ nach entgegengesetztem Sinne in gleicher Weise bewegt, so treffen sie in einem Punkte $B$ derart zusammen, dass sie durch die beiden Punkte $A$ und $B$ in zwei congruente Theile zerlegt wird. Man sagt: die Kreislinie ist von $A$ aus in $B$ halbirt. \end{itemize} In ähnlicher Weise kann jedes der beiden Stücke $AMB$ und $AM'B$ in zwei congruente Theile zerlegt werden, u.~s.~w., %-----File: 018.png-------------------------------------------- d.~h.\ man kann sich die Kreislinie aus congruenten Stücken bestehend denken. Jede der beiden Kugelflächen $\GothS$ und $\GothS'$ wird durch die Kreislinie $k$ in zwei Flächen-Segmente zerlegt; es seien $\mathfrak{B}$ und $\mathfrak{B'}$ die Segmente von $\GothS$. Das von der Fläche $\GothS'$ eingeschlossene Segment, etwa $\mathfrak{B}$, wird mit der stetigen Vergrösserung des Radius der Kugelfläche $\GothS'$ so lange stetig wachsen, bis die ganze Fläche $\GothS$ von der Fläche $\GothS'$ eingeschlossen ist. Durch stetige Verminderung des Radius von $\GothS'$ wird das eingeschlossene Segment $\mathfrak{B}$ der Fläche $\GothS$ bis zum Verschwinden abnehmen, in welchem Momente die beiden Flächen $\GothS$ und $\GothS'$ sich berühren\footnote {Ob diese Berührung in einem oder in mehreren Punkten stattfindet, wird im Folgenden erwiesen.} und zwar von \so{innen} oder von \so{aussen}, je nachdem der Punkt $O'$ im Inneren oder Aeusseren der Kugelfläche liegt. Bei fortgesetzter Abnahme des Radius der Fläche $\GothS'$ wird die zugehörige Kugel entweder ganz innerhalb oder ganz ausserhalb der Fläche $\GothS$ liegen. Daraus folgt, dass eine Fläche $\GothS'$ existiren muss, für welche die beiden Segmente $\mathfrak{B}$ und $\mathfrak{B'}$ einander gleich werden; die zugehörige Kreislinie $k$ halbirt also die Fläche $\GothS$ und wird dann eine \so{Hauptlinie} dieser Fläche genannt. \subsection{10.} \begin{wrapfigure}{r}{4cm} \caption{\hskip1pt } \includegraphics*[width=4cm,height=4cm]{images/fig02} \end{wrapfigure} Es sei $\mathfrak{B}$ das kleinere Segment der Kugelfläche $\GothS$. Von einem beliebigen Punkt $C$ der Linie $k$ lasse man einen Punkt $D$ in der Linie $k$ bewegen und beschreibe aus $C$ mit dem jedesmaligen Radius $CD$ eine Kugelfläche; diese schneidet die Fläche $\GothS$ in einer Kreislinie $l$ und bestimmt in der Linie $k$ auf der mit $D$ entgegengesetzten Seite des Punktes $C$ einen Punkt $D'$ derart, dass $CD = CD'$ ist. Das auf dem Segmente $\mathfrak{B}$ liegende Stück $DD'$ der Kreislinie $l$ halbire man im Punkte $M$ (indem man von $D$ und $D'$ aus Punkte in gleicher Weise bewegen lässt, welche in der Mitte $M$ zusammentreffen). Diese Punkte $M$ construire man stetig vom Radius Null bis zu jenem Radius, %-----File: 019.png-------------------------------------------- der durch die beiden Punkte $C$ und $C'$, wo $C'$ der zu $C$ zugehörige Halbirungspunkt von $k$ ist, bestimmt wird. Der Inbegriff aller Mitten $M$ ist eine stetige Linie $m$, welche sich in allen Punkten der Linie $k$ auf gleiche Weise errichten lässt, so dass ein Punkt $C$ in der Linie $k$ gehend sie auf der Fläche $\GothS$ mitführen kann. Jeder Punkt der Linie $m$ bleibt bei dieser Bewegung entweder an demselben Ort, d.~h.\ ist ein Ruhepunkt, oder er ist hinsichtlich der Punkte $O$ und $O'$ gleich bestimmt und bildet daher auf der Fläche $\GothS$ eine Kreislinie. Ein Ruhepunkt $R$ muss existiren; denn sonst wäre eine letzte Kreislinie vorhanden, auf welche man wieder das vorige Verfahren der Construction der Linie $m$ anwenden könnte. Durch die Bewegung der Linie $CR$ auf der Fläche $\GothS$ bis zur Rückkehr des Punktes $C$ wird das ganze Segment $\mathfrak{B}$ beschrieben. Daraus folgt, dass auf dem Segment $\mathfrak{B}$ kein zweiter Ruhepunkt $T$ existiren kann, weil sonst dasselbe Segment $\mathfrak{B}$ durch die Bewegung der Linien $CR$ und $CT$ beschrieben würde. Die Linie $m$ erstreckt sich vom Punkte $C$ an durch den Punkt $R$ hindurch bis zum Punkte $C'$; im Punkte $R$ wird die Linie $m$ halbirt, so dass also $CR = C'R$ ist. In gleicher Weise wird durch diese Linie die Fläche $\mathfrak{B}$ halbirt. Sind die beiden Segmente $\mathfrak{B}$ und $\mathfrak{B}'$ einander gleich, so kann man durch Halbiren des auf dem Segmente $\mathfrak{B}'$ liegenden Stückes $CD$ der jedesmaligen Kreislinie $l$ einen Inbegriff von Punkten $M'$ erhalten, welcher ebenfalls eine stetige Linie $m'$ bildet, durch deren Bewegung das Segment $\mathfrak{B}'$ beschrieben werden kann und für welche ebenfalls ein Ruhepunkt $R'$ existirt. Die Linienstücke $CR$ und $CR'$ zusammen erzeugen, während der Punkt $C$ durch die ganze Kreislinie $k$ hindurch bewegt wird, die ganze Fläche $\GothS$. Bei dieser Bewegung bleiben die Punkte $R$ und $R'$ in Ruhe; während jeder andere Punkt dieser Linie eine Kreislinie beschreibt. Man nennt jede Bewegung eines Gebildes, bei welcher gewisse Punkte des Gebildes in Ruhe bleiben, eine \so{Drehung}. Die Drehung kann bis zur Rückkehr in die Anfangslage fortgesetzt werden; den durchlaufenen Weg nennt man eine \so{Umdrehung} des Gebildes um die festen Punkte, und die durch Umdrehung einer Linie erzeugte Fläche eine \so{Rotationsfläche}. %-----File: 020.png-------------------------------------------- Aus dem Vorhergehenden erhellt, dass die Kugelfläche als eine Rotationsfläche betrachtet werden kann. \subsection{11.} Als Umkehrung des vorigen Art.\ gilt folgender Satz: Sind $O$ und $O'$ zwei fest verbundene Punkte, sind ferner $A$ und $B$ zwei verschiedene Punkte des Raumes derart, dass \[ \overline{OA} = \overline{OB},\quad \overline{O'A} = \overline{O'B} \] ist, so schneiden sich die aus den Mittelpunkten $O$ und $O'$ mit den resp.\ Radien $OA$ und $O'A$ beschriebenen Kugelflächen $\GothS$ und $\GothS'$ in einer Kreislinie, in welcher die beiden Punkte $A$ und $B$ liegen; es kann daher der Punkt $A$ in dieser Kreislinie durch den Punkt $B$ hindurch bis zur Rückkehr bewegt werden\footnote {Man kann diesen Satz nicht als evident erklären, ohne die Voraussetzung zu machen, dass zwei Kugelflächen nicht zwei Punkte gemein haben können, ohne sich zu schneiden.}. Es seien die Radien $OA$ und $O'A$ einander gleich. Ist $L$ ein Punkt von $\GothS$, welcher ausserhalb der Kugelfläche $\GothS'$ liegt, so beschreibe man mit einem Radius, welcher zwischen $O'A$ und $O'L$ liegt, eine Kugelfläche $\GothS''$, welche die Kugelfläche $\GothS$ in einer Kreislinie $k$ schneidet. Sind die beiden Radien $OA$ und $O'A$ ungleich, und ist $O'A$ der kleinere Radius, so beschreibe man aus $O'$ mit dem Radius gleich OA eine Kugelfläche $\GothS''$, welche die Kugelfläche $\GothS$ in einer Kreislinie $k$ schneidet. Die Punkte $A$ und $B$ liegen gleichzeitig in einem der beiden Segmente $\mathfrak B$ und $\mathfrak B'$, in welche die Fläche $\GothS$ durch die Kreislinie $k$ zerlegt wird. Construirt man daher eine Linie $m$, so muss der Punkt $A$ vom Ruhepunkt $R$ verschieden sein, weil sonst auch $B$ mit $R$ identisch sein müsste, was gegen die Voraussetzung ist, dass $A$ und $B$ verschiedene Punkte sind. Jedem der Punkte $A$ und $B$ entspricht daher bei der Bewegung von $m$ eine Kreislinie, diese beiden Linien müssen (der gleichen Bestimmung von $A$ und $B$ gegen $O$ und $O'$ wegen) mit einander identisch sein. \Paragraph{Zusatz.} Aus dem eben bewiesenen Satze erhellt, dass zwei Kugelflächen sich nur in \so{einem} Punkte berühren können. %-----File: 021.png-------------------------------------------- \section{Gerade und Ebene.} \subsection{12.} Es sei $O$ der Mittelpunkt einer Kugelfläche $\GothS$, $O'$ ein beliebiger Punkt derselben: aus dem Punkt $O'$ als Mittelpunkt beschreibe man mit dem Radius $O'O$ eine zweite Kugelfläche $\GothS'$; beide Kugeln sind von einander verschieden und jede liegt theilweise innerhalb, theilweise ausserhalb der anderen, sie schneiden sich daher in einer Kreislinie $k$. Ebenso schneiden sich die beiden Kugelflächen $\Sigma$ und $\Sigma'$, welche aus den Mittelpunkten $O$ und $O'$ mit gleichen Radien $>OO'$ beschrieben werden, in einem Kreise $\varkappa$; denn alle Punkte der Kugelfläche $\GothS'$, also auch der Kugel $\Sigma'$, welche innerhalb der Kugelfläche $\GothS$ liegen, liegen auch innerhalb der Fläche $\Sigma$. Das soeben erhaltene System von Kugeln, Kugelflächen und Kreislinien wird nicht geändert, wenn man die Mittelpunkte $O$ und $O'$ sammt ihren Kugelflächen vertauscht. Daraus folgt: Ist A ein beliebiger Punkt der Kreislinie $k$ der Flächen $\GothS$ und $\GothS'$, $B$ der zu $A$ zugehörige Halbirungspunkt von $k$, so können die Mittelpunkte $O$ und $O'$ sammt ihren Kugeln um die ruhenden Punkte $A$ und $B$ derart bewegt werden, dass der Punkt $O$ nach $O'$ und der Punkt $O'$ nach $O$ kommt; dabei fällt die Kreislinie $k$ mit ihrer ursprünglichen Lage zusammen. Aber auch in jeder Kreislinie $\varkappa$ eines jeden Flächenpaares $\Sigma$ und $\Sigma'$ gibt es ein Punktpaar $P$ und $Q$, welches bei dieser Bewegung in Ruhe bleibt, so dass, wenn $M$ einer dieser beiden Punkte ist, es keinen von $M$ verschiedenen Punkt $M'$ gibt derart, dass $\overline{ABM} \cong \overline{ABM'}$ ist. Ein solcher Punkt $M$ wird ein \so{Einziges} von $AB$ genannt.\footnote {Benennung von W. \so{Bolyai}.} \begin{wrapfigure}{r}{2.5cm} \caption{\hskip1pt } \includegraphics*[width=2.5cm,height=2cm]{images/fig03} \end{wrapfigure} Diese Punktpaare $P$ und $Q$ werden für jede Kreislinie $\varkappa$ auf die folgende Art bestimmt: Ist $K$ ein beliebiger Punkt von $\varkappa$ und nicht ein Einziges von $\overline{AB}$, so kann nach Art.~11 $K$ um $\overline{AB}$ bis zur Rückkehr bewegt werden. Bei der oben erwähnten Bewegung des Kugelsystems falle der Punkt $K$ nach $K'$; durch diese Punkte wird die Linie %-----File: 022.png-------------------------------------------- $\varkappa$ in zwei Theile zerlegt: es sei $P$ die Mitte des einen und $Q$ die Mitte des anderen; die Punkte der Linie $PK$ fallen in der neuen Lage mit den Punkten $PK'$ der ursprünglichen Lage zusammen, die Punkte $P$ und $Q$ sind die Ruhepunkte der Drehung. Die Punkte $P$ folgen von einem der Punkte $A$ oder $B$, etwa von $A$, und die Punkte $Q$ von $B$ an, stetig auf einander, wenn die Flächenpaare $\Sigma$ und $\Sigma'$ stetig, vom Flächenpaare $\GothS$ und $\GothS'$ an, auf einander folgen. Die zwischen den Punkten $A$ und $B$ dieser beiden Linien befindliche Lücke kann dadurch ausgefüllt werden, dass man fortgesetzt Kugelflächen $\Sigma$ und $\Sigma'$ mit stetig kleiner werdenden Radien beschreibt. Die Reihe dieser Radien beginnt von $OO'$ an und endet mit dem kleinsten Radius, in dem Momente, wo die beiden Flächenpaare sich berühren. Durch Bestimmung der Ruhepunkte erhält man ein Linienstück $AB$, welches mit den (unbegrenzten) Linien $AP$ und $BQ$ eine einzige unbegrenzte Linie bildet, welche die Eigenschaft hat, dass sie sämmtliche Ruhepunkte des Kugelsystemes enthält, welches durch die fortgesetzten Kugelflächenpaare $\Sigma$ und $\Sigma'$ bestimmt ist. \subsection{13.} Im vorigen Art.\ ist die Existenz von Linien nachgewiesen, welche ihre Lage nicht ändern, wenn sie in zwei Punkten festgehalten werden. Diese versuchte Lagenänderung ist derart zu verstehen, dass eine solche Linie, wenn sie zugleich einem Flächen- oder Körpergebilde angehörig ist, bei der Bewegung des Gebildes (um die festen Punkte) lauter Ruhepunkte enthält. Jede Linie von der erwähnten Eigenschaft wird eine \so{Gerade} genannt. Zwei Gerade $g_1$ und $g_2$, welche zwei Punkte $M$ und $N$ gemeinsam haben, fallen in allen Punkten zusammen. Denn bringt man die beiden Geraden mit der durch das Kugelsystem der Punkte $O$ und $O'$ des vorigen Art.\ bestimmten Geraden $g$ in eine solche Lage, dass die gemeinsamen Punkte $M$ und $N$ in diese Gerade $g$ fallen, so müssen sämmtliche %-----File: 023.png-------------------------------------------- Punkte der Geraden $g_1$ und $g_2$ mit den Punkten der Geraden $g$ zusammenfallen. Denn im entgegengesetzten Falle müssten die Punkte der Geraden $g_1$ oder $g_2$ oder beider Geraden, welche ausserhalb der Geraden $g$ fallen, als Punkte des Kugelsystems betrachtet bei der Bewegung von $O$ und $O'$ von den Ruhepunkten verschieden sein. Die Gerade kann aus congruenten Stücken zusammengesetzt gedacht werden, nach den beiden entgegengesetzten Richtungen ins Unbegrenzte ver\-län\-gert und jedes zwischen zwei Punkten enthaltene Stück, welches eine \so{Strecke} genannt wird, ins Unbegrenzte getheilt werden. Der \so{Abstand} zweier Punkte wird durch die zwischen ihnen enthaltene Strecke bestimmt. \subsection{14.} \begin{wrapfigure}{r}{2.5cm} \caption{\hskip1pt } \includegraphics*[width=2.5cm,height=2.5cm]{images/fig04} \end{wrapfigure} Der Inbegriff aller Kreislinien $\varkappa$, welche als die Schnitte der Flächenpaare $\Sigma$ und $\Sigma'$ erscheinen, bildet eine Fläche, welche eine \so{Ebene} genannt wird. Dieselbe kann durch Bewegung der Geraden $PABQ$ (d.~i.\ durch Bewegung der Kugelflächen um die Punkte $O$ und $O'$) erzeugt werden. Daraus erhellt, dass die Ebene vermittelst der Geraden auf die folgende Art erhalten werden kann: Eine Kreislinie als Durchschnittslinie zweier gleicher Kugelflächen werde in den Punkten $A$ und $B$ halbirt. Durch die Punkte $A$ und $B$ ist eine Gerade bestimmt; es sei ferner $C$ die Mitte der Strecke $AB$. Eine der beiden Hälften der Kreislinie werde in $D$ halbirt, so ist durch die Punkte $C$ und $D$ eine zweite Gerade $CD$ bestimmt, welche \so{senkrecht} auf der Geraden $AB$ genannt wird. Dreht man die erhaltene Figur um $AB$, so beschreibt die Gerade $CD$ eine \so{Ebene}. Die Ebene ist eine umkehrbare Fläche. Vertauscht man nämlich die Punkte $O$ und $O'$ sammt ihren Kugelflächen untereinander, so fallen die Kreislinien $\varkappa$ wieder zusammen. Für die eben erwähnte Erzeugung der Ebene denke man sich die vorige Figur nochmals und lege sie mit der ersten so zusammen, dass die Geraden $AB$ und $BA$ sich decken; dann werden auch die beiden Ebenen sich decken. Die beiden %-----File: 024.png-------------------------------------------- (entgegengesetzten) Seiten der Ebene sind daher gleichartig; jedem Punkt des Raumes auf der einen Seite der Ebene entspricht ein gleichliegender Punkt auf der entgegengesetzten Seite. Die Gerade $AB$ heisst »senkrecht auf der Ebene im Punkte $C$«. \subsection{15.} Für die Entwicklung der übrigen fundamentalen Eigenschaften der Ebene sind einige vorbereitende Sätze nöthig. Durch drei Punkte und die drei von je zwei Punkten bestimmten Strecken ist ein Gebilde bestimmt, welches ein \so{Dreieck} genannt wird. Die drei Strecken heissen die \so{Seiten} des Dreiecks. Aus Art.~11 folgt, dass zwei Dreiecke, welche die drei Seiten wechselweise gleich haben, congruent sind. Zwei von einem Punkte $A$ ausgehende Gerade $AB$ und $AM$ bilden einen \so{Winkel}; der gemeinsame Punkt heisst der \so{Scheitel}, die von ihm ausgehenden Geraden heissen die \so{Schenkel} des Winkels, derselbe wird durch $MAB$ oder $BAM$ bezeichnet. Werden die Schenkel als starre (d.~i.\ feste) Linien gedacht, so kann der Winkel an einen beliebigen anderen Ort des Raumes gebracht werden; bleibt der Scheitel $A$ und \so{ein} Schenkel $AB$ ungeändert, so ist die Lagenänderung eine Drehung des zweiten Schenkels $AM$ um den ersten $AB$. Wegen der Gleichartigkeit und Stetigkeit des Raumes wird durch die Umdrehung des bewegten Schenkels eine zusammenhängende Fläche (Kegelfläche) beschrieben; sind $M$ und $N$ zwei beliebige Punkte derselben, so sind die Winkel $MAB$ und $NAB$ einander gleich. Umgekehrt: Zwei Winkel sind einander gleich, wenn sie in eine solche Lage gebracht werden können, dass ihre Scheitel und Schenkel zusammenfallen. Daraus folgt: Zwei Dreiecke sind congruent, wenn sie zwei Seiten und den von ihnen eingeschlossenen Winkel wechselweise gleich haben. \subsection{16.} 1) Eine Gerade, welche zwei Punkte M und N mit einer Ebene $\mathfrak{E}$ gemein hat, liegt vollständig in der Ebene $\mathfrak{E}$. %-----File: 025.png-------------------------------------------- \begin{wrapfigure}{r}{2.8cm} \caption{\hskip1pt } \includegraphics*[width=2.8cm,height=3.8cm]{images/fig05} \end{wrapfigure} Es sei die Gerade $AB$ auf der Ebene $\mathfrak{E}$ im Punkte $C$ senkrecht, dabei werde $AC = BC$ vorausgesetzt. Für jeden beliebigen Punkt $P$ der Geraden $MN$ ist nur zu beweisen, dass die Gerade $CP$ im Punkte $C$ auf der Geraden $AB$ senkrecht steht, indem dann nach Art.~14 die Gerade $CP$ als eine specielle Lage der die Ebene $\mathfrak{E}$ erzeugenden Geraden betrachtet werden kann. Mit Berücksichtigung des vorigen Artikels erhält man nach einander \begin{alignat*}{2} \Triangle &ACM &&\cong \Triangle BCM,\\ \Triangle &ACN &&\cong \Triangle BCN,\\ \Triangle &AMN &&\cong \Triangle BMN,\\ \Triangle & &&\cong \Triangle BMP,\\ \Triangle &ACP &&\cong \Triangle BCP; \end{alignat*} woraus die Gleichheit der Winkel $ACP$ und $BCP$ folgt. Die Gerade $CP$ ist daher auf der Geraden $AB$ im Punkte $C$ senkrecht. 2) Durch drei Punkte $A$, $B$, $C$, die nicht in einer Geraden liegen, ist eine und nur \so{eine} Ebene bestimmt. Hätten zwei Ebenen $\mathfrak{E}$ und $\mathfrak{E'}$ die drei Punkte $A$, $B$, $C$ gemeinsam, so hätten sie auch die drei Geraden $AB$, $BC$, $CA$ gemeinsam, welche auf jeder der beiden Ebenen ein Dreieck $ABC$ abgrenzen. Ist $P$ ein beliebiger Punkt der Ebene $\mathfrak{E}$, so liegt derselbe entweder innerhalb oder ausserhalb des Umfanges des Dreiecks $ABC$. Liegt $P$ innerhalb, so ziehe man die Gerade $AP$ und verlängere dieselbe von $P$ an ins Unbegrenzte, wodurch die Gerade $BC$ in einem Punkte, etwa $D$, geschnitten wird. Die Gerade $AD$, also auch der Punkt $P$, liegen in beiden Ebenen. Liegt der Punkt $P$ ausserhalb der Figur $ABC$ und z.~B.\ auf der entgegengesetzten Seite von $BC$ mit dem Punkte $A$, so ziehe man die Gerade $PA$, welche also die Gerade $BC$ in einem Punkte, etwa $D$, schneidet; u.~s.~w. 3) Zwei verschiedene Ebenen $\mathfrak{E}$ und $\mathfrak{E'}$, welche einen Punkt $A$ gemeinsam haben, schneiden sich in einer Geraden. Denn zieht man in der Ebene $\mathfrak{E}$ durch den Punkt $A$ eine %-----File: 026.png-------------------------------------------- Gerade $MN$, wo der Punkt $A$ auf der Strecke $MN$ vorausgesetzt wird, so liegen die Theile $MA$ und $AN$ auf den entgegengesetzten Seiten der Ebene $\mathfrak{E}'$. Ist $P$ ein Punkt der Ebene $\mathfrak{E}$, ausserhalb der Geraden $MN$, der mit $M$ auf derselben Seite von $\mathfrak{E}'$ liegt, so schneidet die Gerade $PN$ die Ebene $\mathfrak{E}'$ in einem Punkte, etwa $B$. Die Gerade $AB$ ist daher die Durchschnittslinie der beiden Ebenen $\mathfrak{E}$ und $\mathfrak{E}'$. \Paragraph{Zusatz 1.} In jedem (beliebigen) Punkte $C$ einer Ebene ist eine und nur \so{eine} auf dieser Ebene senkrechte Gerade $AB$ möglich. Macht man die Strecken $CA$ und $CB$ einander gleich, so können die Punkte $A$ und $B$ als die Mittelpunkte der die Ebene erzeugenden Kugelflächen betrachtet werden. \Paragraph{Zusatz 2.} Dreht man in einer Ebene eine Strecke derart, dass der eine Endpunkt in unveränderter Lage bleibt, so beschreibt der andere Endpunkt eine Kreislinie, welche als der Durchschnitt zweier Kugelflächen mit gleichen Radien betrachtet werden kann; der unveränderliche Punkt heisst der \so{Mittelpunkt}, die gedrehte Strecke des \so{Radius} der Kreislinie; das erzeugte Gebilde wird ein \so{Kreis} genannt. \begin{Small} \so{Anmerkung.} Ist die Kreislinie der Durchschnitt zweier Kugelflächen mit verschiedenen Radien, so ist zum Nachweis, dass sie eine ebene Linie ist, der Satz, »dass von einem Punkte ausserhalb einer Geraden nur eine Senkrechte möglich ist,« erforderlich. \end{Small} \subsection{17.} \begin{wrapfigure}{r}{3.25cm} \caption{\hskip1pt } \includegraphics*[width=3.25cm,height=2.75cm]{images/fig06} \end{wrapfigure} Im Art.~15 wurde eine vorläufige Definition des Winkels zweier Geraden gegeben. Aus der Existenz der Ebene folgt, dass ein solcher Winkel ein ebenes Gebilde ist. Gewöhnlich wird derselbe entweder als ein Lagengebilde oder als das Mass der Drehung einer Geraden oder als Mass der (unbegrenzten) Fläche zwischen seinen Schenkeln angesehen. Alle diese Massbegriffe sind aus dem Satze »die Kreislinie ist aus congruenten Theilen zusammengesetzt« entlehnt. Aus dieser Eigenschaft folgt, dass zwei Theile derselben Kreislinie in gleicher Weise wie zwei Strecken gemessen werden können. Man kann daher das Verhältniss eines Kreisbogens $AB$ zum Umfange $u$ durch eine (rationale %-----File: 027.png-------------------------------------------- oder irrationale) Zahl darstellen. Für eine zweite concentrische Kreislinie welche den Geraden $OA$ und $OB$ in den Punkten $A'$ und $B'$ begegnet, hat das Verhältniss des Bogens $A'B'$ zum zugehörigen Umfang $u'$ denselben Werth; es ist daher \[ AB : u = A'B' : u'. \] Gleiches gilt auch von den Flächen concentrischer Kreistheile begrenzt von den in dieselben Geraden fallenden Radien und den zugehörigen Kreisbögen. Durch diese für alle concentrischen Kreise constanten Verhältnisszahlen des Bogens $AB$ zum Umfang $u$, der Fläche des Kreisausschnittes $AOB$ zur Fläche des ganzen Kreises wird der Winkel der Geraden $OA$ und $OB$ gemessen. Ist die Masszahl $= \frac{1}{4}$, so wird der Winkel $AOB$ ein rechter genannt, und durch $R$ bezeichnet. Die Linien $OA$ und $OB$ sind im Punkte $O$ auf einander senkrecht, man bezeichnet dies durch $OB \perp OA$ oder $OA \perp OB$. \begin{Small} \so{Anmerkung.} Bei der Auswerthung oder Vergleichung zweier Winkel durch Zahlen ist immer zu berücksichtigen, dass sie durch Bögen oder Flächen von Kreisen mit gleichen Radien gemessen werden, falls man sie nicht einzeln durch die Masszahlen an ihren Kreisen ausdrückt. \end{Small} \subsection{18.} \begin{wrapfigure}{r}{3.45cm} \caption{\hskip1pt } \includegraphics*[width=3cm,height=3.45cm]{images/fig07} \end{wrapfigure} Zwei Ebenen, welche durch dieselbe Gerade gehen, bilden einen \so{Keil} (oder Flächenwinkel). Die Gerade heisst die \so{Kante}, die beiden durch sie halbbegrenzten Ebenen die \so{Seiten} des Keils. Errichtet man in einem beliebigen Punkt $A$ der Kante des Keils in den beiden Seiten Senkrechte $AB$ und $AC$ auf die Kante, so ist der Winkel $BAC$ von unveränderlicher Grösse für jede Lage des Punktes $A$; dieser Winkel ist daher das \so{Mass} des Keils. Es sei $A'$ ein beliebiger zweiter Punkt der Kante, $A'B'$ und $A'C'$ seien die Senkrechten in den Seiten des Keils %-----File: 028.png-------------------------------------------- $A''$ die Mitte der Strecke $AA'$ und $A''B''$ und $A''C''$ die zugehörigen Senkrechten in den Seiten. Man kann nun das Gebilde $B''A''C''$ $B'A'C'$ so mit dem Gebilde $C''A''B''$ $CAB$ zur Deckung bringen, dass die Geraden \[ A''B'',\;\; A''C'',\;\; A''A \] des einen Gebildes, mit den Geraden \[ A''C'',\;\; A''B'',\;\; A''A' \] des anderen Gebildes zusammenfallen, wodurch auch der Scheitel und die Schenkel des Winkels $BAC$ mit dem Scheitel und den Schenkeln des Winkels $C'A'B'$ zusammenfallen. \subsection{19.} Zwei Ebenen stehen auf einander \so{senkrecht}, wenn sie einen \so{rechten} Keil bilden. 1) Zieht man in einem beliebigen Punkte $A$ der Durchschnittslinie $a$ zweier senkrechten Ebenen $\mathfrak{A}$ und $\mathfrak{A'}$ eine Gerade $\alpha$ senkrecht auf die eine Ebene $\mathfrak{A}$, so liegt diese Gerade in der zweiten Ebene $\mathfrak{A'}$. 2) Ist eine Gerade auf einer Ebene $\mathfrak{A}$ senkrecht, so ist jede durch die Gerade gelegte Ebene $\mathfrak{B}$ auf der gegebenen Ebene $\mathfrak{A}$ senkrecht. 3) Die Durchschnittslinie $a$ zweier auf einer dritten Ebene $\mathfrak{B}$ senkrechten Ebenen $\mathfrak{A}$ und $\mathfrak{A'}$ steht auf derselben Ebene $\mathfrak{B}$ senkrecht. 4) Zwei Gerade $a$ und $a'$, welche auf einer Ebene $\mathfrak{A}$ senkrecht stehen, liegen in einer auf dieser senkrechten Ebene $\mathfrak{A'}$. Die Beweise dieser Sätze ergeben sich aus dem vorigen Art.~mit Zuziehung des Satzes, dass in einer Ebene in einem Punkt einer Geraden auf diese nur eine einzige Senkrechte möglich ist. %-----File: 029.png-------------------------------------------- \chapter[Zweites Buch.]{Zweites Buch.\\ Unendlicher Raum.} \subchapter{\so{Erster Abschnitt.}\\ Parallelen-Axiom und euclidische Geometrie.\footnote{In diesem Abschnitte sind alle bekannten und leicht beweisbaren Sätze, besonders, wenn sie sich nicht auf die Parallelentheorien beziehen, weggelassen. Ebenso sind alle nicht erklärten Bezeichnungen im gewöhnlichen Sinne zu nehmen.}} \section{Das geradlinige Dreieck.} \subsection{20.} \thispagestyle{empty} \begin{wrapfigure}{r}{4.9cm} \caption{\hskip1pt } \includegraphics*[width=4.9cm,height=2.5cm]{images/fig08} \end{wrapfigure} 1) Man kann jedes Dreieck $ABC$ in ein flächengleiches $ABE$ verwandeln, in welchem die Summe der Winkel $A$ und $E$ gleich dem Winkel $A$ des gegebenen Dreiecks $ABC$ ist. Verbindet man die Mitte $D$ der Seite $BC$ mit dem Punkt $A$ und macht die Verlängerung $DE = AD$, so ist \[ \Triangle ADC \cong \Triangle EDB; \] addirt man dazu das Dreieck $ABD$, so erhält man den obigen Satz. 2) Es sei $A$ der kleinste Winkel des Dreiecks $ABC$, dieser wird in zwei Theile $EAB$ und $EAC = AEB$ zerlegt, welche entweder gleich oder verschieden sein können. Wendet man das obige Verfahren auf das Dreieck $ABE$ derart an, dass man wieder den kleinsten Winkel in zwei Theile zerlegt, so erhält man ein neues Dreieck, dessen Fläche und Winkelsumme gleich ist der Fläche und Winkelsumme des ursprünglichen Dreiecks $ABC$ und in welchem %-----File: 030.png-------------------------------------------- zwei Winkel zusammen gleich oder kleiner sind als die Hälfte des kleinsten Winkels $A$ des gegebenen Dreiecks. Durch $n$-malige Anwendung dieser Operation erhält man ein Dreieck $LMN$, welches mit dem Dreiecke $ABC$ gleiche Fläche und Winkelsumme hat und in welchem die Summe zweier Winkel, etwa $M$ und $N$ kleiner ist als $A : 2^n$, also (für ein hinreichend grosses $n$) kleiner gemacht werden kann als jede noch so kleine gegebene Grösse. Daraus folgt: Die Summe der drei Winkel eines Dreiecks $ABC$ kann nicht grösser sein als zwei Rechte. Denn wäre die Winkelsumme $= 2 R + \alpha$, so könnte man aus dem Dreiecke $ABC$ ein Dreieck $LMN$ erhalten, in welchem die Summe zweier Winkel kleiner als $\alpha$, der dritte Winkel also grösser als $2 R$ sein müsste. Die Summe der Winkel eines Dreiecks ist daher entweder gleich oder kleiner als zwei Rechte. Der Aussenwinkel eines Dreiecks ist entweder gleich oder grösser als die Summe der beiden inneren nicht anliegenden Winkel. \bigskip \subsection{21.} \begin{wrapfigure}{r}{4.8cm} \caption{\hskip1pt } \includegraphics*[width=4.8cm,height=2.3cm]{images/fig09} \end{wrapfigure} Durch einen Punkt $B$ ausserhalb einer Geraden $AA'$ kann man eine Gerade $BM$ derart ziehen, dass sie mit der Geraden $AA'$ einen beliebig kleinen Winkel bildet. Man ziehe willkürlich die Gerade $BC$, welche mit der Geraden $AA'$ den spitzen Winkel $ACB$ bildet, mache $CD=BC$, so ist in dem gleich\-schenk\-li\-gen Dreieck $BCD$ nach Art.~20 der Winkel $D \leqq \frac{1}{2} ACB$. Durch fortgesetzte Wiederholung dieser Construction erhält man schliess\-lich eine Gerade $BM$, die mit der Geraden $AA'$ einen Winkel bildet, der kleiner ist als jede beliebig kleine Grösse. \bigskip \subsection{22.} \begin{wrapfigure}[7]{r}{3.3cm} \caption{\hskip1pt } \includegraphics*[width=3.3cm,height=2.25cm]{images/fig10} \end{wrapfigure} Ist in \so{einem} Dreieck $ABC$ die Summe der Winkel gleich zwei Rechte, so ist auch die Summe der Winkel eines \so{jeden} Dreiecks gleich zwei Rechte. 1) Be\-trägt die Winkelsumme des Dreiecks $ABC$ zwei %-----File: 031.png-------------------------------------------- Rechte, so beträgt dieselbe auch in jedem vom Dreieck $ABC$ abgeschnittenen Dreiecke wie $ADC$, $ADE$ zwei Rechte. Denn würde die Winkelsumme der Dreiecke $ADC$ und $DBC$ resp.\ $2R - x$ und $2R - y$ betragen, so erhielte man durch Addition der Winkelsummen der beiden Dreiecke $2R-(x+y)$ als Winkelsumme des Dreiecks $ABC$. Dasselbe gilt auch vom Dreiecke $ADE$. 2) Zerlegt man das Dreieck $ABC$ durch die Höhe $CD$ in zwei rechtwinklige Dreiecke, so kann man eines derselben, etwa $ADC$ durch Anlegung eines congruenten zu einem Viereck $ADCE$ ergänzen, in welchem jeder Winkel ein rechter ist. \begin{wrapfigure}{r}{3.3cm} \caption{\hskip1pt } \includegraphics*[width=3.3cm,height=2.25cm]{images/fig11} \end{wrapfigure} Aus dem Vierecke $ADCE$ kann durch fortgesetzte Anlegung des gegebenen ein anderes Viereck mit vier rechten Winkeln und den in eine Ecke zusammenpassenden Seiten von der Länge $mAE$ und $EC$ und aus diesem wieder ein Viereck mit abermals vier rechten Winkeln und den in eine Ecke zusammenstossenden Seiten $mAE$ und $nEC$, wo $m$ und $n$ beliebig grosse Zahlen sind, erhalten werden. Dieses Viereck wird durch eine Diagonale in zwei congruente rechtwinklige Dreiecke getheilt, für welche die Winkelsumme je $2R$ beträgt. Von einem solchen Dreieck kann man jedes beliebige andere rechtwinklige abschneiden; die Winkelsumme eines jeden rechtwinkligen, also auch jedes beliebigen Dreiecks beträgt daher zwei Rechte. Daraus folgt mit Berücksichtigung des Art.\ 20, 2): die Summe der Winkel eines Dreiecks ist entweder in jedem Dreieck \so{gleich} zwei Rechte oder sie ist in jedem Dreieck \so{kleiner} als zwei Rechte. Die Entscheidung, welche von diesen beiden Annahmen in der Wirklichkeit stattfindet, steht im Zusammenhang mit der Untersuchung der einander nicht schneidenden Geraden, welche in derselben Ebene liegen. %-----File: 032.png-------------------------------------------- \section{Nicht schneidende Gerade in derselben Ebene, parallele Gerade.} \subsection{23.} 1) Zwei Gerade $AA'$ und $BB'$, welche von einer dritten Geraden $AB$ derart geschnitten werden, dass die Summe der innern Winkel, welche auf derselben Seite der schneidenden Geraden $AB$ liegen, zwei Rechte beträgt, können sich nicht schneiden. \begin{wrapfigure}{r}{3cm} \caption{\hskip1pt } \includegraphics*[width=2.2cm,height=4.3cm]{images/fig12} \end{wrapfigure} Sind $AA''$ und $BB''$ die Rückverlängerungen von $AA'$ und $BB'$, so können die Gebilde $A'ABB'$ und $B''BAA''$ zur Deckung gebracht werden. Würden sich daher $AA'$ und $BB'$ schneiden, so müssten sich auch $AA''$ und $BB''$ schneiden. Es ist daher die Existenz von einander nicht schneidenden Geraden in derselben Ebene nachgewiesen. 2) Ist $C$ die Mitte von $AB$, und $DE$ eine beliebige durch $C$ gezogene Gerade, welche die Gerade $A'A''$ also (wegen der Congruenz der Gebilde $A'ABB'$ und $B''BAA''$) auch die Gerade $B'B''$ schneidet, so beträgt auch die Summe der beiden auf derselben Seite von $DE$ liegenden Winkel zwei Rechte. Aus \; $\Triangle CAD \cong \Triangle CBE$ \; folgt Winkel \; $ADC = CEB$, also \[ A'DE + B'ED = A'DE + (2R - A'DE) = 2R. \] \subsection{24.} \begin{wrapfigure}{r}{3.5cm} \caption{\hskip1pt } \includegraphics*[width=3cm,height=4.3cm]{images/fig13} \end{wrapfigure} Man kann nach dem vorigen Artikel in einer Ebene durch einen Punkt $A$ ausserhalb einer Geraden $B'B''$ mindestens \so{eine} die Gerade $BB'$ nicht schneidende Gerade $A'A''$ ziehen, indem man etwa $AB \perp B'B''$ und $A'A'' \perp AB$ zieht. Alle im Punkte $A$ halbbegrenzten Geraden auf derselben Seite der Geraden $AB$, welche ausserhalb des Streifens $A'A''$ und $B'B''$ fallen, schneiden die Gerade $BB'$ nicht; hingegen kann man innerhalb der halbbegrenzten Fläche $A'ABB'$ Gerade (wie $AC$ in der Figur) ziehen, welche %-----File: 033.png-------------------------------------------- die Gerade $BB'$ schneiden; d.~h.\ man kann alle auf derselben Seite der Geraden $AB$ liegenden im Punkte $A$ halbbegrenzten Geraden in zwei Classen bringen: 1) in solche, welche die Gerade $BB'$ nicht schneiden, und 2) in solche, welche die Gerade $BB'$ schneiden. Die gemeinsame Grenzlinie dieser beiden Classen wird die \so{Parallele} zur Geraden $BB'$ genannt; diese Grenzlinie ist nun entweder mit der Geraden $AA'$ identisch oder liegt innerhalb des Streifens $A'ABB'$, in diesem Falle sei etwa die Gerade $AD$ die Parallele. In jedem Falle besteht das Kennzeichen der Parallelen durch einen Punkt $A$ zu einer Geraden $BB'$ darin, dass sie der Geraden $BB'$ nicht begegnet, dass aber jede andere Gerade, wie z.~B.\ die Gerade $AC$, die man gegen die Gerade $BB'$ hin unter einem noch so kleinen Winkel resp.\ $CAA'$ oder $CAD$ mit der Parallelen zieht, die Gerade $BB'$ schneidet. Ist die Parallele die Gerade $AA'$, dann werden alle übrigen durch den Punkt $A$ gezogenen Geraden die Gerade $B'B''$ schneiden. Ist eine von $AA'$ verschiedene Gerade, etwa die Gerade $AD$ die Parallele, so mache man auf der entgegengesetzten Seite von $AB$ den Winkel $BAE = BAD$. Die Gerade $AE$ ist dann die Parallele zur Geraden $BB''$ und sind $AD'$ und $AE$ die Rückverlängerungen von $AD$ und $AE$, so werden alle innerhalb der Winkel $DAE'$ und $EAD'$ gezogenen Geraden (mit sammt ihren Rückverlängerungen) nicht schneidende Gerade zur Geraden $B'B''$ sein, während die übrigen Geraden (oder ihre Rückverlängerungen) die Gerade $B'B''$ schneiden. Man erhält in diesem Falle für den Punkt $A$ ausserhalb der Geraden $B'B''$ folgende Classen von Geraden: 1) \so{Schneidende} Gerade, 2) \so{Nichtschneidende} Gerade, 3) Zwei durch den Punkt $A$ gehende \so{parallele} Gerade, nämlich die Gerade $AD$ parallel zur Geraden $BB'$ und die Gerade $AE$ parallel zur Geraden $BB''$ (die Rückverlängerung von $BB'$). In diesem Falle muss man ausserdem die Richtung des Parallelismus berücksichtigen, während dies im vorigen Falle überflüssig ist. Dass die Gerade $AB$ --- in der Richtung von $A$ nach %-----File: 034.png-------------------------------------------- $B$ --- zur Geraden $CD$ --- in der Richtung von $C$ nach $D$ --- parallel ist, wird durch \[ AB \parallel CD \] bezeichnet. \subsection{25.} \begin{wrapfigure}[7]{r}{4.5cm} \vspace*{-0.5cm} \caption{\hskip1pt } \includegraphics*[width=4.5cm,height=2.7cm]{images/fig14} \end{wrapfigure} Aus der Definition für Parallele ergeben sich folgende Eigenschaften: 1) Eine Gerade $AA'$ ist an allen ihren Punkten zu einer Geraden $BB'$ parallel, d.~h.\ ist $AA' \parallel BB'$, so ist auch $A_1A' \parallel BB'$, $A_2A' \parallel BB'$,~.~.\ wo $A_1$, $A_2$,~.~.\ beliebige Punkte der nach beiden Richtungen unbegrenzten Geraden $AA'$ sind. \begin{itemize} \item[a)] Liegt der Punkt $A_1$ auf der Geraden $AA'$, so ziehe man die Gerade $A_1C$ unter einem beliebig kleinen Winkel $A'A_1C$. Für jeden Punkt $C$ der halbbegrenzten Geraden $A_1C$ schneidet die Gerade $AC$ die Gerade $BB'$ etwa in $D$. In das Dreieck $ABD$, wo $AB \perp BB'$ ist, tritt die unbegrenzte Gerade $A_1C$ ein, sie muss daher den Umfang desselben nochmals und zwar in einem Punkte der Seite $BD$, etwa in $E$, schneiden. \item[b)] Liegt der Punkt $A_2$ in der Rückverlängerung der Geraden $AA'$, so ziehe man die Gerade $A_2F$ unter einem so kleinen Winkel, dass die Gerade $AB$ in $F$ geschnitten wird. Macht man den Winkel $A'AD = A'A_2F$, so schneidet die unbegrenzte Gerade $A_2F$ den Umfang des Dreiecks $ABD$ nochmals und zwar in einem Punkte der Seite $BD$, etwa in $G$. \end{itemize} 2) Zwei Gerade sind stets gegenseitig parallel; d.~h.\ ist $AA'\parallel BB'$, so ist auch $BB'\parallel AA'$. Ist $AA'\parallel BB'$, so kann man für jeden beliebigen Punkt $A$ der Geraden $AA'$ einen Punkt $B$ der Geraden $BB'$ derart finden, dass Winkel $A'AB = B'BA$ ist. Nach Art.~22, kann man eine Gerade $AC$ so ziehen, dass der Winkel $A'AC < ACB'$ ist. Macht man auf der Geraden $CB$ von $C$ %-----File: 035.png-------------------------------------------- aus die Strecke $CD = AC$, so ist der Winkel $B'DA = DAC < DAA'$. Bewegt man nun den Punkt $C$ bis $D$, und verbindet seinen jedesmaligen Ort mit dem Punkte $A$, so erhält man für einen auf der Strecke $CB$ liegenden Punkt, etwa $B$, eine Verbindungslinie $AB$ derart, dass $A'AB = B'BA$ ist, woraus unmittelbar die Eigenschaft der Gegenseitigkeit des Parallelismus folgt. \begin{wrapfigure}{r}{4cm} \caption{\hskip1pt } \includegraphics*[width=4cm,height=3cm]{images/fig15} \end{wrapfigure} Ist $M$ die Mitte der Strecke $AB$, $MM' \perp AB$, so ist $MM' \parallel AA'$ und $MM' \parallel BB'$. Denn würde die Gerade $AA'$ die Gerade $MM'$ schneiden, so müsste auch die $BB'$ die $MM'$ in demselben Punkte schneiden. Zieht man $AC$ unter einem beliebig kleinen Winkel $A'AC$, so begegnet dieselbe der Geraden $BB'$, also auch der Geraden $MM'$. 3) Zwei Gerade $BB'$ und $CC'$, welche einer und derselben Geraden $AA'$ nach derselben Richtung parallel sind, sind zu einander parallel. \begin{itemize} \item[a)] Die drei Geraden $AA'$, $BB'$, $CC'$ liegen in derselben Ebene. \end{itemize} Dass die Geraden $BB'$ und $CC'$ sich nicht schneiden können, folgt unmittelbar daraus, weil sonst durch den Durchschnittspunkt nach derselben Seite mit der Geraden $AA'$ zwei Parallele möglich wären. Folgen die drei Geraden in der Ordnung $AA'$, $BB'$, $CC'$ auf einander, so ziehe man von einem Punkte $C$ der Geraden $CC'$ die Gerade $CD$ unter einem beliebig kleinen Winkel $C'CD$ gegen die Gerade $AA'$, welche also diese Gerade, etwa in $D$, mithin auch die Gerade $BB'$, etwa in $E$, schneidet. Folgen die Geraden in der Ordnung $BB'$, $AA'$, $CC'$ auf einander, so ziehe man von einem beliebigen Punkt der Geraden $BB'$ oder $CC'$, etwa vom Punkt $C$ der Geraden $CC'$, eine Gerade unter einem beliebig kleinen Winkel $DCC'$ gegen die Gerade $AA'$, welche also die Gerade $AA'$, etwa in $D$, schneidet. Die Verlängerung der Geraden $CD$ schneidet, wegen $AA' \parallel BB'$, die Gerade $BB'$ in einem Punkte, etwa in $E$. %-----File: 036.png-------------------------------------------- \begin{itemize} \item[b)] Die Ebenen $A'AB$ und $A'AC$ bilden mit einander einen Winkel. \end{itemize} Zunächst ist zu beweisen, dass die Geraden $BB'$ und $CC'$ in einer Ebene liegen. \begin{wrapfigure}{r}{3.3cm} \caption{\hskip1pt } \includegraphics*[width=3.3cm,height=3.6cm]{images/fig16} \end{wrapfigure} Ist $BD$ eine Gerade in der Ebene der Parallelen $AA'$ und $BB'$, so begegnet diese der Geraden $AA'$ etwa in $D$. Die Ebene $CBD$ begegnet der Ebene der Parallelen $AA'$ und $CC'$ in der Geraden $CD$. Man bewege die Ebene $CBD$ so lange, bis der Durchschnittspunkt $D$ verschwindet; dies ist der Fall, wenn die Gerade $BD$ mit der Geraden $BB'$, also die Ebene $CBD$ mit der Ebene $CBB'$ zusammenfällt. Auf gleiche Weise fällt dann die Ebene $BCD$ mit der Ebene $BCC'$ zusammen. Die Geraden $BB'$ und $CC'$ liegen daher in dieser Endlage der Ebene $BCD$. Dass $BB' \parallel CC'$ ist, folgt nun so: Wäre in der Ebene der Geraden $BB'$ und $CC'$ die Gerade $BB'' \parallel CC'$, so müssten (nach dem eben bewiesenen, wegen $AA' \parallel CC'$,) die Geraden $BB''$ und $AA'$ in derselben Ebene liegen; die beiden Ebenen $BB'CC'$ und $AA'BB'$ hätten dann zwei Gerade $BB'$ und $BB''$ gemeinsam, was unmöglich ist. \Paragraph{Zusatz.} Aus b) kann a) so erhalten werden: Es sei $DD'$ ausserhalb der Ebene $AA'$, $BB'$, $CC'$ und $DD' \parallel AA'$. Dann ist, wegen $AA' \parallel BB'$, $AA' \parallel DD'$, nach b) $DD' \parallel BB'$. Auf gleiche Weise folgt $DD' \parallel CC'$ und damit wieder nach b) $BB' \parallel CC'$. \section{Winkel zweier Parallelen mit einer schneidenden Geraden.} \subsection{26.} \begin{wrapfigure}{r}{2.7cm} \caption{\hskip1pt } \includegraphics*[width=2.7cm,height=3.5cm]{images/fig17} \end{wrapfigure} Ist für irgend zwei Parallele $AA'$ und $BB'$ die Summe der inneren Winkel $A$ und $B$ auf derselben Seite einer schneidenden Geraden $AB$ gleich zwei Rechte, so ist dies auch für jedes andere Paar Parallele $CC'$ und $DD'$ der Fall. Man kann nach Art.~23, 2) immer voraussetzen, dass der Winkel $A'AB = C'CD$ ist. %-----File: 037.png-------------------------------------------- Legt man die Figur $CC'DD'$ so auf die Figur $AA'BB'$, dass die Geraden $AA'$ und $CC'$, $CD$ und $AB$ in ihrer Richtung zusammenfallen, so falle der Punkt $D$ auf $E$ und die Gerade $DD'$ nach $EE'$. Liegt der Punkt $E$ auf der Strecke $AB$, so folgt nach Art.~25, 3) aus \[ AA' \parallel BB',\ CC' \text{ oder }AA' \parallel DD'\text{ oder }EE',\ AA' \parallel EE' \parallel BB'. \] Ist die Summe der inneren Winkel $A'AE + E'EA = 2R-x$, $E'EB + B'BE = 2R-y$, wo $x$ und $y$ positiv sind, so erhält man durch Addition \[ A'AB + B'BA = 2 R-(x + y), \] also \[ x + y = 0; \] was nur möglich ist, für $x = 0$ und $y = 0$. Fällt der Punkt $D$ in den Punkt $B$, so fällt die Gerade $DD'$ mit der Geraden $BB'$ zusammen. Fällt der Punkt $D$ ausserhalb der Strecke $AB$, so kann man aus der Figur $A'ABB'$, indem man mit ihr congruente Figuren zusammenfügt, eine derartige erhalten, dass der Punkt $E$ auf die Strecke $AB$ oder in den Endpunkt $B$ der neuen Figur fällt. Vergl.\ Art.~22. Daraus folgt, dass die Summe der inneren Winkel zweier Parallelen mit einer schneidenden Geraden entweder jedesmal zwei Rechte beträgt oder jedesmal kleiner als zwei Rechte ist. \section{Zusammenhang der Parallelen und der Winkelsumme des Dreiecks.} \subsection{27.} Beträgt die Summe der inneren Winkel zweier Parallelen mit einer schneidenden Geraden zwei Rechte, so ist durch jeden Punkt ausserhalb einer Geraden nur eine einzige Parallele möglich, und alle andern (in derselben Ebene) durch diesen Punkt gezogenen Geraden schneiden die gegebene Gerade. Unter dieser Voraussetzung beträgt auch die Winkelsumme eines jeden Dreiecks zwei Rechte. Zieht man nämlich durch eine Spitze, etwa $B$, die Gerade %-----File: 038.png-------------------------------------------- $B'B''$ parallel zur gegenüberliegenden Seite $AC$ des Dreiecks $ABC$, so ist \[ \text{Winkel } A = ABB',\ C = CBB', \] also \[ A + B + C = 2R. \] \begin{wrapfigure}{r}{5.4cm} \caption{\hskip1pt } \includegraphics*[width=5.4cm,height=2.7cm]{images/fig18} \end{wrapfigure} \Paragraph{Umgekehrt.} Be\-trägt die Winkelsumme eines Dreiecks zwei Rechte, so ist die Summe der inneren Winkel zweier Parallelen mit einer schneidenden Geraden gleich zwei Rechte. Wäre nämlich für $AA' \parallel BB'$ Winkel $A'AB + B'BA = 2R-\alpha$, so könnte man nach dem Art.~21 ein Dreieck $ABC$ construiren, in welchem der Winkel $C < \alpha$ vorausgesetzt werden kann, also der Winkel $ABC > ABB'$ sein müsste, was unmöglich ist, da $BC$ innerhalb der Figur $A'ABB'$ fallen muss. Die beiden Voraussetzungen: 1) die Summe der inneren Winkel zweier Parallelen mit einer schneidenden Geraden beträgt zwei Rechte, und 2) die Summe der Winkel eines Dreiecks beträgt zwei Rechte, sind daher mit einander identisch. Dasselbe gilt von der Voraussetzung: durch einen Punkt ausserhalb einer Geraden ist nur eine einzige, die gegebene Gerade nicht schneidende Gerade möglich. \section{Euclidische Geometrie.} \subsection{28.} Aus den Voraussetzungen des vorigen Artikels, welche mit dem sogenannten elften Axiom Euclid's »Zwei Gerade, welche von einer dritten so geschnitten werden, dass die beiden innern an einerlei Seite liegenden Winkel zusammen kleiner als zwei Rechte sind, schneiden sich hinreichend verlängert an eben dieser Seite« identisch sind, erhält man die gewöhnliche \so{»euclidische«} Geometrie. In dieser haben die Punkte der Parallelen gleiche Abstände, und umgekehrt: der Ort aller Punkte, welche von einer Geraden gleichen Abstand haben, ist eine zur ersteren parallele Gerade. Die euclidische Geometrie hielt man bis in dieses Jahrhundert als die einzig mögliche Form der Raumwissenschaft. %-----File: 039.png-------------------------------------------- Man huldigte fast allgemein der Ansicht, dass das Parallelen-Axiom eine Folge der Eigenschaft der Geraden, also mit Hülfe der übrigen Grundsätze und Axiome beweisbar sei\footnote {Dass die Einreihung dieses Satzes unter die Grundsätze (Axiome) nur auf einem Versehen einiger Handschriften über Euclid beruhte, hat H.~\so{Hankel} in seinen »Vorlesungen über complexe Zahlen und ihre Functionen« S.~52 nachgewiesen.}. Dass diese Beweisversuche erfolglos sein mussten, wird im zweiten Abschnitte dieses Buches nachgewiesen; hier mag nur bemerkt werden, dass die auf der erwähnten Ansicht basirten Parallelentheorien mit Ausnahme von \so{Legendre} kaum etwas wissenschaftlich Bemerkenswerthes zu Tage förderten. \subsection{29.} \begin{wrapfigure}[8]{r}{3cm} \caption{\hskip1pt } \includegraphics*[width=3cm,height=2.4cm]{images/fig19} \end{wrapfigure} Bei dem Unvermögen, einen wissenschaftlicher Strenge genügenden Beweis für das Parallelen-Axiom zu liefern\footnote {Eine ziemlich vollständige Zusammenstellung der hieher gehörigen Literatur findet man in dem Sohnke'schen Artikel »Parallel« der Encyklopädie von \so{Ersch} und \so{Gruber}. An diese reiht sich noch an % [** Typo Memoires] die Theorie von \so{Bouniakowsky} (Mémoires de l'~Académie de Pétersbourg. Série~VI, Sciences mat.\ et phys., tome~IV.), welche zugleich eine Kritik der Theorie des \so{Bertrand} von Genf enthält, und dessen Bemerkungen über die nicht-euclidische Geometrie (Mémoires\ldots\ Série~VII, tome~XVIII).}, ersetzte man dasselbe durch Voraussetzungen, die mehr Anschaulichkeit besitzen. Am meisten erwähnenswerth ist der Versuch von \so{Legendre}, welcher folgenden Satz voraussetzt: »Durch einen Punkt innerhalb der Schenkel eines spitzen Winkels kann immer eine Gerade derart gezogen werden, dass sie die beiden Schenkel des Winkels schneidet.« Damit lässt sich beweisen, dass die Summe der Winkel eines Dreiecks $ABC$ nicht kleiner als $2R$ sein kann. Man lege an das Dreieck $ABC$ das congruente $BCD$ an und ziehe durch $D$ eine Gerade $EF$, welche die Schenkel $AB$ und $AC$ schneidet. Wäre die Winkelsumme des Dreiecks $ABC = 2R - x$, die der Dreiecke $BDE$ und $CDF$ resp.\ $2R - y$ und $2R - z$, so wäre $2R - 2x - y - z$ die Winkelsumme des Dreiecks $AEF$, dieselbe also $< 2R - 2x$. Durch $n$malige Anwendung dieses Verfahrens erhält man ein Dreieck $AMN$, in welchem die Winkelsumme %-----File: 040.png-------------------------------------------- kleiner als $2R - 2^n x$, also für ein hinreichend grosses $n$ auch negativ sein könnte. \subsection{30.} Das anschaulichste Axiom hat W.\ \so{Bolyai}\footnote {Kurzer Grundriss eines Versuchs etc.\ S.\ 46 wird bei der Aufzählung der vom Parallelen-Axiom unabhängigen Sätze folgender aus der Theorie der Grenzflächen entnommene Satz ausgesprochen; »könnten jede 3 Punkte, die nicht in einer Geraden sind, in eine Sphäre fallen; so wäre das Eucl.\ Ax.~XI.\ bewiesen.«} ausgesprochen: »Drei Punkte, die nicht in einer Geraden liegen, liegen immer auf einer Kugelfläche.« \begin{wrapfigure}{r}{3.5cm} \caption{\hskip1pt } \includegraphics*[width=3cm,height=4cm]{images/fig20} \end{wrapfigure} Die beiden Voraussetzungen: »1) Drei Punkte, die nicht in einer Geraden liegen, liegen auf einer Kugelfläche; 2) drei Punkte, die nicht in einer Geraden liegen, liegen in dem Umfange eines Kreises« sind mit einander identisch. Denn die Senkrechte von dem Mittelpunkte der Kugel auf die Ebene der drei Punkte bestimmt den Mittelpunkt des Kreises, in dessen Umfang die drei gegebenen Punkte liegen; und umgekehrt: jeder Punkt der Senkrechten im Mittelpunkt des Kreises auf die Ebene dieser drei Punkte kann als Mittelpunkt der Kugel genommen werden. Es seien in einer Ebene die beiden Geraden $AA'$ und $BB'$ gegeben, ferner sei $C$ ein beliebiger Punkt der Geraden $BB'$ und die Gerade $CA \perp AA'$. Ist nun der Winkel $ACB'$ spitz, so schneiden sich die Geraden $AA'$ und $BB'$. Denn eine Senkrechte vom Punkte $A$ auf die Gerade $CB'$ bestimmt (durch ihren Fusspunkt und den Punkt $C$) auf letzterer eine Strecke von der Eigenschaft, dass für jeden beliebigen Punkt $B$ dieser Strecke der Winkel $ABB'$ spitz ist. Eine Gerade $BD \perp BB'$ fällt in das Innere des Winkels $ABC$ des Dreiecks $ABC$, schneidet daher hinreichend verlängert die Seite $AC$ in einem Punkte, etwa $D$. Verlängert man die Strecke $DA$ um $AE = DA$ und die Strecke $DB$ um $BF=DB$, so liegen die drei Punkte %-----File: 041.png-------------------------------------------- $D$, $E$, $F$ in dem Umfange eines Kreises: die Senkrechten vom Mittelpunkt desselben auf die Seiten $DE$ und $DF$ des Dreiecks $DEF$ sind mit den Geraden $AA'$ und $BB'$ identisch. Diese Geraden schneiden sich daher in einem Punkte. Daraus folgt (mit Zuziehung des Art.~26) unmittelbar der Beweis des elften euclidischen Axioms. \begin{Small} \so{Anmerkung.} Dass unter Voraussetzung der nichteuclidischen Geometrie nicht jede drei Punkte, die nicht in einer Geraden sind, in dem Umfange eines Kreises liegen, wird in der Anmerkung des Art.~52 näher erläutert. \end{Small} \subchapter{\so{Zweiter Abschnitt.}\\ Nichteuclidische Geometrie.} \section{Historische Bemerkungen.} \subsection{31.} Die Erfolglosigkeit aller Bemühungen eines Beweises des elften euclidischen Axioms haben schliesslich dahin geführt, die zweite noch mögliche --- diesem Axiom entgegenstehende --- Voraussetzung, »dass die Summe der innern Winkel zweier Parallelen mit einer schneidenden Geraden oder die Summe der Winkel eines geradlinigen Dreiecks kleiner als zwei Rechte ist«, zu untersuchen. Die consequente Durchführung der letzteren Voraussetzung liefert ebenfalls eine in sich widerspruchfreie Geometrie, welche von C.~F.\ \so{Gauss} (der sich seit 1792 damit beschäftigte) die \so{nichteuclidische}\footnote {Briefwechsel zwischen Gauss und Schumacher. Briefe vom Jahre 1831 und 1846; besonders interessant ist der Brief vom 12.~Juli 1831.}, von N.~\so{Lobatschewsky} die \so{imaginäre}\footnote {Zum erstenmale am 12.~Februar 1826 in einem Vortrag der phys.\ math.\ Facultät in Kazan auseinandergesetzt. Darstellungen dieser Theorie finden sich: Kazaner Bote 1829 und 1830. Gelehrte Schriften der Universität Kazan 1836--1838, welche das Hauptwerk (russisch) unter dem Titel »Neue Principien der Geometrie nebst einer vollständigen Theorie der Parallelen« enthalten. Géométrie imaginaire. Crelle J.~B.\ 17. Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien, Berlin 1840. Pangéometrie, ou Précis de Géométrie fondée sur une théorie générale des parallèles; Kazan 1855. Ins Italienische übersetzt von Battaglini (Giornale di Matematiche.\ Vol.~V). Eine neue vollständige Ausgabe der Schriften Lobatschewsky's wird gegenwärtig von M.~\so{Janichewsky} besorgt. Vergl.\ den Art.\ von Hoüel »Notice sur la vie et les travaux de N.~J.~Lobatschefsky« in dem Bulletin des sciences, tome~I, Paris.} und von J.~\so{Bolyai} die %-----File: 042.png-------------------------------------------- \so{absolute Raumlehre}\footnote {In dem Anhange zu dem »Tentamen« seines Vaters W.~Bolyai. Der vollständige Titel dieses Werkes lautet: »Tentamen Juventutem studiosam in elementa Matheseos purae, elementaris ac sublimioris, methodo intuitiva, evidentique huic propria, introducendi. Cum Appendice triplici. Auctore Professore Matheseos et Physices, Chemiaeque Publ.\ Ordinario. Tomus Primus. Maros Vásárhelyini 1832. Typis Collegii Reformatorum per \so{Josephum} et \so{Simeonem} \so{Kali} de Felsö Vist.« 8°. Mit 4 Kupfertafeln. Tentamen Juventutem etc.\, Tomus Secundus, ibidem 1833. Mit 10 Kupfertafeln. Dem ersten Bande folgt ein Anhang seines Sohnes mit folgendem Titel: »Appendix, scientiam spatii \textit{absolute veram} exhibens: a veritate aut falsitate Axiomatis XI Euclidei (a priori haud unquam decidenda) independentem; adjecta ad casum falsitatis, quadratura circuli geometrica. Auctore \so{Johanne Bolyai} de eadem, Geometrarum in Exercitu Caesareo Regio Austriaco Castrensium Capitaneo«. Derselbe enthält 26 Seiten Text mit einer Figurentafel und 2 Seiten Errata. Als ein Auszug und Bericht des Tentamen ist die Schrift: »Kurzer Grundriss eines Versuches, I) die Arithmetik, durch zweckmässig construirte Begriffe, von eingebildeten und unendlichkleinen Grössen gereinigt, anschaulich und logisch-streng darzustellen. II) In der Geometrie die Begriffe der geraden Linie, der Ebene, des Winkels allgemein, der winkellosen Formen und der Krummen, der verschiedenen Arten der Gleichheit u.\ dgl.\ nicht nur scharf zu bestimmen sondern auch ihr Sein im Raume zu beweisen: und da die Frage, \so{ob zwei von der dritten geschnittene Geraden, wenn die Summa der inneren Winkel nicht $= 2R$, sich schneiden oder nicht}? Niemand auf der Erde ohne ein Axiom, wie Euclid das XI., aufzustellen beantworten wird; die davon unabhängige Geometrie abzusondern, und eine auf die Ja-Antwort, andere auf das \so{Nein} so zu bauen, dass die Formeln der letzten auf einen Wink auch in der ersten gültig seien. --- Nach einem lateinischen Werke von 1829, Maros-Vásárhely, und eben daselbst gedrucktem ungarischen, Maros-Vásárhely 1851.« (8°, mit 88 Seiten Text) zu betrachten, welche auch einen Vergleich der Appendix mit Lobatschewsky's »Geometrische Untersuchungen« enthält. Sämmtliche Schriften von W. Bolyai sind ohne Namen des Verfassers erschienen. Eine ausführliche Biographie der beiden Bolyai hat \so{Franz Schmidt} in Grunerts Archiv, Theil XLVIII, gegeben. Französische und italienische Uebersetzungen der Appendix wurden resp.\ von J.~\so{Hoüel} und im Giornale di Matematiche Vol.~V geliefert.} genannt wurde. Eine Uebereinstimmung der beiden Geometrien kann nur in den auf die %-----File: 043.png-------------------------------------------- Congruenz allein sich stützenden Betrachtungen vorkommen, wobei jedoch zu beachten ist, dass die Congruenzen nicht vermittelst Sätze, die das Parallelen-Axiom voraussetzen, erhalten werden dürfen. In allen Theilen der Geometrie, welche sich auf eine Voraussetzung der Parallelen (oder der Winkelsumme des Dreiecks) stützen, muss --- wegen des Gegensatzes der euclidischen und nichteuclidischen Annahme --- zwischen den beiden Geometrien Verschiedenheit eintreten. Scheinbare Ausnahmen, d.~i.\ Ueberstimmung der beiden Geometrien in diesen Theilen werden sich aus der Stetigkeit der beiden Voraussetzungen erklären lassen\footnote {Ausser den bereits angeführten älteren Schriften sind höchst beachtenswerth: \so{Tilly}, Études de méchanique abstraite. Mémoires couronnés de l'Académie royale belgique; tome~XXI. A.~\so{Genocchi}, dei primi principii della meccanica e della geometria in relazione al postulato d'~Euclide, Firenze, 1869, Memoria estratta dei volumi dell' Accademia da XL residente in Modena, Serie~III, tomo~II, Parte~I. C.~\so{Flye} S$^\text{te}$ \so{Marie}, Études analytiques sur la théorie des parallèles. Paris, 1871.}. \section{Parallele, Nichtschneidende und Linien gleichen Abstandes.} \subsection{32.} Aus der Voraussetzung des Stattfindens der nichteuclidischen Geometrie ergeben sich für die parallelen Geraden folgende Eigenschaften: \begin{wrapfigure}{r}{3cm} \caption{\hskip1pt } \includegraphics*[width=3cm,height=1.7cm]{images/fig21} \end{wrapfigure} 1) Ist $A$ ein Punkt ausserhalb einer Geraden $BB'$, $AA' \parallel BB'$ und $AB \perp BB'$ so heisst der Winkel $A'AB$ zwischen der Parallelen $AA'$ und der Senkrechten $AB$ der \so{Parallelwinkel}\footnote {Nach \so{Lobatschewsky}.}. Nimmt die Distanz $AB$ zu oder ab, so nimmt der Parallelwinkel ab oder zu. Ist nämlich $CB < AB$, so muss für $CC' \parallel BB'$ der Winkel $C'CB > A'AB$ sein. Denn wäre $C'CB = A'AB$ oder $C'CB > A'AB$, so wäre für die Parallelen $AA'$ und $CC'$ die Summe der innern Winkel $A$ und $C$ gleich oder grösser als zwei Rechte. Für \so{jede} Distanz $p$ (eines Punktes von einer Geraden) gibt es also \so{einen} bestimmten Parallelwinkel und umgekehrt. Man bezeichnet den %-----File: 044.png-------------------------------------------- der Distanz $p$ entsprechenden Parallelwinkel durch $\Pi(p)$. Für $p = 0$ wird $\Pi(p) = R$, da die Parallele mit der Geraden $BB'$ zusammenfällt; nähert sich $p$ dem Unendlichen, so nähert sich $\Pi(p)$ dem Werthe Null. \begin{wrapfigure}[8]{r}{3.6cm} \vspace*{-0.25cm} \caption{\hskip1pt } \includegraphics*[width=3.6cm,height=2.7cm]{images/fig22} \end{wrapfigure} 2) Parallele nähern sich einander auf der Seite ihres Parallelismus immer mehr. Sind nämlich $AB = A'B'$ und $\perp AA'$, so ist die Gerade $BB'$ eine nicht schneidende Gerade zur Geraden $AA'$. Denn ist $C$ die Mitte der Strecke $AA'$ und $CD \perp AA'$, so können die Vierecke $ACDB$ und $A'CDB'$ zur Deckung gebracht werden; es ist daher zugleich $CD \perp BB'$, also die Gerade $BB'$ eine nicht schneidende Gerade. Die Parallele $BB''$ liegt näher gegen die Gerade $AA'$, sie begegnet also der Senkrechten $A'B'$ in einem Punkte $B''$ derart, dass $A'B'' < A'B'$ ist. Die Distanzen der Punkte einer Geraden von einer ihr Parallelen werden daher in der Richtung des Parallelismus immer kleiner --- die zugehörigen Parallelwinkel also immer grösser; man sagt daher auch: Zwei Parallele schneiden sich im Unendlichen. Die zwischen zwei Parallelen enthaltene (unbegrenzte) Fläche der unbegrenzten Ebene wird ein \so{Streifen} genannt. Zwei Streifen können zur Deckung gebracht werden. \subsection{33.} Der Ort aller Punkte, welche von einer Geraden gleichen Abstand haben, ist eine krumme Linie. In dem Vierecke $ACDB$ der Figur des vorigen Art.\ ist der Winkel $B$ spitz. Trägt man auf der Geraden $CD$ die Strecke $CE = AB = A'B'$ ab, so fällt der Punkt $E$ auf die Verlängerung der Strecke $CD$. Das Viereck $ACEB$ kann nämlich mit dem Viereck $CABE$ zur Deckung gebracht werden, woraus die Gleichheit der Winkel $B$ und $E$ folgt; jeder dieser Winkel ist daher spitz, also liegt der Punkt $E$ ausserhalb der Strecke $CD$. Eine Linie, deren Punkte $B$, $E$, $B'$~.~.\ von einer Geraden $AA'$ gleichen Abstand haben, ist daher keine Gerade. Den gleichen Strecken $AC$ und $CA'$ %-----File: 045.png-------------------------------------------- der Geraden $AA'$ entsprechen gleiche Stücke $BE$ und $EB'$ dieser krummen Linie. Ist der constante Abstand gleich Null, so fällt die Linie mit der Geraden zusammen; je grösser der Abstand wird, desto kleiner werden die Winkel der Sehne $BE$ mit den Senkrechten $AB$ und $CE$, da, wie aus Art.~22, 1)~hervorgeht, von zwei Vielecken von gleich viel Seiten, von denen das eine innerhalb des andern liegt, das kleinere die grössere Winkelsumme hat. Nähert sich der Punkt $B'$ immer mehr dem Punkte $B$, so werden die Winkel $B$ und $B'$ immer grösser, die Gerade $BB'$ nähert sich immer mehr der Tangente im Punkte $B$. Die Tangente in $B$ steht daher auf der Geraden $BA$ senkrecht. \subsection{34.} Zwei nicht schneidende Gerade haben einen kleinsten Abstand. \begin{wrapfigure}{r}{3.1cm} \caption{\hskip1pt } \includegraphics*[width=3.1cm,height=1.85cm]{images/fig23} \end{wrapfigure} Jede Verbindungslinie des Punktes $B$ mit einem Punkte, etwa $M$, der Strecke $B'B''$ (des Art.~32, 2) ist eine nicht schneidende Gerade. Die Entfernungen der Punkte der Geraden $BM$ von der Geraden $AA'$ nehmen in der Richtung $BM$ ab, diese Abnahme kann nicht unbegrenzt sein, weil sich sonst die beiden Geraden $AA'$ und $BM$ schneiden müssten; es können auch nicht die Punkte irgend einer Strecke gleichen Abstand haben, weil man sonst ein Viereck wie $AA'B'B$ erhielte, in welchem die Senkrechten in $A$, $A'$, $C$ gleich wären, jedes der Vierecke $ACDB$ und $A'B'DC$ hätte dann vier Rechte. Es muss daher für einen gewissen Punkt $Q$ der Geraden $BM$ die Entfernung $QP$ von der Geraden $AA'$ eine kleinste sein, dabei muss $PQ \perp BM$ sein, weil sonst die Senkrechte von $P$ auf die Gerade $BM$ kleiner wäre. Die beiden Figuren $APQB$ und $A'PQM$ sind congruent; versinnlicht man sich (nach Anmerkung des Art.~7) die beiden Geraden durch krumme Linien, so ist ihr Verhalten so wie in der beigegebenen Figur. %-----File: 046.png-------------------------------------------- \section{Winkelsumme und Fläche des Dreiecks.} \subsection{35.} Die Linien gleichen Abstandes gestatten eine Auffindung der Beziehung zwischen der Winkelsumme und der Fläche eines geradlinigen Dreiecks. \begin{wrapfigure}{r}{3cm} \caption{\hskip1pt } \includegraphics*[width=3cm,height=2.3cm]{images/fig24} \end{wrapfigure} 1) Sind $AB$ und $CD$ die beiden Linien gleichen Abstandes $h$ von einer gegebenen Geraden $PQ$, so wird jede Strecke $MN$ zwischen diesen Linien von der Geraden $PQ$ im Punkte $O$ halbirt. Denn zieht man $MM'$ und $NN' \perp PQ$, so ist \[ \Triangle OMM' \cong \Triangle ONN', \] also \[ MO = ON. \] Aus dieser Congruenz erhält man ausserdem \[ \text{Winkel }AMN = MND. \] Daraus folgt: Die Summe der drei Winkel eines Dreiecks $MNR$, dessen eine Seite $NR$ ein Stück einer Linie $CD$ gleichen Abstandes von einer Geraden $PQ$ und dessen gegenüberliegende Spitze $M$ ein Punkt der zweiten Linie $AB$ desselben gleichen Abstandes von der Geraden $PQ$ ist, beträgt zwei Rechte. Denn es ist \[ N + M + R = AMN + NMR + RMB = 2R. \] Zieht man die Sehne $NR$, so beträgt also die Winkelsumme des geradlinigen Dreiecks $MNR$ weniger als zwei Rechte. 2) Macht man den Bogen $MS = NR$, so kann man auf das (gemischtlinige) Viereck $NRMS$ die Sätze für die (geradlinigen) Parallelogramme der gewöhnlichen Geometrie anwenden. Daraus folgt: Alle Dreiecke, welche eine Sehne $NR$ eines Bogens der einen Linie $CD$ gleichen Abstandes von der Geraden $PQ$ als Grundlinie und ihre Spitze in einem beliebigen Punkte $M$ der anderen Linie $AB$ (desselben) gleichen Abstandes haben, sind flächengleich und haben dieselbe Winkelsumme. \Paragraph{Zusatz.} Damit kann man die auf die Verwandlung von Dreiecken in flä\-chen\-glei\-che bezüglichen Aufgaben lösen; z.~B.: %-----File: 047.png-------------------------------------------- \begin{itemize} \item[a)] Ein Dreieck in ein gleichschenkliges zu verwandeln. \item[b)] Ein Dreieck in ein rechtwinkliges zu verwandeln u.~s.~w. \end{itemize} \subsection{36.} Zwei flächengleiche Dreiecke $ABC$ und $ABD$, welche dieselbe Grundlinie $AB$ haben, haben gleiche Winkelsumme. \begin{wrapfigure}{r}{3.8cm} \vskip-15pt \caption{\hskip1pt } \includegraphics*[width=3.8cm,height=3.1cm]{images/fig25} \end{wrapfigure} Sind $M$ und $N$ die Mitten der Seiten $AC$ und $BC$, so sind die Abstände der Punkte $A$, $B$, $C$ von der Geraden $MN$ einander gleich, etwa $= h$. Alle Dreiecke, welche die gemeinsame Grundlinie $AB$ und ihre Spitze in der durch den Punkt $C$ gezogenen Linie $PQ$ vom gleichen Abstand $= h$ haben, sind flächengleich und haben gleiche Winkelsumme. Es ist also zu beweisen, dass der Punkt $D$ in der Linie $PQ$ liegt.\footnote {Der Punkt $D$ ist in der Figur, weil er mit dem Punkte $E$ als identisch nachgewiesen wird, nicht bezeichnet; ebenso sind einige überflüssige Linien weggelassen worden.} Dieser Beweis geschieht indirect. Wäre $D$ kein Punkt dieser Linie, so ziehe man die Gerade $BD$. 1) Schneidet die Gerade $BD$ die Gerade $MN$, so schneidet sie auch die Linie $PQ$, etwa im Punkte $E$. Aus \begin{align*} \Triangle ABC &= \Triangle ABE\\ \Triangle ABC &= \Triangle ABD, \intertext{folgt} \Triangle ABE &= \Triangle ABD, \end{align*} was unmöglich ist, wenn der Punkt $D$ auf der Strecke $BE$ liegt. 2) Schneidet die Gerade $BD$ nicht die Gerade $MN$, so nehme man für den Punkt $C$ den Durchschnittspunkt der Senkrechten in der Mitte der Seite $AB$ mit der Linie $PQ$, d.~h.\ man setze das Dreieck $ABC$ als gleichschenklig voraus. Nun wähle man auf den Geraden $MA$ und $NB$ die Punkte $M'$ und $N'$ derart, dass $MM' = NN'$ ist und die Gerade $BD$ die Gerade $M'N'$ schneidet. Legt man durch den Punkt $C'$, wo $M'C' = M'A$ vorausgesetzt ist, eine Linie $C'E'$ gleichen %-----File: 048.png-------------------------------------------- Abstandes zur Geraden $M'N'$, welche der Geraden $BD$ im Punkte $E'$ begegnet, so ist \begin{alignat*}{2} & \Triangle ABC' &&= \Triangle ABE'\\ & \Triangle ABD &&< \Triangle ABE'\\ & \Triangle ABC' &&< \Triangle ABC, \intertext{also auch} & \Triangle ABD &&< \Triangle ABC, \end{alignat*} was gegen die Voraussetzung ist. Der Punkt $D$ der Geraden $BD$ muss daher in die Linie $PQ$, etwa nach $E$, fallen. \Paragraph{Zusatz.} Nicht congruente Dreiecke von gleicher Grundlinie $AB$ und gleicher Höhe sind nicht flächengleich. Die Linien gleichen Abstandes durch den Punkt $C$ zu den Geraden $AB$ und $MN$ sind verschieden. \subsection{37.} 1) Zwei flächengleiche Dreiecke $ABC$ und $A'B'C'$ haben gleiche Winkelsumme. \begin{wrapfigure}{r}{2.9cm} \caption{\hskip1pt } \includegraphics*[width=2.9cm,height=3cm]{images/fig26} \end{wrapfigure} Man kann die Voraussetzung machen, dass in beiden Dreiecken die Geraden durch die Mitten $M$ und $N$, $M'$ und $N'$ der Seiten $AC$ und $BC$, $A'C'$ und $B'C'$ auf den Seiten $AC$ und $A'C'$ senkrecht stehen. Ist $AC < A'C'$, so bestimme man in der Linie $CD$ gleichen Abstandes zur Geraden $MN$ den Punkt $D$ derart, dass $AD = A'C'$ wird. Aus der Gleichheit der Flächen der Dreiecke $ABC$ und $A'B'C'$, $ABC$ und $ABD$, also auch der der Dreiecke $A'B'C'$ und $ABD$, folgt nach dem vorigen Artikel die Gleichheit der Winkelsummen der Dreiecke $ABC$, $ABD$, $A'B'C'$. 2) Zwei Dreiecke $ABC$ und $A'B'C'$, welche gleiche Winkelsumme haben, sind flächengleich. Wäre $\Triangle ABC > \Triangle A'B'C'$, so sei $\Triangle ABE = \Triangle A'B'C$ wo der Punkt $E$ in der Seite $BC$ vorausgesetzt wird. Nach 1) haben die Dreiecke $ABC$ und $ABE$ gleiche Winkelsumme, was nach Art.~22, 1) nur möglich ist, wenn die Winkelsumme des Dreiecks $ACE$ zwei Rechte beträgt. \subsection{38.} Die Flächen zweier Dreiecke verhalten sich wie die Unterschiede ihrer Winkelsummen von zwei Rechten; d.~h.\ ist %-----File: 049.png-------------------------------------------- \[ A + B + C= 2R - u,\; A' + B' + C' = 2R - u', \] so ist \[ \Triangle ABC : \Triangle A'B'C' = u:u'. \] Ist das Verhältniss der Flächen der Dreiecke gleich dem Verhältnisse der Zahlen $m$ und $m'$, so theile man das Dreieck $ABC$ durch Gerade von der Spitze $C$ aus in $m$ gleiche Dreiecke $\alpha$ und analog das Dreieck $A'B'C'$ durch Gerade von der Spitze $C'$ aus in $m'$ gleiche Dreiecke $\alpha'$. Aus \[ \Triangle ABC = m\alpha,\; \Triangle A'B'C' = m'\alpha' \] folgt die Gleichheit der Flächen und Winkelsummen der Dreiecke $\alpha$ und $\alpha'$. Ist $2R - E$ die Winkelsumme eines dieser Dreiecke, so erhält man für die Winkelsumme des Dreiecks $ABC$ den Werth \[ m(2R - E) - (m - 1)2R = 2R - mE \] und für die Winkelsumme des Dreiecks $A'B'C'$ den Werth $2 R - m'E$; es ist also \[ u = mE',\; u' = m'E \] und \[ u:u' = m:m'. \] Ist $f$ die Fläche des Dreiecks, so ist daher \[ f=\lambda u, \] wo $\lambda$ eine Constante ist. \subsection{39.} Aus dem vorigen Art.~folgt, dass $u=0$ wenn $f=0$ ist, und umgekehrt. Die Fläche eines Dreiecks verschwindet, wenn zwei Seiten endlich sind und die dritte verschwindet, oder wenn alle drei Seiten verschwinden (siehe Anhang, Art.~1). \begin{wrapfigure}{r}{3cm} \caption{\hskip1pt } \includegraphics*[width=3cm,height=1.7cm]{images/fig27} \end{wrapfigure} Dass der Grenzwerth der Winkelsumme eines Dreiecks, dessen Seiten sich dem Verschwinden nähern, zwei Rechte beträgt, kann auch unmittelbar ohne jede Parallelen-Voraussetzung bewiesen werden.\footnote {\so{Flye}, Études analytiques sur la théorie des parallèles. Paris, 1871.} Denn verschwinden die Seiten des Dreiecks $ABC$, so reducirt sich dessen Fläche auf einen Punkt $M$ und die Richtungen der Seiten auf drei durch diesen Punkt $M$ gehende Gerade $a$, $b$, $c$. Sind %-----File: 050.png-------------------------------------------- $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ die Grenzwerthe des Winkel des Dreiecks, so folgt, wegen \[ \alpha + \gamma' + \beta = 2R, \] da $\gamma'$ der zu $\gamma$ zugehörige Scheitelwinkel ist, \[ \alpha + \beta + \gamma = 2R. \] \begin{wrapfigure}[7]{r}{3.2cm} \vspace{-3cm} \caption{\hskip1pt } \includegraphics*[width=2.9cm]{images/fig28} \vspace{0.25cm} \caption{\hskip1pt } \hskip20pt\includegraphics*[width=2cm]{images/fig29} \end{wrapfigure} Für $A = B = C = 0$, wird die Fläche des Dreiecks ein \so{Maximum}. Um dieses Dreieck zu construiren, ziehe man in einem Punkte $A$ einer Geraden $A'A''$ die Gerade $AB \perp A'A''$ und die Geraden $CD$ und $EF$ derart, dass \begin{alignat*}{2} CD &\parallel AA'' &,\ DC &\parallel AB \\ EF &\parallel AA' &,\ FE &\parallel AB \end{alignat*} ist. Durch krumme Linien wird ein solches Dreieck durch die beistehende Figur versinnlicht. \begin{Small} \so{Anmerkung.} Die wirkliche Ausführung der eben erwähnten Construction der Parallelen $CD$ und $EF$ wird im Art.~68 gelehrt. \end{Small} \section{Unendlich ferne Funkte.} \subsection{40.} \begin{wrapfigure}{r}{3cm} \caption{\hskip1pt } \includegraphics*[width=1.9cm,height=3.5cm]{images/fig30} \end{wrapfigure} Die Voraussetzungen, dass in der euclidischen Geometrie durch jeden Punkt ausserhalb einer Geraden eine und in der nichteuclidischen Geometrie \so{zwei} Parallele möglich sind, sind mit den Voraussetzungen, dass jede Gerade \so{einen} resp.\ \so{zwei} unendlich ferne Punkte besitzt, identisch. Denn zieht man in der nichteuclidischen Geometrie durch den Punkt $A$ ausserhalb der Geraden $B'B''$ die beiden Parallelen $AD \parallel BB'$, $AE \parallel BB''$, so nähern sich die Punkte der Geraden $AD$ immer mehr denen der Geraden $BB'$ und ebenso die der Geraden $AE$ denen der Geraden $BB''$; man kann daher jede der Geraden $AD$ und $AE$ als eine die Gerade $B'B''$ in unendlich fernen Punkten schneidende Gerade betrachten. Diese beiden unendlich fernen Punkte müssen als verschiedene betrachtet werden, weil die beiden Geraden $AD$ und $AE$ in der nichteuclidischen Geometrie als zwei verschiedene vorausgesetzt %-----File: 051.png-------------------------------------------- werden. In der euclidischen Geometrie bilden die Geraden $AD$ und $AE$ eine einzige Gerade; lässt man nun das Princip der Geraden »dass sie durch zwei Punkte bestimmt ist« allgemein gelten, so erfordert die Erhaltung dieses Principes die Voraussetzung, dass die beiden unendlich fernen Punkte der Geraden $B'B''$ einen einzigen Punkt bilden, etwa als die beiden entgegengesetzten Seiten eines Punktes betrachtet werden. Zählt man die Strecken auf einer Geraden $B'B''$ von einem Punkte $B$ als Anfang positiv auf der einen, negativ auf der entgegengesetzten Seite, so kann man in der euclidischen Geometrie sowohl beim Durchgang durch den Punkt Null als auch beim Durchgang durch den Punkt Unendlich vom Positiven ins Negative gelangen, während in der nichteuclidischen Geometrie dieser Uebergang nur durch den Punkt Null möglich ist, da die beiden unendlich entfernten Punkte zwei getrennte Punkte sind. Nichts hindert jedoch diese Punkte durch ein ideales Stück einer Linie zu verbinden, deren Punkte vom Anfang der Zählung durch imaginäre Werthe bestimmt sind.\footnote {\so{Battaglini}, Giornale di Matematiche, t.~V, p.~22.} Dreht man die eben erhaltene Figur um die Gerade $AB$ als Axe, so beschreibt die Gerade $B'B''$ eine Ebene und jeder endlich liegende Punkt einen Kreis. In der euclidischen Geometrie fallen die unendlich fernen Punkte einer jeden Lage der Geraden $B'B''$ zusammen, ihr Inbegriff bildet daher eine Linie, die von jeder Geraden in einem einzigen Punkte geschnitten wird, d.~i.\ eine Gerade. In der nichteuclidischen Geometrie sind die beiden unendlichen Punkte einer jeden Lage der Geraden $B'B''$ getrennt und einander gegenüberliegend, ihr Inbegriff bildet einen Kreis, dessen Mittelpunkt ein beliebiger Punkt $B$ der Ebene ist und dessen Radius unendlich ist. Denkt man sich durch den Punkt $B$ sämmtliche Ebenen gelegt und für jede die unendlichen Punkte bestimmt, so bilden in der euclidischen Geometrie die unendlich fernen Punkte eine Fläche, die von jeder Geraden in einem (unendlich fernen) Punkte und von jeder Ebene in einer (unendlich fernen) Geraden geschnitten wird, d.~i.\ eine Ebene; während sie in %-----File: 052.png-------------------------------------------- der nichteuclidischen Geometrie eine Kugelfläche bilden, deren Mittelpunkt ein beliebiger Punkt $B$ des Raumes und deren Radius unendlich ist. \begin{Small} \so{Anmerkung 1.} Der Nutzen, den die unendlich fernen Punkte in der euclidischen Geometrie gewähren, ist hinreichend bekannt. Dieselben gestatten hauptsächlich die Zusammenfassung von Sätzen über sich schneidende und parallele Gebilde, die sonst getrennt behandelt werden müssten. Da der unendlich ferne Punkt kein auf der Geraden erreichbarer Punkt ist, so kann man denselben in der euclidischen Geometrie als Inbegriff aller auf der Geraden nicht erreichbaren Punkte erklären. Sind daher $A$, $B$ zwei beliebige gegebene Punkte einer Geraden, $M$ ihr unendlich entfernter Punkt, so bedeutet das Verhältniss $AM:BM$ die positive Einheit. In der nichteuclidischen Geometrie kann man die beiden unendlich entfernten Punkte einer Geraden in gleicher (aber entgegengesetzter) Entfernung von jedem endlichen Punkte derselben Geraden voraussetzen. \so{Anmerkung 2.} In den Beweisen der Sätze der Artikel 20, 21 u.~s.~w.\ ist die stillschweigende Voraussetzung der Unendlichkeit des Raumes gemacht. Unter dieser Voraussetzung und der eben gemachten für die unendlich fernen Punkte konnte auch das Princip der Geraden erhalten werden. Wird der Baum als unbegrenzt aber endlich vorausgesetzt, so kann dieses Princip für jede beliebige Lage zweier Punkte nicht mehr erhalten werden, wie dies in der Folge bewiesen wird. \end{Small} \section{Sätze aus der Stereometrie.} \subsection{41.} \begin{wrapfigure}{r}{3cm} \caption{\hskip1pt } \includegraphics*[width=2.8cm,height=4.2cm]{images/fig31} \end{wrapfigure} Ist eine Gerade $MA$ senkrecht auf einer Ebene und $BC$ eine beliebige Gerade dieser Ebene, so ist, wenn \begin{itemize} \item[a)] $AD \perp BC$ ist, auch $MD \perp BC$, \item[b)] $MD \perp BC$ ist, auch $AD \perp BC$. \end{itemize} Beweis: Macht man $DB = DC$, so erhält man \begin{flalign*} &\indent\quad\text{a) aus} & \Triangle ADB &\cong \Triangle ADC && \indent\phantom{a) aus}\\ &&\Triangle MAB &\cong \Triangle MAC.&&\\ &\indent\quad\text{b) aus} & \Triangle MDB &\cong \Triangle MDC && \phantom{b) aus}\\ &&\Triangle MAB &\cong \Triangle MAC.&& \end{flalign*} \so{Folgerungen:} 1) Von einem Punkte $M$ auf eine Ebene $\mathfrak{A}$ eine Senkrechte zu ziehen. Man ziehe in der Ebene $\mathfrak{A}$ eine beliebige %-----File: 053.png-------------------------------------------- Gerade $BC$ auf diese die Geraden $MD$ und (in der Ebene $\mathfrak{A}$) $DA$ senkrecht. Die Gerade $MA \perp DA$ ist die gesuchte Senkrechte. Denn die Gerade $BC$, also auch die Ebene $\mathfrak{A}$ ist senkrecht auf der Ebene $ADM$. 2) In einem Punkte $A$ einer Ebene $\mathfrak{A}$ eine Senkrechte zu errichten. Man ziehe von einem beliebigen Punkt $M$ ausserhalb der Ebene $\mathfrak{A}$ eine Senkrechte $MN$ auf die Ebene $\mathfrak{A}$. In der Ebene $MNA$ ziehe man $AB \perp NA$, so ist nach Art.~19, 4) $AB$ die gesuchte Senkrechte. \subsection{42.} \begin{wrapfigure}{r}{3cm} \vskip-40pt\hskip10pt \caption{\hskip1pt } \includegraphics*[width=3.1cm,height=3.5cm]{images/fig32} \end{wrapfigure} Die Durchschnittslinie $a$ zweier gegebenen Ebenen $\mathfrak{A}$ und $\mathfrak{A}'$ kann auf die folgende Art bestimmt werden: Die Senkrechten $MA$ und $MA'$ von einem beliebigen Punkt $M$ auf die Ebenen $\mathfrak{A}$ und $\mathfrak{A}'$ liegen in einer auf der Durchschnittslinie $a$ dieser Ebenen senkrechten Ebene $\mathfrak{B}$. Errichtet man auf die Geraden $MA$ und $MA'$ Senkrechte in der Ebene $\mathfrak{B}$ in den Punkten $A$ und $A'$, so schneiden sich diese in einem Punkte $X$ der Durchschnittslinie $a$. Eine Senkrechte im Punkte $X$ auf die Ebene $\mathfrak{B}$ ist die Durchschnittslinie $a$ der Ebenen $\mathfrak{A}$ und $\mathfrak{A}'$. \Paragraph{Zusatz.} Schneiden sich diese Senkrechten in den Punkten $A$ und $A'$ nicht, so schneiden sich auch nicht die Ebenen $\mathfrak{A}$ und $\mathfrak{A}'$. \subsection{43.} \begin{wrapfigure}{r}{2.5cm} \caption{\hskip1pt } \includegraphics*[width=2.55cm,height=2.7cm]{images/fig33} \end{wrapfigure} Der Durchschnitt einer Kugel mit einer Ebene ist ein Kreis. Drei gröss\-te Kreise bilden auf der Ku\-gel\-flä\-che \so{acht} sphärische Dreiecke, von denen immer je zwei gegenüberliegende, deren Spitzen also die Endpunkte dreier Durchmesser bilden, \so{flächengleich} sind. In zwei Gegendreiecken $ABC$ und $A'B'C'$ sind nämlich die Seiten und Winkel in derselben Ordnung aber im entgegengesetzten Drehungssinne einander gleich. Eine Senkrechte vom Mittelpunkte der Kugel auf die Ebene der drei Spitzen %-----File: 054.png-------------------------------------------- $A$, $B$, $C$ des einen Dreiecks trifft die Kugelfläche in den Punkten $D$ und $D'$ derart, dass \[ DA=DB=DC=D'A'=D'B'=D'C' \] ist. Die Dreiecke $DAB$, $DBC$, $DCA$ sind mit den Dreiecken $D'A'B'$, $D'B'C'$, $D'C'A'$ congruent, woraus die Gleichheit der Flächen der Dreiecke $ABC$ und $A'B'C'$ folgt. \subsection{44.} Die Summe der drei durch die Winkel des sphärischen Dreiecks bestimmten Zweiecke gibt die halbe Kugelfläche vermehrt um die doppelte Dreiecksfläche. Theilt man die ganze Kugelfläche in 360 gleiche Zweiecke (deren Winkel also je 1° beträgt), so erhält man für die Fläche des Dreiecks $ABC$ \[ f= \tfrac{1}{2} (A+B+C-180°), \] wo $A$, $B$, $C$ die in Graden ausgedrückten Winkel des Dreiecks sind. \section{Ebenen durch parallele Gerade.} \subsection{45.} Aus dem Satze des Art.~25, 3) folgt die Existenz des räumlichen Gebildes, erzeugt durch drei Ebenen, die sich in drei nach derselben Richtung parallelen Geraden schneiden, d.~i.\ eines Gebildes begrenzt von drei Streifen. Solche Gebilde bieten eine Reihe von Analogien mit dem ebenen Dreiecke der euclidischen Geometrie dar, wenn man die Seiten und Winkel des letzteren mit Streifen und Keilen des ersten vertauscht, wobei jedoch auf die Modificationen vermöge der Gleichheit aller unbegrenzten Streifen (Art.~32, 2) zu achten ist. Den beiden ersten Congruenzsätzen des Dreiecks können folgende Sätze gegenübergestellt werden: Zwei Streifen-Gebilde sind congruent, wenn sie \begin{itemize} \item[a)] den zwischen zwei gleichliegenden Streifen eingeschlossenen Keil, \item[b)] zwei einem Streifen anliegende Keile \end{itemize} wechselweise in derselben Ordnung und demselben Drehungssinne gleich haben. Für die Gleichheit der Lage der Streifen ist erforderlich, dass mit der Deckung des einen Paares zugleich %-----File: 055.png-------------------------------------------- die Deckung des zweiten Paares durch Drehung um die gemeinsame Kante (ohne Verschiebung) erfolgt. \subsection{46.} Schneiden sich drei Ebenen in parallelen Geraden, so ist die Summe der drei (innern) Keile nicht grösser als zwei Rechte. Sind $AA'$, $BB'$, $CC'$ parallele Gerade und $A$, $B$, $C$ die anliegenden Keile, so kann man in der durch die Gerade $AA'$ und die Mittellinie $DD'$ des Streifens $BB'$ und $CC'$ bestimmten Ebene eine Gerade $EE' \parallel AA'$ derart ziehen, dass die Gerade $DD'$ die Mittellinie der Geraden $AA'$ und $EE'$ ist. Der Durchschnitt des durch die Geraden $AA',~.~.\ EE'$ bestimmten Gebildes mit einer (durch einen beliebigen Punkt) auf der Geraden $DD'$ senkrechten Ebene gibt eine Figur wie in Art.~20. Alle Schlüsse dieses Artikels lassen sich auf das vorliegende Gebilde anwenden, indem man Winkel, Seite,,~.~.\ Dreieck,,~.~.\ mit Keil, Streifen,,~.~.\ von drei Streifen bestimmtes Gebilde,,~.~.\ vertauscht. \subsection{47.} 1) Zwei Ebenen $\alpha$ und $\beta$, welche von einer dritten Ebene in zwei parallelen Geraden $AA' \parallel BB'$ derart geschnitten werden, dass die Summe der beiden auf derselben Seite der schneidenden Ebene $AA'BB'$ liegenden Keile zwei Rechte beträgt, können sich nicht schneiden. 2) Ist $CC'$ die Mittellinie des Streifens $AA'BB'$, so beträgt für jede durch $CC'$ gelegte Ebene, welche die Ebene $\alpha$ also auch die Ebene $\beta$ schneidet, die Summe der beiden auf derselben Seite liegenden Keile zwei Rechte. Beweis von 1) ganz analog wie in Art.~23, 1). Für den Beweis von 2) kann man das eine der beiden erhaltenen Streifengebilde um die gemeinsame Kante $CC'$ derart drehen, dass es mit dem anderen zusammenfällt, worauf dann unmittelbar die Schlüsse des Art.~23, 2) angewendet werden können. \begin{Small} \so{Anmerkung.} Statt $CC'$ kann man jede zwischen $AA'$ und $BB'$ liegende parallele Gerade $C_1 C_1'$ nehmen. Nur muss man dann das eine Gebilde in der Geraden $C_1 C_1'$ so lange verschieben, bis $C_1 C_1'$ die Mittellinie von $AA'$ und $BB'$ wird. \end{Small} %-----File: 056.png-------------------------------------------- \subsection{48.} Ist die Summe der innern Keile, welche zwei beliebige durch zwei parallele Gerade $AA'$ und $BB'$ gelegte Ebenen $\alpha$ und $\beta$ mit der Ebene $AA'BB'$ der beiden Parallelen bilden, kleiner als zwei Rechte, so schneiden sich die beiden Ebenen $\alpha$ und $\beta$. 1) Es sei einer der beiden Keile, etwa der an der Ebene $\alpha$ ein Rechter, also der an der Ebene $\beta$ spitz. \begin{wrapfigure}{r}{2.9cm} \caption{\hskip1pt } \includegraphics*[width=2.9cm,height=2.6cm]{images/fig34} \end{wrapfigure} Zieht man $AC \perp BB'$, und in der Ebene $\beta$ $CD \perp BB'$, so ist der Winkel $ACD$ der Keil der Ebene $\beta$ mit der Ebene der Parallelen $AA'$ und $BB'$, also ein spitzer Winkel. Zieht man $AD \perp CD$, so ist daher die Strecke $AD < AC$ also auch $< AB$, wenn $BA \perp AA'$ vorausgesetzt wird. Eine Ebene $\gamma$ durch die Punkte $A$, $B$, $D$ schneidet die Ebene $\alpha$ in einer Geraden, etwa $AA''$, (wobei $BA \perp AA''$ ist) und die Ebene $\beta$ in der Geraden $BD$. Dreht man die Ebene $\gamma$ um die Gerade $AB$, so beschreibt die Gerade $AA''$ die Ebene $\alpha$ und, wenn diese Gerade mit der Geraden $AA'$ zusammenfällt, so fällt die Gerade $BD$ in die Ebene der Parallelen $AA'$ und $BB'$, wobei der Punkt $D$ zwischen $AA'$ und $BB'$ liegt. Die Gerade $BD$ schneidet in dieser neuen Lage die Gerade $AA'$ also schneidet auch die Gerade $BD$ in ihrer ursprünglichen Lage die Gerade $AA''$. Der Durchschnittspunkt liegt in den Ebenen $\alpha$ und $\beta$, letztere schneiden sich daher in einer Geraden. \begin{wrapfigure}{r}{2.7cm} \caption{\hskip1pt } \includegraphics*[width=2.7cm,height=2.45cm]{images/fig35} \end{wrapfigure} 2) Sind beide Keile der Ebenen $\alpha$ und $\beta$ spitz, so lege man durch die Mittellinie $CC'$ eine Ebene senkrecht auf die Ebene $AA'BB'$, welche also jede der Ebenen $\alpha$ und $\beta$, etwa $\alpha$ in der Geraden $JJ'$ und $\beta$ in der Geraden $KK'$, schneidet, wobei etwa $KK'$ näher der Geraden $CC'$ liegt. Die unbegrenzte Ebene $\beta$ geht (in der Geraden $KK'$) in das Innere des Streifengebildes der Parallelen $AA'$, $CC'$, $JJ'$, muss also die Ebene $\alpha$ beim Austritt in einer Geraden $LL'$ schneiden. Versinnlicht ist in der %-----File: 057.png-------------------------------------------- beistehenden Figur die Lage der Linien durch einen auf der Geraden $CC'$ senkrechten Schnitt. \begin{wrapfigure}{r}{2.9cm} \caption{\hskip1pt } \includegraphics*[width=2.9cm,height=2cm]{images/fig36} \end{wrapfigure} 3) Ist einer der Keile, etwa der an $\alpha$ stumpf, so lege man durch die Mittellinie $CC'$ die Ebene $\gamma \perp \alpha$, welche die Ebene $\alpha$ in der Geraden $A_1A_1'$ schneidet. Der Keil an $CC'$ des Streifengebildes $AA'$, $CC'$, $A_1 A_1'$ ist spitz, also auch sein Scheitelkeil. Die Ebene $\gamma$ schneidet daher die Ebene $\beta$ nach 2) in einer Geraden $B_1B_1'$. Nach dem vorigen Artikel kann auf die Ebenen $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ der Satz 1) angewendet werden. Versinnlichung analog wie in 2). \Paragraph{Zusatz.} Andere Beweise von 2) und 3): Sind a) die Keile der Ebenen $\alpha$ und $\beta$ spitz, oder ist b) ein Keil, etwa der an $\alpha$, stumpf, so lege man durch die Gerade $BB'$ eine Ebene $\gamma \perp \alpha$, welche derselben in den Geraden $A_1A_1' \parallel AA' \parallel BB'$ begegnet. Für den Fall a) erhält man unmittelbar, dass der Keil der Ebenen $\beta$ und $\gamma$ spitz ist. Für den Fall b) wird dies mit Zuziehung der vorigen Artikel nachgewiesen. Sind nämlich $\alpha$ und $\beta$ die Keile der Ebenen $\alpha$ und $\beta$ mit der Ebene $AA'BB'$, $\alpha'$ und $\beta'$ die ihnen anliegenden Keile des Streifengebildes $AA'$, $BB'$, $A_1A_1'$, so ist \begin{align*} & \alpha + \beta < 2R\\ &\alpha' + \beta' \leqq R, \end{align*} woraus durch Addition $\beta + \beta' < R$ folgt. Es schneiden sich daher die Ebenen $\alpha$ und $\beta$. Aus dem Vorhergehenden erhellet die Analogie der Gebilde erzeugt durch Ebenen, die sich in parallelen Geraden schneiden, mit den geradlinigen Figuren der euclidischen Planimetrie. Speciell erhält man: Die Summe der drei Keile von drei Ebenen, welche sich in parallelen Geraden schneiden, beträgt zwei Rechte. \subsection{49.} Bestimmt man auf den Geraden $AA' \parallel BB' \parallel CC'$ für einen gegebenen Punkt $A$ der Geraden $AA'$ die Punkte $B$ und $C$ auf den Geraden $BB'$ und $CC'$ derart, dass %-----File: 058.png-------------------------------------------- \[ A'AB = B'BA, A'AC = C'CA \] ist, so ist auch \[ B'BC = C'CB. \] \begin{wrapfigure}{r}{3.9cm} \caption{\hskip1pt } \includegraphics*[width=3.9cm,height=3.5cm]{images/fig37} \end{wrapfigure} 1) Die Geraden $AA'$, $BB'$ $CC'$ seien nicht in einer Ebene. Die Ebenen senkrecht durch die Mittellinien $DD'$ und $EE'$ der Streifen $AA'BB'$ und $AA'CC'$ schneiden sich in einer auf der Ebene $ABC$ senkrechten Geraden $FF' \parallel DD' \parallel EE'$. Ist $F$ der Durchschnittspunkt dieser Geraden mit der Ebene $ABC$, so ist $BF=AF=CF$.\footnote {Die drei Linien $AF$, $BF$, $CF$ sind der Deutlichkeit halber in der Figur weggelassen worden.} Zieht man $FG \perp BC$, so ist $BG = GC$ und die Gerade $BC$ senkrecht auf der Ebene $F'FG$ also auch senkrecht auf der Geraden $GG' \parallel FF'$. Die Geraden $BB'$ und $CC'$ sind parallel zur Geraden $GG'$ und dabei ist $GG'$ senkrecht in der Mitte $G$ der Strecke $BC$; es ist daher auch $B'BC = C'CB$. \Paragraph{Zusatz.} Der Punkt $F$ ist der Mittelpunkt des durch die drei Punkte $A$, $B$, $C$ gehenden Kreises. Von diesen drei Punkten kann der eine, etwa $A$, auf der Geraden $AA'$ willkürlich genommen werden, die beiden andern, $B$ und $C$, sind dann auf den Geraden $BB'$ und $CC'$ eindeutig bestimmt. 2) Sind die Geraden $AA'$, $BB'$, $CC'$ in derselben Ebene, so ziehe man die Gerade $DD' \parallel AA'$ ausserhalb dieser Ebene und bestimme in dieser Geraden den Punkt $D$ derart, dass $D'DA = A'AD$ ist. Dann folgt aus $D'DB = B'BD$ und $D'DC = C'CD$ die Gleichheit von $B'BC$ und $C'CB$. \begin{Small} \so{Anmerkung.} Die in den Artikeln 45--49 enthaltenen Sätze sind im absoluten Sinne richtig, d.~h.\ ohne Rücksicht auf das Parallelen-Axiom. \end{Small} \section{Grenzfläche, Grenzlinie.} \subsection{50.} Ist $AA'$ eine beliebige Gerade und bestimmt man auf jeder Geraden $MM' \parallel AA'$ zu einem gegebenen Punkt $A$ der %-----File: 059.png-------------------------------------------- ersten Geraden einen Punkt $M$ auf der Geraden $MM'$ derart, dass Winkel \[ M'MA = A'AM \] ist, so erhält man als den Ort der Punkte $M$ eine Fläche, welche die \so{Grenzfläche} heisst.\footnote {Nach \so{Lobatschewsky}, J.~\so{Bolyai} nennt sie die Fläche $F$. } Die Gerade $AA'$ heisst die \so{Axe} der Grenzfläche, und umgekehrt: die eben erhaltene Grenzfläche heisst »Grenzfläche für die Axe $AA''$«. Sind $B$ und $C$ zwei beliebige Punkte der Grenzfläche $BB' \parallel CC'$ nach der Richtung der Axe, so ist nach Art.~49 auch Winkel $B'BC = C'CB$; d.~h.\ man kann jede der parallelen Geraden $AA'$, $BB'$, $CC'$,~.~.\ als Axe der Grenzfläche betrachten. \subsection{51.} \begin{wrapfigure}{r}{3.1cm} \caption{\hskip1pt } \includegraphics*[width=3.1cm,height=3.2cm]{images/fig38} \end{wrapfigure} Der Schnitt der Grenzfläche mit einer durch eine Axe gelegten Ebene ist eine Linie, welche \so{Grenzlinie} genannt wird\footnote {J. \so{Bolyai} nennt sie eine Linie $L$ auf der Fläche $F$. }; jede Grenzlinie hat die Eigenschaft, dass die Senkrechten in den Mitten der Sehnen parallel den Axen sind. Um daher eine Grenzlinie zu erhalten zieht man zu einer gegebenen Geraden $AA'$ als Axe die Gerade $AB$ unter einem beliebigen Winkel $A'AB$ und wählt die Strecke $AC$ derart, dass die Gerade $CC' \perp AB \parallel AA'$ ist; macht man auf der Geraden $AB$ die Strecke $BC = AC$, so ist der Punkt $B$ ein Punkt der Grenzlinie. 1) Ist $A'AB = R$, so ist $AC$ also auch $AB = 0$, d.~i.\ die Tangente eines Punktes $A$ der Grenzlinie steht senkrecht auf der Axe; jede auf der Axe in $A$ nicht senkrechte Gerade, wie $AB$, schneidet die Grenzlinie in zwei Punkten ($A$ und $B$). 2) Die Grenzlinie ist aus congruenten Stücken zusammengesetzt; zieht man nämlich die Gerade $BD$ derart, dass $DBB' = BAA'$ ist und macht die Strecke $BD = AB$, so ist der Punkt $D$ ebenfalls ein Punkt der Grenzlinie. Die Grenzlinie ist zu beiden Seiten einer jeden Axe symmetrisch. %-----File: 060.png-------------------------------------------- Alle Grenzlinien sind congruent. Zwei Grenzlinien decken sich, wenn ein Punkt und dessen Axe der einen mit einem Punkte und dessen Axe der andern zusammenfällt. 3) Schneidet man auf den Axen $AA'$, $BB'$,~.~.\ gleiche Stücke $AA_1 = BB_1 =$~.~.\ ab, so liegen die Punkte $A_1$, $B_1$,~.~.\ in einer Grenzlinie. Denn man kann die Figur $A'ABB'$ mit der Figur $B'BAA'$ zur Deckung bringen, dabei fällt die Strecke $A_1B_1$ mit der Strecke $B_1A_1$ zusammen. Der Punkt $B_1$ ist daher ein Punkt der Grenzlinie für die Axe $A_1A'$. 4) Ein Kreis, dessen Halbmesser ins Unbegrenzte wächst, geht in die Grenzlinie über. (Der Beweis folgt unmittelbar aus Art.~32, 2.) \subsection{52.} Der Schnitt der Grenzfläche mit einer nicht durch eine Axe gelegten Ebene ist ein Kreis. Sind nämlich $A$, $B$, $C$ drei beliebige Punkte der Schnittlinie, so erhält man (nach Art.~49) in der Ebene $ABC$ einen Punkt $F$ derart, dass $FA = FB = FC$ und die Senkrechte $FF'$ im Punkte $F$ der Ebene $ABC \parallel AA'$, $BB'$, $CC'$ ist; der Punkt $F$ ist daher der Mittelpunkt des durch die Punkte $A$, $B$, $C$ gelegten Kreises. Dreht man die Ebene $F'FA$ um die Gerade $FF'$, so beschreibt die Gerade $FA$ die Ebene $ABC$ und der Punkt $A$ die durch die Punkte $A$, $B$, $C$ gelegte Kreislinie, deren Punkte sämmtlich auf der Grenzfläche liegen, da die Gerade $AA'$ immer parallel zur Geraden $FF'$ bleibt; ausser diesen Punkten liegt (nach Art.~32, 1)) kein Punkt der Ebene $ABC$ auf der Grenzfläche. Die Grenzfläche wird daher auch erhalten, indem man eine Grenzlinie um eine ihrer Axen dreht. Eine Kugel, deren Halbmesser ins Unbegrenzte wächst, geht in die Grenzfläche über. \begin{Small} \so{Anmerkung 1.} Unter Voraussetzung des elften euclidischen Axioms sind die Grenzlinie und Grenzfläche resp.\ mit der Geraden und Ebene, welche auf den Axen senkrecht stehen, identisch; in der nichteuclidischen Geometrie gehören sie zu den krummen Gebilden. Z.~B. Die drei Punkte $A$, $B$, $D$ der Grenzlinie des Art.~51 liegen nicht in einer Geraden. Durch zwei Punkte $A$ und $B$ einer Ebene sind in dieser zwei Grenzlinien möglich --- entsprechend den beiden entgegengesetzten Richtungen der Senkrechten in der Mitte der durch %-----File: 061.png-------------------------------------------- die beiden Punkte $A$ und $B$ bestimmten Strecke ---; durch drei Punkte, welche in dem Umfang eines Kreises liegen, sind zwei Grenzflächen bestimmt. Alle Punkte der Ebene, welche zugleich innerhalb der beiden Grenzlinien oder zugleich ausserhalb derselben liegen, können mit den beiden Punkten $A$ und $B$ nicht im Umfang eines Kreises liegen. Analog erhält man diejenigen Punkte des Raumes, welche mit zwei gegebenen Punkten nicht auf einer Kugelfläche liegen. \so{Anmerkung 2.} Die wirkliche Ausführung der in diesen Artikeln vorkommenden Constructionen --- deren Möglichkeit aus dem Vorhergehenden klar ist --- wird später (in den Art.~67--69) gegeben werden. \end{Small} \section{Figuren auf der Grenzfläche.} \subsection{53.} 1) Auf der Grenzfläche ist durch \so{zwei} Punkte \so{eine} Grenzlinie bestimmt. \begin{wrapfigure}{r}{2.6cm} \caption{\hskip1pt } \includegraphics*[width=2.6cm,height=2.3cm]{images/fig39} \end{wrapfigure} 2) Zwei Grenzlinien $AM$ und $BN$, deren Summe der innern Winkel, welche sie mit einer dritten sie schneidenden Grenzlinie $AB$ (auf derselben Seite der schneidenden) bilden, kleiner als zwei Rechte ist, schneiden sich. Denn die Ebenen der Grenzlinien $AM$ und $BN$ bilden mit der Ebene der Grenzlinie $AB$ innere Winkel, deren Summe kleiner als $2R$ ist, die beiden Ebenen schneiden sich nach Art.~48 in einer Geraden, also die Grenzlinien $AM$ und $BN$ in einem Punkte. 3) Aus 1) und 2) folgt: Auf der Grenzfläche gelten die Sätze der euclidischen Planimetrie, wenn man die Gerade durch die Grenzlinie und die Strecke durch das zwischen zwei Punkten enthaltene Stück der Grenzlinie ersetzt. Z.~B. \begin{itemize} \item[a)] Die Summe der drei Winkel eines (von drei Grenzbögen gebildeten) Dreiecks ist gleich $2R$. \item[b)] Der Umfang eines Kreises, dessen Radius das Stück $r$ eines Grenzbogens ist, beträgt $2\pi r$, wo $\pi = 3,14159\ldots$ ist. \end{itemize} \begin{wrapfigure}{r}{2.4cm} \vskip-25pt \caption{\hskip1pt } \includegraphics*[width=2.4cm,height=2.8cm]{images/fig40} \end{wrapfigure} Ist $O$ der Mittelpunkt des Kreises auf der Grenzfläche $M$ ein beliebiger Punkt des Umfanges, sind $MM' \parallel OO'$ die Axen der Punkte $M$ und $O$, so erhält man den Kreis durch Umdrehung des Grenzbogens $MO = r$ um $OO'$ als Axe. %-----File: 062.png-------------------------------------------- Ist $MP \perp OO'$, so beschreibt bei dieser Umdrehung die Gerade $MP = y$ einen Kreis von gleichem Umfange. Bezeichnet man den Umfang dieses Kreises mit $\mcirc y$, so ist also \[ \mcirc y = 2\pi r. \] \begin{Small} \so{Anmerkung.} Die goniometrischen Functionen und ihre Eigenschaften sind von jeder geometrischen Betrachtung unabhängig. Es bedeuten nämlich z.~B.\ $\sin x$, $\cos x$,~.~.\ die Reihen \begin{align*} \sin x &= x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots\\ \cos x &= 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots, \end{align*} welche sich auch in der Form geben lassen: \begin{align*} \sin x &= \frac{e^{xi} - e^{-xi}}{2i}\\ \cos x &= \frac{e^{xi} + e^{-xi}}{2}. \end{align*} Diese Reihen sind für jeden beliebigen Werth von $x$ convergent, besitzen alle Eigenschaften der in der euclidischen Geometrie eingeführten goniometrischen Functionen, also auch eine gemeinsame reelle Periode $= 2\pi$, wo $\pi = 3,14159\ldots$ die bekannte Ludolf'sche Zahl bedeutet. Die Zahl $x$ heisst Argument und entspricht dem Winkel zweier Geraden in der euclidischen Geometrie. Die Einheit von $x$ ist dadurch bestimmt, dass dem vollen Winkel $= 360°$ die Zahl $2\pi$ entspricht. Ist daher $x°$ der dem Argumente $x$ entsprechende Winkel (in Graden ausgedrückt), so ist \[ x : x° = 2\pi : 360°. \] Gleiches gilt auch von den sogenannten hyperbolischen Functionen \begin{align*} \fsin x &= \frac{e^x-e^{-x}}{2}\\ \fcos x &= \frac{e^x-e^{-x}}{2}, \text{\; u.~s.~w.}\\ \intertext{d.~i.\ von den Reihen} \fsin x &= x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots\\ \fcos x &= 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots, \end{align*} welche die Periode $2\pi i$ haben, und in der absoluten Geometrie die gleiche Verwendung finden wie die Kreisfunctionen in der gewöhnlichen Geometrie. (Siehe Anhang Art.~2.) %-----File: 063.png-------------------------------------------- Auf der Grenzfläche lässt sich daher die gewöhnliche ebene Trigonometrie und analytische Geometrie auf Gebilde, in welchen die Geraden (der gewöhnlichen Geometrie) durch Grenzlinien und die Strecken durch Grenzbögen ersetzt sind, unmittelbar anwenden. \end{Small} \section{Anwendung auf das geradlinige und sphärische Dreieck.} \subsection{54.} In jedem Dreiecke verhalten sich die Umfänge der Kreise, welche die Seiten zu Radien haben, wie die Sinuse der gegenüberliegenden Winkel. \begin{wrapfigure}{r}{3.4cm} \caption{\hskip1pt } \includegraphics*[width=3.4cm,height=3.8cm]{images/fig41} \end{wrapfigure} 1) Ist das Dreieck $ABC$ bei $C$ rechtwinklig, so ziehe man in einem der Punkte $A$ oder $B$, etwa in $A$, die Gerade $AA' \perp$ auf die Ebene $ABC$ und ziehe $BB'$, $CC' \parallel AA'$. Durch den Punkt $B$ lege man für $BB'$ als Axe eine Grenzfläche, welche den Geraden $AA'$ und $CC'$ in den Punkten $A_1$ und $C_1$ begegnet. Dadurch erhält man auf der Grenzfläche ein Dreieck $A_1BC_1$, in welchem der Winkel $A_1$ gleich ist dem Winkel $A$ des geradlinigen Dreiecks $ABC$. Es ist daher \begin{align*} BC_1 &= BA_1\sin A, \intertext{also auch} 2\pi BC_1 &= 2\pi BA_1\sin A. \end{align*} Die Umfänge $2\pi BC_1$ und $2\pi BA_1$ der Kreise auf der Grenzfläche sind resp.\ gleich den Umfängen $\mcirc BC$, $\mcirc AB$ der ebenen Kreise mit den Radien $BC$ und $AB$. Es ist daher \[ \mcirc BC = \mcirc AB\sin A. \] 2) Zerlegt man ein Dreieck durch die Höhen in rechtwinklige, so erhält man, wenn mit $a$, $b$, $c$ die Seiten und mit $A$, $B$, $C$ die ihnen ge\-gen\-ü\-ber\-lie\-gen\-den Winkel bezeichnet werden, \[ \mcirc\, a : \mcirc\, b : \mcirc\, c = \sin A : \sin B : \sin C. \] \subsection{55.} \begin{wrapfigure}[4]{r}{3.1cm} \vspace{-2.5cm} \caption{\hskip1pt } \includegraphics*[width=3.1cm,height=2.9cm]{images/fig42} \end{wrapfigure} Ist das sphärische Dreieck $ABC$ bei $C$ rechtwinklig, so ziehe man von einem der Punkte $A$ oder $B$, etwa von $B$, %-----File: 064.png-------------------------------------------- die Geraden $BA_1 \perp OA$, $BC_1 \perp OC$ und verbinde die Punkte $A_1$ und $C_1$, wodurch man das bei $C_1$ rechtwinklige Dreieck $A_1BC_1$ erhält, in welchem $A_1$ gleich dem Winkel $A$ ist. Nach Art.~54 ist \[ \mcirc BC_1 = \mcirc BA_1 \sin A. \] Aus den Dreiecken $OBA_1$ und $OBC_1$ folgt \[ \mcirc BA_1 = \mcirc\, OB\sin c,\quad \mcirc BC_1 = \mcirc\, OB\sin a; \] und damit durch Substitution in obige Gleichung \[ \sin a = \sin c\, \sin A. \] Aus dieser Gleichung folgt die ganze sphärische Trigonometrie, welche also vom Parallelen-Axiom unabhängig ist. (Siehe Anhang, Art.~3.) \section{Verhältniss zweier Grenzbögen.} \subsection{56.} Sind $AM$ und $A'M'$ zwei Grenzbögen, welche zwischen denselben Axen $AA'$ und $MM'$ liegen, so entsprechen nach Art.~51, 3) gleichen Sehnen $AB$ und $BC$ der ersten Grenzlinie gleiche Sehnen $A'B'$ und $B'C'$ der zweiten Grenzlinie, dabei ist \[ AA' = BB' = CC'. \] \begin{wrapfigure}{r}{3.7cm} \caption{\hskip1pt } \includegraphics*[width=3.7cm,height=2.2cm]{images/fig43} \end{wrapfigure} Theilt man den Grenzbogen $AM$ in $m$~gleiche Theile, so wird durch die Axen der Theilungspunkte der zugehörige Grenzbogen $A'M'$ ebenfalls in $m$~gleiche Theile getheilt; das Verhältniss zweier zusammengehörigen Grenzbögen ist daher von der Grösse der Bögen unabhängig --- also nur abhängig von der Entfernung $AA'$ der beiden Grenzlinien. Um dieses Verhältniss zu bestimmen, theile man die Entfernung $AA' = x$ in $n$~gleiche Theile; es sei $AA_1 = A_1A_2 = \cdots\ A_{n-1}A' = a$, ferner seien $AB = s$, $A_1B_1 = s_1$, $\ldots$, $A'B' = s'$ die den Theilungspunkten zugehörigen Grenzbögen. Dann ist %-----File: 065.png-------------------------------------------- \[ \frac{s}{s_1} = \frac{s_1}{s_2} = \cdots = \frac{s_{n-1}}{s_n} = \lambda, \] wo $\lambda$ das der Entfernung $a$ entsprechende Verhältniss zweier Grenzbögen ist. Multiplicirt man diese $n$ Gleichungen mit einander, so folgt \[ \frac{s}{s'} = \lambda^n. \] Ist $k$ die Entfernung zweier Grenzbögen, deren Verhältniss gleich einer gegebenen Zahl $e$ ist, so sei $k = ma$; dann ist \[ e = \lambda^m \text{ und } \lambda = e^{\frac{1}{m}}, \] also \[ \frac{s}{s'} = e^{\frac{n}{m}} = e^{\frac{x}{k}}. \] Diese Entfernung $k$ kann derart gewählt werden, dass die Zahl $e$ gleich der Basis des natürlichen Logarithmensystems \[ e = 2.718281828459 \ldots \] wird. \Paragraph{Zusatz.} Setzt man \[ e^{\frac{x}{k}} = \xi, \ e^{\frac{y}{k}} = \eta, \] so sind wegen \[ \xi \eta = e^{\frac{x+y}{k}}, \ \xi : \eta = e^{\frac{x-y}{k}} \] $\xi\eta$ und $\xi : \eta$ die den Entfernungen $x+y$ und $x-y$ entsprechenden Verhältnisse der Grenzbögen. \begin{Small} \so{Anmerkung.} Drückt man $x$ in Theilen von $k$ aus, so erhält man $s = s'e^x$. \end{Small} \subsection{57.} Sind $AB$ und $A'B'$ zwei Grenzbögen zwischen denselben Axen $AA'$ und $BB'$, so ist ihr Verhältniss bestimmt durch \[ AB : A'B' = \sin AA'B : \sin A'BB'. \] \begin{wrapfigure}[6]{r}{3.3cm} \vspace{-1.5cm} \caption{\hskip1pt } \includegraphics*[width=3.3cm,height=3cm]{images/fig44} \end{wrapfigure} Zieht man nämlich die Geraden $BD \perp AA'$, $A'E \perp BB'$, so ist \begin{align*} \mcirc BD &= \mcirc A'B \sin AA'B \\ \mcirc A'E &= \mcirc A'B \sin A'BB', \end{align*} also %-----File: 066.png-------------------------------------------- \[ \mcirc BD : \mcirc A'E = \sin AA'B : \sin A'BB'. \] Berücksichtigt man, dass \[ \mcirc BD = 2\pi AB, \quad \mcirc A'E = 2\pi A'B' \] ist, so erhält man unmittelbar den ausgesprochenen Satz. \section{Beziehung zwischen Distanz und Parallelwinkel.} \subsection{58.} Ist $p$ die Distanz eines Punktes von einer Geraden, $\Pi(p)$ der zugehörige Parallelwinkel, so ist \[ \cot \tfrac{1}{2} \Pi (p) = e^\frac{p}{k}. \] \begin{wrapfigure}{r}{3.2cm} \vskip-20pt \caption{\hskip1pt } \includegraphics*[width=3.2cm,height=1.9cm]{images/fig45} \end{wrapfigure} Der Beweis beruht auf folgenden Gründen: 1) Ist $A$ ein Punkt ausserhalb der Geraden $B'B''$, dabei $AB \perp B'B''$, $AA' \parallel BB'$, $AA'' \parallel BB''$, und sind $AC$, $BD$, $CE$ die Grenzbögen für die Axen $AA'$, $BB''$, $CB''$, so ist \[ AD = DE = BC. \] Denn zieht man den Grenzbogen $AF$ für die Axe $AA''$, so ist \[ CB = BF,\; CB = ED,\; BF = DA. \] \begin{wrapfigure}{r}{4.7cm} \vskip-20pt \caption{\hskip1pt } \includegraphics*[width=4.75cm,height=3.1cm]{images/fig46} \end{wrapfigure} 2) Es sei $AA' \parallel BB'$ und $A'AB = B'BA$. Ist $C$ die Mitte von $AB$, so ist $CC' \perp AB$ parallel zu $AA'$ und $BB'$. Ist $BB''$ die Verlängerung von $AB$, und $BD$ die Halbirungslinie des Winkels $B'BB''$, so kann man die Distanz $BD$ derart bestimmen, dass die Gerade $D'D'' \perp BD$ die Eigenschaft hat, dass \[ BB' \parallel DD',\; BB'' \parallel DD'', \] also auch $AB'' \parallel DD''$ und (wegen $AA' \parallel BB'$) $AA' \parallel DD'$ ist. Die Gerade $AE \perp D'D''$ halbirt daher den Winkel $A'AB$. 3) Beschreibt man eine Grenzlinie für $AA'$ als Axe, so geht diese durch den Punkt $B$ und schneidet die Gerade $D'D''$, etwa in $F$. Schneiden die Grenzlinien für die Axen %-----File: 067.png-------------------------------------------- $ED''$ und $FD''$ die Gerade $AB''$ in den Punkten $G$ und $H$, so ist nach 1) \[ AH = 2AG = 2GH. \] Ist ausserdem $K$ der Durchschnittspunkt der Geraden $AB''$ mit der Grenzlinie für die Axe $DD''$, so ist auf gleiche Weise \[ BH = 2BK = 2KH. \] Daraus folgt \[ AB = AH - BH = 2(AG - BK). \] 4) Setzt man $AB = 2p$, $AG = x$, $BK = y$, so ist \[ p = x - y. \] Nach Art.~57 folgt für die den Distanzen $AG$ und $BK$ entsprechenden Verhältnisse der Grenzbögen \begin{align*} &e^\frac{x}{k} = \sin R : \sin \tfrac{1}{2} \Pi (p) = 1 : \sin \tfrac{1}{2} \Pi (p)\\ &e^\frac{y}{k} = \sin R : \sin \tfrac{1}{2} [2R - \Pi (p)] = 1 : \cos \tfrac{1}{2} \Pi (p). \end{align*} Daraus erhält man nach Zusatz des Art.~56 \[ e^\frac{p}{k} = \cot \tfrac{1}{2} \Pi (p). \] \Paragraph{Zusatz.} Aus den Gleichungen \[ \sin \alpha = \frac{2\cot\dfrac{\alpha }{2} } %[**F2: Missing ^2?---------------------^^. PP: The equations don't hold either way...] { \cot\dfrac{\alpha^2}{2}+1 }, \quad \cos \alpha = \frac{ \cot\dfrac{\alpha^2}{2}-1 } { \cot\dfrac{\alpha^2}{2}+1 }, \] folgt \[ \sin \Pi (p) = \fsec \frac{p}{k}, \quad \cos \Pi (p) = \ftan \frac{p}{k}. \] \section{Linien und Flächen gleichen Abstandes.} \subsection{59.} Im Art.~33 ist bereits nachgewiesen worden, dass eine Linie $BB'$, deren Punkte von einer gegebenen Geraden $AA'$ gleichen Abstand $= h$ haben, eine krumme Linie ist. \begin{wrapfigure}{r}{2.9cm} \caption{\hskip1pt } \includegraphics*[width=2.9cm,height=2.8cm]{images/fig47} \end{wrapfigure} Es sei der Punkt $C$ die Mitte der Strecke $AA'$ und $E$ der zugehörige Punkt der Linie gleichen Abstandes, dreht man diese Linie um die Gerade $CE$ als Axe, so beschreibt sie eine Fläche, deren Punkte von der durch die Gerade $AC$ erzeugten Ebene gleichen Abstand $= h$ haben; diese Fläche heisst daher eine \so{Fläche %-----File: 068.png-------------------------------------------- gleichen Abstandes} $= h$. Jeder Punkt, z.~B.\ $B$, der Linie $BB'$ beschreibt dabei einen Kreis, dessen Punkte von dem durch den Punkt $A$ erzeugten Kreis gleichen Abstand haben. Das Verhältniss eines Stückes der Linie gleichen Abstandes zum zu\-ge\-hö\-ri\-gen Stück der Geraden ist von der Grösse dieser Stücke unabhängig; man kann daher dafür auch das Verhältniss der Umfänge dieser beiden Kreise setzen. Der erste Umfang ist $= \mcirc BD$, der zweite $= \mcirc AC$. Nun ist \[ \mcirc BD = \mcirc BC \sin BCE, \; \mcirc AC = \mcirc BC \sin ABC, \] also das erwähnte Verhältniss \[ \mcirc BD : \mcirc AC = \sin BCE : \sin ABC. \] Ist der Punkt $A$ fest und entfernt sich der Punkt $C$ immer mehr vom Punkte $A$, so wird der Winkel $ACB$ immer kleiner, der Winkel $BCE$ also immer grö\-sser, und, wenn der Punkt $C$ im Unendlichen liegt, so wird $BCE = R$ und $ABC = \Pi (AB) = \Pi (h)$. Es ist daher das erwähnte unveränderliche Verhältniss der Linie gleichen Abstandes zur zugehörigen Strecke ihrer Geraden \[ 1 : \sin \Pi (h) = \tfrac{1}{2}(e^\frac{h}{k} + e^{-\frac{h}{k}}) = \fcos \frac{h}{k}. \] Für $h = 0$ fällt die Linie $BB'$ mit der Geraden $AA'$ zusammen. Ist $BU \parallel EC$, so liegt die Gerade $BU$ näher zur Geraden $EC$ als (die nicht schneidende Gerade) $BA$; die Grenzlinie durch die Punkte $B$ und $B'$ (deren Tangente im Punkte $B$ auf der Geraden $BU$ senkrecht steht) liegt ausserhalb der Linie gleichen Abstandes. Sind die Punkte $B$ und $B'$ fest und legt man durch dieselben fortgesetzt für alle Abstände $h$ von $h = 0$ an bis $h = \infty$ die entsprechenden Linien gleichen Abstandes, so werden diese immer stärker gekrümmt (d.~h.\ die von ihnen und der zugehörigen Strecke $BB'$ bestimmten Flächenstücke werden immer grösser) und für $h = \infty$ geht die Linie gleichen Abstandes in die durch die Punkte $B$, $B'$ gelegte Grenzlinie über, deren Axe $BU \parallel DC$ ist; denn für $h = \infty$ ist das Verhältniss $= \infty$, also $AA' = 0$, d.~h.\ die Geraden $BA$ und $B'A'$ schneiden sich im Unendlichen. %-----File: 069.png-------------------------------------------- \Paragraph{Zusatz.} Setzt man $BCE = R - ACB$, so folgt für das obige Verhältniss \[ \cos ACB : \sin ABC = \fcos \frac{h}{k}; \] d.~h.\ wird in dem bei $A$ rechtwinkligen Dreieck $ABC$ die Seite $AB = h$ als unveränderlich vorausgesetzt, so bleibt das Verhältniss $\cos C : \sin B$ ebenfalls unveränderlich. \section{Kreisumfang.} \subsection{60.} \begin{wrapfigure}{r}{2.8cm} \caption{\hskip1pt } \includegraphics*[width=2.8cm,height=2.7cm]{images/fig48} \end{wrapfigure} Ist die Gerade $AB \perp AC$, so ist für jeden beliebigen Punkt $C_1$ der Geraden $AC$ zufolge des Zusatzes des vorigen Artikels \[ \cos ACB : \sin ABC = \cos AC_1B : \sin ABC_1, \] oder \[ \cos ACB : \cos AC_1B = \sin ABC : \sin ABC_1. \] Nun ist \begin{align*} \mcirc AC : \mcirc AB &= \sin ABC : \sin ACB\\ \mcirc AC_1 : \mcirc AB &= \sin ABC_1 : \sin AC_1B, \end{align*} also \[ \mcirc AC : \mcirc AC_1 = \frac{\sin ABC}{\sin ABC_1} : \frac{\sin ACB}{\sin AC_1B} \] oder nach der obigen Gleichung \[ \mcirc AC : \mcirc AC_1 = \cot ACB : \cot AC_1B. \] Beschreibt man die Grenzbögen $CD$ und $C_1D_1$ für die Geraden $CC'$ und $C_1C_1' \parallel AB$ als Axen, so ist das Verhältniss dieser Bögen \[ CD : C_1D_1 = \mcirc AC : \mcirc AC_1, \] also \[ CD : C_1D_1 = \cot ACB : \cot AC_1B. \] Setzt man der Kürze halber \begin{gather*} AC = y, \ \ AC_1 = y_1\\ CD = r, \ \ C_1D_1 = r_1\\ ACB = \varphi,\ \ AC_1B = \varphi_1, \end{gather*} es ist also \[ \mcirc\, y : \mcirc\, y_1 = r : r_1 = \cot \varphi : \cot \varphi_1. \] Wird $AB$ unendlich, so gehen die Winkel $\varphi$ und $\varphi_1$ in %-----File: 070.png-------------------------------------------- die den Abständen $y$ und $y_1$ entsprechenden Parallelwinkel $ACC'$ und $A C_1 C_1'$ über; es ist daher \[ r : \cot \Pi(y) = r_1 : \cot \Pi(y_1) = C, \] wo $C$ eine constante Zahl ist. Daraus folgt \begin{align*} r &= C \cot \Pi(y) = C \fsin \frac{y}{k},\\ \mcirc\, y &= 2 \pi r = 2 \pi C \fsin \frac{y}{k}. \end{align*} Um die Constante $C$ zu bestimmen, berücksichtige man, dass das Ver\-hält\-niss \[ \frac{r}{y} = \frac{C \fsin \dfrac{y}{k}}{y} \] für den Grenzwerth $y = 0$ in die Einheit übergeht. Es ist daher \[ \left. C = \frac{y}{\fsin \dfrac{y}{k}} \right\} \text{für } y = 0. \] Nun ist allgemein \[ \frac{\fsin \dfrac{y}{k}}{y} = \frac{1}{k} + \frac{y^2}{3!k^3} + \ldots, \] daraus folgt $C = k$ und \[ \mcirc\, y = 2 \pi k \fsin \frac{y}{k}. \] \section{Ebene Trigonometrie.} \subsection{61.} Für das bei $C$ rechtwinklige Dreieck $ABC$ erhält man aus Art.~54, 1) \[ \mcirc\, a = \mcirc\, c \sin A. \] Setzt man für $\mcirc\, a$ und $\mcirc\, c$ nach Art.~60 ihre Werthe, so ist \begin{align*} \tag*{\quad 1)} \fsin \frac{a}{k} &= \fsin \frac{c}{k} \sin A, \intertext{ebenso} \fsin \frac{b}{k} &= \fsin \frac{c}{k} \sin B. \end{align*} Ferner ist nach Art.~59, Zusatz \begin{align*} \tag*{\quad 2)} \cos A : \sin B &= \fcos \frac{a}{k}, \intertext{ebenso} \cos B : \sin A &= \fcos \frac{b}{k}. \end{align*} %-----File: 071.png-------------------------------------------- Aus diesen Gleichungen folgt \begin{align*} \tag*{\quad $1'$)} \sin A &= \frac{\fsin \dfrac{a}{k}}{\fsin \dfrac{c}{k}}\\ \tag*{\quad $2'$)} \cos A &= \fcos \frac{a}{k}\cdot \frac{\fsin \dfrac{b}{k}}{\fsin \dfrac{c}{k}}, \end{align*} welche Werthe in \[ \sin A^2 + \cos A^2 = 1 \] gesetzt, geben \[ \fsin \frac{c^2}{k} = \fsin \frac{a^2}{k} + \fcos \frac{a^2}{k} \fsin \frac{b^2}{k}. \] Addirt man zu beiden Seiten die Zahl 1, so erhält man mit Berücksichtigung, dass \begin{align*} \fcos x^2 &= 1 + \fsin x^2,\\ \fcos \frac{c^2}{k} &= \fcos \frac{a^2}{k} \fcos \frac{b^2}{k}; \end{align*} woraus, da $\fcos x$ für jeden reellen Werth von $x$ positiv ist, \[ \tag*{\quad 3)} \fcos \frac{c}{k} = \fcos \frac{a}{k} \fcos \frac{b}{k} \] folgt. Durch Division der Gleichungen 1') und 2') folgt \[ \tan A = \frac{\ftan \dfrac{a}{k} }{ \fsin \dfrac{b}{k}} \] oder \[ \tag*{\quad 4)} \ftan \frac{a}{k} = \fsin \frac{b}{k} \tan A. \] Aus den Gleichungen 2') und 3) folgt \[ \tag*{\quad 5)} \ftan \frac{a}{k} = \ftan \frac{c}{k} \cos B. \] Vermittelst der Gleichungen 1) bis 5) können sämmtliche auf das rechtwinklige Dreieck bezüglichen Aufgaben gelöst werden. \subsection{62.} Ein beliebiges Dreieck kann durch Zerlegung in zwei rechtwinklige aufgelöst werden, ebenso können aus den Formeln für das rechtwinklige Dreieck die für das beliebige %-----File: 072.png-------------------------------------------- Dreieck geltenden hergeleitet werden. Diese Ableitung wird durch folgende Bemerkung\footnote {\so{Lobatschewsky}, geometrische Untersuchungen, S.~60.} erleichtert: Die Formeln für das rechtwinklige geradlinige Dreieck gehen in die Formeln für das rechtwinklige sphärische Dreieck über, wenn man in den Verhältnissen der Seiten $\dfrac{a}{k}$, $\dfrac{b}{k}$, $\dfrac{c}{k}$ die Constante $k$ in $ki$ (wo $i = \sqrt{-1}$ ist) verwandelt und für $k$ den Radius der Kugel setzt. Man kann daher bei der Ableitung der allgemeinen Gleichungen der ebenen Trigonometrie aus denen des rechtwinkligen Dreiecks nicht nur denselben Gang einschlagen, wie bei der Ableitung der allgemeinen Gleichungen für das sphärische Dreieck aus denen des rechtwinkligen, sondern sogar aus den allgemeinen Gleichungen für das sphärische Dreieck die für das ebene erhalten, indem man für den Radius der Kugel die Constante $ki$ setzt, oder falls der Radius $= 1$ gesetzt ist, indem man $\dfrac{ai}{k}$, $\dfrac{bi}{k}$, $\dfrac{ci}{k}$ statt der Seiten $a$, $b$, $c$ setzt. Die Kreisfunctionen der Seiten verwandeln sich in hyperbolische Functionen, während die Functionen der Winkel ungeändert bleiben. Man erhält dadurch folgende Gleichungen der ebenen Trigonometrie \begin{align*} &\fsin \frac{a}{k} : \fsin \frac{b}{k} : \fsin \frac{c}{k} = \sin A : \sin B : \sin C\\ &\fcos \frac{a}{k} = \fcos \frac{b}{k} \fcos \frac{c}{k} - \fsin \frac{b}{k} \fsin \frac{c}{k} \cos A\\ &\fsin \frac{a}{k} \cos B = \fcos \frac{b}{k} \fsin \frac{c}{k} - \fsin \frac{b}{k} \fcos \frac{c}{k} \cos A\\ &\cos A \cos B + \cos C = \fcos \frac{c}{k} \sin A \sin B. \end{align*} \[ \tan \frac{u}{2} = \frac{\ftan \tfrac{1}{2} \dfrac{b}{k} \ftan \tfrac{1}{2} \dfrac{c}{k} \sin A}{1 - \ftan \tfrac{1}{2} \dfrac{b}{k} \ftan \tfrac{1}{2} \dfrac{c}{k} \cos A} \] \[ \tan \frac{u}{4} = \sqrt{ \ftan\tfrac{1}{2}\dfrac{s }{k} \ftan\tfrac{1}{2}\dfrac{s-a}{k} \ftan\tfrac{1}{2}\dfrac{s-b}{k} \ftan\tfrac{1}{2}\dfrac{s-c}{k} }. \] wo $a + b + c = 2s$, $\pi - (A + B + C) = u$ gesetzt wird. Die Auflösung der Aufgaben geschieht auf ganz ähnlichem %-----File: 073.png-------------------------------------------- Wege wie bei den entsprechenden Aufgaben der sphärischen Trigonometrie. \Paragraph{Zusatz.} Die vorstehenden Gleichungen stimmen mit den von Lobatschewsky gegebenen überein, wenn man statt \[ \fsin \frac{x}{k}, \fcos \frac{x}{k}, \ftan \frac{x}{k} \] resp. \[ \cot \Pi (x),\; 1 : \sin \Pi (x),\; \cos \Pi (x) \] setzt. Aus den Gleichungen 1) bis 3) erhält man für das rechtwinklige Dreieck \begin{align*} &\cot \Pi (a) = \cot \Pi (c) \sin A\\ &\sin \Pi (b) \cos B = \sin A\\ &\sin \Pi (c) = \sin \Pi (a) \sin \Pi (b), \end{align*} und analog für das schiefwinklige Dreieck \begin{align*} &\cot \Pi(a) : \cot \Pi(b) = \sin A : \sin B\\ &\cos A \cos \Pi(b) \cos \Pi(c) + \frac{\sin \Pi(b) \sin \Pi(c) }{ \sin \Pi(a)} = 1\\ &\cot A \sin B \sin \Pi(c) + \cos B = \frac{\cos \Pi(c) }{ \cos \Pi (a)}\\ &\cos A \cos B + \cos C = \frac{\sin A \sin B }{ \sin \Pi(c)}. \end{align*} \section{Unendlich kleine Figuren, absolute Geometrie im Sinne Bolyai's und Lobatschewsky's.} \subsection{63.} Setzt man in den vorhergehenden Formeln die Verhältnisse $\dfrac{a}{k}$, $\dfrac{b}{k}$, $\dfrac{c}{k}$ sehr klein voraus, so erhält man die Gleichungen \begin{align*} & a : b = \sin A : \sin B\\ & a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A\\ & c = a \cos B + b \cos A\\ & \cos A \cos B + \cos C = \sin A \sin B. \end{align*} Die beiden letzteren lassen sich auf die Form bringen \begin{align*} & a \sin (A + B) = c \sin A\\ & \cos (A + B) + \cos C = 0. \end{align*} Daraus folgt \begin{align*} a \sin (A + B + C) &= a \sin (A + B) \cos C + a \cos (A + B) \sin C\\ &= c \sin A \,[\cos C + \cos (A + B)] = 0, \end{align*} %-----File: 074.png-------------------------------------------- d.~h. \[ A + B + C = 2R. \] Die Formeln der nichteuclidischen Trigonometrie gehen also in die der euclidischen Trigonometrie über, wenn man die Verhältnisse der Seiten $a$, $b$, $c$ zur Grösse $k$ als sehr klein voraussetzt. Dieselben Resultate erhält man auch aus Art.~58, indem der Ausdruck \[ 1 : \sin \Pi (p) = 1 + \frac{p^2}{2k^2} + \ldots \] für sehr kleine Werthe des Verhältnisses $\dfrac{p}{k}$ in die Einheit übergeht, also \[ \Pi (p) = R \] wird. Ebenso geht das Verhältniss der Linie gleichen Abstandes zu ihrer Basis des Art.~59 für sehr kleine Werthe von $\dfrac{h}{k}$ in die Einheit über, wodurch für das bei $C$ rechtwinklige Dreieck $ABC$ folgt \[ \cos A : \sin B = 1 \text{ d.~h.\ } A + B = R. \] Diese Kleinheit der Verhältnisse tritt ein, wenn entweder für ein endliches $k$ die Seiten $a$, $b$, $c$ sehr klein sind, oder für endliche Seiten $a$, $b$, $c$ die Grösse $k$ als sehr gross vorausgesetzt wird. Aus der ersten Voraussetzung folgt: Für unendlich kleine Figuren gilt die gewöhnliche Geometrie unabhängig vom Parallelen-Axiom. Die zweite Voraussetzung gestattet die Auffassung der gewöhnlichen (euclidischen) Geometrie als speciellen Fall der nichteuclidischen Geometrie, indem man nur die Constante $k$ so gross voraussetzt, dass man für unsere Messungen mit den obigen genäherten Formeln ausreicht. Aus diesem Grunde kann die nichteuclidische Geometrie die \so{absolute} Geometrie genannt werden, indem sie vom Parallelen-Axiom, dessen Unbeweisbarkeit hier unmittelbar klar ist, als unabhängig betrachtet werden kann. \begin{Small} \so{Anmerkung.} Da das Nichtstattfinden der euclidischen Geometrie in der Wirklichkeit an grossen Figuren sich zeigen müsste, so hat \so{Lobatschewsky} aus astronomischen Beobachtungen Dreiecke gebildet, deren kleinste Seiten ungefähr von der Grösse der doppelten Entfernung der Erde von der Sonne waren. Als Resultat dieser Untersuchung hat sich ergeben, dass bei solchen Dreiecken die Winkelsumme %-----File: 075.png-------------------------------------------- noch immer nicht von zwei Rechten um eine solche Grösse abweicht, welche die aus den Beobachtungsfehlern herrührenden Grenzen übersteigt. (Siehe Anhang Art.~4.) Auch W.~\so{Bolyai} bemerkt, dass man sich wegen der Uebereinstimmung der auf das euclidische Axiom sich stützenden astronomischen Rechnungen mit den Beobachtungen in der Praxis mit um so grösserer Sicherheit der gewöhnlichen Geometrie bedienen könne. \end{Small} \subsection{64.} Aus dem Vorstehenden ist unmittelbar klar, in welchen Theilen die euclidische und die nichteuclidische Geometrie übereinstimmen. Dass dieses in allen auf Congruenz allein sich stützenden Beziehungen der Fall ist, wurde bereits im Art.~31 erwähnt. In Beziehungen, die eine Parallelen-Voraussetzung erfordern, kann eine Uebereinstimmung nur bei unendlich kleinen Figuren oder bei solchen endlichen, welche durch unendlich kleine ersetzt werden können, eintreten. Beispiele hierzu sind folgende Sätze: 1) Zwei Gerade $BB'$ und $CC'$, welche mit einer dritten $AA'$ nach derselben Richtung parallel sind, sind mit einander parallel. (Vergl.\ Art.~25, 3.) Man gehe in der Geraden $AA'$ (in der Richtung des Parallelismus) bis zu einem Punkte, dessen Entfernungen von den Geraden $BB'$ und $CC'$ unendlich klein sind (Art.~32, 2). Eine senkrechte Ebene auf die Gerade $AA'$ in diesem Punkte ist auch senkrecht auf $BB'$ und $CC'$, also $BB' \parallel CC'$. 2) Die Summe der drei Keile dreier Ebenen, die sich in parallelen Geraden schneiden, ist gleich zwei Rechte. Beweis wie 1). 3) Die sphärische Trigonometrie ist unabhängig vom Parallelen-Axiom. Man beschreibe eine concentrische Kugel mit unendlich kleinem Radius; durch das gegebene Dreieck ist ein unendlich kleines sphärisches Dreieck bestimmt, welches mit ihm gleiche Seiten und gleiche Winkel hat. Bei endlichen Figuren, die sich nicht durch unendlich kleine ersetzen lassen, müssen die unter Voraussetzung des euclidischen elften Axioms abgeleiteten Beziehungen von den unter Voraussetzung der nichteuclidischen Geometrie erhaltenen verschieden sein. \begin{Small} \so{Anmerkung.} Die Congruenz-Voraussetzung erfordert, dass für ein System der Geometrie die im Art.~56 eingeführte Grösse $k$ unveränderlich %-----File: 076.png-------------------------------------------- bleibt; denn $k$ bedeutet die bestimmte Entfernung zweier zusammengehöriger Grenzbögen, deren Verhältniss eine gegebene Zahl $= e$ ist. Für die verschiedenen Werthe von $k$ erhält man verschiedene Systeme der Geometrie, für $k = \infty$ erhält man die euclidische Geometrie. Im Falle des Stattfindens eines dieser Systeme der Geometrie in der Wirklichkeit, müsste für die Lösung der Aufgaben auf dem Wege der Rechnung die Grösse $k$ gegeben sein. Die Aufgaben der ebenen Trigonometrie und ihre Lösungen sind dann ganz analog denen der sphärischen Trigonometrie. \end{Small} \section{Aufgaben über Parallele und Nichtschneidende.} \subsection{65.} Sind $p = AB$ und $p' = A'B'$ die Entfernungen zweier Punkte $B$ und $B'$ von der Geraden $AA' \parallel BB'$, so ist $AA' = a$ gesetzt \[ \ftan \frac{p'}{k} = \ftan \frac{p}{k}e^{-\frac{a}{k}}. \] \begin{wrapfigure}{r}{2.9cm} \caption{\hskip1pt } \includegraphics*[width=2.9cm,height=1.95cm]{images/fig49} \end{wrapfigure} Denn zieht man $AC$ und $A'C' \perp BB'$, so ist \[ \fsin \frac{AC}{k} = \fsin \frac{AB}{k} \,\sin ABC \] oder, wegen $\sin ABC = 1 : \fcos \dfrac{p}{k}$, \[ \fsin \frac{AC}{k} = \ftan \frac{p}{k}; \] also ist \[ \fsin \frac{AC}{k} : \fsin \frac{A'C'}{k} = \ftan \frac{p}{k} : \ftan \frac{p'}{k}. \] Nun ist das erste Verhältniss gleich dem der Grenzbögen zu den Punkten $A$ und $A'$, d.~i.\ gleich $e^{-\frac{a}{k}}$. \subsection{66.} Ist die Gerade $BB'$ eine Nichtschneidende zur Geraden $AA'$, und $p$ der kleinste Abstand, so ist $AA' = a$ gesetzt, \[ \ftan \frac{p'}{k} = \ftan\frac{p}{k}\cos\frac{a}{k}. \] Denn es ist \begin{align*} &\ftan \frac{p\rlap{$'$}}{k} = \ftan\frac{AB'}{k}\cos AB'A'\\ &\ftan \frac{p}{k} = \ftan \frac{AB'}{k}\cos BAB' = \ftan\frac{AB'}{k}\sin A'AB', \end{align*} %-----File: 077.png-------------------------------------------- also \[ \ftan\dfrac{p'}{k} : \ftan \dfrac{p}{k} = \cos AB'A':\sin A'AB' =\fcos \frac{AA'}{k}. \] \subsection{67.} Aus dem Art.\ 59 ergibt sich unmittelbar die Lösung der Aufgabe: \begin{wrapfigure}{r}{2.5cm} \caption{\hskip1pt } \includegraphics*[width=2.5cm,height=3cm]{images/fig50} \end{wrapfigure} Durch einen Punkt $B$ ausserhalb einer Geraden $AC$ eine Parallele $BG$ zur Geraden $AC$ zu ziehen, d.~h.\ zu einer gegebenen Distanz den zugehörigen Parallelwinkel zu finden. Ist nämlich $BA \perp AC$, $BD \perp BA$, $D$ ein beliebiger Punkt der Geraden $BD$ und $DC \perp CA$, so ist \[ \mcirc BD : \mcirc AC = 1 : \sin \Pi(h), \] wo $h = AB$ der Abstand und $\Pi(h)$ der zugehörige Parallelwinkel ist. Da $1 > \sin \Pi(h)$ ist, so folgt $BD > AC$. Beschreibt man aus dem Punkte $C$ mit dem Radius $BD$ einen Kreis, so schneidet dieser die Gerade $AB$ in einem Punkte, etwa $F$. Im Dreiecke $ACF$ ist dann \[ \mcirc\, CF : \mcirc\, CA = 1 : \sin AFC, \] also \[ \Pi(h) = AFC. \] Zieht man durch den Punkt $B$ die Gerade $BG$ derart, dass der Winkel $ABG = AFC$ ist, so ist $BG \parallel AC$. \subsection{68.} Zu einem gegebenen Winkel als Parallelwinkel die zugehörige Distanz zu finden. \so{Hülfssätze:} 1) Sind von den drei Senkrechten $DD'$, $EE'$, $FF'$, welche in den Mitten $D$, $E$, $F$ der Seiten $AB$, $AC$, $BC$ eines Dreiecks $ABC$ errichtet sind, zwei zu einander parallel, so sind alle drei parallel. \begin{wrapfigure}{r}{3.9cm} \caption{\hskip1pt } \includegraphics*[width=3.9cm,height=3.4cm]{images/fig51} \end{wrapfigure} Zieht man von den Spitzen $A$, $B$, $C$ des Dreiecks parallele Gerade $AA'$, $BB'$, $CC'$ zu den beiden als parallel vorausgesetzten Senkrechten, so folgt der Beweis unmittelbar aus Art.~49, 2). %-----File: 078.png-------------------------------------------- 2) Sind $2a$, $2b$, $2c$ die Längen der den Winkeln $A$, $B$, $C$ gegenüberliegenden Seiten und ist $A$ der grösste Winkel, so finden in diesem Falle zwischen den Seiten und Winkeln folgende Gleichungen statt \begin{align*} A &= \Pi(b) + \Pi(c) \\ B &= \Pi(c) - \Pi(a) \\ C &= \Pi(b) - \Pi(a). \end{align*} 3) Macht man nun $A'AG = B'BC = \Pi(a)$, so schneiden sich die Geraden $AG$ und $BC$ in einem Punkte, etwa $G$; dabei ist im Dreieck $ACG$, wegen $GAC = \Pi(b) - \Pi(a) = C$, $AG = CG$. Daraus folgt die Lösung der vorliegenden Aufgabe auf folgende Art: Ist $B'BC$ der gegebene Winkel, so kann man (vermittelst des vorigen Artikels) für eine hinreichend kleine Distanz BD einen Parallelwinkel $B'BD > B'BC$ erhalten. Macht man $DA = BD$, $AA' \parallel BB'$, $A'AG = B'BC$ und (auf der Geraden $BC$) $GC = AG$, so bestimmt die Mitte $F$ der Strecke $BC$ die dem Winkel $B'BC$ entsprechende Distanz $BF$. \subsection{69.} Es sei die Gerade $AA' \parallel BB'$; zu einem gegebenen Punkte $A$ der Geraden $AA'$ soll der Punkt $B$ der Geraden $BB'$ derart bestimmt werden, dass Winkel $A'AB = B'BA$. \begin{wrapfigure}{r}{3.4cm} \caption{\hskip1pt } \includegraphics*[width=3.4cm,height=2.9cm]{images/fig52} \end{wrapfigure} Man ziehe ausserhalb der Ebene $AA'\:BB'$ die Gerade $CC' \parallel AA,$ mache $AC \perp CC'$, $CD = AC$ und $DD' \parallel CC'$. Durch die Gerade $CC'$ lege man eine Ebene derart, dass sie mit der Ebene $AA'CC'$ denselben Winkel bildet wie die Ebene $DD'BB'$ und bestimme nach Art.~42 ihre Durchschnittslinie $MM'$ mit der Ebene $AA'BB'$. Die Gerade $AB \perp MM'$ bestimmt den gesuchten Punkt $B$. Legt man nämlich durch den Punkt $A$ für die Axe $AA'$ eine Grenzfläche, so bilden auf derselben die vier Ebenen $AA'DD'$, $AA'BB'$, $DD'BB'$, $CC'MM'$ zwei ähnliche Grenzdreiecke, woraus (wegen $AC = CD$) $AM = MB$, also auch $A'AB = B'BA$ folgt. %-----File: 079.png-------------------------------------------- \begin{Small} Anmerkung. Durch die Lösung dieser drei Aufgaben ist die directe Ausführung der in den Art.~25, 2), 39, 49--51, 58, 2) u.~s.~w.\ vorkommenden Constructionen ermöglicht. \end{Small} \subsection{70.} Denkt man sich auf der Grenzfläche die Grenzbögen durch ihre Endpunkte allein bestimmt --- analog wie in der Ebene die Strecke ---, so kann auf die in dem vorigen Artikel enthaltenen Aufgaben die Lösung der nachstehenden zurückgeführt werden: 1) Einen Grenzbogen zu bestimmen, welcher gleich ist der Summe zweier durch ihre Endpunkte bestimmten Grenzbögen $AB$ und $CD$. Man bestimme nach Art.\ 67 die den Strecken $\frac{1}{2} AB$ und $\frac{1}{2} CD$ entsprechenden Parallelwinkel $\Pi(\frac{1}{2} AB)$ und $\Pi(\frac{1}{2} CD)$ und lege die Strecken $AB$ und $CD$ unter dem Winkel $\Pi(\frac{1}{2} AB) + \Pi(\frac12 CD)$ an einander. Der Anfangspunkt $A$ der ersten Strecke und der Endpunkt $D$ der zweiten Strecke bestimmen dann die beiden Endpunkte des gesuchten Grenzbogens. Auf analoge Art wird ein Grenzbogen bestimmt, welcher gleich ist dem Unterschiede zweier Grenzbögen. 2) Zu drei Grenzbögen $SA$, $AB$, $SC$ die vierte geometrische Proportionale $CD$ zu finden. Dazu dient dasselbe Verfahren wie in der euclidischen Planimetrie. Man lege in einer Ebene $\mathfrak{A}$ (vermittelst zweimaliger Anwendung des Art.~67) die Sehnen der Bögen $SA$ und $AB$ so an einander, dass die Punkte $S$, $A$, $B$ in einer Grenzlinie liegen, d.~h.\ dass der Winkel $SAB = \Pi(\frac{1}{2} SA) + \Pi(\frac{1}{2} AB)$ ist. Ist $SS'$ die Axe dieses Grenzbogens, so lege man durch dieselbe eine beliebige Ebene $\mathfrak{A}'$ und ziehe in dieser die Gerade $CC' \parallel SS'$ derart, dass $SC$ gleich der Sehne des dritten Bogens und der Winkel $S'SC = C'CS$, also $= \Pi(\frac{1}{2} SC)$ ist. Legt man durch $BB'$ eine Ebene unter derselben Neigung mit der Ebene $\mathfrak{A}$ wie die der Ebene $BB'CC'$ und bestimmt nach Art.~42 deren Durchschnittslinie $DD'$ mit der Ebene $\mathfrak{A}'$, so erhält man die gesuchte vierte Proportionale $CD$, wenn nach der Aufgabe des Art.~69 der Punkt $D$ derart bestimmt wird, dass Winkel $D'DC = C'CD$ ist. %-----File: 080.png-------------------------------------------- In ähnlicher Weise kann die mittlere geometrische Proportionale, u.~s.~w.\ construirt werden. Berücksichtigt man ausserdem die Sätze des Art.~53, so erhält man folgenden allgemeinen Satz: Auf der \so{Grenzfläche} kann man --- ohne Rücksicht auf das euclidische Axiom --- alle Constructionen ausführen, welche in der euclidischen Planimetrie möglich sind. Es ist also auch die Theilung von $4R$ in gleiche Theile in denselben Fällen möglich. \begin{wrapfigure}{r}{1.8cm} \caption{\hskip1pt } \includegraphics*[width=1.8cm,height=2.2cm]{images/fig53} \end{wrapfigure} \Paragraph{Beispiel.} Es sei $A'AB = \frac{1}{3} R$, ferner $AB$ so gewählt, dass $BB' \perp AB$ und $\parallel AA'$ ist; bestimmt man auf der Geraden $BB'$ den Punkt $C$ derart, dass $A'AC = B'CA$ ist, so ist $BC = x$ gesetzt, nach Art.~57 \[ e^{\frac{x}{k}} = 1 : sin \tfrac{1}{3} R = 2, \] also $x$ geometrisch construirt. Wählt man den Winkel $A'AB$ derart, dass \[ \sin A'AB = \frac{1}{e}\text{, d.\ i.\ }A'AB = 21°\: 35' \:5''.63 \] ist (was näherungsweise möglich ist), so wird $x = k$. \section{Punkt und Linien-Element in der Ebene.} \subsection{71.} \begin{wrapfigure}{r}{3.2cm} \caption{\hskip1pt } \includegraphics*[width=3.2cm,height=2cm]{images/fig54} \end{wrapfigure} Für die Bestimmung der Punkte einer Ebene denke man sich in derselben eine bestimmte unbegrenzte Gerade $XX'$ als \so{Axe} und in dieser einen bestimmten Punkt $O$ als \so{Anfang} gegeben. Um den Punkt $M$ zu bestimmen, ziehe man $MP \perp XX'$; die Strecken $OP = x$ und $PM = y$ bestimmen die Lage des Punktes $M$ eindeutig, wenn die Grösse $x$ auf der einen Seite des Punktes $O$ positiv, auf der entgegengesetzten negativ, die Grösse $y$ auf der einen Seite der Geraden $XX'$ positiv, auf der entgegengesetzten negativ genommen wird. %-----File: 081.png-------------------------------------------- Die Grössen $x$ und $y$ heissen die Coordinaten des Punktes $M$, es soll dies durch $M = (x,\, y)$ bezeichnet werden. Eine Gleichung $y = f(x)$, wo $y$ eine stetige Function von $x$ ist, hat zu ihrem geometrischen Orte eine stetige Linie. Ist $M'$ ein zweiter Punkt, sind $OP' = x'$ und $M'P' = y'$ dessen Coordinaten, so ist $PP' = x' - x = \Delta\, x$. Legt man durch den Punkt $M$ eine Linie $MN$ gleichen Abstandes $= y$ zur Geraden $XX'$, welche die Gerade $M'P'$ im Punkte $N$ schneidet, so ist $M'N = y' - y = \Delta\, y$. Dabei ist nach Art.~59 der Bogen \[ MN = \frac{1}{2} \fcos \frac{y}{k} \Delta\, x. \] Sind $M$ und $M'$ zwei unendlich nahe liegende Punkte, so erhält man für das unendlich kleine (bei $N$ rechtwinklige) Dreieck $MM'N$ \[ \overline{MM'}^2 = \overline{MN}^2 + \overline{M'N}^2 \] oder, wenn $MM' = ds$ gesetzt wird, \[ ds^2 = \fcos\frac{ y^2}{k} dx^2 + dy^2. \] Sind $M$ und $M'$ Punkte einer Linie, deren Gleichung $y = f(x)$ (oder $\varphi\, (x, \,y) = 0)$ gegeben ist, so kann man $ds$ durch eine Variable und deren Differential ausdrücken. \section{Grenzlinie.} \subsection{72.} Ist $OX$ eine Axe der Grenzlinie, so erhält man aus Art.~57 \[ e^{\frac{x}{k}} = 1 : \sin \Pi(y) \] aus Art.\ 58, 4) \[ e^{\frac{y}{k}} = 1 : \cot \tfrac{1}{2}\Pi(y) \] Eliminirt man $\Pi(y)$ so erhält man als Gleichung der Grenzlinie \[ e^{\frac{x}{k}} = \fcos \dfrac{y}{k}. \] Durch Differentiation folgt \[ dx= \ftan \frac{y}{k} dy, \] also \[ ds = \fcos \frac{y}{k }dy. \] %-----File: 082.png-------------------------------------------- Integrirt man, so erhält man wie in Art.\ 60 für den von $O$ an gezählten Grenzbogen \[ s = k \fsin \frac{y}{k} = k \cot \Pi(y). \] \section{Gleichung der Geraden.} \subsection{73.} Die Gleichung der Geraden kann entweder nach einem der gewöhnlichen (euclidischen) Geometrie entsprechenden Verfahren oder direct aus dem analytischen Ausdrucke für das Linienelement erhalten werden. Im ersteren Falle muss man unterscheiden, ob die Gerade eine die $x$-Axe schneidende oder eine zu ihr parallele, oder eine nichtschneidende Gerade ist. 1) Schneidet die Gerade die $x$-Axe im Punkte $A$, so ist $OA = l$, $MAX = \alpha$ gesetzt, für jeden Punkt $M=(x,\,y)$ \[ \ftan \frac{y}{k} = \fsin \frac{x-l}{k} \,\tan \alpha, \] welche Gleichung sich auf die Form bringen lässt \[ \ftan \frac{y}{k} = m \fcos \frac{x}{k} + n \fsin \frac{x}{k}, \] wo $m$ und $n$ Constante sind. 2) Ist die Gerade parallel zur (positiven) $x$-Axe, so ist \[ \ftan \frac{y}{k} = \ftan \frac{y_0}{k} \,e^{-\frac{x}{k}}, \] wo $y_0$ die Ordinate im Anfange bedeutet. 3) Für eine die $x$-Axe Nichtschneidende erhält man \[ \ftan \frac{y}{k} = \ftan \frac{p}{k} \fcos \frac{x-l}{k} , \] wo für $x = l$ die Ordinate $y = p$ ein Minimum ist. \subsection{74.} Zur Erläuterung der Untersuchungen im dritten Buche sollen die Gleichung der Geraden und ihre Eigenschaften auch aus dem Ausdrucke für das Linienelement hergeleitet werden. Die Gleichung der Geraden erhält man in diesem Falle aus ihrer Eigenschaft, dass sie die kürzeste Verbindung zweier Punkte $M_1 = (x_1,\,y_1)$ und $M_2 = (x_2,\,y_2)$ bestimmt. Es muss daher für die Gerade das Integral %-----File: 083.png-------------------------------------------- \[ J = \int\sqrt{ \fcos \frac{y^2}{k} \,dx^2 + dy^2} \] zwischen den den Punkten $M_1$ und $M_2$ entsprechenden Grenzen ein Minimum werden. Betrachtet man $x$ als Function von $y$ und setzt der Kürze halber \[ \frac{dx}{dy} = x', \; \sqrt {\fcos \frac{y^2}{k} \,{x'}^2 + 1} = V, \] so muss also das Integral \[ J = \int \limits^{y_2}_{y_1} V\, dy \] ein Minimum werden. Die Bedingung dafür ist \[ \delta J - \int \limits^{y_2}_{y_1} \frac{\partial V}{\partial x'} \,\text{\raisebox{2pt}{$\centerdot$}}\, \frac{d\,\delta x}{dy} \,dy = 0, \] oder \[ \frac{\partial V}{\partial x'} \delta x \mathop{\bigg\}}\limits^{y_2}_{y_1} - \int \limits ^{y_2}_{y_1} \frac{ d}{dy} \left( \frac{\partial V}{\partial x'}\right) \delta x\, dy = 0 ; \] also, wegen $\delta x_1 = \delta x_2 = 0$, \[ \frac{d}{dy} \left( \frac{\partial V}{\partial x'}\right) = 0, \] oder \[ \frac{\partial V}{\partial x' }= C, \] wo $C$ eine willkürliche Constante bedeutet. Entwickelt man $\dfrac{\partial V}{ \partial x'}$, so erhält man \[ \frac{x' \fcos \dfrac{y^2}{k}}{\sqrt {\fcos \dfrac{y^2}{k} x'^2 + 1} }= C; \] mithin \[ dx = \frac{C\, dy }{\fcos \dfrac{y}{k} \sqrt {\fcos \dfrac{y^2}{k}- C^2}} \] oder \[ dx = \frac{C\dfrac{ dy}{\fcos \dfrac{y^2}{k}}}{\sqrt{ 1 - \dfrac{C^2}{\fcos \dfrac{y^2}{k}}}}. \] %-----File: 084.png-------------------------------------------- Setzt man \[ \ftan \dfrac{y}{k} = z, \] so wird \[ dx = \frac{kC\,dz}{\sqrt{1-C^2 + C^2z^2}} \] Integrirt man, so wird \[ x+D= k\log \left(C\ftan \frac{y}{k} + \sqrt{1-C^2 + C^2\ftan \frac{y^2}{k}} \right), \] wo $D$ eine willkürliche Constante bedeutet. Daraus folgt, wenn \[ \frac{e^{\frac{D}{k}}}{C} = a, \quad 1-\frac{1}{C^2}= ab \] gesetzt wird und die Wurzel absolut genommen wird \[ \tag*{\quad 1)} ae^{\frac{x}{k}} = \ftan \frac{y}{k} \pm \sqrt{\ftan \frac{y^2}{k} -ab} \] Schafft man die Wurzel weg, so erhält man \[ \tag*{\quad 2)} 2 \ftan \frac{y}{k} = ae^{\frac{x}{k}} + be^{-\frac{x}{k}}. \] \begin{Small} \so{Anmerkung.} Für sehr grosse Werthe von $k$ folgt aus der Gleichung~2) \[ y = c + dx, \] wo \[ a + b = \frac{2c}{k}, \quad a - b = 2d \] ist. \end{Small} \subsection{75.} Aus der Gleichung 1) des vorigen Art.\ folgt: Damit $e^{\frac{x}{k}}$ reell ist, muss die Bedingung erfüllet werden \[ \ftan \frac{y^2 }{ k} - ab > 0. \] 1) Sind $a$ und $b$ verschieden bezeichnet, so ist $e^{\frac{x}{k}}$ immer reell; damit jedoch $x$ reell ist, muss $e^{\frac{x}{k}}$ positiv sein. Ist $a$ positiv, so ist für das obere Zeichen $x$ reell; ist $a$ negativ, so ist für das untere Zeichen $x$ reell. %-----File: 085.png-------------------------------------------- Für $y = 0$, erhält man \[ e^{\frac{x}{k}}=\sqrt{-\frac{b}{a}}. \] Die Gerade schneidet daher die $x$-Axe. Die Gleichung der Geraden lässt sich in diesem Falle umformen in \[ \ftan \dfrac{y}{k}=m\fsin \dfrac{x-l}{k}, \] indem man \[ \frac{a-b}{2} = m\fcos \frac{l}{k}, \quad \frac{a+b}{2} = -\fsin \frac{l}{k} \] setzt. Ist $\alpha$ der Neigungswinkel der Geraden zur $x$-Axe; $l$ die Abscisse des Durchschnittspunktes, so ist \[ a = \tan \alpha e^{-\frac{l}{k}} , \quad b = -\tan \alpha e^{ \frac{l}{k}}. \] Setzt man $y = \pm \infty$, so wird \[ \fsin \frac{x-l}{k} = \pm \frac{1}{m}; \] die diesen beiden Werthen von $x$ entsprechenden Ordinaten sind zur Geraden parallel. 2) Sind $a$ und $b$ gleich bezeichnet und zwar positiv, so ist für ein positives $y$ der Ausdruck $e^{\frac{x}{k}}$ reell, wenn \[ \ftan \frac{y}{k} \geqq\sqrt{ab}, \] d.~h.\ wenn $y\geqq y_0$ ist, wo \[ \ftan \frac{y_0}{k} = \sqrt{ab}. \] Für jeden Werth von $y$, welcher dieser Bedingung entspricht, sind beide Werthe von $e^{\frac{x}{k}}$ positiv, d.~h.\ jedem (positiven) $y$ entsprechen zwei zugehörige Werthe von $x$. Ist $\xi$ die Mitte der beiden Werthe von $x$, welche mit $x_1$ und $x_2$ bezeichnet werden sollen, also $2\xi = x_1 + x_2$, so folgt aus der Gleichung der Geraden \[ e^{\frac{x_1 +x_2}{k}} = \frac{b}{a} \text{\: oder \:} e^{\frac{\xi}{k}} = \sqrt{\frac{b}{a}}, \] welcher Werth von $y$ unabhängig ist. %-----File: 086.png-------------------------------------------- Die Gleichung der Geraden lässt sich umformen in \[ 2\ftan \frac{y}{k} = \sqrt{ab} \left( \sqrt{\dfrac{a}{b}e^{ \frac{x}{k}}} + \sqrt{\dfrac{b}{a}e^{-\frac{x}{k}}} \right), \] d.~h.\ in \[ \ftan\frac{x}{k} = \ftan \frac{y_0}{k}\fcos\frac{x-\xi}{k}. \] Da $\fcos u$ immer positiv und grösser als Eins ist, so ist $y > y_0$, d.~h.\ für $x = \xi$ ist $y = y_0$ ein Minimum. Setzt man $y = \infty$, so wird \[ \fcos \frac{x-\xi}{k}=\fcot \frac{y_0}{k}, \] aus welcher Gleichung zwei Werthe von $x - \xi$ erhalten werden: ist $x'$ der eine Werth, so ist $-x'$ der andere. 3) Ist eine der Zahlen $a$ oder $b$ gleich Null, so erhält man resp. \[ 2\ftan \frac{y}{k} = be^{-\frac{x}{k}} \text{ \:oder\:\:} 2\ftan \frac{y}{k} = ae^{ \frac{x}{k}}. \] Die erste Gerade ist parallel der positiven, die zweite parallel der negativen $x$-Axe. Ist $y_0$ der Werth von $y$ für $x = 0$, so erhält man als Gleichung der Geraden \[ \ftan \frac{y}{k} =\ftan \frac{y_0}{k}e^{-\frac{x}{k}}\text{ \:oder\:} \ftan \frac{y}{k} =\ftan \frac{y_0}{k}e^{ \frac{x}{k}}. \] \Paragraph{Zusatz.} Aus der Gleichung 2) erhellet unmittelbar, dass eine Vertauschung der Zeichen von $a$ und $b$ in die entgegengesetzten die Ordinate $+y$ in $-y$ verwandelt. \subsection{76.} 1) Der Winkel, welchen eine Gerade mit der durch einen ihrer Punkte zur $x$-Axe gezogenen Linien gleichen Abstandes bildet, ist bestimmt durch \[ \tan\varphi = \frac{dy}{\fcos \dfrac{y}{k}dx} = \tfrac{1}{2} \left( ae^{ \frac{x}{k}} - be^{-\frac{x}{k}} \right) \fcos\frac{y}{k}. \] 2) Schneiden sich die beiden Geraden \begin{align*} 2\ftan \frac{y}{k} &= a e^{\frac{x}{k}} + b e^{-\frac{x}{k}} \\ 2\ftan \frac{y}{k} &= a'e^{\frac{x}{k}} + b'e^{-\frac{x}{k}} \end{align*} %-----File: 087.png-------------------------------------------- im Punkte $(x_1,\, y_1)$, so erhält man \[ e^{\frac{x_1}{k}} = \sqrt{ \dfrac{b'-b}{a-a'}}, \quad 2\ftan \frac{y_1}{k} = \frac{ab'-a'b}{\sqrt{(a-a')(b'-b)}} \] Damit $x_1$ und $y_1$ reell sind, müssen die Differenzen $a - a'$ und $b - b'$ entgegengesetzt bezeichnet sein. 3) Ist $\psi$ der Neigungswinkel der beiden Geraden, so ist \[ \psi = \varphi - \varphi', \] wo die Werthe von $\varphi$ und $\varphi'$ für den Durchschnittspunkt $(x_1, \,y_1)$ zu nehmen sind. Damit erhält man \[ \tan\psi =\frac{\sqrt{4(a-a')(b'-b)-(ab'-a'b)^2}}{ab'+a'b -2}. \] \section{Entfernung zweier Punkte.} \subsection{77.} Analog der Aufstellung der Gleichung der Geraden kann die Distanz $d$ zweier Punkte $M_1 = (x_1, \,y_1)$ und $M_2 = (x_2, \,y_2)$ auf zweifache Art bestimmt werden. Zieht man (wie in der gewöhnlichen Geometrie) vom Punkte $M_1$ die Gerade $M_1Q \perp P_2M_2$, wobei $OP_1 = x_1$, $P_1M_1 = y_1$, $OP_2 = x_2$, $P_2M_2 = y_2$ vorausgesetzt wird, so ist \begin{gather*} \fcos\frac{d}{k} = \fcos\frac{M_1Q}{k} \fcos\frac{QM_2}{k}\\ \ftan\frac{M_1Q}{k} = \ftan\frac{x_2-x_1}{k} \fcos\frac{P_2Q}{k}\\ \ftan\frac{P_2Q}{k} = \ftan\frac{y_1}{k} : \fcos\frac{x_2-x_1}{k}\\ QM_2 = P_2M_2 - P_2Q. \end{gather*} Aus diesen Gleichungen folgt \[ \fcos\frac{d}{k} = \fcos\frac{y_2}{k} \fcos\frac{y_1}{k} \fcos\frac{x_2-x_1}{k} - \fsin\frac{y_2}{k} \fsin\frac{y_1}{k}. \] \subsection{78.} Für die zweite Methode verfährt man so: Setzt man in \[ ds = dy\,\sqrt{\fcos\frac{y^2}{k}x'^2+1} \] für $x'$ den Werth aus der Differentialgleichung der Geraden %-----File: 088.png-------------------------------------------- \[ x' = \frac{C}{\fcos \dfrac{y}{k} \,\sqrt{\fcos \dfrac{y^2}{k} - C^2}}, \] so erhält man \[ ds = \frac{\fcos \dfrac{y}{k} \,dy}{\sqrt{\fcos \dfrac{y^2}{k} - C^2}} \] oder \[ ds = \frac{k\,du}{\sqrt{u^2 + m^2}}, \] wenn \[ \fsin \frac{y}{k} = u, \quad 1 - C^2 = m^2 \] gesetzt wird. Daraus folgt durch Integration für die von einem beliebigen Punkt der Geraden (als Anfang) gezählte Entfernung des Punktes $(x,\, y)$ der Geraden \[ e^{\frac{s+E}{k}} = \fsin \frac{y}{k} + \sqrt{\fcos \frac{y^2}{k} - C^2}, \] wo $E$ eine willkürliche Constante bedeutet. Aus der Gleichung der Geraden folgt \[ \sqrt{\fcos \frac{y^2}{k} - C^2} = Ca\fcos \frac{y}{k} \;e^{\frac{x}{k}} - C \fsin \frac{y}{k}; \] damit erhält man \[ e^{\frac{s+E}{k}} = Ca\fcos \frac{y}{k} \;e^{x}{k} + (1-C)\fsin \frac{y}{k} = CZ, \] wo \[ Z = a \fcos \frac{y}{k} \;e^{\frac{x}{k}} + (1-C) \fsin \frac{y}{k}. \] Drückt man die Constante $C$ durch die Constanten $a$ und $b$ aus und bezieht den Factor $C$ in die Constante $E$ ein, so erhält man \[ e^{\frac{s+E}{k}} = Z, \] wo \[ Z = a\fcos \frac{y}{k} \;e^{\frac{x}{k}} + (\sqrt{1-ab} - 1)\fsin \frac{y}{k}. \] Sind $M_1 = (x_1,\, y_1)$ und $M_2 = (x_2,\, y_2)$ zwei Punkte, $d = s_2 - s_1$ deren Entfernung, $Z_1$ und $Z_2$ die zugehörigen %-----File: 089.png-------------------------------------------- Werthe von $Z$, so erhält man \[ e^{\frac{d}{k}}=\frac{Z_2}{Z_1}. \] Bestimmt man aus den Gleichungen \begin{align*} 2\ftan \frac{y_1}{k} &= ae^{\frac{x_1}{k}} + be^{-\frac{x_1}{k}}\\ 2\ftan \frac{y_2}{k} &= ae^{\frac{x_2}{k}} + be^{-\frac{x_2}{k}}\\ \end{align*} die Constanten $a$ und $b$ und setzt sie in die obige Gleichung für die Distanz $d$, so erhält man letztere ausgedrückt durch die Coordinaten der Punkte $M_1$ und $M_2$. Diese Rechnung wird auf folgende Art durchgeführt: \begin{align*} a &= \frac{ \ftan\dfrac{y_2}{k} e^{-\frac{x_1}{k}} - \ftan\dfrac{y_1}{k} e^{-\frac{x_2}{k}} } { \fsin\dfrac{x_2-x_1}{k} } \\ b &= \frac{-\ftan\dfrac{y_2}{k} e^{\frac{x_1}{k}} + \ftan\dfrac{y_1}{k} e^{\frac{x_2}{k}} } { \fsin\dfrac{x_2-x_1}{k} } \end{align*} \vskip-12pt \begin{align*} \fsin\frac{x_2-x_1}{k} Z_2 &= -\fcos\frac{y_2}{k} \ftan\frac{y_1}{k} + \fsin\frac{y_2}{k} \fcos\frac{x_2-x_1}{k} \pm\fsin\frac{y_2}{k} N \\ \fsin\frac{x_2-x_1}{k} Z_1 &= \fcos\frac{y_1}{k} \ftan\frac{y_2}{k} - \fsin\frac{y_1}{k} \fcos\frac{x_2-x_1}{k} \pm\fsin\frac{y_1}{k} N, \end{align*} \[ N = \sqrt{ \fsin\frac{x_2-x_1 }{k} + \ftan\frac{y^2_2}{k} + \ftan\frac{y^2_1}{k} -2\ftan\frac{y_2}{k} \ftan\frac{y_1}{k} \fcos\frac{x_2-x_1}{k} }, \] wobei das obere oder untere Zeichen zu nehmen ist, je nachdem $x_2 - x_1$ positiv oder negativ ist. Die Grösse $N$ lässt sich umformen in \begin{gather*} \fcos\frac{y_2}{k} \fcos\frac{y_1}{k} N \\ =\sqrt{\left( \fcos\frac{y_2}{k} \fcos\frac{y_1}{k} \fcos\frac{x_2-x_1}{k} - \fsin\frac{y_2}{k} \fsin\frac{y_1}{k} \right)^2 - 1 } = \fsin\frac{u}{k}, \end{gather*} wo der Kürze halber \[ \fcos\frac{u}{k} = \fcos\frac{y_2}{k} \fcos\frac{y_1}{k} \fcos\frac{x_2-x_1}{k} - \fsin\frac{y_2}{k} \fsin\frac{y_1}{k} \] gesetzt wird. Daraus folgt %-----File: 090.png-------------------------------------------- \begin{align*} \fsin \frac{x_2-x_1}{k} Z_2 &= \frac{ \fsin \dfrac{y_2}{k} \,e^{\frac{u}{k}} - \fsin \dfrac{y_1}{k} } { \fcos \dfrac{y_2}{k} \fcos \dfrac{y_1}{k} } \\[2ex] \fsin \frac{x_2-x_1}{k} Z_1 &= \frac{ \fsin \dfrac{y_2}{k} - \fsin \dfrac{y_1}{k} \,e^{-\frac{u}{k}} } { \fcos \dfrac{y_2}{k} \fcos \dfrac{y_1}{k} } \end{align*} also \[ e^{\frac{d}{k}} = \frac{ \fsin \dfrac{y_2}{k} \,e^{\frac{u}{k}} - \fsin \dfrac{y_1}{k} } { \fsin \dfrac{y_2}{k} - \fsin \dfrac{y_1}{k} \,e^{-\frac{u}{k}} } = e^{\frac{u}{k}}; \] d.\ h.\ $d = u$ oder \[ \fcos \frac{d}{k} = \fcos \frac{y_2}{k} \fcos \frac{y_1}{k} \fcos \frac{x_2-x_1}{k} - \fsin \frac{y_2}{k} \fsin \frac{y_1}{k}. \] \begin{Small} \so{Anmerkung.} Für sehr grosse Werthe von $k$ folgt aus der obigen Formel der Distanz die Gleichung \[ d^2 = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2. \] \end{Small} \section{Kreis und Krümmung.} \subsection{79.} Betrachtet man in dem Ausdrucke für die Entfernung zweier Punkte $M_1$ und $M_2$ einen der beiden Punkte, etwa den Punkt $M_1$, als fest und bestimmt alle Punkte $M_2$, deren Entfernung $d$ von $M_1$ constant $= r$ ist, so erhält man die Gleichung des Kreises, dessen Mittelpunkt der Punkt $M_1$ und dessen Radius $= r$ ist. Für $M_1 = (\alpha,\,\beta)$, $M_2 = (x,\,y)$, erhält man als Kreisgleichung \[ \fcos\frac{r}{k} = \fcos\frac{y}{k} \fcos\frac{\beta}{k} \fcos\frac{x-\alpha}{k} - \fsin\frac{y}{k} \fsin\frac{\beta}{k}. \] 1) Ist $\beta=0$, $\alpha=r$, so ist der Coordinaten-Anfangspunkt ein Punkt der Kreislinie, die Gleichung wird \[ \fcos\frac{r}{k} = \fcos\frac{y}{k} \fcos\frac{x-r}{k}. \] Für $r = \infty$, geht die Kreislinie in die Grenzlinie über, deren Gleichung also %-----File: 091.png-------------------------------------------- \[ \fcos \frac{y}{k} = e^{\frac{x}{k}} \] ist. Vergl.\ Art.\ 72. 2) Setzt man $\beta = \dfrac{\pi}{2} ki$, so erhält man als Kreisgleichung \[ \fcos \frac{r}{k} = i \fsin\frac{y}{k}, \] welcher Gleichung genügt wird, wenn \[ r = a + \frac{\pi}{2} ki \] gesetzt wird, woraus dann folgt \[ y = a; \] d.\ h.\ man kann die »Linien gleichen Abstandes« als Kreise betrachten, deren Radius die Form $a + \dfrac{\pi}{2} ki$ hat, wo $a$ den constanten Abstand bezeichnet. Für $a = 0$ geht die Linie gleichen Abstandes in eine Gerade über; man kann daher letztere als eine Kreislinie vom Radius $\dfrac{\pi}{2} ki$ betrachten, der zugehörige Umfang wird nach Art.~60 gleich $2\pi ki$. Durch Umdrehung der Kreislinie um einen Durchmesser erhält man: Die Fläche gleichen Abstandes kann man als eine Kugelfläche vom Radius $a + \dfrac{\pi}{2} ki$ betrachten, u.~s.~w. \Paragraph{Zusatz.} Ist $AB = 2a$ eine Sehne, $O$ der Mittelpunkt des Kreises, Winkel $OAB = \omega$, so ist \[ \ftan\frac{ a}{k} = \ftan\frac{r }{k}\,\cos \omega\,; \] durch dieselbe Gleichung ist auch der Radius $a$ des Schnittes einer Ebene mit einer Kugelfläche bestimmt, der durch eine Tangente eines Hauptkreises gelegt wird, und der mit der Ebene des letzteren den spitzen Winkel $\omega$ bildet. Setzt man $r = h + \dfrac{\pi}{2} ki$, so wird \[ \ftan \frac{a}{k} = \fcot \frac{h}{k} \,\cos \omega\,. \] Für $\omega > \omega_0$, wo $\cos \omega_0 = \ftan \dfrac{h}{k}$ gesetzt wird, ist $a$ reell\footnote {Die Bestimmung der reellen Kreisschnitte kann auch direct aus Art.~75 und 76 erhalten werden.}; für $\omega = \omega_0$, wird $a = \infty$, d.~h.\ die Schnittebene %-----File: 092.png-------------------------------------------- ist zur Grundfläche parallel (vergl.\ Art.~58) und die Schnittlinie ist eine Grenzlinie. Für $\omega < \omega_0$, wird $a$ complex. Setzt man \[ a = h' + \frac{\pi}{2}ki, \] so wird \[ \fcot \frac{h'}{k} = \fcot \frac{h}{k} \cos \omega. \] Von $\omega = \omega_0$ bis $\omega = 0$ nimmt $h'$ von $\infty$ bis $h$ ab. \subsection{80.} \begin{wrapfigure}{r}{3.5cm} \caption{\hskip1pt } \includegraphics*[width=3.5cm,height=3.9cm]{images/fig55} \end{wrapfigure} Es seien $M$ und $M'$ zwei Punkte einer Kreislinie, $MT$ und $M' T'$ ihre zugehörigen Tangenten, welche sich im Punkte $N$ schneiden. Der Winkel $TNT'$ ist die Aenderung der Lage der Tangente $MT$, wenn sie nach $M' T'$ bewegt wird: dieser Winkel ist die Krümmung des Bogens $MM'$. Setzt man \[ TNT' = \pi - 2MNO = 2 \alpha,\; MN = t,\; NO = \rho, \] so ist \[ \ftan \frac{t}{k} = \ftan \frac{\rho}{k} \cos MNO = \ftan \frac{\rho}{k} \sin \alpha, \] oder \[ \frac{\sin \alpha}{\ftan \dfrac{t}{k}} = \fcot \frac{\rho}{k}. \] Sind die Punkte $M$ und $M'$ unendlich nahe, so ist $MM' = ds = 2MN = 2t$, $\rho = r$, woraus für das Mass der Krümmung des Kreises folgt \[ m = \frac{1}{k} \fcot \frac{r}{k}. \] 1) Ist $r$ endlich, so ist $\fcot \dfrac{r}{k} > 1$, also $m > 1 : k$. 2) Für $r = \infty$, folgt $m = 1 : k$; d.~h.\ das Mass der Krümmung der Grenzlinie ist $= 1 : k$. 3) Setzt man $m < 1 : k$ voraus, so folgt \[ e^\frac{2r}{k} = - \frac{1 + km}{1 - km} = - \mu, \] woraus \[ r = \frac{k}{2} \log \mu + \frac{\pi}{2} ki \] %-----File: 093.png-------------------------------------------- erhalten wird. Setzt man $\dfrac{k}{2} \log \mu = a$, so folgt \[ m = \frac{1}{k} \ftan \frac{a}{k}. \] Die Linien gleichen Abstandes sind daher Kreislinien mit der Krümmung $< 1 : k$, die Gerade selbst besitzt die Krümmung »Null«. Die Kreislinie (sammt Grenzlinie), die Linie gleichen Abstandes und die Gerade sind in der Geometrie die einzigen an allen Stellen gleichartigen (d.~i.\ aus congruenten Stücken zusammengesetzten) ebenen Linien; durch diese kann die Krümmung einer beliebigen stetigen Linie bestimmt werden. Aus dem Vorhergehenden erhellt, dass jedes unendlich kleine Stück einer krummen Linie mit einem Kreisbogen zusammenfällt, welcher entweder zu einem wirklichen Kreise oder zu einer Linie gleichen Abstandes gehört, je nachdem das Krümmungsmass grösser oder kleiner als $1:k$ ist. \section{Punkt und Linien-Element im Raume.} \subsection{81.} Um die Lage eines Punktes im Raume zu bestimmen, denke man sich eine bestimmte Ebene als \so{Grundebene}, in dieser eine bestimmte Gerade als \so{Axe} und in letzterer einen bestimmten Punkt als \so{Anfang}. Von dem zu bestimmenden Punkt $M$ ziehe man eine Senkrechte $MP = z$ auf die Grundebene, welche positiv genommen wird auf der einen Seite der Grundebene, negativ auf der entgegengesetzten. In der Grundebene werden die Coordinaten $x$, $y$ des Punktes $P$ nach Art.~71 bestimmt. Die Grössen $x$, $y$, $z$ heissen die \so{Coordinaten} des Punktes $M$. Ist $M' = (x', y', z')$ ein zweiter Punkt, so lege man durch den Punkt $M$ eine Fläche gleichen Abstandes = $z$ zur Grundebene, welche der Senkrechten $M'P' = z'$ im Punkte $N$ begegnet; dabei ist nach Art.~59 der Bogen \[ MN = \fcos \frac{z}{k} PP'. \] Sind $M$ und $M'$ zwei unendlich nahe Punkte, $ds$ deren Entfernung, so ist \[ ds^2 = \overline{MN}^2 + \overline{M'N}^2. \] %-----File: 094.png-------------------------------------------- \[ ds^2 = \fcos \frac{z^2}{k} \overline{PP'}^2 + dz^2. \] Nach Art.~71 ist \[ \overline{PP'}^2 = \fcos \frac{y^2}{k} dx^2 + dy^2, \] also \[ ds^2 = \fcos \frac{y^2}{k} \fcos \frac{z^2}{k} dx^2 + \fcos \frac{z^2}{k} dy^2 + dz^2. \] Sind die Gleichungen einer Linie gegeben, so erhält man durch Integration die Länge des Bogens zwischen zwei Punkten. \section{Gerade und Ebene.} \subsection{82.} Die Gleichungen der Geraden können vermittelst der Variationsrechnung aus der Bedingung der kürzesten Entfernung zweier Punkte erhalten werden. Bequemer erhält man jedoch dieselben mit Zuziehung der Resultate der Art.~74 und 77. Man kann nämlich die Gerade $MM'$ durch die Gleichung der Geraden $PP'$ in der Grundebene (d.~i.\ ihrer Projection) und durch die Gleichung der Geraden $MM'$ auf die Gerade $PP'$ bezogen bestimmen. 1) Die Gleichung der Geraden $PP'$ sei \[ 2 \ftan \frac{y}{k} = ae^\frac{x}{k} + be^{-\frac{x}{k}}. \] 2) Ist $u$ die Entfernung des Punktes $P$ von irgend einem festen Punkte $A$ der Geraden $PP'$ als Anfang, so ist die Gleichung der Geraden $MM'$ für die Axe $PP'$ \[ 2 \ftan \frac{z}{k} = ce^\frac{u}{k} + de^{-\frac{u}{k}}, \] wo $c$ und $d$ Constante sind. Setzt man in diese Gleichung für $u$ seinen Werth nach Art.~77 \[ u = K + k \log Z, \] so erhält man die Gleichung der Geraden $MM'$ für die Axe $PP'$ in den Coordinaten $x$, $y$, $z$ gegeben; die Constanten $e^\frac{K}{k}$ und $e^{-\frac{K}{k}}$ können in die Constanten $c$ und $d$ einbezogen werden. %-----File: 095.png-------------------------------------------- Die vier Constanten $a$, $b$, $c$, $d$ können durch Bedingungen, welchen die Gerade $MM'$ unterworfen ist, bestimmt werden. In ähnlicher Weise kann die Entfernung zweier Punkte bestimmt werden. Man erhält durch zweimalige Anwendung der Formel des Art.~77 \[ \begin{aligned} \fcos \frac{d}{k} &= \fcos \frac{z_2}{k} \fcos \frac{z_1}{k} \fcos \frac{d'}{k} - \fsin \frac{z_2}{k} \fsin \frac{z_1}{k} \\[1ex] \fcos \frac{d'}{k} &= \fcos \frac{y_2}{k} \fcos \frac{y_1}{k} \fcos \frac{x_2-x_1}{k} - \fsin \frac{y_2}{k} \fsin \frac{y_1}{k}, \end{aligned} \] dabei bedeutet $d'$ die Projection der Strecke $d$ auf die $xy$-Ebene. Für die Entfernung $r$ des Punkts $M = (x, y, z)$ vom Anfang $O$ erhält man \[ \fcos \frac{r}{k} = \fcos \frac{x}{k} \fcos \frac{y}{k} \fcos \frac{z}{k}. \] \subsection{83.} Es seien $p = OP$ und $r = OM$ zwei vom Coordinaten-Anfang $O$ gezogene Strecken, dabei werde $p$ so gewählt, dass das Dreieck $OMP$ bei $P$ rechtwinklig ist. Setzt man $P = (a, b, c)$, $M = (x, y, z)$, $PM = d$, so ist \[ \fcos \frac{r}{k} = \fcos \frac{p}{k} \fcos \frac{d}{k}. \] Drückt man nach dem vorigen Artikel die Grössen $r$, $p$, $d$ durch die Coordinaten der Punkte $M$ und $P$ aus, so erhält man \[ \tag*{\quad1)} \begin{aligned} \ftan \frac{p^2}{k} &= \ftan \frac{a}{k} \ftan \frac{x}{k} + \frac{ \ftan \dfrac{b}{k} }{ \fcos \dfrac{a}{k} } \cdot \frac{ \ftan \dfrac{y}{k} }{ \fcos \dfrac{x}{k} } \\[1ex] &+ \frac{ \ftan \dfrac{c}{k} }{ \fcos \dfrac{a}{k} \fcos \dfrac{b}{k}} \cdot \frac{ \ftan \dfrac{z}{k} }{ \fcos \dfrac{x}{k} \fcos \dfrac{y}{k} }. \end{aligned} \] Man ziehe im Punkte $O$ eine Gerade $ZZ'$ senkrecht auf die $xy$-Ebene und lege durch $ZZ'$ eine Ebene senkrecht auf die $x$-Axe, welche die $xy$-Ebene in der Geraden $YY'$ schneidet. Die drei durch den Punkt $M$ auf den Axen $XX'$, $YY'$, $ZZ'$ senkrechten Ebenen bestimmen drei von $O$ aus gezählte Strecken $x'$, $y'$, $z'$. Bezeichnet man mit $(r, x)$ den Winkel der Geraden $OM$ und $OX$, so ist %-----File: 096.png-------------------------------------------- \[ \ftan \frac{x'}{k} = \ftan \frac{r}{k} \cos (r, x)\textrm{ u.~s.~w.} \] Berücksichtigt man die Gleichungen \[ x = x',\; \ftan \frac{y}{k} = \ftan \frac{x'}{k} \fcos \frac{x}{k},\; \ftan \frac{z}{k} = \ftan \frac{z'}{k} \fcos \frac{x}{k} \fcos \frac{y}{k} \] und die analogen für $(a', b', c')$, so erhält man \begin{gather*} \cos (p, r) = \cos (p, x) \cos (r, x) + \cos (p, y) \cos (r, y) \\ + \cos (p, z) \cos (r, z). \end{gather*} Sind $a$, $b$, $c$ also auch $p$ Constante, so stellt die Gleichung 1) die Gleichung der \so{Ebene} dar. \section{Andere Coordinaten-Systeme.} \subsection{84.} Die in den vorhergehenden Untersuchungen vorausgesetzten Coordinaten entsprechen der gewöhnlichen graphischen Darstellung der Functionswerthe; es mögen daher noch andere Coordinaten in Kürze erwähnt werden. Statt durch die Abstände $OP = x$, $PM = y$ den Punkt $M$ einer Ebene zu bestimmen, kann man letztere als den Durchschnittspunkt der beiden Senkrechten auf zwei unter einem rechten Winkel sich schneidende Axen betrachten und die Abschnitte $OP = x'$, $OQ = y'$ oder noch zweckmässiger die hyperbolischen Tangenten der Verhältnisse dieser Abschnitte zu $k$ als Coordinaten $\xi$, $\eta$ wählen\footnote {\so{Escherich}, die Geometrie auf den Flächen constanter negativer Krümmung. Sitzb.\ der kais.\ Akad.\ der Wissensch.\ Bd.~LXIX.}, so dass \[ \xi = \ftan \frac{x'}{k},\; \eta = \ftan \frac{y'}{k}. \] Sind $\xi$ und $\eta$ zugleich $< 1$, so wird ein reeller Punkt, ist eine oder jede Coordinate $> 1$, so wird ein idealer Punkt dargestellt. Bezeichnet man mit $\varphi$ den Winkel $MOX$ und setzt $OM = r$, $\ftan \dfrac{r}{k} = \rho$, so ist \[ \xi = \rho \cos \varphi,\; \eta = \rho \sin \varphi; \] d.~i.\ die Transformation in Polarcoordinaten. Die Transformation in Coordinaten des ursprünglichen Systems ist gegeben durch %-----File: 097.png-------------------------------------------- \[ x = x',\;\ftan \frac{y}{k} = \ftan \frac{y'}{k} \fcos \frac{x}{k}. \] Die Gleichung der Geraden wird \[ \eta = a\xi + b. \] Der Ausdruck für das Linien-Element nimmt die Form an \[ ds^2 = E\,dx'^2 + 2F\,dx'dy' + G\,dy'^2, \] wo $F$ von Null verschieden ist, da der Winkel $PMQ$ spitz ist. Für räumliche Figuren betrachte man die im vorigen Artikel mit $x'$, $y'$, $z'$ bezeichneten Abschnitte auf den Axen $XX'$, $YY'$, $ZZ'$ als Coordinaten. Statt dieser Grössen kann man die Functionen $\xi$, $\eta$, $\zeta$, wo \[ \xi = \ftan \frac{x'}{k}, \; \eta = \ftan \frac{y'}{k}, \; \zeta = \ftan \frac{z'}{k} \] ist, einführen. Dadurch wird z.~B. die Gleichung der Ebene \[ A\xi + B\eta + C\zeta = D. \] In gleicher Weise gehen die Gleichungen der Geraden in zwei lineare Gleichungen zwischen den Functionen $\xi$, $\eta$, $\zeta$ über. \subsection{85.} Nimmt man in einer Ebene eine Grenzlinie zur $x$-Axe und in dieser einen bestimmten Punkt $O$ als Anfang, so kann der Punkt $M$ auf die folgende Art bestimmt werden.\footnote {\so{Flye} S\textsuperscript{\,t.}\so{-Marie}, Études analytiques sur la théorie des parallèles. Paris, 1871.} Man ziehe vom Punkte $M$ eine Axe, welche die Grenzlinie im Punkte $P$ schneidet. Das Stück $OP$ der Grenzlinie und die Strecke $PM$ der Axe --- diese Grössen sammt Vorzeichen genommen --- können als Coordinaten $x$,~$y$ des Punktes $M$ betrachtet werden. Die bezüglichen Transformationsformeln lassen sich ohne Schwierigkeit entwickeln, für den Ausdruck des Linien-Elementes erhält man \[ ds^2 = e^\frac{2y}{k} dx^2 + dy^2, \] woraus ganz analog wie im Art.~74 die Gleichung der Geraden und die Entfernung zweier Punkte gefunden wird. Für räumliche Gebilde nimmt man eine Grenzfläche als $xy$-Fläche und zieht durch den zu bestimmenden Punkt $M$ %-----File: 098.png-------------------------------------------- eine Axe der Grenzfläche, welche von letzterer im Punkte $P$ geschnitten wird. Die rechtwinkligen Coordinaten $x$,~$y$ des Punktes $P$ auf der Grenzfläche --- für welche die gewöhnliche Geometrie gilt --- und die Strecke $PM$ (sammt Vorzeichen) dienen als Coordinaten $x$, $y$, $z$ des Punktes $M$. Ist $M'$ ein zu $M$ unendlich naher Punkt, so ist \begin{align*} & P\overline{P'}^2 = dx^2 + dy^2,\\ &ds^2 = e^{\frac{2z}{k}} \left(dx^2 + dy^2\right) + dz^2. \end{align*} \section{Flächenbestimmung ebener Figuren.} \subsection{86.} Die Bestimmung der Fläche einer ebenen Figur wird durch Zerlegung der gegebenen Fläche in unendlich kleine Elemente, auf welche man also die gewöhnliche Geometrie anwenden kann, durchgeführt. Um die Fläche $z$ einer ebenen Figur, begrenzt von zwei Ordinaten einer krummen Linie, dem Bogen derselben und der Abscissenaxe zu bestimmen, zerlege man die Fläche zwischen zwei unendlich nahen Ordinaten $MP$ und $M'P'$ (Figur des Art.~71) durch unendlich nahe Linien gleichen Abstandes mit der Axe $XX'$ in rechteckige Elemente. Ist $h$ der Abstand einer dieser Linien, $dh$ die Entfernung je zweier Linien gleichen Abstandes, so ist die Fläche des zugehörigen Elementes \[ d^2 z = \fcos \frac{h}{k} dx\, dh. \] Daraus folgt für die Grösse $dz$ des Streifens zwischen den beiden Ordinaten $MP$ und $M'P'$, indem man von $h = 0$ bis $h = y$ integrirt, \[ dz = k \fsin \frac{y}{k} \,dx. \] 1) Für die Linie gleichen Abstandes ist \[ y = p = \text{Const}., \] also \[ z = kx \fsin \frac{p}{k}. \] 2) Für \[ \ftan\frac{y}{k} = \ftan \frac{y_0}{k} \fcos \frac{x}{k}, \] %-----File: 099.png-------------------------------------------- ist \[ dz = \frac{k^2 m\, du }{ \sqrt{ 1 - m^2 - m^2u^2}}, \] wo $\ftan \dfrac{y_0}{k} = m$, $\fsin \dfrac{x}{k} = u$ gesetzt ist. Daraus folgt \[ z = k^2 \arcsin \left( \fsin \frac{x}{k} \fsin \frac{y_0}{k} \right). \] Das Doppelte dieser Fläche ist gleich der Fläche des Rechteck-Analogon, dessen Basis $= 2x$ und dessen mittlere (d.~i.\ kleinste) Höhe $= y_0$ ist. 3) Für die Grenzfläche ist \[ \fcos \frac{y}{k} = e^\frac{x}{k}, \] \begin{flalign*} &\text{also }& &dz = k \,\sqrt{ e^\frac{2x}{k} - 1}\;dx = k^2 \frac{u^2du }{ 1 + u^2} & \phantom{also }&\\ && &u^2 = e^\frac{2x}{k} - 1&\\ && &z = k^2 \left( \fsin \frac{y}{k} - \arctan\, \fsin \frac{y}{k} \right).& \end{flalign*} \subsection{87.} \Paragraph{Kreisfläche.} Die Fläche eines Kreises kann durch concentrische Kreise in unendlich schmale Ringe und jeder dieser Ringe durch unendlich nahe Radien in unendlich kleine rechteckige Elemente zerlegt werden. Man erhält dadurch für die Fläche eines Ringes vom Radius $x$ und von der Breite $dx$ den Werth \[ \mcirc x\,dx = 2 \pi k \fsin \frac{x}{k} \,dx, \] integrirt man von $x = 0$ bis $x = r$, so erhält man die Fläche des Kreises vom Radius $r$ \[ 2 \pi k^2 \left( \fcos \frac{r}{k} - 1 \right) = 4 \pi k^2 \fsin \frac{r^2}{2k}. \] \Paragraph{Zusatz.} Ist $\rho$ die Länge eines Grenzbogens, dessen Sehne $= r$ ist, so ist nach Art.~60 \[ \frac{\rho }{2} = k \cot \Pi \left( \frac{r}{2} \right) = k \fsin \frac{r}{2k}, \] also \[ \pi \rho^2 = 4 \pi k^2 \fsin \frac{r^2}{2k}; \] %-----File: 100.png-------------------------------------------- d.~h.\ ein Kreis auf der Grenzfläche mit dem Radius $\rho$ ist flächengleich dem ebenen Kreis, dessen Radius die Sehne $r$ des Grenzbogens $\rho$ ist. \subsection{88.} Um die Fläche zwischen den zwei Grenzbögen $AB = s$ und $A'B' = s'$ und den Axenstücken $AA' = BB' = l$ zu bestimmen, theile man (wie in Art.~56) die Strecke $AA'$ in unendlich kleine Theile $= dx$ und lege durch die Theilungspunkte Grenzbögen. Ist $x$ die Entfernung eines Grenzbogens vom Bogen $A'B'$, so ist \[ s' e^{\frac{x}{k}}dx \] die zwischen den Grenzbögen, deren Abstände $x$ und $x + dx$ sind, enthaltene Fläche, also das zwischen den Grenzen 0 und $l$ genommene Integral \[ ks'(e^{\frac{l}{k}} - 1) = sk - s'k \] die Gesammtfläche. Um die von einem Bogen $s$ und den Axen der Endpunkte bestimmte Fläche zu erhalten, setze man $s' = 0$. \subsection{89.} Für die \so{Dreiecksfläche} ist die Bestimmung des constanten Ver\-hält\-nis\-ses $\lambda$ der Fläche $f$ eines Dreiecks zu ihrem Unterschiede $u$ der Winkelsumme von $2R$ (vergl.\ Art.~38) nöthig. Diese Berechnung geschieht am einfachsten auf die folgende Art: Setzt man in dem Ausdrucke Art.\ 62 \[ \tan \frac{u}{4} = \sqrt{ \ftan\tfrac{1}{2}\frac{ s }{k} \ftan\tfrac{1}{2}\frac{(s-a)}{k} \ftan\tfrac{1}{2}\frac{(s-b)}{k} \ftan\tfrac{1}{2}\frac{(s-c)}{k} } \] die Seiten $a$, $b$, $c$ also auch $s$ sehr klein voraus, so erhält man \[ u=\frac{\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}{k^2}=\frac{f}{k^2}, \] \begin{flalign*} &\text{also} & \lambda &= k^2. &&\phantom{also } \end{flalign*} Andere Methode: Man denke sich ein Dreieck $ABC$, wo der der Seite $AB$ anliegende Winkel $B = R$ ist und der %-----File: 101.png-------------------------------------------- Punkt $C$ im Unendlichen liegt, d.~h.\ der Winkel $C = 0$ oder $AC \parallel BC$ ist. Ist $AE \perp AB$, so ist der Winkel \[ EAC = 2R - A - B = u. \] \begin{wrapfigure}{r}{2.7cm} \caption{\hskip1pt } \includegraphics*[width=2.7cm,height=3.2cm]{images/fig56} \end{wrapfigure} Zieht man den Grenzbogen $AD$, so ist nach Art.~60 \[ AD = k \cot \Pi(AB) = k \tan u. \] Die Fläche $S$ begrenzt vom Grenzbogen $AD$ und den Axen $AC$ und $DC$ ist nach Art.~88 \[ S = k \cdot AD = k^2 \tan u, \] mithin das Verhältniss \[ \frac{S}{ABC} = \frac{k^2 \tan u}{\lambda u} = \frac{k^2}{\lambda} \cdot \frac{\tan u}{u}. \] Mit dem Verschwinden der Seite $AB$ geht das Verhältniss $\dfrac{AD}{AB}$, also auch die Verhältnisse $\dfrac{S}{ABC}$ und $\dfrac{\tan u}{u}$ in die Einheit über. Es ist daher \[ \lambda = k^2, \] also die Fläche $f$ eines beliebigen Dreiecks, dessen Winkel $A$, $B$, $C$ sind, \[ f = k^2 u = k^2 (\pi - A - B - C). \] \Paragraph{Zusatz.} Ist das Dreieck gleichschenklig d.~h.\ $a = b$ und die Basis $c$ unendlich klein, so kann man \[ s = a + \frac{c}{2} = a,\; s - a = s - b = \frac{c}{2},\; s - c = a - \frac{c}{2} = a \] setzen. Man erhält damit \[ \begin{aligned} \tan \frac{u}{4} &= \ftan {\textstyle\frac{1}{4}} \frac{c}{k} \ftan {\textstyle\frac{1}{2}} \frac{a}{k} \\ k^2 u &= c k \ftan {\textstyle\frac{1}{2}} \frac{a}{k}. \end{aligned} \] Damit kann die Fläche des Kreissectors bestimmt werden. Zerlegt man den Bogen $l$ des Sectors in unendlich kleine Stücke $c$, so erhält man durch Addition der Dreiecke für die Fläche des Sectors \[ lk \ftan {\textstyle\frac{1}{2}} \frac{r}{k}. \] %-----File: 102.png-------------------------------------------- \Paragraph{Vieleck.} Sind $A_1$, $A_2$, \ldots$A_n$ die (innern) Winkel eines hohlwinkligen $n$-Eckes, so ist die Fläche \[ f=k^2 [(n-2) \pi - A_1 - A_2 - \dots - A_n]. \] Ist das Vieleck regulär, so ist $A_1 = A_2 = \ldots = A_n = A$, also \[ f=k^2[(n-2) \pi - nA]. \] Für $A_1 = A_2 = \ldots = A_n = 0$ wird die Fläche $= (n-2) \pi k^2$ ein Maximum. \Paragraph{Anwendungen:} 1) Zufolge der im Art.~70 enthaltenen Aufgaben ist die Construction eines regulären Vierecks möglich, dessen Fläche $= \pi k^2$ d.~i.\ gleich der grössten Dreiecksfläche ist. Es werde in dem bei $C$ rechtwinkligen Dreiecke $ABC$ der Winkel $A = \frac{1}{2}R$, $B = \frac{1}{4}R$ vorausgesetzt. Aus Art.~61 Gleichung~2) \[ \frac{\cos\frac{1}{2}R}{\sin\frac{1}{4}R} = \fcos\frac{a}{k} \] folgt, indem man für $\cos\frac{1}{2}R$ und $\sin\frac{1}{4}R$ die Werthe \[ \cos\tfrac{1}{2}R = \tfrac{1}{2}\surd{2} \text{ und } \sin\tfrac{1}{4}R = \tfrac{1}{2}\sqrt{2 - \surd{2}} \] setzt, \[ e^\frac{a}{k} + e^{-\frac{a}{k}} = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2 - \surd{2}}}; \] und daraus \[ e^\frac{a}{k} = \sqrt{\frac{\sqrt[4]{2}+1}{\sqrt[4]{2}-1}}, \] welcher Ausdruck --- da nur zweite Wurzeln vorkommen --- geometrisch construirt werden kann. Damit erhält man dann (analog wie im Beispiele des Art.~70) die Seite $a$. Die Fläche des eben construirten Dreiecks ist $= \frac{1}{8} \pi k^2$. Durch Anlegung eines congruenten Dreiecks $A'B'C'$, dessen Hypotenuse $A'B'$ mit der Seite $AB$ zusammenfällt, erhält man ein Viereck $ACBC'$, in welchem drei rechte Winkel und ein Winkel $= \frac{1}{2}R$ sind, und aus vier solchen Vierecken kann man ein reguläres Viereck zusammensetzen, dessen Seiten $= 2a$ und dessen Winkel $= \frac{1}{2}R$ sind. 2) In ganz analoger Weise kann man ein reguläres $n$-Eck %-----File: 103.png-------------------------------------------- von der Fläche $\pi k^2$ construiren, wenn $n = 2^\nu \cdot 3^\alpha \cdot 5^\beta \cdot 17^\gamma \ldots$ ist, wo $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\ldots = 0$ oder 1 ist. Denn aus \[ f = \pi k^2 = k^2 [(n-2)\pi - nA] \] folgt \[ A = (n-3) \frac{2R}{n}. \] Vermöge der von \so{Gauss} entdeckten Kreistheilung\footnote {Disquisitiones arithm. --- \so{Frischauf}, Vorlesungen über Zahlentheorie. --- \so{Bachmann}, die Lehre von der Kreistheilung. Leipzig, 1872.} können in diesem Falle die Functionen $\cos \dfrac{2R}{n}$ und $\sin \dfrac{2R}{n}$ u.~s.~w.\ durch zweite Wurzeln ausgedrückt werden; ist $x$ die Seite eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen gegenüberliegender Winkel $= \dfrac{2R}{n}$ und dessen anliegender Winkel $= (n-3)\dfrac{ R}{n}$ ist, so kann der Ausdruck $X$, wo \[ X = \fcos \dfrac{x}{k} = \frac{\cos \dfrac{2R}{n} }{\sin(n-3)\dfrac{R}{n}} \] ist, also auch $e^{\tfrac{x}{k}}$ und mithin auch $x$ geometrisch construirt werden. Das $2n$~fache dieses Dreiecks ist gleich $\pi k^2$. Unter der Voraussetzung der obigen Form für die Zahl $n$ kann also die Fläche $\pi k^2$ in $n$ gleiche Theile getheilt werden. Es ist daher auch die Construction eines Vielecks von der Fläche \[ f = \frac{m}{n} \pi k^2, \] wo $m$ beliebig und $n$ von der obigen Form ist, möglich. 3) Bedeutet $\varrho$ den zur Sehne $r$ gehörigen Grenzbogen, so ist die Fläche des ebenen Kreises vom Radius $r$ (nach Art.~87, Zusatz) \[ \pi \varrho^2 = \pi k^2 \tan u^2, \] wo mit Beibehaltung der Figur des Art.~89, $u = EAC$ und die Sehne $AD = r$ ist. Da man (nach Art.\ 67) den Winkel $u$ für jeden Werth von $r$ durch Construction erhält, so kann man $\tan u$ als das Verhältniss zweier Grenzbögen also auch $\tan u^2$ geometrisch construiren. Die Fläche eines ebenen Kreises ist daher geometrisch quadrirt vermittelst einer geradlinigen Figur $(=\pi k^2)$ %-----File: 104.png-------------------------------------------- und vermittelst gleichförmiger Linien derselben Art (Grenzbögen, welche bezüglich ihrer Vergleichung sich wie Strecken verhalten). Da $\pi\varrho^{2}$ die Fläche eines Kreises auf der Grenzfläche ist, so ist auf dieselbe Art auch der Kreis auf der Grenzfläche quadrirt. Ist $\tan u^2$ eine ganze Zahl oder ein Bruch $\dfrac{m}{n}$, wo der Nenner $n$ die erwähnte Gauss'sche Form hat, so kann man nach dem Vorigen ein (ebenes) Vieleck construiren, dessen Fläche der Fläche des Kreises gleich ist. \section{Flächenbestimmung räumlicher Figuren.} \subsection{91.} Um das constante Verhältniss einer Fläche gleichen Abstandes $= h$ zur zugehörigen Fläche ihrer Grund-Ebene zu bestimmen, grenze man auf letzterer ein unendlich kleines Rechteck mit den Seiten $a$ und $b$ ab. Die zugehörigen Seiten $a'$ und $b'$ des Flächenelements der Fläche gleichen Abstandes sind durch \[ a' = a \fcos \dfrac{h}{k}, \quad b' = b \fcos \dfrac{h}{k}, \] das Flächenelement also durch \[ a'b' = ab \fcos \dfrac{h^2}{k} \] bestimmt. \subsection{92.} Die krumme Oberfläche $z$, welche von dem Stück $q$ einer Linie gleichen Abstandes $= h$ durch Umdrehung um ihre Gerade erzeugt wird, ist \begin{gather*} z=\mcirc\, h\cdot q\\ z=2\pi k \fsin \dfrac{h}{k} \cdot p\fcos \dfrac{h}{k}=\pi kp\fsin \dfrac{2h}{k},\\ \end{gather*} wo $p$ das dem Bogen $q$ entsprechende Stück der Geraden ist. \subsection{93.} \Paragraph{Kugelabschnitt.} Es sei $A$ der Pol des Kugelabschnittes, $AOB = \varphi$ der halbe Mittelpunktswinkel, $p$ der Umfang des grössten Kreises. Ist $BC\perp OA$, so ist \[ \mcirc BC =p\sin \varphi. \] %-----File: 105.png-------------------------------------------- \begin{wrapfigure}[11]{r}{3.9cm} \caption{\hskip1pt } \includegraphics*[width=3.9cm]{images/fig57} \end{wrapfigure} Ist $x$ die Länge des Kreisbogens $AB$, so ist \[ x:p=\varphi:2\pi, \] also \[ dx=\frac{p}{2\pi}\,d\varphi. \] Die Fläche $dz$ der durch das Bogenelement $dx$ bestimmten Kugelzone ist \[ dz = \mcirc BC \,dx = p\sin\varphi \cdot \frac{p}{2\pi}\,d\varphi, \] oder \[ dz = \frac{p^2}{2\pi}\sin\varphi \,d\varphi. \] Das Integral von 0 bis $\varphi$ giebt die krumme Fläche des Kugelabschnittes \[ z = \frac{p^2}{2\pi}(1-\cos\varphi). \] Für $\varphi=\pi$ erhält man die gesammte Kugelfläche \[ f=\frac{p^2}{\pi}. \] Daraus folgt (nach Art.\ 44) für die Fläche eines sphärischen Dreiecks \[ \frac{p^2}{4\pi^2}(A+B+C-\pi). \] \Paragraph{Zusatz.} Der Ausdruck für die krumme Fläche eines Kugelabschnittes lässt sich auf folgende Art umformen: Durch den Umfang des grössten Kreises der Zeichnung denke man sich eine Grenzfläche gelegt, welche von den durch die Radien $OA$ und $OB$ auf die Ebene des Kreises senkrechten Ebenen in den Grenzbögen $O'A$ und $O'B$ geschnitten wird. Zieht man den Grenzbogen $BD \perp AO'$, so erhält man ein Grenzdreieck $BO'D$, in welchem \[ \text{Winkel }O'=\varphi,\quad p = 2\pi O'B, \] also \hfill $\dfrac{O'D}{O'B} = \cos \varphi$, \hfill \phantom{also} \[ 1-\cos\varphi =\frac{AD}{O'B}=\dfrac{2\pi AD}{p} \] und \[ z= AD \cdot p = \pi A D \cdot AA' \] ist, wo $AA'$ den Grenzbogen $AO'A'$ bedeutet. Ist $AB$ der Grenzbogen zwischen den Punkten $A$ und $B$\footnote {Dieser Grenzbogen ist in der Figur nicht gezeichnet, derselbe ist von dem Kreisbogen $AB$ verschieden. }, so ist %-----File: 106.png-------------------------------------------- \[ \overline{AB}^2 = AD\centerdot AA', \] also \[ z=\pi\,\overline{AB}^2. \] Durch Anwendung des Zusatzes des Art.\ 87 folgt: Die krumme Fläche eines Kugelabschnittes ist gleich der Fläche eines (ebenen) Kreises, dessen Radius gleich der Strecke zwischen dem Pol und einem Punkte des Umfanges des Schnittkreises ist. \section{Inhaltsbestimmung.} \subsection{94.} Der Inhalt des Körpers, begrenzt von einer ebenen Figur als Grundfläche, wird dadurch bestimmt, dass man durch Flächen gleichen Abstandes zur Basis den Körper in Elemente zerlegt. Ist $y$ der Abstand, $p$ der der Fläche zugehörige Theil der Grundebene, so ist das Körperelement \[ dv=p\fcos \dfrac{y^2}{k}dy \] Drückt man $p$ durch $y$ aus, so erhält man durch Integration den Inhalt des Körpers. Ist $p =$ Const., so gibt das Integral von 0 bis $h$ \[ v=\tfrac{1}{4}kp\fsin 2\dfrac{h}{k}+\tfrac{1}{2}ph \] den Inhalt des Analogon des geraden Prismas der gewöhnlichen Geometrie, wo $p$ die Basis und $h$ die Höhe bedeutet. \subsection{95.} \begin{wrapfigure}{r}{3.1cm} \caption{\hskip1pt } \includegraphics*[width=3.1cm,height=3.9cm]{images/fig58} \end{wrapfigure} In ähnlicher Weise wird der Inhalt der Pyramide bestimmt. Es sei $SABC$ die gegebene Pyramide, wobei $SA\perp ABC$ vorausgesetzt wird. Zerschneidet man die Pyramide durch Flächen gleichen Abstandes $A'B'C'$ in Elemente, so ist \[ dv=A'B'C' \,dy \] das Element des Inhaltes. Ist $B_1C_1$ die Projection der Linie $B'C'$ auf die Basis, so ist \[ dv=AB_1C_1\fcos \dfrac{y^2}{k}\,dy. \] %-----File: 107.png-------------------------------------------- Setzt man $SA = h$, $AB= b$, $AC= c$, $AB_1 = x$, $AC_1= u$, so kann man mit Zuziehung der Gleichungen \[ \frac{\ftan\dfrac{ y}{k}}{\ftan\dfrac{h}{k}} = \frac{\fsin\dfrac{b-x}{k}}{\fsin\dfrac{b}{k}} = \frac{\fsin\dfrac{c-u}{k}}{\fsin\dfrac{c}{k}} \] die Fläche $AB_1C_1$ durch $y$ ausdrücken. Das Integral von 0 bis $h$ gibt den Inhalt der Pyramide. \subsection{96.} Auf dieselbe Art wird der Inhalt des geraden Kegels bestimmt. Im rechtwinkligen Dreiecke $SAO$ stelle $SO = h$ die Höhe, $AO = r$ den Radius der Basis und $SA = s$ die Seite des Kegels dar. Ist $M$ ein Punkt der Seite $SA$, $MP \perp AO$, so ist $p$ gleich der Kreisfläche mit dem Radius $OP = r - u$, wenn $AP = u$ gesetzt wird. Daraus folgt \[ dv=4\pi k^2\fsin\dfrac{r-u^2}{2k}\fcos\dfrac{y^2}{k} dy, \] dabei ist \[ \ftan \dfrac{y}{k} = \frac{\ftan\dfrac{h}{k}}{\fsin\dfrac{r}{k}}\fsin\dfrac{u}{k} = m\fsin\dfrac{u}{k}. \] Drückt man die Grösse $u$ durch $y$ aus, so erhält man \begin{gather*} \frac{dv}{2\pi k^2} = \fcos\dfrac{r}{k} \fcos\dfrac{y}{k} \sqrt{m^2+(m^2+1)\fsin\dfrac{y^2}{k}} \;\frac{dy}{m}. \\ - \fsin\dfrac{r}{k} \fsin\dfrac{y}{k} \fcos\dfrac{y}{k} \dfrac{dy}{m} - \tfrac{1}{2} \left( 1+\fcos 2\dfrac{y}{k} \right) dy. \end{gather*} Das Integral von 0 bis $h$ gibt für den Inhalt \[ v = \pi k^2 \left( s\ftan\dfrac{h}{k} \fcot\dfrac{s}{k} - h \right). \] \subsection{97.} Den Inhalt des Rotationskörpers des Art.~92 erhält man auf die folgende Art: Man zerlege die Fläche, begrenzt von den Linien $p$ und $q$ und den Ordinaten der Endpunkte, durch Linien gleichen Abstandes in Elemente, so bestimmen bei der Umdrehung je zwei auf einander folgende Linien einen ringförmigen Körper. Durch Ebenen, welche auf der Strecke $p$ der Umdrehungsaxe senkrecht sind, wird jeder Ring in %-----File: 108.png-------------------------------------------- Körperelemente zerlegt. Ist $x$ der Abstand einer Linie $p'$ gleichen Abstandes von der Axe $p$, sind $dp$ und $dp'$ die Stücke der Geraden $p$ und der Abstandslinie $p'$ zwischen je zwei senkrechten Ebenen, so ist der Inhalt $dv$ des Körperelements \[ dv = \mcirc\, x \,dx \,dp' = \pi k \fsin 2\dfrac{x}{k} \,dx \,dp, \] also der Inhalt eines Ringes (indem man nach $p$ integrirt) \[ =\pi kp\fsin 2\dfrac{x}{k}, \] und die Summe der Ringe (indem man von 0 bis $h$ integrirt) \[ v=\pi k^2 p\fsin\dfrac{h^2}{k}. \] \subsection{98.} Die Kugel zerlege man durch concentrische Kugelflächen in Elemente. Ist $x$ der Radius einer Kugelfläche, $dx$ die Entfernung je zweier Kugelflächen, so ist der Inhalt des Elementes enthalten zwischen diesen beiden Kugelflächen (nach Art.~93) \[ f \,dx = 4\pi k^2 \fsin \dfrac{x^2}{k} \,dx \] also der Inhalt der Kugel \[ v = \pi k^3\fsin 2\dfrac{r}{k}-2\pi k^2 r, \] wo $r$ der Radius ist. %-----File: 109.png-------------------------------------------- \chapter{Drittes Buch.} \subchapter{Endlicher Raum und absolute Geometrie.} \section{Absolute Sphärik.} \subsection{99.} \thispagestyle{empty} Für das leichtere Verständniss der später behandelten Planimetrie des endlichen Raumes möge die nachstehende Darstellung der Sätze der Sphärik ohne Benützung des Mittelpunktes der Kugel vorausgeschickt werden. Die Kugelfläche (Sphäre) ist eine endliche, unbegrenzte, an allen Stellen gleichartige d.~i.\ aus congruenten Theilen zusammengesetzte Fläche. Durch zwei beliebige Punkte derselben ist im Allgemeinen \so{eine} grösste Kreislinie (Hauptkreis) möglich, welcher eine unbegrenzte an allen Stellen gleichartige Linie ist, so dass die beiden Theile der Kugelfläche zu den beiden entgegengesetzten Seiten des Hauptkreises vollkommen gleichartig sind, d.~h.\ zur Deckung gebracht werden können. Jede grösste Kreislinie theilt die Sphäre in zwei congruente Stücke, alle grössten Kreislinien sind daher congruent und folglich von gleicher Länge. Schneidet eine grösste Kreislinie $AA'$ eine zweite $BB'$ in einem Punkte $M$, so muss nach Art.~6 die erste die zweite mindestens nochmals in einem Punkte $M'$ schneiden. Zwei beliebige grösste Kreislinien $AA'$ und $BB'$ schneiden sich in zwei Punkten $M$ und $M'$, in welchen die beiden Kreislinien halbirt werden. Zwei solche Punkte heissen \so{Gegenpunkte}. \begin{wrapfigure}[8]{r}{3.6cm} \vspace{-0.25cm} \caption{\hskip1pt } \includegraphics*[width=3.6cm,height=2.5cm]{images/fig59} \end{wrapfigure} Denn würde die Linie $BB'$ auf derselben Seite von $AA'$ liegen, so müsste die halbe Sphäre und der zwischen $BB'$ %-----File: 110.png-------------------------------------------- und $AA'$ liegende Theil der Sphäre wieder gleich der halben Sphäre sein. Nimmt man von den halben Sphären auf der einen Seite von $AA'$ und $BB'$ den ihnen gemeinsamen zwischen den $MBM'$ und $MAM'$ liegenden Theil der Sphäre weg, so erhält man die Gleichheit der zwischen den Linien $MA'M'$ und $MBM'$, $MAM'$ und $MB'M'$ liegenden Theile der Sphäre, woraus folgt, dass die Durchschnittspunkte $M$ und $M'$ zwei Gegenpunkte sind. Der zwischen zwei in Gegenpunkten sich schneidenden halben grössten Kreislinien enthaltene Theil der Sphäre heisst ein (sphärisches) \so{Zweieck}. Aus dem Vorhergehenden folgt: Durch zwei Gegenpunkte einer Sphäre sind beliebig viele grösste Kreislinien möglich. Zwei Punkte, die nicht Gegenpunkte sind, d.~h.\ nicht eine durch sie gelegte grösste Kreislinie halbiren, bestimmen eine und nur \so{eine} grösste Kreislinie. Durch jeden Punkt der Sphäre kann man beliebige grösste Kreislinien ziehen, alle diese Linien schneiden sich nochmals in dem zugehörigen Gegenpunkte. Um zwei Gegenpunkte herum kann man die Sphäre in eine beliebige Anzahl congruenter Theile getheilt voraussetzen, --- ähnlich, wie die (geradlinigen) Winkel um einen Punkt in einer Ebene unter Voraussetzung der gewöhnlichen Geometrie. In diesem Sinne kann die Fläche des Zweiecks als dessen Winkel (und umgekehrt) betrachtet werden. \subsection{100.} Zwei (beliebige) grösste Kreislinien theilen die Sphäre in vier Zweiecke; eine dritte grösste Kreislinie theilt jedes dieser Zweiecke in zwei (sphärische) Dreiecke. Durch drei grösste Kreislinien wird also die Sphäre in acht Dreiecke zerlegt, von denen jedes durch drei Durchschnittspunkte und die durch sie gelegten grössten Kreislinien bestimmt ist. Der zwischen je zweien dieser Punkte enthaltene kleinere Theil jeder Kreislinie heisst eine \so{Seite} des Dreiecks. Ist $ABC$ eines dieser Dreiecke, so heisst das durch die %-----File: 111.png-------------------------------------------- zugehörigen Gegenpunkte bestimmte Dreieck $A'B'C'$ das dem ersteren \so{symmetrische}. Wegen \[ AB = AA' - BA' = BB' - BA' = A'B' \] und der Gleichheit der Winkel eines Zweiecks in den Gegenpunkten und der Scheitel-Zweiecke folgt, dass die beiden symmetrischen Dreiecke $ABC$ und $A'B'C'$ die entsprechenden Stücke in derselben Ordnung einander gleich haben. Berücksichtigt man, dass bei zwei schneidenden Linien (auf derselben Fläche) die geschnittenen Theile der einen auf den entgegengesetzten Seiten der anderen liegen, so folgt die Verschiedenheit des Drehungssinnes bei symmetrischen Dreiecken. Verschiebt man daher das Dreieck $A'B'C'$ derart, dass die Seite $A'B'$ mit der Seite $AB$ des Dreiecks $ABC$ zusammenfällt, so liegen die Punkte $C$ und $C'$ auf den entgegengesetzten Seiten der Linie $AB$. Ist $AB = BC$ d.~h.\ das Dreieck $ABC$ --- also auch das Dreieck $A'B'C'$ --- gleichschenklig, so sind beide einander congruent, also $C' = A$; und, wegen $C = C'$, $A = C$; d.~h.\ im gleichschenkligen Dreiecke sind die den gleichen Seiten gegenüberliegenden Winkel einander gleich. \subsection{101.} \begin{wrapfigure}{r}{4cm} \caption{\hskip1pt } \includegraphics*[width=4cm,height=2.45cm]{images/fig60} \end{wrapfigure} Jedes sphärische Dreieck hat einen Mittelpunkt. Denn die senkrechten gröss\-ten Kreislinien in den Mitten $D$ und $E$ der Seiten $BC$ und $AC$ schneiden sich in einem Punkte $O$, woraus $AO = CO = BO$ folgt. Verbindet man die Mitte $F$ der Seite $AB$ durch eine grösste Kreislinie, so steht $OF$ senkrecht auf $AB$. Man kann daher den Punkt $O$ auch als den Durchschnittspunkt der drei Senkrechten in den Mitten der Dreiecksseiten erklären. \so{Folgerungen:} a) Man kann jedes Dreieck in drei gleichschenklige Dreiecke mit gemeinsamer Spitze und gleichen Schenkeln $AO = BO = CO$ zerlegen. b)~Zwei symmetrische Dreiecke $ABC$ und $A'B'C'$ sind flächengleich. Man bestimme den Mittelpunkt $O$ des Dreiecks $ABC$ und mache auf $A'B'$ das $ \Triangle A'B'O' \cong \Triangle ABO$ derart, dass der Punkt $O'$ mit dem Punkte $C'$ auf derselben oder entgegengesetzten %-----File: 112.png-------------------------------------------- Seite von $A'B'$ liegt, wenn der Punkt $O$ mit dem Punkte $C$ auf derselben oder entgegengesetzten Seite von $AB$ liegt; dann folgt (aus $AC = A'C'$ und $A = A'$), dass die Dreiecke $ACO$ und $A'C'O'$ symmetrisch sind, also (wegen $AO = CO$) $A'O' = C'O'$ d.~h., dass der Punkt $O'$ der Mittelpunkt des Dreiecks $A'B'C'$ ist. Die Dreiecke $OAB$, $OBC$, $OCA$ sind resp.\ mit den Dreiecken $O'A'B'$, $O'B'C'$, $O'C'A'$ congruent, also die aus ihnen zusammengesetzten Dreiecke $ABC$ und $A'B'C'$ flächengleich. \subsection{102.} Bestimmung der Fläche eines sphärischen Dreiecks. Die grösste Kreislinie durch zwei Spitzen $A$ und $B$ theilt die Sphäre in zwei congruente Theile. Die grössten Kreislinien durch die Punkte $A$ und $C$, $B$ und $C$ bestimmen mit der ersteren auf der Halb-Sphäre der Punkte $A$, $B$, $C$ zwei Zweiecke mit den Winkeln $A$ und $B$, welche die Fläche des Dreiecks gemeinsam haben. Die Summe dieser beiden Zweiecke vermindert um die Fläche dieses Dreiecks gibt die halbe Sphäre vermindert um die Fläche des Dreiecks $A'B'C$, welches letztere wieder gleich ist der Fläche des Zweiecks $C$ vermindert um das dem Dreiecke $ABC$ flächengleiche Dreieck $A'B'C'$. Ist $F$ die Fläche der (ganzen) Sphäre, $f$ die Fläche des Dreiecks $ABC$, so ist also \begin{gather*} A + B + C = \tfrac{1}{2}F + 2 f\\ f = \tfrac{1}{2}(A + B + C - \tfrac{1}{2}F). \end{gather*} Theilt man die Sphäre in zwei Gegenpunkten in 360 Zweiecke, von denen jedes ein Grad $= 1$° genannt wird, so ist \[ f = \tfrac{1}{2}(A + B + C - \text{180°}), \] wo $A$, $B$, $C$ in Graden auszudrücken sind. Da $f$ positiv ist so ist \[ A + B + C > \text{180°}. \] Mit dem Verschwinden von $f$ wird die Winkelsumme des sphärischen Dreiecks $= 180° =$ der des geradlinigen Dreiecks in der euclidischen Geometrie. Auch die Gleichungen der »sphärischen Trigonometrie« können ohne Schwierigkeit unabhängig von jeder fremdartigen Hülfe erhalten werden. %-----File: 113.png-------------------------------------------- \section{Planimetrie des endlichen Raumes.} \subsection{103.} Unter der Voraussetzung, dass die Gerade zwar unbegrenzt aber endlich ist, d.~i.\ unter der Voraussetzung des endlichen aber unbegrenzten Raumes wird die Planimetrie mit der Sphärik identisch. Erklärt man die Gerade als eine Linie, die im Allgemeinen durch zwei Punkte bestimmt also aus congruenten Stücken zusammengesetzt ist, so wird man durch fortgesetzte Verlängerung einer Strecke wieder zu den früheren Punkten zurück kommen. In gleicher Weise muss dann auch der Ebene die Eigenschaft der Endlichkeit zugesprochen werden, weil die geradlinige Verbindung zweier Punkte einer Ebene vollkommen in die Ebene fällt. Die Voraussetzungen für die ebene Geometrie sind daher folgende: 1) Alle Geraden sind einander congruent also auch von gleicher Länge, etwa $l = 2\pi k$. 2) Die Ebene ist aus congruenten in sich verschiebbaren Theilen zusammengesetzt. 3) Durch zwei Punkte einer Ebene ist im Allgemeinen nur eine Gerade möglich. Diese Gerade liegt mit allen ihren Punkten in der Ebene. Aus diesen Voraussetzungen folgt unmittelbar wie in den vorigen Art., dass je zwei Gerade einer Ebene sich in zwei Punkten, deren Entfernung $= \dfrac{l}{2}$ ist, schneiden; ferner, dass die Ebene durch jede unbegrenzte Gerade in zwei (congruente) Halbebenen getheilt wird, u.~s.~w. Man ersieht, dass man alle Sätze der Sphärik unmittelbar auf die Planimetrie übertragen kann, indem man grösste Kreislinie, Sphäre, u.~s.~w.\ resp.\ durch Gerade, Ebene, u.~s.~w.\ ersetzt. Gleiches gilt daher auch von den Winkeln, Dreiecken (bei welchen dann ebenfalls zwischen Congruenz und Symmetrie unterschieden werden muss), deren Flächen und Relationen zwischen ihren Seiten und Winkeln. Speciell erhält man, wenn die Fläche der Halbebene $= 180$° gesetzt wird, für die Fläche $f$ eines Dreiecks mit den Winkeln $A$, $B$, $C$ den Ausdruck \[ f = \tfrac{1}{2} (A + B + C - \text{180°}). \] %-----File: 114.png-------------------------------------------- Die Winkelsumme des geradlinigen Dreiecks ist daher grösser als 180°. In gleicher Weise gehen die Relationen der sphärischen Trigonometrie in die der Planimetrie über, indem man statt des Umfanges des grössten Kreises die Länge der ganzen Geraden setzt. Berücksichtigt man ferner, dass die Formeln der Sphärik für sehr kleine Verhältnisse der Seiten einer Figur zum Radius in die der euclidischen Planimetrie übergehen, so folgt analog wie im Art.~63: 1) Für unendlich kleine Figuren gilt die gewöhnliche (euclidische) Geometrie. 2) Man kann die gewöhnliche (euclidische) Geometrie als speciellen Fall der endlichen Geometrie auffassen, indem man die Länge der unbegrenzten Geraden so gross annimmt, dass man für unsere Messungen mit den Näherungsformeln, die sich aus der Sphärik ergeben, ausreicht. \section{Absolute Geometrie.} \subsection{104.} Fasst man die in den vorhergehenden Artikeln gewonnenen Resultate zusammen, so ergibt sich, dass die gewöhnlichen Voraussetzungen (Axiome) der Congruenz sowie der durch Definitionen eingeführten einfachsten Gebilde der Geraden, Ebene, u.~s.~w.\ für den Aufbau der Geometrie nicht ausreichend sind. Für die Gerade ist erforderlich, dass man ausser der gewöhnlichen Erklärung: »sie ist eine durch zwei Punkte bestimmte Linie« noch angibt, ob sie endlich oder unendlich ist. Die Voraussetzung der Unendlichkeit der Geraden --- also auch die der Ebene --- liefert die im Art.~63 als absolute Geometrie im Sinne Bolyais bezeichnete allgemeine Geometrie, in der die Gerade zwei unendlich ferne Punkte besitzt. Die euclidische Geometrie erscheint als specieller Fall dieser Geometrie dadurch, dass man mit voller Beibehaltung des Axioms der Geraden die beiden unendlich fernen Punkte einer Geraden als einen einzigen Punkt betrachtet. Die Voraussetzung der Endlichkeit der Geraden liefert eine Geometrie, in welcher das Axiom der Geraden nicht mehr in voller Allgemeinheit erhalten werden kann. Auch von dieser Geometrie kann man die euclidische als speciellen Fall betrachten, indem man in letzterer der Geraden zwei %-----File: 115.png-------------------------------------------- unendlich ferne Punkte beilegt und das Axiom der Geraden nur für die im endlichen liegenden Punkte beibehält, während man es für die unendlich fernen Punkte aufgibt. Unter dieser Voraussetzung lautet die Definition der Geraden so: Die Gerade ist eine Linie, die durch zwei im Endlichen liegende Punkte bestimmt ist; liegen aber zwei Punkte im Unendlichen, so sind durch sie beliebig viele Gerade möglich. Die Geometrien des unendlichen und endlichen Baumes sammt ihrem speciellen Fall der euclidischen Geometrie sind analytisch durch dieselben Formeln gegeben, da nämlich die Formeln der nichteuclidischen Geometrie und der Sphärik (als Repräsentant der Geometrie des endlichen Raumes) durch Umwandlung einer Constanten $k$ in $ki$ in einander übergehen. Die euclidische Geometrie kann nun als Uebergangsfall der beiden Geometrien betrachtet werden, indem der Uebergang der Constanten $1 : k$ in $1 : ki$ (oder $1 : ki$ in $1 : k$) % [** Typo Nulle] durch die Null geschieht. Betrachtet man die Formeln der nichteuclidischen Geometrie als die Ausgangsformeln, so erscheint, falls der Uebergang in Null aus dem Reellen d.~i.\ aus $1 : k$ geschieht, die euclidische Geometrie als specieller Fall der nichteuclidischen; geschieht hingegen dieser Uebergang aus dem Imaginären (d.~i.\ aus $1 : ki$), so erscheint die euclidische Geometrie als specieller Fall der Sphärik. Je nach der einen oder anderen Fassung wird man der Geraden resp.\ einen oder zwei unendlich entfernte Punkte beilegen und das Axiom der Geraden resp.\ vollständig oder auf endliche Punkte beschränkt beibehalten. \begin{Small} \so{Anmerkung.} Wegen der Analogie der Beziehungen der drei Formen der Geometrie mit denen der Hyperbel, Ellipse und Parabel hat \so{Felix Klein}\footnote {»Ueber die sogenannte nichteuclidische Geometrie.« Mathematische Annalen Bd.~4.} die nichteuclidische, sphärische und euclidische Geometrie resp.\ die hyperbolische, elliptische und parabolische Geometrie genannt. \end{Small} \subsection{105.} Ungeachtet der scheinbaren Selbstständigkeit der Geometrie des endlichen Raumes kann doch die Geometrie Bolyai's und Lobatschewsky's als der allgemeine Fall bezeichnet werden. %-----File: 116.png-------------------------------------------- Da nämlich jede Wissenschaft ihren Gegenstand aus gewissen hypothetischen Voraussetzungen und Gebilden aufbaut, so muss von den verschiedenen möglichen Formen einer Wissenschaft, die den verschiedenen Voraussetzungen entsprechen, diejenige die allgemeinste genannt werden, welche unter ihren Objecten die der übrigen Formen enthält. Die auf Grundlage des unendlichen Raumes erhaltene Geometrie besitzt unter ihren Gebilden die Sphäre (und die von ihr eingeschlossene Kugel als Theil des Raumes) mit genau denselben Eigenschaften als die selbstständige Form des endlichen Raumes. Man kann daher die Geometrie des endlichen Raumes als einen Theil der Untersuchungen der Geometrie des unendlichen Raumes auffassen, d.~h.\ letztere als die allgemeine Form betrachten. Im Vorigen wurden in der Geometrie des endlichen Raumes nur die »Gerade in der Ebene« betrachtet, wobei letztere Fläche durch die im Art.~103 erwähnten Eigenschaften definirt ist. Aus diesen Eigenschaften folgt noch nicht, dass die Ebene auch durch drei Punkte, die nicht in einer Geraden liegen, bestimmt ist. Diese Eigenschaft setzt nämlich die Umkehrbarkeit der Ebene voraus, welche für den endlichen Raum nicht stattfindet, da eine endliche unbegrenzte gleichartige Fläche nicht umkehrbar ist, denn sonst müssten in einer jeden Hauptlinie die beiden inneren Seiten der Hälften zusammenfallen. Eine unbegrenzte und zugleich umkehrbare Fläche muss daher unendlich ferne Elemente enthalten, d.~i.\ unendlich sein.\footnote {Die Grenzfläche ist ein Beispiel einer unendlichen, gleichartigen aber nicht umkehrbaren Fläche; es gilt also nicht der Satz »jede unendlich gleichartige Fläche ist umkehrbar« allgemein, sondern nur in der euclidischen Geometrie.} Für die Möglichkeit von Untersuchungen »aus der Stereometrie« ist die vor\-her er\-wähn\-te Eigenschaft der Ebene un\-er\-läss\-lich, woraus wieder die Zwecklosigkeit einer selbstständigen Geometrie des endlichen Raumes hervorgeht. \begin{Small} \so{Anmerkung.} Ob der wirkliche d.\ i.\ Erfahrungsraum unendlich ist, ist hierdurch keineswegs nachgewiesen; aus dem Vorhergehenden ist es jedoch vollkommen klar, dass der ideale Raum als unendlich vorausgesetzt werden kann. \end{Small} %-----File: 117.png-------------------------------------------- \section{Absolute Projectivität.} \subsection{106.} Sind $A$ und $B$ zwei Punkte einer Geraden, so soll durch die Zusammenstellung $AB$ die zwischen den Punkten $A$ und $B$ enthaltene Strecke bezeichnet werden. Dieselbe wird positiv oder negativ genommen, je nachdem der Punkt $B$ in der positiven oder negativen Richtung auf den Punkt $A$ folgt. Ist $C$ ein Punkt der Gerade $AB$, so ist das Verhältniss \[ \fsin \dfrac{AC}{k} : \fsin \dfrac{CB}{k} \] positiv, wenn der Punkt $C$ auf der Strecke $AB$; negativ, wenn der Punkt $C$ ausserhalb der Strecke liegt; dasselbe ist absolut grösser als Eins, wenn der Punkt $C$ näher dem Punkte $B$ als dem Punkte $A$ liegt. Für zwei fixe Punkte $A$ und $B$ ist also die Lage des Punktes $C$ für einen gegebenen Werth des Verhältnisses eindeutig bestimmt. Ist $D$ ein zweiter Punkt der Geraden $AB$, so heisst das zusammengesetzte Verhältniss \[ \frac{\fsin\dfrac{AC}{k}}{\fsin\dfrac{CB}{k}} : \frac{\fsin\dfrac{AD}{k}}{\fsin\dfrac{DB}{k}} =\fsin \,(A,\,B,\,C,\,D) \] das \so{Doppel-Verhältniss} der vier Punkte $A$, $B$, $C$, $D$. Ist $S$ der Mittelpunkt eines ebenen Strahlenbündels, sind $a$, $b$, $c$, $d$, \ldots\ die zugehörigen Strahlen, ($a$, $b$) der Winkel der Strahlen $a$ und $b$, so folgt aus Art.~62 für jede das Strahlenbüschel in den Punkten $A$, $B$, $C$, $D$, \ldots\ schneidende Gerade \[ \fsin \,(A,\,B,\,C,\,D)= \sin \,(a, \,b, \,c, \,d), \] wobei \[ \sin \,(a, \,b, \,c, \,d) = \frac{\sin \,(a, c)}{\sin \,(c, b)} : \frac{\sin \,(a, d)}{\sin \,(d, b)} \] das Doppelverhältniss der vier Strahlen $a$, $b$, $c$, $d$ bedeutet. Aus der Gleichheit der Doppelverhältnisse der Strahlen eines ebenen Strahlenbüschels mit den Punkten einer dasselbe schneidenden Transversale folgt die Projectivität für die nichteuclidische Geometrie. \subsection{107.} Analoge Beziehungen finden auf der Kugelfläche statt. Unter $AB$ kann einer der beiden Kreisbogen, in welche eine %-----File: 118.png-------------------------------------------- grösste Kreislinie durch zwei Punkte $A$ und $B$ getheilt wird, mit Rücksicht auf das Vorzeichen verstanden werden. Ist $k$ der Radius der Kugel, so ist das Doppelverhältniss der vier Punkte $A$, $B$, $C$, $D$ einer grössten Kreislinie ausgedrückt durch \[ \sin \,(A, \,B, \,C, \,D) = \frac{\sin\dfrac{AC}{k}}{\sin\dfrac{CB}{k}} : \frac{\sin\dfrac{AD}{k}}{\sin\dfrac{DB}{k}}. \] Wird ein sphärisches Strahlenbüschel $a$, $b$, $c$, $d$, \ldots\ durch eine grösste Kreislinie in den Punkten $A$, $B$, $C$, $D$, \ldots\ geschnitten, so ist \[ \sin\,(a,\,b,\,c,\,d) = \sin \,(A, \,B, \,C,\,D). \] Aus dieser Gleichung folgt wieder die Projectivität auf der Kugelfläche d.~i.\ die Projectivität der Planimetrie des endlichen Raumes. Die Projectivität ist daher von dem Parallelenaxiom unabhängig.\footnote {Zuerst ausgesprochen von F.~\so{Klein} in den math.\ Annalen Bd.~IV, S.~623. Ueber absolute Projectivität vgl.\ die in Art.~84 citirte Abhandlung von \so{Escherich.}} \begin{Small} \so{Anmerkung.} Werden die Strahlen eines ebenen Strahlenbüschels und die Durchschnittspunkte einer Transversalen einander entsprechend gesetzt, so findet in den drei Geometrien folgendes statt: In der nichteuclidischen Geometrie entsprechen den (reellen) Strahlen, welche zur Transversale Nichtschneidende sind, ideale Punkte. In der euclidischen Geometrie entspricht jedem Strahl ein reeller Punkt, dabei wird der unendliche Punkt dem parallelen Strahl entsprechend gesetzt. In der Sphärik entspricht jedem Elemente des einen Gebildes ein reelles Element des anderen Gebildes. \end{Small} \section{Versinnlichung der Geometrie.} \subsection{108.} Da die Bestimmung der Constanten $k$ aus den Beobachtungen zu geschehen hat, letztere aber nachweisen, dass wir für alle unsere Messungen diese Constante gleich unendlich setzen können, so können die Resultate der ebenen nichteuclidischen Geometrie und der sphärischen Planimetrie nicht in unserem Erfahrungsraume durch ebene Figuren in ihren wahren Verhältnissen versinnlicht werden. Diese Versinnlichung %-----File: 119.png-------------------------------------------- kann dagegen auf krummen Flä\-chen, in welchen die kürzesten Linien den in einer Ebene liegenden Geraden entsprechen, geschehen. Für die ebene Geometrie des endlichen Raumes dient die Kugelfläche und die auf ihr gezogenen kürzesten Linien d.~h.\ die grössten Kreise als Versinnlichung. Alle Resultate der einen Untersuchung können unmittelbar in entsprechende Untersuchungen des anderen Gebietes umgesetzt werden. In gleicher Weise können auch die Resultate der nichteuclidischen Geometrie auf gewissen krummen Flächen interpretirt werden, wie dies durch E.~\so{Beltrami}'s\footnote {»Saggio di interpretazione della Geometria non-euclidea.« Giornale di matematiche. Vol.~VI, 1868. In's Französische übersetzt von % [** Typo Ecole] J.~Hoüel in den »Annales de l'~École Normale supérieure« S.~VI, 1869.} Untersuchung der constant negativ gekrümmten Flächen geschehen ist. \subsection{109.} Den Ausgang dieser Arbeiten bildet die \so{Gauss}'sche Untersuchung über die Krümmung der Flächen und die Anwendung dieser Theorien auf die biegsamen Flächen.\footnote {\so{Gauss}, Disquisitiones generales circa superficies curvas --- Eine französische Uebersetzung mit Zusätzen gibt \so{Roger} 1870. Die hier nöthigen Sätze findet man vollständig in \so{Joachimsthal}'s »Anwendung der Differential- und Integralrechnung etc.« Leipzig, 1872.} Unter \so{Biegung} einer Fläche versteht man eine solche Aenderung der Fläche, bei welcher die Längen aller auf ihr liegenden Linien ungeändert bleiben. Ist daher auf einer biegsamen Fläche eine von kürzesten Linien gebildete Figur gegeben, so ändern sich bei der Biegung die Längen der Seiten und die Winkel nicht. Letztere bleiben desshalb unverändert, weil der Winkel zweier krummen Linien durch die im Scheitel zusammenstossenden Linienelemente bestimmt ist und diese sowie die Verbindung ihrer Endpunkte ihre Grösse nicht ändern. Man kann daher die Flächen auch rücksichtlich derjenigen Eigenschaften untersuchen, welche von der Biegung unabhängig sind. Zu diesen gehören die auf die Krümmung der Flächen bezüglichen, da der Ausdruck für das Krümmungsmass nur vom Ausdrucke für das Linienelement der Fläche abhängt. Aber auch umgekehrt: Zwei Flächen, deren Punkte in einer %-----File: 120.png-------------------------------------------- solchen Beziehung stehen, dass jedem Punkt der einen Fläche ein Punkt der zweiten Fläche derart entspricht, dass je zwei entsprechende Punkte dasselbe Krümmungsmass besitzen, stehen im Verhältniss der Biegung zu einander. Am deutlichsten erhellet dies aus dem Ausdrucke des Linienelements einer Fläche \[ ds^2 = du^2 + m^2dv^2; \] hier wird ein beliebiger Punkt $O$ der Fläche als Coordinaten-Anfang genommen, durch $O$ werden auf der Fläche kürzeste Linien $u$ gezogen und jeder Punkt $M$ der Fläche ist bestimmt durch die Länge $OM$ der kürzesten Linie $u$ und durch den Winkel $v$, welchen diese Linie mit einer als erste kürzeste Linie gewählten Linie $OL$ im Punkte $O$ bildet. Die Grösse $m$ erscheint als eine Function der Variablen $u$ und $v$. Jede beliebige auf der Fläche liegende Linie wird durch eine Gleichung zwischen den Grössen $u$ und $v$ ausgedrückt. Das Mass der Krümmung im Punkte ($u$, $v$) ist bestimmt durch \[ \varkappa = -\frac{1}{m}\frac{\partial^2m}{\partial u^2}, \] dabei ist für $u = 0$ unabhängig von $v$ \[ m = 0, \: \frac{\partial m}{\partial u}= 1. \] Wird die Fläche gebogen, so bleiben für den Punkt $M$ die Grössen $u$ und $v$ ungeändert, dasselbe gilt von jedem dem Punkte $M$ unendlich nahen Punkte $M'$. Ist $ds_1$ das Element der neuen Lage von $MM'$, so ist \[ ds_1^2 = du^2 + m_1^2dv^2 = ds^2 \] also $m_1 = m$, d.\ h.\ $\varkappa_1 = \varkappa$. Umgekehrt entsprechen bei zwei Flächen für dieselben Werthe von $u$ und $v$ ein und derselbe Werth des Krümmungsmasses $\varkappa$, so folgt aus der Gleichung \[ \varkappa = - \frac{1}{m }\frac{\partial^2 m}{\partial u^2} \] durch Integration mit Berücksichtigung der Werthe von $m$ und $\partial m:\partial u$ für $u = 0$, nur ein einziger bestimmter Werth von $m$ d.~i.\ man erhält für beide Flächen denselben Ausdruck des Linienelementes. %-----File: 121.png-------------------------------------------- Letzteren Satz erhält man auch auf die folgende Art\footnote {Nach \so{Riemann} entwickelt. Siehe die im Art.~117 citirte Abhandlung. }: Statt der Grössen $u$ und $v$ führe man die Variabeln $x$ und $y$ ein, wobei \[ x = u \cos v, \quad y = u \sin v \] ist. Dadurch geht der Ausdruck für das Linienelement über in \[ ds^2=dx^2 + dy^2+\frac{1}{u^2}\left(\frac{m^2}{u^2}-1\right) (x\,dy-y\,dx)^2. \] Für sehr kleine Werthe von $u$ folgt \[ m=u+au^2+bu^3+\ldots , \] woraus \[ \varkappa = \frac{2a+6bu+\ldots}{u+au^2+\ldots} \] folgt. Soll im Punkte $O$ d.\ i.\ für $u = 0$ das Krümmungsmass endlich sein, so muss $a = 0$ sein. Es ist daher \[ \varkappa_0 = 6b. \] Damit wird der Ausdruck für das Linienelement \[ ds^2 = dx^2 + dy^2 + (-\tfrac{4}{3}\varkappa_0+8cu+\ldots)\,\Delta^2, \] wo \[ \Delta = x\,dy - y\,dx \] die doppelte Fläche des Dreiecks (0, 0), ($dx$, $dy$), ($x$, $y$) bedeutet. Für sehr kleine Werthe von $u$ erhält man folgende Annäherungen \begin{align*} &d{s_1}^2=dx^2+dy^2\\ &d{s_2}^2=d{s_1}^2-\tfrac{4}{3} \varkappa_0 \,\Delta^2,\text{ u.\ s.\ w.} \end{align*} Der erste Ausdruck bezieht sich auf das Linienelement der Ebene, für diese ist an allen Stellen $\varkappa = 0$. Im zweiten Ausdruck ist für sehr kleine Werthe von $x$ und $y$ die Grösse $\Delta$ von der zweiten Ordnung, also der Unterschied $d{s_2}^2-d{s_1}^2$ d.~i.\ die Abweichung von der Ebenheit eine kleine Grösse der vierten Ordnung. Das Mass der Krümmung kann daher auch durch \[ \varkappa_0 = -\tfrac{3}{4}\frac{d{s_2}^2-d{s_1}^2}{\Delta^2} \] ausgedrückt werden. Besitzen daher zwei (nicht ebene) Flächen in zwei entsprechenden Punkten dasselbe Krümmungsmass~$k_0$, %-----File: 122.png-------------------------------------------- so können die an diesen Stellen befindlichen Elemente zur Deckung gebracht werden. Unendlich kleine Elemente können immer als eben angesehen werden. \subsection{110.} Von besonderem Interesse ist der Fall, wenn das Krümmungsmass für alle Punkte einer Fläche constant ist. Zwei Flächen constanter Krümmung, welche dasselbe Krümmungsmass besitzen, können durch Biegung zur Deckung gebracht werden. Ist das Krümmungsmass gleich Null, so können die Flächen durch Biegung in ebene Flächen verwandelt werden. Ein Flächenstück von constanter positiver Krümmung $= 1:k$ lässt sich mit einer Kugelfläche, deren Radius $k$ ist, zur Deckung bringen, und in dieser Lage ohne weitere Biegung beliebig verschieben. Zwei Flächenstücke constanter negativer Krümmung $= -1:k^2$ lassen sich zwar durch Biegung zur Deckung bringen; allein ohne weitere Biegung kann das erstere nicht auf dem zweiten bewegt werden. Denn in jedem Punkte besitzen die Radien der beiden Krümmungslinien entgegengesetzte Richtung. \subsection{111.} Die Geometrie der von kürzesten Linien gebildeten Figuren auf einer Fläche constanter Krümmung erhält man am einfachsten aus den Gauss'schen Gleichungen, welche aus dem in Art.~109 angeführten Ausdrucke für das Linienelement erhalten werden. Es ist \[ \varkappa = -\frac{1}{m} \frac{\partial^2 m}{\partial u^2}, \quad \frac{\partial m}{\partial u} + \frac{d\vartheta}{dv} = 0; \] wo \[ \frac{m\,dv}{du} = \tan\vartheta, \quad \frac{ du}{ds} = \cos\vartheta, \quad \frac{m\,dv}{ds} = \sin\vartheta \] ist, und $\vartheta$ den Winkel der Kürzesten $s$ mit der Kürzesten $u$ bedeutet. Ist $\varkappa = 1:k^2$ positiv, so erhält man durch Integration \[ m=k\sin\frac{u}{k}. \] Betrachtet man, da $m$ nur von $u$ abhängt, in der Gleichung %-----File: 123.png-------------------------------------------- der Kürzesten die Grösse $v$ also auch die Grösse $\vartheta$ als eine Function von $u$, so geht die Gleichung der Kürzesten über in \[ \frac{dm}{du} + \frac{d\vartheta}{du} : \frac{dv}{du} = 0, \] d.\ i.\ in \[ -\frac{1}{k} \cot\frac{u}{k} du = \cot\vartheta \,d\vartheta, \] deren Integral \[ \sin \frac{u}{k} \sin \vartheta = \text{Const}. \] ist. Daraus folgt für das Dreieck auf der Kugelfläche \[ \sin\frac{a}{k}:\sin\frac{b}{k}:\sin\frac{c}{k}=\sin A:\sin B:\sin C. \] In gleicher Weise erhält man für die Flächen constanter negativer Krüm\-mung gleich $-1 : k^2$ die Gleichung \[ \fsin\frac{a}{k} : \fsin\frac{b}{k} : \fsin\frac{c}{k} = \sin A : \sin B : \sin C, \] aus welchen die übrigen Formeln folgen. Die Formeln der Geometrie der Figuren von kürzesten Linien auf einer Fläche constanter negativer Krümmung $-1 : k^2$ sind daher mit denen der nichteuclidischen Geometrie identisch.\footnote {Diese Gleichungen wurden zuerst von M.~\so{Minding} (Crelle Journal, Bd.~XX, S.~325) ohne Beweis angegeben. Entwicklungen geben M.~\so{Codazzi} (Annales de Tortolini, 1857, S.~354) und G.~\so{Escherich} (Sitzb.\ der k.~Akad.\ der Wissensch.\ Bd.~LXIX).} \subsection{112.} Die im vorigen Art.\ angeführte Uebereinstimmung der nichteuclidischen Planimetrie und der Theorie der Flächen constanter negativer Krümmung wurde von E.~\so{Beltrami}\footnote {»Saggio di interpretazione etc.«} in folgender Weise erklärt. Die Planimetrie hat die beiden Axiome der Congruenz und der Geraden zu ihren Grundlagen. Letzteres Axiom wird aber nicht vollständig sondern nur in folgender beschränkter Weise verwendet: Wenn zwei %-----File: 124.png-------------------------------------------- Ebenen, welche jede eine Gerade enthalten, zusammenfallen, so decken sich die beiden Geraden in allen Punkten, wenn sie zwei Punkte gemeinsam haben. Durch diese Aussage ist nur die Gerade in der Ebene und nicht die Gerade im Raume zugleich bestimmt. Aehnliche Beziehungen wie bei den Geraden in der Ebene finden auch bei den Flächen mit constanter Krümmung statt; auch hier können die Theile zur Deckung gebracht werden und es ist im Allgemeinen durch zwei Punkte (besondere Lagen abgerechnet) nur \so{eine} kürzeste Linie möglich. Bei einer Fläche mit constanter \so{positiver} Krümmung ist für zwei diametrale Punkte die Kürzeste nicht bestimmt, während für jede andere Lage nur \so{eine} Kürzeste möglich ist. Für Flächen mit constanter \so{negativer} Krümmung lässt sich beweisen, dass solche Ausnahmspunkte nicht existiren, so dass die beiden Voraussetzungen der (nichteuclidischen) Planimetrie vollständig für diese Flächen giltig sind. Daraus folgt, dass alle Sätze der nichteuclidischen Planimetrie sich unmittelbar auf die Flächen constanter negativer Krümmung übertragen lassen, und dass Resultate der ersteren, welche in der Planimetrie mit unseren Anschauungen unvereinbar scheinen, auf den letzteren Flächen ihre (reelle) Interpretation finden. In gleicher Weise entspricht der Uebergang von der nichteuclidischen Planimetrie zur euclidischen dem Uebergange von den Flächen mit negativer Krümmung zur Fläche mit der (constanten) Krümmung Null. \subsection{113.} Der Beweis dieser Sätze folgt aus dem Ausdrucke für das Linienelement einer Fläche constanter Krümmung. Für die passende Wahl des Coordinatensystems dient folgende Betrachtung. Eine Kugelfläche mit dem Radius $k$ besitzt an allen Punkten die constante positive Krümmung $1 : k^2$. Projicirt man ihre Punkte vom Mittelpunkte (als Projectionscentrum) auf eine Ebene, so sind die Projectionen der grössten Kreislinien d.~i.\ der Kürzesten Gerade. Es sei $OA = a$ die Entfernung des Mittelpunktes von der Projectionsebene, $N$ die Projection von $M$, $MB \perp OA$. %-----File: 125.png-------------------------------------------- Aus $\Triangle OAN \cong \Triangle OBM$ folgt \[ ON : OM = OA : OB. \] \begin{wrapfigure}[8]{r}{3.2cm} \caption{\hskip1pt } \includegraphics*[width=3.2cm,height=3.4cm]{images/fig61} \end{wrapfigure} Ist $A$ der Anfang eines rechtwinkligen Coordinatensystems in der Projectionsebene, sind ferner $u$, $v$ die Coordinaten von $N$; $x$, $y$, $z$ die Coordinaten von $M$ für den Punkt $A$ als Anfang und der Geraden $AO$ als $z$-Axe, so ist \begin{gather*} x=\frac{k}{ON}u,\quad y=\frac{k}{ON}v, \quad z=\frac{k}{ON}a\\ ON=\sqrt{a^2+u^2+v^2}. \end{gather*} Setzt man statt $u$, $v$ resp.\ $u + du$, $v + dv$, so erhält man $x + dx$, $y + dy$, $z + dz$. Das Linienelement \[ ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2 \] geht dadurch über in \[ ds^2 = k^2\frac{ (a^2+v^2)\,du^2 - 2uv\,du\,dv + (a^2+u^2)\,dv^2 } { (a^2 + u^2 + v^2)^2 } \] oder in \begin{gather*} ds^2 = k^2\frac{-dw + du^2 + dv^2}{w^2}\\ w^2 = a^2+u^2+v^2. \end{gather*} Da (nach Gauss) für das Linienelement \[ ds^2 = E\,du^2 + 2F\,du\,dv + G\,dv^2 \] das Mass der Krümmung durch die Grössen $E$, $F$, $G$ bereits bestimmt ist, so wird der Ausdruck \[ ds^2 = k^2 \frac{ (a^2-v^2)\,du^2 + 2uv\,du\,dv + (a^2-u^2)\,dv^2} { (a^2 - u^2 - v^2)^2 }, \] welcher aus dem vorigen dadurch erhalten wird, indem man $ki$ und $ai$ statt $k$ und $a$ setzt, einer Fläche von constanter negativer Krümmung $= -1 : k^2$ angehören. Alle Untersuchungen, die sich auf solche Eigenschaften beziehen, welche von der Biegung einer Fläche unabhängig sind, können daher aus dem hier gegebenen Ausdruck für das Linienelement erhalten werden, und werden allgemein für alle Flächen von constanter negativer Krümmung gelten. %-----File: 126.png-------------------------------------------- \subsection{114.} Der Ausdruck für das Linienelement \begin{gather*} ds^2=k^2\frac{dw^2+du^2+dv^2}{w^2}\\ w^2 + u^2 + v^2 = a^2 \end{gather*} ist reell für alle Werthe von $u$ und $v$, welche der Bedingung \[ u^2+v^2\leqq a^2 \] genügen. Denkt man sich in einer Hülfsebene zu jedem Punkt $u$, $v$ der Fläche einen Punkt $x$, $y$ construirt, wobei \[ x = u,\quad y = v \] gesetzt wird, so wird für alle Punkte der vom Anfange mit dem Radius $a$ construirten Kreisfläche die Grösse $ds$ reell. Jede Kürzeste auf der Fläche ist durch eine lineare Gleichung zwischen $u$ und $v$, also in der Hülfsebene durch eine lineare Gleichung zwischen $x$ und $y$ bestimmt. Setzt man \[ u=r\sin\alpha,\quad v=r\cos\alpha, \] so wird \[ ds^2=\left(\frac{ka}{a^2-r^2}\right)^2dr^2+\frac{k^2r^2}{a^2-r^2} \,d\alpha^2. \qquad (1) \] Für eine Kürzeste, welche durch den Punkt $u = 0$, $v = 0$ geht, ist $\alpha$ constant; ihre Länge $\rho$ bis zum Punkte $(u,\; v)$ %[F2: Font uses \varrho.] erhält man aus \[ d\rho = k\frac{a\, dr}{a^2-r^2} \] durch Integration \[ \rho = \frac{k}{2}\log \frac{a+r}{a-r} = \frac{k}{2}\log \frac{a+\sqrt{u^2+v^2}}{a-\sqrt{u^2+v^2}}. \] Dieser Ausdruck wächst von $r = 0$ bis $r = a$ fortwährend; für $r = a$ wird $\rho = \infty$; für $r > a$ wird $\rho$ imaginär. Das ausserhalb der Kreisfläche in der Hülfsebene entsprechende Gebiet der Fläche ist daher ideal. Betrachtet man in den Gleichungen (1) die Grösse $r$ als constant und den Winkel $\alpha$ als variabel, so erhält man für den Bogen $\sigma$ auf der Fläche \[ \sigma = \frac{kr\alpha}{\sqrt{a^2-r^2}}, \] d.\ h.\ der Bogen $\sigma$ ist proportional dem Winkel $\alpha$. Die vom Punkte $u = 0$, $v = 0$ aus gezogenen Linien $\rho$ bilden unter %-----File: 127.png-------------------------------------------- einander denselben Winkel wie die zugehörigen Linien $r$ in der Hülfsebene. Aus den vorigen Gleichungen folgt \[ r = a \ftan \frac{\rho}{k},\quad \fcos \frac{\rho}{k} = \frac{a}{w}; \] damit wird \[ \sigma = k \alpha \fsin \frac{\rho}{k}. \] Für $\alpha = 2\pi$ wird der Umfang des Kreises vom Radius $\rho$ \[ = 2 \pi k \fsin \frac{\rho}{k}. \] \subsection{115.} Aus dem Vorhergehenden folgt unmittelbar die Uebereinstimmung der nichteuclidischen Planimetrie mit der Theorie der Flächen constanter negativer Krümmung. Jeder beliebige Punkt derselben kann als Anfangspunkt d.~i.\ als der Punkt $u = 0$, $v = 0$ genommen werden. Für eine nicht durch ihn gehende Kürzeste existiren zwei durch den Punkt (0,~0) gehende Kürzeste als die gemeinsame Grenze der schneidenden und nicht schneidenden Kürzesten, welche den Parallelen der nichteuclidischen Planimetrie entsprechen. In der Hülfsebene sind der gegebene Punkt durch den Mittelpunkt des Kreises, die Gerade durch eine Sehne und die beiden Parallelen durch die an die Endpunkte gezogenen Radien versinnlicht. Da der Winkel der beiden Radien kleiner als zwei Rechte ist, so ist auf der krummen Fläche der Parallelwinkel spitz. Ist $p$ die kürzeste Entfernung des Punktes von der gegebenen Kürzesten $\Pi(p)$ der Grenzwinkel, so ist \[ \cos \Pi(p) = \frac{r}{a}, \] wo $r$ der Abstand des Mittelpunktes von der Sehne ist. Setzt man für $r$ den Werth, so erhält man \[ \cos \Pi (p) = \ftan \frac{p}{k}. \] \subsection{116.} Für das Linienelement einer Fläche mit constanter Krümmung lassen sich noch andere Ausdrücke aufstellen. \subsubsection{I.} Für die Flächen mit positiver Krümmung. \begin{flalign*} &\text{\indent 1)}& ds^2 &= d \rho ^2 + \left( k \sin \frac{\rho}{k}\right)^2 d\alpha^2.&\phantom{\indent 1)} \end{flalign*} %-----File: 128.png-------------------------------------------- 2) Sind $\xi$, $\eta$ die Coordinaten der stereographischen Projection des Punktes $M$, wenn die Projectionsebene parallel zur früheren $xy$ Ebene die Kugel berührt, so ist \[ \xi = d \cos \alpha, \quad \eta = d \sin \alpha, \quad d = 2k \tan \frac{\rho}{2k}, \] also \[ ds^2 = \frac{d\xi^2 + d\eta^2}{1 - \dfrac{\xi^2 + \eta^2 }{4k^2}}. \] 3) Setzt man \[ z = \rho \cos \alpha, \quad t = \rho \sin \alpha, \] so wird \[ ds^2 = dz^2 + dt^2 + \frac{1}{\rho^2} \left(\left( \frac{k}{\rho} \sin\frac{\rho}{k} \right)^2 - 1 \right) (z\,dt - t\,dz)^2, \] oder entwickelt \[ ds^2 = dz^2 + dt^2 - \frac{1}{3k^2} \left( 1- \frac{2\rho^2}{15k^2} + \ldots \right) (z\,dt-t\,dz)^2. \] \subsubsection{II.} Für die Flächen mit negativer Krümmung erhält man \begin{flalign*} &\indent 1)& & ds^2 = d\rho^2 + \left(k \fsin \frac{\rho}{k} \right)^2 d\alpha^2. &&\phantom{\indent 1)} \\ &\indent 2)& & \xi = 2k \ftan \frac{\rho}{2k} \cos \alpha,\quad \eta = 2k \ftan \frac{\rho}{2k} \sin \alpha;& \\ && &ds^2 = \frac{d\xi^2 + d\eta^2 }{1 + \dfrac{\xi^2 + \eta^2}{4k^2}}. &\\ &\indent 3)& & ds^2 = dz^2 + dt^2 + \frac{1}{\rho^2} \left( \left( \frac{\rho}{k} \fsin\frac{\rho}{k}\right)^2 - 1\right) (z\,dt - t\,dz)^2& \\ && & ds^2 = dz^2 + dt^2 + \frac{1}{3k^2} \left( 1 + \frac{2\rho^2}{15k^2} + \ldots \right) (z\,dt - t\,dz)^2.& \end{flalign*} \section{Riemann's und Helmholtz's Raumtheorien.} \subsection{117.} Die Resultate der Beltrami'schen Untersuchungen der Flächen constanter Krümmung lassen sich auch aus dem Ausdrucke für das Linienelement in rein analytischer Form durch die Transformation der Differential-Ausdrücke ableiten. Diese ursprünglich von jeder geometrischen Voraussetzung freien, durch Gleichungen ausgedrückten Eigenschaften geben geometrisch interpretirt die in dem vorigen Artikel angeführten Sätze. Diese Methode gestattet auch eine Verallgemeinerung für eine beliebige Anzahl von Variabeln und kann daher zur %-----File: 129.png-------------------------------------------- Einführung des allgemeinen Raumbegriffes von einer beliebigen Dimensionszahl dienen. Die Veranlassung zu diesen Untersuchungen gab die classische Arbeit von B.~\so{Riemann}\footnote {Habilitationsschrift, vorgelesen am 10.~Juni 1854, erschienen 1867 im 13.~Bd.\ der Abhandlungen der k.~Gesellschaft der Wiss.\ zu Göttingen.} »Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen«. Der Raum wird unter dem Begriff der mehrfach ausgedehnten Grössen gefasst. Im Falle der Stetigkeit der unter einem solchen Begriff gedachten Grössen werden die in der Geometrie gebräuchlichen Benennungen verwendet. Das Einzelne der \so{Punkt} wird durch eine gewisse Anzahl von unter einander unabhängigen Messungen bestimmt. Die Anzahl dieser Messungen heisst die \so{Dimensionszahl} der Grösse oder des Raumes, die bei der Bestimmung des Punktes $M$ erhaltenen Masszahlen $x_1$, $x_2$, $\ldots x_n$ heissen die \so{Coordinaten} von $M$. Analytisch ist der Punkt durch $n$ Gleichungen, welche im Speciellen die Form \[ x_1 = a_1, \quad x_2 = a_2, \quad \ldots x_n = a_n \] haben, bestimmt. Sind zwischen den Coordinaten $n - 1$ Gleichungen gegeben, so ist nur eine Variable willkürlich, das aus der mehrfach ausgedehnten Grösse dadurch ausgeschiedene Gebilde wird eine \so{Linie} genannt. Ist $\varphi (x_1, \ x_2, \ \ldots x_n)$ irgend eine Ortsfunction von $M$, so entspricht einer stetigen Bewegung des Punktes $M$ eine stetige Aenderung von mindestens einer Coordinate und die Aenderung der Function $\varphi (x_1, \ x_2, \ \ldots x_n)$ wird durch das Differential \[ \frac{\partial\varphi}{\partial x_1} \,dx_1 + \frac{\partial\varphi}{\partial x_2} \,dx_2 + \dots + \frac{\partial\varphi}{\partial x_n} \,dx_n \] ausgedrückt, falls die Coordinaten $x_1$, $x_2$, $\ldots x_n$ in $x_1 + dx_1$, $x_2 + dx_2$, $\ldots x_n + dx_n$ übergehen. Für die Länge des Linienelementes wird ein positiver Ausdruck von der Form \begin{alignat*}{2} ds^2 &= A_{11} \,d{x_1}^2 + A_{22} \,d{x_2}^2 +\dots\qquad &&+ A_{nn} \,d{x_n}^2\\ &+ 2A_{12} \,dx_1 \,dx_2 + \ldots &&+ 2A_{n-1,\, n} \,dx_{n-1} \,dx_n, \end{alignat*} wo $A_{11}$, $A_{12}$, $A_{nn}$ Functionen von $x_1$, $x_2$, $\ldots x_n$ sind, angenommen. %-----File: 130.png-------------------------------------------- Die\-se Voraussetzung ist die einfachste, wel\-che den Bedingungen entspricht, dass $ds$ sich proportional än\-dert, wenn $dx_1$, $dx_2$, $\ldots dx_n$ sich in demselben Verhältnisse ändern und dass $ds$ ungeändert bleibt, wenn sämmtliche Grössen $dx_1$, $dx_2$, $\ldots dx_n$ das Zeichen ändern. Durch das Linienelement ist der Raum vollkommen bestimmt, die Untersuchung der Eigenschaften des Raumes werden vermittelst der Theorie der homogenen Differential-Ausdrücke (erster Ordnung) zweiten Grades erhalten. Diese (durch Gleichungen ausgedrückten und ursprünglich von jeder geometrischen Voraussetzung unabhängigen) Eigenschaften werden dann geometrisch interpretirt, zu welcher Interpretation die euclidische Geometrie deshalb verwendet wird, weil in Folge des thatsächlichen Stattfindens dieser Form der Geometrie im Bereiche unserer (beschränkten) Erfahrung diese Gleichungen eine anschauliche Deutung finden. \subsection{118.} Zur Anstellung ähnlicher --- ebenfalls auf die Grundlagen der Geometrie bezüglicher --- Untersuchungen wurde auch H.~\so{Helmholtz}\footnote {»Ueber die Thatsachen, welche der Geometrie zu Grunde liegen«. Nachrichten der königl.\ Gesellschaft der Wiss.\ zu Göttingen, 1868. Anregung hierzu bot das System der Farben und die Ausmessung des Gesichtsfeldes durch das Augenmass.} geführt; letztere dienen den Riemann'schen insofern zur Ergänzung, als sie ausgehend von Voraussetzungen, welche allen geometrischen Arbeiten zu Grunde liegen, zum Riemannschen Ausgang d.~i.\ zur Voraussetzung des Ausdruckes für das Linienelement führen.\footnote {Analogien dieser Behandlungsweisen bietet die theoretische Mechanik. Man kann alle Sätze dieser Wissenschaft entweder (analog mit Riemann) aus einem allgemeinen Princip ableiten, oder (analog mit Helmholtz) die einfachsten Voraussetzungen zu einem Princip zusammenfassen.} Dieser Raum-Untersuchung liegt ebenfalls die Voraussetzung der Mög\-lich\-keit der Anwendung der Rechnung sowol der Analysis des Endlichen als auch des Unendlichkleinen, welche durch die Homogenität der Differentialgleichungen ihren Ausdruck findet, zu Grunde. In geometrischem Sinne werden folgende Annahmen gemacht: %-----File: 131.png-------------------------------------------- 1) Der Punkt ist das Raum-Element und seine Lage ist durch drei von einander unabhängige Messungen »Coordinaten« bestimmt. Jeder Bewegung eines Punktes entspricht eine stetige Aenderung mindestens einer seiner Coordinaten. 2) Bei einem in sich festen aber im Raume beweglichen Körper haben je zwei Punkte einen bei jeder Bewegung des Körpers unveränderlichen Abstand, welche Eigenschaft analytisch durch eine von dieser Bewegung unabhängige Gleichung zwischen den sechs Coordinaten der beiden Punkte ausgedrückt wird. 3) Zur Bestimmung der Lage eines solchen Körpers sind sechs Stellungsconstante erforderlich. Denn wird ein Punkt willkürlich gestellt, so sind wegen der festen Verbindung für einen zweiten Punkt nur mehr zwei Coordinaten und für einen dritten Punkt nur eine Coordinate willkürlich, alle übrigen Coordinaten sind dann bestimmt. 4) Sind in einem beweglichen Körper zwei Punkte fest, so kann er durch fortgesetzte Bewegung --- ohne Umkehrung der Bewegungsrichtung --- in seine Anfangs-Lage gebracht werden. Aus den obigen Voraussetzungen sollen unter Beiziehung des Congruenz-Axioms --- welches sich für starre und dabei bewegliche Körper auch so aussprechen lässt: Zwei Körper, die zu einander congruent sind für eine gewisse Lage des ersten, sind auch noch congruent bei jeder beliebigen anderen Lage des ersten --- für Punkte mit unendlich kleinen Coordinaten-Unterschieden die ihnen entsprechenden analytischen Folgerungen abgeleitet werden. \subsection{119.} Es seien ($u$, $v$, $w$) die Coordinaten eines Punktes des Körpers in der ursprünglichen Lage, ($u + du$, $v + dv$, $w + dw$) die eines dem ersteren unendlich nahen Punktes. Wird der Körper in eine neue Lage gebracht, wobei der Punkt ($u$, $v$, $w$) fest bleibt, so sind die Coordinaten der Punkte in der neuen Lage Functionen der ursprünglichen Coordinaten und der drei Stellungs-Constanten $p_1$, $p_2$, $p_3$, welche die neue Lage bestimmen. Sind also in der zweiten Lage ($u + \delta u$, $v + \delta v$, $w + \delta w$) die Coordinaten des Punktes ($u + du$, $v + dv$, $w + dw$) der ersten Lage, so ist %-----File: 132.png-------------------------------------------- \[ u + \delta u = f(u + du, \ v + dv, \ w + dw, \ p_1, \;p_2, \;p_3), \;\text{u.\ s.\ w.} \] woraus mit Vernachlässigung der Glieder höherer Ordnung folgt \begin{flalign*} &\indent 1)& &\left. \begin{aligned} \delta u &= A_0 du + B_0 dv + C_0 dw\\ \delta v &= A_1 du + B_1 dv + C_1 dw\\ \delta w &= A_2 du + B_2 dv + C_2 dw \end{aligned} \ \ \right\} &\phantom{\indent 1)}& \end{flalign*} wobei $A_0$, $B_0$, $C_0$, $\ldots$ Functionen von $u$, $v$, $w$ und $p_1$, $p_2$, $p_3$ sind. Setzt man der Kürze halber \begin{flalign*} &\indent 2)& &\left. \begin{aligned} \delta u &= \varepsilon x & \mspace{50mu} du &= \varepsilon \xi\\ \delta v &= \varepsilon y & dv &= \varepsilon \eta\\ \delta w &= \varepsilon z & dw &= \varepsilon \zeta \end{aligned} \quad \right\} &\phantom{\indent 2)}& \end{flalign*} wo $\varepsilon$ eine verschwindend kleine Grösse ist, so gehen die Gleichungen~1) über in \begin{align*} x &= A_0 \xi + B_0 \eta + C_0 \zeta\\ y &= A_1 \xi + B_1 \eta + C_1 \zeta\\ z &= A_2 \xi + B_2 \eta + C_2 \zeta. \end{align*} Aendert man die drei Stellungs-Constanten $p_1$, $p_2$, $p_3$ um die verschwindend kleinen Grössen $dp_1$, $dp_2$, $dp_3$, so ändert sich die zweite Lage des Körpers d.~i.\ $x$, $y$, $z$ um $dx$, $dy$, $dz$. Ist $\vartheta$ eine neue Variable und setzt man \[ \mathfrak{A}d \vartheta = \frac{\partial A }{ \partial p_1} dp_1 + \frac{\partial A }{ \partial p_2} dp_2 + \frac{\partial A }{ \partial p_3} dp_3 \] (und analog für $B$ und $C$), so wird \begin{align*} \frac{dx}{d\vartheta} &= \mathfrak{A}_0 \xi + \mathfrak{B}_0 \eta + \mathfrak{C}_0 \zeta\\ \frac{dy}{d\vartheta} &= \mathfrak{A}_1 \xi + \mathfrak{B}_1 \eta + \mathfrak{C}_1 \zeta\\ \frac{dz}{d\vartheta} &= \mathfrak{A}_2 \xi + \mathfrak{B}_2 \eta + \mathfrak{C}_2 \zeta. \end{align*} Drückt man ferner $\xi$, $\eta$, $\zeta$ durch $x$, $y$, $z$ aus, so erhält man \begin{flalign*} &\indent 3)& &\left. \begin{aligned} \dfrac{dx}{d \vartheta} &= a_0x + b_0y + c_0z\\ \dfrac{dy}{d \vartheta} &= a_1x + b_1y + c_1z \\ \dfrac{dz}{d \vartheta} &= a_2x + b_2y + c_2z. \end{aligned} \ \ \right\} &\phantom{\indent 3)}& \end{flalign*} In den letzteren Gleichungen ist jeder der Coefficienten $a$, $b$, $c$ von der Form \[ a\,d\vartheta = \alpha_1 \,dp_1 + \alpha_2 \,dp_2 + \alpha_3 \,dp_3 \] %-----File: 133.png-------------------------------------------- (und analog für $b$ und $c$), wo $dp_1$, $dp_2$, $dp_3$ willkürlich sind es gibt daher unendlich viele Lagenänderungssysteme. Sind (${a_0}'$, $\ldots {c_2}'$), (${a_0}''$, $\ldots {c_2}''$), (${a_0}'''$, $\ldots {c_2}'''$) drei solche Systeme, so kann ein beliebiges viertes ($a_0$, $\ldots c_2$) immer ausgedrückt werden durch \[ a = fa' + ga'' + ha'''\text{ u.\ s.\ w.}, \] wo $f$, $g$, $h$ Constante sind für sämmtliche Coefficienten des vierten Systems. Umgekehrt: Sämmtliche Lagenveränderungssysteme ($a$, $\ldots c_2$) können aus drei von einander unabhängigen ($a'$, $\ldots {c_2}'$), ($a''$, $\ldots {c_2}''$), ($a'''$, $\ldots {c_2}'''$) durch Multiplication mit willkürlichen Constanten $f$, $g$, $h$ erhalten werden (siehe Anhang, Art.~5). \subsection{120.} Aus den Raum-Voraussetzungen des Art.~118 folgt für die Gleichungen~3) 1) Da nur der Punkt ($x = 0$, $y = 0$, $z = 0$) festgestellt ist, so kann noch jeder beliebige zweite Punkt ($x_0$, $y_0$, $z_0$) festgestellt werden; d.~h.\ man kann die Werthe $dp_1$, $dp_2$, $dp_3$ derart wählen, dass \begin{align*} 0 &= a_0 x_0 + b_0 y_0 + c_0 z_0\\ 0 &= a_1 x_0 + b_1 y_0 + c_1 z_0\\ 0 &= a_2 x_0 + b_2 y_0 + c_2 z_0, \end{align*} was nur möglich ist, wenn für alle unendlich kleine Drehungen \[ \begin{vmatrix} \;a_0, & b_0, & c_0\;\\ \;a_1, & b_1, & c_1\;\\ \;a_2, & b_2, & c_2\; \end{vmatrix}= 0 \] 2) Die Variable $\vartheta$ bestimmt eine Stellung des Körpers, $\vartheta + d\vartheta$ gibt eine unendlich kleine Verschiebung. Auf diese Verschiebung lasse man fortgesetzt der ersteren gleiche Verschiebungen folgen, welche also durch die Grössen $\vartheta + 2d\vartheta$, $\vartheta + 3d\vartheta$, $\ldots$ bestimmt sind. Bezeichnet man mit $S_0$ die ursprüngliche Stellung, mit $S_1$, $S_2$, $\ldots$ die verschobenen, so fällt der Punkt $(x + dx$, $y + dy$, $z + dz)$ in $S_0$ mit demjenigen Punkte von $S_1$ zusammen, der vor der ersten Verschiebung die Coordinaten $x$, $y$, $z$ hatte. Man erhält daher %-----File: 134.png-------------------------------------------- die Lage des Punktes ($x$, $y$, $z$) in $S_0$ nach Ablauf der zweiten Verschiebung dadurch, dass man den Ort des Punktes ($x + dx$, $y + dy$, $z + dz$) in $S_0$ nach Ablauf der ersten Verschiebung bestimmt, was dadurch geschieht, indem man in den Gleichungen~3) $a_0$, $b_0$, $\ldots c_2$ als constant betrachtet und ($x + dx$, $y + dy$, $z + dz$) statt ($x$, $y$, $z$) setzt; u.~s.~w.\ d.~h.\ man kann den Ort des Punktes ($x$, $y$, $z$) in $S_0$ nach Ablauf der successiven durch $\vartheta + d\vartheta$, $\vartheta + 2d\vartheta$, $\vartheta + 3d\vartheta$, $\dots$ ausgedrückten Verschiebungen dadurch bestimmen, indem die Gleichungen~3) unter der Voraussetzung integrirt, dass man die Coefficienten $a_0$, $b_0$, $\ldots c_2$ als constant und $x$, $y$, $z$ als Functionen von $\vartheta$ betrachtet. Zur Ausführung der Integration der Gleichungen~3) multiplicire man selbe mit $l$, $m$, $n$ und addire ihre Producte. Bestimmt man die Factoren $l$, $m$, $n$ derart, dass \begin{align*} lh &= la_0 + ma_1 + na_2\\ mh &= lb_0 + mb_1 + nb_2\\ nh &= lc_0 + mc_1 + nc_2 \end{align*} wird, so erhält man die Grösse $h$ aus \begin{flalign*} &\indent 4)& \left|\, \begin{alignedat}{3} & a_0-h &&,\ \ a_1 &&,\ \ a_2 \\ & b_0 &&,\ \ b_1-h &&,\ \ b_2 \\ & c_0 &&,\ \ c_1 &&,\ \ c_2-h \end{alignedat}\ \right|&=0 &&\phantom{\indent 4)} \end{flalign*} welche Gleichung drei Werthe von $h$ und damit drei zugehörige Systeme von Werthen $l$, $m$, $n$ gibt. Aus den Differenzgleichungen folgt, wenn man der Kürze halber \[ lx + my + nz = U \] setzt, \[ \frac{dU}{ d\vartheta} = hU; \] woraus durch Integration \[ U = Ahe^{h \vartheta}, \] wo $A$ eine willkürliche Constante bedeutet, erhalten wird. Vermöge der Gleichung 4) muss eine Wurzel $h_0 = 0$ sein, also der zugehörige Werth von $U$ d.~i.\ $U_0 = $Const.; die beiden anderen Wurzeln haben die Form \[ h_1 = \alpha + \omega i \text{ und }h_2 = \alpha - \omega i, \] woraus für die zugehörigen Werthe von $U$ die Ausdrücke %-----File: 135.png-------------------------------------------- \begin{align*} &U_1 + U_2 i = A e^{ ci} \cdot e^{(\alpha + \omega i) \vartheta},\\ &U_1 - U_2 i = A e^{-ci} \cdot e^{(\alpha - \omega i) \vartheta}\\ \intertext{oder} &U_1 = A e^{\alpha \vartheta} \cos(\omega \vartheta + c)\\ &U_2 = A e^{\alpha \vartheta} \sin(\omega \vartheta + c), \end{align*} wo $A$ und $c$ willkürliche (reelle) Constante bedeuten, folgen. Daraus erhält man \[ U_1^2 + U_2^2 = A^2 e^{2 \alpha \vartheta}, \] welche Gleichung mit der Voraussetzung, dass man durch fortgesetzte Aenderung von $\vartheta$ wieder die früheren Werthe von $x$, $y$, $z$ also auch von $U_1$ und $U_2$ erhält, in Widerspruch steht. Es muss daher $\alpha = 0$ sein. \subsection{121.} Aus dem vorigen Artikel erhält man folgendes Resultat: \begin{flalign*} &\text{\indent 5)}& \begin{aligned} &U_0 = l_0 x + m_0 y + n_0 z\\ &U_1 = l_1 x + m_1 y + n_1 z\\ &U_2 = l_2 x + m_2 y + n_2 z \end{aligned} & &&\phantom{\indent 5)} \end{flalign*} drei lineare Functionen, und betrachtet man die Stellung des Punktes ($x$, $y$, $z$) durch die drei Stellungsconstanten $p_1$, $p_2$, $p_3$ bestimmt, so kann man die Differentialgleichungen, welche eine Drehung um den Punkt ($u$, $v$, $w$) und einen beliebigen Punkt bestimmen, auf die Form bringen \[ \frac{dU_0}{d\vartheta} = 0 , \quad \frac{dU_1}{d\vartheta} = -\omega U_2, \quad \frac{dU_2}{d\vartheta} = \omega U_1; \] dabei bleiben also alle Punkte ($x$, $y$, $z$) in Ruhe, welche den Gleichungen \[ U_1 = 0\text{ und }U_2 = 0 \] genügen. Denkt man sich eine zweite Drehung des Systems, bei welcher die Punkte \[ U_0 = 0\text{ und }U_2 = 0 \] in Ruhe bleiben, so sind die zugehörigen Differentialgleichungen \[ \frac{dU_0}{d\vartheta_1} = \varphi U_2, \quad \frac{dU_1}{d\vartheta_1} = 0 , \quad \frac{dU_2}{d\vartheta_1} = -\varphi U_0, \] %-----File: 136.png-------------------------------------------- wo $\varphi$ eine Constante und $\vartheta_1$ die diese Drehung bestimmende Variable ist. Für eine dritte Drehung, bei welcher die Punkte \[ U_0 = 0\text{ und }U_1 = 0 \] in Ruhe bleiben, hat man analog \[ \frac{dU_0}{d\vartheta_2} = -\psi U_1, \quad \frac{dU_1}{d\vartheta_2} = \psi U_0, \quad \frac{dU_2}{d\vartheta_2} = 0. \] Denkt man sich die Stellungsconstanten $p_1$, $p_2$, $p_3$ als Functionen der Grössen $\vartheta_0$, $\vartheta_1$, $\vartheta_2$ und berücksichtigt man, dass aus drei Annahmen für die Coefficienten der Differentialgleichung durch Multiplication mit willkürlichen Constanten $f$, $g$, $h$ jedes beliebige mögliche System erhalten wird, so erhält man alle unendlich kleinen Verschiebungen durch \begin{align*} dU_0& = \varphi U_2\, d\vartheta_1 - \psi U_1\, d\vartheta_2\\ dU_1 &= -\omega U_2\, d\vartheta_0 + \psi U_0\, d\vartheta_2\\ dU_2 &= \omega U_1\, d\vartheta_0 - \varphi U_0\, d\vartheta_1, \end{align*} wo die willkürlichen Factoren $f$, $g$, $h$ in die Constanten $\omega$, $\varphi$, $\psi$ einbezogen sind. Aus diesen Gleichungen folgt \begin{flalign*} & && U_0\,dU_0 + U_1\,dU_1 + U_2\,dU_2 = 0, &&\phantom{d.~h.}\\ &\text{d.~h.} && {U_0}^2 + {U_1}^2 + {U_2}^2 = \text{const.}, & \end{flalign*} oder, wenn man die Grössen $U_0$, $U_1$, $U_2$ vermöge 5) und 2) durch $\delta u$, $\delta v$, $\delta w$ ausdrückt, \begin{align*} \text{\: const.}& = (l_0\, \delta u + m_0\,\delta v + n_0\,\delta w)^2\\ &+ (l_1\,\delta u + m_1\, \delta v + n_1\, \delta w)^2\\ &+ (l_2\,\delta u + m_2\,\delta v + n_2\, \delta w)^2; \end{align*} d.\ h.\ es existirt immer ein homogener quadratischer Ausdruck der unendlich kleinen Coordinatenunterschiede ($\delta u$, $\delta v$, $\delta w$), der bei allen Drehungen des Systems um den festen Punkt ($u$, $v$, $w$) constant bleibt. Diesen constanten Differentialausdruck kann man als das Mass des Quadrats der Distanz der Punkte($u$, $v$, $w$) und ($u + du$, $v + dv$, $w + dw$) des festen Körpers betrachten. Das Quadrat des Linienelement vom Punkte (0, 0, 0) bis zum Punkte ($dx$, $dy$, $dz$) lässt sich daher bei passender Wahl des Coordinatensystems $x$, $y$, $z$ von der Form voraussetzen \[ ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2. \] %-----File: 137.png-------------------------------------------- Aus dieser Form folgt, dass unendlich kleine Raumtheile ohne Rücksicht auf ihre Grenzen zur Deckung gebracht werden können, dass also der Raum --- in analoger Weise, wie alle Linien aus congruenten Linienelementen und alle Flächen (nach Art.~109) aus congruenten Flächenelementen --- aus congruenten Raumelementen zusammengesetzt ist. Diese Eigenschaft wird nach Riemann »Ebenheit« genannt. Auf solche unendlich kleine Raumtheile lässt sich die euclidische Geometrie anwenden. \begin{Small} \so{Anmerkung.} Da die Homogenität des obigen Differentialausdruckes von der Voraussetzung der Existenz von Differentialquotienten abhängt, so folgt, dass für die Geometrie die Voraussetzungen der Anwendbarkeit der Rechnung und der Existenz von Differentialquotienten für die stetigen Functionen der Coordinaten resp.\ den Voraussetzungen der Congruenz und der Existenz unendlich kleiner ähnlicher Figuren entsprechen.\footnote {Beispiele stetiger Functionen ohne Differentialquotienten gibt H.~\so{Hankel} in seinen »Untersuchungen über die unendlich oft oscillirenden und unstetigen Functionen«. Tübingen, 1870.} \end{Small} \subsection{122.} Wie bereits im Art.~117 erwähnt wurde, kann die Geometrie einer Raumform irgend einer Dimension aus dem Linienelemente, für welches nach Riemann ein homogener quadratischer Ausdruck der Differentiale der Coordinaten angenommen wird, erhalten werden. Für den Raum von drei Dimensionen erhält diese Annahme durch die Untersuchung von Helmholtz einen directen Beweis. Die Raumuntersuchungen werden daher durch die Theorie dieser Differentialausdrücke erledigt; letztere Untersuchungen wurden von E.~B.\ \so{Christoffel}\footnote {»Ueber die Transformation der homogenen Differentialausdrücke zweiten Grades« Crelle Journal Bd.~70. »Ueber ein die Transformation homogener Differentialausdrücke zweiten Grades betreffendes Theorem« Crelle Bd.~70.} und R.~\so{Lipschitz}\footnote {»Untersuchungen in Betreff der ganzen homogenen Functionen von $n$ Differentialen.« Crelle Journal Bd.~70. »Entwicklung einiger Eigenschaften der quadratischen Formen von $n$~Differentialen«. Crelle Journal Bd.~71. »Fortgesetzte Untersuchungen in Betreff der ganzen homogenen Functionen von $n$ Differentialen«. Crelle Journal Bd.~72. Umarbeitungen des Verf.\ sind enthalten im Bulletin des sciences mathématiques et astronomiques. Tome~IV.} in erschöpfender %-----File: 138.png-------------------------------------------- Weise durchgeführt, wesshalb hier nur die Resultate angedeutet werden sollen. Da ein quadratischer Ausdruck mit $n$ Variabeln $dx_1$, $dx_2$, $\ldots dx_n$ --- also mit $\dfrac{(n+1) n }{ 2}$ Coefficienten, welche Functionen der Grössen $x_1$, $x_2$, $\ldots x_n$ sind, --- durch $n$ Gleichungen \[ x_1 = \varphi_1 (y_1, \,y_2, \,\ldots y_n), \ x_2 = \varphi_2 (y_1, \,y_2, \,\ldots y_n), \ x_n = \varphi_n (y_1, \,y_2, \,\ldots y_n) \] wieder in einen homogenen Ausdruck der Grössen $dy_1$, $dy_2$, $\ldots dy_n$ übergeht, so folgt, dass man bei zwei solchen Ausdrücken durch Wahl der Functionen $\varphi_1$, $\varphi_2$, $\ldots \varphi_n$ immer $n$ Coefficienten gleich machen kann. Die Coefficienten des Linienelementes sind daher durch $\dfrac{n(n-1)}{ 2}$ Functionen von $x_1$, $x_2$, $\ldots x_n$ bestimmt. Für $n = 2$ ist das Linienelement durch \so{eine} Function, für $n = 3$ durch \so{drei} Functionen der Coordinaten des Anfangspunktes bestimmt. Man kann nun die Frage stellen: Welche Bedingungen sind zu erfüllen, damit zwei homogene quadratische Ausdrücke dasselbe Linienelement darstellen? In diesem Falle muss jeder der beiden Ausdrücke in den anderen durch eine Transformation der Coordinaten umgeformt werden können. Für die beiden Ausdrücke \begin{align*} ds^2 &= E \,du^2 + 2 F \,du\,dv + G \,dv^2\\ ds^2 &= E'\,dx^2 + 2 F'\,dx\,dy + G'\,dy^2 \end{align*} des Linienelementes einer krummen Fläche erhält man als Bedingung die Gleichheit des Krümmungsmasses. Für $n = 3$ sind drei Bedingungen, dass der eine Ausdruck eine Transformation des zweiten ist. Dieser Fall wurde von F.~\so{Suworof}\footnote {Die Charakteristiken der Systeme von drei Dimensionen. Die Original-Arbeit (114~S.\ mit vollständig ausgeführten Zwischenrechnungen) erschien russisch 1871 in Kazan. Ein vollständiger Auszug (vom Autor verfasst) findet sich in dem Bulletin des sciences mathématiques et astronomiques, tome~IV.} behandelt. \subsection{123.} Zur Erläuterung der im Anfange des Art.~117 angedeuteten Sätze soll die Beltrami'sche Theorie\footnote {Teoria fondamentale degli spazii di curvatura costante. Annali di Matematica Serio~II.\ Tomo~II.\ In's Französische übersetzt von J.~Hoüel in den »Annales de l'~École Normale supérieure« t.~VI; 1869.} der Räume %-----File: 139.png-------------------------------------------- constanter Krümmung dienen, welche eine Verallgemeinerung der Art.~114--116 ist. Das Linienelement des $n$-Dimensionen-Raumes von constanter negativer Krümmung $-1 : k^2$ ist gegeben durch \begin{gather*} ds^2 = k^2 \frac{dx^2 + d{x_1}^2 + d{x_2}^2 + \dots + d{x_n}^2 }{x^2} \\ a^2 = x^2 + {x_1}^2 + {x_2}^2 + \dots + {x_n}^2. \end{gather*} Die Bedingung, dass $s$ ein Minimum wird, ist durch $n-1$ lineare Gleichungen zwischen den Grössen $x_1$, $x_2$, $\ldots x_n$ ausgedrückt (siehe Anhang Art.~6). Die Entfernung $\rho$ der beiden Punkte $x^0$, ${x_1}^0$, $\ldots {x_n}^0$ und $x$, $x_1$, $\ldots x_n$ erhält man durch die Gleichung \[ \fcos \frac{\rho}{ k} = \frac{ a^2 - x_1 {x_1}^0 - x_2 {x_2}^0 - \dots - x_n {x_n}^0 } { \sqrt{ a^2 - {x_1}^2 - {x_2}^2 \dots - {x_n}^2 \vphantom{{x^0}^2} } \sqrt{ a^2 - {{x_1}^0}^2 - {{x_2}^0}^2\dots - {{x_n}^0}^2}}. \] Jeden beliebigen Theil des Raumes kann man in einen andern Ort über\-tra\-gen und daselbst mit einem entsprechenden Raumtheil zur Deckung bringen. Diese Uebertragung geschieht analytisch durch eine sogenannte \so{homographische Transformation}. In gleicher Weise lassen sich die übrigen im Art.~116 angegebenen Transformationen durchführen. Speciell möge der dem Ausdrucke~1) entsprechende angegeben werden. Führt man statt der Grössen $x_1$, $x_2$, $\dots x_n$ die Variable $r$, $\lambda_1$, $\lambda_2$, $\dots \lambda_n$ ein, wo \begin{gather*} x_1 = r\lambda_1, \ x_2 = r\lambda_2,\ \dots x_n = r\lambda_n\\ {\lambda_1}^2 + {\lambda_2}^2 + \dots + {\lambda_n}^2 = 1 \end{gather*} vorausgesetzt wird, so erhält man \[ ds^2 = \left( \dfrac{ka\,dr }{ a^2-r^2} \right)^2 dr^2 + \frac{k^2r^2}{a^2-r^2} d\Lambda^2, \] wo $d\Lambda^2 = d{\lambda_1}^2 + d{\lambda_2}^2 + \dots+ d{\lambda_n}^2$ ist. Ist $\rho$ die Entfernung des Punktes $x_1$, $x_2$, $\dots x_n$ vom Coordinatenanfang, so ist \[ \frac{ka\,dr }{a^2-r^2} = d\rho, \quad \frac{r^2}{a^2-r^2} = \fsin \frac{\rho^2}{k}; \] %-----File: 140.png-------------------------------------------- dadurch erhält man für das Linienelement den Ausdruck \[ ds^2 = d \rho^2 + \left( k \fsin \frac{\rho }{k} \right)^2 d\Lambda^2. \] Der Ausdruck \begin{gather*} ds^2 = k^2 \frac{-dx^2 + d{x_1}^2 + d{x_2}^2 + \dots + d{x_n}^2 }{ x^2}\\ x^2 = a^2 + {x_1}^2 + {x_2}^2 + \dots + {x_n}^2 \end{gather*} bestimmt das Linienelement des $n$-Dimensionen-Raumes mit constanter positiver Krümmung $+ 1 : k^2$. Für die Entfernung zweier Punkte erhält man \[ \cos \frac{\rho }{ k} = \frac{a^2 + x_1{x_1}^0 + x_2{x_2}^0 + \dots + x_n{x_n}^0 } { \sqrt{ a^2 + {x_1}^2 + {x_2}^2 + \dots + {x_n}^2 \vphantom{{x^0}^2}} \sqrt{ a^2 + {{x_1}^0}^2 + {{x_2}^0}^2 + \dots + {{x_n}^0}^2}}. \] In diesem Ausdrucke können die Coordinaten $x_1$, $x_2$, $\ldots x_n$ alle Werthe von $-\infty$ bis $+\infty$ annehmen. Die Grösse $\rho$ bleibt immer endlich. Denn setzt man \[ {x_1}^0 = \lambda_1 \tau,\ {x_2}^0 = \lambda_2 \tau, \ \ldots {x_n}^0 = \lambda_n \tau, \] wo \[ {\lambda_1}^2 + {\lambda_2}^2 + \dots + {\lambda_n}^2 = 1 \] ist, so erhält man für $\tau = \infty$ \[ \cos \frac{\rho }{k} = \frac{\lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2 + \dots + \lambda_n x_n } { \sqrt{ a^2 + {x_1}^2 + \dots + {x_n}^2}}; \] d.~h.\ $\rho$ gleich einer endlichen Grösse. Durch zwei Punkte ist eine Kürzeste nicht immer eindeutig bestimmt. Denn sind die Coordinaten der beiden Punkte unendlich, so folgt aus den Gleichungen der Kürzesten \[ \frac{x_1}{x_n} = b_1 + \frac{b_1'}{x},\ \dots\quad \frac{x_{n-1}}{x_n} = b_{n-1} + \frac{b'_{n-1}}{x_n} \] für beide Punkte mit unendlichen Coordinaten im Falle der Gleichheit der Verhältnisse $x_1 : x_n$, $\dots x_{n-1} : x_n$ die Unbestimmtheit der Coefficienten $b_1'$, $\dots b'_{n-1}$; im Falle der Verschiedenheit dieser Verhältnisse sind diese letzteren Coefficienten, also auch sämmtliche Coordinaten der Punkte der Kürzesten unendlich. Der Raum constanter positiver Krümmung ist im Raume constanter negativer Krümmung enthalten.\footnote {Dieser wichtige Satz bildet den Schluss der höchst interessanten Abhandlung von Beltrami.} %-----File: 141.png-------------------------------------------- Denn setzt man \[ \frac{a}{x} = y,\quad \frac{x_1}{x} = y_1,\ \dots \ \frac{x_n}{x} = y_n, \] so erhält man \begin{gather*} ds^2 = k^2(dy^2 + d{y_1}^2 + \cdots + d{y_n}^2)\\ y^2 + {y_1}^2 + {y_2}^2 + \cdots + {y_n}^2 = 1. \end{gather*} Für den Raum constanter negativer Krümmung $-1 : {k_0}^2$ ist \begin{gather*} ds^2 = d \rho^2 + \left( k_0 \fsin \frac{\rho }{ k_0} \right)^2 (d{\lambda_1}^2 + d{\lambda_2}^2 + \dots + d{\lambda_n}^2)\\ {\lambda_1}^2 + {\lambda_2}^2 + \dots + {\lambda_n}^2 = 1. \end{gather*} Setzt man in diesem Ausdrucke $\rho =$ Const., so erhält man einen $n-1$-Dimensionen-Raum von der constanten Krümmung $-1:{k_0}^2$; letzterer ist nach der obigen Formel ein $n-1$-Dimensionen-Raum von der Krümmung $1: k^2$, wo \[ k = k_0 \fsin \frac{\rho }{ k_0} \] ist. Für $k_0 = \infty$ geht der Raum negativer Krümmung in den euclidischen über, für diesen ist $k = \rho$. \begin{Small} \so{Anmerkung 1.} Aus diesem Satze erhellet am deutlichsten die Unrichtigkeit der in manchen Kreisen gehegten Ansicht von der Selbstständigkeit der drei Formen der Geometrie. Vergl.\ Art.~105. \so{Anmerkung 2.} Von den Raumformen wurden bis jetzt die \so{ebenen} Räume, welche als Verallgemeinerung des euclidischen Raumes für eine beliebige Dimensionszahl erscheinen, am ausführlichsten behandelt. Hierher gehörige Untersuchungen sind von \so{Kronecker} (Monatshefte der Berliner Akademie, 1869), \so{Beez} (Mathematische Annalen, Bd.~7) und A.\ angestellt. Eine Anzeige einer vollständigen Darstellung gibt C.~\so{Jordan} in seinem »Essai sur la Géométrie à $n$ Dimensions.« Comptes rendus LXXV, p.~1614. \end{Small} %-----File: 142.png-------------------------------------------- \pagebreak \subchapter*{Anhang.} \addcontentsline{toc}{section}{\textbf{Anhang}}% \subsection{1.} \begin{wrapfigure}{r}{4cm} \caption{\hskip1pt } \includegraphics*[width=4cm,height=3cm]{images/fig62} \end{wrapfigure} Dasselbe folgt auch aus dem Lobatschewsky'schen Beweise des Satzes, dass --- unter der Voraussetzung die Winkelsumme eines endlichen Dreiecks ist kleiner als zwei Rechte --- zu jedem Winkel als Parallelwinkel sich die zugehörige Distanz finden lässt.\footnote {Geometrische Untersuchungen S.~19.} Der Beweis wird daselbst auf folgende Art geführt: »Ist $BAC$ der gegebene Winkel, so sei in dem bei $B$ rechtwinkligen Dreiecke $ABC$ die Winkelsumme $= 2R - \alpha$. Macht man $BD = AB$, so ist die Winkelsumme des Dreiecks $ADC=2R - 2 \alpha$, also die des Dreiecks $ADE <2R - 2 \alpha$, wo $D \perp EAD$ vorausgesetzt wird. Durch fortgesetzte Wiederholung dieses Verfahrens muss man zu einer Senkrechten gelangen, welche die Gerade $AC$ nicht mehr schneidet. Es muss daher eine (näher an $A$ liegende) Grenzlinie $MN$ existiren, für welche die Senkrechten näher bei $A$ die Gerade $AC$ schneiden; diese Senkrechte ist zu der Geraden $AC$ parallel. Denn zieht man die Gerade $MF$ unter einem beliebig kleinen Winkel mit dieser Grenzlinie und ist $F$ ein Punkt derselben, so erhält man, wenn durch $F$ die Gerade $FG \perp AB$ gezogen wird, ein Dreieck $AGH$, in welches die Gerade $MF$ eintritt, also hinreichend verlängert die Gerade $AC$ in einem Punkte, etwa $K$, schneidet.« Setzt man $AB = a$, so werden für die Dreiecke $ADE$, $\ldots$ die Seiten $AD$, $\ldots$ resp.\ $2a$, $2^2a$, $\ldots$ Ist für $AP= 2^n a$ %-----File: 143.png-------------------------------------------- die Construction unmöglich, so muss $2R - 2^n\alpha - \ldots$ bereits $< R + BAC$ geworden sein. Ist $a$ unendlich klein, so muss $\alpha$ ebenfalls unendlich klein sein, weil sonst für eine unendlich kleine Distanz $AP$ die Construction eines bei $M$ rechtwinkligen Dreiecks unmöglich wäre. Der Grenzwerth der Winkelsumme des rechtwinkligen Dreiecks $ABC$ muss daher mit dem Verschwinden der Seite $AB$ die Grösse $2R$ erreichen. \subsection{2.} Wegen der Wichtigkeit der hyperbolischen Functionen in der absoluten Geometrie sollen die am häufigsten vorkommenden Relationen zusammengestellt werden. \begin{flalign*} \indent & 1) & & \fsin x = \frac{e^x - e^{-x}}{2},\quad \fcos x = \frac{e^x + e^{-x}}{2} &&\phantom{\indent 1) Ist} \\ && & \fcos x + \fsin x = e^x &\\ && & \fcos x - \fsin x = e^{-x} & \\ && & \fsin x = x + \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} + \ldots &\\ && & \fcos x = x + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!} + \ldots &\\ && & \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} = \dfrac{\fsin x}{\fcos x}, \text{ u.\ s.\ w.} &\\ & 2) & & \fsin x = \dfrac{1}{i} \sin xi, \quad \fcos x = \cos xi, &\\ && & \ftan x = \dfrac{1}{i} \tan xi, \quad \fcot x = i \cos xi. &\\ & 3) & & \fsin 0 = 0, \quad \fcos 0 = 1, \quad \ftan 0 = 0, &\\ && & \fsin \infty = \infty, \quad \fcos \infty = \infty, \quad\ftan \infty=1. &\\ & 4) &\text{Ist} &\fsin x = z\text{, so heisst }x = \farcsin z\text{ u.\ s.\ w.} &\\ && &\farcsin x = \log (x+\sqrt{x^2 + 1}),\\ && &\farccos x = \log (x+\sqrt{x^2 - 1}), &\\ && & \farctan x = \tfrac{1}{2}\log \left(\dfrac{1+x}{1-x}\right). &\\ & 5) & & \fcos x^2 - \fsin x^2 = 1, \quad \ftan x^2 + \fsec x^2=1. \end{flalign*} \begin{flalign*} & 6) & & \fsin (x\pm y) = \fsin x\fcos y \pm \fcos x \fsin y\\ %-----File: 144.png-------------------------------------------- && &\fcos (x\pm y) = \fcos x \fcos y \pm \fsin x \fsin y\\ && & \begin{aligned} \fcos 2x &= \fcos x^2 + \fsin x^2 \\ &= 2\fcos x^2 -1 = 2 \fsin x^2 + 1 \end{aligned} &\\ & 7) & & d \fsin x = \fcos x\,dx, \quad d \fcos x = \fsin x\,dx &\\ & 8) & & d \ftan x = \dfrac{dx}{\fcos x^2}, \quad d \fcos x = -\dfrac{dx}{\fsin x^2} &\\ & 9) & & d \farcsin x = \dfrac{dx}{\sqrt{x^2+1}}, \quad d \farccos x = \dfrac{dx}{\sqrt{x^2-1}} &\\ & \llap{1}0) & & d \farctan x = \dfrac{dx}{1-x^2}, \quad d \farccot x = -\dfrac{dx}{x^2-1}. & \end{flalign*} \begin{center} \rule[1\baselineskip]{6em}{.5pt}\rule{0em}{2em} \end{center} Die hyperbolischen Functionen können in der euclidischen Geometrie in gleicher Weise durch Linien einer gleichseitigen Hyperbel mit den Halb-Axen $a = b = 1$ versinnlicht werden, wie die goniometrischen Functionen am Kreise. Beschreibt man über die grosse Axe $AA'$ einer Ellipse als Durchmesser einen Kreis, so ist das Verhältniss der beiden zwischen denselben zwei Senkrechten auf die Axe enthaltenen Flächen $= b : a$. Gleiches gilt von den Dreiecken, welche einen Punkt der Axe zur gemeinsamen Spitze und die in dieselbe Gerade fallenden Ordinaten $y$ und $z$ zur Basis haben. Ist $O$ der Mittelpunkt der Ellipse und des Kreises, so ist daher für die in dieselbe Senkrechte auf die Axe fallenden Punkte $M$ und $N$ \begin{align*} &\text{Sector }AOM :\text{ Sector }AON = b : a\\ &\text{Sector }AON = \dfrac{a^2}{2}\arcsin \dfrac{z}{2}\\ &\text{Sector }AOM = \dfrac{ab}{2} \arcsin \dfrac{y}{b}. \end{align*} Daraus folgt, wenn Sector $AOM = \dfrac{u}{2}$ gesetzt wird, \[ \dfrac{y}{b}=\sin \dfrac{u}{ab}, \] ebenso \[ \dfrac{x}{a}=\cos \dfrac{u}{ab}. \] Setzt man $bi$ statt $b$, so geht die Ellipse in eine Hyperbel über und man erhält: %-----File: 145.png-------------------------------------------- \begin{align*} &\frac{y}{b}=\fsin \frac{u}{ab}\\ &\frac{x}{a}=\fcos \frac{u}{ab}; \end{align*} für $a = b = 1$ stellen also die Coordinaten $x$ und $y$ des Punktes $M$ der gleichseitigen Hyperbel die früher definirten hyperbolischen Functionen dar, dabei bedeutet $u$ die doppelte Fläche des Sectors $AOM$.\footnote {Ausführlichere Darstellungen der Theorie der hyperbolischen Functionen sind: 1)~\so{Gudermann}, Crelle Journal Bd.~6--9. 2)~\so{Grunert}, Archiv B.~38. 3) C.~A. \so{Laisant}, Essai sur les Fonctions hyperboliques. Paris, 1874.} \subsection{3.} \begin{wrapfigure}{r}{3.3cm} \caption{\hskip1pt } \includegraphics*[width=3.3cm,height=3.3cm]{images/fig63} \end{wrapfigure} Dass aus dieser Gleichung die sämmtlichen Formeln für das rechtwinklige Dreieck erhalten werden können, wird so bewiesen: Es sei zunächst $a$ und $c < R$. Man verlängere $BA$ und $BC$ derart, dass $BA' = BC' = R$ wird; ist $D$ der Durchschnittspunkt der Bögen $CA$ und $C'A'$, der mit $A$ auf derselben Seite des Bogens $BC$ liegt, so ist $A'C' = B$, $CC' = R - a = D$. Wendet man die erhaltene Gleichung auf die Seiten $AA$' und $AD$ des bei $A'$ rechtwinkligen Dreiecks $AA'D$ an, so erhält man \begin{align*} &\sin \,(R-c)=\sin \,(R-b)\sin\,(R-a)\\ &\sin\, (R-B)=\sin \,(R-b)\sin A \end{align*} oder \begin{align*} &\cos c =\cos b\cos a\\ &\cos B=\cos b \sin A. \end{align*} Auf analoge Weise wird der Beweis geführt, wenn $c > R$ oder $a$ und $c > R$ sind. \subsection{4.} Hierbei wurde folgender Weg eingeschlagen. Es seien $\alpha$ und $\alpha'$ zwei geometrische Breiten eines Sternes $S$, welche zwei unmittelbar auf einander folgenden Positionen $A$ und $A'$ %-----File: 146.png-------------------------------------------- der Erde in demselben Breitenkreise des Sternes entsprechen, so ist $AA' = 2a =$ nahe dem Durchmesser der Erdbahn. Setzt man den Winkel $ASA' = \delta$, so folgt, falls die euclidische Geometrie stattfindet, \[ \alpha = \alpha' \pm \delta. \] Verschwindet die Entfernung $2a$ gegen die Entfernung $AS$ oder $A'S$, so ist $\delta = 0$, also $AS \parallel A'S$ und \[ \alpha = \alpha'. \] Im Falle des Nichtstattfindens der euclidischen Geometrie, ist $\alpha$ von $\alpha'$ verschieden; für $\alpha > \alpha'$ kann man $A'A$ um eine solche Strecke $AB = x$ verlängern, dass $BB' \perp AB$ parallel $AS$ wird. Dann ist \[ \alpha = \Pi(x), \quad \alpha' = \Pi(x+2a) \] oder \[ \tan\tfrac{1}{2}\alpha = e^{-\tfrac{x}{k}}, \quad \tan\tfrac{1}{2}\alpha' = e^{-\tfrac{x}{k}-\tfrac{2a}{k}}, \] also \[ e^{\tfrac{2a}{k}}=\dfrac{\tan\alpha}{\tan\alpha'}; \] aus welcher Gleichung der Werth von $k$ folgen würde. Auf jeden Fixstern mit verschwindender Parallaxe kann diese Methode angewendet werden. \subsection{5.} Sind nämlich, \[ dp_1 : d\vartheta = q-1, \quad dp_2 : d\vartheta = q_2, \quad dp_3 : d\vartheta = q_3 \] gesetzt, \[ \left. \begin{alignedat}{4} & a' &&= \alpha_1{q_1}' &&+ \alpha_2{q_2}' &&+ \alpha_3{q_3}'\\ & a'' &&= \alpha_1{q_1}'' &&+ \alpha_2{q_2}'' &&+ \alpha_3{q_3}''\\ & a''' &&= \alpha_1{q_1}''' &&+ \alpha_2{q_2}''' &&+ \alpha_3{q_3}''' \end{alignedat}\ \right\} \quad (1) \] drei bestimmte Annahmen für den Coefficienten $a$, ferner \[ a=\alpha_1q_1 + \alpha_2 q_2 + \alpha_3 q_3 \qquad (2) \] eine beliebige vierte, so erhält man aus den Gleichungen~(1) die Grossen $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3$ in der Form \[ \alpha =\beta' a' + \beta'' a'' + \beta''' a''', \] wo $\beta'$, $\beta''$, $\beta'''$ blos von den Grössen ${q_1}'$, ${q_2}'$, $\ldots {q_3}'''$ abhängen, also für alle Coefficienten $a$, $b$, $c$ eines Transformationssystems %-----File: 147.png-------------------------------------------- constant sind. Setzt man diese Ausdrücke in (2), so erhält man \[ \begin{alignedat}{3} a &= (\beta_1'q_1 &&+ \beta_2'q_2 &&+ \beta_3'q_3)\:a' \\ &+ (\beta_1''q_1 &&+ \beta_2''q_2 &&+ \beta_3''q_3)\:a'' \\ &+ (\beta_1'''q_1 &&+ \beta_2'''q_2 &&+ \beta_3'''q_3)\:a'''. \end{alignedat} \] Setzt man \[ a = fa' + ga'' + ha''', \] so entspricht jeder Annahme von $q_1$, $q_2$, $q_3$ ein System von Werthen für $f$, $g$, $h$ und umgekehrt. \subsection{6.} Das Integral \begin{align*} & J = \int \frac{\sqrt{dx^2 + d{x_1}^2 + \dotsc + d{x_n}^2}}{x}, \\ & x^2 + {x_1}^2 + \dotsc + x_n^2 = a^2, \end{align*} innerhalb der den beiden Endpunkten der kürzesten Linie entsprechenden Grenzen, muss ein Minimum werden. Betrachtet man $x$, $x_1 \dotsc x_n$ als Functionen einer Variablen $t$, und setzt der Kürze halber \begin{gather*} \begin{aligned} & \frac{dx}{dt} = x',\ \ \frac{dx_1}{dt} = x'_1,\;\dotsc \frac{dx_n}{dt} = x'_n, \\ & \sqrt{x'^2 + {x_1}'^2 + \dotsc + {x_n}'^2} = X \\ &\hspace{1em}x^2 + {x_1}^2 + \dotsc + {x_n}'^2 - a^2 = L \end{aligned} \\ \frac{X}{x} + \lambda L = V, \end{gather*} wo $\lambda$ eine Function von $t$ bedeutet, so ist \[ \delta J = \delta\smallint_{t_1}^{t_2} V dt = 0 \] Entwickelt man $\delta J$, so wird \[ \tag*{\indent 1)} \begin{aligned} \frac{\partial V}{\partial x'}\delta x &+ \frac{\partial V}{\partial x_1'}\delta x_1 + \dotsc + \left.\frac{\partial V}{\partial x_n'}\delta x_n \right\}_{t_1}^{t_2} \\ &+ \int_{t_1}^{t_2}\left( \frac{\partial V}{\partial x} - \frac{d}{dt} \biggr(\frac{\partial V}{\partial x'}\biggl) \right) \delta x \,dt \\ &+ \int_{t_1}^{t_2}\left( \frac{\partial V}{\partial x_1} - \frac{d}{dt} \biggr(\frac{\partial V}{\partial x_1'} \biggl) \right) \delta x_1 \,dt \\ &+ \dotsc \\ &+ \int_{t_1}^{t_2}\left( \frac{\partial V}{\partial x_n} - \frac{d}{dt} \biggr(\frac{\partial V}{\partial x_n'} \biggl) \right) \delta x_n \,dt = 0. \end{aligned} \] %-----File: 148.png-------------------------------------------- Die integrirten Glieder fallen, wegen $\delta x = 0$, $\delta x_1 = 0$, $\dotsc \delta x_n = 0$ für $t = t_1$ und $t = t_2$, weg; die Gleichung~1) zerfällt, da $\delta x$, $\delta x_1$, $\dotsc \delta x_n$ willkürlich sind, in \[ \tag*{\indent 2)} \begin{aligned} &\frac{\partial V}{\partial x} - \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial V}{\partial x'}\right) = 0 \\ &\frac{\partial V}{\partial x_1} - \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial V}{\partial x_1'}\right) = 0 \\ & \hspace{3em}\dotsc \\ &\frac{\partial V}{\partial x_n} - \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial V}{\partial x_n'}\right) = 0. \end{aligned} \] Nun ist \begin{alignat*}{2} & \frac{\partial V}{\partial x} = \frac{X}{x^2} + 2\lambda x, \qquad &&\frac{\partial V}{\partial x'} = \frac{x'}{xX} \\ &\frac{\partial V}{\partial x_1} = 2\lambda x_1, &&\frac{\partial V}{\partial x_1'} = \frac{x_1'}{xX} \\ &\frac{\partial V}{\partial x_n} = 2\lambda x_n, &&\frac{\partial V}{\partial x_n'} = \frac{x_n'}{xX}. \end{alignat*} Dadurch gehen die Gleichungen 2) über in \[ \tag*{\indent 3)} \begin{aligned} -\frac{X}{x^2} + 2\lambda x - \frac{d}{dt}\left(\frac{x'}{xX}\right) &= 0 \\ 2\lambda x_1 - \frac{d}{dt}\left(\frac{x_1'}{xX}\right) &= 0 \\ 2\lambda x_n - \frac{d}{dt}\left(\frac{x_n'}{xX}\right) &= 0 \end{aligned} \] Multiplicirt man die Gleichungen 3) resp.\ mit $x$, $x_1$, $\dotsc x_n$ und addirt die Producte, so wird \begin{align*} \tag*{\indent 4)} & x \frac{d}{dt}\left(\frac{x' }{xX}\right) + x_1\frac{d}{dt}\left(\frac{x_1'}{xX}\right) + \dotsc + x_n\frac{d}{dt}\left(\frac{x_n'}{xX}\right) \\ & = \frac{X}{x} - 2\lambda a^2. \end{align*} Berücksichtigt man, dass \begin{gather*} \frac{d}{dt}\left(\frac{x_rx_r'}{xX}\right) = x_r\frac{d}{dt}\left(\frac{x_r'}{xX}\right) + \frac{x_r'^2}{xX} \\ xx' + x_1x_1' + \dotsc + x_nx_n' = 0 \end{gather*} ist, so geht die Gleichung 4) über in \[ 0 = - 2\lambda a^2 , \] woraus $\lambda = 0$ folgt. Die Differentialgleichungen 3) der Kürzesten werden daher %-----File: 149.png-------------------------------------------- \begin{align*} \tag*{\indent 5)} & \frac{X}{x^2} + \frac{d}{dt}\left(\frac{x'}{xX}\right) = 0 \\ \tag*{\indent 6)} & \frac{d}{dt}\left(\frac{x_1'}{xX}\right) = 0, \;\dotsc\; \frac{d}{dt}\left(\frac{x_n'}{xX}\right) = 0. \end{align*} Die Gleichungen 6) geben \[ \tag*{\indent 7)} x_1' = c_1xX, \;\dotsc\; x_n' = c_nxX, \] wo $c_1$, $c_2$, $\dotsc c_n$ willkürliche Constanten bedeuten, woraus \[ X = \pm \frac{x'}{\sqrt{1-c^2x^2}} , \] wo $c^2 = {c_1}^2 + {c_2}^2 + \dotsc + {c_n}^2$ gesetzt wird, folgt; die Gleichung~5) wird dadurch identisch erfüllt. Ist $d\rho$ das Element der Kürzesten, so wird, wenn man für wachsende $x_1$, $x_2$, $\dotsc x_n$ das untere Zeichen nimmt, \[ d\rho = k\frac{X}{x}dt = -k\frac{dx}{x\sqrt{1-c^2x^2}} , \] woraus durch Integration \[ \rho - \rho_0 = k\log\left\{\frac{1+\sqrt{1-c^2x^2}}{cx}\right\} \] oder \[ \tag*{\indent 8)} cx = \frac{1}{ \fcos\dfrac{\rho - \rho_0}{k} } \] folgt; $\rho_0$ bedeutet die Integrationsconstante. Bezeichnet man mit $x_1^0$, $x_2^0$, $x_n^0$ den Punkt des Anfanges der Linie $\rho$ (für welchen also $\rho = 0$ ist), mit $x^0$ die entsprechende Function $x$, so wird \[ cx^0 = \frac{1}{\fcos\dfrac{\rho_0}{k}}, \] woraus durch Elimination von $c$ aus 8) folgt \[ \tag*{\indent 9)} \frac{x_0}{x} = \fcos\frac{\rho}{k} - \fsin\frac{\rho}{k}\ftan\frac{\rho_0}{k}. \] Die Gleichungen 7) der Kürzesten geben \begin{gather*} dx_1 = c_1xX \,dt \\ = \frac{c_1}{c_2}(cx)^2\frac{d\rho}{k} = \frac{c_1}{c_2}d\ftan\frac{\rho - \rho_0}{k}, \end{gather*} woraus durch Integration \[ x_1 = \frac{c_1}{c_2}\ftan\frac{\rho - \rho_0}{k} + a_1, \] %-----File: 150.png-------------------------------------------- und analog $x_2$, $\dotsc x_n$, wo $a_1$, $a_2 \dotsc a_n$ die Integrationsconstante bedeuten, folgt. Daraus erhält man \begin{align*} x_1 - {x_1}^0 &= c_1xx^0\fsin{\rho}{k} \\ &\dotsm \\ x_n - {x_n}^0 &= c_nxx^0\fsin{\rho}{k}, \end{align*} deren Summe der Quadrate \begin{gather*} 2(a^2 - x_1{x_1}^0 - \dotsc - x_n{x_n}^0) - x^2 - x^{0^2} \\ = c^2 x^2 x^{0^2} \fsin\frac{\rho^2}{k} \\ \tag*{\indent 10)} = \frac{ x^2 \fsin\dfrac{\rho^2}{k} }{\fcos\dfrac{\rho_0^2}{k}} \end{gather*} liefert. Eliminirt man $\rho_0$ aus den Gleichungen 9) und 10), so erhält man \[ \fcos\frac{\rho}{k} = \frac{ a_2 - x_1{x_1}^0 - \dotsc - x_n{x_n}^0 } { \sqrt{a^2 - {x_1}^2 - \dotsc - {x_n}^2 \vphantom{{x_1}^{0^2}} } \cdot \sqrt{a^2 - {x_1}^{0^2} - \dotsc - {x_n}^{0^2}}} \] \Paragraph{Zusatz.} Eliminirt man aus den obigen Gleichungen der Kürzesten die \linebreak Grösse $\dfrac{\rho - \rho_0}{k}$, so erhält man \[ x_1 = b_1x_n + b_1', \;\dotsc\; x_{n-1} = b_{n-1}x_n + b'_{n-1}, \] wo $b_1$, $b_1'$, $\dotsc b_{n-1}$, $b_{n-1}'$ Constante bedeuten. Dieselben Gleichungen werden auch unmittelbar aus den Gleichungen 7) durch Elimination der Grösse $xX$ erhalten. \clearpage \section*{Anmerkungen der Korrekturleser} %% Transcribers' notes \thispagestyle{empty} Folgende Veränderungen wurden vorgenommen: \begin{itemize} \item Originalseite 89, Abschnitt 78: Formel hieß im Original $$ N = \sqrt{ \fsin\frac{x_2-x_1^2}{k} + \ftan\frac{y^2_2}{k} + \ftan\frac{y^2_1}{k} -2\ftan\frac{y_2}{k} \ftan\frac{y_1}{k} \fcos\frac{x_2-x_1}{k} }, $$ \item Am Schluss hieß es im Original: $$ \fcos\frac{\rho}{k} = \frac{ a_2 - x_1{x_1}^0 - \dotsc - x_n{x_n}^0 } { \sqrt{a^2 - {x_1}^2 - \dotsc - {x_n}^2 \vphantom{{x_1}^{0^2}} } \cdot \sqrt{a^2 - {x_1}^{0^2} - \dotsc - {x_n}^{2}}} $$ \end{itemize} \clearpage \section*{Lizenz} \thispagestyle{empty} \begin{verbatim} End of the Project Gutenberg EBook of Elemente der Absoluten Geometrie, by Johannes Frischauf *** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK ELEMENTE DER ABSOLUTEN GEOMETRIE *** ***** This file should be named 29806-pdf.pdf or 29806-pdf.zip ***** This and all associated files of various formats will be found in: http://www.gutenberg.org/2/9/8/0/29806/ Produced by Ralf Stephan, Joshua Hutchinson and the Online Distributed Proofreading Team at http://www.pgdp.net (This file was produced from images from the Cornell University Library: Historical Mathematics Monographs collection.) 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Redistribution is subject to the trademark license, especially commercial redistribution. *** START: FULL LICENSE *** THE FULL PROJECT GUTENBERG LICENSE PLEASE READ THIS BEFORE YOU DISTRIBUTE OR USE THIS WORK To protect the Project Gutenberg-tm mission of promoting the free distribution of electronic works, by using or distributing this work (or any other work associated in any way with the phrase "Project Gutenberg"), you agree to comply with all the terms of the Full Project Gutenberg-tm License (available with this file or online at http://gutenberg.org/license). Section 1. General Terms of Use and Redistributing Project Gutenberg-tm electronic works 1.A. By reading or using any part of this Project Gutenberg-tm electronic work, you indicate that you have read, understand, agree to and accept all the terms of this license and intellectual property (trademark/copyright) agreement. 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Despite these efforts, Project Gutenberg-tm electronic works, and the medium on which they may be stored, may contain "Defects," such as, but not limited to, incomplete, inaccurate or corrupt data, transcription errors, a copyright or other intellectual property infringement, a defective or damaged disk or other medium, a computer virus, or computer codes that damage or cannot be read by your equipment. 1.F.2. LIMITED WARRANTY, DISCLAIMER OF DAMAGES - Except for the "Right of Replacement or Refund" described in paragraph 1.F.3, the Project Gutenberg Literary Archive Foundation, the owner of the Project Gutenberg-tm trademark, and any other party distributing a Project Gutenberg-tm electronic work under this agreement, disclaim all liability to you for damages, costs and expenses, including legal fees. YOU AGREE THAT YOU HAVE NO REMEDIES FOR NEGLIGENCE, STRICT LIABILITY, BREACH OF WARRANTY OR BREACH OF CONTRACT EXCEPT THOSE PROVIDED IN PARAGRAPH F3. YOU AGREE THAT THE FOUNDATION, THE TRADEMARK OWNER, AND ANY DISTRIBUTOR UNDER THIS AGREEMENT WILL NOT BE LIABLE TO YOU FOR ACTUAL, DIRECT, INDIRECT, CONSEQUENTIAL, PUNITIVE OR INCIDENTAL DAMAGES EVEN IF YOU GIVE NOTICE OF THE POSSIBILITY OF SUCH DAMAGE. 1.F.3. LIMITED RIGHT OF REPLACEMENT OR REFUND - If you discover a defect in this electronic work within 90 days of receiving it, you can receive a refund of the money (if any) you paid for it by sending a written explanation to the person you received the work from. If you received the work on a physical medium, you must return the medium with your written explanation. The person or entity that provided you with the defective work may elect to provide a replacement copy in lieu of a refund. If you received the work electronically, the person or entity providing it to you may choose to give you a second opportunity to receive the work electronically in lieu of a refund. If the second copy is also defective, you may demand a refund in writing without further opportunities to fix the problem. 1.F.4. Except for the limited right of replacement or refund set forth in paragraph 1.F.3, this work is provided to you 'AS-IS' WITH NO OTHER WARRANTIES OF ANY KIND, EXPRESS OR IMPLIED, INCLUDING BUT NOT LIMITED TO WARRANTIES OF MERCHANTIBILITY OR FITNESS FOR ANY PURPOSE. 1.F.5. Some states do not allow disclaimers of certain implied warranties or the exclusion or limitation of certain types of damages. If any disclaimer or limitation set forth in this agreement violates the law of the state applicable to this agreement, the agreement shall be interpreted to make the maximum disclaimer or limitation permitted by the applicable state law. The invalidity or unenforceability of any provision of this agreement shall not void the remaining provisions. 1.F.6. INDEMNITY - You agree to indemnify and hold the Foundation, the trademark owner, any agent or employee of the Foundation, anyone providing copies of Project Gutenberg-tm electronic works in accordance with this agreement, and any volunteers associated with the production, promotion and distribution of Project Gutenberg-tm electronic works, harmless from all liability, costs and expenses, including legal fees, that arise directly or indirectly from any of the following which you do or cause to occur: (a) distribution of this or any Project Gutenberg-tm work, (b) alteration, modification, or additions or deletions to any Project Gutenberg-tm work, and (c) any Defect you cause. Section 2. Information about the Mission of Project Gutenberg-tm Project Gutenberg-tm is synonymous with the free distribution of electronic works in formats readable by the widest variety of computers including obsolete, old, middle-aged and new computers. It exists because of the efforts of hundreds of volunteers and donations from people in all walks of life. Volunteers and financial support to provide volunteers with the assistance they need, are critical to reaching Project Gutenberg-tm's goals and ensuring that the Project Gutenberg-tm collection will remain freely available for generations to come. In 2001, the Project Gutenberg Literary Archive Foundation was created to provide a secure and permanent future for Project Gutenberg-tm and future generations. To learn more about the Project Gutenberg Literary Archive Foundation and how your efforts and donations can help, see Sections 3 and 4 and the Foundation web page at http://www.pglaf.org. Section 3. Information about the Project Gutenberg Literary Archive Foundation The Project Gutenberg Literary Archive Foundation is a non profit 501(c)(3) educational corporation organized under the laws of the state of Mississippi and granted tax exempt status by the Internal Revenue Service. The Foundation's EIN or federal tax identification number is 64-6221541. Its 501(c)(3) letter is posted at http://pglaf.org/fundraising. Contributions to the Project Gutenberg Literary Archive Foundation are tax deductible to the full extent permitted by U.S. federal laws and your state's laws. The Foundation's principal office is located at 4557 Melan Dr. S. Fairbanks, AK, 99712., but its volunteers and employees are scattered throughout numerous locations. Its business office is located at 809 North 1500 West, Salt Lake City, UT 84116, (801) 596-1887, email business@pglaf.org. Email contact links and up to date contact information can be found at the Foundation's web site and official page at http://pglaf.org For additional contact information: Dr. Gregory B. Newby Chief Executive and Director gbnewby@pglaf.org Section 4. Information about Donations to the Project Gutenberg Literary Archive Foundation Project Gutenberg-tm depends upon and cannot survive without wide spread public support and donations to carry out its mission of increasing the number of public domain and licensed works that can be freely distributed in machine readable form accessible by the widest array of equipment including outdated equipment. Many small donations ($1 to $5,000) are particularly important to maintaining tax exempt status with the IRS. The Foundation is committed to complying with the laws regulating charities and charitable donations in all 50 states of the United States. Compliance requirements are not uniform and it takes a considerable effort, much paperwork and many fees to meet and keep up with these requirements. We do not solicit donations in locations where we have not received written confirmation of compliance. To SEND DONATIONS or determine the status of compliance for any particular state visit http://pglaf.org While we cannot and do not solicit contributions from states where we have not met the solicitation requirements, we know of no prohibition against accepting unsolicited donations from donors in such states who approach us with offers to donate. International donations are gratefully accepted, but we cannot make any statements concerning tax treatment of donations received from outside the United States. U.S. laws alone swamp our small staff. Please check the Project Gutenberg Web pages for current donation methods and addresses. Donations are accepted in a number of other ways including checks, online payments and credit card donations. To donate, please visit: http://pglaf.org/donate Section 5. General Information About Project Gutenberg-tm electronic works. Professor Michael S. Hart is the originator of the Project Gutenberg-tm concept of a library of electronic works that could be freely shared with anyone. For thirty years, he produced and distributed Project Gutenberg-tm eBooks with only a loose network of volunteer support. Project Gutenberg-tm eBooks are often created from several printed editions, all of which are confirmed as Public Domain in the U.S. unless a copyright notice is included. Thus, we do not necessarily keep eBooks in compliance with any particular paper edition. Most people start at our Web site which has the main PG search facility: http://www.gutenberg.org This Web site includes information about Project Gutenberg-tm, including how to make donations to the Project Gutenberg Literary Archive Foundation, how to help produce our new eBooks, and how to subscribe to our email newsletter to hear about new eBooks. \end{verbatim} % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % % % % End of the Project Gutenberg EBook of Elemente der Absoluten Geometrie, by % Johannes Frischauf % % % % *** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK ELEMENTE DER ABSOLUTEN GEOMETRIE *** % % % ***** This file should be named 29806-t.tex or 29806-t.zip ***** % % This and all associated files of various formats will be found in: % % http://www.gutenberg.org/2/9/8/0/29806/ % % % % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % \end{document} This is pdfTeXk, Version 3.141592-1.40.3 (Web2C 7.5.6) (format=pdflatex 2009.8.25) 26 AUG 2009 04:59 entering extended mode %&-line parsing enabled. **29806-t.tex (./29806-t.tex LaTeX2e <2005/12/01> Babel and hyphenation patterns for english, usenglishmax, dumylang, noh yphenation, arabic, farsi, croatian, ukrainian, russian, bulgarian, czech, slov ak, danish, dutch, finnish, basque, french, german, ngerman, ibycus, greek, mon ogreek, ancientgreek, hungarian, italian, latin, mongolian, norsk, icelandic, i nterlingua, turkish, coptic, romanian, welsh, serbian, slovenian, estonian, esp eranto, uppersorbian, indonesian, polish, portuguese, spanish, catalan, galicia n, swedish, ukenglish, pinyin, loaded. (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/book.cls Document Class: book 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX document class (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/bk12.clo File: bk12.clo 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX file (size option) ) \c@part=\count79 \c@chapter=\count80 \c@section=\count81 \c@subsection=\count82 \c@subsubsection=\count83 \c@paragraph=\count84 \c@subparagraph=\count85 \c@figure=\count86 \c@table=\count87 \abovecaptionskip=\skip41 \belowcaptionskip=\skip42 \bibindent=\dimen102 ) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsmath.sty Package: amsmath 2000/07/18 v2.13 AMS math features \@mathmargin=\skip43 For additional information on amsmath, use the `?' option. (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amstext.sty Package: amstext 2000/06/29 v2.01 (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsgen.sty File: amsgen.sty 1999/11/30 v2.0 \@emptytoks=\toks14 \ex@=\dimen103 )) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty Package: amsbsy 1999/11/29 v1.2d \pmbraise@=\dimen104 ) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsopn.sty Package: amsopn 1999/12/14 v2.01 operator names ) \inf@bad=\count88 LaTeX Info: Redefining \frac on input line 211. \uproot@=\count89 \leftroot@=\count90 LaTeX Info: Redefining \overline on input line 307. \classnum@=\count91 \DOTSCASE@=\count92 LaTeX Info: Redefining \ldots on input line 379. LaTeX Info: Redefining \dots on input line 382. LaTeX Info: Redefining \cdots on input line 467. \Mathstrutbox@=\box26 \strutbox@=\box27 \big@size=\dimen105 LaTeX Font Info: Redeclaring font encoding OML on input line 567. LaTeX Font Info: Redeclaring font encoding OMS on input line 568. \macc@depth=\count93 \c@MaxMatrixCols=\count94 \dotsspace@=\muskip10 \c@parentequation=\count95 \dspbrk@lvl=\count96 \tag@help=\toks15 \row@=\count97 \column@=\count98 \maxfields@=\count99 \andhelp@=\toks16 \eqnshift@=\dimen106 \alignsep@=\dimen107 \tagshift@=\dimen108 \tagwidth@=\dimen109 \totwidth@=\dimen110 \lineht@=\dimen111 \@envbody=\toks17 \multlinegap=\skip44 \multlinetaggap=\skip45 \mathdisplay@stack=\toks18 LaTeX Info: Redefining \[ on input line 2666. LaTeX Info: Redefining \] on input line 2667. ) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty Package: amsfonts 2001/10/25 v2.2f \symAMSa=\mathgroup4 \symAMSb=\mathgroup5 LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathfrak' in version `bold' (Font) U/euf/m/n --> U/euf/b/n on input line 132. ) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty Package: amssymb 2002/01/22 v2.2d ) (/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/babel.sty Package: babel 2005/11/23 v3.8h The Babel package (/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/germanb.ldf Language: germanb 2004/02/19 v2.6k German support from the babel system (/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/babel.def File: babel.def 2005/11/23 v3.8h Babel common definitions \babel@savecnt=\count100 \U@D=\dimen112 ) \l@austrian = a dialect from \language\l@german Package babel Info: Making " an active character on input line 91. )) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/inputenc.sty Package: inputenc 2006/05/05 v1.1b Input encoding file \inpenc@prehook=\toks19 \inpenc@posthook=\toks20 (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/latin1.def File: latin1.def 2006/05/05 v1.1b Input encoding file )) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/soul/soul.sty Package: soul 2003/11/17 v2.4 letterspacing/underlining (mf) \SOUL@word=\toks21 \SOUL@lasttoken=\toks22 \SOUL@cmds=\toks23 \SOUL@buffer=\toks24 \SOUL@token=\toks25 \SOUL@spaceskip=\skip46 \SOUL@ttwidth=\dimen113 \SOUL@uldp=\dimen114 \SOUL@ulht=\dimen115 ) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/graphicx.sty Package: graphicx 1999/02/16 v1.0f Enhanced LaTeX Graphics (DPC,SPQR) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/keyval.sty Package: keyval 1999/03/16 v1.13 key=value parser (DPC) \KV@toks@=\toks26 ) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/graphics.sty Package: graphics 2006/02/20 v1.0o Standard LaTeX Graphics (DPC,SPQR) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/trig.sty Package: trig 1999/03/16 v1.09 sin cos tan (DPC) ) (/etc/texmf/tex/latex/config/graphics.cfg File: graphics.cfg 2007/01/18 v1.5 graphics configuration of teTeX/TeXLive ) Package graphics Info: Driver file: pdftex.def on input line 90. (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/pdftex-def/pdftex.def File: pdftex.def 2007/01/08 v0.04d Graphics/color for pdfTeX \Gread@gobject=\count101 )) \Gin@req@height=\dimen116 \Gin@req@width=\dimen117 ) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/caption/caption.sty Package: caption 2007/01/07 v3.0k Customising captions (AR) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/caption/caption3.sty Package: caption3 2007/01/07 v3.0k caption3 kernel (AR) \captionmargin=\dimen118 \captionmarginx=\dimen119 \captionwidth=\dimen120 \captionindent=\dimen121 \captionparindent=\dimen122 \captionhangindent=\dimen123 )) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/wrapfig/wrapfig.sty \wrapoverhang=\dimen124 \WF@size=\dimen125 \c@WF@wrappedlines=\count102 \WF@box=\box28 \WF@everypar=\toks27 Package: wrapfig 2003/01/31 v 3.6 ) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/yfonts/yfonts.sty Package: yfonts 2003/01/08 v1.3 (WaS) ) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/marvosym/marvosym.sty Package: marvosym 2006/05/11 v2.1 Martin Vogel's Symbols font definitions ) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/was/fixmath.sty Package: fixmath 2000/04/11 v0.9 (WaS) LaTeX Font Info: Redeclaring math symbol \Gamma on input line 27. LaTeX Font Info: Redeclaring math symbol \Delta on input line 28. LaTeX Font Info: Redeclaring math symbol \Theta on input line 29. LaTeX Font Info: Redeclaring math symbol \Lambda on input line 30. LaTeX Font Info: Redeclaring math symbol \Xi on input line 31. LaTeX Font Info: Redeclaring math symbol \Pi on input line 32. LaTeX Font Info: Redeclaring math symbol \Sigma on input line 33. LaTeX Font Info: Redeclaring math symbol \Upsilon on input line 34. LaTeX Font Info: Redeclaring math symbol \Phi on input line 35. LaTeX Font Info: Redeclaring math symbol \Psi on input line 36. LaTeX Font Info: Redeclaring math symbol \Omega on input line 37. LaTeX Font Info: Redeclaring math symbol \alpha on input line 38. LaTeX Font Info: Redeclaring math symbol \beta on input line 39. LaTeX Font Info: Redeclaring math symbol \gamma on input line 40. LaTeX Font Info: Redeclaring math symbol \delta on input line 41. LaTeX Font Info: Redeclaring math symbol \epsilon on input line 42. LaTeX Font Info: Redeclaring math symbol \zeta on input line 43. LaTeX Font Info: Redeclaring math symbol \eta on input line 44. LaTeX Font Info: Redeclaring math symbol \theta on input line 45. LaTeX Font Info: Redeclaring math symbol \iota on input line 46. LaTeX Font Info: Redeclaring math symbol \kappa on input line 47. LaTeX Font Info: Redeclaring math symbol \lambda on input line 48. LaTeX Font Info: Redeclaring math symbol \mu on input line 49. LaTeX Font Info: Redeclaring math symbol \nu on input line 50. LaTeX Font Info: Redeclaring math symbol \xi on input line 51. LaTeX Font Info: Redeclaring math symbol \pi on input line 52. LaTeX Font Info: Redeclaring math symbol \rho on input line 53. LaTeX Font Info: Redeclaring math symbol \sigma on input line 54. LaTeX Font Info: Redeclaring math symbol \tau on input line 55. LaTeX Font Info: Redeclaring math symbol \upsilon on input line 56. LaTeX Font Info: Redeclaring math symbol \phi on input line 57. LaTeX Font Info: Redeclaring math symbol \chi on input line 58. LaTeX Font Info: Redeclaring math symbol \psi on input line 59. LaTeX Font Info: Redeclaring math symbol \omega on input line 60. LaTeX Font Info: Redeclaring math symbol \varepsilon on input line 61. LaTeX Font Info: Redeclaring math symbol \vartheta on input line 62. LaTeX Font Info: Redeclaring math symbol \varpi on input line 63. LaTeX Font Info: Redeclaring math symbol \varphi on input line 64. LaTeX Font Info: Redeclaring math symbol \varrho on input line 65. LaTeX Font Info: Redeclaring math symbol \varsigma on input line 66. ) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/footmisc/footmisc.sty Package: footmisc 2005/03/17 v5.3d a miscellany of footnote facilities \FN@temptoken=\toks28 \footnotemargin=\dimen126 \c@pp@next@reset=\count103 \c@@fnserial=\count104 Package footmisc Info: Declaring symbol style bringhurst on input line 817. Package footmisc Info: Declaring symbol style chicago on input line 818. Package footmisc Info: Declaring symbol style wiley on input line 819. Package footmisc Info: Declaring symbol style lamport-robust on input line 823. Package footmisc Info: Declaring symbol style lamport* on input line 831. Package footmisc Info: Declaring symbol style lamport*-robust on input line 840 . ) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/titlesec/titlesec.sty Package: titlesec 2005/01/22 v2.6 Sectioning titles \ttl@box=\box29 \beforetitleunit=\skip47 \aftertitleunit=\skip48 \ttl@plus=\dimen127 \ttl@minus=\dimen128 \titlewidth=\dimen129 \titlewidthlast=\dimen130 \titlewidthfirst=\dimen131 (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/titlesec/ttlps.def File: ttlps.def 2005/01/22 )) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/titlesec/titletoc.sty Package: titletoc 2005/01/22 v1.5 TOC entries ) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/tools/verbatim.sty Package: verbatim 2003/08/22 v1.5q LaTeX2e package for verbatim enhancements \every@verbatim=\toks29 \verbatim@line=\toks30 \verbatim@in@stream=\read1 ) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/tools/indentfirst.sty Package: indentfirst 1995/11/23 v1.03 Indent first paragraph (DPC) ) \c@subchapter=\count105 (./29806-t.aux) \openout1 = `29806-t.aux'. LaTeX Font Info: Checking defaults for OML/cmm/m/it on input line 222. LaTeX Font Info: ... okay on input line 222. LaTeX Font Info: Checking defaults for T1/cmr/m/n on input line 222. LaTeX Font Info: ... okay on input line 222. LaTeX Font Info: Checking defaults for OT1/cmr/m/n on input line 222. LaTeX Font Info: ... okay on input line 222. LaTeX Font Info: Checking defaults for OMS/cmsy/m/n on input line 222. LaTeX Font Info: ... okay on input line 222. LaTeX Font Info: Checking defaults for OMX/cmex/m/n on input line 222. LaTeX Font Info: ... okay on input line 222. LaTeX Font Info: Checking defaults for U/cmr/m/n on input line 222. LaTeX Font Info: ... okay on input line 222. LaTeX Font Info: Checking defaults for LY/yfrak/m/n on input line 222. LaTeX Font Info: ... okay on input line 222. LaTeX Font Info: Checking defaults for LYG/ygoth/m/n on input line 222. LaTeX Font Info: ... okay on input line 222. (/usr/share/texmf/tex/context/base/supp-pdf.tex [Loading MPS to PDF converter (version 2006.09.02).] \scratchcounter=\count106 \scratchdimen=\dimen132 \scratchbox=\box30 \nofMPsegments=\count107 \nofMParguments=\count108 \everyMPshowfont=\toks31 \MPscratchCnt=\count109 \MPscratchDim=\dimen133 \MPnumerator=\count110 \everyMPtoPDFconversion=\toks32 ) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ragged2e/ragged2e.sty Package: ragged2e 2003/03/25 v2.04 ragged2e Package (MS) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/everysel/everysel.sty Package: everysel 1999/06/08 v1.03 EverySelectfont Package (MS) LaTeX Info: Redefining \selectfont on input line 125. ) \CenteringLeftskip=\skip49 \RaggedLeftLeftskip=\skip50 \RaggedRightLeftskip=\skip51 \CenteringRightskip=\skip52 \RaggedLeftRightskip=\skip53 \RaggedRightRightskip=\skip54 \CenteringParfillskip=\skip55 \RaggedLeftParfillskip=\skip56 \RaggedRightParfillskip=\skip57 \JustifyingParfillskip=\skip58 \CenteringParindent=\skip59 \RaggedLeftParindent=\skip60 \RaggedRightParindent=\skip61 \JustifyingParindent=\skip62 ) [1 {/var/lib/texmf/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map}] [2 ] [1 ] LaTeX Font Info: Try loading font information for U+msa on input line 291. (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsa.fd File: umsa.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions ) LaTeX Font Info: Try loading font information for U+msb on input line 291. (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsb.fd File: umsb.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions ) [2 ] [3] (./29806-t.toc [4 ]) \tf@toc=\write3 \openout3 = `29806-t.toc'. [5] File: images/fig01.pdf Graphic file (type pdf) [1 ] [2 <./images/fig01.pdf pdfTeX warning: pdflatex (file ./images/fig01.pdf): PDF inclusion: Page Group d etected which pdfTeX can't handle. Ignoring it. >] [3] [4] Overfull \hbox (0.54588pt too wide) in paragraph at lines 689--695 \OT1/cmr/m/n/12 aus folgt kei-nes-wegs die Un-end-lich-keit des Raum-es, letz-t e-re Ei-gen-schaft m[]uss- [] [5] [6] [7] LaTeX Font Info: Try loading font information for U+euf on input line 903. (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/ueuf.fd File: ueuf.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions ) [8] File: images/fig02.pdf Graphic file (type pdf) [9 <./images/fig02.pdf pdfTeX warning: pdflatex (file ./images/fig02.pdf): PDF inclusion: Page Group d etected which pdfTeX can't handle. Ignoring it. >] [10] [11] File: images/fig03.pdf Graphic file (type pdf) [12 <./images/fig03.pdf pdfTeX warning: pdflatex (file ./images/fig03.pdf): PDF inclusion: Page Group d etected which pdfTeX can't handle. Ignoring it. >] File: images/fig04.pdf Graphic file (type pdf) [13 <./images/fig04.pdf pdfTeX warning: pdflatex (file ./images/fig04.pdf): PDF inclusion: Page Group d etected which pdfTeX can't handle. Ignoring it. >] [14] File: images/fig05.pdf Graphic file (type pdf) [15 <./images/fig05.pdf>] File: images/fig06.pdf Graphic file (type pdf) [16 <./images/fig06.pdf pdfTeX warning: pdflatex (file ./images/fig06.pdf): PDF inclusion: Page Group d etected which pdfTeX can't handle. Ignoring it. >] File: images/fig07.pdf Graphic file (type pdf) [17 <./images/fig07.pdf pdfTeX warning: pdflatex (file ./images/fig07.pdf): PDF inclusion: Page Group d etected which pdfTeX can't handle. Ignoring it. >] [18] File: images/fig08.pdf Graphic file (type pdf) [19 <./images/fig08.pdf>] File: images/fig09.pdf Graphic file (type pdf) File: images/fig10.pdf Graphic file (type pdf) [20 <./images/fig09.pdf pdfTeX warning: pdflatex (file ./images/fig09.pdf): PDF inclusion: Page Group d etected which pdfTeX can't handle. Ignoring it. > <./images/fig10.pdf>] File: images/fig11.pdf Graphic file (type pdf) File: images/fig12.pdf Graphic file (type pdf) [21 <./images/fig11.pdf>] File: images/fig13.pdf Graphic file (type pdf) [22 <./images/fig12.pdf pdfTeX warning: pdflatex (file ./images/fig12.pdf): PDF inclusion: Page Group d etected which pdfTeX can't handle. Ignoring it. > <./images/fig13.pdf pdfTeX warning: pdflatex (file ./images/fig13.pdf): PDF inclusion: Page Group d etected which pdfTeX can't handle. Ignoring it. >] File: images/fig14.pdf Graphic file (type pdf) [23 <./images/fig14.pdf pdfTeX warning: pdflatex (file ./images/fig14.pdf): PDF inclusion: Page Group d etected which pdfTeX can't handle. Ignoring it. >] File: images/fig15.pdf Graphic file (type pdf) [24 <./images/fig15.pdf pdfTeX warning: pdflatex (file ./images/fig15.pdf): PDF inclusion: Page Group d etected which pdfTeX can't handle. Ignoring it. >] File: images/fig16.pdf Graphic file (type pdf) [25 <./images/fig16.pdf pdfTeX warning: pdflatex (file ./images/fig16.pdf): PDF inclusion: Page Group d etected which pdfTeX can't handle. Ignoring it. >] File: images/fig17.pdf Graphic file (type pdf) [26 <./images/fig17.pdf pdfTeX warning: pdflatex (file ./images/fig17.pdf): PDF inclusion: Page Group d etected which pdfTeX can't handle. Ignoring it. >] File: images/fig18.pdf Graphic file (type pdf) [27 <./images/fig18.pdf pdfTeX warning: pdflatex (file ./images/fig18.pdf): PDF inclusion: Page Group d etected which pdfTeX can't handle. Ignoring it. >] File: images/fig19.pdf Graphic file (type pdf) [28 <./images/fig19.pdf>] File: images/fig20.pdf Graphic file (type pdf) [29 <./images/fig20.pdf pdfTeX warning: pdflatex (file ./images/fig20.pdf): PDF inclusion: Page Group d etected which pdfTeX can't handle. Ignoring it. >] [30] [31] File: images/fig21.pdf Graphic file (type pdf) File: images/fig22.pdf Graphic file (type pdf) [32 <./images/fig21.pdf pdfTeX warning: pdflatex (file ./images/fig21.pdf): PDF inclusion: Page Group d etected which pdfTeX can't handle. Ignoring it. > <./images/fig22.pdf pdfTeX warning: pdflatex (file ./images/fig22.pdf): PDF inclusion: Page Group d etected which pdfTeX can't handle. Ignoring it. >] Overfull \hbox (0.6858pt too wide) in paragraph at lines 2209--2217 \OT1/cmr/m/n/12 Par-al-lel-win-kel al-so im-mer gr[]osser; man sagt da-her auch : Zwei Par-al-le-le schnei- [] [33] File: images/fig23.pdf Graphic file (type pdf) File: images/fig24.pdf Graphic file (type pdf) [34 <./images/fig23.pdf pdfTeX warning: pdflatex (file ./images/fig23.pdf): PDF inclusion: Page Group d etected which pdfTeX can't handle. Ignoring it. > <./images/fig24.pdf pdfTeX warning: pdflatex (file ./images/fig24.pdf): PDF inclusion: Page Group d etected which pdfTeX can't handle. Ignoring it. >] File: images/fig25.pdf Graphic file (type pdf) [35 <./images/fig25.pdf pdfTeX warning: pdflatex (file ./images/fig25.pdf): PDF inclusion: Page Group d etected which pdfTeX can't handle. Ignoring it. >] File: images/fig26.pdf Graphic file (type pdf) [36] [37 <./images/fig26.pdf>] File: images/fig27.pdf Graphic file (type pdf) File: images/fig28.pdf Graphic file (type pdf) File: images/fig29.pdf Graphic file (type pdf) [38 <./images/fig27.pdf> <./images/fig28.pdf pdfTeX warning: pdflatex (file ./images/fig28.pdf): PDF inclusion: Page Group d etected which pdfTeX can't handle. Ignoring it. > <./images/fig29.pdf>] File: images/fig30.pdf Graphic file (type pdf) [39 <./images/fig30.pdf pdfTeX warning: pdflatex (file ./images/fig30.pdf): PDF inclusion: Page Group d etected which pdfTeX can't handle. Ignoring it. >] [40] File: images/fig31.pdf Graphic file (type pdf) File: images/fig32.pdf Graphic file (type pdf) Overfull \hbox (2.84305pt too wide) in paragraph at lines 2693--2694 [][] [] [41 <./images/fig31.pdf> <./images/fig32.pdf pdfTeX warning: pdflatex (file ./images/fig32.pdf): PDF inclusion: Page Group d etected which pdfTeX can't handle. Ignoring it. >] File: images/fig33.pdf Graphic file (type pdf) Overfull \hbox (1.42416pt too wide) in paragraph at lines 2717--2718 [][] [] Underfull \hbox (badness 1968) in paragraph at lines 2720--2726 [][]\OT1/cmr/m/n/12 Der Durch-schnitt ei-ner Ku-gel mit ei-ner Ebe-ne ist [] [42 <./images/fig33.pdf>] [43] File: images/fig34.pdf Graphic file (type pdf) File: images/fig35.pdf Graphic file (type pdf) [44 <./images/fig34.pdf pdfTeX warning: pdflatex (file ./images/fig34.pdf): PDF inclusion: Page Group d etected which pdfTeX can't handle. Ignoring it. >] File: images/fig36.pdf Graphic file (type pdf) [45 <./images/fig35.pdf> <./images/fig36.pdf>] File: images/fig37.pdf Graphic file (type pdf) [46 <./images/fig37.pdf pdfTeX warning: pdflatex (file ./images/fig37.pdf): PDF inclusion: Page Group d etected which pdfTeX can't handle. Ignoring it. >] File: images/fig38.pdf Graphic file (type pdf) [47 <./images/fig38.pdf pdfTeX warning: pdflatex (file ./images/fig38.pdf): PDF inclusion: Page Group d etected which pdfTeX can't handle. Ignoring it. >] [48] File: images/fig39.pdf Graphic file (type pdf) File: images/fig40.pdf Graphic file (type pdf) LaTeX Font Info: Try loading font information for U+mvs on input line 3157. (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/marvosym/umvs.fd) [49 <./images/fig39.pdf> <./images/fig40.pdf pdfTeX warning: pdflatex (file ./images/fig40.pdf): PDF inclusion: Page Group d etected which pdfTeX can't handle. Ignoring it. >] [50] File: images/fig41.pdf Graphic file (type pdf) File: images/fig42.pdf Graphic file (type pdf) [51 <./images/fig41.pdf pdfTeX warning: pdflatex (file ./images/fig41.pdf): PDF inclusion: Page Group d etected which pdfTeX can't handle. Ignoring it. > <./images/fig42.pdf>] File: images/fig43.pdf Graphic file (type pdf) [52 <./images/fig43.pdf pdfTeX warning: pdflatex (file ./images/fig43.pdf): PDF inclusion: Page Group d etected which pdfTeX can't handle. Ignoring it. >] File: images/fig44.pdf Graphic file (type pdf) [53 <./images/fig44.pdf pdfTeX warning: pdflatex (file ./images/fig44.pdf): PDF inclusion: Page Group d etected which pdfTeX can't handle. Ignoring it. >] File: images/fig45.pdf Graphic file (type pdf) File: images/fig46.pdf Graphic file (type pdf) Overfull \hbox (1.42026pt too wide) in paragraph at lines 3435--3436 [][] [] [54 <./images/fig45.pdf pdfTeX warning: pdflatex (file ./images/fig45.pdf): PDF inclusion: Page Group d etected which pdfTeX can't handle. Ignoring it. > <./images/fig46.pdf pdfTeX warning: pdflatex (file ./images/fig46.pdf): PDF inclusion: Page Group d etected which pdfTeX can't handle. Ignoring it. >] [55] File: images/fig47.pdf Graphic file (type pdf) [56 <./images/fig47.pdf pdfTeX warning: pdflatex (file ./images/fig47.pdf): PDF inclusion: Page Group d etected which pdfTeX can't handle. Ignoring it. >] File: images/fig48.pdf Graphic file (type pdf) [57 <./images/fig48.pdf pdfTeX warning: pdflatex (file ./images/fig48.pdf): PDF inclusion: Page Group d etected which pdfTeX can't handle. Ignoring it. >] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] File: images/fig49.pdf Graphic file (type pdf) [65 <./images/fig49.pdf pdfTeX warning: pdflatex (file ./images/fig49.pdf): PDF inclusion: Page Group d etected which pdfTeX can't handle. Ignoring it. >] File: images/fig50.pdf Graphic file (type pdf) File: images/fig51.pdf Graphic file (type pdf) [66 <./images/fig50.pdf>] File: images/fig52.pdf Graphic file (type pdf) [67 <./images/fig51.pdf pdfTeX warning: pdflatex (file ./images/fig51.pdf): PDF inclusion: Page Group d etected which pdfTeX can't handle. Ignoring it. > <./images/fig52.pdf pdfTeX warning: pdflatex (file ./images/fig52.pdf): PDF inclusion: Page Group d etected which pdfTeX can't handle. Ignoring it. >] [68] File: images/fig53.pdf Graphic file (type pdf) File: images/fig54.pdf Graphic file (type pdf) [69 <./images/fig53.pdf pdfTeX warning: pdflatex (file ./images/fig53.pdf): PDF inclusion: Page Group d etected which pdfTeX can't handle. Ignoring it. > <./images/fig54.pdf pdfTeX warning: pdflatex (file ./images/fig54.pdf): PDF inclusion: Page Group d etected which pdfTeX can't handle. Ignoring it. >] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] File: images/fig55.pdf Graphic file (type pdf) [82 <./images/fig55.pdf pdfTeX warning: pdflatex (file ./images/fig55.pdf): PDF inclusion: Page Group d etected which pdfTeX can't handle. Ignoring it. >] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] File: images/fig56.pdf Graphic file (type pdf) [91 <./images/fig56.pdf>] [92] [93] [94] File: images/fig57.pdf Graphic file (type pdf) [95] [96 <./images/fig57.pdf pdfTeX warning: pdflatex (file ./images/fig57.pdf): PDF inclusion: Page Group d etected which pdfTeX can't handle. Ignoring it. >] [97] File: images/fig58.pdf Graphic file (type pdf) [98 <./images/fig58.pdf pdfTeX warning: pdflatex (file ./images/fig58.pdf): PDF inclusion: Page Group d etected which pdfTeX can't handle. Ignoring it. >] [99] [100] File: images/fig59.pdf Graphic file (type pdf) [101 <./images/fig59.pdf pdfTeX warning: pdflatex (file ./images/fig59.pdf): PDF inclusion: Page Group d etected which pdfTeX can't handle. Ignoring it. >] [102] File: images/fig60.pdf Graphic file (type pdf) [103 <./images/fig60.pdf>] [104] [105] [106] [107] Overfull \hbox (2.24725pt too wide) in paragraph at lines 6120--6124 \OT1/cmr/m/n/12 vor-her er-w[]ahn-te Ei-gen-schaft der Ebe-ne un-er-l[]ass-lich , wor-aus wie-der die Zweck- [] [108] [109] [110] [111] [112] Overfull \hbox (0.65985pt too wide) in paragraph at lines 6411--6416 \OT1/cmr/m/n/12 Fl[]ache con-stan-ter Kr[]ummung erh[]alt man am ein-fach-sten aus den Gauss'schen [] [113] [114] File: images/fig61.pdf Graphic file (type pdf) [115] [116 <./images/fig61.pdf>] [117] [118] [119] [120] Overfull \hbox (2.70003pt too wide) in paragraph at lines 6813--6818 []\OT1/cmr/m/n/12 Die-se Vor-aus-set-zung ist die ein-fach-ste, wel-che den Be- din-gun-gen ent-spricht, [] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] < images/fig62.pdf, id=977, 399.4925pt x 293.095pt> File: images/fig62.pdf Graphic file (type pdf) Underfull \hbox (badness 4505) in paragraph at lines 7446--7473 [][]\OT1/cmr/m/n/12 Dasselbe folgt auch aus dem Lo-bat-schew- [] [134 <./images/fig62.pdf>] [135] [136] Underfull \hbox (badness 1205) in paragraph at lines 7598--7598 [][]\OT1/cmr/m/n/10 Ausf[]uhrlichere Dar-stel-lun-gen der Theo-rie der hy-per-b o-li-schen Func-tio-nen sind: [] File: images/fig63.pdf Graphic file (type pdf) [137 <./images/fig63.pdf pdfTeX warning: pdflatex (file ./images/fig63.pdf): PDF inclusion: Page Group d etected which pdfTeX can't handle. Ignoring it. >] Overfull \hbox (1.77289pt too wide) in paragraph at lines 7649--7654 \OT1/cmr/m/n/12 schie-den; f[]ur $\OML/cmm/m/it/12 > []$ \OT1/cmr/m/n/12 kan n man $\OML/cmm/m/it/12 A[]A$ \OT1/cmr/m/n/12 um ei-ne sol-che Strecke $\OML/cm m/m/it/12 AB \OT1/cmr/m/n/12 = \OML/cmm/m/it/12 x$ \OT1/cmr/m/n/12 verl[]angern , [] [138] [139] [140] [141] [142] [143] LaTeX Font Info: Try loading font information for OMS+cmr on input line 7924 . (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/omscmr.fd File: omscmr.fd 1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions ) LaTeX Font Info: Font shape `OMS/cmr/m/n' in size <12> not available (Font) Font shape `OMS/cmsy/m/n' tried instead on input line 7924. [144 ] [145 ] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] (./29 806-t.aux) *File List* book.cls 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX document class bk12.clo 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX file (size option) amsmath.sty 2000/07/18 v2.13 AMS math features amstext.sty 2000/06/29 v2.01 amsgen.sty 1999/11/30 v2.0 amsbsy.sty 1999/11/29 v1.2d amsopn.sty 1999/12/14 v2.01 operator names amsfonts.sty 2001/10/25 v2.2f amssymb.sty 2002/01/22 v2.2d babel.sty 2005/11/23 v3.8h The Babel package germanb.ldf 2004/02/19 v2.6k German support from the babel system inputenc.sty 2006/05/05 v1.1b Input encoding file latin1.def 2006/05/05 v1.1b Input encoding file soul.sty 2003/11/17 v2.4 letterspacing/underlining (mf) graphicx.sty 1999/02/16 v1.0f Enhanced LaTeX Graphics (DPC,SPQR) keyval.sty 1999/03/16 v1.13 key=value parser (DPC) graphics.sty 2006/02/20 v1.0o Standard LaTeX Graphics (DPC,SPQR) trig.sty 1999/03/16 v1.09 sin cos tan (DPC) graphics.cfg 2007/01/18 v1.5 graphics configuration of teTeX/TeXLive pdftex.def 2007/01/08 v0.04d Graphics/color for pdfTeX caption.sty 2007/01/07 v3.0k Customising captions (AR) caption3.sty 2007/01/07 v3.0k caption3 kernel (AR) wrapfig.sty 2003/01/31 v 3.6 yfonts.sty 2003/01/08 v1.3 (WaS) marvosym.sty 2006/05/11 v2.1 Martin Vogel's Symbols font definitions fixmath.sty 2000/04/11 v0.9 (WaS) footmisc.sty 2005/03/17 v5.3d a miscellany of footnote facilities titlesec.sty 2005/01/22 v2.6 Sectioning titles ttlps.def 2005/01/22 titletoc.sty 2005/01/22 v1.5 TOC entries verbatim.sty 2003/08/22 v1.5q LaTeX2e package for verbatim enhancements indentfirst.sty 1995/11/23 v1.03 Indent first paragraph (DPC) supp-pdf.tex ragged2e.sty 2003/03/25 v2.04 ragged2e Package (MS) everysel.sty 1999/06/08 v1.03 EverySelectfont Package (MS) umsa.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions umsb.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions images/fig01.pdf ueuf.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions images/fig02.pdf images/fig03.pdf images/fig04.pdf images/fig05.pdf images/fig06.pdf images/fig07.pdf images/fig08.pdf images/fig09.pdf images/fig10.pdf images/fig11.pdf images/fig12.pdf images/fig13.pdf images/fig14.pdf images/fig15.pdf images/fig16.pdf images/fig17.pdf images/fig18.pdf images/fig19.pdf images/fig20.pdf images/fig21.pdf images/fig22.pdf images/fig23.pdf images/fig24.pdf images/fig25.pdf images/fig26.pdf images/fig27.pdf images/fig28.pdf images/fig29.pdf images/fig30.pdf images/fig31.pdf images/fig32.pdf images/fig33.pdf images/fig34.pdf images/fig35.pdf images/fig36.pdf images/fig37.pdf images/fig38.pdf images/fig39.pdf images/fig40.pdf umvs.fd images/fig41.pdf images/fig42.pdf images/fig43.pdf images/fig44.pdf images/fig45.pdf images/fig46.pdf images/fig47.pdf images/fig48.pdf images/fig49.pdf images/fig50.pdf images/fig51.pdf images/fig52.pdf images/fig53.pdf images/fig54.pdf images/fig55.pdf images/fig56.pdf images/fig57.pdf images/fig58.pdf images/fig59.pdf images/fig60.pdf images/fig61.pdf images/fig62.pdf images/fig63.pdf omscmr.fd 1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions *********** LaTeX Font Warning: Size substitutions with differences (Font) up to 4.0pt have occurred. ) Here is how much of TeX's memory you used: 4335 strings out of 94074 57968 string characters out of 1165153 117463 words of memory out of 1500000 7468 multiletter control sequences out of 10000+50000 19538 words of font info for 73 fonts, out of 1200000 for 2000 645 hyphenation exceptions out of 8191 34i,16n,38p,418b,368s stack positions out of 5000i,500n,6000p,200000b,5000s Output written on 29806-t.pdf (164 pages, 948049 bytes). PDF statistics: 1161 PDF objects out of 1200 (max. 8388607) 0 named destinations out of 1000 (max. 131072) 694 words of extra memory for PDF output out of 10000 (max. 10000000)